автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численно-аналитические алгоритмы для расчета оболочек вращения, пластин и стрежней с переменными параметрами

Санкт-Петербургский Государственный архитектурно-строительный ункЕерситет

"Г"»

< 1 у ол

На 1фаЕах рукописи

Улитки Виктор Васильевич

• УДК 539.3

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ, ПЛАСТИН И СТЕР2НЕИ С ПЕРЕМЕННЫМ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученей степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском технологическом институте холодильной промышленности

Официальные оппоненты: д. т. к., проф. Карпов В. В., д. т. н., проф. Постнов В.. А., , д. т. п., проф. Постоев В. С.

Ведущая организация - Институт проблем машиноведения РАН; г. С¿-Петербург;

/ Защита . состоится б час.

"30." 'мин на заседании диссертационного совета Д 063.31.04 в Санкт-Петербургском ГосударстЕенном архитектурно-строительном униЕергатете по адресу:

198005; Санкт-Петербург; 2-я Красноармейская ул.; д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке утФерсйтета:

Автореферат разосяай ;; ;;;;; 1993 г:

Учений сёкрётарв диссертащюШгаго сйеета кавддат технических Наук; доцент -

И; С: Дерябин

Общая характеристика работы

Создание современных технических устройств (машин, технологических аппаратов, строительных конструкций и т.п.) невозможно без применения ЭВМ для всестороннего исследования их свойств путем математического моделирования и проведения тех или иных расчетов на различных стадиях проектирования. Одним из этапов в этом процессе является анализ прочности (в широком смысле этого слова), что призодит к необходимости решения некоторой краевой задачи строительной механики. Поэтому совершенствование существующих и разработка новых алгоритмов для решения таких задач является актуальной научно-тёхнической задачей. Несмотря на наличие целого ряда достаточно мощных методов и алгоритмов и большого числа программ для ЭВМ, исследования и разработки в этом направлении постоянно продолжаются. При этом развитие и совершенствование ЭВМ в целом ряде случаев требует разработки принципиально новых алгоритмов и, кроме того, открывает- новые возможности для использования известных алгоритмов, которые ранеб казались либо нереализуемыми,' либо мало эффективными. Потребности инженерной практики непрерывно растут, в первую очередь, в связи" с 'необходимостью создания систем автоматического проектирования (САПР). При втом .важнейшими требовавниями являются быстродействие и минимально возмокные объёмы памяти.

Будем называть эффективными алгоритмы, обладающие высоким быстродействием и ■ гребущие минимально возможные объёмы оперативной памяти. Можно указать по крайней мере три случая,

когда эффективность алгоритма в этом смысле играет решающую роль. Так в программах оптимизации алгоритм, связанный с "оценкой прочности", может применяться на каздом шаге поиска и определять, таким образом, продолжительность решения задачи в целом.Решение нелинейных задач зачастую сводится к многократному решению ряда линейных задач, а нестационарных - к многократному решению ряда стационарных. Таким образом,' алгоритм решения линейной задачи во многих случаях определяет эффективность более сложных алгоритмов.

Целью работы является: разработка эффективных алгоритмов для решения краевых задач механики Оболочек, пластин и стержней • с.' переменными параметрами, поведение элементов которых описывается системами линейных дифференциальных уравнений, а /также для решения нестационарных задач теплопроводности и термоупругости.

В соответствии с целью работа:

1) разработан усовершенствованный метод построения матрицанта и метод факторизации линейного дифференциального .оператора, позволяющие построить общее решение задачи в численном, операторном или аналитическом виде и получены оценки сходимости алгоритмов и точности результатов;

2) разработан алгоритм численного выполнения преобразования Лапласа методами математического программирования для решениг нестационарных задач теплопроводности и термоупрутости;

3) на базе вышеуказанных алгоритмов разработаны алгоритм! решения многовариантных краевых задач и построения матрш жесткости и матриц податливости;

- 54) разработай ряд программ, позволяющих решать задачи упругости, теплопроводности и термоупругости для оболочек вращения, пластин и стержней с переменными параметрами и проведен вычислительный эксперимент по оценке сходимости, точности и эффективности предложенных алгоритмов;

5) выполнен расчет ряда оболочек, пластин и стержней и проведено сравнение полученных результатов с известными расчетами и экспериментальными данными.

Таким образом, для решения . краевой задачи строительной механики в данной работе используются два метода, которые в дальнейшем, для краткости, будем называть методом матрицвнтов и методом факторизации, '

Отличительной особенностью предлагаемых алгоритмов по сравнению с известными является то, что они позволяют построить численно (а в отдельных случаях и в аналитическом виде) общее решение задачи, то есть фундаментальную ' систему решений и частное решение неоднородного уравнения или системы.

