автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численные методы анализа упруго-пластических стержневых систем с учетом сложных физико-механических свойств материала

11а правах рукописи

ЛИФАНОВ ГЕННАДИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С УЧЁТОМ СЛОЖНЫХ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

М о с к о а 1995

Работа выполнена в Московском Государственном строительном университете.

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Проценко А. М.

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Паньшин Л. Л.

кандидат технических наук, доцент Романов Ю. И.

Ведущая организация

НИИЖБ

Защита состоится "(У"^¿/СС&Ь^и?. 1995 г. в час. мин. на заседании диссертационного совета Л 053.11.02 о Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Шлюзовая наб., дом 8, ауд. N 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан п/?п.1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор, доктор технических наук

Г.3.Шаблинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Возникновение пластических деформаций соответствует одному из важных этапов работы конструкции. Как известно, несущая способность конструкции сохраняется и после появления пластических деформаций. В связи с этим, расчет конструкций с учСтом пластических свойств материала представляет весьма важную для инженерной практики задачу. Учет пластическтих свойств материала позволяет правильно оценить работу конструкции на различных этапах нагружония и создать наиболее рациональный ей проект.

Подавляющее большинство инженерных строительных конструкций представляют собой стержневые системы. В практике проектирования для расчета таких систем имеется довольно большой набор прикладных программ, позволяющих производить расчСт как в упругой так и в пластической стадиях работы конструкций. Однако, многие методы, положенные в основу этих программ, или недостаточно эффективны или же но отражают действительной работы материала. Так например, большинство•методов, разработанных в рамках теории течения, предполагают производить расчбт малыми шагами по нагрузке, что существенно увеличивает затраты машинного времени. С другой стороны, принимаемое во многих методах допущение об идеальной пластичности, для многих материалов не соответствует их реальным свойствам. В связи с этим, дальнейшие исследования, направленные на совершенствование методов расчета упруго-пластических стержневых систем, представляются современными и актуальными.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка и реализация на ЭВМ эффективных численных методов анализа упруго-пластических стержневых систем, учитывающих реальные свойства материала, а такхже проверка этих методов на конкретных примерах.

Новым в рассматриваемой работе являются:

- усовершенствованный метод расчета упруго-пластических стержневых систем в рамках теории пластического течения.

- метод мультиэлемента, позволяющий моделировать различной сложности физико-механические свойства материалов.

- метод численного моделирования напряжСнно-деформированно-го состояния в сечении изгибаемого элемента.

Практическое значение работы заключается в возможности использования реализусщего предложенные методы комплекса программ в проектной и научно-исследовательской работе.

Достоверность результатов. Результаты расчета по разрабо-

тайным программам достаточно хорошо согласуются с данными экспериментальных исследований.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на кафедре строительной механики МГСУ и кафедре строительных конструкций КГСХА.

На защиту оыносятся следующие результаты:

- численный метод анализа упруго-пластических стержневых систем.

- метод моделирования нелинейных диаграмм поведения материала.

- алгоритм и программа определения напряжСнно-дсформирован-ного состояния о сечении изгибаемого железобетонного элемента.

- результаты исследования перераспределения усилий в железобетонных рамах.

ОбъСм работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Она содержит 102 страницы, из них 30 рисунков и 0 таблиц. Список литературы включает 61 название.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе сделан краткий обзор исследований в области расчета сооружений за пределом упругости.

Вопросу расчета конструкций с учетом упруго-пластических свойств материала посвящено немалое количество теоретических и эксперементальных исследований, в результате которых был дан ряд практических предложений, позволяющих в принципе применять упру-гопластический расчет при проектировании сооружений. В число учО-ных-исслсдоватслсй, чьи Фундаментальные работы легли и основу методов расчета с учетом пластических свойств материалов, встречаем имена как отечественных А. А. Гвоздева, В. М. Келдыша, II. И. Безухооа, И. И. Гольденблата, В.В.Соколовского, Л. А. Ильюшина, Л. Р. Ржаницына, Л. М. Качалова, Ю. Н. Работного/ Л. М. Проценко, А. И. Биргера, Д. Д. Ивле-ва, и др., так и зарубежных: Ф. Блейха, Гринберга, Е.Мелана, В. Прагера, Ф. Ходжа, В. Койтера, Р. Шильда и др.

