автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение пространственных задач теории упругости в бесконечных областях комбинированным способом

РГ6 од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ "" Г0^ЛАРСТВЕШЫЙ ТЕХНИЧЕСКИ! УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЧЕРНЫШЕВА Наталии Вячеславовна

УДК 539.3 ■

РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ■ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ КОМБИНИРОВАННЫМ СПОСОБОМ'

Специальность 05.23.17 - строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени квнвдидата технических наук

Санкт-Петербург 1994 '.

Работа выполнена ка кафедре строительной механики и теории упругости Санкт-Петербургского государственного технического ' университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук»

профессор Л.А.Розшь Научный консультант - кандидат технических наук,

доцент Б.М.Евдокимов Официальные оппоненты - доктор технических наук, старший научный сотрудник Л.П.Трапезников - кандидат технических наук, доцент А.И.Голубев.

Ведущая организация - ВНИМИ

Защита диссертации состоится ¡у.0У 1934 г. в часов на заседании специализированного совете К 063.38.08 в Санкт-Петербургском государстЕзшюм техническом униворситете пс адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29, СПбГТУ, гидротехнический корпус, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПбГТУ.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просим направлять не имя ученого секретаря специализированного совета по указанному выше адресу.

Автореферат разослан "/з" „¿(С/Ц 1994 г. Ученый секретарь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Во многих практически впюшх слу-аях при расчете сооружений с учетом их взаимодействия с бес-онечннм основанием или окружающей упругой средой необходимо ислотюе решение пространственной задачи теории упругости, но может щюводиться в рамках традиционных алгоритмов втода конечных элементов (МКЭ) или метода граничных элементов МГЭ), которые при наличии бесконечной области имээт некоторые собенности. Так, использование МКЭ требует ее усечения до рзс-етной области коночных размеров или применения специальных бесконечных" элементов. В первом случае выбор размера расчетов области и постановка граничних условий на ее границе . трз -ует специального исследования. Кроме того, значительно возра-тает число неизвестных, относящихся к области основания. по равнению с числом неизвестных, необходимым для расчета соору-:ения. Во втором случае ухудшается структура матрицы системы юзрешапщп уравнений МКЭ, а также требуется обоснование выбо-13 тех или иных функций формы "бесконечных" элементов. Приме-[епие МГЭ, более удобного для расчета бесконечных областей, затруднено, если они являются неоднородными или неодиоспязпы- , м, что характерно для реальных задач. Кроме того, вычисление горемещений и напряжений во впутретшх точках области требует :аждый раз численного интегрирования по границе области, а при галичии объемных сил и по всему ев объему. В любом случае мат-)ица -системы разрешающих уравнений МГЭ является песишетрич-юй и полностью заполненной, что требует специальных методов >е решения.

Перечисленные особенности численного решения пространст-тпных задач в бесконечных областях обусловливают заметноо юзрастание необходимих объемов памяти ЭВМ и времени счета, ¡рименяя упомянутые числешиз методы в сочетании,можно добить-;я устранения отмоченных недостатков и получать удовлетворительные результаты при значительной экономии ресурсов ЭВМ. ¡осмотря на все возрастающие мощности современных ЭВМ, такое управление исследований представляется актуальным. Это позволяет повысить эффективность расчетов за счет всестороннего ис-

пользования различных формулировок законов теории упругости,а не простого совершенствования программных решений.

Целью работа является построение эффективного численной алгоритма решения пространственной задачи теории упругости 1 бесконечных областях на базе сочетания МКЭ и формулы Сомильяш и ого реализация на ЭВМ.

Научная новизна работа состоит в следующем, рассмотрен и реализован на ЭВМ итерационный комбшшро вашшй алгоритм решения пространственной задачи теории упруго ста, основанный на сочетании метода конечных элементов и форму ли Оомлльшш;

исследована численная сходимость итерационного щюцесса комбинированного способа для различных граничных услопай, и даны рекомендации по выбору размера расчетной области и улучшению сходимости;

■ рассмотрел и реализован вариант комбинированного способ! для пространственных областей, содержащих Физические■ неодно родности;

разработаны программы для персональной ЭВМ, реализующие предлагаемые алгоритмы.

