автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Большие прогибы жесткопластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения при действии давления с учетом предварительного напряжения и краевых моментов

На правах рукописи

ГГ5 ОД

ВУИЯ Коку Эммануэль

2 2 ДЕК 70ПЗ

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИНОК И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ДАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ И КРАЕВЫХ МОМЕНТОВ

05.23.17-строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -2000

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов инженерного факультета в Российском университете Дружбы народов

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Член-корреспондент Российской Академии архитектуры и строительных наук,

академик Международной Академии наук высшей школы, Заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор технических наук.

доктор технических наук, профессор Р.И. Непершин кандидат технических наук, доцент А. И. Данилов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Центральный научно - исследовательский и проектно-эскпериментальный институт комплексных проблем строительных конструкций н сооружений им. В.А. Кучеренко

диссертационного совета Д 053.22.08 в Российском университете дружбы народов

по адресу: 117302, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 348.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198,г. Москва,ул. Миклухо-Маклая ,6

профессор Ерхов М. И.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

2000г." в 15ч.30мн на заседания

Автореферат разослан

к

Ученый секретарь диссертационного совета доюгор технических наук, профессор

С.Н. Кривошапко

Ы51. 634.1-1:2, 03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большие масштабы строительства в России и других странах предъявляют все более высокие требования к качеству проектных решений, к рациональному использованию материалов и свойств конструкций и сооружений. В связи с этим особое значение приобретает • создание прогрессивных методов расчета конструкций, позволяющих добиться повышения экономичности возводимых сооружений..

Учет пластических свойств материала является одним из наиболее существенных направлений строительной науки. Основной моделью расчета конструкций за пределами упругости является модель идеально пластического тела. В рамках этой модели наиболее приемлемой в силу ряда преимуществ следует считать модель жесткопластического тела. Такая модель целесообразна в условиях существенного превосходства пластических деформаций по отношению к упругим, в силу чего последние считаются на порядок меньшими по сравнению с пластическими деформациями. Однако пренебрежение упругими деформациями одновременно означает пренебрежение соответствующими перемещениями. ,С другой стороны, приоритетный учет пластических деформаций означает одновременно приоритетность соответствующих им перемещений. Одним 1 словом, в теории жесткопластического тела необходим учет больших перемещений.

Несмотря на очевидную необходимость и важность расчета геометрически нелинейных идеально пластических систем, результаты решения таких задач пока не получили широкого применения в практике проектирования, что связано в основном с недостаточной развитостью соответствующих методов расчета и анализом их результатов.

В связи с этим одной из актуальных проблем является развитие методов расчета конструкций и систем при пластических деформациях с учетом геометрической нелинейности. Работ, посвященных решению тех или иных аспектов этой проблемы, чрезвычайно мало. Имея в виду прежде всего аналитические методы расчета, следует указать на их трудность. Но и численные методы расчета пока не позволили дать материал для полного анализа проблемы.

Что же касается оболочек и пластинок, то учет нелинейности и пластических деформаций имеет в виду довольно широкий круг практических конструкций (элементов строительных, судостроительных, авиационных, химических систем).

Целью диссертационной работы является:

- разработка методики решения задач о больших прогибах круглых пластинок и пологих оболочек вращения из идеального жесткопластического материала с различными видами закрепления при действии равномерно распределенных нагрузок, с учетом предварительного растяжения-сжатия и внешних опорных моментов;

- применение разработанной методики для исследования • напряженно-деформированного состояния круглых пластинок и пологих оболочек вращения, а также для вычисления прогибов круглых пластинок и пологих оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности;

- получение аналитических зависимостей "нагрузка-прогиб" для задач о больших прогибах пластинок и оболочек из идеального жесткопластического материала с различными видами закрепления при действии равномерно, распределенных нагрузок, краевых моментов и предварительного растяжения-сжатия, анализ предлагаемой методики и рекомендации по расчету рассматриваемых конструкций.

Научная новизна работы состоит в том, что:

1. Разработана методика построения аналитического решения задач о больших прогибах жесткопластических круглых пластинок и пологих оболочек.

2. В конечном виде и замкнутой форме получены полные решения задач о больших прогибах круглых пластинок с шарнирным опиранием при действии распределенных нагрузок, краевых моментов и предварительного растяжения-сжатия.

3.Получены аналитические решения задач о больших прогибах пологих оболочек вращения под действием давления, краевых моментов и предварительного напряжения.

4. Получены графические материалы о поведении геометрически нелинейных пластинок и оболочек за пределом упругости с шарнирно неподвижными, подвижными опорами при действии распределенных нагрузок, краевых моментов и предварительно приложенных продольных сил, которые позволяют дать рекомендации по расчету рассматриваемых конструкций.

Достоверность результатов подтверждается использованием строгого математического аппарата и теории пластического течения, а также сравнением полученных результатов с некоторыми частными результатами других авторов.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что разработанная методика построения корректных аналитических решений задач о больших прогибах пластинок и оболочек из жесткопластического материала, сами решения а также графические материалы могут быть непосредственно использованы при расчете и проектировании аналогичных конструкций. Кроме того, разработанная методика может быть распространена на другие виды конструкций.

На защиту выносятся:

- методика расчета жесткопластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности;

- методика учета действия краевых моментов и предварительного продольного напряжения при решении задач о больших прогибах жесткопластических пластинок и оболочек различного вида закрепления при действии распределенных нагрузок.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

- XXXIV научной конференции профессорско-преподавательского состава инженерного факультета Российского университета дружбы народов ( 1998 г.);

- XXXV научной конференции РУДН (1999г.)

-. II Международная научно-практическая конференция -школа-семинар молодых ученых, аспирантов и докторантов сооружения, конструкции, технологии и строительные, материалы XXI века. Проблемные доклады ведущих ученых.Часть!-Белгород.: 1999г.С.47-53.

- Эффективные конструкции в новом строительстве и при реконструкции i / зданий и сооружений: Сборник докладов. Международной научно- ' практической конференции «Качество, безопасность, энерго-и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов и строительстве на пороге XXI века». ЧастьЗ.-Белгород.: 2000г.С.34-38.

Публикации. По результатам выполненных в диссертации исследований опубликовано четыре статьи.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (95 наименований), изложена на 151 странице, содержит 55 рисунков и 57 таблиц.

В первой главе диссертации излагается обзор и анализ направлений в исследовании задач расчета идеально пластических систем с учетом геометрической нелинейности. Подавляющее число работ в этой области строится на основе использования численных методов расчета. Несмотря на то, что одновременный учет физической и геометрической нелинейностей в расчетах конструкций является наиболее естественным и целесообразным, этой проблеме посвящено сравнительно небольшое количество работ, что объясняется трудностью решения подобного рода задач и недостаточностью их анализа. Особое направление в решении физически и геометрически нелинейных задач связано с получением аналитических решений. Такие решения обладают несомненными преимуществами перед численными: они позволяют проанализировать общий характер решения подобных задач, дать в краткой форме ответ на различные вопросы расчета рассматриваемых конструкций. Тем не менее, получению аналитических решений задач о физически и геометрически нелинейных системах посвящено чрезвычайно малое количество работ, что в первую очередь объясняется сложностью постановки и недостаточным развитием соответствующих методов решения. Применительно к пластинкам известна работа М.И. Ерхова и Л.В. Кисловой, рассматривающая шарнирно опертую круглую пластинку, и статья М.И. Ерхова, в которой изучена пологая оболочка под действием равномерно распределенной нагрузки с шарнирным опиранием края и действием опорных внешних моментов. Однако упоминаемые решения не рассматривают дополнительное предварительное напряжение.

Реальные перспективы аналитического решения задач о физически и геометрически нелинейных пластинках и оболочках предложены в работах М.И. Ерхова , Л.В. Кисловой и A.B. Старова, но в них не учитывается одновременное действие краевых моментов и предварительно приложенной продольной силы а также распределенной нагрузки.

Таким образом, в первой главе сделан вывод о целесообразности получения аналитического решения задач о больших прогибах идеально пластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения с учетом одновременного действия внешних опорных моментов и предварительного напряжения при распределенной внешней и внутренней нагрузках. В соответствии с этим приведены основные уравнения и соотношения для решения таких задач. Особую роль играют при этом условия для слабых разрывов функций прогиба, которые позволяют найти необходимое решение достаточно непротиворечивым образом.

Во второй главе диссертации излагается методика и аналитическое решение задач о больших прогибах круглых пластинок из идеального жесткопластического материала с шарнирно подвижными и неподвижными опорами при действии равномерно распределенных нагрузок, краевых моментов и предварительно приложенной продольной силы. Показано, что достаточно приемлемое по точности решение этих и более сложных задач можно получить относительно простым способом, нучитывая продольного перемещения вдоль радиуса окружности пластинки. Полученное решение задачи о больших прогибах пластинки с шарнирно неподвижными опорами при действии равномерно распределенной нагрузки несущественно отклоняется от решения такой же задачи, опубликованной в литературе. Жесткопластическая схема деформирования предполагает, что пластические деформации существенно превосходят упругие, качественно это может соответствовать, например, неограниченному пластическому деформированию или не стесненности его. При этом целесообразен учет больших перемещений или геометрической нелинейности.

