автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Идентификация тонкостенных конструкций по данным прочностного эксперимента

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ПРОЧНОСТИ И МЕТОДЫ ИХ

РЕШЕНИЯ.

1.1 Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Общая постановка и особенности обратных задач. Регуляризация решения.

1.2 Анализ численных методов. Метод интегрирующих матриц.

1.3 Математические модели и принятые допущения.

1.4 Алгоритмы получения устойчивых решений обратных задач прочности ЛА.

Выбор метода.

Методы оптимизации.

1.5 Техника и средства проведения измерений.

ГЛАВА 2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЖЕСТКОСТЕЙ И НАГРУЗОК ПУТЕМ

НЕПОСРЕДСТВЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.

2.1 Восстановление распределенной аэродинамической нагрузки по заданным деформациям.

2.2 Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных авиационных конструкций. Построение диаграмм деформирования ее элементов.

2.3 Идентификация поля цилиндрических жесткостей изотропных и ортотропных пластин.

2.4 Использование регуляризации по Тихонову в решении задач идентификации жесткостных характеристик тонкостенной конструкции.

ГЛАВА 3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ И ПРОЦЕССОВ НАГРУЖЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ.

3.1 Определение внешних силовых факторов.

Балочная расчетная модель. Крыло планера СА-8Т.

Модель тонкостенной конструкции Ю. Г. Одинокова.

3.2 Определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции как задача оптимального управления.

3.3 Идентификация жесткостных характеристик трехслойных и однослойных пластин (стержней).

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРОЧНОСТИ В

ВЕРОЯТНОСТНОЙ ПОСТАНОВКЕ.

4.1 Решение задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Определение закона распределения линейной функции случайного аргумента.

4.2 Дискретный способ решения задач в вероятностной постановке.

4.3 Расчет вероятностных характеристик переменных параметров упругости конструкций и действующих на нее нагрузок.

Примеры линейных преобразований случайных величин.

Статистическое моделирование распределений (метод Монте-Карло)

4.4 Однофакторный дисперсионный анализ.

Одна из основных задач, стоящих перед людьми, занимающимися проектированием и расчетом механических систем, состоит в построении адекватных математических моделей. Повысить точность модели путем ее усложнения не всегда возможно, а порой и нереально вообще: возникает следующая зависимость: чем сложнее механическая система, тем труднее для нее построить адекватную математическую модель. Реальным способом построения (создания) адекватных математических моделей представляется путь использования методов идентификации систем. В настоящее время методы идентификации активно развиваются как отечественными, так и зарубежными учеными.

Как правило, различают идентификацию двух видов. В первом случае определяется общая внутренняя структура изучаемого явления, уточняются взаимосвязи между ее отдельными элементами. Такую идентификацию принято называть структурной. Во втором случае, полагая, что внутренняя структура явления уже определена и может быть с достаточной точностью описана какой-либо математической моделью, уточняются лишь некоторые отдельные параметры выбранной модели. Такую идентификацию называют параметрической. Проведению параметрической идентификации посвящена большая часть всех проводимых исследований. Не является исключением и данная диссертация.

Впервые необходимость в проведении идентификации возникла в теории автоматического управления [35, 78, 82, 108], когда по отдельным измерениям объекта определялись его свойства (параметры), необходимые для достижения некоторого заданного качества управления. В настоящее время методы идентификации широко применяются во многих областях практической деятельности, в частности, для решения обратных задач теплопереноса [1, 3, 65], определения гидропроводности [28, 34], управления технологическими процессами в машиностроении [96], для определения характеристик воздушных судов [40, 45, 49, 75, 77].

Большое число работ разных авторов посвящено идентификации механических систем [9, 11, 29, 32, 36, 51, 52, 64, 68, 80, 108]. В области же прочности авиаконструкций и в настоящее время методы идентификации разработаны недостаточно, хотя первые работы появились еще в середине 70-х годов. Среди отечественных авторов здесь необходимо отметить, прежде всего, работы Я. М. Пархомовского [76, 77],

B.Д.Ильичева и В.В.Назарова [40], Н. М. Гревцова [29], И. Г. Колкера [49], Ю. Г. Одинокова и А. Ю. Одинокова [71, 72, 75], М. Ю. Торопова и В. А. Костина [98] и др. Методы идентификации авиаконструкций развиваются и за рубежом: Дж. Д. Коллинз, Дж. К. Харт, Т. К. Хассельман, Б.Кеннеди [51], К. Й. Ли и

