автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численное решение задач для осесимметрично-нагруженных упруго-идеальнопластических оболочек вращения методом конечных элементов

На правах рукописи

Численное решение задач для осесимметрнчно-нагружсннмх уируго-вдеальнопластичесшос оболочек вращения методом конечных элементов

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат,

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

москва 1995

Работа выполнена в Московском государственном строительном университет! на кафедре строительная механика. >

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор ПРОЦЕНКО А.М.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор технических наук , профессор БЕЛЫЙ М.В.

кандидат технических наук , старший научный сотрудник ТРУШИН С.И.

Защита состоится " ^¿/¿йХМ, 1995 г. в час. "ОО' мин. на к седании диссертационного Совета Д. 053.11.02 в Московском Государственно строительном университете по адресу: г. Москва, Шлюзовая набережная, д. 1 ауд. 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского госуда! ственного строительного университета.

Автореферат разослан 1995 г. .

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: НИИЖБ

Ученый секретарь диссертационного Совета профессор, доктор технических наук

Шаблинский Г.Э.

Общая характеристика

Актуальность теми. Тонкостенные пространственные конструкции тшм оболочек вращения находят широкое применение в различных областях современной техники. Они применяются в строительных конструкциях, в ма-штюстросшш я мношх других областях народного хозяйства. Интенсивный рост современного производства ставит проблемы повышения эффективности капиталовложения и, как следствие снижение, материалоемкости'сооружений и их сгоимости.Одним из важных факторов достижения эпос целей является максимально полное использование ресурсов прочности конструкций и учет реального поведения материла,и части ос г и учет пластических деформации .

Применение тонкостенных конструкций тина оболочек вращении работающих в пластической стадии является одним из перспективных направлений решения данной проблемы и одним из наиболее важных направлений науки о прочности.

Вопросы расчета оболочек с учетом пластических деформаций с применением различных моделей представлены недостаточно. Аналитическое решение можно получить только для простейших задач. Потребность в создании и совершенствовании новых, более прогрессивных численных методов для расчета упруго-пластических оболочек вращения, базирующихся на использовании современных вычислительных машин, позволяющих достигнуть повышение экономичности различных тонкостенных конструкций, обладающих универсальностью но отношению к широким классам конструкций, регулярность в получении решений и высокой экономичности оставляют проблемы их раз-

работки в центре внимания исследователей и являются составной частью решаемых в настоящее время технико-экономических проблем.

Указанные выше обстоятельства определяют актуальность выбранной для исследования темы.

В работе на основе подхода предложенного А.М.Проценко реализована • вариационная постановка расчета упруго-идеальнопластических оболочек' вращения на осссимметричную нагрузку с использованием модели Юфхгофа-Лява и модели Тимошенко. '

Цель работы. Разработка и реализация на ЭВМ алгоритма численного решения задач для осесимметричного деформирования упруго-идеально пластических оболочек вращения с учетом и без учета поперечного сдвига. Проведение исследования процесса образования и развития пластических деформаций, остаточных перемещений и усилий после процесса разгрузки. Сравнение результатов полученных с помощью классической теории (модель Кирхгофа-Лява) и теории с учетом поперечного сдвига (модель Тимошенко).

Научная /юпизпл. Новыми в диссертационной работе являются - алгоритм определения напряженно-деформированного состояния осссимметрично нагруженных упруго-идеальнопластических оболочек вращения, основанный на конечно-элементной аппроксимации смешанного конечного принципа Ха-ара-Кармана, позволяющего в рамках теории течения осуществлять расчет конечными приращениями нагрузки. - результаты численного решения модельных задач в процессе нагружения за пределами упругости и процессе разгрузки.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов определяется их совпадением с известными результатами в упругом состоянии (в первом приближении) , корректной математической постановки задачи и совпадением результатов полученных с помощью моделей Кирхгофа-Лява и Тимошенко после устранения явления заклинивания (locking).

Заключается в том, что предложенный метод может быть применен для распета "широкого""класса осесимметркчного деформирования оболочек вращения с учетом пластических деформаций и леформашгй поперечного сдвига с гюзмокностыо использования разработанной программы з научно-исследовательской и инженерной пракыкс.

Дпр_о0аш1я_!)пууть!. Основные вопросы и научные результаты докладывались и обсуждались на научно-технической конферемц:::: У. Г СУ Cl>52 t.i.