Учет больших перемещений при расчете идеально пластических систем, кроме того, вскрывает резервы их несущей способности.

Рассматривается круглая пластинка с шарнирно неподвижным и подвижным опираниями контура, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой и изгибающими моментами на опорах. Пластинка предварительно сжата или растянута продольной силой N1, которая может быть следствием нагрузки, нагрева, охлаждения и др.

Уравнения равновесия пластинки при больших прогибах в безразмерной форме имеют вид:

£(г,(п,±п))-(л,±и) = 0 ; -±(гтУт,-Ог = 0

аг аг

1 ^ ( / I .и-Л1^. п

±и)-гт-(и, ±п)- — + р = О г аг аг г аг

где введены следующие безразмерные переменные:

г 2т . _ рг1 _ N

(1)

п = ■

к

И ' " а.И1 ' г а И1 ' " 2На.

2па. а,п

I— радиальная координата поперечного сечения; Q -поперечная сила. Предварительное равномерное растяжение - сжатие обозначается чертой над буквой

N

оно одинаково в радиальном и кольцевом направлениях и

2 Лег

является заданным. Усилие А',.является следствием действия нагрузки р при отличных от нуля прогибах. Черта над буквами обозначает размерную величину.

Граничные условия выражаются следующим образом:

т] = т2 , пх = п2 , и = и = 0 при г = О

/и, = 0 , а>- 0 , со- 0, й = и = 0 при г = 1

Деформирование разбивается на 2 этапа: при "малых" прогибах и при "больших" прогибах.

С учетом предварительного растяжения-сжатия условия текучести пластинки, представленные в виде совокупности неравенств

| < у]к2 ~(п±п)2 , \т2\<^к2 - (п ± п)2; \т2 -т^^к2 -(п + п)2 характеризуют шестиугольник текучести ( Ерхов М. И. 1978 ). После интегрирования уравнения равновесия (1), используя условие

пластичности т2 =-\/&2 -(и ±п)~ и граничное условие от, =±а (а-величина краевого момента), при г - 1 получаем

(2)

Условие максимума нагрузки приводит к выражениям

(n±n) = -^gH= , гп2 = г——= , р = Зк^4 + Юо . (3) V4 + co о V4 + (0o

Подставляя (3) в (2) получаем выражение для радиального момента

2к , , Г.—ч г2 ©„к mi = , , -( Ч4 + юо+2а ) I 7Т <4>

V4+C0Q 2 2^/4 ^ т?

и-со0

Условие максимума радиального момента от, дает выражение для и проводит к значению шах /и,

ксо,

Jo

2к(4 + O)q)+ 4а yj4 + Юд

(5)

16Аг (4 + о^)+32ак^4 + (о\ + щк2 2к тахот,=-^-7 г -1-> ,-- , (б)

Отсюда следует, что в окресности г = 0 при &>0 >0 и при 1

нарушается условие пластичности , т.е /и, >/л2 , таким образом а>0 =0 в случае «малых прогибов имеет место выражение для нагрузки

п =

р = вк + 6а . (7)

В случае больших прогибов образуются две зоны пластическою деформирования: центральная 0 </"£/•, и пограничная /*,</•< 1. В

центральной зоне =п2 =сопх1 =т2 - (п ± п)~ . И}

уравнения равновесия следует, что поперечная сила 0 = 0, прогиб и скорость прогиба соответственно равны

4\п ± п)

со = <ып

f -> \ рг'

4(п ± п)

(8)

(О < г < г,) .

В пограничной зоне т2=\к —(п±п)~ . Согласно :

закону пластического течения, из граничных условий и условий сопряжения при г = г, следует выражение для прогиба и скорости прогиба

■ • (1-г)

ГЛ — /-Л Л-—

со = со

( г,<г^1 )

а

'"(1-г.)

(9)

где со, - прогиб при г = г;

При переходе через границу раздела зон с различными пластическими режимами должны удовлетворяться условия для слабых разрывов функции прогибов,

КМ К,]=0, [й>]+ф,]=0

тогда из выражения (8) и (9) следует:

После интегрирования по времени получаем

рг,(1-г,)

(10)

(11)

со, =

о:

2(п + п)

где константа интегрирования определяется из условия, что при г, = 0 й>, = со0 . Из (8) и (12) следует вьфажение для радиального прогиба

«Ь -77^(2-1) •

°~4 (и±п)

Напряженное состояние в пограничной зоне определяется вьфажением Рг

II — li I . lit I — Шч---1---

12 г

Qr = ^(r-r,).

(13)

(14)

Учитывая граничные условия /», = ±а при г = 1 и тх = ш, при г = г,, из выражения изгибающего момента /)/, получаем формулу для определения-нагрузки

\l\Jk2 -(п±п)2 + «)

(1-Г,)2(2 + Г,) '

Величину (/7 ± п) в зависимости от /*, начоднм из условия максимума безусловной функции

(!-Г,)2(2 + Л) (/? ± «XI - /*, ):(2 + г,)

где Д-неопределенный множитель Лагранжа. Из условий

(16)

д п

= 0 и

5Ф

57

= о

следует система уравнений

-]2{П±И) . ЗА;-,(2 "±пУ

у}к2-(п±я)2

{п ± И)2 4к2 ~{п±п)2

= 0

(17)

36у/к2 ~(п±п)2 + 36а + Д

( 3^к2 ~(п±п)2 + За )

(я ±п)

Решая систему уравнений (17), получаем -4(п±п)3

Д =

г, (2 - г,) к2 + аЛ/к2 -(п± п)2

•[зг.О + г.Хг-г,)] = о

_ б(п ± пХ1 + гг) г,2-2г,-2

(18)

(п±п) =

V

3(1 + г, )г| (2 - г,) к2 + а^к2-(п±п)2

2(2 + 2г,-гг)

(19)

Подставляя (19) в выражения для прогиба (13) и нагрузки (15) получаем решение задачи в зависимости от задаваемых г, ,а ,к. На рис.1 показан схема загружения пластинки. На рис.2; 3 представлены зависимости "нагрузка-прогиб" а на рис.4 показаны картины распределения радиального момента т1 вдоль радиуса при разлотных значениях а и к = 1.

Далее рассмотрена задача деформирования жесткопластической круглой пластинки под действием равномерно распределенной нагрузки в случае шарнирно подвижного опирания края с учетом больших прогибов, действия краевых моментов и предварительного напряжения :Используя ассоциированный закон пластического течения , граничные условий и участок гиперповерхности текучести т2 = 1 - (и2 ± п ) , получаем выражение для

s

скорости прогиба й> = <a0(l -г) .Считая ,что (и, ± п) = n(l - г) и (и2 ± n)=n(l - 2г) , где п = const , и интегрируя уравнения равновесия получаем выражения для перерезывающей силы и изгибающего момента

пг2

Qr=£-—лг(1-г)со0 ,

2

2 \

(20)

+ WC0nl --^J

Используя граничное условие ти, = ±а при г = 1, получаем формулу для нагрузки

р = б(1Т а)- 2пг +/кв0 . (21)

ф

Условие максимума р по л — = 0, дает выражения

<Ьг

со0=4л; л= — ; /? = 6Т6а+— (22)

4 8

Подставляем (20) в (21) и находим экстремум тх при г = г,:

(23)

Для проверки условия пластичности составляем функцию т1—т2 и показываем ,что оно не больше нуля 0 1, |аг| < 1 тогда <»о=4;Р = 8Т6а; и = 1.

При со о > 4 считая, что п = 1 , находим сначала скорость радиального перемещения , а затем и само радиальное перемещение , используя граничные условия:при г-0;п = 0 ; п-п

2 ■ »2/1Ч..121 , '».„ЬяЛ!

J -Inyi-n (l-2rf\ +2/и|1-Я I (24)

На рис.5, и 6. показаны зависимости "нагрузка -прогиб" для жесткопластической круглой пластинки с шаркирно подвижным краем при действии равномерно распределенной нагрузки, краевых моментов и предварительного напряжения

В разделе 111.1 . третьей главы рассматривается задача о больших прогибах пологой оболочки вращения под действием внутреннего давления со сплошным однослойным сечением . Оболочка имеет шарнирно- неподвижное опирание края (рис.7а)

Уравнения равновесия для пологих оболочек вращения с учетом больших прогибов имеют вид:

—±п) ]- (п2 ± п) = 0; -—(ли,)+ пи -Ю- 0; dr dr "

1 d I г>\ I + , , 1 d{co + Я)

- — (уб)-(И|±я) V, 2 -И2±я)---l + p = 0 (25)

r dr dr r dr

r r 2co , 2Л

где введены следующие безразмерные переменные: г = —, (ú =—■; Л = —,

r0 h h

0Ж.

