автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Расчет прочности элементов конструкции ракетно-космической техники при случайных нестационарных воздействиях

На правах рукописи

Зайцев Сергей Эдуардович

РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Специальность 05 07 03 Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов

----- ао 14ВЭ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени ' —.ндидата технических наук

Москва-2007

003161489

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н Э Баумана

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Тушев Олег Николаевич

Официальные оппоненты

1 Доктор технических наук, профессор Чирков Виктор Петрович

2 Доктор технических наук, профессор Гусев Александр Сергеевич

Ведущая организация Федеральное государственное унитарное предприятие «Московский институт теплотехники».

Защита состоится 15 ноября 2007 года в 14 00 часов на заседании Диссертационного совета ДС 212 008 02 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э Баумана по адресу 105005, г Москва, ул 2-ая Бауманская, д.5

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им Н Э Баумана

Автореферат разослан «_» октября 2007 г

Ученый секретарь Диссертационного совета ДС 212 008 02

Б С Сарбаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современные тенденции в создании образцов ракетно-космической техники и оптимизация соответствующих технико-экономических показателей приводят к необходимости широкого применения конверсионных ракет-носителей, использованию универсальных космических платформ под различные виды полезных нагрузок и сокращению количества изделий для проведения зачетных испытаний При этом, эксплуатация созданных изделий и их наземных комплексов, к какому бы классу они ни принадлежали, связана с высокими динамическими нагрузками, разнообразными по характеру и физической природе Конструкции должны воспринимать все внешние нагрузки, действующие в течение всего периода эксплуатации, и не терять своей способности нормально функционировать

Действие динамических нагрузок проявляется на всех этапах эксплуатации, а именно, при транспортировании, хранении, боевом дежурстве, стартовом и полетном режимах Пренебрежение стохастическими свойствами внешних воздействий не позволяет в полной мере оценить возможности разработанной конструкции Это относится ко всему комплексу задач, которые решаются при разработке образцов ракетно-космической техники, в частности, к задачам динамической прочности

В настоящее время опубликовано много работ в области статистической динамики механических систем и получено много результатов высокого уровня, которые можно эффективно использовать для решения реальных практических задач Вместе с тем, наблюдается существенная диспропорция в отношении расчетных методов анализа динамики и динамической прочности нелинейных многомерных моделей конструкций при нестационарных аддитивных и, тем более, мультипликативных случайных воздействиях общего вида Основная трудность, связанная с решением такого типа задач, общеизвестна - это весьма существенная сложность получения оператора формирующего фильтра для преобразования белого шума в реальный случайный процесс Вместе с тем, многие эксплуатационные нагрузки в ракетно-космической технике носят именно нестационарный характер Таким образом, разработка инженерной методики, позволяющей обойти эту трудность, является актуальной задачей

Целью настоящей работы является разработка эффективной методики вероятностного анализа динамической прочности нелинейной конечномерной модели конструкции при нестационарных случайных воздействиях и расчет с ее применением элементов антенно-поворотного устройства малого космического аппарата

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических

выводов, сравнением полученных решений предлагаемым методом и методом моментов, а также проверкой результатов методом статистических испытаний

Научная новизна. Разработана методика вероятностного анализа динамического поведения конструкций, описываемой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, при нестационарных аддитивных и мультипликативных случайных воздействиях произвольного вида Таким образом, отпадает необходимость в использовании формирующих фильтров, определение операторов которых в рассматриваемом случае представляет собой сложную самостоятельную задачу

Практическая ценность работы. Разработанная методика анализа динамической прочности носит общий характер, реализована в виде пакета прикладных программ и может быть использована для решения широкого круга инженерных задач динамики конструкций

Разработанная методика позволила провести расчет динамической прочности наиболее нагруженных элементов антенно-поворотного устройства малого космического аппарата с учетом случайности внешнего нестационарного воздействия, лучше оценить возможности конструкции и более точно определить коэффициенты запаса прочности

Результаты диссертации внедрены в инженерную практику и используются при проведении опытно-конструкторских и научно-исследовательских работ в открытом акционерном обществе «Военно-промышленная корпорация «Научно-производственное объединение машиностроения»

Основные положения, выносимые на защиту

1 Инженерная методика вероятностного анализа динамической прочности нелинейной конечномерной модели конструкции при аддитивных и мультипликативных случайных нестационарных воздействиях общего вида Разработанный аппарат не требует приведения исходной системы уравнений к каноническом виду

2 Алгоритм корреляционного анализа динамики конечномерной модели, основанный на представлении фундаментальной матрицы в форме мультипликативного интеграла, позволяет обойти сложность, связанную с зависимостью коэффициентов линеаризованной системы уравнений от искомых моментных характеристик

3 Статистическая линеаризация, как один из основных элементов предлагаемой методики, обеспечивает инженерную точность вычислений при интенсивных нестационарных переходных режимах

4 Результаты вероятного расчета динамической прочности наиболее напряженных элементов антенно-поворотного устройства малого космического аппарата позволили существенно полнее выявить возможности спроектированной конструкции и более точно определить коэффициенты запаса прочности по сравнению со значениями, вычисленными на основе принципа гарантированного результата

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на Студенческих научно-технических конференциях Аэрокосмического факультета МГТУ им Н Э Баумана при ФГУП «НПО машиностроения» 26 мая 1999 г и 23 мая 2000г, на Международной конференции «Проблемы надежности машин и конструкций», 20 мая 2003 г , на второй Международной научной конференции «Ракетно-космическая техника фундаментальные и прикладные проблемы», 18-21 ноября 2003 г , первой Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», 24-25 мая 2004, семинарах кафедры «Аэрокосмические системы»

По теме диссертации опубликованы 4 работы

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, основных выводов и результатов, списка литературы и 4-х приложений Она изложена на 134 листах и поясняется 82 рисунками и 8 таблицами Список аннотированной литературы представлен 78 работами отечественных и зарубежных авторов

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится анализ основных вопросов эксплуатации и современных тенденций развития ракетно-космической техники, находящих отражение в вопросах расчетно-экспериментальной отработки динамической прочности, дается обзор универсальных и специализированных методов вероятностного анализа инженерных задач, рассмотрены их достоинства и недостатки, и, исходя из этого, сформулированы цель диссертационной работы и основные положения, выносимые на защиту

В первой главе описывается ракета-носитель «Стрела», космическая головная часть и малый космический аппарат Рассматривается конструкция и функционирование антенно-поворотного устройства, которое является одним из важнейших элементов малого космического аппарата, непосредственно связанного с выполнением тактико-технического задания, и, в тоже время, наиболее сложным элементом в части проектирования и расчетно-экспериментальной отработки Особое внимание уделено его элементам, имеющим крайне низкий коэффициент запаса прочности, анализ напряженно-

деформированного состояния которых проводится в последующих главах

Во второй главе рассматривается методика решения задач динамики, описываемых системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, с аддитивными и комбинированными (аддитивными и мультипликативными) случайными внешними воздействиями, которые определены в рамках корреляционной теории Методика основана на статистической линеаризации нелинейностей и выражении решения линеаризованной системы через фундаментальную матрицу, которая вычисляется как мультипликативный интеграл

Получены результирующие формульные зависимости для двух вариантов внешних воздействий аддитивного и комбинированного При этом, первый вариант может быть получен из второго, как частный случай, и отдельно не рассматриваться С методической стороны это не удобно, так как результирующие соотношения и вычислительный алгоритм для первого варианта существенно проще, чем для второго Кроме этого, с практической точки зрения, вариант чисто аддитивного воздействия весьма важен, поскольку встречается в инженерных задачах чаще, чем комбинированный В практической задаче, рассматриваемой в настоящей работе, внешнее воздействие также является аддитивным

Аддитивное внешнее воздействие.

