автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач предельного равновесия пластинок

РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИНОК

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Орёл - 2005

Работа выполнена на кафедре строительных конструкции и материалы Орловского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Коробко Андрей Викторович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Серпик Игорь Иафтольевич

кандидат технических наук, доцент Павленко Андрей Анатольевич

Ведущая организация: Московский государственный

строительный университет

Защита состоится «20» мая 2005 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.182.05 при Орловском государственном техническом университете по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 20, аудитория 212.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Орловского государственного технического университета.

Автореферат разослан апреля 2005 года.

Учёный секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

Никулин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При проектировании строительных конструкций во многих случаях их расчётные схемы представляются в виде пластинок сложной формы (треугольные, параллелограммные, трапецеидальные) с различными граничными условиями. Они применяются в качестве несущих элементов перекрытий зданий, мостовых конструкций, плит аэродромного покрытия, а также элементов обшивки крыла и фюзеляжа самолёта, корпуса корабля. Точных методов расчёта таких пластинок не существует, они рассчитываются приближёнными методами, как правило, численными, при использовании которых часто теряется физическая сущность задачи. В строительной механике по-прежнему придается большое значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние их отдельных геометрических и физических параметров на прочность конструкций, что способствует более правильному пониманию силовой схемы в целом зданий и сооружений.

В последние годы д.т.н., профессором А.В. Коробко был предложен новый эффективный инженерный метод решения двумерных задач строительной механики - метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), основанный на использовании физико-геометрического подобия интегральных физических характеристик объектов в рассматриваемых задачах и интегральной характеристики их формы (коэффициентом формы Kf). Этот метод позволяет, используя разнообразные геометрические преобразования, с помощью известных «опорных» решений получать с достаточно высокой точностью значения интегральных физических характеристик при решении задач поперечного изгиба, свободных колебаний и устойчивости упругих пластинок.

Однако МИКФ требует дальнейшего развития и совершенствования, поскольку остается еще много нерешенных задач, применительно к которым можно было бы его использовать. Одной из таких задач является определение разрушающих нагрузок в пластинках. Кроме того, несмотря на очевидную простоту практической реализации МИКФ, имеется необходимость разработки программного комплекса для проведения конструкторских расчетов.

Цель диссертационной работы состоит в развитии и применении метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) для решения задач предельного равновесия пластинок.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- изучить и обобщить закономерности изменения коэффициента формы пластинок с выпуклым контуром (треугольных, параллелограммных, трапецеидальных) при различных геометрических преобразованиях, и в частности при аффинных преобразованиях;

- доказать свойство о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок, представленного в координатных осях Р - К,, для треугольных и четырехугольных пластинок;

- используя кинематический метод предельного равновесия, получить новые решения для построения граничных аппроксимирующих кривых для пластинок определенных форм;

- построить граничные аппроксимирующие функции, охватывающие все множество опорных решений для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок;

- отработать методику применения МИКФ к решению задач предельного равновесия треугольных и четырехугольных пластинок;

- разработать алгоритм и программный комплекс для решения задач, связанных с расчётом треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок.

Методы исследования. При исследовании геометрической стороны рассматриваемой проблемы использовались методы геометрического подобия плоских фигур при проведении комбинированных аффинных преобразований, а при исследовании физической стороны проблемы - кинематический метод предельного равновесия, методы физико-механического подобия, геометрические методы строительной механики (изопериметрический и МИКФ).

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты

- доказательство закономерности о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок для шарнирно опертых, свободно опертых и жестко защемленных пластинок в виде произвольных треугольных и четырехугольных фигур, представленное координатных осях Рразр — К5 для случая действия сосредоточенной силы и равномерно распределенной нагрузки,

- построенные граничные кривые Рраэр — ^ для пластинок определенных форм в виде произвольных треугольников, параллелограммов и трапеций,

- алгоритм и программный комплекс для определения разрушающей нагрузки с помощью ПЭВМ для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок с использованием МИКФ

Практическая ценность работы заключается

- в графической интерпретации результатов исследования геометрической и физической сторон задач при расчете пластинок по методу предельного равновесия, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач,

- в разработке практических приемов реализации МИКФ при решении задач, связанных с треугольными, параллелограммными, трапецеидальными пластинками,

- в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач, связанных с расчетом с помощью МИКФ треугольных, параллелограммных, трапецеидальных пластинок, находящихся в предельном состоянии

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием фундаментальных методов строительной механики, их сопоставлением с известными решениями задач теории предельного равновесия пластинок, полученными другими исследователями, а также решением большого количества тестовых задач

На защиту выносятся:

- доказательство закономерности о двусторонней ограниченности всего множества значений Ррир для четырехугольных пластинок,

- представление граничных кривых в виде аналитических зависимостей, обобщающих известные решения и некоторые новые результаты, полученные в работе,

- графическая интерпретация полученных результатов при исследовании геометрической и физической сторон задач предельного равновесия пластинок

- алгоритм и составленный на его основе программный комплекс для ПЭВМ для решения с помощью МИКФ задач предельного равновесия пластинок определенных форм (треугольных, параллелограммных и трапецеидальных)

Апробация работы и публикации. Ошопиме рс!\ н,|ап,[ (иссцл анионной работы (ок м 1ыва.1И(.ь и обс)ж [а.1ись на 31-и с 1 \ шнческои наушомехничеекой конференции «Нею1я на>ки - 2000» (Орс I 2000) и\ 1енческой па\чпо-1е\ниче(.кой конференции (Брянск 2001) П-ои Меж пнаро той на\чно-технической конференции «Пробпемы строитепьного и торожного кочгпекеов» (Брянск 2004) научно-технических конференциях ОретГТУ 2001 2004 гг Ш-х Международных академических чтениях «Проблемы обеспечения безопасности строительного фонда России» (Курск 2004) а также опубликованы в научных журналах «Вестник отделения строительных наук» (Москва, 2004), «Известия ОрелГТУ Строительство и транспорт» (Орел, 2004)

Структура и объём работы. Диссертация изтожена на 161 странице включающих 144 страницы основного текста и состоит из введения шести глав основных выводов, списка литературы включающего 129 наименования приложения В работе приведено 62 рисунка и 34 таблицы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается ее общая характеристика формулируются основные цели и задачи исследования обсуждается достоверность и научная новизна результатов работы их практическая ценность

В первой главе содержится краткий аналитический обзор работ по теории предельного равновесия пластинок обсуждаются перспективы развития геометрических методов расчета, в частности МИКФ, приводятся основные сведения о геометрическом аналоге интегральных характеристик пластинок - коэффициенте формы плоской области, его экстремальных свойствах для треугольников, параллелограммов и трапеций, формулируются изопериметрические теоремы относительно Коэффициента формы, излагается геометрическая и физическая сущность МИКФ Обсуждаются проблемы дальнейшего развития этого метода

Метод предельного равновесия для пластинок, удовлетворяющих различным условиям текучести (квадратному, Треска-Сен-Венана, Мизеса и др), получил серьезное развитие в работах советских ученых А А Гвоздева, А Р Ржаницына, А М Дубинского, М И Ерхова, Д Д Ивлева, А С Колманка, В В Шугаева,, а также в работах зарубежных исследователей Э Митчелла, В Ольшака, В Праггера, Ф Г Ходжа, К В Йогансена, Е Н Мансфилда, М П Нилсена и др

В теории предельного равновесия наибольшей популярностью пользуется кинематический метод (метод шарнирных линий), основанный на кинематической предельной теореме, позволяющей перейти от физической проблемы к геометрической, что существенно упрощает решение задачи и дает возможность получить верхнюю оценку несущей способности пластинок в виде замкнутого решения.

