автореферат диссертации по электронике, 05.27.03, диссертация на тему:Рассеяние электромагнитных волн на одномерной неровной поверхности

од

о м::>[1 >5000 ~ О 11>-м!

На правах рукописи УДК 535.36, 621.37

КОСТИН Алексей Вадимович

РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ОДНОМЕРНОЙ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

05.27.03 — "Квантовая электроника" 01.04.05 — "Оптика"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и механи: естественнонаучного факультета Санкт-Петербурского государственно института точной механики и оптики (Технического университета).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Ю. А.Балошин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М. Н. Либенсон

доктор физико-математических наук, профессор Е. Н. Котликов

Ведущее предприятие: ОАО "ЛОМО"

Защита состоится 16 июня 1998 г. в 15 часов на заседании специ, лизированного совета К053.26.02 по присуждению ученой степени ка] дидата физико-математических наук в Санкт-Петербурском государстве] ном институте точной механики и оптики (Техническом университете) I адресу: 197101, Санкт-Петербург, ул. Саблинская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотм СПбГИТМО(ТУ).

Автореферат разослан 6 мая 1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета

В.И.Юреви

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Рассеяние электромагнитных волн на неровных поверхностях является зесьма важным разделом теории дифракции. Во многом это обусловлено гем значением, которое придается моделированию явлений рассеяния света неровными поверхностями в оптических приложениях. Так, представляет интерес рассеяние света на случайно неровных поверхностях, например за металлических зеркалах алмазного точения, широко используемых в пазерной оптике. Сфера применения теории рассеяния волн на неровных ловерхностях не ограничивается только оптическими задачами. В силу идентичности математического аппарата она вовлекает в себя различные приложения в радиофизике, акустике и т.д. Актуальной является проблема отражения радиоволн от морской поверхности в геометрии падения-детектирования под малыми углами скольжения. В акустике звуковые поля, рассеянные на поверхности моря, арктическом морском льду, океаническом дне, составляют объект интенсивных исследований на протяжении последних десятилетий. Таким образом, проблемы рассеяния волн на неровных поверхностях имеют большую значимость для многих задач, возникающих в различных областях прикладной науки и сферах высоких технологий, а также в связи с дальнейшим развитием математической теории явлений дифракции.

В течение последнего столетия разработано большое число различных приближенных подходов к решению задач рассеяния света на неровных поверхностях. Для многих приближенных методов характерны весьма жесткие ограничения на пределы их применимости. В связи с этим представляют интерес строгие методы решения краевых задач для уравнений Максвелла, к которым сводится в классическом электромагнетизме описание распространения света через границы раздела сред с разными макроскопическими характеристиками. Известно, что решения этих краевых задач для границ произвольной формы не могут быть получены

в явном виде. Однако современный уровень развития вычислительной техники позволяет решать такие краевые задачи численно. Если требуется находить рассеянные поля на больших расстояниях от поверхности, то из известных строгих подходов наиболее удобным в вычислительном отношении считается метод интегральных уравнений.

Известно, что метод интегральных уравнений, примененный к периодически неровным поверхностям (см., например, М), может очень точнс предсказывать свойства отражательных решеток с различными профилями. Проведенное в работе обобщение этого подхода, основанного на прямое обращении к теореме Грина для вывода интегрального уравнения относительно неизвестной плотности поверхностного тока, на случай одномерное непериодически неровной поверхности долгое время считалось вполш удовлетворительным. Однако, как показали недавние исследования [3, 4], i практическом применении к расчетам рассеяния света как на резонансных так и на крупномасштабных неровных поверхностях этот подход сталкивается со значительными трудностями, обусловленными медленным убыванием неизвестной функции интегрального уравнения. Таким образом, задаче рассеяния электромагнитной волны на одномерной идеально проводящее поверхности, являющаяся простейшей и эталонной для данной проблема тики, так и не получила должного решения. Представляет также интере< применение метода интегральных уравнений к импедансным граничные услориям, которые учитывают поглощение энергии падающих волн и те» самым привносят в модель дополнительную физическую содержательность Отметим, что появление метода, применимого для моделирования рас сеяния электромагнитных волн на высокопроводящей крупномасштабно! неровной поверхности, облучаемой под малыми углами скольжения, яви лось бы опорой важным прикладным исследованиям рассеяния радиовол] на взволнованной поверхности моря.