C. А. Хоссейн [64], Дж. Мук [68] и др. Разработки в этой области не стоят на месте.

Коэффициентные обратные задачи в различных областях исследовали О. М. Алифанов [3 - 5], А. Н. Тихонов, В. Д. Кальнер, В. Б. Гласко [96], В. Б. Гласко [25], М. М. Лаврентьев [58 - 60], Голубев Г. В., Данилаев П. Г., Тумашев Г. Г. [28], П. Г. Данилаев [34], Ю. М. Мацевитый, С. Ф. Лушпенко [65], Каюмов Р. А. [46] и другие.

Активное развитие методов идентификации в инженерном деле в последнее время, очевидно, связано с развитием численных методов. Возможности компьютерной техники существенно расширяют класс решаемых задач. Причем, несмотря на громоздкость вычислительных процедур, время, необходимое ЭВМ для проведения непосредственно самих расчетов, становится значительно меньшим, чем требуется на написание и отладку рабочих программ.

От задач идентификации неотделимы различные алгоритмы для повышения устойчивости решения, проведения регуляризации. Это приводит нас к двум отдельным проблемам: 1) повышению качества исходных данных и 2) получению непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи.

Первая проблема обусловлена неизбежными погрешностями в исходных данных, как и в любых данных измерений. Важную задачу при этом представляет выделение из результатов измерений значения полезного сигнала на фоне помех. Известно большое количество методов, решающих эту задачу, например, фильтры Калмана-Бьюси [18, 38, 42], процедуры сглаживания Брайсона-Фразьера [110]. Полезным может оказаться применение методов обработки результатов измерений, основанных на теории вероятностей и математической статистике [62, 91, 97, 100, 101].

Вторая проблема связана с получением непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи идентификации.

В данной диссертации применяются численные методы решения как безытерационные, так и итерационные. Первые основаны на непосредственном решении обратной задачи, что позволяет сразу найти искомые величины из решения системы уравнений. Используя вторые, решение находится последовательно в процессе проведения нескольких итераций.

Итерационные численные методы не способны варьировать (искать) слишком большое количество параметров и требуют запоминания больших массивов промежуточной информации о результатах предыдущих приближений. Но зато они являются методами естественной регуляризации.

Одношаговые" методы не требуют итераций, так как искомые параметры непосредственно выражаются из уравнений математической модели, но для получаемого решения естественным образом возникает проблема единственности.

Наиболее универсальный вариант решения задачи идентификации - решать ее как задачу оптимизации, то есть на основе имеющейся в распоряжении расчетчика исходной информации подобрать параметры, характеризующие исследуемую систему таким образом, чтобы составленный определенным образом функционал цели достиг своего минимума (максимума) [4, 43, 45, 66, 79, 98, 106]. Такой подход О. М. Алифанов назвал решением задачи идентификации в экстремальной постановке [4]. Необходимым при этом является соблюдение определенных условий (ограничений) для уточняемых параметров и для модели.

Важным является и вопрос выбора (составления) целевой функции. В любой математической задаче оптимизации составляется функционал цели, который является критерием качества решения задачи. Функционал может быть простым и выражаться одним критерием или быть составным, т.е. представлять собой свертку нескольких критериев (условий) [66, 89]. Характерной особенностью при составлении функционала цели, как правило, является использование принципов метода наименьших квадратов и минимума взвешенного среднеквадратичного значения [4, 79, 98, 106, 108].

Велика роль вычислительной техники в решении задач идентификации, особенно при использовании итерационных методов, т.е. методов оптимизации. Применение ЭВМ приводит к разработке дискретных моделей механических систем [29] и использованию различных численных методов [20, 37, 41,61, 99, 104, 105].

Постепенно происходит повышение точности методов идентификации. Достигается это разными путями: как с помощью усовершенствования математической модели, так и с помощью улучшения самого метода. Например, начинают учитывать нелинейность поведения исследуемых механических систем, отличающихся значительной сложностью. Однако некоторые методы построения нелинейных моделей и оценки параметров приведены в [52, 68].

