автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Разработка методики анализа регулярной и хаотической динамики космических аппаратов как тел переменного состава

На правах рукописи

Крикунов Михаил Михайлович

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ АНАЛИЗА РЕГУЛЯРНОЙ И ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ КАК ТЕЛ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

05.07.09 - Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

13 НОЯ 2014

Самара-2014

005555222

005555222

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королёва (национальный исследовательский университет)» (СГАУ).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Балакин Виктор Леонидович.

Официальные оппоненты: Голяков Алексей Дмитриевич, доктор технических наук, профессор, открытое акционерное общество «Научно-исследовательский институт точной механики», главный специалист;

Панкратов Владимир Михайлович, доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук, заместитель директора по науке.

Ведущая организация: открытое акционерное общество «Научно-производственное объединение «Молния», г. Москва.

Защита состоится 25 декабря 2014 г. в 10.00 на заседании диссертационного совета Д 212.215.04, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)», по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королёва (национальный исследовательский университет)» и на сайте: http://www.ssau.ru/resources/dis protection/.

Автореферат разослан 30 октября 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, ^/у'

кандидат технических наук, доцент Прохоров А.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

При создании новых изделий космической техники необходимо решать задачи, связанные с обеспечением требуемой ориентации космических аппаратов (КА) на различных этапах полёта.

Одной из задач является выявление таких возможных режимов возмущённого движения относительно центра масс, которые могут привести к недопустимому отклонению осей КА от требуемого положения.

Актуальность работы. Требование сокращения времени на выявление и анализ характеристик таких режимов углового движения при проектировании КА делает актуальным получение соответствующих аналитических и полуаналитических решений.

Получение аналитических решений с иомощыо известных методов математики и механики предполагает наличие достаточно простой математической модели движения КА относительно центра масс.

Хорошо изученным является движение отноигтельно центра масс для наиболее простой модели КА как абсолютно твёрдого тела. Однако на отдельных участках полёта космические аппараты представляют собой тела переменного состава, и поэтому использование в таких случаях модели абсолютно твёрдого тела может привести к результатам, существенно отличающимся от реального пространственного движения КА.

Сложность строгого описания пространственного движения КА как тела переменного состава с упругими свойствами ограничивает возможности получения аналитических решений известными методами, и поэтому в диссертации ищется компромисс между сложностью и точностью получения решения.

КА предлагается рассматривать как твёрдое тело с известными изменяющимися инерционно-массовыми характеристиками.

Для неупругих КА предлагаемая модель соответствует регулярной динамике и позволяет проанализировать возмущённое движение.

Для упругих КА при представлении в модели моментов инерции периодической функцией времени могут возникать хаотические режимы, что соответствует хаотической динамике, при которой конечное пространственное положение КА в некоторых случаях может быть непредсказуемым.

Степень разработанности. Анализ пространственного движения летательных аппаратов - изделий ракетно-космической техники является предметом многочисленных исследований.

Результаты многих из них нашли своё отражение в монографиях и учебниках отечественных авторов, например, К.С. Колесникова, A.A. Дмитриевского, Л.Н. Лысенко, В.А. Ярошевского, Г.Л. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова, B.C. Асланова, Б.А. Титова и в монографиях зарубежных авторов, например, А.Е. Bryson, A. Gray, P.C. Hughes, M.J. Sidi, W.E. Wiesel.

Близкие к тематике диссертации результаты получены, например, в статьях B.C. Асланова, A.B. Дорошина, C.D. Hall, М. Iñarrea, V. Lanchares.

Однако имеющиеся известные результаты не используются непосредственно при анализе регулярной и хаотической динамики космического аппарата как тела переменного состава для выше сформулированных условий.

Объектом исследовании является угловое движение космического аппарата как твёрдого тела переменного состава.

Предметом исследования является регулярная и хаотическая динамика космического аппарата.

Цель работы состоит в сокращении затрат времени на анализ регулярной и хаотической динамики космического аппарата как тела переменного состава за счёт развития подходов к исследованию моделей пространственного движения и использования аналитических и полуаналитических решений.

