автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Геометрические исследования и напряженно-деформированное состояние тонких упругих торсовых оболочек

КРИВОШАПКО Сергей Николаевич

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКИХ УПРУГИХ ТОРСОВЫХ ОБОЛОЧЕК

05.23.17 — строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва — 1995 г.

КРИВОШАПКО Сергей Николаевич

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКИХ УПРУГИХ ТОРСОВЫХ ОБОЛОЧЕК

05.23.17 - строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1995г.

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

А.Б.Козаченко

доктор технических наук, профессор П.А.Лукаш

доктор технических наук, профессор Н.Е.Милейковский

Ведущая организация: 26-й Центральный научно-исследовательский институт Министерства Обороны РФ.

Защита состоится " ш-он Д _ 1995г в 15.30 часов

на заседании диссертационного совета Д 053.22.08 в Российское университете дружбы народов по адресу: 117198, г.Москва, ул. Орджоникидзе,3, ауд.348.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, Москва, ул.Миклухо-Маклая, д.6)

Автореферат разослан » фъг^аиД 1995г.

И.о.ученого секретаря диссертационного совета доктор технических наук,

профессор Дидух Б.И

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В проблеме расчета тонких упругих оболочек в настоящее время достигнуты большие успехи как в области математической теории, так и в области технической теории, которая, основываясь на гипотезах Кирхгофа-Лява и принятых дополнительных рабочих гипотезах, обоснованных экспериментальными данными, занимается построением упрощенных расчетных уравнений и методами их решения, удобными для проведения инженерных расчетов. Однако оболочки, применяемые в реальных конструкциях и спроектированные на основании расчета, с геометрической точки зрения, относятся к весьма ограниченному числу поверхностей: круговых цилиндрических и конических, сферических, тороидальных, прямого переноса и некоторых других. Оболочки, имеющие более сложную форму, как правило, осуществляются на основании эксперимента. Невелико разнообразие фигур в плане и контуров, расположенных в разных уровнях, перекрываемых оболочками. Однако потребность человека удовлетворить свои.физические или духовные запросы вызывает необходимость расширения научных исследований геометрии и напряженно-деформированного состояния изделий и сооружений в форме тонкостенных пространственных конструкций сложной формы, но с простой технологией возведения.

Из всех разнообразных геометрических моделей тонкостенных пространственных конструкций наиболее широкий интерес представляют конструкции в форме торсовых поверхностей, так как процесс изготовления изделия на основе этих поверхностей намного проще благодаря их способности разворачиваться на плоскость без складок и разрывов. Это важное преимущество торсов перед другими геометрическими моделями оболочечных конструкций подчеркивали академики Г.Е.Павленко, В.П.Горячкин, профессора В.Г.Рекач, Н.Н.Рыжов, В.С.Обухова, В.С.Люкшин и др. Благодаря произвольной форме ребра возврата, касательные к которому образуют торс, ему может быть придана разнообразная конфигурация. Предметом пристального изучения стали способы конструирования торсовых конструкций. Большой выбор способов конструирования позволяют придать торсам необходимую форму, заданные технологические свойства и делают их удобными для применения в

различных отраслях производства и строительства.

В этих условиях большое значение имеют прикладные научные исследования в области гражданского, промышленного, автодорожного строительства, судо-, самолето-, машиностроения. Во всех этих отраслях нашли применение торсовые конструкции. Результаты геометрических исследований торсов используются в легкой промышленности (пищевое машиностроение, упаковочная тара, автоматизированный процесс конструирования одежды). Торсы могут служить инструментом для изучения геометрии сложных поверхностей и физических явлений.

После изучения практически всей, доступной в СНГ(СССР), научно-технической литературы по исследованию геометрии, напряженно-деформированного состояния торсовых оболочек, литературы, освещающей вопросы практического применения и примеры реально воплощенных в изделия, сооружения торсовых конструкций, изучения авторских свидетельств на изобретения, диссертаций, посвященных исследуемой тематике, можно сделать вывод, что все научные исследования по торсам условно разделяются на 8 групп:

1. Внутренняя и внешняя геометрия, конструирование торсовых поверхностей. В этом разделе большую роль сыграли исследования Г.Монжа, М.Я.Выгодского, В. Ф. Кагана, Н.Н.Рыжова, В.С.Обуховой, С.П.Финикова, Е. П.Утишева, В.Я.Булгакова, А.И.Волкова, М.Я.Громова, С.Ф.Пилипаки, В.И.Михайловского и др. Определенный вклад в развитие этого раздела исследований внесли Ашпап Günter, Златанов Г., Вата L., Botez M.St., Cleave J.P., Deaux R., Dedonder W., Dobrescu A., Gallo Ondrej, Gi-ering 0., Meirer Kl., Myard Fr., Pöschl Th., Stoker J.J., Cou-toumanos A., Marris A.W., Passman S.L. и др.

2. Построение разверток торсов на плоскость, совместное изгибание отсеков пересекающихся торсов, свертывание кривой на развертке в сечение торсовой поверхности. В число ученых, имеющих научные результаты в этой области входят: Р.У.Алимов, К.М.Белов, И.П.Гершман, Ж.Н.Горбатович, Д.Д.Джанабаев, А.Л.Мартиросов, В.С.Обухова, С.Ф.Пилипака, Л.С.Панасюк, И. А.Скидан и др.

3. Аппроксимация торсов складками, аппроксимация сложных поверхностей торсами. В этой области работают В.С.Обухова,

Ю.Г.Кардашевская, А.И.Волков, В.И.Малиновская, А.В.Павлов, Н.Н.Рыжов, Ю.С.Завьялов и др.

4. Качение торсов друг по другу. Эта проблема исследуется в трудах В.С.Обуховой, А.Л.Мартиросова, С.Ф.Пилипаки и др.

5. Приложение теории торсов к геометрии сложных поверхностей.

6. Вопросы практического применения торсов в реальных сооружениях и изделиях.

7. Моментная и безмоментная теория расчета тонких упругих торсовых оболочек. Определением напряженно-деформированного состояния торсовых оболочек занимались Юханио Маруланда, Фарес Милад Ж., Barbagelata Andrea, Г.Ч.Баджория, Сальман Аль Духей-сат, М.Ф.Копытко, Я.Г.Савула, С.Б.Косицын, С.И.Трушин и др. Экспериментальные исследования НДС торсовых оболочек пока никем не проводились.