В области прочности летательных аппаратов по-прежнему являются актуальными нелинейные задачи. Задачи физически нелинейной природы возникают всегда при прочностных расчетах авиаконструкций. Как правило, задачи такого плана возникают при рассмотрении авиаконструкций в целом. Для отдельных конструкционных элементов может представлять интерес случай геометрической нелинейности. Нелинейные задачи идентификации авиаконструкций на сегодняшний день практически не решались.

В работе [68] описан метод точной идентификации нелинейных динамических систем. Он является точным по отношению к большим погрешностям в первоначально принятой модели (включая линейную модель), к малой частоте измерений, к низкой точности измерений. Метод основан на оптимальной оценке состояния и погрешностей модели при условии удовлетворения ковариационного ограничения. Оценка параметров основана на детерминистическом подходе, предполагающим использование метода наименьших квадратов, и, в отличие от других методов, не требует итераций.

Необходимо отметить, что природа задач идентификации вероятностная. Исходные данные таких задач - результаты измерений, а любые измерения являются случайными величинами. Поэтому необходимо разрабатывать соответствующие методы их решения, основанные на теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций, статистической динамике. Здесь можно отметить работы Е. С. Вентцель и Л. А. Овчарова [24], В. С. Пугачева [78], А. М. Арасланова [6, 7], В. В. Болотина [12 - 14], А. С. Гусева и В. А. Светлицкого [33], М. Ф. Росина и В. С. Булыгина [82], В. А. Светлицкого [86], А. Ф. Селихова и В. М. Чижова [87], Дж. Д. Коллинза [51], Ю.Л.Тарасова, Э. И. Миноранского, В. М. Дуплякина [93],

К. Капура, Л. Ламберсона [44] и др.

Как правило, решение стохастических задач общем случае является весьма трудоемкой задачей: требуются точные аналитические выражения для математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции. В такой постановке удается получить решение лишь в частных случаях. Поэтому, чтобы избежать определенных вычислительных трудностей в настоящее время, как правило, отдается предпочтение численному моделированию задач. Одним из способов численного расчета является использование метода Монте-Карло (метод статистических испытаний), который благодаря простой вычислительной схеме и наглядной вероятностной трактовке широко используется для решения многих прикладных задач.

Итак, для проведения идентификации авиационных конструкций необходим метод достаточно простой, обладающий хорошей сходимостью и малой чувствительностью к погрешностям измерений, позволяющий решать задачи как в детерминистической, так и в вероятностной постановке. Очевидно, характеристики наиболее подходящего метода будут таковыми: 1) Математическая модель предполагается известной и неизменной в процессе решения задачи, т.е. решается задача параметрической идентификации, в процессе которой уточняются отдельные параметры, характеризующие математическую модель. 2) Метод будет, скорее всего, итерационным. 3) Идентификацию, вероятно, можно производить с помощью одного из известных методов оптимизации: симплекс-методом, выпуклого многогранника, покоординатного спуска, случайного поиска и т.п. Эти методы достаточно просты и хорошо разработаны. 4) Метод должен обязательно включать какую-либо обработку результатов измерений, т.е. исходных данных. 5) Для решения задач идентификации в вероятностной постановке использовать метод Монте-Карло. 6) Повышению точности идентификации способствует использование априорной информации.

Настоящая диссертация состоит из четырех глав и приложения. Первая глава носит подготовительный характер. Другие уже непосредственно посвящены решению конкретных задач идентификации прочности летательных аппаратов.

Первая глава посвящена математическим особенностям задач идентификации и методам их решения. Перечислены численные методы решения задач прочности. В качестве основы проведения численных расчетов выбран аппарат метода конечных сумм в форме интегрирующих матриц М. Б. Вахитова [20]. Приведены математические модели, используемые в диссертации. Отдельный параграф посвящен выбору алгоритма решения некорректных задач. Кратко описаны методы и средства получения экспериментальных величин как исходных данных для решения обратных задач прочности.

Во второй главе задачи идентификации решаются непосредственно как обратные. Рассмотрены задачи: 1) на базе балочной модели - задача восстановления распределенной нагрузки, действующей на летательный аппарат; 2) для модели тонкостенной конструкции Ю. Г. Одинокова - задача определения переменных параметров упругости (построение диаграмм деформирования) элементов конструкции продольных ребер и панелей обшивки; 3) для модели ортотропной (изотропной) пластины -двумерная задача идентификации поля жесткостей пластин. Также рассматриваются возможности метода регуляризации по А. Н. Тихонову в случае "плохо" обусловленных задач.

