автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение нестационарных динамических задач строительной механики методом подконструкций

московский инженерно-строительныи институт им. в.в.куибышева'

решение нестационарных динамических задач строительной механики методом подконструкции

05.23.17 - строительная механика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ргз 013

11 1ш

На правах рукописи УДК 624.04:681.3

НЖОЛАЕНКО Мария Николаевна

МОСКВА 1993

Работа выполнена в Московском инженерно-строигельш институте им. В.В.Куйбышева.

кандидат технических наук, доцент М.В. Белый

доктор технических наук, старший научный сотрудник Н.А. Дашевски»

кандидат технических наук, старший научный сотрудник A.M. Бвлостоцкий

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Всесоюзный научно-исследовательский

институт оснований и подземных сооружений (ВНИИОСП)

. Защита состоится и в " апреля 1993г. в часов на заседании сшциализированного совета К.053.II. при Московском инженерно-строительном институте по адрес II3II4, г. Москва, Шлюзовая набережная, д.8, аудитория if уг/

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26.МИСИ i В.В. Куйбышева, Учены* Совет.

Автореферат разослан " 5'" itcaf-f^vrnv.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Ученый секретарь специализированного совета

Н.Н. Анохи

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертационная работа посвящена разработке численных методов ешения задач динамики сооружений на основе метода подконструкций ¡суперэлементов).

Актуальность темы. Наиболее универсальным и широко распространенным методом расчета строительных конструкций шляется метод конечных . элементов (МКЭ), который формально тозволяет выполнить исследование конструкций любой степени сложности. Однако, на практике, расчет сложных сооружений с 5ольшим числом конструктивных элементов с помощью МКЭ встречает серьезные трудности. Это обусловлено тем, что, во-первых, с увеличением порядка систем разрешающих уравнений резко возрастает время счета ввиду ограниченного быстродействия ЭВМ и необходимости многократного обращения к внешней , памяти. Во-вторых, с усложнением расчетных схем, с ростом числа элементов усложняются подготовка и контроль исходных данных, возрастают объемы вводимой и перерабатываемой информации.

Одним из подходов, направленных яа увеличение вычислительных возможностей конечноэлементных программ является метод подконструкций, известный также: как метод суперэлементов. Во многих случаях применение метода суперэлементов позволяет существенно сократить затраты времени на вычислительный процесс за счет понижения порядка системы разрешающих уравнении и уменьшения числа обращений ко внешним запоминающим устройствам. Особенно эффективным метод суперэлементов оказывается при расчете больших конструктивных систем, состоящих из большого числа одинаковых частей. Одним из главных преимуществ метода суперэлементов является существенное сокращение объемов исходной информации и трудоемкости ее задания.

Представляется актуальным распространение сугарэлементного подхода на решение нестационарных динамических задач, возникающих при расчёте конструкций на импульсные воздействия, сейсмические воздействия, при расчете переходных режимов в конструкциях.

Целью работы является:

- разработка варианта метода подконструкций для решения нестационарных задач динамики сооружения;

- исследование вычислительных свойств разработанных алгоритмов;

- программная реализация и применение метода подконструкциа д» решения нестационарных динамических задач.

Научная новизна состоит в:

построении варианта - метода подконструкциа дм решения нестационарных динамических задач;

- разработке алгоритмов для основных операций динамического метода подконструкцм. .

Практическая шнность состоит в:

- разработке пакета программ да статического и динамического расчета' конструкцш на основе метода подконструкцм (оушрэлемеягов);

г практических рекомендациях по использованию приниженных вариантов метода подконотрукци* дхя динамических расчетов;

- результатах решений конкретных задач раочета конструкция о применением предлагаемого подхода.

Внедрен» работы состоит в использовании методов, алгоритмов и программы для динамического расчета консггрукци« в организациях ЦЩОКЗС им. В.А.Кучеренко;МНИИТЭП; ВЦ МИСИ.

На вачпу выносятся: ,

- вариант метода тдаонструкци* дхя реяения нестационарных задач динамики сооруяени», в частности, точная система уравнение двюения ансамбля сушралвмонтов и полученные на ее. основе прябдвонныв уравианшц

- шаговый алгорим для радения системы интегро-диМерентдпишд уравнений метода подконструкций для нестационарных динамически 8адач;

- алгорипы х пакет цратраш дхя статического и динамического расчета конструкцш методом сушралементов;

- припри генных динамических задач.

