автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Исследование напряженно-деформированного состояния косоугольных пластинок, мембран и сечений геометрическими методами

РОСТОВСКАЯ-НА-ДОНУ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ П г л л СТРОИТЕЛЬСТВА

п 6 од

'Л

На правах рукописи

Коробко Андрей Викторович .......

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОСОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК, МЕМБРАН И СЕЧЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону - 1993

Работа выполнена в Днепропетровском металлургическом институте

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Колесник И. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Юдин А. С.

кандидат физико-математических наук, доцент Кабельков А. Н.

Ведущая организация: АО "Ставропольграж данпроект"

Защита диссертации состоится 02 ноября 1993 года в часов на заседании специализированного совета Д.068.64.01 Ростовской-на-Дону государственной академии строительства по адресу: 344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162, ауд. 232

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии

Автореферат разослан * " сентября 1993 г.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу академии.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат технических наук Ю.А. Веселев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пластинки и мембраны, как элементы •несущих конструкций, находят самое широкое распространение в строительстве, авиа- и судостроении. Требование рациональности конструирования этих элементов обусловливает необходимость их расчета на различные виды деформирования: поперечный изгиб и колебания, продольный изгиб пластинок и др. Пластинки и мембраны могут иметь разнообразные формы и различные виды граничных условий. Среди множества форм этих элементов особое' место занимают фигуры в виде произвольных треугольников и четырёхугольников, которые особенно распространены в специальном машиностроении. Проблема исследования косоугольных сечений встречается в задачах упругого кручения призматических брусьев.

Известные аналитические решения этого вида задач ограничиваются небольшим набором правильных фигур: квадрат, прямоугольники, равносторонний треугольник. Иногда встречаются решения для ромбов, параллелограммов, равнобедренных треугольников, которые получены, как правило, приближенными численными методами с различной степенью точности.

Одним из основных направлений совершенствования приближенных методов расчета является развитие методов, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможностью получения двусторонних оценок. К такому направлению относится и разработка геометрических методов расчета, при использовании которых зачастую отпадает необходимость в составлении дифференциальных уравнений. Одним из перспективных геометрических методов является изопериметрический метод, заключающийся в получении одно- и двусторонних оценок физических величин с использованием изопериметрических свойств геометрических фигур, получаемых с помощью геометрических преобразований, как правило, операции симметризации Штейнера. Однако эти оценки не всегда удовлетворительны, так как обычно используются лишь конечные положения фигур при геометрических преобразованиях. Поэтому представляется весьма актуальным проведение исследований в направлении расширения арсенала геометрических приемов преобразования фигур, поиска приближенных аналитических решений

для всего множества фигур, получаемых в процессе какого-либо геометрического преобразования, с использованием закономерностей изолериметрического метода.

Цель работы заключается в следующем.

1. Исследование закономерностей изменения интегральной характеристики формы (коэффициента формы) для произвольных четырехугольных и треугольных фигур при различных геометрических преобразованиях.

2. Исследование физико-механических и геометрических аналогий в различных задачах строительной механики, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядка.

■ 3. Разработка метода физико-геометрической аналогии и математического аппарата для получения приближенных аналитических зависимостей, связанных с процессом геометрических преобразований фягур в задачах поперечного изгиба и колебаний мембран и пластинок, продольного изгиба пластинок, кручения упругих призматических брусьев.

4. Получение приближенных аналитических решений в рассматриваемых задачах строительной механики методом физико-геометрической аналогии для геометрических фигур в виде произвольных четырехугольников и треугольников.

Метод исследований. Использован изопериметрический метод исследования задач и методы физико-механических и геометрических аналогий.

Достоверность научных положений и полученных результатов подтверждается их сравнением с известными результатами, найденными с помошью фундаментальных методов строительной механики.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Исследованы закономерности изменения интегральной характеристики формы (коэффициента формы) для произвольных четырехугольников и треугольников при различных геометрических преобразованиях, получены расчетные формулы для опреде-деления коэффициента формы, установлены его экстремальные свойства.