от, =—ni = -—- соответственно безразмерные внутренние изгибающий

сг,/г" ст.Л' ' 2а,h'

M¡ N,

—V; n¡ = —L

ash2 ' 2ash

момент и нормальная сила; i=l,2 индексы радиального и кольцевого направлений; г-радиальная координата; г0-раднус края оболочки в плане; а>-прогиб; X -геометрический параметр оболочки; О -поперечная сила; 2h-толшина поперечного сечения; р -равномерное давление; ег^-предел текучести,

N -предварительное растяжение-сжатие(оно одинаково в радиальном и кольцевом направлениях согласно первому уравнению (3.1)); знак плюс соответствует растяжению, знак минус сжатию, n±ñ < к Нормальные силы и, ,п2 являются следствием действия поперечной нагрузки

2к Аа р. Имея в виду, что тг = —. , где А = со0--; а -геометрическии

V4 + А2 3

2

размер оболочки, равный о = и анализируя выражение для радиального

Rh

момента после интегрирования уравнения равновесия (25)

т 2к | 2Akar2 Akr°o | kr2(yl4 + A2 ±2а)

' 4 А + А2 Зл/4+Л2 2л14 + А2 2

приходим к выводу , что первая стадия пластического течения имеет место при со0 = 0 р = 3&V4 + А2 ± 6а В случае больших прогибов в центральной зоне имеет место формулы

(и, ±ñ) = (n2 ±ñ)=n = const, m¡ = т2 = т к2 ~(п±ñ)1 =const, рг2

со = ео0 + —.-зг - аг .

А(п ± п)

С помощью ассоциированного закона пластического течения и условий для слабых разрывов (10), получаем выражение для центрального прогиба

(27)

В результате получаем нагрузку

ubce + Jk2 ~(п± И)2) , ,

р = —i---Ц-^ + Аа{п ± ñ). (28)

2 - Зг, + г,3

Используя метод множителей Лагранжа, можно вывести алгебраическое уравнение четвертого порядка относительно (п ± й), которое решается численно . На рис 8 и 9 показаны зависимости " нагрузка-прогиб" при различных геометрических параметрах оболочки , значениях краевого момента и

предварительного напряжения . На рис.10 представлена зависимость радиального момента от радиуса оболочки и от параметра а.

В разделах III.2 и III.3 приводится решение задачи о неподвижной опертой пологой оболочки при воздействии внешнего равномерно распределенного давления (рис.7б), краевого момента и предварительного напряжения. Уравнение равновесия аналогичны уравнениям (25) с принятыми обозначениями. Сначала рассматривается случай а

После преобразований находим выражение для радиального момента :

2к 2Акаг2 Акга0 г2(кл/4 + А2 ±2сс )

">1= I-г—г=Т + —Г=%—*-ö-■ <29>

V 4 + А2 3V4 +А 2V4 +А 2

Проанализируем (29) с учетом того, что величина А является знакопеременной.

Пусть А<, 0. Тогда экстремум (29) достигается при |rmax| > 1, а исследование

знака второй производной от /и, свидетельствует о том, что при

а < Зу[2 , ео0 < , р < 2к^9 + 4а2 ± 6а; \а\ < 1 возможна конусоидальная

форма распределения прогибов. Если теперь Л>0 и а

йЗт/2, то нарушается условие текучести, в оболочке возникают две зоны пластичности с различными режимами, при этом

р > б(к ± а). При а>0 =а>0' — —■ происходит «прохлопьшание» оболочки.

В случае больших прогибов в центральной зоне

(и, ±л)=(и2 ±n) = n = const, m1 -тг.г =m =^jk2 ~(п±п)2 =const „2

pr 2

0 = coa - —--ar .

. 4 n

В зоне, примыкающей к центральной, используем уравнения гиперповерхности текучести вида:

mj + и2 = к* ( 1,0 <; А:;2 ^ 1,09 ) ,т\ + п\ = к\ ( 0,95 £ к\ <, 1,0 ) Рассуждения , аналогичные в разделе III.1., приводят к соотношениям: ^Г 2

m1 = Vk2-(n±n)2-^ar2(n±n)+rrla(n±n)-E- + ElL + 3 6 4

2 ( с 3 г

(30)

юп =

+ ajr,(2-r1)+^(l-r1) (31)

Г Р . А /1 . \ . 4а

4(п±п)

12( №-(п±п)2±а ) 4ar, (n±п)(3 + г,) Р~ (1-^(2 + 0 (1-0 (2 + г,) (32)

Условие максимума безусловной функции

, "3;1+2 (33)

3 -г,2) 2я(4 + 3 2 _ з)

Д —---ч- ^- + —)-j-И Д - Д еоп

(п ± я Д2 + г, - 3/-,) 3(2 - п2 - г,) ^

приводит к уравнению шестой степени относительно (и ± л), которое решается численно на ЭВМ с помощью стандартных программ. Искомые значения (п ±») ,p,mt,can выбираются из соблюдения двух условий: 1) удовлетворения условию пластичности ; 2) условия максимума нагрузки

График зависимости "предельная нагрузка- центральный прогиб" при -различных геометрических параметрах оболочки, значении краевого момента представлены на рис . 11 + 13 . Картина распределения радиального изгибающего момента для различных значений гх и при а = -0.3 показана на рис.14.

Далее решение продолжено для случая а> Зл/2, когда при "малых прогибах" нагрузка меняется от:

р* =2кл/9 + 4а2 ±6а при юо=0; до

р" =3k^4 + Jj^ + Va2-18j ±6а при щ = а0 = |(а-л/а2-18). (34)

При больших прогибах справедливы формулы для слабых разрывов (10) , но в этом случае их интегрирование производится с учетом начального условия: при

г, =0 со0- а>о =—(а - л/а* -18^, тогда вьфажение для центрального прогиба

примет вид:

ю0

Имеют место следующие выражения для радиального момента и нагрузки:

»о = +а)г> (2 - ri)+ -r«) • (з5)

ш1=Л/к2-(п±п)2-^а(п±п>2+аг1г(п±п)-И_ + Р!11 +

3 6 4

Юрг(п±п) аг,3(п±п) рг,3 сад2(п ± п) + 2 • Зг 12г 2г •

р=ф2-(п±п У^Ы0^«Х°±Н).4а(пАд) . (36)

(1-г,)2(2+г,) _ (1-Г.Х2 + Г,)

Зависимость величины (п + п) от г, находится из условия максимума безусловной функции, что приводит к алгебраическому уравнению шестого порядка решаемое численным способом. На рис 15+18 представлены

зависимости "нагрузка-прогиб" для различных значений а\а\ и к2 =1.

а)

±n

2h

±а

Г».

30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

г»...... .i

m

±ñ г

б)

Z ,р

±ct 2hi_r

Го

%

Z

Рис.1.

а = 0.5

/

/ /

/ /

/

/

/

/

/

/

123456789 10 Рис.3.

250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 О

а =-0.5

/

/

/

/

/

/ /

/

/

/

0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 Рис.2.

m

а = -0.8

1

0.8 0.6 0.4 0.2 О -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

п 0

X

\ п = 0. I

ч > 1 : ( .2

s N N

ч S

л Ч

\

О 0.1 0.2 0.3 0.40.50.6 0.70.8 0.9

Рис.4.

16 14.8 13.6 12.4 11.2 10 8.8 7.6 6.4 ' 5.2 4

\ ),2, / /

У s

= i У / у

< L3 >< / /

> / у /

>< / / /

У

01 23456789 10

20 18.2 16.4 14.6 12.8 11 9.2 7.4 5.6 3.8 2

Ç -<>.f

\ч

i с = -0 5 > s

\ s

а =_(| '.5

0123456789

Р

Рис.5.

Рис.6.

а = -0,3

ri =0.6 =0.8

а = -0,3

16 14 12 10 8 6 4 2

й_= 1 /

\ / /

/ / /

/ у /

\ X.; ± ''У > У / /

\ \ ! '3 \/

N £ / У

1 —

01 2 345 6789

Рис.13, р а = 0

45 40 35

30 25 20 15 10 5 0

г

ÇX„ Hl L

\

0 1.4 2.84.25.6 78.4 9.811.212.614

Рис.15. Р а = 0,5

180 160 140

120 100 80 60 40 20 0

а Ю t -

\ \ /

\ N /

/ /

/ /

\ * 0_ t

\ V N /

-0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис.14. Р а = 0,5

108 96 84

72 60 48 36 24 12

1

/

< к_= 5. /

\ t f

а = 0 у

N У

>< t S

/ У s

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Рис.16.

а = -0,5

0 3.5 710.5 И 17.52124.528 31.535

126 112 98 84 70 56 42 28 14 0

N, а

\ / A

\

N \

V \ S *

\ A /

\ 1 , V / У

4 S

0 5 1015 20 25 30 35 40 45 50

Рис.17.

Рис.18.

Рис.7. Р а-1

Рис.9.

Р a—0,3

{

а = . /

.1 ! ! /

■ч t

а i / / /

>

ч / / /

Ч / / /

s У

0123456789 10

160 140 120 100 80 60 40 20

О 8 16 24 32 34

Рнс.8.

|mi| а«о 0.6

0.5 0.4 0J 0.2 0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 ] Рис. 10.

Р а-03

30 27 24 21 18 15 12 9 6 3

о

о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Рис.12

Ï/

í

а я; 13 /

Ч /

а я / /

а у •j \ у /

\ т / /

! ! / /

\ / / /

\ \ Í i /

ч ч / / /

Г

Основные результаты и выводы.