14 Electromagnetic Theory of Gratings. / R. Petit (ed.). — New York: Springer, 1980. — 284 p. И D. Maystre // IEEE Trans. Ant. Prop. — 1983. — Vol. AP-31. — No. 6. — P. 885-895.

Целъю работы является развитие методов моделирования рассеяния электромагнитных волн на неровных поверхностях. К основным задачам работы относится

1. развитие строгого метода интегральных уравнений в задаче рассеяния электромагнитных волн на одномерной неровной поверхности;

2. исследование методом интегральных уравнений рассеяния электромагнитной волны на гладкой одномерной неровной поверхности идеального проводника;

3. исследование методом интегральных уравнений рассеяния электромагнитной волны на пологой одномерной неровной поверхности конечной проводимости;

4. установление численным моделированием практических возможностей разрабатываемых интегральных методов по сравнению с известными подходами.

Положения, выносимые на защиту

1. Решена задача рассеяния ТЕ и ТМ поляризованной гармонической волны на поверхности идеального проводника с одномерной неровностью, задаваемой однозначной дважды непрерывно дифференцируемой функцией, определенной на финитном носителе. Показано, что эта задача строго сводится к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода относительно плотностей потенциалов двойного или простого слоев, которые поддаются численному решению. Методом равномерных асимптотических оценок интегралов от быстро осциллирующих функций получены удобные в вычислительном плане формулы для амплитуды рассеяния.

2. Решена задача рассеяния ТЕ и ТМ поляризованной плоской волны на импедансной поверхности с пологой одномерной локализованной неровностью. В рамках гипотезы Релея решение этой задачи дано в виде интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно искомой амплитуды рассеяния.

3. Представлено доказательство оптической теоремы в случае рассеяния

волн на диэлектрической поверхности с одномерной локализованной неровностью.

4. В результате численного моделирования внесены поправки к известным ранее условиям применимости гипотезы Релея в задаче рассеяния волн на поверхности с одномерной локализованной неровностью.

5. Показана применимость развитых в работе интегральных методов в ряде прикладных задач, таких, как дифракция электромагнитных волн на финитных резонансных решетках, рассеяние на случайных поверхностях и крупномасштабных неровностях, в том числе при скользящем освещении.

Научная новизна работы

Выносимые на защиту положения являются новыми научными результатами.

Научная и практическая значимость работы

В диссертации дано последовательное решение классической задачи рассеяния электромагнитных' волн на одномерной неровной идеально проводящей поверхности. Проведенные исследования способствуют лучшему пониманию условий применимости гипотезы Релея, нашедшей широкое применение в теории рассеяния волн на неровных поверхностях.

Разработанные в диссертации строгие и приближенные методы интегральных уравнений решения задач рассеяния электромагнитных волн на высокопроводящих поверхностях могут быть использованы в расчетах рассеяния света на элементах оптических систем, в бесконтактных нераз-рушающих технологиях определения оптического качества поверхностей и др. В работе проведено большое число конкретных вычислений рассеянных полей.

Апробаций работы :

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на 4-ой Международной конференции "Integral Methods in Science and Engi-

пеегищ" (Оулу, Финляндия, 1996) [5], Международной конференции "Прикладная оптика-96" (С.-Петербург, 1996) [6], Международном семинаре "Бау оп Б1йгас1юп-97" (С.-Петербург, 1997) [7], Всероссийской конференции "Оптика в экологии" (С.-Петербург, 1997) [8].

Публикации материалов работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4] и доложены на конференциях и семинарах [5-8].

Участие соискателя

Все основные результаты, представленные в диссертации, получены лично А. В. Костиным.

Структура и обзем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Всего в диссертации 135 страниц. Основное содержание диссертации изложено на 92 страницах. Библиография из 157 наименований занимает 12 страниц, а приложения — 5 страниц. В диссертации 38 рисунков на 21 странице и 6 таблиц на 2 страницах.