8. Обобщение понятия торсовой поверхности на многомерный случай. Этот раздел в основном представлен трудами зарубежных ученых: Auman G., Bereis R., Portnoy Esther. Thas C., Vogler H. и др. Имеются также работы В.М.Савицкого, К.Н.Тамбова в той или иной степени затрагивающие данную проблему.

Порядка 80% публикаций от общего их числа посвящены геометрическим исследованиям торсовых поверхностей и около 15% работ исследуют вопросы напряженно-деформированного состояния торсовых оболочек. Наиболее полно исследована геометрия торсовых поверхностей, хотя и здесь есть еще задачи, ждущие своего решения. Очень мал выбор конкретных торсовых поверхностей, которые можно было бы предложить инженерам-проектировщикам для дальнейшего применения. В основном все методики иллюстрируются на торсах-геликоидах, на торсовых поверхностях с двумя направляющими параболами в паралллельных плоскостях. С большими математически™ трудностями приходится сталкиваться, решая задачу о построении развертки торса на плоскость. И опять же все предлагаемые методики построения разверток иллюстрируются на цилиндрах, конусах и торсах-геликоидах.

Очень мало работ по определению компонентов напряженно-деформированного состояния тонких упругих торсовых оболочек, что сдерживает практическое применение их в строительстве и машиностроении.

Отсутствуют численные примеры расчетов тонких упругих торсовых оболочек по моментной теории. Безмоментная теория тонких торсовых оболочек насчитьюает 2-3 числовых примера расчета. Совершенно не изучен вопрос о возникновении внутренних усилий и моментов при конформных преобразованиях тонких торсовых конструкций с сохранением их прямолинейных образующих.

Актуальность решаемых в диссертационной работе проблем обусловлена необходимостью повышения эффективности применения ЭВМ при геометрическом моделировании и конструировании торсовых поверхностей, построении их разверток на плоскость, необходимостью обеспечения всеми исходными геометрическими параметрами задач расчета торсовых оболочек по безмоментной и моментной теориям, созданием системы расчетных уравнений для определения компонентов НДС и решением ряда прикладных задач.

Цель работы. Приняв за основу метод конструирования торсовых поверхностей по двум заданным направляющим кривым, расширить класс торсов, заданных параметрическими уравнениями своего ребра возврата, создать группу методов и методик, позволяющих решать большой класс задач, связанных с внутренней и внешней геометрией торсовых поверхностей, с изгибанием их на плоскость, построением складок, с определением НДС от действия внешней поверхностной распределенной нагрузки, от смещения опорных контуров, от конформных преобразований тонкостенных торсовых оболочек.

Цель работы состоит также в получении численных результатов решений ряда инженерно-прикладных задач по геометрии и определению НДС тонких упругих торсовых оболочек для создания базы данных, которые могут быть использованы для сравнения с аналогичными результатами, полученными исследователями торсовых оболочек, применяющими другие методы для достижения тех же результатов.

Научную новизну работы составляют:

1. Новая форма представления уравнения Гаусса в теории поверхностей, позволяющая дать ему геометрическую интерпретацию.

2. Получение формул, с помощью которых можно вычислить коэффициенты основных квадратичных форм поверхности, главные кривизны, углы между криволинейными координатами через кривиз-

ну и кручение ребра возврата.

3. Метод построения разверток торсовых поверхностей на плоскость при помощи последовательного вычисления длин направляющих кривых, прямолинейных образующих и углов между ними.

4. Конструктивный способ построения складок, максимально аппроксимирующих исходную торсовую поверхность и построение их разверток на плоскость.

5. Уравнения равновесия и физические соотношения линейной теории тонких упругих оболочек в криволинейной неортогональной системе координат.

6. Формулы для вычисления внутренних усилий и моментов на косых сечениях в криволинейной неортогональной системе координат.

7. Формулы для определения внешней поверхностной распределенной нагрузки через параметрические уравнения ребра возврата срединной торсовой поверхности.

8. Система трех дифференциальных уравнений восьмого порядка в частных производных относительно трех перемещений срединной поверхности и ее вариант для торсовой поверхности в форме торса-геликоида.

9. Реализация аналитического и полуаналитического метода малого параметра, являющегося одним из ассимптотических методов решения краевых задач, применительно к определению напряженно-деформированного состояния тонких упругих оболочек в форме длинных эвольвентных геликоидов.

10. Методика определения внутренних усилий и моментов, возникающих при изометрическом изгибании тонких упругих винтов Архимеда с сохранением их прямолинейных образующих.

11. Формулы для определения тангенциальных внутренних усилий и перемещений для всего класса торсовых оболочек, заданных в криволинейной неортогональной системе координат и расчитываемых по безмоментной теории расчета тонких оболочек.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке методов, методик, конструктивных алгоритмов и рекомендаций, расширяющих возможности освоения и привлечения в практику конструирования широкого круга линейчатых оболочек, спроектированных на основе торсовых невырожденных поверхностей. При этом предложены новые параметрические уравнения торсов, пост-

роенных на двух плоских направляющих опорных кривых с визуализацией полученных геометрических моделей, продемонстрированы на конкретных примерах большие возможности торсовых оболочек в строительстве большепролетных сооружений, в применении их в инженерных коммуникациях. Практически все задачи, рассмотренные в диссертации, решаются двумя-тремя методами, что позволяет контролировать полученные результаты и быть уверенным в достоверности положений, выводов, рекомендаций, лежащих в основе данного исследования.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций. Геометрические исследования, выполненные в работе, основаны на использовании классических методов дифференциальной геометрии по преобразованию координат, квадратичных форм поверхности, по построению специальных координатных сетей на поверхности. Все результаты теоретических исследований подтверждены визуализацией полученных геометрических моделей средствами начертательной геометрии и инженерной графики.

Теоретической базой исследования НДС торсовых оболочек служила моментная линейная теория тонких упругих оболочек. Некоторые задачи, решаемые в диссертации, брались за прототип в работах других исследователей торсовых оболочек. Проведенные ими сравнения результатов показали хорошее совпадение. Методика определения НДС тонких упругих длинных торсов-геликоидов проверялась также на примере круглой кольцевой пластинки, которая является вырожденным торсом-геликоидом.

