автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Экспериментальное и теоретическое исследование напряженно-деформированного состояния двухфазной вязкоупругой среды

На правах рукописи

ДЕМИН Владимир Анатольевич

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ДВУХФАЗНОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Тюменская государственная архитектурно-строительная академия».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор МАЛЬЦЕВ ЛЕВ ЕВГЕНЬЕВИЧ

Официальные о ппо ненты: доктор технических наук, профессор ИЛЬИН ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ; кандидат технических наук, доцент БЕНИН АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

Ведущая организация - Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет».

Защита состоится (МфвЛЛ' 2005 г. в -/У часов на

заседании диссертационного совета Д 218.008.01 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» по адресу: 190031, г. С-Петербург, Московский пр., д.9, ауд. 3-237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУПС. Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

д.т.н., профессор

«<£/» 2005 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) двухфазных сред относится к задачам, решение которых связано с большими математическими трудностями. Известные математические модели двухфазных сред, построенные на основании определенных гипотез, не всегда подтверждаются экспериментально. Поэтому создание новых моделей и их экспериментальная проверка является, несомненно, актуальной задачей. Тем более, если рассматривать в качестве двухфазной среды грунт, служащий основанием зданий и сооружений. Помимо двухфазной структуры (скелет и поровая вода), водонасыщенный грунт еще является вязкоупругим материалом, что усложняет решение задачи исследования напряженно-деформированного состояния.

Проведенные в данной работе исследования связаны с теоретическим и экспериментальным обоснованием новой кинематической модели двухфазного вязкоупругого полупространства в виде водонасыщенного грунта - наиболее типичного основания зданий и сооружений. Следовательно, эти исследования являются актуальными и имеют теоретическое и прикладное значение.

Целью диссертации является теоретическое и экспериментальное исследование НДС двухфазного вязкоупругого полупространства, представленного в виде загруженного внешней нагрузкой участка водонасыщенного грунта.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

• исследование НДС упругого двухфазного полупространства на основании кинематической модели;

• применение принципа Вольтерра и метода ломаных для перехода от упругого решения для двухфазного полупространства к вязкоупругому и для определения вязкоупругих характеристик материала;

• разработка конструкции экспериментальной установки и техники проведения испытаний двухфазного полупространства;

• проведение экспериментальных исследований по определению вязкоупругих характеристик двухфазной среды и разработка методики обработки результатов этих исследований с применением метода ломаных;

• приложение полученных экспериментальных данных к расчету двухфазного полупространства.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

• получены теоретические и экспериментальные результаты исследования НДС двухфазного полупространства на основании кинематической модели;

• разработана экспериментальная установка для испытания водонасыщенного крупногабаритного образца, расположенного в характерной толще грунта, где удаление от дневной поверхности до образца имитируется водяным столбом над грунтом и получены новые экспериментальные данные, характеризующие вязкоупругие параметры двухфазной среды;

• выявлен механический эффект, подтверждающий, что введение водяного столба в экспериментальной установке обеспечивает несущую способность поровой воды;

• разработан алгоритм определения вязкоупругих параметров водонасыщенного грунта как вязкоупругого строительного материала по экспериментальным данным;

• разработан алгоритм получения немонотонного оригинала по заданному немонотонному изображению применительно к двухфазному полупространству.

Достоверность защищаемых положений обеспечивается:

• использованием известных методов и уравнений строительной механики;

• выполнением экспериментальных исследований с помощью известных апробированных и оттарированных контрольно-измерительных приборов;

• удовлетворительным согласованием результатов численных и аналитических решений с данными лабораторных испытаний.

Практическое значение работы заключается в том, что предлагаемые результаты исследований могут использоваться при расчете полупространства из водонасыщенного грунта для разных инженерных сооружений. В дальнейшем результаты исследований могут быть использованы при проектировании и расчете осадок инженерных объектов, которые строятся на основаниях из слабых грунтов.

На защиту выносятся:

• результаты исследования НДС двухфазного полупространства на основании кинематической модели;

• новый механический эффект, который заключается в том, что введение водяного столба при экспериментальном исследовании образцов двухфазной среды обеспечивает несущую способность поровой воды без последующего значительного ослабления этой способности;

• алгоритм определения вязкоупругих параметров водонасыщенного грунта как вязкоупругого строительного материала по экспериментальным данным;

• алгоритм получения немонотонного оригинала по заданному немонотонному изображению применительно к двухфазному полупространству.

Апробация работы. Основные положения, результаты исследований докладывались и обсуждались: на научном семинаре «Межкафедральной, научной и экспериментальной лаборатории» Тюменской государственной архитектурно-строительной академии под руководством доктора ф.-м.н., профессора Л.Е.Мальцева (ТюмГАСА, 1998-2001 г.); на 1-й научной конференции молодых ученых, аспирантов и соискателей (ТюмГАСА, 1999 г); на П-й научной конференции молодых ученых, аспирантов и соискателей (ТюмГАСА, 2000 г); на научно-методической конференции преподавателей, посвященной 30-летию ТюмГАСА (ТюмГАСА, 2000 г); на научной конференции посвященной памяти первого ректора А.Н.Косухина (ТюмГНГУ, 2001 г); на научном семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Тюменского государственного нефтегазового университета под руководством д.т.н., профессора Ю.Е.Якубовского (ТюмГНГУ, 1998-2001 г.); на заседании кафедр «Строительная механика» и «Механика грунтов, основания и фундаменты» (ТюмГАСА, 2001 г); на Ш-й научной конференции молодых ученых, аспирантов и соискателей (ТюмГАСА, 2002 г); на научно-техническом семинаре факультета "Мосты и тоннели" (ПГУПС, 2003 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и литературы. Работа содержит 174 страниц машинописного текста, 85 рисунков, 4 таблицы, список литературы из 91 наименования, в том числе 7 - на иностранном языке.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано пять научных статей и получен патент на изобретение №2213952 от 10.10.03.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, изложены цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе излагается история развития и современное состояние теоретических и экспериментальных исследований в области механики двухфазных сред. Начало исследований в этой области было положено Н.Н. Павловским (1922 г.), который решил ряд важных плоских задач напорной фильтрации в пористой среде. Решению плоских задач безнапорной фильтрации посвящен ряд работ П.Я. Полубариновой-Кочиной, С.Н. Нумерова, Л.С. Лейбензона и др.