Проведенный обзор позволил сделать следующие выводы:

1. В настоящее время существует достаточно много методов решения задач анализа упруго-пластических систем. Реальному поведению конструкции наиболее точно и полно отвечают методы, разработанные в рамках теории течения. В рассмотренных методах решение задачи достигается путем нагружения системы достаточно малыми шагами, что увеличивает трудоемкость вычислений. Точность решения

падает, когда сильно развиты зоны пластических деформаций или нагрузка приближается к предельной. В связи с этим разработка методой, лишенных этих недостатков, становится актуальной задачей.

2. Большую роль при решении задач пластичности играют экстремальные энергетические принципы. С их помощью решаются вопросы существования и единственности решения, формулируется и оценивается возможность использования конечных экстремальных принципов и, наконец, они позволяют весьма просто использовать для решения задачи численные методы.

3. Для построения математических моделей и решения задач пластичности, сформулированных на основе экстремальных принципов, наиболее целесобразно применять аппарат математического программирования и теории двойственности, эффективное использование которого немыслимо без ЭВМ.

4. Численные методы обуславливают применение дискретных расчетных моделей. В последние годы для численного решения задач наиболее часто применяется дискретизация по методу конечных элементов (МКЗ). В этом методе для обозначения исследуемых величин, а таксисе определяющих соотношений используется вскторно-матричная символика, которая позволяет производить все выкладки единообразно для различных систем и удобна для программирования. МКЗ отличается универсальностью и позволяет достаточно просто учитывать сложность геометрии и граничных условий, реальные нагрузки, свойства материалов и другие параметры конструкций. Программные комплексы, разработанные на основе МКЗ, применяются во многих научно-исследовательских и проектных организациях, а тан^жо на производственных предприятиях.

Во второй гларс рассматривается численный метод анализа упруго-пластических стержневых систем, основанный на решении задачи упруго-идеальнопластического течения, сформулированной в вариационном виде. ЕС решение получено путСм конечноэлементной аппроксимации смешанного функционала типа Рейснера и применения принципа Хаара-Кармана, позволяющего перейти от скоростей исследуемых параметров к их коночным значениям.

Сформулируем задачу упруго-идеальнопластического течения в операторном оидс относительно скоростей деформаций и усилий. Будем считать, что конструкция занимает ограниченный объСм V и х -координаты точек конструкции. В момент времени I на нес действует изменяющаяся пропорционально одному параметру внешняя нагрузка Р и задаст векторное поло перемещений со точек - и(х). Перемещения в свою очередь задают деформации е(х)-Ви(х) и внутренние усилия

- с -

S(x). Для малых деформаций В - линейный оператор. Как правило, В

- дифференциальный оператор d частных производных не выше второго порядка.

. Материал конструкции подчиняется закону идсалыюпластичес-кого течения, ассоциированному с условием пластичности.

с = D S + X ^^ , Х>0, X Ф(Б) =0 (1а)

uS

Ф(Б) < 0 , S < 0 (16)

uS

где 6 - вектор скоростей деформаций, S - вектор скоростей усилий, D - оператор податливости,

X - сектор положительных коэффициентов или вектор пластичности Эти уравнения сопровождаются соответствующими условиями равновесия и условиями нссмещаемости на части поверхности системы, которые также формулируются относительно скоростей внутренних усилий и перемещений.

- условия равновесия системы

AS = Р (2)

Здесь Л=ВТ - оператор уравнений статики

Р - вектор скоростей изменения внешней нагрузки.

- условия нссмещаемости системы

и, = 0

Таким образом перечисленные условия определяют задачу упру-го-идеальнопластического течения в операторном виде. Требуется определить скорости изменения перемещений и и внутренних усилий S для всех точек конструкции. Роль времени условная и со часто выполняет параметр, пропорционально которому изменяется внешняя нагрузка.

Далее сформулируем задачу упруго-идеальнопластичсского течения в вариационном виде, применяя экстремальные энергетические принципы теории пластического точения. Один из таких принципов является полным аналогом принципа Кастилиано. В соответствии с ним действительное напряженное состояние соответствует минимальному значению упругого потенциала для скоростей внутренних усилий при выполнении условий равновесия (2) и условий пластичности (16).