Система уравнений приведена к виду

¿ = 6(х,0 + А1О),

где х = (х!,х2, хп)т- вектор фазовых координат, 0(х,1:) детерминированная нелинейная вектор-функция, А^)- вектор случайного внешнего воздействия, х0- вектор случайных начальных условий

При этом, заданы МдД^ и КА] (1,1'), МХо и КХо - вектор математических

ожиданий и матрица корреляционных функций вектора А^) и х0

Статистическая линеаризация нелинейности

6(х,0=£(мх,кх^)+к(мх,кх,ф°,

где Е.(мх,Кх,1;) - статистическая векторная характеристика нелинейности, я(мх,Кх,1) - матрица статистических коэффициентов по центрированной составляющей с элементами гц = 1,2, ,п), х° = х -Мх

Математическое ожидание и корреляционная функция фазовых координат имеют вид

мх(0= }[£(МХ,КХ>Т)+МА1(Т)]ЙТ+МХ0 , •о

Кх(М')= )п1 (и)/КА, ¿М + П10 (Я)КХ0 [п^ (я)]1,

»0 «о

где О^ (я) - фундаментальная матрица

Зависимость фундаментальной матрицы от искомых вероятностных характеристик не вызывает каких-либо трудностей при ее вычислении в форме мультипликативного интеграла, а именно

где Д -интервал времени, Е + д)Д при 1Д е [1,1 + Л],

О*0 =Е 'о

При решении практических задач часто необходимо найти не только статистические характеристики фазовых координат, но и их производные Они выражаются следующим образом

мх(^=ь(мх,кх,1)+мА10),

»0

+ КкА1 КА1 (1,1')

«о

Матрицы корреляционных моментов

Кх(0= ]Ц(к) |КА, (лгОк-ОФ«*' + П1о (я)КХо (^Г, <0 »0

ч

»о

Прямая численная реализация приведенных разрешающих зависимостей приводит, как правило, к неустойчивым численным процедурам и нерациональна в вычислительном отношении Рекуррентные зависимости, связывающие два момента времени ^ <:' и 1 +А, ^ + (Д и Д' - шаги по времени), лишены этого недостатка

4+Аг 1

М(1 + Д)=М(1)+ { [МдДО + Цфг,

»0 ^

Матрица корреляционных моментов

Кх(4 + А)= ОГД(Я)|К(0+ }(к(г)+ + КА, (М)Д2|[ПГ Д(К)Г,

гдеМ(г) = Пик)КА1(м)

Комбинированное внешнее воздействие.

Система уравнений приведена к виду

х=А2(1)б(х,1)+А1^)

х(^)=х0

где Л2 (1) - матрица случайных параметрических воздействий с матрицей математических ожиданий МАз

Вектор случайных аддитивных внешних воздействий А] (1) (с элементами а^), 1 = 1,2, ,,п) и матрицу случайных параметрических воздействий А2(1:) (с элементами а2ц^), 1,3 = 1,2, . ,п) объединены в вектор А^) (с элементами

а,^), 1 = 1,2, ., в, где в = п + п2) Элементам присвоена сквозная нумерация для а^) от единицы до п, а для а2ц(1) от п до 8

При этом, заданы МА^), КА(|;,1') - соответственно вектор математических ожиданий и матрица корреляционных функций вектора А^)

Математическое ожидание и корреляционная функция фазовых координат имеют вид

Мх(0=^0(С0)|Е + £ /Н,(г)'¡Я^'Х^т'^Т' МХо, I ч 10 ]

Г ( .

кх(1,1')=п;о(00)^кхо Е + 2 Цн^Ин^^к^г'.г^йг'

I ч *0»0

Ч

+ ± }н,(г)'^(^(г.г1)!^ |М1(О0)]Г, ч 10 10 ]

где КХо =КХо + МХоМХо, к^1 (е, I') - элементы матрицы Кд^Д'), апеё х <п, 61 ¡П{0 (О0)]"1111П+1О^ (О0),

^ , N

|Т-1| п \Р=1

где - «матричная единица», которая имеет единственный отличный от нуля элемент равный 1, стоящий в «1» строке и <<р> столбце, г^п+1 = 0,

О0=О0(МА)=

мАгя МА20+МА1 . [0] {0}

где (3 = £,-КМХ - вектор с элементами q1 (г = 1,2, ,п), [о] и {о} - нулевые матрица и вектор

Математическое ожидание производных фазовых координат имеет вид

мх(г)=о0мх +|Еь1(1)|п^(о0)к^(1,г)ьДг)п[о (о0)аг|мХо,

где - вычисляется по формулам, аналогичным для Н„ только без умножения на фундаментальные матрицы, т е апее 1 < п, о! 11П+1,

п+1

апеё п -< 1 < Б, о! 2Хр11р + Р=1

Корреляционная функция производных фазовых координат имеет вид

в I'

'«о

ЬНо

Хо

■о 10

из 1„

1 ,з

Для детерминированных начальных условий, т е МХо = х0, КХо = О

выражение для корреляционной функции фазовых координат существенно упрощается

I Ч «о ]

Для случая, когда элементы вектора А^) являются произведением случайных параметров на детерминированные функции времени, т е а^^ а,у,(1:) для VI, где а, - случайные параметры с корреляционной матрицей Ка и у,^) - детерминированные функции, при детерминированных начальных условиях можно записать

мх(о=п;0 (оАЕ+¿к« К^М к

I ч 10 10 ]

I Ч »0 10 ]

где - элементы корреляционной матрицы Ка

Ниже приведены рекуррентные зависимости для математического ожидания и матрицы корреляционных моментов

Мх^ + А)= ПГЛ(Оо)Мх(^+ П^А(О0)^)МХ0,

ч

.'о

л+

+ Н1(1)КХоН[(Ок1^(м)А21п-д(С0)]Г,

где N(^=¿11, (О ч

С целью подтверждения разработанной методики и отработки алгоритмов, реализующих полученные формульные зависимости, на конкретных задачах проводится решение модельных задач с аддитивным и комбинированным внешним воздействием, двумя способами - предлагаемым в настоящей работе и известным методом моментов В результате показано, что расхождение решений, полученных указанными методами, составляет не более 1-2% Так, для динамической системы, представленной на рисунке 1, при нестационарном внешнем воздействии, представлены результаты вычисления математических ожиданий - рисунки 2 и 3 и дисперсий - рисунки 4 и 5 перемещений и ускорений грузов предлагаемым методом (сплошная красная линия) и методом моментов (синие точки)

Следует отметить, что оба метода базируются на использовании статистической линеаризации Поэтому, правомерность ее применения для

рассматриваемого класса задач требует отдельной проверки, которой и посвящена третья глава

км

Пх

Со С1 С г

м3

ГШ

7

Рис 1 Динамическая система

Л ЛН

Л

1 ^ у

и

Рис 2 Математическое ожидание перемещений грузов

Рис 3 Математическое ожидание ускорений грузов

Л

о" .

