автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Принципиальные вопросы теории ползучести и прочности, связанные с расчетом бетонных конструкций

Р Г Б ОД

. гОАНКТ-ПЕТЕРКУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ С АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_____ - Л !1

Г 1 и « "

'.'' • ;) |л На правах рукописи

Харлаб Вячеслав Данилович

ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ И ПРОЧНОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С РАСЧЕТОМ БЕТОННЫХ

КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук в форме научного доклада

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном • архитектурно-строительном университете (СПбГАСУ) '..>

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Ваамьев Порфирий Иванович;

доктор физико-математических наук, профессор Вакуленко Август Алексеевич;

доктор технических наук, профессор Зевин Анатолий Аронович

Ведущая организация:

Всероссийский научно-исследовательский институт гидротехники им. Б. Б. Веденеева (ВНИИГ)

Защита состоится.

гз-оз

. 1996 г. в' 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного Совета Д.063.31.04 в СПбГАСУ по адресу 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Доклад разослан

_ 1996 г.

Ученый секретарь Совета к. т.н., доцент И. С. Дерябин

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общая характеристика работы..........................................4

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ: ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ

1. Градиентный критерий хрупкого разрушения........................6

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ: ЛИНЕЙНАЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ

2. О содержании уравнении Маслова-Арупопяна. Реологическая

модель стареющего бетона.................................'... . .10

3. "Естественное" интегральное преобразование уравнений линейной теории ползучести для случая постоянного

коэффициента Пуассона........................................13

4. Распространение принципа Волътерра на случай

стареющей среды..................,............................14

5. Линейная теория ползучести наращиваемого тела...................16

6. Среда с зарастающими порами. Описание гндратационного

старения бетона. Раннее нагружение бетонных конструкций..........21

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ: НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ И ДЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЧНОСТЬ

7. Обьединеиная теория нелинейной ползучести и длительной

прочности стареющего бетона...................................25

РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ: ТЕРМО- И ВИБРОПОЛЗУЧЕСТЬ

8. Моделирование термоползучести бетона..........................29

9. Моделирование виброползучести бетона..........................32

РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ: ФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА БЕТОНА

10. Физико-механическая теория ползучести и усадки бетона:

Роль пленочной йоды..............'...........................36

11. Фнзнко-механичеекая теории усадки бетона:

Роль капиллярной коды.......................................44

Список основных публикаций но докладу............'..........'.....46

ОБЩАЯ ХАРЛ1СГЕР! 1СТИКА РАБОТЫ

Настоящий доклад объединяет, обобщает и представляет в законченном виде ряд мио- • голспшх разработок автора. Круг охваченных докладом вопросов виден из оглавления. Все эти вопросы тесно связаны с бетоном (но результаты, о силу их достаточно общего характера, применимы и к другим материалам).

Актуальность и задачи исследования. Бетон отличается большой сложностью своих механических свойств, проявляющихся в обычных эксплуатационных условиях. Известны: разное сопротивление растяжению и сжатию; упругость, псевдопластичность, ползучесть, усадка; гидратационное, усадочное, температурное старение; необратимость ползучести t-ro и 2-го рода; наличие значительной линейной составляющей ползучести, но в целом нелинейный характер ползучести; зависимость нелинейной ползучести от вида напряженного состояния (НС); снижение прочности в процессе ползучести, также зависящее от вида НС; тесная связь нелинейности и необратимости с микрофещинообразованием; существенная зависимость проявления ползучести от температурных и влажностных условий; интенсификация ползучести при наличии вибрационного пригруза; заметная зависимость вида диаграмм кратковременных статических испытаний от скорости нагруження, особенно в области ниспадающего учаечка; влияние градиента НС. Подробная экспериментальная картина деформационных и прочностных свойств бетона включает в себя еще много важных деталей.

Современная строительная механика бетона призвана, прежде всего, построить определяющие уравнения, учитывающие перечисленные свойства материала. Проблема является весьма обширной и.труднон, поэтому она еще далека от исчерпания. На сегодня самой назревшей представляется задача построения единой теории нелинейной ползучести и длительно"» прочности бетона, применимой при любом уровне и виде НС материала (к отражающей тесную связь указанных свойств бетона с повреждением его структуры)- Сюда же относится вопрос о необратимости 1-го рода, которую большинство имеющихся реологических уравнений не описывают. К первой задаче примыкает задача о кратковременных режимах нагруження бетона (имеется в виду рассмотрение вопроса в принципиальном плане, а не формальная аппроксимация опытных диаграмм нагруження, пренебрегающая влиянием скорости нагружения). Включение в теорию температурного фактора - следующая крупная мало разработанная задача. Еще меньшие успехи достигнуты в теории виброползучести бетона. Сохраняет актуальность вопрос о гидратаинонном старении бетона. Особую задачу составляет явный учет влаж-ностной природы длительных деформаций бетона. Не построена еще теория градиентного эффекта прочности.

Располагая теми или иными реологическими уравнениями, строительная механика бетона должна предложить полный расчетный аппарат, учитывающий специфику бетонных (железобетонных) конструкций. Одной из важнейших особенностей этих конструкций является наличие стадии изменения их границы при одновременном твердении н ползучести материала. Отсюда - необходимость разработки специальной теории ползучссш наращиваемого тела.

После того, как полная система расчетных уравнений построена, приходится думать о метода* ее решения. Здесь существенную пользу оказывают так называемые принципы соответствия, т.е. теоремы, устанавливающие связь между решениями задач теории ползучести и соответствующих задач теории упругости.

Исследования ав гора, освещаемые в докладе, были нацелены «а решение перечисленных вопросов и задач строительной механики бетона. Актуальность этих исследований ясна нз вышесказанного.

Ограниченность объема доклада не позволила включить в него результаты, касающиеся влияния арматуры, кинетической природы ползучести, статистических аспектов разрушения.

Научная новизна работы заключена в следующих результатах;

- 1.. Предложен феноменологический критерий хрупкого разрушения, учитывающий градиентный эффект прочности и охватывающим как регулярные, так и сингулярные точки тела. Тем самым образовано новое направление в линейной механике разрушения. (Глава !.)

2. Дана трехкомпонентная трактовка (мгновенная упругость, твердение, ползучесть) уравнения Маслопа-Лрутгоняна, устраняющая имеющиеся в литературе противоречия. Эта трактовка подкреплена реологической моделью стареющего бетона, о которой число упругих и вязких связей растет с возрастом материала. (Глава 2.)

3. Указано "естественное" интегральное преобразование уравнений линейной наследственной теории ползучести для случал постоянного коэффициента Пуассона, обеспечивающее в этом случае максимально простую и полную реализацию аналогии с теорией упругости. (Глава 3.)

4. Принцип Вольтерра распространен на случай стареющей среды. С помощью • обобщенного принципа Зольтерра основные граничные задачи линейной теории ползучести приведены к отдельным стандартным интегральным уравнениям без использования допущения о постоянстве коэффициента Пуассона. (Главз 4.)

5. 3 общем виде поставлена задача и построена полная система уравнений лунейной теории ползучести наращиваемого тела, Для однородного тела с постоянным коэффициентом Пуассона получены "общие решения'', сводящие задачу ползучести к задаче упругости и стандартным операциям по времени, (Глава 5.)