К эффективным геометрическим методам решения задач теории пластинок относится и метод интерполяции по коэффициенту формы, интенсивно развивающийся в последние годы. В его основе лежат изопериметрические свойства и закономерности изменения коэффициента формы области, который в общем виде определяется контурным интегралом:

где ds - линейный элемент контура, h - перпендикуляр, опущенный на касательную к переменной точке контура из произвольного полюса «а» (рис. 1). Коэффициент формы является количественной характеристикой формы области, он численно характеризует степень «правильности» (симметричности) плоских фигур и позволяет сравнивать их между собой. Для областей с полигональным контуром (рис. 2) формула (1) представляется в виде суммы:

где п - число сторон многоугольника, а остальные принятые обозначения указаны на рисунке 2.

Выбор полюса влияет на величину коэффициента формы. В любой выпуклой фигуре имеется только единственная точка, обеспечивающая ему минимальное значение

Рисунок 1 Рисунок 2

Используя формулу (2), найдем: для треугольников К f = 2ctg(a/2) • ctg(ß/2) • ctg(y/2),

где a, ß, у - углытреугольника;

для прямоугольников Kf = 4(a/b + b/a)

где а и b - стороны прямоугольника;

для ромбов К f = 8/sin а,

где а - острыйуголромба;

2ctgcc Г1 1 (l-k)2

для равнобочной трапеции

К, =

l-k

К 1-К 1 — К(1 — k)cos а

(4)

(5)

(6)

где а - угол при основании, к - отношение большей стороны основания к меньшей, К = h/H, h - расстояние от основания трапеции до точки, обеспечивающей минимум коэффициента формы трапеции, Н - высота трапеции.

Анализ зависимостей (3)...(6) позволил выявить важные закономерности поведения коэффициента формы областей определенного вида при различных геометрических преобразованиях:

- все множество значений Kj для четырехугольных фигур с выпуклым контуром, представленные в координатныхосях Kf - R/p (где R максимальныйра-диусвписанной окружности, р - минимальный радиус описанной окружности) ограничено с двух сторон верхнюю границу образуют многоугольники, все стороны которых касаются вписанной окружности, а нижнюю прямоугольники,

- все множество значений Kf для треугольников в координатных осях Kf a (где а - правый угол при основании треугольника) ограничено снизу равнобедренными треугольниками, это множество распадается на два подмножества подмножество Kf для остроугольных треугольников, ограниченное снизу равнобедренными остроугольными треугольниками, а сверху прямоугольными треугольниками, и подмножество Kf для тупоугольныхтреугольников, ограниченное сверху равнобедренными тупоугольными и прямоугольными треугольниками;

- все множество значений для параллелограммов в координатных осях Kf — a/h ограничено с двух сторон: нижнюю границу образуют прямоугольники, а верхнююромбы;

- все множество значений Kf для трапеций в координатных осях Kf- а (где а - правый угол при основании трапеции) ограничено с двух сторон: нижнюю границу образуют прямоугольники, а верхнюю треугольники.

При реализации метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) применяются самые разнообразные геометрические преобразования для получения граничных значений («опорных» решений) интегральных характеристик. При этом в качестве аргумента используется коэффициент формы.

Сущность МИКФ заключается в нахождении решений для определенного множества областей, полученных в процессе какого-либо непрерывного (или дискретного) геометрического преобразования. При этом в рассматриваемом множестве областей выделяют две области, решения для которых известны Р| и Бг и, используя их, строят искомое решение, которое представляется формулой:

где Кп - коэффициент формы первой области с известным решением F1 а параметр п определяется из выражения

где индекс «2» относится к физическим и геометрическим параметрам второй опорной области. Вид функции (7) соответствует структуре формул известных точных решений двумерных задач строительной механики, представленных в изо-периметрическом виде.

Расчет пластинок по предельному состоянию являются одним из наиболее простых. Причем кинематический метод предельного равновесия используется чаще, чем статический, поскольку хорошее статическое решение получить значительно труднее. И, тем не менее, даже кинематическим методом найти разрушающую нагрузку для пластинок сложной формы не всегда просто из-за трудности выбора оптимальной поверхности прогибов в предельном состоянии пластинок.

Преодолеть указанные трудности можно с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы. Анализ работ, посвящённых развитию этого метода, показал его перспективность применительно и к задача предельного равновесия пластинок.

Во второй главе обобщены и рассмотрены особенности расчета треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок кинематическим методом предельного равновесия.

Для случая действия сосредоточенной силы и равномерно распределенной нагрузки были приняты схемы разрушения пластинок, изображенные на рисунке 3 - для треугольных, на рисунке 4 - для параллелограммных, на рисунке 5 - для трапецеидальных пластинок.

Рисунок 3

Действие сосредоточенной силы

в) г) Д)

Рисунок 4

Действие сосредоточенной силы

а) б)

Действие равномерно распределенной нагрузки

Рисунок 5

- жестко защемленный контур,

- свободно опертый контур

- шарнирно опертый контур,

В диссертации для указанных на рисунках З-б и 3-д, 4 и 5 схем излома пластинок с помощью кинематического метода найдены разрушающие нагрузки для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок

Действие сосредоточенной силы

Параллелограммные пластинки (шарнирное опирание по контуру)

, но не более 10,283 т т (9)

Рразр = тТ

4 + 4||-а| + 2[с1Е(р|)+йё(р2

ТТлпл л лрлпрплммиыр п ллгтишти /гяпбпдипр ппиплиир пп кт>нтл?т?)

Рр41р = т.

81 I ] л а I

+ — -28111— + ,„„ , , а 1\Ь, \а, 2 180-а ^Ь

СОЭ \ ' 1 * ' / СОБ

2 2

Ь, 2

но не более 8тТ,

(10)

где а^Ь,- длины перпендикуляров, опущенных на стороны параллелограмма

Трапецеидальные пластинки (шарнирное опирание по контуру)

P„ =mTÍ4 + 4Í|-aJ + 2(ctg(pJ + ctg(p2))J,H0He60nee 10,283 mT (il)

Трапецеидальные пластинки (свободное опирание по контуру)

но не более 8тт,

где а,, Ь| - длины перпендикуляров, опущенных на стороны трапеции

Действие равномерно распределенной нагрузки

Параллелограммные пластинки (шарнирное опирание по контуру)

(13)

где А, а, И и а - площадь, основание, высота и острый угол при основании параллелограмма соответственно.

