автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.16, диссертация на тему:Робастное и адаптивное управление колебательными режимами нелинейных систем

На правах рукописи

ЕФИМОВ Денис Валентинович

РОБАСТНОЕ И АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ РЕЖИМАМИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.11.16 — Информационно-измерительные и управляющие системы (в машиностроении)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург — 2006

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской академии наук (ИПМаш РАН)

Научный консультант:

доктор технических паук, профессор Фрадкои Александр Льновнч

Официальные оппоненты:

Д.ф.-м.н., профессор Ананьевскнй Игорь Михайлович Институт проблем механики РАН

Д.ф.-м.н., профессор Леонов Геннадий Алексеевич Санкт-Петербургский Государственный Университет

Д.т.н., профессор Тимофеев Адиль Васильевич Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Ведущее предприятие:

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

IIa заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О., д. 61, ИПМаш РАН

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН

Автореферат разослан " I " А2006

г.

Ученый секретарь диссертационного совет доктор технических наук

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

На современном этапе развития теории автоматического управления возрастает роль задач управления колебательными процессами функционирования нелинейных динамических объектов. Это связано, прежде всего, с открытием и интенсивным развитием новых областей практических приложений: управления вибрационными установками, управления техническими системами в хаотических и бифуркационных режимах, управления открытыми физическими и биологическими системами. Повышение требований к качеству переходных процессов в традиционных ^^ областях применения теории синтеза нелинейных колебательных систем, таких как электротехника, робототехника и вибрационная механика, привело к необходимости разработки новых методов конструирования систем, учитывающих неопределенные условия функционирования колебательных объектов и внутренние параметрические неопределенности.

Например, подобная ситуация возникает при построении резонансных вибрационных машин (И.И. Блсхман) или манипуляционных авторезонансных систем (В.II. Бабицкий), функционирующих на собственной частоте рабочего механизма, что позволяет существенно снизить энергетические затраты исполнительных устройств.

Эффективность работы вибрационной машины в значительной мере определяется интенсивностью колебаний рабочего органа, которая зависит от частоты возбуждения. Поэтому наиболее эффективными являются резонансные машины, в которых в качестве основных рабочих режимов используются резонансные колебания исполнительных механизмов. Принцип работы таких машин основан на использовании явления резонанса колебательной системы при воздействии на нее периодической вынуждающей силы. При резонансе происходит резкое возрастание амплитуды колебаний при заданной вынуждающей силе, и, наоборот, любая заданная амплитуда колебаний достигается при минимальном силовом воздействии со стороны возбудителя колебаний. Однако, любые внешние возмущения или отклонение значений параметров от номинальных приводят к уходу системы из резонансного режима работы, что увеличивает энергетические потерн системы и делает затруднн-

• тельным её функционирование в условиях существенного изменения значений параметров (до 100% от номинальных величии) или присутствия возмущений.

Другой пример — двигатели внутреннего сгорания. Серьёзная конкурентная борьба между различными фирмами на рынке производства двигателей внутреннего сгорания приводит к быстрому повышению требований к рабочим характеристикам двигателей (расходу топлива, максимальному крутящему моменту, кривой разгона, экологичности). Множественность режимов работы двигателя и широкий диапазон условий функционирования затрудняют заводскую настройку двигателя, обеспечивающую приемлемое качество функционирования системы для всех возможных условий работы. Использование адаптивных технологий позволяет преодолеть указанный недостаток, но отсутствие теоретических результатов, применимых к проблемам управления колебательными системами, не позволяет сделать это в полной мере. Поэтому проблема повышения качества функционирования систем возбуждения и поддержания желаемых колебательных режимов движения в нелинейных не-

определенных динамических системах является важной и актуальной.

Феномен нелинейных колебаний охватывает широкое множество возможного поведения динамических систем: от периодических или гармонических колебаний до рекуррентных и хаотических движений. Исследования в этой области в значительной степени опираются на достижения отечественных научных школ по изучению нелинейных колебаний, представленных работами A.A. Андронова, И.И Блех-мана, H.H. Боголюбова, П.С. Ланда, Г.А. Леонова, Ю.А. Митропольского, Ю.И. Неймарка, В.В. Немыцкого, Я.Г. Пановко и их учеников. Важный и практически Полезный подход к изучению сложных колебательных режимов движения основан на понятии колебательности, введенном в 1973 году В.А. Якубовичем. Этот подход позволяет получить частотные условия колебательности для класса систем Лурье, состоящих из номинальной линейной части и нелинейной обратной связи по выходу. Однако при изучении многих физических и механических процессов более естественной выглядит декомпозиция системы на две нелинейные части (например, механические системы с функцией энергии, выполняющей роль функции Ляпунова системы). Для подобных систем вопросы анализа и синтеза колебательных режимов исследованы недостаточно.

Возникновение колебательных режимов движения зачастую связано с приближением значений параметров системы к точке бифуркации, достижение которой приводит к появлению колебаний и неустойчивости. Задача управления бифуркациями является достаточно новым направлением теории управления (Ю.В. Колоколов, Е, Abed, G. Chen). Одна из главных проблем в этой области состоит в сложной зависимости коэффициентов закона управления от параметров объекта. На практике эти параметры отличаются от используемых при аналитическом расчете закона управления. В силу того, что бифуркационные или резонансные свойства системы чувствительны к малым изменениям параметров, даже малая ошибка при расчете коэффициентов регулятора может привести к значительным отклонениям в поведении системы. Более того, система в точке бифуркации находится на границе устойчивости и малая ошибка в значениях коэффициентов может оказаться причиной неустойчивого поведения системы. Для преодоления этого недостатка можно использовать методы адаптивного управления для настройки коэффициентов закона управления с целью обеспечения системе бифуркационного или резонансного режима с желаемыми свойствами, что, однако, оказывается невозможным в рамках современной теории адаптивного управления, не рассматривающей случай неустойчивого или бифуркационного желаемого режима объекта.

Существующие методы стабилизации колебательных режимов движения (Л.Д. Акуленко, В.К. Асташев, В.И. Бабицкий, Ф.Л. Черноусько, A.M. Формальский) не позволяют синтезировать системы управления в условиях существенной параметрической неопределенности и внешних возмущений. Частично это связано с тем фактом, что несмотря на наличие обширной научной литературы, посвященной проблемам анализа и синтеза систем, содержащих колебательные переменные, только в последние 10-15 лет оформились конструктивные математические результаты, позволяющие исследовать устойчивость колебаний в системах с параметрической неопределенностью и внешними возмущениями. Эти результаты сформулированы группой математиков (E.D. Sontag, Y. Wang, D.Angeli) в рамках теории систем, устойчивых от входа к состоянию (input-to-state stable) или от входа к выходу

(input-to-output stability), которая является частным случаем теории систем, устойчивых относительно множества.

Одновременно серьезное развитие получили методы теории управления, позволяющие синтезировать алгоритмы управления для нелинейных систем в условиях неопределенности их моделей (Л.Л. Колесников, А.Л. Красовский, П.Д. Крутько, И.В. Мирошннк, В.О. Никифоров, A.A. Первозванский, A.JI. Фрадков, P.A. Ioannou, A. Isidori, D. Hill, P. Kokotovic, К. Narendra, R. Ortega, A.S. Morse, A. Teel, J.C. Willems). Эти методы можно разделить на группы методов робастного и адаптивного управления, направленные на различные способы компенсации неопределенности модели объектов. Для стабилизации нелинейных систем в присутствии внешних возмущений используются методы робастного управления (метод управляющих функций Ляпунова, методы пассификации, разработанные в лаборатории управления сложными системами ИПМаш РАН, метод переноса управления через интегратор, метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов). Для стабилизации систем в условиях параметрической неопределенности используются методы адаптивного управления, предлагающие непосредственную настройку коэффициентов регулятора (прямой подход к построению адаптивных систем управления) или направленные на предварительную оценку неизвестных параметров модели объекта (идентификационный подход к построению адаптивных систем). Распространение и обоснование методов робастного и адаптивного управления для задач возбуждения и поддержания колебательных режимов открывает возможности получения требуемых в приложениях законов управления колебательными системами, гарантирующих высокое качество системы в условиях сигнальной и параметрической неопределенности модели объекта.

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью развития методов робастного и адаптивного управления колебательными режимами объектов различной физической природы в условиях неполноты априорной и текущей информации об объекте и внешних условиях функционирования.

Целью работы ставится повышение качества и помехоустойчивости систем управления колебательными режимами в условиях неопределенности параметров объекта, внешних возмущений, нелинейности и неопределенности результатов измерений.

Для достижения цели в работе решается следующий комплекс задач:

1. Установить условия наличия свойства колебательности по Якубовичу для динамических систем с нелинейной номинальной частью.

2. Развить существующие методы робастного управления нелинейными системами и предложить новые алгоритмы для решения задачи синтеза законов возбуждения и поддержания колебательных режимов в неопределенных нелинейных системах. В частности, следует развить:

- метод управляющих функций Ляпунова;

- метод стабилизации по скоростному градиенту относительно множества в условиях внешних возмущений;

- метод переноса управления через интегратор;

- метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов.

3. Развить методы адаптивного управления, существующие в рамках прямого и идентификационного подходов к синтезу адаптивных систем, на задачу стабилнза-

ции желаемых колебательных режимов в условиях параметрической и сигнальной неопределенности.

4. Разработать и обосновать алгоритмы адаптивной настройки системы на желаемый вид бифуркации в условиях внешних возмущений и параметрической неопределенности модели объекта.

В ходе решения указанных задач в диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Получено развитие необходимых и достаточных условий для наличия свойства колебательности по Якубовичу у динамических систем с номинальной нелинейной частью и нелинейных систем с запаздыванием.

2. Развиты методы робастного управления нелинейными системами относительно множества:

2.1. Развит метод управляющих функций Ляпунова (предложена формулировка управляющей функции Ляпунова для задач стабилизации нелинейной аффинной по управлению системы относительно множества и от входа к выходу; разработаны необходимые и достаточные условга стабилизируемости от входа к выходу в терминах существования управляющей функции Ляпунова; обоснован закон управления, обеспечивающий по известной управляющей функции Ляпунова стабилизацию системы от входа к выходу).

2.2. Методы переноса управления через интегратор и аналитического конструирования агрегированных регуляторов обобщены на задачу стабилизации относительно множества и от входа к выходу. Проведено аналитическое сравнение этих методов.

2.3. Установлены условия робастности по отношению к интегрально ограниченным возмущениям для аффинных по управлению нелинейных систем, стабилизированных относительно множества методом скоростного градиента.

2.4. Разработан алгоритм управления, гарантирующий при выполнении ряда условий для замкнутой нелинейной системы общего вида наличие свойства колебательности по Якубовичу.

3. Развиты методы адаптивного управления нелинейными системами относительно множества:

3.1. Предложены условия применимости алгоритмов адаптации, синтезированных по методу скоростного градиента, в задачах стабилизации системы относительно множества и от входа к выходу.

3.2. Установлены новые условия применимости и упрощена структура частичных адаптивных наблюдателей для нелинейных систем с зависящей в явном виде от времени правой частью модели, приводимой к канонической наблюдаемой форме по выходу, в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения.

3.3. Предложены алгоритмы адаптивно-робастного управления для класса нелинейно параметризованных систем (случаи, когда модель объекта зависит от вектора неизвестных параметров нелинейным образом), допускающих построение частичных адаптивных наблюдателей.

3.4. Разработаны этапы синтеза адаптивных нейросетевых систем управления для задачи стабилизации нелинейной аффинной по управлению системы

от входа к выходу. Предложена модификация алгоритма обучения многослойных нейронных сетей, гарантирующая совмещения в одном времени процессов обучения нейросети и управления динамической системой для данной задачи.

4. Предложена новая постановка задачи адаптивной настройки нелинейной системы на желаемый тип бифуркации. Разработаны алгоритмы робастно-адаптивного управления, решающие задачу настройки на бифуркацию в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения. Получены различные решения для случаев единичной и неединичной относительной степени (относительная степень считается от измеряемого выхода к вектору неизвестных параметров). На

• основе полученных новых алгоритмов адаптивного управления синтезирован новый алгоритм адаптации для нелинейной системы в задаче стабилизации её относительно положения равновесия в начале координат и разработан алгоритм робастно-адаптивного управления для задачи адаптивной динамической синхронизации двух нелинейных систем

5. На основе теоретических результатов решены прикладные задачи стабилизации момента на валу двигателя внутреннего сгорания, где разработан гибридный робастно-адаптивный алгоритм управления моментом двигателя в присутствии внешних возмущений, и синтеза робастно-адаптивного алгоритма резонансного управления ударно-вибрационной дробилкой, обеспечивающего колебания вибрационной машины на собственной частоте с заданной амплитудой в энергосберегающем режиме. Применение методов синтеза управлений колебаниями, развитых в диссертационной работе, гарантирует работоспособность синтезированных систем в условиях существенной параметрической неопределенности, внешних возмущений и неполной измерительной информации об управляемом объекте, что приводит к повышению качества реализации требуемых целей управления.

Результаты диссертации нашли применение в монографиях [2], [3], рекомендованных УМО по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации для студентов, обучающихся по специальностям «Автоматизация и управление», «Управление и информатика в технических системах», а также УМО по специальности «Прикладные математика и физика».

# Результаты диссертации внедрены в НПО «Механобр—Техника», в разработки по Федеральной целевой программе «Интеграция», в НИР и учебный процесс кафедры автоматики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ», в разработки Санкт-Петербургского Государственного Технического Университета (ЛИТМО) для корпорации «General Motors» по теме № 77500 "Адаптивное гибридное управление силовыми системами автомобиля".

Научная новизна полученных результатов состоит в расширении методов синтеза управления колебательными режимами движения на классы систем, модель которых содержит существенную параметрическую неопределенность и внешние возмугцаюгцне входы. В том числе:

1. Впервые предложены необходимые и достаточные условия наличия свойства колебательности но Якубовичу для нелинейных систем и нелинейных систем с запаздыванием.

2. Впервые получена формулировка управляющей функции Ляпунова для задачи стабилизации от входа к выходу, а также представлены новые условия наличия управляющей функции Ляпунова в задаче стабилизации нелинейной системы в положении равновесия в начале координат.

3. Установлены условия робастности по отношению к интегрально ограниченным возмущениям для аффинных по управлению нелинейных систем, стабилизированных относительно инвариантного множества методом скоростЕЮго градиента.

4. Впервые разработан алгоритм управления, гарантирующий при выполнении ряда условий для замкнутой нелинейной системы общего вида наличие свойства колебательности по Якубовичу.

5. Поставлена и решена новая задача управляемой динамической адаптивной синхронизации.

6. Предложена новая постановка задачи адаптивной настройки нелинейной системы на желаемый тип бифуркации. Разработаны алгоритмы робастно-адаптивного управления, решающие задачу настройки на бифуркацию в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения.

Практическая значимость проделанной работы заключается в создании методов расчета систем управления колебательными режимами функционирования машин, модель которых содержит параметрическую неопределенность и внешние возмущающие воздействия в условиях неопределенности результатов измерения. Применение разработанного аппарата гарантирует реализацию заданной цели управления в условиях широкого разброса возможных значений параметров модели объекта при влиянии внешних возмущений.

Методы исследования. Теоретические исследования выполнены на основе методов адаптации и робастного управления, скоростного градиента, методов теории линейных и нелинейных систем автоматического управления, метода пространства состояний, метода функций Ляпунова, метода разделения движений и методов устойчивости от входа к выходу. Для оценки количественных характеристик предлагаемых решений использованы методы компьютерного моделирования.

Связь с государственными планами научных исследований. Диссертационная работа выполнена в лаборатории «Управления сложными системами» Института проблем машиноведения РАН в период с 2001-2006 гг. в соответствии с планами научно-исследовательских работ (№ 01.200.201870); при поддержке грантов РФФИ (№№ 02-01-00765, 03-01-06373, 05-01-00869); грантов Фонда содействия отечественной науки 2004-2005; программы Президиума РАН № 19 «Управление механическими системами» (проект 1.4); по проектам федеральной целевой программы «Интеграция» (№ Б-0026); российско-нидерландской исследовательской программы NWO-РФФИ 047.011.2004.004; в рамках научного договора между Санкт-Петербургским Государственным Техническим Университетом (ЛИТМО) и корпорацией «General Motors» по теме № 77500.

Апробация работы. Результаты работы доложены и одобрены на 22 научных конференциях и симпозиумах, в том числе: 15-ый и 16-ый Всемирные конгрессы международной федерации по автоматическому управлению (IFAC) (Испания, 2002; Чехия, 2005); 41-ая, 43-ая и 44-ая Конференции Института инженеров по электротехнике и электронике (IEEE) по принятиям решений и управлению CDC'02(04; 05) (США, 2002; США, 2004; Испания, 2005); на 1-ой и 3-ей Всероссий-

ских научных конференциях "Управление и информационные технологии" У1ГГ03(05) (Санкт-Петербург, 2003; 2005); Симпозиум IFAC по нелинейным системам управления NOLCOS'04 (Германия, 2004); Конференция Российской северозападной секции IEEE (Санкт-Петербург, 2004); Конференция IEEE по прикладным задачам управления ССЛ'03 (Турция, 2003); Европейская конференция по управлению ЕСС'03 (Англия, 2003); 2-ая Международная конференция по проблемам управления (Москва, 2003); 4-ая Международная конференция «Средства математического моделирования» MATHMOD'03 (Санкт-Петербург, 2003); 4-ая Азиатская конференция по управлению ASCC'02 (Сингапур, 2002); конференции "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2000; 2001); Международная конференция по нейрокомпьютерам и их применению (Москва, 2000); Международная конференция по нейронным сетям и искусственному интеллекту (Брест, 1999); 6-ая и 7-ая Международная студенческая олимпиада по автоматическому управлению ВОАС'98(99) (Санкт-Петербург, 1998; 1999); Международная научно-техническая конференция "Нейронные, реляторные и непрерывно-логические сети" (Москва, 1998); 2-ой и 3-ий Международный симпозиум по интеллектуальным системам управления INTELS'96(98) (Санкт-Петербург, 1996; Псков, 1998). Обсуждения результатов диссертационной работы успешно прошли на Городском семинаре по теории управления, на институтском семинаре ИПМаш РАН, на семинаре ИПУ РАН, на семинаре университета SUPELEC (Франция).

Публикации. Автором опубликовано по теме диссертации 62 печатные работы, в том числе 5 монографий и учебных пособий, 2 главы в книгах и 13 журнальных статей. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[34]. Все результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. В работах, опубликованных совместно, вклад автора состоит в следующем.

В работах [2], [3], [4], [14], [15] автору принадлежит разработка этапов синтеза нейросетевых адаптивных систем управления и алгоритмов обучения многослойных нейросетей.

В работах [10], [29] автором предложены новые условия применимости роба-стифицированных адаптивных наблюдателей и структура частичных адаптивных наблюдателей для неавтономных динамических систем.

В работах [5], [21], [25] автору принадлежат алгоритмы настройки нелинейной системы на бифуркацию для случаев единичной и неединичной относительной степени.

В работах [8], [19], [27] автору принадлежат алгоритмы управления, обеспечивающие нелинейную систему свойством колебательности по Якубовичу, а также развитие достаточных условий и определения колебательности по Якубовичу на нелинейные системы с запаздыванием.

В работах [12], [20], [23], [31], [34] автору принадлежат алгоритмы адаптивного и логико-командного управления нелинейными системами в условиях внешних возмущений.

В работе [18] автору принадлежит развитие методов обратного обхода интегратора и аналитического конструирования агрегированных регуляторов на задачу робастной стабилизации нелинейных систем относительно множества.

В работе [22] автором предложен алгоритм робастно-адаптивного управления с

оценкой производной функции выхода.