Рис 4 Дисперсии перемещений грузов Рис 5 Дисперсии ускорений грузов

В третьей главе проводится оценка степени адекватности статистически линеаризованной модели реальной системе при нестационарных случайных нагрузках на основе решения модельной задачи (рис 1) Оценка заключается в сравнении решений, полученных предлагаемым методом и методом статистических испытаний, при трех видах внешнего воздействия

стационар!юго, нестационарных нормального и ненормального. Все типы внешних воздействий в обоих вариантах решения задаются ансамблем из 103 реализаций, что обеспечивает идентичность исходных данных в обоих вариантах.

Проведенные расчеты показали хорошее совпадение результатов для всех типов внешних воздействий. Расхождение по математическому ожиданию не превышает 1-^3%, а по дисперсии 7-Н2%. Так, для ненормального нестационарного воздействия, корреляционная функция которого представлена на рисунке 6, на рисунках 7 и 8 изображены математические ожидания перемещений и ускорений грузов, рисунке 9 - дисперсии их перемещений и рисунке 10 - дисперсия ускорения первого груза. На рисунках сплошной красной линией построены решения, полученные предлагаемым методом, а синими точками — методом статистических испытаний.

Критерий («хи-квадрат») для указанного воздействия не превышает 15%, а для фазовой координаты, являющейся «входом» нелинейности, он не ниже 73%. Этот факт наглядно демонстрирует эффект нормализации законов распределения инерционными системами, что является важным условием применения статистической линеаризации. На рисунках 1] и 12 представлены гистограммы плотности вероятности внешнего воздействия и скорости первого груза при I = 0.2с (сплошные красные прямоугольники), совмещенные с плотностью вероятности нормального закона распределения с аналогичными статистическими характеристиками (сплошная синяя линия).

Рис. 6. Модель корреляционной функции нестационарного ненормального случайного внешнего воздействия.

О 3-1 о U ч

Рис. 7, Математическое ожидание перемещений грузов.

1-

Рис. 8, Математическое ожидание ускорений грузов.

FLt~0 2]t II

Рис. I !. Гистограмма плотности распределения внешнего воздействия.

Рис, 9. Дисперсии перемещений i-рузов.

Рис. 10. Дисперсия ускорения первого ]руза.

В четвертой главе проводится расчет динамической прочности узлов антенно-поворотного устройства, для чего рассматриваются расчетная модель ракеты-носителя с малым космическим аппаратом и модель случайного нестационарного внешнего воздействия на момент разделения первой и второй ступени.

Уравнение колебаний динамической модели ракеты-носитсля с малым космическим аппаратом представлено в следующем виде:

= 0.2Ы/«

Рис, 12. Гистограмма плотности вероятности скорости первого груза.

МХ + АХ + К.х +

где М, А, К - матрицы масс, коэффициентов демпфирования и жесткости; N (х} - нелинейная вектор-функция, описывающая свойства динамических гасителей колебаний, установленных на ракете-нос и теле; Р(|) - вектор внешних сил (тяга двигательной установки первой ступени).

Статистические характеристики спада тяги двигательной установки при разделении первой и второй ступени приведены на рис. 13, 14 и 15. Отсечка двигателей происходит в момент времени

'р /

/

Рис. 13. Математическое ожидание тяги двигательной установки.

о 01 о: оз о.л Рис, 14. Дисперсия тяги двигательной установки.

Рис. 15. Корреляционная функция тяги двигательной установки.

Вычисление статистических характеристик фазовых координат проводится на основе результирующих соотношений, приведенных выше, для случайного аддитивного внешнего воздействия

В результате вероятностного расчета получены границы возможных значений ускорений, действующей на малый космический аппарат, по правилу «3 сг » (рисунок 16) Наихудшее значение отрицательной перегрузки равно 2 5, в то время, как ее значение при детерминированном расчете (принцип гарантированного результата) составляет 3.2

исходя из правила «Зет »

Расчет напряженно-деформированного состояния наиболее нагруженных узлов антенно-поворотного устройства малого космического аппарата с полученными перегрузками позволил уточнить их коэффициенты запаса прочности, которые оказались существенно выше, полученных при детерминированном расчете (таблица 1)

1 Запас прочности %аз %

1 2 Детерминированный подход 0,98 1,81 0,97

1 1 Стохастический подход 1,19 2,18 1,18

2 Дополнительный запас прочности, % 21,4% 20,4% 21,6%

Таблица 1 Запасы прочности при детерминированном и вероятностном расчете

В Приложениях изложены основные положения теории статистической линеаризации, теории матричных рядов, моделирования случайных процессов в рамках корреляционной теории, моделирования нормального распределения и оценки распределений по критерию х2

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработана инженерная методика вероятностного анализа динамической прочности нелинейной конечномерной модели конструкции при аддитивных и комбинированных нестационарных случайных внешних воздействиях

2 Представление фундаментальной матрицы линеаризованной системы в форме мультипликативного интеграла позволило обойти существенную сложность, связанную с зависимостью матрицы коэффициентов линеаризованного уравнения от искомых моментных характеристик

3 В процессе решения не требуется преобразования исходного уравнения к каноническому виду, то есть отпадает необходимость в использовании формирующих фильтров

4 Показано, что разработанный алгоритм обеспечивает такую же точность вычисления вероятностных характеристик, как и метод моментов, при этом, позволяет решать задачи с нестационарными случайными воздействиями

5 Эффективность предлагаемой методики, использующей статистическую линеаризацию при нестационарных переходных режимах функционирования, проиллюстрирована с применением метода статистических испытаний

6 Расчет динамической прочности наиболее нагруженных элементов антенно-поворотного устройства космического аппарата с учетом случайности внешнего воздействия позволил лучше оценить возможности конструкции и более точно определить коэффициенты запаса прочности

7 На основе предлагаемого алгоритма разработан пакет прикладных программ, позволяющий анализировать динамику нелинейных моделей конструкций ракетно-космической техники при различных нестационарных случайных нагрузках

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1 Зайцев С Э , Тушев О Н. Оценка влияния случайных аддитивных и мультипликативных вибраций на динамическое поведение системы // Изв РАН Механика твердого тела -2001 -№6 -С 163-167

2 Тушев О Н , Зайцев С Э., Светлицкий В А Анализ динамического поведения нелинейной механической системы при случайных аддитивных нестационарных нагрузках // Проблемы надежности машин и конструкций Избранные труды Международной конференции - Минск, 2003 -С 168-173

3 Тушев О Н, Зайцев С Э Решение нестационарной нелинейной задачи для механической системы при случайном воздействии // Аэрокосмические технологии Материалы Первой международной научно-технической конференции - Москва-Реутов, 2004 - С 281-282

4 Тушев О.Н, Зайцев С Э Анализ динамики амортизированного объекта при случайных нестационарных воздействиях // Ракетно-космическая техника Труды 2-ой Международной научной конференции фундаментальные и прикладные проблемы - Москва, 2005 — С 74-76

Подписано в печать 08 10 2007 г Формат 60x84 1/16 Заказ№2132 Уел печ л 09 Тираж70экз Типография ОАО "ВПК "НПО машиностроения" 143966, Московская область, г Реутов, ул Гагарина, д 35

Введение.