Трапецеидальные пластинки (шарнирное опирание по контуру)

= Чр.*А =

6 [a (b-2 ctgq)]

(14)

1

8а2 cos2a-4b2 sin2a + 4ab sin 2а + ^4aJ+4a2 sin'а (b2-a2)-4a'b sin2a-a2b2 sin4a + a'b sin2 а sin2a + b4 sin'a-

sin a i|+4

. , i 2ab' sin2 a sin2a + 2a2b2sinz2a

где A, a, b и а - площадь, основание, высота и угол при основании трапеции

соответственно

Для случая жестко защемленного края выражения (13) и (14) увеличиваются

вдвое.

Свободное опирание по контуру

Для данного случая опирания пластинок формулы в окончательном виде выглядят настолько громоздкими, что их нецелесообразно приводить не только в автореферате, но и в диссертации К примеру, для треугольной пластинки расчетная формула еще в неокончательном виде выглядит следующим образом

где А - площадь, Р = а — arctg(2r/b), Г —радиус вписанной окружности. Параметры v и с (см. рис. 3-д) находятся путем минимизации получившегося выражения. Для каждой конкретной формы треугольной пластины параметры v и с будут разными. Методика определения разрушающей нагрузки для параллелограммных и трапецеидальных пластинок будет аналогична. Для определения разрушающих нагрузок при свободном опирании пластинок по контуру и для построения граничных аппроксимирующих кривых в диссертации использовался пакет математических программ MathCad v. 11 for Windows XP.

В этой же главе приведено строгое математическое доказательство функциональной взаимосвязи разрушающих нагрузок с коэффициентом формы. Рассматривая известную из теории предельного равновесия пластинок зависимость

Рр.,р = ЯраИ = minAmT Jjv2wdA / jJwdA

и подставляя в нее функцию прогибов пластинок в виде конической (или пирамидальной) поверхности, линии уровня которой подобны контуру пластинки и подобно расположен"

I

w(x,y) = w0f(x,y) = wl]g

Г(Ф)

= W„g(p),

после проведения достаточно сложных интегро-дифференциальных преобразований, получим:

ррир = кгМ(е>+^р/|ё(рНр. (16)

Определенные интегралы в этом выражении есть числа, поэтому их можно заменить коэффициентами пропорциональности. Тогда:

Рразр =KpKfmT.

(17)

На основании известных в теории предельного равновесия решений для пластинок некоторых видов форм и новых решений, полученных в диссертации, границы возможного изменения разрушающих нагрузок представлены в координатных осях Рра1р — К|-, (рисунки 6 и 7).

О 8 10 12 14 16 18 20 22 К, 0 6,28 8 10 12 14 16 18 20 22 К(

а) шарнирное опирание по контуру б) свободное опирание по контуру

О 0,02 0,04 0,06 0,096 0,010 0,012 0,125 1/К, 0 0,02 0,04 0,06 0,096 0,010 0,012 0,125 1/К

а) шарнирное опирание по контуру б) свободное опирание по контуру

Рисунок 7 - Зависимость 1/Рртр- УК/ для пластинок, нагруженныхравномернораспределеннойнагрузкой

На рисунке 6-а представлены граничные кривые для всего множества шар-нирно опертых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой. Точка 1 на нем соответствует разрушающей нагрузке для квадратной пластинки, точка 2 - для прямоугольной точка 3 - для равносторонней треугольной пластинки;

точка 6 - для пластинки в виде равнобедренного прямоугольного треугольника; прямые 1-2 и 2-4 соответствуют прямоугольным пластинкам, кривая 1-5-4 - ромбическим пластинкам, прямая 3-6-7 - пластинкам в виде остроугольных равнобедренных треугольников. 6-8 - пластинкам в виде равнобедренных тупоугольных треугольников, кривая 1-3 - соответствует пластинкам в виде равнобочных трапеций, изменяющихся от квадрата до равностороннего треугольника.

На основании выявленной функциональной связи Рра3р — Кг и изопериметри-ческих свойств коэффициента формы можно сделать следующие выводы:

- все множество значений разрушающих нагрузок для треугольных шар-нирно опертых пластинок произвольного вида ограничено прямыми 3-6-7 и 6-8

- все множество значений разрушающих нагрузок для параллелограммных шарнирно опертых пластинок ограничено прямой 2-4 и кривой 1-5-4

- все множество значений разрушающих нагрузок для трапецеидальных шарнирно опертых пластинок произвольного вида ограничено прямыми 2-4, 3-6-7 и 6-8

Приведенные здесь (и далее для других случаев нагружения и граничных условий) неравенства получены путем аппроксимации соответствующих кривых, построенных на основании известных и полученных в работе решений кинематическим методом предельного равновесия.

На рисунке 6-6 представлены граничные кривые для всего множества свободно опертых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой. Все характерные точки, кривые (прямые) и области на нем соответствуют предыдущему случаю. Аналогично запишутся неравенства:

- для треугольных пластинок

- для параллелограммных пластинок

- для трапецеидальных пластинок

На рисунке 7-а представлены графики изменения разрушающей нагрузки для шарнирно опертых пластинок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. Точка 4 на нем соответствует разрушающей нагрузке для квадратной пластинки, точка 3 - для пластинки в виде равностороннего треугольника; кривая 0-4 описывает решения для прямоугольных пластинок, прямая 0-3-4 - для ромбических пластинок, прямая 0-3 - пластинок в виде равнобедренных треугольников.

На основании выявленной функциональной связи Рразр — Кг и изопериметри-ческих свойств коэффициента формы можно сделать следующие выводы:

- все множество значений разрушающих нагрузок для параллелограммных и трапецеидальных шарнирно опертых пластинок ограничено кривой 0-4 и кривой 0-3-4:

На рисунке 7-6 представлены графики изменения разрушающей нагрузки для свободно опертых пластинок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. Точка 4 на нем соответствует разрушающей нагрузке для квадратной пластинки, точка 3 - для пластинки в виде равностороннего треугольника; кривая 0-4 описывает решения для прямоугольных пластинок, кривая 0-5-4 - для ромбических пластинок, кривая 0-3 - пластинок в виде равнобедренных треугольников, кривая 3-4 описывает решения для равнобочных трапеций, изменяющихся от равностороннего треугольника до квадрата. Аппроксимирующие функции, ограничивающие характерные области:

- для параялелограммных пластинок- для трапецеидальных пластинок:

Граничные кривые Рразр — Кг для жестко защемленных по контуру пластинок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, будут выглядеть аналогично кривым, представленным на рисунке 7-а. Соответствующие аппроксимирующие кривые построены в диссертационной работе и для этого случая граничных условий.

В третьей главе приводятся исследования по развитию и применению МИКФ к расчёту треугольных пластинок.