Структура и объем работы. Диссертация содержит девять глав, заключение, три приложения и список использованных источников, содержащий 267 наименований. Работа содержит 282 страницы основного текста, 79 страниц приложений и включает 67 иллюстраций.

Перейдем к изложению результатов диссертации.

2. АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Важный и практически полезный подход к изучению сложных колебательных режимов движения основан на понятии колебательности, введенном в 1973 году В.А. Якубовичем для систем вида:

x = f(x,u), y=h(x), (2.1)

где х б R" — вектор состояния, у eRp — вектор выхода, u е Rm - вектор входа системы; функции f и h — достаточно гладкие для существования и непрерывности решения как минимум локально.

Определение 2.1 .Решение х(/,хо,0) с <= R" системы (2.1) называется [тг~,л+ ^-колебанием по выходу у = г|(х) (где г):R"—>R —непрерывная функция) если решение определено для всех I >0 и

lim у(/) = я" ; lim у(/) = л+ ; -со < л~ < л+ < +оо.

Решение х(/,х0,0) для х0 е R" системы (2.1) называется кол еб а т ел ы/ ы м, если существует выход у такой, что это решение является [я~,п+ ] -колебанием по выходу для некоторых -то < 7t- < я+ < +оо. Система (2.1) при u(f) = 0, /2:0 называется колебательной, если для почти всех Xg е R" решения системы х(/,хо,0) колебательные. Система (2.1) при и(/) = 0, называется равномерно колебательной если существуют непрерывная функция r\: R" —> R и константы — оо < < я+ < +со такие, что для почти всех Xq б R"

решения х(/,х0,0) являются [л-]-колебаниями по выходу \j/=ti(x). □

В определении используется термин "почти все начальные условия", так как в общем случае у системы может существовать набор положений равновесия, решения системы в которых не являются колебательными.

Константы л~ и я+ являются точными минимальным и максимальным значениями выхода y(f) в асимптотике. Следовательно, для вычисления этих величин необходимы точные оценки на решения системы, что является трудно разрешимой задачей для системы общего вида. Однако, информации о границах величин л~ и

л+ достаточно для получения оценок на амплитуду колебаний в системе (конечно, необходима дополнительная информация о том, что эти константы не равны друг

10

ДРУГУ).

Предложенные в работах В.А. Якубовича и в работах последователей (Г.А. Леонов, И.М. Буркин, А.И. Шепелявый) результаты позволяют получить достаточные частотные условия колебательности для класса систем Лурье, состоящих из номинальной линейной части и нелинейной обратной связи по выходу. Однако при изучении многих физических и механических процессов более естественной выглядит декомпозиция системы на две нелинейные части (например, механические системы с функцией энергии, выполняющей роль функции Ляпунова системы). Развитие достаточных условий колебательности на такой класс систем - новая и перспективная задача современной теории управления. Один из вариантов такого развития представлен в диссертационной работе.

Теорема 2. 1 [8], [27]. Пусть существуют две непрерывные и локально литтщевые функции Ляпунова У\ : —» и V, :Лл+| Л. , д. чя всех х е Л и / е К+ удовлетворяюи/ие неравенствам:

и,(|х|)£И,(х,0£и2(|х|). и3(|х|)£К2(х,/)<и4(|х|), 1)1,02,1)3,04 еК«,; дК1/5г + £Г(х0)К1(х,О> о для 0< | х| < Хх и хеЕ ;

5К2/5/ + 1Г(х0)(/2(х,/) < 0 для |х|>Л"2 и хеН, <о71оо2оо71оо4(Л'2), где НсЛ" - некоторое множество нулевой меры. Если множество

не содерэ/сит положений равновесия системы х = Г( х,0), то система является колебательной. ш

Здесь непрерывная функция о: —> принадлежит классу К. если она строго возрастающая и ст(о) = 0; она принадлежит классу 7Сх> если она дополнительно радиально неограниченна. Подчеркнем, что для непрерывных и локально липшицевых функций и У2 соответствующие производные определены почти везде.

Также как предлагается работах В.А. Якубовича, здесь тоже можно использовать функцию Ляпунова линеаризованной в окрестности начала координат системы в качестве функции К] для определения свойства локальной неустойчивости системы в нуле. Далее, требование существования функции Ляпунова К2 может быть сведено к свойству ограниченности решений системы х(*) с известной верхней границей, которая может быть оценена с использование других подходов, не касающихся анализа свойств производной по времени функций Ляпунова.

Предложенная теорема содержит достаточные условия колебательности системы (2.1). Оказывается, что для равномерно колебательной системы эти условия являются также и необходимыми.

Теорема 2.2 [1 ]. Пусть система (2.1) является равномерно колебательной

по выходу у = Г|(х) (где т]: /?" —> Л — непрерывная функция), удовлетворяюгцему неравенствам

Х,(|х|)<т1(х)^Х2(|х|). XI.Х2 ¿Ко, 11

а множество начальных условий, для которых система не колебательная Е = {0} . Тогда существуют две непрерывные и локально литчицевые функции Ляпунова У,:Ли+1 -> и У2 :/?"+1 -»■ для всех х е Л" и / е удовлетворяющие неравенствам:

и,(|х|)5К,(х,/)^и2(|х|), и3(|х|)<К2(х,/)^и4(|х|), и,,и2>из,и4 еК«,;

5К1/5/ + 1г(х>0)К,(х,О> 0 для 0<|х|<х5'(я-);

5К2/5/ + £г(1>0)К2(х,Г)< 0 для |х|>хГ'(я+). .

Для равномерно колебательных систем с единственным положением равновесия в начале координат теоремы 2.1 и 2.2 дают необходимые и достаточные условия колебательности. Примером равномерно колебательной системы с единственным положением равновесия служит система Ван-дер-Поля:

XI =х2; х2=-х1+е(1-х1)х2, (2.2)

где параметр е > 0. Ьля проверки этой системы на наличие свойства колебательности необходимо построить две функции Ляпунова, устанавливающие локальную неустойчивость и глобальную ограниченность решений системы:

Г,(х) = 0.5(д-!2 +дг| ); Г2(х) = 0.5(е-1л:2-2л:, + 1/Зх,3 ^ +1 /12*,4 , чьи производные по времени, взятые в силу уравнений системы, имеют вид:

Г, = ех2 -ех2х¡;У2 =■

Л 2

х2

Зе

НИ

Функция У\ является строго положительной для всех 0 < | Х\ | < 1 и х2 Ф О, однако подмногообразие х2 = 0 не содержит инвариантных решений системы вне положения равновесия в начале координат, следовательно, У\0) > О ДЛЯ почти всех / > 0, таких, что 0<|х1(О|<1 и |х|<ЛГ] => К] ¿0, где Х\ = 1. Исследуя функцию У2 можно получить неравенство

Х7 £ 3

+ 2

В этом примере функции 1>1(.у) = и2(.5) = 0.5£ , функции из(^) и 04(1) могут быть построены численно для данного значения е . Гладкая функция У2, обосновывающая наличие диссипативных свойств у этой системы, является одним из результатов работы. Результаты расчета множества П и компьютерного моделирования траекторий системы для е = 1 представлены на рис. 2.1, где эллипсы определяют размер и форму множества О .

В диссертационной работе также исследуются индексы колебательности системы (2.1) и предлагается развитие полученных результатов на нелинейные динамические системы с запаздыванием [19].

хг

-2

1 1 1 л Л * t 1 1 1 * -—| / 1 \\ |\ / » \ ^^ 1«

■ / • 1 / • \/ • К >1 » Д 1 / f% I и 1 i Г ji Li \ л /п» \ V ! \ V ... 1L ХЛ^ 1 ■ « х : \ \ П ^ .....- i \ \ : ч^ / >/ —N / 1 jCr • /К* и: • / 1 \i 1 1 1 1 ■ I ■ 1 ■ ■

-3 -1 xi 1 3

Рис. 2.1. Траектории и множество Q для системы (2.2).

3. РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ

В течение последних двух десятилетии было предложено множество решений задачи синтеза стабилизирующего закона управления для нелинейной динамической системы относительно положения равновесия в начале координат. Среди полученных решений целесообразно отметить метод управляющих функций Ляпунова (Control Lyapunov function), устанавливающий необходимые и достаточные условия существования стабилизирующего непрерывного закона управления для аффинных нелинейных систем [33]. Метод линеаризации обратной связью, являющийся геометрическим методом синтеза управлений для класса нелинейных систем, трансформирующих систему к линейному виду, с возможностью последующего применения широкого спектра решений, доступных для линейных систем. Метод пасси-фикацни ориентирован на стабилизацию нелинейных слабо мшшмалыю-фазовых систем. Задача переноса управления через интегратор играет важную роль среди фундаментальных проблем синтеза управляющих воздействий. Существуют несколько методов нацеленных на решение этой задачи, таких как метод обратного обхода интегратора (ОИ), метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР), метод наследуемого управления с насыщением и прямого обхода интегратора, позволяющих синтезировать стабилизирующие законы управления для систем, удовлетворяющих определенным структурным свойствам. Существуют робастные модификации алгоритмов управлений для перечисленных методов, полученные на основе применения теории устойчивости от входа к состсйнрпботе рассматривается задача синтеза управления, стабилизирующего систему не относительно начала координат пространства состоянии, а относительно некоторого инвариантного множества (по части переменным или по выходу). Именно с существованием в пространстве состояний системы инвариантного притягивающего множества можно связать наличие у системы колебательного режима

движения. Необходимость синтеза подобного рода управлений возникает не только в задачах управления колебаниями, но и в смежных областях, таких как синхронизация динамических систем, при стабилизации желаемого уровня энергии в механических системах, в задачах управления движением и в робототехнике.

3.1. Управляющие функции Ляпунова в задаче стабилизации относительно множества

Аппарат управляющих функций Ляпунова (УФЛ) позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия существования стабилизирующего непрерывного закона управления для нелинейных систем. Также как наличие функции Ляпунова является эквивалентным условием свойства устойчивости автономной динамической системы, так существование УФЛ является необходимым и достаточным условием стабилизируемое™ системы непрерывной обратной связью по состоянию.

Этот факт обосновывает полезность разработки свойств УФЛ для различных задач стабилизации (задач назначения для замкнутой системы различных свойств устойчивости). В работе рассматривается свойство устойчивости от входа к выходу (УВВ). Система (2.1) является УВВ, если существуют функции Р е К£ (непрерывная функция р : Л+ х Л+ —> из класса К£ , если она принадлежит классу К по первому аргументу для любого фиксированного значения второго, и строго убывает до нуля для возрастающего второго аргумента при любом фиксированном значении первого) и у е К. такие, что

|у(/,х0>и)|г;р(|жо1,0 + у(11и||).

для всех начальных условий х0 е и и е ^М т (где М т - множество измерил я

мых по Лебегу и ограниченных почти везде функций и : —> Ят, | • | - евклидова норма вектора, ||и|| й еде8ир{| и(/) £ 0} ).

В работе для системы

х = 1"(х,у) + С(х)и , у = Ь(х), (3.1)

где х е Л", и е Ят , у е , у е Лг - вектора состояния, входа, выхода и внешнего возмущения соответственно ( Г, 11 и столбцы матричной функции в - гладкие функции, Ь(0) = 0, Г(0,0) = 0 ) предлагается УВВ УФЛ V: Н" -> (дифференцируемая функция), отвечающая требованиям:

1. а,(|Н(х)|)<К(х)<а2(|х|), а„а2 еК^.

2- Г(х)>ЗС(М) =» дУ(х)/дх Г(х,у)5\|г(х), уеС0, Х^К«,; \дУ(х)/дх С(х)| =0 => У(х)<0 для всех хгг, г = {х :Ь(х) = 0}.

Наличие введенной УФЛ эквивалентно свойству УВВ стабилизируемое™ системы (3.1). Более того, если V является УВВ УФЛ, то закон управления:

и= к(у(х),|0Г(х)/0х С(х)|2 )х ^ =

хЗГ(х)/Зх С(х))г,

0 если г = 0,

_2

г если г*0;

обеспечивает системе (3.1) свойство УВВ.

3.2. Робастная стабилизация относительно множества методом скоростного градиента

Метод скоростного градиента предлагает развитие методов пассификацпи на задачу стабилизации относительно множества для следующей модификации системы (3.1):

х = f(x) + G(x)[u +v], y = h(x), (3.2)

где хе R", u е Rm , у е Rm — как и ранее вектора состояния, входа и выхода соответственно; v е Rm — вектор внешнего возмущения, приведенный ко входу системы; требования к f, h и столбцам матричной функции G остались неизменными. Система (3.2) при нулевом возмущении v называется пассивной с дифференцируемой функцией запаса V : R" -» R+ , если для всех х е R", u е Rm , у е Rm верно неравенство V < уги . Для системы (3.2) при v = 0 и функции V : R" R+ говорят, что система наделена свойством F-детектируемости, если для всех Xq е R" выполнено

у(/,х0,0) = 0,/>0 => lim F(x(f,x0,0)) = 0.

Известна теорема об асимптотической стабилизации, согласно которой пассивная система (3.2) с функцией запаса V: R" R+ (множества

"Vc={xe7?":F(x) = c} компактны для всех сеЛ+), наделенная свойством V-детектируемости, глобально асимптотически стабилизируема относительно множества Т0 = {х е Л" : К(х) = 0} обратной связью

«=-ф(у), (3-3)

где гладкая функция ф :Rm -> R"' удовлетворяет свойству ф(0) = 0 и для всех отличных от нуля у е Rm выполнено уТ<р(у) > 0 . В работе показано, что закон управления (3.3) обеспечивает свойства робастной устойчивости множества 'Vq при условии дополшгтельных ограничений на форму функции запаса V : аД|х|То)2Г(х)<а2(|х|-ц)), oti,a2 еК«,.

Тогда система (3.2) с управлением (3.3) наделена свойством интегральной устойчивости от входа к состоянию (ИУВС)по отношению к компактному множеству "V0 и входу v е М т . Система называется ИУВС по отношению к замкнутому инвариантному при нулевом входе множеству Л [18], если существуют функции а е К». У eK, ß е КС такие, что для всех х0 б R" и u е М т решения системы удовлетворяют неравенству

а(|*(/,х0.и)1л )-Р(1 х0 }у(|и(т)|)л. />0.

о

Полученный результат устанавливает свойство грубости системы, стабилизированной методом скоростного градиента, по отношению к интегрально ограниченным возмущениям.

3.3. Перенос управления через интегратор в задаче стабилизации относительно множества

Рассмотрим следующую модель объекта управления

Х = Г(Х,2,У,), у = Ь(х), (3.4)

¿ = и + у2> (3.5)

где х е Л" — вектор состояния системы (3.4). Требуется стабилизировать систему относительно множества 2 = {х:Ь(х) = 0}, заданного нулями функции выхода

у е Яр ; х б Л" - вектор состояния системы (3.5); и е Лт - вектор управления;

У2бД'2 _ вектора внешних возмущений, у = (У|, у2 ) е К4 ,

Я = Ч\ + ?2 • Функции и Г :Лп+т+?1 -> Л" - гладкие, Г(0,0,0) = 0.

Предположим доступность непрерывно дифференцируемого закона управления к : Л" —> Ят такого, что система

х = Г(х,к(х) + е,У| ) (3.6)

наделена свойством УВВ по выходу у и входу V] для е = 0, где переменная е = х -к(х) определяет ошибку реализации "виртуального" управления к . Учитывая управление к , необходимо синтезировать закон управления и = 11(х,г), обеспечивающий свойство УВВ от входа V к выходу у для всей системы (3.4), (3.5), то есть требуется "перенести" управление к через интегратор (3.5).

Одними из самых известных методов, нацеленных на решение задачи переноса стабилизирующего в положении равновесия управления через интегратор, являются методы ОИ и АКАР. В работе предлагается развитие этих методов на задачу стабилизации системы от входа к выходу [18].

Предположим, что V: К" Я+ - УВВ функция Ляпунова для системы (3.6) с входом (У|,е), предположим также существование непрерывной функции г: Лл+т ->■ Ят такой, что для всех х е И", г,г' е Ят и V, б Л?1

Тогда закон управления, рассчитанный по методу ОИ примет вид:

и = 9к/5х Г(х,г,0)-г(х,к(х))-ф(г-к(х)). (3.7)

Закон управления рассчитанный в этом случае по методу АКАР может быть записан следующим образом:

и = дк/дх {(х,х,0)-ц>(х-к(х)). (3.8)

16

В (3.7) и (3.8) функция (р:Лт —> 1{т - непрерывна и ггср(г) > к(|г|) для всех

г е Я"', к е К . В работе предлагаются ограничения на свойства системы (3.6) и вид функции ф, выполнение которых гарантирует для систем (3.4), (3.5), (3.7) и (3.4), (3.5), (3.8) свойства УВВ или ИУВС относительно множества X и входа V.

Отличие управлений (3.7) и (3.8) состоит в присутствии слагаемого г(х,к(х)) в управлении (3.7), что обуславливает явную зависимость управления, синтезированного по методу ОИ, от функции Ляпунова V . Данный факт является главным достоинством метода АКАР - управление, рассчитанное по этому методу, может применяться в тех случаях, когда функция Ляпунова для системы (3.6) неизвестна.

3.4. Управление генерацией и поддержанием колебаний

Рассмотрим задачу синтеза обратной связи для пассивной системы, наделяющей замкнутую систему свойством колебательности по Якубовичу (определение 2.1). В работе показано, что для пассивной системы (2.1) закон управления [11], [27]

и = -к(х) + «1 = -к!(х) + к2(х) + <1, где б - новый возмущающий вход; к ] ( х) - глобально стабилизирующая по методу скоростного градиента обратная связь (|к](х)|£Я.(|у|)ДеК); к2(х) - локально дестабилизирующая обратная связь (|к2(х)|<^, 0 < ЛГ < +оо ), гарантирует при выполнении ряда технических условий:

1) ограниченность решений замкнутой системы для любого «1 е М т ;

л

2) свойство колебательности по Якубовичу для случая с1( г) з 0 , ¡'¿О.

4. АДАПТИВНО-ГОБЛСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ

Отметим, что традиционно принято для решения задачи стабилизации системы в присутствии параметрической неопределенности использовать методы теории адаптивного управления или методы робастного управления. Группа первых методов нацелена па оценивание и компенсацию неопределенностей модели объекта. Робастные алгоритмы управления стремятся компенсировать влияние неопределенностей (параметрических или сигнальных) на переходные процессы в системе. Именно эта группа методов рассматривалась в предыдущей главе, поэтому здесь представлено развитие методов адаптивного управления на задачу стабилизации относительно множества.

Задача адаптивного управления нелинейной системой имеет множество различных решений. Условия применимости для большинства результатов в этой области предполагают радиальную неограниченность целевого функционала относительно всего вектора состояния объекта, что обеспечивает решение асимптотической стабилизации неопределенной системы по всему вектору состояния. Однако, на практике, как уже обсуждалось, часто возникают задачи, требующие стабилизации относительно множества или по выходу динамической системы. Известные

результаты не предлагают решения для задачи стабилизации нелинейной системы относительно множества в присутствии параметрической неопределенности. Компенсации этого пробела и посвящена данная глава.

Одна из основных проблем, с которой сталкивается дизайнер адаптивных систем управления, является проблема обеспечения свойства грубости получаемого решения в присутствии немоделируемых возмущений в правой части объекта. Используя классические результаты, можно обеспечить желаемые свойства устойчивости системе в отсутствие возмущений. Однако, в общем случае присутствие внешних возмущений разрушает свойство ограниченности решений подобных систем. Существует множество подходов для компенсации влияния возмущений на алгоритмы настройки в адаптивной теории управления [23], [34]. Большинство подобных подходов базируется на использовании параметрических обратных связей в алгоритмах адаптации, что приводит к возникновению статических ошибок регулирования для случая отсутствия возмущений. Другие подходы требуют доступности информации о модели возмущения [12]. Гибридные адаптивные системы предлагают наиболее подходящее решение этой задачи [20], [30], [31], но в таких системах возникает проблема обеспечения и исследования качества переходных процессов.