Апробация работа состоялась на семинарах:

ЦШОЮК ам. В.А.Кучвренко; МНИИЭП; на семинаре .кафедры приыадяой мэтеиапося ШСХ под руководством проф. В.В.Кучеренко;

Достоверность результатов основана на:

- строгости матемагптских шквдох; .

- сопоставлении матемагтчаских формулировок задач о известными вариантами метода □одконструхцш;

- сопоставлении результатов очага о аналитическими реиенияш и ревенняи иавестаыми числмными методами.

Публккацдц.

По цата риале.4 и результата псагэдовапиа ощфстаэвани деэ. научныэ статьи. *

Odteu работа.

Диссертация состоит сз веэдэннл, шгш гхав, заюзочанкя, шлегэна на 115 страницах .иешшописного текста, содэрзот 30 рисунков, список лггораггуры на Б9 напгэновашэ.

С0ДЕРЛАШ5Е РАБОТЫ '

Во ввэдэшш показана актуальность ксслэдуокоа npoöJsiaj, сформулировали цаш п задачи, научная новизна.

В первой главе содержится обзор лзгоратуры ш катодам рзсэштл задач строэтольноа кэханики, кепользугецп дэксыпозицкп исходной расчетной иодэла на подаонечрукцка. Супостиопныа вклад в разватпэ таквх кэтодов впаелл А.А.Пюздэв, В.А.Постаов, А.С.Волышр, В.В.Болотин, З.И.Бураап, Н.Н.Вапошннков, И.О. Образцов, Дз.Арпфис, Е.Прсзкпкщаа, Б.Агронс, Р.Гааап, Е.Вшесон, А.Лэунг п ряд других отачастпэпных в зарубэшшх ученых. Аналвз jnrröparypu показал, это, в настопз&э врэыя кэтод супэралавэнтов для рэсанпл задач статичэасого расчата дэтально разработан и реализован со снопа прогргигшых коишэксах по ИКЭ. Вводу больпоа актуальности расчетов слозных конструкта на детемцчасгаэ воздействия, в поехэдзиэ году иэтод подкопструкциз тг сочетании с гатодаа Еосэчпнг алзкзптов был распространен на ревеню задач о ссбстсэшшж кохзбапшп упругих систоа. Однако, недостаточно рззргботапы кэтода подкопструкцяа дня рэсэшш нахйохза обпщх я слетыл задач дшсетгэского расчата, которыми пвлются пзстаЦЕояарныэ дааагдггескЕЭ задача. Такса задачи возникает при рзечэто соорукзша па взрьгшшэ п Еяхульснкэ нагрузки, при расчата переходных рзжыов при вклшвшш п выняэчаниа оборудования, при рзечэто пдяиуп на сзйсмкческкэ нагрузки (по реальный caaesorpsaasu) в т.д. Тахгэ обсувдаэтся преимущества кэтодов подконструкцаз, область пз пргаврния, подробно описаны аташ расчета по супэрзлэкзптпоцу алгоратиу.

Во вггороа глава для удобства послэдуввзэго пагоавнея расширен вариант »этода подконструкцка дгя вычисления частот п форм собственных колебания упругих систем

Без потери общности всо ресоуидония будам проведать для одной

подконструкции. Частоты и формы собственных колебаний являются решениями следующэа обобщенной проблемы собственных значений

к и » р*м и , (I;

где к,м - соответственно матрица жесткости и матрица мас< подконструкции, р - круговая частота собственных колебаний.

Задачу (I) можно представить в блочной форме

где индексы "1н и "Ь" указывают на внутренние (подлежащие исключению) и граничньа (суперэленентныа) неизвестные соответственно.