11л литту ;»милс<ггся ысЮиНАй численного решения поставленной задачи с основными зависимостями осесимметричного деформирования упруго-идеальнопластических оболочек вращения а вариационной постановке н конечно-элементной аппроксимации для модели Кнрхгофа-Ляса и модели Тимошенко. Результаты численного решения модельных задач на оспорь уктглг-

>\í'atkck судк-ка.;.п: дисситлаии

мулирована цель работы и научная новизна и приведено краткое содержание всех глав диссертации п основные результаты, формулируют*-« т'сс;,-.-

В г.ерччй л.v«c про ;алгсс]: днтсрыури посвященный постросшпо самых распространенных моделей теории оболочек: классическая теория (модель Кирхгова Лява) и теория с учетом поперечного сдвига (модель Тимошенко). Дан обзор проблем рассчета тонких оболочек.

Большое внимание уделено проблеме расчета тонких оболочек с учетом поперечного сдвига методом конечных элементов при использовании линейных аппроксимаций для полей неизвестных перемещений, дан детальный обзор касающийся явлений заклинивания (locking) и известные способы и приемы устранения этого явления.

В настоящее время большую актуальность приобрела теория расчета тонкостенных конструкций. Конкретные задачи этой теории отвечают непосредственно запросам самых разнообразных областей инженерной практики. Среди тонкостенных конструкций большое место занимают конструкции типа оболочек вращения, широко применяемые в гражданском и промышленном строительстве. В связи с практической необходимостью и стремлением использовать в полной мере прочностные свойства материалов и несущую способность оболочек, часто возникает необходимость их расчета с учетом работы материалов за пределами упругости.

Среди работ посвященных исследованию упруго-пластических пластин и оболочек целесообразно выделить два основных направления: первое направление основывается на теории упруго-пластических деформаций предложенная А.Надаи и Г.Генки, в дальнейшем зта теория была значительно развита и приложена к многочисленным задачам в работах А.А.Илыошина, дальнейшее развитие теории малых упруго-платических деформаций применительно к расчету пластин и оболочек можно проследить в работах П.М.Огибалова, В.М.Панферова, И.С.Цуркова, Е.Б.Горбачева, Р.А.Межлумя-на, Л.Г.Смирнова н др.

В настоящее время значительный интерес проявляется к анализу задач для упруго-пластических оболочек с позиций теорий упруго-пластического течения типа Праидгяз-Рейса, учитывающих историю нагружешм. Эта теория лежит в основе второго направления, где в последние годы все большее применение находят методы расчета, основанные на экстремальных принципа:-;..

В рамках теории течения при определенных предположениях разработаны конечные экстремальные теоремы, теоретическое исследование которых выполнялось А.Хааром, Т.Карманом, В.Прагером, А.Койтером, А.М.Проценко и др., представляют собой основу для разработки методов расчета, которыми можно производить конечными приращениями нагрузки, а при некоторых допущениях сразу на полную нагрузку. Эти теоремы применяются при пропорциональном нагружешш и отсутствии местной разгрузки. Для сплошного тела эффективный подход разработан А.М.Проценко на основе предложенного им принципа минимума упругого потенциала самонапряжения.

В работе разработан алгоритм пошагового решения осесимметрично нагруженных упруго-идеально пластических оболочек вращения на основе принципа Хаара-Кармана, позволяющего решить задачу теории течении конечным;) приращениями нагрузки с достаточно большой точное!

J'o ешорвй глаес приводится вариационная посиновка задачи в рамка;, теории точении н ее аппроксимация конечным принципом Хаара-Кармана, !ю;чюлл10ш.им использовать пошаговое решение задачи в конечных прпрашс-";'.:<:„. Будем считать, что оболочка занимает ограниченную поверхность А, s £ А координаты точек на меридиане оболочки. VT(s) (u,w,o) - векчерпое "o.ic nepe.v.t4u:ii!f:"! ',:,•:< точ.'к. -ян перемещения визыкаюг обобщенные деформации S(s) = В - V(s), где вектор ST(s) = (£,,'£,,Х,.Х»00. и обобщенные внутренние усилия qT(s) = (N..N,,M,,M,.Q). Дпя малых В -

линейны» дифференциальны;'! оператор первого порядка для мод?чм Т:**.:о-шечке (z учетом поперечного едки га) и второго лорчдкг для мкде.н: Кир.мс-(¡ia-Jbi»a (к.чаеснчсская ¡еория).