Существует разбиение методов адаптивного управления на прямые и идентификационные. Первые методы направлены на непосредственную настройку параметров регулятора неопределенного объекта, тогда как группа вторых методов предполагает предварительную идентификацию неизвестных параметров модели объекта. Рассмотрим оба подхода.

4.1. Адаптивная стабилизация от входа к выходу

Будем рассматривать следующую нелинейную модель возмущенного неопределенного объекта:

х = Р(х,0,и, V), у = Ь(х), (4.1)

где х е К", и е Лт н у б Яр как и ранее вектора состояния, управления и выхода соответственно; у е л' — внешнее возмущение; ОеАс/!' — вектор неизвестных параметров. Функции ¥:Лп х(1хЛт хЛ1 Л" и Ь : Д" —> Кр - непрерывные и локально липшицевые, Р(0,9,0,0) = 0 для любого ОеП и Ь(0) = 0 . Предполагается, что сигналы 0(/), и(/) и \(1) - ограниченные функции времени. Выберем закон управления в следующем виде:

и = 11(х,0), (4.2)

где и:Л"хЛ* -» Лт — непрерывная функция, и(0,-) = 0; и бе Л* - вектор настраиваемых параметров, являющихся решением уравнения:

в = с(х,§), (4.3)

где С : Л" х Д* -> Л* - непрерывная и локально липшицевая функция, С(0,0) = 0. Систему (4.3) называют алгоритмом адаптации. В данной постановке задачи также предполагается, что неизвестные параметры 0(/) являются функциями времени,

размерности векторов 0 и 9 различаются.

Цель управления формулируется следующим образом:

- предложить алгоритм адаптации (4.3) и сформулировать условия, гарантирующие системе (4.1), (4.2), (4.3) ограниченность решений и сходимость к нулю переменной у (Г) при v(i) = 0 для всех t > 0 ;

- предложить модификацию алгоритма (4.3), гарантирующую замкнутой системе свойство УВВ или ИУВС в присутствии возмущения v(/ ) .

В работе предлагаются условия, гарантирующие решение поставленной задачи для алгоритма адаптации, рассчитанного по методу скоростного градиента [1], [16]: G(X,Ô) = -yVg ю(х, в, в,о), у > О,

где со(х, 0, Q,\) = dV(x)/dx f(x, 0, U(x,Ô),v) и V : R" R+ - положительно определенный относительно функции выхода целевой функционал:

«.(И^х)^!*!),«,,«^^. Предполагается выпуклый характер зависимости функции о>( х, 0, 0, v) от вектора

настраиваемых параметров 0. В работе также исследованы идентифицирующие свойства алгоритмов скоростного градиента в задаче адаптивной стабилизации множеств.

4.2. Адаптивные наблюдатели в присутствии возмущений

Идентификационный подход к синтезу адаптивных систем управления состоит в предварительном построении наблюдателей неизмеряемых переменных и синтезе контуров идентификации параметров неопределенного объекта с последующим использованием результатов наблюдения и идентификации в регуляторе. Наблюдатели систем, модель которых содержит неизвестные параметры, необходимо должны содержать контура адаптации, компенсирующие неопределенность объекта. Такие наблюдатели принято называть адаптивными. Структурная схема системы с адаптивным наблюдателем приведена на рис. 4.1, где х - вектор состояния автономного наблюдаемого объекта; 0 - вектор параметров; у - измеряемый выход;

dj -шум; 0 - оценка вектора 0; х - оценка вектора х . На динамику неавтономного объекта влияет внешнее возмущающее воздействие dj. Будем рассматривать следующий класс моделей:

x = A(y)x + cp(y) + B(y)0 + db у = Сх, yd =y + d2, (4.4)

где х е R" - вектор состояния; у е Rm - вектор выхода; Bsfij с Rp — вектор неопределенных параметров, чьи значения принадлежат известному компактному

множеству Qq ; dye M п, d2e M m — векторные сигналы неучтенных возмуще-R R

нин в модели объекта и помех в канале измерения выхода у, d =[df d2 ]Г ; yj — вектор зашумленного выхода системы (4.4). Векторная функция ср и столбцы матричных функций а, в предполагаются непрерывными и локально липшицевыми,

С — постоянная матрица соответствующей размерности. Требуется построить адаптивный наблюдатель, в отсутствие возмущений <1 восстанавливающий неизмеряе-мые компоненты вектора состояния системы (4.4) и идентифицирующий значения вектора 0, а для с! е М п+т гарантирующий ограниченность решений.

Рис. 4.1. Структурная схема системы с адаптивным наблюдателем.

Будем использовать стандартный адаптивный наблюдатель [10]:

2 = •А(у(/ )г + ф(у</ ) + В(у^)б + К(у^ )(у^ - у), у = Сг; (4.5)

г| = С(у<,)п-П0; С(у(/) = А(у</)-К(у(,)С; (4.6)

П = С(у</)П + В(у,/); (4.7)

б = уПгС7"(у</-у + Сч), у>0, (4.8) а также новый редуцированный адаптивный наблюдатель [1]:

¿ = А(у4/)ж + «р(у<,) + К(у<,)(у4/-у), у = С2; (4.9)

П = С(У<,)П + В(У(/); (4.10)

0=уПгСг(Ус,-у-СПб), у>0, (4.11)

где г б Л" - вектор оценок неизмеряемого вектора состояния х системы (4.4); уеЛт - вектор оценок у; г\е К" и П е дп*Р _ вспомогательные векторная и матричная переменные, позволяющие компенсировать высокую относительную степень у системы (4.4); § е Яр - вектор оценок вектора 0 ; К(у ) — непрерывная матричная функция. В регуляторе (4.9)-(4.11) отсутствует переменная ц.

В работе получены новые условия применимости для адаптивных наблюдателей (4.5)-(4.8) и (4.9)-{4.11) в условиях присутствия возмущений и шумов в канале измерения [1], [10], [26], [28], [29].

43. Адаптивно-робастная стабилизация для класса нелинейно параметризованных систем

Будем рассматривать следующую модель динамической системы:

х = А(у)х + ф(у) + В(у)0 + Щу)[и + а3] + с11, у = Сх, уа = у + с12,(4.12)

где все обозначения совпадают с введенными в предыдущем параграфе, и е -вектор управления; е Л' - возмущение в канале управления, с1 = с13 ]г ;

столбцы матричной функции И полагаются непрерывными и локально липшице-выми. Будем предполагать известность закона управления и -лт+к+Р _> J функ-

ции выхода у: Д" и матрицы Ь размерности (кхп) таких, что закон

управления

и = и(у,Ьх,в) (4.13)

обеспечивает системе (4.12) свойство УВВ по выходу и входу <1 или свойство ИУВС относительно множества X = {х: чЧх) = 0} для входа с!.

Требуется, используя закон управления (4.13), зависящий от неизмеряемых переменных Ь х и вектора неизвестных параметров системы в, построить новый регулятор, использующий только доступную измерительную информацию уц и гарантирующий замкнутой системе ограниченность решений для любого ^^ с! е ^1кП+т+д , а при с1 = 0 свойство сходимости к нулю переменной у или ат-

трактивности множества 2..

В правую часть (4.12) вектор неизвестных параметров 0 входит линейно, но правая часть системы (4.12), (4.13) в общем случае уже имеет нелинейный характер зависимости от 0 . Возможный невыпуклый характер этой зависимости препятствует использованию результатов параграфа 4.1 для системы (4.12), (4.13). Существующие результаты в области адаптивного управления нелинейно параметризованными объектами в основном предлагают робаетифицирующие настраиваемые обратные связи, подавляющие влияние неизвестных параметров и не нацеленные на задачу стабилизации системы по выходу или относительно множества, рассматриваемую здесь. Поэтому необходимо предложить новое решение рассматриваемой задачи [1].

Регулятор

Рис. 4.2. Структурная схема комбинированной системы Р адаптивного управления.

Вид системы (4.12) близок к виду системы (4.4), допускающей построение адаптивного наблюдателя, подставляя оценки которого на значения векторов Ьх и 0 в управление (4.13), можно обеспечить достижение поставленных целей управления в системе. Принципиальное отличие этой задачи от рассмотренной в предыдущем параграфе состоит в присутствии управляющего воздействия в правой части (4.12), то есть в общем случае в отсутствие управления (4.13) система может иметь неограниченные решения, что не мешает синтезу адаптивного наблюдателя, аналогичного (4.5)-(4.8):

2 = А(у^ )2 + ф(у^ ) + В(у^ )0 + Щу^ )и + К(у<, )(у^ - у), у = Сг ; (4.14)

Ч = С(у<,)ч-П0; (4.15)

П = С(У^)П + В(У</); (4.16)

§ = уПгСГ(Ус/-у + Сг|), у>0, (4.17)

где все обозначения сохранили свой смысл. В работе предлагаются условия, гарантирующие достижение поставленных целей управления для управления

и=и(у,Ьг,8)

и наблюдателя (4.14)-(4.17). Структурная схема этой системы управления представлена на рис. 4.2. Полученное в этом параграфе решение находится на стыке прямого и идентификационного подходов к синтезу адаптивных систем управления.

4.4. Нейросетевая стабилизация от входа к выходу

Будем предполагать, что на обучаемую в реальном времени многослойную нейронную сеть прямого распространения возлагается задача воспроизведения необходимого управляющего воздействия. Свойство нейросети аппроксимировать с заданной точностью нелинейные функции является определяющим при выборе варианта использования сети в задачах управления динамическими объектами. Известны различные подходы к использованию нейросетей, основанные на способности сети аппроксимировать любую нелинейную функцию (аппроксимационное свойство) и минимизировать функционал качества, характеризующий процесс аппроксимации (оптимизационное свойство). В связи с этими свойствами можно говорить о двух основных подходах к использованию многослойных нейросетей для управления динамическими объектами.

Первый подход — статический — основан на свойстве статических нейросетей воспроизводить заранее заданную нелинейную функцию. Второй подход - динамический, основан на способности динамических искусственных нейронных сетей изменять свое поведение параллельно процессу функционирования объекта управления. Под изменением поведения сети понимается изменение настраиваемых весовых коэффициентов, и, как следствие, нелинейной функции, аппроксимированной сетью. В работе рассматривается второй подход к построению нейросетевых систем управления [2], [3], [4], [13], [14], [15]. Особенность этого подхода состоит в следующем.

Пусть для объекта управления

х = г(х,и), у = Ь(х), хеХсЛ", иеТ/с Ят известна гладкая функция и*: X —* 11 стабилизирующего закона управления, наделяющего систему свойством асимптотической устойчивости по выходной переменной у. Функция и * ( х) выбрана в качестве эталонного закона управления и аппроксимирована с заданной точностью с применением многослойной нейросети (статический подход):

и( х) = и * ( х) + е( х, и» *),

где \у* е IV ей" - вектор настроенных коэффициентов нейросети, Е: ЛЛ+ЛГ —>• Ят - функция ошибки аппроксимации, для которой выполнено: |е(х,>у*)|<бе)для УхеХ,

где 8е — наперед заданная точность аппроксимации. Подчеркнем, что ограниченность ошибки аппроксимации гарантируется для обученной нейросетн ( те = те * ) только на заданном множестве X х IV . Наличие дополнительной ошибки реализации управления означает, что с аппроксимированным нейросетыо управлением и* система может демонстрировать неустойчивое поведение. Если управление и * ро-бастно по отношению к достаточно малой ошибке реализации, то в этом случае существует точность аппроксимации 5Е > 0 такая, что для любой 5Е <. 5е на множестве Хх"\У система будет асимптотически устойчива по выходу.

Теперь предположим, что сеть обучается в реальном времени, параллельно процессу управления (динамический подход). В этом случае нельзя априори предположить какому именно множеству будет принадлежать траектория системы. Поэтому вместо множества X х ЛУ необходимо рассматривать все пространство состояний этой системы Л" х . Следовательно, нужно рассчитать закон управления и *, глобально стабилизирующий выбранную динамическую систему в присутствии внешнего входа, то есть в данном случае управление должно обеспечивать системе свойство УВВ (задача расчета подобных законов управления рассматривается в главе 3).

В работе разработана методика структурного синтеза нейросетевых систем стабилизации от входа к выходу, состоящая из выполнения следующих этапов:

1) определение функции выхода у, характеризирующей требуемое качество процессов в управляемом объекте, нуль которой у = 0 определяет желаемое асимптотическое поведение динамической системы.

2) формирование функции обобщенной ошибки обучения и управления а. Выбор функции обобщенной ошибки обусловлен совмещением процессов обучения сети и достижения цели управления. Очевидно, что эта функция должна быть содержательной по отношению к цели управления, с одной стороны, и зависимой в явном виде от настраиваемых весовых коэффициентов синаптических связей, с другой. Это означает, что множество аргументов функции ошибки я должно состоять из компонент фазового пространства системы ( х,те ).

3) анализ свойств нейросетевон системы управления с позиций теории управления (устойчивости, показателей качества процессов) и коррекция параметров нейросетн и алгоритмов ее обучения. К корректируемым параметрам относятся: число слоев сети, число базовых элементов в слое, начальные значения весовых коэффициентов сети, вид функции обобщенной ошибки.

В работе также получены условия применимости динамических алгоритмов обучения нейросетей в задачах стабилизации от входа к выходу, полученные на основе метода разделения движений. Условия представлены с учетом настройки коэффициентов в скрытых нелинейно параметризованных слоях нейросетн.

5. АДАПТИВНАЯ НАСТРОЙКА НА БИФУРКАЦИЮ

Управление бифуркациями является относительно новым направлением тео-

рии автоматического управления, посвященным синтезу регуляторов, гарантирующих желаемые свойства бифуркационных режимов для данной нелинейной системы. Под желаемыми свойствами может пониматься тип бифуркации, устойчивость или неустойчивость образуемых после бифуркации предельных циклов, координаты новых возникающих положений равновесия. Известные решения, применяющиеся для управления бифуркационными режимами, основываются на предположении о доступности полной сигнальной и параметрической информации о модели системы. Такое допущение связано со сложностью аналитического расчета бифуркационных управлений, требующего полной информации о системе. С другой стороны, такое предположение серьёзно усложняет практическое применение полученных алгоритмов управления в силу того, что реальные объекты управления содержат параметрическую и сигнальную неопределенность в своем описании. Для преодоления возникающих трудностей процедура практического применения алгоритмов управления свойствами бифуркационных режимов включает в себя стадию предварительной экспериментальной калибровки полученных управлений, что, к сожалению, в общем случае не гарантирует высококачественную подстройку под реальные параметры управляемой системы.

Одним из возможных путей преодоления указанного недостатка может служить использование методов адаптивного управления для оценки в реальном масштабе времени текущих параметров модели управляемой системы или прямой подстройки параметров бифуркационных управлений. Однако, принципиальное различие задачи управления свойствами бифуркационных режимов и задач, традиционно решаемых в рамках теории адаптивного управления, не позволяет без предварительной модификации применить существующие решения. Рассмотрим краткую постановку задачи [25]. Пусть дана управляемая динамическая система

х = Г(х,р,и,0, * > 0, (5.1)

где хей" — вектор состояния, реЛ* - вектор параметров; и е Ят - вектор

управления; Г: дл+*+т+1 _ векторная функция, отражающая при и = 0 номи-

нальную динамику системы. Требуется выбором закона управления и = Щх,/) обеспечить замкнутой системе

х = Г(х,р,и(х,0,0

для некоторого значения р * вектора параметров р (неизвестного дизайнеру системы), бифуркацию с заданными свойствами, формируемыми в процессе синтеза закона управления. На практике параметры системы могут отличаться от номинальных. Если же система в точке бифуркации находится на границе своей устойчивости, то малые изменения значений р могут приводить даже к неустойчивости переходных процессов в системе. Возникает задача определения парамегров управления, обеспечивающих системе желаемые свойства для текущих значений параметров .управляемого объекта. Для исключения этих сложностей предлагается использовать методы адаптивного управления для подстройки доступных параметров системы (5.1) с целью обеспечения её желаемых бифуркационных или резонансных свойств.

Известные результаты по адаптивному управлению нелинейными системами с линейной параметризацией обычно предлагают решение задачи асимптотической

стабилизации неопределенного объекта без асимптотической сходимости настраиваемых параметров к их желаемым значениям. В силу изложенных выше причин подобные результаты не применимы в задаче управления бифуркациями, где, дополнительно, для идеально настроенной системы можно гарантировать только выполнение свойства устойчивости (а не асимптотической устойчивости) и, в общем случае, управляемая система может иметь устойчивые и неустойчивые траектории в окрестности точки бифуркации. Традиционно адаптивный регулятор формируется на основе двух контуров: основного контура и контура адаптации. Уравнения регулятора основного контура имеют вид

и = 0(у,ц,О, (5.2)

где y = h(x)eÄp - вектор измеряемых переменных, а (i е Rq - вектор настраиваемых параметров. Предполагается, что система (5.1), (5.2) имеет бифуркацию с желаемыми свойствами для неизвестного значения ц0 =Ио(р) вектора ц. Контур адаптации имеет вид

v = ii(y,v,/), M = x(v), (5.3)

где v е Rr — вектор состояния адаптивного регулятора, а векторная функция Н определяет алгоритм адаптации в системе. Цель синтеза адаптивного регулятора (5.2), (5.3) состоит в обеспечении существования решений системы (5.1), (5.2) для всех / > 0, ограниченности решений (5.3) и сходимости переменной f) к eö желаемому значению Цц при / —> + оо. Будем называть такую задачу адаптивной настройкой на бифуркацию.

В работе предлагаются алгоритмы робастно-адаптнвного управления в задаче адаптивной настройки на бифуркацию для класса систем Лурье:

х = А(у)х + ф(у) + В(у)(ц-Мо) + <1. У = Сх, ур =у + р, (5.4)

где х е R", у е Rp , de Л", ре Rp - вектора состояния, выхода, возбуждающего

входа и возмущения соответственно, d е М „ , ре М „ ; це R4 — вектор на-

R Л"

страиваемых параметров, служащий оценкой для неизвестного вектора j.iq ей'. Функции ф и В(у) — гладкие. Необходимо найти алгоритм настройки вектора ц(0, обеспечивающий выполнение соотношения

lim р(/) = Ц0>

когда система (5.4) выходит на бифуркацию с требуемыми свойствами при d( /) = 0 , t ¿0. Получены решения для случаев единичной относительной степени системы (5.4) (то есть когда производная функции выхода непосредственно зависти от всего вектора настраиваемых параметров) [5], [11], [25] и для случаев несдинич-ной относительной степени [7], [21]. Последний результат получен на основе адаптивных наблюдателей (4.9)-(4.11):

z = A(yp)z + 9(y/,) + B(yp)M + K(y/,)(yp-Czj+D;

П = С(У/,)П-В(У;,); G(yp) = A(y/,)-K(y/,)C;

ц = у£1гСг (ур -Сг-СПц ), у > О,

где г б Я" — вектор оценки х; Я е Я""4 — матричная переменная, введенная для

компенсации высокой относительной степени системы (5.4); О е М п - векторный

Л

сигнал оценки возбуждающего внешнего входа (1.

Алгоритмы адаптивной настройки на бифуркацию используются в задаче адаптивной стабилизации относительно положения равновесия [22] и в задаче адаптивной динамической синхронизации [17].

6. УПРАВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫМИ РЕЖИМАМИ РАБОТЫ ВИБРАЦИОННЫХ МАШИН .

