автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости и строительной механики

РГБ ОД

1 0 ж Ш

На правах рукописи

КОРОБКО АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ

УДК 624.074.04

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМЫ ОБЛАСТИ В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Специальность: 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: засл. деятель науки и техники РФ, чл,-

корр. РААСН, доктор технических наук, профессор Леонтьев Н. Н.

Защита состоится 14 апреля 2000 года в 10-00 на заседании диссертационного совета Д 063.79.01 в Воронежской государственной архитектурно-строительной академии по адресу: 394006, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, д. 84, корп. 3, ауд. № 20.

Автореферат разослан -у марта 2000 года. Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять секретарю диссертационного совета Д 063.79.01 по адресу: 394006, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, д. 84.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежской государственной архитектурно-строительной академии.

доктор технических наук, профессор Юрьев А.Г.

доктор технических наук, профессор Русов Б.П.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Ростовский-на-Дону государственный строительный университет

Ученый секретарь диссертационного совета

В.В. Власов

6'{. о о.з

/3^5"/. /£>, 03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди множества конструктивных элементов в строительстве и машиностроении широко распространены пластинки и мембраны, имеющие разнообразные формы и виды граничных условий. К числу таких конструкций в строительстве относятся, в частности: покрытия мембранного типа большепролетных зданий и сооружений, монолитные перекрытия градирен ТЭЦ, угловых и поворотных секций зданий гражданского и промышленного назначения, металлические конструкции площадок обслуживания технологического оборудования на предприятиях тяжелой промышленности, плиты фундаментов сложной формы и др. Современная теория расчета пластинок и мембран считается достаточно разработанной. Однако во многих практически важных случаях применяются приближенные методы расчета, в большинстве своем численные, поскольку точные решения известны лишь для ограниченного набора форм областей.

В настоящее время в строительной механике одним из основных направлений является разработка и совершенствование приближенных методов расчета, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможностью получения двусторонних оценок. Перспективным в этом плане является изопери-метрический метод, относящийся к эффективным геометрическим методам исследования. В настоящее время этот метод находит все более широкое распространение в теории упругости и строительной мехайике. Получаемые с его помощью двусторонние оценки интегральных характеристик в виде изопериметри-ческих неравенств нередко являются достаточно эффективными. Однако во многих случаях эти оценки не бывают удовлетворительными. До настоящего времени не исследованы вопросы поведения и характера изменения интегральных характеристик в процессе геометрических преобразований, а рассматриваются лишь их граничные значения, соответствующие граничным фигурам. Не получено строгого математического доказательства наличия функциональной связи между интегральными характеристиками и коэффициентом формы. Набор используемых геометрических операций для преобразования фигур включает в себя лишь штей-нерову симметризацию. Не рассмотрены в обобщенном виде свойства и закономерности коэффициента формы плоской выпуклой области.

В связи с отмеченными недостатками этого метода представляется весьма актуальным проведение дальнейших исследований по разработке теоретических основ нового инженерного метода решения двумерных задач строительной механики и математического аппарата для его практической реализации с использованием уже установленных закономерностей изопериметрического метода, а также свойств и закономерностей коэффициента формы обдасти. Необходимо получить строгое математическое доказательство наличия функциональной связи между интегральными характеристиками в рассматриваемых задачах и коэффициентом формы, доказать целый ряд изопериметрических теорем строительной механики, имеющих отношение к отдельным подмножествам областей, а также значительно расширить арсентл используемых геометрических приемов и способов моделирования формы области.

Объект исследования. В качестве объекта исследования в работе приняты

пластинки, мембраны и сечения стержней, воспринимающих деформации кручения. Выбор этих элементов обусловлен общностью подходов к анализу их напряженно-деформированного состояния (НДС), а их математические модели относятся к классу двумерных задач теории упругости и строительной механики. Среди этих задач в работе рассматриваются такие, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков: поперечный изгиб мембран и пластинок; свободные колебания мембран и пластинок; устойчивости пластинок; кручения упругих призматических стержней.

Цель работы заключается в разработке теоретических основ, математического аппарата и методологических принципов реализации нового эффективного инженерного метода решения двумерных задач строительной механики - метода интерполяции по коэффициенту формы области (МИКФ).

В основу исследований положена гипотеза о том, что интегральная геометрическая характеристика формы области (коэффициент формы К{) является геометрическим аналогом интегральных характеристик в рассматриваемых задачах строительной механики, связанных с плоской областью с выпуклым контуром, а изменение этого коэффициента при различных геометрических преобразованиях моделирует изменение соответствующих интегральных характеристик.

Основные задачи исследования заключаются в следующем.

1. Исследование физико-механических и геометрических аналогий в рассматриваемых задачах строительной механики, описываемых дифференциальными уравнениями 8 частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков. Доказательство функциональной связи между интегральными характеристиками исследуемых объектов и их коэффициентом формы.

2. Исследование и обобщение основных свойств и закономерностей изменения коэффициента формы области при геометрических преобразованиях различных фигур, выявление изопериметрических свойств К? и доказательство основных изопериметрических теорем относительно этой характеристики для различных классов (подмножеств) геометрических фигур. Разработка алгоритма и программы для вычисления Кг с помощью ЭВМ.

3. Разработка теоретических основ и математического аппарата МИКФ для построения аппроксимирующих функций - приближенных аналитических решений, используемых при определении интегральных характеристик, связанных с процессом геометрических преобразований плоских областей.

4. Исследование погрешности решений, получаемых с помощью МИКФ и разработка способов ее оценки.

5. Разработка методологических приемов и способов геометрического моделирования формой области в рассматриваемых задачах для различных подмножеств геометрических областей и граничных условий. Доказательство изопериметрических теорем строительной механики относительно рассматриваемых интегральных характеристик для этих подмножеств областей.

6. Распространение МИКФ на области с невыпуклым контуром и области с комбинированными граничными условиями.

7. Разработка приемов и способов использования МИКФ для нахождения высших частот и форм колебаний пластин и мембран, а также построения полей

деформаций, внутренних усилий и напряжений.

Методы исследования. При проведении исследований использовались фундаментальные методы строительной механики, среди которых методы физико-механической и геометрической аналогий, изопериметрический метод, вариационные методы.

Достоверность научных положений и полученных результатов подтверждается строгостью математических доказательств, а также их сравнением с известными результатами, найденными с помощью фундаментальных методов теории упругости и строительной механики.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Установлена фундаментальная закономерность в строительной механике о функциональной взаимосвязи интегральных характеристик в рассматриваемых задачах и коэффициентом формы области. Доказано, что коэффициент формы является геометрическим аналогом соответствующих интегральных характеристик, то есть изменение Кг области при геометрических преобразованиях моделирует изменение соответствующих интегральных характеристик и дает не только качественную, но и количественную картину их изменения. Установлена закономерность о двусторонней ограниченности всего множества решений в рассматриваемых задачах и указаны эти границы.

2. Предложен приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков для двумерных задач строительной механики и математической физики.

3. Подробно исследованы и обобщены закономерности изменения коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях; доказаны теоремы относительно его изопериметрических свойств и закономерностей для отдельных классов геометрических фигур; разработан алгоритм и программа вычисления коэффициента формы с помощью ЭВМ для любой области с выпуклым контуром.

4. Разработаны теоретические основы и математический аппарат МИКФ для построения приближенных аналитических зависимостей при решении двумерных задач строительной механики, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков.

5. Подробно исследованы решения, полученные с помощью МИКФ, для многих задач, связанных с областями определенных классов (треугольные, па-раллелограммные, трапециевидные области, области в виде частей круга (секторы, сегменты, луночки и т. п.), области в виде правильных фигур); предложены разнообразные геометрические приемы преобразований фигур с целью образования определенных подмножеств областей.

6. Показаны возможные пути дальнейшего развития МИКФ для решения задач, связанных с комбинированными граничными условиями и областями с невыпуклым контуром.

7. Разработаны приемы и способы использования МИКФ для определения высших частот и форм колебаний пластинок и мембран, а также для построения полей внутренних усилий и напряжений в задачах поперечного изгиба пластинок и кручения призматических стержней.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанный инже-

нерный метод решения задач строительной механики может быть широко использован при реальном проектировании элементов строительных конструкций в вцде пластинок, мембран и призматических стержней, а также при решении многих прикладных задач динамики и прочности машин. Полученные в работе аналитические зависимости, графики и таблицы могут быть непосредственно использованы в виде справочного материала.

Внедрение. Разработанный в диссертации новый инженерный метод решения двумерных задач строительной механики, а также полученные формулы, табличные.и графические материалы используется при расчете строительных конструкций в ряде проектных организаций: Хабаровском унитарном предприятии ХДП «ЦНИИпросктлегконструкция», Орловском АОЗТ «ГИПРОприбор», Орловском «ГИПРОНИИсельпроме».

Результаты диссертационной работы внедрены также в учебный процесс в вузах РФ и стран СНГ при чтении курсов лекции по: теории упругости и пластичности, спецкурсу по строительной механике, динамике и прочности летательных аппаратов. Среди них: ОрелГТУ, НГАСУ, Комсомольский-на-Амуре ГТУ, Сев.-КавкГТУ, ОрелГАУ, Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, Национальная металлургическая академия (г. Днепропетровск). По материалам диссертации опубликованы учебник для строительных вузов (1998), и две монографии (1995, 1999). Ассоциация строительных вузов стран СНГ рекомендовала последнюю из монографий для использования в качестве учебного пособия для студентов строительных вузов.

Часть научных исследований по теме диссертационной работы проводилась по межвузовской программе «Архитектура и строительство» в 1994-1995 гг, а также по гранту РФФИ.

На защиту выносятся: способ геометрического моделирования формы области (метод интерполяции по коэффициенту формы) для анализа НДС в типичных двумерных задачах теории упругости и строительной механики, связанных с плоской областью, математическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков.

В числе отдельных вопросов, имеющих самостоятельное теоретическое и практическое значение, на защиту так же выносятся:

- доказательство существования фундаментальной закономерности о функциональной взаимосвязи и геометрической аналогии между интегральными характеристиками в рассматриваемых задач с коэффициентом формы;

- приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков с использованием разрешающей функции, линии уровня которой подобны контуру области и подобно расположены;

- результаты исследований изопериметрических свойств и закономерностей коэффициента формы выпуклой плоской области для геометрических фигур различного вида; алгоритм и программа вычисления К( для произвольных фигур с выпуклым контуром с помощью ЭВМ;

- графическая интерпретация функциональной взаимосвязи интегральных характеристик с коэффициентом формы;

- результаты решения многочисленных задач с помощью МИКФ, связанных

с различными областями.

При проведении исследований принят ряд ограничений, сужающих круг рассматриваемых задач: исследуются только односвязные области с выпуклым контуром и однородными граничными условиями (за исключением 10-й и 11-й глав); задачи продольного изгиба пластииок ограничены случаем всестороннего равномерного сжатия по контуру; в работе не рассматриваются физически и геометрически нелинейные задачи.

Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в диссертации, докладывались в 1990... 1999 гг. на научно-технических конференциях различных вузов страны, а также на XV-й Международной конференции по теории пластин и оболочек (Нижний Новгород, 1992), на III-й Международной научной конференции "Материалы для строительных конструкций" (Макеевка, Украина, 1994), на И-й Международной конференции "Циклические процессы в природе и обществе" (Ставрополь, 1994), на Н-й научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии" (Курск, 1995), на XI-й Всероссийской конферен-циии "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Пущино Московской области, 1996), межвузовской областной конференции молодых ученых "Проблемы современной науки" (Орел, 1996), на Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых твердых тел. Методы конечных и граничных элементов» (Санкт-Петербург, 1998); на научных семинарах, проводимых под руководством профессоров: Толоконникова J1. А. (Тула, ТГУ, 1997), Гордона В. А. (Орел, ОрелГТУ, 1998, 1999), Леонтьева Н. II. (Москва, МГСУ, 1998), Василькова Г. В. (Ростов-на-Дону, 1999), Сафронова B.C. (Воронеж, ВГАСА, 2000). Работа также обсуждалась в отделе механики деформируемого твердого тела ИМАШ РАН, которым руководит член-корр. РАН Махутов H.A. (1998).

Публикации. По теме диссертации опубликованы две монография, 35 научных статей, учебник для вузов, научно- учебно-методическое пособие, получено авторское свидетельство на изобретение.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 316 страницах машинописного текста и состоит из введения, двенадцати глав, основных выводов, заключения, списка литературы, включающего 134 наименования, и двух приложений. Работа иллюстрирована 114 рисунками и содержит 41 таблицу.

Во введении приводится общая характеристика диссертационной работы, обоснование актуальности, научной и практической ценности, методологии исследований, формулируются положения, выносимые на защиту, рассматривается структура работы.

В первой главе приводится краткий обзор развития геометрических методов решения двумерных задач строительной механики, анализ роли и места изо-перимстрического метода среди них, указываются пути его развития, приводятся обоснования выбора темы диссертационной работы, отмечены ограничения, накладываемые на рассматриваемый в ней круг вопросов в исследуемых проблемах строительной механики. .

Среди приближенных методов решения задач строительной механики особое место занимают геометрические методы. Возможность получения решения или удовлетворительных оценок интегральных характеристик путем сравнитель-

но простых геометрических преобразований рассматриваемого объекта и элементарных расчетов делает геометрические методы во многих случаях предпочтительнее прямых физических методов.

В основе широко известных приближенных численных методов решения задач теории упругости и строительной механики (МКР и МКЭ) лежат геометрические идеи, связанные с дискретизацией сплошного континуума на совокупность определенным образом организованных элементов, представляющих собой структурную схему исследуемого объекта. К весьма серьезным геометрическим методам строительной механики следует относить методы функции комплексного переменного, позволяющие с помощью конформного отображения исследуемой области на внутренность более простой фигуры (чаще всего круга) получать аналитические решения большого числа важных прикладных задач.

В теории упругих пластинок известен метод компенсирующих нагрузок (Коренев Б. Г.), в котором применяется геометрический прием замены заданной области распределения нагрузки некоторыми другими областями, решения для которых известны, либо отыскиваются более просто. Аналогом метода компенсирующих нагрузок является метод расширения заданной системы (Безухов Н. И., Лужин О. В., Л. Роотс).

В теории предельного равновесия пластинок и оболочек к геометрическим методам относится и кинематический метод (Варвак П. М., Гвоздев А. А., Дех-тярь А. С., Дубинский А. М., Рассказов А.О., Ржаницын А. Р. и др.). Этот метод заключается в выборе кинематически допустимой схемы (механизма) разрушения пластинок и оболочек и определении разрушающей (предельной) нагрузки путем оптимизации этой схемы по некоторому геометрическому параметру.