1. Конструкция ракеты-носителя, малого космического аппарата и антенно-поворотного устройства.

1.1. Описание ракеты-носителя «Стрела», космической головной части и малого космического аппарата.

1.2. Конструкция антенной системы и схема приведения ее в рабочее положение.

2. Корреляционный анализ динамики нелинейной механической системы при случайных нестационарных воздействиях.

2.1. Аддитивные воздействия.

2.2. Комбинированные воздействия.

2.3. Модельная задача при аддитивных внешних воздействиях.

2.4. Пример комбинированного воздействия на систему «защищаемый объект-система амортизации».

3. Оценка эффективности статистической линеаризации при нестационарном случайном воздействии.

3.1. Статистические модели случайных внешних воздействий.

3.2. Переходные режимы при стационарном случайном воздействии.

3.3. Нормальное нестационарное внешнее воздействие.

3.4. Ненормальное нестационарное воздействие.

4. Анализ прочности узлов антенно-поворотного устройства.

4.1. Постановка задачи анализа прочности узлов антенно-поворотного устройства.

4.2. Расчетная модель ракеты-носителя с малым космическим аппаратом на момент разделения первой и второй ступени.

4.3. Модель внешнего воздействия при разделении первой и второй ступени.

4.4. Порядок анализа прочности элементов конструкции антенно-поворотного устройства.

4.5. Уравнения для вычисления математического ожидания и дисперсии движения элементов системы.

4.6. Результаты расчета прочности узлов антенно-поворотного устройства.

Последние десятилетия ракетно-космическая отрасль испытывает значительные экономические трудности, связанные с сокращением ассигнований на разработку изделий ракетно-космической техники и эксплуатацию существующих образцов. Вместе с этим, организации промышленности вынуждены работать в новых рыночных условиях с жесткой конкуренцией как на внутреннем рынке, так и за его пределами. Таким образом, в настоящее время сокращение затрат на опытно-конструкторскую работу является, тем более, актуальной задачей, которая может быть решена различными способами. Стоит выделить три фундаментальных направления, наиболее сильно влияющих на стоимость опытно-конструкторской работы и имеющих непосредственное отношение к вопросам прочности.

Первым направлением сокращения затрат является широкое применение конверсионных ракет-носителей, которые имеют высокие надежностные характеристики, богатую летную наработку и низкую стоимость модернизации. Однако данные ракеты-носители отличаются повышенными перегрузками по сравнению с обычными и поэтому случай выведения, зачастую, становится определяющим в прочностных расчетах.

Вторым возможным направлением является использование универсальных космических платформ, что является в настоящее время перспективным подходом к разработке серий космических аппаратов. Здесь возможно изменение полезной нагрузки и, даже, некоторых служебных систем под конкретные задачи, которые решаются единичным или ограниченным числом космических аппаратов. При этом возникает проблема подтверждения прочности под данные конкретные пуски. В таком случае обеспечивают прочность силовой конструкции универсальной космической платформы таким образом, чтобы при возможных вариациях веса полезной нагрузки, оборудования и использовании различных ракет-носителей она была бы достаточна.

Третьим направлением, позволяющим добиться значительного сокращения затрат, может быть использование штатной или технологической материальной части для зачетных испытаний. Такой подход ведет к большему риску по сравнению с традиционным, но допустим для подтверждения прочности перспективных изделий. Таким образом, проведение зачетных испытаний на такой материальной части позволяет отказаться от изготовления отдельного изделия. Таким образом, из основных критериев использования штатной или технологической конструкции создаваемых космических аппаратов для проведения на ней зачетных испытаний является достаточный запас прочности. Очевидно, что обеспечение этого условия для всех элементов конструкции требует достаточно подробного расчетного анализа с использованием уточненных расчетных моделей изделия и внешнего воздействия на всех этапах эксплуатации.

В настоящее время ОАО «ВПК «НПО машиностроения» осуществляет проект по созданию космической системы, включающей в свой состав спутники с разными типами полезных нагрузок. Все космические аппараты, входящие в систему, создаются на базе универсальной космической платформы и выводятся на рабочую орбиту конверсионными ракетами-носителями легкого класса «Стрела». При этом не изготавливаются отдельные изделия для отработки статической и динамической прочности, а необходимые виды испытаний проводятся на технологическом изделии и частично на летном. Таким образом, указанный проект консолидирует в себе все три направления уменьшения стоимости и, одновременно, все сложности по подтверждению прочности.

Основной задачей эксплуатации изделий ракетно-космической техники является поддержание их характеристик в пределах, установленных эксплуатационной документацией в соответствии с требованиями технических условий, стандартов и других нормативных документов. При этом конструкция должна воспринимать все внешние нагрузки, действующие в течение всего периода эксплуатации, и не терять своей способности нормально функционировать. Эксплуатация различных образцов ракетно-космической техники и их наземных комплексов, к какому бы классу они ни принадлежали, связана с высокими динамическими нагрузками, разнообразными по характеру и физической природе [30, 32, 33, 34]. Их действие проявляется на всех этапах, а именно, при транспортировке, хранении, боевом дежурстве, стартовом и полетном режимах. Характерными примерами таких нагрузок могут служить: возмущения при включении и отсечке двигателя, вибрации при его работе; вибрации и удары при транспортировке; мощное комбинированное возмущение на шахтно-пусковую установку при действии ядерного взрыва; акустические воздействия при старте ракеты-носителя из шахтно-пусковой установки и в зоне максимального скоростного напора; аэродинамические нагрузки при полете в атмосфере и так далее.

Рассмотрим некоторые характерные примеры. Первый из них является основным приложением предлагаемой методики, а второй используется в работе для иллюстрации предлагаемого аппарата в случае комбинированного внешнего воздействия. фланцы рефлектора и стержни конструкции

