автореферат диссертации по строительству, 05.23.01, диссертация на тему:Расчет железобетонных конструкций методом гладко сопряженных элементов на основе точных частных решений



На правах рукописи

КРЫЛОВ Сергей Борисович

/К7

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ ГЛАДКО СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ ТОЧНЫХ ЧАСТНЫХ

РЕШЕНИЙ.

Специальность: 05.23.01 - строительные конструкции, здания и

сооружения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2003

Работа выполнялась в Государственном унитарном предприятии "Научно—исследовательский, проектно-конструкторский и технологический институт бетона и железобетона" (ГУЛ "НИИЖБ") Госстроя РФ.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

С .В .Александровский доктор технических наук, профессор Ю.В.Зайцев

доктор технических наук, профессор Н.Н.Шапошников

Ведущая организация ЗАО "ЦНИИЭП им. Б.С.Мезенцева"

Защита состоится " 27 " ноября__2003 г. в /¿Г" часов

на заседании диссертационного совета Д 303.006.01 по защите диссертаций на сои«ание ученой степени доктора технических наук в Государственном унитарном предприятии "Научно - исследовательский, проектно-конструкторский и технологический институт бетона и железобетона" (ГУЛ "НИИЖБ") Госстроя РФ по адресу: 109428, Москва, ул. 2-я Институтская, д.6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " ¿г ■ ^сЛЬя 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Л.Н.Зикеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.шгззг

Актуальность проблемы. Железобетон занимает ведущее положение в современном строительстве среди конструкционных материалов. Большинство наиболее сложных инженерных сооружений в настоящее время выполняется из железобетона или с широким применением железобетона. В связи с усложнением железобетонных конструкций и возрастающими требованиями к их эксплуатационным свойствам возникает необходимость совершенствования методов расчета. Развитие методов расчета железобетонных конструкций тесно связано с развитием строительной механики и математики. Эти области науки взаимно влияют друг на друга и обогащают друг друга. Совершенствование вычислительных средств и расчетного аппарата позволяет решать задачи, которые были практически неразрешимыми еще 20-30 лет назад. Но вместе с ростом вычислительных возможностей постепенно возрастает и сложность расчетных задач. Это происходит двумя путями. С одной стороны, увеличивается размер расчетных схем, описывающих конструкции. Такое увеличение происходит, в основном, следуя развитию вычислительной техники. С другой стороны, наблюдается усложнение описания отдельных элементов расчетных схем (использование более сложных уравнений, использование более сложных аппроксимаций и так далее). Это связано с тем, что применение новых конструкций и технологий заставляет инженеров учитывать все новые и новые факторы для более точного описания работы конструкций и материалов. При этом следует заметить, что экономические и другие трудности в 90-х годах двадцатого века в нашей стране ни сколько не уменьшили сложность решаемых расчетных задач и степень требуемой в расчетах точности, хотя сократилось их общее количество. Поэтому все разработки, позволяющие повысить точность расчетов и точнее описать работу конструкций и их элементов, являются чрезвычайно актуальными.

Еще одним важным обстоятельством, указывающим на необходимость разработки новых расчетных методов, является Я

' С.Лекрбург '►К

сокое развитие средств вычислений позволяет использовать практически полностью все возможности, заложенные в современных методах расчета. Не смотря на это, сравнение результатов расчета с опытными данными указывает на то, что не удается превзойти некоторый ранее достигнутый (около десятка лет назад) предел точности в описании работы конструкций. Наиболее отчетливо это проявляется для конструкций из такого сложного материала, как железобетон. Достигнутый предел, определяемый возможностями современных методов расчета, может быть превзойден только при разработке качественно новых подходов. Критический обзор существующих наиболее распространенных методов расчета позволяет выявить целый ряд ограничений, присущих им, которые препятствуют увеличению точности и достоверности получаемых результатов.

Цель работы. Целью работы является принципиальное совершенствование численного расчета железобетонных конструкций с применением аппроксимирующих функций с ограниченной областью определения, которое позволило бы коренным образом преодолеть наиболее серьезные недостатки существующих методов расчета или в значительной степени смягчить их. При этом основной упор делается на аппроксимации, основанные на точных частных решениях уравнений, которыми описываются те или иные виды конструкций.

В соответствии с указанной целью, исследования проводились в двух направлениях. В рамках одного направления разрабатывался численный метод расчета и исследовались его основные особенности. В рамках другого направления разыскивались и исследовались точные частные решения уравнений, которыми описываются те или иные виды железобетонных конструкций.

Научную новизну работы представляют:

- разработка принципиальных положений расчета железобетонных конструкций на основе сопряжения отдельных элементов, обеспечивающего непрерывность искомой функции и ее производных до заданного порядка включительно (то есть гладкость заданного порядка);

- разработанные алгоритмы расчета различных видов железобетонных конструкций данным методом;

- выявленные особенности применения данного метода к расчету различных видов конструкций и влияние ряда факторов на точность получаемых решений;

- сведение полной системы уравнений для железобетонной пластинки с трещинами общего вида к системе дифференциальных уравнений и выявление возможности получения ее точных частных решений в полиномах;

- метод построения ядра релаксации в уравнении, описывающем деформирование железобетонного стержневого элемента с учетом образования и развития трещин, и вид этого ядра;

- интегро-дифференциальное уравнение, описывающее деформирование железобетонного стержневого элемента с учетом образования и развития трещин и решение этого уравнения;

- доведение метода решения в степенных рядах обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (ранее позволявшего получать точные решения уравнений лишь в отдельных случаях) до состояния универсального метода получения точных частных и общих решений для железобетонных и других конструкций, описываемых такими уравнениями.

Практическая ценность работы. Предложенный метод расчета конструкций является столь же гибким и универсальным, как и метод конечных элементов, но лишен основных его недостатков. Решения, получаемые разработанным методом, являются наиболее строгими. Поэтому данный метод вполне способен составить конкуренцию методу конечных элементов. Кроме того, проведенные исследования позволили уточнить некоторые особенности математических моделей, которые применяются к описанию железобетонных конструкций. Самостоятельный практический интерес представляют полученные решения и алгоритмы расчета железобетонных конструкций. Все это позволяет получать более достоверные данные о работе конструкций и тем самым спо-

собствует создангао более безопасных и экономичных сооружений.

Апробация полученных результатов. Материалы диссертации доложены и обсуждены на:

- VI международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" в г.Санкт-Петербурге в 1999г.;

- международной научно-практической конференции "Бетон и железобетон в третьем тысячелетии" в г. Ростове-на-Дону в 2000г.;

- международной научно-практической конференции "Строительные конструкции XXI века", посвященной 80-летию МГСУ и факультета ПГС в г.Москве в 2000г.;

- 1-й всероссийской конференции по проблемам бетона и железобетона "Бетон на рубеже третьего тысячелетия", посвященной 100-летию со дня рождения Виктора Васильевича Михайлова в г. Москве в 2001г.;

- конференции молодых ученых в НИИЖБ "Новые идеи развития бетона и железобетонных конструкций" в г.Москве в 2002г.

- городской научно-практической конференции "Московские вузы - строительному комплексу Москвы для обеспечения устойчивого развития города" в г.Москве в 2003г.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы из 267 наименований и приложения. Общий объем работы составляет 288 страниц, включая рисунки, таблицы и приложение.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В приведенном литературном обзоре показано, что в настоящее время не создана общепризнанная теория деформирования бетона и железобетона, которая учитывала бы все основные особенности его работы. Поэтому вся область расчета бетонных и железобетонных конструкций разделяется на несколько крупных направлений. Эти направления включают в себя:

- вопросы упругости и пластичности бетона и железобетона;

- вопросы деформирования железобетона с учетом образования и развития трещин;

- вопросы ползучести бетона и железобетона;

- вопросы предельных состояний и теории прочности бетона и железобетона;

- вопросы определения напряженно-деформированного состояния конструкций в целом с учетом упомянутых теорий и свойств материала.

Определение напряженно-деформированного состояния сложных железобетонных конструкций в настоящее время основывается в большинстве случаев на методе конечных элементов. Другие численные методы расчета (метод конечных разностей, метод граничных элементов и ряд других) значительно уступают ему по гибкости, универсальности, удобству алгоритмизации. Все это привело к наиболее широкому применению именно метода конечных элементов. Но наряду с неоспоримыми достоинствами, этому методу присущи серьезные недостатки, затрудняющие повышение точности и достоверности получаемых результатов. Наиболее серьезным недостатком является то, что аппроксимация решения, используемая в методе конечных элементов, приводит к разрывам в производных искомой функции. В ряде случаев наблюдаются разрывы и в самой искомой функции при переходе от одного элемента к другому. Это наблюдается, в частности, при применении разных видов интерполирующих функций в соседних элементах. Разрывы в производных приводят к разрывам в величинах сил и моментов на границах элементов, что ведет к значительным погрешностям в величинах усилий при удалении от центра элемента. Разрывы в производных также приводят к тому, что сходимость решения при измельчении сетки элементов будет в каждой точке неравномерной. Кроме того, в задачах механики твердого тела в каждом узле на сетке конечных элементов задается в общем случае несколько независимых степеней свободы. Каждой из них соответствует независимая интерполирующая функция. Если перемещения в данном узле связаны дифференциальными зависимостями (напри-

мер, угловые и линейные перемещения) то такая аппроксимация приводит к нарушению этих зависимостей.

Предложенные к настоящему времени способы устранения перечисленных недостатков в виде введения дополнительных степеней свободы (в оболочках), использования специальных интерполирующих функций, введение обобщенных функционалов энергии не позволили решить данную проблему коренным образом. Анализ литературных источников показывает, что эти способы имеют значительные недостатки, которые могут приводить к серьезным ошибкам. Поэтому в настоящее время широкое распространение получил лишь способ, связанный с применением обобщенных функционалов, в такой форме, которая не приводит к серьезным ошибкам, но и не позволяет устранить основные недостатки метода конечных элементов.

Добиться качественного улучшения определения напряжен-по-деформированного состояния железобетонных конструкций можно, соединив сильные стороны наиболее известных численных методов расчета. К ним следует отнести аппроксимацию решения с помощью функций, имеющих ограниченную область определения (одна из основных характерных черт метода конечных элементов); аппроксимацию решения с помощью точных частных решений уравнений, описывающих данную конструкцию (одна из основных характерных черт метода граничных элементов и ряда методов строительной механики); удовлетворение условий на краях элементов в соответствии с правилами механики, используя для этого один из известных методов минимизации невязок. Причем решения должны основываться на результатах перечисленных направлений исследования свойств железобетона с необходимыми уточнениями и усовершенствованиями их.

Исходя из вышесказанного, в основу предлагаемого метода расчета положен следующий алгоритм.

1. Рассчитываемая конструкция (расчетная схема) разбивается на отдельные элементы.

2. В задачах статики в качестве искомой функции принимается перемещение точек расчетной схемы.

3. Для каждого элемента записывается приближенное общее решение системы дифференциальных (или иных) уравнений, которым он описывается.

4. В качестве неизвестных принимаются произвольные постоянные, входящие в общее решение для каждого элемента.

5. Неизвестные величины определяются из условий минимума погрешности сопряжения функций перемещений соседних элементов на границах между ними, их производных до заданного порядка включительно, а также сопряжения между элементами и условиями на внешней границе. Причем общая система условий сопряжения должна выражать как геометрические условия непрерывности, так и условия статического равновесия на внешних и внутренних границах.

Последнее требование сводится, таким образом, к условиям непрерывности геометрических и силовых функций, включаемых в расчет.

Такой подход к расчету конструкций имеет следующие важные достоинства.

В условия сопряжений на границе между элементами включается равенство перемещений, углов поворотов, изгибающих моментов и поперечных сил соседних элементов. То есть, например, для пластинок постоянной жесткости выполняется сопряжение для производных 0-го, 1-го, 2-го и 3-го порядков, вычисленных в направлении, ортогональном границе. Аналогичные условия можно задать на внешней границе. Тем самым достигается высокая точность определения напряженно-деформированного состояния конструкций, уступающая только точному решению.

Еще одной причиной получения высокой точности является то, что большинство упругих задач (которые имеют и самостоятельное значение, и являются основой для расчета нелинейных конструкций), таких как плоская и пространственная задача теории упругости, задача изгиба пластинок, допуска-

ют построение точных частных решений уравнений, описывающих данную конструкцию. Поэтому при использовании таких точных решений в качестве фундаментальных при построении приближенных общих решений, предлагаемый метод расчета будет давать результаты, строго удовлетворяющие дифференциальным уравнениям для указанных задач. В сочетании с выполнением условий равновесия на границах это приводит к тому, что полученное решение задачи будет с высокой степенью точности удовлетворять основным принципам механики и, в частности, важнейшему принципу минимума потенциальной энергии упругой системы в устойчивом состоянии равновесия. Все это позволяет при исследовании работы конструкций применять методы математического анализа, используемые для непрерывных функций, а также классические методы механики (например, в задачах, связанных с определением энергии деформаций, в задачах определения критических сил, определения устойчивости форм равновесия и т.д.). В то же время, при необходимости, можно использовать приближенные решения в рамках предлагаемого метода.

Таким образом, высокая точность результатов расчета обеспечивается, во-первых, высокой точностью построения системы фундаментальных решений в пределах каждого элемента и, во-вторых, высокой точностью сопряжения элементов между собой. Эти два условия определили круг вопросов, рассмотренных в данной работе. Соответственно, исследования проводились в двух направлениях. В рамках одного направления исследовались вопросы точности сопряжения, количества и вида условий, которые необходимо выполнить на границах элементов, вопросы построения систем разрешающих уравнений и их свойства. В рамках другого направления исследовались вопросы построения математически точных частных решений для уравнений, описывающих различные виды конструкций.

По сравнению с другими распространенными численными методами, в какой-то мере близкими к нему, предлагаемый метод расчета имеет следующие достоинства.

