автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование избыточных остаточных поровых давлений методом конечных элементов

На правах рукописи

Салтанова Татьяна Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗБЫТОЧНЫХ ОСТАТОЧНЫХ ПОРОВЫХ ДАВЛЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ .

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тюмень - 2008

003452831

Работа выполнена на кафедре математики и информатики ГОУ ВПО

Тюменский государственный университет

Научный руководитель: дбктор физико-математических наук, доцент

Мальцева Татьяна Владимировна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Бытев Владислав Олегович кандидат технических наук, профессор Кучерюк Виктор Иванович

Ведущая организация: Тюменский государственный

архитектурно - строительный университет

Защита состоится « у » декабря 2008 г. в /В часов на заседании диссертационного совета Д 212.274.14 при Тюменском государственном университете по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, 15 а, ауд. 410.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан «<^>> 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета jJ^tf**^' ^ Бутакова H.H.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В Тюменском регионе ведётся строительство объектов нефтегазодобывающего комплекса, жилых посёлков, автомобильных и железных дорог на водонасыщенных глинистых и загорфованных грунтах. Одной из задач при проектировании является оценка деформированного состояния оснований из водонасыщенных грунтов в стабилизированном состоянии, независящем от времени.

Натурные и лабораторные эксперименты показывают, что в стабилизированном состоянии в поровой воде действуют избыточные остаточные поровые давления соизмеримые с напряжениями в скелете грунта, что приводит к уменьшению напряжений в скелете грунта.

В диссертации рассмотрена задача типа Фламана, под которой понимается задача о действии сосредоточенной и распределённой нагрузок на плоское водонасыщенное основание. В задачах типа Фламана модель водонасыщенного грунта представляет систему линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа с постоянными коэффициентами, которые отличаются от известных уравнений Ламе дополнительными слагаемыми, отражающими разгружающий вклад поровой воды за счёт учёта избыточных остаточных поровых давлений.

Актуальным является численная реализация с помощью метода конечных элементов этой модели в задачах типа Фламана, учитывающих слоистость грунта и некоторые виды распределённых нагрузок.

Цель работы заключается в разработке варианта метода конечных элементов, учитывающего избыточные остаточные поровые давления, применительно к задаче типа Фламана.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- получить новые матрицы жёсткости для треугольных и прямоугольных элементов, учитывающие избыточные остаточные поровые давления;

- исследовать аппроксимацию задачи и сходимость численного решения к обобщённому;

- сопоставить решения, полученные по предложенному варианту МКЭ, с известным решением задачи типа Фламана и показать разгружающее влияние (за счёт избыточных остаточных поровых давлений) поровой воды на скелет фунта;

- провести анализ деформированного водонасыщенного основания, один край которого имеет вид откоса;

- исследовать деформированное состояние слоистого водонасыщенного основания.

Методы исследования:

В работе применяются методы функционального анализа, элементы матричного исчисления, численные методы механики деформируемого твёрдого тела.

Количественный анализ изучаемой проблемы осуществляется с использованием математических программных продуктов, в частности, системы символьных вычислений Maple 7.0, на основе которых была разработана программа для решения рассматриваемых в работе задач. Научная новизна:

- разработан вариант МКЭ, который заключается в построении новых матриц жёсткости, учитывающих избыточные остаточные поровые давления и позволяет записать систему дифференциальных уравнений в виде системы линейных алгебраических уравнений;

- показана сходимость численного решения к обобщённому решению в смешанной задаче о загружении слоистого основания в рамках одного слоя;

- предложенный вариант МКЭ применён для решения задач типа Фламана для однородного и слоистого оснований и равновесия откоса;

Практическая значимость:

- численная реализация модели позволяет более достоверно прогнозировать осадки и перемещения любой точки водонасыщенного основания за счёт учёта избыточных остаточных поровых давлений;

- новый вариант МКЭ может быть использован при расчёте деформированного состояния водонасышенного основания слоистой структуры с различными видами нагрузок.

Достоверность результатов обеспечивается:

- использованием классических уравнений механики деформируемого твёрдого тела;

- применением известных математических и численных методов;

- сопоставлением численных результатов с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- матрицы жёсткости для треугольного конечного элемента в случае линейной аппроксимации перемещений частиц скелета грунта;

- исследование сходимости численного решения к обобщенному решению смешанной задачи типа Фламана;

- матрицы жёсткости для прямоугольного конечного элемента при линейной и квадратичной аппроксимации искомыхлеремещений;

- результаты расчётов деформированного состояния водонасыщенного основания с учётом и без учёта слоистости грунта, с учётом откоса и без учёта откоса.

Апробация работы.

Международный научно - методический межвузовский семинар «Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь», (Могилёв, 2005 г.), XIX Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Воронеж, 2006 г.), Межрегиональная конференция «Современные математические методы и информационные технологии», (Тюмень, 2007 г.), XX Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Ярославль, 2007 г.), VII Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения», (Казань, 2007

г.), XXI Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Саратов , 2008 г.), Научные семинары кафедр математики и информатики, математического моделирования Института математики и компьютерных наук ТюмГУ (2005 - 2008г.), Научные семинары при межкафедральной экспериментальной и научной лаборатории ТюмГАСУ (2005 - 2008 г.).

По материалам исследований опубликовано 11 работ, список которых приведён в конце автореферата, в том числе одна, в журнале, рекомендованном ВАК РФ.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы, приложений. Объём диссертации 123 страницы, в том числе 31 рисунок. Список литературы состоит из 61 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе рассматриваются модели, теории расчёта водонасыщенного основания и основные численные методы.

