автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Идентификация жесткостных характеристик конструкции ЛА с учетом физической нелинейности материала

ВВЕДЕНИЕ

Цель, задачи, методика исследования, результаты, выносимые на защиту

Научная новизна.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Апробация работы и публикации.

ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ. АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРОЧНОСТИ

1.1. Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Общая постановка и особенности обратных задач.

1.2. Математические модели и принятые допущения.

1.3. Анализ численных методов.

Применение метода интегрирующих матриц для разных математических моделей.

1.4. Алгоритмы получения устойчивых решений обратных задач прочности Л А.

Выбор метода.

Методы оптимизации.

1.5. Техника и средства проведения змерений

Замечания по выбору программы испытаний.

ГЛАВА 2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЖЕСТКОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ ОДНОШАГОВЫХ И ИТЕРАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ

2.1. Решение задачи идентификации для кессона авиационного конструкции, находящейся в температурной поле.

2.2. Восстановления диаграмм деформирования с учетом пластических деформаций

2.3. Уточнения жесткостных характеристик конструкции летательных аппаратов при ползучести.

2.4. Применения функции Грина для анализа жесткости конструкций.

Применение методов оптимизации для уточнения моделей упругости.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ

КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

3.1. Решение задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Определение закона распределения линейной функции случайного аргумента.

Расчет вероятностных характеристик переменных параметров упругости конструкций.

Примеры линейных преобразований случайных величин.

3.2 Однофакторный дисперсионный анализ.

3.3. Преобразование смешанных случайных процессов в стохастических системах с квазидетерминированными операторами.

Теоретико-вероятностные основы функционального преобразования смешанных случайных явлений.

Системы со случайными параметрами.

Одна из основных задач, стоящих перед людьми, занимающимися проектированием и расчетом механических систем, состоит в построении адекватных математических моделей. Повысить точность модели путем ее усложнения не всегда возможно, а порой и нереально вообще: возникает следующая зависимость: чем сложнее механическая система, тем труднее для нее построить адекватную математическую модель. Реальным способом построения (создания) адекватных математических моделей представляется путь использования методов идентификации систем. В настоящее время методы идентификации активно развиваются как отечественными, так и зарубежными учеными.

Как правило, различают идентификацию двух видов. В первом случае определяется общая внутренняя структура изучаемого явления, уточняются взаимосвязи между ее отдельными элементами. Такую идентификацию принято называть структурной. Во втором случае, полагая, что внутренняя структура явления уже определена и может быть с достаточной точностью описана какой-либо математической моделью, уточняются лишь некоторые отдельные параметры выбранной модели. Такую идентификацию называют параметрической. Проведению параметрической идентификации посвящена большая часть всех проводимых исследований. Не являются исключением и работы автора данной диссертации.

Впервые необходимость в проведении идентификации возникла в теории автоматического управления [3, 13, 20, 21, 45, 91, 98, 128, 131], когда по отдельным измерениям объекта определялись его свойства параметры), необходимые для достижения некоторого заданного качества управления. В настоящее время методы идентификации широко применяются во многих областях практической деятельности, в частности, для решения обратных задач теплопереноса [4, 5, 8, 12,28,75, 124], определения гидропроводности [1,38,44,52,123], управления технологическими процессами в машиностроении [109], для определения характеристик воздушных судов [51, 60, 86, 88].

Большое число работ разных авторов посвящено идентификации механических систем [15, 17, 40, 41, 42, 46, 48, 61, 62, 65, 73, 80, 89, 90, 95, 96, 113, 128]. В области же прочности авиаконструкций и в настоящее время методы идентификации разработаны недостаточно, хотя первые работы появились еще в середине 70-х годов. Среди отечественных авторов здесь необходимо отметить, прежде всего, работы Я.М. Пархомовского [87, 88], В.Д.Ильичева и В.В. Назарова [51], Н.М. Гревцова и др. [40], И.Г. Колкера [60], Ю.Г. Одинокова и А.Ю. Одинокова [82, 83]. Коэффициентные обратные задачи исследовали О.М. Алифанов и М.В. Клибанов [5, 7, 8], П.Н. Вабищевич [28 - 30], A.M. Денисов и Р.А. Каюмов [56]. В частности работа [56] посвящена актуальным проблемам определения нелинейно-упругих характеристик композиционных материалов.

