автореферат диссертации по электронике, 05.27.02, диссертация на тему:Проблемы расчета интенсивных электронных пучков и точности программ траекторного анализа

ВСЕРОССИЙСКИП ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. И. ЛЕНИНА

ВЛШКОВСКИИ Аркадий Васильевич

ПРОБЛЕМЫ РАСЧЕТА ИНТЕНСИВНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ И ТОЧНОСТИ ПРОГРАЛШ ТРАЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Специальность 05.27.02 — Вакуумная и плазменная электроника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Москва — 1994

Работа выполнена в государствепнсш научно-производственном предприятии «Торий».

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

— доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник СЫРОВОИ В. А.

— доктор технических паук, старший научный сотрудник НЕВСКИЙ П. В.

кандидат технических наук ДХАЙ-В. И.

— Институт прикладной физики РАН.

Защита состоится « ■11 1994 г. в 10 час.

на заседании специализированного совета Д 143.04.01 Всероссийского электротехнического института им. В. И. Ленина по( адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, 12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЭИ.

Автореферат разослан « В » ^ ^— 1994 г.

Ученый секретарь специализированного^ сов< кандидат технических наук, /Л старшин научный сотрудн1

СЬгЛ^О,. СОБОЛЕВА

Общая характеристика работы.

Актуальность темы, в различных отраслях народного хозяйства

и научных исследованиях находят широкое применение устройства, использующие электронные и ионные пучки. Знание структуры потока (геометрических размеров, распределения плотности тока по сечению, энергии) является необходимый при проектировании таких устройств. Экспериментальное исследование пучка, а также экспериментальная отработка систем формирования и траспортирозки потока требуют большого количества времени и материальных затрат. Отсюда вытекает необходимость математического моделирования, причем с больпкн точностью.

Одним из этапов расчета потоков является вычисление распределения потенциала и электрического поля в рассматриваемой системе электродов. Решение полевой задачи проводится методами сеток, конечных элементов, интегральных уравнений. Использование метода сеток требует большого объема оперативной памяти ЭВМ и дает низкие скорости сходимости при большом числе узлов сетки и высокой точности. Недостатком метода является невозможность расчета а областях с незамкнутыми границами, что приводит к необходимости искусственного замыкания границы области в таких задачах. Метод конечных элементов требует несколько меньшего числа узлов, чем метод сеток, позволяет более точно учесть

граничные условия и сгущать сетку конечных элементов вблизи мелкомасштабного электрода. Для этого метода также требуется замкнутая граница области. Метод интегральных уравнений отличается высокой точностью и возможностьюшлучения решения только в интересующей нас части области, что особенно важно при расчете пучков, занимающих малую часть межэлектродного пространства. Однако для него характерна потеря точности в случаях, когда необходимо рассчитать поле и потенциал вблизи источника поля. Такие ситуации возникают при анализе электронных пучков вблизи электродов.

Разработка метода решения полевой задачи, обладающего высокой точностью, в том числе и вблизи электродов, и не требующего замыкания границы области, представляет собой актуальную задачу. Таким методом является метод вспомогательных зарядов.

При численном интегрировании,и приближенных подходах возникает вопрос - насколько близко полученное решение к истинному. Существующие программы траекторного анализа, использующие модель плоского диода и прямоугольные сетки, дают хорошие результаты при расчете первенства и формы огибающей пучка. При расчете же распределения плотности тока по сечениям пучка ошибка не поддается оценке. Поэтоцу возникает вопрос о необходимости тестирования программ траекторного анализа. Чтобы судить о точности программ и области их применения, должны быть некие эталоны. В качестве таковых можно использовать точные решения. Для тестирования программ численного анализа должен быть набор эталонов, так как на практике необходимо решать задачи с различными характерными чертами. Это - криволинейный катод, неоднородная плотность тока на нем, большая компрессия цучка,. протяженность потока, релятивистские потоки, наличие внешнего

неоднородного магнитного поля, криволинейные траектории. Отдельное точное решение не обладает всеми этими чертами, в одном случае оно может служить эталоном, в другом - нет. Впервые идея тестирования на наборе эталонов была высказана П.И. Акимовым, Г.П. Оси-повой, В.А. Сыровым и Л.П. Шантуриным (19Ь9г.). Точные решения стационарных электростатистических потоков получены Кирштейном в 1956 г., наиболее полное построение точных решений на основании исследования групповых свойств уравнений пучка проведено В.А. Сыровым. Изучены же точные решения не полностью.

