автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.02, диссертация на тему:Методика определения рациональных параметров тонкостенных конструкций на основе суперэлементной расчетной модели

На правах рукописи

Рамазанов Радик Вахитович

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ СУПЕРЭЛЕМЕНТНОЙ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ

05.07.02 - Проектирование, конструкция и производство летательных

аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань - 2003

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева на кафедре конструкции и проектирования летательных аппаратов

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Гайнутдинов В.Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Арасланов A.M.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Черников С.К.

Ведущая организация: Казанский филиал ОАО «Туполев» - конструкторское бюро.

Защита состоится «22»декабря 2003 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.05 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева, 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева

Автореферат разослан «20 » ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

В.Ф. Снигирев

2<доз-А ¿oj^o

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Для обеспечения гарантии успеха программы создания современной авиационной техники в условиях ограниченных материальных ресурсов и сроков разработки, нужна более высокая степень точности прогнозирования характеристик проектируемого объекта на самых ранних стадиях проектирования. В инженерных приложениях обычно выбирают критерии экономического характера. Однако

спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк.

Интенсификация работ по созданию методов оптимизации связана, прежде всего, с развитием методов проектирования летательных аппаратов и сложных агрегатов, весовые и жесткостные характеристики которых требуют особого внимания.

В настоящее время сложились следующие направления в развитии оптимизации конструкции:

• проектирование равнопрочных конструкций;

• проектирование конструкций минимальной энергии деформации при постоянном объеме материала;

• методы поиска оптимальной геометрии конструкции при заданном объеме мате-

• проектирование конструкции минимального веса.

Развитие методов проектирования равнопрочных статически неопределимых систем посвящены работы Рабиновича И.М., Виноградова А.И., Радцига Ю.П. и др. В работе использован подход Комарова A.A. для проектирования конструкции минимальной энергии деформации.

Настоящая работа является попыткой создания методики определения некоторых рациональных параметров с учетом анизотропии материала и возможной потерей устойчивости отдельных силовых элементов конструкции.

Цель и задачи исследований.

Цели и задачи диссертационной работы включают в себя:

риала;

- создание методики расчета критических параметров устойчивости, как отдельных силовых элементов сложной тонкостенной конструкции (локальная устойчивость), так и общей устойчивости всей составной конструкции.

- определение функции рационального распределения толщины материала (при заданной конкретной нагрузке) сложной тонкостенной конструкции для повышения ее жесткости без увеличения веса;

-определение функции рационального распределения толщины материала между силовыми поверхностями панелей тонкостенной конструкции и толщины заполнителя при заданной конкретной нагрузке с учетом потери устойчивости панелей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования механики деформирования упругого тела с учетом особенности деформирования тонкостенных конструкций.

Научная новизна. Создана методика и алгоритм построения математических моделей составных тонкостенных конструкций из композиционных материалов, позволяющие определить рациональное распределение толщины силовых слоев несущих панелей сложной составной конструкции с учетом потери устойчивости отдельных панелей.

Практическая значимость работы. Практическая ценность заключается в разработке и реализации на ПЭВМ, в рамках единого расчетного комплекса, эффективных методов проектировочного расчета с определением «рационального» распределения толщины силовых слоев несущих панелей составной тонкостенной конструкции при дейстйии сложной системы сил с учетом потери устойчивости панелей. Возможность определения «рациональных» параметров элементов тонкостенных конструкций позволяет на ранних стадиях проектирования вести более целенаправленный поиск необходимых жссткостных характеристик при подготовке изделия к стендовым испытаниям.

; 1-, ,(( V ' ' 1

' 11 ' <1 ; -I

, , !

£ *

Ыи '

Результаты работы'

-для сложных составных тонкостенных конструкций разработан алгоритм, позволяющий определить напряженно деформированное состояние и критические параметры потери устойчивости отдельных панелей и всей конструкции в целом;

-разработана методика определения функции рационального распределения толщины в силовых поверхностях несущих панелей составной тонкостенной конструкции под действием сложной системы сил и с учетом потери устойчивости панелей.

Достоверность результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием математических подходов; результаты расчетов проанализированы с точки зрения их физической достоверности, сравнены в некоторых случаях с решением на основе других методов и с данными экспериментальных исследований.

Апробация работы. Содержание и результаты диссертации опубликованы в 3-х статьях (ИВУЗ «Авиационная техника» и «Вестник» КГТУ им. А.Н. Туполева) и докладывались на международной научно-практической конференции «Автомобиль и техносфера», 2003г., в полном объеме диссертация докладывалась на расширенном заседании кафедр «Конструкции и проектирования летательных аппаратов», «Строительной механики ЛА», «Производства ЛА» КГТУ им. А.Н. Туполева, на научном семинаре в Казанском физико-техническом институте,-научном семинаре КФ МКБ ОАО «Туполев».

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 84 листах машинописного текста, содержит 49 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 141 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагается актуальность проблемы, поставленной в диссертации, формулируется цель и практическая ценность работы, а гак же описываося последовательность изложения результатов выполненных исследований

В первой главе работы обосновывается выбор расчетной модели для реализации процесса математического моделирования интересующих физических явлений в составной тонкостенной конструкции. С учетом поставленной задачи излагаются теоретические основы метода построения математических моделей силовых панелей составных тонкостенных конструкций с использованием различных кинематических гипотез, в том числе учитывающих и конечность перемещений. Рассматриваются вопросы параметризации поверхностей.

При формировании упругой модели сложной составной тонкостенной конструкции выделяют отдельные ее части - панели, отличающиеся непрерывным изменением геометрических, массовых, жесткости ых и других характеристик. Геометрия панели определяется геометрией лицевых поверхностей и расстоянием Ь (толщиной) между соответствующими точками координатной сетки на верхней (в.п) и нижней (н.п) лицевых поверхностях:

?о(г)= Г а (в п)0 " г)+ ?«(««) Г' ?Р("п)(1 _ г)+ ?Р(ип) —, (1)

п п п п

где гаи г р- базисные векторы поверхности по координатным линиям аир, рис.1.