По сравнению с методом конечных элементов, полностью решается проблема сопряжения между элементами с необходимой степенью гладкости. Кроме того, точно выполняются все необходимые дифференциальные зависимости.

По сравнению с методом граничных элементов, предлагаемый метод обладает значительно большей гибкостью и универсальностью. Кроме того, в тех случаях, когда рассчитываемый объект разбивается на отдельные области, сопрягающиеся между собой, метод граничных элементов также дает перечисленные выше погрешности. Предлагаемый метод, как было сказано, свободен от этого недостатка.

С вычислительной точки зрения предлагаемый метод имеет следующие основные особенности.

Предлагаемый метод допускает разбивку рассчитываемой конструкции на элементы вообще произвольной формы. Размер элементов ограничивается условием, чтобы используемые аппроксимирующие функции давали бы хорошее приближение при описании напряженно-деформированного состояния элемента. Это определяется (так же как и в других методах расчета) опытным путем и зависит от сложности напряженно-деформированного состояния элемента. Учитывая более высокую точность, в целом, размер элементов может быть принят большим, чем при расчете методом конечных элементов.

Стыковка элементов может осуществляться также в произвольных местах. Однако, в целях упрощения вычислительных алгоритмов и возможности составления библиотек элементов, целесообразно ограничиться несколькими стандартными формами элементов и располагать их таким образом, чтобы изломы границ сопрягаемых элементов совпадали друг с другом.

При построении функции погрешностей (невязочной функции) и отыскании ее минимума, также возможны самые разные подходы. По-видимому, наилучшие результаты получаются при минимизации невязки по всем внешним и внутренним границам целиком, а не в отдельных точках. Именно такой подход

и был исследован в настоящей работе. При этом строится общая невязочная функция, состоящая из невязочных функций на отдельных участках границ. Минимум погрешностей достигается, когда норма невязочной функции также минимальна. Норма принимается как для пространства функций с суммируемым квадратом :

] - номер границы;

1 - номер производной, по которой выполняется сопряжение (или номер некоторой функции от производных);

П1 и пг - номера первого и второго элементов в сопрягаемой паре с двух сторон от границы № ];

Fj.ni, - функции и производные (или некоторые их комбинации), сопрягаемые на границе № _);

М] - область, по которой выполняется интегрирование на границе (например, линия для плоских элементов, поверхность для объемных элементов); ф] - дифференциал меры пространства (границы) (элемент длины границы, элемент площади границы).

Применительно к пластинке, например, функции , ¥-ига представляют собой или один из видов перемещения с одной и с другой стороны данной границы (изменяющийся вдоль границы), или углы поворота, или один из видов моментов, или поперечную силу.

Каждая из сопрягаемых функций зависит от нескольких произвольных постоянных, которые выступают в качестве неизвестных в данной задаче:

О)

м

J М, 1

где - квадрат нормы невязочной функции;

1Чп2 = Ру^Сп, С,н.1, ..., Сп-н^

(2)

Тогда минимум нормы (1) определяется путем вычисления частных производных функции (1) по величинам Ср (2) и приравнивания этих производных к нулю.

3(М2)

; м, ■

дС„

дС.

= 0

(3)

'р р р= 1,2, ■ •., Ртах

Меняя порядок интегрирования и дифференцирования в уравнениях (3), получим следующую систему для вычисления неизвестных Ср.

'Яш

J » м.

V. дСр оСр У

<4=0

(4)

В общем случае, на границе между сопрягаемыми элементами может бьггь задана еще дополнительная функция <рд (например, скачек в перемещениях, распределенная по границе нагрузка и т.п.). Для этого общего случая система уравнений примет следующий вид:

ЕЕ ^-си-^+фц,)-

J I м.

др.,- я»!

Л/п

ац^о

(5)

1,3, р, Пь П2 - пробегают все свои значения.

Фактически в системе (5) будут отличаться от нуля лишь частные производные от функций Ру , в которые входит соответствующее Ср в качестве аргумента. В том случае, когда функции , Р,,п2 (2) линейные относительно произвольных постоянных Ср, разрешающая система (5) будет являться системой линейных алгебраических уравнений. Функции Р1)П) , Р|>п2 представляют собой общие решения (а также их производные) дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, которыми описываются элементы п1, п2 ,. В том случае, когда дифференциальное уравнение неоднородное, в функ-

ции Р1>П| , Р, „2 войдет частное решение неоднородного уравнения, не содержащее произвольных постоянных Ср. В этом случае, а также в случае, когда хотя бы одна (рц*0 тождественно, система алгебраических уравнений (5) будет неоднородной. В том случае, когда выполняется сопряжение между функциями, относящимися к данному элементу и функциями, выражающими граничные условия на внешней границе, в выражении (5) исчезает функция а будет функцией, входящей в граничное условие.

Система (5) записывается в виде

{Ь>{С}={К> .

Процесс формирования матрицы {Ь} коэффициентов левой части разрешающей системы уравнений и вектора {11} правой части можно формально представить следующим образом.

Первоначально массивы коэффициентов левой и правой части содержат нулевые значения. Затем выполняется поочередный обход всех внешних и внутренних границ 0=1,... и на каждой границе выполняется сопряжение по нескольким условиям (например, т=1-.Дтах) При выполнении одного условия сопряжения на одной границе получается некоторый массив приращений значений коэффициентов левых и правых частей. Затем все массивы приращений суммируются с исходными массивами. Тем самым получаются окончательные массивы {Ь},{Я}.

Предложенный алгоритм формирования матрицы коэффициентов левых частей разрешающей системы уравнений приводит к матрице, симметричной относительно главной диагонали. Такой же симметрией обладают массивы приращений.

Исследование особенностей вычисления решений описанным методом и свойств этих решений выполнялось на примере упругой изотропной пластинки. Такой выбор объясняется тем, что расчетная схема в виде пластинки стала стандартом для исследования задач, связанных с гладкостью сопряжения эле-

ментов. При построении приближенного общего решения дифференциального уравнения изгиба пластинки в пределах каждого элемента, в качестве базисных функций использовались бигармонические многочлены порядков от нулевого до десятого.

Было установлено, что с помощью такого приближенного решения возможно с достаточной точностью описать напряженно-деформированное состояние рассчитываемого объекта, как с качественной, так и с количественной стороны. Точность результатов зависит, в первую очередь, от количества аппроксимирующих функций, вводимых в расчет (от размерности базиса), от густоты сетки элементов, а также от вида задаваемых условий сопряжения.

Зависимость точности результатов от размерности базиса является обычной и связана с тем, что чем более система базисных функций приближается к полной, тем с большей точностью можно выполнить разложение по ней истинного решения задачи. Зависимость точности результатов от густоты сетки элементов также является обычной и связана с тем, что при уменьшении размеров элемента, уменьшается относительная (относительно размеров элемента) скорость изменения аппроксимируемой функции. Поэтому для приближения ее с заданной точностью требуется меньшее число аппроксимирующих функций. Зависимость точности результатов от вида задаваемых условий сопряжения проявляется в следующем. В том случае, когда условия сопряжения включают в себя только геометрические условия и при этом входящие в них производные не используются для вычисления силовых параметров (например, сопряжение только по прогибу и углу поворота для элемента пластинки), то для получения удовлетворительного решения требуется большое количество аппроксимирующих функций и, соответственно, их наибольший порядок будет высокий. При уменьшении наибольшего порядка аппроксимирующих функций, результаты ухудшаются качественно и количественно. Если же в условия сопряжения включить условия статического равновесия, то наибольший порядок аппроксимирующих функций можно резко понизить (например, в два раза) без ущер-

ба для точности получаемых результатов.

Проверять точность получаемого решения и корректировать его параметры (густоту сетки, число аппроксимирующих функций) удобно по величине разрывов кинематических и силовых величин на междуэлементных границах.

В ряде случаев напряженно-деформированное состояние некоторых участков конструкции не удается описать с достаточной точностью с помощью обычной системы базисных функций. Это может бьггь в местах сосредоточенных силовых воздействий и в местах сопряжения элементов разных размерностей (пластинка и конец стержня, например). Для таких случаев разработано два подхода. Первый подход заключается в том, что в месте, где имеется указанная особенность, решение записывается обычным образом, включая условия статического равновесия. При этом на некотором удалении от места особенности, напряженно-деформированное состояние будет вычислено достаточно точно, а в окрестности особенности, его необходимо пересчитать, значительно сгустив сетку элементов. Второй подход заключается в том, что для ускорения сходимости решения в окрестности особенности, исходная система базисных функций дополняется известным точным решением для близкой по смыслу задачи (например, при действии сосредоточенной силы на пространственное тело заданной формы, система базисных функций дополняется известным решением задачи о действии сосредоточенной силы на полупространство и т.п.) Такой подход позволяет существенно ускорить сходимость решения и гармонично сочетать численные методы с классическими точными решениями.

В работе построены все необходимые соотношения для расчета данным методом наиболее распространенных упругих задач. Это - изгиб тонких пластинок под действием поперечных нагрузок, а также при наличии и при отсутствии сил, действующих в их срединной плоскости, а также пространственная и плоская задача теории упругости. (Для упругих стержневых систем такие построения не производились, так как для них известны точные решения). Такой выбор рассмотренных расчетных моделей связан с тем, что они служат основой

для описания многих практически важных конструкций и являклся основой для решения нелинейных задач. При этом для пластинок использовалось известное в механике уравнение изгиба тонкой пластинки (в том числе и с учетом действия сил в срединной плоскости).

При рассмотрении пространственной задачи теории упругости использовалась запись ее в перемещениях в виде уравнений Ламе. Решение уравнений Ламе выполнялось в полиномах в форме Папковича-Найбера. После чего были получены необходимые расчетные зависимости для призматических элементов.

Решение дом элементов, относящихся к плоской задаче теории упругости, строилось как для частного случая пространственной задачи.

В диссертационной работе исследовано построение условий стыковки для элементов пластинок, массивных тел, особенности стыковки элементов разных размерностей (пластинка и стержень, массивное тело и стержень, массивное тело и пластинка) и элементов пластинок в месте скачкообразного изменения жесткости.

Точность результатов, получаемых предлагаемым методом, оценивалась при проведении расчетов ряда расчетных схем в виде упругих пластинок и сопоставлении их с результатами, полученными методом конечных элементов. Кроме того, выполнялось сравнение со справочными данными, приведенными в книге С.П.Тимошенко и С.Войновского-Кригера, "Пластинки и оболочки". Проведенное сравнение показало, что для достижения одинаковой точности результатов в простых расчетных схемах требуется, по крайней мере, вдвое меньше неизвестных, чем при расчете методом конечных элементов. В более сложных расчетных схемах разница увеличивается еще больше.

На рис. (1) - (4) показано несколько расчетных схем пластинок и полученные для них перемещения. Для пластинки с прорезью, кроме того, приведен график изгибающих моментов. Приведенные данные дают наглядное представление о высокой точности получаемого решения и высокой точности вы-

полнения сопряжений между элементами. На рис. (3) приведен пример пластинки, с граничными условиями в виде кривизны, заданной по данному направлению. Это дает представление о гибкости данного метода в отношении задания граничных условий.

VI (см)

Рис. 1. Расчетная схема и график прогибов пластинки переменной толщины по

длинной оси.

\у(см)

0.01 0.008 0.006 0.004

0.002

0 10 20 30 х(см)

МХ(кгссм)

0 10 20 30 *(см)

Рис. 2. Расчетная схема, графики прогиба и изгибающего момента по длинной оси пластинки с прорезью.

/

Ч(х,у>

1 ' ///////Г7

«(си)

Рис. 3. Расчетная схема и график прогибов для пластинки с граничными условиями, включающими кривизну

На рис. (4) показана расчетная схема гибкой мачты, имеющей большие перемещения. Путем гладкого сопряжения элементов, решение данной нелинейной задачи сводится к зависимости от начальных параметров (в данном случае от одного параметра), что значительно сокращает объем вычислительной работы по сравнению с другими методами расчета. Для конструкций такого вида была написана и успешно использовалась компьютерная программа промышленного назначения.

Рис. 4. Расчетная схема мачты и перемещения ее вершины под действием возрастающей вертикальной нагрузки.

Одним из основных факторов, обеспечивающих высокую точность получаемых результатов, является точное удовлетворение аппроксимирующими функциями уравнений, которыми описывается деформирование данного элемента. Поэтому были проведены исследования в области построения точных решений уравнений для ряда расчетных моделей, используемых при описании железобетонных конструкций. Одной из них является модель деформирования железобетонных пластин с трещинами, предложенная Н.И.Карпенко. В настоящее время, когда в подавляющем большинстве случаев расчет проводится с применением метода конечных элементов, используются лишь физические соотношения этой теории и дифференциальные зависимости между прогибами и различными расчетными величинами. Дифференциальные уравнения равновесия при этом не используются. По этой причине, а также из-за сложностей,

связанных с громоздкими выкладками при дифференцировании, уравнения этой теории записываются в виде нескольких групп, среди которых лишь одна включает в себя дифференциальные уравнения.

При проведении исследований полная система уравнений деформирования железобетонной пластины с трещинами была сведена к системе дифференциальных уравнений в частных производных. При этом использовалось обычное при решении нелинейных задач упрощение, когда предполагается, что нагружение производится шагами, и на каждом шаге свойства материала рассматриваются не как функции перемещений, а как функции координат (то есть на каждом шаге выполняется линеаризация задачи относительно перемещений). В результате была получена система из трех дифференциальных уравнений в частных производных, весьма сложная по своему строению (6).