Математический аппарат, применяемый для решения конкретных задач: теоремы теории поверхностей для криволинейной неортогональной системы координат, численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений, метод малого параметра -один из асимптотических методов решения краевых задач, теория конформных преобразований - хорошо разработан и апробирован в трудах отечественных и зарубежных математиков.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались или опубликованы в материалах и тезисах докладов научно-технических конференций:

- XVI XXXI научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава инженерного факультета Российского университета дружбы народов (1981*1995г.г.),

- Уральская научно-техническая конференция "Геометрическое моделирование" (г.Пермь, 1988г.),

- II конференция научно-учебного центра физико-химических методов исследования (г.Москва, УДН,1989г.),

- III Всесоюзный совещание-семинар молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (г.Казань,1988г.),

- III конференция научно-учебного центра "Применение физико-химических методов исследования в науке и технике" (г.Москва, УДН,1990г., секция Механики деформируемого твердого тела и технической кибернетики),

- 10-я Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь,1995г.),

-XXXI научная конференция профессорско-преподавательского состава факультета физико-математических и естественных наук РУДН (1995г.), а также на семинарах

- кафедры сопротивления материалов и кафедры промышленных и гражданских сооружений РУДН(1995г.),

- кафедры теоретической механики и сопротивления материалов Московского вечернего металлургического института (1995г.).

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 работа, среди них 1 монография (в соавторстве с В.Г.Рекачом), 1 справочник, 1 авторское свидетельство на изобретение (в соавторстве), 1 методическое указание, 5 тезисов докладов научно-технических конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из вводной главы, пяти глав основного содержания, общего заключения, основных результатов и выводов, 115 наименований библиографии. Содержательная часть включает 248 страниц, 49 рисунков и 4 таблицы.

Содержание работы

Вводная глава посвящена обоснованию актуальности темы исследования. Показывается, что торсовые поверхности и оболочки привлекают к-себе исследователей, благодаря их способности образовывать разнообразные конфигурации как в плане так и в пространстве, не усложняя при этом технологический процесс их

изготовления, который можно хорошо приспособить к производственным возможностям заводов, производящих заготовки для монтажа торсовых оболочек. На конкретных примерах со ссылкой на специальную техническую литературу иллюстрируются возможности применения торсовых конструкций в судо-, самолето-, машиностроении. в промышленном, гражданском и автодорожном строительстве, в легкой промышленности. Указываются научные работы, где торсы используются в качестве инструмента исследования геометрии сложных поверхностей, изучения физических явлений. В соавторстве с архитектором предлагаются архитектурные решения некоторых зданий: выставочный павильон, состоящий из однотипных торсовых секций, образующий в плане правильный многоугольник, здание аэропорта, покрытие гаража, имеющего в плане на отметке пола форму вытянутой правильной трапеции, покрытие складского помещения произвольного четырехугольного плана. В области инженерных коммуникаций предлагаются новые решения соединения трубопроводов разного диаметра, пересекающихся под произвольным углом, с помощью торсового диффузора патрубка-перехода, торсовые раструбы для местного отсоса газов, решение соединения нескольких трубопроводов к общему коллектору.

Вводная глава заканчивается анализом всех опубликованных материалов по торсовым поверхностям и оболочкам и делается вывод, что актуальность выбранной темы исследования не вызывает сомнений, так как их результаты имеют как научное так и практическое значение.

В первой главе рассматриваются вопросы конструирования и задания торсовых поверхностей и их конформные преобразования. Дается краткий обзор существующих способов конструирования торсовых поверхностей, а за основу дальнейших геометрических исследований принимается способ конструирования поверхности по двум заданным направляющим кривым как поверхности, огибающей однопараметрическое семейство плоскостей. Этот метод предложен Г.Монжем в 1805 г. и позволяет найти параметрические уравнения ребра возврата соответствующего торса. Указывается, что до настоящего времени известны лишь 4 работы, где получены параметрические уравнения торса с заданными образующими плоскими кривыми. И практически нет работ, где бы рассматривались конкретные примеры с демонстрацией полученных результатов на ри-

сунках. В диссертации получены 8 уравнений однопараметрическо-го семейства плоскостей, касающихся одновременно двух плоских направляющих кривых, и параметрические уравнения восьми ребер возврата соответствующих торсов с краевыми элементами в виде окружностей, эллипсов, парабол, что несколько восполнило этот вакуум в классе торсов, заданных своим ребром возврата. Указано, что в двух научных статьях к классу торсовых поверхностей ошибочно причислялись вырожденные торсовые поверхности: конус и цилиндр.

Было принято, что одно семейство криволинейных координат совпадает с прямолинейными образующими торсовой поверхности, а другое - равноотстоящие от ребра возврата линии. Для этого случая задания торсовой поверхности получены три формы записи коэффициентов квадратичных форм: 1) коэффициенты выражаются через координаты ребра возврата, 2) коэффициенты выражаются через кривизну (К) и кручение(Т) ребра возврата, 3) то же, что и вторая форма записи, но параметрические уравнения ребра возврата представлены как функции длины его дуги и поэтому эта форма записи несколько упростилась: а ^ F = 1, в2 = i + и'гк2, I = М = О, N = и KT.

Установлено, что для торсовых поверхностей смысл уравнения Гаусса, заключается в том, что смешанная производная от суммы трех углов, лежащих в касательной к торсу плоскости, равна нулю. Доказано, что тангенс угла между координатными линиями на торсе увеличивается прямо пропорционально расстоянию от ребра возврата до соответствующей точки на поверхности, взятому вдоль прямолинейной образующей и в пределе стремится к бесконечности, т.е. угол х между координатными линиями стремится kW2, а принятая координатная сеть к криволинейной ортогональной сопряженной системе координат в линиях главных кривизн. Установлено, что главная кривизна не равная нулю, выражается через кручение ребра возврата: 12 = ctgy -т, kx =о.

Дальнейшие исследования связаны с конформными преобразованиями торсов-геликоидов. Рассматривается процесс изометрического изгибания круглой кольцевой пластинки, разрезанной вдоль касательной к своему плоскому ребру возврата в торсы-геликоиды с различными углами наклона своих прямолинейных образующих (рис.1) и вычисляются соответствующие компоненты векто-

ра упругого смещения, который развертывается по осям основного триедра: Щи,я) = е„«и + е."» + »неполученные результаты геометрических исследований реализуются затем на примере 6 инженерно-прикладных задач.