Для достижения сформулированной цели в работе решаются следующие основные задачи:

1. Построение на основе формализма Гамильтона математической модели движения, описывающей регулярную динамику космического аппарата как тела переменного состава.

2. Построение математической модели движения для описания хаотической динамики космического аппарата как тела переменного состава.

3. Получение аналитического условия, позволяющего определить поведение годографа вектора тяги двигателя космического аппарата переменного состава.

4. Построение явного вода функции Мельникова для обнаружения возможных хаотических режимов движения космического аппарата с упругими свойствами конструкции.

5. Разработка методики анализа регулярной динамики космического аппарата переменного состава, основанной на использовании условия, определяющего поведение годографа вектора тяги двигателя.

6. Разработка методики анализа хаотической динамики космического аппарата переменного состава, основанной на использовании функции Мельникова и сечений Пуанкаре.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие результаты:

1. Уравнения углового движения относительно центра масс тела переменного состава в векторной форме в виде, который позволяет записать уравнения движения в канонических переменных.

2. Уравнения движения тела переменного состава в переменных Андуайе-Депри в общем виде и при изменении моментов инерции по гармоническому закону.

3. Уравнения движения космического аппарата постоянной массы с трехосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции в переменных Андуайе-Депри.

4. Аналитическое условие, определяющее поведение годографа вектора тяги двигателя при прецессионном движении динамически симметричного космического аппарата.

5. Явный вид функции Мельникова для космического аппарата постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции.

Теоретическая значимость.

1. Получены в векторной форме уравнения движения тела переменного состава, которые позволяют записать уравнения движения в канонических переменных и используются для получения уравнений движения в переменных Андуайе-Депри.

2. Получены уравнения движения тела переменного состава в переменных Андуайе-Депри в обобщённом виде и при изменении одного и трёх моментов инерции по гармоническому закону, которые используются для получения уравнений движения космического аппарата.

3. Получены уравнения движения космического аппарата постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции с учётом упругих свойств конструкции, которые моделируются изменением одного и трёх моментов инерции и используются для построения в явном виде функции Мельникова и построения сечений Пуанкаре.

4. Для динамически симметричного космического аппарата переменной массы получено аналитическое условие, определяющее поведение годографа вектора тяги двигателя.

5. На основании полученной модели движения в переменных Андуайе-Депри построены в явном виде функции Мельникова для космического аппарата постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции, которые моделируются изменением одного и трёх моментов инерции.

Практическая значимость.

1. Разработанная методика анализа регулярной динамики динамически симметричного космического аппарата позволяет для известных зависимостей изменения моментов инерции от времени при работе ракетного двигателя твёрдого топлива или жидкостного ракетного двигателя определить характер поведения годографа вектора тяги без использования численного интегрирования уравнений пространственного движения. Это позволяет уменьшить затраты времени на оценку точности ориентации вектора тяги с точки зрения выполнения имеющихся требований.

2. Разработанная методика анализа хаотической динамики космического аппарата с трёхосным эллипсоидом инерции и известными гармоническими зависимостями моментов позволяет установить наличие хаотических режимов движения и определить их характер без использования численного интегрирования уравнений пространственного движения. Это позволяет уменьшить затраты времени на оценку точности ориентации аппарата с точки зрения выполнения имеющихся требований.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные в работе, используются при проведении научно-исследовательской работы «Разработка проектного облика СУД КА с изменяющимися инерционными характеристиками СпА в трехосном подвесе» (договор от 01.10.2013 г. № 123/13) с ОАО «РКЦ «Прогресс» (г. Самара), в которой автор является ответственным исполнителем, и в учебном процессе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Самарский государственный аэрокосмичсский университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)»; включены в научно-технические отчёты по гранту Президента РФ МК-1497.2010.8 «Исследование регулярной и хаотической динамики движения неуравновешенных спутников-гиростатов и многороторных мультиосных космических аппаратов с силовыми гироскопическими комплексами» и в научно-технические отчеты по проекту Российского фонда фундаментальных исследований 11-08-00794 «Динамика и управление пространственным движением космических аппаратов и наноспутников с многороторными гироскопическими системами», в которых автор был ответственным исполнителем.