1. Разработана методика аналитического решения задач о больших прогибах круглых пластинок и пологих оболочек вращения за пределом упругости, в которой существенную роль играют условия для слабых разрывов функции прогиба.

2. Получены решения задач о больших прогибах круглых пластинок с шарнирно подвижным и неподвижным опиранием, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, внешними опорными моментами и заданным предварительным напряжении.

3. Получены решения задач о больших прогибах пологих оболочек вращения под действием внутреннего давления, краевых моментов и заданного предварительного напряжения .

4. Получены решения задач о больших прогибах пологих оболочек вращения под действием равномерно распределенного внешнего давления, краевых моментов и предварительного напряжения с шарнирно неподвижными опирами .

5. Получена в виде аналитических зависимостей, оценка влияния геометрических параметров пологих оболочек вращения на ее форму деформирования ("прохлопывание") при действии внешнего давления.

6. Разработанная методика решения может быть распространена на другие виды круглых пластинок и пологих оболочек.

7. Полученные решения задач благодаря аналитической форме, графикам и таблицам могут найти непосредственное применение в практике проектирования оболочечных конструкций.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Ерхов М.И., Вуйя Коку Эммануэль. Большие прогибы растянутой жесткопластической балки с шарнирными опорами при действии равномерно распределенной нагрузке и краевого момента. Доклад XXXIV научной конференции РУДН. Изда-во АСВ. -М.:1998, С. 123-125.

2. Ерхов М.И., Вуйя Коку Эммануэль. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопластической пологой оболочек с краевым моментом. Доклад XXXV научной конференции РУДН. Изд-во АСВ.-М.: 1999,с.

3. Ерхов М.И., Вуйя Коку Эммануэль. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопластической пологой оболочки вращения при действии давления с краевыми моментами. Проблемные доклады Ведущих ученых. II Международная научно-практическая конференция -школа-семинар молодые ученых, аспирантов и докторантов сооружения, конструкции , технологии., и строительные. Материалы XXI века.-Белгород : БелГТАСМ, 1999,-4.1-с. 47-53.

4. Вуйя Коку Эммануэль. Большие прогибы жесткопластической предварительно напряженной круглой пластинки при равномерно распределенной нагрузке с шарнирно -подвижным краем и краевыми моментами. Сборник докладов международной научно-практической конференции « Качество, безопасность, энерго-и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов и строительстве на пороге XXI века». -Белгород: БелГТАСМ, 2000.-Ч.З.-С.34-38.

ВУЙЯ Коку Эммануэль (БЕНИН)

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИНОК И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ДАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ И КРАЕВЫХ МОМЕНТОВ

В диссертации разработана методика решения задач о больших прогибах круглых пластинок и пологих оболочек вращения из идеального жесткопластического материала, с подвижным и неподвижным опиранием, при действии равномерно распределенной нагрузки с учетом предварительного растяжения-сжатия и краевых моментов. Разработанная методика применена для исследования напряженно-деформированного состояния круглых пластинок и пологих оболочек вращения, а также для определения прогиба рассматриваемых конструкций с учетом геометрической нелинейности. Получены аналитические зависимости между нагрузкой и прогибом для задач о больших прогибах из идеального жесткопластического материала, с подвижным и неподвижным опиранием, при действии равномерно распределенного внутреннего внешнего давления, краевых моментов и предварительного растяжения-сжатия.

VVOUYA KOKOU EMMANUEL (BENIN)

THE LARGE DEFLECTIONS OF RIGID-PLASTIC CIRCULAR PLATES AND SHALLOW SHELLS SUBJECT TO PRESSURE CONSIDERING PRE- STRESSED TENSION AND BOUNDARY MOMENTS

In the thesis is worked out the methodology of solving problems on large deflections of circular plates and shallow shells of revolution. The materials of these constructions are rigid-plastic. These constructions, subject to uniformly distributed load taking into account pre-stressed tension-compression and boundary moments have movable and immovable supports. The worked out methodology is used to investigate the stress-strained state of circular plates and shallow shells of revolution. It is also used to determine the deflection of the considered constructions taking into account the geometrical non-linearity. Analytic relations between load and deflection are obtained. This is done for the problems on large deflections of constructions, which materials are ideally rigid-plastic. Their supports are movable and immovable. The constructions are subject to uniformly distributed internal and external pressures, boundary moments and pre-stressed tension-compression.

WOUYA KOKOU EMMANUEL (BENIN)

LES GRANDES FLECHES DES PLAQUES CIRCULAIRES ET DES ENVELOPPES ROTATIVES A PENTE DOUCE, RIGIDES -PLASTIQUES SOUS L' EFFET DE LA PRESSION DES PRECONTRAINTES ET DES MOMENTS AUX LIMITES

Dans la thèse on élabore une méthode de résolution des problèmes relatifs aux grandes flèches des plaques circulaires et des enveloppes rotatives à pente douce en matériau idéalement rigide-plastique sur appui mobile et fixe soumis à des charges uniformément réparties en tenant compte des tractions - compressions préliminaires et des moments aux limites. La mise en application de cette méthode s' utilise pour 1' analyse de 1' état des compressions- tractions des plaques circulaires et des enveloppes rotatives à pente douce, et ainsi que pour la détermination et la résolution des flèches examinées dans les structures en tenant compte de la non-linéarité géométrique. Sont obtenues des relations analytiques entre les charges et les flèches dans les problèmes liés aux grandes flèches , en matériau idéalement rigide-plastique avec appui mobile et fixe soumis aux pressions intérieures et extérieures uniformément réparties, des moments aux limites et aux compressions- tractions préliminaires.

fSl'C^ Tu-¿¿g-o?. 3 e, ,7

Введение.

I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКАЗАДАЧ О РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ

И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

1.1. Задачи расчета конструкций с учетом физической и геометрической нелинейностей (обзор литературы).

1.2, Постановка задач о расчете жесткопластических конструкции при больших прогибах

1.2.1. Геометрические соотношения.

1.2.2. Физические соотношения.

1.2.3. Исходные соотношения теории идеально пластических систем.

1.2.4. О соотношениях между разрывами.

II. БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ЖЕСТКбпЛАСТИЧЕСКОЙ

ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ С ШАРНИРНЫМ ОПИРАНИЕМ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКЕ И КРАЕВЫХ МОМЕНТАХ

II. 1. Большие прогибы жесткопластической предварительно напряженной круглой пластинки с шарнирно неподвижным опиранием при распределенной нагрузке и краевых моментах.

П.2. Большие прогибы жесткопластической предварительно напряженной круглой пластинки при равномерно распределенной нагрузке с шарнирно подвижным краем и краевыми моментами.

III. БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПОЛОГОЙ

ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ С КРАЕВЫМИ МОМЕНТАМИ

III.1 Большие прогибы предварительно напряженной жесткопластической пологой оболочки вращения при действии внутреннего давления и краевых моментов.

III.2. Большие прогибы предварительно напряженной

Одной из первоочередных задач развития народного хозяйства страны на современном этапе является экономное потребление материально-технических средств. Бурный рост объема строительства в связи с поставленной задачей требует создания новых типов прочных и в то же время экономичных конструкций, повышения эффективности технологии производства, совершенствования существующих и создания новых методов расчета строительных конструкций.

В современном промышленном и гражданском строительстве, машиностроении, судостроении и многих других отраслях народного хозяйства широко используются такие тонкостенные конструкции, как круглые пластинки и пологие оболочки вращения. Для определения более реального поведения этих конструкций и правильной оценки их ресурсов прочности необходим учет пластических деформаций.

Расчет оболочек и пластинок с учетом пластических деформаций, основанный на модели жесткопластического тела, является наиболее простым (по сравнению с упругопластической моделью) и дает результаты вполне приемлемые практически.

Дополнительные резервы несущей способности конструкций могут быть выявлены в результате исследования геометрически нелинейного деформирования конструкций.

Учет геометрической нелинейности является важным в практике расчетов и проектирования конструкций. Допустимость решений подобных задач в предположении малости перемещений строго неопределенна, а имеющиеся данные и физические соображении позволяют утверждать, что большие перемещения при этом являются реально достижимыми. Достаточно указать на конструкции металлических резервуаров, трубопроводов с заглушками, элементов химической аппаратуры, на конструкции в виде пластин и оболочек, испытывающих воздействия большой интенсивности. В связи с вышеизложенным, тема диссертационной работы, является актуальной.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе обсуждаются состояние вопроса и постановка задач о расчете конструкций с учетом физической и геометрической нелинейностей. § 1.1. посвящен обзору литературы, в § 1.2. излагаются основные геометрические и физические соотношения, граничные условия, исходные соотношения теории идеально пластических систем, соотношения между разрывами.

Во второй и третьей главах разрабатывается методика построения аналитических решений, описывающих поведение жесткопластических конструкций при больших прогибах. В § II. 1. рассматривается однослойная жесткопластическая предварительно напряженная круглая пластинка с шарнирным опиранием при равномерно распределенной нагрузке и краевых моментах. Решение обобщается на случай пластинки с шарнирно неподвижным краем и краевыми моментами; в § II.2.-для шарнирно подвижного опирания края и краевых моментах.