Рис.1

изменение перемещений по толщине Ь можно принимать в виде линейного:

"КМ - 1икви(а.|!)(1 " 7")+ и',„,(„.()) ^-]е!<;

п П

квадратичного: (2)

_ г к * (Н-г)г I ,

и(о,Р.2) - 1и ви (О.РА1 - + и НИ (а,р) - + —-— и ср(а.Р)]ек

п п (п-г,)г,

или любого другого закона. В (2) и в и, и п, ср компоненты линеиных перемещении точек расчетной сетки верхней, нижней, срединной поверхности; е^ - орты неподвижной системы координат. Функции перемещений в пределах четырехугольника, образованного пересечением линий координатной сетки на лицевой поверхности (верхней и нижней), определяются узловыми значениями перемещений:

«'(О.Р) = и' ,(1-00(1-0) + и' 2(1-а)р + и1 зсф + и' 4(1-Р)а, (1 =1,2,3). (3) Компоненты деформации определяются зависимостями: _ дм _ ди _ _ дм дг _ 1 .дм дм ч

1 , дй дг д.й _ . 1 . дй дг ^ди _ . ...

Е13 = 2 ¿7 з7Гкы); Еи = 2^Тг +аГгр(2))- (4)

„ ди ди' дй ди' дг

Здесь — = —— е,; — - —— е,; -—(г,п-г»п)/п; да. да др. др. дг

и" ,(р-1) - и12р + и' зр + и' 4(1-р); ~ = и' ,(<х-1) + и' 2(1-а) + и1 За - и' 4<х,

да. др

(1=1,2,3)

Вариационное уравнение равновесия записывается на основании принципа минимума работы всех сил на возможных перемещениях. Общее вариационное уравнение статического равновесия имеет вид:

! сти6е„аУ + I рйис1У + I р5иё8 = 0, (5)

V V 8

где ач5еус!У - удельная виртуальная работа внутренних сил; р8ис1У, рбисШ - удельная работа внешних сил, распределенных по объему V и поверхности Б; о'1 - контравари-антные компоненты тензора напряжений; 5е,, - вариации контравариантных компонент тензора деформаций; 5и - вектор возможных перемещений. Выражение р5и -представляет собой скалярное произведение векторов

Комиопсшм тензора напряжений выражены через компоненты тензора деформации гак: оу- С'-^Си, (6) где С1,к1 - комнонешм тензора жеечкостных характерно! и к.

Вариационное уравнение равновесии используется в формально линеаризованном нигде 8 [-! (Лц е,;|с1У I- 1 рйи(1У 4- I р5и<К - 0, (7)

I V я

но и котором компоненты деформации определяются в метрике координатной поверхности, соответствующей деформированному состоянию конструкции 2еч « К,и,) I- (8)

1'сзульта'ш тестирования упругой модели панели приведены на примерах расчета квадрашых пластин и и сравнении с точными решениями. Приводятся примеры тестирования упругих моделей для задач статики, устойчивости и собственных колебаний.

Вторая глава посвящена разработке упругой модели составной тонкостенной конструкции.

Вариационное уравнение равновесии, исходя из модифицированного уравнения Ла1ранжа, записывается в следующем виде:

-•"(2))-1>Ак + =0, (9)

к и к

еде •• сумма виртуальных работ внешних; X - обобщенные реакции взаимо-

к

действия нары звеньев; и - число точек сопряжения; и(1), и(2) - перемещения смежных

точек сопрягаемых частей; У _ сумма виртуальных работ внуфенних сил всех

к

частей составной конструкции. Для статического расчета проведены преобразования вариационного уравнения. Представим условия сопряжения так: X

и(1)-»(2) - к' -0, (10)

где К - есть жесткость (упругость) связи двух стыкуемых точек. Преобразованное уравнение (9) записываемся в следующем виде:

I>Wk ,5 ' 1к(н

(1) ~'U(2) •о. (11)

к i к

Матричное уравнение равновесия, построенное на основе уравнении (11) реша ется методом исключения Гаусса без нарушения общей cipyKiypw матрицы жесткости составной конструкции и не содержит неизвестных реакций X, сохраняя при этом

о

преимущества уравнения (9).

Приводятся вариационные уравнения упругой устйчиносш, основанные на классическом подходе, на основе которых строится алгоритм формирования гоомет-рических матриц жесткости силовых панелей тонкостенной консфукции:

J cr^SE'^dV i j «"V'^dV-O, (1?.)

V V

которое и является уравнением дая определения точек бифуркации начального состояния -- уравнение устойчивости. Первое слагаемое уравнения служит для формирования матрицы жесткости [G1, второе для формирования матрицы, имеющей название «геометрической» матрицы жесткости fG*]. В остальном решение задачи сводится к определению собственных чисел и векторов матричного уравнения

{[G| iplG*]}u -0. (13)

Здесь р - параметр внешней нагрузки, и - вектор обобщенных перемещений.

Излагается методика расчета критических параметров устойчивости бе i определения напряженно-деформированного состояния. Приводятся результаты расчета рационального распределения толщины силовых поверхностей трехслойных панелей, увеличивающих критическую нагрузку потери устойчивости. Описывается алгоритм определения рационального армирования силовых поверхностей панелей. Рассматривается задача расчета устойчивости отдельных панелей составной консирукции.

В третьей главе описывается алгоритм определения рациональных параметров тонкостенных конструкций. Проводится обзор работ, посвященных этой проблеме. Определение рациональных параметров тонкостенных копорукций основывается на критерии минимума работы внешних сил.

Определение функции рационального распределения толщины материала консольной несущей поверхности осущссшляется по простой схеме. Гсомсфия крыла, расчетная нагрузка и обт.ем материала лицевых поверхностей счишегси чадашшй.

Толщины лицевых панелей трехслойной несущей поверхности задаются постоянной величиной 5(сф) =const После статического расчета крыла толщина панели перераспределяется в зависимости от величины удельной энергии упругих деформаций материала AW = -j Еоф, что эквивалентно выполнению критерия минимума потенциальной энергии деформирования. Далее проводится новый расчет с неизменной геометрией и нагрузкой до достижения сходимости. Полученная функция 5(aß) принимается за функцию рационального распределения материала в проектировочном расчете.

На рис.2 показано распределение нормальных напряжений ст" по хорде в нескольких сечениях по размаху полукрыла до определения, а на рис.3 - после определения рационального размещения материала в лицевых поверхностях трехслойной конструкции. Видно как снизился общий уровень напряжений, и произошло выравнивание значений по сечениям крыла. Ограничение на минимальную толщину материала не позволяет обеспечить «абсолютную равнонапряженность» в материале конструкции.

Использование критерия минимума потенциальной энергии обеспечивает максимальную жесткость конструкции на заданную конкретную нагрузку.

