автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Разработка методики расчета толстостенных оболочек вращения

На правах рукописи

ЛЕОНТЬЕВ Кирилл Андреевич

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ТОЛСТОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Московском государственном строительном

университете.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Амосов Александр Александрович

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич

- кандидат технических наук, профессор Колкунов Николай Вячеславович

Ведущая организация - ЦНИИЭП зрелищных и спортивных

сооружений им.Б.С.Мезенцева

2005г. в час. Зо I

!.(1з8.1

Защита состоится " 4 V' Но&оАД 2005г. в ^ час. ->° мин. на заседании диссертационного совета Д 212.ll38.12 при Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Шлюзовая наб., д.8, ауд.

коЗ,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГСУ. Автореферат разослан " О кУЭ-^/*^ 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

гоов-д

тт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие многих областей техники предопределяет широкое применение оболочечных конструкций. Для современного этапа характерной является тенденция использования конструкций типа пластин и оболочек в условиях возрастающей интенсивности внешних воздействий - высокое и сверхвысокое давление, экстремальная температура и др. Эти обстоятельства вынуждают все чаще обращаться к применению толстостенных конструкций. Можно привести множество примеров использования толстостенных плит и оболочек в современной технике - сосуды высокого давления, криогенная техника, двигателестроение, защитные оболочки ядерных реакторов и т.д. Расчетная схема в виде толстостенной цилиндрической оболочки применяется для расчета различных инженерных сооружений - своды, кольцевые фундаменты, напорные трубы, обделки туннелей и др.

Расчету таких конструкций посвящено большое число исследований, однако продолжают оставаться актуальными проблема построения приближен-

тивных методов решения разрешающих уравнений такой теории для отдельных классов оболочек.

Цель диссертационной работы:

- разработка методики расчета толстостенных оболочек вращения, в общем

случае анизотропных и переменной толщины, основанной на полиномиальной аппроксимации трехмерной краевой задачи теории упругости; построение алгоритма численного решения осесимметричной задачи для толстостенных оболочек вращения;

- решение ряда задач осесимметричной деформации толстостенных оболочек

вращения с целью оценки достоверности получаемых результатов;

- решение ряда практических задач расчета толстостенных оболочек враще-

ной трехмерной теории толстостенных оболочек, а также разработка эффек-

ния.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем:

- построена методика полиномиальной аппроксимации трехмерных краевых

задач теории упругости, основанная на разложениях по полиномам Ле-жандра по толщине оболочки компонентов тензора напряжений, тензора деформаций и вектора перемещений;

- получены разрешающие уравнения осесимметричной деформации толсто-

стенных оболочек вращения;

- построен алгоритм численного решения осесимметричной задачи для тол-

стостенных оболочек вращения;

- решен ряд тестовых задач осесимметричной деформации оболочек враще-

ния; дана оценка сходимости приближенных решений теории Ы-ото порядка и их достоверности;

- решен ряд практических задач осесимметричной деформации толстостен-

ных оболочек вращения.

Практическая ценность работы определяется тем, что разработанная в ней методика и вычислительный алгоритм могут быть использованы при расчете толстостенных оболочек вращения.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечена корректной постановкой задачи исследования, использованием хорошо апробированного математического аппарата, а также тем, что результаты тестовых задач хорошо согласуются с известными аналитическими решениями.

На защиту выносится:

- методика полиномиальной аппроксимации трехмерных краевых задач тео-

рии упругости, основанная на разложениях по полиномам Лежандра по толщине оболочки компонентов тензора напряжений, тензора деформаций и вектора перемещений;

- вывод редуцированных уравнений двухмерных краевых задач теории тол-

стостенных оболочек вращения;

-5- построение разрешающих уравнений осесимметричной деформации толстостенных оболочек вращения;

- построение приближенной теории Л'-ого порядка для расчета осесиммет-

ричных задач толстостенных оболочек вращения;

- алгоритм численного решения осесимметричной задачи для толстостенных

оболочек вращения;

- результаты решения ряда тестовых задач осесимметричной деформации

оболочек вращения; оценка сходимости приближенных решений теории N-010 порядка и их достоверности;

- результаты решения ряда практических задач осесимметричной деформа-

ции толстостенных оболочек вращения.

Апробация работы прошла на заседаниях и научных семинарах кафедры строительной механики МГСУ в декабре 1999 г. и апреле 2005 г.

Публикации по теме работы. По теме диссертации опубликованы 2 печатные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит т введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Общий ее объем составляет 146 страниц текста, включая 74 рисунка и 5 таблиц. Библиография содержит 140 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, формулируются цели диссертации, отражается научная новизна результатов, конкретизируются положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе дан краткий обзор литературы и проведен анализ современного состояния проблемы расчета нетонких оболочек. Обсуждаются различные подходы к расчету оболочек вращения и возможные методы исследования их напряженно-деформированного состояния.

Отмечается, что проблемой разработки общей теории и методов расчета оболочек занимались многие выдающиеся ученые: Н.А.Алумяэ, С.А.Амбарцумян, А.А.Амосов, Н.А.Базаренко, В.В.Болотин, И.Н.Векуа, В.З.Власов, А.Н.Волков, И.И.Ворович, Б.Г.Галеркин, А.Л.Гольденвейзер, Э.И.Григолюк, Я.М.Григоренко, Н.В.Колкунов, М.А.Колтунов, А.И.Лурье, И.Е.Милейковский, Х.А.Муштари, В.В.Новожилов, П.М.Огибалов, П.Л.Пастернак, В.Г.Рекач, С.П.Тимошенко, И.Г.Филиппов, И.Ю.Хома, Грин, Доннел, Ляв, Миндлин, Мирски, Нагди, Рейсснер и другие.

Расчет оболочек средней толщины и толстостенных требует более уточненной постановки задачи, при которой учитывается трехмерность напряженно-деформированного состояния, его пространственный характер. Имеются различные подходы к решению этой проблемы:

а), с позиций трехмерной теории упругости;

б), построение приближенных решений с использованием тех или иных допущений;

в), применение численных методов (МКР, МКЭ и др.);

г), подходы, основанные на редукции трехмерных краевых задач теории упругости к двухмерным краевым задачам теории оболочек, где используются такие методы, как:

- асимптотический,

- применение степенных рядов,

- применение интегральных преобразований,

- применение полиномов Лежандра.

Последнему из перечисленных посвящены работы Н.А.Кильчевского, В.В.Понятовского, И.Н.Векуа, И.Ю.Хомы, А.А.Амосова, однако эта проблема продолжает оставаться актуальной.

Вторая глава начинается с постановки задачи исследования. Отмечается, что объектом исследования являются толстостенные оболочки вращения, в общем случае - упругие, анизотропные и переменной толщины.

Рассматриваемая оболочка отнесена к цилиндрической системе координат (рис.1). Поверхности z = const - называются торцевыми; боковые поверхности оболочки (или лицевые) определяются выражениями г =a(z) и г -b(z). На рис.2 приводятся возможные формы поперечного сечения оболочки.

Вводятся формулы для срединной поверхности H(z)=\b(z) + a(z)]/2 и толщины оболочки 2h(z)=b(z) - a(z).