Известны геометрические методы и приемы в нелинейной теории упругих оболочек (Погорелов A.B.), основанные на изометрических преобразованиях, в которых решения вариационной задачи для функционала полной потенциальной энергии ограничены рассмотрением форм, близких к изометрическим преобразованиям, совместимым с условием закрепления.

В качестве геометрических преобразований, помимо конформных, довольно широко используются аффинные преобразования подобия, например, в теории неоднородных анизотропных упругих, упругопластических и упруго-вязких пластин и оболочек (Клячко С. Д.).

Одним из эффективных геометрических методов решения задач строительной механики в настоящее время является изопериметрический метод. Основоположниками этого метода следует считать Г. Полна и Г. Сеге. Изопериметрический метод основан на использовании геометрического преобразования - операции симметризации Штейнера. Он позволяет получать двусторонние изопери-метрические неравенства, являющиеся граничными оценками рассматриваемых интегральных характеристик. Часто эти неравенства ограничивают узкий интервал возможных решений, что делает изопериметрический метод в этих случаях весьма эффективным. Изопериметрический метод в настоящее время интенсивно развивается в работах Дехтяря А. С., Колесника И. А., Коротеева Г. И., Мануйлова Г. А., Хусточкина А. Н.

Применение изопериметрического метода в большинстве работ сводилось к достижению классического результата построению одно- или двусторонних изо-периметрических неравенств в виде границ с известными решениями, относящи-

мися к ограниченному классу геометрических фигур (круг, квадрат, прямоугольники, эллипсы, равносторонний треугольник). Закономерности же изменения интегральных характеристик внутри интервала, ограниченного указанными оценками в виде неравенств, оставались не исследованными. Выбор геометрических приемов преобразования областей ограничивался в основном операцией симметризации Штейнера. Остался также не выясненным вопрос об изопериметрических свойствах коэффициента формы и интегральных характеристик, относящиеся к определенным классам геометрических фигур. Поэтому исследование возможности получения приближенных аналитических зависимостей для определения интегральных характеристик в задачах строительной механики для некоторых классов фигур, объединенных каким-либо одним непрерывным геометрическим преобразованием, на основе закономерностей изопериметрического метода несомненно расширит границы его применения, сделает более универсальным. Исследования в этом направлении носят актуальный характер.

Во второй главе приводится строгое математическое доказательство наличия функциональной взаимосвязи между интегральными характеристиками и коэффициентом формы. В работе рассматриваются две группы задач, описываемые дифференциальными уравнениями эллиптического типа четвертого и второго порядков:

Ъд2д2\у -4=0, + М / О = 0 , Д2М + 4 = 0,

• ОД2Д2уу-Ю2ПШ = 0 , М2\у + я/р = 0 , Д2\У + А.2\У = 0 , ОД2А2\у - 1^0Д2\у =0; Л2\у +2 =0.

(1)

В этих уравнениях использованы общепринятые в теории упругости и строительной механике обозначения.

Математическая аналогия приведенных дифференциальных уравнений очевидна. Она приводит к физическим аналогам, которые взаимно связывают различные интегральные характеристики в рассматриваемых задачах. Причем физические аналоги имеют место и в задачах, описываемых уравнениями обеих групп. Эти задачи рассматривались многими учеными в их взаимосвязи и были найдены интересные зависимости, что свидетельствует о фундаментальности законов геометрического, физического и физико-механического подобий. Однако геометрическая суть исследуемой проблемы до настоящего времени не раскрыта полностью. Ее удалось раскрыть с использованием коэффициента формы плоской области.

Если представить функцию прогибов (напряжений) в виде произведения максимального значения на единичную функцию 1~(х,у)

и(х,у) = щЦх,у),

и подставить ее в дифференциальные уравнения (1), то они преобразуются к следующему виду:

ВД2Д2С~ю^ = о,

(\¥0)ПЛ^+М/Б = 0 ; + 2 =0 .

М^Х+ч = 0 , = 0 ,

В этих выражениях приняты следующие обозначения: (\у0)п - максимальный прогиб пластинки, (\*о)м - максимальный прогиб мембраны, (\¥0)„ - максимальное значения функции напряжений в задаче о кручении. После интегрирования этих выражений по всей области и проведения необходимых преобразований получим:

М„ =

О ||д2Д^с1А 5

ю = В-

-ча/ПА^А,

У?

А /А

//ША ' 0 Дд^А

А А

(w0)к = -2А/|[А2Г(1А.

(2)

(3)

Функцию прогибов w(x,y) (или напряжений) можно приближенно представить в виде однопараметрической функции

«(х.у) = ш0^х,у) = wcg[t/r(ф] = Wog(p),

(4)

где г = г(ф) - полярное уравнение контура области, % ф - полярные координаты. Эта функция описывает некоторую поверхность, линии уровня которой подобны контуру области и подобно расположены. К такому ввду, например, приводится известное точное решение в задаче поперечного изгиба эллиптической жестко защемленной пластинки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой.

Подстановка функции (4) в выражения (2) и (3) после проведения достаточно сложных математических преобразований позволила в явном виде выделить из рассматриваемых интегро-дифференциальных зависимостей интеграл

К,

2я/ ,2Л 2я : 1(1+^=1

/

1 + 2£Т-Т1£1сР'

г

(5)

О 4 1 ' 0 4

который известен в математической физике как интегральная характеристика формы области. Используя его, выражения (2) и (3) приводятся к следующим приближенным зависимостям:

("0>п- (К")п§Кг2+ВКг-

со2 « К пк<" + ВК(

N..

КмЭ

к,+ в

М0 = Кмч

К,

X,2 = к.

к,

(«о)к = 2КП

к.

где

(Кж)п= 1/Ф81; В = Фк2/Фв1;

Ки = ^Ф8,Дрс1р; Фе]/|(8"р + 8')<1р;

1 V

(б)

(7)

(К№)м= I/ |(8"р + Е')с)р; К, = - {(ё"р + ё')с1р /

Ф81 = 1 |(§1Ур - 12ё"' - 218"р-' - Зё'р-2

1

Фв2 = у |(2§,ур +14§"' +22ё"р-' + 3§'р~2)с1р.

2 о

Таким образом, математически строго доказано, что интегральные характеристики в рассматриваемых задачах теории упругости функционально зависят от коэффициента формы. Это обстоятельство дает возможность моделировать изменение этих характеристик путем варьирования формой области. Другими словами, коэффициент формы области является геометрическим аналогом интегральных характеристик.

Приближенные равенства (6) и (7) справедливы для всего множества форм областей с выпуклым контуром и однородными граничными условиями. Их можно обратить в равенства, если соответствующий коэффициент пропорциональности отыскивать для некоторого ограниченного подмножества форм областей, объединенных каким-либо одним геометрическим преобразованием. Тогда

Р = Кд(Кг/А)т;

'р = кд[(кг/А)т+в(кг/А)т-!], (8)

где К - коэффициент пропорциональности (различный для каждого ограниченного подмножества фигур), зависящий от граничных условий; т - показатель степени, который незначительно отличается от соответствующего показателя в выражениях (6) и (7).

По своей геометрической сущности равенства (8) являются изопериметри-ческими, поскольку выражают функциональную связь интегральных характеристик с геометрическими параметрами - площадью области и коэффициентом формы, обладающими изопериметрическими свойствами.

Представление искомых решений в виде изопериметрических равенств (8) имеет весьма важное прикладное значение. Они являются теоретической основой для развития принципиально нового инженерного метода решения таких задач -метода интерполяции по коэффициенту формы, который позволяет применять принципы геометрического моделирования при решении сложных двумерных задач строительной механики.

Предложенный в этой главе приближенный способ решения дифференциальных уравнений эллиптического типа является также новым и может быть применен к решению уравнений параболического и гиперболического типов, которые весьма широко распространены в задачах математической физики.

В третьей главе исследуются изопериметрические свойства коэффициента формы плоских областей с выпуклым контуром, закономерности его изменения при различных геометрических преобразованиях, выводятся формулы для подсчета значений коэффициента формы для различных геометрических фигур, доказываются соответствующие изопериметрические теоремы.

Для сопоставления геометрических фигур в математической физике используется интегральная характеристика формы области, которая определяется контурным интегралом

ь

где принятые обозначения понятны из рисунка 1. Для областей с полигональным контуром (рисунок 2) из выражения (9) находим:

п ч ^ п ^

1=1 ' 1=1 ¡=1 где п - количество сторон п-уголышка. Для областей с криволинейным контуром коэффициент формы будет определяться из выражений (5). Если контур заданной области составлен из криволинейных и прямолинейных участков, то Кг определяется с помощью комбинации выражений (5) и (10).

Применение выражений (5), (9) и (10) к анализу конкретных подмножеств геометрических фигур позволило получить расчетные формулы для определения Кг этих фигур, среди которых: правильные и произвольные многоугольники, про-

Рис. 1

А V/ 3

^ п 2

Рис

90 а°

извольные и равнобедренные треугольники, прямоугольники, параллелограммы, ромбы, трапеции, эллипсы и овалы, фигуры, являющиеся частью круга (секторы, сегменты, симметричные и несимметричные круговые луночки и т. п.) и многие др.

Для оценки коэффициента формы фигур сложного вида, для которых не найдено простых формул, получены двусторонние неравенства:

Эти неравенства позволяют представить графически изменение значений Kf для всего множества выпуклых областей (рисунок 3). На приведенном рисунке кривая I описывает все фигуры в виде многоугольников (включая и правильные), все стороны которых касаются вписанной окружности, а точки 0, 8, 6, 5, 4, 3 на ней соответствуют значениям коэффициента формы соответственно для круга Kf0, правильных: восьмиугольника Kr, шестиугольника Kf6, пятиугольника Kß, квадрата К<-4, равностороннего треугольника К0; кривая И соответствует значениям коэффициента формы для произвольных треугольников (включая и равнобедренные); кривая III - для эллипсов; кривая IV -для прямоугольников. Кривые I и

II образуют верхнюю границу изменения Kf для всего множества фигур, кривая

III - нижнюю. Кривая IV является нижней границей изменения Kf для всех четырехугольников и треугольников.

Таким образом, величины Kf и R/p являются "сравнимыми", то есть их отношение имеет две конечные положительные границы, которые ограничивают довольно узкую область пространства, включающего в себя все множество коэффициентов форм фигур с выпуклым контуром.

В целях автоматизации вычислений при проведении практических расчетов с помощью МИКФ составлены алгоритм и программа для подсчета значений Kf любых областей с выпуклым контуром с помощью ЭВМ.

В результате проведенных исследований установлены характерные свойства и закономерности коэффициента формы для отдельных подмножеств геометрических фигур и доказан целый ряд изопериметрических теорем, которые использованы в дальнейшем при практической реализации МИКФ.

Основные свойства и закономерности коэффициента формы

1. Kf величина безразмерная и не зависит от масштаба фигур.

2. Kf дает количественную оценку формы геометрических фигур с выпуклым контуром и может служить критерием для оценки их "правильности": чем меньше Kf, тем более "правильнее" фигура.

3. Любая фигура с выпуклым контуром имеет внутри области только единственную точку "а" (центр полярной системы координат), которая соответствует минимальному значению коэффициента формы для заданной фигуры.

4. Для фигур, имеющих центр симметрии, точка "а", обеспечивающая min Kf, совпадает с этим центром; для фигур, имеющих одну ось симметрии, точка "а" лежит на этой оси.

5. Наличие криволинейного участка контура у многоугольной фигуры приводит к уменьшению величины Kf по сравнению с соответствующей полигональной фигурой.

(П) (12)

Общие теоремы о выпуклых фигурах и многоугольниках.

Теорема I. Из всего множества выпуклых фигур наименьшее значение Kj имеет круг.

Теорема 2. Из всего множества многоугольников с заданным направлением сторон наименьшее значение Kf имеет тот, все стороны которого касаются вписанной окружности.

Теорема 3. Из всего множества п-угольников, все стороны которых касаются вписанной окружности, наименьшее значение Kf имеет правильный п-уголышк.

Теорема 4. (Обобщение теорем 2 и 3) Из всего множества п-угольников наименьшее значение Kf имеет правильный п-угольник.

Теорема 5. Из двух правильных п-угольников меньшее значение Kf имеет тот, у которого большее число сторон."

Теорема б. Коэффициенты форм всего множества фигур с выпуклым контуром, представленные в виде функции параметра R/p, ограничены сверху значениями К/ для многоугольников, все стороны которых касаются вписанной окружности (в том числе правильных п-угольников и равнобедренных треугольников), а снизу значениями Kfdna эллипсов.

Теоремы аналогичного вида также доказаны относительно отдельных видов фигур: треугольники, параллелограммы, трапеции и др.

В четвертой главе рассматриваются теоретические основы метода интерполяции по коэффициенту формы, методика построения аппроксимирующих функций; исследуются вопросы оценки погрешности получаемых решений.

Графическое представление задачи о кручении упругого призматического бруса с сечением в виде прямоугольников и параллелограммов (рисунок 4,а), треугольников (рисунок 4,6) наглядно иллюстрирует наличие функциональной связи iK - Kf и, кроме того, наличие закономерностей изменения ¡к, характерных для каждого вида геометрических фигур. Например, для треугольных сечений кривая 0-1 на графике соответствует решениям для равнобедренных тупоугольных треугольников; точка 1 - для равнобедренного прямоугольного треугольника; кривая 1-2-3 - для равнобедренных остроугольных треугольников; точка 2 - для

равностороннего треугольника; кривая 1-3 -для прямоугольных треугольников. Ниже указанных кривых построены другие кривые, соответствующие графику изменения функции 10/Kf для таких же треугольников. Достаточно одного взгляда, чтобы сделать вывод о подобии этих двух семейств кривых. Совмещение максимумов рассмотренных

графиков показывает, что оба эти семейства кривых практически совпадают.

Графический анализ известных решений о геометрической жесткости кручения показал, что все множество решений для сечений с выпуклым контуром ограничено с двух сторон (рисунок 5). Приведенный на этом рисунке график имеет три характерных линии: нижняя прямая линия соответствует эллиптическим сечениям, средняя кривая 0-4 - прямоугольным, часть верхней кривой 0-3 соответствует сечениям в виде равнобедренного треугольника, а часть верхней кривой 3-4-6-0 - сечениям в виде правильных многоугольников; вся же верхняя кривая 0-3-4-6-0 соответствует сечениям в виде многоугольников, все стороны которых касаются вписанной окружности. Учитывая доказанную функциональную связь 1к - Кг, а также установленные в главе 3 свойства и закономерности коэффициента формы, можно утверждать, что прямая линия является нижней границей, а кривая 0-3-4-6-0 - верхней границей изменения ¡к для всего множества сечений с выпуклым контуром; кривая 0-4 является нижней границей для сечений в виде произвольного треугольника и выпуклого четырехугольника.