Научную новизну составляют:

1) численно-аналитические алгоритмы на основе метода матрицвнтов для получения общего решения краевой задачи строительной механики} . *

2) итерационный алгоритм ' факторизации линейного, дифференциального оператора и численно-аналцтичесткие алгоритмы на основе метода факторизации для получения общего решения краевой задачи строительной механики;

3) алгоритмы численного обращения преобразования Лапласа, основанные на методах математического программирования и методе наименьших квадратов, для решения нестационарных задач;

-64) дифференциальное уравнение, описывающее плоский изгиб стержня »с переменными параметрами на упругом основании при статических и динамических нагрузках и общее решение этого Уравнения в операторной форме, записанное в кодах;

5) система.разрешающих уравнений для оболочек вращения в матричной форме с разделением матрицы на слагаемые и блоки и алгоритмы решения краевых задач для такой системы в том числе и при действии локальных нагрузок;

6) нестационарное уравнение теплопроводности для оболочек переменной толщины с приведением трехмерного температурного шля к среданной поЕер*лости оболочки и алгоритм решения его на основе.численного обращения преобразования Лапласа;

7) результаты решения краевых задач для ряда конкретных систем и полученные на этой основе программы для их расчета.

Совокупность выполненных в диссертации исследований может быть квалифицирована как новое перспективное научное направление, связанное с созданием численно-аналитических алгоритмов построения общего решения разрешающие уравнений и ■решения многовариантных краевых задач строительной механики длг одномерных и двумерных систем..

Достоверность результатов исследований обеспечиваете! строгой математической формулировкой задачи й обоснованность] механических и.' теплофизических моделей исследуемых объектов доказательством и оценкой сходимости алгоритмов, достаточны числом вычислительных экспериментов, для исследования сходимост: и оценки точности результата, удовлетворительным согласование: полученных результатов с результатами других исследователей совпадением результатов, порученных автором в одной и той ж

9

- ?-

задаче различными методами, соответствием результатов расчета физической природе явлений и данным эксперимента.

Практическую ценность составляют разработанные на основе методов матрицанта, факторизации и численного преобразования Лапласа эффективные алгоритш и .программы для расчета оболочек вращения, пластин и стерзкней с переменными параметрами на различные механические нагрузки и воздействие стационарного и нестационарного температурного поля, программы определения собственных частот для стержней с переменным;! параметрами, а также узко специализировашше программы для расчета свай в слоистых грунтах с учетом изменения коэффициента постели с глубиной в каждом слое и для расчета нестационарных термонапрятоний в цилиндрической оболочке, соединенной с охлаждаемым фланцем через конический переход.

Кроме того, самостоятельный интерес могут представлять алгоритш и программы, которые носят вспомогательный характер и работают в составе вышеуказанных программ. К ним можно отнести, например, программу определения матрицанта для произвольной системы линейных дифференциальных ' уравнений нормального вида, программу.решения краевой задачи для такой системы и программу для численного обращения преобразования Лапла'са. •

Внедрение результатов диссертации выразилось в передаче. программы для расчета свай в ЛенЗНИИЭП и программ для расчета стационарных и нестационарных температурных полей и тармо-напряжений в корпусах аппаратов с охлаждаемыми фланцами в ЛепШИХиммащ.

На защиту выносятся:

- алгоритмы метода матрицантов для построения обп;его решения разрешающих уравнений в виде система ■ нормального вида с переменными коэффициентами;'

- алгоритмы метода факторизации для построения общего решения в тех случаях, когда разрешающее уравнение представлено в виде дифференциального уравнения с переменными коэффициентами;

- комбшшрованный метод, основанный на сочетании метода факторизации и метода матрицантов;

- алгоритм! решения многовариантной краевой задачи, соединения системы последовательных элементов и построения матриц жесткости и податливости;

- алгоритм численного выполнения преобразования Лапласа ■методами математического программирования;

- разрвшаздав дгеМэрэщиальше • уравнения для стержней и 'оболочек с переменными параметрами, построенные в форме, обеспечпващей возможность аффективного применения вышеуказанных алгоритмов;

- результаты решения краевых, задач для стершей и оболочек с перемешыми параметра;®.