Z

р,

\ Г\ г\ \ j /\ \ _J>,

\\

Д r = b(zj х \ /

r=afc)\\ \ \ \ \ \ \ 1 \ f -1- . i. .,

S\

Рис. 1.

Рис. 2.

Далее, для справки, приводятся основные уравнения теории упругости, записанные в цилиндрической системе координат. Уравнения равновесия: Яп да Я

& Зр * Зг г '

(rc%)+a>f +г/г = о, (1)

5z 5ф дг

Геометрические уравнения (формулы Коши):

<Эст 9а,

gp |__1

& 9ф Зг'

да„ , , 9 ,

Физические уравнения (обобщенный закон Гука):

Е=Сд. (3)

Здесь С - квадратная симметричная матрица шестого порядка. В общем случае анизотропного тела, матрица С содержит 21 независимую упругую постоянную. Для записи этих уравнений использованы векторы, составленные из компонент тензора напряжений и тензора деформаций:

Для формулировки статических граничных условий на лицевых поверхностях оболочки (рис.3) используются соотношения теории упругости с учетом свойств геометрии оболочек, в результате чего получены выражения:

± />гу 1 + [(Я ± Л1Г = <т„ - а„(Я ± А),, ±Р^[{Н±к\2]1 = о2Г -си#±И)г, ± р: = - афг (Я ± к\2.

(5)

а).

г Р+ ♦ г V

(1г V

N А т

а(г) \\ .

Рис. 3.

Далее приводятся основные сведения из теории полиномов Лежандра. Как известно, они определяются следующей формулой Родрига:

(6)

и представляют собой полную систему функций, ортогональную на отрезке от -1 до 1. Поэтому любая непрерывная функция может быть представлена в виде ряда по этим полиномам:

о

где /{к>(х1,х2) ^ |/(х,,дсг,0^(0</С -момент ¿-ого порядка.

2

Одним из важных свойств полиномов Лежандра является существование рекуррентных формул:

& (О = ТТ^Т (0 + Р^ (О ,

2к +1 2к +1

А, (О = (2к - 1)Р4„, (О + (2к - 5)РМ(0 + (2* - 9Ж_5(0 +... , (8) (О = ВД) + (2^ - 3)Р,_2(0 + (2к - 7)РМ(0 +... .

Обобщением классических полиномов Лежандра для произвольного промежутка а <г <Ь являются полиномы Лежандра общего вида, определяемые модифицированной формулой Родрига:

= V • (9)

(о - а) К! аг

Условия ортогональности и нормировки для них определяются в виде:

V (" 0> Ьфп, 2И

к=п где ||ф4|=_—__ нормаго полинома. (10) Далее приводятся т.н. формулы суммирования, полученные в работах

со со

А.А.Амосова и позволяющие суммы вида "Рк и ^/'^С^ пред-

ставить в виде разложений по возрастающим индексам полиномов Лежандра:

(П)

где Ан(/)=Л К/^ПЛ^Г',

к* II -1 «

(/)=А п ¿с=+/■

Ц У т. * ^ ?>_Г + ^ 7

Ы4- * 2к~1 2*+3

= (12)

4=0 »=0

где *о,(Л=щ К^'^ Р* * = +1)£/(4+2и+1),

||Ф*|| -1 т т-Л

1

1Ф*1-1» 2к+ъ

В свете свойств полиномов Лежандра обсуждается проблема редукции трехмерных краевых задач расчета оболочек вращения к двухмерным краевым задачам. Так, если операторно-матричное уравнение

А(х1,хг,хг)^(х1,хг,х1) = (13)

описывает полную систему уравнений трехмерной задачи теории упругости, неизвестные функции У(х,,х2,х}) могут быть представлены в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра:

СО

^(х„лс2,х3) = Ч*!,^)^) . (14)

к=0

Подставляя (14) в (13), проводя некоторые преобразования с учетом свойств полиномов Лежандра и используя их ортогональность, можно придти к бесконечной последовательности двухмерных краевых задач вида:

А^*,,^)^» = (к = 0,1,2,3,...). (15)

Применяя указанную методику к задаче расчета оболочек вращения, следует все компоненты тензоров напряжений и деформаций и вектора перемещений представить в форме разложений в ряды Фурье-Лежандра:

а,,(7,г,ф) = Ха^,ф)Р4(г), е,,(г,г,ф) = ;£е^(г,ф)ад. (16) к-0 к-0

Коэффициентам разложений (16) можно придать реальный физический смысл. Например, при к = 0 (момент нулевого порядка):

1 ^ Т

<0,Ф) = ^ \оч{.г,г,у)<1г = 0',у=г,ф ,г), (17)

где Ту представляют собой компоненты главного вектора внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении.

Момент первого порядка определяет компоненты главного момента внутренних сил - изгибающие и крутящие моменты:

а!>,Ф)= ^{аД^фХг-ЯМг =~М1]. (18)

а

Моменты более высокого порядка о^' (к > 1), называемые полимоментами, определяют самоуравновешенные по высоте сечения поля распределения напряжений.

В завершение главы проводится редукция всех уравнений, записанных в цилиндрической системе координат.

Редукция физических уравнений осуществляется достаточно очевидно. Подставляя разложения (16) в формулы (3) и применяя к этим уравнениям процедуру Бубнова-Галеркина, с учетом свойства ортогональности полиномов Лежандра, получаем:

Ё^(2,Ф)=Са«»(2,ф) • (19)

Выражения (19) справедливы в том случае, если элементы матрицы С не зависят от координаты г, т. е. предполагается однородность свойств материала по толщине оболочки.

Для редукции остальных уравнений производные от неизвестных функций по координатам г и г, а также слагаемые вида г/, г/г, г/л и (фг следует представить рядами Фурье - Лежандра.

Для произведения г/" коэффициенты этого ряда определяются формулой:

—ЛгПР^г^Н^/), где Д,(/) = /(4)+АХи(/), Х=А (20)

1<М I н

С целью согласования разложений с граничными условиями при записи всех производных необходимо предусмотреть возможность выделения в явном виде краевых значений неизвестных функций /ь и /а. Таким образом,

при построении системы разрешающих уравнений потребуются две формы записи производных - при известных и неизвестных краевых условиях. При известных краевых условиях получены следующие выражения:

щ= я[Д*(/,)+А2ЧЛ-ФЛ/" -«Ж/")],

щ\{гГ),Рк(1г -Н[В2кг(/)+ (Ф^/4- Ф:/")], (21)

- До'=(/)+(Ф';/" -Ф1/ ° >], А2г (/)=^ К (/)+>-[/("+< с/)]}+^ {д. (/)+д,; (/)+(/)+^ (/)]}

При произвольных краевых условиях: щ )гГ,ркА-=у[/г01(/)+^ц(/)]=Я5 Г(/),

щ )(гП, РА +/)Ркс1г=н5 Г(/)+Г> =//5 Г (/), (22)

|(гДгр^г=я[д4(/д)+5*</)],

где Ъ 1'(Л = -у ^ (/).

Д Т (/) СЯ+М,, (/)] (/)+(/)] ■

п п

Эти выражения позволяют осуществить редукцию уравнений равновесия и геометрических соотношений Коши, причем форма редуцированных уравнений зависит от типа 1раничных условий на лицевых поверхностях оболочки - статические или кинематические.