Линейная теория фильтрационной консолидации двухфазной среды (например, водонасыщенного грунта), в которой описывается поведение твердого скелета вместе с заполняющей его частично жидкостью, была разработана в трудах К. Терцаги (1926 г.), Н.М. Герсеванова, В.А. Флорина. Общие уравнения динамики двухфазной среды были даны Я.И. Френкелем (1944 г.). Анализ этих уравнений, проведенный В.Н. Николаевским, позволил ему дать единое изложение вопросов гидродинамики двухфазных сред, включая и теорию фильтрационной консолидации водонасыщенных грунтов К.Терцаги-Н.М. Герсеванова.

Обобщение теории фильтрационной консолидации на случай учета вязкоупругих свойств двухфазной среды посвящены работы М. Био, З.Г. Тер-Мартиросяна и др.

Недостатком теории фильтрационной консолидации является то, что водонасыщенная двухфазная среда с течением конечного отрезка времени переходит в однофазную. Всю внешнюю нагрузку при этом воспринимает твердая фаза, то есть скелет, тогда как жидкая фаза (поровая вода) перестает участвовать в несущей способности системы, так как в

соответствии с этой теорией жидкая фаза среды фильтруется из пор с определенной скоростью и с течением времени полностью выжимается из пор.

Однако многочисленные натурные испытания и экспериментальные исследования показывают, что несущими фазами двухфазной среды под действием внешней нагрузки является как скелет, так и жидкая фаза. При достаточном удалении от дневной поверхности поровая вода оказывается зажатой в порах фунта и не может сбросить с себя нагрузку. А так как поровая вода является менее сжимаемой, чем скелет, то она и воспринимает часть внешней нагрузки.

Свободной от указанного недостатка является кинематическая модель. В упругом варианте этой модели среда, представляющая собой водонасыщенный грунт, состоит из частиц скелета и поровой воды. Деформации каждой из фаз считаются малыми, откуда и следует, что геометрические уравнения принимаются линейными. Таким образом, грунт принимается в виде линейно деформированного двухфазного полупространства, в котором обе фазы являются несущими при теоретически бесконечном времени.

Эксперименты показывают, что двухфазная среда в виде водонасыщенного грунта обладает ярко выраженными вязкоупругими свойствами. Только после длительного отрезка времени, который может исчисляться годами, наступает стабилизированное состояние, и грунт может рассматриваться как упругая среда. Учет вязкоупругих свойств двухфазной среды рассматривается в диссертации на основе вязкоупругого варианта модели двухфазной среды с применением принципа Вольтерра и операционного исчисления. При этом основная математическая трудность заключается в переходе от изображения по Лапласу-Карсону к оригиналу. Эта операция в диссертации проводится по методу ломаных.

Во второй главе представлена одномерная модель двухфазной среды. Рассмотрим образец фунта и поместим его в секции трубы с водонепроницаемыми стенками и водонепроницаемым дном (рис.1). Над образцом находится слой из воды или грунта высотой от одного метра и более. Загружение образца производится через поршень (металлический

штамп) с отверстиями. Перемещения жидкой фазы обозначим а

твердой фазы В каждой точке двухфазной системы находится сразу

две частицы: жидкая (вода) и твердая (скелет), которые под действием внешней нагрузки движутся в противоположных направлениях.

Частицы воды поднимаются из области повышенного давления в нижней части образца в область пониженного давления на небольшую

величину а частицы грунта, наоборот, опускаются на малую

величину, то есть вниз. Описанный процесс отличается от процесса фильтрации. В образце двухфазного тела частицы жидкой фазы

практически остаются на месте, так как и переносное движение

в жидкой фазе отсутствует.

При фильтрации, наоборот, присутствует переносное движение. Частица воды проходит через фильтр и оказывается вне фильтра, то есть частица перемещается на конечную величину (расстояние). Для описания этого процесса используют закон Дарси:

фильтрации; давление в жидкой фазе (поровое давление).

Знак принят потому, что положительной скорости отвечает

отрицательная производная, так как функция убывающей.

где

скорость

коэффициент

Введем правило знаков по аналогии с монографией Ю.К.Зарецкого «Вязко-пластичность грунтов и расчеты сооружений» (М. 1988). Для напряжений в скелете грунта принято соответствующим правилу знаков в механике сплошной среды: сжатие - отрицательный, растяжение -положительный. Сжимающее же давление в поровой жидкости имеют положительные значения, подчиняясь правилу знаков гидрогазодинамики. В соответствии с этим сумма напряжений описывается выражением

Запишем уравнение равновесия:

(к

■+г=0.

0)

где у{Мн1м ) - объемный вес грунта (скелет и вода); а}'(МПа) -

напряжения в жидкой фазе (воде); напряжения в твердой фазе

(скелет).

Физическое уравнение для твердой фазы совпадает с законом Гука:

Е*

В законе Гука относительная деформация пропорциональна напряжению.

Для рассмотрения жидкой фазы приведем рис.2. Выделим промежуточное сечение образца. Сделаем выкопировки из эпюры

и покажем приращение напряжения Аст^ перемещения на

В соответствии с рис.2 для жидкой фазы имеет место уравнение:

согласно которому приращение перемещения жидкой фазы ^ пропорционально перепаду давления Дсг(^. Поделим обе части равенства

дсДО

и получим выражение

Дг

Через К обозначен

положительный коэффициент пропорциональности. Окончательно физическое уравнение для жидкой фазы принимает вид:

г <к

(3)

Относительные деформации выражаются с помощью формул Коши:

Под действием внешней нагрузки частицы жидкой фазы

/(О

перемещаются вверх на величину и относительная деформация этой фазы является положительной, а частицы твердой фазы

M

перемещаются вниз на величину и относительная деформация отрицательная.