Обобщая результаты приведенного графического анализа на другие интегральные характеристики, рассматриваемые в работе, можно построить обобщенный график изменения Р - Кг (рисунок 6). На этом рисунке кривая 0-3 соответствует треугольным областям, 3-4-5-6-2 - многоугольникам, все стороны которых касаются вписанной окружности, 0-4 - прямоугольникам, 0-2 - эллипсам. Эти характерные кривые в соответствии со свойствами и закономерностями Кг, установленными в главе 3, являются граничными и за их пределы значения Р не выходят. Причем для четырехугольных областей нижней границей изменения И (1Л7) будет являться кривая 0-4. Если для какого-либо вида деформации удается построить такие кривые с учетом известных в справочной литературе решений, то, используя только их, можно по известному коэффициенту формы заданной'области получать двусторонние оценки соответствующих интегральных характеристик. Для многих форм областей эти оценки являются вполне удовлетворительными и мо-1уг использоваться для получения оперативного решения.

Вертикальная прямая на рисунке 6 выделяет из всего множества решений для выпуклых областей ограниченное подмножество решений, отвечающих только этому коэффициенту формы. Из выделенного таким образом ограниченного подмножества решений необходимо найти то решение, которое соответствует определенной (заданной) области. Если рассмотрим некоторое конкретное геометрическое преобразование, например, прямоугольника в равносторонний треугольник, то изменение интегральной характеристики Р опишется монотонной кривой 3-7, которая пересечет вертикальную прямую в некоторой точке «а», которая и будет являться графическим образом искомого решения. Если эту кривую

к 1 |6 ^ 2

М ■

№

>.0 ЗГ/уг

о*

4«

од /

0,2 •_! ]

Х| , 1 ,

О ода ОМ 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 1/К,

Рис. 6

описать аналитической зависимостью, то она будет давать решения для всего рассматриваемого подмножества трапеций в зависимости от коэффициента формы. Такую аналитическую зависимость можно искать в виде степенных функций (8).

В первой формуле из соотношений (8) показатель степени п может принимать различные значения в зависимости от выбранного геометрического преобразования, а во второй - т принимает фиксированные значения, характерные для рассматриваемого вида деформации. Функции (8) можно построить при наличии хотя бы двух известных (опорных) решений. Способ получения аналитических зависимостей указанным выше путем соответствует методу интерполяции по коэффициенту формы двух решений на ограниченное подмножество областей, объединенных одним геометрическим преобразованием.

Сущность метода заключается в следующем. Пусть необходимо записать решение для некоторого множества фигур, полученных путем какого-либо непрерывного (или дискретного) геометрического преобразования. При анализе фигур этого множества следует выделить среди них хотя бы два опорных решения, с учетом которых находятся неизвестные параметры Кип. При этом искомое решение описывается степенной функцией, например, такого вида:

Р = Р1(Кг/КпхА,/А)п, (13)

где Р, и Р2- опорные решение, а

п= адм)

1п(Кп/КпХА,/А2)"

При Кг = Кп - Л = А! и Р = Р^ при Ке = Ка - А = Лг и Р = Р?, то есть опорные решения удовлетворяются автоматически. Поскольку параметр К(/А является главным (определяющим) аргументом в выражении (13), то получаются вполне удовлетворительные приближения Р к действительным значениям для всего подмножества фигур при выбранном геометрическом преобразовании.

Графически рассмотренная аппроксимация изображена на рисунке 7, где кривая I соответствует действительным значениям Р (или 1/Р), а кривая II - приближенным решениям, полученным по формуле (13).

Если для рассматриваемого множества фигур, соответствующих какому-либо геометрическому преобразованию, имеется более двух известных решений, то выражение для определения параметра п может быть представлено в виде некоторой функции. При этом точность аппроксимации решений может существенно повыситься.

Интерполяция решений может осуществляться несколькими способами. Наиболее приемлемой является степенная интерполяция, так как по своему виду и структуре аппроксимирующая функции (13) очень "похожа" на функциональные зависимости (8), описывающие в изопериметрическом виде рассматриваемые в работе проблемы строительной механики.

В случае линейной интерполяции аппроксимирующая функция представляется в- виде линейной зависимости от параметра (Кг)га:

Р=Р0+В(Кгу.

(14)

Рис.7

а)

б)

Рис.«

0.15 1/К*

20 40 60 90

Рис.9

Рис. 10

Здесь F0 - параметр, соответствующий значению Kf = 0, то есть отрезку, отсекаемому на оси ординат, а коэффициент пропорциональности В соответствует тангенсу угла наклона аппроксимирующей прямой с осью абсцисс (рисунок 8,6). Этот вид интерполяции решений не является естественным, но очень прост и дает вполне удовлетворительные результаты, когда опорные фигуры отстоят друг от друга недалеко или когда действительные значения F (или 1/F) находятся на участке кривой I с весьма большим радиусом кривизны (RKp —> со). Это, например, возможно в случае, когда оба опорных решения относятся к значительно вытянутым фигурам (R/p -> 0).

Комбинированный случай интерполяции включает в себя комбинацию первых двух:

F = F0 + (Kf)n, (15)

где п отличается от показателя ш в функции (14) и, как правило, не совпадает со значениями m = 0,5; 1; 2. Этот вид интерполяции имеет некоторые преимущества по сравнению с (14), поскольку позволяет более точно аппроксимировать решения, промежуточные между опорными фигурами.

В работе также было исследовано несколько видов аппроксимирующих функций при наличии трех и более опорных решений.

Оценка погрешности решений, полученных приближенными методами -одна из актуальных проблем в строительной механике. При использовании МИКФ очень часто удается получать двусторонние оценки за счет применения различных приемов построения аппроксимирующих функций.

Оценка погрешности при двух опорных решениях. При анализе односторонних изопериметрических неравенств было установлено, что радиусы кривизн действительной кривой I (RJ и аппроксимирующей II (Ra„) для любого Kf удовлетворяют условию Ran > Ra, либо Ran < Ra.

Если аппроксимирующая функция строится по двум известным решениям, то в зависимости от способа ее построения может получиться либо верхние, либо нижние оценки F (рисунок 8). Поскольку кривизна кривой действительных значений F больше кривизны аппроксимирующей кривой, построенной по степенному закону, то в представленной на рисунке системе координат кривая II будет давать верхнюю границу F в интервале {КП) Кй}. В то же время прямая Л,Л2 будет давать нижнюю границу F. Выбирая надлежащим образом два способа интерполяции решений в заданном интервале значений Kf можно получить удовлетворительные оценки искомой F. Из графика на рисунке 8 видно, что в окрестности опорных решений, погрешность оценок будет меньше, чем в средней части интервала.

Точность оценок погрешности решений рассмотренным способом зависит от кривизны действительной кривой F. Если ее кривизна на исследуемом интервале значений Kf стремится к нулю (R„ —> со), то результаты оценок будут хорошими. Если же на исследуемом интервале ^функция действительных значений F имеет большую кривизну или достигает экстремума, то рассмотренный прием дает менее удовлетворительные оценки.

При использовании двух опорных решений одну из оценок F можно регулировать. Это достигается с помощью зависимости (14), получаемой для трех

опорных решений, путем произвольного задания параметра Р0 (два других при этом определяются по двум известным решениям). Изменяя этот параметр, можно регулировать в нужном направлении изменение кривизны кривой на участке между двумя опорными решениями и, тем самым, значительно повышать точность двусторонних оценок.

При наличии трех и более известных решений для оценки погрешности можно использовать различные способы построения аппроксимирующих кривых, включая в них попеременно два, три и т. д. опорных решения.

В пятой главе приводятся решения, получаемые с помощью МИКФ, для задач строительной механику, связанных с треугольной областью. При исследовании этих задач на основании изопериметрических теорем относительно свойств коэффициента формы, характерных для треугольников, и с учетом функциональной связи Б - Кг сформулированы и доказаны следующие изопсриметрические теоремы.

Теорема 5.1. Из всех равновеликих треугольных областей с однородными граничными условиями равносторонний треугольник имеет наибольшие значения м>о и но наименьшие - Л (о,

Теорема 5.2. Из всех равновеликих треугольных областей с однородными граничными условиями и заданным углом /? равнобедренный треугольник имеет наибольшие значения м>0 и ¡к, но наименьшие - X, со, Л'0.

Теорема 5.3. Из всех равновеликих областей в виде прямоугольных треугольников с однородными граничными условиями равнобедренный прямоугольный треугольник имеет наибольшие значения и но наименьшие - Л, со, N0-

Теорема 5.4. Геометрическое преобразование равностороннего треугольника с однородными граничными условиями в равновеликие равнобедренные треугольники путем аффинного растяжения (сжатия) вдаль высоты или основания приводит к уменьшению (увеличению) значений и>0 и ¡к, но к увеличению (уменьшению) - Л, 0, Яо.

Теорема 5.5, Геометрическое преобразование равнобедренного треугольника с однородными граничными условиями путем аффинного сдвига вдоль основания приводит к уменьшению значений ч>о и г„ но к увеличению - X, со, Л'0; геометрическое преобразования произвольного треугольника с однородными граничными условиями путем симметризации Штейнера относительно оси, перпендикулярной к основанию, приводит к увеличению значений и'й и /„ но к уменьшению -X, сц N0,

Теорема 5.6. Для всего множества равновеликих плоских геометрических фигур с выпуклым контуром и однородными граничными условиями при К'[ => 10,392 значения и>0 и 1Ю соответствующие равнобедренным треугольникам, образуют нижнюю границу, а значения X, а, Ы0- верхнюю.

Эти теоремы графически представлены на рисунках 9 и 10. По оси абсцисс на рисунке 10 откладывается правый угол при основании треугольников, получаемых путем аффинного сдвига равнобедренных треугольников параллельно их основаниям. Характерные точки и линии этого графика аналогичны рассмотренным на рисунке 4,6 для Кг: точка 1 соответствует равнобедренному прямоугольному треугольнику, точка 2 - равностороннему треугольнику; кривая 0-1 соответ-

ствует равнобедренным тупоугольным треугольникам, кривая 1-2-3 - равнобедренным остроугольным треугольникам, кривая 1-3 - прямоугольным треугольникам. Таким образом, заштрихованная на рисунке область соответствует множеству Р (1/Р) для остроугольных треугольников, а не заштрихованные области -множеству Р (1/Р) для тупоугольных треугольников.

При аффинном сдвиге какого-либо равнобедренного треугольника (т. «а») параллельно его основанию изменение Б (1/Р) всего множества треугольников, соответствующих этому геометрическому преобразованию описывает кривая а-б-в-г-д-е. При этом т. "б" соответствует прямоугольному треугольнику, т. "в" -равнобедренному остроугольному треугольнику, т. "г" - прямоугольному треугольнику, т. "д" - равнобедренному тупоугольному треугольнику.

Анализ приведенного рисунка показывает, что теорему 5.1 на рисунке 10 иллюстрирует т. 2, теоремы 5.2 и 5.4 - кривая 0-1-2-3, теорему 5.3 кривая 1-3, теорему 5.5 - кривая а-б-в-г-д-е.

Приведенная графическая интерпретация изопериметрических теорем относительно законов изменения К (1/Р) для треугольных областей настолько проста и наглядна, что позволяет находить хорошие оценки Р для любых треугольников при различных их геометрических преобразованиях путем элементарного масштабирования (линейной интерполяции), если известны граничные кривые. Если же таковые не известны, то путем линейной интерполяции решения для равностороннего треугольника Рртр можно получать вполне удовлетворительные оценки Р.

При решении с помощью МИКФ конкретных задач строительной механики для треугольных областей получены следующие решения:

в задаче о геометрической жесткости сечения

¡к= 1,021 б/Кг0-931.

в задаче об основной частоте колебаний мембран

X = 4,774(К(/10,392)°''104 = 1,845КГ0'406.

в задаче об основной частоте колебаний шарнирно опертых пластинок: (пластинки в виде тупоугольных равнобедренных треугольников)

со = 3,404(К()0'312 -/5/т;

(пластинки в виде остроугольных равнобедренных треугольников) ю = 4,618(Кг)°'682/0/ш;

в задаче об основной частоте колебаний жестко защемленных пластинок

со == 11,432(КГ)0-561 ,/5/ш.

в задаче об устойчивости равномерно сжатых шарнирно опертых пластинок:

М0=3,4060(КГ)°'Ш.

0,04 0,08 0,12 0,16 Рис. 11

ОД 0,4 0,6 0.8 1 Рис, 12

0,25 0,50 0,75 1

0,25 0,50 0,75 1 Рис. 13

0,25 0,50 0,75

в задаче об устойчивости равномерно сжатых ;жестко защемленных пластинок:

N0 = 8,232D(Kf)0'872.

в задаче о поперечном изгибе шарнирно опертых пластинок:

vv0= 15,756xlO"J(Kf)1,68 х q/A2

в задаче о поперечном изгибе жестко защемленных пластинок: w0 = 0,19/(ЗК/ 108) х q/A2 .

Для каждой из этих формул указаны границы их возможного применения.

Результаты исследований треугольных пластинок позволяют сделать следующие выводы.

1. Для треугольных областей установлено совпадение экстремальных свойств интегральных физико-механических и геометрических характеристик с экстремальными свойствами коэффициента формы, что подтверждено соответствующими теоремами.

2. Аналитические зависимости, полученные методом интерполяции решений по коэффициенту формы для областей в виде равнобедренных треугольников, хорошо аппроксимируют действительные значения интегральных физико-механических и геометрических параметров s оЬласти значений К{< 16...20.

3. Графические зависимости F - а для треугольных областей имеют один экстремум, поэтому целесообразно получать аналитические зависимости для каждой ветви кривой в отдельности.

4. Более точные значения для оценки интегральных характеристик получаются тогда, когда искомая область расположена вблизи опорных решений, а диапазон фигур, заключенный между опорными, невелик.

В шестой главе приводятся решения, полученные с помощью МИКФ, для задач строительной механики, связанных с параллелограммной областью. На основании изопериметрических теорем относительно свойств коэффициента формы, характерных для геометрических фигур в виде параллелограмма и ромба, и с учетом функциональной связи F - Kf сформулированы и доказаны следующие нзопериметрические теоремы.