Исследование точных решений и формулирование проблем тестирования программ траекторного анализа представляет собой актуальную задачу.

Цель работы. Целями диссертационной работы являются:

1. разработка метода вспомогательных зарядов для нахождения распределения потенциала и электрического поля в системе электродов заданной формы с заданными потенциалами;

2. исследование точных нерелятивистских двухмерных и трехмерных электростатических решений, релятивистских стационарных и нестационарных точных решений, формулирование проблем тестирования.

Методы исследования. При выполнении, работы использованы методы математической физики и численного анализа.

Достоверность результатов. Достоверность результатов подтверждается совпадением полученных результатов с априорно известными.

Научная новизна.

I. Предложен и разработан метод вспомогательных зарядов для расчета потенциала и электрического поля в области, в которой отсутствуют электрические заряды. Ошибка метода менвше Ю-^, в том числе и на поверхности электродов. Такая точность дости-

гается за счет расположения вспомогательных зарядов на расстояниях от поверхности электродов, равных или несколько больших расстояний между точками на поверхности электродов, в которых заданы значения потенциала. Метод не требует замыкания границы области.

2. Метод может быть использован для расчета распределения магнитного поля по данным измерений.

3. В работе сфэрмулнрованы проблемы тестирования и предложены пути их реализации. Исследованные точные решения стационарного электростатического и стационарного релятивистского пучков дополняют набор эталонов для тестирования программ численного анализа.

Научные положения.

1. Метод вспомогательных зарядов, позволяющий рассчитать потенциал и напряженность лапласовского поля с погрешностью не хуже Ю-^,

в том числе и около электродов.

2. Метод вспомогательных зерэдсв, позволяющий рассчитать распределение магнитного поля с погрешностью, не превышающей погрешности измерения магнитного поля на границе.

3. Набор эталонных £.дач для тестирования приближенных и численных методов.

Практическая ценность. Разработанные программы для расчета потенциала и электрического поля, базирующиеся на методе вспомогательных зарядов, обладают высокой точностью. Они могут найти применение для всего комплекса электронно-оптических задач. Метод вспомогательных зарядов использован в программе траекторного анализа ЭПОСР, созданной в Нижегородском государственном университете и Институте прикладной физики РАН. Набор эталонных задач в принципе позволяет создать программы анализа нового поколения.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 1У, УП, МП, IX Всесоюзных семинарах по методам расчета электронно-оптических систем.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ, I работа находится в печати.

Объем работы. Диссертация состо/.т из введения, пяти глав и заключения, содержит 144 страницы машинописного текста, в том чксле 116 рисунков. Список литературы включает ЬО наименований.

Краткое содержание.

Во введении обусловлена целесообразность проведения работы и сформулированы цели. Ввиду трудоемкости экспериментальной отработки систем формирования и транспортировки электронного потока возникает необходимость математического моделирования электронных пучков. Существуют три направления моделирования. Это -численное интегрирование уравнений поля и цучка, точные решения уравнений потока и приближенные подходы. К первому направлению можно отнести методы сеток и конечных эламентов, метод интегральных уравнений, метод крупных частиц. Дается краткое описание каждого из методов, проводится оценка точности, отмечаются достоинства и недостатки каждого из методов. Формулируется целесообразность разработки метода расчета поля, обладающего высокой точностью, в том числе и около электродов.

Существующие в настоящее время программы траекторного анализа, использующие модель плоского диода и прямоугольные сетки, не позволяют с необходимой для практики точностью получить информацию о детальной структуре потока. В работе П.И. Акимова, Г.П. Осиповой и В.А. Сырового приведены примеры, подтверждающие это. Сами программы траекторного анализа нуждаются в оценке их точности и области применения. Для этого необходимы эталоны. В качестве таковых могут служить точные решения.

В первой главе описывается метод вспомогательных зарядов. Одним из методов нахождения полей является метод интегральных

- ь

уравнений. Чтобы обойти вычислительные трудности, связанные с особенностью ядра интегрального уравнения, в работе В.В. Пен-зякова (1966г.) непрерывное распределение заряда на поверхности электродов заменяется суммой дискретных зарядов. Величины этих зарядов определяются по заданна значениям потенциала в определенных точках поверхности электродов. Однако, замена непрерывного распределения заряда на поверхности электродов дискретным приводит к тоцу, что вычисленные эквипотенциальные поверхности вблизи электродов получаются волнистыми. Кроме того, в точках расположения зарядов величина потенциала стремится к бесконечности. Чтобы избежать этого, возьмем кацую-то систему зарядов, расположенных на поверхности, окружающей нашу систему электродов, и выберем их величины так, чтобы в выбранных точках на поверхности электродов потенциал, созданный взятой системой зарядов, принимал нужные значения. Выражение для потенциала в осесимметричном случае будет следующим

Здесь - координаты точ«к расположения зарядов,

К (к) - полный эллиптический интеграл первого рода,

поверхности электродов значения потенциала его значениям из формулы (I)

К(к) ,х hlli

( I )

Gi¿ - величины вспомогательных зарядов. Величины Q¿ можно определить, приравняв в точках Ъщ^т на

= aL при % и 2 =2Щ.