Для оболочек из материала, обладающего идеально-пластическими свойствами, условие пластичности представляется в виде неравенства <I>(q)<0, где Ф - выпуклая функция. В частносж условие пластичности

п

I

Мизиса для элементарного объема оболочки в виде конечного соотношения между усилиями и моментами будет:

Ф(Г1) к -*—+ —-г_—-1 ^ о

п/ т,

с.Ь2

где п, = с,», ш, = '

о, - предел текучести;

к - толщина оболочки.

Теперь запишем закон вдсалыю-пласпмсского течения, ассощшрован-ного с условием пластичности

с*1

ч - :£ 0; Ч - хСч)) = 0

0, ее ли Ф(д) - 0

■/(а)

[со, С С ли Ф(ч) < О

С = О'1 - оператор податливлости, где О - матрица упругости;

X - неопределенный множитель,

здесь точкой сверху обозначены скорости обобщенных сил и деформации.

♦

Пусть для заданной нагрузки Р известны V, я и необходимо

определить V н Тогда да! р' = Р + Ч Ар получим, отбросив члены порядка до (Др)3, что V' = V + УДр; ч' = Ч + фЦ; Ф(ч') < 0.

Эта задача соответствует функционалу типа Рейснара для упругих систем:

1чтСч - ЧТВУ + рту - х(ч)

ал

Седловая точка этого функционала определяется как минимум по 4 и макси-Л1\м по V н X > 0, ппотем V должно удомстворгпъ кинематическим граничным условиям.

' С помощью принципа Хаара-Кармапа г/о;аю перейти к конечным при-. 'ДОдаШм оС&лцспиих псрсмслгсп.мй и жгру";0':- Считпс*. что др кон-чнп ч немало, тохда. аоиоры обобщенных сил и перемещений получают к.жечш.г^ приращения ,^11 АУ, при которых должш лыполнлтьел услосия плааич-

'1'(ч Дч) ^ 0, тогда денегшггелъпые пестгра Ас^.^^'.ЛХ* достигают» р ючке (мшпгмум по Дq и Максимум по ДУ и &\>0) для функинп-

наня;

R(Aq,AV,AX) = J

i AqTCAq - AqTBAV + ДРТДУ + AXO(q + Aq)

а .

R(Aq*,AV,AX) S R(Aq*,AV*,A?.*) s R(Aq, AV*, AV) li третьей главе на основании смешанного конечного принципа Хаара-

Кармана строится алгор!ггм решения поставленной задачи, где рассматривается пропорцкенгл.ттое нагруженне, состоящее гл этапов п^п'-дог-лтелмюго ирилехскшг исгрузкм. В качестве мстодл дискрет! панк и смбир.^сл мсг<п ю-ь_д!ь!х элементов.

Рязлсл!;.\! среднюю поверхность оболочки на Конечное '¡нею кольцевых элементов п и наОср узловых перемещений V, тогда П (s)~F(s)V где F (s) - оператор интерполяции;

S (s) - дожила обеспечивать непрерывную дчфферннцнруемость. Обобщенные внутренние усилия и пластические множители аппроксимируются локальньши для каждого конечного элемента наборами Aqui и &Хи]. Спроектируя функционал Хяарл-Кармана на дискретную модель и интегрируя по длине конечного элемента, получим:

j n m п га

Rh = ôXSSajAqljC^q^jAS« IВ««^^^« +

a j а j

п m

+ДР AV|, + ga^aj Ф(Чсд + Aqai) (I) .

a j

где goj - вес точки конечного элемента;

а.) - соответственно индексы элементов;

dA

п - число элементов; ш г число точек Гаусса. '

Задача состоит в определении седловой точки этого функционала для переменных ДУ„ - глобальных для всей оболочки и Дч^.ДХ^ - локальных для каждого элемента.

Ищем седловую точку по локальной переменной Aqaj. Из условия

тп а о

получаем: *

садЧч) - в^дУь + &ха} = 0 <2)

Реши» уравнение (2) итерационно относительно Дч^, получим:

- Ра(в„ДУ, - ДХ„ а = 1.пи3- = 1,т (3)

Подстановка (3) в (1) даст функционал Ь*, зависящий только от ДУК и бХ^

Т- ^^ Го лХ/ л, ^ЧЧ+ЛЧ^^П Гр .V А1 АС /«

Ь -ДА, ^ | -АД, ^

+дртду„ + £ ¿в^ ф(ч„ + ¿ч})«^. (4)

« J

и следует найти его экстремальное значение при переменных ДУ,, и ДХЧ- ^0. Из условия

Получаем каноническую формулу метода конечных элементов с дополнительными слагаемыми в правой части:

от яд. .