Теорема 6.1. Все множество решений задач строительной механики, представленных в координатах F - KfU связанных с областями в виде параллелограмма, при однородных граничных условиях ограничено снизу (или сверху) прямоугольниками, а сверху (или снизу) ромбами.

Теорема 6.2. Из всех равновеликих параллелограммов одинаковой высоты (11 = const) прямоугольник имеет наибольшие значения w0 и iK, но наи^льньшие - Л, со, Nq, а ромб наименьшие значения w0 и но наибольшие - Я, со, No.

Теорема 6.3. Из всех равновеликих параллелограммов с однородными граничными условиями квадрат имеет,паибольшие значения Wo и iK, но наименьшие -Л, со, Nq.

Теорема 6.4. Из всех равновеликих параллелограмлюв с однородными граничными условиями и одинаковым углом, а (а = c^nst) ромб имеет наибольшие

значения wa и iK, но наименьшие - Я, a, No.

Теорема 6.5. Из всех равновеликих параллелограммов с однородными граничными условиями и одинаковым отношением сторон (a/h = const) прямоугольник имеет наибольшие значения м>0 и г„ но наименьшие - Я, ы, N0.

Теорема 6.6. При аффинном преобразовании сдвига прямоугольника параллельно основанию уменьшаются значения w0 и iK, но увеличиваются - Я, а>, N0; при симметризации параллелограмма относительно оси, перпендикулярной основанию увеличиваются 'значения \v0 и гА, но уменьшаются - Л, со, N0.

Графически границы возможного изменения интегральных характеристик для четырехугольных областей в координатных осях F - Kf представлены на рисунке 11. Графики на рисунке изображены условно для большей наглядности установленных закономерностей.

С учетом изопериметрических свойств Kf границы изменения F (1/F) будут представляться характерными точками и кривыми: т. 4 соответствует квадрату, т. 3 - равностороннему треугольнику, т. О - правильному многоугольнику с бесконечно большим числом сторон; кривая I от т. 3 до т. О соответствует правильным фигурам, кривая II - равнобедренным треугольникам, кривая III - прямоугольникам. Область возможного изменения F (1/F) для четырехугольных областей ограничена снизу кривой III, а сверху кривой II и частью кривой I.

Для параллелограммных областей аналогичный условный график приведен на рисунке 12, где по оси абсцисс откладывается отношение k = KfKB/KfnMa. В соответствии с изопериметрическими теоремами кривая I соответствует прямоугольникам, кривая II - ромбам, т. 4 квадрату. Графическое представление границ изменения интегральных параметров F для параллелограммных областей в зависимости от изменения коэффициента формы для какого-либо вида деформации приведено на рисунке 11. Кривая I соответствует прямоугольникам, кривая II - ромбам.

При аффинном преобразовании прямоугольника путем его сдвига параллельно основанию последовательно получаются: параллелограммы, ромб, параллелограммы. Один и тот же параллелограмм может быть получен из двух различных прямоугольников. Изменение характеристики F при таком геометрическом преобразовании описывается кривыми III (рисунок 13,а). Поскольку процесс аффинного сдвига носит непрерывный и монотонный характер, то кривые а-б-в-г и г-е-ж, ^начинаясь от кривой I, должны быть обращены выпуклостью вверх и в точках "в" и "ж" касаться кривой II. Далее, за точкой касания кривые III должны иметь точку перегиба, после чего их кривизна изменять знак.

При аффинном растяжении ромба с заданным углом а параллельно основанию получается множество параллелограммов с а = const. При этом изменение величины F описывается кривыми IV, которые начинаются от кривой II, и, не пересекаясь между собой, заполняют все пространство между кривыми I и II (см. рисунок 13,6). При геометрическом преобразование прямоугольника в параллелограмм, когда остается неизменным заданное отношение сторон (a/b = const) изменение величины F описывается кривыми V, которые начинаются от кривой I, и, не пересекаясь между собой, заполняют все пространство между кривыми I и II (рисунок 13,в). Таким образом, теоремы 6.1, 6.2 и 6.3 иллюстрируются на рисунке 12, теорема 6.4 - на рисунке 13,6, теорема 6.5- на рисунке 13,в, теорема 6.6 - на

рисунке 13,а.

Графический анализ изменения F в координатных осях F -а при различных отношениях к = аЛ при аффинном преобразовании сдвига прямоугольника параллельно основанию подсказывает вид аппроксимирующей функции, которая в данном случае может быть представлена как функция синуса:

Fn-ма = Fnp/sina, 1 /Fn.Ma = 1 /Fnp/s in<x. (16)

При детальном анализе возможностей МИКФ применительно к параллелограмм-ным областям было разработано несколько способов использования известных решений.

Прием использования решений для прямоугольника иллюстрируется на примере поперечного изгиба параллелограммной шарнирно опертой пластинки с отношением длин большей стороны к меньшей высоте а/Н = 2 и углом a = 45°. При условии а/b = const заданному параллелограмму будет соответствовать прямоугольник с отношением сторон а/в =1,414. Используя известные решения для прямоугольников по первой формуле из (16) получим:

(w„)„.M = (w0)npsin45° = 2,526x10"3qA2/D,

что отличается от известного решения на 7,75 %. Для больших углов а параллелограмма и меньших отношений а/Н эта погрешность будет уменьшаться. Лучший результат можно получить, если некоторый прямоугольник преобразовывается в заданный параллелограмм с сохранением постоянного значения Kf (Kf = = const). В рассмотренном примере для параллелограмма Кг = 12. Такому значению Kf будет соответствовать прямоугольник с отношением сторон а/b = 2,618. Взяв известное решение для такого прямоугольника, по формуле (16) получим:

(w0)„.M3 = (w0)„psin45° = 2,357xlO"3qA2/D,

что отличается от известного решения всего на 0,51 %.

Использование решений для прямоугольника и параллелограмма. Если для рассматриваемого подмножества параллелограммов, получаемых из прямоугольника, известно хотя бы одно решение для какого-либо параллелограмма, то функцию, аппроксимирующую искомые решения, можно также представить в виде формулы

(w0)n-M1 = (w0)npsinraa.

Это решение для прямоугольника удовлетворяется автоматически. Если удовлетворить его известному решению для параллелограмма при a = 45°, то получим:

(w0)„-„a = 3,573х 10-3qA2/Dx(sina)'-215.

Эта формула описывает решения для параллелограммов в интервале [а = = 90°... 45°] и обеспечивает точность решений с погрешностью 3,5 %.

Использование решений для прямоугольника и ромба. Общее решение для параллелограмма через решение для прямоугольника представляется в следующем виде:

рп-ма = Fnp[(Kf)n-Ma/(Kf)np] '

Если известно решение для ромба, то

Fp=Fnp[(Kf)p/(Kf)npjm. Из этого выражения находим ш:

m = m(Fp/Fnp)/ m[(Kf)p/(Kf )пр].

Таким образом, зная решения для прямоугольников и ромбов, можно получить решения для любых параллелограммов. В работе построены аппроксимирующие функции для ромбических шарнирно опертых пластинок -

(w0)p = (w0)KB(sina),-2:!

и прямоугольных шарнирно опертых пластинок

Точность решений, полученных по этим формулам для ромбов и прямоугольников, составляет менее одной сотой процента.

Использование решений для фиктивного квадрата. Семейство кривых (рисунок 14) можно описать аналитической зависимостью

.KB

-ма

(17)

где FKB - некоторое фиктивное значение интегральной характеристики, полученное путем продолжения кривых III и IV соответственно за пределы кривых II и I до пересечения с вертикалью, проходящей через ось абсцисс в точке KCra/Kf„.M = = 1. Если известно хотя бы одно опорное решение для параллелограмма (F0)„.Ma с

заданным углом а, лежащее на кривой III, то нахождение FKB не представляет трудностей.

Fkb = (F0)n_Ma/f(Kf.KB/Kf0.n-Ma)-

В этом случае выражение (17) принимает следующий вид:

Рп-ма = (^о)п_ма ^(^fra/^f л-ма)/^(^С.кв /^fO.rr-ма)'

Достаточно иметь хотя бы одно решение для параллелограмма при заданном значении угла а, и тогда можно найти все решения для параллелограммов с а - const.

Если известно решение для ромбов, то можно получить решение для параллелограммов, имеющих постоянное отношение сторон a/b (a/b = const). Рассмотрим схему "б" на рисунке 14. Семейство кривых F„.Ma можно описать аналитической зависимостью:

Рп-м.- >

где F*„ получается также как и при рассмотрении схемы "а". Подставив в левую часть этого выражения известное решение для прямоугольника (F0)np, найдем значение F*B . При этом:

Рп-ма= (Fo)np(Kf.KB/Kf.n-Ma)m/(Kf.K8/Kf0.iip) •

Численные решения рассмотренной задачи об изгибе параллелограммной пластинки двумя способами (по известным решениям для ромба и прямоугольника и с использованием решения для фиктивного квадрата) практически не отличаются друг от друга и совпадают с известным решением.

С помощью рассмотренных приемов и способов был решен целый комплекс задач строительной механики для параллелограммных областей.

Обобщая результаты исследований, проведенных в главе 6, можно сделать следующие выводы.

1. Графическое представление границ изменения интегральных характеристик в задачах строительной механики, связанных с четырехугольной областью, в зависимости от изменения коэффициента формы с учетом его изопериметриче-ских закономерностей показало ограниченность всего множества решений с двух сторон: верхняя (или нижняя) граница соответствует областям в виде прямоугольника, а нижняя (или верхняя) областям в виде равнобедренных треугольников и правильных п-угольников (равносторонний треугольник, квадрат); указанные границы образуют довольно "узкую" область, что позволяет только по графикам получать удовлетворительные оценки в виде двусторонних неравенств.

2. Графический анализ всего множества решений для параллелограммных областей также показал их ограниченность с двух сторон: верхняя (или нижняя) граница соответствует областям в виде прямоугольника, а нижняя (или верхняя) - областям в виде ромба; эта граница является еще более "узкой", чем для произвольных четырехугольников, поэтому двусторонние оценки, получаемые с помощью этих границ будут лучшими.

3. Все множество решений для параллелограммных областей в пределах указанных границ может быть представлено в виде двух семейств кривых при а = const и a/b = const, причем при построении аналитической зависимости для определенного (заданного) параметра а или a/b достаточно знание хотя бы одного опорного решения для любого параллелограмма с этими параметрами.

4. Использование двух решений при а = const и a/b = const для двух разных геометрических преобразований, в пересечении которых находится решение для заданной параллелограммной области, позволяет с большей достоверностью оценивать действительные значения искомых интегральных величин.

5. Наличие двух и более опорных решений для четырехугольных областей (в частности, прямоугольников, параллелограммов, трапеций и др.) дает возможность строить аналитические зависимости, описывающие определенное множество решений, соответствующих какому-либо геометрическому преобразованию, с очень высокой точностью.

В седьмой главе приводятся решения, полученные с помощью МИКФ задач строительной механики, связанных с трапециевидной областью. Рассмотрены многочисленные приемы геометрических преобразований, приводящие к реализации МИКФ для этого подмножества областей.

На основании изопериметрических теорем относительно свойств коэффициента формы, характерных для геометрических фигур в виде трапеций, и с учетом функциональной связи Р - Кг сформулированы и доказаны следующие изопе-риметрические теоремы.

Теорема 7.1. При поперечном изгибе пластинок (мембран) постоянной жесткости в форме трапеций, находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки, координата, соответствующая максимальному прогибу, лежит на биссектрисе, проведенной из вершины угла, образованного боковыми сторонами трапеции.

Теорема 7.2. Из всех равновеликих трапеций одинаковой высоты и одинаковым соотношением а/аг наибольшие значения и /„ но наименьшие - X, со, N0 соответствуют равнобочным трапециям.

Теорема 7.3. Из всех равновеликих трапеций с заданными углами а; и а2 наибольшие значения ■№() и гк и наименьшие значения X, со, N0 соответствуют трапеции, все стороны которой касаются вписанной окружности: из всех равновеликих равнобочных трапеций с заданным углом а наибольшие значения н>в и ¡к и наименьшие - X, со, .А'о соответствуют равнобочной трапеции, все стороны которой касаются вписанной окружности, включая и ромб.

Теорема 7.4. Из всех равновеликих трапеций с равным углом а^ стороны которых касаются вписанной окружности, наибольшие значения \\>о и 1К и наименьшие • X, со, Ы0 соответствуют прямоугольным трапециям.

Теорема 7.5. Для всех равновеликих трапеций значения Г ограничены с двух сторон: для м>0 и ¡к верхнюю границу образуют прямоугольники, а нижнюю - равнобедренные треугольники; для X, со, Л'0, и наоборот, верхнюю границу образуют равнобедренные треугольники, нижнюю - прямоугольники; из всех равновеликих трапеций наибольшие значения м>0 и 4, но наименьшие - Л, со, N0 имеет квадрат.

Графически границы изменения интегральных характеристик для трапециевидных областей в зависимости от изменения параметра Кг можно представить графиком, аналогичным изображенному на рисунке 11. Графический и численный анализ известных решений для областей в виде трапеций позволил доказать теорему, касающуюся всего множества выпуклых четырехугольников.

Теорема 7.6. Для всех равновеликих выпуклых четырехугольников значения Р ограничены с двух сторон: для н>а и 4- верхнюю границу образуют прямо-

угольники, а нижнюю - многоугольники, все стороны которых касаются вписанной окружности, включая правильные многоугольники, ромбы, треугольники; для X, со, N0, наоборот, верхнюю границу образуют многоугольники, все стороны которых касаются вписанной окружности, а нижнюю прямоугольники.

Эта теорема помимо теоретического имеет большое практическое значение. Анализ известных решений для правильных многоугольников, ромбов и равнобедренных треугольников дает возможность построить аппроксимирующую эти

решения функцию, с помощью которой можно отыскивать решения для опорных фигур при использовании МИКФ.

Трапеции являются одними из основных наиболее распространенных формообразующих областей в машиностроении. В то же время известно немного геометрических преобразований, позволяющих связать произвольную трапецию с правильными геометрическими фигурами. Поэтому в этой главе уделено достаточно много внимания разработке таких геометрический преобразований, которые приводят к получению подмножеств трапециевидных форм из прямоугольника, равностороннего треугольника и ромба. Даны рекомендации по рациональному выбору опорных фигур и геометрических преобразований, позволяющих получать решения многих задач строительной механики с удовлетворительной точностью.

Рассмотрено много практических примеров решения конкретных задач строительной механики, связанных с различными областями в виде трапеций.

