автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.01, диссертация на тему:Задачи деструкции теплозащитных материалов в высокоскоростном и высокотемпературном потоке газа

Указатель условных обозначений

Введение.

Глава I. Групповой анализ дифференциальных уравнений, описывающих деструкцию теплозащитных материалов

§ 1Л. Постановка задачи.

§1.2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями, описывающими движение пленки расплава на осесимметричных телах вращения

§ 1.3. Инвариантные решения и физическая интерпретация некоторых из них

§ 1.4. Новые автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя.

§ 1.5. Групповые свойства и инвариантные решения уравнения теплопроводности

Выводы по 1-ой главе.

Глава П. Методы расчета деструкции некоторых теплозащитных материалов в высокоскоростном и высокотемпературном потоке газа.

§ 2.1. Редукция уравнений и граничных условий, моделирующих течение пленки расплава на осесимметричных телах вращения

§ 2.2. Приближенный метод расчета основных характеристик разрушения аморфных материалов

§ 2.3. Методика расчета основных характеристик разрушения материала в окрестности точки торможения осе симметричного тела.

§ 2.4. Точный метод расчета характеристик разрушения кристаллических материалов

§ 2.5. Автомодельные решения в задаче о нестационарной деструкции материала

Выводы по второй главе

Глава Ш. Идентификация теплофизических свойств некоторых разрушающихся теплозащитных материалов

§ 3.1. Постановка задачи идентификации параметров вязкости аморфного материала и алгоритм ее решения

§ 3.2. Постановка и решение задачи идентификации параметра теплопроводности кристаллического материала

Выводы по 3-й главе

В настоящее время при разработке теплозащитных покрытий широко используются материалы, на поверхности которых в результате воздействия высокоскоростного и высокотемпературного потока газа может образовываться жидкая пленка расплава.

Для теплозащитных покрытий применяются также и коксующиеся материалы, которые при нагревании разрушаются как на внешней гранипе, так и изнутри. В результате разрушения такого покрытия образуется твердый пористый каркас, через который выделяются газообразные продукты разрушения /I/, /4/, /5/, /28/, /43/, /52/, /59/.

Задачи, где имеют,место фазовые превращения, сопровождающиеся разрушением (деструкпией) материала при его горении или плавлении встречаются, например, при расчете температурного поля теплозащитного материала, которым покрываются головные части летательных аппаратов, индукпионные угольные печи в электрометаллургии, плазменные установки и т.д.

Основным способом тепловой защиты головных частей летательных аппаратов, стенок сопел реактивных двигателей и т.д., слу -жат специальные покрытия из стеклопластика, графита и других композиционных материалов, которые в процессе эксплуатации оплавляются, испаряются, обугливаются и сносятся обтекающим потоком. В качестве тепловой защиты используются также некоторые тугоплавкие кристаллические металлы: вольфрам,' молибден.

Решение задачи о взаимодействии теплозащитных материалов с высокотемпературным и высокоскоростным потоком газа необходимо для обоснования и рационального выбора тепловой защиты. Это требует совместного решения задачи тепломассообмена в газообразном пограничном слое, жидкой пленке расплава и прогретом слое твердой оболочки /44/, /45/, /51/. Отметим некоторые трудности, связанные со сложностью решения таких задач :

- математическая модель деструкпии теплозащитных материалов описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных с нелинейными краевыми условиями, которые записываются на поверхности разрыва основных характеристик течения,

- исходная физическая модель данного явления очень сложна, а коэффициенты переноса и другие физико-химические параметры недостаточно достоверны /45/, что, в основном, связано с высоким уровнем рабочих температур,

- при интенсивном испарении с поверхности тела, что соот-вествует сильному вдуву, нельзя использовать уравнения ламинарного пограничного слоя в газе.

Ввиду указанных сложностей, обычно поступают следующим образом /44, 45/ : получают решение исходных уравнений для каждой зоны ( газообразной, жидкой и исходного твердого материала ) в конечном виде как некоторую функцию краевых условий и далее стыкуют эти решения друг с другом.