В главе §111.1. рассматривается пологая оболочка под действием внутреннего давления. § III.2. посвящен большим прогибам пологой оболочки при воздействии внешнего давления (случай а < Зл/2 ). В

§111.2. решение III.2. продолжено для случая а > Зл/2 .

Приведенные в конце работы выводы показывают, что полученные в диссертации результаты позволяют более реально оценивать несущую способность статически нагруженных пластинок и оболочек. 6

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что: 1) разработана методика построения аналитических решений задач о больших прогибах жесткопластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения: 2) в конечном виде и замкнутой форме получены полные решения задач о больших прогибах круглых пластинок под действием равномерно распределенной нагрузки и пологих оболочек вращения при внутреннем и внешнем давлениях: 3) в полученных решениях существенную роль играют условия для разрывов производных функции прогиба. Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что разработана методика построения корректных аналитических решений задач о больших прогибах круглых пластинок и пологих оболочек, данные могут быть непосредственно использованы при расчете и проектировании конструкций, благодаря большому количеству таблиц и графиков. Кроме того, разработанная методика может быть распространена на другие виды нагрузок, пластинок и оболочек.

ГлаваГ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

1.1 ЗАДАЧА РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ (обзор литературы)

В настоящее время известно много различных теорий пластичности, причем в самое последнее время предложены новые теории. Чтобы понять причины многообразия теорий пластичности необходимо уяснить цели, какие они преследуют. Задача теории упругости, например, совершенно ясна: по заданным нагрузкам найти деформации, а также найти в теле напряжения для того чтобы знать, не возникнут ли в нем нежелательные остаточные деформации или, в случае хрупких материалов , не произойдет ли разрушения. Задача теории упругости в принципе легко решается благодаря чрезвычайной простоте закона Гука.

Посмотрим, каковы же основные задачи теории пластичности. Мы не будем рассматривать задач пластичности связанных с изучением вопросов ползучести, релаксации, вязкости (зависимости сопротивления от скорости). Эти вопросы выходят за пределы данной работы. Мы остановимся только на тех теориях пластичности, в которых механические свойства тел от времени не зависят.

В таком случае перед теорией пластичности с точки зрения механики может стоять такая задача.

Основная задача аналогична задаче теории упругости: по заданным внешним силам статического и динамического характера или вынужденным деформациям некоторых частей тела или по тому и другому найти деформации; найти остаточные деформации, если нагрузки полностью или частично сняты; найти измененные в результате пластической деформации механические свойства тела и установить, каковы будут его деформации, если приложены вторичные нагрузки; найти нагрузки, при которых происходит разрушение(трещина) в какой- ни будь части тела. Вполне очевидно, что соответствующая теория пластичности должна учитывать основной факт-зависимость напряжений от предшествующих деформаций тела.

Все основные известные теории пластичности , как отмечал уже Прагер, и в том числе его теория , основаны на некоторых линейных соотношениях между тензорами, полученными путем дифференцирования и интегрирования девиаторов напряжений и деформаций.

Соотношения между напряжениями и деформациями материалов, находящихся в пластическом состоянии, изучались в работах многих исследователей А. А. Ильюшина [25] , Работнова Ю. Н. [47], Соколовского В.В. [52] , Гвоздева A.A. [4] , Ржаницына А. Р. [48], Ивлева Д. Д.[23] , Лепика Ю.Р. [34], Григорьева A.C. [7] , Ерхова М. И. [11] , Терегулова И.Г. [54], Микеладзе М.Ш. [38], Немировского Ю.В. [42] , Качалова Ж.В. [26], Мисевича Ю.М. [39], и других зарубежных ученых Друккера Д., Гопкинса Г. [6] Мизеса Р. Койтера В. [28] , Оната Е. Т. [81], Прагера В. [46] Прандтля Л., Рейснера Е., Саймондса П. , Хилла Р. [59] Ходжа Ф. Г.[60] . Работы такого рода могут быть разделены на математическую и физическую теории. Математическая теория по сути дела является обобщением теории упругости, в ней учитываются результаты эксперимента с тех, чтобы получать более точные оценки несущей способности конструкций. Существенной чертой таких построений является математическая простота, необходимая для проведения расчетов и качественного анализа. С другой стороны, физические теории стремятся объяснить реальный характер процессов, но не обладают математической простотой.

Как известно, в теории пластичности существуют деформационная теория и теория течения. Определяющие уравнения первой связывают непосредственно напряжения и деформации, в теории течения явно связаны компоненты напряжений и скоростей пластических деформаций.

Расчет упругопластических конструкций даже в рамках деформационной теории является затруднительным .

В случае малых деформаций Ильюшиным A.A. был преложен основанный на процессе последовательных приближений метод упругих решений, который затем применялся к расчету оболочек, например Цурковым И.С [61], более подробный перечень работ в этом направлении можно найти в обзорах Лепика Ю.Р. [30], [34] .

Подход Ильюшина А. А. был использован некоторыми авторами для расчета упругопластических конструкций по деформационной теории пластичности в случае больших прогибов и больших деформаций.

Лукин В. А. и Ширко И. В. [37] с помощью метода Рунге-Кутта численно проинтегрировали уравнения напряженно-деформированного состояния пластинок при больших прогибах для подвижного и неподвижного опирания контура пластинок.

Совместный учет физической и геометрической нелинейностей для задач расчета гибких упругопластических пластинок и оболочек переменной толщины и кривизны, прямоугольных в плане, предложено осуществлять Столяровым H.H. и Нероновым Л.В.[53] численно на основе метода конечных разностей. Авторами учтены неоднородность материала (изменении модуля упругости и предела текучести по толщине и вдоль срединной поверхности ), сжимаемость материала, несимметричные граничные условия и несимметричное поперечное нагружение.

Для больших прогибов на основе теории оболочек среднего прогиба Муштари Х.М. и Галимова К. 3. [41] и деформационной теории пластичности, Чернышенко И.С. [63] исследовал несимметричное упругопластическое равновесие сферической оболочки , ослабленной отверстием. Автор применял метод последовательных приближений в сочетании с методом конечных разностей.

В случае динамического нагружения использование метода упругих решений в сочетании с методом конечных разностей позволило Сперлингу А. и Партому У. численно проанализировать большие деформации упругопластических балок.

Экстремальные теоремы для упругопластической граничной задачи при больших перемещениях ( малых деформациях ) , являющиеся различными аналогами принципа дополнительной энергии ^формулированы Де донато. О. [90] . В случае малых перемещений и идеально-пластического материала теоремы приводят к известным результатам .

Вариационный принцип, являющийся модификацией принципа Нила в теории конечных упругопластических деформаций, предложен в работе Коробейникова С. Н. [29] . Автор приводит функционал, уравнениями Эйлера которого являются соотношения теории течения , уравнения равновесия в скоростях и связь скоростей ковариантных компонент тензора деформации Грина с ковариантными компонентами градиента скорости .

Развитие прикладных методов расчета позволило некоторым авторам с помощью ЭВМ решать нелинейные задачи расчета упругопластических пластин и оболочек с позиции теории течения.

Преимущества метода конечных элементов для анализа нелинейных деформаций балок отмечает Баклунд Я. в работе [66] . В качестве примера приведен численный расчет больших перемещений консоли .

Капурсо М. и Рамаско Р. [89] применяют метод конечных разностей для расчета больших перемещений равномерно нагруженной квадратной пластинки при шарнирно опертом и защемленном контуре . Расчет ведется шаговым интегрированием по параметру нагрузки уравнений , полученных ранее Капурсо М .[87].

В работе [90] этими же авторами аналогично исследована пологая оболочка в виде равномерно нагруженного параболоида вращения.

Используя гипотезы теории геометрически нелинейного изгиба плит , Капурсо М. [87] предложил метод решения задачи о больших прогибах упругопластической пластинки произвольной формы. Метод сводится к численному интегрированию геометрически нелинейной системы уравнений статики.

Мартин Ж.Б. [80] использует метод конечных элементов для расчета больших прогибов торосферической оболочки под действием внутреннего давления и сферической оболочки под действием центральной нагрузки. На примере упругопластической сферической оболочки под действием внешнего давления показано, что влияние пластического течения усиливается для более толстых оболочек.

Решению физически и геометрически нелинейных задач расчета пластинок и оболочек с помощью метода конечных элементов посвящена работа Динтса Л., Мартиса Р. и Оуэна Д. . Для описания деформирования конструкций авторы используют лагранжево представление с изменением конфигурации на каждом шаге нагружения.

Критический обзор литературы и подробный анализ применения метода конечных элементов к решению задач в нелинейной постановке сделаны Хиббитом Х.Д., Маркалом П.В., Райсом Дж. Р. [72]. Рассматриваются два варианта: 1) деформации и перемещения большие, 2)большие только перемещения.

Использование упругопластической схемы деформирования при расчете конструкций в случае малых прогибов имеет большое значение при оценке перемещений на ранней стадии неупругого поведения. При решении задач определения несущей способности конструкций применение этой схемы не столь эффективно, так как требует большого количества вычислений, а в итоге приводит к оценкам предельной (разрушающей) нагрузки для идеальных упругопластических конструкций.