Расположение этих зарядов мошо выбирать свободно относительно заданной системы электродов. Этим обстоятельством мсгно гослоль-зоваться для того, чтобы выбрать это расположение таким образом, что несмотря на дискрэтно'сть граничных условий, значения потенциала на заданных поверхностях будут выдерживаться с высокой степенью точности. С этой целью заряды следует располагать на расстояниях, равных или несколько больших расстояний между точками на поверхности электродов, в которых заданы значения потенциала. В работе приводится таблица с вычисленными значениями потенциала вдоль электродов адиабатической электронной пушки, из которой видно, что отклонения вычисленных значений от точных состааляют доли процента.

Дифференцирование выражения (I) по координатам 2. к Ъ дает выражения для соответствующих составляющих электрического поля.

В качестве примера использования метода приведен расчет траекторий электронов з адиабатической электронной пушке и следующей за ней линзе.

Метод вспомогательных зарядов можно использовать и для нахождения распределения потенциала з области, ограниченной электродами, бесконечными вдоль одной из осей декартозой системы координат, например, оси 2 . В этом случае потенциал зависит только от двух координат х,у. Тогда для нахождения распределения потенциала можно воспользоваться системой заряжениях нитей, бесконечных вдоль оси 2 и находящихся вне рассматриваемой области. Выражение для потенциала, создаваемого этой системой з точке х,у, имеет вид

IТСъяУТЛЪ«-- / >

где 0.1 - заряд на единицу длины I -й нити,

х1> ~ кординаты I -й нити. Приравняв это выражение в// точках хт .у,,, на поверхности электродов точным значениям , получим систецу алгебраических уравнений порядка N . Решив эту систему, находим величины погонных зарядов каждой нити. При выборе местоположения нитей относительно поверхности электродов следует руководствоваться теми же соображениями, что и для осесимметричного случая. Приводится пример расчета плоскосимметричной системы.

Метод вспомогательных зарядов мояет быть использован для

вычисления магнитного поля вцутри области. Если внутри области

нет источников поля, то магнитное поле может быть выражено

—г

через скалярный магнитный потенциал Н --^¡лсСф , удовлетворяющий уравнению Лапласа А'у-0 . На границе области, внутри которой ищется магнитное поле, измеряется нормальная составляющая напряженности магнитного поля . Нахождение поля тогда сводится к задаче Неймана .для уравнения Лапласа, Эта задача может быть решена сиспользованием метода вспомогательных зарядов. В точках, в которых измерялась нормальная составляющая напряженности магнитного поля, проводятся перпендикуляры, на которых вне области помещаются точечные магнитные заряды. сдучае, если система обладает осевой симметрией, вместо точечных берутся кольцевые заряды. Тогда

(3)

Величины зарядов СЬ находятся из системы алгебраических урав-

:ений

N ¿»£

еличины-Н2 и Нг вычисляются путем эифференцирования (3) по оответствующей координате, с^щ^щ- углы между нормалью а очке граничной поверхности *Ът , 2т и координатными осями, ычислив ^ , находим составляющие напряженности магнитного оля з любой точке внутри области.

Приводится решение методической задачи. Показано, что огрешность решения не превышает долей процента.

Из теории потенциала известно, что погрешность решения здач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа не превышает □грешности вычисления потенциала на границе области. Отклонение ычксленных значений потенциала на границе области от точных течений составляет доли процента. Следовательно, сшибка при хчкслент потенциала внутри области так:-';:"! но будет превышать злей процента.

Вторая г.~:ава посвя'дена исследованию точных репений уравне-гл стационарного электростатического пучк.а. Резения с разде-тощимися переменней уравнений стационарного электростатичес-нугка, удовлетворяющие условиям термоэккссии «•> ? тодз, в таблице.

Т-1--1-

! Ы ! V ! V

1 1° !■ е"* У(х)

1 2° | 1 ^о-^уг.' !