Описывается алгоритм рационального перераспределения материала между силовыми поверхностями несущих панелей тонкостенной конструкции с учетом потери устойчивости отдельных ее элементов. Рассматривается задача проектирования тонкостенной конструкции пилона максимальной жесткости с учетом потери устойчивости панелей. Задачей оптимизации тонкостенной конструкции является максимальное использование прочностных свойств материала силовых элементов. Потеря устойчивости силовых элементов тонкостенной конструкции снижает ее жесткость, а напряжения в материале могут быть значительно меньше предельных. Необходимо довести действующее напряжение в материале к предельному значению в каждой точке конструкции или в максимально возможной ее части. Обеспечить это можно выбором рациональной силовой схемы и рациональным распределение материала в силовых элементах, которые обеспечат наилучшее удовлетворение критерию оптимальности.

Рассматривается алгоритм рационализации силовой схемы на примере пилона подвески двигателя самолета ТУ-ЗЗО, рис.4, одним из требований к которому являлось ограничение податливости. Каждая панель представляет собой трехслойную конструкцию, состоящую из двух лицевых поверхностей и заполнителя. Алгоритм рационального перераспределения материала между силовыми панелями пилона строится так. Закрепление конструкции и расчетная нагрузка заданы и неизменны. Минимально возможное значение толщины лицевых поверхностей 8т;п задается. Проводится статический расчет на заданную нагрузку, определяются напряжения в панелях. По значениям напряжений строятся геометрические матрицы жесткости и определяется параметр - р. Если критический параметр нагрузки для какой-либо панели меньше единицы (р<1), то расстояние между лицевыми поверхностями панели

увеличивается в -\= раз для увеличения критического напряжения. Подсчитывается V Р

удельная энергия деформирования Д\У = ааРЕар в расчетных точках силовых панелей конструкции. Формула перерасчета толщины лицевых поверхностей панелей записывается так:

Здесь 5„«v ■ ■ новое значение толщины лицевой поверхности панели, 50ы AW - произведение исходной толщины на удельную энергию деформирования, VoM -£Vmm = ' const • часть суммарного объема материала конструкции, подлежащая перераспределению между силовыми панелями.

Наглядно результаты рационального перераспределения материала можно <

представить на модельной задаче изгиба коробчатой балки, в которой все панели прямоугольные, нагрузка представлена силой в вертикальной плоскости симметрии на одной стороне, а закрепление но горизонтальным панелям - на противоположной. На рис.5 приведено распределение напряжений в лицевых поверхностях до оптимизации. На рис.6 показана форма потери устойчивости панели с минимальным значением критического параметра р =0,539. Значения критического параметра р по всем 5 сжатым панелям пилона до оптимизации приведены в таблице 1.

На рис.7 приведено распределение напряжений в лицевых поверхностях панелей коробчатой балки после оптимизации. Видно, что зона максимальных напряжений значительно увеличилась. Максимальный прогиб пилона составляет 0.069м и 0.039м до и после оптимизации (уменьшение на 42%). Рациональным распределением материала и повышением критических значений р путем увеличения толщины заполнителя можно существенно повысить жесткость тонкостенной конструкции без увеличения ее массы. Таблица I

№ панели 1 2 3 4 5 6 7 8

Р 0,539 0,569 0,61 0,655 0,708 0,769 0,84 0,932

№ панели 9 10 11 12 13 14 15 16

Р 1,04 1,18 1,36 1,61 1,97 2,53 3,54 5,95

При оптимизации реальной конструкции необходимо учитывав ограничения, обусловленные технологическими, весовыми, балансировочными и т.п. требованиями. В соответствии с этими требованиями при перераспределении материала, необходимо япс зависимости от характера нагружения выдержать, например, симметрию конструкции, в соответствии с технологическими требованиями

Рис.4

Рис.5

Р. " •

< V • 4 " и }

>> , уЛ -У, .

Рис.6

Рис.7

Рис.8

I

толщина заполнителя может быть задана постоянной или неременной в пределах отдельной панели. Наличие одинаковых по силовой схеме панелей в конструкции удешевляет ее, но иногда требования но жесткости и ограничение веса конструкции могут быть обеспечены только при перераспределении материала в пределах всей конструкции.

На рис.8 приведено распределение толщины лицевых панелей реального пилона после оптимизации путем перераспределения материала между отдельными папе-

лями в целом. Максимальный прогиб составил 0.071м до и 0.058м - после оптимизации (уменьшение на 18%).

В таблице 2 представлено относительное изменение (6) «рациональных» толщин лицевых слоев панелей пилона по отношению к исходной, заданной равной 0,001м для всех панелей до оптимизации. *

Таблица " 2

№ панели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 0,83 1,56 0,74 1,56 0,9 0,54 1,06 0,84 1,06 0,96 0,55 1,05

№ панели 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

6 0,92 1,05 1,03 0,55 1,07 0,98 1,07 1,09 0,55 1,10 1,01 1,1

№ панели 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

8 1,14 0,55 1,12 1,03 1,12 1,2 0,58 1,30 1,07 1,30 1,17 0,55

№ панели 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

5 1,35 1,11 1,35 1,19 0,56 1,40 1,22 1,40 1,23 0,67 1,40 1,67

№ панели 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

5 1,40 1,26 0,95 1,36 1,37 1,36 1,28 0,58 1,41 0,95 1,41 1,23

№ панели 61 62 63 64 65. 66 67 68 69 70 71 72

6 0,56 1,30 0,91 1,30 1,12 0,55 1,18 0,88 1,18 1,05 0,54 1,05

№ панели 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

5 0,87 1,05 0,99 0,55 0,92 1,01 0,92 1,18 0,74 0,92 0,93 0,92

№ панели 85 86

6 0,71 0,97

Окончательный выбор схемы оптимизации конструкции пилона остается за проектировщиком, не последнюю роль при этом играет экономический фактор и технологические возможности производства.

Приводится пример проектирование траверсы как тонкостенной конструкции.

В процессе проектирования на основе имеющегося ассортимента труб были произведены расчеты конструкции на прочность и устойчивость отдельных элементов траверсы, как тонкостенной конструкции. Расчеты показали, что при нагрузке

13400 даН (20% от расчетной) траверса потеряет устойчивость плоской формы, рис. 9, хотя напряжения в материале конструкции далеки от разрушающих. По разработанному алгоритму были определены рациональные размеры нижнего пояса гравср-сы, рис.10, при которых критические и максимальные напряжения в отдельных зонах конструкции практически сравнялись и отличались от предельных не более, чем на 10%.