2. Установлена функциональная взаимосвязь некоторых физико-механических и геометрических параметров объектов исследования в виде произвольных четырехугольников и треугольников с коэффициентом формы.

3. Разработан метод для получения приближенных анали-ЛИТИЧеСКИХ зависимостей ППИ пошитая -------- -

ники," описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядка, основанный на физико-геометрической аналогии рассматриваемых задач.

4. Полученные решения для некоторых видов граничных условий и некоторых классов фигур (произвольные треугольники, параллелограммы и др.) представлены графически.

5. Подробно рассмотрено множество задач строительной механики, связанных с областью в виде треугольника и четырехугольника.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенный метод может широко использоваться при реальном проектировании элементов конструкций в вше пластинок, мембран, упругих призматических брусьев. Полученные в диссертации аналитические зависимости, графики и таблицы могут служить справочным материалом для конструктора.

На защиту выносится методика получения приближенных аналитических зависимостей в задачах строительной механики с однородными граничными условиями, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков и связанных с областью в виде произвольного ' четырехугольника и треугольника, на основе закономерностей изопериметрического метода и физшсо-геометрической аналогии.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 научных работ, получено одно авторское свидетельство на изобретение.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Хабаровского политехнического института (1990), Ставропольского политехнического института (1991), ХУ1 Международной конференции по теории оболочек и пластин (1993).

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 153 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 107 наименований. Работа иллюстрирована 44 рисунками и содержит 29 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование выбора темы диссертационной работы, ее актуальности, научной и практической

ценности. Излагается состояние вопроса о развитии геометри ческих методов решения задач строительной механики, приводится краткий обзор литературных источников по этой пробле

Среди геометрических методов широко известны: кинем, тический метод предельного равновесия (А. Гвоздев, А. Ржа] цын, А. Дубинский, .А. Дехтярь, А. Рассказов и др.)> метод компенсирующих нагрузок (Б. Коренев), метод расширения з. данной системы (Н. Безухов, О. Лужин), метод аффинного па бия (С. Клячко), метод изометрических преобразований (А. горелов). К весьма эффективным геометрическим методам oi сится и метод функции комплексного переменного (Н. Мусхе швили). Одним из перспективных методов является изоперкм рический, основоположниками которого следует считать Г. Г лиа и Г. Сеге.

Последние 10 - 15 лет изопериметрический метод пол чил серьезное развитие в работах ученых России и Украины применительно к задачам строительной механики, в частност к задачам, описываемым дифференциальными уравнениями эл тического типа второго и четвертого порядка. Среди исслес ваний в этом направлении следует отметить работы В. Kopoi Г. Коротеева, Г. Мануйлова, А. Дехтяря, И. Колесника, А. X точкина.

Анализ литературных источников по изопериметрическо; методу в строительной механике показал, что он применяв' в основном лишь для получения одно— и двусторонних оиено! физико-механических характеристик с использованием операц симметризации Штейнера, причем эти оценки не всегда быва удовлетворительными. На основании этого делается вывод о обходимости проведения дальнейших исследований в направле расширения арсенала геометрических приемов и способов npi разования геометрических фигур, получения аналитических з. симостей для определенных классов фигур, получаемых с по: шью одного какого-либо геометрического преобразования, в торых в качестве аргумента используется интегральная харг теристика формы фигуры (коэффициент формы), введенная Г. лиа и Г. Сегё.

В первой главе рассматривается интегральная характер тика формы плоских фигур с выпуклым контуром (коэффицие! формы) применительно к четырехугольным и треугольным о£ стям.

В общем случае для выпуклой области коэффициент фор

подсчитывается по фоимулам

' 2Х п

¡£у-т.1л[/('<¿5 - тигр* ?'2/гт¿а^ (1)

и о

где Я - дл1ша перпендикуляра, опущенного из произвольной точки "а", взятой внутри области, к касательной *в переменной точке кривой контура; / - периметр заданного контура; -линейный элемент контура; 2? = - полярное уравнение

контура фигуры; - длина С — 1л стороны полигональной фигуры", - длина перпендикуляра, опушенного из точки "а" на I -

- ю сторону полигона.

