автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Решение обратных задач прочности тонкостенных конструкций градиентным методом с привлечением сопряженных систем уравнений

На правах рукописи

003469518

ВАЛИТОВА Наталья Львовна

РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРОЧНОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ГРАДИЕНТНЫМ МЕТОДОМ С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ СОПРЯЖЕННЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

05.07.03 - прочность и тепловые режимы летательных аппаратов; 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань 2009

003469518

Работа выполнена в ГОУ ВПО Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Костин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Данилаев Петр Григорьевич

Защита состоится 28 мая 2009 года в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.05 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, 10 (e-mail: kai@kstu-kai.ru, сайт: http://www.kai.ru).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан 27 апреля 2009 г. Ученый секретарь

кандидат технических наук, Шувалов Владимир Александрович

Ведущая организация: Казанский филиал конструкторского бюро

ОАО «Туполев»

диссертационного совета

Снигирев В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В области прочности летательных аппаратов в настоящее время по-прежнему остаются актуальными вопросы, связанные с определением диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций. Эти диаграммы могут быть известны, но получены в результате испытания образцов на простые виды нагрузок. Прочностные же свойства материалов элементов реальных тонкостенных конструкций могут отличаться от свойств образцов, вследствие того, что элементы реальных тонкостенных конструкций как с точки зрения закрепления, так и нагружения, работают в более сложных условиях. Кроме того, имеющиеся диаграммы могут быть несколько «идеализированными» (без упрочнения, с линейным упрочнением и ДР-)-

Таким образом,. возникает вопрос о разработке методики построения диаграмм деформирования не для образцов, а для элементов реальных авиаконструкций.

Указанная задача относится к классу обратных задач. Одним из эффективных методов решения обратных задач является градиентный метод с привлечением уравнений сопряженного состояния.

Цель работы. Целью данной работы является разработка расчетно-экспериментального метода, алгоритмов и программного обеспечения для анализа свойств и оценивания состояния тонкостенных каркасированных конструкций.

Задачи работы. 1. Разработка алгоритма решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций в экстремальной постановке.

2. Разработка программного обеспечения в специализированных системах компьютерной математики для решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций.

3. Апробация разработанных алгоритма и программного обеспечения при решении прикладных задач с реальными исходными данными.

Методы исследования. При выполнении разработки применены: математическая теория вариационного исчисления, метод наименьших

квадратов, метод неопределенных множителей Лагранжа, градиентный метод для минимизации функционала качества, метод интегрирующих матриц для численного решения системы дифференциальных уравнений, метод редукционных коэффициентов В.Н. Беляева для решения прямых задач прочности в нелинейной постановке. В качестве математической модели была выбрана система дифференциальных уравнений равновесия тонкостенной конструкции типа крыла, фюзеляжа Ю.Г. Одинокова.

Научная новизна. Развитие экстремальных методов решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций. Создание алгоритмов и программного обеспечения для решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций с различным видом нагружения.

Положения, выносимые на защиту. В диссертации выносятся на защиту следующие основные положения:

1. Метод и алгоритм решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций в экстремальной постановке.

2. Функционал цели, обеспечивающий минимум квадрата невязки осевых деформаций (теоретических и экспериментальных), а также выполнение условия равновесия каждого ребра и прилегающих к нему панелей обшивки.

3. Применение вспомогательной системы линейных уравнений, сопряженной к исходным нелинейным уравнениям равновесия, упрощающее поиск градиента целевого функционала.

4. Использование различных компьютерных систем для решения поставленной задачи.

Практическая ценность. Предлагаемая методика может быть использована для уточнения физико-механических параметров конструкции по данным натурного прочностного эксперимента. Для решения задачи создано программное обеспечение в специализированных системах компьютерной математики: МаЙаЬ, МаШсас!. На его базе может быть создан комплекс

программ для восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций.

Апробация работы. Основные пункты диссертационной работы докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), в КГТУ им. А.Н. Туполева на XIII и XIV Туполевских чтениях (Казань, 2005 и 2006 г.г.), в НГТУ на VII Всероссийской научно-технической конференции (Новосибирск, 2006 г.), на VIII Королевских чтениях (Самара, 2005 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 2 статьи и 4 тезиса докладов.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений, списка литературы. Материал изложен на 150 страницах, включая 5 таблиц, 20 рисунков и список литературы из 103 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор научной литературы, посвященный данной проблеме, рассматриваются основные проблемы решения обратных задач применительно к области прочности конструкций JIA..

В первой главе в первом разделе дается общая постановка задачи восстановления переменных параметров упругости материалов тонкостенных конструкций.

Во втором разделе дается понятие прямых и обратных задач, в том числе обратных задач прочности летательных аппаратов, рассматриваются возможные типы обратных задач. Отмечается математическая особенность обратных задач - некорректность по Ж. Адамару.

Обратные задачи прочности летательных аппаратов делятся на два основных типа. В первом случае при известных из эксперимента напряженно-деформированном состоянии конструкции и физико-механических параметрах конструкции необходимо найти нагрузки, вызвавшие это напряженно-

деформированное состояние. Во втором случае известны нагрузки и напряженно-деформированное состояние и, решая обратную задачу, можно уточнить физико-механические параметры конструкции, например, распределение жесткостей, масс, изменения модуля упругости или сдвига.

В третьем разделе проводится обзор методов решения обратных задач. Эффективной является постановка обратной задачи как задачи оптимального управления. Использование при решении так называемых сопряженных систем уравнений позволяет значительно сократить вычислительные и временные ресурсы.

Во второй главе рассматривается математическая модель Ю.Г. Одинокова, используемая для описания поведения тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и других, имеющих продольный и поперечный силовой набор, для которых существенны явления поперечного сдвига и депланации сечений. Силовая схема конструкции состоит из сетки ребер жесткости (с присоединенными к ним полосками обшивки), работающей на нормальные напряжения, и обшивки контура (в том числе стенки лонжеронов), воспринимающей сдвиги (рис. 1).

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих искажения конструкции постоянного сечения, имеет вид:

Здесь п — количество ребер в конструкции; ^ - перемещение 1-го ребра; // - деформация 1-го ребра, Е1 - модуль упругости материала 1-го ребра, ^ -площадь поперечного сечения 1-го ребра.

Коэффициенты ал (г = 1 ,н; к = зависящие от модуля сдвига в в панелях и коэффициенты (¿ = 1 ,и), являющиеся нагрузочными членами, определяются по формулам:

где Х,„|1( - коэффициенты, характеризующие работу обшивки на сдвиг.

Краевые условия системы дифференциальных уравнений (1) определяются в зависимости от способа заделки и загрузки конструкции. Например, если сечение г=0 жестко закреплено, а сечение загружено осевыми силами Р„ то краевые условия имеют вид:

Модель Ю.Г. Одинокова не учитывает того, что некоторые панели выпучиваются при сдвиге. В этом случае следует рассматривать некоторый условный модуль сдвига.