1-е уравнение

Al -Wxxy +А2- Vx + A3 -Wxxyy + A4- Wxyy + A5 -Ux + A6- Wxyyy + + A7- Vxy + A8- Vy + A9- Wxy + A10- Uxyy + All- Uy + A12- Wxx + + A13- Uxxy + A14- Wyy + A15- Uxx + A16- Vxyy + A17- Wxxxy + +A18- Vxxy + A19- Wxxx + A20- Uxy + A21- Vyy + A22- Wyyy +A23- Uyy + + A24- Vxx + A25- Uxxx + A26- Wxxxx + A27- Vxx + A28- Uyyy + + A29- Vyyy + A30- Wyyyy +PZ =0

2-е уравнение

A31 -Uxy +A32- Wxyy+ A33 -Vx + A34 -Vxy + A35 -Wxx + A36 -Wxxy + + A37 -Uy + A38 -Ux + A39 -Wxy + A40- Wyy + A41 - Vy + A42 -Vy + + A43-Vyy + A44-Uyy + A45-Wxxx + A46-Wyyy + A47-Vxx +PX =0

3-е уравнение

A48- Wxx + A49 -Wxxy + A50- Wxyy + A51- Wyy + A52- Wyyy + A53- Wxxx+ + A54- Wxy + A55- Uxy + A56- Vx + A57- Vxy + A58- Uy + A59- Vy + + A60 -Ux + A61 ■ Vxx + A62- Uyy + A63- Uxx + A64- Vyy + PY =0

Где в величины А1,...,А64 - входят линейные комбинации жесткостных коэффициентов и их производных по направлениям координатных осей. Коэффициенты А1,..., А64 меняются при переходе от элемента к элементу и изменяются при изменении нагрузки. Поэтому на практике решение системы строится в виде компьютерной программы, вычисляющей параметры, входящие в решение для каждого элемента для данного значения нагрузки. Если перемещения точек в срединной плоскости не учитываются, то система вырождается в одно уравнение.

В диссертационной работе было проведено исследование возможности построения точных частных решений этой системы уравнений в виде полиномов с целью дальнейшего их использования в качестве базисных функций при построении решений краевых задач. При проведении этого исследования использовались многочлены от нулевого до десятого порядка включительно для описания перемещений точек элемента по направлению каждой из трех пространственных координатных осей. Таким образом, перемещения представлялись в виде:

В результате было установлено, что при принятой аппроксимации получается система из 165 линейных алгебраических уравнений относительно 198 неизвестных. Строение этой системы показано на рис.(5). То есть, 33 неизвестные являются лишними. Соответственно недостающие уравнения должны выражать условия сопряжения данного элемента с соседними элементами или выполнение краевых условий задачи в целом. В ходе решения задачи, систему уравнений для каждого отдельного элемента следует включить в общую раз-

ю ю

ю ю

ю ш

W(x,y) = ££c1)-x'-yJ|

1=0 J-0

решающую систему алгебраических уравнений.

198 столбцов

55 из условия удовлетворения

строк 1-му уравнению (3.3.3)

55 строк

из условия удовлетворения 2-му уравнению (3.3.3)

165 строк

55 из условия удовлетворения

строк 3-му уравнению (3.3.3)

Рис.5. Строение системы разрешающих уравнений для железобетонной пластинки с трещинами

При этом возникает вопрос, будет ли такая система уравнений совместна и будет ли ее решение ненулевым. В свою очередь, это зависит от свойств системы для отдельного элемента.

Ввиду большого размера системы исследование ее свойств в символьном виде было нецелесообразным. Поэтому для ответа на этот вопрос было проведено численное исследование полученной системы. При этом все коэффициенты уравнений задавались случайными при помощи генератора случайных чисел. Система дополнялась до полной. Коэффициенты дополнительных уравнений также задавались случайными. Тем самым моделировалось включение системы для данного элемента в более общую систему. Подобным образом строился и вектор коэффициентов правых частей уравнений. По результатам мно-

гочисленных испытаний при различных значениях коэффициентов уравнений был сделан вывод о том, что при принятой аппроксимации получается совместная система разрешающих уравнений, которая имеет в общем случае ненулевое решение. То есть, принятая аппроксимация позволяет получить приближенное общее решение задачи в виде линейной комбинации (с неопределенными коэффициентами) точных частных решений системы дифференциальных уравнений изгиба железобетонной пластинки с трещинами при произвольном армировании и при наиболее общей схеме расположения трещин (6). Это общее решение может использоваться для расчета конструкций методом гладко сопряженных элементов. Следует заметить, что строение дифференциальных уравнений изгиба железобетонной пластинки с трещинами таково, что интерполирующие функции, обычно применяемые в методе конечных элементов, не удовлетворяют этим уравнениям.

Одним из важнейших свойств бетона является ползучесть. Причем до настоящего времени сохраняется разрыв между достижениями теории ползучести, описанием напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с учетом ползучести и численными методами расчета конструкций. Поэтому в работе большое внимание уделено расчету стержневых железобетонных элементов с учетом ползучести. В этом разделе работы решались три главные задачи. Это - учет развития ползучести в условиях неоднородного напряженного состояния, а также при наличии неоднородностей материала (арматура, крупный заполнитель, трещины). Затем - исследование возможности математически корректного перехода от уравнений, описывающих деформирование железобетонного элемента до образования трещин, к уравнениям деформирования после образования трещин с учетом физического смысла ядер ползучести и релаксации как функций влияния. И, наконец, - построение решений полученных уравнений. Отправной точкой для этого исследования послужил тот факт, что ползучесть в бетонных образцах, находящихся в условиях одноосного равномерного сжатия, развивается с заметными отличиями от ползучести

бетона в изгибаемой конструкции, когда разные слои материала, имеющие разные нормальные напряжения, взаимодействуют между собой. Ситуация усугубляется неоднородностями материала. Обычно это явление или остается без внимания или проблема разрешается путем введения поправочного коэффициента. В данном исследовании этого явления был использован строгий подход. В качестве расчетных допущений принимались стандартные предпосылки о справедливости закона плоских сечений стержневого элемента и о представлении железобетона в виде упруго-ползучего материала. Если закон плоских сечений с некоторыми оговорками может быть принят для всех этапов работы конструкции, то представление железобетона в качестве упруго-ползучего тела справедливо лишь на отдельных интервалах изменения отношения изгибающего момента к кривизне (например, от начала нагружения и до образования трещины на данном участке; от образования трещины и до следующего заметного изменения жесткости и так далее). Поэтому вначале все расчетные построения выполнялись лишь для отдельных этапов, в пределах которых расчетные допущения были справедливы. Прежде всего, было записано уравнение изгиба железобетонного стержня в соответствии с правилами строительной механики. При этом в качестве физического соотношения использовалась зависимость напряжений от относительных деформаций, принятая в теории ползучести. В общем случае не делалось никаких допущений о том, какую конкретную разновидность теории ползучести следует принять. Исходя из тех соображений, что, с одной стороны, и линейная и нелинейная теория ползучести при непосредственном применении приводят к погрешностям, с другой стороны, нелинейность ползучести в армированной изгибаемой конструкции в целом будет проявляться меньше, чем в бетоне при чистом сжатии, предпочтение было отдано линейной теории ползучести. Результаты исследования показали, что этот подход является вполне оправданным. Также при выводе уравнения изгиба делалось предположение о том, что с учетом отмеченных особенностей, зависимость между напряжениями и деформациями отдельного волокна в составе се-

чепия формально будет иметь обычный для теории ползучести вид, но строение ядра релаксации будет иным. Поэтому для ядра релаксации усилий в волокне в составе сечения было введено специальное обозначение Яв. С учетом перечисленных расчетных допущений, уравнение изгиба можно представить в следующем виде:

I

-Е0)-к(0 Л-Е(0-1- |к(т) Я8(1,т)ёт = -М (7)

»0

Следующим этапом исследования было построение ядра релаксации напряжений в волокне, работающего в составе сечения. Разыскиваемое ядро релаксации должно обладать следующими свойствами. Оно должно основываться на одной из теорий ползучести бетона. Оно должно описывать релаксацию напряжений, по крайней мере, от нулевой нагрузки и до расчетной. Зависимость между кривизной стержневого элемента и изгибающим моментом, действующим в сечении, задаваемая ядром релаксации, должна согласовываться с известными (ключевыми) зависимостями для этих величин или с экспериментальными зависимостями для заданных историй нагружения.

При проведении численных исследований в качестве таких ключевых зависимостей были приняты зависимостями между кривизной и изгибающим моментом СПиП как для этапа работы без трещин на данном участке стержня, так и для этапа после образования трещин. Все исследования проводились при различных соотношениях продольных сил и изгибающих моментов и при разных коэффициентах армирования. Учитывая действующие стандарты и методики испытания железобетонных конструкций, ключевые зависимости записывались для бетона в возрасте 28 суток. При этом принималось, что ключевое кратковременное нагружение осуществляется быстрым приложением нагрузки с выдержкой в течение 15 минут, а ключевое длительное нагружение осуществляется быстрым приложением нагрузки с последующей выдержкой в течение 365 суток. Таким образом, при сделанных допущениях для рассматриваемых

ключевых историй нагружения зависимость кривизны к от изгибающего момента М для разного времени выдержки t будет описываться некоторой нелинейной поверхностью

K=K(M,t) (8)

Эту поверхность можно разбить на несколько частей и каждую часть рассматривать с некоторым приближением в качестве функции, линейной по направлению оси М и нелинейной по направлению оси t. Для каждой такой части общей поверхности исследовалась величина

Кошд-Зк /SM =const(t).

При построении функции Kom^t) первоначально имеются только три точки. Одна из них соответствует нагрузке, равной нулю, а две другие получаются с помощью двух принятых ключевых зависимостей. По этим трем точкам выполнялось построение функции Kon^t) для 28 < t < 365+28 суток с использованием экспоненциальных аппроксимирующих функций, применяемых в теории ползучести бетона. Такая опытная функция Kom^t) строилась для каждого участка, на которые разбивалась общая поверхность (8). Такая же теоретическая функция Kreop(t) строилась на основании полученного уравнения изгиба. При помощи изменения параметров, входящих в ядро релаксации и, соответственно, в Krollt), делалась попытка добиться наилучшего выполнения равенства

W^t) (9')

на каждом из участков и на всей поверхности в целом. В фактических вычислениях вместо уравнения (9') использовалось уравнение (9), в котором функции Dra,p(t) и DonHr(t) были связаны с К^рСО и Кда^/О с помощью уравнения (7).

D^(t)=Domn{t) (9)

где D^t^DKK^pit))

Оопш (t)= ЕЫК^шл (t))

При проведении этих исследований использовались ядра релаксации, соответствующие теории упругой наследственности, теории старения и теории упруго-ползучего тела. В результате было установлено, что использование ядра релаксации для волокна в составе сечения вида

RSj(t,x)=B.R(t,T),

(где R(tj) - ядро релаксации, соответствующее одной из теорий ползучести, В - постоянный множитель, i - номер участка поверхности (8)), не позволяет добиться удовлетворительного выполнения равенства (9) во всех точках интервала 28 < t < 365+28 суток. Причиной является весьма медленное возрастание DTeop(t) (для ядра данного вида) по сравнению с Donbrr(t) при небольших значениях t. После многочисленных испытаний было установлено, что наилучшим образом равенство (9) выполняется для ядра вида

RSi(t*,t,t) = В- R(t,T) + Ci -5(t,t) + А, -5( t*,t*) (10)

Здесь В Ai,Q - постоянные множители, 5(t,t) и 8( t*,t*) - дельта-функции, t*-некоторое произвольное фиксированное значение из рассматриваемого временного интервала.

Несколько условное изображение функции (10) и сравнение ее с обычным ядром релаксации показано на рис.(6). Введение дельта-функции позволяет обеспечить необходимое резкое возрастание функции DTtop(t) после вычисления всех необходимых интегралов и добиться хорошего выполнения равенства (9) во всех точках рассматриваемого временного интервала. На рис. (7), (8) показано соответствие опытной функции Donui(t) и теоретической функции D^eopit) построенной на основании теории упруго-ползучего тела по формуле (10) при изгибе до образования трещин и после образования трещин соответственно.

не», О

Рис.6. Строение ядра релаксации (10) и сравнение его с обычным ядром.

Видно, что равенство (9) выполняется достаточно точно. При использовании других видов теории ползучести, точность выполнения равенства (9) снижается.

DoohtX ÍO10

D™,. x 10"

0.25 i 1 1 1 i

0.2

0.15 - Í -

[ опытные —

0.1

1 теоретические — i i { i 1

0 50 100 150 200 t-to(cyr)

Рис. 7. Правая часть (опытные данные) и левая часть (теоретические данные) уравнения (9). По теории упруго-ползучего тела. Изгиб. До образования трещин.

Don-r х IO10 Dr.«, х 10"»

Ряс. 8. Правая часть (опытные данные) и левая часть (теоретические данные) уравнения (9). По теории упруго-ползучего тела. Изгиб. После образования трещин.

При построении ядер (10) для разных участков поверхности (8), было замечено, что значения множителей А| и С, значительно меняются при переходе от одного участка к другому. Значение множителя В при этом остается практически неизменным. Это позволяет использовать ядро релаксации в форме (10)

на всех участках поверхности (8). После подстановки ядра (10) в уравнение деформирования железобетонного стержневого элемента (7), вычисления необходимых интегралов, замены кривизн производными от прогиба и перехода к уравнению четвертого порядка, уравнение изгиба примет вид (11).

В этом выражении (И) собственно явление ползучести будет выражено слагаемым, содержащим В- 11(1:,т). Слагаемые, содержащие А,- и С; , будут выражать деформирование, протекающее практически "мгновенно", то есть по своей скорости приближающееся к упругому деформированию. Таким образом, полученное уравнение деформирования стержневого железобетонного элемента окончательно содержит две группы слагаемых. Одна группа описывает явление ползучести и является неизменной на всех рассматриваемых этапах работы стержня. Другая группа отражает упругие деформации, а также приближающиеся к ним по скорости неупругие деформации и изменяется с ростом изгибающего момента в процессе образования трещин и других нелинейных явлений. Такое строение уравнения позволяет осуществить корректное с точки зрения механики описание деформаций ползучести, которые начли развиваться, например, до образования трещин, а закончились после, в строгом соответствии со смыслом ядра релаксации как функции влияния.