Для широко распространенных треугольных и четырехугольных областей получены формулы для вычисления коэффициента формы, строго доказаны "малые" изопериметрические теоремы:

- из всех параллелограммов ( в том числе ромбов и прямоугольников) наименьшее значение Кф имеет квадрат;

- из всех параллелограммов равной высоты наименьшее значение Кф имеет прямоугольник, а наибольшее - ромб;

- все параллелограммы при заданном значении Кф заключены между ромбом и прямоугольником, а все множество параллелограммов ограничено сверху ромбами, снизу прямоугольниками;

- из всех параллелограммов с одинаковым углом Л ( = = СХОП^Ь ) наименьшее значение Кф имеет ромб;

- из всех произвольных треугольников с заданным углом ос

= СОПЗ-£) наименьшее значение Кф имеет равнобедренный треугольник, равные стороны которого образуют угол'=< ;

- из всех произвольных треугольников наименьшее значение Кф имеет равносторонний треугольник;

- из всех прямоугольных треугольников наименьшее значение Кф имеет равнобедренный прямоугольный треугольник;

- из всех выпуклых круговых секторов наименьшее значение Кф имеет сектор с углом к = 108,36°;

- из всех трапеций одинаковой высоты наименьшее значение Кф имеет равнобочная трапеция;

- из всех равнобочных трапеций с заданным углом наименьшее значение Кф имеет трапеция с отношением большей стороны к высоте £2у/Н = . гф» этом /пь/г Кф = и соответствует значению Кф для ромба;

- все множество значений Кф для трапеций произвольного вида ограничено сверху значениями Кф для равнобедренных треугольников, а снизу - прямоугольников.

Указанные теоремы дают представление об изменении кс эффициента формы четырехугольных и треугольных фигур, коте рый используется в качестве аргумента в изопериметрическо-v методе.

Во второй главе приводятся общие сведения о геометрическом и физическом подобии в различных физических явления в том числе и явлениях упругого деформирования балок, nnaci нок и мембран. При анализе геометрических параметров, испо зуемых в качестве аналогов при моделировании физических, яв лений, отмечается, что коэффициент формы области применяет! лишь для получения граничных значений физико-механических : личин при использовании изопериметрического метода в задаче математической физики и строительной механики пластинок; вс решения для промежуточного множества фигур определяются п] этом оценочно по граничным решениям. Проведенный анализ p¡ да известных явлений, описываемых дифференциальными уравне ниями эллиптического типа второго и четвертого порядков, coj местно с изопериметрическими свойствами и закономерностям) проявляющимися в плоских фигурах при их геометрических пре образованиях, показал, что коэффициент формы может быть ис пользован в качестве критерия подобия в этих физических явл ниях. При этом геометрическое подобие фигур рассматриваете: в более широком, чем принято, смысле этого понятия.

Исследование задачи кручения упругого призматического бруса для параллелограммных сечений с помощью вариационно го метода Ритца для приведенной геометрической жесткости с чений Ltc позволило получить решение, в котором в явном виде присутствует коэффициент формы параллелограмма:

~ М/З/Ку,

то есть величина геометрической жесткости параллелограммнь сечений функционатьно зависит от их коэффициента формы. Пос ле уточнения этого решения путем удовлетворения известным решениям для правильных фигур получено изопериметрическое неравенство вида

которое обращается в равенство для сечений в виде квадрата.

Проведен графический анализ известных решений о геометрической жесткости сечений в виде прямоугольников и равнобедренных треугольников в сравнении с величиной 1/Kj, (рис.