Приведем результаты при статических граничных условиях на лицевых поверхностях оболочки.

Уравнения равновесия:

ядда^+я^2' (О+а™ -<£>+т>1'(р„)+н(№ +У;/Г)+#М^)=0,

НА,(СЩЛ) + НО\'(ащ) + + О« + + Н(уькР; + у^Р;) + НА, = О,

ЯД4(а„) +Ж>421С<ТВ) + О^ +ЯД2г(а +Г:Р;) + ЯДДР2) = 0, (23)

где =

Геометрические уравнения:

= +«<*>, (24)

Показано, что геометрические уравнения при статических граничных условиях следуют из геометрических уравнений при кинематических граничных условиях, если в последние подставить свободные граничные условия

вида: ¿/(4Чг,Ф)Р,(0 = |;Г,(г,ф)(±1)* • (25)

к=0 Ы)

Точно также, уравнения равновесия при кинематических граничных условиях следуют из уравнений равновесия при статических граничных условиях, если в последние подставить свободные статические граничные условия.

-14В третьей главе обсуждается проблема расчета оболочек вращения на действие произвольной нагрузки. При этом все функции могут быть представлены в виде разложений в тригонометрические ряды по координате ф:

/(*.Ф) = /о (z) + X U (z) eos пф+/„(z) sin Яф] ■ (26)

л=1

Подставляя ряды вида (26) в уравнения (23), (24) и собирая члены с одинаковыми номерами гармоник совиф и sin пф, можно получить бесконечное число систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

При п = 0 получаем две группы уравнений, определяющих

- осесимметричную деформацию оболочки:

(27)

- кручение оболочки:

++¿^í?+++r;/p+д* (/;)=о,

= Д*(е2,)=А),К,)+5Г(Мф). (28)

При выводе разрешающей системы уравнений для осесимметричной деформации оболочек использованы физические соотношения: р(*)=с а(*) + с 0<*> + с 0W + C aw

ьгг znr zr т czrzzUrz ^^rrzr^rr Т ^ффЯ-^фф »

в» = с«,«*» + с^о^ + + с„^а(Д>,

ir t-mruJT Tt-;T2zun т,'тт,-'гг т'"ггчхр W > ^ФФ ффгг zr т Skpzi zz ~ ''трф гг Т ■

(29)

Это позволяет выразить два напряжения через остальные функции:

гг "П°»г 12 и ^ ^ ^-(РЧЯРФ /Т(рф ([хр

ст(*'=-д п{к)-а + —Сс е^-с

К _ л -Ь - л

_ г и и

где а — с^с^крф ' 2 1

В итоге можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно четырех искомых функций:

А» ) = -»?{<*„) + ~(1\Р; + 1Ш - ,

АДа„,) = -О? (а в) ■- ^(а1Г) - (у^/ + - ЛД^), (31)

«г? - ^-оГ(«Л «£' - -(иг)

и два алгебраических уравнения:

¿?=Ъх'к{иг), ЯМви)=и« (32)

При решении практических задач приходится прибегать к усечению бесконечных разложений в ряды по полиномам Лежандра. Теорию, основанную на удержании в разложениях искомых функций в ряды Фурье - Лежандра первых (№-1) членов, будем называть приближенной теорией № ого порядка

/(г.Ф.О-Е/^.ФУиС). (33)

к-0

Одной из главных проблем построения приближенной теории М-ого порядка является проблема удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях оболочки. Они всегда удовлетворяются приближенно, поэтому можно говорить об удовлетворении граничных условий в интегральном смысле. По мере повышения порядка используемой теории невязка, как правило, уменьшается, и это позволяет принимать ее в качестве косвенного критерия точности приближенной теории.

Для представления разрешающих уравнений осесимметричной деформации оболочек вращения в матрично-векторной форме вводятся (№-1)-мерные векторы коэффициентов разложения искомых функций по полиномам Лежандра и матрицы, позволяющие заменить операторы редукции.

В этом случае дифференциальные уравнения (31) и алгебраические соотношения (32) можно записать в матрично-векторной форме:

А X о„,г = -Б22 X Огг + - 02г X сгг - (у ЬР* + у ЛР~)-АхЁг, Я

А X - -Б21 х - Б2г X 5„ - (уьр; + у,р;) - А х Е,,

=£гг - Э ,ЖХ Ш , ИГ,г =Е1г ~ О 1ГХ Цг -В "х Иг , (34)

Ёгг=б1гхиг, НАх£щ=Пт.

Дальнейшие преобразования позволяют представить разрешающую систему дифференциальных уравнений в окончательном виде:

Ствд = V" х+ х+ Ч»14 хиг - А"' х (уьР; + - ,

а^г =¥21 х о1Г + "5?22 X вгг - А"' X (уьр; + у,р;) - Р„

й„ =Сг ггОгг + Сг X и2 + Ч?34 х иг ,

и^ =СГ г,с1Г + С, X ¿г + Т44 X иг,

где *Р" = А"1 х (апВ2г - —Е - Б21), Г2=А"' х(а12В2г-^Е),

(35)

Я

н

¥,4=А-'х1

—(с,™0* + Стт- Е)х Д"1 - (с^О21" + — Е) X Б1г)

^ \ трф Н ^^ Н

12 Я

ЧР44 =аив'г +—А"1 -б'1.

11 Я

—1г

ч»43=-о

Четвертая глава посвящена описанию тестовых и других примеров расчета. Сначала рассмотрен толстостенный цилиндр под действием равномерно распределенного давления (задача Ламе). Для построения приближенного решения ЛГ-ого порядка к уравнениям теории упругости применяется процедура редукции. В результате получена система уравнений, которая может быть записана в матрично-векторной форме.

' D2r -tf-'E 0 ] Orr ФьР? + Ф .Р°г'

ОЕ -Dlr х ■ (Тфф . = -< 0

ЯсшА -Е Иг 0

Для изотропной толстостенной цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внутренним давлением, проводилось сравнение приближенных решений с точным. Были рассмотрены оболочки различной относительной толщины. Установлено, что наибольшие погрешности наблюдаются для радиального напряжения агг. При этом теория 2-ого порядка хорошо описывает только относительно тонкие оболочки (2й/#=2/75). Для описания оболочек средней толщины (2й/#=2/15) и более толстых (2А/#=2/3) требуется теория 3-ого или 4-ого порядков.

Рис. 4. Рис. 5.

На рис. 4 и 5 приведены графики изменения радиальных напряжений ап для двух типов оболочек: 2А/#=2/3 (рис. 4) и 2А/#=2/15 (рис. 5). Проводится сравнение точного решения (сплошная линия) с приближенными.

Для реализации алгоритма решения осесимметричной задачи расчета толстостенных оболочек вращения составлена вычислительная программа в среде Системы компьютерной математики МАТЬАВ б. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений осуществляется методом ортогональной прогонки по Годунову.

Для тестирования этой программы решена задача, рассмотренная в предыдущем примере, но с интегрированием системы дифференциальных уравнений. В качестве основных критериев точности приближенного решения принимались невязки выполнения краевых условий на лицевых поверхностях, которые в соответствии с формулами (5) определяются как:

о:м=- (я - +р; VI+к* - г - .. .