Связь между относительными деформациями в кинематической

модели двухфазного полупространства записывается:

= (6)

где коэффициент пропорциональности, определяемый

из эксперимента.

Знак "минус" приводит в соответствие разные знаки относительных деформаций. Данное уравнение называется уравнением взаимодействия

фаз.

После рассмотрения всех уравнений запишем уравнение равновесия

через перемещения частиц твердой фазы, то есть через функцию Uz

d2uis) - dlAs)

dzl

>z 2dUï' У л + a —— + — = 0,

dz E,

(7)

где параметр модели двухфазной среды, включающий в

себя все параметры модели: Ец{МПа), Е({МПа), к{м) и К.

Параметр положительным числом. Как уже отмечалось,

параметр положительной безразмерной величиной. Все эти

параметры определяются из эксперимента.

Из решения уравнения получим сначала формулы для перемещений, а затем - формулы для напряжений

Формулы для определения упругих параметров модели двухфазной среды по результатам испытания макрообразца из водонасыщенного грунта записываются с учетом граничных условий. Зададим граничные условия для дифференциального уравнения, записанного через

перемещения частиц в твердой фазе

Для верхнего сечения имеем статическое граничное условие:

От (2 = 0) = -сго=—- —г- • А Уем1

В нижнем сечении запишем кинематическое граничное условие:

После решения дифференциальных уравнений окончательные расчетные формулы в упругом варианте:

я*

а2-Е5

4\г)=-сг0е-а2-2.

Знак "минус" у напряжения и знак "плюс" у напр означает, что оба напряжения сжимающие. Напомним, что растягивающие напряжения у твердой фазы и сжимающие у жидкой фазы были приняты за положительные.

В третьей главе произведен переход от решения задачи в упругой постановке к вязкоупругому решению. В упругом варианте модели параметры являются числами. В вязкоупругом варианте они стали

запишем

яжения

функциями безразмерного времени, поэтому размерность функций времени совпадает с размерностью соответствующих чисел. Основной трудностью является установление зависимостей между напряжениями и деформациями вязкоупругого тела. Существует несколько подходов для установления этих зависимостей. Наиболее широкое распространение в практике расчета получила линейная наследственная теория вязкоупругости, позволяющая описать зависимость между напряжениями и деформациями вязкоупругого тела с учетом истории нагружения.

На основании принципа Вольтерра переход от упругого решения к вязкоупругому осуществляется с помощью системы переобозначений:

-¡И

1 . гп

к] 1Л,

Окончательно основные расчетные формулы с учетом вязкоупругих свойств двухфазного полупространства запишутся в следующем виде:

, <„')•* (14)

<16>

Для решения задачи в вязкоупругой постановке применим метод ломаных. Согласно этому методу вместо оригинала разыскивается ломаная линия, звенья которой имеют различные углы наклона, как показано на рис.3 для некоторой функции

Здесь функция m(t) выражена специализированным сплайном порядка I (аргумент t входит в первой степени), дефекта I (производная первого порядка претерпевает дефект, то есть разрыв).

Для отыскания параметров сплайна aj(i = 1,2,...,и) составляется система линейных алгебраических уравнений. Порядок системы совпадает с числом неизвестных параметров сплайна. Начальный параметр OTq определяется по отдельной алгебраической формуле и имеет размерность. Время t является безразмерным.

Вязкоупругие характеристики материала (функция ползучести

функция коэффициента Пуассона считается известными из

эксперимента, и каждая из этих функций в оригинале имеет аналитическое представление в виде специализированного сплайна (ломаной линии):

л

ш(1=оо)

О

Т1 Т2 Т3

I

Рис.3

Особенность специального сплайна заключается в том, что до точки Т^ соответствующее звено ломаной линии равно нулю, а после точки Т^ это звено «укладывается» на «полку», то есть принимает постоянное значение. Эта особенность сплайна позволяет:

• применить теорему запаздывания для перехода к изображению по Лапласу-Карсону:

• определять параметр сплайна а^ независимо от остальных параметров. В изображениях данные сплайны имеют вид:

Параметры а,-, ¿»¡, опорные точки 7} известны, поэтому можно сосчитать каждую из этих функций.

В диссертации приведен численный пример решения конкретной задачи в вязкоупругой постановки для функции ползучести. На основании эксперимента с образцом из вязкоупругого материала получены экспериментальные значения функции ползучести, которые обработаны по

Р

(19)

(20)

методу ломаных. Этот же метод применен для приближенного перехода от изображения к оригиналу, который сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений.

В четвертой главе приводится экспериментальное обоснование исследования НДС двухфазной вязкоупругой среды. Здесь представлено описание датчиков для определения порового давления, а также приведены результаты испытаний с основанием из обводненного грунта (торфа).

Для определения порового и общего давления применялись датчики полумембранного типа. Датчик, разработан к.т.н., доцентом Баем В.Ф., состоит из цилиндрического корпуса от закрытого

мембранами толщиной от 0,1мм до 0,15мм, которые принимают на себя давление грунта, и передают его на измерительные балочки с тензорезисторами. За счет разных модулей деформации у мембраны и измерительной балочки увеличивается диапазон линейного измерения порового давления. Датчик с верхней стороны имеет ситечко, которое обеспечивает измерение порового давления, а с нижней стороны измерялось общее давление.

Рис.4 Датчик полумембранного типа:

1 - корпус; 2-мембрана;

3 - болонка с приклеенным тензорезистором.