и 2). Кривые, приведенные на этих рисунках, подобны. "Исправленная" кривая 11,25/Кф для прямоугольников аппроксимирует известные решения с высокой степенью точности; лишь для очень вытянутых прямоугольников (а/в -< 10) отклонения достигают 10 %. Для равнобедренных треугольников функция 1,2/Кф практически совпадает с кривой известных решений; отклонения для значительно вытянутых треугольников не превышают 6 %. Таким образом, и графический анализ задач кручения показывает высокую функциональную связь геометрической жесткости сечения и коэффициента формы, то есть коэффициент формы является основным (определяющим) .аргументом, характеризующим изменения геометрической жесткости сечений.

Анализ задач упругого деформирования пластинок, мембран и брусьев позволил выделить из них две группы. Одна из них описывается дифференциальными уравнениями эллиптического типа четвертого порядка:

Л^хг-М- - О;

■ Дг^к - У*?2^^ Я; (2)

О)

другая - группу дифференциальных уравнений эллиптического типа второго порядка ( уравнения Пуассона):

1= +Л1?/= а, (з)

В этих уравнениях приведены общепринятые в строительной механике обозначения. Обе группы уравнений также связаны и между собой, так как уравнения (2) распадаются на два уравнения вида (3).. Например, первое уравнение из (2) распадается на два уравнения

Я^^+М- О) Г^+Ъ = О.

Обобщая результаты работ, представляющих известные решения в изопериметрическом вид^ их можно записать как произведение физических констант материала элемента и действующей нагрузки <3, степенной функции геометрического параметра Кф/А и функции некоторого малого параметра:

ф = кц)(КК9/А)±г) (4)

где Ф - исследуемая обобщенная физико-механическая или геометрическая характеристика; п. - показатель степени ( в

рассматриваемых задачах П = 1, 2, 0,5). Поскольку парам К(^) при геометрических преобразованиях непрерывного ви изменяется монотонно и подобно параметру Кф/А, то его мо: также представить в виде степенной функции К(> ) = У (Кср/ где I Тогда

где параметр ¡т незначительно отличается от аналогичного раметра в выражении (4).

Рис. 1 Рис. 2

Выражение (5) не может удовлетворительно описывать шения для всего множества форм элементов при фиксированно значении параметра /г . Однако для отдельного геометрическ преобразования, когда заданная фигура в результате этого щ: образования пробегает некоторое ограниченное множество фиг это выражение может дать хорошее приближение к действите. ным значениям Ф.

Выражение (5) отражает взаимосвязь физико-механиче' ких характеристик в рассматриваемых задачах строительной : ханики с обобщенным геометрическим параметром Кф/А. Э зависимость позволяет развить метод получения приближенны аналитических соотношений для фигур, получаемых с помощь* какого-либо одного геометрического преобразования. Этот N тод получил название метода физико-геометрической аналоги!

Сущность метода заключается в следующем. При анали: фигур, принадлежащих некоторому ограниченному множеству, 1 лученному ггутем какого-либо непрерывного преобразования, I деляют две (как минимум) фигуры, решения для которых в рг сматоиваемой задаче известны (опооные решения). Затем пoí

бирается значение параметра /7 , удовлетворяющего этим опорным решениям:

* = С^/Ф^/вп (Мръ

где индексы 1 и 2 относятся к физико-механическим и геометрическим характеристикам опорных фигур. А значения искомой физико-механической характеристики из полученного ограниченного множества фигур определяются из выражения

ф= ф (6) ^ А /

Опорные решения с помощью этого соотношения удовлетворяются автоматически: при Кф = (Кф)^ и А = А^ Ф = Ф^; при Кф = (Кф)2 и А = А2 Ф = Поскольку основным аргументом в функциональных зависимостях вида (5) является параметр Кф/А, то следует ожидать удовлетворительное приближение Ф для всего ограниченного множества фигур при выбранном геометрическом преобразовании. Причем чем ближе расположены опорные фигуры, тем точность решения будет выше.

Если для рассматриваемого множества фигур, соответствующих какому-либо геометрическому преобразованию, имеется более двух опорных решений, то выражение для определения параметра п может быть представлено в виде более сложной функции. При этом точность зависимости (5) существенно повышается .