В третьем разделе приводится математическая постановка обратной задачи как задачи оптимального управления.

Дано:

1) геометрия конструкции, прочностные характеристики материалов ребер жесткости и панелей обшивки;

2) внешняя нагрузка, прикладываемая к конструкции;

3) перемещения и деформации ребер, полученные в ходе эксперимента.

Требуется минимизировать функционал

"л - "/* £0 дО '

ЛЛ мл.

(2)

J{a,ß,f) 4Ê jU' - fil dz + Ijv, )gk\a,ß)dz ^^ min (3)

Z *=l о 1 0

при условии, что a, ß, f удовлетворяют уравнениям равновесия (1)-(2), записанным в матричном виде:

-(С(а,/'))' + Лф,/) = 0, 0 < z < /;

C(a,f')-P = 0, z = /; (4)

/ = 0, г = 0.

Функционал цели, минимум которого необходимо достичь за счет выбора управляющих параметров а и ß, обеспечивает минимум квадрата невязки осевых деформаций (теоретических и экспериментальных), а также, за счет gt, выполнение условия равновесия каждого ребра и прилегающих к нему панелей обшивки.

В формуле (3) rk = const > 0 - параметры штрафа за нарушение условий равновесия fc-ro ребра: gt(a,ß)=0, где g* определяются по формуле:

gt(a,ß) = Fk ■(£,(«,//)• 7/)' +Kfik{ß,f)-KMGM{ß,f)+P^ {g4 = Gj (ß, / )}- семейство зависимостей модуля сдвига от управляющих параметров и экспериментально найденных перемещений;

ôt

Величины fk и их производные (согласно п.З исходных данных), помеченные волной, предполагаются известными из эксперимента, т.е. заданными величинами при минимизации функционала цели.

/ = (/i>/2>—>/л) - вектор перемещений продольных силовых элементов (стрингеров, полок лонжеронов), п - количество продольных силовых элементов, С(а/') - вектор-функция от г с координатами по контуру оболочки:

с(а,/'),. = //)./;, f;A

dz

Аф/) - вектор-функция от z с координатами по контуру оболочки:

ы

a(l - коэффициент, характеризующий работу обшивки на сдвиг; d = (d¡,d2,...,dn)- вектор внешних сил.

Предполагается, что продольные силовые элементы с присоединенной обшивкой работают на нормальные напряжения при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, которая представляется в следующем виде:

о, =£,-//, Е,=К,- |/р, где К, - константа, характеризующая упругие свойства материала при работе на растяжение-сжатие (модуль упругости I рода); а = (а,,а2,...,а„) - вектор

управляющих параметров, задающий семейство зависимостей Е от f, а е Ua -допустимое множество.

Для обшивки также принимается нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями

т,=в,- у„

сЧад,...,сЛ G=G(/,p)

Здесь K¡ - константа, характеризующая упругие свойства материала при работе на сдвиг (модуль упругости II рода);0 = (p,,[32,...,p„) - вектор

управляющих параметров, задающий семейство зависимостей G от/, Ре1/р -допустимое множество, m - количество панелей обшивки в сечении.

На параметры аир накладываются ограничения, исходя из реального хода диаграмм деформирования материалов в осях а-е и т-у.

Во второй главе описывается подход к решению поставленной задачи. Задача условной минимизации (3)-(4) сводится к безусловной с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Полученную задачу предлагается решать градиентным методом с использованием сопряженных систем уравнений для нахождения градиентов функционала. Уравнения сопряженного состояния, выведенные из исходной системы (4), имеют вид:

= 0 <г<1;

+ Ф = 0, 2 = /;

Х = 0, г = 0.

где С'^ - диагональная матрица с /-м диагональным элементом, равным:

(с> ),=*; .\е, (лО+^/Д

- матрица с (1,/)-м элементом, равным

(4Ху = *,(/)+¿¿-'МЛ • Л + ¿Ч(/);

(л^-)' - матрица, транспонированная к Ау,

ф = /; - 7; = при г = /;

^=-(/;-7;)гпРио<2</.

Ря<р получены из вариации в предположении, что значения / и

производных/1 во втором слагаемом У, отвечающем за равновесие отдельных стрингеров и прилегающей обшивки, являются фиксированными.

В четвертом разделе подробно описываются уравнения сопряженного состояния и приводится полный вывод формул для вычисления матриц коэффициентов при неизвестных.

В пятом разделе содержится вывод формул для нахождения градиентов целевого функционала. Эффективный по скорости вычислений и точности метод расчета У основывается на использовании решения сопряженной задачи Л2 по формулам:

(г) -С'аХ'х+ (г) - вектор-функция размерности т;

Ур (г) = (Лр )* ^ + Ур (г) - вектор-функция размерности л;

Здесь Уа{г) и - вариации функционала цели;

- дЕ-,

С„ - матрица размерности пхт с элементами /*, —;

Ар - матрица размерности пх5 с элементами >

(л'р)' - матрица, сопряженная (транспонированная) к А'р.

В шестом разделе приводится алгоритм решения задачи восстановления диаграмм деформирования.

В седьмом разделе содержатся рекомендации по выбору начального приближения искомых параметров с использованием диаграмм деформирования образцов.

В третьей главе проводится обзор компьютерных систем для численного решения обратных задач, а также решение задачи восстановления диаграмм деформирования для различных конструкций с различным видом нагружения. Для численного решения систем дифференциальных уравнений (Ю.Г. Оди-нокова, сопряженных систем) используется метод интегрирующих матриц.

На основе анализа различных компьютерных систем для математических и инженерных расчетов был сделан выбор в пользу двух систем: Ма&сас! и МаЙаЬ. Основное преимущество МаЛсаё в том, что запись команд в системе Ма&са<1 на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач. Однако для организации сложных алгоритмов следует отдать предпочтение системе МаОаЬ, которая является высокоэффективным средством для решения широкого спектра вычислительных задач и моделирования сложных процессов.

В системе МаШсас! была решена задача восстановления параметров упругости ребер квадратного кессона с осевой нагрузкой на два противоположных ребра (рис. 2). Описание решения и результаты представлены в разделе 3.2.

С помощью разработанного комплекса был произведен расчет при следующих исходных данных: длина кессона 1-1 м; ширина панели 5=0.15 м; площадь поперечного сечения ребра ^=0.0003 м2; толщина панели 5=0,001 м (для всех панелей).

Для получения экспериментальных значений деформаций и перемещений

ребер была решена прямая задача с применением метода переменных параметров упругости В.Н. Беляева. Расчет был произведен при уровне нагрузки Р=80000 Н. При заданном уровне и виде нагрузки касательные напряжения обшивки конструкции. находятся в линейной зоне заданной диаграммы деформирования. А для ребер происходит выход за пределы

Рис. 2. Квадратный кессон с осевой нагрузкой на противоположные ребра Полученные значения использовались в качестве исходных данных для решения обратной задачи. Значения параметра а в начальном приближении задавались по диаграмме без упрочнения. В процессе решения обратной задачи параметр а уточнялся. В таблице 1 приведены значения параметра а в начальном и в последнем приближении.