Для полученного интегро-диффереициального уравнения изгиба железобетонного стержневого элемента (11) было построено точное решение при отсутствии продольной силы. При построении частного решения уравнения изгиба с ненулевой правой частью был использован метод разделения переменных, применяемый для решения уравнений в частных производных. В результате уравнение изгиба удалось разделить на два уравнения. Одно из них - дифференциальное относительно пространственной переменной, другое - инте-

а4у(1,х) Эх4

У Зх

'о

Э4у(10,х) 1 а2М(г,х) ах4 Е(1)-1 дх2

(И)

гральное относительно временной переменной. После преобразований интегральное уравнение было сведено к уравнению Вольтерра. После чего для обоих уравнений были построены точные решения. При построении фундаментальных решений уравнения с нулевой правой частью, также использовалось разделение переменных. Но неизвестные функции времени определялись из граничных условий по краям элемента. Построенное таким образом общее решение задачи обладает следующими свойствами. Оно позволяет в явной форме удовлетворить четырем граничным условиям, меняющимся во времени на двух концах стержня. Решение также позволяет выполнить одно начальное условие (переменное по длине стержня). Последнее достигается заданием соответствующей правой части в интегральном уравнении.

Для случая, когда продольная сила не равна нулю, предложен вариант построения приближенного решения.

В данной части исследования рассмотрены также особенности использования предложенных решений для расчета конструкций с введением пространственно-временной расчетной области, разбивкой ее на отдельные элементы и гладким сопряжением этих пространственно-временных элементов.

Для проверки соответствия результатов, получаемых с применением изложенного подхода, опытным данным, были выполнены две группы тестовых расчетов. В первую группу вошли расчеты центрально сжатых бетонных призм с разбивкой расчетной области на временные элемента и гладким сопряжением их. Проведенное сравнение показало, что при измельчении сетки элементов результаты сходятся к результатам, получаемым непосредственно по теории упруго-ползучего тела. Во вторую группу вошли расчеты железобетонных балок, для которых известны опытные данные, с использованием предложенного решения уравнения (11). Расчетная схема одной из балок показана на рис. (9).

Р=1180кгс I |Р=1180кгс

-1-!--

из цз

1_=1Э0 см

24 элемента

20.8см

010

22.8см

8.45см

Рис. 9. Балка Б-1-1 из опытов В.М.Бондаренко.

В таблице 1 показана сходимость теоретических результатов к опытным данным при кратковременном действии нагрузки. На рис. (10) показана сходимость теоретических результатов для длительного прогиба к опытному в зависимости от числа членов ряда удерживаемых в решении интегрального уравнения. В обоих случаях наблюдается хорошее соответствие теоретических и опытных данных, хотя при длительном действии нагрузки сходимость значительно медленнее.

Таблица 4.6.1

Сравнение опытных и теоретических данных для балки и сходимость решения при коротком времени действия нагрузки

Число теоретический опытный

членов прогиб, прогиб,

ряда см см

1 0,1572594144

2 0,1573120008

3 0,1573120096

4 0,1573120098 0,15

наибольший црогнб(см)

0.3

-ОПЫТНЫЙ длительный

0.2

0.1

теоретический "длительный

О

5

10

число членов ряда

15

20

Рис. 10. График сходимости полученного решения к опытному (принималось по СНиП) в зависимости от числа удерживаемых членов ряда в решении интегрального уравнения.

В ряде практически важных случаев работа железобетонных конструкций может быть описана в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В частности, с такими уравнениями связан расчет стержневых элементов переменной жесткости, а также при действии распределенных продольных сил в них. В общем случае линейное обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение порядка К относительно переменной V можно представить в виде

До настоящего времени не было разработано достаточно универсального способа получения точных решений таких уравнений. В некоторых частных случаях точные решения удавалось получить с помощью представления предполагаемого решения в виде степенного ряда. В диссертационной работе этот метод тщательно исследован и доведен до состояния универсального метода построения решения уравнений, переменные коэффициенты и правые части которых допускают разложения ряды Тейлора или Маклорена (что вполне достаточно

к

(12)

для решения задач, связанных с расчетом железобетонных конструкций).

Согласно теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (12) можно представить в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (12) и общего решения соответствующего однородного уравнения. В свою очередь, общее решение однородного уравнения записывается в виде линейной комбинации с произвольными коэффициентами фундаментальных решений этого уравнения.

В соответствии с предложенным методом, точное общее решение уравнения строится следующим образом. Правая часть уравнения и его переменные коэффициенты раскладываются в ряды Маклорена (здесь и далее все сказанное справедливо также и для рядов Тейлора).

СО

= (13.а)

ЩаО

Р(х) = |>,-хв (13.б)

8=0

к = 0,.....К

Частное решение неоднородного уравнения (12) ищем в виде ряда Маклорена с неизвестными коэффициентами:

▼ = (14)

п=0

После подстановки предполагаемого решения в дифференциальное уравнение и группировки членов по степеням переменных, задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ряда. До этого момента все построения совпадают со стандартным подходом. (Далее, если число уравнений в полученной системе конечно, то, в соответствии с этим подходом можно получить частое решение уравнения). Основная сложность дальнейшего решения заключается в том, что в общем случае эта

система уравнений является бесконечной и стандартный подход оказывается неприемлемым.

{Ац}

I

{С,}

Рис. 11. Вид системы разрешающих уравнений при построении решения уравнения (12) в виде ряда (14).

Рассмотрение системы разрешающих уравнений показывает, что она будет иметь следующее строение рис. (11). Выделяя из полученной бесконечной системы уравнений конечную подсистему и увеличивая ее порядок, можно показать, что в бесконечной системе содержатся лишние неизвестные. В зависимости от строения дифференциального уравнения их число изменяется в пределах от нуля до количества, равного порядку уравнения. Матрица коэффициентов левых частей полученной системы имеет ленточное строение с шириной ленты в общем случае от единицы до бесконечности. Причем все входящие в уравнения неизвестные могут быть выражены через лишние неизвестные и через ранее вычисленные неизвестные по рекуррентным зависимостям. Это позволяет всегда получить несколько точных частных решений дифференциального уравнения, задавая различные сочетания липших неизвестных, или, по

крайней мере, одно решение (если липших неизвестных нет). Для получения точного частного решения неоднородного уравнения (12) достаточно задать произвольное сочетание значений лишних неизвестных.

Частное (фундаментальное) решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (12), следует разыскивать также в виде ряда (14) с неизвестными коэффициентами, повторяя изложенные выше построения. Для получения общего решения однородного уравнения, число его независимых частных (фундаментальных) решений должно быть равно порядку дифференциального уравнения. Основная трудность при этом связана с тем, что нужное количество фундаментальных решений сразу может быть получено лишь при удачном стечении обстоятельств, что определяется строением уравнения и видом функций, входящих в его переменные коэффициенты. В процессе исследований было установлено, что если строение уравнения и его коэффициентов не позволяет получить нужное количество фундаментальных решений, необходимо выполнить преобразование координатной системы, сдвинув ее на некоторую величину. В новой координатной системе строение уравнения и его коэффициентов меняется таким образом, что всегда удается получить нужное количество фундаментальных решений и, тем самым, точное общее решение. Получаемая при этом система линейных уравнений (рис.(11)) содержит нулевой вектор в правой части, но при выборе хотя бы одного из лишних неизвестных ненулевым, решение также получается отличным от нуля.

В приложении к диссертационной работе приводится несколько численных иллюстраций, в которых путем сравнения получаемых решений с известными решениями уравнений показано, что получаемые данным методом общие решения являются математически точными в смысле рядов. В работе выполнено исследование свойств получаемых решений. Так как решение уравнения получается в виде ряда, то краевые условия в общем случае удается выполнить приближенно, хотя и со сколь угодно высокой точностью. Решение уравнения при использовании данного метода записывается в виде разложения в ряд в ок-

рестности некоторой точки. Поскольку на практике в расчете можно удержать лишь конечное число членов ряда, то при удалении от точки разложения, точность решения будет уменьшаться. Если для обеспечения заданного уровня точности во всей расчетной области удерживаемое в расчете число членов ряда оказывается не достаточным, то точность можно повысить. Для этого расчетную область разбивают на более мелкие участки, записывают для каждого участка свое общее решение (выбирая свою точку разложения в пределах каждого участка), и далее выполняют условия непрерывности решения и его производных (в зависимости от порядка уравнения) на границах между участками и краевые условия на концах.

Для иллюстрации возможностей и особенностей разработанного метода, в диссертационной работе построено с его помощью решение уравнения изгиба упругого стержня переменной жесткости, находящегося под действием распределенной поперечной нагрузки, изгибающих моментов

Рис. 12. Расчетная схема стержня переменной жесткости с распределенной продольной и поперечной нагрузкой.

НННПИНШИ!

о

на концах и переменной по длине сжимающей силы (что соответствует условиям работы высотного железобетонного сооружения) (рис.(12)). При этом был выбран трудный в расчетном отношении закон изменения жесткости стержня.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан новый способ численного расчета железобетонных конструкций, на основе метода аппроксимации решения функциями с ограниченной областью определения и метода минимизации невязок. Отличительными особенностями способа является аппроксимация решения в пределах отдельных элементов расчетной схемы с последующей стыковкой их с заданной степенью гладкости. В отличие от большинства применяемых методов расчета конструкций, в предложенном методе неизвестные величины определяются не из условия минимума потенциальной энергии в состоянии равновесия, а из условия минимума погрешностей сопряжения. Предложенный метод может быть использован также для расчета конструкций из других материалов.

2. Проведены исследования, которые подтвердили правильность исходных предпосылок, показали принципиальную возможность получения решения задач расчета конструкций и сходимость получаемых решений к точным при уменьшениях размеров элементов. Численные исследования подтвердили, что предлагаемый метод позволяет получить решения, в которых условия непрерывности искомых функций и их производных до заданного порядка включительно соблюдаются с высокой точностью.

3. Проведенные сравнительные расчеты показали, что при одинаковом числе неизвестных и, соответственно, уравнений в разрешающей системе, предлагаемый метод существенно превосходит по точности метод конечных элементов.

4. Исследованы и показаны особенности построения решений для элементов типа пластин, в том числе и при действии продольных сил в их средней плоскости, элементов, описываемых уравнениями пространственной задачи теории упругости и элементов, подчиняющихся уравнениям плоской задачи теории упругости. Перечисленные решения построены так, чтобы они математически точно удовлетворяли уравнениям, которыми описываются соответствующие элементы.

5. Исследованы наиболее важные с практической точки зрения особенности

сопряжения различных элементов и выполнения краевых условий.

6. На основе теории деформирования железобетона с трещинами выполнен вывод уравнений изгиба железобетонной пластинки с учетом переменных значений жесткостных коэффициентов. Полученные уравнения являются синтезом физических уравнений, геометрических уравнений, уравнений равновесия и дифференциальных зависимостей между прогибами, моментами и силами в срединной плоскости для пластинок, используемых в теории деформирования железобетона с трещинами.

7. Построено частное решение полученной неоднородной системы уравнений изгиба. Исследованы особенности построения фундаментальных решений соответствующей однородной системы уравнений в виде многочленов. Установлено, что при использовании многочленов удается построить точные фундаментальные решения данной системы уравнений. Полученные решения использованы для получения приближенного общего решения системы уравнений изгиба. Исследованы особенности применения полученных решений к расчету пластинки методом гладко сопряженных элементов.

8. Для расчета изогнутых и сжато-изогнутых железобетонных стержневых элементов с учетом ползучести бетона разработана расчетная модель в виде стержня из упруго-ползучего материала. Параметры предложенной модели позволяют учесть целый ряд сложных физических явлений, которыми сопровождается ползучесть при деформировании железобетонного стержневого элемента под действием продольной и поперечной нагрузки, в условиях развития трещин. Часть этих явлений не учитывалась в ранее предлагавшихся методах расчета. Параметры предложенной расчетной модели позволяют получить высокую степень соответствия между работой модели и соответствующими экспериментальными данными юга известными зависимостями между кривизнами и изгибающими моментами при ключевых режимах пагружения при различных соотношениях между М и N и при различном армировании.

9. Получено математически точное решение уравнений, описывающих пред-

ложенную модель в случае изпиба при отсутствии продольной силы. Исследованы вопросы построения приближенного решения при N * 0. Исследованы особенности применения предложенной модели к определению напряженно-деформированного состояния стержневых железобетонных элементов.

10. Разработан эффективный универсальный метод получения решений задач механики железобетона, содержащих обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, допускающими разложение в степенные ряды. Показано, что данный метод позволяет получить как приближенные, так и теоретически точные решения дифференциальных уравнений и краевых задач в целом.

11. Исследованы особенности применения данного метода при различном строении дифференциальных уравнений, исследованы трудности, возникающие при этом. Предложен способ преодоления указанных трудностей, что делает данный метод универсальным. Исследованы вычислительные особенности предложенного метода. На примере задачи об изгибе стержня переменной жесткости показано, что даже приближенное решение краевой задачи, полученное этим методом, обладает весьма высокой точностью

12. При расчете железобетонных конструкций данный метод может применяться при определении напряженно-деформированного состояния стержневых конструкций (балок, колонн, рам, ферм) при наличии у них переменной жесткости сечений в силу конструктивных особенностей или в силу нелинейной работы материала, при действии распределенных продольных нагрузок и в целом ряде других задач. При этом, в отличие от существующих методов решения таких задач, не требуется разбивки конструкции на отдельные элементы, в пределах которых задача сводится к уравнению с постоянными коэффициентами (например, когда в пределах отдельных элементов жесткость принимается постоянной или продольная сила принимается постоянной и т.д.). Это приводит к уменьшению объема вычислений и к повышению точности конечного результата.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах.