В этой главе рассматривается задача резонансного управления механическими объектами и виброустановками. Эффективность работы вибрационной машины в значительной мере определяется интенсивностью колебаний рабочего органа, которая зависит от частоты возбуждения. Поэтому наиболее эффективными являются резонансные машины, в которых в качестве основных рабочих режимов используются резонансные колебания исполнительных механизмов. Принцип работы таких машин основан на использовании явления резонанса колебательной системы при воздействии на нее периодической вынуждающей силы. Явление резонанса заключается в относительно большом избирательном отклике колебательной системы на периодическое воздействие с частотой, близкой к частоте её собственных колебаний. При резонансе происходит резкое возрастание амплитуды колебаний при заданной вынуждающей силе, и, наоборот, любая заданная амплитуда колебаний достигается при минимальном силовом воздействии со стороны возбудителя колебаний.

Рис. 6.1. Упрощенная схема ударно-вибрационной дробилки.

6.1. Настройка на резонансный режим

Упрощенная одномассовая схема ударно-вибрационной дробилки приведена на рис. 6.1. Дробилка представляет собой платформу А с массой т , закрепленную на неподвижном основании Б с помощью пружин неизвестной жесткости с. Основание предполагается неподвижным, а величина массы т платформы - неизвест-

ной и квазипостоянной, так как на платформу периодически нагружают обрабатываемый материал. На платформе также находится пара возбудителей В и Г (двигателей постоянного тока или асинхронных двигателей), с синхронно вращающимися дебалансами, реализующих управляющее/возбуждающее воздействие на платформу (например, в качестве управляющего воздействия может быть выбрано синхронное гармоническое вращение двигателей с задаваемой системой управления частотой со). Будем полагать, что в силу конструктивных ограничений движения платформы в горизонтальной плоскости можно принять малыми и не влияющими на динамику системы, тогда платформа может совершать перемещения х только в вертикальной плоскости. При введенных предположениях модель дробилки может быть приближенно описана линейным дифференциальным уравнением осциллятора:

х,=х2;у = х1+/; ^

х2=-кх2-а> Х]+к(и + с1), где дг[ е Л - угол отклонения осциллятора; х2 е Л - угловая скорость; х = [*1 х2]; и б Л - управляющий сигнал; уеЯ - выходная переменная, доступная измерению; переменные /ей и с! е К отражают помехи, присутствующие в каналах измерения и управления; 0 < к 5 ктах — коэффициент трения; О < сот|п < со < сотах - частота в отсутствие трения; 0 < £т|п <, к <, Лтм - коэффициент усиления в канале управления. Точные значения коэффициентов к, к и со предполагаются неизвестными, удовлетворяющими соотношению со > 0.5к. Требуется по измерениям >•( /) выбором управления и обеспечить робастно-адаптивную стабилизацию собственных колебаний выхода системы (8.1), т.е. желаемое поведение выхода у в асимптотике задается функцией

Уж (О = О5т(со0* + ф)+),

где а > 0 - заданная амплитуда колебаний, со0 = у] со2 - 0.25 к2 - собственная частота, фей— произвольная фаза колебаний; функция у ¿у : —» Л отражает влияние внешних возмущений и удовлетворяет условию:

\ус(г(1)\^са\\а\\+с/\\/\\, с^.су- ел+.

Другими словами, в отсутствии возмущений (|| 1| = || У || = 0 ) выходная переменная должна совершать колебания на собственной частоте сод с фиксированной амплитудой а. В присутствии возмущений допускаются отклонения от желаемого движения, пропорциональные амплитудам || <11| и || /1| возмущений. Подчеркнем, что согласно постановке задачи функция уж(I) заранее неизвестна и не может быть непосредственно использована при синтезе управления, так как неизвестна собственная частота сод,

В работе предлагаются два решения поставленной задачи [1]. Первое решение использует синусоидальный алгоритм возбуждения резонансных колебаний системы (6.1) с настраиваемой амплитудой и частотой. Для восстановления частоты используется предложенный в параграфе 4.2 адаптивный наблюдатель. Структурная

27

схема подобной системы управления представлена на рис. 6.2. Второе решение использует в качестве регулятора нелинейный алгоритм управления, синтезированный по методу скоростного граднента (СГ), с настраиваемой амплитудой. Структурная схема такой системы управления представлена на рис. 6.3. К достоинству первого решения можно отнести восстановление значений всех неизвестных параметров системы (6.1). Недостатком его служит высокая размерность регулятора (адаптивного наблюдателя). Второе решение имеет меньшую вычислительную сложность и показывает лучшее качество переходных процессов в системе.

Рис. 6.2. Структурная схема системы управления с наблюдателем.

Рис. 6.3. Структурная схема системы с нелинейным управлением.

Результаты моделирования этих систем управления представлены на рис. 6.4 и 6.5 соответственно. На рис. 6.4,о и 6.5,а приведены собственная частота объекта (кривая 1), частота в неадаптивной системе управления дробилкой (кривая 2) и настраиваемая частота в адаптивной системе (кривая 3). На рис. 6.4,6 и 6.5,6 демонстрируется отклонение амплитуды выхода ау на у-ом периоде (У = 1,2,...) от желаемой амплитуды а (кривая 1 для неадаптивной системы управления; кривая 2 для адаптивной системы). На рис. 6.4,в и 6.5,в отображен график изменения амплитуды управляющего воздействия с(/). Моделирование проведено для параметров электромеханического стенда.

О 200 400 I, с

6.5. Результаты моделирования системы управления с алгоритмом СГ.

Сравнивая результаты моделирования этих систем можно отметить, что в неадаптивной системе с увеличением собственной частоты (масса платформы уменьшается) происходит падение амплитуды колебаний (рис. 6.4,6 и 6.5,6 кривая 1). В адаптивных системах после переходного процесса амплитуда выходной переменной стремится к желаемой (рис. 6.4,6 и 6.5,6 кривая 2). При отклонении частоты возбуждения, формируемой системой управления, от собственной происходит возрастание амплитуды управления, возвращение в резонансный режим работы позволяет снизить амплитуду управления (рис. 6.4,в и 6.5,в).

6.2. Адаптивное гашение и возбуждение вибраций

| Рассмотрим более сложную задачу резонансного управления в системе с двумя массами. Схема этой системы представлена на рис. 6.6. В этом случае к уже рассмотренной ранее схеме дробилки добавляется еще одна подвижная платформа Д массы т , установленная на пружинах на подвижной платформе А массы М . Здесь основание Б является неподвижным, жесткости с и Сд пружин неизвестны. Для простоты изложения будем предполагать, что вибровозбудители В и Г вращаются синхронно, формируя гармоническое возбуждающее воздействие на платформу А. Как и ранее будем предполагать, что в силу конструктивных ограничений перемещения платформ А и Д возможны только в вертикальной плоскости, обозначим эти перемещения х^ и хд соответственно. Требуется синтезировать регулятор, формирующий частоту вращения двигателей и амплитуду их суммарного гармонического воздействия, гарантирующий минимум перемещений хА платформы А или минимум полной энергии этой платформы (задача гашения вибраций). В этом случае вся энергия, подводимая вибровозбудителями В и Г, накапливается в платформе Д - она совершает колебания с максимально возможной амплитудой для данной амплитуды возбуждающего воздействия. Необходимо подобрать амплитуду управления таким образом, что бы колебания переменной хд происходили с желаемой

амплитудой (задача возбуждения вибраций). Подчеркнем, что возбуждающее воздействие приложено также к платформе Л, именно оно сообщает энергию всей системе.

Рис. 6.6. Двухмассовая схема ударно-вибрационной дробилки. По аналогии с (6.1) математическая модель этой системы может быть записана в следующем виде:

Б -ТТ7ТТГТ7ТТТТТТТПТТТ7

А

со

¿1 =x2;yi =*,+ф,;

X2=-ßl/mx2-c/m(xl-x2) + cf/m + g + ci{;

=х4; у2 =*з+Фг;

*4 =-$2/Mx4+c/M(xl-x3)-c0/M x3-cf/M- (6.3)

- т g/M + t/M sin( ю /) + d2, где ей, х3 еЛ - перемещения платформ Д и А соответственно (х{ = хд, *3 = хА ), i| е Я, х3 е Д - скорости движения платформ; >•] е R, у2 е Я - сигналы измерения перемещений xj, х3, доступные с помехами ф] е , ф2 е MR ; di е ^Ид , d2 е ^Мд - сигналы внешних неучтенных неизмеряемых возмущающих воздействий, приложенные к платформам; ßj, ß2 — малые неизвестные коэффициенты трения; f — неизвестное начальное натяжение пружин между платформами; g — ускорение свободного падения; е — настраиваемая амплитуда возбуждающего воздействия, формируемого двигателями В п Г; ш - частота, подлежащая настройке. Величины масс т и М также предполагаются неизвестными.

Анализируя условия при которых (в предположении о малости коэффициентов трения) достигается минимальная амплитуда колебаний для нижней платформы, можно получить требуемое значение частоты возбуждающего воздействия, совпадающей с собственной частотой верхней платформы со* = ^ с/т . Для реализации

необходимого значения частоты со* требуется информация о неизвестных величинах параметров с и от системы (6.2), для чего, как и в предыдущем параграфе, построим адаптивный наблюдатель:

q = -p(q + y\),x2=p(q + yi). z, = z2 +ÄT, (y-z, ); z2 =X2(y-z1)+g;

Оц «12 «13 П21 «22 «23

-Я^Пц+Пг, -ЛГ|П12+022 -Ki П]з +n2j -^2^11+Л-Л -K2nl2+x2 -K2n, 3-1

01 +«110!); е2=-7'П12(У1 -г, +«12в2); в3=-70|3(Л -г, +п13е3),

где г = [г1 г2]еЛ2 - вектор оценивания переменных X] и х2 системы (6.2);

П = [Пц П|2 Пи; П21 «22 «23]е- матричная переменная; § = [б| 62 03]еЛ3 - вектор оценивания 0 = [с/т ф\/т с f /т ]; К\, К2, у, р>0. Переменная х2 е Л служит оценкой неизмеряемой компоненты х2 вектора состояния системы (6.2). Дополнительно используется следующий алгоритм настройки амплитуды:

I" Zj, если Vj = 1 или| Zj \ > Е;

Т1/ = а, -а, V ,• = sign(5 -1 ц |) , е,+1 =<

' ' 1бу-цг|у, еслиУу=-1,

где aj — амплитуда выхода У] (О на у-ом полупериоде управляющего воздействия (у = 0,1,2,...):

aJ+i= sup . {|л(/)|}= sup {|Л1(0 + Ф|(')|}.

—i —I —i —I

Jtco VSi<it№ (>+1) ЛЮ j<«n<a (./+1)

параметры ц > 0 и E>0, | e0 | 2 E. Построенный регулятор решает совместные задачи гашения колебаний нижней платформы и обеспечения резонансных колебаний с заданной амплитудой верхней платформы.

7. СТАБИЛИЗАЦИЯ МОМЕНТА НА ВАЛУ ДВИГАТЕЛЯ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

Глава посвящена решению задачи стабилизации желаемого значения момента, развиваемого двигателем внутреннего сгорания, в присутствии параметрической и сигнальной неопределенностей модели двигателя. Решение основано на использовании двух регуляторов, один из них обеспечивает (глобальную) ограниченность переменных двигателя, другой гарантирует (локальное) регулирование значения момента двигателя. Полученный локальный регулятор включает в себя настраиваемый генератор задающего сигнала и обратную связь, улучшающую качество переходных процессов в системе. Предполагается доступными для непосредственного измерения значения скорости вращения вала двигателя и давления во впускном коллекторе. Алгоритм логико-командного управления обеспечивает безопасное переключение между локальным и глобальным регуляторами в присутствии возможных внешних возмущений [б], [24].

Введем в рассмотрение упрощенную модель двигателя:

ш = -ац Ш-Я12 со2 +6ц <в/,52(/ ) —¿12 8|(') • (7-1)

Р = —а3 соР + ф! ( Р )« I (7.2)

у=с2е>Р-М*, (7.3)

где а) - скорость вращения двигателя, сдт[п 5 со < сотах ; Р — давление во впускном

коллекторе, /¡„¡п ^ Р < Ртах = Ра = 105 Па; и — управление, отражающее угол положения педали акселератора; М = с2 со Р — момент, развиваемый двигателем, а М * — его желаемое значение; 5| и 52 - внешние возмущения, отражающие влияние на динамику двигателя внешней нагрузки и контура стабилизации соотношения воздух-топливо в цилиндрах, 5( е 0| = [-©{п1п,0[пах ], 52 е©2 = [ 0.5,1.5].

1/2

Ф, (/>) = •

(r-0/Y

(т+1)/2(т-1)

if

if

Y

Г"'.

Pa lr + i

-4—F.

Pa U + U

здесь оц, <7(2, ¿и, 6]2, 03, с2, Л, у - положительные постоянные, чьи значения зависят от типа двигателя и режима его работы; Та - температура воздуха. Пере-

менные ю,и р формируют вектор состояния двигателя, сигнал невязки М — М* задает стабилизируемый выход (7.3) для модели двигателя (7.1), (7.2).

300

М*,

м, бь [Нм]

100 ■

50

и, [град]

30

10

1 • 1 1

1г........ • 1 1 1

— 1 1 • 1 1

0

20

40

Л с

7.1. Момент двигателя и угол педали акселератора.

Для аффинной по управлению системы (7.1)—(7.3) требуется решить следующие задачи:

1. Используя управление и е Лт, следует обеспечить инвариантность множества

n = {co,P:wm¡n <aío)mB;Pmin <PSPmax } для любых значений возмущений 5| е 0| и б2 е 02 .

2. Используя управление и е Rm, необходимо обеспечить робастно-адаптнвную стабилизацию системы по выходу у .

Для решения этих двух задач необходимо построить два регулятора, один из которых обеспечивает "глобальную" ограниченность всех переменных в системе. Другой "локально" стабилизирует систему по выходу в множестве ÍÍ. При работе двигателя все переменные имеют физически значимые ограничения на множество их допустимых значений, выход за границы этого множества приводит к сбоям в i работе двигателя и требуется выбором управления препятствовать возникновению подобных ситуаций всеми доступными средствами. Например, если скорость вращения двигателя со падает ниже её минимально допустимого уровня com¡n, то это означает, что уровень момента, воспроизводимый двигателем, недостаточен для противодействия возмущающему моменту внешней нагрузки, двигатель собирается остановиться. В такой ситуации задача повышения оборотов вращения двигателя становится более важной, чем стабилизация желаемого уровня момента двигателя. Если значения переменных w и Р принадлежат множеству Г2 , то требуется стабилизировать выход (7.3) системы. Для решения двух различных (а иногда противоречащих друг другу) задач произведен синтез двух регуляторов. Один из них является "локальным" (обеспечивает стабилизацию желаемого уровня момеггта двигателя), другой регулятор "глобальный" (обеспечивает ограниченность всех переменных в системе).

В качестве "глобального" регулятора в работе предложен следующий, использующий "предельные" амплитуды управления:

Ыр,„с(ы,/>) если Р<к2 ^min» iipjcc(<i\P) если P¿kj "шпЛп.Р) если м á ¿j <Bm¡n; "oideci^P) если со ^ А'1 <ютах,

ug(<o,P)-

где к2 > 1, ¿i < 1 и

| иГЫс{о\Р) = 1/тах , иР(1ес{ы,Р) = ит-т,

ГС7тах, если *>(,)<<»(/-А); ^{(и^-и^-иКи,, еслисо(фсо(/-Л),

Г^Лтп. еслн<а(/)>ю(/-А); ) = если со(/)< ю(/-Л),

где А — малая временная задержка; параметр 0 определяет скорость затухания амплитуды управления после обнаружения желаемого роста/уменьшения нормы вектора состояния системы; ^ - момент времени, когда было обнаружено рост/уменьшение нормы вектора состояния, и V^ — амплитуда "нейтрального" управления. Можно использовать средние значения давления во впускном коллекторе для расчета величины и^ или выбирать это значение с использованием про-

35

стого правила = «/(/^ ).

Задача синтеза "локального" регулятора эквивалентна задаче робастной стабилизации системы (7.1), (7.2) по выходу (7.3). Используя теоретические результаты диссертации, предложен алгоритм управления

и = аъ С21 ч>1(Р)-1М*-/2(/1+Р)(с2Р-М*/о>)<р1(Р)-1, '1 ^0, /2 Й0, обеспечивающий ограниченность решений системы и сходимость переменной выхода к нулю. Управление имеет статическую задающую часть, пропорциональную

36

желаемому значению момента М *, и дополнительную обратную связь по ошибке отслеживания момента М * , позволяющую улучшить качество переходных процессов в системе. Константа настраивается исходя из требований к качеству переходных процессов двигателя, или подстраивается отдельно под различные режимы работы двигателя (ускорение, замедление и т.д.). Константа /| настраивается аналогично.

Предполагается, что значение коэффициента неизвестно и необходимо использовать алгоритм адаптации для преодоления этого затруднения. В этом случае управление может быть переписано следующим образом:

' 2 фХр)

где 0 - настраиваемый параметр, служащий оценкой коэффициента aj . Алгоритм адаптации выберем в виде скоростного градиента:

0 = -ууМ*а>-уХ0, у>0, Х^О.

Итоговое логико-командное управление имеет вид:

U = «/(,)( ю,Я,0),

где /(f) - сигнал, принимающий значение / или g и определяющий текущий вид регулятора, подключаемого к объекту, и

/, если х(<) € X;; '(')=■£. если х(/ Хр ; j'(fy), иначе,

X/ = {т,Р: к2 comin £ о><*, ютах; к2 Pmin <P^kj Ятах }, = {со,/>:(к2 - A)comin 5ш£(*, + Д)ютах; (к2 -A)Pmin йРй^ + А)Рты}. Множество X/ задает подмножество из П, где решается задача стабилизации желаемого значения момента двигателя, а множество Хр определяет границы множества П , при выходе за которые включается алгоритм "глобального" управления.

Результаты моделирования полученного логико-командгшго робастно-адаптивного регулятора для модели автомобиля Chevrolet Corvette V8 4.4 представлены на рис. 7.1 и рис. 7.2. Согласно результатам моделирования (рис. 7.1,а) предложенный регулятор обеспечивает требуемое качество слежения за желаемым уровнем момента двигателя Л/ * для широкого диапазона значений момента внешней нагрузки 5|.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации приведено решение крупной научной проблемы: повышения качества и помехоустойчивости управления колебательными режимами нелинейных систем в условиях параметрической неопределенности, внешних возмущений и

неопределенности результатов измерений.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Получено развитие необходимых и достаточных условий для наличия свойства колебательности по Якубовичу у динамических систем с номинальной нелинейной частью и нелинейных систем с запаздыванием.

2. Развиты методы робастного управления нелинейными системами относительно множества:

2.1. Развит метод управляющих функций Ляпунова.

2.2. Методы переноса управления через интегратор и аналитического конструирования агрегированных регуляторов обобщены на задачу стабилизации относительно множества и от входа к выходу.

- 2.3. Установлены условия грубости по отношению к интегрально ограниченным возмущениям для нелинейных систем, стабилизированных относительно инвариантного множества методом скоростного градиента. 2.4. Разработан алгоритм управления, гарантирующий для замкнутой нелинейной системы наличие свойства колебательности по Якубовичу.

3. Развиты методы адаптивного управления нелинейными системами относительно множества:

3.1. Предложены условия применимости алгоритмов адаптации, синтезированных по методу скоростного градиента, в задачах стабилизации системы относительно множества и от входа к выходу.

3.2.'Установлены новые условия применимости и упрощена структура адаптивных наблюдателей для нелинейных неавтономных систем в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения.

3.3. Предложены алгоритмы адаптивно-робастного управления для класса нелинейно параметризованных систем (случай, когда модель объекта зависит от вектора неизвестных параметров нелинейным образом).