K(S) = Г - STDS dV (3)

V 2

K(S') = rain K(S) Такая задача с ограничениями может быть заменена задачей о

безусловной минимизации. Учтя в Функционале (3) с помощью множителей Лагранжа ограничения, заложенные q условиях равновесия и пластичности, получим его следующий аналог, представляющий собой смешанный функционал типа Рейснера.

R(S, u, X) « Д STDS - STBu + i-f^-S - *(S))]dV + JPTudr (4)

«(S) - индикаторная функция:

f 0. если Ф(Б) = О 3t(S) = U если ФСБ) <0 (5)

Седловая точка этого Функционала, определяемая как минимум по S и_максимум по и и Х>0, соответствует действительным значениям S*. u*, X*. причем а должно быть согласовано с условиями закрепления.

R(S*,u*, X*) « m£n majt)0R(S,u, х)

Такая формулировка задачи была впервые приложена в работах Рево А.О. и Савранского В. В.

Приведенный выше Фукционал позволяет описывать изменение напряжСнно-дсформированного состояния в малой окрестности некоторого заданного состояния, согласованного с условием пластического течения. В связи с этим, стало необходимым увеличить эту окрестность до конечных размеров. Существенную роль для решения этой проблемы играет принцип Хаара-Кармана, по которому действительные внутренние усилия обладают минимальной внутренней энергией, при соблюдении условий равновесия и пластичности. Доказательство этого принципа при условии отсутствия разгрузки после появления пластических деформаций дано Гринбергом.

Перейдем, применяя принцип Хаара-Кармана, от задачи поставленной относительно скоростей деформации и усилий (4) к задаче с конечными значениями исследуемых параметров. Пусть АР^ PAt конечно и не мало. Тогда Au=uAt, AS=SAt, Дх=хД1 и Ф(S) -> ®(S«AS). Умножая каждый из параметров функционала (4) на At, получим:

R(AS,Ди,Дх) = ГГ -ASTDAS - ДЗтВДи + ДхФ^ЛЗЛм « |'ЛРтДш1Г (6) (J L 2 J I1

Теперь построим дискретный аналог Функционала (0), взяв за основу метод конечных элементов (МКЗ). Представим объем конструкции V как объединение непересекающихся объемов Vk (К - 1,2.....п)

ий- набор узловых перемещений. Тогда V(xH>Ux)u, где М(х) - оператор интерполяции ( как правило М(х) - линейный оператор); х -координаты точек конструкции. Обобщенные внутренние усилия апп-

роксимируются локальными для каждого элемента наборами Бк- В простейшем случае принимают, что аппроксимация постоянна по элементу, то есть Б(х)=5к, х Ук. В более сложных случаях, также как для перемещений, задаются некоторой интерполяцией Б(х)=Т(х)5к. В такой постановке задачи получают непрерывность перемещений в узловых точках конструкции и дискретность для усилий при переходе от элемента к элементу. При сделанных предположениях и аппроксимациях запишем Функционал (С) в эквивалентной форме.

(7)

R(S.u,X) = \ J^HA -J^M Sk) + PTu

где - внутренние усилия к началу этапа нагружения, к - индекс элемента, п - число элементов. Здесь прсдпологастся, что все результаты интегрирования интерполяционных функций содержатся в самих матрицах D* и t^.

Далее решение задачи в рамках МКЭ состоит в определении седловой точки функционала (7) для переменных и - глобальных для всей системы и Sk, \ - локальных для одного элемента.

R(S*, u*, X*) = m^n ma¡< R(S, u.X)

OR

Из условия = 0 получаем неявное уравнение ÜS

D^ - BkU + Xk ' Sk) - 0, k - 1.2.....п (В)

В случае, когда Ф - линейный оператор, уравнение (В) решается относительно Бц. В более общем случае считаем итерационной последовательностью S¿, J - 1,2,... и уравнение (0) запишем в следующем виде:

S¿u= Ck ( М1*-1 h 4 ^ ). К = 1.2.....П (9)

иЬц

где С^ = - матрица упругости элемента

0R

Далее сформулировав задачу —— = 0, получим уравнение

ии

-SJBk + Рт= О

Подставив в него (9) придем к канонической форме метода конечных элементов с дополнительным слагаемым в правой части:

Ku - Р + ДР (10)

»- А« * " ^

где К = 2 Bj Dk - матрица жесткости всей системы

Теперь для определения X, остается решить задачу о нахож-дсниии максимума функционала (7) по Х>0 . Для этого будем строить итерационную последовательность, используя метод положительной проекции градиента.