6. Предложена модель стареющей среды - пористая среда с "самопроизвольно" зарастающими порами. Это позволило получить эффективное описание ползучести бетона на всем интервале старения и обеспечить возмо;мюсть приведения задачи ползучести к - пдзче упругости при переменном коэффициенте Пуассона. Теория дает возможность решать задачи о раннем нагруженми бетонных конструкций. (Глава 6.)

7. Построена объединенная теория нелинейной ползучести и длительной прочности,, которая описывает работу бетона любого возраста, в условиях объемного КС, без ограничения его уровня. Кратковременное сопротивление материала трактуется как частный случай длительного. Важной особенностью теории является то, что она преобразует линейные определяющие уравнения в нелинейные. Следовательно для учета температурных, вибрационных и других эффектов достаточно рассмотреть их в линей-'ном приближении. (Глава 7,}

8. Для моделирования линейной термоползучести старого бетона предложена специальная реологическая модель, число упругих и вязких связен которой зависит от температуры. Модель описывает все известные эффекты термоползучести бетона в согласии с опытом II достаточно просто. (Глава 8.)

9. Моделировать виброползучесть старого бетона в линейном приближении предложено с помощью специальной реологической модели, в которой число упругих и вязких связей меньше при наличии вибрации и зависит только от амплитуды напряжения, Расчетный аппарат отличается простотой. Теория позволила объяснить, почему в одних случаях виброползучесть бетона зависит от частоты изменения нагрузки, а в других - нет. (Глава 9.)

¡0. Построена законченная физическая (структурная) теория ползучести и усадки бетона, вскрывающая роль пленочной воды геля и пор. Теория выделяет 4 составляющие ползучести, различающиеся по длительности проявления. НС может быть произвольным. Предельная теоретическая мера ползучести содержит единственный параметр, который определяется из опытов на усадку. (Глава 10.)

11. Исправлена и обобщена теория Фрейсине. Тем самым получены новые сведения о вкладе в усадку бетона капиллярной воды. (Глава П.),

Достоверность результатов обеспечена обоснованностью предпосылок, точностью ■ математической части и согласием основных выводов с опытными данными.

Практическая ценность работы, внедрение результатов. Все разработки приведены к законченному виду, в'каком они пригодны для практического использования: расчетный аппарат отличается простотой; число параметров минимально; способы их определения по опытным данным указаны. Ряд исследований выполнялся по х/д с проектными организациями (более всего - с институтом Ленпшротрансмост). Так, теория гл. 5 возникла в связи с проектированием крупных сборных ж/б мостов (всего автором выполнен расчет на ползучесть около 10 мостов). По договору с ЦНИИСК ему представлены результаты, которые могли бы быть полезными при разработке нормативных документов.

Апробация. Помимо ежегодных докладов на научных конференциях своего вуза были доклады на многочисленных специализированных конференциях всесоюзного (всероссийского) характера, в том числе - двух съездах по механике, опубликован доклад в материалах VIII международной конференции по механике разрушена,.. Публикации. Список из 35 основных публикаций приведен в конце работы.

1. ГРАДИЕНТНЫЙ КРИТЕРИЙ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ Введение. Глава посвящена разработке двух фундаментальных вопросов мзханики хрупкого разрушения: о зависимости прочности тела от неоднородности НС и о проверке прочности в сингулярных точках. Хотя первый вопрос активно обсуждался в литературе уже в 20-е - 30-е годы, достаточно общей теории до снх пор нет. Иначе сложилась судьба второго вопроса: на нем возведено огромное здание теории трещин. Проблему сингулярности Гриффите обошел путем составления энергетического баланса при варьированшг длины трещины. Иной выход из положения указал Ирвин: так как в рассматриваемом классе сингулярных НС они отличаются лишь величиной конечного множителя К - коэффициента интенсивности напряжений, то этот коэффициент может служить критерием прочности. Баренблатг; Леонов и Панасюк; Дагдейл ввели в модель трещины силы сцепления, действующие между достаточно близкими ее берегами, и тем самым устранили сингулярность. Эшелбн и Раис дали в качестве критерия разрушения J-интеграл, конечная величина которого одинакова для всех путей вокруг вершины трещины. Новожилов предложил пользоваться конечными напряжениями - средними по малому объему, охватывающему сингулярную точку. Идея Новожилова (единственная, которая не привязана к трещинам) еще не оформилась в достаточно законченную теорию. Ниже дается новое решение двух указанных вопросов [l]-¡6] (законченное, отличающееся простотой и большой общностью, свободное от некоторых дефектов существующих теорий).

Постановка задачи. Классическая форма условия хрупкого разрушения имеет вид

■ 5(а„о2, a3) = R, (1)

где a'j, сг2. О j - главные напряжения; S ~ эквивалентное напряжение (критерий прочности), с помощью которого сложное НС подменяется одноосным; R - предел прочности материала при этом одноосном НС (далее встречается как предел прочности на растяжение Ир и предел прочности на сжатее Д.). Теория прочности (1) имеет два принципиальных недостатка. Во-первых, она не учитывает известное го опытов влияние неоднородности НС на прочность тела: большей степени неоднородности состояния отвечает более высокая прочность ("градиентный эффект прочности"). Во-вторых, cita не позволяет сулить о прочности тела в сингулярных точках, где напряжения бесконечны: согласно (I) любая конечная нагрузка должна вызывать разрушение в этих точках, тогда как в действительности разрушение наступает лишь по достижении на-i-pysK.Ml критического уровня.

Ставится задача: сохранив форму (I). обобщить критерий S таким образом, чтобы учшии.ис: градиентный зффект прочности и охватывались сингулярные точки тела.

Конечное напряженное состояние. Для этого случая предлагается заменить в условии (1) классический критерий 5 обобщенным (градиентным) критерием

57 = 5/(1 + 8У5/5), (2)

где 5 — структурный параметр материала с размерностью дайны; V - символ модуля . градиента. Предложение (2) опирается на следующее соображение (в сочетании с соображениями размерности и простоты): искомый обобщенный критерий должен включать в себя помимо самого эквивалентного напряжения 5 величину его изменения 5 ■ 43 на характерной для материала длине 8, причем так, чтобы неоднородность напряженного состояния повышала сопротивление материала разрушению. Чистый изгиб прямого бруса. Ориентировочная величина параметра 5 для бетона. S{z)=a{z)=Mz/J, = ф}/[1 + 8а'{г}/ф)]-ф)/{1 + 8/2),

тах5у — = — условие разрушения крайнего растянутого волокна, где с - расстояние от нейтральной оси до этого волокна. Следовательно разрушающая величина напряжения, то есть так называемая прочность на растяжение при изгибе,

^„ = (1+5/с)Лр.. (3)

К.А.Мальцов (конец 50-х) установил, что для балок прямоугольного сечения высотой Л из обычного тяжелого бетона справедлива зависимость йр„ =(1 + 13,4см/Л)Яр.

Таким образом, в данном случае теория согласуется с опытом, причем » 6,7 см. Чистый изгиб круглой пластинки. Ориентировочная величина параметра 5 для стекла. При так называемом симметричном изгибе (круглая свободно опертая по контуру пластинка, нагрузка распределена по окружности) центральная часть пластинки, ограниченная линией нагружекня, испытывает напряженное состояние СТГ = = о0 =/{г) = К-г. Следовательно для этой области теория снова приводит к формуле. (3), выражающей прочность на растяжение при изгибе через прочность на осевое растяжение. Анализ сведений из книги Г.М.Бартенева "Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла" (1974. рис. 64) показал, что формула (3) практически точно аппроксимирует экспериментальные данные во всем охваченном опытом диапазоне . толщин пластинок от мм до мм при Ир я 40 МПа и 2^=2,5 мм.