Практическая важность решения проблемы тепловой защиты стимулирует разработку в настоящее время экспериментальных и теоретических исследований. Эти исследования направлены на выяснение главных факторов, влияющих на процессы взаимодействия нагретого газа и материала покрытия, на определение теплофизических свойств разрушающихся материалов, на расчет основных параметров разрушения теплозащитных покрытий и т.д. Судить о характере этих процессов можно лишь на основании сравнения расчетных и измеренных значений некоторых суммарных параметров, таких, как С^ -суммарная скорость уноса массы и -температура на разрушающейся поверхности, так как прямые измерения в подповерхностном сдое практически невозможны из-за высокого уровня температур и быстрого протекание всех пропессов /45/ .

Саттон Дж. У., в недавно вышедшей статье /50/, делится личными впечатлениями по созданию тепловой защиты в США, а также кратко прослеживает предысторию этого вопроса.

Основополагающей работой по уносу массы оплавлением, как отмечено в /38/, была работа Саттона /49/. Для решения задач, на поверхности материалов которых образуется тонкая движущаяся пленка расплава, он предложил использовать уравнение пограничного слоя. Рассмотрим кратко последнюю из указанных работ.

Используя переменные Дороднипина-Лиза, Саттон преобразует уравнения пограничного слоя в обыкновенные дифференциальные уравнения, которые при определенных допущениях справедливы только в окрестности точки торможения осесимметричного затупленного тела. При этом эти уравнения рассматривались с граничными условиями простейшего вида, когда температура на разрушающейся поверхности и испарение задаются параметрически. В качестве примера рассматривался стеклообразный материал пирекс. В этой работе подчеркивается, что вязкость, являющаяся функцией температуры, играет определяющую роль в определении скорости уноса массы материала в расплавленном виде.

Позднее появилось большое количество работ, в которых предлагались те или иные приближенные методы решения поставленной Саттоном проблемы. Эти приближенные методы обычно базируются на допущениях, которые диктуются математическими соображениями или основаны на приближенных опенках. Одной из таких фундаментальных работ является работа Лиза Л. /30/ .

В /30/ для получения конечных формул по расчету основных характеристик разрушения материала, качественной и количественной их опенки были сделаны следующие допущения при решении уравнений пограничного сдоя :

- теплофизические свойства материала полагались постоянными,

- в уравнении энергии для пленки расплава пренебрегали конвективными и диссипативными членами,

- при интегрировании уравнения энергии поперечная скорость в пленке полагалась постоянной,

- уравнения энергии и движения интегрировались по толщине пленки расплава, а члены, содержащие толщину пленки во второй степени не учитывались из-за малости,

- уравнение энергии в твердом материале заменялось уравнением теплового баланса на поверхности плавления,

- уравнение неразрывности по толщине пленки интегрировалось в предположении линейности изменения продольной скорости. Таким образом, указанные выше допущения сводились фактически к тому, что продольная скорость, температура по толщине пленки расплава, а также температура в твердом материале по нормальной координате считались линейными функциями.

В последующей работе /2/ этого направления, исходя из модели предложенной Саттоном, дан простой приближенный метод расчета характеристик разрушения аморфных материалов для окрестности точки торможения осесимметричного тупого тела.

Авторы этой работы решали уравнение энергии в предположении, что температурный профиль зависит только от нормальной координаты, нормальная скорость в пленке расплава постоянна и получили, что профиль температуры изменяется в зависимости от нормальной координаты по экспоненциальному закону. В дальнейшем аппроксимируя физическую зависимость вязкости от ТеМПераТуе^.а) рн)Л-ет степенной зависимостью и, сопоставляя степенной закон вязкости от температуры с распределением температуры полученной из решения уравнения энергии, получили экспоненциальное распределение вязкости от нормальной координаты. Температура поверхности разрушения определялась из уравнения баланса тепла на гранипе раздела газ-жидкая пленка, в котором полагалось, что тепловой поток, идущий на прогрев внутренних слоев, уже не зависит от коэффициента теплопроводности вблизи поверхности, а полностью обусловлен теплосодержанием прогретого слоя.