Обозначим через S)H, ии 1 решения уравнений (9).и (10). Применяя общую формулу градиентного метода, запишем:

Xй1 - (х1 + tV)« (12)

где ( )+ - оператор положительного проектирования. ß1 - направление скорейшего возрастания, для которого можно записать:

R,M - - Ф(Б" < S,n) (13)

JX

т1 - положительный шаговый множитель, определяемый из условия максимума по 1)0 разложения Функционала R(x' »t'ß1) в ряд Тейлора до членов второго порядка включительно.

. , . , OR(x') , , 1 О1' Rix1) , , ...

R(X + tV ) = R(XJ) + —- tV + - ——-— (tV) rnax (¡4)

uX 2 üX t)0

3R

Тогда, используя условие ■= 0 определим:

Полученные уравнения (9) - (15) являются основой для решения задачи упроуго-идсальнопластического течения в общем виде. Запишем эти уравнения применительно к задачам анализа плоских шарнирных и балочных стержневых систем методом коночных элементов (МКЭ).

Шарнирный стержневой элемент является простейшим конечным элементом, который может воспринимать только сжимающие или растягивающие усилия. Несущую способность сечения такого элемента характеризует продельное нормальное усилие NT. В этом случае условие пластичности для шарнирного элемента будет иметь такой вид:

®(N)= N - NT < 0 (20)

Запишем уравнения (9) - (15) применительно к шарнирным стержневым системам, подставляя в них условие (20). Для простоты, идекс элемента к будем оставлять только там где он необходим.

Ku141 = Р + ДР| ДР'»2 Й EkFk (21а>

K^l

N,n= EF (j Bu,n - X1)

(216)

- 1Ü -

х-, (х' «I»

Для балочных стержневых систем примем следующие допущения. Основным усилием, вызывающим пластические деформации, является изгибающий момент И,. Сечения элементов таких систем имеют идеальную форму, поэтому пластическое течение в нем наступает одновременно по всей площади. Условие пластичности для балочного элемента имеет вид:

Ф(М)= М - Мг < 0 (22)

Подставив условие (22) в уравнения (9) - (15),запишем решение задачи упруго-идеальнопластического точения для балочных стсржнсвых систем.

!(ии1= Р + АР,1 АР'-.Е.Вк Ек 1к Хц (23а)

К -1

М,м- Е1 (В и141 - X1) (236)

/ , м" + MtM- NL г

+ -ЁТ- U (23В)

Па основе полученных уравнений разработан алгоритм и программа для расчета стержневых систем, претерпевающих пластические деформации, но но достигших полного пластического разрушения. Следует отмстить, что разработанный алгоритм и программа являются высокоэффективным численным методом расчета. Этот метод оперирует с единой исходной глобальной матрицей жесткости и не требует решения задачи о шаговом нагруженни. На основе принципа Хаара-Кар-мана задача решается на конечную нагрузку. Для описанного выше алгоритма не нужен какой-либо пересмотр хорошо зарекомендовавшего себя MIO. Незначительные его усложнения связаны с итерационным процессом, который сопровождается вполне приемлемым увеличением трудоемкости вычислений по сравнению с задачами для упругих систем.

В третьей главе описывается метод, позволяющий производить анализ конструкций со сложными пластическими свойствами материала. Предлагаемый метод базируется на решении задачи идеальной пластичности, которая адаптирована для метода коночных элементов (МКЭ).Сложные свойства материала моделируются с помощью мультиэ-лементов. Эти в свою очередь означает, что несколько однотипных элементов с различными физико-механическими свойствами размещают-

ся в одинаковых узлах. Каждый элемент в мультиэлсментс подчиняется закону упруго-идеальнопластического течения. Поскольку свойства элементов различны, то при нагружении конструкции происходит постепенное их выключение (переход в пластическое состояние) из созданного набора, что позволяет моделировать самые различные свойства материалов.