Для анализа напряжённо - деформированного состояния водонасыщенного грунта используется теория фильтрационной консолидации двухфазной среды, которая впервые была сформулирована К. Терцаги (1925) и развита в в трудах Н.М. Герсеванова, Н.Н Маслова, В.А. Флорина, H.A. Цытовича, М. Био, в конце 20-го века в трудах A.JI. Гольдина, Л.В. Горелика, Ю.К. Зарецкого, М.В. Малышева и других советских ученых. Теория фильтрационной консолидации применима для расчёта неуплотненных, полностью водонасыщенных грунтов.

В. А. Флориным и позднее М. Био была впервые предложена расчётная модель объемных сил при линейно-деформируемом скелете фунта. По этой модели процесс консолидации грунта сопровождается возникновением сил.

3. Г. Тер-Мартиросяном и Ю. К. Зарецким одномерная задача уплотнения двухфазной среды решается с учетом линейной наследственной ползучести и сжимаемости поровой жидкости. Для глинистых грунтов имеет место нелинейная связь между напряжениями и деформациями, вытекающая из теории пластичности.

В нелинейной фильтрационной модели Костерина A.B., учитывается начальный градиент порового давления, вводятся две зоны - активная и пассивная, в последней фильтрация воды отсутствует.

Анализ этих моделей показал, что избыточные остаточные поровые давления обращаются в ноль по истечении конечного значения времени и водонасыщенный грунт рассматривается как однофазный, для описания которого используются модели механики деформируемого твёрдого тела.

Однако, лабораторные (В.А. Дёмин, В.В. Воронцов, A.B. Набоков) и натурные (Амарян JI.C., Бугров А.К., Голли A.B., Ф.Ф. Зехниев, Каган A.A. и др.) эксперименты показывают наличие избыточных остаточных поровых давлений после окончания процесса фильтрационной консолидации.

Для учёта избыточного порового давления в стабилизированном состоянии в диссертации рассмотрен плоский случай кинематической модели. Ранее модель использовалась в работах Мальцевой Т.В., Огородновой Ю.В., Трефилиной Е.Р., в которых были получены аналитические решения некоторых задач. В диссертации кинематическая модель развивается с позиции её численной реализации для задач типа Фламана с помощью МКЭ.

Во второй главе рассмотрена система уравнений, описывающая НДС водонасыщенного грунта с учётом избыточных остаточных поровых давлений. Система включает в себя: геометрические уравнения Коши для скелета грунта и поровой воды, физические уравнения для поровой воды,

уравнения взаимодействия скелета грунта и поровой воды, обобщённый закон Гука, уравнения равновесия.

После преобразований система уравнений равновесия для плоского случая относительно перемещений и(их\и2) частиц скелета водонасыщенного фунта, в стабилизированном состоянии, независящем от времени, представляет собой систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

дв , д и, ди,

+А)—- + +Ь—~ + с—-дх, дх дх,

\\

Е,

Х = -

£.у

1 = 1,2, (1) Е/ Л ,

•- 1 в = (Ну и,

'2(/ + у)'" (/ + уХ/-2У)' К2' К/Г

которая от известных уравнений Ламе теории упругости отличается двумя слагаемыми в каждом уравнении, с неоднородными смешанными граничными условиями

"к =

ст22 = {Ю + Ъ)ег1 + Л(е,, + е22), ¿г,, =

О, ^22 5, =е.

дщ дх.

(2)

е22 -

ди2 дх-,

"4, =0' ^ = <7. ы|5„=0' О"м|5з = 0, О-22|5з = 0, СГ12|5з = 0 (3) ап = (2С7 + Л)£-ц +Л{еп + гг22), <т|2 =Ю£п Граничное условие (2) используются в задаче типа Фламана и слоистого основания, в задаче с откосом - граничное условие (3) (рис.1).

Положительные коэффициенты б, Л, Ъ, с, отражают механические свойства среды, у, , Е/ - механические характеристики твёрдой (индекс

я) и жидкой (индекс /) фаз. К- безразмерная величина (0 < К < 1), показывающая долю перемещения твёрдой частицы от соответствующего перемещения жидкой частицы. И - геометрическая характеристика образца, И = 1м. 2 - вектор внешних сил, представляющий сосредоточенную либо,

распределённую нагрузку, приложенную к дренирующей дневной поверхности.

Введем три дифференциальных вектора-оператора на линеале М функций и, непрерывных вместе со своими первыми и вторыми частными

производными в О (множество М плотно в 12(£?)): А=(С + Х^гадЛм + СА,

„ (,Зг З2) ( д д )

В= Ь—г,о—- ,С- с—,с- .

^ дх\) Йх, дх2)

Запишем систему (1) в операторном:

0 = -(А + В + С), и = (и„иг), ^ = (4)

где .Р заданная вектор функция, имеющая конечную норму. В работе

Мальцевой Т.В. показано, что дифференциальный оператор £> положительно

определён.

Обобщенным решением краевой задачи назовем функцию и е V, для которой согласно принципу Лагранжа выполняется равенство:

(.Ои,и) = {р,и), УиеК, Н = (5)

Требование обращения в ноль и на части границы указывается как

иеШ 12{О). Пространство \У "(й) - пространство Соболева.