Формально применяя к (2) процедуру статической конденсации, можно получить

~ «»-Р* "»Г1 СК1Ь - р" н1Ь] (3

^Л-МЧ^^А^Л»", -о <4

Последнее уравнение представляет собой сужение проблемы собственных значений на мнсваство граничных неизвестных. Однако, решать задачу в таком вида очень сложно, т.к. в левую часть (4) входет матрица, обратная к матрица к.( - рам.., зависящая от неизвестного параметра р. Поэтому предлагаются слэдуюциз эквивалентные формулировки эадачи (4):

к и. - Р*й и - в А [о* - р"1,Г4фТ в* = 0 (5)

т Ъ тп Ь тт I т тп Ь

к и -р'Яи +'р"8.Ф 10* - ря1,Г4ф* В* = 0 (в)

вв. в» о к ' I ' ш ' о

уч - рЧ"ь - рЧФ - Р»11ГЧТ в! иь = 0 <7>

Здесь вя» [мь1м- - КьК:;] ки, вь - [к^ - п^] мц>

я » м* м n , к я и* к n . к = к n , и » ы* м n .

т т т* т - тп ш" к к к* к к к *

м~*м 1 г- к"*к 1

г] • -V [';;] •

матрицы ф и о = 1И»9[ы ,и .....и^] представляют собой решешю обобщенной проблемы собственных значений

к <♦> = м <ь п1 (8)

Столбцы матрицы ф представляют собой формы колебания подконструкции с закрепленными граничными узлами (иь=0), а диагональные элементы матрицы п - соответствующе зпм формам частоты собственных колебаний.

Суперэлеиентныа уравнения (5),(в),(7) является точными, если при их построении используются все частоты и форгы ксиабашй подконструкции с закрепленными граничными степенями свободы. Использование лишь части этих форм и частот приводит к приближенным уравнениям. В частном случае, когда не используется ни одноа форш колебаний закрепленной подконструкции, например, уравнение (7) приводит к простейшей из приближенных задач рассматриваемого семейства.

к иь - д*мкиь »0 (9>

Для минимальной собственной частоты .приближенных задач, порождаемых уравнением (7), получены априорные оцэшш точности. Пусть р1 - искомая минимальная частота собственных колзбаний, значониэ этоп частоты, получаемое из решения приЗлиженной задачи. Пусть в уравнении (7) удерживается г форм колебаний закрепленной подконструкции (ггО). оценка для относительной погрешности мювшальной частоты собственных колебания имеет вид

ч. - р.

г+.

"7 + 1

р.

<Ю>

где 0 5 а 5 I, ь>г41- 1ч1-я частота собственных колебаний закрепленной подконструкции. Учитывая, что р* * , можно

записать

(И)

5

Неравенства (10) и (II) показывают, что с увеличением г относительная погрешность уменьшается. Они позволяют' оцэшпъ

чксло форм колэбаниа закрепленное подконструкции, необходимое дхя получения квадрата первой собственной частоты р" с заданно! точностью, прячем неравенство (II) позволяет сделать ото, вэ используя никакой информации о величине р(.

В третьей главе рассматривается вариант катода подашструкцеа дая рэоения нестационарных динамических задач.

Нэ стационарная динамическая задача дхя одной подконструкции представляет собой задачу Коси дхя системы уравнений дадаешя

Н u + Ка . f (t), t>0 I (I2)

u(0) . uo, u(0) - vo,

где и - матрица касс подконстругадаи, к - матрица жесткости, u(t) - вактор узловых пвремещвниа, f(t) - вэктор узловых нагрузок. Использование обобщенных функций позволяет сформулировать (12) в виде одного операторного уравнения, ишзчакзего начальные условия

т

ми+к11-7(г>+и + "0«<t)j, (13)

гда <s(t) - дельта-функция Дирака. Знак "■>-" обозначают нуловоа продолжение функции в область *<0.

Систему уравнений (13) ш&во представить в блочном вздо

кшьь i

(i4>

где обозначено d - м d®/dt" + к , p,q - a f. и f.

И РЧ РЯ 1

представляют собоа соответствувди> компоненты правой части. Выражая (формально) из пэрвоа блочной строки (14)

"i - Du - °u Dib"b <I5>

и подставляя во второе блочное уравшнкэ. получаса

[d - d d"1 d 1 и я f - d d"1 f (16)

ьь ы ii ibj Ь ь Ы ii i у '

На множестве векторных функций, равных пула при t<0 оператор, обратный к du имеет вид

оЦ - ф ti* slntnt]* ф®, (17)

где ф и о» días <«в ,<■>,... ,wn j - матрица форм и частот свободных

колебаний подконструкции с закрепгвшьни граничными степенями

свободы, sin [ot] ® dlag IslnO^tKsinO^-t)......sln(ont)j. Злак

"»" обозначай- опэрацпа свзрггет по врэкэпп, т.е.