В третьей главе методом физико-геометрической аналогии исследуются задачи, рассматриваемые в диссертации и связанные с треугольной областью произвольного вида и с областью в виде кругового сектора. Анализ этих задач выявил ряд характерных закономерностей для треугольных и секториальных областей.

1. Для треугольных областей установлено совпадение экстремальных свойств физико-механических и геометрических характеристик с экстремальными свойствами коэффициента формы. На основании этого справедливы следующие изопериметрические теоремы:

- из всех произвольных треугольников равной площади с заданным углом с^ = равнобедренные треугольники имеют наименьшие значения Л , (О , //0 , но наибольшие - ,

сторонний треугольник имеет наименьшие значения JZ,, (О ,

, но наибольшие - ^ , ¿к ; - из всех прямоугольных треугольников равной плошади равнобедренный треугольник имеет наименьшие значения , СО , Л/о , но наибольшие - у^Ъ • _

В приведенных теоремах Л , ¿О , , - собственные значения дифференциальных уравнений соответственно колебаний ■ мембран и пластинок, продольного и поперечного изгибов пластинок; if. - приведенная геометрическая жесткость сечения.

2. Аналитические зависимости, полученные методом физико-геометрической. аналогии для областей в виде равнобедренны; треугольников,. хорошо аппроксимируют действительные значения физико-механических параметров для областей в виде не очень вытянутых произвольных треугольников.

3. Для секториальных областей не установлено совпадение экстремальных свойств физико-механических'и геометрических характеристик с экстремальными свойствами коэффициента формы. Экстремальные свойства физико-механических и геометрических параметров соответствуют квадранту; экстремальные свойства Кф достигаются для сектора с углом сС = 108,36°.

4. Поскольку отклонения значений Кф, соответствующих секторам с & = 90° (К, = 8,1173) и Ы. = 108,36° (Кф = = 8,0063), незначительны! ^ = 1,38 %), то аналитические зависимости, полученные методом физико-геометрической аналогии с опорным решением для квадранта, дают удовлетворитель -ные оценки физико-механических и геометрических параметров . для всего множества выпуклых секторов в интервале ос = 30° 4 180°.

5. Графические зависимости Ф - oL для треугольных и секториальных областей имеют один экстремум. Поэтому целесообразно получать аналитические зависимости для каждой ветви

-кривой в отдельности.

6. Более точные зависимости для оценки физико-механи -ческихи геометрических параметров получаются тогда, когда

искомая область расположена вблизи опорных фигур, а интервал, заключенный между, этими фигурами, невелик. ■ •

Полученные в третьей главе аналитические зависимости представляют практический интерес и могут быть использованы в расчетной практике.

Для треугольных областей:

¿*= 1,0216/К

0,931

Ф

07406

X = 1,845Кф

Л = 2,047Кф°'361 0,812

0,618

0,722

СО = 3.404К,

Ф,

СО = 4,618Кф (Ь = 4,190Кф

0> = 11,432КА°'561 /£ = 3,406Кф ,

^ = 8,232Кф0'872,

____о _1

к,= 11,064x10 Кф

Н<= 15,756хЮ"2Кф-1'680,

шарнирное опирание;

60°е J3 < 150°;

15°^ fi ^ 60°;

90° «J * 160°

l'5°sJ ъ 90°;

прямоугольные треугольники;

жесткое защемление;

шарнирное опирание;

ЗОо В 100°, жесткое

J защемление;

И')

20°-£- 3 60°, шарнирное опирание;

60°i£ В + 120° шарннрное опирание;

К" 0,19/(ЗК

Ф

- 108), 45° J? ^ 100°.

жесткое защемление.

Здесь ^ - угол при вершине равнобедренного или прямоугольного треугольника.

Для секториальных областей:

0,743

LK= 0,028/Кф

= 6,124x10 /К

10°^ << 4 90е

~3 „. 1,371

Ф

90° i? U ^ 180°;

(8)

¿<= 1,805о< 1,259/(2 +<*)2'508, 180°-6 oi ^ 360

2,538Кф0,272, 10°^^ 110°;

Л= 1,472Кф°'544, НО0** ^ 180°;

¿> = 0.353К,2,266, 90°^ ^ ^ 180*

Ф шарнирное опирание;

17,477К.~0,74, 30о^е<: ^ 180°.