В /30/ отмечено, что Саттон, сравнивая приближенные результаты работы /2/, полученные для пирекса, с численным решением аналогичных дифференциальных уравнений показал, что для заданного теплового потока на поверхности разрушения интенсивность плавления в работе /2/ занижена примерно на 30% .

В /54/ поставлена задача об оплавлении осесимметричного тела в окрестности точки торможения, которая сводится к совместному решению уравнений ламинарного пограничного слоя в газе, уравнений ламинарного пограничного слоя в пленке расплава и уравнения теплопроводности в твердом материале. Граничные условия взяты в приближении теории пограничного слоя /55/ без учета на поверхности раздела газ-жидкая пленка излучения, испарения.Система уравнений в частных производных, исходя из вида краевых условий, редуцировалась к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые при определенных допущениях интегрировались численно. При функциональной зависимости вязкости от температуры в пленке расплава задача решалась методом Кармана-Польгаузена.

На основе упрощенной математической модели ( по сравнению с моделью рассматриваемой в диссертации ) процесса течения пленки расплава в /21/ проводится последовательный асимптотический анализ теории жидкой пленки, основанный на сильной зависимости вязкости от температуры. В /41/, /42/ получены приближенные аналитические решения для квазистапионарного случая в задаче о течении и теплообмене жидкости, образованной в результате плавления при соприкосновении торца стержня с нагреваемой поверхностью. Для математического описания рассматриваемой задачи используется система уравнений течения жидкой пленки расплава в окрестности точки торможения и соответствующие граничные условия.

В методе предложенном в /7/, по сравнению с /2/, была дана некоторая модификация в определении условной толщины пленки расплава и был предложен численный алгоритм, позволяющий найти характеристики разрушения вдоль образующей затупленных осесиммет-ричных тел с помощью конечной разностной схемы, если в критической точке взяты значения Ту/ и , вычисленные по приближенной методике.

В данной работе в качестве теоретического аппарата исследования уравнений, моделирующих процессы, связанные с тепломассообменом и деструкцией материала, была применена техника группового анализа дифференциальных уравнений /36/, /39/, /40/, имеющие многочисленные применения, например, в топологии, дифференциальных уравнениях, теории функций, кристаллографии, квантовой механике, теории управления и других областях естествознания.

После появления монографии /39/ в нашей стране были выполнены интересные работы по отысканию групповыми методами инвариантных решений в разных конкретных прикладных задачах /6/, /22/, /32/, /33/ и т.д.

Отметим, что теоретико-групповой подход к исследуемым уравнениям позволяет найти все автомодельные решения, которые могут использоваться для ускорения численных расчетов, для обобщения экспериментальных данных, а также служат эталоном результатов приближенных вычислений. Кроме того, редуцированные с помощью этого подхода модели находят эффективное применение в задачах идентификации теплофизичееких свойств материалов.

Цель данной работы: провести качественное исследование нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы деструкции теплозащитных материалов и построить их редуцированные модели ; на основе рассматриваемых математических моделей процессов деструкции, получить методы расчета основных параметров разрушения некоторых теплозащитных материалов ; на основе редуцированных моделей, описывающих разрушение материалов в результате образования движущейся пленки расплава, рассмотреть задачи идентификации коэффициентов вязкости и теплопроводности аморфного и кристаллического материалов.

На защиту выносятся следующие теоретические результаты :

1. Решены задачи групповой классификации исследуемых уравнений, указаны представители произвольного элемента 0 и соответствующие им базисные операторы, расположенные в порядке возрастания по включению.

2. Построены редуцированные математические модели оплавления аморфного, плавления кристаллического и нестационарной деструкции композиционного материалов.

3. Найдены инвариантные решения ( Н; - решения ), которые, в качестве частного случая, включают в себя все известные классические автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя, а также дают ряд новых решений, имеющих физическую интерпретацию.