КДУь^ДР + ЕХв^В^-^-г^ (5)

где к - матрица жесткости оболочки. \

Решая эту систему уравнений итерационно, находим ДУ£+1..

Остается решить задачу о максимуме функции Я^Дд^'.ДУ^'.ДЯ^) по ДХ^ ¿0. Для этого применив градиентный метод, получим направление скорейшего возрастания:

I

¿(АХ«,) тогда:

Д^1 = ДЛк„ +уФ(чц( + Дч£1) где у а 0 - шаг, который выбирается различными способами. Здесь применяем задачу минимизации вдоль направления скорейшего возрастания. Из условия

получим:

ГгаФ(д«+АО

У =

При решении системы уравнений (5) сохраним факторизующие сомно-х<ителн К=ЬТЬ (по Холецкому), где для каждой итерации потребуется только реализация обратного хода, это существенно улучшает временные характеристики итерационного процесса.

В четвертой &гаег на отдельных примерах представлены численные исследования ряда конкретных задач. Выполнены расчеты с тестированием алгоритма, анализом напряженного деформированного состояния рассмотренных оболочек вращения и сравнением результатов полученных по классической теории и с литературными данными с одной стороны и с результатами, полученными по модели Тимошенко с другой. Рассмотрено влияние дефор-мацнй поперечного сдвига, явление заклинивания и приемы его устранения, процесс появления и развития зон пластических деформаций, влияние снятия нагрузки (разгрузка после предварительного пластического деформирования), а также повторного нагружения и разгрузки. Численные решения задачи представлены в виде графиков и таблиц.

Q

дятг&хякяи

V 2

Рис. 1.1

В первом примере исследовано Н.Д.С. короткой- циллиндрической оболочки под действием радиальной распределенной краевой нагрузки на свободном крае оболочки при следующих исходных данных h=0,0254 см, Q=0,1786 кг/см, Е=7,03-105 кг/см5, v=Q,3, <jt = 2160 кг/см3, г = 12,7 см, L—15,24 см (рис. 1.1). На первом этапе в целях 1 сопоставления решений по классической теории с решением по модели Ти- ' мошенко при одинаковых механических характеристиках и нагрузках, задача ! решена в упругом состоянии. Анализ результатов показал значительное расхождение напряженно-деформированных состояний двух моделей, по максимальным радиальным перемещениям разница составляет ~50 % (рис. 1.2), а по окружным тангенциальным усилиям составляет -49 % (рис. 1.4).

Это расхождение вызвано явлением заклинивания (looking), для его устранения использовали сокращенные шггегрированные матрицы жесткости по одной точке Гаусса, после чего наблюдалось хорошее совпадение результатов двух теорий, эффективность такого приема наглядно показана на рис. 1.3 и рис. 1.5. Полученные результаты находятся в хорошем соответствии с литературными данными (табл. 1).

Таблица 1

Упругое решение <3=0,1786 кг/см Махсималыюс разиальнос • перемещение W, х10~3 см Погрешность, %

ТЕОРИТИЧНСКОЕ 7,3

МКЭ (24 элемента) 7,29 -0,14

АВТОР (модель КирхгаЬа-Лявл) 7,17 - 1,5

АВТОР (модель Тимошенко) 7,31 0,14

Далее, используя классическую теорию для исследования работы оболочки за пределами упругости применяется шаговый метод и условие пластичности Мгоиса в виде конечного соотношения между усилиями и момента-

мн. Нагрузка прикладывалась от предельной другой Р„,, « 1 кг/см, _этапами :к> ДГ ~ 0,06 кг/гм, нагрузка грч которой счет оегшоплен пшпу резкого у~с-. личешм характерного перемещения Р = Ï,54 геотвгтетпутотгей V/ — О,!-? см.

S качестве результатов па ряс. 1.6 показана зависимость нагрузки от П'-осмещснил, которая предст?п.твет собой иеяшгейную крипт приобретающей асимптотическое поведение при росте нагрузки. Пластические де-

цлл>мш1ни itoiiuTTiTirvrrçi ттл. !ГрГ.С Z^Z^Z'l'".! С pC-ÎOÎ.i наГОУЗКИ

зона пластических деформаций развивается медленно вниз, а затем локализируется на расстояшш Z < 0,5 см до появления резкого увеличения характерного перемещения.

