автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование напряженно деформированного состояния водонасыщенного грунта с позиций теории вязкоупругости

На правах рукописи

МАЛЬЦЕВА Татьяна Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВОДОНАСЫЩЕННОГО ГРУНТА С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Специальность 05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань - 2006

Работа выполнена на кафедре математики и информатики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет».

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Мальцев Лев Евгеньевич

доктор технических наук, профессор Васильев Виталий Захарович

доктор физико-математических наук, профессор Карчевский Михаил Миронович

доктор физико-математических

наук, профессор

Паймушин Виталий Николаевич

Институт математического моделирования РАН

Защита состоится 16 марта 2006 г. в 13.30 на заседании Диссертационного совета Д 212.081.21 Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 430000, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 14 февраля 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к. ф.-м. к., доцент г Э^ш/Ж Задворнов О. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Объектом исследования является водонасыщенный грунт, поведение которого под нагрузкой описывается с позиций адаптированной механики деформируемого твердого тела и теории линейной наследственной вязкоупругос-ти без учета старения материала.

Промышленное освоение нефтяных и газовых месторождений в Тюменской области, связанное со строительством объектов нефтегазодобывающего комплекса, жилых поселков и подведением к ним дорог, ведется на водонасыщенных глинистых грунтах, на заболоченных и заторфованных территориях, где водосток практически отсутствует. Описание процесса консолидации водонасыщенного грунта с помощью моделей фильтрационной консолидации приводит к тому, что избыточное поровое давление после истечения конечного промежутка времени практически обращается в нуль, затем водонасыщенный грунт рассматривается как однофазный, для описания напряженного и деформированного состояния которого используются модели механики деформируемого твердого тела. На основании натурных экспериментов известно, что суммарные напряжения почти не изменяются во времени, их можно описать с позиций теории упругости. Однако полученные по теории упругости перемещения в несколько раз отличаются от результатов натурного эксперимента, поэтому тема диссертационной работы, связанная с построением и развитием математической модели, описывающей вклад поровой воды в напряженное и деформированное состояние скелета грунта, и обработкой новых лабораторных экспериментов по изучению механических упругих и вязкоупру-гих свойств этих грунтов является актуальной. Результаты исследований могут быть использованы при проектировании и расчете осадок инженерных объектов, возводимых на слабых основаниях, что обуславливает принятие безопасных и экономичных решений, развитие новых технологий, направленных на усиление несущей способности поровой воды.

Целью диссертационной работы является решение научно-технической проблемы математического моделирования напряженного и деформированного состояния водонасыщенного грун-

та с позиций теории вязкоупругости при описании процесса консолидации и с позиций обобщения теории упругости на двухфазное тело после окончания процесса консолидации, то есть при стабилизированном состоянии среды. Ставятся следующие научные задачи:

1. Построение двух математических моделей в виде систем линейных дифференциальных (упругий вариант) и интегро-диф-ференциальных уравнений (вязкоупругий вариант). Получение фундаментальных решений типа Фламана и Буссинеска, которые после переобозначений (принцип Вольтерра) одновременно являются фундаментальными решениями интегро-дифференциальных уравнений в изображениях по Лапласу — Карсону.

2. Разработка аналитических (в упругом варианте модели) и численно-аналитических (в вязкоупругом варианте) методов решения краевых задач для двухфазного полупространства и двухфазной полуплоскости, основанных на новых фундаментальных решениях.

3. Исследование свойств построенного обобщенного дифференциального оператора Ляме и их формулировки в виде основных теорем для двухфазного тела.

4. Исследование существования и единственности обобщенного решения статической смешанной краевой задачи для двухфазного тела.

5. Разработка методик определения параметров (материальных постоянных и функций времени) моделей, описывающих упругие или вязкоупругие свойства двухфазной среды по результатам одномерных, лотковых и натурных испытаний.

Методы исследования. При анализе полученных математических моделей и решений краевых задач применяются функциональный анализ, методы математической физики, теорий упругости и вязкоупругости.

Количественный анализ изучаемой проблемы осуществляется по аналитическим решениям с использованием современных математических программных продуктов.

Научная новизна работы состоит в том, что

1. Упругие варианты математических моделей двухфазной среды описываются системами двух и трех линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа, которые отличаются от известных уравнений Ляме дополнительными слагаемыми,

отражающими разгружающий вклад поровой воды. Полученный несимметричный дифференциальный оператор назван обобщенным оператором Ляме.

2. Показана положительная определенность обобщенного оператора Ляме для ограниченной односвязной пространственной области с кусочно гладкой границей. Доказано существование и единственность обобщенного решения статической смешанной краевой задачи для двухфазного тела.

3. Несимметричность обобщенного оператора Ляме привела:

а) к отсутствию взаимности работ в двухфазном теле (аналог формулы Бетти);

б) к билинейному функционалу (помимо квадратичного) при описании энергии деформации (аналог формулы Клапейрона);

в) к новым формулам типа Грина, отвечающим билинейному функционалу, которые появились при анализе приращения энергии деформации.

4. Фундаментальные решения Фламана для упругой однофазной полуплоскости и Буссинеска для упругого однофазного полупространства аналитически разложены на две фазы. Показано, что разложение решения Фламана на две фазы совпадает с точным решением системы обобщенных дифференциальных уравнений Ляме. Разложение, решения Буссинеска выполнено приближенно. Фундаментальные решения применены для аналитических расчетов двухфазных плоских и пространственных оснований, загруженных площадными фундаментами с изучением их взаимных влияний.

5. Разложения фундаментальных решений Фламана и Буссинеска представлены в вязкоупругом варианте. В соответствии с методами, предложенными А. А. Ильюшиным и П. М. Огибало-вым, решение вязкоупругих задач разбивается на два этапа: упругий и вязкоупругий. На втором этапе для фиксированной точки пространственных координат приближенный аналитико-численный переход от решения в изображениях по Лапласу— Карсону к решению в оригинале осуществляется по предложенной модификации метода ломаных, которая позволила получить немонотонные оригиналы.

6. Созданы методики определения механических постоянных и немонотонных функций времени (параметров моделей) по результатам одно-, двумерных лабораторных и натурных экспериментов.

Достоверность защищаемых положений обеспечивается:

— применением строгих математических методов исследования и решения, возникающих в работе дифференциальных уравнений;

— сравнением полученных в работе теоретических результатов в виде теорем с известными фундаментальными положениями теорий упругости и вязкоупругости;

— сопоставлением результатов численных и аналитических решений а) с данными лабораторных и натурных экспериментов, б) с известными решениями по другим моделям.

Практическая значимость.

На основании предложенных математических моделей (упругие варианты) проведено научное обоснование расчетов напряженного и деформированного состояния двухфазных оснований из водонасыщенных грунтов при разных плоских или пространственных нагрузках на дневной поверхности и для сочетаний нагрузок (взаимное влияние фундаментов). Приведены результаты расчетов во времени напряженных и деформированных состояний двухфазных оснований, загруженных различными видами нагрузок. Получены расчетные формулы для окончательных осадок, отвечающих стабилизированному состоянию оснований, минуя описание процесса консолидации, что отвечает запросам проектировщиков. Во всех расчетах показано разгружающее влияние поровой воды на уменьшение напряжений и деформаций, возникших в скелете грунта. Приведены примеры использования методик обработки результатов лотковых и натурных испытаний.

На защиту выносятся

1) математические модели в виде двух- и трехмерных систем линейных дифференциальных уравнений, которые отличаются от уравнений Ляме дополнительными слагаемыми в каждом уравнении, и соответствующие им системы интегро-дифференциальных уравнений;

2) свойства обобщенного оператора Ляме: а) доказательство существования и единственности обобщенного решения краевой задачи; б) следствия несимметричности оператора, сформулированные в виде аналогов теорем Бетти, Клапейрона, формул Грина;

3) фундаментальные решения типа Фламана и Буссинеска для двухфазного тела и основанные на них решения частных задач, вязкоупругие варианты фундаментальных решений;

усовершенствование метода ломаных, позволяющее получать немонотонные оригиналы;

4) методики определения параметров моделей по результатам лабораторных и натурных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на: II Всероссийской научно-практической конференции «Моделирование технологических процессов бурения, добычи нефти и газа и обустройства сопровождающих объектов на основе современных технологий» (ТГНГУ, Тюмень, 2000); научно-практической конференции «Актуальные проблемы строительства и экологии Западно-Сибирского региона» (ТГАСА, Тюмень, 2000); Международном научном симпозиуме «Упругость и неупругость» по проблемам механики деформируемых тел, посвященном 90-летию со дня рождения А. А. Ильюшина (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2001); Международном совещании заведующих кафедрами «Механика грунтов, оснований и фундаментов», «Инженерная геология и геоэкология», «Подземные сооружения» (МГСУ им. В.В. Куйбышева, Москва, 2002); городском научном семинаре НИИ оснований и подземных сооружений (Москва, 2002); научно-техническом семинаре факультета «Мосты и тоннели» Государственного университета путей сообщения (С.-Пб, 2003); городском научном семинаре кафедры «Механика многофазных сред» Государственного университета (Тюмень, 2003); 60-ой Всероссийской конференции «Научно-технические проблемы в строительстве» Государственного строительного университета (Новосибирск, 2003); на научном семинаре отдела механики деформируемого твердого тела института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2003); Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2003); научном семинаре кафедры «Механика композитов» Московского государственного университета (Москва, 2003); научном семинаре института Математического моделирования РАН (Москва, 2003); научном семинаре кафедры «Прикладная математика» Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева (Саранск, 2004); научном семинаре лаборатории «Механика пористых сред» НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета (Казань, 2004); XVII сессии Международной научной школы по моделям механики сплошной среды

(Казань, 4-10 июля 2004г.); научном семинаре кафедр вычислительной математики и теоретической механики Казанского государственного университета (Казань, 2005).

Публикации. По материалам исследований опубликовано 32 научные работы, список которых приведен в конце автореферата, в том числе в соавторстве одна монография и патент на изобретение, 13 работ — в журналах из перечня, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 240 страниц, 65 рисунков, библиографию из 124 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы. Сформулированы цели и задачи представленного научного исследования с кратким описанием полученных результатов.

В первой главе проанализированы классические, современные модели и различные подходы, в том числе и экспериментальные (Амарян Л. С., Бугров А. К., Голли А. В., Зехниев Ф. Ф., Воронцов В. В., Демин В. А., Набоков А. В. и др.), к моделированию напряженного и деформированного состояния водонасыщенных (двухфазных) грунтов. Согласно натурному эксперименту на расстоянии от дневной поверхности более одного метра для глины и полутора метров для торфа имеются остаточные избыточные по-ровые давления после окончания процесса консолидации грунта. Моделями теории упругости и пластичности (Соколовский В. В., Горбунов-Посадов М. И., Малышев М. В., Ломизе Г. М., Крыжанов-ский А. Л. и др.) это поровое давление не описывается, потому что грунт рассматривается однофазным. По линейным фильтрационным моделям (Терцаги К., Герсеванов Н. М., Био М., Флорин В. А., Зарецкий Ю. К, Тер-Мартиросян 3. Г. и др.) остаточные избыточные поровые давления обращаются в нуль.

По вязкоупругому варианту кинематической модели (одномерный случай), предложенной Мальцевым Л. Е., экспериментальная кривая порового давления ст1 описывается практически точно ломаной линией (рис. 1).

Рис. 1. Качественный характер кривой изменения порового давления во времени.