В восьмой главе приводятся решения задач строительной механики, связанных с областями в виде отдельных частей круга (секторы, сегменты, круговые луночки и т. п.). При этом в качестве опорных фигур использовались в основном круг и полукруг, а также круговые секторы с известными решениями. Получены расчетные формулы для решения многих задач строительной механики.

Для фигур в виде кругового сектора:

Ф = 30°...90° iK = 0,028(Kf)'o,7'<3;

Ф = 90°... 180° iK - 6,I24xl03(Kf)"1'37';

Ф = 30о...90° X = 2,538(Kf)0,278;

Ф = 90°.. .120° Ji = l,472(Kffs'M;_

Ф = 90°... 180° ю = 0,353(Kf)2,26S VD/m;.

Ф = 30°...120° w0 = 17,477/(Kf)0,74q A2/D;

Ф = 90°... 180° w0 = 85,824/(Kf),,50qA2/D.

Последние две формулы относятся к шарнирно опертым пластинкам. Результаты расчета по этим формулам в сравнении с известными результатами дают погрешность, не превышающую 2 %.

При исследовании секториальиых областей было показано, что интегральные характеристики для квадранта обладают экстремальными свойствами.

Для фигур в виде кругового сегмента (90° £ у > 0°)

it = 0,728(Kf)"0'827, X = 2,215(Kf)°'3S6; для задачи о поперечном изгибе шарнирно опертой пластинки

w0 = 0,2542/(Kf)2'007qA2/D; для жестко защемленной пластинки

w0 = 0,0598/(Kf),,976qA2/D.

Для фигур в виде круговой несимметричной луночки рассмотрена задача о геометрической жесткости кручения. Аппроксимирующая функция, построенная по трем опорным решениям (у = 180°, 90°, 60°), имеет следующий вид:

iK = 0,1592(Kf /(2я))-1'185+0'407Кг . Расчеты по этой формуле дают хорошие результаты в диапазоне углов 180° >Y^40°.

Для фигур в виде круговой симметричной луночки рассмотрена задача поперечного изгиба жестко защемленных пластинок. При этом получены расчетные формулы при значениях углов 90° > у > 45°:

Wg = 1,583 х l(T3|l- 0,28l(Kf -2л)°'538] х qA2/D; w0 = 1,583 х10"3[2sin2 у/(з-sin2у)]0'" xqA2/D.

По второй формуле результаты расчета получаются лучшими, поскольку при подборе аппроксимирующей функции использована структура формулы, дающая для эллиптических пластинок точное решение в изоперимстрическом виде.

В девятой главе приводятся решения задач строительной механики, связанных с областями в виде правильных фигур, с помощью МИКФ, Используя в качестве опорных известные решения для областей в виде круга, квадрата и равностороннего треугольника, получены следующие решения.

Поперечный изгиб пластинок равномерно распределенной нагрузкой при шарнирном опирании по контуру -

w0 = 4,918 X 10-3[Kf/(2K)f(0-05538Kt+0-3506) X qA2/D; при жестком защемлении по контуру -

w0 = 1,583 х 10-3[Kf/(2я)]-(0'09561К'+0'1733) хqA2/D.

Свободные колебания пластинок при шарнирном опирании по контуру -ш = 18,15б[Кс/(2тг)]0'04422Кг+0'0077 х Л/5/ш; при жестком защемлении по контуру -

со = 32,08[Kf /(2л)]°'04787К' +0,06196 х /б/т.

Устойчивость пластинок при равномерном всестороннем сжатии и шарнирном опирании по контуру -

N0 = 18,15б[Кс/(2я)]0,04422К'+0'0077 х D;

при жестком защемлении по контуру

хг ли лил\лг Чп -,10.044221с,+0,1789

N0 =46,464[Kf/(27t)j 1 xD.

Колебания мембран -

Я =4>261[Кг/(2Я)]О-О2206К-°-0Ш35 X ^Дп^).

Кручение упругих призматических брусьев -

1К = ОД592[Кг/(2тс)]"^°'05ШКг+0'09849\

Результаты вычислений по этим формулам и сравнение их с известными решениями показывают высокую точность предлагаемого способа решения задач строительной механики, ценность которого в данном случае заключается в нахождении для каждого вида деформации единой аналитической зависимости, объединяющей решения для правильных многоугольников и описывающей граничную кривую для всего множества выпуклых фигур в интервале 10,392 > Кг> 2п.

Рассмотрены также области, промежуточные между правильными фигурами и кругом (рисунок 15). При решении конкретных задач, связанных с такими фигурами, вполне естественно, что за опорные фигуры принимаются правильный п-угольник и круг. С помощью МИКФ для различных задач строительной механики получены следующие решения:

геометрическая жесткость сечения при кручении -

¡, = 0,514(Кг)-°-й8; основная частота колебаний мембран -

Я. •= ОЛЗСК,)0-226 ^Б/СтА) ;

критическое усилие при равномерном всестороннем сжатии пластинок -

N0= !7,378(Кг)0'532О/А; максимальный прогиб жестко защемленных пластинок -

№0= 13,519х10-3(Кг)"иб7яА2/О; основная частота жестко защемленных пластинок -

о) = I !,483(КГ)0,?59 т/Б/т.

Для каждого из рассмотренных преобразований траектории изменения Р (рисунок 16) будут различными, однако они не могут выходить за пределы кривой I, поскольку эта кривая является граничной. Наиболее точно эту граничную кривую должна аппроксимировать функция, полученная для геометрических фигур, у которых вписанная окружность обязательно будет касаться всех сторон (как прямолинейных, так и криволинейных) промежуточных фигур. Этому условию удовлетворяют фигуры, изображенные на рисунке 15,6. Для других фигур траектории Р или 1/7 (пунктирная кривая) будут лежать яиже кривой I.

Кроме чисто практического значения, анализ геометрического преобразования, изображенного на рисунке 15,6, имеет и теоретический интерес. Для шар-нирио опертых пластинок значения Р существенно зависят от кривизны криволинейных участков контура и коэффициента Пуассона. Для таких пластинок кривая I на рисунке 16 не является единственной. Поэтому с помощью рассмотренного геометрического преобразования можно построить такие кривые для всего множества коэффициентов Пуассона при различных кривизнах опорного контура.

а) 6) в)

нт J

В № ^s&Z^ ~~ р ^

£ а № Д.! ^ "" N1 Sj и /L- — Ы 1 ..J l,Kt -1--1-h—1-ц-—

Рис. 16

а) «) в)

Рис. 17

а) б) в)

В десятой главе рассматриваются некоторые способы реализации МИКФ для областей с комбинированными граничными условиями (комбинация условий жесткого защемления и шарнирного опирания для пластинок). Среди них наиболее характерными являются два приема. Первый использует известные решения для пластинок с комбинированными граничными условиями, когда применяемое геометрическое преобразование не увеличивает сложности фигур всего рассматриваемого подмножества, то есть количество сторон и граничные условия на них одинаковы для всех областей подмножества, включая и опорные фигуры (рисунок 17). Второй прием использует известные решения для пластинок с однородными и комбинированными граничными условиями, когда применяемое геометрическое преобразование увеличивает сложность контура фигур внутри рассматриваемого подмножества, то есть количество сторон увеличивается по сравнению с опорными фигурами, а на вновь появляющихся сторонах граничные условия могут отличаться от опорных фигур (рисунок 18).

Показано, что второй прием является более перспективным, так как при его реализации используются известные решения с однородными граничными условиями, которые достаточно хорошо представлены в научной и справочной литературе по проблемам строительной механики.

С помощью этих двух приемов в диссертации решено большое количество конкретных задач, имеющих важное прикладное значение.

В одиннадцатой главе исследуется возможность применения МИКФ к областям с невыпуклым контуром. Для этих целей вводится другая характеристика формы (Кг)* в виде соотношения

(Кс)* = Ь2/(2А),

которое является естественным и логически вытекает из вида н структуры формулы для многоугольников, все стороны которых касаются вписанной окружности.

Используя методику МИКФ, были рассмотрены как тестовые примеры, подтверждающие возможности распространения предлагаемой методики на области с невыпуклым контуром, так и примеры задач, решения которых ранее не были известны. Среди них: задачи кручения упругого стержня, свободных колебаний мембран, изгиба и свободных колебаний пластинок. Эти задачи рассматривались применительно к областям в виде невыпуклых круговых секторов, круга и прямоугольника с определенным образом ориентированными разрезами, круга и прямоугольника с треугольными вырезами. Для них построены аппроксимирующие функции, описывающие соответствующие решения.

В двенадцатой главе рассмотрены вопросы определения высших частот и форм свободных колебаний пластинок, построения полей напряжения в задачах о кручении призматических стержней, построения полей деформаций и внутренних усилий в пластинках с помощью МИКФ.

При определении высших частот и форм колебаний рассматриваются пластинки как имеющие оси симметрии, так и несимметричные. Показано, что оси симметрии естественным образом разделяют пластинку на более мелкие части и по ним проходят узловые линии. В этом случае методика МИКФ применяется к более мелким частям заданной пластинки. Если же пластинка не имеет осей сим-

метрии, то для определения положения узловых линий получено условие, согласно которому отношение К/А = const для каждой части пластинки, разделенной узловыми линиями. Для реализации этого приема необходимо применение вычислительной техники.

При построении полей напряжений в сечениях в задаче о кручении призматических стержней с полигональным контуром рассмотрен способ определения функций напряжений, в которых ее максимальное значение находится обычным путем с помощью МИКФ, а общее уравнение получается как произведение уравнений сторон полигона, представленных в форме уравнений прямых в отрезках на осях. В таком виде эта функция напряжений автоматически удовлетворяет граничным условиям и позволяет построить поле напряжений. В работе рассмотрен пример построения поля напряжений в ромбическом сечении.

При построении полей деформаций и полей внутренних усилий в пластинках с использованием методики МИКФ определение прогибов и усилий в характерных точках заданной пластинки можно осуществить: по соответственным значениям этих параметров в опорных пластинках с использованием minKf-; по значениям К!а в соответственных точках заданной и опорных пластинках; по приближенным функциям прогибов вдоль характерных направлений с использованием конечно-разностных соотношений теории упругости.

Из этих трех путей наиболее точен первый, который осуществляется с помощью тех же методологических приемов, которые были рассмотрены выше. Второй путь применим для коротких пластинок с шарнирно опертым контуром Третий путь дает возможность с хорошей точностью определить усилия лишь в окрестности точек с максимальным прогибом, однако по мере удаления от них к опорам погрешность возрастает и может достигать более 10 %.

В работе подробно исследован первый путь на примере секториальной пластинки с шарнирно опертым контуром, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. При этом был найден максимальный прогиб пластинки и подобрана аппроксимирующая функция для построения эпюры прогибов вдоль центрального ее радиуса. Были также построены аппроксимирующие функции и для изгибающих моментов Мг и Me, определяемых в четвертях и в середине центрального радиуса пластинки. Показано хорошее приближение найденных результатов к решениям, полученным для этой задачи по известным точным формулам из теории упругости. Однако какого-либо заметного преимущества при использовании этого метода по сравнению с другими эффективными численными методами, например МКР или МКЭ, не выявлено.

В приложении 1 приведена программа для определения коэффициента формы на ЭВМ для любой области из всего множества фигур с выпуклым контуром.

В приложении 2 приведены таблицы значений Kf для некоторых широко распространенных геометрических фигур, полученных путем минимизации соответствующих функционалов.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты проведенных в диссертации теоретических исследова-

ний, можно сделать следующие выводы.

1. Разработаны теоретические основы, математический аппарат и методологические принципы реализации нового инженерного метода решения двумерных задач строительной механики, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков, - метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ).

К числу рассматриваемых задач относятся: поперечный изгиб и свободные колебания мембран и пластинок; устойчивость пластинок; кручение упругих призматических стержней.

2. При теоретическом обосновании и разработке МИКФ решен целый ряд вопросов, представляющих самостоятельное научное значение.

2.1. Математически строго доказана функциональная связь интегральных характеристик в рассматриваемых задачах строительной механики с интегральной характеристикой формы области - коэффициентом формы. Доказано, что коэффициент формы является геометрическим аналогом интегральных характеристик, и, таким образом, путем исследования его свойств и закономерностей для ограниченного множества областей, связанных одним геометрическим преобразованием, можно оценивать как качественную, так и количественную стороны физической задачи без ее решения. Другими словами, решение сложной физической проблемы сводится к решению элементарной геометрической задачи. С учетом этого предложен способ исследования двумерных задач строительной механики с помощью геометрического моделирования формы области.

2.2. При исследовании математической стороны задачи разработан приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков.

2.3. Подробно исследованы новые и обобщены известные ранее закономерности изменения коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях; доказаны теоремы относительно изоперимстрических свойств и закономерностей интегральных: характеристик для отдельных классов геометрических фигур; разработана программа вычисления коэффициента формы для любой области с выпуклым контуром.

2.4. Разработаны способы построения аппроксимирующих функций для решения рассматриваемых задач строительной механики, относящихся к ограниченным подмножествам геометрических фигур, объединенных каким-либо одним геометрическим преобразованием, а также способы оценки погрешности решений, получаемых с помощью МИКФ.

3. Предложены разнообразные геометрические приемы преобразований фигур с целью создания определенных подмножеств областей.

4. Многие решения для некоторых подмножеств областей (произвольные треугольники, параллелограммы, трапеции и др.) представлены графически и указаны возможные границы изменения интегральных характеристик.

5. Подробно изучены способы геометрического моделирования при решении многих задач строительной механики, связанных с областями определенных классов (треугольные, параллслограммные, трапециевидные области, области в виде частей круга (секторы, сегменты, луночки и т. п., области в виде правильных фигур), доказаны соответствующие изопериметрические теоремы.

6. Показаны возможные пути развития МИКФ и приемы его использования для решения задач строительной механики, связанных с областями с невыпуклым контуром и комбинированными граничными условиями.

7. Рассмотрена возможность определения с помощью МИКФ высших частот и форм колебаний пластинок и мембран, а также построения полей деформаций, внутренних усилий и напряжений в задачах поперечного изгиба пластинок и кручения призматических стержней.

8. Результаты исследований, полученные в диссертации, могут быть использованы при формировании учебных программ для студентов машиностроительных и строительных вузов по курсам теории упругости и пластичности, строительной механике, сопротивлению материалов, динамике и прочности машин.