1. Крылов С.Б. Устойчивость и состояния равновесия нелинейно-деформируемых многоступенчатых мачт при действии собственного веса и ветрового давления // Методы расчета строительных конструкций на прочность и устойчивость (научные разработки к проекту новой главы СНиП "Строительные конструкции зданий и сооружений. Расчет прочности и устойчивости") // Сб.науч.1р./ ЦНИИСК. -М.,1989.-С.30-38.

2. Крылов С.Б. Метод гладко сопряженных элементов и принципы его использования для решения задач ползучести бетона // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте : сборник трудов IV международной конференции,- С.-Пб.Д999 - С. 117-121.

3. Крылов С.Б. Метод гладко сопряженных элементов в расчете строительных конструкций Н Бетон и железобетон. - 2000. - №4. - С.28-30.

4. Крылов С.Б. Новый численный метод расчета строительных конструкций // Бетон и железобетон в третьем тысячелетии: материалы международной научно-практической конференции. - Ростов-на-Дону, 2000. - С.217-218.

5. Крылов С.Б. Точное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при расчете строительных конструкций // Строительные конструкции XXI века : сборник материалов международной научно-практической конференции / МГСУ. - М.,2000. - ч I. -С.222-224.

6. Крылов С.Б. Уравнение изгиба железобетонного стержневого элемента с учетом ползучести и трещинообразования // Бетон на рубеже третьего тысячелетия : материалы 1-й всероссийской конференции по проблемам бетона и железобетона, 9-14 сентября 2001г., Москва: в 3 кн.- М.: Ассоциация " Железобетон", 2001. -Кн.2. — С.907-911.

7. Крылов С.Б. Решение задачи об изгибе стержня переменной жесткости на

основе точных фундаментальных решений // Новые идеи развития бетона и железобетонных конструкций : доклады и труды молодых специалистов. - М., 2002.-С.188-192.

8. Крылов С.Б. Построение точного общего решения уравнения изгиба железобетонного стержня с учетом ползучести и трещинообразования И Бетон и железобетон в Украине. - 2002. - №4. - С.2-4.

9. Крылов С.Б. Исследование решения уравнений изгиба железобетонных плит с трещинами // Бетон и железобетон. - 2002. - №4. - С.27-28.

10. Крылов С.Б. Расчет железобетонных конструкций методом гладко сопряженных элементов на основе точных частных решений. - М.: Стройиздат, 2003. -252 с.

11. Крылов С.Б. Расчет железобетонных конструкций, связанных с решением обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Деп. в ФГУП ВНИИНТПИ 19.03.2003, №11889 - Библиографический ука-затель-2003.- №1.

12. Крылов С.Б. Расчет железобетонных конструкций с трещинами // Деп. в ФГУП ВНИИНТПИ 19.03.2003, №11890- Библиографический указа-тель-2003 - №1.

13. Крылов С.Б. Метод гладко сопряженных элементов и его применение к расчету строительных конструкций II Деп. в ФГУП ВНИИНТПИ 19.03.2003, №11891.- Библиографический указатель.-2003- №1.

14. Крылов С.Б. Деформирование изогнутых и сжато-изогнутых стержневых железобетонных элементов с учетом ползучести бетона // Деп. в ФГУП ВНИИНТПИ 19.03.2003, №11892 - Библиографический указатель.-2003,- №1.

15. Крылов С.Б. Пути совершенствования численных методов расчета строительных конструкций // Московские вузы - строительному комплексу Москвы для обеспечения устойчивого развития города : тезисы докладов городской научно-практической конференции (26-27 марта 2003 г.) / МГСУ. - М.,2003. -С.130-Ш.

16. Поперечный и продольно-поперечный изгиб железобетонных стержневых элементов с учетом ползучести и третцинообразования // Сборник научных трудов РААСН, Центральное региональное отделение. Вып.2. - М., 2003. - С. 50-58.

17. Крылов С.Б. Численное исследование ползучести бетона в стержневых изгибаемых конструкциях с трещинами // Бетон и железобетон. - 2003. - №4. -С.19-20.

18. Крылов С.Б. Исследование качества решения задачи об изгибе упругой пластинки при гладком сопряжении элементов // Бущвельш конструкцп. №Ижв1Домчий науково-техшчний 36ipHHK наукових праць (бущвництво) / Дер-жавний науково-дослщний шетитут будовельних конструкцш Держбуду Ук-pairai. Вип. 59. Книга 1. - Науково-техшчш проблеми сучасного зал1зобетону. -Киев, 2003,- С.212-215.

19. Крылов С.Б. Уравнение поперечного и продольно-поперечного изгиба железобетонного стержня с учетом ползучести бетона // Бетон и железобетон - в печати.

20. Крылов С.Б. Расчет железобетонных балок на основе теории упруго-ползучего тела // Бетон и железобетон. - в печати.

Подписано в печать 16.10.2003 г. Формат 60x90, 1/16. Объем 2,75 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 596

Отпечатано в ООО "Фирма Блок" 107140, г. Москва, ул. Русаковская, д.1. т. 264-30-73 www.blokO 1 centre, narod .ru Изготовление брошюр, авторефератов, переплет диссертаций.

У ¿r , 7 J

РНБ Русский фонд

2006-4 31979

3 ОПТ 2003

. О4*., \

V J/prt /'

/

Введение.

Глава 1 История и состояние вопроса.

1.1. Обзор существующих методов расчета строительных конструкций.

1.2 Основные достоинства и недостатки метода конечных элементов.

1.3. Особенности расчета бетонных и железобетонных копст рукций.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Метод гладко сопряженных элементов и его применение к расчету строи тельных конструкций.

2.1. Основные положения метода.

2.2. Изгиб упругой изотропной пластинки.

2.3. Результаты исследования особенностей применения предлагаемого метода к расчету пластинок.

2.4. Особенности построения решения для изгиба пластинки с учетом сил в се срединной плоскости.

2.5. Пространственная задача теории упругости.

2.6. Плоская задача теории упругости. Частные виды сопряжений с элементами другой размерности.

2.7. Примеры расчета упругих систем.

Выводы к главе 2.

Глава 3. Расчет железобетонных плит с трещинами

3.1. Описание состояния вопроса.

3.2. Вывод уравнений равновесия.

3.3. Решение задачи о деформировании железобетонной пластинки с трещинами в общем случае.

Выводы к главе 3.

Глава 4. Деформирование изогнутых и сжато-изогнутых стержневых железобетонных элементов с учетом ползучести бетона.

4.1. Исходные предпосылки для построения расчетной модели.

4.2. Вывод уравнения изгиба.

4.3. Построение ядра релаксапии усилий в сечении.

4.4. Решение уравнения изгиба железобетонного стержневого эле мента с учетом ползучести.

4.5. Особенности определения папряжеппо-деформироваппого сое тояпия конструкции па основании полученных результатов.

4.6 Пример расчета стержневых железобетонных конструкций.

Выводы к главе 4.

Глава 5 Расчет железобетонных конструкций, связанный с решением обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

5.1. Круг расчетных задач, сводящихся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Краткое состояние вопроса.

5.2. Построение точных решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

5.2.1. Частное решение неоднородного уравнения.

5.2.2. Построение фундаментальных решений линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

5.3. Особенности построения систем фундаментальных решений. Особенности решений краевых задач в целом.

5.4. Пример использования предлагаемого способа для решения задачи изгиба стержня переменной жесткости под действием продольных и поперечных распределенных нагрузок.

5.4.1. Вывод уравнения изгиба.

5.4.2. Решение задачи об изгибе шарнирно-опертого стержня переменной жесткости под действием сосредоточенной сжимающей силы, распределенной продольной нагрузки и распределенной поперечной нагрузки.

Выводы к главе 5.

Актуальность проблемы. Железобетон занимает ведущее положение в современном строительстве среди конструкционных материалов. Большинство наиболее сложных инженерных сооружений в настоящее время выполняется из железобетона или с широким применением железобетона. В связи с усложнением железобетонных конструкций и возрастающими требованиями к их эксплуатационным свойствам возникает необходимость совершенствования методов расчета. Развитие методов расчета железобетонных конструкций тесно связано с развитием строительной механики и прикладной математики. Эти области пауки взаимно влияют и обогащают друг друга. Современное состояние вычислительных средств и расчетного аппарата позволяет решать задачи, которые были прак тически неразрешимыми еще 20 30 лет назад. Но вместе с ростом вычислительных возможностей постепенно возрастает и сложность расчетных задач. Это возрастание сложности иде т двумя пу тями. С одной стороны, увеличивается сложность и объем расчетных схем конструкций. Это происходи], в основном, с развитием вычислительной техники. С другой стороны, наблюдается усложнение описания отдельных элементов расчетных схем (использование более сложных уравнений, использование более сложных аппроксимаций и так далее). Этот рост сложности связан с тем, что использование новых конструкций и технологий заставляет инженеров учитывать все новые и новые факторы для более точного описания работы конструкций и материалов. При этом следует заметить, что экономические и другие трудности в 90-х годах двадцатого века в нашей стране ни сколько не уменьшили сложность решаемых расчетных задач и степень требуемой в расчетах точности, хотя сократилось их общее количество. Поэтому все разработки, позволяющие повысить точность расчетов, позволяющие более точно описать работу конструкций и их элементов являются чрезвычайно актуальными.

Еще одним важным обстоятельством, указывающим на необходимость разработки новых расчетных методов, является следующее. Современное высокое развитие средств вычислений позволяет использовать практически полностью все возможности, заложенные в современных методах расчета. Не смотря на это, сравнение результатов расчета с опытными данными указывает на то, что не удается превзойти некоторый ранее достигнутый (около десятка лет назад) предел точности в описании работы конструкций. Наиболее отчетливо это проявляется для конструкций из такого сложного материала, как железобетон. Обзор существующих наиболее распространенных методов расчета позволяет выявить целый ряд ограничений, присущих им, которые препятствуют увеличению точности и достоверности получаемых результатов. Достигнутый предел, определяемый возможностями современных методов расчета, может бы ть превзойден только при разработке качественно новых подходов.

Цель работы. Цслыо работы является принципиальное совершенствование методов численного расчета железобетонных конструкций с применением аппроксимирующих функций с ограниченной областью определения, которое позволило бы коренным образом преодолеть наиболее серьезные недостатки существующих методов расчета или в значительной степени смягчить их. При этом основной упор делается па аппроксимации, основанные на точных частных решениях уравнений, которыми описываются те или иные виды конструкций.

В соответствии с указанной целью, исследования проводились в двух направлениях. В рамках одного направления разрабатывался численный метод расчета и исследовались его основные особенности. В рамках другого направления разыскивались и исследовались точные частные решения уравнений, которыми описываются те или иные виды железобетонных конструкций.

Научную новизну работы представляют:

- разработка принципиальных положений метода расчета конструкций на основе сопряжения отдельных элементов расчетной схемы, обеспечивающего непрерывность искомой функции и ее производных до заданного порядка включительно (то есть гладкость заданного порядка);

- алгоритмы расчета различных видов конструкций данным методом;

- результаты исследований особенностей применения данного метода к расчету различных видов конструкций и влияния ряда факторов на точность получаемых решений;

- сведение полной системы уравнений для железобетонной пластинки с трещинами общего вида к системе дифференциальных уравнений и исследование возможности получения се точных частных решений в полипомах;

- метод построения ядра релаксации в уравнении, описывающем дс формирование железобетонного стержневого элемента с учетом образования и развития трещин, и вид этого ядра;

- иптс1 ро-дифферепциалыюе уравнение, описывающее деформирование железобетонного стержневого элемента с учетом образования и развития трещин и решение этого уравнения;

- доведение метода решения в степенных рядах обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (позволявшего получать точные решения лишь в отдельных случаях) до состояния универсального метода получения точных частных и общих решений для конструкций, описываемых такими уравнениями.

Практическая ценность работы. Предложенный метод расчета конструкций является столь же гибким и универсальным, как и метод конечных элементов, но лишен основных его недостатков. Решения, получаемые разработанным методом, являются наиболее строгими. Поэтому данный метод вполне способен составить конкуренцию методу конечных элементоВ- Кроме того, проведенные исследования позволили уточнить некоторые особенности математических моделей, которые применяются к описанию железобетонных конструкций. Самостоятельный практический интерес представляют полученные решения и алгоритмы расчета железобетонных конструкций. Все это позволяет получать более достоверные данные о работе конструкций и тем самым способствует созданию более безопасных, долговечных и экономичных сооружений.

Данная работа выполнялась в Ордена Трудового Красного Знамени Научно исследовательском, проектно-конструкторском и технологическом институте бетона и железобетона. При проведении исследований и написании текста диссертационной работы автор пользовался научными консультациями доктора технических паук, профессора Н.И.Карпенко, ко торому выражае т свою глубокую благодарность.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан новый способ численного расчета железобетонных конструкций, на основе метода аппроксимации решения функциями с ограниченной областью определения и метода минимизации невязок. Отличительными особенностями способа является аппроксимация решения в пределах отдельных элементов расчетной схемы с последующей стыковкой их с заданной степенью гладкости. В отличие от большинства применяемых методов расчета конструкций, в предложенном методе неизвестные величины определяются не из условия минимума потенциальной энергии в состоянии равновесия, а из условия минимума погрешностей сопряжения. Предложенный метод может быть использован также для расчета конструкций из других материалов.

2. Проведены исследования, которые подтвердили правильность исходных предпосылок, показали принципиальную возможность получения решения задач расчета конструкций и сходимость получаемых решений к точным при уменьшениях размеров элементов. Численные исследования подтвердили, что предлагаемый метод позволяет получить решения, в которых условия непрерывности искомых функций и их производных до заданного порядка включительно соблюдаются с высокой точностью.

3. Проведенные сравнительные расчеты показали, что при одинаковом числе неизвестных и, соответственно, уравнений в разрешающей системе, предлагаемый метод существенно превосходит по точности метод конечных элементов.