,- 0 = г, 2). (37)

(¿^г) = а;г -а,2(Я + К),-Р^'1 + [(Я + й),2]2.

Показано, что с ростом порядка приближенной теории область невязки заметно сужается, а ее величина стремится к нулю, что говорит об улучшении выполнения статических граничных условий.

Кроме того, анализировались поля напряжений и, в частности, их соответствие аналитическому решению. Установлено, что для толстостенной оболочки с соотношением 2к!Н 2/3 результаты для напряжений ст,г и <т„. полученные по теории 3-ого порядка, заметно отличаются от теоретических (нулевых). Однако, с ростом порядка приближенной теории эти поля заметно улучшаются и становятся практически нулевыми.

В следующем примере рассмотрена задача о нагружении бесконечно длинной цилиндрической оболочки периодически повторяющимся постоян-

Ш - 0.2 т = 5.667 V = 0.3

ным давлением, приложенным на небольшом участке лицевой поверхности (рис. 6). Такая задача неоднократно использовалась в качестве тестовой при разработке различных методик расчета толстостенных цилиндрических оболочек. Ее точное решение, а также ряд приближенных результатов приводятся в работе Клоснера и Левайна.

При интегрировании системы 60 дифференциальных уравнений теории 15-ого порядка число внутренних точек ортогонализации в окончательном варианте составило 50. При этом число внутренних точек процедуры Рунге-Кутта на каждом участке было постоянным и равным 5.

Были получены графики изменения всех напряжений по координате г для нескольких характерных сечений по длине оболочки. Установлено, что практически для всех точек сечений наблюдается очень хорошее соответствие результатов приближенной теории 15-го порядка и точного решения, особенно для напряжений агг и ст^.

На рис. 7 для примера показаны графики изменения напряжения для сечения г = 0. Здесь сплошная толстая линия (цифра 6) отражает результаты, полученные в настоящей работе по приближенной теории 15-го порядка,

V \ » 1 . /

» ! \

и6 1 \ \ \

1 ч \ i' 1 1 1 1

1У. ' ' v ' /А/ *

4 / //1 V 1 л/\ \

-16 -0 8 0 0.8 1.6

цифра 1 относится к решению по классической теории, цифра 2 - к решению по уточненной теории Тимошенко, 3 - по уточненной теории Рейсснера - На-гди. Тонкая линия (цифра 4) представляет точное решение Клоснера и Левай-на, пунктирная линия (цифра 5) - результаты из работы А.А.Амосова, полученные по приближенной теории 3-го порядка.

Далее рассмотрена анизотропная толстостенная цилиндрическая оболочка, нагруженная ступенчатой радиальной нагрузкой (рис. 8).

Рис. 8.

На рис. 9 и 10 показаны поля напряжений агг и полученные для этой оболочки с использованием теории 15-ого порядка.

о /р

ст /р

ОН 011 01а 0.14 0« 0.10 0 17 018 019 01

011 011 0 и 014 013 ОМ о 17 0 10 310

Рис. 9. Рис. 10.

Эти результаты иллюстрируют возможности представленной в диссертации методики расчета толстостенных оболочек вращения, в частности анизотропной.

В качестве последнего примера рассмотрена анизотропная толстостенная оболочка вращения с достаточно произвольным контуром образующих, заданным следующими выражениями (рис. 11):

Рис. 11.

Решение задачи строилось на основе приближенных теорий 5-17 порядков.

Установлено, что удовлетворительная точность решения достигается на основе приближенной теории 13-ого порядка и выше, при этом область высоких граничных невязок занимает не более 10% протяженности границы сечения оболочки вдоль образующей.

На рис. 12 для иллюстрации приведены поля напряжений ürr и aw в осевом сечении оболочки, полученные при N = 17.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Применит ельно к оболочкам вращения разработана методика использования полиномов Лежандра общего вида для редукции трехмерных краевых задач теории упругости к двухмерным краевым задачам теории оболочек. Установлено, что в рамках используемого подхода отпадает необходимость введения параметризации, связанной со срединной поверхностью оболочки, что является традиционным в существующих теориях.

Показано, что используемая методика применима к широкому классу задач расчета оболочек вращения при условии, что лицевые поверхности описываются гладкими непрерывными функциями произвольного вида. При этом не накладывается никаких ограничений на параметр относительной толщины оболочки.

2. Показано, что форма редуцированных уравнений зависит от типа граничных условий на лицевых поверхностях оболочки - статические или кинематические.

Наличие двух форм записи уравнений равновесия и геометрических соотношений и установленная между ними взаимосвязь открывают широкие возможности для постановки и решения смешанных задач теории упругости, и в частности, контактных задач, имеющих большое практическое значение.

3. Рассмотрена возможность расчета оболочек вращения на действие произвольной внешней нагрузки. Показано, что представление всех функций в виде тригонометрических рядов по координате <р приводит к бесконечному числу систем обыкновенных дифференциальных уравнений по координате х с возрастающими значениями параметра п, определяющего номер гармоники.

4. Рассмотрены проблемы усечения бесконечных рядов при разложении функций в ряды по полиномам Лежандра. Сформулировано понятие о приближенной теории расчета оболочек вращения Ы-ото порядка.

Отмечено, что одной из главных проблем построения приближенной теории М-ого порядка считается проблема удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях оболочки, в связи с чем следует говорить об удовлетворении граничных условий в интегральном смысле. Возникающую при этом невязку предложено рассматривать в качестве косвенного критерия точности используемой теории.

5. Получена разрешающая система уравнений для осесимметричной деформации оболочек. Введение (ЛМ)-мерных векторов, составленных из коэффициентов разложений функций напряжений, деформаций, перемещений и внутренних объемных сил, а также квадратных матриц порядка (Л/4-1) ддя представления операторов от этих коэффициентов позволило все уравнения осесимметричной деформации оболочек представить в матрично-векторной форме.

6. Рассмотрена тестовая задача о нагружении толстостенного цилиндра равномерно распределенным по лицевым поверхностям давлением. При этом исследована сходимость результатов приближенной теории Ы-ого порядка к точному решению при различных отношениях толщины оболочки к радиусу ее срединной поверхности.

Установлено, что напряжение огг вычисляется с наибольшей погрешностью, и при большой относительной толщине оболочки (2к/Н - 2/3) достаточная точность достигается только на основе теории 4-го порядка.

7. Полученные результаты позволяют корректно ограничивать класс толстостенных, средних или тонких оболочек, исходя из того, какой порядок приближенной теории необходим для достаточно точного описания ее напряженно-деформированного состояния.

Так, для описания цилиндрической оболочки относительно малой толщины (1/100 - 1/50 радиуса срединной поверхности) достаточной является теория 2-го порядка. Для оболочки средней толщины (1/50 - 1/5 радиуса срединной поверхности) - теория 3-го порядка. Для описания трехмерного на-

пряженного состояния толстостенной оболочки (толщина более 1/5 радиуса срединной поверхности) необходима теория 4-го порядка и выше.

8. Построен алгоритм численного решения краевой задачи, описывающей приближенную теорию N-oro порядка.

Вся процедура решения задачи, включая вычисление компонент напряженно-деформированного состояния оболочки, реализована в среде Системы компьютерной математики MATLAB 6.