Указанная выше космическая система создается для дистанционного зондирования земли. Первым в ее составе появится перспективный малый космический аппарат с радиолокатором S-диапазона (рис.В.1). Функционально малый космический аппарат может быть разбит на три крупные составляющие: систему антенную с антенно-поворотным устройством, приборный негерметичный отсек (или универсальную космическую платформу) и двигательную установку. Все эти элементы, в конечном счете, в комплексе должны обеспечивать основные проектные параметры: суточную производительность и заданную полосу захвата радиолокатора. Суточная производительность является комплексной характеристикой и зависит от ряда факторов, таких как: располагаемая мощность, емкость запоминающего устройства, скорость радиолинии передачи специнформации, количества приемных пунктов и т.д. Полоса захвата радиолокатора обеспечивается путем его перенацеливания в диапазоне углов ±55 по углу крена, что позволяет делать съемку слева и справа от трассы полета. Перенацеливание обеспечивается механической системой сканирования, а именно антенно-поворотным устройством, которое вместе с рефлектором и облучателем входят в антенную систему. При этом точность привязки снимков к заданным координатам снимаемого объекта должна составлять десятки метров. Это и есть одно из самых жестких требований к конструкции антенно-поворотного устройства. С одной стороны, устройство должно обеспечивать достаточную жесткость, так как люфты в узлах вращения, прогибы элементов конструкции и так далее могут привести к недопустимым ошибкам привязки снимков. Суммарные ошибки в устройстве порядка 20 минут приводят к отклонению заданных координат, от фактически получаемых, на 4,8 километра! Это является абсолютно недопустимым, так как составляет значительную долю снимка. С другой стороны, антенно-поворотное устройство должно иметь максимально низкую массу, иначе будет возрастать масса спутника, понижаться возможности системы управления в поддержании заданной системы координат, повышаться энергозатраты на поддержание работ обслуживающих систем и, как следствие, понижаться тактико-технические характеристики всего спутника. Таким образом, антенно-поворотное устройство является одним из важнейших элементов конструкции малого космического аппарата, непосредственно связанного с выполнением тактико-технического задания и в тоже время наиболее сложным элементом конструкции в части его проектирования и расчетно-экспериментальной отработки.

Проведенный анализ нагрузок [29], заданных в единых нормах воздействующих факторов [30, 55, 68] (а именно, нагрузки: при транспортировке, при выведении на рабочую орбиту, при штатном функционировании на орбите), показал, что основным расчетным случаем при анализе прочности узлов антенно-поворотного устройства является разделение первой и второй ступеней ракеты-носителя. Дело в том, что в исходном (транспортном) положении углепластиковые трубы антенно-поворотного устройства сложены соосно продольной оси малого космического аппарата (рис. В.1). При этом рефлектор в сложенном состоянии с одной стороны своим фланцем жестко состыкован с фланцем одной из углепластиковых труб, а с другой опирается шарнирами своей стержневой конструкции на плоскость панели опорной, которую, в свою очередь, можно считать жестко закрепленной к универсальной космической платформе. Таким образом, положительные перегрузки воспринимаются опорной панелью, а отрицательные - узлами антенно-поворотного устройства. В результате расчета прочности узлов антенно-поворотного устройства [28], в некоторых из них, были получены крайне низкие коэффициенты запаса прочности, что потребовало либо доработки конструкции, либо расчетного уточнения напряженно-деформированного состояния путем построения более точных моделей системы и внешнего воздействия. Отметим, что именно решение задачи по уточнению напряженно-деформированного состояния при построении более адекватной модели внешнего воздействия и послужило, во многом, причиной разработки предлагаемой методики.

Для понимания причины появления столь интенсивных перегрузок рассмотрим упрощенную динамическую модель двухступенчатого конверсионного ракета-носителя с малым космическим аппаратом, изображенную на рисунке В.2.

Полет первой ступени продолжается 126.1 секунды, в результате чего, к моменту разделения первой и второй ступени достигается максимальная положительная продольная перегрузка. При выдаче «команды отсечка ДУ первой ступени» за 1.7 секунды происходит 95% спад тяги двигательной установки первой ступени, что вызывает значительные продольные упругие колебания элементов первой, второй ступени ракеты-носителя и малого космического аппарата. В настоящее время накоплен богатый статистический материал по параметрам внешнего воздействия как по результатам запуска данного типа ракеты-носителя, других ракет-носителей, использующих аналогичные двигатели, так и по результатам наземно-экспериментальной

Вторая ступень РН с космическим аппаратом

Первая ступень РН

Динамические гасители колебаний ч

Тяга двигательной установки

Рис. В.2. Упрощенная динамическая модель двухступенчатого конверсионного ракета-носителя с малым космическим аппаратом. отработки самих двигателей. Это позволяет построить для нестационарного, случайного, по своей сути, силового воздействия, возникающего при разделении ступеней, модели различной сложности. При этом наиболее простой и распространенной в инженерной практике является модель на основе принципа гарантированного результата и соответствующая огибающей всех возможных значений разброса тяги, то есть детерминированная функция времени. Известно, что такой подход закладывает заведомо завышенные требования к прочности конструкции. С другой стороны, в данном случае целесообразно использовать наиболее точную и естественную, с физической точки зрения, стохастическую модель, которая значительно точнее позволяет раскрыть возможности проектируемой конструкции, но связана с существенным усложнением постановки и решения задачи динамической прочности.

Модель всей системы описывается обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями, а ее размерность зависит лишь от необходимой точности расчетов. Внешнее воздействие является аддитивным. Таким образом, в случае детерминированного задания внешнего воздействия анализ конструкции сводится к решению неоднородной системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, тогда как в случае стохастического задания внешнего воздействия - к решению нестационарной нелинейной стохастической задачи.

Как известно, параметрические (мультипликативные) нагрузки различных элементов конструкций в ракетно-космической технике встречаются довольно часто, но во многих случаях динамическим эффектом их действия вполне обоснованно пренебрегают. Рассмотрим пример, где мультипликативное воздействие является существенным компонентом общей кинематической нагрузки на конструкцию.

На рисунке В.З представлена схема конструкции «защищаемый объект-система амортизации». Она построена на основе пневмогидравлических амортизаторов и представляет из себя перевернутый маятник с подвижной точкой опоры. Опорный элемент выполнен в виде перевернутого маятника и установлен на шаровой опоре, размещенной на корпусе, жестко связанном с подвижным основанием. Внутри опорного элемента находится амортизатор, шток которого связан с основанием опорного элемента, а на корпусе амортизатора закреплена стойка с платформой. На платформе устанавливается защищаемый прибор. Опорный элемент связан с подвижным основанием посредством амортизаторов. Таким образом, снижение вертикальной составляющей перегрузки осуществляется амортизатором, размещенном в опорном элементе, а горизонтальной - амортизаторами, связанными с подвижным основанием и опорным элементом.

Подвижное основание

Запцщаемый прибор

Опорный элемент

П невмогидравлические амортизаторы

Шток амортизатора

Шаровая опора комплексное воздушно-сейсмическое ударное воздействие

Рис. В.З. Схема конструкции «защищаемый объект-система амортизации»

Определение значений перегрузок при заданных параметрах амортизаторов сводится к анализу движения перевернутого маятника с подвижным основанием. Хорошо известно, что в подобных системах внешние динамические нагрузки, приложенные к подвижному основанию амортизированной системы, являются параметрическими [2, 9].

Внешнее воздействие представляет собой разновидность комплексного воздушно-сейсмического ударного нагружения с высокими энергетическими характеристиками. Воздействие такого типа может быть, в частности, сформировано в результате ядерного взрыва и являться следствием волновых процессов, различающихся по типу, по источнику возникновения и по среде распространения. Ряд параметров его расчетной модели, учитывающих условия распространения волн в среде, их взаимодействие между собой и т.д., может быть задан либо экспертным путем, либо на базе стохастических подходов. Таким образом, как и в предыдущем примере, мы сталкиваемся с двумя типами задания внешнего воздействия, то есть детерминированным и стохастическим.