Методы численного решения коэффициентных обратных задач в связи с их приложениями разрабатывали П.Г. Данилаев [44], М.Т. Абасов, Э.Х. Азимов, Т.М. Ибрагимов [1], А.Д. Искандеров [52], М.Х. Хайруллин [123], Н.М. Цирельман [124] и др. Методы идентификации авиаконструкций развиваются и за рубежом: Дж. Д. Коллинз и др. [61], К.Й. Ли и С.А. Хоссейн [73], Дж. Мук [80] и др. Разработки в этой области не стоят на месте.

Активное развитие методов идентификации в инженерном деле в последнее время, очевидно, связано с развитием численных методов. Возможности компьютерной техники существенно расширяют класс решаемых задач. Причем, несмотря на громоздкость вычислительных процедур, время, необходимое ЭВМ для проведения непосредственно самих расчетов, становится значительно меньшим, чем требуется на написание и отладку рабочих программ.

От задач идентификации неотделимы различные алгоритмы для повышения устойчивости решения, проведения регуляризации. Это приводит нас к двум отдельным проблемам:

1) повышению качества исходных данных и

2) получению непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи.

Первая проблема обусловлена неизбежными погрешностями в исходных данных, как и в любых данных измерений. Важную задачу при этом представляет выделение из результатов измерений значения полезного сигнала на фоне помех. Известно большое количество методов, решающих эту задачу, например, фильтры Калмана-Бьюси [25, 49, 54], процедуры сглаживания Брайсона-Фразьера [132]. Полезным может оказаться применение методов обработки результатов измерений, основанных на теории вероятностей и математической статистике [72, 106, 111, 115, 116].

Вторая проблема связана с получением непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи идентификации.

Самым простым вариантом решения задачи идентификации является так называемый "одношаговый" алгоритм, когда интересующие нас параметры находятся непосредственно входе решения системы уравнений, куда они входят в качестве неизвестных. Такой подход в решении задач идентификации практически неприменим. Как правило, такие задачи оказываются очень чувствительны к точности задания исходных данных. Возникает неустойчивость счета вследствие плохой обусловленности системы разрешающих уравнений. Для преодоления неустойчивости в настоящее время известны и хорошо разработаны различные математические алгоритмы регуляризации [9,74,78,79, 107,108,123], позволяющие уменьшить чувствительность задачи и добиться устойчивого счета: методы регуляризации, метод квазирешений [28], метод квазиобращения (как разновидность метода регуляризации) [71]. В настоящее время известна обширная литература по методам решения условно-корректных задач [26, 66 - 69, 72].

Но, на практике возможности методов регуляризации оказываются не безграничными. Часто складывается такая ситуация, когда алгоритм задачи становится устойчивым, а получаемое при этом решение - неприемлемым, так как регуляризация "уводит" решение от априорных оценок, которые можно наложить на искомое решение. Использование методов регуляризации позволяет в рамках определения корректности по А.Н. Тихонову получить устойчивое решение, но не гарантирует его единственности. Единственность решений условно-корректных задач исследовали М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов и др. В работах [69, 97, 130] рассмотрен широкий круг условно-корректных задач математической физики, имеющих практическое приложение. Особенность данной работы в том, что в основу исследуемых постановок коэффициентных обратных задач положены результаты, полученные М.В. Клибановым [57, 58] при доказательстве соответствующих теорем единственности. Их суть -в необходимости рассматривать исследуемые уравнения совместно с переопределенным набором краевых условий. В качестве метода решения выбран метод квазиобращения, разработанный М.М. Лаврентьевым, Р. Латтесом иЖ.ЛЛионсом [71]. Вопросы развития и обоснования метода квазиобращения рассматривались в [27 - 31]. Прикладному использованию методов посвящены монографии [5, 6].

Самостоятельный интерес представляет исследование коэффициентной устойчивости решения дифференциальных уравнений, например, [99,110].

Организация вычислительного эксперимента по изучению коэффициентной устойчивости заключается в следующем. Либо следует решить пример, имеющий точное решение (что и всегда делалось в данной работе), либо в процессе расчета использовать различные способы вычисления интегралов, входящих в коэффициенты, сравнивая каждый раз результаты. Если решение обладает устойчивостью, то результаты не должны сильно отличаться.