Практическая ценность заключается к разработке программы риализумцеЯ решение пространственной задачи теории унругост1 комбинированным способом, позволяющей значительно сократит! время решения, объемы внешней и оперативной памяти ЭВМ. Разра ботанпая программа может быть использована проектными организациями при выполнении расчетов сооружений на линейно-упругом основании,подземных сооружений с учетом взаимодействия с ок~ ругсащей упругой средой, напряженно-деформированного состояния горных 'массивов-влизи замкнутых горных выработок, скважин и полостей в зи.йюй коре.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы для создания математической основы и программного обеспечения проектирования подземных сооружений и расчета капитальных выработок в рамках Государственной научной программы "Недра России" по основному направлению "Прогрессивные технология и технические средства для добычи и обо-гашш гтисфдош топлива" и лаборвтор:ш автоматизации научных

инженерных расчетов и управления ВЦИМИ.

Достоверность результатов работы подтверждается путем решения модвлышх задач, имоицих аналитическое решонио, а также путем сравнения с решениями, полученными МКЭ.

Апробация работы .Основное содержание работы докладывалось па 1-й международной конференции "Освоение шельфа арктических морей России", С.-Петербург, 1993 г.;

на мезккаЗюдральном научном семинаре шахтостроительного факультета Санкт-Петербургского государственного горного института (технического университета у , 1993 г.:

на семинаре но строительной механике на кафедре "Строительная механика и теория упругости" СПбГТУ, 1994.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 3 работах.

Структура и объем работы. 'Диссертация состоит из введопил, пяти глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Работа изложена на 147 страницах машинописного текста и включает 41 рисунок и 23 таблицы.

Па защиту выносятся:

алгоритм комбинированного способа решения пространственных задач теории упругости;

модифицированный вариант комбинированного способа дня решения пространственных задач в неоднородных областях;

исследование численной сходимости итерационного процесса комбинированного способа для различных граничных условий;

результата численного исследования приведенных алгоритмов и решение практических задач.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по применению МКЭ и МГЭ для решения задач теории упругости в бесконечных областях и комбинированию этих численных методов.

.Укрупнятся достоинства и недостатки МКЭ и МГЭ применительно к расчету бесконечных областей и возможности для их комбинирования. Комбинированным схемам посвящепн работы Авто-номова Г.А., Бескова А.И., Верюкского Ю.В., Ваттерфилда Р.,

Еенердаи П., Виз Г., Веттеса п., Зошсевича О., Круза Т., Колли Д., Мика Дж., Мусто Г., 'Галлберга 0., Хартмшша Ф. и др. Ими исследовались преимущественно плоские задачи теории упругости. Идея комбинированных схем состоит в том. чтоб; объединить систому уравнений МКЭ с симметричной матрицей дул неизвестных в одной части расчетной области с системо! уравнений МГЭ с несимметричной матрицей для другой, бесконечной ее части. При этом мозга т быть осуществлено преобразована матрицы МГЭ к «матричному виду путем получения ее на основе минимизации функционала энергии. В любом случае ширина лотч суммарной матрищ; коэф^щиентов возрастает, а структура et ухудшается, особенно при использовании несимметричной матриц! МГЭ. Затраты же на формирование симметричной матршш не всегд! окунаются при решении итоговой система уравнений.

Отмечаются работа Розина JI.A., Евдокимова Б.М., Бадулин! [i.A. .Козлова В. А. .Мазьи В.Г., в. которых был впервые предложен, математически обоснован и применен к решению уравнений второгс порядка и плоских задач теории упругости комбшшрованшй способ, основанный на сочетании МКЭ и интегральной формулы Грина-Сомильяны.

В первой главе описываются дифференциальная и вариационная поста ношен пространственной задачи теории упругости. Приводится интегральная формула Сомильяиы для нахождения компонент вектора перемещений У ) = ( Ui ), Uz (), Иъ (£)) т п произвольной точке ^ пространственной области , ограни чеиной поверхностью S . при условии отсутствии объемных сил:

ц^-^и^МъУ-УЩ'УЩУМЩ)- (I)

Здесь £ 3 , S ,L,j - ивдексы направлений осей декартовой системы координат JCj , Xt , JCj ( L , j -. 1, г, з ); -tiir|)H U 1(4)- фактические значения компонент векторов усилий и перемещений на поверхности 5; Gtij(rl,%) и 'lij (4,^) -

I -тые компоненты векторов перемещении и усилий, создаваемых в точке 1 единичной силой, приложенной в точке по направленно Xj ( фундаментальный решения уравнения рлшглюсял 4

шьо ).