9. Методика МИКФ может быть более широко внедрена в просктно-конструкторскую практику при проведении прочностных расчетов различных строительных и машиностроительных конструкций, а полученные расчетные формулы для решения конкретных задач строительной механики, графики и таблицы могут быть использованы при непосредственном проектировании.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как обоснование и разрабоп^- нового научного направления исследований по проблеме развития и совершенствованию приближенных аналитических методов решения двумерных задач строительной механики.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, опубликованы в двух монографиях, учебнике, 37 научных и научно-методических работах, одном изобретении. Основными нз этих работ являются:

1. Колесник И. А., Коробко А. В. К вопросу о геометрической жесткости кручения секториальных призматических брусьев // Математическое и электронное моделирование в машиностроении. - Киев: Ин-т кибернетики АН УССР. -1989. - С. 77-84.

2. Колесник И. А., Коробко А. В. О границах изменения физнко-механических характеристик в задачах теории упругости, связанных с параллелограммом // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. - Киев: Инг кибернетики АН УССР. - 1990. - С. 27-33.

3. Колесник И. А., Коробко А. В. Кручение упругих призматических брусьев с сечением в виде параллелограмма // Проблемы машиностроения. - 1991. - N 36. - С. 34-39.

4. Колесник И. А., Коробко А. В. Оценка основных параметров в задачах строительной механики и теории упругости, связанных с треугольной областью // Алгоритмизация решения задач прочности и оптимального проектирования конструкций. - Киев: Ин-т кибернетики АН Украины. -1991. - С. 39-46.

5. Колесник И.А., Коробко A.B. Определение физико-мсханических характеристик параллелограммных пластинок, мембран, сечений И Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: -1991. -N60.

6. Колесник И. А., Коробко A.B. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии // Со-

противление материалов и теория сооружений. - Киев. - 1993. - N 61.

7. Колесник И.Л., Коробко A.B. Определение характерных параметров напряженно-деформированного состояния пар аллело гр аммных пластинок (мембран, сечений) с помощью аффинных преобразований // Аэромеханика и теория упругости. - Днепропетровск: ДГУ. - Вып. 43.1992.

8. Колесник И.А., Коробко A.B. Метод физико-геометрической аналогии в строительной механике // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. Киев: Институт кибернетики АН Украшпл. 1993.

9. Колесшш И.А., Коробко A.B. Расчет пластинок произвольной формы методом физико-геометрической аналогии / Тр. XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1994). - Н. Новгород: Издательство Нижегородского университета, 1994. - Т. 2. - С. 117-121.

10. Колесник И.А., Коробко A.B., Бояркин В.В. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач строительной механики для трапециевидных областей // Компьютерные методы в задачах математики и механики: Сб. научн. тр. HAH Украины. - Киев: Ин-т кибернетики HAH Украины, 1998. - С. 55-62.

11. Коробко A.B. Способ определения физико-механических характеристик плоских элементов конструкций // Авт. свидетельство N1716373 СССР. М. Кл* G 01 N 3/00. Опубл. в БИ 1992. -N 8.

12. Коробко A.B., Хусточкин А.Н. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим методом // Изв. вузов. Авиационная техника. - 1992. -N 1. -С. 105-114.

13. Коробко A.B. Исследование напряженно-деформированного состояния косоугольных пластинок, мембран и сечений геометрическими методами: Автореферат диссертации канд. техн. наук. - Ростов-на-Дону, 1993. - 20 с.

14. Коробко A.B. Определение высших форм и частот колебаний треугольных пластинок // Материалы Второй Международной конференции "Циклические процессы в природе и обществеи(Ставрополь, 1994). Изд-во Ставропольского университета, 1994. - Вып. 3. - С. 47-48.

15. Коробко A.B. Геометрический критерий выбора высших форм колебаний многоугольных пластинок // Циклические процессы в природе и обществе. -

1994.-Вып. 4.-С. 57-59.

16. Коробко A.B. и др. Интегральная характеристика формы геометрических фигур в задачах строительной механики // Изв. вузов. Строительство. - 1994. -4.-С. 100-104.

17. Коробко A.B. Решение задач строительной механики методом интерполяции по коэффициету формы // Изв. вузов. Авиационная техника. - 1995. - N 3. -С. 81-84.

18. Коробко A.B. Решение задач строительной механики, связанных с фигурами в виде правильных многоугольников // Изв. вузов. Строительство. - 1995. -N47-С. 114-119.

19. Коробко A.B. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твердого тела. - Ставрополь: Изд-во Ставропольского ун-та,

1995. -165 с.

20. Коробко A.B. Свободные колебания пластинок с комбинированными

граничными условиями / Сб. докладов и материалов Н-й научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии", Курск, 1995. - С. 30-33.

21. Коробко A.B., Бояркин В.В. Оценка погрешности решений задач строительной механики, полученных методом интерполяции по коэффициенту формы / Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел, 1996. - Вып. 2. - С. 65-69.

22. Коробко A.B. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению некоторых задач строительной механики / Сб. научных трудов ученых. Орловской области. - Орел, 1996. - Вып. 2. - С. 114-122.

23. Коробко A.B. Построение аппроксимирующих полиномов в методе интерполяции по коэффициенту формы для задач математической физики / Материалы Н-й Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики". - Пущино, Ин-т ПМ АН РФ, 1996,- С. 42-43.

25. Коробко A.B. Решение задач математической физики методом интерполяции по коэффициенту формы: Учебно-научно-методическое пособие. - Орел: ОГСХА, 1996. - 66 с.

25. Коробко A.B. Расчет трапециевидных пластинок методом интерполяции по коэффициенту формы // Изв. вузов. Авиационная техника, - 1997. - N2. - С. 103-107.

26. Коробко A.B. Геометрическое моделирование формой области в двумерных задачах МДТТ / Тр. Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых твердых тел. Методы конечных и граничных элементов» (Санкт-Петербург, 1998). - 1998. - С. 70-71.

27. Коробко A.B. и др. УНИРС для строителей: Учебно- научно-исследовательская работа студентов. - М.: Изд-во АСВ, 1998,304 с.

28. Коробко A.B. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. - М.: Изд-во АСВ, 1999.302 с.

Коробко Андрей Викторович

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМЫ ОБЛАСТИ В ДВУХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Подписало к печати 28.С2.2000 г. Формат 60x84'/i6. Печать офсетная. Бумага газетная. Объем 2 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано на полиграфической базе Орловского государственного технического университета, г. Орел, Наугорское шоссе, 29

Введение

Глава 1 Краткий обзор развития геометрических методов ре- 19 шения двумерных задач теории упругости. Обоснование темы исследования

1.1 Краткий обзор развития геометрических методов решения 19 задач теории упругости

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проектирование современных машин, аппаратов и их агрегатов связано со всесторонними исследованиями прочности и жесткости конструкций, находящихся под воздействием как статических, так и динамических нагрузок. Расчетные схемы многих элементов таких конструкций могут быть представлены в виде стержневых, пластинчатых, оболо-чечных и комбинированных (пластинчато-стержневых, оболочечно-пластин-чатых и др.) систем. Для их расчетов создаются программные комплексы целевого назначения, включающие в себя подготовку исходных данных, численную реализацию алгоритмов расчета конструкций определенного вида на ЭВМ, выдачу результатов в удобной для практического использования форме [92].

Однако по-прежнему в расчетной практике большое значение придается развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, машин и агрегатов. «. упрощенные методы расчета не потеряли и, видимо, еще очень долго не потеряют своего значения. Во-первых, простые аналитические решения, наглядно отражающие влияние отдельных параметров конструкций, необходимы для правильного понимания силовой схемы конструкции. Во-вторых, умение пользоваться простыми мето дами расчета, не требующими сложных программ счета, с одной стороны, избавляет проектировщика в необходимости каждый раз прибегать к помощи мощных ЭВМ для получения оперативного результата на начальной стадии проектирования, с другой стороны, помогает ему контролировать и правильно истолковывать результаты уточненных поверочных расчетов. Наконец, упрощенные аналитические методы используются в системах автоматизированного проектирования на этапах оптимизации силовых конструкций, когда производится многократное повторение прочностного расчета с целью подбора оптимальных параметров отдельных элементов и всей конструкции» [9, с. 4].

К типичным элементам конструкций зданий и сооружений, машин и агрегатов, расчет которых сводится к двумерным задачам теории упругости, относятся, в частности: стержни произвольного сечения, испытывающие деформации кручения (различного рода валы, элементы силового набора фюзеляжа и крыла самолета [1, 13, 113], корпуса корабля [106], вращающиеся детали машин и др.); мембраны (элементы приборов [86], обшивки ракет, крыла и фюзеляжа самолета [1, 111], корпуса корабля [86] и др.); пластинки (плоские несущие элементы зданий и сооружений, машин и агрегатов, работающие в условиях поперечного и продольного изгибов [1, 13, 111] и др.).

Разработкой и совершенствованием методов расчета различных элементов конструкций занимаются науки: теории упругости, строительная механика и механика деформируемого твердого тела (МДТТ), которые имеют в настоящее время целый ряд достижений. Современная теория расчета пластинок и мембран считается достаточно разработанной. Имеются классические аналитические методы [78, 108, 109, 110], которые дают точные решения для ограниченного набора форм областей в некоторых задачах (квадрат, прямоугольники, равносторонний треугольник). В большинстве же практически важных случаев применяются приближенные методы расчета, с помощью которых найдены решения дйя некоторых задач, связанных с областями в виде ромбов, параллелограммов, равнобедренных треугольников, равнобочных трапеций. Такие решения приводятся в соответствующей справочной литературе [14, 17, 90, 105]. Они получены, как правило, численными методами для конкретного вида областей с различной степенью точности.

Среди приближенных подходов к решению двумерных задач теории упругости одним из основных направлений совершенствования методов расчета является разработка методов, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможностью получения двусторонних оценок. Перспективным в этом плане является изопериметрический метод [57, 87, 115, 118,], относящийся к эффективным геометрическим методам исследования, использующим геометрическое преобразование - симметризацию Штейнера. В настоящее время этот метод находит все более широкое распространение в математической физике [87], теории упругости [57, 118] и прикладных задачах динамики и прочности машин. Получаемые с его помощью двусторонние оценки некоторых интегральных характеристик в виде изопериметриче-ских неравенств в ряде случаев являются достаточно эффективными. Однако во многих случаях эти оценки бывают неудовлетворительными. До настоящего времени не исследованы вопросы поведения и характера изменения интегральных характеристик в процессе геометрических преобразований, а рассматриваются лишь их конечные значения, соответствующие граничным фигурам. Не получено строгого математического доказательства наличия функциональной связи между интегральными характеристиками и коэффициентом формы области. Набор используемых геометрических операций для преобразования фигур включает в себя лишь штейнерову симметризацию. Не систематизированы и не рассмотрены в обобщенном виде свойства и закономерности коэффициента формы плоской выпуклой области.

В связи с отмеченными недостатками изопериметрического метода представляется весьма актуальным проведение дальнейших исследований с использованием установленных закономерностей этого метода [87] в направлении разработки теоретических основ и математического аппарата нового инженерного метода, который бы давал возможность построения аппроксимирующих функций, представляющих собой простые приближенные аналитические решения рассматриваемых задач для ограниченного подмножества фигур путем геометрического моделирования формой области в пределах рассматриваемого подмножества с использованием в качестве аргумента коэффициента формы области, а также значительного расширения арсенала геометрических приемов и способов преобразования фигур.

Объект исследования. В качестве объекта исследования в работе приняты пластинки, находящиеся в условиях поперечного и продольного изгибов и свободных колебаний, мембраны, находящиеся в условиях поперечного изгиба и свободных колебаний, и сечения стержней, воспринимающих деформации кручения. Выбор этих элементов обусловлен общностью подходов к анализу их напряженно-деформированного состояния (НДС), относящейся к классу двумерных задач теории упругости. В работе рассматриваются задачи, которые математически описываются дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков. К числу рассматриваемых задач относятся: поперечный изгиб мембран и пластинок; свободные колебания мембран и пластинок; устойчивость пластинок; кручения упругих призматических стержней.

Цель исследования заключается в разработке теоретических основ, математического аппарата и методологических принципов реализации нового инженерного метода решения двумерных задач теории упругости - метода интерполяции по коэффициенту формы области (МИКФ).

В основу исследований положена гипотеза о том, что интегральная геометрическая характеристика формы области (коэффициент формы К£) является геометрическим аналогом интегральных характеристик в рассматриваемых задачах, связанных с плоской областью с выпуклым контуром, а изменение коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях моделирует изменение соответствующих интегральных характеристик.

Задачи исследования заключаются в следующем.

1 Исследование физико-механических и геометрических аналогий в рассматриваемых задачах теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков. Доказательство функциональной связи между интегральными характеристиками исследуемых объектов и их коэффициентом формы.

2 Исследование закономерностей изменения коэффициента формы области при геометрических преобразованиях различных фигур, выявление изопериметрических свойств К^ и доказательство основных изопериметриче-ских теорем относительно этой характеристики для различных классов (подмножеств) геометрических фигур. Обобщение всех имеющихся в научной литературе и полученных в диссертации сведений о коэффициенте формы. Разработка алгоритма и программы для вычисления К^ с помощью ЭВМ.

3 Разработка теоретических основ и математического аппарата МИКФ для построения аппроксимирующих функций, являющихся приближенными аналитическими решениями при нахождении интегральных характеристик в рассматриваемых задачах, связанных с процессом геометрических преобразований плоских областей.

4 Разработка приемов и способов использования полученных интегральных характеристик для построения полей деформаций, внутренних усилий и напряжений.

5 Исследование погрешности решений, получаемых с помощью МИКФ, и разработка способов ее оценки.

6 Разработка методологических приемов и способов геометрического моделирования формой области в рассматриваемых задачах для различных классов геометрических фигур и граничных условий.

7 Распространение МИКФ на области с невыпуклым контуром и области с комбинированными граничными условиями.

Методы исследования. В работе использованы фундаментальные методы теории упругости, среди которых: методы физико-механической и геометрической аналогий, вариационные методы, изопериметрический метод.

Достоверность научных положений и полученных результатов подтверждается строгостью математических доказательств, а также их сравнением с известными результатами, найденными с помощью фундаментальных методов теории упругости.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1 Установлена фундаментальная закономерность в теории упругости о функциональной взаимосвязи интегральных характеристик в рассматриваемых задачах и коэффициентом формы области. Доказано, что коэффициент формы является геометрическим аналогом соответствующих интегральных характеристик, то есть изменение области при геометрических преобразованиях моделирует изменение соответствующих интегральных характеристик и дает не только качественную, но и количественную картину их изменения. Установлена закономерность о двусторонней ограниченности интегральных характеристик и указаны эти границы.

2 Предложен приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков для двумерных задач теории упругости.