Таблица 1

Значения параметра а

Сечение z, см ' Значение а в первом приближении Значение а в последнем приближении

Ребро 1 Ребро 2 Ребро 1 Ребро 2

0 0 0 0 0

10 0 0 0 0

20 0 0 0 0

30 0 0 0 0

40 0 0 0,00001 -0,00001

50 0 0 0,00003 -0,00003

60 0 0 0,00016 -0,00016

70 0 0 0,00062 -0,00063

80 0,17667 0 0,14554 -0,00217

90 0,10049 0 0,07836 -0,00075

100 0,059306 0 0,04485 0

С помощью созданного пакета документов МаЙ1сас1, реализующего методику, описанную во второй главе, были получены значения искомых значений модулей упругости и напряжений ребер (рис. 3).

Значение целевого функционала в первом приближении составило 1,3П-Ю"4. В процессе минимизации произошло 7 итераций, и на седьмой итерации значение целевого функционала снизилось до 7,742-10'10. График изменения целевого функционала по итерациям представлен на рис. 4.

300

250 200

га С

2 150 Ь

100 50

°0 0.002 0.004 0.006 0.008 0,01 0.012

е

Рис. 3. Нормальные напряжения ребра 1

Градиенты целевого функционала по параметру а в ребре 1 изменялись согласно графику на рис. 5.

Для оценки чувствительности решения к погрешности исходных данных был произведен расчет с искажениями на 3%, 5% и 7%. Анализ показал, что погрешность решения - того же порядка, что и погрешность исходных данных (рис. б).

1 —■ г

шахе в сеч эткл= О.зе ении г= 70 см —♦----

ч V / О < ) о

/

г

-диаграмма прямой задачи О первое приближение ♦ последнее приближение

хЮ'6

Номер итерации

Рис. 4. График изменения целевого функционала по итерациям {

Рис. 5. Градиенты целевого функционала по параметру а в ребре 1

250

200

03

С

150

100

50

♦

| шах откл = 8.46%. 1 в сечении г= 60 см|

\ у /о э о

V*

-диаграмма прямой задачи о первое приближение ♦ последнее приближение

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Е

Рис. 6. Нормальные напряжения ребра 1 при искажении исходных данных на 7%

В системе МаЛсас! была решена задача восстановление модулей сдвига панелей обшивки четырехпоясного квадратного кессона, нагруженного крутящим моментом (рис. 7).

Рис. 7. Квадратный кессон, нагруженный крутящим моментом С помощью разработанного комплекса был произведен расчет при следующих исходных данных: длина кессона 1=1 м; ширина панели з~0.15 м; площадь поперечного сечения ребра F=0.0003 м2 (для всех ребер); толщина панелей: бо=52=0,001 м; 61=53=0,002 м.

При решении прямой задачи задавались диаграммы деформирования такие же, как и в предыдущей задаче. Расчет был произведен при уровне нагрузки Мг—\00000 Нм. При заданном уровне и виде нагрузки нормальные напряжения ребер конструкции находятся в линейной зоне заданной диаграммы деформирования. А для обшивки происходит выход за пределы линейной зоны. Для получения касательных напряжений при решении прямой задачи применялся метод переменных параметров упругости В.Н. Беляева. Полученные значения использовались в качестве исходных данных для решения обратной задачи.

Значения параметра Р в начальном приближении задавались по диаграмме без упрочнения. В процессе решения обратной задачи параметр Р уточнялся. В таблице 2 приведены значения параметра р в начальном и в последнем приближении.

Таблица 2

Значения параметра р

Сечение 2, см Значение р в первом приближении Значение р в последнем приближении

Панель 1 Панель 2 Панель 1 Панель 2

0 0 0 0 0

10 0 0 0 0

20 0,015030 0 0,009469 0

30 0,034467 0 0,021258 0

40 0,047074 0 0,028690 0

50 0,055304 0 0,033475 0

60 0,060686 0 0,036584 0

70 0,064156 0 0,038583 0

80 0,066298 0 0,039814 0

90 0,067462 0 0,040483 0

100 0,067836 0 0,040698 0

По значениям параметра р были рассчитаны значения искомых модулей сдвига и касательных напряжений панелей обшивки (рис. 8).

Значение целевого функционала в первом приближении составило 8,95-10'8. В процессе минимизации произошла 31 итерация, на которой значение целевого функционала снизилось до 1,18-Ю"23. График изменения целевого функционала по итерациям представлен на рис. 9.

250

_!тахоткп= 0.00%

200

га С

150

100

50

О с

-диаграмма прямой задачи

О первое приближение ♦ последнее приближение

0.005

0.01 У

0.015

Рис. 8. Касательных напряжения панели 1

0.02

3" ьг

X >»

■8-

к го со ш с;

ш И

хЮ

49е-008

\

\

\ 5.301е-0 08

\ 1.183е-о; 3!

Л 16 50е-008 < |

•

9.367е -009 1

1.039е-00? 4-

Рис.

5 10 15 20 25 30 35

Номер итерации

9. График изменения целевой функции по итерациям

Рис. 10. Градиент целевой функции по параметру р для панели 1

Рис. 11. Касательных напряжения панели 1 при искажении исходных данных на 3%

Градиенты целевого функционала по параметру (3 в панели 1 изменялись согласно графику на рис. 10.

Для оценки чувствительности решения к погрешности исходных данных был произведен расчет с искажениями на 1%, 3% и 5%. Анализ показал, что погрешность решения - того же порядка, что и погрешность исходных данных (рис.11).

В системе МаЙаЬ была решена задача восстановления модулей упругости ребер слабоконического кессона, нагруженного изгибающей силой (раздел 3.4).

Итак, имеется слабоконический кессон, один конец которого жестко закреплен, а к другому приложена поперечная нагрузка (}у= 2697 Н (рис. 12). Продольный набор кессона выполнен из прессованных профилей марки Д16Т: лонжероны - ПР101-41, стрингеры - ПР100-4, обшив ка - из листа Д16Т толщиной 2 мм. Ребра жесткости пронумерованы от 0 до 13 по часовой стрелке. Номера некоторых ребер указаны на рисунке жирным шрифтом. Ребра 0, 6, 7, 13 являются лонжеронами, остальные — стрингерами. Габаритные размеры кессона на рисунке указаны в миллиметрах.

Рис. 12. Слабоконический кессон с приложенной изгибающей силой В данном случае градиентный метод давал медленную сходимость и для решения задачи пришлось реализовать эвристический овражный метод. Проведя 36 итераций, нам удалось снизить функционал цели до 4,58-10"8.

Результаты решения для ребер 1 (сжатая зона) и 13 (растянутая зона) приведены в таблице 3.