В данной диссертации применяются численные методы решения как безытерационные, так и итерационные. Первые основаны на непосредственном решении обратной задачи, что позволяет сразу найти искомые величины из решения системы уравнений. Используя вторые, решение находится последовательно в процессе проведения нескольких итераций.

Итерационные численные методы не могут варьировать (искать) слишком большое количество параметров и требуют запоминания больших массивов промежуточной информации о результатах предыдущих приближений. Но зато они являются методами естественной регуляризации.

Одношаговые" методы не требуют итераций, так как искомые параметры непосредственно выражаются из уравнений математической модели, но для получаемого решения естественным образом возникает проблема единственности.

Наиболее универсальный вариант решения задачи идентификации -решать ее как задачу оптимизации, то есть на основе имеющейся в распоряжении расчетчика исходной информации подобрать параметры, характеризующие исследуемую систему таким образом, чтобы составленный определенным образом функционал цели достиг своего минимума (максимума) [6, 9, 20, 21, 55, 56, 77, 92, 112, 125, 131]. Такой подход О.М. Алифанов назвал решением задачи идентификации в экстремальной постановке [6]. Необходимым при этом является соблюдение определенных условий (ограничений) для уточняемых параметров и для модели.

Важным является и вопрос выбора (составления) целевой функции. В любой математической задаче оптимизации составляется функционал цели, который является критерием качества решения задачи. Функционал может быть простым и выражаться одним критерием или быть составным, т.е. представлять собой свертку нескольких критериев (условий) [77, 105]. Характерной особенностью при составлении функционала цели, как правило, является использование принципов метода наименьших квадратов [6, 92, 112, 125, 128].

Например, в [61] задача уточнения жесткостных и массовых характеристик решается на конечноэлементной модели конструкции. Метод сохраняет характер модели, но модифицирует заданные начальные значения так, чтобы получить формы колебаний, сходные с экспериментальными. Используются соотношения, в соответствии с которыми при помощи разложения в ряд Тейлора выражены собственные значения и перемещения по отдельным формам колебаний системы через конструктивные параметры системы. Метод требует порядка 50 итераций.

Велика роль вычислительной техники в решении задач идентификации, особенно при использовании итерационных методов, т.е. методов оптимизации. Применение ЭВМ приводит к разработке дискретных моделей механических систем [37, 40, 65, 90, 93, 126] и использованию различных численных методов [21, 31, 32, 47, 53, 70, 99, 100, 114, 121, 122]. Например, последовательность решения задач идентификации механических систем с использованием дискретных модальных моделей описана в [129].

Необходимо отметить, что природа задач идентификации вероятностная. Исходные данные таких задач - результаты измерений, а любые измерения являются случайными величинами. Поэтому необходимо разрабатывать соответствующие методы их решения, основанные на теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций, статистической динамике. Здесь можно отметить работы Е.С. Вентцель и JI.A. Овчарова [36], В.С.Пугачева [91], A.M. Арасланова [10, 11], В.В. Болотина [22 - 24], А.С.Гусева, В.А. Светлицкого [43, 102],

М.Ф. Росина и B.C. Булыгина [98], А.Ф.Селихова иВ.М. Чижова [103], Дж.Д. Коллинза [61] и др.

Как правило, решение стохастических задач с использованием аналитических зависимостей в общем случае является весьма трудоемкой задачей.

Представляет интерес преобразование случайного воздействия, когда характеристика самой системы (конструкции) изменяется случайным образом. Случайность параметров системы обусловлена, например, технологическими допусками производства, неоднородностью материалов, деталей их старением и износом. Она может вызываться также неизбежными возмущающими воздействиями среды, что сказывается на усталостных характеристиках конструкции. Приближенные методы определения плотности вероятности выходного процесса (деформаций) нелинейной системы базируется, как правило, на основе нормализации негауссовских случайных процессов. Однако, как показано в ряде работ по радиофизике даже в линейной системе при определенных условиях может происходить денормализация выходного сигнала. Подобные условия, содействующие образованию смеси распределений, могут существовать и в механике конструкций. В этих случаях приближенные методы анализа, основанные на свойстве нормализации, могут приводить к грубым и принципиально ошибочным результатам.