Опишем простейший мультиэлемент, моделирующий диаграмму, состоящую из двух наклонных участкиь (рис.16). Он состоит из двух стержневых элементов между двумя одинаковыми узлаш и показан на рис.1а. Эти два элемента имеют различную продольную жесткость Б! и Е>г и так/же различные пределы текучести 5Т1 > 5тг. Диаграммы поведения каждого элемента представлены на рис.1в. При их совместном деформировании на величину с (а деформирование всегда будет совместным п силу общности узлов) в элементах возникнут усилия Б^Б^е Первоначальная жесткость мультиэлемента раина суммарной жесткости +0г и суммарное усилие Э-й, =0е. Такое состояние сохраняется пока деформация не превосходит положение, соответствующее пределу текучести первого элемента с<е;1 . В точке а, 'когда усилие в первом элементе достигнет предела текучести =Бп и пока с<с,,, жесткость мультиэлемента будет определяться только вторым элементом 0=0». При этом суммарное усилие равно 5=5а +БТ, и будет достигнута деформация е--5/0. Из представленных диаграмм очевидно, что при разгрузке в любой стадии жесткость мультиэлемента будет равна его начальной жесткости, и линия разгрузки и преследующего нагружения пойдет параллельно первоначальному нагружению. В точке Ь в состояние пластичности переходит и второй элемент. Поэтому мультиэлемент переходит весь в состояние пластичности с суммарным усилием Б-Б-п "Зр,..

Таким образом, используя набор упруго-идеальнопластических элементов с различными физико-механическими характеристиками можно моделировать нелинейные диаграммы поведения материала. Основным условием для реализации предложенного метода является обеспечение совместности деформирования элементов, составляющих мультиэлемент. Как будет показано выше, применение мультиэлсментов позволяет описывать самые различные диаграммы и открывает новые пути в решении нелинейных задач.

Проиллюстрируем некоторые возможности мультиэлементиого подхода. Поведение мультиэлемента, рассмотренного выше подобно поведению образца из упрочняющегося упругопластического материала. Только для образца диаграмма деформировании представляет собою плавную кривую, тогда как для мультиэлемента, содержащего ко-

ночное число стержней, эта диаграмма будет ломаной.Чем больше будет число элементов в мультиэлсменте, тем точнее будет модель упрочняющегося материала.

Приведенный ниже пример и определенной степени можно назвать необычным, поскольку используется в качестве составляющего элемент с отрицательной жесткостью. Показанный на рис.2 мультиэ-лемент состоит из четырех элементов и описывает три стадии деформирования. Первая стадия упругая до точки а. Только два первых элемента определяют суммарную жесткость мультиэлемента, если конечно, принять (!), тогда 0-0, Вплоть до точки Ь элементы 3 и 4 взаимно исключают друг друга. В точке а первый элемент становится пластичным и только второй элемент определяет жесткость мультиэлемента. В точке Ь в пластическое состояние переходят сразу два элемента - 2 и 3, поэтому только четвертый элемент определяет жесткость мультиэлемента. Таким образом описано поведение затвердевающего материала.

Следующий пример аналогичен предыдущему, только вместо затвердевания моделирует разупрочнение. Составляющие диаграммы трех элементов показаны на рис.3. В этом элементе начальная стадия деформирования полностью упругая с общей жесткостью 0=0! +02 где жесткость второго элемента учтена с обратным знаком. Следующая стадия есть разупрочнение из-за пластичности первого элемента и условия, что [);. >0;1. В этой стадии при общем отрицательном касательном модуле для мультиэлемента потенциал деформаций остается положительным. В точке Ь только третий элемент остается в упругом состоянии, который определяет последующее поведение мультиэлемента.

Если построить мультиэлемепт со свойствами, показанными на рис.4, то можно получить модель упрочняющегося материала с площадкой текучести. Как видно из рисунка, для этого п мультиэлсменте должно быть как минимум три элемента.

Если принять, что внутреннее усилие в одном элементе может быть меньше или равно нулю, а во втором больше или равно нулю, то в результате можно получить разноыодульный материал (рис5).

При задании жесткости одного из элементов положительной, а второго точно такой же, но отрицательной, и учитывая, что предел текучести первого элемента больше по абсолютной величине предела текучести второго, можно получить мультиэлемепт, моделирующий возникновение контакта (рис.6).

Элемент, в котором один из пределов текучести равен нулю, может эффективно применяться для анализа конструкций с односто-

- -

ранними связями (рис.7).