3.4. Разработаны этапы синтеза адаптивных нейросетевых систем управления для задачи стабилизации нелинейной аффинной по управлению системы от входа к выходу. Предложена модификация алгоритма обучения многослойных нейронных сетей, гарантирующая совмещения в одном времени процессов обучения нейросети и управления динамической системы для данной задачи.

4. Предложена новая постановка задачи адаптивной настройки нелинейной системы на желаемый тип бифуркации. Разработаны алгоритмы робастно-адаптивного управления, решающие задачу настройки на бифуркацию в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения. Разработан алгоритм роба-стно-адапгивного управления для задачи адаптивной динамической синхронизации двух нелинейных систем.

5. На основе теоретических результатов решены прикладные задачи стабилизации момента на валу двигателя внутреннего сгорания, где разработан гибридный робастно-адаптивный алгоритм управления моментом двигателя в присутствии внешних возмущений, и синтеза робастно-адаптивного алгоритма резонансного управления ударно-вибрационной дробилкой, обеспечивающего колебания вибрационной машины на собственной частоте с заданной амплитудой в энергосберегающем режиме.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Монографии и учебные пособия Ефимов Д.В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями. СПб.: Наука, 2005.-314 с.

Терехов U.A., Ефимов Д.В., Тюкни И.Ю. Пеиросетевые системы управления: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа. 2002. - 183 с.

Терехов В.А., Ефимов Д.В., Ткжин И.Ю. Нсйросстсвыс системы управления. Кн. 8. Общая ред. А.И. Галушкина. М.: ИПРЖР, 2002. - 480 с.

Колесников A.A., Терехов В.А., Ефимов Д.В., Ткжин И.Ю и др. Современная прикладная теория управления: новые классы регуляторов технических систем, ч. 3, общая ред. A.A. Колесникова, Таганрог: изд-во ТРТУ, 2000 (Синергетическнн синтез нейросстевых регуляторов, гл. 20, с. 539-588).

2. Статьи в журналах и рецензируемых изданиях

5. Efimov D.V., Fradkov A.L. Adaptive Tuning to Bifurcation for Time-Varying Nonlinear Systems. Automática, 42, 2006, pp. 417-425.

6. Efimov D.V. Uniting Global And Local Controllers Under Acting Disturbances. Automati'ca, 42, 2006, pp. 489-495.

7. Ефимов Д.В. Адаптивная настройка бифуркационных режимов для нелинейных систем с неединичной относительной степенью. Доклады РАН, 405(6), 2005, с. 749-752.

8. Ефимов Д.В,, Фрадков А .Л. Условия колебательности нелинейных систем со статической обратной связью. Автоматика и телемеханика, № 2, 2005, с. 92-107.

9. Ефимов Д.В. Адаптивное управление бифуркационными режимами в неавтономных нелинейных системах. Автоматика и телемеханика, № 5, 2005, с. 97-108.

И), liliniov D.V., I'railkov A.l„ Adaptive Partial Observers willi Application lo iiinc-viiiyjng chaotic systems. Proc. 1UTAM Symp. on Chaotic Dynamics and Control of Systems and Processes in Mechanics, Springer, 2005, pp. 27-35.

11. Ефимов Д.В. Возбуждение колебаний в нелинейных системах статической обратной связью. Управление в физико-технических системах. Под ред. А.Л. Фрадкова. СПб.: Наука,

2004. С. 28-47.

12. Бобцов A.A., Ефимов Д.В. Робастная стабилизация нелинейной системы по выходу с ^fe компенсацией возмущения. Мехатроника, автоматизация и управление, 2, 2004, с. 6-8.

Ефимов Д.В. Анализ устойчивости адаптивных нейросстевых система управления на основе метода разделения движений. Изв. ВУЗов "Приборостроение", 2001, с. 20-25.

14. Ефимов Д.В., Терехов В.А. Динамический алгоритм обучения многослойных нейронных сетей. Изв. ВУЗов "Приборостроение", № 3, 2001, с. 23-28.

15. Ефимов Д.В. Оптимальный алгоритм обучения многослойных нейронных сетей. Изв. ВУЗов "Приборостроение", № 6, 2000, с. 40-46.

16. Ефимов Д.В. Адаптивная стабилизация нелинейных систем от входа к выходу. Конференция "Управление и информационные технологии" (УИТ'05), Санкт-Петербург, июнь

2005, с. 119-126.

17. Efimov D.V. Dynamical Adaptive Synchronization. Proc. 44lh CDC-ECC 2005, Seville, 2005, pp. 1861-1866.

18. Efimov D.V., Fradkov A.L. Input-to-Output Stabilization of Nonlinear Systems via Backstep-ping. Proc. 44lh CDC-ECC 2005, Seville, 2005, pp. 6128-6133.

19. Efimov D.V., Fradkov A.L. Oscillatority Conditions for Nonlinear Systems with Delay. 44th CDC-ECC 2005, Seville, 2005, pp. 6245-6250.

20. Bobtsov А.Л., Efimov D.V. On E-invariance of nonlinear systems with functional and signal uncertainties. Proc, of 16Ih IFAC World Congress on Automatic Control, Prague, 2005.

21. Efimov D.V., Fradkov A.L. Adaptive tuning to a bifurcation for nonlinear systems with high relative degree. Proc. of 16lh IFAC World Congress on Automatic Control, Prague, 2005.

22. Efimov D.V., Tyukin I.Yu. Direct robust adaptive nonlinear control willi dcrivalives estimation. Proc. of 16 IFAC World Congress on Automatic Control, Prague, 2005.

23. Bobtsov A.A., Efimov D.V. On Robustness Property of Dynamical Systems Feedback Connection with Respect to Multiplicative Disturbances. Proc. IFAC Symposium on Nonlinear Con- ( trol Systems (NOLCOS 2004), Stuttgart, 2004, pp. 1457-1462.

24. Efimov D.V. Uniting of Global and Local Controllers under Acting Disturbances. Proc. IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS 2004), Stuttgart, 2004, pp. 549-554.

25. Efimov D., Fradkov A. Adaptive tuning of bifurcation for time-varying nonlinear systems. Proc. 6th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS 2004), Stuttgart, 2004, pp. 863-867.

26. Efimov D. Robust adaptive nonlinear partial observers for time-varying chaotic systems. Proc. 43lh IEEE Conference on Decision and Control (CDC 2004), Dec. 15-18, 2004, pp. 20592064.

27. Efimov D., Fradkov, A.L. Excitation of oscillations in nonlinear systems under static feedback. Proc. 43'h IEEE Conference on Decision and Control (CDC 2004), Dec. 15-18, 2004, pp. 2521 - 2526.

28. Ефимов Д.В. Адаптивный наблюдатель для класса нелинейных систем. Труды 2-ой Международной конференции по проблемам управления, 11Г1У РАН, Москва, 2003, с. 91.

29. Efimov D.V., Fradkov A.L. Adaptive Nonlinear Partial Observers With Application To Time-Varying Chaotic Systems. IEEE Conf. Control Applications. Istanbul, lune 23-25, 2003, WdMl-2.

30. Efimov D.V. Switching adaptive control of affine nonlinear system. Proc 7lh European Control Conference, Cambridge, September 1-4, 2003.

31. Bobtsov A.A., Efimov D.V. Adaptive stabilization of nonlinear system with functional uncertainty. Proc. 7lh European Control Conference, Cambridge, September 1-4, 2003.

32. Efimov D. Universal formula for output asymptotic stabilization. Proc. of I5'h IFAC World ' Congress on Automatic Control, T-We-M 07 4, Barselona, Spain, 2002.

33. Efimov D. A condition of CLF existence for affine systems. Proc. of 41,h IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, 2002, pp. 1882-1887.

34. Bobtsov A.A., Efimov D.V. Adaptive Control of Nonlinear Affine System with Disturbance in the Measurement Channel. The 4,h Asian Control Conference (ASCC 2002). September 25-27, Singapore, 2002, pp. 531-536.

ИПМашРАН 199178, СПб, В.О., Большой пр., д. 61 Подписано к печати 05.04.2006. Тираж 100 экз. Заказ 15.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ

1.1. Краткая история исследований свойств устойчивости нелинейных колебательных систем

1.2. Примеры задач поддержания автоколебаний

1 2.1. Задача о выбросе из потенциальной ямы

1 2.2. Задача поддержания автоколебаний маятника

1.2.3. Система поддержания экологического равновесия

1 2.4. Гашение вращений космического аппарата 25 1.2.5 Задача амортизации динамических систем

1.3. Виды задач управления колебаниями 28 1.3 1. Модели объектов управления 28 1.3 2. Цели управления в колебательных системах

1.3.3 Алгоритмы управления

1.3.4 Задачи управления в колебательных системах

1.4. Обзор существующих решений

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

2.1. Методы исследования колебательности и устойчивости относительно множества

2 1.1. Виды колебаний

2.1.2. Колебан ия в динами ческих системах

2.1.3. Устойчивость относительно множества 42 2.1.4 Устойчивость множеств в присутствии возмущений

2.2. Колебательность по Якубовичу

2.2.1. Классические результаты

2.2.2. Развитие на нелинейные системы общего вида

2.2.3. Индексы возбудимости

2.2.4. Колебательность систем с запаздыванием

ГЛАВА 3. РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ 74 3.1. Управляющие функции Ляпунова в задаче стабилизации относительно множества

3.1.1. Стабилизация относительно начала координат

3.1.2. Стабилизация от входа к выходу

3.1.3. Необходимость существования управляющих функций Ляпунова для задач стабилизации относительно множества

3.2. Робастная стабилизация относительно множества методом скоростного градиента

3.3. Перенос управления через интегратор в задаче стабилизации относительно множества

3.3.1. Робастная стабилизация относительно множества

3.3.2. Стабилизация от входа к выходу

3.3.3. Робастная стабилизация маятника с динамическим исполнительным механизмом

3.4. Управление генерацией и поддержанием колебаний

3 4.1. Синтез закона управления 109 3.4.2. Расчет системы управления колебаниями носа летательного аппарата

ГЛАВА 4. АДАПТИВНО-РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

КОЛЕБАНИЯМИ

4.1. Адаптивная стабилизация от входа к выходу

4.1.1. Невозмущенный случай

4.1.2. Возмущенный случай

4.1.3. Адаптивио-робастная стабилизация энергии маятника с компенсацией трения.

4.2. Адаптивные частичные наблюдатели в присутствии возмущений

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Синтез адаптивного наблюдателя

4.2.3. Исследование робастных свойств

4.2.4. Модель брюсселятора

4 2.5. Модель Дуффинга

4.3. Адаптивно-робастная стабилизация для класса нелинейно параметризованных систем

ГЛАВА 5. АДАПТИВНАЯ НАСТРОЙКА НА БИФУРКАЦИЮ

5.1. Постановка задачи

5.2. Единичная относительная степень

5.3. Неединичная относительная степень

5.3.1. Случай без помехи в канале измерения

5.3.2 Случай с помехой в канале измерения

5.4. Адаптивно-робастная стабилизация нелинейных систем с оценкой производной функции выхода

5.4.1. Математическая формулировка задачи

5.4.2. Синтез адаптивно-робастной системы управления

ГЛАВА 6. ДИНАМИЧЕСКАЯ АДАПТИВНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ

6.1. Постановка задачи

6.2. Случай системы Лурье

6.3. Синтез систем управления строем

6.3.1. Циклическая синхронизация

6.3.2. Синхронизация двух маятников с заданным сдвигом фаз

ГЛАВА 7. НЕЙРОСЕТЕВАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ОТ ВХОДА К ВЫХОДУ

7.1. Архитектура искусственных нейронных сетей

7.1.1. Базовый процессорный элемент

7.1.2. Слой базовых процессорных элементов

7.1.3. Статические многослойные нейронные сети

7.1.4. Алгоритмы обучения многослойных нейросетей прямого действия

7.2. Использование нейросетей в задачах управления

7.2.1. Использование статических многослойных нейросетей в задачах управления динамическими объектами

7.2.2. Использование динамических многослойных нейросетей в адаптивных системах автоматического управления

7.3. Этапы синтеза систем управления с многослойными нейронными сетями

7.4. Особенности нейросетевого управления

7.5. Анализ адаптивной нейросетевой системы управления 207 7.5.1 Регулярная задача 209 7.5.2. Критическая задача

ГЛАВА 8. УПРАВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫМИ РЕЖИМАМИ РАБОТЫ

ВИБРАЦИОННЫХ МАШИН

8.1. Формальная постановка задачи

8.2. Алгоритм управления на основе наблюдателя

8.3. Нелинейный алгоритм управления на основе скоростного градиента

8.4. Адаптивное гашение и возбуждение вибраций

8.5. Управление асинхронным двигателем

8.6. Алгоритм "Полоска-2"

ГЛАВА 9. СТАБИЛИЗАЦИЯ МОМЕНТА НА ВАЛУ ДВИГАТЕЛЯ

ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

9.1. Постановка задачи

9.2. Задача объединения локального и глобального регуляторов

9.3. Синтез регуляторов для двигателя внутреннего сгорания

9.3.1. "Глобальный"регулятор

9.3.2. "Локальный"регулятор

9.3.3. Логико-командное управление двигателем

На современном этапе развития теории автоматического управления возрастает роль задач управления колебательными процессами функционирования нелинейных динамических объектов Это связано, прежде всего, с открытием и интенсивным развитием новых областей практических приложений управления вибрационными установками, управления техническими системами в хаотических и бифуркационных режимах, управления открытыми физическими и биологическими системами Повышение требований к качеству переходных процессов в традиционных областях применения теории синтеза нелинейных колебательных систем, таких как электротехника, робототехника и вибрационная механика, привело к необходимости разработки новых методов конструирования систем, учитывающих неопределенные условия функционирования колебательных объектов и внутренние параметрические неопределенности

Например, подобная ситуация возникает при построении резонансных вибрационных машин (И И Блехман) или манипуляционных авторезонансных систем (В И Бабицкий), функционирующих на собственной частоте рабочего механизма, что позволяет существенно снизить энергетические затраты исполнительных устройств

Эффективность работы вибрационной машины в значительной мере определяется интенсивностью колебаний рабочего органа, которая зависит от частоты возбуждения Поэтому наиболее эффективными являются резонансные машины, в которых в качестве основных рабочих режимов используются резонансные колебания исполнительных механизмов Принцип работы таких машин основан на использовании явления резонанса колебательной системы при воздействии на нее периодической вынуждающей силы При резонансе происходит резкое возрастание амплитуды колебаний при заданной вынуждающей силе, и, наоборот, любая заданная амплитуда колебаний достигается при минимальном силовом воздействии со стороны возбудителя колебаний Однако, любые внешние возмущения или отклонение значений параметров от номинальных приводят к уходу системы из резонансного режима работы, что увеличивает энергетические потери системы и делает затруднительным ее функционирование в условиях существенного изменения значений параметров (до 100% от номинальных величин) или присутствия возмущений

Другой пример - двигатели внутреннего сгорания Серьезная конкурентная борьба между различными фирмами на рынке производства двигателей внутреннего сгорания приводит к быстрому повышению требований к рабочим характеристикам двигателей (расходу топлива, максимальному крутящему моменту, кривой разгона, экологичности) Множественность режимов работы двигателя и широкий диапазон условий функционирования затрудняют заводскую настройку двигателя, обеспечивающую приемлемое качество функционирования системы для всех возможных условий работы Использование адаптивных технологий позволяет преодолеть указанный недостаток, но отсутствие теоретических результатов, применимых к проблемам управления колебательными системами, не позволяет сделать это в полной мере Поэтому проблема повышения качества функционирования систем возбуждения и поддержания желаемых колебательных режимов движения в нелинейных неопределенных динамических системах является важной и актуальной

Феномен нелинейных колебаний охватывает широкое множество возможного поведения динамических систем от периодических или гармонических колебаний до рекуррентных и хаотических движений Исследования в этой области в значительной степени опираются на достижения отечественных научных школ по изучению нелинейных колебаний, представленных работами А А Андронова, И И Блехмана, Н Н Боголюбова, П С Ланда, Г А Леонова, Ю А Митропольского, Ю И Неймарка, В В Немыцкого, Я Г Пановко и их учеников Важный и практически полезный подход к изучению сложных колебательных режимов движения основан на понятии колебательности, введенном в 1973 году В А Якубовичем Этот подход позволяет получить частотные условия колебательности для класса систем Лурье, состоящих из номинальной линейной части и нелинейной обратной связи по выходу Однако при изучении многих физических и механических процессов более естественной выглядит декомпозиция системы на две нелинейные части (например, механические системы с функцией энергии, выполняющей роль функции Ляпунова системы) Для подобных систем вопросы анализа и синтеза колебательных режимов исследованы недостаточно

Возникновение колебательных режимов движения зачастую связано с приближением значений параметров системы к точке бифуркации, достижение которой приводит к появлению колебаний и неустойчивости Задача управления бифуркациями является достаточно новым направлением теории управления (Ю В Колоколов, Е Abed, G Chen) Одна из главных проблем в этой области состоит в сложной зависимости коэффициентов закона управления от параметров объекта На практике эти параметры отличаются от используемых при аналитическом расчете закона управления В силу того, что бифуркационные или резонансные свойства системы чувствительны к малым изменениям параметров, даже малая ошибка при расчете коэффициентов регулятора может привести к значительным отклонениям в поведении системы Более того, система в точке бифуркации находится на границе устойчивости и малая ошибка в значениях коэффициентов может оказаться причиной неустойчивого поведения системы Для преодоления этого недостатка можно использовать методы адаптивного управления для настройки коэффициентов закона управления с целью обеспечения системе бифуркационного или резонансного режима с желаемыми свойствами, что, однако, оказывается невозможным в рамках современной теории адаптивного управления, не рассматривающей случай неустойчивого или бифуркационного желаемого режима объекта

Существующие методы стабилизации колебательных режимов движения (JIД Акуленко, В К Асташев, В И Бабицкий, Ф JI Черноусько, А М Формаль-ский) не позволяют синтезировать системы управления в условиях существенной параметрической неопределенности и внешних возмущений Частично это связано с тем фактом, что несмотря на наличие обширной научной литературы, посвященной проблемам анализа и синтеза систем, содержащих колебательные переменные, только в последние 10-15 лет оформились конструктивные математические результаты, позволяющие исследовать устойчивость колебаний в системах с параметрической неопределенностью и внешними возмущениями Эти результаты сформулированы группой математиков (Е D Sontag, Y Wang, D Angeli) в рамках теории систем, устойчивых от входа к состоянию (input-to-state stable) или от входа к выходу (input-to-output stability), которая является частным случаем теории систем, устойчивых относительно множества

Одновременно серьезное развитие получили методы теории управления, позволяющие синтезировать алгоритмы управления для нелинейных систем в условиях неопределенности их моделей (А А Колесников, А А Красовский, ПД Крутько, И В Мирошник, В О Никифоров, А А Первозванский, A JI Фрадков, Р A loanriou, A Isidon, D Hill, Р Kokotovic, К Narendra, R Ortega, A S Morse, A Teel, J С Willems) Эти методы можно разделить на группы методов робастного и адаптивного управления, направленные на различные способы компенсации неопределенности модели объектов Для стабилизации нелинейных систем в присутствии внешних возмущений используются методы робастного управления (метод управляющих функций Ляпунова, методы пассификации, разработанные в лаборатории управления сложными системами ИПМаш РАН, метод переноса управления через интегратор, метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов) Для стабилизации систем в условиях параметрической неопределенности используются методы адаптивного управления, предлагающие непосредственную настройку коэффициентов регулятора (прямой подход к построению адаптивных систем управления) или направленные на предварительную оценку неизвестных параметров модели объекта (идентификационный подход к построению адаптивных систем) Распространение и обоснование методов робастного и адаптивного управления для задач возбуждения и поддержания колебательных режимов открывает возможности получения требуемых в приложениях законов управления колебательными системами, гарантирующих высокое качество системы в условиях сигнальной и параметрической неопределенности модели объекта