В свою очередь необходимо отождествление статистических данных результатов испытаний конструкций с моделями параметров-критериев и, следовательно, требуется развитие методов идентификации моделей распределения вероятностей случайных величин. Так как модель после возможного изменения свойств неизвестна, необходимо уметь определять состояние модельного объекта по экспериментальному полю, заданному в пространстве наблюдений. При этом возможны разновидности моделей для наблюдений, характеризующие как качественное (балка, пластинка, оболочка, конструкция), так и количественное состояние объекта (неизвестные значения коэффициентов уравнений). Требуются алгоритмы обработки экспериментальных данных, приводящие к решению о том или ином состоянии объекта (например, слоеная конструкция или с расслоениями). Построение такого алгоритма в большинстве случаев сводится к выбору двух элементов: функции отклика, принимающей различные значения при подстановке конкретной реализации экспериментального материала, и правила принятия решения о состоянии объекта по значениям функции отклика.

Сказанное определяет актуальность решаемой в диссертации проблемы разработки математических методов, алгоритмического и программного обеспечения для анализа и оценивания состояния тонкостенных конструкций со структурными изменениями.

Недостаточная разработанность методов качественного анализа и количественного оценивания состояния конструкций с возможными изменениями параметров препятствуют решению задачи в практическом аспекте.

Цель, задачи, методика исследования, результаты, выносимые на защиту

Целью исследования является разработка подходов, методов алгоритмического и программного обеспечения для анализа свойств и оценивания состояния тонкостенных картированных конструкций, с возможностью приложения методики к задачам определения работоспособности планера летательного аппарата. Для достижения этой цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных конструкций, а также их балочных и пластинчатых элементов.

При решении этих задач использовались подходы, основанные на сведение дифференциальных уравнений состояния (равновесия) к интегральным и их решению с помощью метода конечных сумм (интегрирующих матриц).

На защиту выносится подход, связанный с представлением разрешающих уравнений состояния системы или ее элемента к виду, разрешенному относительно искомых жесткостей, а если это не удается -конкретные рекомендации по сведению обратной задачи к экстремальным постановкам.

С этих позиций рассмотрено определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции, в том числе входящих в функции влияния.

2. Обнаружение изменений свойств конструкций на основе теории стохастических процессов.

Исследование ведется для следующего круга вопросов: а) Преобразование случайных процессов в детерминированных статических и динамических системах (применительно к уточнению жесткостей по известной реакции конструкции). б) Построение процедур оценивания (применительно к задачам, связанным с деградацией свойств материалов).

Научная новизна

Новыми являются разработанные автором:

1. Решение задачи определения переменных параметров упругости тонкостенных конструкций итерационными алгоритмами с учетом пластических свойств материала.

2. Развитие методов идентификации переменных параметров упругости тонкостенных конструкций применительно к задачам термоупругости и ползучести.

3. Преобразование смещенных случайных процессов в конструкциях, описываемых уравнениями с квазидетерминированными операторами.

Практическая ценность и внедрение результатов

Практическую ценность имеют:

• методика, алгоритмы, программы идентификации жесткостных параметров конструкций и их элементов, как при их проектных значениях, так и в случае структурных изменений;

• подходы к решению задач обнаружения изменения свойств конструкций в целях диагностики.

Результаты, полученные в работе, использованы в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева при изучении дисциплины «Экспериментальные методы исследования прочности JIA».

Апробация работы и публикации

По теме диссертации опубликованы 2 статей и тезисы докладов.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XII и XIV Международных молодежных научных конференциях «Туполевские чтения», Казань, КГТУ им. А. Н. Туполева, 2004, 2006 гг.; на I и II научно-технических конференциях зарубежных аспирантов и магистрантов КГТУ им. А. Н. Туполева, Казань, 2005, 2006 гг.; на VIII всероссийской молодёжной научной конференции с международным участием «Королёвские чтения», Самара, 2005 г.

Настоящая диссертация состоит из трех глав и приложения.