Очевидно, что рассмотренные примеры не ограничивают применимость предложенного метода. По мнению автора, дальнейшие исследования в этом направлении могут принести много интересных результатов.

П четвертой главе предлагается в сочетании с методом муль-тиэлементного моделирования алгоритм и программа определения напряженного состояния в ссчениии изгибаемого элемента со сложными Физнко-механическими свойствами материала при различных уровнях деформаций.

В рамных системах преобладающим видом деформаций являются изгибные деформации. Поэтому, чтобы расчетным путем проследить за развитием пластических деформаций, необходимо лишь знать зависимость между изгибающим моментом и кривизной в сечении каждого элемента. Решение такой задачи, когда сечение изгибаемого элемента симметрично, а зависимость напряжения - деформации достаточно проста и одинакова для растягивающих и сжимающих напряжений, не представляет трудностей и может быть получено аналитически. В случае же. ' когда сечение элемента состоит из нескольких материалов (например железобетон) со сложным видом диаграммы (б-е) и с различными механическими характеристиками на растяжение и сжатие, возникают определение трудности, связанные с интегрированием при вычислении исследуемых параметров. Решению этой проблемы посве-щена настоящая глава. Здесь задача решается путСм замены интегрирования численным суммированием.

Проанализируем поведение сечения изгибаемого элемента на различных стадиях деформированния на основе зависимостей (6-е),характеризующих состояние отдельных частой сечения. Для этого представим сечение изгибаемого элемента в виде совокупности слоео. В пределах высоты слоя распределение напряжений будем считать равномерным. При достаточно большом числе слоев п это допущение существенно не повлияет на результаты расчета. Каждый слой сечения представляет собой мультиэлемент, моделирующий диаграмму (б-е) для заданного материала. Количество элементов, составляющих мультиэлемент, определяется сложностью диаграммы (б-е) и нредпо-логаемой точностью расчета.

Деформации слоев связаны гипотезой плоских сечений, моложенной в основу предлагаемого алгоритма.

е = р 'х (24)

где с - относительная деформация

р"1 - кривизна изогнутой оси элемента

х - расстояние до нейтральной оси Приняв о первой приближении х - Ь/2, определим пользуясь гипотезой плоских сечений (24) величину относительной деформации слоя 1.

с, - р_| (у, - х) (25)

где у,- расстояние до середины слоя.

Далее, зная деформации и пользуясь методом мультиэлсмента, можно определить напряжение С, и нормальное усилие в слое.

к

б, - Е е, Е, (26)

где Е, - модули упругости в элементах мультиэлсмента к - число элементов, составляющих мультиэлсмент.

И, = 6, I', (27)

Р, - площадь сечения слоя. Таким образом, осуществляя последовательный перебор всех слоСв сечения, определим возникающие в них напряжения и усилия от заданной кривизны.

Для действительного напряженного состояния в сечении изгибаемого элемента должно выполняться условие равновесия.

.2. N. = 0 (28)

где п - число слоев в сечении.

Если же оно не выполняется, то необходимо изменить положение нейтральной оси.

х = х + Л (30)

где Д - заданный шаг, определяющий новое положение нейтральной оси, знак которого зависит от знака Ц\14.

если Щ >0, то Д > 0 (31. а)

если <0, то Д < 0 (31.6)

Затем весь процесс повторяется заново. Критерием окончания процесса последовательного перебора слоев, является изменение знака ЭЧ,.

НС1* ^N1' < 0 (32)

И наконец, зная усилия возникающие в слоях сечения, можно определить изгибающий момент, соответствующий заданному деформированному состоянию.

М - £ Г<, (у, - х) (33)

Па основе рассмотренного алгоритма разработана программа, позволяющая производить анализ напряженного состояния в ссчении изгибаемого железобетонного элемента. Программа позволяет расчи-

тывать ссчсния прямоугольной формы с арматурой в растянутой и в сжатой зонах бетона.

Для оценки точности по разработанной программе проведен расчет сечений двух железобетонных балок, экспериментально исследованных в работе Осама А.Д. В результате расчета для исследуемых сечений определены зависимости изгибающего момента от кривизны, а так^же эпюры нормальных напряжений при различных уровнях деформаций. Результаты хорошо согласуются с известными представлениями о работе изгибаемых железобетонных элементов. Анализ этих результатов показал, что разработанный алгоритм и программа позволяют с достаточной для практических целей точностью определять напряженно-деформированное состояние в сечении изгибаемого элемента. Отклонения от эксперимента не превышают О"..