4. Исследованы и описаны особенности построения решений для элементов типа пластин, в том числе и при действии продольных сил в их средней плоскости, элементов, описываемых уравнениями пространственной задачи теории упругости и элементов, описываемых уравнениями плоской задачи теории упругости. Перечисленные решения построены так, чтобы они математически точно удовлетворяли уравнениям, которыми описываются соответствующие элементы.

5. Исследованы наиболее важные с практической точки зрения особенности сопряжения различных элементов и выполнения краевых условий.

6. На основе теории деформирования железобетона с трещинами выполнен вывод уравнений изгиба железобетонной пластинки с учетом переменных значений жесткостных коэффициентов. Полученные уравнения являются синтезом физических уравнений, геометрических уравнений, уравнений равновесия и дифференциальных зависимостей между прогибами, моментами и силами в срединной плоскости для пластинок, используемых в теории деформирования железобетона с трещинами.

7. Построено частное решение полученной неоднородной системы уравнений изгиба. Исследованы особенности построения фундаментальных решений соответствующей однородной системы уравнений в виде многочленов. Установлено, что при использовании многочленов удается построить точные фундаментальные решения данной системы уравнений. Полученные решения использованы для получения приближенного общего решения системы уравнений изгиба. Исследованы особенности применения полученных решений к расчету пластинки методом гладко сопряженных элементов.

8. Для расчета железобетонных стержневых элементов с учетом ползучести бетона разработана расчетная модель в виде стержня из упруго-ползучего материала. Параметры предложенной модели позволяют учесть целый ряд сложных физических явлений, которыми сопровождается ползучесть при деформировании железобетонного стержневого элемента под действием продольной и поперечной нагрузки, в условиях развития трещин. Часть этих явлений не учитывалась в ранее предлагавшихся методах расчета. Параметры предложенной расчетной модели позволяют получить высокую степень соответствия между работой модели и соответствующими экспериментальными данными или известными зависимостями между кривизнами и изгибающими моментами при различных соотношениях между М и N и при различном армировании.

9. Получено математически точное решение уравнений, описывающих предложенную модель в случае изгиба при отсутствии продольной силы. Исследованы вопросы построения приближенного решения при N ф 0. Исследованы особенности применения предложенной модели к определению напряженно-деформированного состояния стержневых железобетонных элементов.

10. Разработан эффективный универсальный метод получения решений задач механики железобетона, содержащих обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, допускающими разложение в степенные ряды. Показано, что данный метод позволяет получить как приближенные, так и теоретически точные решения дифференциальных уравнений и краевых задач в целом.

11. Исследована особенность применения данного метода при различном строении дифференциальных уравнений, исследованы трудности, возникающие при этом. Предложен способ преодоления указанных трудностей, что делает данный метод универсальным. Исследованы вычислительные особенности предложенного метода. На примере задачи об изгибе стержня переменной жесткости показано, что даже приближенное решение краевой задачи, полученное этим методом, обладает весьма высокой точностью

12. При расчете железобетонных конструкций данный метод может применяться при определении напряженно-деформированного состояния стержневых конструкций (балок, колонн, рам, ферм) при наличии у них переменной жесткости сечений в силу конструктивных особенностей или в силу нелинейной работы материала, при действии распределенных продольных нагрузок и в целом ряде других задач. При этом, в отличие от существующих методов расчета, не требуется разбивки конструкции на отдельные элементы, в пределах которых задача сводится к уравнению с постоянными коэффициентами (например, когда в пределах отдельных элементов жесткость принимается постоянной или продольная сила принимается постоянной и т.д.). Это приводит к уменьшению объема вычислений и к повышению точности конечного результата.

1. Абовский Н. П. и др. Расчет пологих оболочек в матричной форме методом сеток. Красноярский политехнический институт,- Красноярск, 1965.

2. Абовский Н.ГТ., Андреев Н.П., Деруса А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек,- М.: Наука, 1978.

3. Айронс Б., Дрейпер К. Несоответствие узловых связей при расчете пластин методом жесткостей // Ракетная техника и космонавтика, т. 3,- № 5 -1965.

4. Александров А. В. Метод перемещений для расчета гшитно балочных конструкций// Сб. тр. / МИИТ. М.: Трансжелдориздат, 1963. - вып. 174.

5. Александров А.В., Карпенко Н.И., Травуш В.И., Долотказин Д.Б., Жуков К.А. Особенности напряженно-деформированного состояния оболочечно-стержневого каркаса современного высотного здания. II Известия ВУЗов. Строительство. 1998,- №3. - С. 132 - 137.

6. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. -М.: Строй-издат, 1983. 488 с.

7. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2 ч. / Под ред. А.Ф.Смирнова. М.: Стройиз-дат, 1976. - 4.1. - 248 с.

8. Александровский С.В. Расчет бетонных и железобетонных конструкций на изменения температуры и влажности с учетом ползучести. -М.: Стройиздат, 1973. -432 с.

9. Александровский С.В., Бондаренко В.М., Прокопович Е.И. Приложение теории ползучести к практическим расчетам железобетонных конструкций // Ползучесть и усадка бетона и железобетонных конструкций. -М.: Стройиздат, 1976. С. 256 - 301.

10. Александровский С.В., Васильев П.И. Экспериментальные исследования ползучести бетона // Ползучесть и усадка бетона. М.: Стройиздат, 1976. С. 97 - 152.

11. Аликова Н.М., Гениев Г. А. Вариант условия прочности бетона // Теоретические исследования в области строительной механики пространственных систем. М.: Стройиздат, 1976. с. 21-27.

12. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544с.

13. Аргирис Д. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц / Пер. с англ. под ред. А.П.Филина. М.: Госстройиздат, 1968. -,

14. Аргирис Д. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем / Пер. с англ. под ред. А.П.Филина. Л.: Судпромгиз, 1961. 876 с.

15. Арутюнян И.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М. Л.: Го-стехиздат, 1952. - 323 с.

16. Арутюнян Н.Х., Александровский С.В. Современное состояние теории ползучести бетона // Ползучесть и усадка бетона. М.: Стройиз-дат,1967. С. 5-96.

17. Арутюнян Н.Х., Зевин А. А. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести. М.: Стройиздат, 1988. - 256 с.

18. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности. М.: ГИТТЛ, 1953.- 420 с.

19. Берг О.Я. Некоторые физические обоснования теории прочности бетона // Теория расчета и конструирования железобетонных конструкций. М.: Трансжелдориздат, 1960. — 112 с.

20. Бердичевский Г. И., Маркаров Н. А. Технологические факторы тре-щиностойкости и прочности предварительно-напряженных железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1969.

21. Бидный Г.Р., Клованич С.Ф., Осадченко К.А. Расчет железобетонных конструкций при сложном нагружении методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - № 5.- С. 22-26.

22. Бич П.М. Вариант теории прочности бетона // Бетон и железобетон.- 1980. -№ 6. -С. 28-29.

23. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М.: Изд. литературы по строительству, 1965.

24. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред // Механика полимеров. 1965. - № 2. - С. 27-31.

25. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. - 255 с.

26. Бондаренко В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона. Харьков: изд-во Харьк.ун-та, 1968. - 323 с.

27. Бондаренко В.М., Бондаренко С. В. Инженерные методы нелинейной теории железобетона . М.: Стройиздат. 1982. - 278 с.

28. Боришанский М. С. Расчет железобетонных элементов при действии поперечных сил. В кн.: Расчет и конструирование элементов железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1964.

29. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел J1. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987. 524 с.

30. Бруснецов Г.Н. К вопросу реализации деформационной теории пластичности в перемещениях // Строит.механика и расчет сооружений. 1979. - № 2. - С. 20-24.

31. Бруснецов Г.Н. О расчете железобетонных конструкций с трещинами при плоском напряженном состоянии // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. - № 6. - С. 31-33.

32. Буданов Н. А. Расчет железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона. М.: Госстройиздат, 1955.

33. Варвак П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Некоторые задачи прикладной теории упругости в конечных разностях, ч. 1 и 2. Киев: Изд. АН УССР, 1949, 1952.

34. Васильев Б.Ф., Богаткин И.Л., Залесов А.С., Паныиин Л.Л. Расчет железобетонных конструкций по прочности, деформациям, образованию и раскрытию трещин . М.: Стройиздат, 1965. - 416 с.

35. Васильев П.И. Некоторые вопросы развития линейной теории ползучести бетона // Ползучесть и усадка бетона. М.: Стройиздат, 1969. С. 3-8.

36. Васильев П.И. Нелинейные деформации ползучести бетона//Изв. ВНИИГ.- 1971. т. 95. -С. 59-69.

37. Васильев П.И., Кононов Ю.М. Температурные напряжения в бетонных массивах. Л.: ЛПИ, 1969. - 120 с.

38. Власов В.З. Избранные труды, т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1962. -508 с.

39. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М.: Госстройиздат, 1958. -503 с.

40. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. -491 с.

41. Волков С.Д. Статистическая теория прочности. М., Свердловск: Машгиз, 1960. - 176 с.

42. Гвоздев А. А. Некоторые механические свойства бетона, существенно важные для строительной механики железобетонных конструкций. М.: НИИЖБ, вып. 4, 1959.

43. Гвоздев А. А. Некоторые особенности деформирования бетона и теория ползучести // Ползучесть строительных материалов и конструкций. М.: Стройиздат, 1964.

44. Гвоздев А. А., Дмитриев С. А. К вопросу о расчете сечений по тре-щинообразованию // Бетон и железобетон . 1960. № 7.

45. Гвоздев А. А., Дмитриев С. А. К расчету предварительно-напряженных, обычных железобетонных и бетонных сечений по образованию трещин. II Бетон и железобетон. 1957. - № 5.

46. Гвоздев А. А., Нофаль М. LLL, Белобров И. К. Влияние сжатых полок тавровых и других сечений на деформации (прогибы) железобетонных элементов // Расчет и конструирование элементов железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1964.

47. Гвоздев А. А., Чистяков Б. А., Шубик А. В. Исследование деформаций и несущей способности гибких сжатых железобетонных элементов с учетом длительного действия нагрузки // Прочность и жесткость железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1971.

48. Гвоздев А.А. К вопросу о предельных условиях, условиях текучести для ортотропных сред и для изгибаемых железобетонных плит // Сборник, посвященный 80-летию И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1965.

49. Гвоздев А.А. Ползучесть бетона и пути ее исследования // Исследование прочности и ползучести строительных материалов. М.: Гос-стройиздат, 1955. С. 126-137.

50. Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Госстройизда г, 1949. - 280 с.

51. Гвоздев А.А. Температурно-усадочные деформации в бетонных блоках и массивных сооружениях // Сб. тр. / МИСИ. М., 1957. - С. 12-25.

52. Гвоздев А.А., Байков В.Н. К вопросу о поведении железобетонннх конструкций в стадии, близкой к разрушению // Бетон и железобетон. 1977. - № 9. С. 22-24.

53. Гвоздев А.А., Галустов К.З., Яшин А.В. О некоторых отступлениях от принципа наложения в теории ползучести бетона II Бетон и железобетон. 1967. - №8. - С. 223 - 227.

54. Гвоздев А.А., Карпенко Н.И. Работа железобетона с трещинами при плоском напряженном состоянии И Строительная механика и расчет сооружений. 1965. - № 2. - С. 20 - 23.

55. Гвоздев А.А., Яшин А.В., Петрова К.В., Белобров И.К., Гузеев Е.А. Прочность, структурные изменения и деформации бетона. М.: Стройиздат, 1978. - 299 с.

56. Гениев Г. А. Вариант деформационной теории пластичности бетона // Бетон и железобетон. 1969. - №2.

57. Гениев Г.А., Киссюк В.Н. К вопросу обобщения теории прочности бетона II Бетон и железобетон. 1965. - № 2. - С. 15-17.

58. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона//ЦНИИСК М.: Стройиздат, 1974. - 316 с.

59. Гениев Г.А., Пятикрестовский К.П. Вопросы длительной и динамической прочности анизотропных конструкционных материалов. -М.: ГУП ЦНИИСК, 2000. 38 с.

60. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М.: Гостехиздат, 1955.

61. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А. Теория ползучести строительных материалов и ее приложения. М.: Госстройиздат, 1960. - 256 с.

62. Городецкий А.С., Здоренко B.C., Карпиловский B.C. и др. Вычислительный комплекс "Лира" для автоматизированного проектирования строительных конструкций. Киев: НИИАСС Госстроя УССР, 1983.112с.

63. Городецкий А.С., Здоренко B.C. К расчету физически нелинейных плоских рамных систем // Строит, механика и расчет сооружений. -1969. №4. - с.26 - 30.

64. Городецкий А.С., Здоренко B.C. Расчет железобетонных балок-стенок с учетом образования трещин методом конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. -Киев: Буд1вель-ник, 1975. Вып. 57. - С. 59-66.

65. Грин Б., Джонс Р., Маклей Р., Строум Д. Обобщенный вариационный принцип в методе конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1969. - т.7. - №7. - С. 47-55.

66. Громадка II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов. -М.: Мир, 1990.- 303 с.

67. Гузеев Е. А., Булгакова М. Г., Медведко С. В. Исследование совместного действия длительного нагружения и агрессивной среды на деформации предварительно-напряженных изгибаемых элементов // Коррозия бетона в агрессивных средах. М.: Стройиздат, 1972.

68. Гуща Ю.Н. Исследование ширины раскрытия нормальных трещин // Прочность и жесткость железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1971.- С. 72-97.

69. Де Вебеке Б. Ф. Новый вариационный принцип в теории упругости с конечными перемещениями // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975.

70. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976.

71. Длугач М. И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. Киев: Наукова думка, 1964.

72. Дмитриев Л.Г., Шевченко В.Н. Изгиб нелинейно-упругих пластин // ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов строительства. -Киев: Буд1вельник, 1970. с.94-103.