После интегрирования по частям получается форма Галеркина а(и,и)+ с(и,и) = (/•", и) + ■ дсК,

где

Я дх, Эх, дх, дх,дх,) £ йс,

Пусть V - гильбертово пространство, Л(и,и) = а(и,и) + с{и,и) -коэрцитивная непрерывная билинейная форма на V х V и I - линейная непрерывная форма на V. Обозначим через и, единственное решение в V уравнения

</(«,«)={/, и) ЧиеУ. (6)

Чтобы получить численное решение необходимо аппроксимировать и. Зададим какую - либо внешнюю устойчивую и сходящуюся аппроксимацию пространства V, т.е. К,/>Л,''/,}/,еД.. У/, - возрастающая последовательность конечномерных подпространств У, объединение которых плотно в V, рИ:Уь^>Ь2{й) - оператор продолжения, г;, ■ У -»Ул - оператор сужения. Наложим следующие условия:

для каждого /г е N зададим непрерывную билинейную коэрцитивную форму ¿А(«А,кА) на Ук х УИ, то есть

непрерывную линейную форму 1Н на Уь, такую что Для фиксированного И найдём ин е У/, такое что

("л »/,). е • (7)

Пусть О - открытая ограниченная область в Л2. Через 3Л будем обозначать регулярную триангуляцию £2, т.е. семейство двумерных симплексов удовлетворяющих условию

<т{И)<а, при р{И)-> 0,

где

р(И) = suppJ , р'(к) = Ы/р^ , <т(А) = sup{pJ/pJ). •/еЗ» УеЗЛ

где р = PJ - диаметр наименьшего шара, содержащего J, а р'=ру -диаметр наибольшего шара содержащегося в J.

На основании вышеуказанных условий в работе сформулировано и доказано предложение о сходимости численного решения к обобщённому, для доказательства которого использовалась общая теорема сходимости.

Предложение. Если р(/г)-»0 и <т(/г)<а, то решение иИ задачи (7) сходится к решению и задачи (6).

Для нахождения численного решения получена матричная запись операторного уравнения (5). При этом использовались два двумерных симплекса: треугольник и прямоугольник.

1. Треугольник. Перемещения вершин треугольника выражаются искомым вектором узловых перемещений <5Г=^'; и2 и/ и!2 и"' и"). Индекс Т означает операцию транспонирования

Перемещения в пределах рассматриваемого треугольного элемента задаются в виде полинома первой степени и) = аг, + а2х{+а^х2, u2=a^ + а1х1+а(хг, где а1,...,а6 - постоянные в пределах каждого элемента.

Выразив а;,...,а6 через узловые перемещения, получили следующие формулы для и, и и2.

п,х2 >4 + (р, + й, х, + п^2 У2 + (р„, + <1п1х,+ птх2 )и ? ]

Р, ~Х1Х2 Х1 х2>

¿,=х'-х"2, 2А =

1 х',

х3

х12 гт

Относительные деформации имеют связь с вектором искомых перемещений 6Т:

( с и 0

1 0

е2 п1

~ 2А 4

Л

"у

О п

¿т о

О па

\и2 /

Для получения матрицы жёсткости скелета фунта, отвечающей сумме операторов -(А + В), записали работу внешних сил {<5}Г[/*"], которая согласно принципу Лагранжа равна работе внутренних сил.

Удельная работа внутренних сил, отвечающих скелету грунта, равна {е}г{сг}, {е}г = Напряжения и деформации связаны обобщённым

законом для скелета грунта {а} = [¿>]{е}.

/<т//(2в + Л + Ь °22 \Vl2j

Ь 0 ' 2в + Л + Ь О О 1С

От удельной работы перешли к работе внутренних сил в пределах объёма элемента единичной толщины:

}НГ Ш = ¡{¿}ТМ № = [6}Т ДЛВД^ = ДЛ']ГМЛ']а'5{<5}

1 х', х'2 1 х> х< 1 х7 X?

После интегрирования получили:

{¿г И=[л№М

5

где \к*\ - матрица жёсткости для скелета грунта с учетом поровой воды.

Тогда равенство работ внутренних и внешних сил, отвечающее оператору И имеет вид:

Слагаемое {-Си, и) описывает работу избыточных остаточных поровых давлений на перемещении и

В матричном виде выражения, стоящие под знаком интеграла, имеют

вид:

'се „Л 'с 0 (г л

(и„и2) сеп ¿О, II 0 с 0 е22

1 о ] о 0 0,

2А

Применив теорему о статическом моменте площади и вычислив интеграл, получили:

(- Си, и) = {<5}Г[*']{(5}, где [¿']= - матрица жёсткости для

поровой воды.

(г, о о {„, о е, о е, о £л о о о о о у

(х\сх1с)' координаты центра тяжести треугольника. Окончательно имеем:

М+^ж (8)

Выражение ]+ ] - новая матрица жёсткости для треугольного элемента. 2. Прямоугольник. Для этого симплекса рассмотрены два варианта аппроксимации искомой функции:

а. Билинейная аппроксимация и1 -а/ +а2х1+а3х2+а4х1х2, и2 =а5 +а6х1+а7х2+а8х!х2.

б. Квадратичная аппроксимация ы/ = а, +а_,1;+а3х_,+а7с,х_, +азх2> и 2 =а6 + а;х1+а6х,+а9х,х2 +а/0х*.

В этом случае системы линейных алгебраических уравнений и матрицы жёсткости имеют вид:

5

Отличие матриц жёсткости для различных конечных элементов состоит в различии матриц геометрических характеристик ([м], [лф. Матрицы механических характеристик ([о],[£>']) остаются без изменения.

В третьей главе численно реализуется предложенный вариант метода конечных элементов при решении задач о загружении водонасыщенного основания погонной нагрузкой (задача типа Фламана), о равновесии откосов

из водонасыщенного грунта (рис. 1), с помощью программы, написанной в математическом редакторе Мар1е 7. Механические параметры для задач были взяты из лабораторных экспериментов. Е5 = 8,1 МПа, Е/ =3,27 МПа, у = 0,3, К = 0,52, 6 = 0,7 МН.