В ходе экспериментов использовался обводненный грунт (торф). Торф был взят из основания экспериментальной автомобильной дороги Тюмень - Ялуторовск (21 км), проложенной без выторфовки. На момент выемки он

находился (около 23 лет) в уплотненном состоянии и его свойства по деформативности очень отличались от окружающего торфа. Выемка грунта производилась при помощи секции трубы. Секция трубы имела наружный диаметр 0,258м, высотой 0,3м и с одной стороны заостренную кромку для погружения секции трубы в грунт. Использовалась секция трубы с водонепроницаемым дном. Стенки трубы были смазаны литолом, на него наклеили пленку из фторопласта, которую смазали глицерином, и наклеили второй слой пленки из фторопласта. Послойно укладывали водонасыщенный торф, двухсторонние датчики и параллельно были уложены марки. Предварительно датчики были оттарированы и получены диапазоны изменения показаний. Внешняя нагрузка передавалась через металлический перфорированный штамп. Схема загружения образца представлена ниже (рис.5). Далее была произведена предварительная консолидация в течении семи суток. После чего показания датчиков и марок принимались за ноль, и давалась заданная нагрузка. Нагрузка составляла 0,01МПа на поверхность штампа. В качестве регистрирующей тензометрической аппаратуры использовался автоматический электронный измеритель для полных тензорезисторных мостов и полумостов типа АИД-4 с автоматическим 100-позиционным переключателем каналов АП-3. Изменение осадки штампа определяли при помощи трех индикаторов часового типа с ценой деления 0,01мм. Изменение показаний датчиков, марок, осадка штампа записывались с течением времени и представлялись в виде графиков.

Ниже представлен график изменения порового давления для одного из экспериментов (рис. 6).

В данном эксперименте время представлено в сутках для облегчения дальнейшей обработки.

Рис.6 График изменения порового давления В пятой главе представлена обработка эксперимента с макрообразцом из водонасыщенного основания в вязкоупругой постановке

на примере определения параметров

"2»/е

"V

Обработка эксперимента и нахождение параметра а проводилась по график ДЛЯ сечения г = (рис.6), который представлен

аналитически с помощью специального сплайна первого порядка (ломаной

линии) и функций Хевисайда:

I ы

ад)-ММ-7})

¿=0

. «0 =3Г0 =°-

Индекс «ех» обозначает, что это экспериментальные значения. Для четырех звеньев ломаной получены значения безразмерных параметров:

»1-3,571428571, а2=4,206349206, а3=-0,119047619, а,=-0,00531746;

В изображениях по Лапласу-Карсону сплайн имеет вид:

по которому

построен график (рис.7).

Рис. 7 График порового давления в изображениях по Лапласу-Карсону

р

Распишем подробно формулу для

согласно (15):

),01МПа, сг(0) = 0,00126:

Приведем графики С1*(р) в изображениях и в оригинале (рис. 8).

0.7 0.6

@ 0.5 «

"в

-3 0.4 0.3 0.2 0.1

0.1709

0.5881

20

40

60

80

100

Рис. 8 График йг(р) в изображениях поЛаппасу-Карсону Немонотонность графика <22(р) усилилась по сравнению с графиком

Приближенный переход от существенно немонотонного изображения

к сильно немонотонному оригиналу сделаем по методу

ломаных, который сводится к составлению системы линейных алгебраических уравнений.

Применение метода ломаных начинается с введения нового (что отмечено чертой сверху) специализированного сплайна (ломаной линии), который

аппроксимирует оригинал

Начальный параметр определим из условия совпадения сплайна с

аппроксимируемой функцией

1 в точке:

Поскольку для крайней правой точки полуоси то есть при

суммы в изображениях двух сплайнов обращаются в ноль, то:

Система линейных алгебраических уравнений составляется из

на системе точек:

«2М'42ыГ

условия совпадения

которые называются точками

ее

V /=о ;

Для сокращения записи вводим новое обозначение:

у = 1,2..5.

Уравнение в системе линейных алгебраических уравнений для крайней левой точки полуоси записывается специальным образом:

В соответствии с графиком порового давления в изображениях (рис.7) назначаем точки совпадения: р\ =0,05, />2=0,2, ру =10, р^ = 50, тогда из (22) определяем: F(px = 0,05) = -0,015, F(p2 = 0,2) = -0,011, F(p3 =10) = 2,442, F(p4 = 50) = 4,038.

В результате решения системы линейных алгебраических уравнений пятого порядка получили: Ь\ =4,068, £>2 = —0,352, ¿>3 = -0,066,

и построили график

Рис.9 Изменение параметра модели двухфазной среды а2 (t)

Для более наглядной и ясной информации график разбит на две части. В упругом варианте модели двухфазной среды вместо функции времени

принимается ее асимптотическое значение, то есть = 0,1709(J/J.

1

Покажем, что функция

которая в однофазном теле

называется функцией ползучести, вследствие взаимодействия жидкой и твердой фаз является немонотонной. С этой целью экспериментальный

график осадки верхнего сечения образца представим

аналитически с помощью специального сплайна первого порядка (ломаной

линии) и функций Хевисайда:

1 - 1(а-сМ)-(г - 7м- Т[ Г V 2=0

\

>с0 =сп+1 =7о =0.

5 -4 .

3 -2 1 0

4,7

'__^___]

-I

1---|

1____II I 1---Т"

> 10 30 50

Рис.10 Осадка штампа во времени В изображениях по Лапласу-Карсону сплайн имеет вид:

70 80

время (сутки)

по которому

построен график осадки верхнего сечения (рис.11)

Рис.11 График осадки штампа в изображениях по Лапласу-Карсону По модели двухфазной среды перемещение верхнего ^ = О) сечения обтзца. то есть осадка, в угпптом варианте описывается формулой:

А V

в изображениях по Лапласу-Карсону получаем:

Приравняем теоретическое значение перемещения верхнего сечения

:

образца экспериментальному значению: 'г £ ' — уг ¿' / > тогда

получим формулу для определения функции ползучести в изображениях:

Vе,;

Приведем график (рис.12).

По аналогии с получением оригинала

в изображениях по Лапласу-Карсону

для

этого составим систему линейных алгебраических уравнений. В результате решения системы линейных алгебраических уравнений пятого порядка

находим коэффициенты и построим график

Функция ползучести скелета

получилась существенно

немонотонной, она имеет две экстремальные точки: одна из которых имеет минимальное значение, а другая максимальное.