73. Дмитриев С.А., Калатуров Б.А. Расчет предварительно наряженных железобетонных конструкций. М.: Госстройиздат, 1963. - 412 с.

74. Дроздов П.Ф. Конструирование и расчет несущих систем многоэтажных зданий и их элементов. М.: Стройиздат, 1974. - 295 с.

75. Дыховичный А.А. Применение метода последовательных приближений к расчету статически неопределимых железобетонных конструкций // Вычислит, и организационная техника. 1967. - №11. - с.63-68

76. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978. - 352 с.

77. Жуков В.В. Цилиндрические своды из жаростойкого бетона и железобетона // Железобетон в условиях высоких температур. М.: Гос-стройиздат, 1963. - С. 137-154.

78. Забегаев А.В. К построению обшей модели деформирования бетона II Бетон и железобетон. 1994. - №6. - С. 23 -26.

79. Зайцев Ю.В. Механика разрушения для строителей. М.: Высшая школа, 1991.-288 с.

80. Зайцев Ю.В. Моделирование деформаций и прочности бетона методами механики разрушения. М.: Стройиздат, 1982. - 196 с.

81. Завьялов Г.Г., Козак A.JI. Соотношения метода конечных элементов для армированных конструкций о учетом трещинообразования // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вель-ник, 1978. - Вып.32. - с.69-73.

82. Залесов А. С. Расчет предварительно-напряженных элементов по образованию трещин в нормальных сечениях с учетом неупругих деформаций сжатого бетона II Бетон и железобетон. 1964. - № 8.

83. Залесов А.С., Мухамедиев Т.А. Состояние и перспективы развития нормативных документов в области бетона и железобетона II Бетон на рубеже третьего тысячелетия: Материалы 1 -й конф. по проблемам бетона и железобетона. М., 2001. - С. 112 - 120.

84. Залесов А.С., Мухамедиев Т.А., Чистяков Е.А. Расчет железобетонных конструкций по проекту новых норм // Бетон на рубеже третьего тысячелетия: Материалы 1-й конф. по проблемам бетона и железобетона. ML, 2001. - С.711 - 717.

85. Залесов А.С., Чистяков Е.А. Расчет и конструирование многоэтажных каркасовс плоскими покрытиями // Бетон и железобетон. 1998 - №6.

86. Залесов А.С., Чистяков Е.А., Ларичева И.Ю. Новые методы расчета железобетонных элементов по нормальным сечениям на основе деформационной расчетной модели II Бетон и железобетон. 1997. -№5.-С. 31 -34.

87. Здоренко B.C. Развитие численных методов исследования прочности и устойчивости стержневых и тонкостенных железобетонных конструкций во времени: Дис. . докт. тех. наук / НИИАСС. Киев, 1977.- 302 с.

88. Здоренко B.C. Расчет железобетонных континуальных конструкций с учетом образования трещин методом конечных элементов // Сопротивление материалов и теория оооружений. Киев: Буд1вельник, 1976.-Вып. 29.-С. 89-101.

89. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.541 с.

90. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

91. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд. АН СССР, 1963.

92. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. - 576 с.

93. Карпенко Н.И. К построению общей ортотропной модели деформирования бетона // Строительная механика и расчет сооружений. -1987. №2. - С. 31 36.

94. Карпенко Н.И. Об одной характерной функции прочности бетонов при трехосном сжатии II Строительная механика и расчет сооружений. 1982. -№2. - С. 33 - 36.

95. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М.: Стройиздат, 1996. - 416 с.

96. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. М.: Стройиздат, 1976. -204 с.

97. Карпенко Н.И., Ярин Л.И., Кукунаев B.C. Расчет элементов стен методом конечных разностей / Под ред. К.В.Михайлова // Новое о прочности железобетона. М.:Стройиздат, 1977. -С. 141- 165.

98. Клевцов В.А. Действительная работа конструкций одноэтажных промышленных здаиий II Расчет и конструирование железобетонных конструкций : Сборник НИИЖБ. М.: Стройиздат, 1972. - 185 с.

99. Клевцов В. А.Учет работы плит покрытия при расчете прочности стропильных балок // Предварительно напряженные конструкции зданий и инженерных сооружений : Сборник НИИЖБ. М.: Стройиздат, 1977.-206 с.

100. Клованич С.Ф. Модель деформирования железобетона и расчет конструкций при сложном напряженном состоянии и нагреве: Дис. . д-ра техн. наук./ НИИЖБ М., 1990. - 405 с.

101. Козачевский А.И. Модификация деформационной теории пластичности бетона и плоское напряженное состояние железобетона с трещинами II Строительная механика и расчет сооружений. 1983. -№4.-С. 12-16.

102. Козачевский А.И. Численные методы расчета железобетонных конструкций с учетом неупругих свойств материалов и их приложение при автоматизированном проектировании: Дис. д-ра техн. наук. -Киев, 1985.-461 с.

103. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных, уравнений.-М.: ИЛ, 1953.

104. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с.

105. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960. - 459 с.

106. Корн Г., КорнТ. Справочник по математике (для научных работников и инженеров), М.: Наука, 1978. - 832с.

107. Корнеев В. Г., Розин Л. А. О видоизменении метода конечных элементов в форме дифференциального метода // Изв. ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, т. 101. 1973.

108. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. М.: Стройиздат, 1949. - 376 с.

109. Кричевский А.П. Расчет железобетонных инженерных сооружений на температурные воздействия. М.: Стройиздат, 1984. - 149 с.

110. Круглов В.М. Нелинейные соотношения и критерий прочности бетона в трехосном напряженном состоянии II Строительная механика и расчет сооружений. 1987. - № 1. - С. 40 - 44.

111. Круглов В.М., Козачевский А.И. Об одном варианте деформационной теории пластичности бетона в шаговом расчете конструкций методом конечных элементов // Исслед. работы искусст. сооружений. -Новосибирск, 1980.-С. 15-19.

112. Крылов С.М. Перераспределение усилий в статически неопределимых железобетонных конструкциях. М.: Стройиздат, 1964. 168 с.

113. Крылов С.М., Карпенко Н.И., Ярин Л.И., Кукунаев B.C. Усилия и моменты, возникающие в плитах под влиянием нагрузок, нормальных к их поверхности // Новое в прочности жлезобетона/Под. ред. К.В.Михайлова. М.: Стройиздат, 1977. - СЛ 76 198.

114. Кудашов В.И., Устинов В.П. Расчет пространственных железобетонных конструкций с учетом физической нелинейности и трещинооб-разования II Строит.механика и расчет сооружений. 1981. - № 4 С.6- 10.

115. Ленский B.C. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладных аспектах // Упругость и неупругость. М.: Изд. МГУ, 1978. - Вып. 6. - С.65 - 96.

116. Леныпин В.П. К вопросу разработки и использования моделей деформирования железобетонных конструкций с трещинами // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - № 6. - С.34 - 36.

117. Леонгардт Ф. Напряженно-армированный железобетон и его практическое применение. М.: Госстройиздат, 1957.

118. Леонтьев Н. Н. К расчету балок на упругом ортотропном слое переменной или постоянной толщины // Исследования по теории сооружений, вып. XIX. М.: Стройиздат, 1972.

119. Леонтьев Н. Н. К решению плоской задачи теории упругости вариационным методом Власова в матричной формулировке // Изв. вузов. Сер.: Строительство и архитектура. 1970. - № 1. - С. 68 - 74.

120. Леонтьев Н.Н., Травуш В.И., Строганова С.М. Изгиб полу и чет-верьбесконечньгх плит, лежащих на двухпараметрическом основании // Известия ВУЗов. Строительство. 1996. -№3. - С. 11-15.

121. Лессиг Н. Н. Исследование случаев разрушения по бетону элементов прямоугольного сечения,работающих на изгиб с кручением // Расчетжелезобетонных конструкций, вып. 23. М.: Госстройиздат, 1961.

122. Лужин О. В., Шубин В. Н., Юдин Л. 3. Применение метода расширения заданной системы к решению задач теории упругости : Тезисы доклада на Ленинградской конференции по применению ЭВМ в строительной механике. Ленинград, 1971.

123. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГЙТТЛ, 1955.-492 с.

124. Мадатян С. А. К выбору браковочной величины относительного равномерного удлинения для высокопрочной стержневой арматурной стали // Теория железобетона. М.: Стройиздат, 1972.

125. Мадатян С. А., Горячев Б. П. К расчету прочности нормальных сечений изгибаемых предварительно-напряженных изделий. // Бетон и железобетон . 1973. - № 9.

126. Мадатян С.А. Арматура железобетонных конструкций. М.: Воен-техлит, 2000. -256 с.

127. Малькевич А.Б. Термоползучссть влагоизолированного бетона при переменных напряжениях // Исслед. и расчет строит, конструкций энергетич. сооруж. Л., 1987. - С. 76-83.

128. Маркаров Н.А. Повышение качества предварительно напряженных железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1984. - 212 с.

129. Маркаров Н.А. Преднапряженные системы с натяжением арматуры в процессе монтажа зданий // Бетон и железобетон. 1997. - № 5. - Ср 18-20.

130. Маркус Г. Теория упругой сетки и ее приложение к расчету плит ибезбалочных перекрытий. M.: Госстройиздат, 1936.

131. Масленников А. М. Расчет статически неопределимых систем в матричной форме. JI.: Стройиздат, 1970.

132. Маслов В.Г. Термическое напряженное состояние бетонных массивов при учете ползучести бетона (( Изв. ВНИИГидротехники им. Б.Е.Веденеева. Госэнергоиздат, 1941. -№ 28. - С. 175-188.

133. Микеладзе Ш. В. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Гостехиздат, 1953.

134. Милованов А.Ф. Расчет жаростойких железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1975. - 232 с.

135. Милованов А.Ф., Передерий В.Д. Ползучесть бетона при повышенных температурах // Поведение бетонов и элементов железобетонных конструкций при нагреве. М.: НИИЖБ, 1982. - С. 3 - 14.

136. Милованов А.Ф., Зиновьев В.Н. Деформации высокопрочного бетона при кратковременном нагреве II Бетон и железобетон. 1981. - № 1.-С. 34-35.

137. Милонов В М., Горячев В.Н. Расчет толстостенных железобетонных конструкций на неравномерный нагрев. М.: Стройиздат, 1972. -131 с.

138. Михайлов В. В. Предварительно-напряженные железобетонные конструкции М.: Госстройиздат, 1963.

139. Михайлов К. В., Вильдавский Ю. М. Исследование особенностей работы изгибаемых элементов со стеклопластиковой арматурой. // Эффективные виды арматуры железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1970.

140. Москвин В. М.: Алексеев С. Н., Новгородский В. И. Нормирование ширины раскрытия трещин в предварительно-напряженных конструкциях // Бетон и железобетон. 1965. - № 7.

141. Мулин Н.М., Гуща Ю.П. Деформации железобетонных элементов при работе стержневой арматуры в упругопластической стадии // Бетон и железобетон. 1970. - №3. - С. 24 - 26.

142. Мурашев В.И. Основные положения расчета и проектирования железобетонных конструкций в условиях кратковременного и длительного воздействия высоких температур II Сб. тр. / НТО Стройин-дустрии. М.: Госстройиздат, 1958. С. 5-18.

143. Мурашев В.И. Трещиностойкость, жесткость и прочность железобетона. М.: Машстройиздат, 1950. - 268 с.

144. Мухамедиев Т.А., Леви М.И., Мельник А.В. Совершенствование метода расчета изгибаемых в двух направлениях плит // Новые экспериментальные исследования и метод расчета железобетонных конструкций / Под ред. Залесова А.С. и Ильина О.Ф.

145. Мухамедиев Т.А., Сапожников М.А. Расчет стержневых элементов и систем из них с учетом режимов кратковременных нагружений // Новые экспериментальные исследования и методы расчета железобетонных конструкций. М.: НИИЖБ, 1989. - С. 119-128.

146. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел / Пер. с англ. под ред. Л.С.Лейбензона. М.: ИЛ, 1954. - 648 с.

147. Некрасов К.Д., Жуков В.В., Гуляева В.Ф. Тяжелый бетон в условиях повышенных температур. ~М.: Стройиздат, 1972. 128с.

148. Немировский Я. М. Пересмотр некоторых положений теории раскрытия трещин в железобетоне // Бетон и железобетон. 1970. - № 3.

149. Немировский Я. М. Сцепление и трещинообразование в железобетонных элемен тах // Материалы конференции по проблеме сцепления арматуры с бетоном. Челябинск, 1968.

150. Немчинов Ю.И. Расчет- пространственных конструкций (метод конечных элементов). Киев: Буд1вельник , 1980. - 232 с.

151. Никелл Р., Сэкмэн Дж. Труды Американского общества инженеров -механиков . Прикладная механика . 1968.- т.35. - сер.Е. - №2.1. С. 51-60.

152. Ноктус А. И.И. Вариант единой теории пластичности для бетона и металла // Железобетонные конструкции: Научные тр.вузов ЛитССР. 1980.-№10.-с.73-82.

153. Оден Д.Т. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Пер. с англ. под ред. Э.И.Григолюка. М.: Мир, 1976. - 464 с.

154. Панарин Н. Я. Некоторые вопросы расчета армированного и неар-мированного бетона с учетом ползучести. М.: Госстройиздат, 1957.

155. Панов Д. Ю. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Гостехиздат, 1951.

156. Петров А.Н. Деформационная модель нелинейной ползучести железобетона и ее приложение к расчету плосконапряженных элементов и систем из них: Дис. . д-ра техн. наук./ НИИЖБ М., 2001. - 321 с.

157. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. - 128 с.

158. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 280 с.

159. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев, Наукова думка, 1976. - 416 с.

160. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во МГУ, 1995 366 с.

161. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.- 332 с.

162. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974,- 341 с.