Здесь — начальный момент времени стабилизации, например, при испытании образца высотой в 1м из водонасыщенной глины процесс консолидации закончился в момент гст=95сут. На графике горизонтальная полка соответствует остаточному избыточному поровому давлению. Штриховая линия продолжает горизонтальную полку до начального значения времени. Упругий вариант кинематической модели отвечает замене действительного графика на горизонтальную полку, отвечающую остаточному избыточному поровому давлению ст'С>',.„,), до начального (нулевого) момента времени. В упругом варианте модели отсутствует время.

В вязкоупругом варианте кинематической модели решение разбивается на два этапа: 1) находится решение соответствующей задачи в упругой постановке; 2) вводится система переобозначений (принцип Вольтерра) и для фиксированной точки пространственных координат осуществляется приближенный переход от изображения к оригиналу по методу ломаных, согласно которому составляется система линейных алгебраических уравнений, ее порядок совпадает с числом звеньев ломаной линии. Разбиение на два этапа позволяет на первом этапе в ряде случаев получать аналитическое решение задачи за счет отсутствия времени.

В нелинейных фильтрационных моделях (Флорин В. А., Кос-терин А. В. и др.), в которых учитывается начальный градиент порового давления, вводятся две зоны — активная и пассивная, в последней фильтрация воды отсутствует. Нахождение границы, разделяющей две зоны и движущейся во времени, значи-

тельно осложняет решение задачи, но по-прежнему, не учитывается вклад остаточных избыточных поровых давлений в деформированное состояние двухфазного тела.

Таким образом, кинематическая модель в отличие от фильтрационных описывает остаточное избыточное поровое давление и его влияние на деформацию скелета грунта при стабилизации процесса консолидации, поэтому она была выбрана для обобщения на пространственный случай и ее дальнейшего развития.

Во второй главе представлены основные допущения, уравнения на базе кинематической модели, описывающие напряженное и деформированное состояния водонасыщенного грунта с позиций теорий упругости и наследственной линейной вязкоуп-ругости без учета старения материала. В упругом варианте система уравнений сводится к системе дифференциальных уравнений эллиптического типа, которая от известных уравнений Ляме отличается дополнительными слагаемыми, учитывающими вклад поровой воды, что позволило ее назвать системой обобщенных уравнений Ляме. В вязкоупругом варианте имеем систему ин-тегро-дифференциальных уравнений.

Основные допущения:

1. Рассматриваются водонасыщенные грунты с наличием в порах гидравлически непрерывной воды.

2. Относительные деформации твердой (индекс э) и жидкой

(индекс I) фаз малы |е?|<0,07;|£:'|<0,07 ((=1,2,3), в одной геометрической точке по модели находятся две материальные точки: жидкая и твердая. Сплошность тела обеспечивается применением соотношений Коши к каждой из фаз.

3. Для скелета грунта справедливы шесть гипотез теории упругости. Касательные напряжения по модели возникают только в скелете грунта.

4. Для поровой воды вводится гипотеза о линейной связи между частной производной от остаточного избыточного порового давления и относительной линейной деформацией вдоль каждой из координатных осей и указывается на линейную связь между относительной деформацией и изменением относительной пористости вдоль координатной оси. Вместо равенства давлений на горизонтальных и боковых площадках поровая вода по модели

наделяется свойством, согласно которому они разные, как и у скелета грунта. Гипотеза однородности сохраняется, вместо изотропности вводится ортотропность, например, механические постоянные поровой воды в случае полуразложившегося торфа вдоль остатка стебля и поперек различны, различие сохраняется при выборе направлений вдоль пласта и поперек пласта, поэтому свойства воды, помещенной в поры грунта, отличаются от свойств обычной воды. Линейная наследственная теория вяз-коупругости применяется не только к физическим уравнениям для скелета грунта, но и к уравнениям состояния поровой воды. В вязкоупругом варианте модели для скелета грунта используется закон Больцмана, для поровой воды вводится аналог закона Больцмана.

5. Взаимодействие двух фаз описывается кинематической гипотезой, согласно которой одна фаза освобождает часть своего объема для другой фазы, поэтому относительные линейные деформации скелета грунта и поровой воды вдоль каждой из координатных осей противоположны по знаку и прямо пропорциональны.

Постановка задачи. Система уравнений кинематической модели включает: уравнения равновесия (1) с учетом объемных сил

К, физический закон Гука с измененными (за счет наличия в порах воды) механическими характеристиками (2), физические уравнения состояния для поровой воды (3), уравнения Коши (4), кинематические уравнения взаимодействия фаз (5).

Растягивающие нормальные напряжения в скелете грунта, сжимающие — в поровой воде считаются положительными, поэтому сумме напряжений отвечает выражение о^—Суб^. Вдоль

каждой координатной оси приращение суммарного нормального напряжения уравновешивается приращением касательного напряжения, возникающего в скелете грунта. Используется суммирование по повторяющемуся индексу. Система уравнений имеет вид:

(1)

и и'

р!. =Е1.£1..8.., Р.1. = На1.. 8..

v ' у 'у' у vу./у>

£и=^<]+и')Л 4=и/.А.

■е'а ¿,¿=1, 2, 3,

где и?, и! —перемещения твердой и жидкой фаз, Е* , уЯл

(4)

(5)

я=-

2(7+у)'

Е* — модуль деформации, v — коэффициент Пуассона, О — модуль сдвига, Я — постоянная Ляме вводятся для скелета грунта, безразмерные параметры X/, размерные параметры Н. (м), Е! (Мпа)

описывают возможную ортотропию поровой воды. Все параметры модели определяются из эксперимента с двухфазным образцом или из лотковых, или из натурных испытаний.

Путем преобразований уравнений равновесия (1) получилась система дифференциальных уравнений, записанная через перемещения частиц скелета грунта (индекс 8 опущен):

Е\

= с,-

(б)

которая от известных уравнений Ляме отличается двумя дополнительными слагаемыми в каждом уравнении с параметрами Ь., е.. Введем три дифференциальных вектора — оператора: а) опера-

тор Ляме /^(С + А^гасИ/у+СД;б) оператор В =

Э2

^ ' дх? , V. 1 Н-1

который

отражает изменение трех диагональных элементов в тензоре чет-

вертого ранга механических постоянных; в) оператор С-

\3

с.

' дх.

^ /1=1

соответствующий уравнениям состояния для поровой воды (3).

Для конечной односвязной, ограниченной кусочно гладкой поверхностью, пространственной области на части поверхности (водопроницаемой) избыточные остаточные поровые давления обращаются в нуль, статическое граничное условие записывается только для скелета грунта и смешанные граничные условия имеют вид:

" и, (7)

= X [а1к + ъ, ^(у,^ ) е, =

ох, ;

3

= ё ((2в + Ь1) + м* + )соб(у, хк)е, (8)

оператор напряжений в скелете грунта, который отличается от аналогичного оператора теории упругости изменением механических постоянных за счет слагаемых Ьг Кинематическое граничное

условие является главным, статическое — естественным.

Запишем вязкоупругий вариант одномерной кинематической модели.

По закону Больцмана для физических уравнений имеем

£'(0 = ) п, {$ - гУа' (т), е' (0 = } Л, (г - т)*Р' (т\

о о

где яД/),Яг(0 — функции ползучести.

Введение в систему уравнений (1) - (5) соответствующих интегральных соотношений приводит к системе интегро-диффе-ренциальных уравнений.

В изображениях по Лапласу — Карсону на основании теоремы Бореля свертка двух функций заменяется произведением их изображений

ИоЫлдоГИоГ. ИоЫядоГИ)]*-

В простейшем случае параметры v, К, Ь будем считать постоянными. Используем правило переобозначений (принцип Вольтерра) для перехода от решения задачи в упругой постановке к решению в вязкоупругой постановке:

<х*->(сг<)\ о1->{о1), е1->{е1), Р1 ->(/>')\ тогда уравнения вязкоупругой задачи в изображениях с точностью до обозначений совпадут с уравнениями (1) - (5) и соответственно (6).

Разделение решения на два этапа для системы фиксированных пространственных точек позволяет отказаться от решения системы интегро-дифференциальных уравнений.

В третьей главе записывается работа деформации двухфазного тела и связанные с нею принципы.

Специальная запись физических уравнений для жидкой фазы (3) позволила новые характеристики напряженного состояния жидкой фазы Р.1 (I = 1,2,3) методически использовать для описания удельной работы внешних сил, приложенных к жидкой фазе, и записать выражение для приращения 8Я51 механической работы внешних сил, приложенных к элементарному двухфазному параллелепипеду, в виде

Слагаемое - описывает диссипацию работы деформации и в диссертации не рассматривается.

Заменяя приращение энергии деформации полным дифференциалом , и используя закон сохранения энергии для обратимой работы внешних сил, запишем выражение для удельной энергии деформации:

г . л

"«-{¡'рМ- <9>

Согласно определению полного дифференциала получили аналог формул Грина в виде двух групп уравнений, который является математическим описанием закона сохранения энергии: I группа II группа

= (10) у К, у у ди* \ у у

В четвериой главе исследуются свойства обобщенного не симметричного оператора Ляме й = А + В + С, заданного на линеале функций, непрерывных вместе со своими первыми и вторыми частными производными в односвязной области О с кусочно гладкой границей 5. Одно из свойств оператора — положительная определенность в векторных пространствах \У1,2(£}), Ь2(0).

Скалярное произведение (ри,и ) представляет сумму трех слагаемых. Для преобразования интегралов по объему применим формулу Остроградского-Гаусса. Первое слагаемое известно:

(- Аи>и)=~1и'Лии^ = 2 \У/А(и,и)с1х - ¡и'^и^Я, £2 £2 £ У/А{и,и')=\УА(и',и), = +Сп;д;+С8ипкдк,

в котором при и —и получаем упругий потенциал:

Два оставшихся слагаемых имеют вид:

(- = 2 \У/В{и,и)с1х - ¡Ь^З^^м^Б,

а

£2

{-Си,и)=-\и\С~и^= 1\УС (и, и')с1х = £2 £2

= -¡с/^и ^¿х = - ¡см'^и .П^. (11)

£2 £2 Б

У/В{и,и')=^ене'и, \Ув(и,и')=\Ув(и',и),

£

\Ус(и, и)=-с1еии\, У/с{и,и')фУ/с{и}и).

Аналог первой формулы Бетти описывается выражением

/ и'^ и} ах = 2 ¡(V/А {и, и)+\Ув (и, и)+-\Ус (и, м') V ~ ¡и^и^Б. (12) х2 ^ /5

Полагая и' = и, получим аналог второй формулы Бетти

£2 £2

\УА +\УВ

2

4х-¡и^и^Б. (13)

Оставляя только упругий потенциал У/А, приходим к известным формулировкам двух формул Бетти.

Вычитая из (12) взаимное выражение, получим аналог третьей формулы Бетти, который описывает несимметричность обобщенного оператора Ляме

12

а я

При введении объемных сил по уравнению (6) и учете статических граничных условий (7) имеем

\{и\К.-и.К\)1х- ¡(р'м-и^Ув* ¡(рс(и,и')-\Ус(и',и)}1х. (15)

п Б2 а

При отсутствии объемных сил и задании в двух точках поверхности сосредоточенных сил я(х) = ()д(х -у0), ч'(х) — ()'5(х — у^ получим

"/(у0)-б = "(>'0)е'+ (16)

я

По теореме Бетти о взаимности работ для упругого тела интеграл по объему отсутствует, несимметричность оператора!) описывается этим интегралом.

На основе уравнений (6), условий (7) введем объемные и поверхностные силы в выражение (13) и запишем аналог формулы Клапейрона

\

с1х.

\щК1ах + \ид1(18 = г\\\УА +-1У

П Я п1 2

с

в котором правая часть описывает энергию деформации двухфазного тела в виде квадратичных и билинейного функционалов. При сохранении справа только У/А имеем потенциальную энергию и известную теорему Клапейрона.