4. Поставлены задачи идентификации параметров теплофизичес-ких коэффициентов вязкости и теплопроводности, зависимых функционально от. температуры, используя редуцированные математические модели процессов квазистапиоаарного разрушения материалов, и приведены алгоритмы их решения.

В качестве приложения теории на защиту выносятся следующие результаты :

- 13 а) даны точные и приближенные методы расчета основных параметров разрушения теплозащитных материалов, б) приведены расчетные формулы по определению суммарной скорости уноса материала в расплавленном виде, в) предложена методика расчета характеристик разрушения теплозащитных материалов в окрестности точки торможения осесим-метричного тела с учетом параметров до и после скачка уплотнения, г) выполнен пример расчета характеристик разрушения полиэтилена ( аморфный материал) в окрестности точки торможения осе-симметричного тела. Проведено сравнение результатов расчета параметров разрушения полиэтилена с методом предложенным в /7/ , д) построена методика идентификации параметров теплофизи-ческих коэффициентов, зависимых от температур, аморфного и кристаллического материалов и проведены формулы по их определению , е) решена в квадратурах задача о нестационарной деструкции материала в автомодельном режиме разрушения и прогрева при краевых условиях первого и второго рода и приведен пример расчета деструкции бакелита при вариации температуры поверхности разрушения и пористости.

Краткое содержание диссертации.

В § 1.1 формулируются три задачи: задача об оплавлении однородного аморфного материала, задача о плавлении кристаллического материала и задача о нестационарной деструкции композиционного материала.

В первой задаче приводится математическая модель, которая моделирует движение пленки расплава на осесимметричных телах вращения.

Во второй задаче о плавлении кристаллического материала предлагается математическая модель, в которой уравнения неразрывности, движения и энергии в пленке расплава решаются сов -местно с уравнением энергии в исходном'твердом материале.

В третьей задаче рассматривается нестационарная математическая модель, которая охватывает единой математической постановкой как задачу о плавлении, так и задачу о разрушении композиционного материала с образованием пористой матрицы, через которую движутся газообразные (жидкие) продукты деструкции /43/.

В § 1.2 для уравнений, описывающих течение пленки расплава на осесимметричных телах вращения, используя технику группового анализа, выписываются определяющие уравнения. На основе этих определяющих уравнений, некоторые из них являются классифицирующими, решается задача групповой классификации по отношению к произвольно заданным функциям. Окончательным итогом задачи групповой классификации рассматриваемой системы является таблица, где указаны специализации произвольно заданных функций и соответствующие им базисные операторы, расположенные в порядке возрастания по включению.

В § 1.3 выписываются инвариантные решения уравнений, описывающие течение пленки расплава на осесимметричных телах вращения и дана физическая интерпретация некоторых из них. Многие из этих решений автору не встречались в опубликованной литературе. Показывается, что Н* и Ив - решения обобщают все известные классические автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя.

В § 1.4 приводятся новые автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя, которые являются следствием решения,найденного в § 1.3. На основе этих решений и соответствующих им обыкновенных дифференциальных уравнений, ставятся краевые задачи. Указывается, что эти решения имеют более широкую возможность управления температурой или вдувом (отсосом) на поверхности рассматриваемых тел, чем классические автомодельные решения.

В § 1.5 приводится теоретико-групповой анализ нестапионар-ного уравнения теплопроводности и выписаны Н(, - решения с соответствующими им факторосистемами.

В § 2.1 приводятся формулы преобразования ( Н - решение) с помощью которых математические модели, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, редуцируются к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Главным достоинством найденного преобразования является то, что уравнения пограничного слоя ( без учета инерционных и диссипативного членов) редуцируются к обыкновенным дифференциальным уравнениям без каких-либо ограничений на произвольно заданные функции.

В известных преобразованиях( например, Дороднипина-Лиза) эти же уравнения редуцируются к обыкновенным, когда касательная составляющая инерционной силы равняется нулю, а градиент давления конкретно заданная функция. Показывается, что в окрестност-ности точки торможения затупленного тела Нг - решение является автомодельным и указываются граничные условия при которых это решение имеет место вдоль образующих осесимметричных и плоских тел произвольной формы.