В пятой главе приводятся результаты исследований перераспределения усилий в двух железобетонных статически неопределимых рамах, полученные с помощью разработанных программ.

В качество первого примера для проверки точности алгоритмов положенных в основу разработанных программ проведен расчет П-об-разной статически неопределимой монолитной железобетонной рамы, экспериментально исследованной в работе Юсупова А.Р. Раму нагружали двумя сосредоточенными поэтапно возрастающими силами, дейс^, твующими в третьях пролета ригеля. Расчет состоял из двух этапов. На первом, на основе экспериментальных диаграмм деформирования бетона и арматуры, моделиремых мультиэлсмснтаии, определены зависимости момент-кривизна для сечений ригеля и стоек. На втором этапе, используя полученные зависимости, также моделируемые муль-тиэлсментами. проведен упруго-пластический расчет исследуемой рамы. Результаты расчета представлены в таб.1.

Анализ полученных результатов свидетельствует, что расчет по разработанным программам достаточно точно отражает действительную работу железобетонных стержневых систем. Отклонения расчетных моментов от их экспериментальных значений не превышают 14/.

В качестве второго примера произведен расчет многоэтажной железобетонной рамы с жесткими узлами сопряжения колонн и ригелей. Целью настоящего исследования явилось выявление влияния на перераспределение усилжи развитие деформации характера армирования конструкций при различных уровнях пнешней нагрузки п сложных стержневых системах.

Рама запроектирована из расчета упругой системы под сплошную равномерно распределенную нагрузку интенснпностью 70 к11/м. ЕС расчет проведен на действие двух уровней равномерно распределен-

Таблица 1.

Изгибающие моменты и узлах рамы.

Иагр. Изгибающие моменты Отклонения от результатов в 7.

в узлах.