Задачи определения несущей способности конструкций технически удобнее решать методами теории предельного равновесия. Теория предельного равновесия использует модель идеального жесткопластического тела, которая основана на пренебрежении упругими деформациями.

В основе статической теории предельного равновесия лежат теоремы о границах несущей способности конструкций, доказанные Гвоздевым А. А. [4] , Фейнбергом С. М. [58] , Друккером Д., Прагером В. и Гринбергом X. [46] , Хиллом Р. [59] . Основное содержание этих теорем для однопараметрических нагрузок состоит в следующем : верхняя граница предельной нагрузки соответствует такому кинематически допустимому полю скоростей данной идеально пластической конструкции, для которого скорость работы внешних сил не меньше скорости диссипации внутренней энергии. нижняя граница предельной нагрузки данной идеально пластической конструкции соответствует некоторому статически допустимому полю напряжений, которое находится на пределе текучести или ниже его.

Полное решение задач теории предельного равновесия заключается в определении предельной ( разрушающей ) нагрузки ( нагрузки, при которой конструкция превращается в механизм ),области пластического деформирования, скоростей пластических деформаций, а также распределения напряжений в конструкции.

Полное решение задачи о предельном равновесии ( т.е. при малых прогибах ) круглой пластинки в случае статического нагружения получено Гопкинсом Г. и Прагером В. в работе [6].

В случае больших прогибов Онатом Е. и Хейзорнсвейтом Р.[81] найдена верхняя граница разрушающей нагрузки круглой пластины из мягкой стали. Авторами исследовано влияние различных видов нагружений и граничных условий по краю, проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных.

Лепик Ю. Р. учитывает большие прогибы жесткопластических пластинок под действием равномерно распределенной нагрузки: 1) в [30] сплошного поперечного сечения (точки контура пластинки либо неподвижно оперты, либо могут свободно смещаться, 2) в [31] с использованием двухслойной модели сечения. Ввиду принятых авторами допущений решение имеет неопределенный характер.

Качаловым Ж. В., Листровой Ю. П., Потаповым В. Н. [26] в предложении, что прогибы имеют порядок толщины пластины, решалась задача об осесимметричном изгибе гибкой круглой жесткопластической пластины при условии пластичности максимального приведенного напряжения.

В работе Лугинина О. Е. [35] на основе статического и кинематического методов теории предельного равновесия с учетом геометрической нелинейности получены двухсторонние оценки зависимости (нагрузка-прогиб) в задаче о поперечном изгибе жесткопластической мембраны. Мембрана нагружена равномерным давлением и оперта на несмещаемый контур, ее напряженное состояние описывает поведение пластин при больших прогибах в пластической области.

Безмоментную теорию больших пластических деформаций оболочек вращения предлагается использовать Мисевичем Ю. М. и Рудисом М. А. [39] для определения предельных статической и динамической нагрузок для мембраны из изотропного упрочняющегося жесткопластического материала.

Кондо К. и Пианом Т. [94] с помощью кинематического метода теории предельного равновесия получены решения задачи об умеренно больших прогибах идеально жесткопластических пластин, имеющих форму правильных многоугольников, края которых свободно оперты, либо защемлены. Пластина находится под действием нагрузки, равномерно распределенной на ее центральной круговой части.

В работе Гуркока А. и Гопкинса Г. [6] исследовано влияние податливости опор на поведение жесткопластической балки прямоугольного сечения под действием поперечной нагрузки. Рассматриваются большие прогибы (сравнимые с высотой сечения) после образования пластического шарнира в срединном течении. Численно исследована зависимость образования новых пластических шарниров от параметра жесткой заделки краев.

Зависимость (нагрузка-прогиб) получена Лоу Г. для задачи изгиба жесткопластической балки прямоугольного сечения, нагруженной в середине жестким цилиндрическим индентором до конечных прогибов. Движение балки происходит до тех пор, пока не образуется три пластических шарнира и пока силы жесткого индентора не распространены на всю длину балки.

Приближенное решение задачи о больших прогибах жесткопластической жесткозаделанной прямоугольной пластины под действием равномерного поперечного давления дано Джонсом Н. и Вальтерсом Р. [76] при условии текучести Треска. Полученные результаты сравниваются с известными экспериментальными.

Полные решения для цилиндрических оболочек в случае малых прогибов получены Ильюшиным А. А. [25] , Друккером Д. , Ерховым М. И. [10], [11], Ходжем Ф. Г. [60] и другими.

Приближенные решения для круговых цилиндрических оболочек с учетом геометрической нелинейности были получены многими авторами: Лепик Ю. Р. [34] рассмотрел воздействие на оболочку внутреннего или внешнего давления при шарнирном опирании кромок оболочки на неподвижную кольцевую опору. В решении используется плоскость напряжений в слоях оболочки. Автор показал неединственность решения: существует шарнирное и безшарнирное решения. Душек М. [68] независимо исследовала задачу в аналогичной постановке с использованием линеаризированной поверхности текучести в пространстве усилий и моментов. В работе [68] ею изучено влияние граничных условий на несущую способность цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления. Душек М. и Савчук А. [68] провели сравнение теоретических данных для цилиндрической оболочки с экспериментальными.

Вариационный принцип, основанный на принципе возможных перемещений и постулате Друккера и позволяющий определить границу смещений для жесткопластических конструкций, испытывающих конечные деформации, предложен Лансом Р. и Соуингом Дж. В качестве примера приводится приближенное решение задачи о цилиндрической оболочке под действием внутреннего давления.

Обобщение теории Доннела - Власова на подъемистые оболочки в области существенно больших прогибов сделано в работе Митова М. и

Душек М. [7] . Методика применялась к замкнутой поверхности цилиндрической оболочки под внутренней равномерно распределенной нагрузкой.

Численные решения задачи о больших прогибах жесткопластической цилиндрической оболочки при совместном действии крутящего момента, осевой силы и поперечного давления получено Гудрамовичем

B. С. и Дисковским И. А. [8].

Геометрически нелинейной задаче в области строительной механики посвящена работа Смирнова А. Ф. [51] , использующей для нахождения больших прогибов круглой пластины переменной толщины метод итераций совместно с методом коллакаций. Более обширное исследование нелинейных задач строительной механики можно найти, например, в монографии Лукаша П. А. [36]. Основные прикладные методы расчета конструкций в строительной механики с применением ЭВМ описаны, например, в книге Болотина В.В., Гольденблата И.И. и Смирнова А.Ф. [5].

Первое решение для пологих сферических оболочек при помощи принципа предельной напряженности [57] было получено Фейнбергом

C.М. [58] для очень пологой осесимметричной оболочки под равномерно распределенной нагрузкой и свободно опертой по контуру.

Дальнейшим исследованиям пологих сферических оболочек посвящены работы Ерхова М.И. [13] , с учетом геометрической нелинейности - работы Душек М. [91] , Кобы К.А. и Шаблия О.М. [64] (см. также обзорные работы Рыхлевского Я. и Шапиро Г.С. [65] , Григорьева A.C. [7] и других).

Геометрически нелинейная задача о несущей способности замкнутой в вершине жесткопластической пологой сферической оболочки под равномерной поперечной нагрузкой и использованием условия текучести Треска-Сен-Венана рассматривается Терегуловым

И.Г. [54] . Решение носит приближенный характер и ассоциированный закон течения не выполняется.

Цурковым И.С. [61] предложен способ интегрирования системы уравнений теории пологих оболочек относительно функций поперечных перемещений и функции напряжений с учетом геометрической и физической нелинейностей, основанный на методе последовательных приближений. Начальное приближение соответствует решению нелинейной задачи. На последующем шаге решение ищется из условия удовлетворения системы уравнений в точке максимального прогиба оболочки. Вычисляя нелинейные слагаемые по начальному приближению и используя уточненные решения линеаризированной задачи, автор находит следующее приближение.

В работе Ерхова М.И., Монахова И.А. и Себекиной В.И. [16] предложена методика определения больших прогибов жесткопластических оболочек, основанных на шаговом использовании кинематического метода определения несущей способности конструкций и на применении линейного программирования. Практически достаточная точность описанной методики подтверждена численным расчетом круглой неподвижно опертой пластинки под действием равномерной нагрузки в работе Монахова И.А. [40] . Предложенная в [16] методика используется при расчете несущей способности сложной конструкции, состоящей из двух ортогонально пересекающихся круговых цилиндрических оболочек под действием внутреннего давления [16]. В результате получены поля скоростей перемещений и поля перемещений для основной оболочки и для патрубка.

Робинсоном М. и Гиллом С.С. [96] на основе статического метода теории предельного равновесия получена нижняя граница предельного давления для сферического сосуда с напорным патрубком. Решение производится по шагам с помощью ЭВМ. Предположение о равенстве нулю кольцевых изгибающих моментов и кольцевых изменений кривизны, а также трех шарнирной схеме разрушения приводят к большому занижению теоретических результатов по сравнению с экспериментальными.

Анализ состояния жесткопластических оболочек вращения с учетом конечных прогибов на основе гипотезы Тимошенко и кусочно-линейного условия текучести, учитывающего напряжения поперечного сдвига, приведен в работе Шаблия О.М. и Кобы К.А. [64] . В последнее время, в связи с внедрением в расчетную практику быстродействующих ЭВМ, появилась возможность получить решения весьма сложных задач нелинейной теории тонких пластин и оболочек.