9. Решение тестовых задач позволило установить зависимость величины невязок выполнения краевых условий на лицевых поверхностях оболочки от порядка приближенной теории. Показано, что с повышением порядка теории область относительно высоких значений невязки сужается, причем уменьшается и величина невязки, так что интегральная краевая невязка решения стремится к нулю.

10. Решение тестовой задачи о нагружении бесконечно длинной цилиндрической оболочки периодически повторяющейся полосовой нагрузкой, показало, что результаты, полученные по теории 15-ого порядка, практически совпадают с точными, известными из литературы.

Основные положения диссертадии отражены в следующих работах:

1. Амосов A.A., Леонтьев А.Н., Леонтьев К.А. Обобщенная теория плит и оболочек средней толщины // VIII Российско-польский семинар "Теоретические основы строительства" (доклады), Варшава, 1999. С.13-18.

2. Амосов A.A., Жаворонок С.И., Леонтьев К.А. О решении некоторых задач о напряженно-деформированном состоянии анизотропных толстостенных оболочек вращения в трехмерной постановке // Механика композиционных материалов и конструкций, 2004, т.10, №3. С.301-310.

*

г

Лицензия ЛР № 020675 от 09.12. 1997 г.

Подписано в печать 03.10.05 г. Формат 60X84 1/16 Печать офсетная И-127 Объем 1 п.л. Тир. 100 Заказ 31

Московский государственный строительный университет. Экспресс-полиграфия МГСУ. 129337, Москва, Ярославское ш., 26.

Q

№19464

РНБ Русский фонд

2006-4 17672

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Краткий обзор литературы и анализ современного состояния проблемы расчета нетонких оболочек.

1.1. Обзор аналитических и численных методов расчета нетонких оболочек.

1.2. Редукция трехмерных краевых задач расчета нетонких оболочек к двухмерным краевым задачам.

Актуальность темы. Интенсивное развитие многих областей техники предопределяет широкое применение оболочечных конструкций. Для современного этапа характерной является тенденция использования конструкций типа пластин и оболочек в условиях возрастающей интенсивности внешних воздействий - высокое и сверхвысокое давление, экстремальная температура и др. Эти обстоятельства вынуждают все чаще обращаться к применению толстостенных конструкций. Можно привести множество примеров использования толстостенных плит и оболочек в современной технике - сосуды высокого давления, криогенная техника, двигателестроение, защитные оболочки ядерных реакторов. Расчетная схема в виде толстостенной цилиндрической оболочки применяется и для расчета различных инженерных сооружений -своды, кольцевые фундаменты, напорные трубы, обделки туннелей и др.

Расчету таких конструкций посвящено большое число исследований, однако продолжают оставаться актуальными проблема построения приближенной трехмерной теории толстостенных оболочек, а также разработка эффективных методов решения разрешающих уравнений такой теории для отдельных классов оболочек.

Цель диссертационной работы:

- разработка методики расчета толстостенных оболочек вращения, в общем случае анизотропных и переменной толщины, основанной на полиномиальной аппроксимации трехмерной краевой задачи теории упругости;

- построение алгоритма численного решения осесимметричной задачи для толстостенных оболочек вращения;

- решение ряда задач осесимметричной деформации толстостенных оболочек вращения с целью оценки достоверности получаемых результатов;

- решение ряда практических задач расчета толстостенных оболочек вращения.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем:

- построена методика полиномиальной аппроксимации трехмерных краевых задач теории упругости, основанная на разложениях по полиномам Ле-жандра по толщине оболочки компонентов тензора напряжений, тензора деформаций и вектора перемещений;

- получены разрешающие уравнения осесимметричной деформации толстостенных оболочек вращения;

- построен алгоритм численного решения осесимметричной задачи для толстостенных оболочек вращения;

- решен ряд тестовых задач осесимметричной деформации оболочек вращения; дана оценка сходимости приближенных решений теории N-ого порядка и их достоверности;

- решен ряд практических задач осесимметричной деформации толстостенных оболочек вращения.

Практическая ценность работы определяется тем, что разработанная в ней методика и вычислительный алгоритм могут быть использованы при расчете толстостенных оболочек вращения.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечена корректной постановкой задачи исследования, использованием хорошо апробированного математического аппарата, а также тем, что результаты тестовых задач хорошо согласуются с известными аналитическими решениями.

На защиту выносится:

- методика полиномиальной аппроксимации трехмерных краевых задач теории упругости, основанная на разложениях по полиномам Лежандра по толщине оболочки компонентов тензора напряжений, тензора деформаций и вектора перемещений;

- вывод редуцированных уравнений двухмерных краевых задач теории толстостенных оболочек вращения;

- построение разрешающих уравнений осесимметричной деформации толстостенных оболочек вращения;

- построение приближенной теории iV-oro порядка для расчета осесимметричных задач толстостенных оболочек вращения;

- алгоритм численного решения осесимметричной задачи для толстостенных оболочек вращения;

- результаты решения ряда тестовых задач осесимметричной деформации оболочек вращения; оценка сходимости приближенных решений теории iV-oro порядка и их достоверности;

- результаты решения ряда практических задач осесимметричной деформации толстостенных оболочек вращения.

Апробация работы прошла на заседаниях и научных семинарах кафедры строительной механики МГСУ в декабре 1999 г. и апреле 2005 г.

Публикации по теме работы. По теме диссертации опубликованы 2 печатные работы.

Структура, объем и краткое содержание диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Общий ее объем составляют 146 страниц текста, включая 74 рисунка и 5 таблиц. Библиография содержит 140 наименований.

Основные выводы

1. Применительно к оболочкам вращения разработана методика использования полиномов Лежандра общего вида для редукции трехмерных краевых задач теории упругости к двухмерным краевым задачам теории оболочек. Установлено, что в рамках используемого подхода отпадает необходимость введения параметризации, связанной со срединной поверхностью оболочки, что является традиционным в существующих теориях.

Показано, что используемая методика применима к широкому классу задач расчета оболочек вращения при условии, что лицевые поверхности описываются гладкими непрерывными функциями произвольного вида. При этом не накладывается никаких ограничений на параметр относительной толщины оболочки.

2. Показано, что форма редуцированных уравнений зависит от типа граничных условий на лицевых поверхностях оболочки - статические или кинематические.

Наличие двух форм записи уравнений равновесия и геометрических соотношений и установленная между ними взаимосвязь открывают широкие возможности для постановки и решения смешанных задач теории упругости, и в частности, контактных задач, имеющих большое практическое значение.

3. Рассмотрена возможность расчета оболочек вращения на действие произвольной внешней нагрузки. Показано, что представление всех функций в виде тригонометрических рядов по координате ф приводит к бесконечному числу систем обыкновенных дифференциальных уравнений по координате z с возрастающими значениями параметра п, определяющего номер гармоники.

При п = О получаем две группы уравнений, определяющих по отдельности осесимметричную деформацию и деформацию кручения оболочки.

4. Рассмотрены проблемы усечения бесконечных рядов при разложении функций в ряды по полиномам Лежандра. В соответствии с предложениями

А.А.Амосова сформулировано понятие о приближенной теории расчета оболочек вращения N-ого порядка.