В § 2.2 предлагается на основе редуцированной математической модели, описывающей оплавление аморфного материала, приближенный метод расчета параметров разрушения этого материала. Отмечаются следующие основные достоинства предлагаемого метода по сравнению с методами ранее предлагавшимися /2/, /7/, /30/ :

- система уравнений в частных производных редуцируется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений без каких-либо ограничений на произвольно заданные функции ,

- 16

- приводятся условия сходимости интегралов как с возрастающей, так и с убывающей вниз по потоку течения жидкой пленки,

- температура поверхности определяется из решения уравнения сохранения энергии в конденсированной фазе с учетом нормальной и продольной составляющей течения жидкой пленки без аппроксимации действительного закона вязкости от температуры степенным.

В § 2.3 предлагается методика расчета характеристик разрушения теплозащитных материалов в окрестности точки торможения осесимметричного тела с учетом физических параметров до и после скачка уплотнения.

По этой методике выполняется пример расчета характеристик разрушения полиэтилена в окрестности точки торможения. Приводится сравнение результатов расчета параметров разрушения полиэтилена по двум методикам: по методике, предложенной в § 2.2, и по методике, предложенной в /7/. Расчет характеристик разрушения полиэтилена по методу работы /7/ дает заниженные значения и , что обусловлено принятыми в этой работе допущениями. Получено основное соотношение для определения

В § 2.4 при постоянных теплофизических свойствах кристаллического материала редуцированная система уравнений с краевыми условиями решается в квадратурах без каких-либо допущений относительно искомых функций, в отличие от других работ в которых для получения конечных соотношений по определению характеристики разрушения материала при интегрировании системы уравнений в частных производных принимаются такие допущения, которые фактически соответствуют тому, что продольная скорость, температура по толщине пленки расплава, температура в твердом материале по нормальной координате являются линейными функциями. Получены основные соотношения ( при различных краевых условиях), определяющие унос массы кристаллического материала в расплавленном виде.

В § 2.5 решается в квадратурах задача о нестационарной деструкции композиционного материала в автомодельном режиме разрушения и прогрева при краевых условиях первого и второго рода. Выполнен пример расчета бакелита при вариации температуры поверхности разрушения и пористости.

В § 3.1 на основе редуцированных уравнений ставится задача идентификации параметров вязкости, заданной экспоненциальной зависимостью от обратной температуры. Строится методика определения идентифицируемых параметров теплофизических свойств материалов, зависящих от температуры, при ограниченном привлечении экспериментальных данных. Приводятся формулы первого приближения по определению идентифицируемых параметров аморфного материала.

В § 3.2 ставится задача по идентификации параметра теплопроводности кристаллического материала при квазистационарном режиме его разрушения. В случае линейного закона изменения теплопроводности от температуры идентифицируемый параметр определяется из аналитического решения математической модели. Идентифицируемый параметр определяется также согласно алгоритма, указанного в § 3.1 .

Необходимость определения теплофизических свойств теплозащитных материалов диктуется следующими соображениями:

1. Неточность определения вязкости и теплопроводности материала очень сильно влияет на скорость уноса массы и толщину прогрева теплозащитного материала.

2. При высокотемпературных ( 2 000К и более ) потоках газа не существует достаточно достоверных экспериментальных методов определения теплофизических свойств веществ.

Завершает диссертацию заключение, в котором кратко формулируются основные выводы диссертационной работы, список научной литературы, содержащей 59 наименований и.справка о внедрении результатов работы.

Объем диссертации без учета рисунков, таблиц, справки о внедрении и приложения составляет 112 страниц. В диссертации имеются : 6 - таблиц и 16 рисунков. Объем приложения 10 страниц.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих научных статьях : / 10 . 15 / .

В статьях, опубликованных в соавторстве, основные научные результаты принадлежат автору.