Первая глава посвящена математическим особенностям задач идентификации и методам их решения. Приведены математические модели, используемые в диссертации. Даны численные методы решения задач прочности. В качестве основы проведения численных расчетов выбран аппарат метода конечных сумм в форме интегрирующих матриц

М.Б. Вахитова [32]. Кратко описаны методы и средства получения экспериментальных величин как исходных данных для решения обратных задач прочности.

Во второй главе задачи идентификации решаются непосредственно как обратные. Рассмотрены задачи:

1) для модели тонкостенной конструкции Ю.Г. Одинокова -определение переменных параметров упругости элементов конструкции продольных ребер и панелей обшивки, находящейся в температурном поле с учетом пластических деформаций и ползучести;

2) для балочной и пластинчатой модели - определение функции Грина и коэффициентов влияния.

Третья глава посвящена решению задач идентификации в вероятностной постановке. Определены способы получения решений как в общем виде, используя аналитические выражения, так и в случае численного решения. Для выявления значимости факторов приведен пример однофакторного дисперсионного анализа.

В приложении приводятся вспомогательные вопросы, необходимые для решения рассматриваемых задач идентификации.

Заключение

Диссертация посвящена решению практически важных вопросов, возникающих при расчете на прочность: определению жесткостей конструкции, адекватного деформированному состоянию, и идентификации в линейной и физически нелинейной постановке одномерных задач.

Автором получены следующие научные результаты:

1. На базе модели Ю. Г. Одинокова с помощью одношагового алгоритма решена обратная задача термоупругости для тонкостенной конструкции, работающей в условиях нагрева.

2. Предложен алгоритм расчета и решена задача восстановления нелинейного участка кривой деформирования для элементов тонкостенной конструкции, работающая за пределом пропорциальности.

3. Предложен алгоритм и решена задача построения изохронных кривых для конструкции, находящейся в условиях установившейся ползучести.

4. Предложена методика применение в целях идентификации экспериментально найденных функций Грина.

5. Предложена методика обнаружения явлений деградаций структуры материала конструкции путем анализа закона плотности распределения выходных параметров (деформации, местной перегрузки, кривизны и т. п.).

1. Абасов М.Т., Азимов Э.Х., Ибрагимов Т.М. Об одном решении нестационарной обратной задачи при нестационарной фильтрации нефти и газа в пласте //Докл. АН СССР. 1991. Т.318. №3. С.566 569.

2. Авдонин А.С., Фигуровский В.И. Расчет на прочность летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1985, 440 с.

3. Александровский Н.М., Егоров С.В., Кузин Р.Е. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. М.: Энергия, 1973. 272 с.

4. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216 с.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

6. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

7. Алифанов О.М., Клибанов М.В. Об условиях единственности и методе решения коэффициентной обратной задачи теплопроводности //ИФЖ. 1985. № 6. С.988 992.

8. Алифанов О.М., Михайлов В.В. Решение нелинейной обратной задачи теплопроводности итерационным методом //ИФЖ. 1978. №5. С.1124 -1129.

9. Алифанов О.М., Румянцев С.В. Об устойчивости итерационных методов решения линейных некорректных задач //Докл. АН СССР. 1979. Т.248. № 6. С.1289 1291.

10. Арасланов A.M. Вероятностные подходы к силовому проектированию элементов конструкций. Казань: КАИ, 1992. 92 с.

11. Арасланов A.M. Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1987. 128 с.

12. Артюхин Е.А. Восстановление температурной зависимости коэффициента теплопроводности из решения обратной задачи //ТВТ. 1981. Т. 19. С. 963-967.

13. Балакирев B.C., Дудников Е.Г., Цирлин A.M. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов управления. М.: Энергия, 1967. 232 с.

14. Баранов А.Н., Белозеров А.Н., Ильин Ю.С., Кутьинов В.Ф. Статические испытания на прочность сверхзвуковых самолетов. М.: Машиностроение, 1974. 334 с.

15. Барух М. Определение жесткости упругой балки //Ракетная техника и космонавтика. 1971. №8. С.263 -265.

16. Бассервиль М., Вилски А., Банвенист А. и др. Обнаружение изменения свойствсигналов и динамических систем. М., Мир, 1989. 278 с.

17. Бикей Г.А. Идентификация систем введение и обзор //Механика. 1972. №3. С.З -30.

18. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М.: Оборонгиз. 1961. 368 с.