Рассчитанные значения осадок с использованием параметра а2(/) и

функции были сопоставлены с осадками основания,

рассчитанными согласно СНиП 2.05.02-85 «Автомобильные дороги». При переходе от модели к натуре была использована теория подобия, на основании которой записано выражение где индекс «т»

присвоен для модели, а индекс для натуры. Сопоставление результатов проводилось для слабого основания насыпи автомобильной дороги состоящей из торфа средней зольности, слабоволокнистого, средней

влажности, плотностью 0,95 у , , с мощностью слоя 5 м. Горизонт

грунтовых вод совпадает с поверхностью толщи. В ходе проведенных исследований и сопоставлений результатов установлено, что осадка основания полученная при использовании рассчитанных параметров по выше изложенной методике на 23% меньше по сравнению с теоретическими значениями, полученными при расчете согласно СНиП 2.05.02-85. Натурные значения осадки насыпи на торфяном основании для автомобильной дороги к месторождению в Сургутском районе с аналогичной мощностью деформированного основания отличаются от расчетных значений по предложенной методике на 16%.

10

8

5

0,3527

10

О

о

100

200

300

400

500

Р

Рис.12 Графики (р)^ в изображениях по Лапласу-Карсону на

начальном и конечном участках

50 100 150 200 250 300

Рис.13 Графики изменения на начальном и конечном участках

Основные результаты и выводы

1. Проведенное на основании модели исследование НДС двухфазного полупространства позволило выявить перераспределение усилий между жидкой и твердой фазами.

2. Применение принципа Вольтерра и метода ломаных позволило осуществить переход от упругого решения для двухфазного полупространства к вязкоупругому. Кроме того, разработана техника применения метода ломаных для приближенного получения оригинала по известному изображению. В частности, по существенно немонотонному изображению в диссертации получен немонотонный оригинал.

3. Разработана конструкция экспериментальной установки и техника проведения испытания элементов двухфазного полупространства в виде

крупногабаритных образцов из водонасыщенного грунта, позволяющая выявить влияние остаточного порового давления

4 Проведены экспериментальные исследования с крупногабаритными образцами из двухфазного тела Экспериментально показано, что коренное отличие двухфазного тела от однофазного заключается в том, что при постоянной нагрузке происходит перераспределение усилий между жидкой и твердой фазами Согласно проделанным экспериментам это взаимодействие описывается немонотонной функцией

5 Выявлен новый механический эффект, подтверждающий, что введение водяного столба в экспериментальной установке выше крупногабаритного образца обеспечивает несущую способность поровой воды

6 Разработана методика определения по экспериментальным данным вязкоупругих характеристик водонасыщенного торфа как вязкоупругого материала

Основные положения диссертации раскрыты в следующих опубликованных работах

1 Бай В Ф , Демин В А Обработка эксперимента с крупногабаритным образцом обводненного торфа по двум моделям Сб докладов научно-технической конференции, посвященной 30-летию ТюмГАСА -Издательско-полиграфическое предприятие «Тюмень», 2000 с 61-71

2 Мальцев Л Е, Мальцева Т В, Демин В А Экспериментальное определение параметров кинематической модели для водонасыщенного образца грунта Изв вузов Нефть и газ, 2001, №2 с 96-102

3 Бай В Ф, Демин В А, Мальцева ТВ Обработка эксперимента с макрообразцом из водонасыщенного торфа В кн Мальцев Л Е Ьай В Ф , Мальцева Т В Кинематическая модель грунта и биоматериалов -СПб , Стройиздат, 2002 с 281-289

4. Мальцева Т.В., Демин В.А.. Немонотонность функций, описывающих свойства вязкоупругих грунтов. Материалы международного (2-го всероссийского) совещания заведующих кафедрами механики грунтов, инженерной геологии, оснований и фундаментов и подземного строительства строительных вузов и факультетов. Академические чтения Н.А.Цытовича. 2-е денисовские чтения. М., 2003. с. 154-157.

5. Бай В.Ф., Мальцев Л.Е., Мальцева Т.В., Набоков А.В., Демин В.А.. Экспериментальная установка для испытания грунта методом одноосного сжатия. Патент на изобретение №2213952 от 10.10.2003. Научно-исследовательское отделение по подготовке официальных изданий Федерального института промышленной собственности. М., Г-59, ГПС-5,123995.

6. Демин В.А. Экспериментальное определение функции ползучести для водонасыщенного торфяного основания с учетом немонотонного силового взаимодействия жидкой и твердой фаз. Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Труды VI международной научно-технической конференции, 28-29 января 2004 г. СПб.: ПГУПС, 2004. с. 122-126.

Подписано к печати 14.03.05 г. Печ.л. -1,7

Печать - ризография. Бумага для множит, апп. Формат 60x84 1\16 Тираж 100 экз. Заказ № 306.

Тин. ПГУПС 190031, С-Петербург, Московский пр. 9

05.1$

* f I %

; S J

f * * *

21 Hi>№

1088

Общая характеристика работы

1. Современное состояние теоретических и экспериментальных 10 исследований двухфазного полупространства

1.1. Расчетные модели упругого однофазного полупространства

1.2. Теории расчета упругих двухфазных сред

1.3. Теории расчета вязкоупругих двухфазных сред

1.4. Кинематические модели упругой и вязкоупругой двухфазных сред

1.5. Испытания грунтов методами одноосного сжатия

1.6. Экспериментальные исследования общего и порового давлений

1.7. Экспериментальные исследования изменения порового давления во 27 времени

1.8. Экспериментальные исследования влияния остаточного порового 37 давления на прогноз осадок

1.9. Выводы по результатам анализа современного состояния вопроса. 42 Цель и задачи диссертации

2. Напряженно-деформированное состояние упругого двухфазного полупространства

2.1. Основные уравнения кинематической модели упругого двухфазного 45 полупространства

2.2. Расчетные формулы для определения параметров кинематической 56 модели упругого двухфазного полупространства

Актуальность работы.

Исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) двухфазных сред относится к задачам, решение которых связано с большими математическими трудностями. Известные математические модели двухфазных сред, построенные на основании определенных гипотез, не всегда подтверждаются экспериментально. Поэтому создание новых моделей и их экспериментальная проверка является, несомненно, актуальной задачей. Тем более, если рассматривать в качестве двухфазной среды грунт, служащий основанием зданий и сооружений. Помимо двухфазной структуры (скелет и поровая вода), водонасыщенный грунт еще является вязкоупругим материалом, что усложняет решение задачи исследования напряженно-деформированного состояния.

Проведенные в данной работе исследования связаны с теоретическим и экспериментальным обоснованием новой кинематической модели двухфазного вязкоупругого полупространства в виде водонасыщенного грунта - наиболее типичного основания зданий и сооружений. Следовательно, эти исследования являются актуальными и имеют теоретическое и прикладное значение.

Целью диссертации является теоретическое и экспериментальное исследование НДС двухфазного вязкоупругого полупространства, представленного в виде загруженного внешней нагрузкой участка водонасыщенного грунта.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

• исследование НДС упругого двухфазного полупространства на основании кинематической модели;

• применение принципа Вольтерра и метода ломаных для перехода от упругого решения для двухфазного полупространства к вязкоупругому и для определения вязкоупругих характеристик материала;

• разработка конструкции экспериментальной установки и техники проведения испытаний двухфазного полупространства;

• проведение экспериментальных исследований по определению вязкоупругих характеристик двухфазной среды и разработка методики обработки результатов этих исследований с применением метода ломаных;

• приложение полученных экспериментальных данных к расчету двухфазного полупространства.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

• получены теоретические и экспериментальные результаты исследования НДС двухфазного полупространства на основании кинематической модели;

• разработана экспериментальная установка для испытания водонасыщенного крупногабаритного образца, расположенного в характерной толще грунта, где удаление от дневной поверхности до образца имитируется водяным столбом над грунтом и получены новые экспериментальные данные, характеризующие вязкоупругие параметры двухфазной среды;

• выявлен механический эффект, подтверждающий, что введение водяного столба в экспериментальной установке обеспечивает несущую способность поровой воды;

• разработан алгоритм определения вязкоупругих параметров водонасыщенного грунта как вязкоупругого строительного материала по экспериментальным данным;

• разработан алгоритм получения немонотонного оригинала по заданному немонотонному изображению применительно к двухфазному полупространству.

Достоверность защищаемых положений обеспечивается:

• использованием известных методов и уравнений строительной механики;

• выполнением экспериментальных исследований с помощью известных апробированных и оттарированных контрольно-измерительных приборов;

• удовлетворительным согласованием результатов численных и аналитических решений с данными лабораторных испытаний.

Практическая ценность работы заключается в том, что предлагаемые результаты исследований могут использоваться при расчете полупространства из водонасыщенного грунта для разных инженерных сооружений. В дальнейшем результаты исследований могут быть использованы при проектировании и расчете осадок инженерных объектов, которые строятся на основаниях из слабых грунтов.

На защиту выносится:

• результаты исследования НДС двухфазного полупространства на основании кинематической модели;

• новый механический эффект, который заключается в том, что введение водяного столба при экспериментальном исследовании образцов двухфазной среды обеспечивает несущую способность поровой воды без последующего значительного ослабления этой способности;

• алгоритм определения вязкоупругих параметров водонасыщенного грунта как вязкоупругого строительного материала по экспериментальным данным;

• алгоритм получения немонотонного оригинала по заданному немонотонному изображению применительно к двухфазному полупространству.

Апробация работы.

Основные положения, результаты исследований докладывались и обсуждались: на научном семинаре «Межкафедральной, научной и экспериментальной лаборатории» Тюменской государственной архитектурно-строительной академии под руководством доктора ф.-м.н., профессора Л.Е.Мальцева (ТюмГАСА, 1998-2001 г.); на 1-й научной конференции молодых ученых, аспирантов и соискателей (ТюмГАСА, 1999 г); на П-й научной конференции молодых ученых, аспирантов и соискателей (ТюмГАСА, 2000 г); на научно-методической конференции преподавателей, посвященной 30-летию ТюмГАСА (ТюмГАСА, 2000 г); на научной конференции посвященной памяти первого ректора А.Н.Косухина (ТюмГНГУ, 2001 г); на научном семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Тюменского государственного нефтегазового университета под руководством д.т.н., профессора Ю.Е.Якубовского (ТюмГНГУ, 1998-2001 г.); на заседании кафедр «Строительная механика» и «Механика грунтов, основания и фундаменты» (ТюмГАСА, 2001 г); на III-й научной конференции молодых ученых, аспирантов и соискателей (ТюмГАСА, 2002 г); на научно-техническом семинаре факультета "Мосты и тоннели" (ПГУПС, 2003 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и литературы. Работа содержит 174 страниц машинописного текста, 85 рисунков, 4 таблицы, список литературы из 91 наименования, в том числе 7 - на иностранном языке.

Основные результаты и выводы

1. Проведенное на основании модели исследование НДС двухфазного полупространства позволило выявить перераспределение усилий между жидкой и твердой фазами.

2. Применение принципа Вольтерра и метода ломаных позволило осуществить переход от упругого решения для двухфазного полупространства к вязкоупругому. Кроме того, разработана техника применения метода ломаных для приближенного получения оригинала по известному изображению. В частности, по существенно немонотонному изображению в диссертации получен немонотонный оригинал.

3. Разработана конструкция экспериментальной установки и техника проведения испытания элементов двухфазного полупространства в виде крупногабаритных образцов из водонасыщенного грунта, позволяющая выявить влияние остаточного порового давления.