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью развития методов робастного и адаптивного управления колебательными режимами объектов различной физической природы в условиях неполноты априорной и текущей информации об объекте и внешних условиях функционирования

Целью работы ставится повышение качества и помехоустойчивости систем управления колебательными режимами в условиях неопределенности параметров объекта, внешних возмущений, нелинейности и неопределенности результатов измерений

Для достижения цели в работе решается следующий комплекс задач

1 Установить условия наличия свойства колебательности по Якубовичу для динамических систем с нелинейной номинальной частью

2 Развить существующие методы робастного управления нелинейными системами и предложить новые алгоритмы для решения задачи синтеза законов возбуждения и поддержания колебательных режимов в неопределенных нелинейных системах В частности, следует развить

- метод управляющих функций Ляпунова,

- метод стабилизации по скоростному градиенту относительно множества в условиях внешних возмущений,

- метод переноса управления через интегратор,

- метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов

3 Развить методы адаптивного управления, существующие в рамках прямого и идентификационного подходов к синтезу адаптивных систем, на задачу стабилизации желаемых колебательных режимов в условиях параметрической и сигнальной неопределенности

4 Разработать и обосновать алгоритмы адаптивной настройки системы на желаемый вид бифуркации в условиях внешних возмущений и параметрической неопределенности модели объекта

В ходе решения указанных задач в диссертационной работе получены следующие основные результаты

1 Получено развитие необходимых и достаточных условий для наличия свойства колебательности по Якубовичу у динамических систем с номинальной нелинейной частью и нелинейных систем с запаздыванием

2 Развиты методы робастного управления нелинейными системами относительно множества

2.1 Развит метод управляющих функций Ляпунова (предложена формулировка управляющей функции Ляпунова для задач стабилизации нелинейной аффинной по управлению системы относительно множества и от входа к выходу, разработаны необходимые и достаточные условия стабилизируемости от входа к выходу в терминах существования управляющей функции Ляпунова, обоснован закон управления, обеспечивающий по известной управляющей функции Ляпунова стабилизацию системы от входа к выходу)

2.2 Методы переноса управления через интегратор и аналитического конструирования агрегированных регуляторов обобщены на задачу стабилизации относительно множества и от входа к выходу Проведено аналитическое сравнение этих методов

2.3 Установлены условия робастности по отношению к интегрально ограниченным возмущениям для аффинных по управлению нелинейных систем, стабилизированных относительно множества методом скоростного градиента

2.4 Разработан алгоритм управления, гарантирующий при выполнении ряда условий для замкнутой нелинейной системы общего вида наличие свойства колебательности по Якубовичу

3 Развиты методы адаптивного управления нелинейными системами относительно множества

3 1 Предложены условия применимости алгоритмов адаптации, синтезированных по методу скоростного градиента, в задачах стабилизации системы относительно множества и от входа к выходу

3 2 Установлены новые условия применимости и упрощена структура частичных адаптивных наблюдателей для нелинейных систем с зависящей в явном виде от времени правой частью модели, приводимой к канонической наблюдаемой форме по выходу, в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения

3 3 Предложены алгоритмы адаптивно-робастного управления для класса нелинейно параметризованных систем (случай, когда модель объекта зависит от вектора неизвестных параметров нелинейным образом), допускающих построение частичных адаптивных наблюдателей

3 4 Разработаны этапы синтеза адаптивных нейросетевых систем управления для задачи стабилизации нелинейной аффинной по управлению системы от входа к выходу Предложена модификация алгоритма обучения многослойных нейронных сетей, гарантирующая совмещения в одном времени процессов обучения нейросети и управления динамической системой для данной задачи

4 Предложена новая постановка задачи адаптивной настройки нелинейной системы на желаемый тип бифуркации Разработаны алгоритмы робастно-адаптивного управления, решающие задачу настройки на бифуркацию в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения Получены различные решения для случаев единичной и неединичной относительной степени (относительная степень считается от измеряемого выхода к вектору неизвестных параметров) На основе полученных новых алгоритмов адаптивного управления синтезирован новый алгоритм адаптации для нелинейной системы в задаче стабилизации ее относительно положения равновесия в начале координат и разработан алгоритм робаст-но-адаптивного управления для задачи адаптивной динамической синхронизации двух нелинейных систем

Результаты диссертации нашли применение при решении задачи стабилизации момента на валу двигателя внутреннего сгорания, где разработан гибридный робастно-адаптивный алгоритм управления моментом двигателя в присутствии внешних возмущений, и при синтезе робастно-адаптивного алгоритма резонансного управления ударно-вибрационной дробилкой, обеспечивающего колебания вибрационной машины на собственной частоте с заданной амплитудой с минимальными энергетическими затратами Применение методов синтеза управлений колебаниями, развитых в диссертационной работе, гарантирует работоспособность синтезированных систем в условиях существенной параметрической неопределенности, внешних возмущений и неполной измерительной информации об управляемом объекте, что приводит к повышению качества реализации требуемых целей управления Результаты диссертации вошли в монографии [53], [54], рекомендованные УМО по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации для студентов, обучающихся по специальностям «Автоматизация и управление», «Управление и информатика в технических системах», а также УМО по специальности «Прикладные математика и физика» Результаты диссертации внедрены в НПО «Механобр-Техника», в разработки по Федеральной целевой программе «Интеграция», в НИР и учебный процесс кафедры автоматики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ», в разработки Санкт-Петербургского Государственного Технического Университета (ЛИТМО) для корпорации «General Motors» по теме № 77500 "Адаптивное гибридное управление силовыми системами автомобиля"

Практическая значимость проделанной работы заключается в создании методов расчета систем управления колебательными режимами функционирования машин, модель которых содержит параметрическую неопределенность и внешние возмущающие воздействия в условиях неопределенности результатов измерения Применение разработанного аппарата гарантирует реализацию заданной цели управления в условиях широкого разброса возможных значений параметров модели объекта при влиянии внешних возмущений

Научная новизна полученных результатов состоит в расширении методов синтеза управления колебательными режимами движения на классы систем, модель которых содержит существенную параметрическую неопределенность и внешние возмущающие входы

Диссертационная работа выполнена в лаборатории «Управления сложными системами» Института проблем машиноведения РАН в период с 2001-2006 гт в соответствии с планами научно-исследовательских работ (№ 01 200 201870), при поддержке грантов РФФИ (№№ 02-01-00765, 03-01-06373, 05-01-00869), грантов Фонда содействия отечественной науки 2004-2005, программы Президиума РАН № 19 «Управление механическими системами» (проект 1 4), по проектам федеральной целевой программы «Интеграция» (№ Б-0026), российско-нидерландской исследовательской программы NWO-РФФИ 047 011 2004 004, в рамках научного договора между Санкт-Петербургским Государственным Техническим Университетом (ЛИТМО) и корпорацией «General Motors» по теме № 77500

Результаты работы доложены и одобрены на 22 научных конференциях и симпозиумах, в том числе 15-ый и 16-ый Всемирные конгрессы международной федерации по автоматическому управлению (1FAC) (Испания, 2002, Чехия, 2005), 41-ая, 43-ая и 44-ая Конференции Института инженеров по электротехнике и электронике (IEEE) по принятиям решений и управлению CDC'02(04, 05) (США, 2002, США, 2004, Испания, 2005), на 1-ой и 3-ей Всероссийских научных конференциях "Управление и информационные технологии" УИТ03(05) (Санкт-Петербург, 2003, 2005), Симпозиум 1FAC по нелинейным системам управления NOLCOS'04 (Германия, 2004), Конференция Российской северо-западной секции IEEE (Санкт-Петербург, 2004), Конференция 1ЕЕЕ по прикладным задачам управления ССА'03 (Турция, 2003), Европейская конференция по управлению ЕСС'ОЗ (Англия, 2003), 2-ая Международная конференция по проблемам управления (Москва, 2003), 4-ая Международная конференция «Средства математического моделирования» MATHMOD'03 (Санкт-Петербург, 2003), 4-ая Азиатская конференция по управлению ASCC'02 (Сингапур, 2002), конференции "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2000, 2001), Международная конференция по нейрокомпьютерам и их применению (Москва, 2000), Международная конференция по нейронным сетям и искусственному интеллекту (Брест, 1999), 6-ая и 7-ая Международная студенческая олимпиада по автоматическому управлению ВОАС'98(99) (Санкт-Петербург, 1998, 1999), Международная научно-техническая конференция "Нейронные, реляторные и непрерывно-логические сети" (Москва, 1998), 2-ой и 3-ий Международный симпозиум по интеллектуальным системам управления IN-TELS'96(98) (Санкт-Петербург, 1996, Псков, 1998) Обсуждения результатов диссертационной работы успешно прошли на Городском семинаре по теории управления, на институтском семинаре ИПМаш РАН, на семинаре ИПУ РАН, на семинаре университета SUPELEC (Франция)

Автором опубликовано по теме диссертации 62 печатные работы, в том числе 5 монографий и учебных пособия, 2 главы в книгах и 13 журнальных статей Все результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно

Диссертация содержит девять глав и три приложения

В первой главе приводится краткая историческая справка по исследованию свойств устойчивости нелинейных колебательных динамических систем Дается общая характеристика и примеры задач управления колебаниями Очерчен круг проблем, рассматриваемых в работе, и приводится краткий обзор существующих решений в этой области

Во второй главе рассматриваются различные математические формулировки понятий колебаний и колебательности, вводятся определения нескольких типов устойчивости колебательных динамических систем (в том числе устойчивости от входа к выходу), формулируются необходимые и достаточные условия используемых в дальнейшем типов устойчивости, приводится ряд вспомогательных свойств

В третьей главе рассматриваются алгоритмы управления, позволяющие, с использованием результатов предыдущих глав, робастно стабилизировать выбранное подмножество пространства состояния нелинейной динамической системы Рассматриваются методы управляющих функций Ляпунова, пассификации и переноса управления через интегратор, а также метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов

В четвертой главе предлагается развитие метода скоростного градиента на задачу адаптивной стабилизации системы относительно множества в рамках прямого подхода к синтезу адаптивных систем управления Далее представлены результаты, позволяющие синтезировать на базе метода скоростного градиента адаптивные наблюдатели возмущенного нелинейного объекта, реализующие стратегию идентификационных методов адаптивного управления

Задача адаптивной настройки на бифуркацию ставится и решается в пятой главе Управление бифуркациями является относительно новым направлением теории автоматического управления, посвященным синтезу регуляторов, гарантирующих желаемые свойства бифуркационных режимов для данной нелинейной системы (под желаемыми свойствами может пониматься тип бифуркации, устойчивость или неустойчивость образуемых после бифуркации предельных циклов, координаты новых возникающих положений равновесия) Регуляторы, применяющиеся для управления бифуркационными режимами, основываются на предположении о доступности полной сигнальной и параметрической информации о модели системы Такое допущение связано со сложностью аналитического расчета бифуркационных управлений, требующего полной информации о системе С другой стороны, такое предположение серьезно усложняет практическое применение полученных алгоритмов управления в силу того, что реальные объекты управления содержат параметрическую и сигнальную неопределенность в своем описании Одним из возможных путей преодоления указанного недостатка может служить использование методов адаптивного управления для оценки в реальном масштабе времени текущих параметров модели управляемой системы или прямой подстройки параметров бифуркационных управлений

В шестой главе приводится краткий обзор существующих постановок задач и решений в области синхронизации динамических систем Ставится новая задача динамической синхронизации нелинейных объектов Примером объектов, находящихся в динамической синхронизации друг с другом, могут выступать планеты нашей галактики, совершающие колебательные движения вокруг друг друга Солнце может рассматриваться в качестве лидера этой системы Планеты координируют свое движение по отношению к солнцу с колебательной ошибкой синхронизации Спутники в свою очередь совершают аналогичные колебательные движения вокруг планет Во всех случаях расстояние между этими объектами не стремится к константе, а динамически меняется, подчиняясь некоторому дифференциальному уравнению, чьи решения - колебательные функции времени

В седьмой главе приводится краткий обзор и основные направления синтеза нейросетевых систем управления динамическими объектами Предлагаются этапы синтеза систем управления колебаниями на базе искусственных нейросетей Обосновываются условия применимости обучаемых параллельно процессу управления многослойных нейронных сетей в рассматриваемых задачах

В восьмой главе представлены несколько решений задачи резонансного возбуждения колебаний с заданной амплитудой вибрационных дробилок Первое решение базируется на алгоритмах синтеза адаптивных наблюдателей, а второе решение основано на применении алгоритма скоростного градиента в конечной форме Оба решения получены в предположении, что для измерения доступна только координата угла отклонения маятника и в каналах измерения и управления присутствуют помехи, собственная частота маятника предполагается неизвестной Полученные решения развиваются на задачу стабилизации и гашения колебаний в двухмассовой маятниковой системе

В девятой главе представлено решение задачи стабилизации желаемого значения момента, развиваемого двигателем внутреннего сгорания, в присутствии параметрической и сигнальной неопределенностей модели двигателя Решение основано на использовании двух регуляторов, один из них обеспечивает (глобальную) ограниченность переменных двигателя, другой гарантирует (локальное) регулирование значения момента двигателя Полученный локальный регулятор включает в себя настраиваемый генератор задающего сигнала и обратную связь, улучшающую качество переходных процессов в системе Предполагается доступными для непосредственного измерения значения скорости вращения вала двигателя и давления во впускном коллекторе Алгоритм логико-командного управления обеспечивает переключение между локальным и глобальным регуляторами в присутствии возможных внешних возмущений

В первом приложении приведены необходимые сведения из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений, собраны основные результаты теории устойчивых от входа к вектору состояния систем, сформулированы определения некоторых полезных геометрических свойств динамических систем, представлены определения и базовые свойства диссипативных по Виллемсу систем и пассивных систем

Во втором приложении представлен краткий обзор и ряд последних достижений в области исследования свойства предельной невырожденности функций вещественной переменной, используемые в адаптивной теории управления для обоснования идентифицирующих свойств алгоритмов оценивания значений неизвестных параметров стабилизируемых объектов

В третьем приложении собраны доказательства результатов для всех глав Особенностью изложения является использование результатов теории устойчивости динамических систем от входа к выходу для анализа и синтеза систем управления нелинейными колебательными объектами К числу особенностей изложения необходимо отнести и обилие сокращенных терминов и аббревиатур различных свойств устойчивости динамических систем, используемых в тексте Эта особенность связана с материалом диссертации - свойство колебательности динамических систем требует учета всего возможного многообразия типов устойчивости, присущих этому типу объектов Автор извиняется за возможное неудобство и для упрощения знакомства с материалом диссертационной работы все используемые сокращения собраны и расшифрованы в конце данного предисловия

В заключение автор хотел бы поблагодарить заведующего лабораторией управления сложными системами, Института проблем машиноведения Российской академии наук, профессора A JI Фрадкова за мотивировку и неоценимую помощь, оказанную в процессе написания этой работы Автор также желает выразить глубокую признательность своей семье и близким за поддержку и участие Перейдем к изложению результатов диссертации

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

Сокращения касаются только наиболее часто используемых терминов, определяющих различные свойства устойчивости динамических систем

ГУМВ глобальная устойчивость по модулю выхода,

ИУВС интегральная устойчивость от входа к состоянию,

ЛРГАУВ лагранжева робастная глобальная асимптотическая устойчивость по выходу,

ЛУВВ лагранжева устойчивость от входа к выходу,

МНС многослойные нейронные сети,

НН наблюдаемость неограниченности,

ОВОС устойчивость "ограниченный вход - ограниченное состояние",

ПН предельная невырожденность,

ПС положительность в среднем,

РГАУ робастная глобальная асимптотическая устойчивость,

РГАУВ робастная глобальная асимптотическая устойчивость по выходу,

УВВ устойчивость от входа к выходу,

УВВС устойчивость "вход - выход - состояние",

УВС устойчивость от входа к состоянию,

УВыС устойчивость "выход - состояние",

УФЛ управляющая функция Ляпунова

Следующие обозначения используются на протяжении всей работы х скалярная переменная, х векторная переменная,

X матричная переменная, т

•) символ транспонирования векторно-матричных переменных, lim знак предела, lim, lim верхний и нижний пределы, х, х производная и вторая производная по времени от переменной х,

1 =1,« целочисленная переменная / меняется от 1 до п,

->а сходимость функции / к числу а,

6 символ принадлежности к множеству, с символы включения в множество,

Rn п -мерное евклидово пространство, а,Ь] замкнутый интервал, а,Ъ) открытый интервал, а,Ь) полуоткрытый интервал,

С, символ 1-го класса гладкости функций (класс i раз непрерывно дифференцируемых функций), единичная матрица размерности (ихя) (все ее элементы равны нулю, за исключением элементов главной диагонали, равных единице), □ символ, обозначающий окончание примера, допущения или не доказываемого здесь утверждения, ■ символ, обозначающий окончание доказываемого утверждения

Более подробно используемые обозначения и свойства определены в приложении П1 Доказательства результатов вынесены в приложение ПЗ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации приведено решение крупной научной проблемы: повышения качества и помехоустойчивости управления колебательными режимами нелинейных систем в условиях параметрической неопределенности, внешних возмущений и неопределенности результатов измерений.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Получено развитие необходимых и достаточных условий для наличия свойства колебательности по Якубовичу у динамических систем с номинальной нелинейной частью и нелинейных систем с запаздыванием.

2. Развиты методы робастного управления нелинейными системами относительно множества:

2.1. Развит метод управляющих функций Ляпунова.

2 2. Методы переноса управления через интегратор и аналитического конструирования агрегированных регуляторов обобщены на задачу стабилизации относительно множества и от входа к выходу.

2 3. Установлены условия грубости по отношению к интегрально ограниченным возмущениям для нелинейных систем, стабилизированных относительно инвариантного множества методом скоростного градиента. 2.4. Разработан алгоритм управления, гарантирующий для замкнутой нелинейной системы наличие свойства колебательности по Якубовичу.

3. Развиты методы адаптивного управления нелинейными системами относительно множества:

3.1. Предложены условия применимости алгоритмов адаптации, синтезированных по методу скоростного градиента, в задачах стабилизации системы относительно множества и от входа к выходу.

3.2. Установлены новые условия применимости и упрощена структура адаптивных наблюдателей для нелинейных неавтономных систем в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения.

3.3. Предложены алгоритмы адаптивно-робастного управления для класса нелинейно параметризованных систем (случай, когда модель объекта зависит от вектора неизвестных параметров нелинейным образом).

3.4. Разработаны этапы синтеза адаптивных нейросетевых систем управления для задачи стабилизации нелинейной аффинной по управлению системы от входа к выходу. Предложена модификация алгоритма обучения многослойных нейронных сетей, гарантирующая совмещения в одном времени процессов обучения нейросети и управления динамической системы для данной задачи.

4. Предложена новая постановка задачи адаптивной настройки нелинейной системы на желаемый тип бифуркации. Разработаны алгоритмы робастно-адаптивного управления, решающие задачу настройки на бифуркацию в присутствии внешних возмущений и помех в канале измерения. Разработан алгоритм роба-стно-адаптивного управления для задачи адаптивной динамической синхронизации двух нелинейных систем.

5. На основе теоретических результатов решены прикладные задачи стабилизации момента на валу двигателя внутреннего сгорания, где разработан гибридный робастно-адаптивный алгоритм управления моментом двигателя в присутствии внешних возмущений, и синтеза робастно-адаптивного алгоритма резонансного управления ударно-вибрационной дробилкой, обеспечивающего колебания вибрационной машины на собственной частоте с заданной амплитудой в энергосберегающем режиме.