19. Бисплингхофф P.JL, Эшли X., Халфмэн P.JI. Аэроупругость. М.: ИИЛ. 1958. 800 с.

20. Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К. К решению основной задачи управления динамическими объектами. //Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. М.: Наука. 1975. С.62 - 66.

21. Богомолов А.И., Сиразетдинов Т.К. Решение основной задачи управления методом градиентного спуска //Авиационная техника. 1974. №1. С.5 12. (Изв. высш. учеб. заведений).

22. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. 255 с.

23. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 336 с.

24. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1961. 202 с.

25. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.:Наука, 1982. 199 с.

26. Бугхейм АЛ. Ведение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988. 183 с.

27. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971. 326 с.

28. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для приближенного решения обратных задач теплообмена. М., 1991. (Препринт ИБРАЭ АН СССР, №11).

29. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка. М., 1991. (Препринт ВЦММ АН СССР, №26).

30. Вабищевич П.Н. Разностные схемы метода квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка. М., 1991. (Препринт ВЦММ АН СССР, №25).

31. Вабищевич П.Н., Денисенко А. Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач. В кн.: "Методы математического моделирования и вычислительной диагностики". М.: МАИ, 1990. С.35 58.

32. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики //Авиационная техника. 1966. №3. С.50 - 61. (Изв. высш. учеб. заведений).

33. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Таткнигоиздат, 1975. 212 с.

34. Вахитов М.Б., Сафонов А.С. К вопросу расчета тонкостенных конструкций переменного сечения //Труды КАИ. 1970. Вып. 118. С.35 42.

35. Вахитов М.Б., Фирсов В.А. Численные методы решения однородных задач строительной механики летательных аппаратов: Учебное пособие. Казань: КАИ. 1985. 66 с.

36. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 383 с.

37. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973.368 с.

38. Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропроводности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: КГУ, 1978. 168 с.

39. Гольцман Ф.М. Физический эксперимент и статистические выводы. JI. Изд-во Лен. ун-та. 1982. 192 с.

40. Гревцов Н.М., Костерина Е.В., Мельц И.О. Идентификация параметров динамических систем по результатам дискретных некоррелированных измерений //Труды ЦАГИ. 1982. Вып.2131. 27 с.

41. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. 302 с.

42. Гудсон П. Идентификация параметров систем с распределенными параметрами //Общий обзор ТИИЭР. 1976. №1. С.56 80.

43. Гусев А.С., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.

44. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: УНИПРЕСС, 1998. 127 с.

45. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986. 214 с.

46. Дейч А.И. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. 240 с.

47. Демидович Б.П., Марон Р.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

48. Димментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. 388 с.

49. Дубенко Т.И. Фильтр Калмана для случайных полей //Автоматика и телемеханика. 1972. №12. С.37 40.

50. Егоров В.В., Лаврентьев З.И. Исследования жесткостных характеристик летательных аппаратов и их элементов, (Обзор по материалам иностранной прессы). ЦАГИ, № 315, 1970. 172 с.

51. Ильичев В.Д., Назаров В.В. Результаты прецизионных частотных испытаний как исходные данные при различных исследованиях прочности летательных аппаратов //Труды ЦАГИ. 1974. Вып. 1562. 43 с.

52. Искандеров А.Д. Обратные краевые задачи для определения параметров фильтрующихся сред //Известия АН АзССР. 1971. №2. С.30.

53. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1977. 440 с.

54. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания //Труды американского общества инженеров механиков. Сер. Д. 1961. №1(83). С.123 141.

55. Каммер Д.К. Оптимальная аппроксимация для остаточной жесткости при идентификации линейных систем //Аэрокосмическая техника. 1988. №11.С. 111-121.

56. Каюмов Р.А. Связанная задача расчета механических характеристик материалов и конструкций из них // Механика твердого тела. 1999. № 6.

57. Клибанов М.В. Единственность в "целом" обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20. №11. С.1947- 1953.

58. Клибанов М.В. Обратные задачи в "целом" и карлемановские оценки //Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20. №6. С. 1035 1041.

59. Клокова Н.П. Тензодачики для измерения при повышенных температурах. М.Машиностроение, 1965, 120 с.