Постановка вариационной задачи. Обобщенным решением кра-

6

евой задачи будем считать функцию ие V, V ~\У 1,2(£?), удовлетворяющую вариационному равенству (в форме Галеркина)

•Уг

/ \ rf/v, dv. , du. dvA t . . f Э«.

Требование обращения в нуль у на части границы указыва-

о

ется как veW 1,2(О). Пространство V*сопряженное к V.

В диссертации устанавливаются свойства форм c(u,v),

d(u,v)=a(u,v)+c(u,v) и доказывается теорема о существовании и единственности решения.

Лемма 1. Если область Л ограничена, то форма d(u,v) есть билинейная непрерывная форма на VxV,

Лемма 2. Для любой открытой области Q и S} & S имеем

с(и,м)=-— jcjiifcosiv,x)dx, Vue V;

2s2

c(u, v ) = -c(v, и)- J cim, v,. cos(v, x)dx, Vw, v e V.

Теорема. Пусть Q ограниченная область в R3u К— заданный элемент, К е L2(ü). Тогда задача (17) имеет единственное решение ueV.

Таким образом, проекционные методы математической физики, например метод Бубнова — Галеркина, применимы к отысканию решения (17).

В пятой главе рассмотрен класс задач о загружении различными видами нагрузок вязкоупругой двухфазной полуплоскости и проведено сопоставление с лабораторными и натурными экспериментами.

Отличия в постановках задачи Фламана в теории упругости и в диссертации заключается в том, что в теории упругости задача Фламана рассматривается для неограниченной полуплоскости, а при разложении нормального напряжения на случай двух фаз вводится ограниченная односвязная область.

В полярной системе координат (в, г) введем полуцилиндр малого радиуса р и заменим погонную нагрузку F радиальными напряжениями <тг, распределенными по его поверхности (рис. 2).

к г

Рис. 2. Замена погонной нагрузки F радиальными напряжениями. Нормальные суммарные напряжения

= 0

а =а"—о1,

г г г'

<тг =

2/г со$е

Хгв ~ °в

К Г

удовлетворяют уравнениям равновесия и уравнению совместности деформаций в полярной системе координат при нулевых (за исключением точек приложения нагрузки Г) граничных условиях. Задача Фламана при дополнительных условиях ав =?гв —0 является задачей одномерного напряженного состояния, что позволило при разложении радиального напряжения аг применить одномерный вариант кинематической модели

о* — с1 =

г г

2F

Эг

л

е' = г

Г

ди[ Эг

£ -—а

г £иг.

Е1 Эг

Е = ЕХ +

вг

К2'

= 0.

(18)

На дневной поверхности полуплоскости (г = р) избыточное остаточное поровое давление равно нулю, оно имеется в глубине массива, поэтому жидкость перемещается вдоль радиуса из области повышенного давления в область пониженного противоположно движению частиц скелета грунта. Перемещения частиц по-ровой воды в направлении, ортогональном радиусу, вызваны поперечными деформациями скелета грунта и\

Система уравнений (18) свелась к решению линейного уравнения первого порядка относительно перемещения скелета грунта:

ди:

Эг

+ а2и\ =

2^ СО50

лЕ г

■а

а

2 _

ЕЛК1 м

Для нахождения постоянных интегрирования О (в), которая появилась в результате решения этого уравнения, и С(в), которая явилась следствием физического уравнения

~ Е1 дг '

заданы два граничных условия:

ст'г =О;

и;\ =О.

Согласно этим условиям рассматривается ограниченная область р<г£Я, в которой перемещения и напряжения отличны от нуля.

Решение дифференциального уравнения, описывающего разложение решения Фламана на две фазы, имеет вид:

и

кЕ

г „а2г

■ (¿г

-—<0 <—• (19)

2 2

Р Р

Напряжения в скелете грунта определены по закону Гука

2FcoJ0

л

г „а2г

■аг

2 2

(20)

Первое слагаемое отвечает решению Фламана для однофазного тела, второе слагаемое в скобках описывает разгружающее влияние жидкой фазы.

На основании формулы (20) получены величины и1г{м), а 1г{МПа).

Из графиков (рис. 3) следует, что жидкая фаза с ростом глубины постепенно принимает на себя общее давление, напряжения в скелете грунта убывают быстрее, чем напряжения, найденные по решению Фламана. При малых суммарных напряжениях

сгДг > 70)напряжения в скелете практически равны нулю, поэтому жидкая фаза сильнее проявляет свои свойства.

----Фламан

—»- скелет - вода

Рис. 3. Радиальные, вертикальные, горизонтальные нормальные и

касательные напряжения.

и(г) Хг)

и(г)

У(Г)

Рис. 4. Вертикальные перемещения точек дневной поверхности по решению Фламана (---), по кинематической модели (—).

График вертикальных перемещений для точек дневной поверхности, отвечающий однофазному телу, показывает существенно медленное убывание по сравнению с графиком функции перемещения, построенной с учетом влияния поровой воды (рис. 4). Влияние жидкой фазы на твердую проявляется в «поднятии» частиц скелета грунта над дневной поверхностью вблизи действия силы с последующим быстрым убыванием до нуля.

Тангенциальные перемещения в скелете грунта имеют вид:

На основании фундаментального решения (19), (20) получено (совместно с Трефилиной К Р.) решение задачи о действии равномерно распределенной нагрузки на двухфазную вязкоупругую полуплоскость, в которой сделан переход от решения в изображениях к оригиналу для фиксированной точки координат по приближенному методу ломаных, проведен в упругом варианте расчет напряженно-деформированного состояния основания автомобильной дороги и массива грунта от действия близко лежащих объектов.

Приведем, например, графики для вертикальных напряжений в жидкой, твердой фазах и по решению Фламана в случае действия равномерно распределенной нагрузки шириной 2Ъ при параметрах аг=0,02(1/м), р=0,02ы, д/к = 1МН /м, Ь-10м (рис. 5) в сечениях а) -0£Ь, б) г2~Ь, в) г3 —1,5Ь. Из рис. 5 следует, что с ростом глубины поровое давление возрастает.

В сечении г = 1,5Ь зафиксировали две точки координат (г = Ц5Ь, х=0), (г = 7>5Ь, х=Ь), для которых показано изменение поровых давлений во времени. В упругом решении для а!33( г3 = 1£Ь,х=0) в соответствии с принципом Вольтерра применили переобозначе-

«а = Г 51 л

1 7 •>*?•> , г а2г

твШ(г^г е- *Г—¿г-е-^р—йг

{г2 ' яЕ {г { г

Рис. 5. Вертикальные напряжения.

ние а2 -4 (а2(р))*, получили решение вязкоупругой задачи в изображениях:

Я \ г3

1п~ + )---

¿ц, г=^2 + (1,5Ь)2 .(21)

На основании обработки эксперимента, проведенного Деминым В. А. с образцом из водонасыщенного торфа размерами с1=0,257м и к=0,292 м при давлении на подошве поршня а0 - 0,01МПа и высоте водяного замка 0,3 м, была получена зависимость универсального параметра кинематической модели от времени а2 (г) в виде ломаной линии с применением функции

Хевисайда /*(/):

V )

Т0 = Р0 = Эб = 0, Т= ОД, Т2= 1, Т3= 5, Т4= 25, Т5= 60, Р = 4,068, (22) Р2= -0,352, р3= -0,066, р4= -0,014, {35= -7,262.10.з, ¡^г/сут.

.0827

I 0,8

0,7

ж 0,6,

' 0,5881 0.64

0,5

0,4-

0.3

0.2

0,1

0

0 0,2 0,4 0,6 0,6 1

»(сутки)

51 61 71 61 Цсутки)

Рис. 6. Универсальный параметр кинематической модели а2 (г). В изображениях по Лапласу-Карсону имеем

1

/=о

На рис.6 показан график этой функции в оригинале.

В соответствии с методом ломаных искомый оригинал представляется в виде ломаной линии:

<Г*3(1) = <т(0)

/=о

в котором параметры а(0), у. — искомые, узлы Т. -заданы как для функции аг{Ь) или этот сплайн в изображениях по Лапласу-Карсону имеет запись

Ш =су(о(1-Ьу1 -ум \ (23)

ы Р

Для определения неизвестных параметров составляется система линейных алгебраических уравнений путем совпадения на системе точек Р} = 5)ломаной в изображениях (23) с известной правой частью (21)

I* /

— #т' / г» -

1пТ. —1пТ

тГт>-1

(24)

При р = о° слагаемые под знаком суммы в формуле (23) обращаются в нуль, поэтому с(0) = о1з3( р = °°)=1,206. После некоторых преобразований получили систему линейных алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с количеством звеньев ломаной линии:

Ы1

-Р1Т1-1 _ е-Р1Т! > -

°зз( Р1 ) о(0)

а(0)

1=1

Последнее уравнение системы отличается от предыдущих, так как соответствует точке р=0. Матрица системы плохо обусловлена, поэтому был предложен прием по улучшению ее обусловленности, который сводился к уточнению точек коллокаций из решения трансцендентного уравнения

— \е 11 -е ' ' }=\е 1 1 -е 1 1+1 I (25)

т

где т— натуральное число.

Число т подбиралось так, чтобы матрица системы имела почти треугольный вид. Согласно численному эксперименту, выполненному Парфеновой Т. В., оптимальное значение т-6.

В результате решения СЛАУ получили параметры ломаной

Рис. 7. Изменение поровых давлений во времени.

На рис. 7 приводятся графики поровых давлений, изменяющихся во времени, в точках: а) х=0 г^ 0,5Ь (—), г = Ъ (....), г3=1,5Ъ (—) б) х-Ь г = 0,5 (—), г= Ъ (.....), г=1,5Ъ (---).

Проведено сопоставление решения по кинематической модели с решением Короткина В. Г. по модели фильтрационной консолидации. Сопоставление с этим решением показало качественное сходство для промежуточного во времени состояния процесса консолидации.

Параметры кинематической модели были определены в результате испытания крупногабаритного образца из водонасы-щенной глины, затем было сделано сопоставление теоретического прогноза по новой модели с результатами испытания этой глины в лотке, проведенного Набоковым А. В., и с расчетами, полученными по другим моделям. Теория достаточно хорошо согласуется с расчетами и экспериментом.

Сопоставление для датчика №1

эксперим -»— теория

100 200 Ъсуг

300

35 30 25

с:

1 15 10 5 0

Сопоставление для датчика №3

3 20 ^^ТГ^ии-

о

эксперим. ■ теория

300

100 200 *,сут

Рис. 8. Сопоставления теоретических значений с экспериментальными.

Сопоставление поровых давлений с экспериментом, проведенным Амаряном Л. С. на образце из водонасыщенного торфа, показало, что наибольшие расхождения наблюдаются в точках

максимума и максимальное из них — 18%, при выходе функции на асимптотическое значение (остаточные поровые давления) расхождение составляет не более 5%.

Была проведена теоретическая обработка натурного эксперимента Зехниева Ф. Ф. по показаниям нижнего датчика порово-го давления (наиболее удаленный от дневной поверхности). Для двух других датчиков был сделан теоретический прогноз (рис. 8). Максимальное расхождение для среднего датчика № 1 составило 10%, а расхождение по остаточным поровым давлениям -6,7%. Для верхнего датчика № 3 максимальное расхождение составило 23%, а по остаточным поровым давлениям — 7%.

Таким образом, теория достаточно удовлетворительно согласуется с результатами натурного эксперимента.