4. Проведены экспериментальные исследования с крупногабаритными образцами из двухфазного тела. Экспериментально показано, что коренное отличие двухфазного тела от однофазного заключается в том, что при постоянной нагрузке происходит перераспределение усилий между жидкой и твердой фазами. Согласно проделанным экспериментам это взаимодействие описывается немонотонной функцией.

5. Выявлен новый механический эффект, подтверждающий, что введение водяного столба в экспериментальной установке выше крупногабаритного образца обеспечивает несущую способность поровой воды.

6. Разработана методика определения по экспериментальным данным вязкоупругих характеристик водонасыщенного торфа как вязкоупругого материала.

1. Абелев М.Ю. Строительство промышленных и гражданских сооружений на слабых водонасыщенных грунтах. М.: Стройиздат, 1983. - 248 с.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. - 279 с.

3. Александров А.В. Основы теории упругости и пластичности. М.: В.Ш., 1990.-399 с.

4. Амарян JI.C. Прочность и деформируемость торфяных грунтов. М., изд. «Недра», 1969, 187 стр.

5. Амарян JI.C. Свойства слабых грунтов и методы их изучения. М., изд. «Недра», 1990, стр. 117.

6. Амарян JI.C. Методы расчета прочности и сжимаемости торфяных грунтов. В кн.: Материалы к первой Всесоюзной конференции по строительству на торфяных грунтах. Под ред. проф. JI.C. Амаряна. Калинин, 1972, ч.1, с. 69-89.

7. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. 318 с.

8. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.-Л.: Гостехиздат, 1952. 323 с.

9. Баранов Д.С. Руководство по применению прямого метода измерения давлений в сыпучих средах и грунтах. М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1965.

10. Бартоломей А.А., Омельчак И.М., Юшков Б.С. Прогноз осадок свайных фундаментов. М.: Стройиздат, 1994. - 384 с.

11. Бай В.Ф., Демин В.А. Обработка эксперимента с крупногабаритным образцом обводненного торфа по двум моделям. Сб. докладов научно-технической конференции, посвященной 30-летию ТюмГАСА. Издательско-полиграфическое предприятие «Тюмень», 2000. с.61-71.

12. Бай В.Ф. Экспериментальная установка для проведения испытания образца обводненного грунта. // Известия вузов. Нефть и газ, 2001, №3. С.58-62.

13. Бай В.Ф., Мальцева Т.В., Набоков А.В. Экспериментальное определение параметра в упругом варианте кинематической модели грунта. // Изв. вузов. Нефть и газ, 2001, № 5. С.81-87.

14. Бай В.Ф., Мальцева Т.В., Набоков А.В. Механические характеристики двухфазного образца. // Изв. вузов. Нефть и газ, 2002, №1. С.98-106.

15. Бай В.Ф., Мальцева Т.В., Набоков А.В. Новая методика определения параметров теории фильтрационной консолидации. // Изв. вузов. Нефть и газ, 2002, №2. С. 103-106.

16. Березанцев В.Г. Некоторые задачи теории предельного сопротивления грунтов нагрузке / Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. Ленинград, 1949.

17. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: В.Ш., 1968.-512 с.

18. Ванюшкин С.Г. Особенности взаимодействия многоволновых фундаментов-оболочек с основанием / Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Днепропетровск, 1985.

19. Винокуров Ф.П., Тетеркин А.Е., Питерман М.А. Строительные свойства торфяных грунтов. Минск: изд. АН БССР, 1962, 281 с.

20. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты, оболочки на упругом основании. М.: Госиздат физ.-мат. Литературы. 1960. - 420 с.

21. ГОСТ 23908-79. Грунты: Метод лабораторного определения сжимаемости. -М.: Изд-во стандартов, 1982.- 11с.

22. ГОСТ 25100-82. Грунты. Классификация. М.: Изд-во стандартов, 1982. 9 с.

23. ГОСТ 5180-84. Грунты. Методы лабораторного определения физических характеристик. М.: Изд-во стандартов, 1986. 24 с.

24. ГОСТ 12248-96 Грунты. Методы лабораторного определения характеристик прочности и деформируемости.

25. Гастев В.А. Курс теории упругости и основ теории пластичности. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1973. 180 с.

26. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричников Е.А. Справочник по высшей математике. 2-е изд., Мн. Тетрасистемс, 2000. - 640 с.

27. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания, фундаменты. М.: Стройиздат, 1981.-319 с.I

28. Добров Э.М., Кузахметова Э.К. К вопросу о консолидационных характеристиках торфяных грунтов. В кн.: Материалы к первой Всесоюзной конференции по строительству на торфяных грунтах. Под ред. проф. Л.С. Амаряна. Калинин, 1972, ч.1, с. 127 - 132.

29. Заяц В.Н., Шибут А.И. Вторичная консолидация в процессе уплотнения торфяных грунтов. В кн.: Материалы к первой Всесоюзной конференции по строительству на торфяных грунтах. Под ред. проф. Л.С. Амаряна. Калинин, 1972,ч.1, с. 122- 125.

30. Зарецкий Ю.К. Вязко пластичность грунтов и расчеты сооружений. М.: 1988.

31. А.А. Ильюшин, Б.Я. Победря. Основы математической теории термовязкоупругости. Изд-во «Наука», М., 1970,280 с.

32. Ильин В.П., Мальцев JI.E., Соколов В.Г. Расчет строительных конструкций из вязкоупругих материалов. Л.: Стройиздат, Ленингр. Отд-ние, 1991. 190 е.: ил.

33. Касандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М.: Наука, 1970. - 104 с.

34. Касаткин Б.С., Кудрин А.Б., Лобанов Л.М., Пивторак В.А., Полухин П.И., Чиченев Н.А. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1981. - 583 с.

35. Казарновский В.Д., Скляднев А.И., Штырхун Е.Ю. Учет остаточного порового давления при прогнозе конечной осадки насыпей на слабых грунтах. // Вопросы проектирования и строительства автомобильных дорог. М., 1993. -С.133-136.