Апробация; Основные результаты работы докладывались на секции "Строительной мехатжл и сопротивления материалов" имени профессора Н. К. Сачтко (Ленинград, дом ученых, 1981, 1986 и 1989 г.г.), на тематической конференции "Проблемы численного моделирования и автоматизации проектирования инженерных конструкций" (Ленинград, 1986 г.), на всесоюзном научном семинаре "Методы потенциала и конечных ■ элементов в < автоматизированных исследованиях инженерных конструк-

ций"(Ленинград,1987, 1988,' 1989, 1990 и 1991 г.г.), на второй всесоюзной конференции '"Численная реализация физико-механических задач- прочности" (Горький, 1987 г.), на моггреспублшсанской . научно-технической конференции "Численные метода решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности" (Волгоград, 1990 г.), на научном семинаре "Актуальные проблемы прикладной механики", посзящэнном памяти профессора Н. К. Сшггко (С.Петербург, 1991 г.), на всесоюзной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики" (Саратов, 1991 г.)..

Публикации:. Основные результаты исследований опубликованы в 12:научных статьях и докладах, в одной монографии и трех отчетах по НИР.

Структура и объем диссертации : Работа состоит из введения, шести глав' , заключения и списка литературы (220 наименований) и содержит 439 сраниц машинописного текста, 22 таблица и 60 рисунков. ■. •

•Основное содержание диссертации

Во введении обосновывается необходимость решения многовариантных краевых задач, приводится краткий обзор известных методов решетя задач для оболочек, • пластин и стержней с переменными параметрами и намечаются основные направления исследовшг.гй.

В главе I приводится алгоритм построения . общего решения системы линейных дифференциальных уравнений нормального вида с переменными коэффициентами методом матрпцштов. Система

линейних уравнении представлена в матричной форме:

У ^ АЧ + 1?. (1)

Матрицант вычисляется как сумма матричного ряда: п = £ +|а +]а|а +[а|а[а +...=£+ ^ . (2)

где £ ~ единичная матрица, | - оператор интегрирования в

пределах от 0 до х .

Матрицант представляет собой нормированную в нуле матрицу общего решения однородной .'системы, с помощью которой также определяется и частное решение, отвечающее данному вектору нагрузок £ :

У = У0 + •= О С + П |п~1 V (3)

На основе этих, в общем известшх результатов, разработан численный алгоритм построения матрицанта, вычисления частного реыения и решения многовариантной краевой задачи. Исследованы йБОйства общего и частного решений и сходимость ряда (2). Показано, что при численной реализации алгоритма уравнения должны быть приведены К безразмерному виду. Исследовано влияние с^рук-.туры матриц на алгорйм ЗДчасления матрицанта и получены .выражения для вычисления матрицанта от ряда специфических матриц, в • том числе, от матриц, имеющих общий параметр, от суммы матриц и от ряда матриц с характерной структурой произвольно ■рисокого порядка. Последнее обстоятельство позволило организован тестирование алгоритмов для систем произвольно высокого порядка. 'Ток для суммы, трех матриц, две из которых имеют' общие

-11. множители, матрицант определяется следуждаи выражениями:

0 (Л0 + ^А^ Л2А2 ) = п (А0) П(В) 0(Q ); (4)

В = А.11 О (А1 )}"1А1 П(А0) = ^ Л1! -1

С = Д.1СП(А1)3 А2 П (Л0) = ¿2Л2;

Q = X2m (Е л 1А2 n (В)= A.2Qr

Показано, что метод матрицантов наиболее естественно реализует метод наращивания элементов ■ (МНЭ) для системы последовательно соединенных элементов. Получено общее выражение для матри-

цанта и частного решения такой системы через мвтрицанты и

i

частные решения для отдельных элементов:

Y = ñ 0°+ (5)

• • -n2YFi + ¥M• • • W?2 •

"Аи^УД-г + Ví,k-1 + Y?,k: '

Разработана система программ для' реализации отдельных этапов алгоритма на ЗЗМ и универсальная программа решения многовариантиых краевых задач для систем уравнений нормального вида. Выполнен ряд вычислительных экспериментов по тестированию как отдельных блоков', так и всей программы в целом. Блоки и процедуры, составляющие эти программы, в дальнейшем использовались' при разработке программ для расчета стершей и оболочек с переменными параметрами и конкретных конструктивных элементов,

В гм'мна 2 приводится алгоритм построения общего решения дк&ареицяелыюго уравнения с порлданншй коэфйвдентшй методом факторизации. При этом дайоренцкалшЛ оператор п-го порядка представляется в еидз произведения п операторов первого порядка, а слста фундаментальных р«кенай лрадсташиегся в интегралах от экспоненциальных выражений, содержащих коэффициенты э-*'^ операторов: (л)

Ь у = 1(х); (6)

(п) (О I

Ь у = аи у -- а^ у = \ Ь к = В + Ък;

у = с1 фл т Р ; • (Т)

= е Фг = е |е

••• ф„ = =""1 V К

... [.'»Л«.