Заканчивается глава рассмотрением винтов Архимеда с равными углами наклонов их прямолинейных образующих и равными диаметрами соосных цилиндров, между которыми находятся винты Архимеда. Все этапы исследования проиллюстрированы на рисунках.

Практически все формулы, полученные в первой главе, используются в последующих главах диссертации.

Материалы главы освещены в работах [ 1т4, 11,13,15,17,18, 22,23,24,28,30].

Вторая глава посвящена разработке метода построения разверток торсов на плоскость и построению на основе торсов складчатых поверхностей с дальнейшим их развертыванием на плоскость.

Отмечается, что эти задачи могут быть решены в графическом, графоаналитическом и аналитическом виде. Дается краткий анализ существующих методов построения разверток торсов, отмечаются их достоинства и недостатки и делается вывод, что несмотря на существование множества методов построения разверток торсов, конкретных примеров, иллюстрирующих тот или иной метод, в технической литературе приведено мало. В основном все методы отрабатываются на примерах цилиндров и конусов. После изучения существующего положения в диссертации был предложен приближенный метод построения разверток торсов общего вида: метод последовательного вычисления длин направляющих кривых, прямолинейных образующих и углов между ними.

Алгоритм развертывания торса по этому методу заключается в следующем. Предполагают, что параметрические уравнения ребра возврата торса определены заранее.

Известны также уравнения двух кромочных кривых торса. Этих данных достаточно для вычисления всех геометрических параметров развертки. Используя материалы первой главы, автор получил аналитические формулы для нахождения длин образующих прямых, углов между граничными кривыми и прямолинейными образующими, длин граничных кривых между соответствующими прямолинейными образующими. Предлагаемый метод был проиллюстрирован

сначала на примере развертывающегося геликоида, а затем строятся развертки для более сложных поверхностей. Всего рассмотрено 4 примера построения разверток, из которых 3 примера не имеют аналогов. На рис.2 показана развертка торса с эллипсом и окружностью на противоположных параллельных торцах, лежащих в плоскостях .1' = О и .1- = 5.

Замена торсовых оболочек системой плоских четырехугольных пластин, т.е. замена криволинейных поверхностей описанными складчатыми, наиболее точно повторяющими формы исходных торсов, легко осуществима именно для торсов, так как они по определению образовываются однопараметрическим семейством плоскостей, касающихся торсов вдоль образующих прямых. Координаты точек аппроксимирующей складчатой поверхности получаем как координаты точек пересечения трех плоскостей. Двумя плоскостями будут являться две соседние грани складки, которые можно получить из уравнения однопараметрического семейства плоскостей при двух фиксированных параметрах. В качестве третьей плоскости принимается плоскость, которой принадлежит контурная кривая торса. По координатам угловых точек складки вычисляются все

-6,0,75)

Рис. 2

Рис. 3

необходимые линейные и угловые величины для построения развертки. Предлагаемая методика иллюстрируется двумя примерами, аналогов которым тоже нет (рис.3).

Построение складок на основе торсов вводит в рассмотрение новую развидность складчатых конструкций и дает возможность архитекторам и инженерам применять новые архитектурные формы.

Материалы главы 2 опубликованы в статьях [9,12,16,18], кроме того часть материалов главы 2 была использована для дальнейшего развития в двух статьях других авторов.

В третьей главе проведены исследования, направленные на расширение возможностей использования криволинейной неортогональной системы координат в линейной моментной теории тонких упругих оболочек.

Торсовые поверхности удобно задавать в криволинейной неортогональной сопряженной системе координат. В связи с этим возникла необходимость в системе расчетных уравнений для этой системы координат. Система 20 уравнений, приведенная в монографии А.Л.Гольденвейзера, содержит так называемые "псевдоусилия" (Рис.4, векторы со звездочками) вместо усилий и моментов, общепринятых в инженерной практике (Рис.4, векторы без звездочек). Между этими силовыми факторами установлены отношения:

Принимая геометрические уравнения без изменений, в диссертации были получены уравнения равновесия и физические соотношения, содержащие усилия и моменты в обычном их понимании. Полностью система насчитывает 20 расчетных уравнений с 19 неизвестными. При выводе уравнений равновесия не учитывались как физические свойства материала оболочки так и картина деформаций, что возможно допустить при условии малости перемещений оболочки по сравнению с ее толщиной. При выводе уравнений упругости использовались физические соотношения для оболочки в линиях кривизн и формулы, связывающие деформации, отнесенные к

= ЛГ^тх, 5„ = 5* + лг; соях, М„и = М*„ 5ШХ, мк = ~м; + м;ис оэх,

Л'„ = Лг* зтх>

5„ = 5;+ЛГа'со8х,

М„„ = -М^тх, ми = -м; -м;„с оэх-

■МГ —

и

ъ

РИС. 4

линиям кривизн поверхности с деформациями, отнесенными к произвольным косоугольным координатам этой ке поверхности.

Полученные системы 20 расчетных уравнений затем были применены для торсовых оболочек. Они приняли следующий вид: шесть уравнений равновесия:

ОУ и ои аи

- , В2 ^ + = 0; ч/В2 - ^ Л„

■ +

ч/в2 - Г2 Д» ди дv

дМ„ 1 УДД-.Р',,, х . „М/.. . /да—

4-\ЛВ2-Г2д„=0;

+ - м„) - ^т^ 4-

ду и ди ои

+ В<3„ + ^ = 0; (5„ - + ВД - *„) - = 0;

восемь физических уравнений:

А^,« = - £«» X + ^и,«);

= (1 - I/) С [£„„ + (£»,« - е«,») с'й х)/2; А/»«,,», = (1 - у) -С (ае »„ - соз хае и,„);

шесть геометрических уравнений:

ч

е"= + Ви"]

в

е =+ — — 4-"г

" В до В2 Эг; В ~~ди + Л^'

В

Эи

рэв

в аи + в* а«

1

0«

а /в

+ -¿г-и,

ал,

+ ■

5В

ае „ = —

ди Вч/В^Грг

1 ЭА2 _ 1 ЗВ 5« В ди

1 диг « В 5гГ ~ Д

9А2

а«'

ыи

^ _ В(диг/ди) - %(диг/ду) + Г(ц./Д,) А2 = ~ Р(дчг/ди) - В^/Д^)

2 Тэ^т? '

Из рассмотрения равновесия треугольного элемента оболочки, в котором две стороны совпадают с координатными линиями

разных семейств, а третья сторона расположена произвольно были получены формулы для определения внутренних усилий и моментов на произвольных сечениях, не совпадающих с координатными линиями. В дальнейшем эти формулы были использованы для постановки граничных условий в усилиях, моментах.