Содержание работы

Композиционное размещение материалов диссертации подчинено ее главной идее — новым интегральным методам решения задач рассеяния на одномерных идеально и хорошо проводящих неровных поверхностях.

В первой главе приводятся необходимые сведения методического характера. В §1.1 дается обзор литературы по основным методам решения задач рассеяния света неровными поверхностями, указываются пределы их применимости. Также в обзоре уделяется внимание экспериментальным исследованиям в этой области. Обсуждению тех задач рассеяния волн на неровных поверхностях, которые сводятся к скалярным краевым задачам для уравнения Гельмгольца, посвящен § 1.2. В § 1.3 доказываются следующие оптические теоремы для амплитуды рассеяния.

f

J—71

. Теорема 1. (идеально проводящая поверхность). Пусть полное волновое поле Uj. в А = {(х,у) 6 R2 : у > /(х)}, f(x) € С2, suppf(x) С [-а,а], а) подчиняется уравнению Гельмгольца (V2 + k\)Ui — 0, где к\ — вещественное волновое число в D\\ б) представляется в виде U\ — U^ + U^ + 1 /2

A^ejcxpiii^p - f)] + o((fc1p)-1/2), Где £/«, UW — падающая и зеркально отраженная по отношению к плоскости Y = 0 плоские волны, Ai — амплитуда рассеяния в полярной системе координат (р,в3), 6i — угол падения; в) удовлетворяет на кривой dD = {(х,у) 6 R2 : у = f(x)} граничному условию Дирихле или Неймана. Тогда

-т/2

где г = —1 для граничного условия Дирихле и г = 1 для граничного условия Неймана. (Черта сверху означает комплексное сопряжение.)

Теорема 2. (диэлектрическая поверхность). Пусть волновое поле Ui удовлетворяет на полуплоскости D\ условиям а) и б) теоремы 1; волновое поле U2 на полуплоскости D2 = {(г,у) € R2 : у < f(x)} а) подчиняется уравнению Гельмгольца (V2 + /t|)i/2 = 0, где к2 — вещественное волновое число в £>2! б) представляется в виде U2 = + ^(v»,0i)exp[i(fc2p-f)] + o((fc2p)"1/2),

где U® — преломленная по отношению к плоскости Y — 0 волна; (р,(р3) — полярная система координат в D2. Если функции и U2 подчиняются граничным условиям сопряжения:

Ui\dD+ = ЩBD- >

L ЁЕ1

Pi дть

_ 1 ди21

ак+ Рг дп |ао- :

Pi е R-,

1 Г"/2 __1 /•»/2 _

- A1(e3,e'i)A1(es>e'/)de3 + - А2{<р,Л)М<е*,е'!)й<р,= Pl J-ф Р2 J--K/2

= -1 о + т{в'!) A^ei ej)] -1 [«мад, я?) + i(fli') А2{&1, А;)] ,

¿"l Р2

где r(0j) и iifii) — коэффициенты отражения и преломления; 6t — угол

преломления, не превышающий критический.

В §1.4 приводятся формулы приближения Кирхгофа, получившего широкое применение в практических расчетах рассеянных полей. В §1.5 дается решение задачи рассеяния на одномерной идеально проводящей поверхности методом интегральных уравнений теоремы Грина И и на численном примере показывается несоответствие вычисленной по этому методу амплитуды рассеяния оптической теореме, являющейся необходимым условием корректности расчетов.

Вторая глава является центральной в работе. В §2.1 излагается новый подход в методе интегральных уравнений к решению задачи рассеяния на одномерной идеально проводящей поверхности с локализованной неровностью. Пункт 2.1.1 посвящен решению задачи Дирихле, соответствующей рассеянию ТЕ поляризованной волны. Показано, что амплитуда рассеяния для этого граничного условия вычисляется по формуле = А[{6,) +

+ùf'(x'){[( 1 - eW+yftSW+UM, е) + [(1 + е)Л<->]1/2£/0(Л<->,£<->, -£)} } dx';

И D. Maystre Op. cit.; D. Maystre // J. Opt. (Paris). — 1984. — Vol. 15. — No. 1. — P. 43-51.