Практическая значимость проделанной работы заключается в создании методов расчета систем управления колебательными режимами функционирования машин, модель которых содержит параметрическую неопределенность и внешние возмущающие воздействия в условиях неопределенности результатов измерения. Применение разработанного аппарата гарантирует реализацию заданной цели управления в условиях широкого разброса возможных значений параметров модели объекта при влиянии внешних возмущений.

1. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987.

2. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: Методы и приожения. I. Методы. АиТ, 2003, 5. с. 3 45.

3. Андронов А.А., Витг А., Хайкин С.Е. Теория колебательных систем. М.: Наука, 1959.

4. Асташев В.К., Бабицкий В.И. Динамика резонансных машин. В кн.: Динамика машин и управление машинами. М.: Машиностроение, 1988, с. 168-174.

5. Асташев В.К., Бабицкий В.И., Соколов И.Я. Авторезонансное вибровозбуждение синхронным электродвигателем. Проблемы машиностроения и надежности машин, 4, 1990, с. 41-46.

6. Барбашин Е.А. Метод сечений в теории динамических систем. Математический сборник, т. 29(71), 1951, с. 233-280.

7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

8. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Существование функции Ляпунова для случая устойчивости в большом. Прикл. мат. мех., 18, 1954, с. 345 350.

9. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.

10. Блехман ИИ., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: логика и особенности приложений математики. 2-е изд. М.: Наука, 1990.

11. Буркин И.М., Леонов Г.А. Неограниченная колебательность нелинейных регулируемых систем. Вестник Ленинградского университета, 7, 1975, с. 2328.

12. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд. во МГУ, 1978. 106 с.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990. 208 с.

15. Вейнц В.Л., Вербовой П.Ф., Когура А.Е., Куценко Б.И. Динамика управляемого электромеханического привода с асинхронным двигателем. Киев: Наукова думка, 1988,272 с.

16. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по чатси переменны: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

17. Вышнеградский И.А. Об общей теории регуляторов. 1876 (В книге Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования. М.: Изд-во АН СССРб 1949, с. 35-39).

18. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. М.: Наука, 1978.

19. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975.296 с.

20. Горбань А.Н. Обучение нейронных сетей. Москва: СП Параграф, 1996. -160 с.

21. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

22. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т 1,2. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

23. Ефимов Д.В. Оптимальный алгоритм обучения многослойных нейронных сетей. Изв. ВУЗов "Приборостроение", № 6,2000. С. 40-46.

24. Ефимов Д.В. Анализ устойчивости адаптивных нейросетевых система управления на основе метода разделения движений. Изв. ВУЗов "Приборостроение", № 1, 2001. С. 20 25.

25. Ефимов Д.В. Синтез адаптивных нейросетевых систем управления классом нелинейных динамических объектов. Дисс. на соискание учен, степени к-та техн. наук./ СПбГЭТУ. СПб., 2001.

26. Ефимов Д.В., Терехов В.А. Конструирование притягивающих многообразий. Изв. РАН, Таганрог, 2000.

27. Ефимов Д.В., Терехов В.А. Оптимальные алгоритмы обучения многослойных нейросетей. Нейрокомпьютер, № 3, 2000.

28. Ефимов Д.В., Терехов В.А. Динамический алгоритм обучения многослойных нейронных сетей. Изв. ВУЗов "Приборостроение", № 3, 2001.

29. Ефимов Д.В, Фрадков А.Л. Условия колебательности нелинейных систем со статической обратной связью. АиТ, 2,2005, с. 92 107.

30. Жуковский Н.Е. О прочности движения. 1882 (Собр. сочинений, т.1, М.,Л.: Гостехиздат, 1948, с. 67-160).

31. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

32. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

33. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 21, № 5, 1951.

34. Климушев И.А., Красовский Н.Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старшихпроизводных. Прикладная математика и механика, т. 25, № 4, 1961. С. 680-694.

35. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994, с. 344.

36. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

37. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. 1992.

38. Леонов Г.А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.

39. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Математическое общество Харькова, 1892.

40. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. 1893. Собр. Соч. Т.2, М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1956, с. 272-331.

41. Малкин И.Г. Об устойчивости движения в смысле Ляпунова. Математический сборник, т. 3 (45), 1938, с. 47-100.

42. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Наука, 2001.

43. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. Сер. "Анализ и синтез нелинейных систем". СПб.: Наука, 2000.

44. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003.

45. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учеб. Пособ. -М.: Наука. 1986.

46. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Крутова И.Н., Земляков С.Д. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления. М., Машиностроение, 1972.

47. Полушин И.Г., Фрадков А.Л., Хилл Д. Пассивность и пассификация в теории нелинейных систем. АиТ, 3,2000, с. 3-37.

48. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных. Вестник МГУ, 4, 1957, с. 9-16.

49. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движений по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

50. Терехов В.А. Динамические алгоритмы обучения многослойных нейронных сетей в системах управления . Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996, № 3. С.70-79.

51. Терехов В.А., Ефимов Д.В., Тюкин И.Ю. Искусственные нейронные сети и ихприменение в системах автоматического управления: Учеб. пособие. ГЭТУ. 1997. 68 с.

52. Терехов В.А., Ефимов Д.В., Тюкин И.Ю. Нейросетевые системы управления: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа. 2002. 183 с.

53. Терехов В.А., Ефимов Д.В., Тюкин И.Ю. Нейросетевые системы управления. Кн. 8. Общая ред. А.И. Галушкина. М.: ИПРЖР, 2002. 480 с.

54. Терехов В.А., Ефимов Д.В., Тюкин И.Ю., Антонов В.Н. Нейросетевые системы управления. СПб. Изд. С.-Петербургского университета, 1999. 265 с.

55. Тимофеев А.В., Экало Ю.В. Системы цифрового и адаптивного управления роботов. СПб.: ГУАП, 2000.-330с.

56. Тюкин И.Ю. Алгоритмический синтез нейросетевых систем управления нелинейными динамическими объектами в условиях неопределенности. Дисс. на соискание учен, степени к-та техн. наук./ СПбГЭТУ. СПб., 2001. 254 с.

57. Тюкин И. Ю. (2003). Алгоритмы в конечной форме для нелинейных динамических объектов. АиТ, 64, с. 951-974.

58. Управление в физико-технических системах. Под ред. А.Л. Фрадкова. СПб.: Наука, 2004.

59. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

60. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими системами. М.: Наука, 1981.

61. Фрадков А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта. АиТ, 12, 1974, с. 96-103.

62. Фрадков А.Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейных динамических объектов. Сибирск. мат. журн., 2, 1976, с. 436-446.

63. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

64. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика. СПб: Наука, 2003.

65. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управления колебаниями. М.: Наука, 1980.

66. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006,328с.

67. Четаев Н.Г. Устойчивость движения . Работы по аналитической механике. Изд-во АН СССР, Москва, 1962.

68. Якубович В.А. Частотные условия колебательности для нелинейных систем с единственной стационарной нелинейностью. Сибирский математический журнал, 1973, 14, №2.

69. Якубович В.А. Колебания в системах с разрывными и гистерезисными нели-нейностями. АиТ, 1975, 12.

70. Abed Е.Н., Fu J.-H. Local feedback stabilization and bifurcation control. I. Hopf bifurcation. Syst. Control Lett., 1986, 7. pp. 11 17.

71. Adaptive Hybrid Power Train Control (V.O. Nikiforov (Ed.)). A scientific report for General Motors Company, May 2003, University ITMO, Saint-Petersburg, RUSSIA.

72. Aioun F. A. Globe approach to design control laws for applications in the car industry. European Journal of Control, 7, 2001, pp. 100-122.

73. Anderson B.D.O. Exponential stability of linear equations arising in adaptive identification, IEEE Trans. Aut. Contr., AC-22, 1977.

74. Andrievsky B.R. (2000). Information transmission by adaptive identification with chaotic carrier. Proc. 2nd Int. Conf. "Control of Oscillation and Chaos", St. Petersburg, 5-7 July, 1, pp. 115 117.

75. Andrievsky B.R. Adaptive synchronization methods for signal transmission on chaotic carriers. Mathem. and Computers in Simulation, 2002.

76. Andrievsky B.R. Computation of the excitability index for linear oscillators. Proc. ECC-CDC 2005, Seville, Spain, Dec. 12-15,2005.

77. Andrievsky B.R., Fradkov A.L. Information transmission by adaptive synchronisation with chaotic carrier and noisy channel. Proc. 39th IEEE Conf. Decision and Control, Sydney, 12-15 Dec., 2000, pp. 1025 1030.

78. Angeli, D. and E.D. Sontag, "Forward completeness, unboundedness observability, and their Lyapunov characterizations". Systems and Control Letters, 38, 1999, pp. 209-217.

79. Angeli D., Sontag E.D., "An analysis of circadian model using the small-gain approach to monotone systems". Proc. the 43nd IEEE Conf. on Decision and Control, Nassau, Bahamas, 2004, pp. 575 580.

80. Angeli D., Sontag E.D., Wang Y. A characterization of integral input to state stability. Systems and Control Letters, vol. 38, 1999, pp. 209 217.

81. Astolfi A., Ortega R. Immersion and Invariance: a new tool for stabilization andadaptive control of nonlinear systems. IEEE Trans. Aut. Contrl., 48, 2003, pp.590 606.

82. Arcak M., Seron M., Braslavsky J. and P. Kokotovic, "Robustification of backstep-ping against input unmodeled dynamics". IEEE Trans. Aut. Contr., 45, 2000, pp. 1 -6.

83. Arcak M., Teel A. Input-to-state stability for a class of Lurie systems. Automatica, 2002,38, pp. 1945-1949.

84. Artstein Z. "Stabilization with relaxed control". Nonlinear Analysis, 7, 1983, pp. 1163-1173.

85. Astrom K.J., Bohlin T. Numerical identification of linear dynamic systems from normal operating records, In: Proc. 2nd IFAC Symp on theory of self adaptive systems, 1965; pp. 96-111.

86. Babitsky, V.I., Shipilov A. Resonant Robotic Systems. Berlin: Springer, 2003.

87. Balluchi A., Di Benedetto D., Pinello C., Rossi C. Cut-off in engine control: a hybrid system approach. Proc. of CDC'02, 2002, pp. 4720 4725.

88. Bartolini, C., A. Ferrara and A. Stotsky (1999). Robustness and performance of an indirect adaptive control scheme in presence of bounded disturbances. IEEE Transactions on Automatic Control, 44(4), 789-793.

89. Bemporad A., Giorgetti N., Kolmanovsky I.V., Hrovat D. A hybrid system approach to modeling and optimal control of DISC engines. Proc. of CDC'2002, 2002, pp. 1582- 1587.

90. Birkhoff G.D. Dynamical systems. AMS Colloquium Publications, NY, 1927.

91. Blekhman, 1.1. Synchronization in Science and Technology. ASME Press Translations. New York, 1988.

92. Blekman I. I., A. L. Fradkov, Nijmeijer H., Pogromsky A. Y. On self-synchronization and controlled synchronization, Syst. Control Lett., 31, 1997, pp. 299-305.

93. Blekhman, 1.1., P. S. Landa and Rosenblum M. G. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems. ASME Appl. Mech. Rev., 48, 1995, pp. 733 -752.

94. Bodson M., Chiasson J., Novotnak R. High-performance induction motor control via input-output linearization. IEEE Control Systems Magazine, 14, Issue 4, 1994, pp. 25-33.

95. Borges de Sousa J., A. R. Girard and Hedrick J. K. Elemental Maneuvers and Coordination Structures for Unmanned Air Vehicles. Proc. 43th IEEE Conf. Decision and Control, Bahamas, 2004, pp. 608-613.

96. Bullo F. Stabilization of relative equilibria for underactuated systems on Rieman-nian manifolds. Automatica, 36,2000, pp. 1819-1834.

97. Burton Т.A. Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations. Academic Press, 1985.

98. Byrnes C.I. Isidori A. Willems J.C. Passivity, feedback equivalence, and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems. IEEE Trans. Aut. Contr., 1991. Vol. AL -36/№ 11. P. 1228- 1240.

99. Cao, C., A.M. Annaswamy and A. Kojic (2003).Parameter convergence in nonline-arly parametrized systems. IEEE Trans, on Automatic Control, 48(3), pp. 397-411.

100. Ciesielski K. On the Poincare-Bendixson theorem. IMUJ PREPRINT, 19, 2001.

101. Chen G. and X. Dong, From Chaos to Order: Methodologies, Perspectives, and Applications. Singapore: World Scienti.c, 1998.

102. Chen G., Hill D.J., Yu X. (Eds.) Bifurcation control: theory and applications. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Berlin: Springer, 2003.

103. Chen G. and J. Lu, Dynamics of the Lorenz System Family: Analysis, Control and Synchronization. Beijing, China: Science Press, 2003.

104. Chen G., Moiola J.L., Wang H.O. Bifurcation control: theories, methods, and applications. Int. J. Bifurcat. Chaos, 2000, 10, pp. 511 548.

105. Chen F., Khalil H. Adaptive control of a class of nonlinear discrete time systems using neural network. IEEE Trans. Aut. Contr., vol. 40,1995.

106. Choi J.Y., Farrel J.A. Nonlinear adaptive control using networks of picewice linear approximators . IEEE Trans. Neural Networks, vol. 11, March 2000, pp. 390 402.

107. Christofides P.D., Teel A.R. Singular perturbation and Input-to-state Stability . IEEE Trans. Aut. Contr., vol. 41, № 11, 1996, pp. 1645 1650.

108. Cybenco G. Approximation by superpositions of a sigmoidal function . Math, of Control, Signals and Systems. 1989. № 2. pp. 303-314.

109. Desch W., Logemann H., Ryan E.P., Sontag E.D. (2001). Meagre Functions and Asymptotic Behavior of Dynamical Systems. J. Nonlinear Analysis, 44, pp. 1087- 1109.

110. Efimov D.V. "A condition of elf existence for affine systems". Proc. of 41th IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, 2002.

111. Efimov, D.V. "Universal formula for output asymptotic stabilization". Proc. of 15th IFAC World Congress 2002, T-We-M 07 4, Barselona, Spain, 2002.

112. Efimov D.V. "Switching adaptive control of affine nonlinear system". In Proc. of European Control Conference 2003 (ECC2003), Cambridge, UK, 2003.

113. Efimov D.V. Robust Adaptive Nonlinear Partial Observers for Time-Varying Chaotic Systems. Proc. IEEE CDC 2004, Atlantis, Paradise Island, Bahamas, 13-15 December 2004.

114. Efimov D. Uniting of global and local controllers under acting disturbances. NOL-COS 2004, 2004, pp. 549 554.

115. Efimov D.V. Uniting global and local controllers under acting disturbances. Auto-matica, 6,2006, pp. 549 554.

116. Efimov, D.V., Fradkov A.L. Adaptive nonlinear partial observers with application to time-varying chaotic systems. Proc. IEEE Conf. Control Applications, Istanbul, WdMl-2, 2003.

117. Efimov D.V., Fradkov A.L. Excitation of Oscillations in Nonlinear Systems under Static Feedback. Proc. IEEE CDC 2004, Atlantis, Paradise Island, Bahamas, 13 15 December 2004.

118. Efimov D.V., Fradkov A.L. Input-to-Output Stabilization of Nonlinear Systems via Backstepping. Proc. IEEE DCD ECC 2005, Seville, Spain, 2005.

119. Efimov D.V., Fradkov A.L. Oscillatority Conditions for Nonlinear Systems with Delay. Proc. IEEE DCD ECC 2005, Seville, Spain, 2005.

120. Efimov, D.V. and A.L. Fradkov, "Adaptive tuning to a bifurcation for nonlinear systems with high relative degree". IF AC Congress 2005, Prague, 2005.

121. Efimov D.V., Fradkov A.L. Adaptive Partial Observers with Application to time-varying chaotic systems. Proc. IUTAM Symp. on Chaotic Dynamics and Control of Systems and Processes in Mechanics, Springer, 2005, pp. 27-35.

122. Efimov D.V., Tyukin I.Yu. Direct robust adaptive nonlinear control with derivatives estimation. IFAC Congress 2005, Pragha, 2005.

123. Enciso, G., and Sontag, E.D. "On the stability of a model of testosterone dynamics", J. Math. Biol., to appear.

124. Fabri S., Kadirkamathan V. Dynamic structure neural networks for stable adaptive control of nonlinear systems . IEEE Trans. Neural Networks, vol. 7, 1996, pp. 1151-1167.

125. Fradkov A.L. Adaptive synchronisation of hyper-minimum-phase systems with nonlinearities. Proc. of 3rd IEEE Mediterranean Symp. on New Directions in Control. Limassol, 1, 1995, pp. 272 277.

126. Fradkov A.L. Physics and control: exploring physical systems by feedback. Prep. 5th IFAC Symp. "Nonlinear Control Systems" (NOLCOS'Ol), St. Petersburg, 2001, pp. 1503- 1509.

127. Fradkov A.L. Passification of nonsquare linear systems and feedback Yakubovich-Kalman-Popov Lemma. Europ. J. Contr. 6, 2003, pp. 573-582.

128. Fradkov A.L., Nijmeijer H., Markov A. Adaptive observer-based synchronisation for communications. Intern. J. of Bifurcation and Chaos, 10,2000, pp. 2807 2814.

129. Fradkov A.L., Nikiforov V.O., Andrievsky B.R. Adaptive observers for nonlinear nonpassifiable systems with application to signal transmittion. Proc. 41th IEEE Conf. Decision and Control, Las Vegas, 10-13 Dec, 2002.

130. Fradkov, A.L. and Hill D. Exponential feedback passivity and stabilizability ofnonlinear systems, Automatica, 6, 1998, pp.697-703.

131. Fradkov A.L., Pogromskiy A.Yu. Introduction to control of oscillations and chaos. World Scientific, Singapore, 1998.

132. A.L. Fradkov, A.A. Stotsky. Speed-gradient adaptive control algorithms for mechanical systems. Int. J. of Adaptive Control and Signal Processing, 1992, 3, pp. 211-220.

133. Funahashi K. On the approximate realization of continuous mapping by neural networks. Neural Networks. 1989. №2. P. 183—192.

134. Gazi, V. and Passino К. M. Stability analysis of swarms. IEEE Trans, on Automatic Control, 48,4, 2003, pp. 692 697.

135. Ge S.S., Wang C. Adaptive control of uncertain Chuas circuits. IEEE Trans, on Circuit and Systems-1,47, 9, 2000, pp. 1397 1402.

136. Goldbeter, A. "A model for circadian oscillations in the Drosophila period protein (PER)". Proc. Royal Soc. Lond. B. 261, 1995, pp. 319-324.

137. Goldbeter, A. Biochemical Oscillations and Cellular Rhythms. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.

138. Hahn W. Stability of Motion. Springer Werlag, 1967.

139. Hamzi В., Praly L. Ignored Input Dynamics and a New Characterization of CLF. Automatica, in Proceedings of the 5th European Control Conference, Karlsruhe, Germany, 1999.

140. Hayachi C. Nonlinear oscillations in physical systems. McGraw-Hill Book Company, New York, 1964.

141. He S., Reif K., Unhehauen R. A neural approach for control of nonlinear systems with feedback linearization . IEEE Trans. Neural Networks, vol. 9, 1998, P. 1409 -1422.

142. Hespanha J.P., D. Liberzon and A.S. Morse (2002). Supervision of integral-input-to-state stabilizing controllers. Automatica, 38.

143. Hill D., Moylan P. Dissipative dynamical systems: Basic input output and state properties. J. Franklin Inst., 309, 1980, pp. 327 - 357.

144. Hohmann S., Sackmann M., Krebs V. Nonlinear torque control of a spark ignition engine. Proc. 9th IFAC Symposium on Control in Transportation System 2000, Braunschweig, Germany, pp. 617 622.