Отмечено, что одной из главных проблем построения приближенной теории N-ого порядка считается проблема удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях оболочки, в связи с чем следует говорить об удовлетворении граничных условий в интегральном смысле. Возникающую при этом невязку предложено рассматривать в качестве косвенного критерия точности используемой теории.

5. Получена разрешающая система уравнений для осесимметричной деформации оболочек. Введение (//+1)-мерных векторов, составленных из коэффициентов разложений функций напряжений, деформаций, перемещений и внутренних объемных сил, а также квадратных матриц порядка (N+\) для представления операторов от этих коэффициентов позволило все уравнения осесимметричной деформации оболочек представить в матрично-векторной форме.

6. Рассмотрена тестовая задача о нагружении толстостенного цилиндра равномерно распределенным по лицевым поверхностям давлением. При этом исследована сходимость результатов приближенной теории N-ого порядка к точному решению при различных отношениях толщины оболочки к радиусу ее срединной поверхности.

Установлено, что напряжение а^. вычисляется с наибольшей погрешностью, и при большой относительной толщине оболочки (2h!H = 2/3) достаточная точность достигается только на основе теории 4-го порядка.

7. Полученные результаты позволяют корректно ограничивать класс толстостенных, средних или тонких оболочек, исходя из того, какой порядок приближенной теории необходим для достаточно точного описания ее напряженно-деформированного состояния.

Так, для описания цилиндрической оболочки относительно малой толщины (1/100 — 1/50 радиуса срединной поверхности) достаточной является теория 2-го порядка. Для оболочки средней толщины (1/50 - 1/5 радиуса срединной поверхности) - теория 3-го порядка. Для описания трехмерного напряженного состояния толстостенной оболочки (толщина более 1/5 радиуса срединной поверхности) необходима теория 4-го порядка и выше.

8. Построен алгоритм численного решения краевой задачи, описывающей приближенную теорию N-oro порядка.

Вся процедура решения задачи, включая вычисление компонент напряженно-деформированного состояния оболочки, реализована в среде Системы компьютерной математики MATLAB 6.

9. Решение тестовых задач позволило установить зависимость величины невязок выполнения краевых условий на лицевых поверхностях оболочки от порядка приближенной теории. Показано, что с повышением порядка теории область относительно высоких значений невязки сужается, причем уменьшается и величина невязки, так что интегральная краевая невязка решения стремится к нулю.

10. Использование приближенных решений на основе теорий 15-17 порядков позволило достаточно точно получить поля напряжений и перемещений для анизотропной цилиндрической оболочки, нагруженной ступенчато переменной нагрузкой, и для оболочки вращения с достаточно произвольным контуром образующих.

11. Решение тестовой задачи о нагружении бесконечно длинной цилиндрической оболочки периодически повторяющейся полосовой нагрузкой, показало, что результаты, полученные по теории 15-го порядка, практически совпадают с точными, известными из литературы.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука. - 288 с.

2. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, т.1, №3. С. 542-545.

3. Абрамян Б.А. Некоторые задачи равновесия кругового цилиндра // ДАН Арм.ССР, 1958, т.24, №2. С. 66-72.

4. Абрамян Б.А., Александров А.Н. Осесимметричные задачи теории упругости // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., 1966. С. 7-38.

5. Абрамян Б.А. Об одной осесимметричной задаче для сплошного весомого цилиндра конечной длины // Известия АН СССР, МТТ, 1983, №1. С. 55-62.

6. Алтухер Г.М., Топоров В.Т. Расчет оболочек вращения средней толщины методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений, 1985, №1. С. 15-19.

7. Алумяэ Н.А. Теория упругих оболочек и пластин // Механика в СССР за 50 лет., т.З. М.: Наука, 1972. С. 227-266.

8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-448 с.

9. Амосов А.А. Об одном варианте построения теории оболочек вращения // Труды ТашПИ, 1978, №244. С. 21-30.

10. Амосов А.А. Об одном варианте уточненной теории трехслойных оболочек // Труды ТашПИ. Экспериментально-теоретические исследования инженерных сооружений. Ташкент, 1985. С. 20-25.

11. Амосов А.А. Алгоритмы расчета толстостенных оболочек на ЭВМ // Труды ТашПИ. ЭВМ в расчетах и практике проектирования объектов строительства, Ташкент, 1986. С. 7-12.

12. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1987, №5. С. 37-42.

13. Амосов А.А. Основные уравнения трехмерной теории упругих нетонких пластин и оболочек. М., 1988, Деп.ВНИИС Госстроя СССР 9.11.1988, №9722.- 18 с.

14. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория нетонких упругих оболочек и плит. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук, М., 1990.

15. Амосов А.А., Жаворонок С.И. К проблеме редукции плоской задачи теории упругости к последовательности одномерных краевых задач // Механика композиционных материалов и конструкций, 1997, №1. С. 6980.

16. Амосов А.А., Князев А.А., Жаворонок С.И. О решении некоторых краевых задач о плоском напряженном состоянии криволинейной трапеции // Механика композиционных материалов и конструкций, 1999, №1. С. 6072.

17. Амосов А.А., Леонтьев А.Н., Леонтьев К.А. Обобщенная теория плит и оболочек средней толщины // VIII Российско-польский семинар "Теоретические основы строительства" (доклады), Варшава, 1999. С. 13-18.

18. Амосов А.А., Жаворонок С.И. Приближенная трехмерная теория толстостенных анизотропных оболочек вращения // Труды III Всес. конф. по теории упругости с международным участием, Ростов-на-Дону, 2004. С. 44-46.

19. Антонов В.В. Исследование свободных колебаний плит и балок средней толщины. — Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, М., 2000.

20. Баблоян А.А., Мелконян А.П. Осесимметричная задача полого бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками // Изв. АН Арм.ССР, Механика, т.21, №1. С. 3-16.

21. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. - 368 с.

22. Бадалов Ф.Б., Хашимов Н. Решение неоднородных и нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек методом сведения к задачам Коши. -Ташкент: Фан, 1988. 124 с.

23. Базаренко Н.А., Ворович И.И. Анализ напряженного и деформированного состояния круговых цилиндрических оболочек. Построение прикладных теорий // ПММ, 1969, т.ЗЗ. С. 495-510.

24. Базаренко Н.А. Построение уточненных прикладных теорий оболочек произвольной формы // ПММ, 1980, т.44, №4. С. 727-736.

25. Байков В.П., Мальцев В.Г. Приближенный метод расчета толстостенных полых цилиндров при расчете барабанов центробежных насосов // Теория машин и горного оборудования, 1979, №3. С. 97-101.

26. Балабанов JI.M. Однородные решения и выполнение граничных условий на торцах в задаче о равновесии полого толстостенного изотропного цилиндра // Известия АН СССР, МТТ, 1960, №1. С. 95-101.

27. Бежелукова Е.Ф., Волчек А.И. Применение метода прямых к расчету полых цилиндров // Известия ВУЗов, Машиностроение, 1977, №11. С. 1216.

28. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1969. 368 с.

29. Бидерман B.JI. Расчет цилиндров средней толщины на симметричную относительно оси нагрузку, изменяющуюся по длине // Труды II Науч-но-техн. конф. МВТУ, М.: Изд-во МВТУ, 1946.