В диссертации учитываются внешние нагрузки типа собственного веса, ветровой, снеговой нагрузки, зная которые, а также полагая известными параметрические уравнения ребра возврата, можно с помощью выведенных в диссертации формул получить значения составляющих внешней поверхностной нагрузки на единицу площади поверхности. Компоненты внешней нагрузки раскладываются по осям ортогонального триедра. Рассмотрен пример определения компонентов внешней поверхностной нагрузки типа собственного веса для оболочки в форме эвольвентного геликоида и установлен неочевидный факт, что вектор нагрузки от собственного веса лежит в плоскости двух векторов: вектора, совпадающего с прямолинейной образующей геликоида и вектора нормали к поверхности геликоида.

Затем полученная система 20 расчетных уравнений приводится к виду, необходимому для применения технической моментной теории тонких упругих оболочек, для чего принимаются общеизвестные допущения.

После введения новых функций перемещений, система расчетных уравнений сводится к системе трех дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка относительно трех введенных функций перемещений срединной поверхности торсовой оболочки. Использование геометрических уравнений гарантирует удовлетворение условиям совместности деформаций в срединном слое оболочки. Из рассмотрения полученных уравнений делается вьвод о возможности свести систему трех уравнений к системе двух дифференциальных уравнений при условии, если принять коэффициент Пуассона равным нулю.

Полученные уравнения применяются для определения НДС тонких оболочек в форме торсов-геликоидов, затем задача упрощается и рассматривается длинный тонкий упругий торс-геликоид, в связи с чем система трех дифференциальных уравнений в частных производных приводится к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений.

- 19 -

Дается пример расчета длинного торса-геликоида на вертикальное смещение внутреннего опорного контура. Привлекается аналитический аппарат метода малого параметра. Искомые перемещения срединной поверхности раскладываются в ряды по степеням малого параметра и определяются векторные коэффициенты. После чего вычисляются внутренние усилия и моменты и строятся соответствующие эпюры. Из-за отсутствия аналогов было принято решение апробировать предлагаемую методику и соответствующие формулы на примере расчета круглой кольцевой пластинки, рассматривая ее как торс-геликоид с шагом цилиндрического винтового ребра возврата равным нулю. Результаты дали полное совпадение с общеизвестными данными.

Материалы главы 3 были опубликованы в работах[1,2,3,8, 10.14.19,27,29]. Кроме того, формулы, полученные в третьей главе, использовались в многочисленных статьях других исследователей НДС торсовых оболочек и брались за основу дальнейших разработок и решений ряда прикладных задач в трех кандидатских диссертациях. Следовательно, материалы главы 3 в определенной степени восполнили пробел в обеспечении исходными расчетными уравнениями инженеров, занимающихся расчетом торсовых оболочек, заданных в криволинейной неортогональной системе координат.

В главе 4 применяется упрощенный вариант общей теории -- безмоментная теория торсовых оболочек. Отмечается, что по существу нет результатов расчета торсовых оболочек по безмо-ментной теории, хотя при выполнении некоторых условий эта теория дает приемлимый результат. В настоящее время существуют две кандидатские диссертации, где приведены несколько примеров расчета торсовых оболочек в линиях кривизн по безмоментной теории от действия собственного веса. Предлагаемая там методика ограничена в применении классом линейчатых резных поверхностей Монжа. Поэтому в небольшой по объему четвертой главе диссертации сформулированы новые постановки задач расчета торсовых оболочек, допускающие применение безмоментной теории. Используются уравнения равновесия, которые получаются из уравнений моментной теории, приведенных в третьей главе диссертации. В результате решения системы четырех уравнений равновесия получены формулы для определения нормальных и касательных усилий

для всего класса торсовых невырожденных оболочек, заданных в криволинейной неортогональной сопряженной системе координат.

После применения физических и геометрических уравнений для произвольной системы криволинейных координат получены в явном виде формулы для определения перемещений срединной поверхности торсовых оболочек.

Сформулировано несколько вариантов граничных условий в усилиях, позволяющих использовать безмоментную теорию расчета. В формулы для определения перемещений по безмоментной теории входят четыре произвольные функции, располагая которыми, можно произвольно задать по два граничных условия в перемещениях на двух краях оболочки, не совпадающих с прямолинейными образующими. Если же два граничных условия на соответствующих краях сформулированы в усилиях, то наличие еще двух произвольных функций позволяет поставить на этих же краях еще по одному условию в перемещениях.

Приведены четыре примера расчета разных торсовых оболочек на действие внешней нагрузки типа собственного веса и на действие внешней линейной нормальной нагрузки, приложенной на кон-

г

V

®

г

ч-ыци-щищ-а,ыз

Рис. 5

туре оболочки, при условии, что другой контур закреплен от тангенциальных перемещений (рис.5). Приведены соответствующие эпюры тангенциальных усилий.

По материалам этой главы опубликовано несколько статей [2,6,10,11.12].

В пятой главе на основе теоретических положений линейной моментной теории тонких упругих оболочек, заданных в косоугольной системе криволинейных координат, рассматривается мо-ментная теория расчета торсовых оболочек в форме развертывающихся геликоидов. За основу берется система 20 расчетных уравнений, полученная А.Л.Гольденвейзером, В.В.Новожиловым, Л.И.Балабухом, и записывается применительно к оболочкам в форме развертывающегося геликоида, ребро возврата которого задано параметрическими уравнениями, где за независимый параметр s принята длина дуги ребра возврата. Подстановкой геометрических уравнений в физические соотношения с последующим использованием уравнений равновесия получена система трех дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка относительно перемещений срединной поверхности. Для упрощения формы записи полученных трех дифференциальных уравнений и придания им более удобного для дальнейших математических выкладок вида вводятся безразмерные криволинейные координаты и безразмерные компоненты вектора упругого смещения:

а = пи/т, ¡) = ах/т, т = a -f h1, // = Ь/а = tg и, = а3и„/т2, х^--али,/(Вт2), W^asujm2,

где а - радиус цилиндра, на котором лежит ребро возврата торса-геликоида, 2ттЬ - шаг винтовых координатных линий

= const). В результате получена система трех дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, зависящими только от одной безразмерной координаты о .