Jr

///////<

/

~rr

■fH

s2

я 1 d

* ГТ

m

/////////////

Рис. 1

а) задача типа Фламана О' 0.1 0 2Ü.3 ЗА 0.5 0.В BJ.

б)о равновесии откоса

ojoi 0.05

о.о:-;. 0.0.11 оп;:

У"

ЭО'ЗО 40*40

и2,м

Рис.2 Вертикальные перемещения для Рис.3 Горизонтальные перемещения для сечения х, =0 (сетка 40 х 40). сечения х2 = 2м для различных сеток.

Для задачи типа Фламана численное решение сопоставлено с известным решением (Мальцева Т.В.). Результаты представлены в виде графиков на рис. 2,3. Максимальное расхождение для горизонтальных перемещений составляет 20 %.

Сопоставление решений для различных видов нелинейной аппроксимации, полученных для задачи типа Фламана приведены на графике (рис. 4). Максимальное расхождение для билинейной аппроксимации - 30%, для квадратичной - 20%.

В диссертации решена задача о равновесии откоса. Пусть на двухфазное упругое основание (рис. 16) действует на расстоянии Ь = 7м равномерно распределённая нагрузка постоянной интенсивностью ц = 2,7МН/м. Основание задаётся в виде прямоугольной трапеции с углом наклона в {в, = /^А Задача является осесимметричной относительно

действия внешней нагрузки Необходимо вычислить минимальное расстояние с! от объекта до границы откоса. На рис. 5,6 приведёны графики горизонтальных и вертикальных перемещений для сечений = 0 м, х_, = 2 м, = 4 м, х2 = 6 м. Из графиков видно, что на расстоянии ¡1 = 15 м от оси симметрии горизонтальные перемещения становятся практически нулевыми {в = ). Для в = расстояние ¡1 уменьшается до 12 м.

Вертикальные перемещения, начиная с глубины 3 м, при более пологом откосе уменьшаются быстрее.

Решена задача о неоднородном водонасыщенном основании, представляющем собой слои торфа и суглинка. Решение, полученное по МКЭ сопоставлено с данными натурного эксперимента (Ф. Ф. Зехниев). результаты представлены в виде графиков. Механические характеристики фунта (таб. 1) были получены Шапталой И. В. на основании метода осреднения Бахвалова Н.С.

о 02 04 ОБ

~Аналитическое решение - Билинейная аппроксимация Квадратичная аппроксимация

-002 -0 01

о 001

Рис. 4. Вертикальные перемещения для случая нелинейной аппроксимации.

G05 0 1 0 15 0 2

20 25 30 *"м

1 / \/

-->L¿=U

--------------,2=2

--------х2=4

----«2=6

х1=0 х1=2 х1=4

Uj.M

U¡,M

Рис. 5.

a). Горизонтальные перемещения

б). Вертикальные перемещения для

для различных сечений (в = —).

различных сечений (в = -).

"004 -0 03 -0 02 -0 01

0" 0 01 0 02

/

и,,м

20

х2=0 х2=2 х2=4

-----

----х2=6

11],м

Рис. 6.

а). Горизонтальные перемещения для различных сечений (в =

б). Вертикальные перемещения для

различных сечений (в = —).

Таблица 1.

№ слоя е5,мпа е,,мпа К

1 0,035 0,956 0,38

2 0,468 1,955 0,5

3 0,065 5,662 0,09

4 0,294 2,941 0,5

5 0,192 3,425 0,43

На рис. 7,8 сопоставлены графики вертикальных и горизонтальных перемещений, полученных экспериментально и с помощью МКЭ.

Максимальное расхождение для вертикальных перемещений составило 5 %, для горизонтальных - 26%.

На рис. 9 сопоставлены графики вертикальных перемещений частиц скелета фунта для различных сечений.

С ростом глубины фунта перемещения уменьшаются и становятся близкими к нулю.

Также получены фафики изменения порового давления. Наибольшее расхождение с экспериментом составляет 20 %.

мкэ

эксперимент

Рис. 7 Вертикальные перемещения скелета Рис. 8 Горизонтальные перемещения грунта дневной поверхности х2 = 0 скелета грунта для вертикального сечения

х, = 1 м .

Рис. 10 Изменение по глубине остаточного порового давления 18

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. При выполнении условий коэрцитивности, непрерывности билинейной формы обобщённого оператора Ламе показана сходимость численного решения к обобщённому решению смешанной задачи.

2. Разработан вариант метода конечных элементов (треугольный, прямоугольный конечные элементы) для кинематической модели, учитывающей избыточные остаточные поровые давления, согласно которому новая матрица жёсткости, представляет собой сумму двух матриц, отвечающих скелету грунта и поровой воде.

3. На задаче типа Фламана сопоставлено численное решение, полученное по МКЭ, с известным аналитическим решением, максимальное расхождение, начиная с глубины два и более метров, составляет 10 % для вертикальных перемещений, для горизонтальных - 15 %.Результаты расчётов показали, что вертикальные перемещения на порядок больше горизонтальных.

4. При решении задачи о загруженнии водонасыщенного основания с наличием различных углов откоса определены минимальные расстояния от откоса до объекта, при которых горизонтальные перемещения в районе

откоса практически равны нулю: для в = ~ горизонтальные перемещения становятся практически нулевыми при удалении объекта от откоса на 15 м,

для в = - это расстояние составляет 12 м. 6

5. Сопоставлены решения, полученные по МКЭ с данными натурного эксперимента. Максимальное расхождение составляет 5% для вертикальных и 26% для горизонтальных перемещений. Следовательно, построенная дискретная модель достаточно адекватно описывает моделируемое стабилизированное состояние.