В шестой главе рассматривается задача Буссинеска для двухфазного вязкоупругого полупространства (рис. 9). Сосредоточенную силу заменяем радиальными напряжениями аг, приложенными к полусфере малого радиуса.

Рис. 9

Боковые нормальные напряжения связаны уравнением Ge ~ поэтому они не влияют на радиальную относительную деформацию в упругом случае. Приближенно можно ограничиться только радиальным нормальным напряжением и разложить его на две фазы .. i 3F cos в

Таким образом, в отличие от задачи Фламана разложение на две фазы в задаче Буссинеска явилось приближенным и при-

вело к дифференциальному уравнению относительно радиальных перемещений скелета грунта:

R 2 s — + а и = — R

3FcosQ 1

2 (а \ 2

а с\в, (р), а =

Е1 К

ЭR к 2л Е R

Решением уравнения явилось выражение:

3F cos в

[esX2 + el)h

s

и = R

( 2 2 Л

2 LjoTR 2nR„alR - a L j£-dR-e~a R\~-dR

2лЕ

P *4

P *

На основании закона Гука для скелета грунта получили

Л' _ ,

3F cos в

2л

R'

-а2е~'

¿Ле"2«

•«Л J;

R'

dR

Из физического уравнения для жидкой фазы следует r 2tz j d2

R<

Графики функций usR1 asR, <JlR приведены на рис. 10, 11 при

численных значениях параметров модели аг=0,09, р=0,1, L=1 и

3F cos в 3F cos в единичных сомножителях -= 1

= I.

2л

2кЕ

u(R) s -

Рис. 10. Радиальные перемещения частиц скелета грунта.

Рис. 11. Радиальные напряжения, отвечающие

решению Буссинеска (---),

напряжения в скелете (.....),

в жидкой фазе(—).

При определении перемещения частиц скелета грунта в направлении ортогональном радиусу, не учитываются нормальные напряжения °у и <зв.

На площадке, ортогональной радиусу К касательные напряжения отсутствуют, поэтому соответствующий угол сдвига равен нулю:

1 дих„ ЭиХ =---2- = 0.

Уви

я дв э/?

На основании этого равенства после интегрирования получили

и

* _

2лЕ

АлЗ-Г

р р

' 2 «О»*' ^

И

(Ш + ЫО

, ¿„в2*

А — е

где И

постоянная интегрирования, определяемая из условия ' — л

и

тс

е=-,я = р

= и*(в=0,Я = р).

При в=л/2, перемещения совпадают с вертикальными перемещениями и>Л', принадлежащими точкам дневной поверхности:

-а2Л Г е

УУ

2лЕ

1п

V-

Р , Ь^г Ь ' г

т 1-2 j р

■¿Г

■¿г

Формулы для радиальных и вертикальных перемещений скелета грунта, принадлежащих точкам дневной поверхности, получены и в цилиндрической системе координат (г, <р, г). Их графики приведены на рис. 12, 13 при единичных сомножителях

- 2У X/ + зг -= /, -= ' и параметре а2 =0,09.

2тсЕ 2лЕ

На рис. 13 показано влияние параметра Ь. При его изменении на порядок и а2=0 вертикальные перемещения, построенные по решению Буссинеска и по кинематической модели при Ь=10 практически совпадают.

1)(М

Рис. 12. Радиальные перемещения твердой фазы (г=0), определенные по кинематической модели (—), по решению Буссинеска (...)•

Рис.13. Вертикальные перемещения частиц скелета грунта (г=0) по кинематич. модели при Ь=1(—), Ь=10 (---), по решению Буссинеска (...).

В вязкоупругом варианте кинематической модели физические уравнения для твердой и жидкой фаз и кинематическое уравнение заменяются на вязкоупругие аналоги. Расчетные формулы для радиальных перемещений частиц скелета грунта, по-рового давления, напряжения в твердой фазе имеют вид:

к1 -

5Fce^s0 С ^ Е

2к

йЯ-е

И*

Я2

•с/Я

З/7 С05в

2л

Я „ 7?

Используя зависимость универсального а2(г) параметра в виде ломаной (22), представим на рис. 14, 15 изменение во времени поровых давлений.

Сначала рост пространственной координаты сопровождается ростом порового давления (рис. 14). Начиная с глубины 1 м, рост пространственной координаты вызывает его убывание (рис. 15).

Возрастание (убывание) во времени объясняется двумя графиками а'к(Я) вдоль оси ОТл ( в =0, рис. 16). Верхний график

отвечает начальному а2(г = 0)=0,587, нижний - стабилизированному значениюа2(* = *ст)=0,174.

5

А

о1(0 3

о2(0

оЗ(0 2

.. .. Т , 1

Ч

- \ —

\

\

гп —■ ^^

_

1 1 1

20

40

60

Рис. 14. Изменение во времени для точек вертикальной оси: К=0,12 м (—), 11=0,15 м (......), И—0,15 м (---).

око 02(1) оЗ(1)

ОКО о2(0 С0(О

Рис. 15. Изменение во времени для точек вертикальной оси: К=1 м (—), к=2 м (......), К=3 м (—

4

С5(Ю

Рис. 16. Поровое давление а'кв момент времени t=0 (—), t=tcmC....^.

Особенностью двухфазного тела является то, что при неизменной во времени внешней нагрузки взаимодействие полей напряжений в твердой и жидкой фазах происходит немонотонно во времени (рис. 14, 15). Суммарное радиальное напряжение в жидкой и твердой фазах убывает как в решении Буссинеска. Радиальные перемещения частиц твердой фазы дневной поверхности, найденные по кинематической модели убывают быстрее в полтора раза, чем найденные по решению Буссинеска.

Применение фундаментального решения задачи Буссинеска для двухфазного упругого полупространства выполнено Трефи-линой Е. Р. при решении задач о загружении дневной поверхности упругого двухфазного полупространства равномерно распределенной нагрузкой по прямоугольной и круговой площадкам.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. После окончания процесса консолидации моделирование напряженного и деформированного состояния водонасыщенного грунта с учетом остаточных избыточных поровых давлений сводится к системам двух или трех линейных дифференциальных уравнений, являющихся обобщением известных уравнений Ляме и отличающихся от них дополнительными слагаемыми, описывающими влияние поровой воды. Процесс консолидации грунта описывается с помощью системы интегро-дифференциальных уравнений, решение которой осуществляется в два этапа.

2. Предлагаются методики обработки испытаний образца или массива из водонасыщенного грунта для определения механических характеристик водонасыщенного грунта (параметров моделей), часть из которых описывается немонотонными функциями, зависящими от времени.

3. Показано, что обобщенный дифференциальный оператор Ляме является положительно определенным и отвечающая оператору смешанная краевая задача разрешима. Несимметричность оператора привела: а) к отсутствию взаимности работ в двухфазном теле; б) к билинейному функционалу (помимо квадратичного) при описании энергии деформации (аналог формулы Клапейрона); в) к формулам типа Грина, отвечающим билинейному функционалу.

4. В задаче Фламана точно, в задаче Буссинеска - приближенно напряженные состояния раскладываются на две фазы. Получены зависимости для напряжений и перемещений в скелете грунта и поровой воде, которые являются фундаментальными решениями двух классов краевых задач: а) расчет двухфазной упругой и вязкоупругой полуплоскости; б) расчет двухфазного упругого и вязкоупругого полупространства. Поровые давления в пространственной задаче являются монотонно возрастающими функциями, поэтому напряжения в скелете грунта убывают быстрее, чем о(1/Нг), для задачи Фламана — быстрее, чем о(1/Щ. По модели вместо полуплоскости и полупространства вводятся ограниченные области соответственно в виде полуцилиндра и полусферы конечных радиусов. Из сопоставления вертикальных перемещений точек дневной поверхности для однофазного и двухфазного тел следует, что влияние поровой воды на скелет грунта проявляется в быстром их убывании.

5. Показано приложение решений для произвольно распределенных поверхностных нагрузок. Например, расчет напряженно - деформированного основания от действия близко (не менее 6м) расположенных объектов показал, что с удалением объектов друг от друга нормальные напряжения в скелете грунта, найденные по новой модели, затухают на 40% быстрее, чем напряжения, найденные по решению Фламана, что привело к уменьшению осадок скелета грунта на 26% по сравнению с тем же решением.

6. Проведены сопоставления решений по новой модели с решением по модели фильтрационной консолидации, с решениями по теории упругости, с результатами лабораторных и натурного экспериментов. Расчеты по модели для стабилизированного состояния с учетом остаточных избыточных поровых давлений достаточно хорошо (максимальное расхождение 7%) и по модели для консолидации водонасыщенного грунта удовлетворительно (до 24%) согласуются с известными результатами.

Публикации по теме диссертации

1. Степанова Т. В. Модель механики грунтов с кинематическим описанием взаимодействия фаз / JI. Е. Мальцев, Т. В. Степанова, Е. Р. Трефилина. Сб. «Итоги исследований» ТИММС СО РАН № 5, Тюмень, - 1994. - С. 35 - 42.

2. Stepanova Т. V. Simulation of soil with kinematics phase relationship / L. E. Mal'tsev, Т. V. Stepanova, E.'R. Trefilina. Transaction of TIMMS № 5, Tyumen, 1994. - P. 33 - 40.

3. Мальцева Т. В. Учет конечной скорости загружения вязко-упругого образца / Т. В. Мальцева, В. И. Шалабодов // Проблемы экологии и энергосбережения в условиях Западной Сибири. Сб. докл. Международ, конф. ТюмГАСА, М., 1999. - С. 399-404.

4. Мальцева Т. В. Загружение двухфазной вязкоупругой полуплоскости полосовой нагрузкой // Моделирование технологических процессов бурения, добычи нефти и газа и обустройство сопровождающих объектов на основе современных технологий. Материалы II Всероссийской научно-практич. конф. ТюмГНГУ. Тюмень, 2000. - С. 55-58.

5. Мальцева Т. В. Фундаментальное решение задачи Фламана для двухфазной вязкоупругой полуплоскости // Известия вузов. Нефть и газ. 2000. № 2. - С. 72-78.

6. Мальцева Т. В. Учет гидростатического давления в поровой воде по кинематической модели / Т. В. Мальцева, Т. В. Парфенова // Актуальные проблемы строительства и экологии ЗападноСибирского региона. Сб. докл. научно-практ. конф., посвящ. 30-летию ТюмГАСА. - М, 2000. - С. 305-313.

7. Мальцева Т. В. Расчет двухфазного основания по кинематической модели // Актуальные проблемы строительства и экологии Западно-Сибирского региона. Сб. докл. науч.-практ. конф., посвящ. 30-летию ТюмГАСА. -М.: 2000. - С. 301-305

8. Мальцева Т. В. Кинематическая модель и ее приложение к задаче Фламана / JI. Е. Мальцев, Т. В. Мальцева // Упругость и неупругость. Материалы Межд. науч. симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвящ. 90-летию со дня рождения А. А. Ильюшина. М.: Изд-во МГУ. 2001. - С. 306-309.

9. Мальцева Т. В. Действие сосредоточенной силы на двухфазное упругое полупространство // Известия вузов. Нефть и газ. - 2001. - № 1. - С. 73-79.

10. Мальцева Т. В. Экспериментальное определение параметров кинематической модели для водонасыщенного образца грунта / Л. Е. Мальцев, Т. В. Мальцева, В. А. Демин // Известия вузов. Нефть и газ. - 2001. - № 2. - С. 96-102.

11. Мальцева Т. В. Изменение во времени напряжений в двухфазном полупространстве // Известия вузов. Нефть и газ. - 2001.

- № 3. - С. 62-68.