Любой треугольник может быть получен с помощью аффинных преобразований равнобедренных треугольников бесконечно большим числом способов. Поэтому можно выбрать бесконечно большое число граничных (опорных) решений, которые следует использовать при определении с помощью МИКФ разрушающей нагрузки для заданной пластинки треугольной формы с различной точностью.

При нахождении двух опорных решений по граничным кривым аффинные преобразования необходимо применять в такой комбинации, чтобы граничные значения разрушающих нагрузок (опорные решения) незначительно отличались друг от друга (расстояния между опорными решениями (по графику) должны быть по возможности близкими). Тенденцию изменения разрушающей нагрузки при выбранном преобразовании можно прослеживать по изменению коэффициента формы треугольников.

Эти же правила необходимо использовать и при расчете пластинок других

форм.

В работе рассмотрены тестовые примеры расчета различных треугольных пластинок с разными граничными условиями, нагруженных сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой, с помощью МИКФ. При этом показано, что использование МИКФ дает возможность элементарным путем без выбора и определения кинематических схем разрушения пластинок получать значения разрушающих нагрузок с достаточной для инженерных расчетов точностью.

В четвертой главе приводятся исследования по развитию и применению МИКФ к расчёту параллелограммных пластинок.

Любой параллелограмм может быть получен с помощью аффинных преобразований, при которых получаются следующие граничные фигуры: прямоугольник - ромб; прямоугольник - прямоугольник, прямоугольник - параллелограмм, квадрат - параллелограмм, параллелограмм - ромб. Нужно лишь выбрать «подходящее» аффинное преобразование, объединяющее заданный параллелограмм с двумя другими известными опорными решениями.

Подробные исследования по каждому случаю нагружения параллелограмм-ных пластинок, имеющих шарнирное и свободное опирание по контуру, а также жесткое защемление, с решением тестовых примеров рассматриваются в диссертации.

В пятой главе приводятся исследования по развитию и применению МИКФ к расчёту трапецеидальных пластинок.

Любая трапеция может быть получена с помощью аффинных преобразований треугольников в прямоугольники (и наоборот) бесконечно большим числом способов. Поэтому можно получить бесконечно большое число граничных (опорных) решений для определения разрушающей нагрузки для любой заданной трапецеидальной пластинки с различной точностью. Нужно лишь выбрать «подходящее» аффинное преобразование, объединяющее заданную трапецию с двумя другими с известными решениями для опорных пластинок.

В диссертации рассмотрены тестовые примеры, подтверждающие эффективность МИКФ при решении задач предельного равновесия таких пластинок.

Следует особо отметить, что эффективность МИКФ в наибольшей степени проявляется именно при расчете трапецеидальных и параллелограммных пластинок, поскольку отпадает необходимость задаваться схемами излома таких пластин и оптимизировать деформированную поверхность пластинки в предельном состоянии, что обычно сопряжено с большими вычислительными трудностями.

В шестой главе разрабатываются алгоритм и программный комплекс для решения задач предельного равновесия пластинок с помощью МИКФ; приводится описание программного комплекса «МИКФ», блок-схема программы, приводятся ее основные принципы, методика и возможности работы. На конкретном примере рассматривается функционирование алгоритма программы.

м\. выполненную в виде исполняемого файла. Программа предназначена для расчета треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок, находящихся в предельном сосюянии. от действия равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенной силы методом интерполяции по коэффициенту формы.

Визуально программа оформлена в виде рабочего окна со строкой главного меню табло и набором необходимых компонентов Программный комплекс написан на языке Object Pascal в среде объектно-ориентированного программирования Delphi6, что обеспечивает его работу в операционных системах Windows 9x\2000\NT\XP.

В приложении помещён исходный код программного комплекса, написанный на языке Object Pascal, а также описание изобретения на способ определения несущей способности пластинок переменного сечения.

Основные выводы

В диссертационной работе получил развитие метод интерполяции по коэффициенту формы для решения задач предельного равновесия пластинок сложного вида (треугольных, параллелограммных и трапецеидальных). При этом получены следующие результаты:

1 С помощью кинематического метода предельного равновесия получены решения новых задач при определении разрушающих нагрузок для пластинок, связанных с треугольными, параллелограммными и трапецеидальными областями при различных граничных условиях для случая действия сосредоточенной силы и равномерно распределенной нагрузки.

2 Выявлены закономерности изменения коэффициента формы треугольников, параллелограммов, трапеций при различных аффинных преобразованиях.

3 Теоретическим путем доказано, что коэффициент формы является геометрическим аналогом разрушающей нагрузки. Используя аналогию Рра!р - Кг, сформулированы изопериметрические теоремы относительно разрушающей нагрузки для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок.

4 С использованием известных и полученных в диссертации новых решений задач предельного равновесия для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок при различных граничных условиях построены кривые

которые ограничивают область возможного изменения разрушающей нагрузки для таких пластинок.

5 Разработана методика решения задач предельного равновесия пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы

6 Решение тестовых задач показало, что выбор вида геометрических преобразований и опорных фигур влияет на точность получаемых с помощью МИКФ результатов Даны рекомендации для выбора опорных фигур и геометрических преобразований

7 Разработан алгоритм и программный комплекс для определения разрушающих нагрузок для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок с помощью МИКФ.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих научных работах:

1 Коробко А В , Киржаев Ю В Расчет треугольных пластинок методом предельного равновесия // Проблемы строительного и дорожного комплексов Материалы II международной научно-технической конференции -Брянск Изд-воБГИТА -2003 -С 355-359

2 Коробко А В , Киржаев Ю В Определение несущей способности треугольных пластинок методом интерполяции по коэффициенту формы / Материалы III Международных академических чтений -Курск Изд-во Курск гос техн ун-та, 2004 -С 108-116

3 Коробко А В , Коробко В И , Киржаев Ю В Решение задач предельного равновесия пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы / Вестник отделения строительных наук - М РААСН, 2004 - С 273 - 280

4 Киржаев Ю В , Коробко В И Приближенный способ оценки разрушающей нагрузки для круглых пластинок, подкрепленных ребрами жесткости / Материалы 3 3-й студенческой научно - технической конференции - Орел ОрелГТУ, 2001 -С 380-381

5 Киржаев Ю В , Коробко В И Расчет шестиугольных пластинок методом предельного равновесия //Известия ОрелГТУ Серия «Строительство и транспорт» -2004 - №1-2 -С 2225

6 Патент № 2189022 Российской Федерации, G 01 М 5/00 Способ определения несущей способности пластинок переменного сечения / Коробко А В , Коробко В И, Киржаев ГО В , заявитель Орловский государственный технический университет № 2001103934/28, за-явл 12 02 2001, опубл 10 09 2002, БИ № 25

Отпечатано с готового оригинал-макета в полиграфическом отделе ОрелГТУ Подписано к печати 04 04 05 Формат 60x84 1Д6 Печать ризография Бумага офсетная Усл печ л 1,1 Тираж 100 экз Заказ № 25/05

OS. 2 à

1058

î ' Í -с 1 < : ? :

V С ' ï /

13 MArí 2005

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. КРАТКИЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИНОК. ОСНОВ* НЫЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ.