Трактовка параметра 8. Сопоставление величин 56ст«6,7 см и 5ет»2,5 мм наводит на мысль, что структурный параметр 5 является представительным масштабом материала (б3- представительный объем). Ниже эта идея подкрепляется.

Растяжение плоскости с круговым отверстием (задача Кирша). Согласно классической теории опасная точка всегда находится на контуре отверстия и р,=Лр/3 при

любом радиусе отверстия а. Предлагаемая теория вносит поправку: при а< 1,28 опасная точка смещается вглубь материала; если а—> 0, то р. =йр ; классический результат р, является предельным (а/<5—»-со).

Сингулярность степенного вида. 5=А/гп, где г- расстояние от сингулярной точки. Сингулярные напряжения являются условностью, порождаемой несовершенством расчетной модели тела. Они, хак я регулярные напряжения, могут быть опасными и безопасными. Следовательно от сингулярного напряжения 5 необходимо перейти к некоторому его конечному эквиваленту 5у. По аналогии с (2) предлагается:

57=5 /{1+5 У5 / 5)" = А /(г+5л)^?_>0 -А! (8п)п = 5(г.), г, = 5п, (4) • где параметр 6 считается тем же, что и в (2). •

Полуплоскость под сосредоточенной нагрузкой (задача Фламана). Критерий (4) позволяет решать новые для механики разрушения задачи, к числу которых относится и данная. Sv =|ar|= 2РCOS0/кг. В начале координат - степенная особенность с Л=1. Условие разрушения: Sv = S(r,) = S(ó)=2P„/tíS = Р. =0,5лЗ/{. (принято 0=0, поскольку cos0=maxcos9). Сосредоточенной должна считаться нагрузка, распределенная по характерной для данного материала минимальной площади. Согласно предложенной трактовке параметра 5 такая площадь имеет величину Соответственно полуплоскость, надо рассматривать как стенку толщиной S, равномерно нагруженную в области S х8. Тогда полученное выражение Рт определит прочность стенки на местное смятие: =P,S/82 =0,57t/^. = 1,57 (здесь учтено', что нагрузка Р относится к стенке единичной толщины). Найденная теоретическая величина согласуется с опытными данными: нормы для рассматриваемого случая погружения бетонной стенки рекомендуют принимать л/З^ = 1,44/^.

Вдавливание жесткого штампа в упругое полупространство. Если нодошва штампа - гладкий круг радиуса а, то давление под штампом в окрестности контура подошвы , %=а-г. Следовательно n=0,5; i;, = л8=0,58 и

(P/Ka2yJa/S-0,5&\p^pm Р,/па1 = 2Пс^ъТа. (5)

Видка,что усредненное, по грузовой площади предельное сопротивление полупространства вдавливанию штампа убывает с увеличением радиуса штампа (т.е. разрушающая нагрузка растет медленнее, чем площадь штампа). Для перехода к случаю сосредоточенной нагрузки надо положить каг — Ьг: =P,/nb1~2Rl.Íjñ~XlRc. К такому же примерно результату приводит рассмотрение задачи Буссинеска. Теория трещин. В теории трещин (вариант Ирвина) о состоянии материала судят по сингулярной части напряжения, имеющей вид S = /í/{2nr)0,5, где К - коэффициент интенсивности напряжения. Считается, что трещина растет, если К=КС, где Kq - характеристика материала, устанавливаемая экспериментально отдельно для трещин нормального отрыва (K¡c), поперечного сдвига (K¡[C ) и продольного сдвига (КщС ). Градиентный критерий (4) дает такое условие роста трещнн нормального отрыва: Sy=

CpaBHemie этого результата с классическим К=К1С показывает, что в применении к трещинам теория (4) эквивалентна по результатам теории Ирвина, если справедливо равенство

■ (б)

Было показано, что для бетона 5=6,7 см. Так'как прочность бетона на растяжение Rp =1...3 МПа, то согласно (6) его вязкость разрушения KÍC -4,6...13,8 МПа-см0-5. Это

не противоречит данным наблюдений за развитием не слишком коротких трещин в бетонных элементах (B.M.Fhtob и В.И.Ягуст; Л.П.Трапезников). Oóoól/tem ip теории. Выше отдельно рассмотрены конечное напряженное состояние и сингулярность степенного чида. Пусть теперь имеет место более сложная ситуация:

£ = Р(х)+Ф(х)Ч/(г). (7)

где Х= X-, ¡ - координаты точек тела; р и Ф - конечные вместе с их первыми протюдкымк функции; Ч' - сингулярная функция достаточно произвольного вида; г- рлсло«нне от сингулярной точки. Опираясь на (2) и (4). классическому критерию (7) моч-но поставить в соответствие градиентный критерий

«

.<>T, = F/(l+8yF/_F)+[®/0+8VO/O)]4'(r.). (8)

Если T(r) = Alrn, го Г, =8 п. т. е., как легко заметить, является корнем уравнения

54"{r,) = -lF(r.). "" ~ ""О)

Постулируется, что Гявляется корнем уравнения (9) и тогда, когда функция утрачивает степенной вид, Условие разрушения остается прежним:

SV>R. (10)

Из теории (8)-(10) следует принципиальный вывод: так как и конечному, и сингулярному слагаемым в (7) отвечают конечные слагаемые в (8), то неправомерно удерживать лишь сингулярную часть.

rsieiH^eiäüs плоскости с трещиной (задача гриффитса). В плоскости трещины, в окрестности кончика, действует напряжение 5=Р+Ч/=р+рЛ/а/2г (р - интенсивность внешней нагрузки, а - полудлина трещины). Этому напряжению отвечает градиентный критерий (8): Sv=p+pJa/{2-0,55) . Из (10) находится разрушающая нагрузка:

р. = йр/( I+VÖ75). (II)

При а->0 отсюда, как и должно быть, pt=Rр (прочность бездефектной плоскости). Если же в S традиционно отбросить конечную часть F, то (классический результат)

р, = Лр%/б7а=К1С/л/м. (12)

Согласно (12) трещина достаточно малой длины упрочняет тело (!7), предельный переход а —/ 0 приводит не к бездефектной плоскости, а к абсурдному результату р»-х». Круглая пластинка под сосредоточенной силой. Пластинка радиуса а, толщины h, защемленная по контуру, изгибается центральной сосредоточенной силой Р. Eon! воспользоваться критерием 2-й теории прочности, то

5=Ф(г)Г(г); Ф(г) = 3(f-v2)Pz/nh3; Ч'(г) = ¡па/г. (13)

В центре пластинки - сингулярность логарифмического типа. Классическому сингулярному критерию (13) отвечает конечный градиентный критерий (9) (Z = C~hl2):

Sv = <t>v4V; Фу = 3(1 - v2)Pc/(l + 8/с)л:Л3; 4'v = ^(г„) = 1па/г„ (И) где г, - корень уравнения (9), т. е. в данном случае - трансцендентного уравнения

lna/r. = 5/r„ (15)

которое должно решаться численно при конкретных значениях а и 5. Условие разрушения (10) приводит к формуле для разрушающей нагрузки:

Решение (15),(1б) было подвергнуто экспериментальной проверке на стеклянных пластинках, толщина которых Л=1,3 мм. Стекло зажималось между жесткими плитами, имеющими круглое отверстие радиуса а. Нагрузка прикладывалась к центру пластннки через гпочдь. Опыты проведены в СПбГАСУ И.А.Куприяновым и Л.П.Каратеевым. Ими получено (усреднение по восьми испытаниям):

d, =2сГ| =50мм, Р., = 20,88 кГ; d2 = 2а, = 25 мм. Р„2 = 29,25 к Г; Р.2/Р„ =1,40. (17) Результаты расчетов по (15),(16) при (см. Выше) 8=2,5 мм, i^, = 4 кГ/мм2 и V= 0,25:

/„ =0.70 мм, г,2 = 0,98 мм; Р„ = 20,49 кГ, Р,2 = 28,69 кГ; = 1,40. (18)

Прямоугольная шарнирно опертая пластинка под центральной сосредоточенной СИЛОЙ. Для центра пластинки решение задачи теории упругости оказывается сингулярным, что проявляется в расходимости рядов. Чтобы избавиться от сикгуляр-

ности, сосредоточенную силу' Р равномерно распределяют по кругу малого диаметра сГ. Устраняя одну трудность, это порождает другую, выражающуюся в неопределенности величины (1. В теории, содержащей минимальный характерный размер 5, естественно принять <¿=6. Тогда в центре растянутой поверхности пластинки

ошм«(ЗР/2кЛ2)[0+у)1п(4а/я8)+1+у1], (19)

где а - меньшая из сторон пластинки; учисло, зависящее от отношения Ыа разме-, ров пластинки (см, С.П.Тимощенко. Пластинки и оболочки. 1948). Испытания фотопластинок 9x12 см2 ; Л=1,3 мм (без эмульсионного слоя) показали, что Р„=12...14 хГ. Наш принять, как и ранее, 8=2,5 мм; у= 0,25, то стшах = 1,56 мм~2-Р и по классической теории при Яр = 4 кГ/мм2 разрушение должно вызываться нагрузкой Р. =2,56 кГ. Использование вместо классического критерия 5=атах предлагаемого градиентного критерия разрушения ¿у приводит к правильному результату:

5^5/(1+575/5)=атах/(1+28/Л) = Лр, Р.=12,43кГ. (20)

Масштабный эффект. Зависимость прочности материала в точке тела от размеров последнего с конца 30-х годов и по вастоящее время рассматривают главным образом как одно из проявлений стохастической неоднородности структуры материала к описывают, соответственно, статистическими теориями разрушения. То, что масштабный эффект такой природы существует, не может быть сегодия поставлено под сомнение. Но несомненно и друго": этим далеко не исчерпывается весь масштабный эффект (см. упомянутую книгу Г.М.Бартенева, с. 129). Предлагаемый градиентный критерий восполняет указанную "недостачу".

Заключение. Представлены основы и ряд приложений нового феноменологического критерия хрупкого разрушения. Этим критерием учитывается влияние неоднородности напряженного состояния на прочность тела (градиентный эффект прочности) и охватываются как регулярные, так и сингулярные точки тела, причем сингулярности могут быть разнообразными. Критерий содержит всего один специфический параметр - масштабную характеристику структуры материала. Способ определения этого параметра указан. Принципиальным новшеством теории является то, что в ней конечные и бесконечные слагаемые напряжений равноправны. Теория подтверждается вытекающими из нее частными результатами, согласующимися с опытом.

2. О СОДЕРЖАНИИ УРАВНЕНИЯ МАСЯОВА-АРУТЮНЯНА. РЕОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАРЕЮЩЕГО БЕТОНА

Основу всей линейной наследственной теории ползучести стареющей среды составляет знаменитое уравнение Г. Н. Маслова-Н. X. Арутюняна

СМ=0, 0,С(г,т)<О). (1)

Уравнение (1) известно уже более 50-ти лет, тем не менее обсуждение его содержания остается актуальным из-за наличия противоречий в литературе. Ниже дается трактовка уравнения (1), опирающаяся на работы [2.1], [2.2]. Деформацию (1) предлагается считать состоящей из трех различных частей:

еу(0 = о(г)/Я(г). еп(0 = -\[ о^С^т) ¿т. ет(0=-Да(т)дг£-'(т)с*т. (2)

Первая часть есть идеально упругая деформация, обладающая свойством полной мгновенной обратимости. еп{/) - деформация ползучести. В зависимости от вида меры ползучести С((,т) деформация £п может быть полностью обратимой во времени, частично обратимой и необратимой. Деформация ет(*) впервые выделена в [2.1] и названа там

деформацией твердения, поскольку она обязана своим возникновением протекающим в материале процессам твердения (образования новых внутренних связей). Независимо от вида функции E(t) деформация бт полностью остаточная. При постоянном напряжении CT, приложенном в момент времени X, -

ifrClt.il К-Пм

(3)

что графически изображено на рис. 2.!. В момент приложения нагрузки мгновенно возникает упругая деформация £у(т). Далее, во-первых, происходит накопление деформации ползучести еп(() и, во-вторых, часть первоначальной упругой деформации как бы "замораживается" - превраща- . ется в остаточную деформацию ет((), вследствие чего упрутая деформация убывает (процесс превращения упругой деформации в необратимую

Р и с. 2.1

деформацию твердения не отражается на полной деформации).

Г.Н.Маслов и Н.Х.Арутюнян не разделили деформацию (I) на три указанные части. Это породило противоречие, сохраняющееся до сих пор во многих работах: когда речь идет о действии постоянного напряжения, деформацией ползучести называют только второй член формулы (3); в случае же переменного напряжения название деформации ползучести получает весь последний интеграл (I). Чтобы устранить это противоречие, надо либо считать мерой ползучести не функцию C(f,l), а функцию

C-(f,t)=qt.x)+[H-,(x)-£~,(i)I (4)

(предложение С.В.Александровского), либо различать в £ не две, а три части.

Обычно в механике бетона о переменности модуля упругости во времени говорят как" о чем-то, не требующем разъяснения. Но "переменность модуля упругости"- понятие с неоднозначным содержанием, в чем нетрудно убедиться на двух примерах. Надутая газом резиновая оболочка в условиях переменной температуры T{t) представляет собой идеально упругое тело с переменным модулем упругости, подчиняющееся закону Гука 'o{i)= E(f}z(i) (здесь СГ - внешнее давление; £ - вызванное им изменение объема тела; E(t)= RTitj/Vç, Я-универсальная газовая постоянная,V^-начальный объем тела). Повышение температуры газа приводит к увеличению модуля упругости тела и, соответственно, к уменьшению его деформации при неизменной нагрузке.