Ксследсваш свойства фундаментальных фуш^й н сходимость .алгоритма. Основш* результатом этой главы является иторащганлий алгоритм факторизации, позволяющий выполнить факторизации любого лташшого дифференциального оператора, если его коэффициенты. - функции с конечным числом ' разрывов первого рода.' Ка ка:адой ступени алгоритма оператор порядка п представляется в Евде произведения оператора первого порядка и оператора порядка п - 'I :

(п) , 1 у = 1 Л у; . 1« Б 4 Ь ; Л= рл>л; 3=1,2.....п-1.

О

Дпя этого выполняется следующий итерационный процесс: Пгдаотся функция Ь , тогда

т= |ь; е'"' (а - ь= ап_г рп_2;

(В)

и так дал-?е.

Приводится алгоритм решения многоЕариактной краевой задачи. Получено з операторной ферме и в аналитическом общее

рскекиз уравнения второго порядка, которое, в частности, представляет уравнение теплопроводности для систем с переменяй;® параметра:,'.;!. Показано, что сочетание метода факторизации и метода матрицантов дает матрицаят в видэ треугольной матрицу и получены Епра:;;е1шя для его элементов. Общее решение в тааой форме позволяет построить наиболее эффективные поскольку обращение такой матряци требует жшикалх?"'? число операций.

Б главе_3_ приводится алгоритм численного обрпвдшия

преобразования Лапласа методами математического программл-ровэния. Искомые функции апг;рснсимируются некоторым; в ос:г,ем случав нелинейными выражениями, кмэ вдели кзвветныэ изображения по Лапласу и содержащими ряд неизвестных коэффициентов. Для переходных процессов асимптотического характера использовались аппрокекмирукдое функции вида:

•V ' -ог • • '

Т(т)= Л +{В + 2 а3. члт) ) е . (9)

¿=1

Трансформанта такого Екрааэния

А . В п~3 Кз)«» — + (10)

¿=1

Коаф1ициекты в эти выражениях определялись из ' условия минимума функционала невязки между значениями трансформанты аппроксимирующего выражения и изображения искомой функции взятыми при ряде значений параметра преобразования. При этом решенье нестационарной задачи сводится к решению соответствующей стационарной задачи в пространстве преобразований с последующим обращением трансформанты с помощью вышеуказанного алгоритма. В качестве функционала невязки принималась суша квадратов вышеуказанных отклонений. Разработаны два алгоритма определения неизвестных коэффициентов: путем поиска абсолютного минимума в пространстве значений коэффициентов на сетке с неременным шагом и путем поэтапного определения коэффициентов методом наименьших квадратов. В последнем случае первоначально определялся параметр затухания с. После того, как этот параметр найден, остальные коэффициенты определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений

V? Л = В; V? = Ст Н С; В = V; (11)

где л - вектор неизвестных коэффициентов, С, Н и V матрицы, элементы которых зависят от аппроксимирующих функций значений трансформисты и параметра преобразования в . При этом существенно сокращается время решения задачи. поскольку большинство коэффициентов определяется из решения системы •линейных алгебраических уравнений невысокого порядка. Оба алгоритма реализованы в виде программ для ЭВМ, Выполнен вычислительный эксперимент по исследованию сходимости и точности этих алгоритмов. На этой основе разработаны алгоритмы для решения нестационарной задачи теплопроводности.

^ О -ьЧ

г(т)= ^-(дг + 2 а^. г ) е ; Дг = t£- (12)

Трансформанта такого выражения , •

% дг г^ За.,

Т(в)= ---У —• <13)

в (в+с.) (¡з+с) °

В главе 4 рассматривается 'расчет стержней с поремитяшми . параметра!,51. Получено дифференциальное уравнение, отесывавшее плоский изгиб стерпи с переменными параметрам!» при стационарных и динамических нагрузках, в котсром учитываются перемещения от сдвига, силы инерции при смещении и повороте сзчешй и наличие упругого основания с двумя коэффициентами постели. Для такого уравнения четвертого порядка методом матрицантоз получено общее решение в .операторной форме, причем Еырахения для элементов матрицанта записали в виде кодов, которые показывают последовательность выполнения операций' умножения и интегрирования над коэффициентами уравнения. Например:

|Г1аз. хк/ к!)-..