Далее ormeau случай полного снятия разгрузки после предвар!ггельного пластического деформнревагак. при этом возникают окру^н«.!*» мембранные усилил обратного зна.-.а, па рис. 1.7 и рис. Î.S' предстг'^г.еиы Kpiir.M; распределен!*« ог.ато'чнк ;~.;.:py::-.t'мс; ¡Сраппп:.::; усилий и г-атачигих кер'чгмтге-и!"Г:, 4tv-.-!pus îiî.îCîûT тот :::г г,ил ;i :-:апа,.-т.;р соотрстсгву'""^ грим!Х з упругом состоятш.

lin. гоелгднем тг.пе рассмотрено влияние повторного нагруагеши? и разгрузки после прсдвар!ггелыюго пластического деформирования, в качестве р^ультлиа предегаалены кризис зависимости narpy:-:;iî m перо.гычений ?пп разных путей нагружения и разгрузки (рис. 1.9). Анализ этих результатов показывает, что пласт:иеские деформации материала приведут к увеличеншо препоной упругой itaipyscu при псьторгой r.ei^p^p.innt тогр :!;е згпчя и ее уменьшению при повторной лгформмии ггроткчоттл'кйагого знака (приспособляемость оболочки). Эго обусловлено наличием остаточных усилий в результате предварительной пластической деформации.

Что касается решения задачи, используя модель Тимошенко, приемлемые результата получаются только в упругом состояшш после сокращения точности интегрирования матрицы жесткости.

to

I

I

к

т

-1

1

!(CU)

10

к

\

-0.5 0.0 0.5 .1.0 1.5 2.0 7.5 3.0 • «CttJ

Рис. 1.2. Горизонтальные перемещения К-модель Клрлхофа-Лява, Т-модсль Тимошенко

Рис. 1.3. Горизонтальные перемещения . после устранения явления заклинивания (LOCK1NO)

100

Ч I I ч 1 I 1 И М I I I I I I I I И I I

-1.0.' 2 3

Z(Cu)

3 50'

I

х

.Г"

А

-

-1

ZICU)

Puc. 1.4. Окружные мембранные усилия К-модель Кирхгофа-Лява, Т-модсль Тимошенко

Рис. 1.5. Окружные мембранные усилия после устранения явления Заклинивания (LOCKING)

О

2

О

Рис. 1.6. Развитие перемещений при росте нагрузки

Рис. 1.7. Остаточные окружные мембранные усилия (модель Кирхгофа-Лява)

0.06

| 0.02

\

\

\ \

ггтин

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 «СМ)

Ш 7

/ ь

}тт»'1П ТТТЛТГП пггтгтп ттггггт тгттггт| ГТТГГТП1

щсю

Рис. 1.8. Остаточные горизонтальные перемещения (модель Кнрхгофа-Лява)

" Ркс. 1.9. Зависимость нагрузки от перемещений при повторном погружении и разгрузке

Во втором примере исследуется деформирование усеченной полусферической оболочки под -действием вертикальной распределенной нагрузки (рис. 2.1) при следующих исходных данных: 11=2,54 м, Ь/11=1/100; а0 =30"; Е=7,03-10' кг/см1; у = 0,3; ат=2160 кг/см2. Полученные результаты в упругом состоянии по модели Кирхгофа-Лява и модели Тимошенко находагг-ся в хорошем соответсвии лишь после снятия явления заклинивания с помощью сокращенного интегрирования кроме значения окружных тангенсиальных усилий, которые совпадают без сокращения точности интегрирования матрицы жесткости. Влияние этого явления в этом примере меньше, чем в предыдущем.