3 Подробно исследованы и обобщены закономерности изменения коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях; доказаны теоремы относительно его изопериметрических свойств и закономерностей для отдельных классов геометрических фигур; разработан алгоритм и программа вычисления коэффициента формы с помощью ЭВМ для любой области с выпуклым контуром.

4 Разработаны теоретические основы и математический аппарат нового инженерного метода - метода интерполяции по коэффициенту формы -для получения приближенных аналитических решений в двумерных задачах теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков.

5 Подробно исследованы решения, полученные с помощью МИКФ, для многих задач, связанных с областями определенных классов (треугольные, параллелограммные, трапециевидные области, области в виде частей круга (секторы, сегменты, луночки и т. п.), области в виде правильных фигур); предложены разнообразные геометрические приемы преобразований фигур с целью образования определенных подмножеств областей.

6 Показаны возможные пути дальнейшего развития МИКФ для решения задач, связанных с комбинированными граничными условиями и областями с невыпуклым контуром.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенный инженерный метод решения задач теории упругости может быть широко использован при реальном проектировании элементов конструкций в виде пластинок, мембран и призматических стержней в прикладных проблемах расчета строительных конструкций и задачах динамики и прочности машин. Полученные в работе аналитические зависимости, графики и таблицы могут быть непосредственно использованы в виде справочного материала при проектировании.

На защиту выносится новый инженерный метод решения двумерных задач теории упругости, математическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого, - метод интерполяции по коэффициенту формы.

В числе отдельных вопросов, имеющих самостоятельное теоретическое и практическое значение, на защиту так же выносятся:

- доказательство существования фундаментальной закономерности о функциональной взаимосвязи и геометрической аналогии между интегральными характеристиками рассматриваемых задач с коэффициентом формы;

- приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков с использованием разрешающей функции, линии уровня которой подобны контуру области и подобно расположены;

- результаты исследований изопериметрических свойств и закономерностей коэффициента формы выпуклой плоской области для геометрических фигур различного вида; алгоритм и программа вычисления Кг для произвольных фигур с выпуклым контуром с помощью ЭВМ;

- графическая интерпретация функциональной взаимосвязи интегральных характеристик в рассматриваемых задачах с коэффициентом формы при различных геометрических преобразованиях областей;

- результаты решения многочисленных задач, связанных с различными областями.

При проведении исследований принят ряд ограничений, сужающих круг рассматриваемых в работе задач: в работе исследуются только одно-связные области с выпуклым контуром и однородными граничными условиями (за исключением 10-й и 11-й глав); задачи продольного изгиба пластинок (устойчивости пластинок) ограничены случаем всестороннего равномерного сжатия по контуру; в работе не рассматриваются физически и геометрически нелинейные задачи строительной механики.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы: две монографии, 37 научных статей, учебник для вузов, научно- учебно-методическое пособие, получено одно авторское свидетельство на изобретение.

Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в диссертации, докладывались в 1990.1998 гг. на научно-технических конференциях различных вузов страны, а также на ХУ-й Международной конференции по теории пластин и оболочек (Нижний Новгород, 1992), на Ш-й Международной научной конференции "Материалы для строительных конструкций" (Макеевка, Украина, 1994), на И-й Международной конференции "Циклические процессы в природе и обществе" (Ставрополь, 1994), на Н-ой научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии" (Курск, 1995), на Х1-й Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Пущино Московской области, 1996), межвузовской областной конференции молодых ученых "Проблемы современной науки" (Орел, 1996), на Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых твердых тел. Методы конечных и граничных элементов» (С. Петербург, 1998); на научных семинарах, проводимых под руководством профессоров Толоконникова JI. А. (Тула, ТГУ, 1997), Гордона В.А. (Орел, ОрелГТУ, 1998, 1999), Леонтьева Н. Н. (Москва, МГСУ, 1998), Василькова Г.В. (Рос-тов-на Дону, 1999), Сафронова B.C. (Воронеж, ВГАСА, 2000). Диссертационная работа обсуждалась со специалистами отдела МДТТ ИМАШ РАН, возглавляемого чл.-корр. РАН Махутовым H.A.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 316 страницах машинописного текста и состоит из введения, двенадцати глав, заключения, списка литературы, включающего 134 наименования, и двух приложений. В работе приведены 114 рисунков и 41 таблица.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

По результатам проведенных в работе теоретических исследований можно сделать следующие выводы.

1 Разработаны теоретические основы, математический аппарат и методологические принципы применения нового инженерного метода решения двумерных задач теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков, - метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ).

К числу рассматриваемых задач относятся: поперечный изгиб и свободные колебания мембран и пластинок; устойчивость пластинок; кручение упругих призматических стержней.

2 При теоретическом обосновании и разработке МИКФ решен целый ряд вопросов, представляющих самостоятельное научное значение.

2.1 Математически строго доказана функциональная связь интегральных характеристик в рассматриваемых задачах теории упругости с интегральной характеристикой формы области - коэффициентом формы. Доказано, что коэффициент формы является геометрическим аналогом интегральных характеристик, и, таким образом, путем исследования его свойств и закономерностей для ограниченного множества областей, связанных одним геометрическим преобразованием, можно оценивать как качественную, так и количественную стороны физической задачи без ее решения. Другими словами, решение сложной физической проблемы сводится к решению элементарной геометрической задачи. С учетом этого предложен способ исследования двумерных задач теории упругости с помощью геометрического моделирования формой области.

2.2 При исследовании математической стороны задачи разработан приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков.

2.3 Подробно исследованы и обобщены закономерности изменения коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях; доказаны теоремы относительно изопериметрических свойств и закономерностей для отдельных классов геометрических фигур; разработана программа вычисления коэффициента формы для любой области с выпуклым контуром.

2.4 Разработаны способы построения аппроксимирующих функций для решения рассматриваемых задач теории упругости, относящихся к ограниченным подмножествам геометрических фигур, объединенных каким-либо одним геометрическим преобразованием, а также способы оценки погрешности решений, получаемых с помощью МИКФ.

2.5 Рассмотрена возможность построения полей деформаций, внутренних усилий и напряжений с помощью МИКФ.

3 Предложены разнообразные геометрические приемы преобразований фигур с целью создания определенных подмножеств областей.

4 Решения для некоторых классов фигур (произвольные треугольники, параллелограммы, трапеции и др.) представлены графически и указаны возможные границы изменения ФМХ.

5 Подробно изучены способы геометрического моделирования при решении многих задач теории упругости, связанных с областями определенных классов (треугольные, параллелограммные, трапециевидные области, области в виде частей круга (секторы, сегменты, луночки и т. п., области в виде правильных фигур), доказаны соответствующие изопериметрические теоремы.

6 Показаны возможные пути развития МИКФ и приемы его использования для решения задач теории упругости, связанных с областями с комбинированными граничными условиями.

7 Сравнивая МИКФ с другими приближенными методами как аналитическими, так и численными, молено очертить его область применения.

7.1 МИКФ рекомендуется использовать преимущественно в тех случаях, когда в качестве опорных используются известные из научной и справочной литературы решения:

276

- при решении двумерных задач теории упругости, связанных с типовыми (широко распространенными) областями;

- при необходимости быстрого получения оперативного результата;

- при многовариантном проектировании;

- при создании вычислительных комплексов в системах автоматизированного проектирования,

7.2 МИКФ может также применяться в указанных выше случаях и совместно с другими приближенными методами (преимущественно численными), когда опорные решения отыскиваются с помощью численных методов.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как обоснование и разработку нового научного направления исследований по проблеме развития и совершенствованию приближенных аналитических методов решения двумерных задач строительной механики.

Практическое внедрение этого метода в проектно-конструкторскую практику имеет важное народнохозяйственное значение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая результаты проведенного в диссертации исследования можно констатировать:

1 Выдвинутая в диссертации научная гипотеза о наличии функциональной связи между интегральными характеристиками в двумерных задачах теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков, с интегральной характеристикой формы области (коэффициентом формы) нашла в работе убедительное подтверждение. Установленная закономерность носит фундаментальный характер.

2 Коэффициент формы области оказался геометрическим аналогом интегральных характеристик в рассматриваемых задачах и его использование в качестве единственного независимого аргумента при построении аппроксимирующих функций, описывающих действительные решения задачи, связанной с определенным подмножеством областей, объединенных каким-либо одним монотонным геометрическим преобразованием, позволило свести решение сложной физической проблемы к геометрическому моделированию формой области (к решению элементарной геометрической задачи). Другими словами, качественную и количественную стороны двумерных физических задач, рассматриваемых в работе, можно оценивать без решения соответствующих дифференциальных уравнений. Это является основным преимуществом разработанного метода, поскольку подобной возможности не дает ни один из известных приближенных аналитических методов в теории упругости и строительной механике.

3 Для решения конкретных прикладных задач с использованием установленной закономерности предложен новый инженерный метод - метод интерполяции по коэффициенту формы, разработаны его теоретические основы, математический аппарат и методологические приемы реализации.

4 Основное содержание диссертационной работы полностью раскрыто в научной печати: в двух монографиях, одном учебнике, 37 научных статьях, опубликованных в таких научных журналах, как "Сопротивление материалов и теория сооружений", "Известия вузов. Строительство", "Известия вузов. Авиационная техника", "Проблемы машиностроения", трудах Международной конференции по теории оболочек и пластин, трудах института кибернетики АН Украины и др. - изданиях, в которых рекомендуется публиковать результаты научных работ по материалам исследований в докторских диссертациях.

Кроме того, диссертационная работа прошла широкую апробацию на научно-технических конференциях различного уровня от вузовских до международных, докладывалась на научных семинарах, которыми руководят известные крупные ученые в области строительной механики и теории упругости.

5 Часть научных исследований по теме диссертационной работы проводилась по гранту межвузовской научно-технической программы "Ар-хитек-тура и строительство" в 1994-1995 гг., и гранту РФФИ в 1994 г. Выполненные отчеты прошли научное рецензирование экспертами программы и фонда, а также государственную регистрацию в ВИНИТИ.

6 Разработанный в диссертации инженерный метод (МИКФ) внедрен в проектную практику в Хабаровском унитарном предприятии ХДП «ЦНИИПРОЕКТЛЕГКОНСТРУКЦИЯ», Орловском АОЗТ «Гипроприбор», Орловском институту «ГИПРОНИИСЕЛЬПРОМ» при решении некоторых задач прочности и динамики строительных конструкций.

7 Результаты научных исследований, полученные в диссертации, внедрены в учебный процесс при чтении курсов лекций и проведении практических занятий по спецкурсу строительной механики, основам теории упругости и пластичности, динамике и прочности летательных аппаратов для студентов машиностроительных и строительных специальностей в ОрелГТУ, ОрелГАУ, Сев.-КавГТУ (г. Ставрополь), Комсомольском-на-Амуре ГТУ, Днепропетровской государственной металлургической академии и ряде других вузов стран СНГ.

В 1998 году в издательстве Ассоциации строительных вузов стран СНГ (г. Москва) издан учебник «УНИРС для строителей», в котором две главы написаны автором и включают материалы по использованию МИКФ в организации и проведении научно- учебно-исследовательской работы студентов. Это учебник, а также монография «Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости» рекомендованы

УМО издательства для использования в учебном процессе для студентов строительных специальностей. В 1999 году в этом же издательстве вышла монография автора «Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости», которая также рекомендована Ассоциацией в качестве учебного пособия для студентов вузов технических специальностей.

8 Результаты исследований, полученные в диссертации, могут быть использованы при формировании учебных программ для студентов машиностроительных и строительных вузов по курсам теории упругости и пластичности, строительной механики, сопротивления материалов.

Методика МИКФ рекомендуется к внедрению в проектно-конструк-торскую практику при проведении прочностных расчетов различных строительных и машиностроительных конструкций.

9 Дальнейшее развитие МИКФ может пойти по пути преодоления введенных ограничений на круг рассматриваемых задач в диссертации, а главные перспективы его развития представляются автору в направлении его применения к геометрически и физически нелинейным задачам теории упругости и теории пластичности, а также к некоторым задачам теории пологих оболочек.

10 Следует отметить и междисциплинарный характер полученных в диссертации результатов. Методика МИКФ, ввиду наличия физико-механических и геометрических аналогий при математическом описании многих физических явлений природы, может быть распространена на решение некоторых задач физики, например задач гидродинамики и аэродинамики, магнитостатики и магнитодинамики, которые описываются дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков. Просматривается также возможность распространения этого метода на двумерные задачи математической физики, описываемые дифференциальными уравнениями параболического и гиперболического типов.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как обоснование и разработку нового научного направления исследований по проблеме развития и совершенствованию приближенных аналитических методов решения двумерных задач строительной механики.

1. Авдонин A.C. Фигуровский В.И. Расчет на прочность летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1985. 439 с.

2. Александров А.Я., Бородин М.Я., Павлов В.В. Конструкции с заполнителями из пенопластов. М.: Машиностроение, 1972. 212 с.

3. Александров А. В., Лащенников Б. Я., Шапошников H. Н., Смирнов В. А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ: В двух частях. М.: Стройиздат, 1976.

4. Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии. М.: Просвещение, 1967. - 648 с.

5. Анисимов А. Н. Устойчивость равномерно сжатых односвязных пластинок произвольной формы // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1970, N8. -С. 45-49.

6. Анпилогова А. В., Дехтярь А. С., Погорелый В. Ф. Геометрические свойства и несущая способность оболочек // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1987. - N 4. - С. 26-29.

7. Арутюнян H. X., Абрамян В. Л. Кручение упругих тел. М.: Физ-матгиз, 1964. - 840 с.8\ Ахмедиев С. К. Прочность, устойчивость и колебания треугольных пластин. Дисс. канд. техн. наук. Караганда, 1982. 156 с.

8. Балабух Л.И., Алфутов H.A., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. М.: Высшая школа, 1984. 3,91 с.

9. Безухов Н. И., Лужин О. В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974.-200 с.

10. Бояршинов C.B. Основы строительной механики машин. М.: Машиностроение, 1973. 456 с.

11. Вайнберг Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Буд1вельник, 1973, - 1050 с.

12. Варвак П. М., Варвак М. Ш., Дехтярь А. С., Рассказов А. О. Предельное равновесие оболочек отрицательной гауссовой кривизны // Пространственные конструкции зданий и сооружений. М.: Стройиздат. - 1972. -Вып. 1.-340 с.

13. Варданян Г. С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела. М.: Изд-воМИСИ, 1980. 103 с.

14. Вибрации в технике: Справочник. М.: Машиностроение, 1978. Т. 1.352 с.

15. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.- 984 с.