Так например, в работе Абросимова H.A. и Баженова В.Г. [1] проводится численное исследование динамического упругопластического деформирования круглых пластин под действием импульса бесконечной длительности. Задача решается с учетом больших прогибов на основе модели Тимошенко С.П. Исследованию поведения жесткопластических пологих сферических оболочек с шарнирно закрепленными кромками под действием импульсивной нагрузки, равномерно распределенной по кругу радиуса меньшего, чем радиус оболочки, посвящена работа Терегулова И. Г. и Сиразетдинова Ф. Г. [55] . Получено приближенное численное решение с геометрически нелинейной аппроксимацией поверхности текучести

Баженовым В. Г. и Журавлевым Е. А. [2] получены геометрически нелинейные уравнения движения многослойных упругопластических оболочек при осесимметричном деформировании при условии кусочно-линейного распределения по толщине пакета тангенциальных и нормальных перемещений. Численное интегрирование на основе вариационно-разностного метода дискретизации реализовано на примере трехслойной пластины под действием поперечного импульса.

На основе теории Кармана и модели типа Тимошенко С. П. Палагушкиным В. И. [44] с помощью метода конечных разностей и численного интегрирования получено численное решение задачи динамики пологой ребристой упругопластической оболочки.

Решение подобного рода задач, как правило, связано с большими трудностями. Это, во-первых, значительные затраты машинного времени и, во-вторых, в большинстве своем недостаточное исследование вопросов сходимости и точности приближенных методов. К тому же при решении динамических задач необходимо иметь решения соответствующих статических задач. Следует отметить, что значение предельной нагрузки согласно модели идеального жесткопластического тела совпадает со значением предельной нагрузки согласно модели идеального упругопластического тела. Этим объясняется большее использование модели жесткопластического тела, которая позволяет получать решение таких задач относительно более простыми средствами.

Большими преимуществами перед численными решениями обладают решения аналитические. Однако, анализ имеющихся в литературе аналитических решений статических задач с учетом физической и геометрической нелинейностей показывает на недостаточную исследованность рассмотренных систем и конструкций на отсутствие приемлемых и надежных результатов по большим прогибам конструкций с учетом пластических деформаций.

В связи с этим возникает необходимость получения удовлетворительных аналитических решений задач о больших прогибах пластин и оболочек, как основы для поиска решений более сложных задач. Использование с этой целью жесткопластической модели материала является первым шагом к решению более общих задач упругопластических упрочняющихся систем.

В связи с вышеизложенным целью настоящей работы являются : 1) разработка общей методики построения аналитических решений, описывающих напряженно-деформированное состояние жесткопластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения с учетом больших прогибов ( в рамках теории среднего изгиба ): 2) решение соответствующих задач : 3) рекомендации по расчету пологих оболочек вращения при действии давления с учетом предварительного напряжения и краевых моментов в практике проектирования.

1.2. Постановка задач о расчете жесткопластических

Конструкции при больших прогибов 1.2.1. Геометрические соотношения Рассмотрим тонкую оболочку постоянной толщины (рис. 1.6,1.7). Отнесем срединную поверхность оболочки к ортогональным координатам

КГ: N,2 М: М

П: = -— , П„ = -— , Ш: = -Чг , =

0 = 1'2)

2а311 2а8Ь 2ст5Ь 2а311 совпадаю щими с линиями главных направлений. Координату 2 будем отсчитывать по нормали к срединной поверхности оболочки. Для начальных кривизн линий введем обозначения Х\и Хг

Если обозначить через и,у,б) перемещения в направлениях а , ¡5 , г соответственно, то согласно гипотезе Кирхгофа -Лява о прямых нормалях можно записать: еаа = £\\ +2Х\ 5 ерр = £22 + ' еар = £\2 +

1.1) где в выражениях для деформаций срединной поверхности

22 ~ ди \( дсо^

--Ххсо+ — да 2\да, ду 1 ( даЛ2

--У?6)+ — др 2 ди ду дсо дсо

1.2) др да да д/3 Нелинейные члены сохранены аналогично соотношениям Кармана, (отброшены нелинейные члены, содержащие тангенциальные перемещения), а выражения для изменения кривизны изгиба и кручения записаны согласно линейной теории оболочки:

Хх д2со да

2 '

2 = д2со др2 д2со дадр

1.3)

В выражениях (1.2) принято, что перемещение со сравнимо с толщиной оболочки, а перемещения и, V малы по сравнению с толщиной.

При решении задач теории пластического течения помимо выражений для деформаций (1.2) и (1.3) пользуются выражения для скоростей деформаций и скоростей изменения кривизны которые получаются дифференцированием (1.2) и (1.3) по времени (в случае динамического нагружения) или по некоторому другому неубывающему параметру (например, параметру нагрузки при статическом нагружении): дй да дсо да дФ

22 —

12 ~ дч> (дао

-- \ г да J д(Ь

Хх дй дъ дсй дсо дсо дсО д/3 да да д/3 да д/3 д1® д2Ф

1.4)

2 =

2*12 = д2Ф дад/3 да2 ' 2 д/}2 здесь точки над буквами означают дифференцирование по времени

В дальнейшем будем рассматривать пологие оболочки вращения из жесткопластического материала с учетом предварительного напряжения. Такая оболочка изображена на рис.(1.6.,1.7) а пластинка на рис 1.1, 1.2, 1.3 . Введены следующие обозначения: Я0 - радиус оболочка; 2к - Толщина поперечного сечения, г - координтапроизволънойточки и; v- перемещений вдоль г иколъца сооответстенно; й ;Ф — скорости перемещений в радиальном и поперечном направлениях соответственно. X - аппликата произвольной срединной поверхности оболочки при >1 = 0 получаем круглую пластинку). / - стрела подъема ф - прогиб.

Поперечное сечение оболочки (пластинки) может быть сплошным однослойным, либо двухслойным (рис. 1.3) . Размеры поперечного сечения в процессе деформирования остаются неизменными.

1.2.2. ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

В связи с тех, что многие конструкционные материалы с достаточной для практики точностью удовлетворяют схеме жесткопластического деформирования без упрочнения а также ввиду большого упрощения расчетов при использовании этой схемы и приемлемости результатов, будем применять модель жесткопластического тела (рис. 1.8) где приняты обозначения: а5-предел текучести, а и е-напряжения и деформации.

Следует учитывать, что многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями доказано, что такая модель в целом с успехом может быть использована как в статических задачах , так и в задачах динамики пластических конструкций в случае развитых пластических деформаций.

Комбинация напряжений, соответствующих пластическому течению материала , называется условием пластичности. Из имеющихся условий пластичности, подтвержденных экспериментально, можно выделить следующие: условие Треска-Сен-Венана (рис. 1.5) (условие пластичности максимального касательного напряжения), условие Губера-Мизеса (рис. 1.4) (условие пластичности интенсивности касательных напряжений).

В теории пластического течения имеет место ассоциированный с условием пластичности закон течения, согласно которому вектор скорости пластической деформации направлен по нормали к поверхности текучести.

При расчете конструкций в теории пластичности вместо величин напряжений и скоростей деформации пользуются понятиями обобщенных напряжений и обобщенных скоростей деформации, которые определяются с помощью тех или иных гипотез технических теорий расчета конструкций. Например, в теории оболочек обобщенными напряжениями являются изгибающие и крутящие моменты , нормальные и сдвиговые усилия, а соответствующие им обобщенные скорости деформации- это скорость изменения кривизны и и кручения , а также скорости деформации срединной поверхности оболочек.

Обобщенные напряжения (¿^ = \,2,.,п) удовлетворяют в пространстве условию текучести п - мерном й Д,)=0 , (1.5) которому геометрически соответствует гиперповерхность текучести . Ассоциированный закон течения записывается в виде:

1 = ' ¿ = 1,2, ., п (1.6) где ¡л — положительная непределенная константа, бг - обобщенн скорости деформации.

Вектор обобщенной скорости деформации перпендикулярен гиперповерхности текучести. Для сингулярных точек гиперповерхности текучести обобщенная скорость деформации определяется линейной комбинацией производных от пересекающихся частей гиперповерхности а)> л (а > 02. по соответствующему обобщенному напряжению. = (1.7) от»1

Точны управления гиперповерхности текучести , полученные на основе условия пластичности Губера-Мизеса Ильюшиным А.А [25] и на основе условия пластичности Треска-Сен-Венана-Онатом Е. и Прагером В. [46] , равно как и некоторыми другими авторами , имеют довольно сложный вид. Поэтому необходимо привлекать упрощенные выражения гиперповерхностей текучести.

С целью упрощения вида поверхностей текучести используют , и например, метод замены поперечного сечения оболочки (пластинки) идеализированной однослойной моделью. Подробный анализ поверхностей текучести, построенных на основе двухслойной модели, дан Савчуком А. и Рыхлевским Я. [50] . Построению уточненных и приближенных гиперповерхностей текучести посвящены работы Ерхова М. И. [14] , Ивлева Д. Д. [23], Немировского Ю. В. [42], и Работнова Ю. Н. [47], Микеладзе М. Ш. [38], Розенблюма В. И. [49], Ходжа Ф. Г.[60], с учетом сдвига Шапиро Г. С. [65] и другими.