Альтернативным примером может служить реологическая модель, состоящая из параллельного набора упругих пружин, число которых с течением времени возрастает (рис. 2.2). Если принять, что пружины не имеют предварительного + + о * - напряжения, то определяющим уравнением модели будет

РисЛЛ a'{t)-E(t)c'U), (5)

где /?|/)=Я(Л(/) (Е,-модуль отдельной пружины, л(()-число пружин). Уравнение Мас-ловз-Арутктяна (I) при C{î,t)=0 вырождается в уравнение (5). Реологическое уравнение (5) хороню известно в механике сплошной среды. Оно описывает так называемое гипоупругое поведение материала, существенно отличающееся отупругого. Таким образом, уравнение (1) относится не к упругоползучему (как обычно говорят), а к гипо-упрутоползучему телу. Именно поэтому деформация (1) распадается на три части. Если же предположить, что деформация (I) состоит'только из двух частей, т. е. что вследствие роста Е упругая деформация исчезает, а не превращается в остаточную, то уравнение Маслова-Арутюняна надо заменить уравнением Александровского

s(i) = £y(i) + e„(f) = -|0'о(х)ЭтС(г,г)сгт -Ье^/Е^.' («) • При этом в случае постоянного напряжения ' »

e(i)=ey(i)+En(i)=оЯ-! (i)+сгС * т). (7)

Предельный переход С * (f, т) О приводит к идеально упругому телу с переменным модулем упругости типа упомянутой выше наполненной газом резиновой "оболочки.

После всего сказанного встает вопрос: какой же из двух подходов является правильным? Этот вопрос имеет две стороны - феноменологическую и физическую. Легко видеть, что формально, коль скоро функции C(t,i) и C*(i,т) получаются чисто эмпирически, путем обработки одних и тех же экспериментальных кривых деформирования, оба подхода совершенно эквивалентны. Однако физическая природа деформаций не должна игнорироваться. К числу фундаментальных проблем, стоящих перед механикой бетона относится, в частности, адекватное описание явления старения: установление вида функций E(t) и C(i,t) как функционалов температурных, влажностяых, вибрационных, радиационных условий, что вряд ли осуществимо без учета механизмов фено-мена.„Не подлежит сомнению, что одной из причин старения бетона является зарастание его пор продуктами гидратации цемента, т. е. образование новых внутренних связей в материале. А это означает, что переменная упругость бетона должна быть истолкована как гипоупругость. Уравнение (6) уводит в сторону от физики явления.

В связи с изложенным полезно (а для дальнейшего даже необходимо) рассмотреть "полную" реологическую модель стареющего бетона (рис. 2.3). Это аналог модели Кельвина с той лишь разницей, что число'упругих пружин возрастает (конкретизация гипоупругости) и коэффициент вязкости является переменным во времени (вследствие

_ старения материала и перемености физических условий). К такой же,

j - по сущестау> модели (без конкретизации гипоупругости как роста Рие. 2.3 числа связей) независимо пришли П.И.Васильев и З.Бажант. Деформация модели описывается, очевидно, -соотношениями

>•(*)=£,(/)£,•№, c'(t)=£2(t}e;(t)+Mt)E;(t)}', E(t)=e,(t)+e2(t), (8) Здесь £j{i),E2(i) - соответственно гипоупругая деформация и деформация ползучести. В момент нагружения модели во втрром ее звене вся нагрузка воспринимается вязким элементом, следовательно начальные условия имеют вид

. а(<о)=ЭДе^}, ofo)=Afl,) е£ (t0). (9)

Если a(i) = const, £q = т, то согласно (8),(9)

e2(f)=cC(f,T), C(t,t)=1 (8)exp[-J®£2(Э1 (9)dЭ]. (Ю)

To bбстоятельство, что за уравнением Маслова-Арутюняна поставлена механическая модель, позволяет более просто находить решение конкретных задач и, главное, подмечал» обстоятельства, которые ускользают от внимания при чисто феноменологическом подходе. Например, в задаче о релаксации напряжений модель дзет:

• oW^WH-rMl, (И)

Имея перед глазами решение (t I), невозможно обойти вниманием частный случай

E,{f)/X(f)=const=iq, fi2(f)/X(i)=const=fc2. (12)

В этом случае согласно (11) материал претерпевает старение, но согласно (12)

' ' r(i, т)=iq (Л, + Jfc2 Г1 (I - е-**' ]. (13)

т. е. при условии (52) старение материала не отражается на релаксации напряжений. Приведенная реологическая модель полезна и в других отношениях. В частности она <

позволяет пыть диссипацию энергии (располагая только уравнением Маслова-Арутюняна, этого сделать нельзя). Рассеяние энергии происходит в вязком элементе модели, удельная мощность диссипации О' =Х.'(б|(используется в гл. 7).

3. "ЕСТЕСТВЕННОЕ" ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПОСТОЯННОГО КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА

Если принять известное допущение, что мгновенный и длительный коэффициенты Пуассона совпадают и не зависят от времени, то реологическим уравнениям Ма-слова-Арутюняна (случай объемного НС) можно придать следующий операторный вид:

^ЯД^У^-ус^], (...Г=Яо{Я-'(0(...)-{/;1Зт[Я-,(т)+С(^)](...]Л}. (1)

Здесь Е„- постоянный произвольный модуль упругости, введенный для удобства. "Естественный" (поскольку он не привносится со стороны, как, например, оператор преобразования Лапласа) линейный оператор по времени (..,)* оказался удобным и полезным при решении ряда задач линейной теории ползучести. В настоящей главе это демонстрируется на примере основных граничных задач, относящихся к телу с постоянной границей. В гл. 5 с помощью оператора (...)* получаются новые результаты для наращиваемого тела. В гл. 4 он используется для обобщения принципа Вольтерра.

Рассматривается однородное тело с постоянной границей 5, на части которой заданы поверхностные силы р, а на части - перемещения 3; во всем объеме тела V заданы объемные силы Ц и "самопроизвольные" деформации ?. Задачу удобно расщепить на две (не совсем традиционным образом). Пересы основная граничная задача:

V•0+q = O, Е = беГи, е= Но"; ст-п = р(на^), и=0(на52), (2) где Н символизирует зависимость между напряжениями и деформациями в законе Гука, с1еГ - символ связи деформаций с перемещениями в формулах Коши. Обычно в первой основной задаче силы р считаются заданными на всей поверхности тела 5 (выпадают ■ и*5 рассмотрения внешне статически неопределимые тела). Если в (2) формулы Коши, реологические уравнения и граничные условия на 52 подвергнуть действию оператора "{...), обратного оператору (...)*, то в силу лннсйности преобразования н независимости оператора от координат (так как тело однородно)

У-а+я=0, *8=с1еРи, *Е = Нс; сг-п = р(на 5,), *и=0(на 52). (3) Относительно величин и, *е, *и соотношения (3) суть не что иное, как система уравнений теории упругости, следовательно ■ - '

с{р,я) = о(р,ф; Е{р,ч) = е*(р,ч)=ё(р,,Я*); и(р,ф=й'{р,я) = й(р*,ч*), (4) где чертой отмечено решение задачи теории упругости. В этой задаче модуль упругости и коэффициент Пуассона имеют постоянные значения 1?0 и 1/. Вторая основная граничная задача: ■ ' '

у-сг=0, е = с!еГи, п=э+На*; сг-п=0(наи=6(на52). (5)

Обычно во второй основной задаче перемещения (Г считаются заданными на всей поверхности тела 5". Применение операции (...)* к первой и четвертой группам уравнений переводит систему уравнений теории ползучести (5) в систему уравнений теории упругости относительно величин о*, е, ш

е=(1еГи, е=э+На*; 0*-п=О(на5,), и=5(на52). (6)

откуда

а*(э,5)=а(э,5); е(э,5)=ё(э,5); и(э,2) = и(э,5). (7)

Первые соотношения (4) и (7) (в развернутом виде) известны как теоремы Н.Х.Ару-тюняна. Но результаты (7) (для частного случая температурного воздействия) примерно десятью годами ранее получил Г.Н.Маслов в своей основополагающей работе "Термическое напряженное состояние бетонных массивов при учете ползучести бетона" (Изв. НИИГ, т. 28, 1940). Масяов изначально считал коэффициент Пуассона постоянным. Арутюнян показал необходимость его постоянства. Пути решения вопроса, которыми шли эти авторы различны, но в обоих случаях выкладки громоздки. Решение Арутюняна относится только к внешне статически определимому телу и содержит в себе нестрогости, отмеченные в [3.1]. Второй и третий результаты (4) отсутствуют у обоих авторов. "Естественное" преобразование позволило, как это было только что продемонстрировано, решить вопрос чрезвычайно просто и со всей полнотой [3.1],[3.2]. Учитывая историю вопроса, представляется справедливым именовать результаты (4), (7) теоремами Маслова-Арупоняна (что ни в коей мере не умаляет вклада последнего).