1.1 Аналитический обзор работ по теории предельного равновесия.

1.2 Кинематический метод предельного равновесия.

1.3 Общие сведения о коэффициенте формы.

1.4 Общие сведения о методе интерполяции по коэффициенту формы.

Актуальность темы. Проектирование современных зданий и сооружений, связано с всесторонними расчётами прочности конструкций, находящихся под действием статических и динамических нагрузок. Расчётные схемы элементов многих конструкций представляются в виде пластинок сложной формы с различными граничными условиями. Для их расчёта применяются в основном численные методы и создаются целевые программные комплексы.

Однако в расчётной практике по-прежнему придается большое значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние их отдельных геометрических и физических параметров на прочность конструкций, что способствует более правильному пониманию её силовой схемы.

Пластинки различного очертания - треугольные, параллелограммные, трапецеидальные применяются в строительных и машиностроительных конструкциях в качестве несущих элементов мостовых конструкций, плит аэродромного покрытия, в виде элементов обшивки крыла и фюзеляжа самолёта, корпуса корабля. Точных методов расчёта таких пластинок не существует. Они рассчитываются приближёнными методами, как правило, численными, при использовании которых часто теряется физическая сущность задачи. В современной справочной литературе [17, 21, 22, 31, 79, 88] содержится весьма ограниченный набор известных решений задач для косоугольных пластинок и все они получены разными приближенными методами и имеют разную степень точности и достоверности.

В последние годы д.т.н., профессором A.B. Коробко был предложен новый эффективный инженерный метод решения двумерных задач строительной механики - метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) [52], основанный на использовании физико-геометрического подобия интегральных характеристик в рассматриваемых задачах технической теории пластинок и интегральной характеристики их формы (коэффициентом формы Kf).

Этот метод позволяет, используя разнообразные геометрические преобразования, с помощью известных «опорных» решений, получать с достаточно высокой точностью значения интегральных характеристик пластинок при анализе задач свободных колебаний, поперечного изгиба и устойчивости.

Однако МИКФ требует дальнейшего развития и совершенствования, поскольку остается еще множество нерешенных задач, применительно к которым можно было бы его использовать. Одной из таких задач является определение разрушающих нагрузок в пластинках с произвольным контуром. Кроме тоге, несмотря на очевидную простоту практической реализации МИКФ, имеется необходимость разработки программного комплекса для проведения конструкторских расчетов.

Цель диссертационной работы состоит в развитии и применении метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) для решения задач предельного равновесия пластинок.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие зада чи:

- изучить и обобщить закономерности изменения коэффициента формы пластинок с выпуклым контуром (треугольных, параллелограммных, трапецеидальных) при различных геометрических преобразованиях, и в частности при аффинных преобразованиях;

- доказать свойство о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок, представленного в координатных осях Рразр -для треугольных и четырехугольных пластинок;

- используя кинематический метод предельного равновесия, получить новые решения для построения граничных аппроксимирующих кривых для пластинок определенных форм;

- построить граничные аппроксимирующие функции, охватывающие все множество опорных решений для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок;

- отработать методику применения МИКФ к решению задач предельного равновесия треугольных и четырехугольных пластинок;

- разработать алгоритм и программный комплекс для решения задач, связанных с расчётом треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок.

Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использовались методы геометрического подобия плоских фигур при проведении комбинированных аффинных преобразований. При исследовании физической стороны проблемы применялись кинематический метод предельного равновесия, методы физико-механического подобия, геометрические методы строительной механики (изопериметрический и МИКФ).

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- доказательство закономерности о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок, для шарнирно и свободно опертых, а также жестко защемленных пластинок в виде произвольных треугольных и четырехугольных фигур, включая равнобедренные треугольники, ромбы, параллелограммы, трапеции, представленные в осях Рразр — для случая действия сосредоточенной силы и (1/ Рразр - 1/Кг), для случая действия равномерно распределенной нагрузки;

- построенные граничные кривые, для пластинок в виде произвольного четырехугольника, параллелограмма, равнобочных трапеций, представленные в осях Рразр - Кг;

- методика использования МИКФ для определения разрушающих нагрузок произвольных треугольных и четырехугольных пластинок без анализа их схем разрушения;

- алгоритм и программный комплекс для определения разрушающей нагрузки с помощью ПЭВМ для треугольных, параллелограммных, трапецеидальных пластинок с использованием МИКФ.

Практическая ценность работы заключается:

- в графической интерпретации результатов исследования геометрической и физической сторон задач при расчете пластинок по методу предельного равновесия, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач;

- в разработке практических приемов реализации МИКФ при решении задач, связанных с треугольными, параллелограммными, трапецеидальными пластинками;

- в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач, связанных с расчетом с помощью МИКФ треугольных, параллелограмм-ных, трапецеидальных пластинок, находящихся в предельном равновесии.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием фундаментальных методов строительной механики, их сопоставлением с известными решениями задач теории предельного равновесия, полученными другими исследователями, а также решением большого количества тестовых задач.

На защиту выносятся:

- доказательство закономерности о двусторонней ограниченности всего множества значений Рразр для четырехугольных пластинок, двумя границами;

- представление граничных кривых Рразр - Кг в виде аналитических зависимостей, обобщающих известные решения и некоторые новые результаты, полученные в работе;

- методика применения МИКФ для определения величины разрушающей нагрузки треугольных, параллелограммных, трапецеидальных пластинок;

- графическая интерпретация полученных результатов при исследовании геометрической и физической сторон задач предельного равновесия пластинок;

- алгоритм и составленный на их его основе программный комплекс для решения задач предельного равновесия пластинок при определении разрушающих нагрузок треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок с помощью МИКФ.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: 33-й студенческой научно-технической конференции «Неделя науки - 2000» (Орел, 2000); студенческой научно-технической конференции (Брянск, 2003); П-ой Международной научно-технической конференции «Проблемы строительного и дорожного комплексов» (Брянск, 2004); научно-технических конференциях ОрелГТУ 2001.2004 гг.; Ш-х Международных академических чтениях «Проблемы обеспечения безопасности строительного фонда России» (Курск, 2004), а также опубликованы в научных журналах «Вестник отделения строительных наук» (Москва, 2004); «Известия ОрелГТУ. Строительство и транспорт» (Орёл, 2004).

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 161 странице, включающих 144 страницы основного текста, и состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы, включающего 129 наименования, приложения. В работе приведено 62 рисунка и 34 таблицы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты исследований, проведенных в работе, можно сделать следующие выводы.

Метод интерполяции по коэффициенту формы получил существенное развитие для решения задач предельного равновесия пластинок, связанных с треугольными, параллелограммными и трапецеидальными областями, при этом:

1 С помощью кинематического метода предельного равновесия получены решения новых задач, связанных с треугольными, параллелограммными и трапецеидальными пластинками.