Методы исследования: методы теоретической механики, методы теории динамических систем, методы математического моделирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое условие, которое используется для предсказания эволюции годографа вектора тяги двигателя динамически симметричного космического аппарата как тела переменного состава в методике анализа регулярной динамики.

2. Математическая модель пространственного движения космического аппарата как тела переменного состава с упругими свойствами конструкции, моделируемыми изменяющимися по гармоническому закону моментами инерции, которые

используются для построения функции Мельникова и при построении сечении Пуанкаре в методике анализа хаотической динамики.

3. Вид функции Мельникова, построенной для космического аппарата как тела переменного состава с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции, которая используется для обнаружения возможных хаотических режимов движения в методике анализа хаотической динамики.

Степень достоверности. Достоверность полученных результатов определяется использованием апробированных методов теоретической механики, теории динамических систем и математического моделирования, совпадением отдельных полученных результатов с известными, соответствием полученных результатов физическому смыслу изучаемых пространственных движений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных и российских конференциях и семинарах: 52-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», г. Москва (2009 г.); Всероссийская молодёжная научная конференция с международным участием «XКоролёвские чтения», г.Самара (2009 г.); Международная молодёжная научная конференция «Туполевские чтения», г. Казань (2009, 2010 гг.); Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов «Актуальные проблемы авиации и космонавтики», г. Красноярск (2010 г.); Всероссийская школа-семинар аспирантов и молодых учёных «Актуальные проблемы науки и техники», г. Уфа (2010, 2011 гг.); Вторая международная конференция «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках», г.Самара (2011г.); Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем», г. Нижний Новгород (2012 г.); Всероссийский семинар по управлению движением и навигации летательных аппаратов, г. Самара (2013,2014 гг.).

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 12 печатных работах, из которых 3 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, определённых ВАК Министерства образования п науки РФ, и одна - в журнале, входящем в международные базы Web of Science и Scopus.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка использованных источников и приложений. Общий объём 134 страницы, в том числе 2 таблицы и 57 рисунков. Список использованных источников содержит 61 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся общая характеристика работы, которая включает в себя актуальность темы исследования, степень её разработанности, объект и предмет исследования, цели и задачи, научную новизну, теоретическую и практическую значимость работы, методы исследования, положения, выносимые на защиту, степень достоверности, апробацию результатов, краткое описание глав и приложений.

В первой главе изложены принципы формализма Гамильтона, их применение к описанию движения космического аппарата как твёрдого тела постоянного состава и обобщение этих принципов для случая КА переменного состава. Приведены сведения о методах Мельникова и Пуанкаре, которые использованы при анализе хаотической динамики космических аппаратов как тел переменного состава.

На основе формализма Гамильтона получены в общем виде уравнения движения твёрдого тела переменного состава, которые позволяют записывать уравнения движения в любых канонических переменных. В работе использованы переменные Андуайе-Депри, поскольку для них функция Гамильтона содержит только одну позиционную координату, что позволяет для некоторых случаев получить аналитические решения для динамически симметричного твёрдого тела.

Получена математическая модель движения твёрдого тела переменного состава, которая описывается ключевыми соотношениями и используется в дальнейшем при анализе регулярной и хаотической динамики:

ir ■ г- ^ G í sin I ■ cos / a l = LaL, <p2=Gaa, G = —\—rA + —r-B ar \ А В

2V \A B) aL ' - пер

1 A sin2/ ■ cos2/ ,

—rC--r-A--—B

С2 А1 В2

(1)

Здесь l,tp2,L,G - переменные Лндуайе-Депри; А, В, С - моменты инерции;

1 sin2/ cos21 , ,_sin2/ cos21

C{t)~A{t)~ В{,у

Получены уравнения движения для трёх случаев изменения моментов инерции: линейного, полиномиального и по гармоническому закону. В частности, уравнения:

/ =

L L -А + С'

L = -—-А-А

<Р2 = С

A G=*A,

А А

(А-С) С

(2)

(А-С)

используются для анализа регулярной динамики динамически симметричного КА, уравнения:

1 = Ьаи фг = Оав,

1 1

4,(l + ssinní) S0(l + ¿rsinQ/)y

sin 21 +

1

C2(l + esinfî/)' sin2 i

r¡eCaCl eos fi t —

(3)

^(l + esinQ/)' sin2/

£A,p. cosfií -

eos /

T f. AtflcosClt +

Bl(\ + EsmCltf eos2 /

rsBSlcosCit

rtñ.Qcosfí/

^О + ^пП/) Д2(1 + е5тП/)

используются для анализа хаотической динамики КА.

Во второй главе анализируется регулярная динамика динамически симметричного космического аппарата с работающим двигателем как тела переменного состава. Проводится постановка задачи и записывается математическая модель. На основе построенной с использованием углов Крылова модели

прецессионного движения осесимметричного космического аппарата получено аналитическое условие, определяющее поведение годографа вектора тяги двигателя. Вначале рассматривается космический аппарат, имеющий ракетный двигатель твёрдого топлива (РДТТ) с зарядами простых форм: цилиндр, конус, сфера. Затем рассматривается космический аппарат с жидкостным ракетным двигателем (ЖРД) с топливными баками сферической и цилиндрической формы и различными способами вытеснения топлива: «наружу» и «вниз». Приводится описание методики анализа регулярной динамики космического аппарата переменного состава.

Рассматриваются КА переменного состава, которые удовлетворяют следующим трём основным допущениям.

Допугцение ]. Масса и геометрия КА переменного состава изменяются так, что при этом он остаётся динамически симметричным в каждый момент времени /:

Л(0 = 5(') (4)

Здесь /4(г) и 5(/) - зависимости моментов инерции с учётом движения центра масс вдоль оси Ог связанной системы координат относительно его места нахождения в начальный момент времени.

Допущение 2. Движение КА рассматривается в отсутствии внешних возмущающих сил и моментов М':

М.(р,д,г) = 0, 1=х,у,г. (5)

Здесь р, <7, г - компоненты вектора угловой скорости КА.

Допущение 3. Рассматривается движение КА переменного состава с гироскопической стабилизацией:

£=4Р1+Ч1/г«\. (6)

Для исследования динамики прецессионного движения КА переменного состава строится математическая модель.

Уравнения невозмущённого движения записываются в виде:

Л(Ор+(с(0-В(0У=О,

В(«)4 + (Л(г)-С(|))рг = 0, (7)

С(1У + (В(1)-А(1))рд = 0.

Фазовый портрет системы (7) в плоскости углов Крылова (у,у) можно интерпретировать как годограф вектора тяги ракетного двигателя. Следовательно, для повышения точности ориентации вектора тяги при имеющихся начальных отклонениях углов Крылова необходимо добиваться, чтобы продольная ось КА монотонно приближалась к оси прецессии и годограф апекса продольной оси (и вектора тяги) КА переменного состава, как фазовой траектории в плоскости (у,у/), представлял собой скручивающуюся спираль. Для обеспечения этого необходимо монотонное увеличение квадрата (модуля) кривизны фазовой траектории (годографа).

На основе построенной с использованием углов Крылова модели прецессионного движения осесимметричного космического аппарата получено аналитическое условие, определяющее поведение годографа вектора тяги двигателя:

сШО)-ШШ d(c\ 0

A2 dt\Aj

Сделан вывод о том, что годограф вектора тяги может изменить свой вид со скручивающейся спирали на раскручивающуюся (и наоборот) тогда и только тогда, когда отношение моментов инерции С/А достигает экстремального значения.