! з°

е^Ч- ч(р)

!

В таблице обозначг-но: V - вектор скорости,

- скалярный потенциал и плотность пространственного заряда, Х»У>£ - декартовы координаты,

- цилиндрические координаты, ~ спиРальные Цилиндрические координаты, ~ сферические координаты, ~ К0"0'1'3"1". .

Гидродинамические уравнения пучка в безразмерной форме имеют вид

ъоЬтГ-О, V 7^*0,

Если в эти уравнения подставить искомые функции в виде I0- 5°, то для 1/ ,<ф ,6" получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Вблизи эмитирующей поверхности существует особенность, заключающаяся в том, что плотность пространственного заряда при приближении к катоду стремится в бесконечность. Чтобы отойти от этой особенности, для каждого из решений 1°-5° построены прикатодные разложения. Для всех параметров потока получены выражения, в которых етепенная особенность, соответствующая реж*щу полного пространственного заряда, выделена в виде множителя перед целочисленным рядом. Эти выражения имеют вид

Коэффициенты ¿ядов вычисляются после подстановки выражений для параметров потока в системы дифференциальных уравнений и приравнивания членов при одинаковых степенях о .

Системы дифференциальных уравнений для решений I0- 5° интегрировались численно. Для каждого из них получены траектории и эквипотенциали внутри пучка, а также поведение функций Ф , Ц, ,1/", & от V в широком диапазоне изменения параметров, определяющих поток. Решения 3° и 5° описывают трехмерные потоки. Рассмотрены как плоские течения 4 = 0; о(.= 4 0),

так и общие случаи (о!. 4 0, 4 0).

Для каждого из двухмерных точных решений решена внешняя задача. Внешняя задача синтеза основана на методе аналитического продолжения уравнений пучка и уравнения Лапласа в комплексное пространство, сравнение Лапласа является уравнением эллиптического типа, задача Коши в классическом смысле для него некорректна. При аналитическом продолжении система уравнений для поля преобразуется в систему гиперболического вида. Задача Коши для такой системы становится корректной. Метод Харкера (1960г.) модифицирован Ш.Е. Цимрингом, В.Н. Мануйловым и В.К. Лыгиным (1977г.) и реализован в виде программы для расчета формирующих электродов как для плоских, так и для осесимметричных потоков, которые описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Для использования программы достаточно привести уравнения пучка к системе уравнений для координат частиц и составляющих электрического поля на траектории. Метод решения внешней задачи основывается на представлении всех функций в декартовой или цилиндрической системах координат." При решении внешней задачи в какой-либо другой системе координат, например, связанной формой эмиттера, необходимым этапом является перевод к одной

из эталонных систем R ,2 или х,у.

Для потоков, описываемых решениями 1° - 5°, рассчитаны формирующие электроды при различных значениях иараметра о<, .

Третья глава посвящена исследованию точных решений уравнений релятивистского электронного цучка. В 1963 г. В.А. Сыровым было показано, что к системе обыкновенных дифференциальных уравнений сводятся уравнения релятивистского электронного пучка, записанные в цилиндрической и спиральной цилиндрической системах координат. Уравнения пучка в векторной форме имеют вид

у^рг = -ьоЬР-О, -ю^Н, о1*Я'0,

В цилиндрической системе координат функциональный вид решения следующий

1^=11(ч>)) р=р(ч>)/^

Б спиральной цилиндр/.ческой системе вид решения имеет вид 1Гр*и,(г\ ТГГ1Г(Р), р-е^т,

ГЬсле подстановки решений в систему уравнений в частных производных, последние переходят в системы обыкновенных дифференциальных уравнений.- Для обоих решений построены прикатодные разложения. Главный член разложения, отвечающий режиму полного пространственного заряда, выделен в гиде множителя перед рядом с параметром разложения 'С • Эти разложения имеют вид

г= гъп ),

Коэффициенты ^ , М-к. » ^ , , Ь< , ±к , , ¿!к вычисляются после подстановки этих выражений в системы дифференциальных уравнений и приравнивания членов при одинаковых степенях .

Системы уравнений, описывающие потоки, интегрировались численно. Для обоих течений получены проекции траекторий на плоскости х,у и у,й при различных значениях тока 1о и внешнего магнитного поля Мо. При отсутствии внешнего магнитного поля течение плоское, при его наличии появляется снос пучка вдоль оси 5- , тем больший, чем больше Мо. Исследовано поведение функций, описывающих пучок, от V при тех же значениях 1о и Мо.