При этом каждый элемент матрицакта вычисляется в отдельности, что снижает объем оперативной памяти и повышает.быстродействие алгоритма. С помощью этого общего решения в" аналитическом виде получено общее решение для балки на упругом основании , с коэффициентом гостели,который изменяется по линейному закону. На этой основе разработаны программы для расчета свай в слоистых грунтах (рис. I). Программа может работать как самостоятельно для расчета отдельных снай, так и е составе комплекса программ, с помощью которого все сооружение в целом расчитывается методом конпчпих элементов. В этом случае сначала программа ■ расчитывает матриц],:

-4 6-

M i %

ÜLq. KJ2) N(H) m) ' Q.(z) M fe)

I

i_i

L

Рис. I.

и \ i3 i. i ™

¿K

I

п

jj_Г!

L j

г г и)',

77777-'

Рис. 2.

жесткости свай:, а затем, после ротная задачи 'ЛКЭ - огдзлыше сван.

Вышеуказанное общее репхнпэ позволило так:::? построить алгоритм и разработать программу для определения собственных частот и форм колебаний ¡лгогоопорних стершей с перетюннгаи nspsviTpsr.« которые с.:е»т упругкз :ш квсггаз опори' несут произвольное число сосредоточенна usee, обладающих моментом янер^ж (р"-. ?.) Показано, что при применен:::; :/.зтода катргаантсв н?гзп:сц.:з от числа участков, границами которая является опоры ссс;:едотэ-ченныо массы, уравнение частот всегда сгодится к оцргдогитсво Еторого перадка. Укзгзтй определитель получается исключением двух строк и двух столбцов из катрхцзнто систем:-: последовательно соединенных участков, для которого получено следуьзее вархзкиа:

0'= Н Q Iv; (15)

п и

Vi Пп-1 Ьп--1 ■••'Н1 fi1 V •

Здесь Hj. - матрицы преобразования стр'.к, L,. - у.зтеицы преобразования столбцов; которвг зависят о? узг.овл:; со1трл.::-;-]:.;я участков к и к + 1. Hn , LQ- зналоппыще матрицы, cnnci:2aw:e граничные 'условия на правом и левом конце стертая. Поскол>чу из • гранитных условий на левей конце две лроизЕольныэ постэлшче либо равны пул?], либо выражаются через да другие, матрица всегда содержат две нулевые строки • два нулевых столбца.

В тем случоз, когда участки стертая жепт посгояпзов сечете, матрицант для кездого участка выракается "через фужлга Н. Крылова, и репенке задачи мскет бить получено в it;,n.vi?:!~ ческсм Б5!Д9. Таким образе;,; получено уравнение чаете? д»к атаяной раки с жесткие ригелями (рас. 3) при пр:..5.»;:огл?.:..; числе

втакей и произвольном соотношении между массами ригелей и стоек: ЩТ-М) - УОМШ)] о.п+ 1Т(5-М) - иомш)] Рп=0. (16)

.В этом выражении Б.Т.и.У - функции Л. Н. Крылова, ад 15 |3Г - -функции, зависящие от числа этажей п, которые представлянт собой некоторые'комплексы из функций А. Н. Крылова. Численное решение этого уравнения позволило получить первые десять собствеишх чисел при числе этакой от I до 30 и различных соотношениях между массами Стоек и ригелей. Анализ уравнешя (16) позволил изучить свойства спектра собственных чисел для вышеуказанной рамы и других подобных систем. В частности показало, что в спектре первые собственные числа расположены сигшшм' образом, ¡¡о с некоторого номера иьг между ними становится постолшцм и рылшм тс.

В главе 5 рассматривается задачи статики для оболочек вращения. На Сазе разрешающих уравнений, предложенных Н. В.. Валиивилл, в м-тр^чном виде получена система дифференциальных" уравнений с безразмерными параметрами, которые являются функциями безразмерных координат:

1 = А0Г + А^ 4: Л2У'+ Р ; ' (17)

В этом выражении слава стоит производная по меридианальной 'координате, а в прпвой - производные ' по окружной координате. Матрицы А0* А1, Аг -зависят от параметров оболочки« а вектор Рот параметров нагрузки; Рассматриваются два метода понижения • размерности этой двумерной системы: метод разложения функций в тригонометрические ряди по окружной координате й метод полос: В том случае, когда задача решается в тригонометрических рядах; . для кгадой из гЬрмошж подучен« следующая система:

Х1Г ЛхА + ^ ■ <18)