В данной работе предлагается использовать приближенные гиперповерхности например, построенные для пластинок и оболочек вращения Ерховым М. И. [9,14] с помощью слойстной модели сечения.

Обобщенными напряжениями являются внутренние силы и моменты, определяемые равенствами: к И , М1 = , (/ = 1,2) н "* (1.8) к /г 4 '

ТУ12 - , мп = ^т]2гс1г

-/г -к индексы 1,2 обозначают соответственно радиальное и окружное направления)

Так как напряжения по сечению оболочки будут постоянными, то они выражаются в виде:

Я(Д) = ' Т12Н{В) = («121 ±т\2 К где <тг, т1 - нормальные и касательные напряжения оболочки соответственно; сг5 - предел текучести:

М; М„ /. ,

1 = 1Д) (1'9)

-безразмерные внутренние нормальные силы и изгибающие моменты;

2Ь- толщина оболочки, "н ; в" наружная и внутренняя половины сечения оболочки относительно серединной поверхности, соответственно.

Выражения поверхностей текучести , приведенные ниже, являются точными для оболочек с идеальным сечением приближенными для оболочек со сплошным однослойным сечением и имеет небольшую погрешность для оболочек с двухслойным сечением .

На основе условия пластичности Губера-Мизеса (рис. 1.4) сг2 -а1сг2+а22 +3т122 = сг2 (1-Ю) и выражений (1.9) в пространстве обобщенных напряжений (т1 , т2 , пх , п2 , тп , и12) получено уравнение гиперповерхности текучести

Qm±2Qmn+Qn<\ (1.11) где

Qm ~ т\ ~ т\т2 + т2 + 3W122

Qn = П\ ~ П\П2 + П2 + 3«122

Qmn=m\n\ ~^т\п2 +Щп2+Ътппп

Аналогично с помощью условия пластичности Треска Сен-Венана для плоского напряженного состояния (рис.1.5 ) h ^ >

7-, О" „

1.12) и выражение (1.9) получено уравнение гиперповерхности текучести К^ ±т1)-(и2 ±/я2) <1, п1±т1\<\, (1.13) п2 ±т2 <1 .

С целью лучшего приближения гиперповерхности текучести (1.11) к точному уравнению предлагается следующие выражение:

1.14)

При этом константа к может изменяться в пределах от 0,75 до 1,09. Очевидно, что при к2 = 0,75 гиперповерхность текучести будет давать значения предельной статической нагрузки меньше либо равные истинному значению, при к2 = 1,09 - большие либо равные истинному значению предельной статической нагрузки. Иными словами, придавая к2 его наименьшее и наибольшее значения , будем получать соответственно нижнюю и верхнюю границы решения.

Решение может искать и другим путем, придавая к какое-либо значение внутри указанных пределов, скажем, кг-\, и считая гиперповерхность текучести точной для такого значения константы(отклонение гиперповерхности (1.14) от точной будет незначительным). Тогда выражение для точной гиперповерхности имеет вид: е«+би=1 • а-15)

Принимается, что для каждой из поверхностей текучести имеет место ассоциированный закон течения.

1.2.3. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Пусть на оболочку (пластинку) действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности р.

Для получения полного решения в статической теории предельного равновесия необходимо удовлетворять: уравнения равновесия, граничные условия, уравнения гиперповерхности текучести(или ослабленные неравенства относительно их выражений), связь между деформациями и перемещениями (или их скоростями), ассоциированный закон течения , условие несжимаемости и кинематические граничные условия.

Условия равновесия для пологих оболочек вращения с учетом больших прогибов (когда прогибы оболочки сравнимы с ее толщиной) имеют вид ( рис. 1.6,1.7): {гпх)~ пг = 0 , - (гт,)+ т2 - Ю = О г с1г ^

1 й / V с12(й) + уI) 1 й{со + Х)

--И2/-Я, —^—-~п2-----+ р- О

Г (Л? с1г Г (1г где введены следующие безразмерные переменные: г 275 21 ОЯ о г - —, со =- , А = —. О --- - безразмерная сила

Ко Ь И а3И2 р = - безразмерный параметр нагрузки. причем г-радиус в плане, со -прогиб срединной поверхности, /<*0 -радиус края оболочки в плане, Я -геометрический параметр, () -поперечная сила, р -давление, 2/г- высота поперечного сечения, <т5 -предел текучести.

Уравнения равновесия круглых пластинок с учетом больших прогибов в тех же обозначениях запишутся в виде: (гпх) - п2 = 0, - — (rm{ )+m2-rQ- О

2 * (1-17)

1 d / d со 1 dco r\rQ)-nx—Y-n1~~r + p = 0 г dr dr г dr

Граничные условия видоизменяется в зависимости от типа опирания края . Например, в случае шарнирно-неподвижного опирания на краю конструкции равны нулю радиальный момент, а также радиальные и поперечные перемещения и скорости перемещений.

Уравнение используемой гиперповерхности текучести имеет вид:

2 2 2 2 2 щ — щп2 +п2 +mx -т]т2 + т2 - к (1-18)

Деформации и изменения кривизн оболочки связаны с перемещениями соотношениями: К

4 R, h: du 1

-— + dr 2 и dm dr ■ dm dX dr dr

AR¡ ' f

1.19)

X\ = h d ш

2Rl' dr1 '

2 = h 1 dm

2Rl r dr дифференцированием соотношений (1.19) по времени (или по некоторому другому неубывающему параметру) и можно получить связь между деформациями (изменениями кривизн) и перемещениями в терминах скоростей, при этом будут введены безразмерные переменные:

4 иЯ0 4йЛп 2г 2т и = —0 -, й =—г = —, Ф =-. к2 к1 к к

Операция дифференцирования по времени (или по некоторому другому неубывающему параметру) обозначается точкой над переменными.

Полагая оболочка Я =0, получим связь между деформациями(изменениями кривизн) и перемещениями для круглых пластинок.

Компоненты скоростей связаны с компонентами ускорений следующими соотношениями: d(b . <Ол со-— , и-— (1-20) ск

1.2.4. О СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ РАЗРЫВАМИ

Для решения задач статического и динамического расчета пластических конструкций необходимо удовлетворить и условиям для разрывов в величинах производных от функции прогиба. Подобные разрывы имеют место на границах раздела областей с различными пластическими состояниями, неизбежно возникающими при использовании кусочно-линейных аппроксимаций условий текучести, а также в других случаях. Границы раздела зон могут быть стационарными, либо нестационарными. Такими границами могут быть, например, шарнирные окружности, на которых радиальный изгибающий момент достигает максимального значения. При переходе через границу раздела зон должны быть непрерывны прогиб со и скорость прогиба со, то есть

Ц=0 М-1 = ° (1-21)

Здесь квадратные скобки [ ] обозначают разрыв соответствующей величины, г = гх - радиус окружности разрыва. При этом разрыв некоторой величины х ПРИ переходе через границу г - гх определяется как

Дифференцируя первое соотношение (1.21) по времени, получаем, что

М+г1к] = 0, (1.23)

Где нижний индекс обозначает дифференцирование по соответствующей переменной. Из ( 1.23 ) можно сделать вывод: так как при переходе через границу раздела зон г — гх скорость прогиба должна быть непрерывна, то есть [со] = 0, то наклон сог при переходе через нестационарную шарнирную окружность непрерывен ( разрыв может иметь место только в случае стационарной шарнирной окружности). Иными словами, при гх ^ О имеем к] = 0, ПРИ ^ = 0 имеем [сог]^0. Отсюда получено соотношение для разрывов к]+/\к,]=о (1.24)

Из условия непрерывности скорости прогиба со при переходе через границу раздела зон гх получено соотношение для разрывов

М+г1[©г]=0 (1.25) которое означает, что ускорение ¿о при переходе через гх непрерывно в случае стационарности гх и претерпевает разрыв случае не стационарности гх (так как терпит разрыв первая производная от скорости прогиба по радиусу).

32

Кроме того, радиальный момент и радиальное усилие непрерывны по радиусу и по времени, а окружной момент и окружное усилие кусочно непрерывны по радиусу и по времени. Приведенные выводы справедливы в случае непрерывной нагрузки.

2Ь Г0 Го п

Рис. 1.1. Круглая пластинка под действием равномерно распределенной нагрузки с шарнирно неподвижным краем Р и 1 ' 1 г 1 г 1 ' 1 Л ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1

Рис. 1.2. Круглая пластинка под действием равномерно распределенной нагрузки с шарнирно подвижным краем

Рис. 1.3. Однослойное поперечное сечение круглой пластинки

V

6¡

0 /

Рис. 1.5. Условие пластичности

Треска-Сен-Венана

Рис. 1.6 Пологая оболочка радиусом в плане Яо под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности Р.

Рис. 1.7. Пологая оболочка радиусом в плане Яо под действием равномерно распределенной внешней нагрузки интенсивности Р. а 8

Рис .1.8 Диаграмма деформирования идеального жесткопластического тела