12. Мальцева Т. В. Зависимость напряжений от времени при действии равномерно распределенной нагрузки на двухфазную полуплоскость /Т. В. Мальцева, Е. Р. Трефилина // Известия вузов. Нефть и газ. - 2001. - № 4. - С. 102-108.

13. Мальцева Т. В. Экспериментальное определение параметра в упругом варианте кинематической модели грунта / В. Ф. Бай, Т. В. Мальцева, А. В. Набоков // Известия вузов. Нефть и газ. - 2001.

- № 5. - С. 81-87.

14. Мальцева Т. В. Механические характеристики двухфазного образца / В. Ф. Бай, Т. В. Мальцева, А. В. Набоков // Известия вузов. Нефть и газ. - 2002. - № 1. - С. 98-106.

15. Мальцева Т. В. Новая методика определения параметров теории фильтрационной консолидации/ В. Ф. Бай, Т. В. Мальцева, А. В. Набоков // Известия вузов. Нефть и газ. - 2002. - № 2.

- С. 103-106.

16. Мальцева Т. В. Влияние точек совпадений в методе ломаных на обусловленность матрицы / Т. В. Мальцева, Т. В. Парфенова // Известия вузов. Нефть иГгаз. - 2002. - № 3. - С. 101-105.

17. Мальцева Т. В. Кинематическая модель грунта и биоматериалов / Л. Е. Мальцев, В. Ф. Бай, Т. В. Мальцева. СПб.: Стройиз-дат СПб, 2002. - 336 с.

18. Мальцева Т. В. "Удельная потенциальная энергия двухфазного тела // Академические чтения Н. А. Цытовича, 2-е Денисовские чтения. Материалы Международного Совещания заведующих кафедрами Механики грунтов, Инженерной геологии, Оснований и фундаментов и Подземного строительства МГАСУ. М., 2003. - С. 89-94.

19. Мальцева Т. В. Немонотонность функций, описывающих свойства вязкоупругих грунтов / Т. В. Мальцева, В. А. Демин // Академические чтения Н. А. Цытовича, 2-е Денисовские чтения. Материалы Межд. совещания заведующих кафедрами Механики

грунтов, Инженерной геологии, Оснований и фундаментов и Подземного строительства МГАСУ. М., 2003. - С. 154-157.

20. Мальцева Т. В. Взаимовлияние двух фундаментов в двухфазной полуплоскости / Т. В. Мальцева, Е. Р. Трефилина // Известия вузов. Нефть и газ. - 2003. - № 2. - С. 102-107.

21. Мальцева Т. В. Теорема о взаимности работ в двухфазном теле // Известия вузов. Нефть и газ. - 2003. - № 4. - С. 92-96.

22. Мальцева Т. В. Экспериментальная установка для испытания грунта методом одноостного сжатия / В. Ф. Бай, Л. Е. Мальцев, Т. В. Мальцева, А. В. Набоков, В. А. Демин. Патент на изобретение № 2213952 от 10.10.2003. Науч.-исслед. отделение по подготовке официальных изданий Федерального института про-мыш.собственности. М., Г-59, ГПС-5, 123995.

23. Мальцева Т. В. Введение функционала для решения обобщенной системы уравнений Ляме // Вестник ТГУ. - 2003. - № 5.

- С. 196-201.

24. Мальцева Т. В. Основные теоремы механики двухфазных грунтов // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Труды VI Межд. науч.-технич. конферен. Петербургского государственного университета путей сообщения. - СПб.: ПГУПС, 2004, - С. 254-262.

25. Мальцева Т. В. Моделирование с помощью уравнений эллиптического типа процесса консолидации двухфазного тела. - Саранск: Средневолжское матем. общество, 2004. - препринт № 62, - 23 с.

26. Мальцева Т. В. Некоторые модели процесса консолидации двухфазных сред // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды Междунар. конф. Ульяновск. - Изд. УГТУ, Т. 7. -2004. - С. 133-143.

27. Мальцева Т. В. Разложение удельной энергии двухфазного тела / Л. Е. Мальцев, Т. В. Мальцева. // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. вып. 6. Ульяновск. - Изд. УГТУ.

- 2004. - С. 155-166.

28. Мальцева Т. В. Моделирование двухфазного тела с учетом несущей способности жидкой фазы / Т. В. Мальцева, Е. Р. Трефилина // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16. - № 11.

- С. 47-60.

29. Мальцева Т. В. Модель несущей способности жидкости в двухфазной пористой среде // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 28. Модели механики сплошной среды. Материалы XVII сессии Межд. Школы по моделям механики сплошной среды, 4-10 июля 2004 г. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2004. - С. 142-149.

30. Мальцева Т. В. Консолидация двухфазного вязкоупругого основания / Т. В. Мальцева, А. В. Набоков, Т. В. Парфенова // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 28. Модели механики сплошной среды. Материалы XVII сессии Межд. Ш^олы по моделям механики сплошной среды, 4-10 июля 2004 г. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2004. - С. 150-155.

31. Мальцева Т. В. Энергетический метод расчета напряженно-деформированного состояния двухфазного тела // Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 28. Модели механики сплошной среды. Материалы XVII сессии Межд. Школы по моделям механики сплошной среды, 4-10 июля 2004 г. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2004. - С.137-141.

32. Мальцева Т. В. Основные свойства обобщенного оператора Ляме // Естественные и технические науки. М.: Спутник+. 2005. - Вып. 6. - С. 87-94.

Подписано в печать 20.01.2006. Тираж 100 экз. Объем 2,25 уч.-изд. л. Формат 60x84/16. Заказ 5.

Издательство Тюменского государственного университета 625000, г. Тюмень, ул. Семакова, 10 Тел./факс (3452) 46-27-32 E-mail: izdatelstvo@utmn.ru

Введение

Различные подходы при моделировании процесса 13 консолидации двухфазных сред

1.1. Лабораторные и натурные испытания двухфазных 13 грунтов, остаточные поровые давления

1.2. Применение моделей деформируемого твердого тела к 16 грунтам

1.3. Применение моделей жидкости и газа к грунтам

1.4. Модель фильтрационной консолидации, ее 24 модификации

1.5. Кинематическая модель, основанная на двух новых 27 вариантах закона уплотнения двухфазного грунта

1.6. Кинематическая модель НДС двухфазного образца с 41 учетом времени

1.7. Экспериментальное определение параметров 44 кинематической модели

1.8. Выводы по главе 50 Пространственная модель, учитывающая 53 остаточные поровые давления

2.1. Гипотезы, отражающие вклад жидкой фазы

2.2. Введение слагаемых, учитывающих жидкую фазу в 57 уравнениях Ляме по окончанию процесса консолидации

2.3. Вязкоупругий вариант обобщенных уравнений Ляме, 64 описывающих процесс консолидации

2.4. Решение вязкоупругой задачи в два этапа

2.5. Применение метода ломаных для приближенного 82 перехода от решения в изображениях к оригиналу

2.6. Выводы по главе

3. Работа деформации в двухфазном теле

3.1. Приращение элементарной работы внешних сил, действующих на элемент двухфазного тела

3.2. Связь между работой внешних и внутренних сил

3.3. Удельная энергия деформации двухфазного тела

3.4. Свойства удельной энергии деформации

3.5. Выводы по главе

4. Исследование свойств обобщенного оператора 130 Ляме

4.1. Положительная определенность оператора

4.2. Обобщение теорем о взаимности работ и Клапейрона

4.3. Обобщенное решение краевой задачи

4.4. Выводы по главе

5. Фундаментальное решение задачи о действии 141 погонной нагрузки на двухфазную полуплоскость

5.1. Задача Фламана для однофазной упругой 141 полуплоскости

5.2. Разложение решения Фламана на две фазы

5.3. Перемещения частиц скелета грунта и поровой воды

5.4. Переход к декартовой системе координат

5.5. Графическое представление расчетных формул

5.6. Применения фундаментального решения

5.7. Изменение напряжений во времени при действии 170 равномерно распределенной нагрузки

5.8. Сопоставление решений по двум моделям

5.9. Сопоставление теоретического прогноза по кинематической модели с результатами лабораторных экспериментов

5.10. Сопоставление теоретического прогноза с 187 результатами натурного эксперимента

5.11. Выводы по главе 191 6. Приближенное фундаментальное решение задачи

Буссинеска для двухфазного полупространства

6.1. Решение Буссинеска

6.2. Обобщение решения Буссинеска на случай двух фаз

6.3. Примеры использования фундаментального решения

6.4. Зависимость от времени напряжений в двухфазном 216 полупространстве

6.5. Выводы по главе 223 Заключение 224 Список литературы

Актуальность проблемы. Объектом исследования является двухфазная среда (водонасыщенный грунт), поведение которой под нагрузкой описывается с позиций нового варианта механики деформируемого твердого тела, позволяющего описать несущую способность поровой жидкости. Применение результатов этих исследований позволяет учесть влияние жидкой фазы на разгрузку твердой фазы. В результате можно достаточно точно рассчитать деформации грунтовых оснований под действием нагрузки от сооружений, что обуславливает принятие безопасных, экономичных решений и развитие новых технологий, направленных на усиление несущей способности жидкой фазы.

В России есть много регионов, в которых строительство ведется на слабых обводненных грунтах. Строительство железнодорожных и автомобильных дорог, особенно нефтегазопромысловых, сопровождается обязательным прохождением заболоченных участков и участков, состоящих из слабых грунтов. Современное теоретическое описание процесса консолидации водонасыщенного грунта с помощью уравнений теплопроводности подтверждается экспериментом на начальном временном участке и принципиально расходится с экспериментом при приближении к окончанию процесса консолидации, так как по теории напряжения в жидкой фазе обращаются в нуль в то время как натурные эксперименты многих авторов указывают на несущую способность поровой жидкости при стабилизированном состоянии грунта. На многих научно - технических совещаниях подчеркивалось необходимость дальнейших теоретических и экспериментальных исследований, направленных на изучение несущей способности жидкости в двухфазной среде из слабых грунтов.

На этом основании следует считать, что тема диссертационной работы, связанная с построением новой математической модели, описывающей несущую способность поровой жидкости в двухфазном основании из слабого водонасыщенного грунта в процессе его консолидации является актуальной.

Общая характеристика кинематической модели двухфазной среды.

Отметим, что согласно известным линейным моделям механики грунтов поровое давление при стабилизированном состоянии обращается в ноль и сами модели описываются системами параболических уравнений в частных производных. Описание данной проблемы с позиций механики композитов приводит к тому, что определяющие соотношения содержат «разрывные по координатам материальные функции». В кинематической модели разрывные материальные функции отсутствуют, вместо них вводятся материальные постоянные или функции времени для жидкой и твердой фаз и универсальные постоянные, зависящие от механических характеристик обеих фаз. Приводятся методики проведения новых лабораторных экспериментов, примеры определения материальных постоянных и функций времени, характеризующих вязкоупругие свойства двухфазной среды.

Одномерный вариант кинематической модели, предложенный J1.E. Мальцевым, в диссертации обобщается на случаи двух и трех измерений. Согласно кинематической модели в одной геометрической точке предполагается наличие двух материальных точек: жидкой и твердой. Твердая фаза (скелет грунта) описывается двумя моделями деформируемого твердого тела: упругой и вязкоупругой.

В жидкой фазе относительные линейные деформации вызываются в каждом направлении не напряжениями, а частными производными от нормальных напряжений, то есть перепадами давлений, приходящимися на единицу длины. Касательные напряжения отсутствуют.