Я" 7-6

6 > а, Л(±> = кг{Ь

с — вш

в,

/2 Гехр{гЛ[(х2 + а1/2 + «]}

6> Л + ^2)1/4

ехр{гЛ[(г2 + £2)1/2 + ех}} (,х2 + £2)3/4

(¿X.

Функция 7/(г) является решением следующего интегрального уравнения Фредгольма второго рода:

№ ( \}{х') + Г(х')(Ь - яО] ехрЩд(х, Ь) + д{х\ 6)]} 2тг \ [9(ж, Ъ) д{х', Ь)}^[д{х', Ь)(Ь - х) + д(х, Ь){Ь - х')}

У(х') - Г(х')(Ь + х')} ехРЩд(х, ~Ь) + Ф', -Ь)]} [9(1, -Ь) я(х\ -Ь)П{х', -Ь)(Ь + х) + д(х, -Ь){Ь + ас')]

ч(х,Ф) = Кх-Ф)2 + /Чх)}1/2-

Пункт 2.1.2 посвящен задаче Неймана (ТМ поляризации). В пункте 2.1.3 приводятся равномерные асимптотические формулы для вычисления интегралов ¿То и 5/1, фигурирующих в выражениях для амплитуды рассеяния ТЕ и ТМ поляризованных волн.

Методика вывода интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно амплитуды рассеяния в рамках гипотезы Релея описывается в § 2.2, где приводятся решения для граничных условий Дирихле, Неймана и Леонтовича. В случае граничных условий Леонтовича:

[/(*) - ¡(х1) - }'{х')(х - х')},

Я}1' — функция Ханкеля первого рода первого порядка,

= Со ^

% XV ( ■ \ ^^

, где Со = Т77Г, = ( — ) (ТЕ поляризация),

£), Ц] — диэлектрическая и магнитная проницаемости в Д,-, ] = 1,2, соответственно;

зи_

дп

1^2

— г1о и\до+ , где 7?0 = -1кг — (ТМ поляризация),

Э£>+

интегральное уравнение принимает вид

/чг/2

тг/2

где для ТЕ поляризации

Аг(в,А)+ Г М(вг,в)А1(в,в^йв = т(ва,в{), (1)

J-ж/2

м{в-в)=^ /> - аПх)]{[1+(2)

[1+/'2(х)]1/2

ж)] - С<+>(&, г) I ехр{г[(а - а3)х + №)]} йх,

= £{ [1 + /1)11/2[АС'"(/?'-'а;) - «.■Л'Х^А,*))- О)

_[1 + Г(1)]1/2

-СУ<+,(А,х) | х) + а.ГСа;)^^/?,, ж)] ехр[г(а{ - а3)х] ёх,

а для ТМ поляризации

М[$.,6) = |%С<+)(А,*)[1 + /'2(х)}1'2 -Ц/3,С"(0„х)+ (4)

+ая/'(х)С<+>(&, х)] | ехр{г[(а - а3)х + 0Дх)]} ёх,

т{в,Л) = - Ы1 + Г*(х)}1'2] (5)

:,х) 1с(+)(&,х)ехр[г(а,- - а,)х] ёх.

В последних формулах а; = ^sinöj, Д = fcicosöi, as = /cisin#ä, ßs = kicos0s, a = kisin9, ß = fclCos0; G^(ß,x) = r{d)exp[ißf{x)} ± exp[-ißf(x)\; r{9) — коэффициент отражения, взятый соответственно рассматриваемой поляризации. В пределе |ег| оо, формулы (1-5) переходят в соответствующие выражения для идеального проводника [1].

В § 2.3 обсуждаются вопросы численной реализации развитых интегральных методов.

В третьей главе приведены результаты численного моделирования. В §3.1 сравнительным анализом расчетов метода интегральных уравнений из §2.1 и интегральных уравнений гипотезы Релея (§2.2) показывается, что известные ранее теоретические условия применимости гипотезы Релея (см., напр., М) нуждаются в ограничительной коррекции. Применимость разработанных интегральных методов в моделировании рассеяния на финитных синусоидальных решетках бесконечной и конечной проводимости демонстрируется в §3.2. Рассеяние на крупномасштабных неровностях рассматривается в §3.3. В параграфе приводятся сравнительные результаты расчетов рассеяния на выпуклой неровности новым методом интегральных уравнений, интегральными уравнениями теоремы Грина и в приближении Кирхгофа. Показывается, что результаты расчетов по методу интегральных уравнений из §2.1 с высокой точностью соответствуют оптической теореме, в том числе и при скользящем освещении неровности. Даются также расчеты рассеяния на неровности, моделирующей царапину. Наконец, в §3.4 проводится статистическое моделирование рассеяния на случайных поверхностях и результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными из'5'. Пример такого расчета показан на рис. 1.