Публикации по теме диссертации

1. Салтанова Т.В. Роль одного современного метода в математическом образовании/JI.Е. Мальцев, Т.В. Мальцева // Модернизация образования в условиях глобализации Круглый стол «Образование через науку и инновации». ТюмГУ.- 2005. - С. 68 - 70.

2. Салтанова Т.В. Конечный элемент, моделирующий остаточные поровые давления/ Мальцев Л.Е. // Естественные и технические науки. М.: «Спутник+» -2005. - № 5(19). С.138 - 142.

3. Салтанова Т.В. Реализация математической модели водонасыщенного грунта с учётом избыточного порового давления по методу конечного элемента/ Мальцев Л.Е. // Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь: Сборник научных трудов международного научно - методического межвузовского семинара. - ГОУ ВПО БГУ, Могилёв, - 2005. - С. 178 — 182.

4. Салтанова Т.В. Матрица жёсткости для двухфазного треугольного элемента // Математические методы в технике и технологиях: Труды XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Воронежской государственной технологической академии. - Воронеж, 2006, - С. 35-39.

5. Салтанова Т.В. Адаптация МКЭ для расчета двухфазной полуплоскости // Математическое и информационное моделирование. -Тюмень: «Вектор Бук».- 2006. -Вып. 8.- С. 135 - 142.

6. Салтанова Т.В. Анализ обобщённого оператора Ламе и отвечающий оператору конечный элемент /Мальцев Л.Е., Мальцева Т.В. // Проблемы прочности и пластичности. Вып. 68. Нижний Новгород: НГУ.-2006. - С. 181 -190.

7. Салтанова Т.В. Численная реализация кинематической модели по методу конечных элементов // Математическое и информационное моделирование. -Тюмень: «Вектор Бук»,- 2007.-Вып. 9,- С. 156 - 160.

8. Салтанова Т.В. Матрица жёсткости для двухфазного прямоугольного элемента // Труды XX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Ярославский государственной политехнический университет. Вып. 5 - Ярославль, 2007, - С. 35-39.

9. Салтанова Т.В. МКЭ для расчёта осадок водонасыщенного основания/ Мальцева Т.В. // Материалы всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения».- Казань: Изд-во Казанского Государственного Университета. - 2007. - С. 176 - 181.

Ю.Салтанова Т.В. Сопоставление матриц жёсткости при расчёте двухфазной полуплоскости / Мальцева Т.В. //Вестник ТюмГУ,- 2007. -№5.-С. 25-33.

II.Салтанова Т.В. О равновесии откосов из водонасыщенного грунта // Труды XXI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Вып. 5 - Саратов, 2008, - С. 45-48.

Подписано в печать 24.10.2008. Тираж 100 экз. Объем 1,0 уч. изд. л. Формат 60x84/16. Заказ 811.

Издательство Тюменского государственного университета 625000, г. Тюмень, ул. Семакова, 10 Тел./факс (3452) 46-27-32 E-mail: izdateistvo@utmn.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К РАСЧЁТУ ВОДОНАСЫЩЕННОГО ОСНОВАНИЯ.

1.1 Основные модели грунтов.

1.2 Кинематическая модель, учитывающая избыточные остаточные поровые давления.

1.3 Численные методы расчёта деформированного состояния оснований.

1.4 Метод конечных элементов.

1.5 Выводы по главе.

ГЛАВАМ. АДАПТАЦИЯ МКЭ К КИНЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОДОНАСЫЩЕННОГО ГРУНТА.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Математическое исследование задачи.

2.3 Построение матрицы жёсткости для треугольного элемента.

2.4 Построение матрицы жёсткости для прямоугольного элементабО

2.5 Повышение порядка аппроксимации.

2.6 Выводы по главе. основания.

3.2 Сопоставление численных расчётов с известным решением

3.3 Задача о равновесии откосов из водонасыщенного грунта.

3.4 Экспериментальные исследования водонасыщенных оснований в стабилизированном состоянии.

3.5 Задача о водонасыщенном неоднородном основании.

3.6 Сопоставление с результатами натурного эксперимента.

3.7 Выводы по главе.

Актуальность темы На севере Тюменской области ведётся промышленное освоение нефтяных и газовых месторождений, строительство объектов нефтегазодобывающего комплекса, жилых посёлков, автомобильных и железных дорог на водонасыщенных глинистых и заторфованных грунтах. Одной из задач при проектировании является оценка деформированного состояния оснований из водонасыщенных грунтов в стабилизированном состоянии, независящем от времени.

В моделях теории фильтрационной консолидации по истечении конечного значения времени избыточное остаточное поровое давление обращается в ноль и в стабилизированном состоянии к описанию грунта применяются модели механики деформируемого твёрдого тела. Однако натурные эксперименты (Амарян J1.С., Бугров А.К., Голли A.B., Зехниев Ф.Ф., Каган A.A. и др.) показывают наличие избыточных остаточных поровых давлений при стабилизированном состоянии водонасыщенного грунта.

Модель водонасыщенного грунта описывается системой линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа с постоянными коэффициентами, которые отличаются от известных уравнений Ламе дополнительными слагаемыми, отражающими разгружающий вклад поровой воды за счёт учёта избыточных остаточных поровых давлений. Модель была развита в работах Воронцова В.В., Дёмина В.А., Мальцевой Т.В., Набокова A.B., Трефилиной Е.Р.

В данной работе предложена численная реализация этой модели, учитывающей избыточные остаточные поровые давления, с помощью МКЭ.