Ф шарнирное опирание.

Здесь ot - центральный угол кругового сектора.

В четвертой главе исследуются задачи строительной механики, связанные с четырехугольниками (ромбами, параллелограммами и трапециями). Подробно проводится графический анализ задач для параллелограммных областей (рис. 3), для которых

на основании установленных в работе изопериметрических свойств коэффициента формы найдены границы изменения параметров НДС: в качестве верхней (или нижней) границы всего множества решений служат прямоугольники (кривая 1), в качестве нижней (или верхней) - ромбы (кривая 2).

Рассмотрены три вида геометрических преобразований пг раллелограммов (рис. 4): а) при условии <с - const, что соотв< ствует аффинному растяжению параллелограмма; б) при условии а/в = con.it , что соответствует вращению двух противопожных сторон параллелограммов вокруг полюсов, находящихся на пере< чении его .сторон; в) при условии Н - =.corist -t чхо соответствуе аффинному сдвигу прямоугольника. Показано, что графически эт! преобразования представляются соответственно кривыми 3, 4 (рис. 5а) и 5 (рис. 56). Эти графики дают возможность получения двусторонних оценок Ф при Кф = cansí с удовлетворительной точностью без решения соответствующих дифференциальных урав нений:

Ф

п-ма

(Ф + Ф ) /2. р пр-ка

(9)

di - consi;

í

consi.

1

Рис. 3

Рис. 4

ФкВ

<р(1]ф) а)

<pW б)

Однако ценность проведенного графического исследования заключается в том, что на его основе можно получать аналитические зависимости при определении Ф для целого семейства параллелограммов (при <<■ = const ¡( При а/в = const ) при наличии всего одного известного решения для параллелограмма, ромба или прямоугольника. Такие решения могут быть представлены, например, при поперечном изгибе шарнирно опертых пластинок в следующем виде: для ромба —

tV* - (Y/,)kS (s>in«.)'-zz; (10)

для прямоугольника -

Z, i2[-40isen(f/x<?>.»-xa) + f]

Wo = (VojrS (S/Kcp.n-Ксх.) ; (11)

для параллелограмма -

w. = / (Я J К?" (12)

где (VVo— фикт!гвное значение параметра НДС, полученное путем продолжения кривых 3 и 4 до пересечения с вертикалью, проходящей через ось абсцисс в точке У = Кфкв/Кф-П_ма-

Следует подчеркнуть исключительную точность выражений (10) и (11), которые аппроксимируют известные решения для ромба ( = 90° f 45°) и прямоугольника с точностью, не превышающей погрешности округления третьей значащей цифры.

Приводится пример расчета параллелограммной пластинки с параметрами - 45° и а/И = 2 по формуле (12) при двух различных способах получения заданного параллелограмма из ромба и прямоугольника. Оба результата практически совпадают с известным результатом, приводимым в научной литературе.

Подробно исследованы задачи колебаний параллелограмм -ных пластинок. При этом получены аналитические зависимости вида:

/,/43

ы. = 60° К = 18,369(Кф/8) ;

= 45° К = 15,672 (Кф/8)''*33; (13)

<L = 30° К = 10,721(Кф/8)',б°; а/в = 1,5 К = 20,125(Кф/8)"'7^; , .