Рассматривается алгоритм решения пространственной зид.гм юрии упругости комон1И|юваннмм способом (КС). Пусть н унру-)й области^ , ограниченной поверхностью 5 , требуется оп-далить вектор перемещении И(^) , удовлетворяющий при £6.Я. давлениям Йавье и граничным условиям

Ьк($)=Ь11а С^), 4 С 5&:

[¡есь гц(^)- компонента единичного вектора нормали к поверх-зсти 5 в точке % ; - компоненты тензора напряжений:

Ч (|) и )" компонента векторов заданных усилий и нор -эщолий.

В соответствии с алгоритмом внутри й выделяется подоб-зсть &0 , ограниченная вспомогательной поверхностью $д :ч.рис.1). Итерациотмй процесс строится следующим образом, э А -том шаге на поверхности Бе имеется (й-1)-оо приближено к решению

о»

л 1 со) • / (о)

вообще выбирается произвольно, но как правило и с =. 0). в области о с границей В У $о решается краевая адлча с граничными условиями (2)-(3). Используя ото решение, яио доопределить ¿(¿<*>(£)), 4 б ¿1" $ е >5;>- Эт»

пол лет применить формулу (I) и найти А.-ое приближение Ы^ 1 £ 50и т.д. Итерации повторяются до тех пор, пока некоторая ормо двух последовательных щглбхтчтя (£,) и ( )

5 ) не станет меньше заданного £ :

«X

1« у м^)

Рис. I

ыг

в.

Интегрирования в формуле (I) производится числешю. При гом для вычисления интеграла от первого слагаемого, содержало 5 используется следующий подход. Узлы интегри-)В01ИЯ располагаются в узлах £ £ конечного элемента д й , и мче ни я узловых сил р£ , полученные при формировании вектора завой части по алгоритму МКЭ, рассматриваются как некоторые ггегральные характеристики усилий I

а численны* примерах показано, что хотя формула (4) и не яв-яется квадратурной в строгом смысле, но ее применение дает учше результаты, чем стандартная формула Гаусса при меньших «числительных затратах.

Во второй главе приводятся результаты численного иссле-ования алгоритма КС. Рассматривается ряд внутренних и внеш-их задач, имеющих аналитические' решения. Для сравнения про-одится также решение всех задач по алгоритму МКЭ.

Например, решаются задачи о шаре и сферической полости од действием равномерно распределенной нагрузки, двух ворти-алышх сил, приложенных в полюсах и равномерного обжатия заданных радиальных перемещений). При этом расчетные области внутри шара и вокруг сферической полости) в соответствии с лгоритмом КС даскретизируются на конечные элементы. Рассма-риваются три варианта аппроксимации поверхности сферы. Пер-1яя сетка С1 представляет собой правильный двадцатигранник икосаэдр), третья (СЗ) получена из первой путем замети каж-рй грани чотыремя треугольникам, в вторая (С2) имеет 56 •раней и,хотя не является правильным многогранником, обладает ¡имметрией относительно всех трех координатных плоскостей. !о внутренней задаче по радиусу сферы располагается два слоя ;онечных элементов: внутренний - из тетраэдров с общей вер-

ринимается следующая приближенная формула:

(4)

шиний н центре шара, внешний - из пятигранных призматических элементов. Во внешней задаче количество слоен изменялось. Jipi этом сферические слои мевду геометрически подобными многогранниками тысже состояли из шостиузловых пятигранников.

Решение внутренних задач носит вспомогательный характер и имеет долью показать принципиальную возможность применен» КС, наличие сходимости иторащкшого гфоцесса. Во всех случая) при i= о.001 сходимость достигается за 3 итерации, а чИслон-1ша результаты КС даже но самой грубой сетке CI сравнимы по точности с результатами МКЭ. На точность результатов КС существенное влияние оказывает качество аппроксимации сферической поверхности.Для всех сеток многогранники являются вписанными, и площади их поверхностей составляют соответственно 76%, 90%, УОЖ от площади сферы. Ввиду этого результаты КС оказываются занкгошшми, особенно в задаче о сосредоточенных силах, в мостах приложения которых предполагаются бесконечные значения теоретических перемещений.