36. Киселев В.А. Плоская задача теории упругости. М.: В.Ш., 1976. - 152 с.

37. М.А. Колтунов. Ползучесть и релаксация. М., «Высшая школа», 1976, 277 с.

38. Коновалов П.А., Кушнир С.Я. Намывные грунты как основания сооружений М.:Недра, 1991. 256с.: ил.

39. Королев А.С., Ивкин Т.Н. Расчетные и нормативные значения модуля общей деформации торфа. В кн.: Материалы к первой Всесоюзной конференции по строительству на торфяных грунтах. Под ред. проф. Л.С. Амаряна. Калинин, 1972, 4.1, с. 262 - 270.

40. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 768 с.

41. Коновалов П.А., Зехниев Ф.Ф. Ускорение консолидации водонасыщенного слабого грунта с помощью плоских песчаных дрен. // Сб. научных трудов в 2 т. под общей редакцией Ильичева В.А. М.: Стройиздат, 1987. - т.1. - С. 274-276.

42. Кукушкин В.А. Аппаратура и методика трехосных испытаний торфа на крупных монолитах. В кн.: Материалы к первой Всесоюзной конференции по строительству на торфяных грунтах. Под ред. проф. Л.С. Амаряна. Калинин, 1972, ч. 1, с. 242 - 249.

43. Куриленко Н.И. Стержневая модель распределительной способности одно-и двухфазных грунтов / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Тюмень, 1992. 228 с.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 204 с.

45. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа (справочное руководство): Пер. с англ./ Под ред. A.M. Лопшица. М., 1961.-524 с.

46. Мальцев Л.Е. Модель механики грунтов с кинематическим описанием взаимодействия фаз. Сб. "Итоги исследований" ТИММС СО РАН №5, -Тюмень, 1994.

47. Мальцев Л.Е., Степанова Т.В. Кинематическая модель механики грунтов. Сб. "Фундаментостроение в условиях Тюменского региона" ТюмИСИ, 1993.

48. Мальцева Т.В. Фундаментальное решение задачи Фламана для двухфазной вязкоупругой полуплоскости. Изв.вузов. Нефть и газ, 2000, №2 с.72-78.

49. Мальцев Л.Е., Карпенко Ю.И. Теория вязкоупругости для инженеров-строителей. Тюмень, 1999.

50. Малышкин А.П. Взаимодействие лопастных свай с окружающим грунтом. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Пермь 1993.-207 с.

51. Мальцева Т.В. Действие сосредоточенной силы на двухфазное упругое полупространство. // Изв. вузов. Нефть и газ, 2001. №1.

52. Мальцев Л.Е., Мальцева Т.В., Демин В.А. Экспериментальное определение параметров кинематической модели для водонасыщенного образца грунта. Изв. вузов. Нефть и газ, 2001, №2. с. 96-102.

53. Мальцев Л.Е., Куриленко Е.Ю. Двумерные задачи теории упругости: Учебное пособие. Тюмень, 1992. - 170 с.

54. Мальцева Т.В. Фундаментальное решение задачи Фламана для двухфазной вязкоупругой полуплоскости. // Изв. вузов. Нефть и газ, 2000. №2. — С. 72-78.

55. Мальцев Л.Е., Соколов В.Г. Метод параметров для решения статических задач линейной теории вязкоупругости для нестареющего материала // Исслед. По механике строит, констр. и материалов. Труды ЛИСИ, 1989. с. 32-37.

56. Методические рекомендации по испытанию глинистых пород методами одноосного сжатия и сжатия-растяжения. Министерство геологии СССР. М., 1977.

57. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб., 1999. - 736 с.

58. В.М. Пестренин, И.В. Пестренина. Применение аппроксимации в задачах линейной вязкоупругости анизотропного тела. Механика композитных материалов, 1988, №3, - 462-467 с.

59. Ю.Н. Работнов. Элементы наследственной механики твердых тел. Изд-во «Наука», М., 1977, 384 с.

60. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. 416 с.

61. Сильченко П.М. Разработка вопросов расчета фундаментов в виде оболочек методом начальных параметров / Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М., 1977.

62. Степанова Т.В. Моделирование процесса консолидации вязкоупругих двухфазных грунтов / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Тюмень, 1994. 98 с.

63. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М., 1959. - 271 с.

64. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. М. - т. 2,1969. - 800 с.

65. Тер-Мартиросян З.Г. Реологические параметры грунтов и расчеты оснований сооружений. М.: Стройиздат, 1990, 200 с.

66. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Высшая школа. 1983. - 288 с.

67. Чаповский Е.Г. Лабораторные работы по грунтоведению и механике грунтов. 4-е изд. - М.: Недра, 1975. - 303 с.

68. Чикишев В.М., Малышкин А.П. Взаимодействие пяты лопастной сваи с грунтом основания. // Проблемы свайного фундаментостроения. Труды III Международной конференции в Минске. Часть 1 //. Пермь: ППИ, 1992, с. 77-79.

69. Юшков Б.С. Исследования изменения во времени сил трения по боковой поверхности свай / Сборник трудов «Основания и фундаменты в геологических условиях Урала». Пермь, 1981. С. 64-67.

70. Biot М.А., Journal of Applied Physics, №23, 1956. C.91-96.

71. Biot M.A. Theory of deformation of a porous viscoclastic anisotropic sofld. Journal of Applied Physics, №5, 1956. C.459-467.

72. Mandel J. Proc. of the Third International Congress on Soil Mechanics, vol. 1, 413, Zurich, 1953.

73. Boltzmann L. Ann. Phys., 7, 1876, s. 624.

74. Brazier L. G. Flexure of thin cylindrical shells and other thin sections/Pros. Roy. Soc., 1927, vol. 116.P. 104-114.

75. Davis R., Davis H., Brown E. Plastic flow and volume change of concrete // ASTM, Pros., vol. 37,1937, p. 11.

76. Volterra V. Drei Vorlesungen. Leipzig und Berlin, 1914. 155 s.