Далее по модели Кирхгофа-Лява задача решалась за пределами упругости применяя условия пластичности Мизиса в виде конечного соотношения между усилияш! и моментами. Нач1шая с прс- £ дельной упругой нагрузки 0лр=33,5 кг/см2. На грузка накладывлась этапами-по Дя=0,75 кг/см' и доводилась до q=38,75 кг/см1, при которой счет остановлен ввиду резкого увелечения характерных перемещений. В качестве результатов показаны кривые диформироваиия ме-редиана оболочки (рис. 2.2), зависимости нагрузки от характерных перемещений, которые показывают, что эти зависимости нелинег'Ьшс и преобретают асимптотическое поведение при росте нагрузке (рис. 2.3). Полученные для всех этапов нагружения значения пластических множшелей в точках Гаусса конечных элементов показывают, что пластические диформашщ вначале появляются на верхнем крае оболочки, а при достижении нагрузки д=35,75 кг/см' вблизи к защемлению оболочки при 195<2<213 см появляется вторая зона пластических деформаций и с ростом нагрузки развивается по меридиану

5С 200 250 300

-I л «.».и • » I «I I • 1.1 л »1»1 м I.» л. (^ I -»

40 7"

........К'

34Т

Д—I

I А

I /!

V т

Рис. 2.2. Деформирование меридиана оболочки

Рис. 2.3. Развитие харгиперних перемещений й'ни при росте нагрузки за пределами упругости (модель ¡Снрхгофа-Лява)

' з \! I I /! \ !

1,,1 1...1. 1/14

м \1

V

О 50 100 150 ?00 250 300

' 1 \ .

1СС-

200-3-

3 1 и 1 1 ' ^_ 1

I

1 г\ Осптпчныо пе!,е\ч-н!пи\)1 {< г г"-! ('-¡м--' и'м.и

в двух направлениях, причем в направлении свободного края оболочки развивается быстрее, а при достижении нагрузки чи38 кг/см1 появляется третья зона пластических деформаций у защемления оболочки и на свободном крае оболочки зона пластичности расширяется до 2<45 см, а при полной нагрузке Я>38,75 кг/см1 происходит резкое увелечение характерных перемещений.

Далее с целью полной разгрузки оболочки прикладывали нагрузку, равную полной нагрузке при последнем этапе нагружения, но с обратным-знаком, q=-38,75 кг/см1. Полученные результаты показывают как известно, что разгрузка происходит по линейному закону и эта лйния параллельна линейному участку зависимости нагрузки от перемещений при нагружении в упругом состоянии. В качестве результатов показаны кривые остаточных вертикальных и горизонтальных перемещений в системе прямоугольных координат (рис. 2.4), и относительно меридиана оболочки (рис. 2.5). Кривые перемещений имеют тот же вид и характер соответсвующих кривых, полученных в упругом состоянии.

В последнем примере рассматривается деформирование оболочки вращения положительной гауссовой кривизны в виде сосуда заполнений жидкостью рис. 3.1. Форма меридиана оболочки описывается следующим квадратичным полиномом 1-0,2(г/К-1) . Эта задача решалась при

следующих механических и геометрических характеристиках: К=1 м; Ь/Я=)/100; Е = 104 кг/см'; у= 0,3; а, = 2160 кг/см2 и как условие пластичности применялось условие Мизиса в форме конечного соотношения между усилиями и моментами. Здесь ограничимся лишь приведением некоторых результатов, полученных- за пределами упругости (модель Кирхгофа-Лива). Начиная с предельной упругой нагрузки Рг;р = 0,1577 кг/см, для решения задачи

в пластической стадам применялся шаговый метод по нагрузке, приращение нагрузки на каждом этапе Др = 0,001 кг/см до нагрузки р 0,163, посте которой характерные перемещения начали резко увеличиваться.

В качестве результатов приведен график формы меридиана оболочки после деформирования при упругой предельной нагрузке (рис. 3.2), а также 1рафик нелинейных зависимостей нагрузки от характерных перемещений W и И, которые приобретают асимптотический характер при Прпбтггеиии нагрузки к предельной (рис. 3.3).

Полученные значения пластических множителей X в точках Гаусса конечных элементов для всех этапов нагружения иллюстрируют пояпление и развитие зон пластических деформаций. Их анализ показывает, что впервые появляется зона пластических деформаций при нагрузке р = 0,158 кг/см на расстоянии Z - ¡AS,20 см от свободного края оболочки, и по мере уведиче-нчч нагрузки, эта зона разминается r-лоль •..'рчяианл го обоим мплраплсиичм, причем и iia:|).;B«iinii защемленного коая она развисгетс-.т быстрее. При последнем этапе н,:1ру;-.:ек»ш х-а зона находится нрнилид^дльма и ; ¡редел

Далее рассмотрен случай полной разгрузки оболочки после предвари-

показывагот значительные остаточные горизонтальные перемещения ь п^сдо-лах 120 < Z 190 см и незначительные вертикальные остаточные перемеще-

ггоактичсски восстаианпивасг сьою исходную форму дро;.:г д зело илчглопия •.''ла'.мп-;^.-:-.-!;; леф^рмиппн (120 < 2 й ¡'JO см;. Эгд р:пул;. дим ппгдядло •:-ед-ставлены на рис. 3.4 и рис. 3.5, который показывает форму меридиана оболочки после полного снятия нагрузки относительно его исходной формы до деформирования.