При решении внешних задач Солее саметно появляется преимущество КС, связанное с уменьшением размера расчетной области. Для КС она представляло собой один слой конечных аломэн-тов, заключенный между границей сферической полости радиуса R и вспомогательной сферической поверхностью S0 радиуса ft0=2 R„. Учитывая, что в донном случае точность МКЭ зависит как от количества слоен конечных элементов, так и от количества элементов в слое, решение МКЭ проводилось.на самой редкой сетко 01 им 0 слоев (iO Rn ) ц па самой густой сотке СЗ из двух слоев (R0 = 3 R п ). Показано, что даже результаты КС на сетке С1 более блинки к точному решению, чем любые результаты МКЭ. При этом следует отметить значительный внигрш во времена счета, несмутрн на необходимость вшюлненил нескольких щагои итерационного процесса (сходимость достигалась за 3 итерации) Это спязано с тем,что время выполнения двух наиболее трудоемких операций - формирования и декомпозиции матрицы системы разрешающих уравнений - зависит от числа неизвестных,а итерации. реализующие численное интегрировании по формуле (1) и сГ.рьпшй ход решения системы, осущоствляштся значительно быстрое/ Количество же нризипг.тннх КС в приведенных примерах

В

юным, чем количество неизвестных Mito сотпетсшяпю паи 3.75 раз, а ш втором случае также в 2.5 раз меньше ширина тента матрицы жесткости.

При решении задачи о действии равномерного обмтия (за -Зйшшх радаолышх перемещений) исследовалось влияние размок») расчетной области па результаты. При сблшюнил поверхностей S и Sо увеличивалась точность результатов КС, и уменьши-пась скорость сходимости. После того, как расстояние между á л S0 становится меньше определенного значения,сходимости итерационного процосса достигнуть не удается.

Рассматривается также внешняя задача с несвмоурацновишен-;юй нагрузкой в виде сосредоточенной вертикальной сшш. Пока зано. что как и решение МГЭ, решение КО содержит компоненты жесткого смещения, в то время как ШЭ, благодаря закреплении внешней вспо?логательной границы 50 . исключает их.

Приводятся результаты решения КС и МКЭ задачи Бусешшс:ш о сосредоточенной силе, действу щей «а полупространство. Особенность ее по сравнению с рассмотренными вито задачами состоит в том, что теперь граница области - плоскость S не является конечной. В етом случае оозникьет вопрос об интегрировании в формуле (I) по бесконечной поверхности S .Одним из способов его решения может бить ярпблил.т.тим замена бесконечной границы некоторой коночной ее подобласть» Расчеты проводились па сотне, лредстанлявдеЛ собой половину сетки С2 для внутренней задачи.Для КС она состояла из а слоев конечных злемс.нтоп, для МКЭ - из 6, радиус внешней транши расчетной области в 3.3 раза больае.чем для КС. Относительна'! погрешность составляет 15-20% для КС и 40-50$ для MKU.Преимущество КС о данном случае очевидно даже с учетом того,что замена бесконечной области интегрирования сравнительно небольшой ее частью вносит дополнательнуи погрешность. Ввиду того, что решение Еуесин&ска широко используется при расчесе совместной работы сооружений с основания»!, прнмиитшэ КС н такта задачах представляется целесообразны?,4.

В третьей главе исследуется сходимость итерационного процесса КС я случае порпоя С S'S¡ ) я второй ( ,5 -\S¿ ) (см. условия (5!)) кроешх задач. Чод&мшш '.жснерижштши.риоуль

тати которых приведены в глава 2, .установлено, что при некоторых размерах расчетной области fío не удается достигнут! численной сходимости во второй краевой задаче. В то же время сходимость КС для задачи Дирихле для уравнения Лапласа, аналогичной второй краевой задаче теории упругости, теоретически доказана в литературе.