АХк= АХ0+ к АП + к2АХ2- " ' Матрица этой системы представлена в виде суммы матриц с общими множителями, поэтому матрицам определяется выражением • (4), если в нем положить к, Х2 = к2. Эти выражения позволяют построить "эффективный алгоритм при любом числе . гармоник, поскольку участвующие в нем матрицы не зависят от номера гармоники. Он реализован в виде универсальной программы для расчета оболочек вращения при представлении нагрузок тригонометрическими рядами. Программа формирует общее решение для каждой из гармоник и решает многовариантную краевую задачу для любого числа нагрузок при фиксированных кинематических граничных условиях. С помощью этой программы решались задачи о распределении перемещений и внутренних усилий при несимметричной деформации сильфонов, в конической оболочке с линейно переменной толщиной и в эллиптической ■ оболочке с коническим переходом. Результаты решения для конической оболочки сравнивались с результатами, полученными А. Д. Коваленко, а результаты для эллиптической оболочки - с результатами тензометрирования в восьми точках аналогичной крышки химического аппарата (рис 4). В обоих случаях получено удовлетворительное совпадение.

Показано, что разработанные алгоритмы- и программы позволяют решать задачи по расчету оболочек на действие локальных нагрузок, распределенных по произвольной част:! поверхности, по дуге меридиана или параллельного круга. В качестве тестовых решались классические задачи для цилиндрической

иГмм 0.40 Q20 О rMO-rOÁO AI -fi

оболочкн, нагруженной силой или моментом, распре деленным;! по прямоугольной площадке. При этом в характерных точках контура площадки получены удовлетворительные совпадения с результатами, приведенными з известных работах П. П. Бсйларда, В. М. Даревского и Б. В. Нерубайлы. Однако при этом замечено, что максимальные' значения изгибающего момента 31 прогиба могут лежать за пределами площадки (рис. 5). Кроме того рассматривалось распределение изгибающего момента по контуру прямоугольной площадки, поскольку такое распределение лучше описывает случай, когда деталь приварена к поверхности оболочки СЕарным швом. В этом случае величина изгибающего момента больше, а максимум его, как правило, лежит за пределам! площадки (рис. 5). Такая схема применялась при расчете напряжений в составной оболочке корпуса химического аппарата с опорами-лапами (рис. 6). При этом показано, что достаточно большие напряжения возникают в мэстах крепления этой оболочки к корпусу, что необходимо учитывать при расчетах соответствующих сварных швов. • , '

В главе 6 рассматриваются нестационарные задачи термоупругости для оболочек и пластин. Получено нестационарное уравнение теплопроводности для тонких оболочек переменной толщины, причем изменение температуры по толщине аппроксимировалось • квадратичной зависимостью, что позволило выполнить, граничные условия третьего рода на поверхностях оболочки и свести задачу к определению температурного поля I в ее срединной поверхности:.

. ■ ^о - 4*о--• <1э>

Для решений нестационарной задачи применялось преобразование Лапласа, поэтому получено изображение вышэуказанного'уравнения:

-гг-

- гз-

- - РЛ +а"1 (вТ - *00> ■ • (го>

Получены зависимости для всех функция, входящих в эти уравнения. Задача в пространстве преобразований решалась для ряда значений параметра преобразования в, что позволило затем найти для каждой точки зависимость температуры ст времени с помощью программ для численного обращения преобразования Лапласа, приведенных в гл. 3. Для исследования двумерных тетюратурных шлей в многосвязшх областях сложного очертания использовался' метод коночных элементов с прямоугольными элементами. Получены уравнения теплопроводности и термоулругости для короткой конической оболочки с линейно переменной толщиной. Для первого уравнения методом факторизации получено общее решение в аналитическом,виде, а для второго использовалось общее решение, полученное в глава 4. На основе сочетания этих результатов и МКЭ решена задача о распре делении нестационарных температурных полей и термонапрякекий.в узле соединения охлаадаемых фланцев с корпусом технологического аппарата через конический переход. ■ Показано, что в процессе нагрева температурные напряжения могут быть больше, чем при стационарном режиме (рис. ?). Решена также задача о распределении' термонапряжений в пластинах и цилидриадских панелях с' свободными торцами. Разрешающие уравнения в атом, случае формировахюь методом полос и решались методом матрицантов. Результаты решения, этой задачи удовлетворительно . согласуются с результатами, ¡юлучегошми автором ранее Еариационныки методами.

12 3^56

7 8 3 <0 11

ГС

SO

-«f-f—r

10

2k

Рас. v.