Относительные деформации предполагаются малыми (линейная теория). Взаимодействие твердой и жидкой фаз описывается с помощью кинематической гипотезы, согласно которой относительные деформации жидкой и твердой фаз в каждом направлении противоположны по знаку и пропорциональны. Противоположность по знаку означает, что твердая фаза освобождает часть своего дифференциально малого размера для того, чтобы он заместился жидкой фазой, либо наоборот. Жидкая фаза также описывается двумя моделями, одна из которых учитывает зависимость механических характеристик от времени, а другая не зависит от времени.

Аналоги физических уравнений для жидкой фазы и кинематических уравнений, описывающих взаимодействие двух фаз, в научной литературе отсутствуют.

Вместо описания механического поведения двухфазной среды под нагрузкой с помощью системы уравнений параболического типа (модели теории фильтрационной консолидации) в диссертации предлагаются двух и трехмерные модели, основанные на системах эллиптических уравнений как в теории упругости, которые содержат на один аргумент меньше (время отсутствует) на первом этапе решения задачи и позволяют получать аналитические решения для стабилизированного состояния, то есть после окончания процесса консолидации. Кинематические модели допускают предельный переход, при котором исключается вклад жидкой фазы, и получаются основные уравнения теории упругости. Эллиптичность уравнений позволяет использовать методику теории упругости при формулировке теорем Бетти и Клапейрона для двухфазного тела и разложить решения Фламана и Буссинеска на две фазы.

Целью диссертационной работы является решение научно-технической проблемы математического моделирования напряженного и деформированного состояния водонасыщенного грунта (двухфазного тела) с позиций теории вязкоупругости при описании процесса консолидации и с позиций обобщения теории упругости на двухфазное тело после окончания процесса консолидации, то есть при стабилизированном состоянии среды. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение упругих и вязкоупругих математических моделей в виде систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Получение фундаментальных решений типа Фламана и Буссинеска, которые после переобозначений (принцип Вольтерра) одновременно являются фундаментальными решениями интегро-дифференциальных уравнений в изображениях по Лапласу-Карсону, привело к созданию новой ветви теории упругости и вязкоупругости, описывающей напряженное и деформированное состояние водонасыщенного грунта.

2. Доказательство положительной определенности полученного обобщенного несимметричного дифференциального оператора Ляме (оператора эллиптического типа).

3. Доказательство существования и единственности обобщенного решения смешанной задачи о равновесии двухфазного тела.

4. Разработка методик определения параметров (материальных постоянных и функций времени) кинематической модели, описывающих упругие или вязкоупругие свойства двухфазной среды по результатам одномерных, лотковых и натурных испытаний.

5. Разработка аналитических (в упругом варианте кинематической модели) и численно-аналитических (в вязкоупругом варианте) методов решения краевых задач для двухфазного полупространства и двухфазной полуплоскости, основанных на новых фундаментальных решениях.

Методы исследования. При анализе полученных математических моделей и решении краевых задач используются методы математической физики, теории упругости и вязкоупругости, методы теории дифференциальных уравнений.

Качественный анализ изучаемой проблемы осуществляется по аналитическим зависимостям и приближенным с помощью ЭВМ с использованием современных интегрированных сред разработки программных продуктов и комплексов программ.

Научная новизна работы состоит в том, что

1. Упругие варианты математических моделей двухфазной среды описываются системами двух и трех линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа, которые отличаются от известных уравнений Ляме дополнительными слагаемыми, отражающими разгружающий вклад жидкости. Соответствующий уравнениям дифференциальный оператор назван обобщенным оператором Ляме.

2. Показана положительная определенность обобщенного несимметричного оператора Ляме для ограниченной односвязной области с кусочно гладкой границей. Из положительной определенности доказано существование и единственность обобщенного решения задачи о равновесии двухфазного тела.

3. При исследовании свойств обобщенного оператора Ляме получены основные теоремы для двухфазного тела (типа Клапейрона, типа Бетти, аналоги формул Грина).

4. Фундаментальные решения Фламана для упругой однофазной полуплоскости и Буссинеска для упругого однофазного полупространства аналитически разложены на две фазы. Показано, что разложение решения Фламана на две фазы совпадает с точным решением системы обобщенных дифференциальных уравнений Ляме. Фундаментальные решения применены для аналитических расчетов двухфазных плоских и пространственных оснований, загруженных площадными фундаментами.

5. Упругие аналоги фундаментальных решений Фламана и Буссинеока представлены в вязкоупругом варианте. В соответствии с работами основателей советской школы вязкоупругости А.А. Ильюшина, П.М. Огибалова решение вязкоупругих задач разбито на два этапа: упругий и вязкоупругий. Для фиксированной точки пространственных координат приближенный аналитико-численный переход от решения в изображениях по Лапласу-Карсону к решению в оригинале осуществляется по модификации метода ломаных Л.Е.Мальцева, которая позволяет получать немонотонные оригиналы.

6. Созданы методики определения механических постоянных и функций времени (параметров кинематической модели) по результатам одно-, двумерных лабораторных и натурных экспериментов.

Достоверность защищаемых положений обеспечивается:

-строгостью постановки задач и используемого математического аппарата;

-сопоставлением результатов численных и аналитических решений а) с данными лабораторных и натурных экспериментов, б) с решениями, известными в литературе;

-сравнением полученных в работе результатов с известными фундаментальными положениями теории упругости;

-применением теории линейных операторов.

Практическая значимость. На основании предложенных математических моделей проведено научное обоснование расчетов напряженного и деформированного состояния двухфазных оснований из слабых водонасыщенных грунтов при разных плоских (задача Фламана) и пространственных нагрузках (задача Буссинеска) на дневной поверхности и для сочетаний нагрузок (взаимное влияние фундаментов). Приведены решения разнообразных задачи в упругой и вязкоупругой постановках. Разработаны методики обработки лотковых и натурных испытаний.

На защиту выносятся: а) двух- и трехмерные системы линейных дифференциальных уравнений, которые отличаются от уравнений Ляме дополнительными слагаемыми в каждом уравнении; б) исследование свойств обобщенного оператора Ляме; доказательство существования и единственности обобщенного решения задачи о равновесии двухфазного тела; в) выражение удельной внутренней энергии для двухфазного тела и ее свойства; г) формулировки и выводы основных теорем о взаимности работ и Клапейрона; д) фундаментальные решения типа Фламана и Буссинеска для двухфазного тела и их вязкоупругие варианты; е) определение параметров кинематической модели по результатам лабораторных и натурных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены на:

II Всероссийской научно - практической конференции «Моделирование технологических процессов бурения, добычи нефти и газа и обустройства сопровождающих объектов на основе современных технологий». (Тюмень, 2000), научно - практической конференции «Актуальные проблемы строительства и экологии Западно-Сибирского региона». (Тюмень, 2000),

Международном научном симпозиуме «Упругость и неупругость». (Москва, 2002),

Международном совещании заведующих кафедрами «Механика грунтов, оснований и фундаментов», «Инженерная геология и геоэкология», «Подземные сооружения» (Москва, 2002), городском научном семинаре НИИ оснований и подземных сооружений (Москва, 2002), научно - техническом семинаре факультета «Мосты и тоннели» Государственного университета путей сообщения (Санкт - Петербург,

2003), городском научном семинаре кафедры «Механика многофазных сред» Тюменского государственного университета (Тюмень, 2003),

Всероссийской конференции «Научно - технические проблемы в строительстве» (Новосибирск, 2003),

Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2003), научном семинаре кафедры «Механика композитов» Московского государственного университета (Москва, 2003), научном семинаре института Математического моделирования РАН (Москва, 2003), научном семинаре кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (Саранск, 2004), научном семинаре лаборатории механики пористых сред НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета (Казань,

2004),

XVII сессии Международной научной школы «Модели механики сплошной среды» (Казань, 2004), научном семинаре кафедр вычислительной математики и теоретической механики Казанского государственного университета (Казань, 2005), семинарах кафедры математики и информатики и кафедры математического моделирования факультета математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета (20032005гг).

1. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА КОНСОЛИДАЦИИ ДВУХФАЗНЫХ СРЕД

6.5. Выводы по главе

В п.6.2 дано обоснование, что боковые нормальные напряжения связаны уравнением ств = -<т , поэтому они не влияют на радиальную относительную деформацию в упругом случае. Приближенно можно ограничиться только радиальным нормальным напряжением и разложить его на две фазы. Таким образом, в отличие от задачи Фламана в задаче Буссинеска разложение на две фазы является приближенным, но оно технически выполнимо, в то время как аналитическое решение системы из трех дифференциальных уравнений в частных производных (аналог уравнений Ляме), отвечающих пространственной кинематической модели в настоящее время неизвестно.

Особенностью двухфазного тела является то, что при неизменной во времени внешней нагрузки взаимодействие полей напряжений в твердой и жидкой фазах происходит немонотонно во времени (рис.5.18). Суммарное радиальное напряжение в жидкой и твердой фазах убывает как в решении Буссинеска, то есть как 0(1/r2.). Напряжения в жидкой фазе являются монотонно возрастающей функцией в пределах сжимаемой толщи, поэтому напряжения в скелете грунта убывают существенно быстрее, чем 0(1/r2.). Радиальные перемещения частиц твердой фазы дневной поверхности, найденные по кинематической модели затухают быстрее в полтора раза, чем найденные по решению Буссинеска.

В численных расчетах напряжений и перемещений в твердой и жидкой фазах в задачах Фламана и Буссинеска наблюдается уменьшение универсального параметра а2, найденного из испытания двухфазного образца, на порядок для плоской задачи и на два порядка для пространственной задачи, что совпадает с прогнозом по теории подобия [56].

Заключение

На основании гипотез теории упругости и двух новых (статической и кинематической), предложенных Л.Е. Мальцевым для одномерной кинематической модели, в диссертации предложена математическая модель двух и трехмерного двухфазного тела в упругом и вязкоупругом вариантах, что равносильно математическому моделированию напряженного и деформированного состояния водонасыщенного грунта с позиций теории вязкоупругости. В пространственном случае в упругом варианте модель сводится к системе трех линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа, являющихся обобщением известных уравнений Ляме теории упругости однофазного тела и отличающихся от уравнений Ляме младшими первыми производными, не изменяющими тип уравнений, и постоянными при вторых производных.

Эллиптичность уравнений позволяет известные основные теоремы, методы решения задач теории упругости с соответствующими изменениями перенести на двухфазное тело. Для описания напряженного и деформированного стабилизированного состояния водонасыщенного грунта применяется упругий вариант модели, а для описания процесса консолидации грунта используется ее вязкоупругий вариант, при котором эллиптические уравнения заменяются на интегро-дифференциальные уравнения.

В результате выражение для удельной потенциальной энергии упругого тела обобщено на случай двухфазного тела. Сначала записано приращение удельной работы деформации для двухфазного тела, которое согласно закону сохранения энергии приравнено к приращению удельной энергии деформации двухфазного тела, затем получено ее аналитическое описание в виде билинейного функционала, показаны его положительность и ограниченность. Введены аналоги формул Грина.

Из обобщения второй (кинематической) гипотезы на трехмерный случай следует, что линейную наследственную теорию вязкоупругости без учета старения материала следует применять не только к физическим уравнениям для скелета грунта, но и к физическим уравнениям для жидкой фазы. В литературе наделение жидкой фазы вязкоупругими свойствами отсутствует. Решение вязкоупругой задачи разбивается на два известных этапа: на первом этапе вместо вязкоупругой задачи решается задача в упругой постановке (время отсутствует), на втором этапе упругое решение с помощью принципа Вольтерры (принципа переобозначений) переписывается в соответствующее вязкоупругое решение в изображениях по Лапласу-Карсону. Ранее разделение решения на два этапа применялось только в теории вязкоупругости однофазного тела (А.А.Ильюшин, П.М.Огибалов). От решения в изображениях переходим по новому варианту приближенного метода ломаных к искомому оригиналу в заданной точке пространства. Метод ломаных сводится к каноническому правилу составления системы линейных алгебраических уравнений и последующему ее решению. Разделение решения на два этапа для системы фиксированных пространственных точек позволяет отказаться от решения системы интегро-дифференциальных уравнений.