Таблица 3

Восстановленные значения теоретических деформаций

и параметра а для ребер 1 и 13

Номер сечения Деформации Параметр а

экспериментальные теоретические

ребро 1 ребро 13 ребро 1 ребро 13 ребро 1 ребро 13

0 -0,0176 0,0187 -0,0177 0,0187 0,3039 0,3280

1 -0,0160 0,0156 -0,0160 0,0156 0,2842 0,2493

2 -0,0131 0,0135 -0,0131 0,0135 0,2285 0,1948

3 -0,0114 0,0111 -0,0113 0,0111 0,1904 0,1348

4 -0,0092 0,0093 -0,0091 0,0093 0,1357 0,0913

5 -0,0076 0,0075 -0,0076 0,0075 0,0808 0,0515

6 -0,0056 0,0056 -0,0056 0,0057 0,0190 0,0232

7 -0,0044 0,0044 -0,0044 0,0044 0,0078 0,0337

8 -0,0029 0,0029 -0,0029 0,0029 0,0049 0,0339

9 -0,0015 0,0014 -0,0014 0,0014 0,0031 0,0155

10 0 0 0 0 0 0

В приведенной таблице сечение 0 соответствует закрепленному концу кессона, сечение 10 - свободному. Экспериментальные деформации, рассчитаны при решении прямой задачи; деформации теоретические и параметр а - обратной. По таблице построены соответствующие диаграммы (рис. 13,14).

Рис. 13. Диаграммы прямая Рис. 14. Диаграммы прямая

и восстановленная для ребра 1 и восстановленная для ребра 13

Пунктирными линиями указаны диаграммы, заложенные при решении прямой задачи, сплошными - полученные в результате решения обратной.

Сравнительный анализ диаграмм деформирования, заданных при решении прямой задачи и полученных при решении обратной задачи позволяет сделать вывод о работоспособности предложенной методики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан оптимизационный подход к решению обратных задач прочности тонкостенных конструкций.

2. Применен градиентный метод к решению обратных задач прочности тонкостенных конструкций в экстремальной постановке. Градиенты целевого функционала вычисляются с использованием решения сопряженной системы уравнений.

3. Выведены формулы для вычисления коэффициентов сопряженных уравнений и градиентов целевого функционала.

4. Для решения прикладных задач создано программное обеспечение в специализированных системах компьютерной математики: Matlab, Mathcad.

5. Численно решены прикладные задачи для различных конструкций с различным видом внешнего нагружения.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

В научных журналах, рекомендованных ВАК:

1 .Костин В.А., Валитова H.JI. О коэффициентах уравнений равновесия при решении задачи восстановления диаграмм деформирования для слабоконических тонкостенных конструкций // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 2007. №3, С.8-11.

В других журналах и материалах научных конференций:

2. Костин В.А., Валитова H.JI. О методе решения нелинейной обратной задачи прочности тонкостенной конструкции с помощью сопряженных систем. // Труды VII Всероссийской научно-технической конференции «Наука. Промышленность. Оборона». Новосибирск: НГТУ, 2006 г., С.227-231.

3. Вапитова Н.Л. Решение обратной задачи прочности для квадратного кессона. - Тезисы докладов всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». Самара: Изд-во СГАУ им. ак. С.П. Королева, 2005 г., С.83.

4. Вапитова H.JI. К расчету кессона за пределом пропорциональности. -Международная молодежная научная конференция, посвященная 1000-летию города Казани. Тезисы докладов XIII Туполевских чтений. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2005 г., С.16-17.

5. Костин В.А., Вапитова Н.Л. Решение обратной задачи прочности для кессона тонкостенной конструкции. IX всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, T.III. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 2006 г., С. 53.

6. Вапитова Н.Л. О выборе начального приближения параметров при решении задачи восстановления параметров упругости элементов тонкостенной конструкции. Международная молодежная научная конференция. Тезисы докладов XIV Туполевских чтений. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2006 г., С. 28-30.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Усл. печ. л. 1,16. Усл. кр. отт. 1,16. Уч.-изд.л. 1,0. _Тираж 100. Заказ М 120._

Типография Издательства Казанского государственного технического университета. 420111 Казань, К.Маркса, 10

Введение

Глава 1. Анализ обратных задач прочности тонкостенных конструкций и методов их решений

1.1. Общая постановка задачи.

1.2. Обзор класса обратных задач.

1.2.1. Общая характеристика обратных задач.

1.2.2. Обратные задачи прочности тонкостенных конструкций.

1.2.3. Обратные задачи прочности летательных аппаратов.

1.3. Обзор методов решения обратных задач.

1.3.1. Метод наименьших квадратов Гаусса.

1.3.2. Метод псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.

1.3.3. Метод регуляризации Тихонова.

1.3.4. Метод оппшальпой фильчрации Калмана-Бьюси.

1.3.5. Метод опшмальной линейной филырации Винера.

1.4. О пользе сопряженных систем.

1.5. Выводы главы

Глава 2. Математическая модель задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций

2.1. Общая характеристика подхода.

2.2. Математическая модель Ю.Г. Одинокова.

2.3. Математическая постановка задачи.

2.4. Уравнения сопряженного состояния.

2.4.1. Вывод формул для вычисления элементов матрицы C'j.

2.4.2. Вывод формул для вычисления элементов матрицы (a'j- )

2.4.3. Вывод формул для вычисления производных——, —. да ЭР

2.4.4. Вывод формул для вычисления производных ——. j df,

2.4.5. Алгоритм вычисления элементов матрицы

2.5. Вычисление градиентов целевого функционала.

2.5.1. Вывод формул для вычисления элементов матрицы С'а .<

2.5.2. Вывод формул для вычисления элементов матрицы уА'в ) .{

2.5.3. Вывод формул для вычисления 1радиентов J'a.7]

2.5.4. Вывод формул для вычисления градиентов Jр

2.6. Алгоритм решения задачи.

2.2. Выбор начального приближения параметров.

Выводы главы 2.

Глава 3. Экспериментальные исследования разработанной методики решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций

3.1. Обзор компьютерных систем для математических и инженерных расчетов.

3.2. Восстановление модулей упругости ребер квадратного кессона с осевым нагружением на противоположные ребра.

3.3. Восстановление модулей сдвига панелей обшивки четырехпоясного квадратного кессона, нагруженного крутящим моментом.

3.4. Восстановление модулей упругости ребер слабоконического кессона, нагруженного изгибающей силой.

Выводы главы 3.

В области прочности летательных аппаратов в настоящее время по-прежнему остаются актуальными вопросы, связанные с определением диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций. При проведении прочностных расчетов в авиастроении требуется знание диаграмм деформирования используемых в конструкции материалов. Эти диаграммы могут быть известны, но получены в результате испытания образцов на простые виды нагрузок. Прочностные же свойства материалов элементов реальных тонкостенных конструкций могут отличаться от свойств образцов, вследствие того, что элементы реальных тонкостенных конструкций как с точки зрения закрепления, так и нагружения, работают в более сложных условиях. Кроме того, имеющиеся диаграммы могут быть несколько «идеализированными» (без упрочнения, с линейным упрочнением и др.). Особенно важным является вопрос идентификации диаграмм деформирования композитных материалов, так как известно существенное влияние на механические свойства композитного материала технологических факторов при изготовлении изделий и элементов конструкций [39, 75, 76]. Однако определение характеристик остается актуальным и для «традиционных» материалов - изотропных металлов, поскольку в лабораторных образцах возникает, вообще говоря, неоднородное напряженно-деформированное состояние вследствие наличия микродефектов, неточностей изготовления.