4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЛЬТЕРРА НА СЛУЧАЙ СТАРЕЮЩЕЙ СРЕДЫ Введение. Объектом приложения классического принципа Вольтерра (сформулирован в начале века В.Вольтерра, развит в середине века Ю.Н.Работновым) является среда, не подверженная старению (и имеющая постоянную границу). Условие отсутствия старения материала обеспечивает коммутативность линейных реологических операторов, необходимую для того, чтобы при фиксированном времени с ними можно было обращаться, как с упругими постоянными. В настоящей главе принцип Вольтерра распространяется на случай стареющей однородной изотропной среды [4.1], [4.2]. С помощью обобщенного принципа Вольтерра задача теории ползучести приводится к отдельным стандартным интегральным уравнениям без использования допущения о едином для мгновенных и длительных деформаций постоянном коэффициенте Пуассона. Реологические уравнения линейной теории ползучести изотропной стареющей среды можно записать, в частности, в таких двух вариантах (суммирование по к):

где Е- операторный модуль Юнга, а у(, У2 - операторные коэффициенты Пуассона. Вели выделить оператор ю, действующий в (I) на акк, то

со = £-|У| = У2£;_', V, = £ш, \>2 = о)Ё. (2)

Первая основная задача. При использовании первого варианта записи реологических уравнений полной системе уравнений данной задачи можно придать вид

ац_,+ч,= 0. ^»О+у^-У.О**^: и/=0(52), (3)

где е' = Ее, И' = Еи и учтена независимость оператора Е от координат. Эта система уравнений теории ползучести отличается от приведенной к аналогичному виду системы уравнений теории упругое гн лишь тем, что в роли коэффициента Пуассона выступает онераюр по времени. Следовательно решение задачи ползучести может быть следую-, чшм образом выражено через решение упругой задачи (отмеченное чертой):

«.>-г«ц(>'|Ь = ^¿Г'П.ЧУ,). (4)

1-ю к' = С С, й' = Ей (в первой основной задаче теории упругости напряжения не зависли о! мод> 14 упругосги. .1 деформации и перемещения обратно пропорциональны В (4) опер .пор Е '' занимает вполне определенное (указанное) положение: он, во-оСчие I огоря, но комм> шрует с оператором V, и сю функциями. Последние, напротив

(будучи обычно дробно-рациональными, а в более сложных случаях - понимаемые как степенные ряды).; взанмно-коммутативны, поэтому их взаимный порядок в (4) безразличен. Соотношения (4) представляют собой математическую формулировку обобщенною принципа Вольтерра для первой основной граничной задачи. Обобщение (т. е. переход от нестареющего материала к стареющему, от коммутирующих реологических операторов к некоммутирующим) выразилось в фиксации положения оператора Е~ ' и введении специального для первой задачи оператора

Вторая основная задача. Если теперь использовать реологические уравнения с оператором то полная система уравнений обретет вид

«&,/=<>. Еу^,;)' =3^ +(1 + \>2)о<}-\'2а'ккЬф 0^=0(5,), и(.=8Д5,), (5)

где а'--¿"'гу. Аналогия (5) с системой уравнений теории упругости приводит к математической формулировке обобщенного прнннипа Вольтерра для второй задачи:

= Щ{*г), = . (6)

где с' = Е~'а (во второй краевой задаче теории упругости напряжения прямо пропорциональны модулю упругости, а деформации и перемещения от него не зависят). Оператору Е в (6) (и только ему) отведено вполне определенное (указанное) место. Случай, когда решение задачи теории упругости не зависит от упругих постоянных. Если какой-либо компонент напряженно-деформированного состояния (НДС) е задаче упругости не зависит от упругих постоянных, то согласно (4),(6) при переходе к задаче ползучести он не изменится. Ранее это положение являлось доказанным только для нестареющих материалов (поскольку только к ним относился принцип Вольтерра). Теперь оно распространено на случай стареющих сред. Случай постоянного коэффициента Пуассона. В этом случае операторы v,, чу вырождаются, очевидно, в числовой множитель - коэффициент Пуассона V и соотношения превращаются в теоремы Маслопа-Арутюняна.

Реализация обобщенного принципа Вольтерра. С отказом от допущения о постоянстве коэффициента Пуассона теоремы Маслова-Арутюняна утрачивают силу. •Обобщенный принцип Вольтерра позволяет, по существу, восполнить эту потерю.

Целесообразно специально выделить следующий весьма широкий класс упругих решений первой основной задачи:

(7)

Обобщенный принцип (4) переводит (7) в решение задачи теории ползучести:

о1уМ = 2па0(«,х)! о?}Ц,х]=ЦЬП ^{3,9V,}/(а1у с-пV,,х). (8)

(9)

Задача сведена к отдельным операторным уравнениям, в которые простейшим образом входят основные реологические операторы Я-' ню, имеющие вид

Е(0 Ао Е(т) ' £(0 ■ V

Особого внимания заслуживает случай двух постоянных коэффициентов V,, Уз (полный коэффициент Пуассона остается переменным). В данном случае (9) принимает вид

Большой интерес представляет такой класс упругих решений второй краевой задачи:

Ц = ' (12)

Для этого класса обобщенный принцип Вольтерра (6) дает:

(^Я-'+а^а^фЯ. (В)

В случае среды с двумя постоянными коэффициентами Vj, V2 (13) принимает вид

Of|(0-£(<3^£"1+lK+af"v2)/(aJ+aiJv1)]C(i,T)}c5(T)dT=aI5(0. (14) Аналогичо осуществляется реализация результатов (4),(6) в других случаях. Пример 1. Сила Р приложена в начале координат неограниченной среды и направлена по оси Z (задача Кельвина). Упругое решение (рассматривается одно напряжение):

а,«*,*«*" ¿.Р. Ч-гЬ^гР:

Чтобы учесть ползучесть, надо согласно (11) решить интегральное уравнение 2

и подобное уравнение для .

Пример 2. Материал заключен в жесткую цилиндрическую форму, открытую с одного торца. Через этот торец на материал передается давление р=const. Требуется определить боковое давление q(t) материала на форму в предположении ее гладкости. Упруго-мгновенное решение задачи: q =[v( /(l—v,)]p. Следовательно согласно (11)

«у-- £вмад^см**-

=fE(tp-'(f0)+(v2/v1)C(M0)].