Заклтеше

Основные теоретические и практические результаты работы сводятся к следующему:

I. Разработан численно-аналитический алгоритм метода матрицантов для решения многова)эиантных краевых задач, в котором используется структура матриц, а общее решение может быть получено в численном виде, в операторной форме или в аналитическом виде, в зависимости от структуры матрицы системы. ■ Предложена запись операторной формы решения в кодах и в таком .виде'получено общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка с произвольными переменными ■ коэффициентами. Показано, что метод матрицантов наиболее естественно и просто реализует метод наращивания элементов для системы последойательно соединенных элементов и получено выражение матрицвнта и частного решения для такой системы через матрицанты и частные решения для ее элементов. •

2.. Разработан •численно-аналитический алгоритм метода факторизации для решения многовариантных краевых задач, в основу которого положен алгоритм факторизации линейного дифференциального оператора с переменными коэффициентам!. Показано, что сочетание метода факторизации и метода матрицантов ' позволяет получить матрицант в виде треугольной ■ матрицы. Для уравнений . второго порядка с переменными коэффициентами произвольного Еида - (в том числе и для уравнения теплопроводности) .получено общее решение в операторной форме и в аналитическом виде в степенных рядах.

3. Разработан численный алгоритм обращения преобразования Лапласа методами математического программирования преимущественно

для решения нестационарных задач теплопроводности и термоупругости, который позволяет посла решения соответствующей стационарной задачи в пространстве преобразований _ вычислить обращение трансформанти и получить зависимость искомых функций от времени для каждой узловой точки рассматриваемой области.

4. Для стержней с переменными параметрами получено дифференциальное уравнение, описывающее плоский изгиб с учетом перемещений от сдвига, сил инерции при смещении и повороте сечений и упругого основания под действием статических и динамических нагрузок и температурного поля. На основе решения этого уравнения в операторной форме, записанного в кодах, получено аналитическое решение для балки с линейно переменным коэффащи-ентом постели и разработана программа для расчета свай в слоистых грунтах, которая может работать как самостоятельно, так и в системе программ МКЭ, с помощью которых расчитывается сооружение в целом. Показано, что при применении метода матрицантов уравнение'частот для стержня с переменными параметрами при любом числе участков сводится к определителю второго порядка, и на этой основе разработаны алгоритмы и программы для определения собственных частот и собственных форм колебаний многоопорных стержней. Получено аналитическое выражение для уравнения частот многоэтажной рамы с жесткими ригелями и изучены свойства спектра собственных чисел для такой рамы.

5. Для оболочек вращения с переменными параметрами получена в матричном виде система разрешающих уравнений и построен общий алгоритм решения многовариантной краевой задачи на основе метода матрицантов. Разработана универсальная программа для решения задачи в тригонометрических рядах и показано, .что алгоритм в

■ целом и программа применимы при расчете оболочек на действие локальных нагрузок, распределенных по произвольной част! поверхности, по дуге меридиана или параллельного круга 1 исследовано напряженно-деформированное состояние ряда оболоче! под действие циклически симметричных и локальных нагрузок.

6. Для решения задач термоупругости получено нестационарно» уравнение теплопроводности тонких оболочек вращения перемете: толщины с граничными условиями третьего рода на поверхностях причем расчет трехмерного температурного поля сводится к расчет, двумерного температурного поля в срединной поверхности, нестационарная задача решается с помощью численного обращени

I

преобразования Лапласа.Для расчета двумерных температурных поле в многосвязных областях сложной формы разработан алгоритм • МКЭ прямоугольными конечными элементами. На основе сочетания метод матрицантов, метода -факторизации и МКЭ разработана программа дл расчета нестационарных температурных полей, термонапряжений напряжений от механической нагрузки в- узле соединения охлаждаемы фланцев с корпусом технологического аппарата через конически переход. Кромэ того на основе метода полос и метода матрицантс . решена задача о распределении температурных.напряжений в пласти нах и панелях с- свободными торцами.

7. На основе Вышеуказанных алгоритмов разработана система программ, состоящая из ряда типовых блоков, реализующих: отдельно этапы алгоритмов, которая позволяет формировать как универсальные программы (например, для расчета оболочек вращения), та» и узко специализированные программы (например, для расчете охлавдаемых фланцев с коническим переходом), и монет служит! основой при разработке программного обеспечения для решэши

широкого круга инженерных задач.

Таким образа*. в работе получены методы и алгоритмы, которые расширяют арсенал средств для решения краевых задач строительной механики.