1. Разработана расчетная модель составной тонкостенной конструкции, позволяющая провести расчет напряженно-деформированного состояния и критической нагрузки потери устойчивости, как отдельных элементов составной конструкции, так и всей конструкции в целом.

2. Создан алгоритм расчета функции «рационального» перераспределения толщины материала силовых слоев несущих панелей тонкостенной конструкции (при заданной конкретной нагрузке) для снижения общего уровня напряжения в конструкции.

3. Создан алгоритм определения функции рационального перераспределения толщины материала силовых слоев тонкостенной конструкции при заданной конкретной нагрузке с учетом потери устойчивости отдельных несущих панелей конструкции.

Рис.9

Рис.10

Основные результаты и выводы.

4. Проведен расчет рациональных значений юлщимы силовых панелей конструкции TOHKOcieiHioio пилона подвески двигателя с уча ом потери устойчивости несущих ' папелей пилона.

5. Проведена рационализация конструкции юнкостснной траверсы с учетом общей и местной потери устойчивости ее силовых элементов.

6. Разработана методика выбора рационального направления армирования силовых слоев несущих панелей тонкостенной конструкции путем расчета значений удельной энергии деформирования в панели в зависимости от направления армирования.

7. Созданный пакет программ для оптимизации тонкостенных конструкций внедрен в практику КФМКБ ОАО «Туполев»

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Гайнутдинов В.Г., Рамазанов Р.В., Цой A.C. Расчетная модель составной тонкостенной конструкции // Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. №1. С.52-54

2. Гайнутдинов В.Г., Рамазанов Р.В., Цой A.C. О расчете рациональных параметров несущих поверхностей. //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, Казань 2003. №2. С.8-9.

3. Гайнутдинов В.Г., Рамазанов Р.В., Гайнутдинова Т.Ю. Компоновочная схема транспортного самолета с крыльями с изменяемым углом установки. // Вестник КГТУ им. Л.Н.Туполева, Казань 2003. №1. С.3-5.

4. Гайнутдинов В.Г., Рамазанов Р.В., Гайнутдинова Т.Ю., Цой A.C. Проектирование пространственных тонкостенных конструкций с учетом потери устойчивости отдельных силовых элементов // Труды международной научно-практической конференции ICATS, Казань. 2003. С. 124

Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л. 1,0 Усл.печл. 0,93. Усл.кр.-отт. 0,93 Уч.-изд.л. 1,0.

_Тираж 100._Заказ 15%,_

Издательство Казанского государственного технического университета. Типография Издательства Казанского государственного технического университета. 420111, Казань, К.Маркса, 10.

V

2 - А 2-oyjo Р 2 О 5 3 О

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПОСТРОЕНИЕ УПРУГОЙ МОДЕЛИ СИЛОВЫХ ПАНЕЛЕЙ ТОН- 10 КОСТЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ

1.1.0 выборе расчетной модели

1.2 Кинематические гипотезы, используемые при построении расчетных моде- 12 лей силовых элементов тонкостенной конструкции

1.3 Вариационное уравнение равновесия конструкции

1.4 Алгоритм формирования матрицы жесткости силовой панели.

1.5. Вычисление метрики поверхности

1.6. Тестирование упругой модели.

Глава 2. ПОСТРОЕНИЕ УПРУГОЙ МОДЕЛИ СОСТАВНОЙ ТОНКОСТЕЙ- 35 НОЙ КОНСТРУКЦИИ

2.1. Вариационное уравнение равновесия составной конструкции.

2.2. Расчет устойчивости элементов составной тонкостенной конструкции. 40 Классический подход.

2.3. Расчет устойчивости элементов составной тонкостенной конструкции без 42 предварительного определения напряженно деформированного состояния.

2.4 Определение рациональной толщины силовых слоев панелей.

2.5. Определение рационального направления армирования.

2.6. Расчет устойчивости отдельных силовых элементов сложной тонкостенной 52 конструкции.

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АЛГОРИТМЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

3.1 Постановка задачи. ^

3.2. Определение рационального распределения толщины силовой поверхности панели.

3.3. Проектирование тонкостенной конструкции максимальной жесткости с учетом потери устойчивости панелей

3.4 Проектировочный расчет траверсы.

Потребность весового совершенствования конструкций летательных аппаратов вызывает необходимость в создании более совершенных и точных методов проектирования тонкостенных конструкций. Для обеспечения гарантии успеха программы создания современной авиационной техники в условиях ограниченных материальных ресурсов и сроков разработки, нужна более высокая степень точности прогнозирования характеристик проектируемого объекта на самых ранних стадиях проектирования.

С самого начала развития расчетных методов проектирования разработчик стремился к тому, чтобы в результате расчета система обладала достаточной надежностью и достаточной жесткостью при минимальной затрате материала или при минимальной стоимости. Полнота представления в расчетном методе физического процесса, протекающего в конструкции, определяет возможность оптимизации ее жест-костных параметров.

В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку классические функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Эффективность оптимизационных методов, позволяющих осуществить выбор наилучшего варианта без непосредственной проверки всех вариантов, тесно связана с широким использованием достижений в области математики путем реализации итеративных вычислительных схем, опирающихся на строго обоснованные процедуры и алгоритмы, на базе применения вычислительной техники.

Для того чтобы использовать математические результаты и численные методы теории оптимизации для решения конкретных инженерных задач, необходимо установить границы подлежащей оптимизации инженерной системы, определить количественный критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления "наилучшего", осуществить выбор внутрисистемных переменных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов, и, наконец, построить модель, отражающую взаимосвязи между переменными. Эта последовательность действий составляет содержание процесса постановки задачи инженерной оптимизации.

Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и ассоциируется в большей степени с искусством, нежели с точной наукой.

В инженерных приложениях обычно выбирают критерии экономического характера. Однако спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк; при определении критерия могут использоваться такие экономические характеристики, как валовые капитальные затраты, издержки в единицу времени, доходы от инвестиций, отношение затрат к прибыли или собственный капитал на данный момент времени. В других приложениях критерий может основываться на некоторых технологических факторах, например, когда требуется минимизировать продолжительность процесса производства изделия, максимизировать темпы производства, минимизировать количество потребляемой энергии, максимизировать величину крутящего момента, максимизировать нагрузку и т.п. Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, "наилучшему" варианту всегда соответствует минимальное или максимальное значение характеристического показателя качества функционирования системы.