Таким образом, возникает вопрос о разработке методики построения диаграмм деформирования не для образцов, а для элементов реальных авиаконструкций.

Указанная задача относится к классу обратных задач. При решении обратных вообще и обратных задач прочности в частности определяются причинные характеристики по результатам измерений их косвенных проявлений. Таким образом, в них нарушается причинно-следственная связь, что делает эти задачи некорректно поставленными. Долгое время вследствие этого обратные задачи считались неподдающимися решению. Только после введения академиком А.Н. Тихоновым понятия условной корректности, а также последующих публикаций его работ и работ В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева [48, 49] и их учеников, появилась возможность решения таких задач. Было предложено большое количество методов решения обратных задач, аналитических и численных, детерминированных и стохастических, а также методов регуляризации решений: методы обращения математической модели и алгоритма решения прямой задачи, методы подбора, квазирешений и квазиобращений и многие другие [3, 6, 7, 22,23,28,38, 50,55,78].

Рассматриваемая автором задача восстановления (уточнения) переменных параметров упругости материалов элементов тонкостенных конструкций является задачей параметрической идентификации. Обычно рассматривают два вида идентификации [39]: структурную и параметрическую. Структурная идентификация - определение структуры модели из физических соображений по какой-либо имеющейся информации об объекте исследования. Параметрическая идентификация -оценка параметров, определяющих заданное (известное) поведение объекта при известной структуре модели.

Впервые необходимость в проведении идентификации возникла в теории управления (см., например, Г.Л. Дегтярев, Т.К. Сиразетдинов [33]).

В настоящее время большое число работ посвящено использованию методов идентификации для решения обратных задач из разных областей практической деятельности. В работе А.Н. Тихонова, В.Д. Кальнера, В.Б. Гласко [79] изложен подход к решению задач, возникающих при моделировании технологических процессов в машиностроении и металлургии. Среди огромного количества работ, посвященных методам решения обратных задач теплопроводности, следует отметить работы О.М. Алифанова, Е.А. Артюхина, П.Н. Вабищевича [1, 2, 3, 4, 7], Ю.М. Мацевитого, С.Ф. Лушпенко [52, 53]. Задачи определения гидропроводности исследовались в работах [30, 32, 89]. В работе B.C. Си-зикова [73] изложен ряд обратных прикладных задач томографии, реконструкции изображений, спектроскопии, диагностики плазмы, обработки сигналов, биофизики.

Методы идентификации широко применяются для определения жесткостных характеристик элементов конструкций или действующих на. конструкции нагрузок (Я.М. Пархомовский [64, 65], Ю.Г. Одиноков, А.Ю. Одиноков [59, 60, 63], В.А. Костин, М.Ю. Торопов, А.П. Снегуренко [44, 45, 46, 47], В.Г. Яхно [94]), для определения условий закрепления элементов конструкций (И.И. Ахатов, A.M. Ахтямов [8]), для определения оптимальных технических характеристик машин (В.А. Касьянов, Е.П. Ударцев [38]). Разработке методов идентификации линейно- и нелинейно-упругих характеристик волокнистых композитных материалов был посвящен ряд работ сотрудников КГАСА (КИСИ): P.A. Каюмов, И.Г. Терегулов, Ю.И. Бутенко, Д.Х. Сафиуллин, К.П. Алексеев [39, 76, 77].

В области прочности авиаконструкций в настоящее время методы идентификации разработаны недостаточно.

Самым простым вариантом решения задачи идентификации является так называемый «одношаговый» (безытерационный) алгоритм, когда интересующие нас параметры находятся непосредственно в ходе решения системы уравнений, куда они входят в качестве неизвестных. Такой подход в решении задач идентификации практически неприемлем, так как задачи идентификации очень чувствительны к точности задания исходных данных. Возникает неустойчивость счета вследствие плохой обусловленности системы разрешающих уравнений. В этом случае можно применять, например, алгоритм сингулярного разложения матрицы. Этот алгоритм обладает повышенной надежностью и заодно вычисляет обусловленность исходной матрицы. Очень хорошие результаты дает также метод наименьших квадратов [3, 80, 93].

Для преодоления неустойчивости в настоящее время известны и хорошо разработаны различные математические алгоритмы регуляризации, позволяющие уменьшить чувствительность задачи и добиться устойчивого счета: методы регуляризации, метод квазирешений, метод квазиобращения (как разновидность метода регуляризации) [2, 3, 4, 22, 50].

Но на практике возможности методов регуляризации оказываются не безграничными. Часто складывается ситуация, когда алгоритм задачи становится устойчивым, а получаемое решение — неприемлемым, так как регуляризация «уводит» решение от априорных оценок, которые можно наложить на искомое решение. Использование методов регуляризации позволяет в рамках определения корректности по А.Н. Тихонову получить устойчивое решение, но не гарантирует его единственности.

Наиболее универсальный вариант решения задачи идентификации -решать ее как задачу оптимизации, то есть на основе имеющейся в распоряжении расчетчика исходной информации подобрать параметры, характеризующую исследуемую систему таким образом, чтобы составленный определенным образом функционал цели достиг своего минимума (максимума) [3, 16, 17, 80]. Необходимым при этом является соблюдение при этом определенных условий (ограничений) для уточняемых параметров и для модели. Функционал цели может быть простым (выражаться одним критерием) и составным (представлять собой свертку нескольких критериев). Характерной особенностью при составлении функционала цели, как правило, является использование принципов метода наименьших квадратов и минимума взвешенного среднеквадратического значения [3, 80, 93].

Экстремальные методы или методы оптимизации отличаются процедурами численного моделирования и поиска минимума функционала невязки, видом этого функционала и формой представления искомых величин. Каждый из перечисленных элементов влияет на эффективность решения обратной задачи. Немаловажным фактором является также выбор процедуры минимизации. Наиболее приемлемыми стали процедуры минимизации, в которых анализируются и учитываются формы функционала невязки. Направление поиска в этих процедурах выбирается либо в результате вычисления производных целевого функционала (градиентные методы), либо путем анализа пройденной траектории спуска к минимуму (поисковые методы).

У поисковых методов меньше скорость сходимости, чем у градиентных. Например, поиск по деформируемому многограннику в 1.2 -1.5 раза медленнее градиентного подхода. Тем не менее поисковые методы часто оказываются предпочтительнее при решении, особенно в тех случаях, когда сложно получить выражения для вычисления градиентов. Кроме того, они более надежны, в них практически исключен выход на «останов», когда минимум еще не достигнут, что часто встречается в градиентном спуске.