30. Бидерман B.JI. Расчет симметрично нагруженных цилиндрических деталей // Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1950.

31. Бидерман B.JI. Применение метода прогонки для численного решения задач строительной механики // Инженерный журнал МТТ, 1967, №5. С. 62-66.

32. Бокин М.Н., Егоров Л.А., Афанасьев Ю.А. Ортотропный конечный толстостенный цилиндр в стационарном температурном поле // Труды Пермского политехнического института, 1977, №216. С. 32-40.

33. Бояршинов С.В. Расчет толстостенных полых цилиндров, находящихся под действием осесимметричной нагрузки // Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть элементов машиностроительных конструкций. М.: МВТУ, 1950, вып.26.

34. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. -278 с.

35. Васильев Ю.Н. Приближенное решение осесимметричной задачи теории упругости для полого конечного цилиндра с нормальной нагрузкой общего вида на торцах // Вестник МГУ, Математика и механика, 1968, №5. С. 110-117.

36. Васильев Ю.Н. Приближенное решение осесимметричной задачи теории упругости для полого конечного цилиндра с нагрузкой по торцам, симметричной относительно серединной поверхности // Вестник МГУ, Математика и механика, 1970, №1. С. 90-92.

37. Васильев Ю.Н. Функция напряжений для трансверсально изотропного тела // Труды МИЭМ, М.-Л.: Энергия, 1972.

38. Векуа И.Н. Теория тонких и пологих оболочек переменной толщины. -Тбилиси: Мецниереба, 1965. 102 с.

39. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек // Механика в СССР за 50 лет, т.З, М.: Наука, 1972. С. 267-290.

40. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

41. Влайков Г.Г. К расчету толстостенных элементов конструкций. Строительство ГЭС в горных условиях // Материалы Всес. конф. молодых специалистов, Телави-Тбилиси, 1979. С. 101-102.

42. Влайков Г.Г. Напряженное состояние толстостенных оболочек вращения при неравномерном тепловом нагружении // Прикладная механика, 1980, т. 16, №8. С. 116-119.

43. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. - 223 с.

44. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // ПММ, 1944, вып.2, №8. С. 109-140.

45. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости // Известия АН СССР, ОТН, 1955, №7.

46. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-304 с.

47. Волков А.Н. Расчет толстостенных полых цилиндров. М.: Изд-во УДН, 1972.-152 с.

48. Волков А.Н. Статика толстых оболочек. М.: Изд-во УДН, 1974. - 144 с.

49. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек // Труды 6 Всес. конф. по теории пластин и оболочек. М.: Наука, 1966. С. 896-903.

50. Галеркин Б.Г. Упругое равновесие полого кругового цилиндра и части цилиндра // Труды ВНИИГ, JI.-M.: Изд-во Главгидроэнергостроя, 1932, т. 10. С. 5-12.

51. Гельфонд И.М., Локуциевский О.В. Метод "прогонки" // Дополнение к книге Годунова С.К., Рябенького B.C. "Введение в теорию разностных схем". М.: Физматгиз, 1962. С. 283-309.

52. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1961, т.16, вып 3/99. С. 171-174.

53. Голуб, Романо. Метод определения напряжений и перемещений в толстостенных оболочках при произвольных граничных условиях // Прикладная механика, 1973, №1. С. 233-236.

54. Гольденвейзер A.Jl. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ, 1963,1.21, №4. С. 593-608.

55. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука, 1976. -512 с.

56. Гохбаум Ф.А. Применение метода начальных функций к расчету толстостенных и сплошных цилиндров // Применение железобетона в машиностроении. М.: Машиностроение, 1974.

57. Гоцуляк Е.А., Ткаченко В.Д., Чернописский Д.И. Об одном численном подходе к решению пространственных задач теории упругости // Прикладная механика, 1987, т.23, №6. С. 27-36.

58. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел., т.5, М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.

59. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К расчету напряженного состояния толстостенных неоднородных анизотропных оболочек // Прикладная механика, 1974, т. 10. С. 86-93.

60. Григоренко Я.М., Влайков Г.Г. Напряженное состояние толстостенных оболочек вращения при неосесимметричных воздействиях // Прикладная механика, 1975, т.11, №6. С. 22-28.

61. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Напряженное состояние толстостенных оболочек вращения при неосесимметричных воздействиях // Прикладная механика, 1975, №6. С. 22-28.

62. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. О расчете напряженного состояния толстостенных оболочек из композиционного материала // Техн. и технология композиционных материалов. Материалы 2-ой нац. конф., Варна, 1976. С. 233-236.

63. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1981. - 544 с.

64. Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д., Чу паха Л.Д. Исследование напряженного состояния толстостенных цилиндрических оболочек с неоднородными граничными условиями // Прикладная механика, 1983, т. 19, №6. С. 19-24.

65. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Напряженное состояние неоднородного ортотропного полого конуса // Прикладная механика, 1983, т. 19, №7. С. 12-19.

66. Гринченко В.Т. Осесимметричная задача теории упругости для толстостенного цилиндра конечной длины // Прикладная механика, 1967, т.2, №8.

67. Данелия Р.В. Спектр однородных решений в полом однородном полубесконечном цилиндре // Научные труды ГПИ, Тбилиси, 1980, №5/226. С. 121-124.

68. Девис, Кейт. Анализ сосудов высокого давления методом конечных элементов // Прикладная механика, Мир, 1972, сер.Д, №6. С. 158-164.

69. Дьяконов В.П. MATLAB 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 592 с.

70. Жаворонок С.И. Редукция плоской задачи теории упругости к системе одномерных краевых задач. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, М., 1999.

71. Жгенти В. С. Исследование напряженного состояния неоднородных по толщине, трансверсально изотропных плит // Прикладная механика., 1988, т.24, №6. С. 9-16.

72. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. - 541 с.

73. Исаханов Г.В., Чибиряков В.К. Исследование деформированного состояния и динамического поведения толстых пластин // Проблемы прочности, 1987, №2. С. 89-95, №4. С. 68-76.

74. Канторович В.М., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962. - 708 с.

75. Квитка K.JL, Ворошко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно-деформированное состояние тел вращения. Киев: Наукова думка, 1977.

76. Клабукова JT.C., Чечель И.И. Вариационно-разностный метод решения краевых задач теории оболочек моментной теории И.Н.Векуа // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1988, т.28, №3. С. 375-389.

77. Клосснер, Левайн. Дальнейшее сравнение решений теории упругости и теории оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1966, №3. С. 110124.

78. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1987.-256 с.

79. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: Высшая школа, 1975. - 526 с.

80. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Пасько Д.А. Прочность полых цилиндров. М.: Машиностроение, 1981. - 264 с.

81. Королев Е.М., Лифшиц В.И., Татаринов В.Г. Вопросы прочности сосудов высокого давления. Иркутск: ИркутскНИИхиммаш, 1969. - 266 с.

82. Крищук Н.Г. Анализ напряженного состояния толстостенных цилиндров высокого давления методом конечных элементов // Проблемы прочности, 1984, №1. С. 62-65.

83. Кузнецов Д.С. Специальные функции. -М.: Высшая школа, 1965. -433 с.