60. Колкер И.Г. Метод интегральной оценки внешних нагрузок, действующих на летательный аппарат в эксплуатационных условиях

61. Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1978. С.34 37.

62. Коллинз Дж.Д., Харт Дж.К., Хассельман Т.К., Кеннеди Б. Статистический метод идентификации конструкций // Ракетная техника и космонавтика. 1974. №2. С.74 81.

63. Кононенко В.О., Плахтиенко Н.П. Методы идентификации нелинейных механических колебательных систем. Киев: Наукова думка, 1976. 116 с.

64. Коноплев Ю.Г., Саченков А.В. Исследование прочности и устойчивости пологих сферических оболочек под действием локальных нагрузок.// Исследованием по теории пластин и оболочек. 1967. Вып.У. С. 161-188.

65. Костин В.А., Торопов М.Ю., Снегуренко А.П. Обратные задачи прочности летательных аппаратов, Казань: КГТУ, 2002, 284 с.

66. Крементуло Ю.В., Яковлев В.П. Идентификация динамических объектов по дискретным данным с применением методов теории чувствительности. В кн.: "Теория инвариантности и теория чувствительности автоматических систем". Киев: КВИАВУ, 1971. Ч.З. С.707 716.

67. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1981. 74 с.

68. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 67 с.

69. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. 88 с.

70. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

71. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

72. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения него приложения. М.: Мир, 1970.336 с.

73. Леонов В.А. Математическая обработка экспериментальных данных. М.: МАИ, 1975. 104 с.

74. Ли К.Й., Хоссейн С.А. Непрерывный метод идентификации гибких конструкций //Аэрокосмическая техника. 1988. №8. С.66 76.

75. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981. 343 с.

76. Мацевитый Ю.М., Лушпенко С.Ф. Идентификация теплофизических свойств твердых тел. Киев: Наукова думка, 1990. 213 с.

77. Миленький А.В. Классификации сигналов в условиях неопределенности. М. Сов. радио, 1975. 328 с.

78. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.488 с.

79. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ, 1987.216 с.

80. Морозов В.А. Регулярные алгоритмы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 240 с.

81. Мук Дж. Оценка и идентификация нелинейных динамических систем //Аэрокосмическая техника. 1990. №2. С.44 53.

82. Нехендзи Е.Ю., Адаховский А.П., Микеничев А. И. Характеристики опытных высокотемпературных тензорезисторов из сплава системы палладий серебро до температуры 450°С. — В кн.: «Высокотемпературная и магнитоупругая тензометрия», ЛДНТП, Л., 1971, С. 3-7.

83. Одиноков А.Ю. К определению напряженно-деформированного состояния тонкостенной конструкции по деформациям части ее продольных силовых элементов //Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1987. С.63 68.

84. Одинокое А.Ю. О применении одного варианта соотношений теории тонкостенной конструкции для обработки результатов испытаний летательных аппаратов //Прочность конструкций летательных аппаратов. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1986. С.32 37.

85. Одинокое Ю.Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструкциях переменного сечения //Труды КАИ. 1948. Вып.20. С.З 15.

86. Одиноков Ю.Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и оперения самолетов //Труды КАИ. 1946. Вып. 18. С.39 106.

87. Одиноков Ю.Г., Одиноков А.Ю. К определению нагрузок на тонкостенную конструкцию по параметрам ее напряженно-деформированного состояния //Авиационная техника. 1984. №4. С.53-58. (Изв. высш. учеб. заведений).

88. Пархомовский Я.М. Замечания об определении жесткости балки по заданным деформациям и о решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода//Учен. зап. ЦАГИ. 1987. Т.18. №5. С.102 105.

89. Пархомовский Я.М. О двух задачах идентификации, встречающихся при расчетах на прочность //Труды ЦАГИ. 1979. Вып. 1999. 16 с.

90. Петров В.Д. Идентификация сложных систем на основе анализа подсистем. В кн.: "Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем", М.: Наука, 1975. С. 12 17.

91. Плахтиенко Н.П. Резонансный метод идентификации нелинейных механических колебательных систем //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982. №2. С.З 1-37.

92. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. 883 с.

93. Пухов Г.Е., Хатинашвилли Ц.С. Критерии и методы идентификации объектов. Киев: Наукова думка, 1979. 190 с.