Материалы диссертации докладывались и обсувдались :

1. На научно-технических семинарах кафедры аэрогидродинамики КАИ имени академика А.Н.Туполева ( 1975-1983 г.г. ).

2. На Всесоюзной конференции молодых ученых в МАИ им. С.Орджоникидзе (1977 г.) .

3. На Всесоюзной конференции молодых ученых в ЦАГИ (1978 г., 1980 г. ).

4. На Всесоюзной конференции молодых ученых в Сиб.НИА ( г.Новосибирск, 1983 г.) .

5. На семинаре кафедры аэрогидродинамики КуАИ им. С.П.Королева (1984 г.) .

6. На семинаре в Институте теплофизики СО АН СССР .

7. На семинаре в Институте технической теплофизики АН УССР.

Результаты работы внедрены на предприятии п/я Г-4725.

Справка о внедрении прилагается к диссертации.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ Ш

1. На основе редуцированной математической модели поставлена задача идентификации параметров вязкости, заданного экспо -ненпиальной зависимостью от обратной температуры и дается алгоритм ее решения. Предложена методика определения идентифицируемых параметров теплофизических свойств материалов при ограниченном привлечении эксцеримёнтальных данных. Получены формулы первого приближения для определения идентифицируемых параметров.

2. Поставлена задача по идентификации параметра теплопроводности при квазистационарном режиме разрушения материала. При линейной зависимости теплопроводности от температуры параметр определяется из аналитического решения предложенной математической модели, а также согласно методике, построенной в § 3.1 .

- но

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты диссертапии:

1. Проведено качественное исследование нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих деструкпию некоторых теплозащитных материалов в высокоскоростном и высокотемпературном потоке газа. По отношению к произвольно заданным функниям решена задача групповой классификации системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих установившееся движение пленки расплава на осесимметричных телах вращения, а также решена задача групповой классификации нестационарного уравнения теплопроводности.

2. Получены инвариантные решения, которые включают в себя как известные классические автомодельные решения уравнений не -сжимаемого пограничного слоя, так и новые автомодельные решения, имеющие физическую интерпретацию.

3. Построены редуцированные математические модели процессов деструкции теплозащитных материалов.

4. Даны точные и приближенный методы расчета основных параметров разрушения некоторых теплозащитных материалов при воздействии на них высокоскоростного и высокотемпературного потока газа.

5. Приведена методика расчета теплозащитных материалов в окрестности точки торможения осесимметричного тела с учетом физических параметров потока до и после скачка уплотнения. По этой методике выполнен пример расчета параметров разрушения полиэтилена в окрестности точки торможения осесимметричного тела для различных условий полета.

6. Для различных краевых условий получены основные соотношения, определяющие унос массы аморфного и кристаллического материалов.

7. Решена в кадратурах автомодельная задача о нестационарной деструкпии композипионного материала при краевых условиях первого и второго рода. Приведен пример расчета процесса деструкции бакелита при вариации пористости и температуры внешней поверхности разрушения.

8. Поставлены задачи идентификации параметров вязкости аморфного и теплопроводности кристаллического материалов и указываются пути их решения при квазистапионарном разрушении этих материалов.

9. Построена методика определения параметров теплофизичес-ких свойств материалов, зависящих от температуры, используя известные в теории управления методы идентификации.

10. Получены формулы по определению параметров вязкости, заданного экспоненпиальногй зависимостью от обратной температуры и коэффициента теплопроводности, линейно зависимого от тем-тературы.

1. Адаркар Д., Хартсук Л. Интегральный подход к решению задачи о нестационарном поведении коксующегося аблирующего материала,- Ракетная техника и космонавтика, 1966, J£ 12, с.232-235 .

2. Бете Г., Адаме М. Теория абляпии стекловидных материалов. Вопросы ракетной техники, I960, № 2, с. 63-79 .

3. Биркгоф Г. Гидродинамика .- М.: ИЛ, 1963.- 183 с.