Основное содержание диссертации отражено ■ в следующих ' работах:

1. Улитин В. В. Применение метода Ритца при решении задач термоупругости в перемещениях. - В кн.: Исследование, конструирование и расчет химических машин и апаратов: Сб.статей. - Л.: ЛТИ им. Ленсовета, 1976,' с. 40 - 46.

•2. Улитин. В. В. Алгоритм решения задач ' упругости, термоупругости и теплопроводности для оболочек вращения. -В кн.: Строительная механика сооружений: Межвуз. темат. сб. тр. - Л.: ЛИСИ, 1982, с 110 - 114.

3. Улитин В. В. Применение метода факторизации к решению задач упругости и термоупругости для оболочек вращения. - В кн.: Строительная механика сооружений: Межвуз. темат. сб.. тр. - Л.: ЛИСИ, 1983, с .12 - 16.

4. Улитин В. В. напряженно - деформированное состояние при нагрвЕе цилиндричесих панелей со. свободными криволинейными краями. - В кн.: Расчет строительных . конструкций с учетом физической нелинейности материала на статические н динамические нагрузки: Межвуз., темат. сб. тр. - Л.: ЛИСИ, 1984, с 35 - 42.

5. Гнатюк В. В., Снитко А. Н., Улитин В. В. Решение задачи термоупругости для тонких оболочек вращония при граничных условиях третьего рода. - В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 49. - Киев: Будивильник, 1986. с 79 - ВЗ.

-зо-

6. Улитин В. В. Алгоритм решения нестационарных задач упругости и термоупругости, основанный на численном' преобразовании Лапласа. - В кн.:' Прочность,- устойчивость и колебания строительных конструкций: Межвуз. темат. сб. тр. - Л.: ЛИСИ, 1986, с 29 - 34.

7. Улитин В. В., Гнатюк В.В. Итерационный алгоритм решения задач упругости и термоупругости. - В кн.: Проблемы расчета строительных конструкций с учетом физической и геометрической нелинейности: Межв. тем. сб. тр. - Л.: ЛИСИ, 1986, с 138 - 145.

' 8. Снитко А. Н., Улитин В. В. Решения задач термоупругости с помощью численного преобразования Лапласа методами математического программирования.-В кн.: Численная реализация физико-механических задач прочности: Тезисы докладов 2-ой Всесоюзной конференции. - Горький: Из-во Горьковского ун-та, 1987, с. '172 - 173. • .

9. Арясов Г., Снитко А., Улитин. В. Алгоритм численнйго обращения преобразования Лапласа в задачах нестационарной вязкоупругости. - В кн.: Прочность и оптимизация конструкций.

Ученые, записки Тартусского.гос.. ун-та, вып. 853. . - .Тарту:

t

1989, с 157 - 167. • ,

.10. Улитин-В. В. Итерационный алгоритм построения общего решения - В кн.:' Строительная механика сооружений: . Межвуз. темат. сб. тр. - Л.: ЛИСИ, 1989, с 53 - 59.

II. Исследование температурных полей и термонапряжений в в элементах автоклавов, разработка и отладка специализированных программ для расчета их на ЭВМ. Отчет по теме НИР N . 944 (заключительный). / _ Ленинградский технолог, ин-т холодильной пром. - 1990, .42 с. •

12. Улитин В. В. Числено-аналитические алгоритмы построения общего решения линейных задач строительной механики. - В кн.: Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности. Тезисы докладов межреспубликанской научно-технической конференции. - Волгоград, 1990, с. 86 - 87.

13. Исследование температурных полей и термонапрякений в элементах автоклавов при нестационарных технологических режимах и разработка специализированных программ дл_я расчета на ЭВМ. Отчет по ' теме НИР N50 (заключительный). / Ленинградский технолог, ин-т холодильной пром. - 1991, 36 с.

14. Разработка математической модели и алгоритма расчета температурных полей и термонапряжений в элементах ' автоклавов при нестационарных технологических режимах; разработка блок-схем для ЭВМ ЕС-1036. Отчет по теме НИР N 50 (промежуточный)./ Ленинградский технолог, ин-т холодильной пром. - 1991, 16 с.'

15. Улитин В. В. Итерационные -алгоритмы решения краевых задач механики на ЭВМ.-- С. Пб.: Из-во С. Петербургского ун-та, 1991. -232 с.

16. Улитин В. В. Метод матрицантов 'при решении задач упругости и теплопроводности. '- В.'.кн.: Материалы всесоюзной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики", том 3. -Саратов: Из-во СГУ, 1991, с. 272 - 273.