Рис. 3.2. Форма меридиана оболочки при предельной упругой нагрузке.

Рис. 3.3. Развитие хара1стсрних перемещений V/ и II при росте нагрузки за пределами упругости (модель Кирхгофа-Лива)

60 ЙО 100 120

-50 0 50 1 СО 150 200 250 ¡(Си)

3'5-725 108 ■

1 44 * 1ВО-216 •

1 ) ) ..1 Л...1.М . 1 .1.,». \ . 1—1..)..

\

_ \

/ \

ь }

л /

Рис. 3.4. Остаточные перемещения V/ ц и после полной разгрузки (модель Кирхюфа-Ляиа)

Рис. 3.5. Форма меридиана оболочки после полной разгрузки (модель Кирхгофа-Лява)

Основные результаты н выводы.

В заключение подводятся общие mom диссертационной работы: разработан численный метод определения напряженного деформированного состояния в упруго-цдешгьнопластических оболочек вращения под действием произвольных осссимчетр!гп;п:; нагрузок в рамках теорт! течения на основе конечного иршщппа Хаара-Кармана при условии текучести Мизиса в виде конечного соотношения между усилиями и моментами, метод позволяет производить расчет конечными приращениями нагрузок, В работе рассмотрены классическая теория (модель Кирхгофа Ллва) и одна из уточненных теорий,учитывающих деформации поперечного сдвига (модель Тимсгаснхо).

Поело дискретизации задачи с помощью метода конечных элементов для решения ислучсппых нелинейных алгебраических уравнений применяется метод 'шиа дополнительных нагрузок с однократном разложением матршш Kv-jiii по схеме Халецкою в сочетании с градиентным методом. Значения пра.чых частей системы уравнений уточняются на кянадом шаге с помощью результатов , полученных на предыдущей итерации.

Разработан общий алгоритм и на его основе создан программный комплекс SHELL на языке FORTRAN-77 для расчета оболочек вращения под действием произвольных осесимметричных нагрузок с учетом пластических деформаций, применяя классическую теорию (модель Кирхгофа Ji:ma) и теорию с учетом деформации поперечного сдвига (модель Тимошенко). Но. конкретных примерах ¡(оказана достоверность разработанного алгоритма.

Большое внимание уделено рассмотрению влияний деформаций поперечного сдвига на напряженно-деформированное состояние, на примерах по-

казано, что учет деформаций поперечного сдвига при расчете тонких оболочек методом конечных элементов с использованием линейных аппроксимаций поле перемещений • вызывает так называемый эффект заклинивания (LOCKING). Для устранения этого явления использовали прием сокращенного интегрирования, после чего полученные результаты сопоставили с результатами, полученными с помощью классической теории б. упругом состоянии -они находятся в хорошем соответствии. За пределами упругости модель Тимошенко плохо работает.

*

Для иллюстрации предложенного алгоритма проведено расчет конкретных задач (цилиндрическая, сферическая оболочки, сосуд заполненный жидкостью). Исследовано влияние поперечного сдвига и поведения этих объектов в упруго-пластической стадии, прослежено развитие пластических зон при увеличении нагрузки, процесс разгрузки и повторное нагружение и разгрузки. Рассмотренные в работе задачи с помощью ЭВМ доведены до числа и результатов, представленных в виде таблиц и графиков, позволяющих судить о Н.Д.С. оболочек вращения с учетом пластических деформаций и деформаций поперечного сдвига. Анализ полученных результатов позволяет установить, что учет разных теорий и пластических свойств материала дают возможность правильно оценить Н.Д.С оболочек и использовать дополнительные ресурсы материала, что существенно увеличивает несущую способность конструкций.

Получение хорошей согласованности с известными результатами с одной стороны и совпадение результатов, полученных с помощью модели Кирхгофа-Лява и модели Тимошенко после устранения эффекта заклинивания с другой стороны подтверждают эффективность разработанных алгоритмов и программного обеспечения.