Важно отметить, что независимо от содержания оптимизационных методов, только один критерий (и, следовательно, характеристическая мера) может использоваться при определении оптимума, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии.

Один из путей учета совокупности противоречивых целевых установок состоит в том, что какой-либо из критериев выбирается в качестве первичного, тогда как остальные критерии считаются вторичными. В этом случае первичный критерий используется при оптимизации как характеристическая мера, а вторичные критерии порождают ограничения оптимизационной задачи, которые устанавливают диапазоны изменений соответствующих показателей от минимального до максимального приемлемого значения.

Развитие методов расчета статически определимых и статически неопределимых систем, определенное во многом развитием теоретических основ механики твердого тела, привело к появлению расчетных методов определения рациональных параметров конструкций, которые имеют различную математическую трактовку. Хотя первые работы в области проектирования оптимальных конструкций были сделаны в конце прошлого столетия, интенсификация работ по созданию методов оптимизации связана прежде всего с развитием методов проектирования летательных аппаратов и сложных агрегатов, весовые и жесткостные характеристики которых требуют особого внимания.

В настоящее время сложились следующие направления в развитии оптимизации конструкции:

-проектирование равнопрочных конструкций; проектирование конструкций минимальной энергии деформации при постоянном объеме материала; энергия деформации ее при фиксированном объеме материала минимальна. Методы проектирования конструкций минимального веса с использованием теории пластического течения разрабатываются активно в США (прагеровская школа).

Настоящая работа является попыткой создания методики построения математических моделей составных тонкостенных конструкций и определения некоторых рациональных параметров с учетом анизотропии материала и возможной потерей устойчивости отдельных силовых элементов конструкции. Задачей оптимизации тонкостенной конструкции является максимальное использование прочностных свойств материала силовых элементов. Нужно довести действующее напряжение в материале к предельному значению в каждой точке конструкции или в максимально возможной ее части. Если какой-либо элемент конструкции теряет устойчивость, несущая способность ее падает, а напряжения в материале могут быть значительно меньше предельных значений. Необходимо повысить критическое напряжение внеся изменение в конструкцию данного элемента.

Различные расчетные модели тонкостенных конструкций используются для проектировочных расчетов или оптимизации конструкций. Как правило, оптимизация конструкций проводится на основе одной конкретной упругой модели. Однако, специфика задач проектирования может потребовать мобильного построения и нескольких расчетных моделей тонкостенных конструкций. Построение подобной методики является задачей актуальной.

Цель и задачи исследований.

Цели и задачи диссертационной работы включают в себя:

- создание расчетных моделей составных тонкостенных конструкций в рамках единого программного комплекса на основе использования известных или новых кинематических гипотез на базе общих соотношений теории упругости.

- создание методики расчета критических параметров устойчивости как отдельных силовых элементов сложной тонкостенной конструкции (локальная устойчивость) так и общей устойчивости всей составной конструкции.

- определение функции рационального распределения толщины материала (при заданной конкретной нагрузке) сложной тонкостенной конструкции для повышения ее жесткости без увеличения веса;

-определение функции рационального распределения толщины материала между силовыми поверхностями панелей тонкостенной конструкции и толщины заполнителя при заданной конкретной нагрузке с учетом потери устойчивости панелей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования механики деформирования упругого тела с учетом особенности деформирования тонкостенных конструкций.

Научная новизна. Создана методика и алгоритм построения математических моделей составных тонкостенных конструкций из композиционных материалов, позволяющий определить рациональное распределение толщин силовых поверхностей несущих панелей сложной составной конструкции с учетом потери устойчивости отдельных панелей.

Практическая значимость работы. Практическая ценность заключается в разработке и реализации на ПЭВМ, в рамках единого расчетного комплекса, эффективных методов проектировочного расчета с определением «рационального» распределения толщин силовых поверхностей несущих панелей составной тонкостенной конструкции при действии системы сил с учетом потери устойчивости панелей. Возможность определения «рациональных» параметров элементов тонкостенных конструкций позволяет на ранних стадиях проектирования вести более целенаправленный поиск необходимых жесткостных характеристик при подготовке изделия к стендовым испытаниям.

Результаты работы:

-для сложных составных тонкостенных конструкций разработан алгоритм построения расчетных моделей, позволяющий определить напряженно деформированное состояние и критические параметры потери устойчивости отдельных панелей и всей конструкции в целом;

-разработана методика определения функции рационального распределения толщины в силовых поверхностях несущих панелей составной тонкостенной конструкции под действием сложной системы сил и с учетом потери устойчивости панелей.

Достоверность результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием математических подходов; результаты расчетов проанализированы с точки зрения их физической достоверности, сравнены в некоторых случаях с решением на основе других методов и с данными экспериментальных исследований.

Апробация работы. Содержание и результаты диссертации опубликованы в 2-х статьях и докладывались на международной научно-практической конференции «Автомобиль и техносфера», 2003г.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 84 листах машинописного текста, содержит 49 рисунков, список литературы из 141 наименования.

Основные результаты и выводы.

1. Разработана расчетная модель составной тонкостенной конструкции, позволяющая провести расчет напряженно-деформированного состояния и критической нагрузки потери устойчивости как отдельных элементов составной конструкции, так и всей конструкции в целом.

2. Создан алгоритм расчета функции «рационального» перераспределения толщины материала силовых слоев несущих панелей тонкостенной конструкции (при заданной конкретной нагрузке) для снижения общего уровня напряжения в конструкции из композиционных материалов.

3. Создан алгоритм определения функции рационального перераспределения толщины материала силовых слоев тонкостенной конструкции при заданной конкретной нагрузке с учетом потери устойчивости отдельных несущих панелей конструкции.

4. Проведена оптимизация конструкции тонкостенного пилона подвески двигателя с учетом потери устойчивости несущих панелей пилона.

5. Проведена оптимизация конструкции тонкостенной траверсы с учетом общей и местной потери устойчивости ее силовых элементов.

6. Разработана методика определения рационального армирования силовых слоев несущих панелей тонкостенной конструкции.

7. Созданный пакет программ для оптимизации тонкостенных конструкций внедрен в практику КФМКБ ОАО «Туполев»

1. Ададуров Р.А. Напряженное состояние в 4 поясной призматической прямоугольной коробке, загруженной на торцах. - Докл. АН СССР, 1951, т. 79, ИЗ, с.407-410.