В публикациях по градиентным методам оптимизации основное внимание уделяется рациональному выбору стратегии минимизации. Так, компоненты градиента могут рассчитываться по выражениям, полученным с помощью решения прямой краевой задачи, сопряженной в математическом смысле с исходной. В основе метода лежит конструкция, включающая функцию Лагранжа и штрафы за нарушение ограничений. Каждая итерация метода множителей Лагранжа состоит в том, что, зафиксировав вектор множителей Лагранжа и параметр штрафа, проводят безусловную оптимизацию функции Лагранжа по переменным прямой задачи. Результат оптимизации используется для пересчета множителей и, возможно, параметра штрафа. Этот подход к решению обратной задачи подробно описан в главе 2.

Заметим, что системы, описывающие поведение тонкостенной конструкции под действием внешней нагрузки, характеризуются непрерывным изменением параметров упругости в пространстве и описываются дифференциальными уравнениями. Однако численные методы решения задач прочности требуют дискретизации математических моделей этих систем, т.е. замены дифференциальных уравнений алгебраическими. Наибольшее распространение получили методы: конечных разностей (МКР) [38, 70, 71, 88], конечных элементов (МКЭ), конечных сумм (МКС) [87] в форме интегрирующих матриц (МИМ) [24], а также дифференцирующих матриц (МДМ). Основным недостатком МКР является высокая чувствительность к погрешностям. Кроме того, возникает необходимость задавать фиктивные точки за пределами конструкции. Метод дифференцирующих матриц можно назвать матричным аналогом МКР, и ему соответственно присущи те же особенности.

В МКЭ «узлы» выбираются на границах заранее выделенных элемен тов, и по соответствующим узловым значениям функции строится более простая непрерывная. Порядок аппроксимирующей системы при моделировании сеточными методами в трехмерном пространстве высок. Для сложных областей количество неизвестных может достигать порядка 105-М06. Метод конечных сумм или метод интегрирующих матриц не обладает такой сложностью как МКЭ и высокой чувствительностью к погрешностям как МКР. МИМ основан на численной (конечной) записи интегралов от искомой функции через ее дискретные значения в расчетных сечениях, заранее выбранных на интервале интегрирования. Для решения систем дифференциальных уравнений искажений тонкостенных конструкций автором применялся метод интегрирующих матриц.

Немаловажным при решении инженерных задач является выбор инструментария для проведения расчетов - компьютерной системы. Можно выбрать универсальную систему (Delphi, С++), обладающую огромным количеством возможностей, позволяющей достаточно легко строить приложения высокого уровня сложности. Но стоит отметить некоторую ограниченность таких систем для построения приложений со сложными математическими расчетами. Например, приходится вручную писать алгоритмы вычисления обратной матрицы.

В настоящее время существует большое количество специализированных программных комплексов для автоматизации математических и инженерно-технических расчетов, таких как, Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и др.

Автор остановил свой выбор на двух распространенных системах -Mathcad и MatLab. Mathcad прост в освоении, имеет большое количество встроенных функций, и одним из его основных достоинств является то, что формулы в документе имеют привычный вид.

Однако, для построения приложений, требующих реализации достаточно сложных алгоритмов, более эффективно использовать систему Matlab. Любая система компьютерной математики охватывает лишь некоторое подмножество функций, присущих системе Matlab.

В перспективе автору видится построение программного обеспечения на основе использование достоинств универсальных систем и систем компьютерной математики. Все функции, осуществляющие математические расчеты, можно реализовать в некоторой- специальной системе, например в Ма11аЬ, сформировать .сШ файлы. Затем - в некоторой универсальной системе, поддерживающей язык программирования высокого уровня, построить интерфейс приложения и вызывать скомпилированные функции расчета.

Цели, задачи, методика исследования, результаты, выносимые на защиту

Целью данной работы является развитие расчетно-экспериментального метода, алгоритмов и программного обеспечения для анализа свойств и оценивания состояния тонкостенных каркасированных конструкций.

Были поставлены следующие задачи:

1. Разработка алгоритма решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций в экстремальной постановке.

2. Разработка программного обеспечения в специализированных системах компьютерной математики для решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций.

3. Апробация разработанных алгоритма и программного обеспечения при решении прикладных задач с реальными исходными данными.

При выполнении разработки применены: математическая теория вариационного исчисления, метод наименьших квадратов, метод неопределенных множителей Лагранжа, градиентный метод для минимизации функционала качества, метод интегрирующих матриц для численного решения системы дифференциальных уравнений, метод редукционных коэффициентов В.Н. Беляева для решения прямых задач прочности в нелинейной постановке. В качестве математической модели была выбрана система дифференциальных уравнений равновесия тонкостенной конструкции Ю.Г. Одинокова.

В диссертации выносятся на защиту следующие основные положения:

1. Метод и алгоритм решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций в экстремальной постановке.

2. Функционал цели, обеспечивающий минимум квадрата невязки осевых деформаций (теоретических и экспериментальных), а также выполнение условия равновесия каждого ребра и прилегающих к нему панелей обшивки.

3. Применение вспомогательной системы линейных уравнений, сопряженной к исходным нелинейным уравнениям равновесия, упрощающее поиск градиента целевого функционала.

4. Использование различных компьютерных систем для решения поставленной задачи.

Научная новизна

Развитие экстремальных методов решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций. Создание алгоритмов и программного обеспечения для решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций с различным видом нагружения.

Практическая ценность и внедрение результатов

Предлагаемая методика может быть использована для уточнения физико-механических параметров конструкции по данным натурного прочностного эксперимента. Для решения задачи создано программное обеспечение в специализированных системах компьютерной математики: Ма^аЬ, МаШсас!. На его базе может быть создан комплекс программ для восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций.

Апробация работы и публикации

Основные пункты диссертационной работы докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), в КГТУ им. А.Н. Туполева на XIII и XIV Туполевских чтениях (Казань, 2005 и 2006 г.г.), в НГТУ на VII Всероссийской научно-технической конференции (Новосибирск, 2006 г.), на VIII Королевских (Самара, 2005 г.).

По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 2 статьи и 4 тезиса докладов.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе дается общая постановка задачи восстановления переменных параметров упругости материалов тонкостенных конструкций. Кратко приводится понятие прямых и обратных задач, в том числе обратных задач прочности летательных аппаратов, рассматриваются возможные типы обратных задач. Отмечается математическая особенность обратных задач - некорректность по Ж. Адамару. Проводится обзор методов решения обратных задач. Эффективной является- постановка обратной задачи как задачи оптимального управления. Использование при решении так называемых сопряженных систем уравнений позволяет значительно сократить вычислительные и временные ресурсы.