I I

У<0 * 2^) - | 7<г - т)2<т)йт - | у(т>2а-т)(Ь <18)

о о

УрзппэнЕэ <10) еснео прзобрасопгггь к одаоау пз сдздувдц вддов: и + к и - 0 ф п"*з1п[пи » ф'Ь* и ш <10^

«и Ь к % я' * 1« % ' '

с н^иъ) + м.{"оЬ<»<«) + *оЬд<г)| + °ШФ а"о1а1аИ » ф*

ОЛЯ

Йи^ + - а^ф о"*о1п[пг] • - (20)

» п*»т + + + а^ф п-*в1п[о1;) • ф*

■

мкиь + - а^ф о-*а1п[ог] * а"/(К"{®<<>£ь} - <21)

- м^ 1 <г> + Ик |иоЬй<г) + *оЬ<»<г)} + 0кф п-'и1п[ог] • ф* р"'

Здэсь папальзуэтся обознзтанпл, сршггсэ в формулах (Б),(в),(7),

К" ' \<*> + "и1-! {"„*<*> +

р;*' - ?4<*> + {иоа{1) + ув«<*>}.

и,"= [ "ьА;]

4я

Уравнения (19), (20), <21) прэдстазляэт собой разххгсь.'э формы зашел суяэния настацлзнзрноз дангязчэскоа задачи па шгогэство граничных ЕзизЕестпых. Если суимгаэя задача решона (какпм-то образом), то ресзнЕэ дая внутренних стетаней свобода годконструкцпп моггэт быть восстановит го значоппям граничных неизвестных, напргс.йр, го форзу-зэ

и.= ф п"ЪГМ [о 11* фт|р'*' - »1Ьи„- К1Ь"Ь] <22)

Полученные уравнения (19)-(21) представляет собой

интегро-дифференциальные уравнения типа свертки (по времени) относительно граничных степеней свобода. В работе показано, что уравнения метода подконструкциа для нестационарных динамических задач содержат уравнения метода подконструкциа для статических задач и для задач о собственных колебаниях <5)-(7) как частные случаи. Установлено, что с механической точки зрения предлагаемые вариант метода подконструкций представляет собой распространение суперзлэментного подхода, в форме метода перемещении на нестационарный случай.

В случае, когда конструкция состоит из нескольких подконструкциа, суженные уравнения движения для отдельных подконструкциа объединяются в глобальную систему с помощью процедуры суперзлементной сборки. При этом между годконструкцияьщ могут быть установлены дополнительные упругие и вязко-упругие связи. * .

В четвертой главе излагается шаговый алгоритм решения системы нестационарных суперэлементных уравнений, полученных в главе 3. Для простоты опишем шаговые алгоритмы для случая одной подконструкции. Обобщение на случай нескольких подконструкциа дается ниже. При описании алгоритма подразумевается, что в области изменения переменной г введена сетка с шагом ¿г, у злы которой соответствуют моментам времени 1п= п д1;, п = 0,1,... .

Будем исходить из суперзлементных уравнений (20), эквивалентных следующей задачи Коеш

I

миь + Киь - |акф п-*51М[ог] » Ф*Ь* иь= М** (г) + В^Ц) (23) иь(0) =иоь, йь(0)

Вектор и. (I) в правое части (23) представляет собой решение следующей нестационарной динамической задачи для подаонструкции с закрепленной границей

+ - МР; Г1<0)'-^ив; <24)

Точное решение этой задачи можно представить в виде

фч<г> (25)

где, . Я<г> »С08[С*] фт М..1Л1 + П~*81И[ПЬ] фт м +

т я к О ■ и к О

Яа интервал U t s tn = ¿t), т.е. в пределах

одаого шага по времени, принимается следующая аппроксимация для вектора ускорений граничных узлов

"ь = <1+ г <28>

Перемещения и скорости граничных узлов в момент времени вычисляются по формулам

ú = u + At t (1-r»)ii + ß ü ] j

n+4 n f n "

U = U + At Ú + [(1 - c.) Ü + a ü ], (27)

n+t r» ' - n . ¿ n n+i ' •

где a, pt r - параметры кзтода. В случае <*=р=г, очевидно, формулы (27) подучаотся го (28) интегрированием по времени.