а/в = 2,0 К = 20,298(1^/8) ' • Аналогичные зависимости получены как для шарнирно опертых

Значения частотных- параметров колебаний основного тона для параллелограммных шарнирно опертых и жестко защемленных пластинок

а/в с<- [СО] (13) „ 0/ А, /о (14) о/ А ! /О

1 60 45 30 21,65 24,88 32,50 21,65 24,88 32,50 0 0 0 21,75 24,88 ' 32,15 0,38 0 1,00

.1,5 60 45 30 23,64 . 2.7,51. 36,38 23,73 . 27,68 .. 36,94,. 0,36 .0,63 1,50 23,87 27,81, 36.15. 0,13 1Д1 0,61

2 60 45 30 27,47 32,55 44,54 27,94 33,50 46,45 1,70 2,89 4,30 27,69 32,75 44,17 0,79 . 0,59 0,82

Жесткое защемление

1 60 75 39,08 36,89 40,03 36,93 0,13 0,09 39,98 36,80 0 0

2 60 75 55,88 50,69 55,38 50,60 0,89 0,20 55,05 60,25 1,50 0,87

4 60 75 104,9 94,33 106,5 94,68 1,50 0,37 107,9 94,03 2,80 0,32

Рассмотрен . также путь получения линейных зависимостей для определения критического усилия при всестороннем равномерном сжатии параллелограммных пластинок. Показано, что полученные решения аппроксимируют известные также с хорошей степенью точности.

Расчет трапецеидальных; пластинок производился на основе двух опорных решений. При геометрическом преобразовании тра пеции, изображенном на рис. 6, изменение параметров НДС в рассмотренных задачах описывается графиками, приведенными н рис. 7, где нижняя (или верхняя) граница соответствует прямо угольникам, верхняя (или нгокняя) - равнобедренным треугольш кам и правильным фигурам (равносторонний треугольник и квад рат), средняя кривая (пунктирная линия) - ромбам и равнобоч-

1 ным трапециям, описанным вокруг окружности. Оба геометрических преобразования, указанных на рис. 6, описываются кривым! 4 и 5. Из этого графика следует, что в качестве опорных реше

ний могут использоваться решения для ромбов и равнобедрен ных треугольников.

.'Ч

А

Фк&

Рис. 6

ФП/Ф)

-V V/ /

2 \ / / У ^ А /

// 1

Рис. 7

а1

а,

«г

Рис. 8

■ В работе приводится пример расчета основной частоты колебаний трапециедальной шарнирно опертой пластинки (рис. 8). При решении использовано геометрическое преобразование, при котором из большого прямоугольника (рис. 8,а) секущими прямыми, "врашающимися" равномерно вокруг точек "с" и "д", отсекается его чДсть. Угол У изменяется от О до 90°. Конечной фигурой этого преобразования является новый прямоугольник, а одной из промежуточных фигур - заданная трапеция. Построив аналитическую зависимость в виде степенной функции

, К<рл? А,

и определив значение параметра л. по решениям из двух прямо угольников, получим результат

= 70,21 /аг </и/т\ который отличается от известного решения всего на 2,57 %.

САНОВНЫЕ ВЫВОД!,! ,

На основании проведенных теоретических исследований и п< лученных результатов можно сделать следующие выводы. , 1.■ Установлены неизвестные ранее изопериметрическИе св

■ ства коэффициента формы геометрических фигур в виде треуголы ков' и четырехугольников, доказаны соответствующие изоперим рические теоремы. ........

2. Проведен анализ задач строительной механики, описыва • - емых дифференциальными 'уравнениями эллиптического типа втор|

го и четвертого порядков, с позиции изопериметрического метох С использованием энергетического метода и вариационных приш пов строительной механики получены решения задач упругого кр, чения призматических брусьев с сечением в виде параллелограм ма и треугольника. Математически строго доказана функциональ ная взаимосвязь между геометрической жесткостью кручения се | чений в виде произвольного треугольника и параллелограмма с

■ коэффициентом формы этих" фигур.

3. С использованием математической аналогии рассматри ваемого комплекса задач строительной механики, свойств гео-

| метрического подобия фигур, представляющих объекты исследо-

вания, и физико-механического подобия исследуемых физически: I явлений, разработаны теоретические основы метода физшсо-гео-

' метрической аналогии, в котором для определенного множества

| геометрических фигур/ связанных между собой каким-либо о дне

1 непрерывным геометрическим преобразованием,' параметры НДС

: функционально связаны с геометрическими характеристиками об

ластей в виде степенной зависимости от аргумента, представля юшего собой отношение коэффициента формы к площади. 1 . 4. Предложен способ определения неизвестных параметров

» степенной функции, описывающей изменение исследуемой харак -

теристики НДС для областей в виде определенного множества геометрических фигур, связанных между собой каким-либо непре -I рывным геометрическим преобразованием, с использованием из-

| вестных хотя бы двух "опорных" решений.