В третьей главе идентификация проводится путем итерационного решения прямых задач. Рассматриваются: 1) для балочной модели и модели тонкостенной конструкции Ю. Г. Одинокова - задача восстановления внешней нагрузки; 2) для модели тонкостенной конструкции Ю. Г. Одинокова и модели трехслойных пластин (стержней) - задача определения жесткостных параметров: модулей упругости, сдвига, цилиндрических жесткостей.

Четвертая глава посвящена решению задач идентификации в вероятностной постановке. Определены способы получения решений как в общем виде, используя аналитические выражения, так и в случае численного решения, используя метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В конце четвертой главы для выявления значимости факторов приведен пример однофакторного дисперсионного анализа. Результаты главы позволяют, например, сформулировать требования к точности проведения экспериментов.

В приложении рассмотрены вспомогательные вопросы, необходимые для решения рассматриваемых задач идентификации. Это: 1) развитие метода интегрирующих матриц для решения двумерных задач; 2) сведения из теории вероятностей и математической статистики, необходимые для решения задач в вероятностной постановке и 3) метод обработки (метод выравнивания) экспериментальных данных, основанный на теории вероятностей.

1. Авдонин А. С., Фигуровский В. И. Расчет на прочность летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1985. - 440 с.

2. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. - 216 с.

3. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.280 с.

4. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. - 288 с.

5. Алифанов О. М., Зайцев В. К., Панкратов Б. М. и др. Алгоритмы диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1983. - 168 с.

6. Арасланов А. М. Вероятностные подходы к силовому проектированию элементов конструкций. Казань: КАИ, 1992. - 92 с.

7. Арасланов А. М. Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях. -М.: Машиностроение, 1987. 128 с.

8. Баранов А. Н., Белозеров А. Н., Ильин Ю. С., Кутьинов В. Ф. Статические испытания на прочность сверхзвуковых самолетов. М.: Машиностроение, 1974. - 334 с.

9. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. -М.: Стройиздат, 1971. -255 с.

10. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. - 336 с.

11. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1961.-202 с.

12. Болыпев JI. Н. О преобразованиях случайных величин //Теория вероятностей и ее применения. 1959. - №2(4). - С.136 - 149.

13. Борисов М. В., Вахитов М. Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц //Труды КАИ. 1974. - Вып.166. - С.32 - 39.

14. Борисов М. В., Вахитов М. Б. Расчет прямоугольных пластин с помощью интегрирующих матриц //Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Межвуз. сб. Вып.1. Казань: КАИ, 1976. - С.7 - 11.

15. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.:Наука, 1982. - 199 с.

16. Бусленко Н. П., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний: Метод Монте-Карло. М.: Физматгиз, 1962. - 332 с.

17. Вахитов М. Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики //Авиационная техника (Изв. высш. учеб. заведений). - 1966. - №3. - С.50 - 61.

18. Вахитов М. Б., Сафариев М. С., Снигирев В. Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Таткнигоиздат, 1975. - 212 с.

19. Вахитов М. Б., Сафонов А. С. К вопросу расчета тонкостенных конструкций переменного сечения //Труды КАИ. 1970. - Вып.118. - С.35 - 42.

20. Вахитов М. Б., Сафонов А. С. Расчет тонкостенных конструкций с большими вырезами //Труды КАИ. 1971. - Вып. 139. - С.32 - 46.

21. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. - 383 с.

22. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ, 1984.111 с.

23. Глова В. И., Аджели М. А., Маликов А. В. Проблемы качества генерирования случайных последовательностей //Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. - №4. - С.62 - 64.

24. Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на ЭВМ. М.: Наука, 1965. - 227 с.

25. Голубев Г. В., Данилаев П. Г., Тумашев Г. Г. Определение гидропроводности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: КГУ, 1978. - 168 с.

26. Гревцов Н. М., Костерина Е. В., Мельц И. О. Идентификация параметров динамических систем по результатам дискретных некоррелированных измерений //Труды ЦАГИ. 1982. - Вып.2131. - 27 с.

27. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. - 172 с.31 .Гудков А. И., Лешаков П. С. Методы и техника летных испытаний самолетов на прочность. М.: Машиностроение, 1971. - 248 с.