С учетом того, что üfe аппроксимируется кусочно-постоянной функцйза времени, аппроксимация интегрального члэна в левой части уравнения (23) имеет ввд

t .

- г» ♦ 1

j(tn„) = fsiNln(tn>rT)] фт йь(т) dT =

о <28)

= SIN[Ot ]J (t ) " C03[nt JJ (t ) + 20~,SlN1t0.5nAt]éTG7 с ,

n + i a* rt' n*t Я nr «kr»'

где J (t ) = j (t ) + n_1( sin[nl ] - siNfnt ] ) r ,

а ^ n+ á . О* n' * -n+4 r> n*

J (t ) - J (t ) - n"4( COS[nt ] - COStot ] ) г , (29)

яЛ „<•»' в' n' ' nti r> ' n'

r„e ФХ <<1-г>А + r "n>1>-

Подставляя (27) и (28) в уравнешш (23) и удовлетворяя ему при t=tnii, получаем систему лшеаных алгебраических уравнений для определения Еектора йп+1

[М + 0.5 a At*K - 2 у-а <Ь O'^SIN'CO.S 0&t П] фТ6* I " m k tnT J n

= nlf <*„.. > - *k<u„* + - «> v+

t G ф / 2r n'*SlN*[0.5 eüt О] фте* ü + q (t ) + ' (30)

m '. 1 T k r» x n* i '

+ 0_1{ SINfnt ] J (t ) - COSfflt 0 j (t ) > "l.

n+i a nr n+4 Я n I

После решения этой системы по формулам (27) вычисляются значения

шреш^шна в скоростей граштых узлоа дхя а такса

вычисляются IX > а ляа ) ш форнудаа (29) для подготовки к аюдувдэау вагу го вреканн. До начала вагового процэсса догтеч йлъ заданы вначзкая начальных скоростей, юрзтщанш грапкчнш: узлов в векторы лв(0)~0, лА(0)*0 . Отиэтш, чгго в частаоа слупьз, когда в уравнении (23) отсутствует игегральнь® члан (простееЕШГ случаа приблиаенноа задачи), построенные ахгорвга совпадет с взввстнш вэтодоа Вышарва. Нэтрудео показать, тго горэйшзйшя, соатгатстаукдаэ внутренние сташнш свобода падашструкигш на лзЗоа наго по временя определяются ш формула

+ Ф {"<*„♦.> - «-'»»"^.»„{^.нявю^.и.«^..)»} (31)

В случае нескольких падаояструкциа система уравааняа двшепия ансамбля супэралвментов имеет вод

йй;» С и ♦ к ик - £ | в_ф о"Ч1М(о(г-т) )ф*а*ик(г)чт -

".X 1 * (32)

где Й « ^ й^ ♦ нв; с - сж; к - ^ ¡с^ * к^. Здесь • подразумевается

оушдровян» ю воем пздконструкцида. Обоаначэннл с^ в

йоподьауотся для дополикпшдыд матриц масс, демпфсровшия в восткосго, юторш могут быть добавлены к соотезтствувда награда посла сборка. Пусть дкя воэх шдаовструшщй заданы цачальшэ апачания да рема кэши в скоро стоа в нач&лышэ вулзшэ вдачания векторов в лт (дхя каадра подаонструкцаа). Одан саг да времена дм предлагаемого алгоритма прямого шггвгрировапсп системы уравнение (32) шеет ввд:

<1) 1 А* мв+ ^"<1 -а) Ц^

V - V* А* (1 - д) ип; ,

Для каждой подконструкции:

ч - ч(1;); I - о-'( б1м[п1ио(гп) - совийИв(гп> >;

Я - 2г п"*81м*(0.я в^ о) фта* и ;

т к п

по всем подконструкциям где ь = ^ | + «тф (ч+1 + з)|-су-кй

по всем подконструкциям <Ш> Вычисление и^ и по формулам (27); для каждая подконструкции:

вычисление и •г„(^4) по формулам (29).

(IV) Для любой подконструкции, если требуется могут быть вычислены перемещения по внутренним степеням свободы по формуле (31).

Численное исследование предлагаемого алгоритма на модельных задачах показало его хорошую точность. Оптимальные значения параметров алгоритма для шрокого круга задач равны а=р=г=0.5. Варьируя параметр р можно управлять искусственной вязкостью □аговоа схемы, что полезно при решении задач о распространении ударных волн в конструкциях. Алгоритм обладает свойством абсолютной устойчивости.