Рассмотрено движение КА с РДТТ. В связи со сложной организацией процессов горения в современных РДТТ расчётное определение моментов инерции и их изменение представляет собой самостоятельную задачу. Поэтому для подтверждения возможности предсказания поведения вектора тяги РДТТ с помощью условия (8) использованы модельные примеры с зарядами простых форм: цилиндр, конус, сфера.

Рассмотрено движение КА с ЖРД. Для ЖРД используются разнообразные топливные баки и применяются различные способы организации их опорожнения. Поэтому для подтверждения возможности предсказания поведения вектора тяги ЖРД с помощью условия (8) использованы модельные примеры для баков двух простых форм (сферической и цилиндрической) и двух способов вытеснения топлива («наружу» и «вниз»). Для каждой формы и способа вытеснения проведен анализ движения с точки зрения точности ориентации вектора тяги.

В качестве примеров на рисунках 1 и 3 показаны функция Р(г) и годограф вектора тяги для баков сферической формы, а на рисунках 2 и 4 показаны функция и годограф вектора тяга для баков цилиндрической формы при способе вытеснения топлива «вниз».

Р( г)

2е+06

t.c

Рисунок 1 - Функция Р(/) для баков сферической формы с вытеснением «вниз»

Рисунок 2 - Функция для баков цилиндрической формы с вытеснением «вниз» 0.051

0 04 OOS 006 в 04 0 05 0.06

•/(t),pad r(j)?Pad

Рисунок 3 - Г одограф вектора тяги ЖРД для Рисунок 4 - Годограф вектора тяги ЖРД для баков баков сферической формы с вытеснением «вниз» цилиндрической формы с вытеснением «вниз»

Из рисунка I следует, что поскольку функция P(t) положительна на всём рассматриваемом промежутке времени, то можно предположить, следуя (8), что годограф вектора тяги будет иметь вид скручивающейся спирали. Из рисунка 3

видно, что годограф имеет вид скручивающейся спирали, что подтверждает выше сделанное с использованием функции P(t) предположение.

По графику функции P(t) (рисунок 2), следуя (8), можно предположить, что годограф вектора тяги до 12 с будет иметь вид скручивающейся спирали, между 12 с и 28 с- раскручивающейся, а после 28 с — снова скручивающейся. Из рисунка 4 видно, что в конце движения спираль скручивается быстрее, чем в первом случае, однако в середине временного интервала характер её движения меняется, что подтверждает сделанное выше с использованием функции P(t] предсказание.

Использование условия (8) позволяет предсказать эволюцию годографа вектора тяги для ракетного двигателя твёрдого топлива и жидкостного ракетного двигателя и сделать вывод о желательности или нежелательности поведения вектора тяги с точки зрения точности его ориентации.

Отметим, что интегрирование системы уравнений (2) позволяет построить функцию L/G от времени I. Результаты модельных примеров показали соответствие

между поведением функции P(t) и L/C: на промежутках времени, для которых функция P(t) положительна, функция I/G убывает, а на промежутках времени, для которых функция P(t) отрицательна, функция L/G возрастает. Замеченные закономерности не являются математически обоснованными, однако для предсказания характера годографа вектора тяги двигателя с точки зрения точности его ориентации можно использовать как функцию P{t], так и функцию L/G.

Предложенная методика анализа регулярной динамики, основанная на использовании условия, определяющего поведение годографа вектора тяги, может быть применена для осесимметричных космических аппаратов с твердотопливными и жидкостными ракетными двигателями.

В третьей главе рассматривается хаотическая динамика космического аппарата как тела переменного состава.

Получены уравнения возмущённого движения КА постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции с учётом упругих свойств конструкции, которые моделируются изменением моментов инерции по гармоническому закону.

Для одного изменяющегося момента инерции уравнения имеют вид:

I = LaL + s

+е [-(О2 - L2 )sin 21—sin Qt-——Lsin2 IcosClt U y 4> aL Д,

1 Q •>

G = e—--Gsin /cosfi?,

aQ А^

для синхронного изменения трёх моментов инерции уравнения имеют вид:

/ = Пх1-еЪа1, (рг = СаГг -еОа0, С = еООсовП/,

—- ¡втг/втп/н-^асовйг |.(10)

В системах уравнений (9), (10): Аа = А(0), Вп = В{0), Со = С(0), а, = а, (0), «« =«й(0).