28. Гудсон П. Идентификация параметров систем с распределенными параметрами //Общий обзор ТИИЭР. 1976. - № 1. - С.56 - 80.

29. Гусев А. С., Светлицкий В. А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. - 240 с.

30. Данилаев П. Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: УНИПРЕСС, 1998. - 127 с.

31. Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т. К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986. - 214 с.

32. Дейч А. И. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.-240 с.

33. Демидович Б. П., Марон Р. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.-368 с.

34. Дубенко Т. И. Фильтр Калмана для случайных полей //Автоматика и телемеханика. 1972. - №12. - С.37 - 40.

35. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.472 с.

36. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания //Труды Американского Обществе Инженеров Механиков. Сер. Д. - 1961. -№1(83).-С.123-141.

37. Каммер Д. К. Оптимальная аппроксимация для остаточной жесткости при идентификации линейных систем //Аэрокосмическая техника. 1988. - №11. - С.111 -121.

38. Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем. М.: Мир, 1980. - 608 с.

39. Касьянов В. А., Ударцев Е. П. Определение характеристик воздушных судов методами идентификации. М.: Машиностроение, 1988. - 176 с.

40. Каюмов Р. А. Связанная задача расчета механических характеристик материалов и конструкций из них //Механика твердого тела. 1999. - №6. - С.118 - 126

41. Кобелев В. Н., Коварский Л. М., Тимофеев С. И. Расчет трехслойных конструкций: Справочник /Под ред. В.Н. Кобелева. М.: Машиностроение, 1984. - 303 с.

42. Козачок А. Г., Кезерашвили Г. Я., Ракушин Ю. А., Солодкин Ю. Н. Измерение деформаций и напряжений методами голографической интерферометрии. В кн.: "Голо-графические измерительные системы": Сб. науч. тр. - Новосибирск: НЭТИ, 1976. - С.58 -75.

43. Колкер И. Г. Метод интегральной оценки внешних нагрузок, действующих на летательный аппарат в эксплуатационных условиях //Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1978.-С.34-37.

44. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-447 с.

45. Коллинз Дж. Д., Харт Дж. К., Хассельман Т. К., Кеннеди Б. Статистический метод идентификации конструкций //Ракетная техника и космонавтика. 1974. - №2. -С.74-81.

46. Кононенко В. О., Плахтиенко Н. П. Методы идентификации нелинейных механических колебательных систем. Киев: Наукова думка, 1976. - 116 с.

47. Коноплев Ю. Г., Шалабанов А. К. Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки //Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ. - 1976. - Вып.12. - С.27 - 37.

48. Корнев Б. Н. К расчету тонкостенного фюзеляжа кругового сечения с учетом повреждений //Труды КАИ. 1971. - Вып. 139. - С. 16 - 31.

49. Костин В. А., Снегуренко А. П. К вопросу уточнения внешней нагрузки по заданным деформациям //Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 1999. - №4. - С. 3 - 8.

50. Костин В. А., Снегуренко А. П. О построении диаграмм деформирования элементов авиационных конструкций по данным натурного эксперимента //Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2000.-№1(9).-С. 66-71.

51. КостинВ. А., Снегуренко А. П. Идентификация поля цилиндрических жестко-стей изотропных и ортотропных пластин //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2001. -№2. - С. 3 - 9.

52. Лаврентьев М. М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. -Новосибирск: НГУ, 1981. 74 с.

53. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. - 88 с.

54. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

55. ЛанцошК. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

56. Леонов В. А. Математическая обработка экспериментальных данных. М.: МАИ, 1975.-104 с.

57. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 354 с.

58. Ли К. Й., Хоссейн С. А. Непрерывный метод идентификации гибких конструкций //Аэрокосмическая техника. 1988. - №8. - С.66 - 76.

59. МацевитыйЮ. М., ЛушпенкоС. Ф. Идентификация теплофизических свойств твердых тел. Киев: Наукова думка, 1990. - 213 с.

60. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.488 с.

61. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ, 1987.216 с.

62. Мук Дж. Оценка и идентификация нелинейных динамических систем //Аэрокосмическая техника. 1990. - №2. - С.44 - 53.

63. Натурный эксперимент: Информационное обеспечение экспериментальных исследований /А. Н. Белюнов, Г. М. Солодихин, В. А. Солодовников и др.; под ред. Н. И. Баклашова. М.: Радио и связь, 1982. - 304 с.