✓ Показано, что задача определения решения граничного интегрального уравнения, в которое переходит формула (I) при

5 So является некорректной, т.к. это уравнение Фрод-гольмо первого рода. КС может интерпретироваться как итерационный метод решения граничных интегральных уравнений. Имею щиеся в литературе оценки скорости его сходимости имеют вид ЦК tfi^ где С - константа, a f<- некоторая функ-

ция, зависящая от геометрии расчетной области Í1 , причем BlW10» i™ теоретическая скорость сходимости при Sg-^S должна существенно замедляться. При атом возрастает влияние погрешности численной реализации метода ( погрешности дискретизация, квадратурных формул и др.), которые для второй краевой задачи усугубляются ошибками численного дифференцирования. Накопление погрешности "раскачивает" итерационный процесс и при достаточно малых размерах области fíe может привести к ого расходимости.

С физической точки зрения это можно щхишгострировать следующим образом. Вшеючопиэ в расчет слишком малой по сравнению с Si области Sí-о , па вспомогательной границе So которой задастся нулевые перемещения, приводит к значительному завышению реактивных усилий на поверхности S , где заданы пере-мещетш Ь . Определяемые затем но ним па границе So перемещения могут превзойти л , что на следующем шаге даст изменение направления реактивных усилий по сравнению с истинным. Первоначальным. Через несколько шагав это приведет к расходимости итерационного процесса.

Изложенные закономерности исследуются на примере решения КС первой и второй краевых задач в одномерном случае. Для иллюстрации неблагоприятных свойств второй краевой задачи рассматривается также итерационный процесс, сходный с КС, но не яаюльгующиЯ формулу (I), для плоской и пространственной за-

,ач теории упругости. Розультати, полученные теоретически д.дн тот процесса, аналогичны численным результатам КС,приведен~ им во 2 главе.

Отмечается, что в случае применения КС для решили шо-юЯ краевой задачи теории упругости, следует особегшо внимательно подходить к выбору размера расчетной облаем! 510 [еобходимо учесть тенденцию к замедлении сходимости при его 'меньшении.Но в то же время его неоправданное увеличение» спишет эффект от применения КО. Показано,что соотношения харак-?ершх размеров областей ft а Яо ( например, радиусов границ S и So ) Ко /Я = <1.4 - 0.5 для внутрошшх областей и Re/R - . [.6-2 для внешних областей является оптимальными для рас-:мотренного'класса задач..

В четвертой главе излагается вариант КС, который может 1рименяться для решения краевых задач в неоднородных областях

Пусть область ii. неоднородна, Предполагается, что можно звдшглть в ней подобласть .ограниченную замкнутой поверхности) L , внутри которой заключены все неоднородности, существенно. влияющие на нанряжедао-деформированной состояние изучаемого объекта.В однородной области il|, выбирается поверхность 5о , я рассматривается область 51 о , ограниченная поверхностями £ н So ( см.рис.2 ).

На поверхности So задается пулевое приблиаымй И<с> , и в области Sic МКЭ решается краевая задача (см. I-u(i шэг алгоритма КС). Применить Формулу (I) для вычисления значений на поверхности S через значения перемещений и усилий uuSj нельзя,поскольку для этого требуется однородность области Поэтому интегрирование в формуле (D провидится по поверхности L (область ilt, однородна). На а ем шаге в области fto МКЭ вновь решается краевая задача , я находаген второе приближение Ы1 1 для вектора перемещений на поверхности L и т.д. Изложенный алгоритм назовем двухконтуршм вариантом КС (КС.Ч).

Значения перемещений и усилий на поверхности L .иегкш. зуение при вычислениях по формуле (1). теперь ка.аднй раз находятся МКЭ приближенно, и то врс-.мя как ранее часть из гиг зидшкшхч. граничными условачки (2). Поэтому слодует 6c>Jiuo тщатолмю и'.дходать к диекримзпцни области на коночный ало-

мэнти, чтобы снизить погрешность МКЭ.

Следует также отмотать изменения, которые вносит в чис-лепчую реализацию то, что точки поверхности интегрирования являются внутренними. Это требует выделения и хранения строк матрицы жесткости подобласти Sit » необходимых для вычисления узловых усилий в формуле (4).