Механические характеристики двухфазного грунта (или параметры кинематической модели) предлагается находить из испытания двухфазного образца, загруженного внешней нагрузкой, а не из опытов по испытанию жидкой и твердой фаз по отдельности. Важно отметить, что часть вязкоупругих механических характеристик описывается немонотонными функциями, что является новым результатом. Указанную немонотонность предлагается представлять в виде специального сплайна Л.Е.Мальцева первого порядка (ломаная линия), который имеет число параметров, совпадающих с числом звеньев ломаной линии. Достаточное число звеньев позволяет практически точно аппроксимировать немонотонную кривую.

В ограниченной односвязной с кусочно-гладкой поверхностью трехмерной области была выделена путем вырезания 8 слоя вдоль границы открытая внутренняя область, в которой был введен линеал дважды непрерывно дифференцируемых функций. Доказано, что отрицательный обобщенный дифференциальный оператор Ляме является положительно определенным при однородных смешанных граничных условиях, но не является симметричным.

Применение вариационных методов к решению смешанной краевой задачи с обобщенным оператором Ляме основано на введении вариационного равенства с формой Галеркина. С помощью проекционной теоремы доказано существование и единственность обобщенного решения задачи о равновесии двухфазного тела.

Получены аналоги трех формул Бетти, по одной из них доказана несимметричность рассматриваемого в работе оператора. В теореме о взаимности работ для двухфазного тела появилось дополнительное слагаемое по сравнению с аналогичной теоремой для упругого тела, слагаемое отражает физические уравнения для жидкой фазы. Аналог формулы Клапейрона показал, что в представлении удельной энергии сумма первых двух слагаемых является квадратичным функционалом, то есть однородной функцией второй степени, а третье слагаемое представляет билинейный функционал.

В полярной системе координат в задаче Фламана рассматривается одномерное напряженное состояние. В сферической системе координат в задаче Буссинеска два нормальных напряжения противоположны по знаку поэтому их вклад в радиальную относительную деформацию sR по закону Гука отсутствует. Приближенно можно рассмотреть только нормальное радиальное напряжение, то есть ввести квазиодномерное напряженное состояние. Одномерное и квазиодномерное напряженные состояния можно разложить на две фазы по одномерному варианту кинематической модели. Следовательно, нет необходимости решать задачу по кинематической модели в двумерной и трехмерной постановках. Точное решение двумерной задачи по кинематической модели совпадает с разложением решения Фламана на две фазы. В пространственном случае имеем только приближенное решение.

Разложения решений Фламана и Буссинеска являются фундаментальными, так как от них с помощью операции интегрирования можно перейти к решению для произвольно распределенной нагрузки, поэтому полученные разложения являются решением не двух отдельных задач, а решением двух классов задач. Приложение решений показано на различных задачах.

Суммарное радиальное напряжение в жидкой и твердой фазах убывает как в решении Буссинеска, то есть как 0(1/r2.). Напряжения в жидкой фазе являются монотонно возрастающей функцией в пределах сжимаемой толщи, поэтому напряжения в скелете грунта убывают существенно быстрее, чем 0(1/r2). Радиальные перемещения частиц твердой фазы дневной поверхности, найденные по кинематической модели затухают быстрее в полтора раза, чем найденные по решению Буссинеска. Для задачи Фламана порядок убывания есть 0(1/r) и напряжения в скелете убывают существенно быстрее, чем 0(1 /r).

В частном случае задачи Фламана на глубине около 8 метров нормальные напряжения на горизонтальных площадках в жидкой и твердой фазах оказались равными, а затем напряжения в поровой жидкости превысили напряжения в скелете. Эта закономерность (равенство напряжений в жидкой и твердой фазах на некотором расстоянии от дневной поверхности) наблюдается при расчете напряжений для других видов распределенных нагрузок на дневной поверхности и сохраняется для задачи Буссинеска.

Из сопоставления вертикальных перемещений точек дневной поверхности для однофазного и двухфазного тел следует, что влияние жидкой фазы на твердую проявляется в быстром затухании (почти в два раза) перемещений в двухфазном теле по сравнению с однофазным.

Расчет напряженно-деформированного основания от действия близко (не менее 6м) лежащих объектов показал, что с удалением объектов друг от друга нормальные напряжения в твердой фазе, найденные по кинематической модели, затухают на 40% быстрее, чем аналогичные напряжения в твердой фазе, найденные по решению Фламана, что привело к уменьшению осадок скелета на 26% по сравнению с решением Фламана.

Для прогноза напряженно - деформированного состояния во времени в задачах Фламана и Буссинеска применен вязкоупругий вариант модели. Особенность двухфазного тела заключается в том, что взаимодействие полей напряжений в твердой и жидкой фазах происходит немонотонно во времени.

В численных расчетах напряжений и перемещений в твердой и жидкой фазах в задачах Фламана и Буссинеска наблюдается уменьшение универсального параметра а2, найденного из испытания двухфазного образца, на порядок для плоской задачи и на два порядка для пространственной задачи, что совпадает с прогнозом по теории подобия.

Проведено сопоставление решения по кинематической модели с решением В.Г.Короткина по модели фильтрационной консолидации и с решением по теории упругости. Сопоставление показало качественное сходство для стабилизированного состояния, а решение по теории упругости совпало с суммой напряжений в жидкой и твердой фазах, полученных по кинематической модели.

Параметры кинематической модели были определены в результате испытания крупногабаритного образца, затем было проведено сопоставление теоретического прогноза по модели с результатами лотковых испытаний А.В. Набокова и с прогнозами, полученными по другим моделям. Расчет по кинематической модели достаточно хорошо согласуется с данными эксперимента.

Отдельно проведено сопоставление теоретического прогноза по решению Мальцевой Т.В. с экспериментальными данными по поровым давлениям в лотке. Максимальное расхождение по поровым давлениям составило 23%. Сопоставление с экспериментом, проведенным Л.С.Амаряном на образце из торфа, показало, что наибольшие расхождения наблюдаются в точках максимума и максимальное из них -18%, при выходе на асимптотическое значение (остаточные поровые давления) расхождение составляет 5%.

Была сделана теоретическая обработка натурного эксперимента Зехниева Ф.Ф. Показания нижнего датчика №4 избыточных поровых давлений были взяты за эталонные, то есть было выполнено описание экспериментальных значений специальной ломаной линией. Для двух других датчиков был сделан теоретический прогноз. Максимальное расхождение для среднего датчика №1 составило 10%, а расхождение по остаточным поровым давлениям - 6,7%). Для верхнего датчика №3 максимальное расхождение составило 23%, а по остаточным поровым давлениям - 7%. Таким образом, теория достаточно хорошо согласуется с результатами натурного эксперимента при стабилизированном состоянии водонасыщенного грунта.

1. Абелев М. Ю. Строительство промышленных и гражданских сооружений на слабых водонасыщенных грунтах. - М.: Стройиздат, 1983.-248 с.

2. Абрамов А. А. Об одном методе решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений //Ж. вычисл. математ. и матем. физики, 1991, Т. 31, № 4. С. 483 - 491.

3. Абрамов А. А. О применении метода Крейга к решению линейных уравнений с неточно заданными исходными данными / А.А. Абрамов, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхно. // Ж. вычисл. математ. и матем. физики, 2002, Т. 42, № 12. С. 1763 - 1770.

4. Амарян Л. С. Свойства слабых грунтов и методы их изучения. М.: Недра, 1990.-220 с.

5. Бай В. Ф. Обобщение метода послойного суммирования на учет двух фаз при определении осадки фундаментов / В. Ф. Бай, Ю. В. Огороднова. // Труды Международного форума по проблемам науки, техники и образования. Т.1. М.: 2001. - С.87 - 88.

6. Бардзокас Д. И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры / Д. И. Бардзокас, А. И. Зобнин. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 376 с.

7. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М.: Лаборатория базовых заний, 2001.

8. Био М. А. Теория деформаций пористого вязкоупругого анизотропного твердого тела // Сб. Механика. Изд. Иностранной литературы. № 1. -М.: 1956. С. 95-111.

9. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965. - 199 с.

10. Блох В. И. Теория упругости. Харьков, 1964. - 483 с.

11. Бугров А. К. Натурные исследования напряженно-деформированного состояния и консолидации оснований сооружений комплекса защиты Санкт-Петербурга от наводнений /

12. A. К. Бугров, А. В. Голли, А. А. Каган и др. // Основания, фундаменты и механика грунтов 1997. - № 1. - С. 2-9.

13. Вайнберг М. М. Функциональный анализ. М.Просвещение, 1979.- 128 с.

14. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. Гостехиздат, 1956.

15. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1985. - 542 с.

16. Васильев В. 3. Пространственные задачи прикладной теории упругости. М.: Транспорт, 1993. - 366 с.

17. Власов В. 3. Балки, плиты и оболочки на упругом основании /

18. B. 3. Власов, Н. Н. Леонтьев. М.: Физматгиз, 1960. -491 с.

19. Ворович И. И. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды / И. И. Ворович, Л. П. Лебедев. -М.: Вузовская книга, 2000. 320 с.

20. Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. -М.: Наука, 1967.-415 с.

21. Георгиевский Д. В. Особенности поведения вязкоупругих моделей / Д. В. Георгиевский, Д. М. Климов, Б.Е. Победря. // Механика твердого тела. 2004. - № 1 . - С.119 - 157.

22. Герсеванов Н. М. Основы динамики грунтовой массы. М.: Госстройиздат, 1931.

23. Голуб Жд. Матричные вычисления / Голуб Жд., Ван ЛоунЧ.-М.: Мир, 1999.

24. Горбунов-Посадов М. И. Устойчивость фундаментов на песчаном основании. М.: Госстройиздат, 1962. - 96 с.

25. Далматов Б. И., Бронин В. Н., Карлов В. Д., Мангушев Р. А. /под редакцией Далматова Б.И. Механика грунтов. 1ч. Основы геомеханики в строительстве. М.: Издательство АСВ, С-Пб: СПбГАСУ, 2000. - 204 с.

26. Демин В. А. Экспериментальное и теоретическое исследование вязкоупругой двухфазной среды: диссертация канд. техн. наук; С-ПбГУПС. С-Пб, 2005. - 155 с.

27. Диткин В. А. Интегральные преобразования и операторное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. М.(справ, мат. библ.), 1961.-524 с.

28. Добров Э. М. Исследование влияния начального градиента на уплотняемость глинистых грунтов: Автореф. дис. .канд. техн. наук. М.: изд-во МАДИ, 1966. - 33с.

29. Дроботенко М. И. Вариационный метод решения задач фильтрационной консолидации: Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук ; Казанский гос. ун -т. Казань, 1992. - 14 с.

30. Дроботенко М. И. Обобщенное решение задачи фильтрационной консолидации / М. И. Дроботенко, А. В. Костерин. // Доклады АН России. 1996. - Т. 350. -№ 5.

31. Дружинин Г. В. Построение базисных функций и их применение к краевым задачам механики сплошной среды // ПМТФ. 2003. - № 6. - С. 35 - 43.

32. Зарецкий Ю. К. Вязкопластичность грунтов и расчёты сооружений. М.: Стройиздат, 1988. - 352 с.