Если материал не обладает старением, то отсюда

qr(»)=p(v1 + v2£C<0)/ll-v1+(l-v2)ECwl. Полученный результат позволяет оценить влияние переменности коэффициента Пуассона. При v, =0,2; v2=0,i (эти цифры опираются на опытные данные С.В.Александровского и О.М.Попковой) и £СГО =3 (достаточно обычное для бетона значение) q(co)=.p/7, тогда как при v2 = v, (и любой величине ЕСЖ) зг(со)яг pv,/(l—v,)ss/^.Такая оценка, показывающая, что классическое допущение v( = v2 =const может быть источником существенных погрешностей, расходится с известное косвенной оценкой И.Е.Прокоповича. Надо, однако,'заметить, что в рассмотренном задаче роль коэффициента Пуассона максимально велика (см. пример 3).

Пример 3 —задача о температурных напряжениях в шаре радиуса R при температурном поле T{t,r): '

Отказ от допущения о постоянстве коэффициента Пуассона здесь выразился в умножении меры ползучести на постоянный коэффициент. При V, =0,2; v2 =0,1 (как в предыдущем примере) этот коэффициент равен 9/8.

S. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ НАРАЩИВАЕМОГО ТЕДА Введение. Под наращиванием тела понимается его изменение вследствие добавления материала либо связей.

; . Начало теории упругости наращиваемого тела положил Э.И.Рашба (1953, плотина трапецеидального профиля, возводимая горизонтальными слоями), инициировав исследования других авторов, посвященные решению аналогичных задач тем же способом суперпозиции решений обычных задач теории упругости. Возможность такой суперпозиции позволяет обойти (или отодвинуть на задний план) вопрос о полной системе уравнений теории упругости наращиваемого тела, поэтому лишь отдельные детали данного вопроса получили освещение.

Теория ползучести наращиваемого тела возникла в конце 50-х годов (следует выделить работы Г.В.Кизирия) как новое прикладное направление теории ползучести, посвященное расчету сборных стержневых железобетонных конструкций. Аппаратом для определения лишних неизвестных здесь служат уравнения совместности перемещений в местах и со времени постановки лишних связей. Характерно использование теории старения. Решено значительное число конкретных задач. Показано, что в условиях' ползучести получается качественно новая картина: наращивание тела влечет за собой изменение во времени НДС тела и при постоянной нагрузке.

Следующий шаг на пути построения теории ползучести наращиваемого тела составили работы автора [5.1]-[5.3]. Здесь, во-первых, обращено внимание на принципиальную идентичность вопроса о расчете сборных статически неопределимых стержневых конструкций и вопроса определения НДС наращиваемых массивов, нагружаемых по мере их возведения: в обоих случаях характерным обстоятельством, делающим эти вопросы предметом специального изучения, является временная несовместность деформирования элементов сооружения, обусловленная тем, что часть связей между элементами первоначально отсутствовала. Это наблюдение привело к формулировке в общем виде задачи об НДС произвольной системы с увеличивающимся количеством связей. Во-вторых, впервые задача теории ползучести наращиваемого тела поставлена н рассмотрена как граничная задача. Основные результаты работы [5.3} и дополняющей ее работы [5.4] освещаются в настоящей главе.

Во второй половине 70-х годов в теории ползучести наращиваемого тела сложилось новое (весьма плодотворное) направление, которое возглавил Н:Х.Арутюнян. На первый план здесь выдвинута технологическая неоднородность наращиваемого тела (зависимость возраста материала от координат).

'Особое направление в теории ползучести наращиваемого тела составляют работа, имеющие целью машинное решение исходной полной системы уравнений (Л.П.Трапезников и др.).

Постановка задачи н полная система уравнений. Рассматривается тело, граница которого по заданному закону непрерывео или дискретно изменяется во времени вследствие добавления материала (либо связей), - наращиваемое тело. Начальное НДС материала считается известным: Воздействиями (квазистатическими) на тело являются объемные силы поверхностные силы р, собственные деформации Э и опорные смещения б- Первые и третьи известны во всем объеме тела V, вторые - на части , а четвертые - на части поверхности тела (области 5, и переменны во времени вследствие наращивания тела и могут пересекаться). Постулируется, что непрерывное наращивание и одновременное непрерывное нагружение тела можно трактовать как чередование мтовенных элементарных актов изменения границы тела и изменения нагрузки (данная оговорка важна: без нее указанный двуединый процесс не имеет определенного смысла). Опираясь на изложенную постановку задачи можно показать: дифференциальные уравнения равновесия сохраняют обычный вид; формулы Коши (и Сен-Венана) выполняются в скоростях: кинематические граничные условия должны задаваться в скоростях (сами перемещения не имеют однозначного'смысла); к обычным статическим . граничным условиям добавляются аналогичные в скоростях; реологические наслед-

ственные уравнения отличаются от обычных тем, что начальный момент времени зависит от точки теяа: ,

У-о^=0,е-=с1еГи',Е=э+На* (У); ог-п=р, (5,); и* =5* (52), (I)'

где Н - оператор закона Гука с условным постоянным модулем упругости Еа и коэффициентом Пуассона V; звездочкой обозначено интегразыюе преобразование

Щ,х)=&1Е-Цх)+С(1,х)]/дх (2)

(момент времени £г является начальным для данной точки тела, положение которой определяется радиусом-вектором Г)\ дифференцирование по времени предшествует дифференцированию по координатам; использовано допущение о едином для мгновенных и длительных деформаций постоянном коэффициенте Пуассона V. Общее решение задачи для однородного тела. В данном случае характеристики материала не зависят от координат. Учитывая еще, что в точках непрерывно движущейся границы момент времени <г и £ бесконечно близки, и считая начальное НДС бесконечно тонких слоев наращивания нулевым, можно привести (I) к виду 4

E•=defu•, в'=э'+На*'.} с*'-п = р*' ; и'=5'. (3) При этом (в силу близости 1е и ( на.иепрерывно движущейся границе)

р*- М=я0{[р(£)/я(гг -К{/,0рМ). <зу

Относительно а*', Е*, и* (3) - система уравнений обычной теории упругости для тела, испытывающего воздействия q*•, р*", э*, 5" (время - параметр). Следовательно а*' = Р*', Л-), е; Р*', Д'), и' =й(«; Р*\ Д'). (4)

Чертой отмечено решение упругой задачи; (Р**), (Д") - обозначение воздействий (р*", Ц4"), (Э', 8") соответственно; явно выделенное время символизирует парамет-.рическую зависимость от него границы тела. После интегрирования по I и раскрытия содержания операции (*) 1» (4) получается искомое общее решение задачи:

Я -' (г )ст,7(г) - =Я-1 ((г) )+л-1 ^ Р*'(т). Д-(т)]Л, (5)

• е0(()=е^г)Ц1гёу1т, Р*-(т), Д'(т)]сгт. (б)

Результат для и,- идентичен с (6). Таким образом, задач» ползучести для наращиваемого тела сведена к задаче упругости для тела с фиксированной границей и стандартным дополнительным операциям по времени, каковымн являются квадратуры (при вычислении Су, и;) и решение катарального уравнения (при вычислении о у).

Тело с постоянной границей. Если граница тела постоянна, то, как нетрудно показать, результаты (5), (6) вырождаются в теоремы Маслова-Арупоняна. Постоянная нагрузка Р. В этом случае

р*- (()=£0с-(;, Р*- (г)]=£0с*({, ух((, Р), (7)

где 1р - момент приложения нагрузки; X ~ любая из величин ау, ёу, <7Г

Посюшшое воздействие Д. Если тело подвергается воздействию Д({)=С0П51, то общее решение (5), (6) принимает вид

;,(*,). иД0=Ц,(д. (8)

Клк видно, новый материал не включается в работу. Для первоначальной области тела решение задачи такое же, как и при отсутствия наращивания.