16. Габбасов Р. Ф. Расчет изгибаемых плит с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. - N 3. - С. 27-30.

17. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1940. - 280 с.

18. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек: Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1964. - 282 с.

19. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.

20. Гухман А. Л. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа, 1963.-254 с.

21. Дехтярь А. С. О форме и несущей способности замкнутых рам // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1989. -N3.-0.19-22.

22. Дехтярь А. С., Погорелый Д. Ф. Форма и несущая способность призматических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1989, - N 55. - С. 41-44.

23. Дубинский А. М. Расчет несущей способности железобетонных плит. Киев: Госстройиздат УССР, 1961.

24. Клячко С. Д. Об аффинности решения задач теории упругости: Тр. НИИЖТа. Строительная механика. Новосибирск. - Вып. 62. - 1967. - С. 6376.

25. Клячко С. Д. Аффинное подобие в теории неоднородных анизотропных упругих, упруго-пластических, упруго-вязких пластин и оболочек / Механика деформируемого тела и расчет сооружений: Тр. НИИЖТа. Новосибирск. - 1970. - Вып. 96. - С. 54-62.

26. Колесник И. А., Коробко А. В. Определение геометрической жесткости упругих призм с сечением в виде произвольного треугольника. Днепропетровский металлургический ин-т. Днепропетровск, 1989. 15 с. Деп. в УкрНИИНТИ 15.02.89, N 598-Ук89.

27. Колесник И. А., Коробко А. В. К вопросу о геометрической жесткости кручения секториальных призматических брусьев // Математическое и электронное моделирование в машиностроении. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР. - 1989. - С. 77-84.

28. Колесник И. А., Коробко А. В. О границах изменения физико-механических характеристик в задачах теории упругости, связанных с параллелограммом // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР. 1990. - С. 27-33.

29. Колесник И. А., Коробко А. В. Кручение упругих призматических брусьев с сечением в виде параллелограмма // Проблемы машиностроения. 1991. -Ы 36. - С. 34-39.

30. Колесник И. А., Коробко А. В. Определение физико-механических характеристик параллелограммных пластинок, мембран, сечений // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: - 1991. - N 60.

31. Колесник И. А., Коробко А. В. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев. - 1993. -N61.

32. Колесник И. А., Коробко А. В. Метод физико-геометрической аналогии в строительной механике // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. Киев: Институт кибернетики АН Украины. 1993.

33. Колманок А. С. Расчет пластинок: Справочное пособие. М. Гос-стройиздат, 1959. - 207 с.

34. Коренев Б. Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложениях к задачам о равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран // МПП. -1940. Вып. 5-6. - Т. 4. - С. 61-72.

35. Коробко А. В. Способ определения физико-механических характеристик плоских элементов конструкций // Авт. свидетельство N 1716373 СССР. М. Кл.4 G 01 N 3/00. Опубл. в БИ 1992. N 8.

36. Коробко А. В., Хусточкин А. Н. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим методом // Изв. вузов. Авиационная техника. -1992. -N 1. С. 105-114.

37. Коробко А. В. Исследование напряженно-деформированного состояния косоугольных пластинок, мембран и сечений геометрическими методами: Автореферат диссертации канд. техн. наук. Ростов-на-Дону, 1993. -20 с.

38. Коробко А. В. Определение высших форм и частот колебаний треугольных пластинок // Материалы Второй Международной конференции "Циклические процессы в природе и обществе"(Ставрополь, 1994). Изд-во Ставропольского университета, 1994. - Вып. 3. - С. 47-48.

39. Коробко А. В. Решение задач строительной механики методом интерполяции по коэффициенту формы // Изв. вузов. Авиационная техника.- 1995.-N3.-С. 81-84.

40. Коробко А. В. Решение задач строительной механики, связанных с фигурами в виде правильных многоугольников // Изв. вузов. Строительство.- 1995. -N47-C. 114-119.

41. Коробко А. В. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твердого тела. Ставрополь: Изд-во Ставропольского университета, 1995. - 165 с.

42. Коробко А. В. Свободные колебания пластинок с комбинированными граничными условиями / Сб. докладов и материалов II научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии", Курск, 1995.-С. 30-33.

43. Коробко А. В., Бояркин В. В. Оценка погрешности решений задач строительной механики, полученных методом интерполяции по коэффициенту формы / Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел, 1996.- Вып. 2. С. 65-69.

44. Коробко А. В. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению некоторых задач строительной механики / Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел, 1996. Вып. 2. - С. 114-122.

45. Коробко А. В. Расчет трапециевидных пластинок (мембран, сечений) методом интерполяции по коэффициенту формы // Изв. вузов. Авиационная техника, 1997. № 2. - С. 103-107.

46. Коробко A.B., Хусточкин А. Н. Взаимосвязь интегральных характеристик в двумерных задачах механики деформируемого твердого тела. Орел: ОГСХА, 1998. 22 с. Деп. В ВИНИТИ 19.03.98, № 795-В98.

47. Коробко В. И. Состояние и перспективы развития изоперметриче-ского метода в строительной механике // Изв. вузов. Строительство, 1993. N 11-12.-С. 125-135.

48. Коротеев Г. И., Чаплинский И. А. Теорема о симметризации пластинок переменной толщины // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1977. -N8. С. 47-48.

49. Коротеев Г. И. Некоторые вопросы расчета пластин переменного сечения методом предельного равновесия. Дисс. канд. техн. наук, Новосибирск, 1979.

50. Курдюмов А.А. Приложение теории подобия к расчету свободных и вынужденных колебаний корабля. В кн.: Труды Ленинградского кораблестроительного ин-та. 1961. Вып. 34. С. 63-67.

51. Куршин Л. М., Филыитинский Л. А. Устойчивость равномерно сжатой многоугольной пластинки // Изв. СО АН СССР. 1961. - N 7. - С. 3-8:

52. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

53. Лужин О. В. Проблемы устойчивости в строительной механике // Строительная механика и расчет сооружений. 1964. - N 2.

54. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.512 с.

55. Мазумдар Дж. Устойчивость пластинок произвольного очертания // Вестник МГУ. Математика и механика. 1966. - N 6. - С. 61-70.

56. Малых С. Г. Исследование графоаналитическим способом некоторых задач изгиба жестко защемленных пластинок // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1986. - N 1. - С. 126-130.

57. Мануйлов Г. А. Оценки критической нагрузки и основной частоты колебаний некоторых пластин полигонального очертания // Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкций. Л: ЛИСИ. -1983.-- С. 59-67.

58. Мануйлов Г. А. Оценки решений для четырехугольных пластин на основе некоторых геометрических преобразований // Численные решения задач строительной механики транспортных сооружений. М., 1986. - С. 6370.

59. Мануйлов Г. А. Геометрические оценки основной частоты шар-нирно опертых полигональных пластин и пологих сферических оболочек // Инженерные проблемы прикладной механики. М., 1987. - С. 87-94.

60. Мануйлов Г. А. О построении геометрических оценок решений для защемленных изотропных пластинок // Научно-технические проблемы судостроения и судоремонта. М., 1988. - С . 45-50.

61. Масленников А. М. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 225 с.

62. Митчелл Э. Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

63. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Гостехиздат, 1970. 512 с.

64. Монахенко Д. В. Предельная теорема аффинности и ее применение при моделировании задач строительной механики // Исследования по строительной механике. Л.: Изд-во ЛИИЖТа, 1968. - С. 173-179.

65. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1966. - 707 с.

66. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.

67. Овакимян С. Г. Изгиб правильных многоугольных и овалообраз-ных, защемленных по контуру тонких плит, методом конформного отображения / Тр. Ереванского политехи, ин-та. Ереван. - 1950. - Вып. 4. - С. 187235.

68. Огибалов П. М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: МГУ, 1958. - 389 с.

69. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластинки. М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

70. Пастушихин В. Н. Устойчивость упругих тонких пластинок с па-раллелограммным контуром // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1966.-N4.

71. Пискунов В. Г. К задаче о колебаниях и устойчивости параллело-граммных пластинок и мембран // Прикладная механика. Киев, 1965. - Т. 1. -Вып. 3.-С. 67-71.

72. Пискунов В. Г. Определение частот собственных колебаний треугольных и трапецеидальных пластинок // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1965. - N 9. - С. 58-62.

73. Пискунов В. Г. Частоты собственных колебаний ромбических пластинок при смешанных граничных условиях // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1969. - N4. - С. 44-46.

74. Погорелов А. В. Геометрическая теория устойчивости оболочки.-М.: Наука, 1966.-296 с.

75. Погорелов А. В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М. : Наука, 1967.- 280 с.

76. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980. 326 с.

77. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М. : Госматиздат, 1962. - 336 с.

78. Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике. М.: Гостехиздат, 1948. - 400 с.

79. Пригоровский Р. И. Методы и средства определения полей деформации и напряжений. М.: Машиностроение, 1983. - 248 с.

80. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трех томах. -М.: Машиностроение. 1968. - Т. 1. - 831 с; Т.2. - 463 с; Т. 3. - 567 с.

81. Рассказов А. О., Дехтярь А. С. Предельное равновесие оболочек. -Киев:, 1978. 151 с.

82. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

83. Роотс Л. М. Нахождение критической нагрузки равномерно сжатых пластинок трапециевидного и треугольного очертания / Тр. конф. по теории пластин и оболочек. Казань. - 1960 - С. 306-311.

84. Роотс Л. М. Об устойчивости пластинок различной формы. Дисс. канд. физ.- мат. наук, Тарту. - 1961.

85. Роотс Л. М. Об устойчивости пластинок различной формы, в частности треугольных и трапециевидных / Учен. зап. Тартуского ун-та. -1961,- Вып. 102. С. 351-365.

86. Роотс Л. М. Определение критических нагрузок равномерно сжатых треугольных пластинок / Учен. зап. Тартуского ун-та. 1961. - Вып. 102. - С. 372-375.

87. Роотс Л. М., Таутс Т. Об устойчивости защемленных пластинок произвольной формы // Учен. зап. Тартуского ун-та. 1962. - Вып. 129. - С. 487-492.

88. Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М.: Госстройиздат, 1954. - 287 с.

89. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М.: Госматиздат, 1955. 475 с.

90. Ржаницын А. Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1983.-288 с.

91. Самарский А. А., Андреев В. В. Разностные уравнения для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

92. Саченков А. В. К расчету на устойчивость плоских пластин // Изв. вузов. Авиационная техника. 1963. - N2. - С. 44-49.

93. Сен-Венан. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Госматиздат. 1961.

94. Серенсен C.B., Когаев В.П., Шнейдерович P.M. Несущая способность и расчеты на прочность деталей машин. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.

95. Справочник по теории упругости. Киев: Буд1вельник, 1971.419 с.

96. Суслов В.П., Кочанов Ю.П., Спихтаренко В.Н Строительная механика корабля и основы теории упругости. Л.: Судостроение, 1972. - 720 с.

97. Сухарев И. П. Экспериментальные методы исследования деформаций и прочности. М.: Машиностроение, 1987. - 212 с.

98. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / Пер. С англ. М.: Физматгиз, 1959. 439 е.

99. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. -М.: Наука, 1971.- 808 с.

100. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: 1963.- 635 с.

101. Уманский А. А. Строительная механика самолета. М,: Оборон-гиз, 1961. 529 с.

102. Фейш Тот JI. Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве. М.: Физматгиз, 1958.

103. Феофанов А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций. М.: Машиностроение. 1964. 136 с.

104. Филиппов А. П. Колебания механических систем. Киев: Науко-ва думка, 1965. - 716 с.

105. Хусточкин А. Н. Развитие и применение изопериметрического метода к решению задач устойчивости пластинок. Дисс. канд. техн. наук. -Ставрополь. 1991.

106. Шаповалов Л. А. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1990. - 287 с.

107. Шклярский Д. О., Ченцов Н. И., Яглом И. М. Геометрические неравенства в задачах на максимум и минимум. М.: Наука, 1970. - 335 с.

108. Шуманн В. Об одном изопериметрическом неравенстве в теории пластинок // Механика. 1959. - N4. - С. 73-78.

109. Cadambe V., Kumaraswami М., Kanl Р. К. Transverse vibration of thin cantilever plate of trapezoidal plan form // J. of just. Enqes of India. -1956. -Parti.-N5.

110. Carleman T. Uber ein Minimalproblem der mathematischen physik // Mathematische Zeitschriti 1918. - V. I. - P. 208-212.

111. Courant R. Beweis des satzes, das von allen homogenen Membrantn gegebenen Umfanges und gegeben Spannund die kreisförmige den tietsten crundtion gibt // Mathematische Zeitschrift. 1918. - V. 1. P. 321-328.

112. Сох H. Vibranion of isosceles triangular plates // ZAMP. 1955. - v.vl.

113. Cox H., Klein B. Vibration of isosceles triangular plate // ZAMP. -1955. v. vl.

114. Faber G. Beweis dab unter allen hovogenen Membranen von gleicher Flache und fleicher Spannung die kreisformide den tiefsten crundtion gibt // Sitzungsberichte der Bayrischen Akademie der Wissenschaften. 1923. -P. 169-172.

115. Hamanda M., Koubo H. Fundamental freguency of a rhomboidal plate with all edges clamped // Trans. Japan. Soc. Mech. Engrs.- 1957. N131.

116. Kaul R. K., Cadambe Y. The natural freguencies of eigen values of a clamped plate in tension // Aero Gurt. 1956.288

117. Kaul R. K., Cadambe V. The natural freguencis of thin skev plates //Aero. Guart. 1956.

118. Klein B. Fundamental frequencies of arbitrarily shaped simplysupported triangular plate // J. Roy. Aer. Soc. 1965. - V. 60. - N541.

119. Pan Lin-Chow. Equilibrium, vibration and Bucklind of 30 60 Trianqular plate, Simply supported at the Edqes // Scient. Sinica. - 1957. - N6 - P. 347-379.

120. Polya G. Sur la frequence fondamental des membranes vibranes et la resistance elestique des tiges a la torsion // Comptes Rendus de I Academie des saences. V. 228. - P. 346-348.

121. Steiner J. Einfache beweise der isoperimetrischen Hauptsatza // Ges. Werke. Berlin. - 1882. - V. 2. - P. 77-91.

122. Wittrick W. A. Symmetrical Buckling of Riqht-Anqled Isosceles Triaqular plates//Aeronautical Guarterly. 1954. - V. V. P. 131-143.

123. Wainstein A. Edude des spectres des equations aux derivees partielles de la theorie des plaques élastiques // Memorial des Sc. Math. 1937. -V. 88.