163. Предельные состояния элементов железобетонных конструкций / Дмитриев С.А., Гузеев Е.А., Гуща Ю.П. и др./ Под ред. Дмитриева С.А. // НИИЖБ. М.: Стройиздат, 1976. -216 с.

164. Прокопович И.Е. Основы прикладной линейной теории ползучести.- М.: Высш. школа, 1978. 144 с.

165. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести. -М.: Стройиздат, 1980. 240с.

166. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987.- 80 с.

167. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций,- М.: Наука, 1966. 752 с.

168. Рейсе Э. Учет упругой деформации в теории пластичности // Теория ^ пластичнссти. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. С. 206-222.

169. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. 416 с.

170. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129с.

171. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений: Метод конечных элементов. Л.: Энергия, 1971. -213с.

172. Розовский М. И. О нелинейных уравнениях ползучести и релаксации материалов при сложном напряженном состоянии // ЖТФ АН СССР .-вып. 13.-т.25.- 1955.

173. Розовский М. И. Температурные напряжения при наличии последействия II ЖТФ АН СССР.-'т.19. вып. 6. - 1949.

174. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. -287 с.

175. Санжаровский Р.С. К теории расчета на нелинейную ползучесть с учетом длительной прочности II Исследования по расчету строительных конструкций. Л.: 1977. - С. 35 - 42.

176. Санжаровский Р.С., Кикин А.И., Трулль В.А. Конструкции из стальных труб, заполненных бетоном. М.: Стройиздат, 1974.

177. Санжаровский Р.С., Токмуратов A.M. Анализ длительного дефор- мирования пологих железобетонных оболочек в нелинейной поста-^ новке // Нелинейные методы расчета пространственных конструкций. М.: МИСИ: ТИСМ, 1988. - С. 51 -58.

178. Сахаров А.С., Кислоокий В.В. Кричевский В.В. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982. -480 с.

179. Сердакян JI.T. Элементы статистической теории деформирования и разрушения хрупких материалов. Ереван: Айастан, 1968. - 220 с.

180. Скрамтаев Б.Г. Исследование прочности бетона и пластичности бе-тоной смеси. М.: ЦНИИПС и ВИА РККА, 1936. 320 с.

181. Смирнов А. Ф., Александров А. В., Шапошников Н. Н. и др. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М.: Судпром-гиз, 1964.

182. Соломонов В.В. Исследование предшествующего процесса деформирования на линейные и нелинейные деформации ползучести бетона при постоянных и переменных напряжениях сжатия : Дис. . канд. тех. наук / НИИЖБ М.,1973. - 96с.

183. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений . М.: ГИТТЛ, 1953.-468 с.

184. Столяров Я. В. Введение в теорию железобетона. М.: Стройиздат, -1941.

185. Тимошенко С.П., Войновский Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

186. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. -576 с.

187. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977.-736 с.

188. Травуш В.И. Метод обобщенных решений в задачах изгиба плит на линейно-деформируемом основании // Строительная механика и расчет сооружений. -1982. №1. - С. 24 -28

189. Травуш В.И., Александровский М.В. Изгиб неизолированных прямоугольных плит, лежащих на двухпараметрическом основании. -Известия ВУЗов. Строительство. 1998. - №10. - С.24 - 28

190. Улицкий И. И. Ползучесть бетона. Киев, Гостехиздат УССР, 1948.

191. Улицкий И. И., Чжан Чжун-Яо, Голышев А. В. Расчет железобетонных конструкций с учетом длительных процессов. Киев, Госстрой-издат УССР, 1960.

192. Улицкий И.И. Теория и расчет железобетонных стержневых конструкций с учетом длительных процессов. Киев: Буд1вельник, 1967. - 348 с.

193. Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем и некоторые элементы использования ЭЦВМ. М., Л.: Стройиздат, 1966.

194. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1979. 128 с.

195. Филоненко-Бородич М.М. Механические теории прочности. М: МГУ, 1961.-90 с.

196. Филоненко-Бородич М.М. Об условиях прочности материалов, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию/ / Инж.сб., 1954, вып. 19. С. 15-47.

197. Филоненко-Бородич М.М., Изюмов С.М., Олисов Б.А. и др. Курс сопротивления материалов, ч.1,ч.2. М.: Физматгиз, 1961.

198. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.2. -М.:ГИТТЛ, 1956. -464 с.

199. Хайдуков Г.К. Расчет по предельному состоянию ступенчато вспа-рушениых ( шатровых ) панелей // Тр. НИИЖБ / Научные сообщения. - М., I960,- Вып.7. 111с.

200. Хайдуков Г.К., Шугаев В.В. Исследование на моделях пологих оболочек положительной гауссовой кривизны с прямоугольным планом // Большепролетные оболочки : по материалам Конгресса ИАСС. -М.: Стройиздат, 1969. С. 697 -710.

201. Харламов В.А. Исследование ползучести жароупорного бетона при высоких температурах // Исследования по жароупорным железобетонным и армокирпичным конструкциям. М.: Госстройиздат, 1959. - Вып. 6.

202. Чиненков Ю. В. Исследование работы железобетонных элементов при совместном действии изгиба и кручения // Исследование прочности элементов железобетонных конструкций, вып.5. М.: Госстройиздат, 1959.

203. Чиненков Ю.В. Расчет пологих железобетонных ребристых оболочек на сосредоточенные нагрузки методом предельного равновесия // Тонкостенные железобетонные пространственные конструкции. -М.: Стройиздат, 1970. С.126-136.

204. Чиненков Ю.В., Кузьмич Т.А. Расчет оболочки положительной кривизны из цилиндрических панелей // Исследования и расчеты прочности пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1980.1. С.59 67.

205. Шапошников Н.Н. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976.

206. Шугаев В.В. Инженерные методы в нелинейной теории предельного равновесия оболочек. М.: Готика, 2001. - 368с.

207. Шугаев В.В. Развитие расчета железобетонных оболочек на основе метода предельного равновесия // Бетон и железобетон. 1997. - № 4. - С 27-30.

208. Ярин Л.И. К решению физически нелинейных задач для железобетонных пластин с учетом трещин // Совершенствование методов расчета статически неопределимых железобетонных конструкций. М.: НИИЖБ, 1987. -С.56-65.

209. Ярин Л.И. Методы расчета железобетонных конструкций переменной жесткости вследствие трешипообразования: Автореф. дис. док-pa техн. наук. М.: 1989. - 45 с.

210. Яшин А.В. Критерии прочности и деформирования бетона при простом нагружении для различных видов напряженного состояния // Расчет и конструирование железобетонных конструкций / Под ред. А.А.Гвоздева. М.: изд. НИИЖБ Госстроя СССР, 1977. С.48-57.

211. Яшин А.В. Теория прочности и деформаций бетона с учетом его структурных изменений и длительности нагружения // Новые исследования элементов железобетонных конструкций при различных предельных состояниях. М., 1982. - С. 3-24.

212. Ahmad S.H., Shah S.P. Complete Triaxial Stress-Strain Curves for Concrete // Struct.Div., ASCE. 1982. - 108, N 4.-P.728-742.

213. Argyris I.H., Faust G. et al. Recent Development in the Finite Element Analysis of Prestressed Concrete Reactor Vessels // Nucl.Eng.Des. 1974. -28.-P. 42-75.

214. Argyris J.H., Scharpf D.W. Finite Elements in Space and Time // J. Roy. Aeron. Soc. v.73. - N 708.- P. 1041- 1044.

215. Bathe K.-J. Finite Element Procedures Engineering Analysis. N.I.: Prentice-Hall. Inc. , Englwood Cliffs, 1982. - P. 735.

216. Bathe K.-J., Ramaswamy S. On Three-Dimensional Nonlinear Analysis of Concrete Structures // Nucl.Eng.Des.- 1979. 52. N 3. P. 385-409.

217. Bazant Z.P. Comment on Orthotropic Models for Concrete and Geomaterials // J.Eng.Mech. 1983. 109, N 3. P. 849-865.

218. Bazant Z.P. Endochronic Inelasticity and Incremental Plasticity // Int.I.Solids Structures. 1978. 14.-P691- 714.

219. Burzinski W. Uber die austrengungshypothesen // Schweiserische Bauzeitung. 1929. - 949, N 21, - S. 16-25.

220. Chen W, F., Ting E, Constitutive Models for Concrete Structures // J.Eng.Mech.Div., ASCE., 1980. 106, N 1. - P. 1-1 9.

221. Chervenka V. Inelastic Finite Element Analysis of Reinforsed Concrete Panels under Inplane Loads: Ph.D.dissertation.

222. Dept.Civil.Eng.Univ.Golorado, Bouder, 1970, 202 p.

223. Clough R.W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis // J. Struct. Div., ASCE, Proc. 2d Conf. Electronic Computation. 1960. - P. 345 - 378.

224. Clough R.W., Tocher J.L. Finite Element Stiffness Matrix for the Analysis of Plate Bending II Proceedings of the Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, AFFDL-TR-66-80 Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1966. P. 515 - 545.

225. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrum and Vibration // Bull. Am. Math. Soc., 1943. - v.49. -P.l-23.

226. Darwin D. Pecknold D.A. Nonlinear Biaxial Stress-Strain Law for Concrete II J.Eng.Mech.Div., ASCE. 1977. - 103, N 2, - P. 229-241.

227. Dei Poli S. Present State of Some Basic Researches on Concrete: the Behavior until Failure, under Multiaxial Stresses, // J.Ital.Cem. 1980.50, N9. -P, 633-658.

228. Gedolin L., Crutzen Y.R.J., Dei Poli S. Triaxial Stress -Strain Relationship for Concrete // J.Eng.Mech.Div., ASCE. 1977. - 103, N 3.-P. 423-439.

229. Gerstle K.H. et al. Behavior of Concrete under Multiaxial Stress States // J.Eng.Mech.Div., ASCE. 1980. - 106, N 6, - P, 1383-1403.

230. Gerstle K.H. Simple Formulation of Triaxial Conerete Behavior // ACI J. -1981,-N5.-P. 382-387.

231. Hrennikoff A. Solution of Probleme in Elasticity by the Framework Method II J. Appl. Mech. 1941. -N8. - P.169 - 175.

232. Kotsovos M.D. A Mathematical Description of Properties of Concrete under Generalized Stress // Magazine of Concrete Research. 1979. -Vol.31.- September.- P.151 - 159.

233. Kotsovos M.D.,Newman J.D. Generalized Stress-Strain Relations for Concrete //J.Eng.Mech.Div., ASCE. 1978. 104, N 4, - P. 845-856.

234. Kupfer H.B., Gerstle K.H. Behavior of Concrete under Biaxial Stresses // J.Eng.Mech.Div., ASCE. 1973. 99, N 4. - P. 853-866.

235. Link J., Schafer H., Melorn G. Eine formulieung des zweiachsige bruch -und vorformungsverhalten von beton // Beton Stahtbetonbau. 1974. -206 p.

236. Melosh R. A Flat Triangular Shell Element Stiffness Matrix // Proceedings of the Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, AFFDL-TR-66-80 Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1966.-P. 503 -514.

237. Mohr 0. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. -Berlin: W. Ernst C.u.Sohn, 1914. 192 s.

238. Ngo D., Scordelis A.C. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Beams //ACI J. 1967. - 64, N 3. - P.152-163.

239. Nilsen A.H. Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete by the Finite Element Method H ACI J. 1968. - 65, N 9. - P. 757-766.

240. Oden J.T. A General Theory of Finite Elements. II. Applications // Int. J. Numer. Methods Eng. v.l. - N3. - P. 247 - 259.

241. Ottosen N.S. Constitutive Model for Short-Time Loading of Concrete // J.Eng.Mech.Div., ASCE. 1979. - 105, N1 - P. 127-141.

242. Papenfuss B.W. Lateral Plate Deflection by StifTeness Matrix Method with Application to a Marquee : Master thesis. Uniw. of Washington, Seattle, Wash. , 1959.

243. Pardis M.N., Alibe В. Taseoulas J.L. Monotonic and Cyclic Constitutive Law for Concrete li J.Eng.Mech.Div., ASCE.- 1983. 109, N 2. P. 516 536.

244. Prager W., Singe J.L. Approximation in Elasticity Based on the Concept of Function Space // Quart. Appl. Math. -1947. v.5 - P. 241-269.

245. Schleicher E.Der spannungszustandan der flieszgresze // Zeitsf. angew. Math, und Mech. 1926. N3. - S. 199-215.

246. Schnobrich W.C. et al. Discussion of "Nonlinear Stress Analysis of Reinforced Concrete", by S.Valliappan and Doolan // J.Struct.Div., ASCE. 1972. - 92, - P." 2327-2328.

247. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures / Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.P. //J.Aeron. SCI. 1956. - v.23. -N9. - P. 805 - 823.

248. Suidan M., Schnobrich W.C. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete//J.Struct.Div., ASCE. 1973. -99,-P. 2109-2122.

249. Valliapan S., Doolan Т.Е. Nonlinear Stress Analysis of Reinforced Concrete // J.Struct.Div., ASCE. 1972. 98. P.885-898.

250. Valliapan S., Nath P. Tensile Crack Propagation in Reinforced Concrete Beams by Finite Element Techniques // Int.Con on Shiar Torsion and Bond in Reinforced Concrete. India, Jan. 1969 P. 365 - 381.

251. Yozugullu 0., Schnobrich W.C. Finite Element Approach for the

252. Prediction of Inelastic Behavior of Shear Wall-Frame // Civil Eng. Studies / Univ. Illinois, Urbana, 1972. N 286. P. 363-386.

253. Zienkiewicz O.C.,Valliapan S., King T.P. Stress Analysis of Rock As a "No Tension Material" // Geotechnique. 1968. 18. - P. 56-66.

254. Zimmerman Th., Rcbora В., Rodriqucz C. Aircraft Impact on Reinforced Concrete Shells. Influence of Material Nonlinearities on Equipment Response Spectra // Comput. Struct. 1981. 13, N 1-3. - P.263-274.P