Функция Мельникова построена для системы уравнений (9) в виде:

.,/, ч 1(1 1 ]. 1 , О. , СЮ'2 -М(10)=—---/,+ — /2--/3+-/4-П<7 2/5,

Л V 4) ^о у Л Л Л

где /,, /2, /3, /4> /, - гармонические функции;

и для системы уравнений (10) функция Мельникова построена в виде:

(П)

М (г0) = | [О1, ехр(2сш П(/ + /0))-О/]

1 1" ахс,гс,у

Л О'2-С?

1

с„ в'2 д, /

1__1

, п-г

о

о:

п Ъ

[зтП(* + /0)-1]<й + О*'

" 1 ОсозП(г + ?„)Л,

(12)

где

а,-а,

весЬ^у), 0'г = С С2 = С

о3~а2

о,-л,

5есЬ («,/■),

(13)

"2=у1(а1-а1)(а,-а2), а, =1/4, а2=1/50 аг=\/С„.

Графики функций Мельникова (11), (12), полученные путём её численного интегрирования в среде МаШСас!, показывают, что функции являются периодическими и имеют бесконечное количество нулей, что свидетельствует о наличии хаотических режимов в системах (9), (10) и, следовательно, о возможной хаотической динамике КА.

Построены и проанализированы сечения Пуанкаре с целью иллюстрации наличия хаотических режимов движения, возможность появления которых определена с использованием функции Мельникова.

В качестве примеров, на рисунках 5, 6 приведены сечения Пуанкаре при изменении трёх моментов инерции.

I

С

I С

Рисунок 5 - Сечение Пуанкаре при изменении Рисунок 6 - Сечение Пуанкаре при изменении

трёх моментов инерции и е = 1(Г"

трёх моментов инерции и е -10 :

Как видно из полученных изображений, в рассматриваемых случаях происходит расщепление сепаратрисы. При увеличении малого параметра е ширина зоны, в которой наблюдается хаотическое поведение фазовой траектории, увеличивается. Физически это означает рост зоны появления такого режима, при котором характер движения КА будет непредсказуемо меняться с вращательного на колебательный и наоборот.

Рассмотрено применение метода Пуанкаре-Мельникова для КА переменной массы. В этом случае моменты инерции будут функциями времени вида:

Если подставить имеющиеся соотношения для зависящих от времени моментов инерции КА(14) в уравнения движения (1), то в результате получим неавтономную систему. Применимость же метода Мельникова строго доказана только для автономных систем. '

Предлагается обойти это несоответствие, «заморозив» моменты инерции КА, и считать их постоянными и имеющими значения, определённые для некоторых выбранных моментов времени. Тогда для этих постоянных моментов инерции можно построить функцию Мельникова в соответствии с (12) и проанализировать её, а затем построить и проанализировать сечения Пуанкаре. |

В качестве примера рассмотрен анализ движения ранее рассмотренного во второй главе КА, переменность массы которого определяется работой ЖРД, топливные баки имеют сферическую форму, и используется способ вы теснения топлива «вниз». |

Принято, что КА имеет малую динамическую асимметрию, характеризуемую малым параметром ц, моменты инерции КА вычисляются, как и ранее в главе 2 и дополнительно к ним имеются соотношения, определяющие отличие момента инерции ВКА(() от момента инерции

ВЮ1(1)=ВК + В7 (1)-М22с, В, (0=Л (0> Вк=(\-Ц)Ак. (15)

Без ущерба для общности анализа выбран такой момент времени работы ЖРД, при котором можно пренебречь массой израсходованного топлива.

Построение функции Мельникова не проводится. Построены сечения Пуанкаре для значений выбранного параметра упругости £ = 10"" и значений малого параметра //, характеризующего динамическую асимметрию аппарата: ц = 0,001, Вк = 0,999Ак (рис. 7); ц = 0,1, Вк= 0,9 Ак (рис. 8).