4. Бичер Н., Розенсвейг Р. Механизм абляпии пластмасс с неорганическим армированием.- Ракетная техника, 1961, № 4, с. 81-90 .

5. Barrl a u.tt R.I., Yos I. Analysis of the. aíiaíioYi of plastic heat skleEds that forma, charreoi. surface ¿ayer. Д RS lournaí, 4960,30, N23, p. 823 829,

6. Гараев К.Г. Некоторые инвариантные вариационные задачиламинарного пограничного слоя.- Диссертация канд. техн. наук.-Казань, 1971 .- ИЗ с.

7. Горский В.В., Полежаев Ю.В. О некоторых особенностях, связанных с течением пленки расплава. Теплофизика высоких температур, 1966, т.4, №2, с. 218-227 .

8. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи Изд. ЛГУ, 1970 .-376 с.

9. Гараев К.Г., Дружинин Г.В., Павлов В.Г. Анализ автомо-дельности и расслоение уравнений нестационарного пограничного слоя на пластинке методами теории групп.- Изв. вузов, Авиационная техника, 1976, № 4, с. 27-30 .

10. Дружинин Г.В. Постановка и решение задач идентификации коэффициентов вязкости и теплопроводности некоторых разрушающихся теплозащитных материалов.- Казань, 1Э84. 8 с. Рукопись представлена КАИ. Деп. в ВИНИТИ.

11. Дружинин Г.В. Групповая классификапия и инвариантные решения уравнений течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости.- Казань, 1983. 8 с. Рукопись представлена КАИ. Деп. в ВИНИТИ 26 января 1983, № 451-83 .

12. Дружинин Г.В. Метод расчета основных характеристик разрушения кристаллических материалов, на поверхности которых образуется пленка расплава.- Казань, 1983.- II с. Рукопись представлена КАИ. Деп. в ВИНИТИ 26 января 1983, № 450-83 .

13. Дружинин Г.В., Овчинников В.А. Приближенный метод расчета характеристик разрушения аморфных материалов, использующий одно инвариантное преобразование. Казань, 1983.- 9 с. Рукопись представлена КАИ. Деп. в ВИНИТИ 26 января 1983, № 449-83 .

14. Дружинин Г.В. Групповые свойства и инвариантные решения в задаче о нестационарном поведении коксующегося аблирующегося материала. В сб.: Устойчивость и управление. - Казань, КАИ, 1977, вып. I, с.79-84 .

15. Дружинин Г.В., Павлов В.Г. Автомодельные решения в задаче о деструкции и оплавлении с учетом скачкообразного изменения плотности,- Изв. вузов, Авиационная техника, 1978, М, с. 61 67 .

16. Демьянов Ю.А., Омельченко К.Г. К использование) размерностей при решении некоторых задач теплопроводности.-Прикладная математика и техническая физика, 1961, № 3, с. 107 .- 114

17. Дорренс У.Х. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М.: Мир, 1966. - 439 с.

18. Дракин И.Н. Аэродинамический и лучистый нагрев в полете. М.: Оборонгиз, 1961. - 96 с.

19. Дербенев O.A. Некоторые исследования уравнений пограничного слоя. Диссертация канд. техн. наук. - Казань, 1971 . -131 с.

20. Знаменский В.В., Лунев В.В. Об асимптотических свой -ствах уравнений пленочной теории разрушения материалов в задачах об изменении формы тел при аэродинамическом нагреве.- Изв. АН СССР. MIT, 1981, № I, с.46-54 .

21. Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений Навье -Стокса, описывающие движение со свободной границей. Докл. АН СССР, 1972, т.202, J& 2, с.302-305 .

22. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям .- М.: Наука, 1972. 576 с.

23. Калиткин H.H. Численные методы .- М.: Наука, 1978. -512 с.

24. Ковалев A.M. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев: Наукова думка, 1980. -176 с.

25. Козлов Л.Ф. Ламинарный пограничный слой при наличии отсасывания . Киев: Наукова думка, 1968. - 195 с.

26. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. М.: Высшая школа, 1971 .434 с.