2. Алберг Дж., Нилсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.

3. Алумяэ Н.А. Теория упругих оболочек и пластинок. Механика в СССР за 50 лет. №3. Механика деформируемого твердого тела-М.: Наука, 1972. С. 227-266.

4. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем.: Машиностроение, 1978.-312 с.

5. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.:Наука-448 с.

6. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. Пер. с анг., М.:Стройиздат.

7. Астахов М.ф. Справочная книга по расчету самолета на прочность. М.: Оборон-гиз, 1954.-708 с.

8. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Устойчивость стержней, пластин и оболочек из композиционных материалов (трехмерная постановка) обзор.- Прикладная механика. -1983. -Т. 19, М 10. -С. 3-19.

9. Балабух Л.И. Расчет на прочность конических кессонов. Тр ЦАГИ, й 640, 1947, 55с. механика. - Т.21, М 8. - С.56-63.

10. Баничук Н.В., Бирюк В.И., Сейранян А.П. и др. Методы оптимизации авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1989. 296 с.

11. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977. 232 с.

12. Баязитов Ф.Ф., Бурман З.И. Конечно-элементный метод расчета тонкостенных подкрепленных оболочек на собственные колебания и расчетно-экспериментальные исследования. В кн.: Труды КАИ, Казань, КАИ, 1978, вып. 1, с. 8-13.

13. Барбашов В.М., Шатаев В.Г. К расчету за пределами пропорциональности подкрепленных безмоментных оболочек. В межвуз. сб. Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань, 1980, с. 14-17.

14. Безмельницин В.Т. Расчет тонкостенного крыла малого удлинения по пластинной аналогии с учетом деформации сдвига стенок лонжеронов. Труды КуАИ. Куйбышев, КуАИ, 1973, вып. 66.

15. Беляев В.Н. К расчету пространственной коробчатой системы при действии скручивающих сил. ТВФ, 1932, й 4, с.350-356.

16. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Справочник "Прочность, устойчивость, колебания", т.З. М.: Машиностроение. 1968. 300 с.

17. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М. Машиностроение, 1980. -375 с.

18. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: физматгиз, 1961. - 339 с.

19. Бурман З.И., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Расчет подкрепленных оболочек методом конечного элементов с применением ЭЦВМ,- Казань: Из-во Казанского ун-та, 1973, 569с.

20. Варвак П.М. Расчет прямоугольных консольных пластинок методом конечных разностей. В кн.: Труды ВВИА, М., 1962, вып. 918.

21. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики. Изв. вузов, Авиационая техника, 1966, МЗ, с. 50-61.

22. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снегирев В.ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Тат.книжн. изд., 1975. -212 с.

23. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М-Л.:Гостехиздат, 1949. - 784с.

24. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. - 508с.

25. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. -М.: Наука, 1967. -984 с.

26. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. - 419с.

27. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз,- 879 с.

28. Гайнутдинов В.Г. Метод "минимального множителя" в расчетах устойчивости, предельных циклов колебаний и предельных состояний нелинейно-деформируемых конструкций. Изв.вузов. Авиационная техника. 1992. й 4. С.З - 7.

29. Гайнутдинов В.Г., Гайнутдинова Т.Ю. О численном анализе нелинейного деформирования гибких конструкций,- Изв. вузов. Авиационная техника. 1991. М 3. С. 8-13.

30. Гайнутдинов В.Г., Сыздыков Е.К., Нуретдинов И.Н. Расчет устойчивости конструкций методом минимального множителя без определения предварительного напряженного состояния. Изв. вузов. Авиационная техника. 1993. М 3. С.8-11.

31. Гайнутдинов В.Г., Нуретдинов И.Н. К расчету устойчивости тонкостенных подкрепленных конструкций. Изв. вузов. Авиационная техника, 1993. й 4. С.

32. Гайнутдинов В.Г., Коган Ю.А., Слободчиков В.Г. Программный комплекс расчета критических параметров устойчивости панелей из композиционных материалов крыла самолета Су-26. Техника воздушного флота, М 2 (488). М:ЦАГИ. 1990.С.76-77.

33. Гайнутдинов В.Г. 0 расчете авиационных конструкций вариационно-матричным методом. Изв. вузов. Авиационная техника. 1988. М 1. С. 20-23.

34. Галимов Н.К., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Большие прогибы и устойчивость защемленной трехслойной круглой пластины под действием поперечной нагрузки,- Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М. 1. -Тбилиси, 1975. -С. 567-574.

35. Галлагер Р. Метод конечных злементов. Основы: Пер.с англ. М.: Мир, 1984. 428с.

36. Гольденштейн A.M., Муштари Х.М. К теории трехслойных пластин переменной толщины. Изв.вузов. Авиационная техника.-1968,- й 2. -С. 21-27.

37. Григолюк Э.И., Коган ф.А. Уравнения изгиба, устойчивости и колебаний трехслойных оболочек несимметричного строения с жестким сжимаемым заполнителем. Вестник Московск. ин-та. Математика, механика. -1971. -й 2.

38. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек. -Новосибирск, 1966. -223 с.

39. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. -М.Машиностроение, 1973. -168 с.

40. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань, 1984. - Вып. 17, часть 1. - С. 3 -58.

41. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа,- Прикладная механика. -1984.-Т.20, Й10. -С. 3-22.

42. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Ки-ев:Вища школа, 1979.-280 с.

43. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. -Киев:Наукова думка, 1971. -275 с.

44. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях.-Киев: Науко-ва думка, 1973. -270 с.

45. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. Львов: Вища школа, 1982. 254 с.

46. Гурьев Н.И. и др. Расчет на прочность крыла малого удлинения методом сил в матричной форме. Тр. ЦАГИ, вып. 1123, 1969. - 46с.

47. Гурьев Н.И., Поздышев В.Л., Старокадомская З.М. Матричные методы расчета на прочность крыльев малого удлинения. М.: Машиностроение, 1972. - 260с.

48. Данилин А.И., Комаров В.А. Проектирование тонкостенных конструкций с учетом ограничений по прочности и жесткости // Нелинейные задачи строительной механики. Оптимизация конструкций / КИСИ. 1978. С.94-97.

49. Данилин А.И. Рациональное проектирование тонкостенных конструкций с учетом требований жесткости. Автореф. дис. /докт. техн. наук/ СГАУ им. С.П.Королева. Самара, 1995. 36 с.

50. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высш. школа, 1979. 432с.

51. Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. Механика деформируемого твердого тела(Итоги науки и техники). -М.: ВИНИТИ, 1983.-Й. 15. -С. 3-68.

52. Жеков К. А. К расчету на прочность крыльев малого удлинения методом сеток. -В кн.: Вопросы прочности и устойчивости элементов тонкостенных конструкций. М.: Оборонгиз, 1963, й1, с. 195-214.

53. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975, - 541с.

54. Зураев Т.Г. 0 применении вариационно-разностного метода в расчетах крыльев малого удлинения. Ученые записки ЦАГИ, 1978, т.2, Й4, с.90-95.

55. Иванов Ю.И. Расчет подкрепленных тонкостенных конструкций методом конечного элемента. Ученые записки ЦАГИ, 1972, т.З, й 1.

56. Иванов Ю.И., Мазур В.В. Специализированная система программирования расчетов на прочность методом конечных элементов,- В кн.: Труды ЦАГИ, М.: ЦАГИ, 1976, вып. 1731, с. 75-79.

57. Канфилд Р.А., Гранди Р.В., Вейнкап В.Б. Оптимальное проектирование при большом количестве ограничений // Авиационная космическая техника. 1988. №10. С.78-88.

58. Кан С.Н., Свердлов И.А. Расчет самолета на прочность. М.: Машиностроение, 1966. - 520 с.

59. Кобе лев В.Н. Критическое давление строго выпуклой трехслойной оболочки несимметричного строения. Изв. вузов. Машиностроение. - 1981. - Mil. -С. 27-31.

60. Комаров В.А. 0 рациональных силовых конструкциях крыльев малого удлинения. В кн.: Труды КуАИ. Куйбышев: КуАИ, 1968, вып. 32, с.6-26.

61. Комаров В.А. Расчет крыла малого удлинения как пластины переменной жесткости. В кн.: Труды КуАИ. Куйбышев: КуАИ, 1968, вып. 32, с.27-38.

62. Ковалевский А.К., Липин Е.К. Применение автоматизированного параметрического анализа для выбора рациональной конструктивной силовой схемы крыла // Ученые записки ЦАГИ. 1989. №3. С.91-100.

63. Комаров А. А. Основы проектирования силовых конструкций. Куйбышев, 1965. 88с.

64. Комаров В.А. Проектирование конструкций с наивыгоднейшим распределением материала // Труды КуАИ. 1971. Вып. 54. С.3-8.

65. В.А. Комаров Оценка эффективности по массе тонкостенных конструкций. Труды XX международной конференции «Механика оболочек и пластин». НГУ, Нижний Новгород.2002г. с.41-57

66. Кочетков Е.В. Соотношение между равнопрочной конструкцией и конструкцией минимального веса // Изв. вузов. Машиностроение. 1979. №10. С. 13-17.

67. Кретов А.С., Шатаев В.Г. проектирование нагретых конструкций максимальной жесткости // Изв. вузов. Авиационная техника. 1966. №4 С.8-14.

68. Кретов А.С. Применение дискретно-континуальной модели расчета на прочность для проектирования тонкостенных авиаконструкций минимального веса // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиаконструкций, КАИ. Казань, 1981. С.33-36.

69. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. М.:Наука, 1964. - 192 с.

70. Куршин J1.M. Об учете изгибной жесткости трехслойной криволинейной панели, работающей на продольное сжатие. Вопросы расчета элементов авиационных конструкций.-М.:Оборонгиз, -й 1. - С. 62-86.

71. Левашов П.Д. К определению жесткостных характеристик подкрепленных пластинок. Изв. вузов: Авиационная техника, 1970, М 4, С. 141-144.

72. Липин Е.К., Фролов В.М., Чедрик В.В., Шаныгин А.Н. Алгоритм оптимизации силовых конструкций по условиям прочности с компенсацией нарушенных ограничений // Ученые записки ЦАГИ. 1988. Т. 19. №1. С. 58-66.

73. Липин Е.К. проектирование конструкций максимальной жесткости // Ученые записки ЦАГИ. 1975. Т.6. №4. С. 129-135.

74. Лурье А.И. Теория упругости. М.:Наука, 1970. - 939 с. 214.

75. Ляв.А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935,- 674 с.

76. Макаревский А.И., Чижов В.М. Основы прочности и аэроупругости летательных аппаратов.-М.Машиностроение, 1982,- 233с.

77. Меркурьев В.И., Горлов К.В. Изгиб консольных пластин с жесткими поперечными сечениями. Труды ЦАГИ, М., 1969, вып. 1162, - 59с.

78. Мишулин И.Б. Учет влияния слоистой неоднородности при расчете на устойчивость сжатых трехслойных цилиндрических оболочек из композиционных материалов. Ученые записки ЦАГИ, 1983. -т.4, М 1. -С. 74-84.

79. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих тел. М.:Наука, 1981. 286с.

80. Методы оптимизации силовых авиационных конструкций // Обзор ЦАГИ. 1981. №596. 117 с.

81. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978, 352с.

82. Муштари Х.М. К общей теории пологих оболочек с заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроеие. -1961.-й 2. - С. 24-29.

83. Муштари Х.М. Теория пологих трехслойных оболочек с заполнителем и слоями переменной толщины. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. -1962. -й 4. -С. 162-168.

84. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань.Таткнигоиздат, 1957. -431 с.

85. Новичков Ю.Н. Нелинейная теория и устойчивость толстых многослойных оболочек. Прикладная математика и механика.-1973. -Т.37, М 3. -С. 532-543.

86. Новицкий В.В. Некоторые задачи прочности авиационных оболочек. Тр. ВВИА, вып. 489, 1954. - 120с.

87. Новицкий В.В. Расчет тонких крыльев малого удлинения с учетом деформаций поперечного сечения. В кн.; Труды ВВИА им. Жуковского. М., 1961, вып. 841, с.132-152.

88. Новожилов В.В. Теория упругости. JI.: Судпромгиз, 1958, 370с.

89. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. -211 с.

90. Образцов И.ф. Расчет оболочек типа кессона стреловидного крыла на основе теории В.З.Власова. Тр. МАИ, вып. 59, 1956. - 47с.

91. Образцов И.ф. Методы расчета на прочность кессонныз конструкций типа крыла. М.: Оборонгиз, 1960. - 312с.

92. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. - 392с.

93. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.; Машиностроение, 1973. - 653с.

94. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985, - 392с.

95. Одиноков Ю.Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструкциях переменного сечения. Тр. КАИ, вып. 20, 1948, с.З - 15.

96. Павлов В.А. Об устойчивости оперения. Изв. вузов, Авиаци- онная техника, 1974, № 2, с.62-66.

97. Павлов В.А. О колебаниях прощелкивания оперения. Изв. вузов, Авиационная техника, 1975, № 2, с.99-105.

98. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения задач сопряжения деформ-руемых тел. Докл. АН СССР, 1983, т.273, №5,с. 1083- 1086.

99. Паймушин В Н., Бобров С.Н. 0 формах потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек с внешними слоями из однородных и армированных материалов. Механика композитных материалов. -1985. -X 1. -С. 79-86.

100. Паймушин В.Р., Галимов Н.К. Об устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем при изгибе. -Тр. семинара по теории оболочек. -Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974. -Вып. 5. -С. 35-42.

101. Паймушин В.Н., Петрушенко Ю.Я., Орлов Ю.В. Линеаризированная теория и численный метод исследования устойчивости трехслойных оболочек со слоями переменной толщины,- Казан, авиац. ин-т, 1986. -48 е. Деп. в ВИНИТИ 11.05.86. й 3361.

102. Панин В.Ф. Конструкции с сотовым заполнителем,- М.: Машиностроение, 1982.-153 с.

103. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов, Саратовский университет, 1975. - 120с.

104. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.:Наука, 1985. -182 с.

105. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977.

106. Постнов В.А., Слезина Н.Г. Решение нелинейных задач устойчивости оболочек с помошью метода конечных элементов. Прочность и надежность судовых конструкций :Сб.статей Л., 1982. С. 66-73.

107. Прохоров Б.Ф., Кобелев В.Н. Трехслойные конструкции в судостроении. -Л.: Судостроение, 1972. -334 с.

108. Прочность. Устойчивость. Колебания,- Под ред. И.А. Биргера и Я.Г.Пановко. Т.2. -М. Машиностроение, 1986. -463 с.

109. Прусаков А.П. Основные уравнения изгиба и устойчивости ортотропных трехслойных пластин с легким заполнителем. -Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1960. -й 5. -С. 9-17.

110. Разани Р. Поведение равнопрочной конструкции и ее отношение к конструкции минимального веса // Ракетная техника и космонавтика. 1965. №12. С. 115-124.

111. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. -Рига:3инатне, 1974. -310 с.

112. Сегерлинд Л.Д. Применение метода конечных элементов :Пер. С англ. М., 1979.

113. Старокадомская З.М.Депеницин М.П. Исследования прочности треугольных крыльев на основе дискретной расчетной схемы с применением метода сил. -Тр.ЦАГИ, вып. 1118, 1969. 46с.

114. Старокадомская З.М., Симонов В.Г. Оптимизация на несколько случаев на-гружения с применением метода конечного элемента с учетом потери устойчивости сжатых панелей // Труды ЦАГИ. Вып. 1777.1976. С.23-41. с.

115. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем.- М.-Л.:Гостехиздат,1946,- 531 с.

116. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.:Наука, 1971. -807 с.

117. Уилкинсон ДЖ.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.:Наука, 1970. - 564 с.

118. Уманский А.А. Кручение и изгиб тонкостенных авияконструкций. М.-Л.: ООборонгиз, 1939. - 111с.

119. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.:Мир, 1982. - 304с.

120. Халиуллин В.И. К расчету монолитных крыльев разностноинтегральным методом. В кн.: Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев : КуАИ, 1977, вып. 3, с. 13-20.

121. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966, 230 с.

122. Хебип Л.М. Обзор современного состояния исследований по трехслойным конструкциям. Механика. :Периодич. сборник переводов иностранных статей. -1966. -Т.96, й 2.-С. 119-130.

123. Хивинцев В.Н. К решению задачи о рациональном распределении материала в конструкции с учетом ограничения по перемещению // Автоматизация проектирования авиационных конструкций // Куйбышев, 1979. С.57-65.

124. Хог Э., АрораЯ. Прикладное оптимальное проектирование. М.:Мир, 1983.

125. Хот Н.С. Сравнение алгоритмов условий оптимальности, используемых при проектировании конструкций минимального веса // Авиационная космическая техника. 1979. №2. С.69-80.

126. Шатаев В.Г. Расчет на прочность тонкостенных стержней значительного сужения. Изв. вузов, Авиационная техника, й 2, 1981, с.55-60.

127. Folie G.M. The behaviour and analysis of orthotropic sandwich plates. Build. Sch., 1971, vol. 6, p.57-67.

128. Foss J.J. For the space age, a bibliography of sandwich plates and shells. Rept. SM-42883, Douglas Air cr. Co., Santa Monica, Calif., 1962.

129. Habip L.M. A revew of resent Russuan work on sandwich structures. Jnternat. Jourhal of Mech. Science, 1964, v.6,N6,p.483-487.

130. Habip L.M. Asur vey of modern development in the analysis of sandwich structures. Appl. mech.rev.,1965, v. 18, N2, p.93-98.

131. Hunter-Tod J.H. The clasic stability of sandwich plates. Aero. Res. Counc. Rep. Memo.,London, N2778,1953.

132. Merits and limitations of optimality criteria method for structural optimization / Pat-naik Surya N, Guptill James D., Berke Laszle // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1955, 38. № 18. C.3087-3120.

133. Optimal Design. Theory and Applications to materials and Structures /Ed. By Valery V.Vasiliev and Zafer Gurdal. Technomic Publishing Co. Inc. 851 New Holland Avenue. Box 3535, Lancaster, Pensylvania 17604 USA, 1999.

134. Reissner E. Finite deflection of sandwich plates. Journ. Aeronaut. Sci., 15,N7,1948,Errata: 17,N2,125,1950.

135. Гайнутдинов В.Г., Рамазанов Р.В., Цой А.С. Расчетная модель составной тонкостенной конструкции // Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. №1. С.52-54

136. Гайнутдинов В.Г., Рамазанов Р.В., Цой А.С. О расчете рациональных параметров несущих поверхностей. //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, Казань 2003. №2. С.8-9.

137. Гайнутдинов В.Г., Рамазанов Р.В., Гайнутдинова Т.Ю. Компоновочная схема транспортного самолета с крыльями с изменяемым углом установки. // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, Казань 2003. №3. С.