Рассматривается длинный тонкий торс-геликоид, для которого система трех дифференциальных уравнений в частных производных вырождается в систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка относительно безразмерных параметров трех перемещений:

- 22 -

¿1и2 _ /сЬм ^ ^ г г Л ¿«2 ^ (ь ' ¿„з' (г«2' <г« ' ' ¿а '" ' ; ' Л, _ /(Я1У (ПУ Ло г ^

¿а2 \ ' А\2 ' (1а ' ' ' ¿а 1 / '

^ , /^и-' а2и' а»' „, </и, <ь2 „ ,, „ \

-= /ч--,-,-1" 1-1-,Л,г, 2, а I .

Л»4 ' \ ¿а3 ¿а1 (1а (1а (Iа )

Приводятся примеры численного решения системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений в функциях перемещений для длинных торсов-геликоидов, срединные поверхности которых получены изометрическим изгибанием круглой кольцевой разрезанной пластинки(рис.1). Задачи решаются в двух вариантах граничных условий:1) оба винтовых криволинейных края торса-геликоида жестко-защемлены(рис.6) и 2) внутренний винтовой край жестко защемлен, а внешний - шарнирно оперт. Задачи решались для двух видов материала оболочки: 1)^ = 0,17; Е=32500МПа и 2) " = о,3; Е=2 10 МПа. Изучались результаты расчетов торсов-геликоидов, полученных конформными преобразованиями одной и той же круглой кольцевой пластинки и результаты расчетов винтов Архимеда с равными углами наклонов их прямолинейных образующих, но разными углами наклонов другого семейства координатных линий. В общей сложности было просчитано 19 конкретных числовых примеров, построены соответствующие эпюры нормальных перемещений и внутренних силовых факторов. Данные примеры значительно увеличили базу данных, которые могут быть приняты за аналоги при исследовании напряженно-деформированного состояния торсов-геликоидов численными или аналитическими методами. Кроме этого можно получить некоторые выводы из полученных результатов. Например, установлено, что при учете внешней нагрузки типа собственного веса одним из крутящих моментов (Л/', / м'и) можно пренебречь, так как он составляет приблизительно тысячную долю от другого крутящего момента. При увеличении угла наклона прямолинейных образующих нормальные перемещения срединной поверхности уменьшаются. Уменьшаются также изгибающие моменты и один из крутящих моментов. При увеличении угла наклона прямолинейных образующих до зо° нормальные силы Л'* , касательные усилия также увеличиваются, а затем с увеличением ч> начинают уменьшаться. При достижении угла наклона, равного 45° от нормального усилия К в зоне внутренней опоры возникает сжатие,в то время как на внешней опоре - растяжение. При дальнейшем увеличении угла

<\| Э» V. СГ) ^ rv

""О О 'о «О Сл

» ^ V íror4-

V. V Г0 v ^

^ V>Cn <*>

О lOro ^

наклона прямолинейных образующих зона сжатия у внутренней опоры увеличивается. Сущность этого явления легко объяснима, если за аналог взять стержень с жестко заделанными концами.

Как отмечается в диссертации, все расчетные уравнения можно упростить, применяя теорию пологих оболочек, или если взять коэффициент Пуассона равным нулю. Пренебрежение коэффициентом Пуассона особенно большую ошибку дает в значениях ^ (до 20%), нормальное перемещение получается несколько завышенным.

В предлагаемой методике расчета длинных тонких упругих торсов-геликоидов граничные условия на прямолинейных краях не ставятся. Как показали исследования С.Б.Косицына, в этом случае краевой эффект будет сказываться в небольшой приопорной зоне(около опорной прямолинейной образующей), которая охватывает область 0 < и < тг/16 , где р - угол между проекцией радиуса-вектора ребра возврата на плоскость хОу и осью х. В остальной части оболочки перемещения и внутренние силовые факторы не зависят от координаты у •

Установлено, что при увеличении угла наклона координатных линий в кольцевом направлении значения изгибающих, крутящих моментов изменяются незначительно. Мало изменяются нормальные усилия в центральной области оболочки. В основном изменения значений нормальных сил заметны на опорных винтовых линиях.

Далее показывается эффективность применения аналитического метода малого параметра для расчета тонких упругих оболочек в форме длинных торсов-геликоидов. За малый параметр м принят тангенс угла наклона прямолинейных образующих. Следовательно, класс решаемых задач этим методом ограничен торсами-геликоидами, у которых угол наклона прямолинейных образующих менее 45°. Окончательные результаты представлены в виде аналитических формул для определения перемещений, внутренних усилий и моментов. Выбирая необходимое число членов рядов ^разложения

и, = И!(о,/л) и2 = иг(а,м) =

¿=1 ¡=1

• ¿=1

устанавливают требуемую точность расчетов. ЭВМ привлекается на конечной стадии расчета для решения систем четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными произвольными

постоянными интегрирования, а также для выполнения простейших вычислительных операций. Используя методику метода малого параметра, можно привлечь ЭВМ и для определения векторных коэффициентов рядов разложения численными методами. В отличии от первого этот метод в диссертации назван полуаналитическим. Обе методики хорошо дополняют друг друга. Полуаналитический метод малого параметра требует новой формы записи исходных трех дифференциальных уравнений, но решения их разлагаются в те же ряды по степеням малого параметра. Первые члены рядов разложения вычисляются аналитически, а все последующие векторные коэффициенты - с привлечением ЭВМ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и нахождения четырех произвольных постоянных интегрирования при соблюдении граничных условий.

Дальнейшие исследования касаются определения внутренних усилий и моментов, возникающих непосредственно от процесса изометрического изгибания тонкой круглой кольцевой пластинки, разрезанной вдоль касательной к внутреннему контуру и от процесса изометрического изгибания торса-геликоида в торс-геликоид с сохранением прямолинейных образующих. Используются материалы первой главы по конформным преобразованиям торсов-геликоидов. Сформулированы две постановки одной и той же задачи: 1) определение внутренних усилий и моментов в торсе-геликоиде, заданном в линиях кривизн, с дальнейшим вычислением внутренних силовых факторов на косых сечениях, совпадающих с криволинейной неортогональной системой координат, 2) определение внутренних "псевдоусилий" и "псевдомоментов" в торсе-геликоиде, заданном в произвольной криволинейной системе координат, с последующим использованием, полученных в диссертации формул перехода к усилиям, моментам, общепринятым в инженерной практике.