Пренебрежение стохастическими свойствами внешних воздействий как использование принципа гарантированного результата, при всей его важности для расчетов, все же не позволяет в полной мере оценить возможности разработанной конструкции, например, в отношении ее напряженно-деформированного состояния. Это относится ко всему комплексу задач, которые решаются при разработке образцов ракетно-космической техники, в частности, к задачам динамической прочности, которым и посвящена настоящая работа.

Известно, что в инженерной практике для описания динамического поведения конструкций используются, как правило, модели с конечным числом степеней свободы. Способы приведения реальных объектов к таким моделям широко известны (метод конечного элемента, разложение по собственным формам и т.д.) хорошо себя зарекомендовали и не требуют пояснений. Очень часто такие модели содержат нелинейности различной физической природы (позиционные и скоростные характеристики амортизаторов, люфты и т.д.), игнорирование которых приводит к существенному искажению результатов. В полной мере это относится к системам, изображенным на рисунках В.2 и В.З.

Таким образом, расчетная модель конструкции, на основе которой строится методика и алгоритмы решения, формализуются в виде системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений достаточно высокого порядка с аддитивными и мультипликативными случайными нестационарными воздействиями.

Предварительно заметим, что вероятностные характеристики реальных внешних воздействий часто определены весьма приближенно, либо вообще неизвестны. В особенности, это касается нестационарных случайных процессов. Например, задаются только границы областей их возможных значений. Оригинальный подход, реализующий инженерный метод решения задач при указанном способе задания воздействия, предложен в работах [58, 57].

Целью настоящей работы явилась разработка эффективной методики вероятностного анализа динамической прочности нелинейной конечномерной модели конструкции при нестационарных случайных воздействиях и расчет с ее применением элементов антенно-поворотного устройства малого космического аппарата.

В настоящее время методы решения инженерных стохастических задач, в основном, сложились и весьма широко опубликованы, например [1,3, 16, 18, 19, 22, 23, 24, 35, 36, 44, 47, 48, 57, 58, 61, 66, 69, 70, 72, 74, 75], среди которых можно отметить основополагающие работы В.В.Болотина [10, 11]. Приведенный ниже краткий обзор, в большей степени, касается лишь результатов, относящихся к анализу нестационарных случайных процессов, потому что именно такими являются описанные выше расчетные модели.

Наиболее универсальным и принципиально простым является метод Монте-Карло или метод статистических испытаний, который широко описан в литературе [4, 13, 15, 24, 72]. В его основу положено многократное прямое интегрирование уравнений движения при всех реализациях случайных факторов с заданными статистическими характеристиками и последующей статистической обработкой результатов решения уравнений движения, что определяет искомые статистические характеристики движения системы. Главным его недостатком является чрезвычайно быстрое нарастание объема вычислений при увеличении требований к точности. Этот недостаток усугубляется необходимостью проведения многократных проектных расчетов при разработке конструкции. Кроме того, в случае нестационарных нагрузок, возникают существенные трудности при моделировании их реализаций. Тем не менее, метод оказывается чрезвычайно полезным при проверке разработанной методики на модельных задачах, когда есть возможность взять столько реализаций, чтобы считать решение практически точным.

Известный подход основан на использовании свойств марковских процессов [24, 49, 56, 62, 63, 78], которые имеют полное вероятностное описание в форме уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова. Поскольку многие реальные процессы, с той или иной степенью приближения, могут трактоваться как векторные марковские, данный подход является, в принципе, весьма общим. Эта общность, во многом, определяется возможностью решения задачи для воздействий более общего вида путем расширения фазового пространства исходной системы введением специальных дифференциальных уравнений фильтров, преобразующих белые шумы в реальные [11, 35]. Тем не менее, не касаясь пока проблемы определения операторов таких фильтров, отметим, что использование данного аппарата для систем с высокой размерностью фазового пространства связано с большими вычислительными трудностями и поэтому, практически, исключается в интересующих нас случаях. Задача может быть существенно облегчена путем перехода от уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова в частных производных к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно моментов или кумулянтов различных порядков [11, 17, 54]. Известны и другие пути получения подобных систем уравнений. Например, разложение нелинейностей, входящих в исходное уравнение движения, в степенные ряды с последующей операцией осреднения. Для практической реализации метода моментных функций требуется редукция к замкнутой системе конечного числа уравнений. В общем случае эта операция не имеет строгого обоснования и обычно производится с помощью каких-либо эвристических соображений. Например, на основе гипотезы нормальности или простым отбрасыванием «лишних неизвестных». Существенным недостатком метода моментных функций в таком виде является лавинное увеличение размерности разрешающей системы уравнений при вычислении определенного числа моментных характеристик возрастающего порядка. С инженерной точки зрения подобное увеличение никак не оправдано, поскольку приводит к получению избыточной информации, которая не требуется при решении реальных задач. Дело в том, что на практике обычно необходимо определить только небольшую часть всех моментных характеристик из общего числа, а система моментных уравнений содержит их значительно больше.

Эффективным инженерным подходом является метод статистической линеаризации [5, 11, 35, 54, 65, 72], который может быть применен и для существенно нелинейных многомерных систем при стационарных и нестационарных режимах работы. С помощью известной процедуры [35, 36, 65] линеаризованные уравнения трансформируются в замкнутую систему дифференциальных уравнений относительно вероятностных моментов первого и второго порядков.

Основное допущение метода статистической линеаризации заключается в близости законов распределения на входах в нелинейные элементы к нормальному. Это допущение для рассматриваемого класса систем в большинстве случаев выполняется, поскольку объекты амортизации, а очень часто, и элементы системы амортизации, имеют большие массы. Таким образом, динамическая система, в целом, обладает высокими фильтрующими свойствами и поэтому эффект нормализации законов распределения фазовых координат во многих случаях проявляется достаточно отчетливо. Вместе с этим, следует отметить, что в переходных нестационарных режимах функционирования ударного типа, когда значения фазовых координат изменяются в значительно более широких пределах, чем в стационарных, можно все же ожидать существенного искажения законов распределения, что требует дополнительного анализа.

Остановимся особо на серьезной трудности, связанной с рассмотрением нестационарных процессов и встречающейся, в том или ином виде, при решении стохастических задач любым из указанных выше методов. Для применения метода Марковских процессов необходимо, чтобы все случайные функции, входящие в уравнение движения, были белыми шумами. Это же условие требуется для получения моментных уравнений после статистической линеаризации [35, 36, 65]. Как уже отмечалось, выход из положения заключается в использовании фильтров. Известно, что оператор фильтра легко идентифицировать, если реальный процесс стационарный (или квазистационарный) и имеет дробно-рациональную спектральную плотность. В противном случае, в особенности, для нестационарных процессов, задача чрезвычайно сложна и в настоящее время в общем виде не решена. Кроме этого, уравнения увеличивают порядок исходной системы уравнений.