27. KawamurcLR.> NaKajimaT. Casdynamic Stac^ of Ckarring /Ufatlon.-Trans. Tap. boc. Aeronaut and Space Sclcnse, 197^, <4, N-25}p.51-71.

28. Лыков A.B. Тепломассообмен .- M.: Энергия, 1972.- 560с.

29. Лиз Л. Параметры подобия в процессе оплавления поверх- 115 ности носовой части затупленных тел в высокоскоростном потоке газа . Вопросы ракетной техники, I960, № I, с. 40-61.

30. Лойпянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физ--матгиз, 1962. - 480 с.

31. Леонова М.А. Групповая классификация и инвариантные решения уравнений течения и теплобмена вязко-пластической среды. Ж. Прикладная механика и техническая физика. - 1966, № 4, с.3-18 .

32. Ленский Э.В. О групповых свойствах уравнений движения нелинейной вязко-пластической среды. Вестник М1У, мат. и мех., № 5, 1966, с.II6-125 .

33. Меркулов В.И. Управление движением жидкости. Новосибирск: Наука, 1981. - 173 с.

34. Мхитарян A.M. Аэродинамика М.: Машиностроение, 1970. 428 с.

35. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 400 с.

36. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике ( под общей редакцией В.К. Кошкина ). М.: Машиностроение, 1975 624 с.

37. Острах С., Макконел Д. Унос массы плавления при замедлении движения сферических тел Ракетная техника и космонавтика, 1965, т.З, Л 10, с.122-13I .

38. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. - 240 с.

39. Овсянников Л.В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1958, т.118, И 3, с. 439-442 .

40. Омельченко К.Г., Тренев М.Г. Течение и теплообмен вязкой жидкости при фазовом переходе. Изв. АН СССР, МЖГ, 1981,3, с. 128-131 .

41. Омельченко К.Г., Тренев M.Г. Сопряженная задача тепломассообмена в вязкой жидкости при фазовом переходе. Изв.

42. АН СССР, MIT, 1984, Л 2, с.46-50 .

43. Портнов И.Г. Задача о деструкпии и оплавлении с учетом скачкообразного изменения плотности. В сб.: Тепло- и массопе-ренос .- Минск: Наука и техника, 1968, с.75-84 .

44. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Рудько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. М.: Машиностроение, 1976 . - 224 с.

45. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976 392 с.

46. Прозорова Э*В., Резников Б.И. Разрушение теплозащитного покрытия из тефлона при гиперзвуковых скоростях полета . -ПМТФ, 1974, Jft 4, с. 94-100 .

47. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. -М.: Наука, 1967. 328 с.

48. Спиди К., Браун Р., 1Удвин Дж. Теория управления. М.: Наука, 1973 .- 248 с.

49. Саттон Дж. У. Гидродинамика и теплообмен оплавляющейся поверхности. Вопросы ракетной техники, 1958, № 5, с. 37-45 .

50. Скала С., Гильберт Л. Тепловое разрушение теплозащитного обугливающегося пластика при гиперзвуковых полетах. Ракетная техника, 1962, В 6, с. 74-82 .

51. Сена Л.А. Единипы физических величин и их размерности.- М.: Наука, 1977. 335 с.

52. Тирский Г.А. Оплавление тела в окрестности критической точки в плоском и осесимметричном потоке газа. IBM и МФ, 1961, т. I, № 3, с. 481-498 .

53. Тирский Г.А. Оплавление полубесконечного тела в плоском и осесимметричном потоке несжимаемого газа.- Докл. АН СССР, I960, т. 132, $ 4, с. 785-788 .

54. Фихтенгольп Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969.- 656 с.

55. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений.- М.: ИЛ, 1962. 608 с.

56. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.- 744 с.

57. Шехтман Ю.М. Задача теплопроводности при нарушении структуры материала с учетом влияния выходящего газа. Инженерный журнал, т. 5, № 3, 1965, с.441-448 .00,80,60,40,20 И 20ООО, М=б, К = 0,05