2 Изучены закономерности изменения коэффициента формы треугольников, параллелограммов, трапеций при различных геометрических преобразованиях, в частности при аффинных преобразованиях.

3 Доказано, что коэффициент формы является геометрическим аналогом разрушающей нагрузки. Используя аналогию Рразр - К^, сформулированы и доказаны изопериметрические теоремы относительно разрушающей нагрузки треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок.

4 С использованием известных и полученных в диссертации решений задач предельного равновесия для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок построены кривые, которые ограничивают область возможного изменения разрушающей нагрузки таких пластинок: одна из них соответствует прямоугольным пластинкам, другая — треугольным.

5 Построены граничные аппроксимирующие функции, охватывающие всё множество опорных решений при определении разрушающей нагрузки для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок.

6 Разработана методика решения задач предельного равновесия пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы.

7 Решение ряда тестовых задач показало, что выбор вида геометрических преобразований влияет на точность решения.

8 Разработан алгоритм и программный комплекс для определения разрушающей нагрузки для треугольных, параллелограммных, трапецеидальных пластинок с помощью МИКФ.

1. A.c. № 1716373 СССР М. Кл.4 G 01 № 3/00. Способ определения физикомеханических характеристик плоских элементов конструкций // Коробко

2. A.B. Опубл. В БИ 1992. № 8.

3. Авдонин A.C. Расчет на прочность летательных аппаратов / A.C. Авдонин, В.И.

4. Фигуровский. М.: Машиностроение, 1985. - 439 с.

5. Александров A.B. Основы теории упругости и пластичности / A.B. Александров,

6. B.Д. Потапов. М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

7. Андронов И.К. Курс тригонометрии / И.К. Андронов, А.К. Окунев. М.: Просвещение, 1967. 648 с.

8. Анпилогова A.B. Геометрические свойства и несущая способность оболочек /

9. A.B. Анпилогова, A.C. Дехтярь, Д.Ф. Погорелый // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1987. - № 4. - С. 26 - 29.

10. Ахмедиев С.К. Прочность, устойчивость и колебания треугольных пластин: дис.канд. техн. наук. Караганда, 1982. - 136 с.

11. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е.

12. Вилсон. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

13. Боркаускас А.Э. Расчет пластинок в упруго-пластическом состоянии с применением линейного программирования / А.Э. Боркаускас, A.A. Чирас // Литовский механический сборник. 1967. - № 1. - С. 34-60.

14. Боровских A.B. Расчеты железобетонных конструкций по предельному состоянию и предельному равновесию / A.B. Боровских. M.: АСВ, 2002. - 318 с.

15. Бояркина C.B. Интегральная характеристика формы геометрических фигур в задачах строительной механики / C.B. Бояркина, И.Б. Дробин, A.B. Коробко // Изв. вузов. Строительство. 1994. -№ 4. - С. 100-104.

16. Брусенцов Г.Н. Применение линейного программирования к задаче предельного равновесия при плоском напряженном состоянии / Г.Н. Брусенцов // Строительная механика и расчет сооружений. М.: 1968. - № 5. - С. 18-29.

17. Бурого Ф. М. Геометрические неравенства / Ф. М. Бурого, В. А. Залгаллер.'-Л.: Наука, 1980.-288 с.

18. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Буд1вельник, 1973. - 658 с.1}

19. Варвак П.М. Предельное равновесие оболочек отрицательной гауссовой кривизны / П.М. Варвак, М.Ш. Варвак, A.C. Дехтярь, А.О. Рассказов // Пространственные конструкции зданий и сооружений. — М.: Стройиздат. 1972. — Вып. 1.-С. 35-43.

20. Варвак М.Ш. Несущая способность ребристых оболочек / М.Ш. Варвак, A.M. Дубинский, A.C. Дехтярь // Тр. VI Всесоюзн. конференции по теории пластин и оболочек. М.: Наука, 1966. - 283 с.

21. Вибрации в технике: Справочник. Т. I. М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

22. Гвоздев A.A. Метод предельного равновесия в применении к расчету железобетонных конструкций. М.: Госстройиздат, 1949. — 352 с.18 .Дехтярь A.C. О форме и несущей способности замкнутых рам / A.C. Дехтярь

23. Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1989. - № 3. - С. 19-22.19 .Дехтярь A.C. Форма и несущая способность призматических оболочек / A.C.

24. Дехтярь, Д.Ф. Погорелый // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1989. - № 55. - С. 41 - 44.

25. Дубинский A.M. Расчет несущей способности железобетонных плит. — Киев: Госстройиздат УССР, 1961.-483 с.

26. Дубинский A.M. Расчет несущей способности железобетонных плит и оболочек. Киев: Буд1вельник, 1976. - 160 с.

27. Дубинский A.M. Вопросы расчета несущей способности пологих железобетонных оболочек / A.M. Дубинский, A.C. Дехтярь // Сб. «Сопротивление материалов и теория сооружений». Вып. III. - Киев: Буд1вельник, 1965.-289 с.

28. Ерхов М.И. Пластическое состояние оболочек, пластин и стержней из идеально пластического материала / М.И. Ерхов // Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение, 1980. - № 6. - С. 22 - 35.

29. Ерхов М.И. Предельное равновесие пологих оболочек вращения / М.И. Ерхг?в // «Строительная механика и расчет сооружений». 1987. - № 4. — С. 58 - 69.

30. Ерхов М.И. О несущей способности конической оболочки / М.И. Ерхов // Сб. «Новые методы расчета строительных конструкций». М.: Стройиздат, 1988. -358 с.

31. Ерхов М.И. Вопросы прочности идеально пластических оболочек / М.И. Ерхов // Сб. «Строительные конструкции, исследование прочности конструкций из неупругих материалов». -Вып. IV.-М.: ЦНИИСК, 1989.-267 с.

32. Ерхов М.И. О теории предельного равновесия динамически нагруженных тел / М.И. Ерхов // Изв. АН СССР, МТТ, 1981. № 2. - С. 45 - 58.

33. Залесов В.И. Обобщение методов предельного анализа на случай исследования пластического течения тел изменяемой геометрии / В.Н. Залесов // Инженерно физический журнал т. XVIII, 1970. - № 5. - С. 905-909.

34. ИвлевД.Д. О теории предельного равновесия оболочек при кусочно-линейном критерии текучести / Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение, 1972. № 6. - С. 75 - 82.

35. ИвлевД.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1986. - 221 с.

36. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. — 456 с.

37. Канторович JI.B. Приближенные методы высшего анализа / JI.B. Канторович, В.И. Крылов. М.: Госматиздат, 1962. - 708 с.

38. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М.: Стройиздат, 1996.-413 с.

39. Колесник И.А. Определение геометрической жесткости упругих призм с сечением в виде произвольного треугольника / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Днепропетровский металлургический ин-т. Днепропетровск, 1989. 15 с. Деп. в УкрНИИНТИ 15.02.89, № 598-Ук89.