При решении внешней задачи в общем случае помимо нахожде-

'"V

ния форта электродов, формирующих пучок, приходится решать задачу о распраделении магнитного поля вне пучка. Эта задача вытекает из того, что в релятивистском случае у пучка есть собственное магнитное поле. Компоненты магнитного поля должны переходить границу без скачка, иначе будет иметь место скачок сил. Векторый потенциал магнитного поля и его нормальная производная на границе пучка дол?шы быть непрерывны.

Для рассматриваемых течений задача упрощается. Во-первых, собственное магнитное поле имеет только 3 -компоненту, во-вторых, это магнитно? поле вдоль траектории однородно. Отсюда следует, что магнитное поле вне пучка тоже однородно.. Тогда решение вне-шйей задачи сводится только к нахождению электродов, формирующих пучок.

При решении внешней задачи использована та же методика,

что и для стационарных нерелятивистскихх пучков. Для релятивистских потоков, описываемых решениями в цилиндрической и спиральной цилиндрической системах координат,■рассчитаны формы электродов.

В четвертой-главе исследуются точные решения уравнений нестационарного релятивистского пучка. Б работе Б.А. Сырового (1967г.) было показано, что существуют два точных решения уравнений нестационарного релятивистского пучка. Одно решение выявлено при рассмотрении системы уравнений пучка в декартовой системе координат х,у, и зависит только от координаты х, другое - б цилиндрической системеР,1^, % и зависит только от координаты £ .

Уравнения цучка. в векторной форме имеют вид

Функциональный вид решения следующий

ОС

где ^ = для декартовой системы и ^ = л,ля иилин-Фи-ческой системы.

После подстановки решений в исходную систему получаем системы дифференциальных уравнений. Исследование их показывает как происходит распад релятивисяого пространственного заряда.

Б пятой главе рассматриваются проблемы тестирования. Рассмотренные выше точные решения дополняют набор эталонов для тестирования программ, основанных на численных и приближенных методах. Чтобы использовать точные решения в качестве эталонов, необходимо внести изменения в сами программы траекторного анализа.

Для постановки эталонной задачи необходимо точно задать формы эквипотенциален. При работе с программой, использующей метод сеток, необходимо замкнуть границу области. Отсюда первая проблема - программа должна позволять описывать криволинейные электроды, в том числе и криволинейный катод. Вторая проблема -это вычисление распределения потенциала вдоль границы области и его задание.

Из решения внутренней задачи для точных решений известны все параметры потока - траектории, скорости частиц, распределения плотности тока и потенциала. Мерилом точности при тестировании программы траекторного анализа может служить степень отличия этих параметров от точных значений.

Для трехмерного случая точное решение внешней задачи отсутствует. Тогда для тестирования можно взять вырезку из потока, описываемого точными решениями в цилиндрической или сферической системах координат. Эту вырезку удобно сделать координатными поверхностями. Одна из граней этой вырезки - катод. Из решения внутренней задачи находим распределение потенциала вдоль остальных граней. Программа анализа должна позволять задавать такое распределение. Из решения внутренней задачи известны также координаты и скорости частиц, проходящих через каждую грань, распределения плотности тока и потенциала внутри вырезки.Мерило:.; точности трехмерной программы траекторного анализа моче? служить степень отличия распределений плотности тока, потенциала, а также траекторий частиц и их скоростей от точных значений.

Приводятся результаты траекторного анализа электронно-оптической системы, построенной на основании точного решения в спиральной системе координат. Параметр сА здесь равен - I.

- 1с -

Этот случай выбран потому, что для него априорно известна форма траекторий. Это - логарифмические спирали. Кроме того этот пример но сит достаточно общий характер - катод криволинейный с неоднородной плотностью тока, эквипотенциали вне пучка го^е криволинейны. Траекторный анализ проводился с помощью пакета прикладных программ ЭРА для ЭВМ БЭСМ-6. Анализ показал отл/чие друг от друга траекторий, рассчитанных и точных, а акте отклонение вычисленных эквипотенциален от точных. В заключении подведены итоги работы.

1. Предложен и разработан метод вспомогательных зарядов для нахождения распределения потенциала и электрического поля ■!ежду электродами заданной формы с заданными потенциалами. Показано, что. ошибка метода составляет доли процента. Такая точность достигается за счет расположения вспомогательных зарядов на расстояниях от поверхности электродов, равных или несколько больших расстояний между точками, в которых заданы значения потенциалов.