5. Существенно расширен класс непрерывных геометрических преобразований, которые, помимо уже известных и применяемых в изопериметрическом методе (симметризация Штейнера, аффинные преобразования), могут использоваться при решении рассматриваемых задач строительной механики методом физико-геометрической аналогии.

6. С помошью метода физико-геометрической аналогии получены аналитические зависимости для описания различных ви- ■ дов деформаций, связанных с областями в виде равнобедренных и

прямоугольных треугольников, произвольных треугольншсов, круговых секторов, ромбов,параллелограммов, трапеций. Приведено сопоставление найденных решений с результатами, полученными с помощью построения двусторонних изопериметрических неравенств.

7. При геометрических преобразованиях областей, когда

А = CG/ist , показана возможность аппроксимации решений ис — следуемых задач строительной механики с помощью линейной функции Ф = f (К^ У , где П. = t (0,5; 1; 2) в соответствии с неравенствами изопериметрического метода, получаемыми классическим путем..

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Колесник И.А., Коробко A.B. Определение геометрической жесткости упругих призм с сечением в виде произвольного треугольника / Днепропетровский металлург, ин-т, Днепропетровск, 1989. - 15 с. Деп. в УкрНИИТИ 15.02.89, №598-Ук89.

2. Колесник И.А., Коробко A.B. К. вопросу о геометрической жесткости кручения секториальных призматических брусьев // Математическое и электронное моделирование в машиност -роении. - Киев: Ин-т кибернетики АН УССР 1989. - С. 7784.

3. Колесник И.А., Коробко A.B. О границах изменения физико-механических характеристик в задачах теории упругости, связанных с параллелограммом // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. - Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1990. - С. 27-33.

4. Колесник И.А., Коробко A.B. Кручение упругих призматических брусьев с сечением в виде параллелограмма // Проб -лемы машиностроения. - 1991. _ ,V?36. - С. 34-39.

5. Колесник И. А., Коробко А. В. Оценка основных параметров в задачах строительной механики и теории упругости, связанных с треугольной областью // .Алгоритмизация решения за-

дач прочности и оптимального проектирования конструкций. Киев: Ин-т кибернетики АН Украины. - 1991. - С. 39-46.

6. Колесник H.A., Коробко A.B. Определение физико-мех; нических характеристик параллелограммных пластинок, мембра! сечений // Сопротивление материалов и теория сооружений. -1 ев, 1992. - № 60. - С. 39-44. .

7. Колесник H.A., Коробко A.B. Определение основной чз тоты колебаний, параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии // Сопротивление материалов и Teopi сооружений. - Киев, 1993. - №.61. - С. 4.1-45.

8. Колесник. И.А., Коробко, A.B. Определение характерны: параметров напряженно-деформированного состояния параллело раммных пластинок (мембран, сечений) с помошью аффинных преобразований // Аэромеханика и теория упругости. - Днепр< петровск, 1992. - Вып. 43.-С. 65-69.

9. Коробко A.B. Способ определения физико-механически. характеристик плоских элементов конструкций // Авт. свидете ство ,\з 1716373 СССР. М. Кл.4 G- 01Y 3/00. Опубл. в БИ 1992. \з8.

10. Коробко A.B., Хусточкин А.Н. Расчет параллелограм мных пластинок изопериметрическим методом // Изв. вузов Авиационная техника. - 1992. — №1. - С. 105-114.

Подписано в печать {3,03.9д> i. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. С.

Ротапринт Ставропольского политехнического института. 355038, Ставрополь, пр-т Кулакова, 2