84. Ламер Г. К расчету толстой цилиндрической оболочки вращения при действии осесимметричной нагрузки // РЖ МЕХ., 1980, 6В124; Acta techn. Acad, sci. hung. 1979, 87, 13-4. P. 391-413.

85. Лисицин Б.М. Об одном методе решения задач теории упругости // Прикладная механика, 1967, т.З, №4. С. 85-92.

86. Лисицин Б.М. Расчет защемленных плит в постановке пространственной задачи теории упругости // Прикладная механика, 1970, т.6, №5. С. 18-23.

87. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1955.-491 с.

88. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

89. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1975. - 676 с.

90. Матевосян P.P. Вывод дифференциальных формул полиномов Лежандра общего вида произвольного промежутка и их приложение в строительной механике // Исследования по расчету строительных конструкций, Л.: ЛИСИ, 1979. С. 5-20.

91. Милейковский И.Е. Расчет массивных конструкций методами строительной механики пространственных систем. М.: Госстройиздат, 1958. -184 с.

92. Мяченков В.И., Григорьев В.П. Расчет оболочечных конструкций на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1981. - 216 с.

93. Мяченков В.И., Мальцев Ю.Н. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984. -280 с.

94. Новожилов В.В. Теория упругости. Д., 1978. - 369 с.

95. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. - 288 с.

96. Плеханов А.В., Прусаков А.П. Об одном асимптотическом методе построения теории изгиба пластин средней толщины // Известия АН СССР, МТТ, 1976, №3. С. 84-90.

97. Подильчук Ю.Н., Голобородько С.А. О трехмерном напряженном состоянии незамкнутой сферической оболочки // Прикладная механика, 1979, т.15, №11. С. 33-45.

98. Понятовский В.В. К теории пластин средней толщины // ПММ, 1962, т.26,№2. С. 335-341.

99. Понятовский В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок // ПММ, 1964, т.28, №6. С. 1033-1039.

100. Попугаев B.C. Некоторые задачи осесимметричной деформации транс-версально-изотропного цилиндра // Труды ЛИСИ, 1968, вып.52.

101. Прокопов В.К. Равновесие упругого толстостенного осесимметричного цилиндра//ПММ, 1949,т.12,№6. С. 135-139.

102. Прокопов В.К. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного цилиндра // Труды ЛПИ, 1950, №2.

103. Прокопов В.К. О равновесии полого цилиндра конечной длины, нагруженного осесимметричной нагрузкой // Труды ЛПИ, 1958, №9.

104. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. М.: Машиностроение, 1968. С. 439-454.

105. Расчеты на прочность в машиностроении. т.П. М.: Машгиз, 1968. С. 329-385.

106. Рахматуллин Х.А., Лубашевский В.В. Напряженно-деформированное состояние толстостенных конструкций // Доклады АН УзССР, 1979, №9. С. 16-19.

107. Рекач В.Г. К технической теории расчета толстых сферических оболочек // Труды УДН, 1965, т.9, вып.2.

108. Сеге П. Ортогональные полиномы. -М.: Физматгиз, 1982. 500 с.

109. ПЗ.Солер. Теории высшего порядка анализа конструкций, основанные на разложениях по полиномам Лежандра // Прикладная механика, Мир, 1969, №4. С. 107-112.

110. Статика и динамика тонкостенных пространственных конструкций. / Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И. и др. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

111. Сушков B.C. К вопросу о напряженном состоянии цилиндра конечной длины // Труды Харьковского политехи, института, серия инж.-физиче-ская, 1959, т.25, вып.З.

112. Тер-Мкртчян Л.Н. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих тел // ПММ, 1961, т.25, вып.6. С. 1120-1125.

113. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.-635 с.

114. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. ч.Н. Л.-М.: ГТТИ, 1934.-468 с.

115. Успенский Л.Н. Осесимметричная деформация изотропного цилиндра линейно переменной толщины // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1980. С. 121-126.

116. Феллерс, Солер. Приближенное решение задачи о цилиндре конечной длины с помощью полиномов Лежандра // Ракетная техника и космонавтика, 1970, №11. С. 145-152.

117. Хатчинс, Солер. Приближенное решение задачи теории упругости оболочек вращения средней толщины // Прикладная механика, Мир. 1974, №4. С. 129-136.

118. Хома И.Ю. Некоторые вопросы теории анизотропных оболочек переменной толщины // Прикладная механика, 1974, т. 10, №3. С. 17-24.

119. Хома И.Ю. Общая теория анизотропных оболочек. Киев: Наукова думка, 1986.-170 с.

120. Чанкветадзе Г.Г. Упругое равновесие толстостенного кругового цилиндра // Научные труды ГПИ, 1980, №5/226. С. 29-36.

121. Чибиряков В.К. Обобщенный метод конечных интегральных преобразований в статике и динамике нетонких пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений, 1982, вып.40. С. 90-95.

122. Шапиро Г.С. О сжатии бесконечного цилиндра давлением, приложенным на участке боковой поверхности // ППМ, 1943, т.VII, №5.

123. Blech J.J. Axisymmetric stress distribution in anisotropic cylinder of finite length//AIAA Journal, 1969, v.7,№l. P. 59-64.

124. Cheng Shun, Angsirikul T. Three-dimensional elasticity solution and edge effects in spherical dome // Trans. ASME., 1977, E44, №4. P. 599-603.

125. Hermann G., Mirsky J. Three-dimensional and shell theory analysis of axially symmetric motion of cylinders // Journ. of Appl. Mech. 1956, v.23, №4; Trans ASME, 1956, v.78. P. 563-568.

126. Hermann L.K. Stress functions for the axisymmetric orthotropic elasticity equations // AIAA Journal, 1964, v.2, №10. P. 1822-1824.

127. Mirsky J., Hermann G. Axially symmetric motions of thick cylindrical shells // Journ. of Appl. Mech. 1958, v.25, №1; Trans. ASME, 1958, v.80. P.97-102.

128. Nagdi P.M. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic shells of revolution // Quart, of Appl. Math., 1957, 15, №1. P. 41-52.

129. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // J. Math. And Phys., 1944, 23, №1. P. 184-191.

130. Renton J.D. On the buckling of thick spherical shells under normal pressure // Int. J. Solids and Struct., 1981, 17, №2. P. 145-153.

131. Sanson G. Orthogonal functions // Intersciens Publishers, New-York, 1959.

132. Shibahara Masao, Oda Iuhochi. Problem on the finite hollow cylinders under axially symmetrical deformations // Bull. Japan. Soc. Mech, 1968, v.l 1, №48. P. 1000-1014.

133. Shibahara Masao, Oda Iuhochi. On the problems of the stick and hollow cylinders under the axially symmetrical deformations // Mem. Fac. Technol, Kanzana Univ., 1968, v.5, №1.

134. Sundara K.T., Raja Yyenger. The end problem of hollow cylinders // Trans, of the ASME, 1966. P. 685-686.

135. Sundara K.T., Raja Yyenger, Yogonandra C.Y. Analysis of a finite hollow cylinder subjected to axisymmetric and Road // Proc. Nat. Sci., India, 1967, a-33, №1-2. P.25-37.

136. Timochenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars // Phil. Mag. 1921,41, №6. P. 50-57.