64. Пархомовский Я. М. Замечания об определении жесткости балки по заданным деформациям и о решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода //Учен. зап. ЦАГИ. 1987. - Т.18. - №5. - С.102 - 105.

65. Пархомовский Я. М. О двух задачах идентификации, встречающихся при расчетах на прочность //Труды ЦАГИ. 1979. - Вып. 1999. - 16 с.

66. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. - 883 с.

67. Пухов Г. Е., Хатинашвилли Ц. С. Критерии и методы идентификации объектов. Киев: Наукова думка, 1979. - 190 с.

68. Редько С. Ф., Ушкалов В. Ф., Яковлев В. П. Идентификация механических систем. Киев: Наукова думка, 1985. - 216 с.

69. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. Т.1. М.: Мир, 1986.-С.93 -95.

70. Росин М. Ф., Булыгин В. С. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления. М.: Машиностроение, 1981. - 312 с.

71. Саченков А. В. Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек //Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1970. - Вып.6 - 7. - С.391 - 433.

72. Саченков А. В., Сабитов М. 3. К теории изгиба и устойчивости ортотропных пластин и оболочек //Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1972. - Вып.9. - С.332 - 339.

73. Сборовский А. К., Никольский Ю. А., Попов В. Д. Вибрация судов с корпусами из стеклопластика. Л.: Судостроение, 1967. - 192 с.

74. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1991. - 316 с.

75. Селихов А. Ф., Чижов В. М. Вероятностные методы в расчетах прочности самолета. М.: Машиностроение, 1987. - 240 с.

76. Серьезнов А. Н. Измерения при испытаниях авиационных конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1976. - 224 с.

77. Сиразетдинов Т. К. Методы решения многокритериальных задач синтеза технических систем. М.: Машиностроение, 1988. - 158 с.

78. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1965. - 512 с.

79. Степнов М. Н. Статистическая обработка результатов механических испытаний. М.: Машиностроение, 1972. - 232 с.

80. Сухарев И. П. Экспериментальные методы исследования деформаций и прочности.—М.: Машиностроение, 1987. 216 с.

81. Тарасов Ю. Л., Миноранский Э. И., ДуплякинВ. М. Надежность элементов конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1992. - 224 с.

82. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физмат-гиз, 1966. - 636 с.

83. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.-285 с.

84. Тихонов А. Н., Кальнер В. Д., Гласко В. Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М. Машиностроение, 1990. - 263 с.

85. Тихонов А. Н., Уфимцев М. В. Статистическая обработка результатов экспериментов. М.: МГУ, 1988. - 174 с.

86. Торопов М. Ю., Костин В. А. Об уточнении жесткостных характеристик конструкций по результатам прочностного эксперимента //Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева. - 1999. - №1(7). -С.71-76.

87. Турчак JI. И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. - 318 с.

88. Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений. М.: Мир, 1981. - 696 с.

89. Уитткер Э., Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений. М.: ГТТИ, 1933. - 373 с.

90. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -M.-JL: Физматгиз, 1963.-736 с.

91. Фирсов В. А. Аппарат МКС на основе сплайн-аппроксимации //Актуальные проблемы механики оболочек. Межвуз.сб. -Казань: КАИ, 1985. С.124 - 132.

92. Фирсов В. А. Дифференцирующие матрицы на основе сплайн-аппроксимации //Прочность тонкостенных авиационных конструкций. Межвуз.сб. Казань: КАИ, 1989. - С.53 - 56.

93. Форсайт Д., МальколмМ., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

94. Цыпкин Я. 3. Оптимальные критерии качества в задачах идентификации //Автоматика и телемеханика. 1982. -№11.- С.5 - 24.

95. Шатаев В. Г. К расчету тонкостенных балок в физически-нелинейной постановке //Авиационная техника (Изв. высш. учеб. заведений). 1969. - №4. - С.51 - 58.

96. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.678 с.

97. Neumann J. Various techniques used in connection with random digits. NBS Apll.Math.Series. 1951. №12. P.36-38.

98. Stalford H. L. The EBM system identification technique and its application to high a/b modeling of aircraft //AIAA Atoms. Flight. Mech. Conf. Mass. 1981. P.619 625.182