145. Hopfield J.J. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities . Proc. of the National Academy of Sciences. 1982, 79, pp. 2554-2558.

146. Hornik K., Stinchcombe M., White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators . Neural Networks. 1989. № 2. P. 359-366.

147. Huijberts H., Nijmeijer H., Willems R. (2000). System identification in communication with chaotic systems. IEEE Trans, on Circuit and Systems-I, 47, 6, pp. 800 -808.

148. Hunt KJ., Sbarbaro D., Zbikowski R., Gawthrop P.J. Neural networks for control systems A survey . Automatica, 1992, vol. 28, N 6. P. 1083-1112.

149. Huygens, C. Horoloqium Oscilatorium. Paris, France, 1673.

150. Ingalls, B. and Y. Wang, "On input-to-output stability for systems not uniformly bounded". In Proc. NOLCOS'Ol, Saint-Petersburg, Russia, 2001.

151. IEEE Trans, on Circuits and Systems, 44, 10. Special issue "Chaos control and synchronization" / Eds. M. Kennedy, M. Ogorzalek (1997).

152. International Journal of Circuit Theory and Applications, 27,6. Special issue "Communications, information processing and control using chaos / Eds. M. Hasler, J. Vandewalle (1999).

153. Ioannou, P. A., Sun, J. Robust adaptive control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1996.

154. Isermann R., Hafner M. Mechatronic combustion engines from modeling to optimal control. European Journal of Control, 7,2001, pp. 220-248.

155. Isidori A. Nonlinear control systems: An Introduction. 2nd ed. — Berlin: Springer-Verlag, 1989, p. 478.

156. Isidori, A. and Marconi L. An internal model-based approach to certain pursuit-evasion problems. Proc. of NOLCOS 2004, Stuttgart, 2004, pp. 113 118.

157. Isidori A., Byrnes C.I. Limit sets, zero dynamics and internal models in the problem of nonlinear output regulation, IEEE Trans. Automatic Control, 48(10), 2003.

158. Jadbabaie A., J. Lin, and Morse A. S. Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules. IEEE Trans, on Automatic Control, 48(6), 2003, pp. 988- 1001.

159. Jiang Z.-P., Teel A., Praly L. Small gain theorem for ISS systems and applications. Math. Control Signal Systems, vol. 7,1994, pp. 95 - 120.

160. Karagiannis D., Astol A. Rotor Resistance Estimation For Current-Fed Induction Motors. Proc. IF AC 2005, Prague, 2005.

161. Karsenti, L., F. Lamnabhi-Lagarrige and Bastin G. Adaptive control of nonlinear systems with nonlinear parameterization. System and Control Letters, 27, 1996, pp. 87-97.

162. Kelly R., Santibanez V. Strict Lyapunov function and Chetaev function for stability/instability analisys of the pendulum. Proc. of 16th IFAC World Congress 2005, Prague, 03-07 July, 2005.

163. Kenne G., Ahmed-Ali Т., Nkwawo H., Lamnabhi-Lagarrigue F. Robust Rotor Flux and Speed Control of Induction Motors Using On-Line Time-Varying Rotor Resistance Adaptation. Proc. 44th CDC-ECC 2005, 2005, Sevilla, pp. 7768-7774.

164. Kennedy M.P., Kolumban G. Digital communications using chaos. In: Controlling chaos and bifurcations in engineering systems / Ed. G. Chen, CRC Press, 1999, pp. 477-500.

165. Kim D. H., H. O. Wang, G. Ye and Shin S. Decentralized Control of Autonomous Swarm Systems Using Artificial Potential Functions: Analytical Design Guidelines. Proc. 43th IEEE Conf. Decision and Control, Bahamas, 2004, pp. 159 164.

166. Kokotovirc, P.V. and M. Arcak, "Constructive nonlinear control: a historical perspective". Automatica, 37,2001, pp. 637 662.

167. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O'Relly J. Singular Perturbations in Control: Analysis and Design. London: Academic, 1986.

168. Krstic M., Kanellakopoulos I. and P.V. Kokotovic, Nonlinear and Adaptive Control Design. Wiley & Sons, Inc., 1995, p. 563.

169. Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. Mathematics in Science and Engineering, 191, Academic Press, Boston, 1993.

170. Lagrange J.L. Mecanique Analitique. Paris: Veuve Desaint, 1788.

171. Levant, A. Robust exact differentiation via sliding mode technique. Automatica, 34(3), 1998, pp. 379-384.

172. Lewis F., Yesidirek A., Lin K. Multilayer neural network robot controller with guaranteed tracking performance . IEEE Trans. Neural Networks, vol. 7, 1996.

173. Leung A.Y.T., Chen J.J., Chen G. Resonance control for a forced single-degree-of-freedom nonlinear system. Int. J. Bifurcat. Chaos, 2004,14, pp. 1423-1429.

174. Liberzon, D., E.D. Sontag and Wang Y. Universal construction of feedback laws achieving ISS and integral-ISS disturbance attenuation. Systems and Control Letters, 46, 2002, pp. 111-127.

175. Liberzon D., Sontag E. D., Morse A. A new definition of the minimum-phase property for nonlinear systems, with an application to adaptive control. In Proc. IEEE Conf. Decision and Control, 2000.

176. Lin W., Qian C. Adaptive control of nonlinear parameterised systems. Proc. of 40th IEEE Conference on Decision and Control, 2001, pp. 4192-4197.

177. Lin, W. and Qian C. Adaptive control of nonlinearly parameterized systems: A nonsmooth feedback framework. IEEE Trans. Automatic Control, 47(5), 2002, pp. 757-773.

178. Lin, W. and Qian C. Adaptive control of nonlinearly parameterized systems: The smooth feedback case. IEEE Trans. Automatic Control, 47(8), 2002, pp. 1249-1266.

179. Lin Y., Sontag E.D. Contra 1-Lyapunov universal formulae for restricted inputs. Control: Theory and Advanced Technology, 10,1995, pp. 1981-2004.

180. Lin Y., Sontag E.D. and Y. Wang, "A Smooth Converse Lyapunov Theorem for Robust Stability". SIAM J. Control and Optimization, 34, 1996, pp. 124 160.

181. Liu, Y. H., S. Arimoto, V. Parra-Vega and Kitagaki K. Decentralized adaptive control of multiple manipulators in cooperations. Int. J. Control, 67, 1997, pp.649 673.

182. Loh, Ai-Poh, A.M. Annaswamy and Skantze F.P. Adaptation in the presence of general nonlinear parameterization: An error model approach. IEEE Trans, on Automatic Control, 44(9), 1999, pp. 1634-1652.

183. Loria A., Kelly R., Teel A. On uniform parametric convergence in the adaptive control of mechanical systems. European Journal of Control, 11,2005, pp. 90-101.

184. A. Loria E. Panteley, D. Popovic, and A. Teel, "5-persistency of excitation: a necessary and sufficient condition for uniform attractivity," in Proc. 41st. IEEE Conf. Decision Contr., (Las Vegas, CA, USA), 2002.

185. Lotka A.J. Analytical note on certain rhythmic relations in organic systems. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 6, 1920, pp. 410-415.

186. Mallet-Paret, J. and G.R. Sell, "The Poincare-Bendixson Theorem for monotone cyclic feedback systems with delay". J. Differential Equations, 125, 1996, pp. 441-489.

187. Marino, R. and Tomei P. Global adaptive output-feedback control of nonlinear systems, part II: Nonlinear parameterization. IEEE Trans. Automatic Control, 38(1), 1993, pp. 33-48.

188. Marino, R. and P. Tomei, Nonlinear Control Design — Geometric, Adaptive and Robust. London, U.K.: Prentice-Hall, 1995.

189. Markov A.Yu., Fradkov A.L. Adaptive synchronisation of coupled chaotic systems. Proc. Int. Conf. "Fractals and Chaos in Chemical Engineering", Rome, Sept. 2-5, 1996, pp. 153- 154.

190. Marshall J.A., M.E. Broucke, and Francis B.A. Unicycles in cyclic pursuit. In Proc. 2004 American Control Conf., 2004, pp. 5344-5349.

191. Maxwell J.C. On governors. London: Proc. Royal Soc., № 100, 1868.

192. Mazenc F., Niculescu S.-I. Lyapunov stability analysis for nonlinear delay systems. Systems and Control Letters, 2001,42, pp. 245 251.

193. Moreau, L. and Sontag E.D. Balancing at the border of instability. Phys. Rev., 68, 2003, pp. 1-4.

194. Moreau, L., E.D. Sontag and Arcak M. Feedback tuning of bifurcations. Syst. & Contr. Let., 50,2003, pp. 229 239.

195. Morgan A.P., Narendra K.S. On the stability of nonautonomous differential equations x'=A+B(t)x. with skew symmetric matrix B(t), SIAM J. Contr. and Opt., 15, 1977.

196. Morse, A.S. Control using logic-based switching. In: Trends in control (A. Isidory (Ed.)), Springer-Verlag, 1995, pp. 69 113.

197. Murray J.D. Mathematical Biology, I: An introduction. New York, Springer, 2002.

198. Narendra K. S., Annaswamy A. M. Stable adaptive systems. New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1989.

199. Narendra K.S., Parthasarathy K. Identification and control of dynamical systems using neural networks . IEEE Trans. Neural Networks, vol. 1, 1990, pp. 4 27.

200. Nijmeijer H. A dynamical control view on synchronization, PhysicaD, 154, 2001, pp. 219-228.

201. Nijmeijer, H. and Mareels I.M.Y. An Observer Looks at Synchronization. IEEE Trans. Circuit Syst. 1,44(10), 1997, pp. 882 890.

202. Nijmeijer, H. and Rodriguez-Angeles A. Synchronization of mechanical systems. World Scienti.c Publishing. Singapore, 2003.

203. Nikiforov V.O., Voronov K.V. Adaptive backstepping with high-order tuner. Auto-matica, 37,2001, pp. 1953 1960.

204. Nikolis G., Prigogine I.R. Self-organization in non-equilibrium systems. Wiley, New York, 1977.

205. Olfati-Saber, R., and Murray R.M. Flocking with Obstacle Avoidance: Cooperation with Limited Communication in Mobile Networks. Proc. the 42nd IEEE Conf. on Decision and Control, Maui, HI., 2003, pp. 2022 2028.

206. R. Ortega, A. Fradkov. Asymptotic stability of a class of adaptive systems. Intern. J. of Adaptive Control and Signal Processing, 1993,3, pp. 255-260.

207. Panteley, E., R. Ortega and Moya P. Overcoming the detectability obstacle in certainty quivalence adaptive control. Autpmatica, 38, 2002, pp. 1125 1132.

208. Pavlov A., N. van de Wouw, Nijmeijer H. The uniform global output regulation problem, Proc. of IEEE Conf. Decision and Control, 2004.

209. Pecora L. and Carrol T. Synchronization in chaotic systems, Phys.Rev. Lett., 64, 1990, pp. 821 -824.

210. Peterson B.B., Narendra K.S. Bounded error adaptive control of dynamical systems using neural network . IEEE Trans. Aut. Contr., vol. AC-27, 1982, pp. 1161 1168.

211. Pogromsky A., G. Santoboni, and Nijmeijer H. Partial synchronization: from symmetry toward stability, Physica D, 172,2002, pp. 65 87.

212. Polushin I.G., Fradkov A.L., Putov V.V. and K.A. Rogov, "Energy control of one-degree-of-freedom oscillators in precense of bounded force disturbance". Proc. of ECC99, paper F1017-3 , 1999, p. 6.

213. Polycarpou M.M., Ioannou P.A. Neural networks and on-line approximators for adaptive control. Proc. Seventh Yale Workshop on Adaptive and Learning Systems, Yale University, 1992, pp. 93-798.

214. Pomet, J.-B. and L. Praly, "Adaptive nonlinear regulation: Estimation from the Lyapunov equation". IEEE Trans. Automat. Contr., 37, 1992, pp. 729-740.

215. Qu Z., Dorsey J., Bond J., McCalley J. Application of robust control to sustained oscillations in power systems. IEEE Trans. Circ. Syst. Part I, 39, 1992, pp. 470-476.

216. Routh J.E. A treatise on the stability of a given state motion. London: Macmillan and Co, 1877.

217. Rumelhart D.E., Widrow В., Lehr M.A. Neural networks: Applications in industry, business and science. Comm. ACM. 1994, vol. 37, № 3. P. 93-105.

218. Saito F., Fukuda Т., Arai F. Swing and locomotion control for a two-link brachia-tion robot. IEEE Control Systems, 1, 1994, pp. 5-12.

219. Sabery A., Khalil H. Quadratic-type Lyapunov functions for singularity perturbed systems. IEEE Trans. Aut. Contr., vol. AC-29, 1984, P. 542 550.

220. Sadegh A. A perceptron network for functional identification and control of nonlinear systems. IEEE Trans. Neural Networks, vol. 4,1993, P. 982 988.

221. Sanner R.M., Slotine J.J.E. Gaussian networks for direct adaptive control. IEEE Trans. Neural Networks, vol. 3,1992. P. 837-863.

222. Santoboni G., A. Y. Pogromsky, and H. Nijmeijer (2003). Partial observer and partial synchronization, Int. J. Bifurcation Chaos, 13, pp. 453 458.

223. Sepulchre R, Jankovic M and P. Kokotovic (1997). Constructive nonlinear control. Springer-Verlag, NY.

224. Seshagiri S., Khalil H.K. Output feedback control of nonlinear systems using RBF networks. IEEE Trans. Neural Networks, vol. 11, January 2000, pp. 69 80.

225. Shiriaev A.S. The notion of V-detectability and stabilization of controlled systems. Systems & Control Letters, 39,2000, pp. 327 338.

226. Shiriaev, A.S. and C. Canudas-de-Wit, "Virtual constraints: a tool for orbital stabilization of nonlinear systems theory". Proc. 6th IF AC Symposium NOLCOS 2004, Stuttgart, 2004, pp. 1355 1360.

227. Shiriaev, A.S. and A.L. Fradkov, "Stabilization of invariant sets for nonlinear non-affine systems". Automatica, 36, 2000, pp. 1709 1715.

228. Shiriaev, A.S. and A.L. Fradkov, "Stabilization of invariant sets for nonlinear systems with application to control of oscillations". International Journal of Robust and Nonlinear Control, 11,2001, pp. 215 240.

229. Seron M., Hill D.J., Fradkov A.L. "Nonlinear adaptive control of feedback passive systems". Automatica, 31, 1995, pp. 1053 1060.

230. Simeon, Т., S. Leroy and Laumond J.-P. Path coordination for multiple mobile robots: a resolution-complete algorithm. IEEE Trans. Robot. Automat., 18, 2002, pp. 42-49.

231. Skjetne R, Teel A.R. and P.V. Kokotovic, "Nonlinear Maneuvering with Gradient Optimization". Proc. of CDC 2001, paper FrAl 1-1 ,2001, pp. 3926-3931.

232. J. Slotine and W. Li. Theoretical issues in adaptive manipulator control. In 5th Yale Workshop on Apl. Adaptive Systems Theory, pp. 252-258, 1987.

233. Sontag E.D. Further facts about input-to-state stabilization // Report 88-15, SYCON Rutgers Center of System and Control, Dec. 1988.

234. Sontag E.D. "A "universal" constraction of Arstein's theorem on nonlinear stabilization". Systems & Control Letters, 12, 1989, pp. 542 550.

235. Sontag E.D. Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Trans. Aut. Contr., vol. 34, 1989, pp. 435 443.

236. Sontag E.D. Feedforward nets for interpolation and classification. J. Сотр. Syst. Sci., vol. 45,1992. P. 20-48.

237. Sontag E.D. Feedback stabilization using two-hidden-layer nets. IEEE Trans. Neural Networks, vol. 3,1992, pp. 981-990.

238. Sontag E.D. On the input-to-state stability property. European Journal of Control, vol. 1, 1995, pp. 24-36.

239. Sontag E.D. Comments on integral variants of ISS. Systems and Control Letters, vol.34,1998,pp. 93- 100.

240. Sontag E.D. Asymptotic amplitudes and Cauchy gains: A small gain principle and an application to inhibitory biological feedback. Systems and Control Letters, 2002, 47, pp. 167- 179.

241. Sontag, E.D. and Y. Wang, "On characterizations of input to state stability with respect to compact sets". Proc. IF AC Nonlinear Control Systems Symposium (NOL-COS), Tahoe City, CA, 1995, pp 226 231.

242. Sontag E.D., Wang Y. Output-to-State Stability and Detectability of Nonlinear Systems. Systems and Control Letters, vol. 29,1997, pp. 279-290.

243. Sontag, E.D. and Y. Wang, "Notions of input to output stability". Systems and Control Letters, 38, 1999, pp. 235 248.

244. Sontag, E.D. and Y. Wang, "Lyapunov characterizations of input to output stability". SI AM Journal on Control and Optimization, 39,2001, pp. 226-249.

245. Spry S., Hedrick J.K. Formation Control Using Generalized Coordinates. Proc. the 43nd IEEE Conf. on Decision and Control, Bahamas, 2004, pp. 2441 2446.

246. Sugar, T.G. and Kumar V. Control of cooperating mobile manipulators. IEEE Trans. Robot. Automat., 18, 2002, pp. 94 103.

247. Tadeusiewicz R. Sieci Neuronowe. Warszawa: PWN, 1993.

248. Teel A.R. "Using saturation to stabilize a class of single-input partially linear composite systems". In Prep, of the 2nd IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium, Bordeaux, France, 1992, p. 224-229.

249. Teel A., Praly L. On assigning the derivative of disturbance attenuation CLF. Proc. of 37th IEEE CDC, 1998.

250. Teel A., Praly L. A smooth Lyapunov function from a class-KL estimate involving two positive semidefinite functions. J. of Differential Equations, 1999.

251. Torricelli E. Opera Geometrica. Florentiae: Typis Amatoric Masse&Laurentii de Landis, 1644.

252. Tyukin I.Yu., Efimov D.V., C. van Leeuwen. Adaptive regulation to invariant sets. IFAC Congress 2005, Pragha, 2005.

253. Tyukin, I. Yu., D.V. Prokhorov and Leeuwen C. Finite form realizations of adaptive control algorithms. Proc. of European Control Conference (ECC 2003), Cambridge, September 1-3,2003.

254. Volterra V. Sur la theorie mathematique des phenomenes hereditaires. J. Math. Pures Appl., 7, 1928, pp. 249-298.

255. Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998, p. 442.

256. Wang H.O., Abed E.H. Bifurcation Control of a Chaotic System. Automatica, 1995, 31, pp. 1213-1226.

257. Werbos P. J. Beyond Regression: New Tools for Prediction and Analysis in the Behavioral Sciences. Ph. D. Thesis. Harvard Univ. Cambrige. MA, 1974.

258. Willems J.C. Dissipative dynamical systems Part I: General theory. Arch. Rational Mechanics and Analysis, 45, 1972, pp. 321 -351.

259. Wu C., Yang Y., Chua L. On adaptive synchronisation and control of nonlinear dynamical systems. Intern. J. of Bifurcation and Chaos, 6,1996, pp. 455-471.

260. Yuan J. S.-C., Wonham W.M. Probing signals for model reference identification, IEEE Trans. Aut. Contr., AC-22, 1977.

261. Zeman V., Ratel R. V., Khorasani K. Control of a Flexible Joint Robot Using Neural Networks. IEEE Trans. Control Systems Technology, vol. 5,4, pp. 453-462.

262. Zhang Y., Peng P.-Y., Ziang Z.-P. Stable neural controller design for unknown nonlinear systems using backstepping. IEEE Trans. Neural Networks, vol. 11, 2000, pp. 1347- 1361.

263. Zurada J., Barski M., Jedruch W. Sztruczne sieci neuronowe: Podstawy teorii i zastosowania. Warshawa, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. 376 c.