Обе постановки задачи решены аналитическими методами, получены аналитические формулы для вычисления моментов

м, = Р ~ ^

м.ц = 0, = 1 + У-1 Д/,.

Ял

и

'О

которые затем реализованы в числовом примере. Тангенциальные усилия при изометрическом изгибании равны нулю. А значения

моментов резко уменьшаются с увеличением расстояния от исследуемой точки до ребра возврата, взятому вдоль прямолинейной образующей. Данное положение хорошо согласуется с формулой, полученной в первой главе, которая показывает что торсовая поверхность стремится к плоскости при удалении точки от ребра возврата.Оба результата, полученные двумя способами, практически совпадают. Задачи по определению внутренних усилий и моментов, возникающих от процесса изометрического изгибания торса-геликоида с сохранением его прямолинейных образующих не имеют аналогов в научно-технической литературе. Таким образом, сформулирована новая постановка и найдено решение задачи об определении НДС тонких упругих оболочек в форме винтов Архимеда, подвергающихся конформным преобразованиям с сохранением прямолинейных образующих.

Материалы главы были опубликованы в следующих научных статьях [20,21,22,25,26].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные теоретические и практические результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Получены три вида представления основных квадратичных форм торсовой поверхности.

2. Получены параметрические уравнения 8 ребер возврата торсовых поверхностей с двумя направляющими плоскими кривыми.

3. Представлена новая форма записи уравнения Гаусса в теории поверхностей.

4. Получены формулы, с помощью которых вычисляются главные кривизны, углы между координатными линиями на торсе через кривизну и кручение горловой линии.

5. Доказано, что с удалением от ребра возврата торс стремится занять положение своей касательной плоскости, а косоугольная система координат, состоящая из прямолинейных образующих и равноотстоящих от ребра возврата линий, стремится к криволинейным координатам в линиях кривизн.

6. Предложен метод построения разверток торсовых поверхностей на плоскость при помощи последовательного вычисления

длин направляющих кривых, прямолинейных образующих и углов между ними.

7. Сформулирован способ построения складок на основе торсов и дана методика построения их разверток на плоскость.

8. Изучен процесс конформных преобразований торсов-геликоидов с сохранением их прямолинейных образующих и составлены уравнения траекторий движения двух концов этих образующих и вычислены в аналитическом виде компоненты вектора упругого смещения.

9. Получены уравнения равновесия и физические соотношения линейной теории тонких упругих оболочек в криволинейной неортогональной сопряженной системе координат.

10. Получены формулы для вычисления внутренних усилий и моментов на косых сечениях в произвольной криволинейной системе координат.

11. Выведены соотношения для определения компонентов внешней поверхностной нагрузки от действия собственного веса, от снеговой и ветровой нагрузки через параметрические уравнения ребра возврата срединной поверхности торсов.

12. Получена система трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонентов вектора упругого смещения срединной поверхности и ее варианты для торсовой оболочки в форме произвольного торса-геликоида и в форме длинного торса-геликоида.

13. Сформулирован метод малого параметра применительно к определению НДС тонких длинных торсов-геликоидов и реализован в аналитическом и полуаналитическом виде.

14. Впервые проведен расчет торса-геликоида на смещение опорного контура.

15. Впервые проведен анализ НДС, возникающего от действия нагрузки типа собственного веса, при изменении угла наклона прямолинейных образующих торса-геликоида и изменении угла наклона семейства других координатных винтовых линий при постоянном угле наклона прямолинейных образующих.

16. Предложены две методики определения внутренних усилий и моментов, возникающих от процесса изометрического изгибания винта Архимеда в винт Архимеда с сохранением его прямолинейных образующих, но с измененным углом их наклона.

- 28 -

17. Получены аналитические формулы для определения внутренних усилий и перемещений срединной поверхности для всего класса торсовых оболочек, заданных в неортогональной криволинейной системе координат и рассчитываемых по безмоментной теории расчета тонких оболочек. Сформулированы граничные условия, дающие возможность использовать эту упрощенную теорию и впервые решены 4 задачи для торсовых оболочек, заданных в косоугольной системе координат.

18. Значительно расширено число решенных задач по определению НДС тонких упругих торсовых оболочек по моментной и безмоментной теориям, которые могут служить, а в некоторых случаях уже применяются как аналоги для дальнейших исследований.

Результаты исследований отражены в следующих публикациях:

1. Рекач в.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии:Монография.-М.:Изд-во УДН, 1988.-185с.

2. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки:Справочник. -М.:Изд-во УДН,1991.-288с.

3. Кривошапко С.Н. Торсовые оболочки, перекрывающие произвольный четырехугольный контур//Материалы XI научно-технической конференции инженерного факультета.-М.:изд.УДН,1976,-С.22-24.

4. Кривошапко С.Н. Применение криволинейных неортогональных координат для торсовых поверхностей//Исследование и расчет машин и сооружений.-М.:изд.УДН,1977.-С.57-62.

5. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. К вопросу расчета упругих тонких оболочек в неортогональных криволинейных координа-тах//Расчет оболочек строительных конструкций:Сб. статей.-М.: УДН, 1977.-С.3-14.

6. Кривошапко С.Н. Расчет торсовых (невырожденных) оболочек по безмоментной теории в криволинейных неортогональных координатах//Расчет оболочек строительных конструкций: Сб.статей . -М. : УДН, 1977. -С. 49-64.

7. Кривошапко С.Н., Барамзин А.Д. О применении торсовых оболочек//Военно-строительный бюллетень, 1979.-N2.-С.15-16.

8. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. К вопросу расчета упругих тонких оболочек в криволинейных неортогональных координа-тах//Расчет и проектирование строительных конструкций.-М.:изд. УДН,1979.-С.12-13.

- 29 -

9. Кривошапко С.Н., Штыков А.Г., Шабанов В.К. Замена торсовых оболочек плоскими элементами//Военно-строительный бюллетень.-1982. -N2. -С. 16-18.

10. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет невырожденных торсовых оболочек в криволинейных неортогональных координатах// Строительная механика и расчет сооружений.-1982.-N6.-С.23-29.

11. Кривошапко С.Н. Построение, расчет и возможность применения торсовых оболочек в тонкостенных конструкциях// Расчет оболочек строительных конструкций.-М.:РУДН, 1982.-С.54-66.

12. Кривошапко С.Н. Применение торсовых поверхностей в судостроении// Судостроение. 1983. -N7. -С.5-7.

13. Кривошапко С.Н. Обзор исследований по торсовым обо-лочкам//Ред.журн. "Известия вузов. Строительство и архитектура. "-ВНИИИС, деп. N4634, Новосибирск, 1983.-Юс.

14. Кривошапко С.Н. 0 расчетных уравнениях моментной теории торсовых оболочек в перемещениях//Исследования по расчету элементов пространственных систем:Сб. статей.-М.:Изд-во УДН, 1987.-С.49-56.

15. Кривошапко С.Н. К проектирования торсовых оболочек пс двум заданным краевым элементам//Строительная механика и расчет сооружений.-1987.-N3.-С.19-22.

16. Кривошапко С.Н. Построение разверток торсов и складок// Изв. вузов. Строительство и архитектура.-1987.-N11.-С.114-116.

17. Кривошапко С.Н. Расширение класса торсовых поверхностей, заданных ребром возврата//Расчет и проектирование строительных конструкций.-М.:Изд-во УДН, 1989.-С.62-68.

18. Кривошапко С.Н., Олодо Э.Э. 0 построении торсовой поверхности с направляющими параболами произвольного поряд-ка//Исследования по строительной механике пространственных систем: Сб.научн. трудов.-М.:Изд-во УДН,1990.-С.32-37.

19. Кривошапко С.Н., Кумудини Джаявардена М.К. Исследование напряженно-деформированного состояния тонких оболочек в форме длинных торсов-геликоидов с разными углами наклонов их прямолинейных образующих//Известия вузов. Строительство.-1992. -N1.-С. 19-22.

20. Кривошапко С.Н. К расчету непологой тонкой оболочки в форме торса-геликоида//Вопросы прочности пространственных

систем: Материалы XXVIII научной конференции инженерного факультета. Секция строительной механики/Под ред. М.И.Ерхова -М.'.РУДН, 1992.-С. 30-38.

21. Кривошапко С.Н. Статический расчет упругих оболочек в форме торсов-геликоидов, срединные поверхности которых получены изометрическим изгибанием кольцевой пластинки//Прикладная механика и математика:Межвед. сб.науч. трудов.-М.:МФТИ, 1992.-С. 91-95.

22. Кривошапко С.Н., М.К.Кумудини Джаявардена. Расчет тонких упругих оболочек в форме винтов Архимеда с равными углами наклонов их прямолинейных образующих//Проблемы математики в задачах физики и техники.-М.:МФТИ,1992.-С.96-103.

23. Кривошапко С.Н. Основные сведения из дифференциальной геометрии поверхностей:Метод, указания.-М.:Изд-во РУДН, 1992.-32с.

24. Кривошапко С.Н. О некоторых задачах по геометрическому моделированию винтов Архимеда//Современные проблемы теории пластин, оболочек и вопросы проектирования гражданских и промышленных сооружений:Межвуз.сб.научн. трудов.-М.:РУДН,1993.. -Вып.2.-С.14-25.

25. Кривошапко С.Н., Абдельсалям Мухамед Али. К вопросу о применении метода малого параметра для расчета тонкой оболочки в форме длинного торса-геликоида//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений:Межвуз. сб.науч. трудов. -М. :МБК "Биоконтроль",1994.-Вып.4.-С. 3-11.

26. Кривошапко С.Н. Кудрявцев И.В. Устройство для испытания пластин.-Авторское свидетельство N1370506,1987.-40.

27. Сальман Аль-Духейсат, Кривошапко С.Н. Расчет длинного эвольвентного геликоида в криволинейных неортогональных ко-ординатах//Актуальные проблемы механики оболочек: Тез.докл. III Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых.-Казань, КИ-СИ.1988.-С.189.

28. Кривошапко С.Н. Моделирование оболочек сложной геометрии из отсеков торсовых поверхностей//Геометрическое моделирование и начертательная геометрия: Тез.докл. Уральской на-учно-техн. конференции 26-29 октября.-Пермь, 1988.-С. 93.

29. Кривошапко С.Н., Сальман Аль Духейсат. Применение метода малого параметра для расчета длинного торса-геликоида на

смещение опор//П конференция научно-учебного центра физико- химических методов исследования.-М.:Изд-во УДН, 1989.-С.224.

30. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: результаты исследований и перспективы//Ш конференция научно-учебного центра "Применение физико-химических методов исследования в науке и технике": Тез.докл.-М.: Изд-во УДН, 1990. -С. 194.

31. Абдельсалям Мухамед Али, С.Н. Кривошапко. Моментна? теория расчета тонких оболочек в форме торсов-геликоидов пp^ помощи метода малого параметра// 10-ая Зимняя школа по механике сплошных сред: Тез. докладов. - Пермь: РАН, Уральское отделение, Институт механики сплошных сред, 1995. - С.4-5.

GEOMETRIC INVESTIGATIONS AND STRESS-STRAIN STATE OF THIN ELASTIC DEVELOPABLE SHELLS

S.N.KrivoshapKo

At present time practically all branches of economy are intensevely developing. Under these conditions various types of thin developable shells may find their applications in machine building, civil engineering, transport, road enbanchment and so on. This work touches upon geometric problems and strength analysis of thin elastic shells in the shape of developable surfaces. Examination was performed for shells with medium surface predetermined in the curve non-orthogonal conjugate coordinates. For solution of problems were used different mathematical methods: analytic solution, the perturbation method, the asymptotic method and so on.

One chapter is dedicated to study the process of development of surfaces on plane and approximation of developable surfaces by the system of plates.

Author considers stress-strain states of thin elastic developable shells with non-orthogonal curvelinear coordinate system and inferes three partial differential equations with three unknown displacements. Then he uses these equations for calculation of thin elastic shells in the shape of long involute helicoids.

Investigation of developable helicoids in the process of their middle surface's isometric bending is also considered.

All theoretical results had been confirmed by real examples. The results had been carried to quantities.