4--!-1-5-*-—£-1 : 1 ! I < 5 Г

Рисунок 7 - Сечение Пуанкаре для КА с Риеунок 8 - Сечение Пуанкаре для КА с

динамической асимметрией Вк =0,999Ак динамической асимметрией Вк =0,9Ах

Из рисунков 7, 8 следует, что при увеличении динамической асимметрии космического аппарата начинают возникать характеризуемые появлением особых точек нелинейные эффекты, которые способны породить хаотические режимы движения.

Увеличение динамической несимметричности КА и малого параметра г, характеризующего упругие свойства конструкции, приводит к усложнению структуры фазового пространства. На рисунке 9 это показано для относительных значений моментов инерции А, В и С (А = 0,42; В = 0,75; С = I}.

Рисунок 9 - Сечение Пуанкаре для КА с динамической асимметрией (А = 0,42; В = 0,75; С = 1)

Из рисунка 9 следует, что на сечении Пуанкаре по сравнению с рисунками 7-8 ярко выражена зона хаотического движения, также как и на рисунках 5-6, и кроме того появляются новые зоны колебательного движения (например, 1, 2, 3, 4).

Для КА переменной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции метод Пуанкаре-Мельникова можно использовать только для фиксированных моментов инерции.

Предложенная методика анализа хаотической динамики КА, основанная на методе Пуанкаре-Мельникова, позволяет построить функцию Мельникова и обнаружить возможные хаотические режимы и с помощью сечений Пуанкаре наглядно представить характер движения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Проведённые исследования динамики космического аппарата как тела переменного состава позволяют сформулировать следующие результаты и выводы. 1. Разработана методика анализа регулярной динамики динамически симметричного космического аппарата с двигателем, которая основывается на полученном аналитическом условии, определяющем поведение годографа вектора тяги.

Применение методики показано на модельных примерах для космических аппаратов с ракетным двигателем твёрдого топлива и жидкостным ракетным двигателем. Для построения годографа вектора тяги жидкостного ракетного двигателя для модельных примеров разработано программное обеспечение.

2. Разработана методика анализа хаотической динамики космического аппарата постоянной или переменной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции.

Методика основывается на методе Пуанкаре-Мельникова, который включает в себя построение функции Мельникова и сечений Пуанкаре. Применение методики покатано на модельных примерах для космического аппарата постоянной массы с одним и тремя изменяющимися моментами инерции и на модельном примере для космического аппарата переменной массы с жидкостным ракетным двигателем. Для построения сечений Пуанкаре с целью наглядного представления хаотической динамики космического аппарата для модельных примеров разработано программное обеспечение.

Разработанные методики позволяют провести анализ регулярной динамики динамически симметричных космических аппаратов как тел переменного состава при известных зависимостях моментов инерции от времени и анализ хаотической динамики космических аппаратов как тел переменного состава при трёхосном эллипсоиде инерции с учётом упругих свойств конструкции, которые моделируются изменениями моментов инерции по гармоническому закону.

За счёт использования аналитических и полуаналитических решений, их графического представления и отказа от численного интегрирования уравнений пространственного движения уменьшается время на проведение анализа и оценку регулярной и хаотической динамики космического аппарата с точки зрения выполнения имеющихся требований по его ориентации.

Перспективы дальнейшей разработки темы, связанной с разработкой методики анализа регулярной и хаотической динамики космического аппарата как тела переменного состава, заключаются в следующем:

- методику анализа регулярной динамики обобщить на случай КА с трёхосным эллипсоидом инерции. Провести строгое доказательство связи между функциями P(t) и L/G, что позволит проводить анализ регулярной динамики через математическую модель движения в переменных Андуайе-Депри;

- методику анализа хаотической динамики обобщить на случай КА с переменными моментами инерции путём возможного построения функции Мельникова для неавтономных систем;

- провести количественную оценку ширины хаотического слоя.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО:

в рецензируемых журналах, определённых Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации:

1. Крикунов, М.М. Исследование динамики пространственного движения тел переменного состава [Электронный ресурс] / М.М. Крикунов // Электронный журнал «Труды МАИ», 2010. — № 41.