Обратимся теперь к иной группе методов, позволяющих получить приближенное решение, если стохастичность математической модели определяется исключительно случайными параметрами. Известные методы канонических [15, 16, 51, 52, 53] и неканонических разложений позволяют идентифицировать в рамках корреляционной теории случайный процесс либо рядом со случайными параметрами с детерминированными, зависящими от времени коэффициентами (координатными функциями), либо нелинейными алгебраическими выражениями. Не останавливаясь на других особенностях таких разложений, заметим, что их практическая реализация возможна только для стационарных или квазистационарных функций. С другой стороны, такая аппроксимация производится на основе частных приемов в конкретных задачах. Например, это можно сделать для модели воздушно-сейсмического ударного воздействия на сооружения, взяв за основу известную параметрическую методику, используемую при расчете фортификационных сооружений.

Другая группа методов основана на представлении фазовых координат в виде явной полиномиальной зависимости от случайных параметров. После того, как подобная зависимость получена, нахождение вероятностных характеристик значительно упрощается. Существуют два подхода к вычислению коэффициентов полинома: разложение в степенные ряды и интерполяция. В первом случае основная задача заключается в определении коэффициентов разложения функций чувствительности. Известным приемом, широко описанным в литературе [61], является дифференцирование уравнений по параметрам. В результате образуются цепочносвязанные системы дифференциальных уравнений относительно функций чувствительности. При большом их количестве задача становится слишком громоздкой и резко возрастает объем вычислений, в особенности, для функций чувствительности второго порядка. С другой стороны, для инженерных приложений этот аппарат оказывается излишне информативным, так как в большинстве практических задач требуется определение чувствительности только некоторых фазовых координат и не по всем параметрам. В работе [42] предлагается подход во многом лишенный этих недостатков. В рассмотрение вводится вектор инвариантов новых переменных, которые не зависят от функций чувствительности. При этом любая из них (первого или второго порядка) независимо друг от друга выражается в интегральной форме через указанные переменные.

Реализация интерполяционного подхода может быть различной, но, по-видимому, наиболее удобным, с вычислительной точки зрения, и рациональным в отношении точности является метод, предлагаемый в [61, 69]. Интерполяционный полином строится на базе формулы Лагранжа. В качестве узлов интерполяции используются корни ортогональных полиномов, за весовые функции которых выбраны плотности вероятности случайных вариаций параметров. Доказывается, что это обеспечивает минимум математического ожидания ошибки аппроксимации при фиксированном числе узлов интерполяции. Недостаток, существенно снижающий ценность подобного метода, заключается в чрезвычайно быстром росте вычислений, с увеличением количества случайных параметров. Уже при относительно малом числе параметров и узлов, объем вычислений практически такой же, как при использовании метода статистических испытаний.

В настоящей работе предлагается достаточно общая методика определения моментных характеристик фазовых координат динамических систем, математические модели которых приводятся к системам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с аддитивными и мультипликативными случайными воздействиями, заданными в рамках корреляционной теории. Предлагаемый аппарат не требует приведения реальных случайных процессов к белым шумам, по этой причине на внешние воздействия не накладываются никакие ограничения. Методика основана на статистической линеаризации нелинейностей и определении первого и второго моментов фазовых координат линеаризованной системы через фундаментальные матрицы [20, 64]. При этом с вычислительной точки зрения фундаментальная матрица линеаризованной системы трактуется как мультипликативный интеграл, что приводит к аналогичной трактовке и матрицы Грина. Заметим, что в этом случае, для статистически линеаризованных уравнений, в принципе, не может быть применен известный и широко описанный в литературе, например [58], метод вычисления матрицы Грина, заключающийся в интегрировании сопряженной системы уравнений в обратном времени.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, приложений и списка литературы.

Основные выводы и результаты

1. Разработана инженерная методика вероятностного анализа динамической прочности нелинейной конечномерной модели конструкции при аддитивных и комбинированных нестационарных случайных внешних воздействиях.

2. Представление фундаментальной матрицы линеаризованной системы в форме мультипликативного интеграла позволило обойти существенную сложность, связанную с зависимостью матрицы коэффициентов линеаризованного уравнения от искомых моментных характеристик.

3. В процессе решения не требуется преобразования исходного уравнения к каноническому виду, то есть отпадает необходимость в использовании формирующих фильтров.

4. Показано, что разработанный алгоритм обеспечивает такую же точность вычисления вероятностных характеристик, как и метод моментов, при этом, позволяет решать задачи с нестационарными случайными воздействиями.

5. Эффективность предлагаемой методики, использующей статистическую линеаризацию при нестационарных переходных режимах функционирования, проиллюстрирована с применением метода статистических испытаний.

6. Расчет динамической прочности наиболее нагруженных элементов антенно-поворотного устройства космического аппарата с учетом случайности внешнего воздействия позволил лучше оценить возможности конструкции и более точно определить коэффициенты запаса прочности.

7. На основе предлагаемого алгоритма разработан пакет прикладных программ, позволяющий анализировать динамику нелинейных моделей конструкций ракетно-космической техники при различных нестационарных случайных нагрузках.

1. Алексеев В.Г. Исследования по статистическому анализу стационарных и некоторых классов нестационарных случайных процессов: Автореф. дис. .д-ра физ.-мат.наук. - Москва, 1995. - 18 с.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Физматгиз, 1959. 913с.

3. Астапов Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. -М.: Наука, 1982. 304с.

4. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. -М.: Мир, 1982.-488 с.

5. Батков A.M., Щукин Б.А, Оптимальное управление, основанное на методе статистической линеаризации // Современные методы проектирования систем автоматического управления. 1967. - С.545-565.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1969. 368с.

7. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. -М.: Мир, 1971.-403с.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. -М.: Мир, 1989.-540 с.

9. Бидерман B.J1. Прикладная теория механических колебаний. -М.:1. Высшая школа, 1972. 416с.

10. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. -М.: Стройиздат, 1971. 255с.

11. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. -М.: Наука, 1979. 336с.

12. Бурнашев М.И. Генераторы случайных и псевдослучайных чисел на микропрограммируемых БИС: Автореф. дис. на .канд. техн. наук. Казань, 1992.- 15 с.

13. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний. -М.: Наука, 1961.-226с.

14. Быков В.В Цифровое моделирование в статистической радиотехнике.

15. М.: Советское радио, 1971. 326с.

16. Венцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Высшая школа, 1998. 574с.

17. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. -М.: Высшая школа, 2000. -383 с.

18. Вибрации в технике: в 6 томах / Под общ. ред. В.Н.Челомея -М: Машиностроение, 1978. Т.1. - 352с.

19. Вибрации в технике: в 6 томах / Под общ. ред. В.Н.Челомея -М.: Машиностроение, 1978. Т.2. -300с.

20. Вибрации в технике: в 6 томах / Под общ. ред. В.Н.Челомея -М.: Машиностроение, 1978. Т.З. - 290с.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1988. 548с.

22. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. -М.: Наука, 1988. 443с.

23. Гусев А.С. К анализу переходных режимов случайных колебаний. //Изв. вузов. Машиностроение. 1972.-№1.-С.10-14.

24. Гусев А.С., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. -М.: Машиностроение, 1987. 240с.

25. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. -М.: Наука, 1980. 368с.

26. Драгун Д.К., Иванин В.Я., Левашев В.Н. Пневмогидравлические амортизаторы технологического оборудования. -М.: Министерство обороны СССР, 1981.- 128с.

27. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. -М.: Наука, 1976.-319с.

28. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. -М.: Наука, 1982.-340с.

29. Изделие 14М055. Расчет на прочность. Прочность AC. 14М055-0000-0Р14: КД / ОАО «ВПК «НПО машиностроения»; Шифр темы 14К030; Инв.№280/06 М., 2006. - 68с.

30. Изделие 14Ф133. Расчет нагрузок. 14Ф133-0000-0Р03: КД / ОАО «ВПК «НПО машиностроения»; Шифр темы 14К030; Инв.№206/03 М., 2006. - 51с.

31. Изделие 14Ф133. Технические условия. Часть 3. Единые нормы внешних воздействующих факторов. Книга 1. 14Ф133-0000-0ТУ2: КД / ОАО «ВПК «НПО машиностроения»; Шифр темы 14К030; Инв.№416 М., 2003.-25с.

32. Изделие 30201-14А036. Расчет динамический. 30201-14А036-0000-0Р05-1: КД / ОАО «ВПК «НПО машиностроения»; Шифр темы 14А036; Инв.№554/03 М., 2003. - 73с.

33. Изделие 30201-14А036. Расчет нагрузок. 30201-14А036-0000-0Р03: КД/ ОАО «ВПК «НПО машиностроения»; Шифр темы 14А036; Инв.№224/03-М., 2003.-73с.

34. Ильченко Ю.Е., Кулакова К.П., Зуев Н.Н. Разработка расчетных условий нагружения и динамических моделей ракеты-носителя «Протон» для случаев старта и разделения 1-Й/2-Й ступеней // Вестник МАИ. 1999. - Т. 2, №2. - С.45-56.

35. Ильченко Ю.Е., Кулакова К.П. Расчетные исследования упругих колебаний и динамических нагрузок на летательные аппараты // Техника воздушного флота. 1997. - Т. LXXI, №5(628). - С.9-14.

36. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. -М.: Наука, 1975. 432с.

37. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. -М.: Наука, 1983. 384с.

38. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ: Получисленные методы. -М.: Мир, 1977. Т.2. - 724с.

39. Колесников К.С. Динамика ракет. -М.: Машиностроение, 1980. 375с.

40. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. -М.: Наука, 1966.-317с.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1968. 720с.

42. Корн Г. Моделирование случайных процессов на аналоговых и аналого-цифровых машинах -М.: Мир, 1968.-308с.

43. Коростылев А.В., Тушев О.Н. К задаче параметрической чувствительности динамических систем // Изв. РАН. Механика твердого тела. -2005.-№3. -С.34-41.

44. Крамер Г. Математические методы статистики. -М.: Мир, 1975. 648с.

45. Красовский А.А. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. -М.: Наука, 1968. -240с.

46. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. -М.: Наука, 1977. Т.2. - 340с.

47. Крысько В.А., Бочкарев В.В. Стохастические нестационарные колебания в системе двух связанных балок // Теория оболочек и пластин: Тр. 18-ойМежд. конф.-Москва, 1997.- С.155-159.

48. Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. -М.: Машиностроение, 1983. 264с.

49. Основы автоматического управления / Под ред. В.С.Пугачева М.: Наука, 1974.-680с.

50. Первозванский А.А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. -М.: Физматгиз, 1962. 352с.

51. Прохоренков A.M., Качала Н.М. Использование методов нечеткой логики для определения классификационных характеристик случайных процессов//Вестник МГТУ. Машиностроение. -2006. -Т.9, №3. -С.514-521.

52. Пугачев B.C. Введение в теорию вероятностей. -М.: Наука, 1968. -368с.

53. Пугачев B.C. Теория случайных функций. -М.: Физматгиз, 1962. 883с.

54. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979.-296с.

55. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. -М.: Машиностроение, 1974. 400с.

56. Разработка и выпуск частных норм прочности для малого космического аппарата при его изготовлении в мелкосерийном и единичном вариантах / ФГУП ЦНИИМАШ; Шифр темы 14К030; Инв.№679/04- М., 2004.-35с.

57. Розанов Ю.А. Случайные процессы. -М.: Наука, 1971. 288с.

58. Светлнцкнй В.А. Случайные колебания механических систем. -М.: Машиностроение, 1991.-316с.

59. Светлицкий В.А. Статистическая механика и теория надежности. -М.: МГТУ им. Баумана, 2002. 503с.

60. Сергеев Н.Н. Цифровые полисинхронные генераторы случайных чисел: Автореф. дис. канд.техн.наук. -Казань, 1991. 17с.

61. Современная математика для инженеров / Под общ. ред. Э.Ф.Беккенбаха -М.: Иностранная литература, 1958. 500с.

62. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления. / Под общ. ред. В.Г.Доступова. М.: Машиностроение, 1970.-406с.

63. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. -М.: Радио и связь, 1982. -624с.

64. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. -М.: Советское радио, 1977.-488с.

65. Тушев О.Н. Матричный метод определения функций чувствительности динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 1986. - Т. XXIX, №2.1. С. 15-21

66. Тушев О.Н., Кочетков O.J1. К анализу динамики конструкций при случайном нагружении // Изв. вузов. Машиностроение. 1985. -№3. - С.9-14.

67. Цветков Э.И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. -М.: Энергия, 1973,- 129с.

68. Цветов М.А. Моделирование и оценивание составляющих аддитивно-мультипликативных случайных процессов: Автореф. дис. .канд.техн.наук. -Ульяновск, 1990. 23с.

69. Частные нормы прочности для малого космического аппарата при его изготовлении в мелкосерийном и единичном производстве: КД/ФГУП ЦНИИМАШ; Шифр темы 14К030; Инв.№679/04 М., 2004. - 64с.

70. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. -М.: Машиностроение, 1968. 247с.

71. Booton R.C. Nonlinear control systems with random inputs // Trans. JRE. Profes. group on cirquit theory. 1954. - №1. - P. 9-18.

72. Dunkan D.B. Response of linear timedependent system to trandom inputs. //Journ. Appl. Phys. 1953. - №24. - P. 609-611.

73. Lei Z., Quill C. An equivalent nonlinearization method for analyzing response of non-linear system to random excitations. // Applied Methem. and Mech. Springer Netherlands. 1997. - V. 18, №6. - P. 551 -561.

74. Marsaglia G. и Zaman A. Toward a Universal С Random Number Generator by George Marsaglia and Arif Zaman // Florida State University Report. 1987. -№87.-P. 50-53.

75. Minj Z. Time domain modal analisys for non-stationary random of nonlinear system // Yingyoj lixue xuebao Chin. J. Appl. Mech. 1997. - №1. -P. 36-41.

76. Nerstek M. Non-linear self-excited random vibraton and stability of an SDOF system with parametric noises // IEEE Transactions on instrumentation and measurement. 1998. - №3. - P. 267-277.

77. Prokhorenkov A.M. Methods for identification of random process characteristics in information processing systems // IEEE Transactions on instrumentation and measurement. 2002. - V.51, N 3. - P. 492-496.

78. Rubin W., Kimihike V. Stationary probability density of a class of nonlinear dynamical system to stochastic excistation. // Forschung im Ingenieuzwesen. 1997. - Bd. 63, №5. - S. 158-160.