Описываются модельные задачи, имеющие аналитическое решите, на которых тестировался алгоритм КС2. Рассматриваются внешняя и внутренняя задачи для упругих областей, ограниченных «¡ярой, содержащих два разнородных материала, под действием равномерного давления. Численные результаты имеют такой же характер, как и приведенные в главе 2. Так, точность результатов МКЭ и КС2 сравнима,при атом включаемая в расчет область в случае внешней задачи, а значит и количество неизвестных, для КС2 меньше, что обусловливает сокращение времени счета в несколько раз. Это показывает, что применение КС2 для решения задач в неоднородных областях принципиально возможно, а лпя внешних задач более эффективно, чем МКЭ.

ß пятой глава приводится краткое описание программы рейвом, написанной для персонального компьютера типа ibm f>c на языке Си, и результаты решопил с ее помощью практических задач.

Описывается исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности цилиндрической выработки, находящейся на границе двух разнородных слоев в глубине горного массива (камеры подземного газохранилища). Задача решается по алгоритму КС2 и для сравнения по алгоритму МКЭ.Изучается влияние на результаты соотношения модулей Юнга и Ед и положения границы слоен относительно контура выработки. Отдельно рассматривается вопрос о выборе осродненного модуля Юнга для области iüt, , материал которой в соответствии с алгоритмом КС2 должен быть однородным.

Показано,что напряжения, создаваемые заданным внутренним давлением, сшгаам уровень сжимающих напряжений,вызванных естественным напряженным состоянием от веса вышележащих породим* толп на контуре выработки па 40-Б0Ж. Однако дальнейшее увеличение внутреннего давления нежелательно, поскольку мокот

ршести к появлению зон растягивающих иьнрааюнлй. В чо ко ¡реня и уменьшений его шгао продела <|е , соответствующего 'рашчной точке уравнения равновесных состояния крушено риз >ушения по модели Ю.М.Либермана, приведет к нарушению на кон •уре выработки условия прочности. Таким образом, установлен ттервал, в котором должны лежать значения внутреннего дяшго-мя ^ .определяющийся глубиной Н , па которой находится вп-тбптка, и пределом прочности на сжатие окружшжда ее порой. Следует отметить, что в саду условности назначения пролила фочности пород в массиве .зависящего от коэМициепта структур юго ослабления, данную оценку следует рассматривать только сак предарнтельнуп. Устанавливаются также граничные значения юремещепий боковой поверхности выработки У* , соответствугадо 1ереходу к деформациям за пределом упругости по модели Ю.М.Ли-Зермяяа, связанные с давлением (|е • Соотношение напряжений а адремещепий в точках, находящихся в разных слоях, в частности, шжнего и верхнего оснований выработки, близко к отлсшепи» модулей Юнга л [.¿этих слоев. Влияние положения границы слоев на эти соотношения виражено слабо.

Показано, что все основные вывода о деформации ш-'раоотан как качественного, так и количественного характера, тогут пить сделаны по расчету КС2. Отличие его дашшх от данных !.КЭ но превышает 15-20'?, а количество неизвестных и время расчета меньше соответственно в 4 и 3 раза.

Исследовалось также дапрялжшю-деформарованное состояние толстостенной цилиндрической подземной камеры под действием сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке тшшго основания, моделирующей воздействие веса массивного оборудования, площадь опоры которого мола по сравнению с площадью пола камеры. В целом можно отметить,что в данном случае деформация локализована вблизи места приложения нагрузки и практически не приводит Й перемещениям стенок камеру и верхнего основания. Наибольшие перемещения и напряжения имеют место, когда сила приложена в центре, а с. зе удалением от центра га уровень снижается.

Отмечается .'«ЭДоктивпость применения КО для проведения лрпкпгоскпк ¡гигчмм и его преимущества по сртншю с МКЗ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Применительно к решению пространственных задач теории упругости рассмотрен вариант комбинированного способа (КС) основанный на сочетании алгоритмов МКЭ и формулы Сомильяны. Способ позволяет проводить дискретизацию по алгоритму МКЭ не во всей расчетной области, а лишь в ее части, на границе которой значения искомой функции находятся итерационным путем с использованием формулы Сомильяны. Такое усечониэ расчетной области оказывается-особенно эффективным для бесконечных областей и позволяет значительно снизить вычислительные затраты.