40. Колесник И.А. Определение физико-механических характеристик паралле-лограммных пластинок, мембран, сечений / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: - 1991. - № 60. -С. 89-96.

41. Колесник И.А. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Сопротивление материалов и теория сооружений. — Киев: 1993. -№61.-С. 58-72.

42. Колесник И.А. Метод физико-геометрической аналогии в строительной механике / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. Киев: Институт кибернетики АН Украины. -1993.-С. 23-32.

43. Колманок A.C. Расчет пластинок: Справочное пособие. М.: Госстройиздат, 1979.-207 с.

44. Коробко A.B. Решение задач строительной механики методом интерполяции по коэффициенту формы / A.B. Коробко // Изв. вузов. Авиационная техника. 1995.-№3.-С. 81-84.

45. Коробко A.B. Решение задач строительной механики, связанных с фигурами в виде правильных многоугольников / A.B. Коробко // Изв. вузов. Строительство. 1995. - № 4 - С. 114-119.

46. Коробко A.B. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твердого тела. Ставрополь: Изд-во Ставропольского университета, 1995. - 165 с.

47. Коробко A.B. Оценка погрешности решений задач строительной механики, полученных методом интерполяции по коэффициенту формы / A.B. Коробко,

48. B.В. Бояркин // Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел, 1996 • -Вып. 2. С. 65-69.

49. Коробко A.B. Расчет трапециевидных пластинок (мембран, сечений) методом интерполяции по коэффициенту формы / A.B. Коробко // Изв. вузов. Авиационная техника, 1997. № 2. - С. 103-107.

50. Коробко A.B. Решение задач предельного равновесия пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы / A.B. Коробко, В.И. Коробко, Ю.В. Киржаев // Вестник отделения строительных наук / М.: РААСН, 2004.1. C. 273-280.

51. Коробко A.B. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим методом / A.B. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. вузов. Авиационная техника. -1992.-№ 1.-С. 105-114.

52. Коробко A.B. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. М.: Изд-во АСВ, 1999. - 304 с. ;

53. Коробко В.И. Изопериметрический метод оптимального проектирования пластинок, работающих за пределом упругости / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1977. - № 1. - С. 18-21.

54. Коробко В.И. Изопериметрические неравенства в теории упругих пластинок / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1978. - № 5. - С. 35-41.

55. Коробко В.И. Геометрические методы расчета пластинок, находящихся в предельном состоянии. Хабаровск: Хабаровское книжное изд-во, 1979. - 104 с?

56. Коробко В.И. Применение изопериметрического метода к расчету устойчивости упругих пластинок / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1979. - № 2. - С. 58-62.

57. Коробко В.И. Оценка частот свободных колебаний пластинок / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1979. - № 10. - С. 21-23.

58. Коробко В.И. Применение изопериметрического метода к решению некоторых задач строительной механики пластинок / В.И. Коробко // Строит, механ. и расчет сооружений. 1979. - № 4. - С. 21-23.

59. Коробко В.И. Графическое представление границ изменения геометрической жесткости сечений в виде выпуклых фигур / В.И. Коробко // Изв. вузов. Машиностроение. 1986. - № 3. - С. 2 -7.

60. Коробко В.И. О "сравнимости" физико-механических характеристик в задачах теории пластинок / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура, -1987.-№9.-С. 32-36.

61. Коробко В.И. Изопериметрические неравенства в строительной механике пластинок. М.: Стройиздат, 1992. - 208 с.

62. Коробко В.И. Состояние и перспективы развития изопериметрического метода в строительной механике / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство, 1993. -№ 11-12. -С. 125 135.

63. Коробко В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода. Т. 1. - М.: Изд-во АСВ, 1997. -396 с.

64. Коробко В.И. Приближенный способ оценки разрушающей нагрузки д;гл Ч круглых пластинок, подкрепленных ребрами жесткости / В.И. Коробко, Ю.В.

65. Киржаев // Проблемы обеспечения безопасности строительного фонда России: Материалы 33-й студенческой научно технической конференции / Орел.: ОрелГТУ, 2001. - С. 380-381.

66. Коробко В.И. Расчет шестиугольных пластинок методом предельного равновесия / В.И. Коробко, Ю.В. Киржаев // Изв. ОрелГТУ, 2004. С. 22 - 25.

67. Коротеев Г.И Теорема о симметризации пластин переменной толщины / Г.1#. Коротеев, И.А. Чаплинский // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1977.-№8.-С. 47-48.

68. Крыжановский Д.А. Изопериметры. Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур. М.: Госфизматиздат, 1959. - 116 с.

69. Купман Д. О линейном программировании и теории предельного равновесия / Д. Купман, Р. Ланс // Механика. Сб. перев. и обз. ин. период. 1966. - № 2. -С. 150- 160.

70. Леонтьев H.H. Основы строительной механики стержневых систем / H.H. Леонтьев, Д.Н. Соболев, A.A. Амосов. М.: Изд-во АСВ, 1996. - 542 с.

71. Лужин О.В. Проблемы устойчивости в строительной механике / О.В. Лужин // ^ Строительная механика и расчет сооружений. 1974. - № 2. - С. 52 — 58.

72. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл Р. Уэйт. М.: Мир, 1981. - 216 с.

73. Монахенко Д.В. Предельная теорема аффинности и ее применение при моделировании задач строительной механики / Д.В. Монахенко // Исследования по строительной механике. -Л.: Изд-во ЛИИЖТа, 1968. С. 173 -179.

74. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1966. - 707 с.

75. Овакимян С.Г. Изгиб правильных многоугольных и овалообразных, защемленных по контуру тонких плит, методом конформного отображения / С.Г. Овакимян // Тр. Ереванского политехи, ин-та. Ереван. - 1950. - Вып. 4. - С. 187-235.

76. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: МГУ, 1968. -389 с.

77. Олыиак В. Современное состояние теории пластичности, пер. с польского / В. Ольшак, 3. Мруз, П. Пежина. М.: Мир, 1964. - 389 с.

78. Полиа Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полна, Г. Cere. М.: Госматиздат, 1962. - 336 с.

79. Праггер В. Теория идеально пластических тел, пер. с английского / В. Праг-гер, Ф.Г. Ходж. М.: Ил, 1956.-258 с.

80. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. М.: Гос-техиздат, 1948. - 400 с.

81. Пригоровский Р.И. Методы и средства определения полей деформации и напряжений. М.: Машиностроение, 1983. - 248 с.

82. Проценко A.M. Предельное равновесие с учетом деформируемой схемы / A.M. Проценко // Строительная механика и расчет сооружений. 1969. - № 3. - С. 31-34. г

83. Радемахер Г. Числа и фигуры / Г. Радемахер, О. Теплиц. М.: Госматиздат, 1966.-336 с.

84. Рассказов A.O. Предельное равновесие оболочек / А.О. Рассказов, А.С. Дех-тярь. Киев: Буд1вельник, 1978. - 151 с.