2. Показано, что метод вспомогательных зарядов ми,кет быть использован для расчета распределения магнитного поля по данным измерений на границе области с точностью не меньшей, чем точность измерений.

3. Исследованы электростатические течения, стартующие с плоского, цилиндрического, спирального цилиндрического и конусного катодов при изменении параметров, определяющих форму катода и сам электронный поток при степенной или экспоненциальной зависимости плотности тока от координаты на катоде. Изучены картины течений и формы эквилотенциалей, а также поведение функций, дающих полную гидродинамическую информцию о пучке.

4. Модифицированным методом Харкера рассчитаны формы электродов

- т9 -

для электронных потоков, описываемых точными решелиями уравнений лучка.

b. Исследованы точные решения уравнений релятивистского электронного п>чка б цилиндрической и спиральной цилиндрической системах коор;шат. Получены картины течений и формы эквипо-тенциалей при изменении параметров, определяющих форму катода и сам лоток. Изучено поведение функций, дающих информацию о пучке.

6. Рассмотрено решение внешней задачи для потоков, олиснваемых точными решениями уравнений релятивистского электронного пучка. Для этих решений оно сводится к нахождению формирующих поток электродов. Как и для нерелятивистских потоков использован модифицированный метод Харкера.

7. Исследованы точные решения уравнений нестационарного релятивистского электронного пучка, зависящие только от декартоЕоМ координаты х или только от цилиндрической координаты /? . Приведено аналитическое решение, описывающее релятивистский поток с плоскими криволинейными траекториями.

c. Изученные точные решения могут рассматриваться как набор эталонов для проверки точности различных численных и приближенных методов расчета интенсивных электронных потоков. Этот набор обладает всеми чертами общей постановки задачи; катод переменной кривизны с неоднородным :;окоотбором, криволинейные траектории, наличие собственного магнитного поля, релятивистские эффекты.

9. офорцулированы требования, которым должны удовлетворять программы траекторного анализа. Для существенного повышения точности программы численного анализа должны иметь блоки для адаптации информации из точных решений.

- 2U -

Публикации по теме диссертации.

/

1. Вашковский л.Ь., Овчаров Б.Т. К нахождению распределения потенциала в области, ограниченной электродами заданной формы с заданными потенциалами. Электронная техника, серия I "Электроника СВЧ", 1971, вып.9.

2. Вашковский A.B., ивчаров В.Т. Результаты расчета электрических полей некоторых электронно-оптических систем методом вспомогательных зарядов. Методы расчета электронно-оптических систем. Новосибирск, 1973.

3. Вашковский A.B., ивчаров В.Т., Плаксин А.И. Адиабатическая электронная пушка с уменьшенным разбросом скоростей. Электронная техника, серия I "Электроника СВЧ", 1974, вып.12.

4. Вашковский я.В., Овчаров Б.Т. Применение метода вспомогательных зарядов для расчета магнитного поля по данным измерений. Электронная техника, серия I "Электроника СВЧ", I9b5, вып.2.

5. Вашковский л. Ь., Сыровой В.А. Исследование точных решений уравнений электростатического пучка. Радиотехника и электроника, I9o3, T.2b, № II.

6. Вашковский A.B., Солуянова Е.А., Сыровой В.А., Цимринг Ш.Е. Внешняя задача синтеза для точных решений уравнений электростатического пучка. Радиотехника и электроника, I9b6, т.31, № 4.

7. Вашковский A.B., Сыровой В.А. Точные решения уравнений нестационарного релятивистского пучка. Радиотехника и электроника, 1991, т.36, № 2.

Ь. Вашковский A.B., Сыровой В.А., Цимринг Ш.Е. О точных решениях стационарного релятивистского электронного пучка. Радиотехника и электроника, в печати.

9. Вашковский A.B., Сыровой В.А. Исследование точных решений уравнений электростатических пучков. Тезисы докладов УП Все-

союзного семинара "Методы расчета ЭлекТроннс-оптичоских систем" Новосибирск, I9ü2.

10. Ьашковский A.B., Димринг LJ.E. Решение ннезней задачи"для точных решений уравнений электростатического пучка. // Современные методы расчета электронно-оптических систем, ¡.штернады ¿Ш Всесоюзного семинара по методам расчета электронно-олти«ес-ких систем. Ленинград, 1Уь5г.

11. Башковский A.B. Исследование точных решений уравнений релятивистского электронного пучка. Тезисы докладов республиканского семинара по методам расчета электронно-оптических систем (IX семинар "Методы расчета ЭОС"). Ташкент, 19сс.