2. Проведено исследование численной сходимости итерационного процесса КС в случае различных типов граничных условий для внутренних и внешних задач.Для второй краевой задачи в силу ее математических свойств не удается достигнуть численной сходимости при уменьшении размеров расчетной области ниже определенного продола. В то же время неоправданное увеличение размера расчетной области снижает эффективность КС. Для ряда задач приводятся сведения об оптимальных размерах расчетной области, даются рекомендации по их выбору. Так, например, для задач, где одна из границ ( например, $0) является скорой, отношение характерного размера поверхности 5 к радиусу этой сферы Я с должно лежать в пределах 0.4-0.5 для внутренних и 1.6-2.0 для внешних задач.

3. Для пространственных задач в областях, содержащих неоднородности, рассмотрен и реализован двухконтурный вариант алгоритма КС (КС2). Поскольку формула Сомильяны предполагает однородность расчетной области, непосредственное применение КС в неоднородных областях невозможно.Это ограничение преодолевается путем выделения в расчетной области подобласти, заклинающей в себе все неоднородности. Тогда интегрирование в формуле Сомильяны проводится по границе этой подобласти Ь ( второму контуру ). Это требует дополнительных вычислительных затрат при

реализации, связанннх, в частности, с тем, что усилии и пере-нещения на контуре L на каждом шаге итерационного процесса цолжни определяться численно. Несмотря по зто,преимущества КС, связанные с уменьшением размера расчетной области по сравпе-щю с МКЭ, сохраняются.

I. Выполнены числешшо ислвдования разработанных алгоритмов КО i КС2 на ряде модельных задач. Проведено сравнение с результатами МКЭ и точными решения?«!. Результаты численных исследова-гай подтверждают эффективность предложенного метода. >. Разработана программа для персональной ОБ!,! на языке Си для зешвния КС пространственной задачи теории упругости. Предусмо-грены средства ускорения обмена с жестким диском, на котором гранятся файлы данных ввиду их большого обгема в случае про-;транственной задачи. Программа содержит генераторы сеток для ;тандартных областей ( прямоугольный параллелепипед, шар, цл-шндр ).

С помощью созданной программы проведено исследование папря-¡енпо-деформировашюго состояния в геологически неоднородном гассиве вокруг камеры подземного газохранилища. Установлен штервал.в котором долим находиться значения внутреннего дав-гания для того, чтобы оно оказывало стобилизирущее дейстюю m устойчивость выработки и не приводило к появлению зон рас-■ягивамцих напряжений. Получена зависимость относительшх сме-[ений верхнего и нижнего оснований выработки от соотношения юдулей Юнга пород, па границе которых находится выработка.

Определялось такяе напря;ганно-деформировапнре состояний ■олстостенной подзешой камеры от установки н ней массивного >борудования в разных точках нижнего основания. Отмечается, :то напряжения и.перемещения принимают наибольшие значепия при С5ановке оборудования в центре основания.

Показано, что применение КСЯ дяя практических расчетов i большинстве случаов дает снижение вычислительных затрат по равнении с МКЭ,зачастую значительное, при получении српвга-ш по точности результатов.

Основные результаты дяссортации опубликованы в следующих

работах:

1. Евдокимов Б.(Л., Чернышева Н.В. О решении комбинированны» способом первой краевой задачи теории упругости.- Деп. I ВИНИТИ, 1903, N 1306 - ВИЗ.- 14 с.

2. Евдокимов Б.М., Ч&р1шшова Н.В. Пространственные расчет! сооружений континенталыюх-о шельфа с учетом работы бесконечного оснонапия.- 1-я международная конференция "Освоение арктического шельфа Госспгл": Ашютацни докладов,- СПб., 1993. -с.212.

3. Чернышева Н.В. О применении комбинированного способа 1 решению внутренней крзовой задачи теории упругости для шара. Деп.в ВИНИТИ. 1993, н 919 - В93.- 10 с.

¡Ьптсано к инчяти 16.03,34, Тираж 100 экз.

Пнказ / 42. Бесплатно

Отпечатано на ротапринте СИбГТУ:

19;')2Г>1, С.-Петербург, Политехническая ул., 29