Цель работы:

- разработать вариант метода конечных элементов, учитывающие избыточные остаточные поровые давления, применительно к задаче типа Фламана;

Для достижения цели были решены следующие задачи:

- получить новые матрицы жёсткости для треугольных и прямоугольных элементов, учитывающие избыточные остаточные поровые давления;

- исследовать аппроксимацию задачи и сходимость численного решения к обобщённому;

- сопоставить решения, полученные по предложенному варианту МКЭ, с известным (Мальцева Т.В.,) решением задачи о действии полосовой и нагрузки на водонасыщенное основание (задача типа Фламана);

- провести анализ деформированного водонасыщенного основания, один край которого имеет вид откоса;

- исследовать деформированное состояние слоистого водонасыщенного основания.

Методы исследования:

В работе применяются методы функционального анализа, элементы матричного исчисления, численные методы механики деформируемого твёрдого тела.

Количественный анализ изучаемой проблемы осуществляется с использованием математических программных продуктов, в частности системы символьных вычислений Maple 7.0, на основе которых была разработана программа для решения рассматриваемых в работе задач.

Научная новизна:

- разработан вариант МКЭ, который заключается в построении новых матриц жёсткости, учитывающих избыточные остаточные поровые давления и позволяет записать систему дифференциальных уравнений в виде системы линейных алгебраических уравнений;

- показана сходимость численного решения к обобщённому решению в смешанной задаче;

- предложенный вариант МКЭ применён для решения задач типа Фламана, равновесия откоса, неоднородного основания;

- показана адекватность математической модели водонасыщенного основания натурному эксперименту с применением нового варианта метода МКЭ.

Практическая значимость:

- численная реализация модели приводит к более достоверному прогнозированию осадок и перемещений любой точки водонасыщенного основания за счёт учёта избыточных остаточных поровых давлений;

- новый вариант МКЭ может быть использован при расчёте деформированного состояния неоднородного водонасыщенного основания различной геометрической формы с различными видами нагрузок.

Достоверность результатов обеспечивается:

- использованием классических уравнений механики деформируемого твёрдого тела;

- применением известных математических и численных методов;

- сопоставлением численных результатов с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- матрицы жёсткости для треугольного конечного элемента в случае линейной аппроксимации перемещений частиц скелета грунта;

- исследование сходимости численного решения к обобщенному решению смешанной задачи;

- матрицы жёсткости для прямоугольного конечного элемента при линейной и квадратичной аппроксимации искомых перемещений;

- результаты расчётов деформированного состояния водонасыщенного основания без учёта откоса и с учётом откосов;

- результаты расчёта деформированного состояния неоднородного водонасыщенного основания, полученного по МКЭ, и их сопоставление с данными натурного эксперимента.

Апробация работы.

Научные семинары кафедры математики и информатики Института математики и компьютерных наукТюмГУ (2005 - 2008г.),

Научные семинары при межкафедральной экспериментальной и научной лаборатории ТюмГАСУ (2005 - 2008 г.),

Международный научно - методический межвузовский семинар «Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь», (Могилёв, 2005 г.),

XIX Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Воронеж, 2006 г.),

Межрегиональная конференция «Современные математические методы и информационные технологии», (Тюмень, 2007 г.),

XX Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Ярославль, 2007 г.),

VII Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения», (Казань, 2007 г.).

XXI Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Саратов, 2008 г.),

По результатам исследований опубликовано 11 работ, в том числе в журналах, рекомендуемых ВАК РФ -1 работа.

3.7 Выводы по главе

В данной главе рассмотрены три виды задач: задача типа Фламана, задача о равновесии откоса, о неоднородном водонасыщенном основании. Эти задачи были решены методом конечных элементов. На задачи типа Фламана решения полученные по МКЭ были сопоставлены с известными аналитическими решениями. Расчёты показали, что численное решение достаточно хорошо согласуется с аналитическим. Максимальное расхождение составило 26 %.

При решении задачи о равновесии откоса необходимо было определить минимальное расстояние от объекта до края откоса.

Рассмотрены два угла откоса 9 = — , 0 = — . Задача решена в двух

4 6 вариантах: с учётом поровой воды и без учёта поровой воды. Показан разгружающий вклад поровой воды на скелет грунта.

Численное решение задачи о неоднородном водонасыщенном основании сопоставлено с экспериментальными данными. Для вертикальных перемещений максимальное расхождение составило 5%, для горизонтальных перемещений - 26 %. Получены графики перемещений скелета грунта и поровой воды для различных вертикальных и горизонтальных сечений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан вариант метода конечных элементов для кинематической модели, учитывающей избыточные остаточные поровые давления. На основе нового варианта МКЭ показана адекватность математической модели водонасыщенного основания натурному эксперименту. Показана сходимость численного решения к обобщённому. Получена новая матрица жёсткости, представляющая собой сумму двух матриц: первая соответствует скелету грунта, вторая - поровой воде. Рассмотрены конечные элементы треугольной и прямоугольной форм в случае линейной, билинейной, и квадратичной аппроксимаций.

Сопоставлены два варианта матриц жесткости для прямоугольного конечного элемента. Первый отвечает случаю равноправности вертикальных и горизонтальных перемещений частиц скелета грунта, второй - более детальному описанию вертикальных, по сравнению с горизонтальными, перемещений частиц скелета грунта. Численные расчёты показывают, что точность описания вертикальных ~ перемещений - существенно -- возрастает при — использовании квадратичной аппроксимации. На задаче типа Фламана сопоставлено численное решение, полученное по МКЭ, с известным аналитическим решением (Мальцева Т.В.) Результаты расчётов представлены в виде графиков, которые показывают, что вертикальные перемещения на порядок больше горизонтальных. Численное решение достаточно хорошо согласуется с аналитическим решением. Максимальное расхождение, начиная с глубины два и более метров, составляет 10 % для вертикальных перемещений, для горизонтальных - 15 %.