33. Зехниев Ф. Ф. Стабилизация оснований с плоскими вертикальными песчаными дренами: дисс. канд. технич. наук. Москва, 1988.

34. Ильин В. П. Расчет строительных конструкций из вязкоупругих материалов / В. П. Ильин, Л. Е. Мальцев, В. Г. Соколов. Л-д: Стройиздат, 1991. - 190 с.

35. Ильюшин А.А.Механика сплошной среды.-М.:МГУ,1990.-310с.

36. Ильюшин А. А. Пластичность. М: изд. АН СССР, 1963.-270 с.

37. Ильюшин А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря. М.: Наука, 1970.-280 с.

38. Ионов В. Н. Прочность пространственных элементов конструкций/В.Н. Ионов, П.М. Огибалов. М.: Высш.шк.,1972.- 751с.

39. Калиткин Н. Н. Об аппроксимации неортогональными системами / Н. Н. Калиткин, Л. В. Кузмина. // Математическое моделирование. 2004, Т. 16, № 3, С. 95 - 108.

40. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика. УМН. 1948, Т. 3, вып. 6.-185 с.

41. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, Л.В. Крылов. М.-Л.:Изд. тех.-теор. лит.,1952.-695с.

42. Кислов В. М. Обратный метод конечных элементов плоской задачи теории упругости // Изв.вузов. Строительство. № 2. -Новосибирск, 1995. - С.47 - 50.

43. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа.,1986. -278 с.

44. Коновалов П. А. Ускорение консолидации водонасыщенного слабого грунта с помощью плоских песчаных дрен / П. А. Коновалов, Ф. Ф. Зехниев. // Сб. научных трудов под общей редакцией Ильичёва В. А. М.: Стройиздат,1987. - т. 1. - С.274-276.

45. Кост Т. Л. Приближенное обращение преобразования Лапласа при анализе вязкоупругих напряжений // Ракетная техника и космонавтика. 1964. № 12. - С. 175 - 187.

46. Костерин А. В. Новые модели и обобщенные решения нелинейных задач механики насыщенных пористых сред // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13. - № 2. -С. 71 - 77.

47. Костерин А. В. Численное исследование фильтрационной консолидации / А. В. Костерин, М.Ф. Павлова, Е. В. Шемуранова. // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13. - № 9. -С. 63 - 71.

48. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974.-340 с.

49. Лейбензон Л. С. Краткий курс теории упругости. М.:изд. технико-теоретич.литерат., 1942. 304 с.

50. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947.

51. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

52. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. М.; Наука, 1965. - 519 с.

53. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975.

54. Малышев М. В. Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений. М.: Стройиздат, 1980. - 136 с.

55. Мальцев Л. Е. Приближенное разложение упругого решения на две фазы // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Труды VI Межд.науч.-технич.-конф., 28-29 января 2004. -СПб.: ПГУПС, 2004. С. 249 - 253.

56. Мальцев Л. Е. Кинематическая модель грунта и биоматериалов / Л. Е. Мальцев, В. Ф. Бай, Т. В. Мальцева. С-Пб.: Стройиздат С-Пб, 2002. - 336 с.

57. Мальцев Л. Е. Теория вязкоупругости для инженеров-строителей / Л. Е. Мальцев, Ю. И. Карпенко. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 1999. - 240 с.

58. Мальцев Л. Е. Двумерные задачи теории упругости: учебное пособие/Л. Е. Мальцев, Е. Ю. Куриленко. Тюмень, 1992. -170 с.

59. Мальцев Л. Е. Элементы механики многофазного деформируемого тела / Л. Е. Мальцев, Н. И. Куриленко, Т. В. Степанова и др. // Отчет ИММС СО РАН № 66, № г.р. 01.900034448, Инв. № 029. 30003829, 144 с.

60. Мальцев Л. Е. Элементы механики многофазного деформируемого тела / Л. Е. Мальцев, Н. И. Куриленко, Т. В. Степанова и др. // «Итоги исследований» ИММС СО РАН №4, Тюм, 1993.-С.111-113.

61. Мальцев Л. Е. Кинематическая модель механики грунтов/Л.Е. Мальцев, Т.В. Степанова // Сб. науч. трудов «Фундаментостроение в условиях Тюменского региона». ТюмИСИ, 1993. С. 34 - 40.

62. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными/ Митчелл Э., Уэйт Р.- М.:Мир,1981 216с.

63. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 512 с.

64. Михлин С. Г. Курс математической физики. С-Пб.: Издательство «Лань», 2002. - 576 с.

65. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала,- М.: Изд. Технико-теорет. литературы, 1952 216 с.

66. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966.-432 с.

67. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. -М.: Высш.шк., 1977.-430 с.

68. Набоков А. В. Исследование напряженно-деформированного состояния основания из водонасыщенной глины: диссертация канд. тех. наук; ТюмГАСА. Тюмень, 2004. - 142 с.

69. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.-336 с.

70. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.-Т. 1,2.

71. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. -М.: Недра, 1984.-232 с.

72. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

73. Новожилов В. В. Теория упругости. Ленин-д: Судпромгиз, 1953.-369 с.

74. Огибалов П. Н. Механика полимеров / П. Н. Огибалов, В. А. Ломакин, Б. П. Кишкин. М.: ИМУ,1975. - 528 с.

75. Огороднова Ю. В. Сопротивление двухфазной среды воздействию статических нагрузок: Дис. . канд. тех. Наук; С,-Пб.ГУПС. С.-Пб., 2004. - 127 с.

76. Папкович П. Ф. Теория упругости. -Оборонгиз, 1939.- 639 с.

77. Пестренин В.М. Применение аппроксимации в задачах линейной вязкоупругости анизатропного тела / В. М. Пестренин, И. В. Пестренина. // Механика композиционных материалов. 1988. -№ 3. - С. 462-467.

78. Павлов А. С. О решении плохо обусловленных линейных систем итерационными методами / А. С. Павлов, Л. Ф. Юхно. // Математическое моделирование. 2004, Т. 16, - № 7, - С. 13 - 20.

79. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд. МГУ, 1984.-336 с.

80. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. - 366 с.

81. Победря Б. Е. Лекции по теории упругости / Б. Е. Победря, Д. В. Георгиевский. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 208 с.

82. Полубаринова Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. - М.: Наука, 1977.

83. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Издательство «Наука», 1977. - 384 с.

84. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979.-744 с.

85. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 590 с.

86. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. -416 с.

87. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

88. Садовничий В. А. Теория операторов: Учеб. для вузов. 4-е изд., испр. и доп. - М.: Дрофа, 2001. - 384 с.

89. Снеддон И.Н. Классическая теория упругости / И. Н. Снеддон, Д.С. Берри. М.: изд.физико-матем.литерат., 1961. -219 с.

90. Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. М.: Физматиздат, 1960.-243 с.

91. Степанова Т. В. Моделирование процесса консолидации вязкоупругих двухфазных грунтов: диссертация канд. физико,-матем. наук; Тюм. гос. ун-т. Тюмень, 1994. - 100 с.

92. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. -408 с.

93. Тер-Мартиросян 3. Г. Реологические параметры грунтов и расчёты оснований сооружений. М.: Стройиздат, 1990. - 200 с.

94. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.:Наука,1975. 575 с.

95. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М.: Наука, 1974. - 222 с.

96. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения. //ДАН СССР Т. 164, №3. 1965.

97. Трефилина Е. Р. Влияние двух объектов на распределение напряжений в двухфазном полупространстве// Математическое и информационное моделирование: Сб. научн.трудов. Вып.5. -Тюмень, 2003. С. 96 -101.

98. Трефилина Е. Р. Влияние препятствия на боковой отток воды из-под насыпи на жесткость основания // Сб. док. науч. практич.конф. ТюмГАСА. Тюмень, 2002.

99. Трефилина Е. Р. Исследование напряженно деформированного состояния двухфазного вязкоупругого полупространства: Дис. канд. физ.-матем. наук; Казанский гос.ун-т Казань., 2004. - 107с.

100. Треффц Е. Математическая теория упругости. М.: ГТТИ, 1934.- 172 с.

101. Фаддеев Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. С.-Пб.: «Лань», 2002.

102. Филоненко Бородич М. М. Теория упругости. - М.: Физ-матгиз, 1959. - 364с.

103. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука, 1966. Т.2. - 800 с.

104. Флорин В. А. Основы механики грунтов: В 2 т. Т. 1. М.: Госстройиздат, 1959. -Т. 2, 1961.

105. Храмченков М. Г. Элементы физико-химической механики природных пористых сред. Казань: Изд. Казанского математического общества, 2003. - 180 с.

106. Цытович Н. А. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983. -288с.

107. Цытович Н. А. Прогноз скорости осадок оснований сооружений (консолидация и ползучесть многофазных грунтов) / Н.

108. А. Цытович, Ю. К. Зарецкий, М. В. Малышев и др.- М.: Стройиздат, 1967.-236 с.

109. Цытович Н. А. Основы прикладной геомеханики в строительстве / Н. А. Цытович, 3. Г. Тер-Мартиросян. М.: Высшая школа, 1981.-371 с.

110. Шалабодов В. И. Развитие и приложение метода ломаных к расчету вязкоупругих элементов строительных конструкций: Дис. канд. физ.-матем. наук; ТюмГАСА. Тюмень, 1995. - 151 с.

111. Эфрос А. М. Операционное исчисление и контурные интегралы/А.М. Эфрос, А. Данилевский.-Харков:ГНТИУ, 1937.-384с.

112. Biot М. A. Theory of deformation of a porous viscoelastis anisotropy sold // Journal of Applied Physics, №5, 1956. P. 459 -467.

113. Del Piero G., Deseri L. Monotonic, completely monotonic, and exponential relaxation functions in linear viscoelasticity // Qart. Appl. Math. 1995. V. 53. № 2. P. 273 - 300/

114. Durban D., Zeitoun D. G., Benaim H. E. Finit linear viscoelasticity IIJ. Eng. Mech. 1990. V. 116. № 11. - P. 2449 - 2462.

115. Fabrizio M. On the inversion of a linear viscoelastic constitutive equation // Mat. Appl. 1992. V.3.- №2. P. 141 - 148.

116. Hazanov S. New class of creep-relaxation functions // Intern. J. Solids and Structures. 1995. V. 32. № 2. P. 165-172.

117. Mal'tsev L. E., Kurilenko N. I., Stepanova Т. V., Trefilina E. R. Elements of multiphase deformed solid body mechanics // Transaction of TIMMS № 4 Tyumen, 1993. - P. 111 - 113.

118. Mal'tsev L. E., Stepanova Т. V., Trefilina E. R. Simulation of soil with kinematics phase relationship // Transaction of TIMMS №5 -Tyumen, 1994.-P. 33-40.

119. Matarazzo G. Time-irreversibility and existence and uniqueness of solutions of problems in linear viscoelasticity II Укр. мат. ж. 2000. Т. 52. № 7.-С. 923-930.

120. Morro A., Fabrizio М. Further inequalities for viscoelastic relaxation functions II Mech. Res. Comm. 1995. V.22. № 4. P. 349-353.

121. O'Neill K., Miller R. D. Exploration of a rigil ice model of frost heave // Water Resour. Res. 1985. V. 21. № 3. - P. 281 - 296.

122. Park S. W., Schapery R. A. Methods of interconversion between linear viscoelastic material functions. P. I. A numerical method based on Prony series II Intern. J. Solids and Structures. 1999. V. 36. № 11. -P. 1653- 1675.

123. Schapery R. A., Park S. W. Methods of interconversion between linear viscoelastic material functions. P. II. An approximate analytical method II Intern. J. Solids and Structures. 1999. V. 36. № 11. - P. 1677- 1699.