В заключении очерчиваются некоторые перспективы развития интегральных методов.

M Р. М. van den Berg, J. T. Fokkema // Radio Sei. — 1980. — Vol. 15. — No. 4. — P. 723-732. и M.-J. Kim, J. С. Dainty, A. T. Friberg, A. J. Sarai // J. Opt. Soc. Am. — 1990. — Vol. A7. — No. 4. — P. 569-577.; J. C. Dainty, N. C. Bruce, A. J. Sant Ц Waves Random Media. — 1991. — Vol. 1. — No. 3. — P. S29-S39.

Рис. 1. Диффузная компонента диаграммы рассеяния излучения СО2 лазера (длина волны 10.6 мкм) на случайной поверхности Аи со среднеквадратическим отклонением а = 1.22 мкм и длиной корреляции 1о = 3.17 мкм. Угол падения в{ = 30°. ТМ поляризация.

1 — экспериментальные данные расчетные данные: 2 — метод интегральных уравнений из §2.1, 3 — интегральные уравнения гипотезы Релея для импеданса из §2.2.

Приложения содержат справочный материал. В приложении А приводятся некоторые формулы равномерных асимптотических оценок интегралов от быстро осциллирующих функций, использованные в пункте 2.1.3. Примененный в § 3.4 алгоритм численной генерации дискретных случайных поверхностей описывается в приложении В.

Работа частично финансировалась персональным грантом М97-2.2 К-282 Правительства Санкт-Петербурга по "Программе поддержки научного творчества молодежи в вузах Санкт-Петербурга."

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Ю. А. Балошин, В. В. Залипаев, А. В. Костин, С. А. Смирнов Применение гипотезы Релея при расчете рассеяния электромагнитных волн на неровных поверхностях. // Опт. Журн. — 1996. — № 12. — С. 24-26.

2. Ум. A. Baloshin, А. V. Kostin An approach to the exterior Dirichlet problem in R2 with applications to wave scattering. // Integral Methods in Science and Engineering. Vol. 1: Analytic Methods. / C. Constanda, J. Saranen, S. Seikkala (ed.). — London: Addison Wesley Longman. — 1997. — P. 32-37. [Pitman Research Notes in Mathematics Series, Vol. 374.]

3. Yu.A. Baloshin, A. V. Kostin Diffraction at perfectly conducting rough surfaces under grazing incidence. // Proc. Int. Seminar "Day on Diffraction'97". — St. Petersburg, 1997. — P. 187-194.

4. Ю. А. Балошин, А. В. Костин Метод интегральных уравнений в задаче рассеяния электромагнитных волн на неровной поверхности. // Опт. и спектр. — 1998. — Т. 84. — № 5.

5. Yu. A. Baloshin, А. V. Kostin An approach to the exterior Dirichlet problem in R2 with applications to wave scattering. // 4th Int. Conf. on Integral Methods in Science and Engineering. Abstracts. — Oulu, 1996. — P. 5.

6. Ю. А. Балошин, Т. А. Жеелакова, А.В.Костин Применение метода интегрального уравнения к решению задач рассеяния света. // Тезисы докладов конф. "Прикладная оптика-96". — С.-Петербург, 1996. — Доклад № 21.

7. Yu.A. Baloshin, А. V. Kostin Diffraction at perfectly conducting rough surfaces under grazing incidence. // Int. Seminar "Day on Diffraction'97". Abstracts. — St. Petersburg, 1997. — P. 22.

8. Ю. А. Балошин, А.В.Костин Метод интегрального уравнения для решения задач рассеяния на неровных поверхностях. // Тезисы докладов конф. "Оптика в экологии". — С.-Петербург, 1997. — Доклад № 79.