Осадки (вертикальные перемещения точек дневной поверхности) водонасыщенных грунтов, осуществляются за счёт частичного отжатия поровой воды, так как перемещения за счёт деформативности скелета составляют 10-20 % от суммарной величины осадки.

При решении задачи о загружениии водонасыщенного основания с наличием откоса определены минимальные расстояния от откоса до объекта при которых горизонтальные перемещения в районе откоса практически равны нулю. Были рассмотрены два значения угла п тт п тт откоса: 0 = —, 0 = —.

4 6

Анализ графиков горизонтальных перемещений для ® = показал, что горизонтальные перемещения становятся практически нулевыми при удалении объекта от откоса на 15м.

Вертикальные перемещения, найденные по кинематической модели, учитывающей избыточные остаточные поровые давления, на глубине 2 м от дневной поверхности на 28% меньше соответствующих перемещений, найденных без учёта влияния поровой воды. На глубине 4 м расхождение составляет 60 %.-----

Для угла откоса 9 = минимальное расстояние, на котором можно построить объект, составляет 12 м. На глубине 2 м перемещения, найденные с учётом избыточных остаточных поровых давлений на 12, 5 % меньше, чем без учёта влияния поровой воды. Для сечения 4 м расхождения составляют 23 %.

При решении задачи о водонасыщенном неоднородном основании сопоставлены результаты, полученные экспериментально с данными, полученными по МКЭ. Получены графики вертикальных и горизонтальных перемещений для частиц скелета грунта для различных вертикальных и горизонтальных сечений. При сопоставлении с экспериментальными данными максимальное расхождение для горизонтальных перемещений составило - 26%, для вертикальных, перемещений - 40 %. Поровая вода принимает часть внешней нагрузки. Показано, что математическая модель водонасыщенного основания адекватна натурному эксперименту.

Таким образом, способность поровой воды принимать часть внешней нагрузки необходимо учитывать при проектировании различных сооружений на водонасыщенных основаниях.

1. Александров A.B. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. - 399 с.

2. Амарян Л.С. Свойства слабых грунтов и методы их изучения. -М.: Недра, 1990.

3. Бай В. Ф. Механические характеристики двухфазного грунта / В. Ф. Бай, Т.В. Мальцева, A.B. Набоков.// Известия вузов. Нефть и газ. 2002, №2-С. 98-106.

4. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и МКЭ. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

5. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа., 1961. - 537 с.

6. Безухов Н.И. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач / Н.И. Безухов, О.В. Лужин. М.: Высшая школа., 1974. -200с.

7. Био М. Теория деформаций пористого вязкоупругого анизотропного твердого тела. //Сб. Механика. Изд. Иностранной-------------литературы. № 1. М:: 1956.-Сг95-111.----- -----------

8. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

9. Власов В.З. Балки, плиты, оболочки на упругом основании / В.З. Власов, H.H. Леонтьев. М.: Госиздат физико-математической литературы, 1960. -492 с.

10. Герсеванов Н.М., Мачерет Я.А. К вопросу о бесконечно длинной балке на упругой почве, нагруженной силой. // Гидротехническое строительство. .№ 10. М.: 1935. С. 15-23.

11. Голованов А. И., Бережной Д.В. МКЭ в механике деформируемых твёрдых тел. Казань: «ДАС», 2001. - 300 с.

12. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир., 1976. -95с.

13. Ерёменко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков, 1991. - 272 с.

14. Зарецкий Ю.К. Вязкопластичность грунтов и расчеты сооружений. М.: Стройиздат, 1988. - 352 с.

15. Зарецкий Ю.К. Напряженно-деформированное состояние грунтового основания под действием жесткого ленточного фундамента / Ю.К. Зарецкий, В.В. Орехов. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №6 М., 1983.- С. 21-24.

16. Зарецкий Ю.К. О несущей способности песчаных оснований фундаментов. / Ю.К. Зарецкий, М.И. Карабаев.// Основания, фундаменты и механика грунтов. №3 М., 2005.- С. 2 - 8.

17. Зарецкий Ю.К. Строительный мониторинг туннеля мелкого заложения в районе Лефортово Москвы./ Ю.К. Зарецкий, М.И. Карабаев, Н.С. Хачатурян. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №2 М., 2004,- С. 9 -13.

18. Зехниев Ф. Ф. Стабилизация оснований с плоскими вертикальными песчаными дренами: дисс. канд. технич. наук. Москва, 1988.

19. Киселев В.А. Плоская задача теории упругости. М.: Высшая школа, 1976. - 152 с.

20. Колдунов В.А. Некоторые численные методы механики деформируемого твёрдого тела / В.А. Колдунов, В.Н. Лейцин, C.B. Пономарёв. Томск, 1987. - 148 с.

21. Костерин А. В. Новые модели и обобщенные решения нелинейных задач механики насыщенных пористых сред // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13. - № 2. -С. 71 -77.

22. Костерин А. В. Численное исследование фильтрационной консолидации / А. В. Костерин, М.Ф. Павлова, Е. В. Шемуранова. // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13. - № 9. -С. 63 -71.

23. Кудрявцев С.А. Численное моделирование процесса промерзания, морозного пучения и оттаивания грунтов. // // Основания, фундаменты и механика грунтов. №5 М., 2004.- С. 21 -26.

24. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука., 1970. - 939с.

25. Мальцев Л. Е. Кинематическая модель грунта и биоматериалов / Л. Е. Мальцев, В. Ф. Бай, Т. В. Мальцева. СПб.: Стройиздат С-Пб., 2002. - 336 с.