В пятой главе дано описание пакета программ для решения статических и динамических задач строительной механики методом конечных элементов. Для решения статических задач используется многоуровневый кетод суперзлементов. Решение нестационарных динамических задач производятся с помощь» предлагаемого в данной работе варианта метода подконструкций. Для решения вспомогательных задач о собственных колебаниях подконструкций с закрепленными граничными степенями свободы используется известный метод итерирования подпространства. Дхя статической конденсации матриц к и и реализовав профильный алгоритм частичного треугольного разложения, позволяющий достаточно полно учитывать разреженность матриц. Пакет программ оснащен графическим пре- и постпроцессором, ориентированным на использование компьютеров типа Ш РС.

Разработанный пакета програна был использовав для • решения динамических задач стрыггельной механики. Среди них задачи о распространении волн в стержнях и балках, плоские и ооеоимметричныв оадачи теории упругости,' задачи о динамическом изгибе пластин и другие задачи. В диссертации приведены примеры

Конечноэлементная модель

Рис.

Разбиение на подконстдокцп**

; • t=i).oooo6

решенных задач: даш постаношси задач, подробно иллюстрируется полученное в результате решения напряженно-деформированное состояние.

Рассмотрим пример плоской динамической задачи теории упругости (плоское напряженное состояние,) об ударе прямоугольной пластинки с тремя круговыми отверстиями об абсолютно жесткую преграду. Конечноэлементная модель 1/2 симметричной части пластинки представлена на рис.1. Пластинка выполнена из материала с модулем упругости £=3-10'кН, коэффициентом Пуассона ч=о.4 и плотностью р=1 п/м*. Пластинка движется поступательно со скоростью 10 м/сек в сторону, противоположную положительному направлению оси X, ив момент времени 1=0 абсолютно. неупруго ударяется об вертикальную жесткую преграду (с прилипанием). При решении задачи исходная область разбивалась на три одинаковых подконструкции, как показано на рис.1. Шаг по времени для алгоритма прямого интегрирования принимался л1=3-10""5. На этом ие рисунке показаны деформированные схемы (в искаженном масштабе) в моменты времени г=0.00003,...,1=0.00024.

В заключении сформулированы основные вывода по работе и обсуждаются возможности дальнейшего развития предлагаемого подхода.

. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДУ

Основные теоретические и практические результата и выводы, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1. Проведено теоретическое исследование прийгаяенных уравнений катода подконструкций для расчета собственных колебаний упругих систем. . Получены оценки, позволяющие определить число форм колебаний закрепленных по граница подконструкциа, необходимое для вычислзния первой частоты собственных колебания исходной конструкции с заданной точностью.

2. Получено сужение нестационарной динамической задачи на мноезство граничных степеней свобода, которое представляет собой систему интегро-днфференциальных уравнений глша свертки. Подучены различные эквивалентные формы записи этой системы.

3. Показано, что предлагаемые нестационарные динамические уравнения . метода подконструкциа содержат уравнения метода

сушрзлементав для статических задач и для задач о собственных колебаниях как частные случаи.

4. Показано, что с механической точки зрения предлагаемый вариант метода подконструкций представляет собой распространение классического метода сугорзлвментов в форме метода перемещений на нестационарный случай. ^

Б. Разработан алгоритм численного решения системы интегро-дифференциальных уравнений метода подконструкций. в. На модельных задачах проведено исследование вычислительных свойств алгоритма.

7. Разработан пакет программ для решения статических и динамических задач строительной механики с использованием метода подконструкций.

8. Получены численные решения ряда нестационарных динамических задач строительной механики на основе предложенного подхода.

Содержание диссертации отражено в работах:

1. Вариант метода суперэлемента для решения нестационарных динамических задач// Двп, во ВНИИНТПИ, 1992г, * 1118?.

2. Шаговый алгоритм интегрирования системы суперзлэментных уравнений для решения динамических задач// Деп. во ВНИИНТПИ, 1992 г, Л III86.

Подписано к печати 24.Q2.I993 Формат 60x84 Г/16 Печать офс. Заказу И-43 т.100 Объем I уч,- изд. л. Бесплатно

Типография МИСИ им. В.В. Куйбышева