Р, к11 м. К11М эксперимента расч. упруг.сис

уз. 1 уз. 2 уз. 3

уз. 1 уз. 2 уз. 3 уз. 1 уз. 2 уз. 3

42.2 3.47 -3.90 12.00 7. 2 14.0 9. 4 134 22. 3 11.4

54.1 3.06 -5. 40 16.00 В 1 6 В 1 4 104 33 5 0 4

Расчет 63.2 4.15 -6.00 19. 01 9.2 7.4 2.5 07. 0 27. 2 6.9

по 72.2 4.43 -6. 69 21. 90 11 0 10 4 3. 7 75 1 22 Ь Ь. 7

прог- 02.2 4.74 -7. 36 25. 20 12.0 10. 2 3. 5 64. 6 10. 5 4.7

рамме 92.4 5.30 -0. 77 20.00 5 4 1.7 0. 1 64 1 25. 6 6. 1

103.0 6.90 -12.62 20. 00 13 1 2. 3 1.0 91, 7 62.0 15. Н

107.5 7.05 -14.27 20.00 12 1 7. 9 1.0 ЮН 75. 5 19.3

110.5 8.36 -15.50 20.00 7. 1 9.9 4.3 116 05. 6 21.5

42.2 3.74 -3.42 13. 43 152 7.2 2. 1

54. 1 4. 20 -5. 12 16. 22 122 25. 2 7.2

03. 2 4.57 -5. 66 19. 50 106 10.4 4.5

Экспе- 72. 2 4. 90 -6.06 22. 82 96. 0 11.0 2.1

римент 02.2 5.30 -6. 60 26.20 60. 0 7.6 1.3

92.4 5.60 -0. 92 20. 04 73.4 27.0 6.0

103.0 6. 10 -12.92 20.20 69. 5 65. 9 15.0

107.5 7.00 -15.50 20. 20 26.04 06, 2 90. 7 10.5

110.5 9.00 -17.20 132 105 24.0

42.2 1.40 -3. 19 13. СЗ 60 4 6.7 2. 1 7.7

54.1 1.09 -4.09 17. 47 55, 0 20. 1

Расчет 63.2 2.21 -4.70 20. 41 51. (! 15.5 4.7

упругой 72.2 2.53 -5. 46 23. 31 49.2 9. 9 2. 1

системы 02.2 2.00 -6.21 26. 54 41). 5 7.0 1.3

92.4 3.23 -6.90 29. 03 42 3 21. 7 6. 4

103.0 3.60 -7.79 33.20 41.0 39. 7 17.6

107.5 3.76 -0.13 34. 71 40. 3 47.5 22. 7 -- -- --

110.5 3.07 -0.35 35. 60 57.0 51.5 32. 9 — ---

уз.1 - опорный узел рамы

уз.2 - узел сопряжении ригеля и стойки

уз.З - середина ригеля

ной нагрузки. Величина первого рапна 50 кН/м, что примерно соответствует нормативному значению постоянной и временной нагрузки и отвечает эксплуатационной стадии работы рамы. Величина второго равна 75 к11/м. Эта нагрузка превышает расчетную п соответствует третьей стадии распределения усилий,• т.е. образованию пластических шарниров.

Для выявления влияния армирования конструкций на перерасп-редсленние усилий в расчетах использовано две схемы армирования ригеля. По первой схеме распределение продольной арматуры в опорных и пролетном сечениях принято в соответствии с расчетом упругой системы. По второй принято равномерное распределение, т. е. общее количество арматуры по упругому расчету размещено поровну между опорными и пролетным сечениями.

l'J '

Результаты расчета позволили выявить следующее:

-при нагрузке 50 кН/м перераспределение изгибающих моментов в опорах ригелей при армировании ригелей по первой схеме колеблется от '1 до 237. в крайних и достигает 2/ в среднем пролетах. Во втором случае (равномерное армирование) изменение усилий п крайних пролетах практически но изменилось и колеблется от 2 до Z21. тогда как и среднем пролСто ужо больше н достигает 12/.

-при нагрузке 75 к11/'м в первом случае отклонение опорных моментов от результатов упругого расчета колеблется от 1 до 247. в крайних и достигает 117. в среднем пролетах. Во втором изменение составляет 1 - 29Х в крайних и 107. в среднем" пролетах.

Программа с помощью которой производился расчет исследуемой рамы, позволяет определять предельную нагрузку с точностью до 107. Для обеих схем армирования было получено одно и то же значение предельной нагрузки - 81 кН/м. Таким образом, учйт пластических свойств позволил вскрыть 167. запас прочности. Одинаковое значение предельной нагрузки для обеих схем армирования подтверждает известный факт, что несущая способность железобетонных конструкций не зависит от характера армирования.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан численный метод анализа упруго-пластических стержневых систем. Предложенный метод базируется на решении задачи упруго-идеальнопластического течения. ЕС решение основано на коночноэлсмснтной аппроксимации смешанного Функционала тина Рейс-нора и применении принципа Хаара-Кармана.

2. Разработанный метод реализован в виде программы на языке FORTRAN 77. Программа работает с единой исходной матрицей жесткости и позволяет производить расчет на конечную нагрузку.

3. Предложен метод мультиэлементного моделировании, позволяющий производить анализ конструкций с учетом сложных Физико-механических свойств материала. Для его применения достаточно иметь надежную реализацию задачи идеальной пластичности. При этом в расчетной схеме сохраняется то же число узлов, лишь увеличивается число элементов. В качество примеров, приведены мультиолементы, моделирующие различной сложности нелинейные диаграммы поведения материала.

•1. Разработан алгоритм и программа численного моделирования напряженно-деформированного состояния в сечении изгибаемого элемента, состоящего из различных материалов, с учетом их реальных

свойств.

5. Для оценки точности предложенных методов, с помощью разработанных программ, проведены расчеты экспериментально исследованных конструкций. Расчеты показали близкое совпадение с результатами экспериметов, что позволило сделать вывод о возможности использования предложенных программ для расчета статически неопределимых стержневых систем с учетом неупругих свойств материала.

6. Проведенный расчет многоэтажной железобетонной рамы, направленный на выявление влияния характера армирования конструкций на перераспределение усилий показал, что изменение и широких пределах армирования ригелей не приводит к значительным отклонениям усилий в данной рамс от результатов расчета упругой системы.

Основные положения диссертации опубликованы в работе: Проценко Л.М., Лифанов Г. В. Расчет конструкций со сложными свойствами материала методом конечных элементов. -М., 1995. -7с. -Рукопись представлена Московским Государственным строительным университетом. Деп. во ВИИИНТПИ 09.11.95. No 11560.