94. Рабинер JI., Голуд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

95. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М., Наука, 1979, 744с.

96. Редько С.Ф. К вопросу об идентификации жесткостей и параметров демпфирования механических систем. В кн.: "Нагруженность и динамические качества механических систем", Киев: Наукова думка, 1981. С.165 169.

97. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Яковлев В.П. Идентификация механических систем. Киев: Наукова думка, 1985. 216 с.

98. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.

99. Росин М.Ф., Булыгин B.C. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления. М.: Машиностроение, 1981. 312 с.

100. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 655 с.

101. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики. В кн.: "Фундаментальные основы математического моделирования". М.: Наука, 1997. С.5 97.

102. Сафиуллин Н.З. Анализ стохастических систем и его приложения. Казань. Изд-во Каз. гос. тех. ун-та, 1998.168 с.

103. Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1991. 316 с.

104. Селихов А.Ф., Чижов В.М. Вероятностные методы в расчетах прочности самолета. М.: Машиностроение, 1987. 240 с.

105. Серьезное А.Н. Измерения при испытаниях авиационных конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1976. 224 с.

106. Сиразетдинов Т.К. Методы решения многокритериальных задач синтеза технических систем. М.: Машиностроение, 1988. 158 с.

107. Степнов М.Н. Статистическая обработка результатов механических испытаний. М.: Машиностроение, 1972. 232 с.

108. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

109. Тихонов А.Н., Гончаровский А.В., Степанов В.В. Ягола А.Г. Регуляризуюшие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 200 с.

110. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. 263 с.

111. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах//ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1. №1. С.5 63.

112. Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов экспериментов. М.: МГУ, 1988. 174 с.

113. Торопов М.Ю., Костин В.А. Об уточнении жесткостных характеристик конструкций по результатам прочностного эксперимента //Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. №1(7). С.71 76.

114. Туманов Ю.А., Лавров В.Ю., Макаров Я.Г. К вопросу идентификации нелинейных механических систем //ПМ. 1981. №9. С. 106 -110.

115. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 318 с.

116. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. М.: Мир, 1981. 696 с.

117. Уитткер Э., Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений. М.: ГТТИ, 1933. 373 с.

118. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л.: Физматгиз, 1963. 736 с.

119. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М. Мир, 1967. т. 1.498 е., т. 2. 752 с.

120. Фершинг Г. Основы аэроупругости. М.: Машиностроение, 1984. 600 с.

121. Фирсов В.А. Аппарат МКС на основе сплайн-аппроксимации //Актуальные проблемы механики оболочек. Межвуз.сб. Казань: КАИ, 1985. С.124- 132.

122. Фирсов В.А. Дифференцирующие матрицы на основе сплайн-аппроксимации //Прочность тонкостенных авиационных конструкций. Межвуз.сб. Казань: КАИ, 1989. С.53 56.

123. Форсайт Д., Мальколм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

124. Хайруллин М. X. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации //Докл. АН СССР. 1988. Т.299. №5. С.1108 1111.

125. Цирельман Н. М. О корректности аналитического решения обратной задачи теплопроводности. Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тез. докл. V Всесоюзного семинара. Уфа: УАИ, 1984. С.83.

126. Цыпкин Я.З. Оптимальные критерии качества в задачах идентификации //Автоматика и телемеханика. 1982. №11. С.5 24.

127. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз, 1958. 724 с.

128. Шатаев В.Г. К расчету тонкостенных балок в физически-нелинейной постановке //Авиационная техника. 1969. №4. С.51 58. (Изв. высш. учеб. заведений).

129. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.-678 с.

130. Яковлев В.П., Вирабян Г.Б. Разностный аналог модальных моделей в задаче идентификации механических систем. В кн.: "Дискретныеи эргодические системы управления". Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1983. С.59 -66.

131. Belov V., Lavrentjev V. One inverse problem for the heat equation. J. Inverse Ill-Possed Problems. 1996. V.4. №6. P.499 -511.

132. Ralman R.E. Design of self-Optimizing Control System. Trans. ASME. 80. №2. 1958. P.468 478.

133. Stalford H.L. The EBM system identification technique and its application to high a/b modeling of aircraft //AIAA Atoms. Flight. Mech. Conf. Mass. 1981. P.619-625.