85. Ржаницын А.Р. Расчет железобетонных плит методом линейного программирования / А.Р. Ржаницын // Труды VI конфренции по бетону и железобетону / Материалы, подготовленные ЦНИИСК. М.: 1966. - С. 85 - 98.

86. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. М.: Наука, 1983.-288 с.

87. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. -М.: Госстройиздат, 1954. 287 с.

88. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М.: Госматиздат, 1955.-475 с.

89. Сен-Венан. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Госматиздат, 1961. - 589 с.

90. Серенсен C.B. Несущая способность и расчеты на прочность деталей машин / C.B. Серенсен, В.П. Когаев, Р.М. Шнейдерович. М.: Машиностроение, 1975. - 488 с.

91. СНиП 2.03.01-84* Бетонные и железобетонные конструкции. М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1989.-80 с.

92. Справочник по теории упругости. Киев: Буд1вельник, 1971. - 419 с.

93. Сухарев И.П. Экспериментальные методы исследования деформаций и прочности. М.: Машиностроение, 1987. - 212 с.

94. Терехина В.И. Расчет круглых пластин кинематическим методом с применением линейного программирования / В.И. Терехина // Строительная механика и расчет сооружений. Москва: — 1969. - № 1. - С. 30-32.

95. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер.'- М.: Наука, 1963. 635 с.

96. Фаронов В.В. Delfi 6. Учебный курс. М.: Издатель Молгачева C.B., 2001.- -672 с.

97. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии М.: Наука, 1966.-415 с.

98. Чирас A.A. Теория и методы оптимизации упруго пластических систем /

99. A.A. Чирас, А.Э. Боркаускас, Р.П. Каркаускас. JL: Стройиздат, 1974. — 258 с.

100. Чирасс A.A. Методы линейного программирования при расчете упруго-пластических систем. М.: Стройиздат. 1969. - 189 с.

101. Шаповалов JI.A. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1990. - 287 с.

102. Шклярский Д. О. Геометрические неравенства в задачах на максимум и минимум/ Д.О. Шклярский, Н.И. Ченцов, И.М. Яглом. М.: Наука, 1970. - 335 с.

103. Шугаев В.В. Инженерные методы в нелинейной теории предельного равновесия оболочек. М.: Готика, 2001. - 360 с.

104. Шугаев В.В. Применение нелинейной теории предельного равновесия к расчету несущей способности железобетонных пространственных конструкций /

105. B.В. Шугаев // Материалы вторых международных научных чтений / М.: РА-АСН, Орел: ОрелГТУ, 2003. С. 284 - 291.

106. Шулл. X. Несущая способность свободно опертых прямоугольных пластинок / X. Шулл // Прикладная механика. М: - 1963. - № 4. - С. 156 - 161.

107. Шуман В. Об одном изопериметрическом неравенстве в теории пластинок / В. Шуман // Механика. 1959. - № 4. - С. 73 -78.

108. Яглом И.М. Выпуклые фигуры / И.М. Яглом, В.Г. Болтянский. М.: Гостех-издат, 1951. - 344 с.

109. Carleman Т. Uber ein Minimalproblem der mathematischen physik / T. Carleman // Mathematische Zeitschriti 1918. - V. I. - P. 208 -212.

110. Courant R. Beweis des satzes, das von allen homogenen Membrantn gegebenen Umfanges und gegeben Spannund die kreisförmige den tietsten crundtion gibt / R. Courant // Mathematische Zeitschrift. 1918. - V. 1. P. 321 - 328.

111. Faber G. Beweis dab unter allen hovogenen Membranen von gleicher Flache und fleicher Spannung die kreisformide den tiefsten crundtion gibt / G. Faber // Sintzungsberichte der Bayrischen Akademie der Wissenschaften. 1923. - P. 169172.

112. Johansen K. W. Bruchmomente der Kreuzmeise bewechrten Platten / K.W. Johansen // «Publication International Ass. for Bridge and Structural Eng.», Zurich. V.I.- 1932.- P. 18-35.

113. Johansen K. W. The Ultimate Strength of Reinforced Concrete Slabs / K.W. Johansen I I «3-d Congress of Intern. Ass. for Bridge and Structural Eng.», Liege. -V. 5.- 1948.-P. 57-72.

114. Johansen K. W. Pladefermler, Formelsamlung. 2 Udgave. Kopenhagen 1956. -256 p.

115. Krahn E. Uber eine von Rayleigh formulirte Minimaleigenschaft des Kreises / E. Krahn I I Mathematische Annaltn, 1924. -P. 97- 100.

116. Mansfield E.H. Studies in Collapse Analisie of Rigid-Plastic Plates with Square / E.H. Mansfield // «Yield Diagram Proc Roy Socc», London (A), 1957. P. 123 -142.

117. Nielsen M. P. On the calculation of yield line patterns with curred yield lines / M.P. Nielsen // Proc. symposium on the use of computers in civil engineering. Lisbon, 1962. V. 1. - P. 22 - 35.

118. Nielsen M. P. Limit analysis of reinforced concrete slabs. Copenhagen, 1964. -185 p.

119. Olszak W. Zagadnienie ortotropii w teorii nosnosci granicznej plyt / W. Olszak // «Archiwum Mechaniki Stosowanej», Praga. 1953. -N. 5. - P. 75 - 88.

120. Olszak W. Zasada ekstremalna w teorii nosnosci granicznej plyt / W. Olszak // «Budownictwo», Praga. 1956. - N. 6. - P. 32 - 43.

121. Pan Lin-Chow. Equilibrium, vibration and Bucklind of 30 60 Trianqular plate, Simply supported at the Edqes / Pan Lin-Chow // Scient. Sinica. - 1957. - N.6. - P. 347-379.

122. Polya G. Sur la frequence fondamental des membranes vibranes et la resistance elestique des tiges a la torsion / G. Polya // Comptes Rendus de I Academie des saences. London. - V. 228. - P. 346-348.

123. Pragger W. Mathematical programming and theory of structures / W. Pragger // J. Soc. Indust. and Appl. Math. 1965. - V. 1. - P. 157 - 172.

124. Sobotka Z. Plastica unosnost desek / Z. Sobotka // Silnice. 1956. - N. 5. - P. 17 -32.

125. Smyth W. I. R. Designing a Slab Using the Fracture Line Theory / W. I. R. Smyth // «Civil Eng. and Publ. Works Rew.», London. 1958. - N. 53. - P. 23 - 31.

126. Steiner J. Einfache beweise der isoperimetrischen Hauptsatza / J. Steiner // Ges. Werke. Berlin. - 1882. - V. 2. - P. 77 - 91.

127. Wood R. Plastic and Elastic Design of Slabs and Plates. London, 1961. - 286 p.,

128. Wainstein A. Edude des spectres des equations aux derivees partielles de la theorie des plaques élastiques / A. Wainstein // Memorial des Sc. Math. 1937. - V. 88. -P. 110-127.