26. Мальцев Л.Е. Экспериментальное определение параметров кинематической модели для водонасыщенного образца грунта / Л.Е. Мальцев, Т.В. Мальцева, В.А. Демин.// Известия вузов. Нефть и газ. 2001, №2 С. 96-102.

27. Мальцева Т.В. Введение функционала для решения обобщённой системы уравнений Ляме// вестник Тюменского Государственного Университета. 2003, №5. С. 196-202.

28. Мальцева Т.В. Действие сосредоточенной силы на двухфазное упругое полупространство. // Известия вузов. Нефть и газ. 2001, №1- С. 18-24.

29. Мальцева T.B. Зависимость напряжений от времени при действии равномерной нагрузки на двухфазную полуплоскость Я.В. Мальцева, Е.Р. Трефилина. // Известия вузов. Нефть и газ. -2001. №4. - С. 102-108.

30. Мальцева Т.В. Зависимость напряжений от времени при действии равномерной нагрузки на двухфазную полуплоскость / Т.В. Мальцева, Е.Р. Трефилина. // Известия вузов. Нефть и газ. -2001. №4. - С. 102-108.

31. Мальцева Т.В. Математическое моделирование напряжённо деформированного состояния водонасыщенного грунта с позиций теории вязкоупругости: диссертация доктора, физико,-матем. наук; .

32. Мальцева Т.В. Механические характеристики двухфазного образца / В.Ф. Бай, Т.В. Мальцева, A.B. Набоков.// Известия вузов. Нефть и газ. 2002. - №1. - С.98-106.

33. Мальцева Т.В. Моделирование двухфазного тела с учетом несущей способности жидкой фазы / Т.В. Мальцева, Е.Р. Трефилина.// Математическое моделирование. 2004. Т. 16.11.-^47-60.

34. Мальцева Т.В. Моделирование с помощью уравнений эллиптического типа процесса консолидации двухфазного тела. /Т.В. Мальцева. // Саранск, Средневолжское матем. общество, 2004 г. препринт №62. 24 с.

35. Мальцева Т.В. Фундаментальное решение задачи Фламана для двухфазной вязкоупругой полуплоскости. // Известия вузов. Нефть и газ. 2000. - №2. - С. 72-78.

36. Маций С.И. Взаимодействие оползневого грунта со сваями с учётом конфигурации удерживающей сооружения./ С.И. Маций, Ф.Н. Деревенец. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №2-М., 2007.-С. 8-12.

37. Маций С.И. Применение метода конечных элементов для исследования взаимодействия грунтов оползнями со сваями./ С.И. Маций, Ф.Н. Деревенец. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №4 М., 2005,- С. 8 -12.

38. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: Мир., 1981. -216 с.

39. Николаи Е.Л. Теоретическая механика. В 3 т. Т. 1. М.: ГОНТИ Главная редакция технико - теоретической литературы, 1938. -259с.

40. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир., 1976. -464 с.

41. Пантелеев H.H. Применение вариационного метода В.З. Власова к расчету составных фундаментов с гибкими плитами и жесткими плитами, взаимодействующих с деформируемым основанием. // Известия вузов. Строительство. Новосибирск, 1999. - №6-С. 21-25.

42. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости ипластичностиг М- Изд.-МГУН 995. - 366 с.----

43. Прогноз скорости осадок оснований сооружений / H.A. Цытович, Ю.К. Зарецкий, М.В. Малышев и др.- М.: Стройиздат, 1967.-238 с.

44. Прогноз скорости осадок оснований сооружений / H.A. Цытович, Ю.К. Зарецкий, М.В. Малышев и др.- М.: Стройиздат, 1967.-238 с.

45. Сахаров A.C. и др. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел. Киев: Вища школа, 1982. 480 с.

46. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -393с.

47. Сызранцев В.Н. Расчёт напряжённо деформированного состояния деталей методами конечных и граничных элементов / В.Н. Сызранцев, К.В. Сызранцева. - Курган, 2005. - 110 с.

48. Телес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат., 1987. - 160 с.

49. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. -408 с.

50. Тер-Мартиросян З.Г. Реологические параметры грунтов и расчеты оснований сооружений. М.: Стройиздат, 1990. - 200 с.

51. Терцаги К. Теория механики грунтов. М.:Стройиздат,1962.-400 с.

52. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука., 1979. - 560 с.

53. Угодчиков А.Г. Метод граничных элементов в механике деформируемого твёрдого тела / А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский. -Казанский Университет, 1986. 295 с.

54. Ухов С.Б. Механика грунтов, основания и фундаменты / С.Б. Ухов, В.В. Семёнов, В.В. Знаменский, З.Г. Тер Мартиросян,

55. С.Н. Чернышёв,- М.: Высшая школа., 2004. ^ 566 с.

56. Флорин В. А. Основы механики грунтов. В 2 т. Т. 1. М.: Госиздат по строительству и архитектуре, 1959. - 357 с.

57. Флорин В.А. Основы механики грунтов: В 2 т. Т. 2. М.: Госиздат по строительству и архитектуре, 1959. - 542 с.

58. Хазифов P.M. Напряжённо деформированное состояние мёрзлого грунтового основания под жёстким штампом.// Основания, фундаменты и механика грунтов. №1 - М., 2006.- С. 2-10.

59. Холмянский M.J1. Напряжённое состояние грунта при действии периодической системы полосовых нагрузок. //

60. Основания, фундаменты и механика грунтов. №2 М., 2005.- С. 2-6.

61. Цытович H.A. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983. -288 с.

62. Шапиро Д.М. Упругопластический анализ несущей способности оснований реконструируемых объектов методом конечных элементов./ Д.В. Шапиро, H.H. Мельничук. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №2 М., 2007.- С. 18-21.