Во второй главе разделе рассматривается математическая модель Ю.Г. Одинокова, используемая для описания поведения тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и других, имеющих продольный и поперечный силовой набор, для которых существенны явления поперечного сдвига и депланации сечений. Приводится математическая постановка обратной задачи как задачи оптимального управления. Описывается подход к решению поставленной задачи. Задачу предлагается решать градиентным методом с использованием сопряженных систем уравнений для нахождения градиентов функционала. Подробно описываются уравнения сопряженного состояния, и приводится полный вывод формул для вычисления матриц коэффициентов при неизвестных. Приводится вывод формул для нахождения градиентов целевого функционала, алгоритм решения задачи восстановления диаграмм деформирования, рекомендации по выбору начального приближения искомых параметров с использованием диаграмм деформирования образцов.

В третьей главе проводится обзор компьютерных систем для численного решения обратных задач, а также решение задачи восстановления диаграмм деформирования для различных конструкций с различным видом нагружения.

В приложениях приводится список используемых сокращений и обозначений, описание овражного метода и фрагменты программ.

Выводы главы 3

Проведен анализ различных компьютерных систем для математических и инженерных расчетов. На его основе был сделан выбор в пользу двух систем: Майюаё и МаЙаЬ. Основное преимущество МаЙюаё в том, что запись команд в системе МаШсас! на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач. Однако для организации сложных алгоритмов следует отдать предпочтение системе Ма^аЬ, которая является высокоэффективным средством для решения широкого спектра вычислительных задач и моделирования сложных процессов. В системе МаШсаё была решена задача восстановления модулей упругости ребер квадратного кессона с осевой нагрузкой на два противоположных ребра и задача восстановление модулей сдвига панелей обшивки четырехпоясного квадратного кессона, нагруженного крутящим моментом. В обоих случаях погрешность решения - одного порядка с погрешностью исходных данных. В системе ММаЬ была решена задача восстановления модулей упругости ребер слабоконического кессона, нагруженного изгибающей силой. В данном случае градиентный метод давал медленную сходимость и пришлось реализовать эвристический овражный метод.

Заключение

Предложенный подход к решению обратных задач прочности тонкостенных конструкций позволяет вести расчет, опираясь на замеры осевых деформаций продольных силовых элементов в физически линейной и нелинейной областях и предполагаемый характер кривых ст-в и х-у. Введение в рассмотрение сопряженной задачи, а также получение компонент градиента по отдельным составляющим вектора управляющих параметров является непростой процедурой, однако ускоряет на этапе вычислений и делает универсальным изложенный подход для решения обратных задач прочности при произвольном законе упругости у элементов конструкции. Результаты исследования могут быть полезны как дополнение к существующим методам определения диаграмм деформирования элементов, когда необходимо учесть реальные условия их работы в составе конструкции.

Итак, автором получены следующие научные результаты:

1. Разработан оптимизационный подход к решению обратных задач прочности тонкостенных конструкций.

2. Применен градиентный метод к решению обратных задач прочности тонкостенных конструкций в экстремальной постановке. Градиенты целевого функционала вычисляются с использованием решения сопряженной системы уравнений.

3. Выведены формулы для вычисления коэффициентов сопряженных уравнений и градиентов целевого функционала.

4. Для решения прикладных задач создано программное обеспечение в специализированных системах компьютерной математики: МаЙаЬ, МаШсас1.

5. Численно решены прикладные задачи для различных конструкций с различным видом внешнего нагружения.

1. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216 с.

2. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

4. Алифанов О.М., Вабищевич П.Н., Михайлов В.В., Ненарокомов A.B., Полежаев Ю.В., Резник C.B. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем. Учебное пособие. М.: Логос, 2001.400 с.

5. Ануфриев И. Е. Самоучитель MatLab 5.3/б.х. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 736 с.

6. Арсенин В.Я., Лисковец O.A. Некорректные задачи и их решение // История отечественной математики. Киев, 1970. 4, ч. 2. С. 134145.

7. Артюхин Е.А., Ненароков A.B. Численное решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и оптимизации температурных измерений // Инж.-физ. журн., 1988. 55, № 2. С. 292-299.

8. Ахатов И.И., Ахтямов A.M. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикл. мат. и мех., 2001, Т. 65, вып.2, С. 290-298.

9. Баничук Н.В. Вариационные методы и моделирование в механике.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

11. П.Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1962.856 с.

12. Беркович Е.М., Голубева A.A. О численном решении некоторых обратных коэффициентных задач теплопроводности // Решение задач оптимального управления и некорректных обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. С. 59-75.

13. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

14. Бикей Г.А. Идентификация систем введение и обзор // Механика. 1972. № 3. С. 3-30.

15. Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К. К решению основной задачи управления динамическими объектами. // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. М.: Наука. 1975. С. 62-66.

16. Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К. Решение основной задачи управления методом градиентного спуска //Авиационная техника. 1974. № 1.С. 5-12. (Изв. высш. учеб. заведений).

17. Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К., Дегтярев Г.Л. Аналитическое проектирование динамических систем. Казань: КАИ, 1978. 80 с.

18. Борисов М.В., Вахитов М.Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц // Труды КАИ. 1974. Вып. 166. С.32-39.

19. Бугхейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988. 183 с.

20. Булычев Е.В., Гласко В.Б. О единственности в некоторых обратных задачах теории теплопроводности // Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 45. № 2. С. 305-309.

21. Вабищевич П.Н., Денисенко А.Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач. В кн.: «Методы математического моделирования и вычислительной диагностики». М.: МАИ, 1990. С. 35-58.

22. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.400 с.

23. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Авиационная техника. 1966. № 3. С. 50-61. (Изв. высш. учеб. заведений).

24. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Таткнигоиздат, 1975. 212 с.

25. Вахитов М.Б., Сафонов A.C. К вопросу расчета тонкостенных конструкций переменного сечения // Труды КАИ. 1970. Вып. 118. С. 35-42.

26. Вахитов М.Б., Сафонов A.C. Расчет тонкостенных конструкций с большими вырезами // Труды КАИ. 1971. Вып. 139. С. 32-46.

27. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ, 1984. 112 с.

28. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, Latex. СПб.: Питер, 2001. 624 с.

29. Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропроводности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: КГУ, 1978. 168 с.

30. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. 302 с.

31. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: УНИПРЕСС, 1998. 127 с.

32. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986. 214 с.

33. Дьяконов В.П., Круглов B.B. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем, специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. 448 с.

34. Зайцев В.Н., Ночевкин Г.Н., Рудаков B.JL, Черненко Ж.С.

35. Конструкция и прочность самолетов. Киев: Изд. объединение «Вища школа», 1974. 544 с.

36. Искендеров А.Д. О вариационных постановках некоторых многомерных обратных задач // Некорректные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1984. С. 49-55.

37. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1977. 440 с.

38. Касьянов В.А., Ударцев Е.П. Определение характеристик воздушных судов методами идентификации. М.: Машиностроение, 1988. 176 с.

39. Каюмов P.A., Неяеданов P.O., Тазюков Б.Ф. Определение характеристик волокнистых композитных материалов методами идентификации. Казань: Изд-во КГУ, 2005. 258 с.

40. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7: программирование, численные методы. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 752 с.

41. Кирьянов Д. Самоучитель Mathcad 11. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 560 с.

42. Коллатц JL Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. 447 с.

43. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы* теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

44. Костин В.А., Снегуренко А.П. К вопросу уточнения внешней нагрузки по заданным деформациям // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 1999. №4. С. 3-8.

45. Костин В.А., Снегуренко А.П. О построении диаграмм деформирования элементов авиационных конструкций по данным натурного эксперимента // Актуальные проблемы авиационных иаэрокосмических систем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2000. №1(9). С.66-71.

46. Костин В.А., Торопов М.Ю. Методы оптимизации при решении коэффициентной обратной задачи вынужденных колебаний тонкостенных конструкций // Авиационная техника. 1998. № 1. (Изв. высш. учеб. заведений).

47. Костин В.А., Торопов М.Ю., Снегуренко А.П. Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2002. 284 с.

48. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1981. 74 с.

49. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П.

50. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

51. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336 с.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.

53. Мацевитый Ю.М. Обратные задачи теплопроводности. В 2-х т. Т. 1. Методология. Киев: Наукова думка, 2002. 408 с.

54. Мацевитый Ю.М., Лушпенко С.Ф. Идентификация теплофизических свойств твердых тел. Киев: Наукова думка, 1990. 213 с.

55. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

56. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. 359 с.

57. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 10, № 2. С. 388-400.

58. Мэтыоз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование МАТЬАВ: Пер. с. англ. М.: Изд. дом «Вильяме», 2001. 713 с.

59. Носов С.А., Равикович А.И. Изгиб кессонов в условиях неустановившейся ползучести // Авиационная техника. 1970. №4. С. 43-48. (Изв. высш. учеб. заведений).

60. Одиноков А.Ю. К определению напряженно-деформированного состояния тонкостенной конструкции по деформациям части ее продольных силовых элементов // Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1987. С. 63-68.

61. Одиноков А.Ю. О применении одного варианта соотношений теории тонкостенной конструкции для обработки результатов испытаний летательных аппаратов // Прочность конструкций летательных аппаратов. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1986. С. 32-37.

62. Одиноков Ю.Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструкциях переменного сечения // Труды КАИ. 1948. Вып.20. С. 3-15.

63. Одиноков Ю.Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и оперения самолетов // Труды КАИ. 1946. Вып.18. С. 39-106.

64. Одиноков Ю.Г., Одиноков А.Ю. К определению нагрузок на тонкостенную конструкцию по параметрам ее напряженно-деформированного состояния // Авиац. техника. Изв. ВУЗов, 1984. № 4. С. 53-58.

65. Пархомовский Я.М. Замечания об определении жесткости балки по заданным деформациям и о решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Уч. зап. ЦАГИ. 1987. Т. 18. №5. С. 102-105.

66. Пархомовский Я.М. О двух задачах идентификации, встречающихся при расчетах на прочность // Труды ЦАГИ. 1979. Вып. 1999. 16 с.

67. Потемкин В.Г. МАТЬАВ 6: Среда проектирования инженерных приложений. М.: Диалог-МИФИ, 2003. 448 с.

68. Растригин JI.A., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления. М.: Энергия, 1977. 216 с.

69. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Яковлев В.П. Идентификация механических систем. Киев: Наукова думка, 1985. 216 с.

70. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.

71. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 655 с.

72. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики. В кн.: «Фундаментальные основы математического моделирования». М.: Наука, 1997. С. 5-97.

73. Семененко Н.Г. Введение в математическое моделирование. Maple, Mathematica, MATLAB. М.: СОЛОН, 2002. 112 с.

74. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001. 240 с.

75. Справочник авиационного техника. М.: Воениздат, 1963. 512 с.

76. Стригунов В.М. Расчет на прочность фюзеляжей и герметических кабин самолетов. М.: Машиностроение, 1974 г., 288 с.

77. Терегулов И.Г., Бутенко Ю.И., Каюмов P.A. Определение жесткостных характеристик нелинейно-упругих композитных материалов // Ракетно-космич. техника. Серия VIII. Материаловедение. Мех. композ. мат. НПО «Композит», 1993. вып. 2. С. 17-28.

78. Терегулов И.Г., Бутенко Ю.И., Каюмов P.A., Сафиуллин Д.Х., Алексеев К.П. К определению механических характеристик нелинейно-упругих композитных материалов // Журнал ПМТФ. 1996. Т. 37. № 6. С. 170-180.

79. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

80. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. 264 с.

81. Торопов М.Ю., Костин В.А. Об уточнении жесткостных характеристик конструкций по результатам прочностного эксперимента // Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. №1(7). С. 71-76.

82. Туманов Ю.А., Лавров В.Ю., Макаров Я.Г. К вопросу идентификации нелинейных механических систем // ПМ. 1981. № 9. С. 106-110.

83. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 318 с.

84. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. 736 с.

85. Фаронов В.В. Система программирования Delphi. Спб.: БХВ-Петербург, 2004. 912 с.

86. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

87. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 743 с.

88. Фирсов В.А. Аппарат МКС на основе сплайн-аппроксимации // Актуальные проблемы механики оболочек. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1985. С. 124-132.

89. Форсайт Д., Малысолм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

90. Хайруллин М.Х. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Док. АН СССР. 1988. Т. 299. № 5. С. 1108-1111.

91. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. 400 с.

92. Чен К., Джиблин П., Ирвинг A. MATLAB в математическихисследованиях: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. 346 с.

93. Чернох С. Справочник по машиностроению. В 2-х т. Пер. с чешского. Под ред. проф. д-ра техн. наук Н.С. Арчекана. М.: Машгиз, 1963. Т. 1. 736 с.

94. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 678 с.

95. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990. 303 с.

96. Костин В.А., Валитова H.JI. О коэффициентах уравнений равновесия при решении задачи восстановления диаграмм деформирования для слабоконических тонкостенных конструкций // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 2007. № 3, С.8-11.

97. Валитова H.JI. Решение обратной задачи прочности для квадратного кессона. Тезисы докладов всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». Самара: Изд-во СГАУ им. ак. С.П. Королева, 2005 г., С.83.

98. Валитова H.JI. К расчету кессона за пределом пропорциональности. Международная молодежная научная конференция, посвященная 1000-летию города Казани. Тезисы докладов XIII Туполевских чтений. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2005 г., С.16-17.

99. Miyamoto S., Ikeda S., Savaragi Y. Identification of Distributed Systems and the Theory of the Regularization //J. of Mathem. Anal. And Appl., 1978. #1 (63). P. 77-95.

100. Stalford H.L. The EBM system identification technique and its application to high a/b modeling of aircraft // AIAA Atoms. Flight. Mech. Conf. Mass. 1981. P. 619-625.

101. Wold S. Spline Functions in Data Analysis // Technometrics, 1974. #1 (16). P. 1-7.