2. Балакин, В.Л. Анализ динамических режимов пространственного движения космического аппарата с твёдотопливным ракетным двигателем [Текст] / В.Л. Балакин, A.B. Дорошин, М.М. Крикунов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета), 2012. — № 5 (36). — Ч. 2. — С. 13-19.

3. Doroshin, A.V. Attitude dynamics of a spacecraft with variable structure [Text] / A.V. Doroshin, M.M. Krikunov // Applied Mathematical Modelling, 2014.— No. 7-8. — Vol. 38. —pp. 2073-2089.

в других изданиях:

4. Крикунов, М.М. Исследование динамики твёрдого тела переменного состава в канонических переменных Андуайе-Депри [Текст] / М.М. Крикунов // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — М., 2009. — Ч. VII «Управление и прикладная математика». — Т.З. —С. 149-153.

5. Крикунов, М.М. Исследование динамики твёрдого тела переменного состава в переменных Андуайе-Депри [Текст] / М.М. Крикунов // Тезисы Международной молодёжной научной конференции «XVII Туполевские чтения».— Казань, 2009. — Т. 2. — С. 266-267.

6. Крикунов, М.М. Моделирование динамики твёрдых тел переменного состава с учётом упругих колебаний [Текст] / М.М. Крикунов // Актуальные проблемы авиации и космонавтики: метериалы Всерос. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов в 2 т.— Красноярск, 2010.— Т. 1. Технические науки. Информационные технологии. - С. 94-95.

7. Крикунов, М.М. Исследование динамики твёрдых тел и их систем переменного состава [Текст] / М.М. Крикунов // Актуальные проблемы науки и техники: Сборник трудов Шестой Всероссийской школы-семинара аспирантов и молодых учёных. — Уфа, 2011.— Т. 1. Информационные и инфокоммуникационные технологии, естественные науки. — С. 303-305.

8. Дорошин, A.B. О двух случаях возмущённого движения космического аппарата при наличии гармонических возмущений [Текст] / A.B. Дорошин, М.М. Крикунов // Актуальные проблемы науки и техники: Сборник трудов Шестой Всероссийской школы-семинара аспирантов и молодых учёных, 2011.— Т. 2. Машиностроение, электроника, приборостроение, управление и экономика. — С. 60-64.

9. Крикунов, ММ. Нерегулярная динамика космического аппарата с переменными инерционно-массовыми параметрами [Текст] / М.М. Крикунов// Тезисы докладов второй международной конференции «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках».—Самара, 2011.—С. 356-359.

10. Крикунов, М.М. Регулярные и хаотические режимы динамики космического аппарата переменной массы на активных участках орбитального движения [Текст] / М.М. Крикунов // Труды IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». — Нижний Новгород, 2012. — С. 570-575.

11. Балакин, В.Л. Анализ динамики пространственного движения космических аппаратов с ракетными двигателями твёрдого топлива на основе метода определения кривизны фазовых траекторий [Текст] / В J1. Балакин, A.B. Дорошин, М.М. Крикунов// Сборник трудов XVI Всероссийского семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. — Самара, 2013. — Часть II. — С. 51-55.

12. Крикунов, М.М. Возникновение хаотических режимов пространственного движения космических аппаратов при наличии малых упругих колебаний [Текст] / М.М. Крикунов// Сборник трудов XVI Всероссийского семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. — Самара, 2013. — Часть П. — С. 70-74.

Подписано в печать 17.10.2014. Формат 60x84/16. Бумага ксероксная. Печать оперативная. Объём - 1 усл. печ. л. Тираж 100 эю. Заказ № 134

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» 443080. г. Самара, ул. Санфировой, 110А; тел.: 8 (846) 222-92-40