Упругое наращиваемое тело. Если материал является упругим, то Р*= Р и

WhX(tr)+flX(T, Р-(т), A'(rl]dT. (9)

Упруго-наследственное тело. На практике часто приходится иметь дело с конструкциями. собираемыми го готовых элементов старого возраста, одинаковых по материалу и технологии изготовления. В этом случае Е = const = , 0(i, т)== C(f — т), расчетный аппарат значительно упрощается. В частности, для f —>и5 получается формула

Р*Чт)> A*(t)]dT. (10)

Пример 1. Круглый стержень длины а (рис. 5.1) на отрезке времени [io.ij] имеет радиус за время (ij.ij] растет в толщину (до радиуса /<?->). после чего не изменяется. Требуется выяснить НС. стержня, вызванное весом материала (q - объемный вес). Акт на-'

г-г ращивания стержня состоит из двух стадий. На , первой стадии к. поверхности стержня приклеива-J <ггся новый материал, выступающий в роли иа-

I грузки dT( = qRt'di. Вторая сгадия - перенос | границы пела на dRt, поверхностная нагрузка, I приложенная на первой стадии, превращается в ^ объемную, поверхность тела оказывается свободной от нагрузки (иными слова.ми, в момент приложения нагрузка срабатывает как поверхностная, а далее действует как объемная). Чтобы воспользоваться общим решением (5), надо, во-первых, преобразовать нагрузки по формулам (2), (3)', (7) (ма1ериал считается нестареющим):

g*M«,r)=gEC*((-g, Tf =Tt'. (а)

Во-вторых, надо решить вспомогательную упругую задачу (рис. 5.2). Ее решение (удовлетворяющее на торцах стержня интегральным граничным условиям) имеет вид

*.\-Лх'г<1)~(Чг/Щ)}* ^C'(t-tr)rdr-[q/r)^EC'{t-tp)pdpirqrR' (в)

Остальные напряжения равны нулю. С учетом (б) уравнение (5) для Ох принимает вид ox(x,r,i)- ¡^Е[дС(1-т)/ат\с> X(x,r,x)di;-с? ^х^^^^-

^Шо-хУпЩ^ЕС^х-^р-Ща-хЩ/^Ых . (г)

Таким образом, задача сведена к решению отдельного интегрального уравнения по времени. В начальной области (r<Rt} tf =0, ox(x,r,tr) = q{a-x) (предполагается, что исходный стержень подвешен целиком). При Г>Ц ux(x,r,trj=0. После той или иной конкретизации функций C(t — т) и Rf уравнение (г) может быть решено известными способами. Самостоятельный интерес представляет случай быстрого наращивания (fj мало отличается от ij). В таком случае интегралы в правой части (г) берутся и для двух важнейших моментов времени сразу же получаются следующие результаты:

R2 jRI

«ч г

Рис. 5.1

Рис. 5.2

2.6 2 1.5 1

0.5 0

м

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 5Л

0(х;г 5 д, .»)=з^р+ЕСш+ЯС((, - да - + , •

На рис. 5.3 приведены графики о/[д(а-х)]=/(г/1У (принято ЕСт = 2, {[ = ^+0).

. Дискретно наращиваемое тело под постоянной нагруз-кой.этот случай представляет большой практический интерес. Пусть - моменты времени, в которые производится наращивание тела; Х,(!) - напряжение на отрезке времени от в,- до 0|+( (это может быть также усилие, приходящееся на площадку с постоянным 1С); 8({1) - деформация либо перемещение [/ е(9/,вм)]; ¿р -

момент приложения нагрузки. С помощью не совсем тривиальных преобразований решение (5),(6) приводится к простому виду

где Х(-, 5, - напряжение и деформация от реальных нагрузок в постоянном упругом теле того вида, который рассматриваемое упруго-ползучее наращиваемое тело приобретает после (-го наращивания (вспомогательные упругие задачи решаются с использованием модуля упругости Ч^й является решением интегрального уравнения

Учет начальных напряжений элементарных порций наращивания. Общее решение (5),(6) получено в предположении, что - бесконечно малые элементы наращива-. иия свободны от напряжений. В альтернативном случае упомянутые начальные напряжения обнаруживают себя лишь (помимо начальных условий) при преобразовании дифференцнальных уравнений равновесия:,

гсг*/&,=~д;-С>;, 0^-ЕаЩЦг)а^г)(ИгШ). (13)

Следовательно решение (5),(6) претерпевает только одно изменение: к условным объемным силам д добавляются силы О*.

Пример 2. Вертикальный стержень из нестареющего' материала наращивается по методу "подъема этажей" (рис. 5.4); нагрузка - собственный вес д: искомая величина -напряжение в поперечном сечении стержня. Этот пример призван продемонстрировать необходимость введения в общее решение (5),(6) дополнительных объемных сил О', и (поскольку ответ очевиден) справедливость теории. Пусть высота объекта растет по закону ¡1, Тогда Х=К(х. Так как в(у=-фс, то

Ч»)

Л(()

7

1

и

Г * I

д(1 дгх ^'йх1 4 * 5(5^

Рис. $А

дх *' дхд^ 5

- - 21

ii общее уравнение (5) принимает вид

откуда.следует o(f,x) = —qx -очевидное решение задачи.

Примечание. Если начало координат совместить с неподвижным основанием стержня, то теория приведет к неверному результату. Это объясняется тем, что в аппарате теории неявно задействовано допущение: в принятой системе координат точки тела не перемещаются непосредственно вследствие его наращивания.

6. СРЕДА С ЗАРАСТАЮЩИМИ ПОРАМИ.

ОПИСАНИЕ ГИДРЛТАЦИОНПОЮ СТАРЕНИЯ БЕТОНА.

РАННЕЕ НАГРУЖЕНИЕ БЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ Осиошши теория [6.1]. Вводится в рассмотрение пористая среда с зарастающими по-' рами. Уменьшение объема пор мыслится как результат отложения на их поверхности нового материала и трактуется как наращивание скелетной конструкт»'. Весь материал скелета считается однородным изотропным линейно деформируемым с модулем упругости Ех, мерой ползучести Сх((-т) и единым коэффициентом Пуассона \'х. Процесс зарастания пор в разных областях среды, вообще говоря, находится в разных стадиях из-за разного возраста материала. Таким образом, старение среды, т. е. изменение во времени ее макроскопических механических свойств есть следствие только уменьшения пористости материала. Среда неоднородна по механическим свойствам потому, что она неоднородна по пористости. Данная модель имеет прямое отношение к бетону молодого возраста: старение этого материала обусловлено главным образом зарастанием его пор продуктами гидратации цемента.

Макроскопическими характеристиками среды являются модуль упругости E(r,t), коэффициент Пуассона для упругих деформаций v((r,t), мера продольной ползучести • C(r,f,x) и мера поперечной ползучести C±{r,t,x) — v2(r,f,t), где Г- радиус-вектор макроскопического элементарного объема dV.

С микроскопической точки зрения, рассматриваемая среда представляет собой сложную наращиваемую конструкцию, удовлетворяющую условиям, принятым в предыдущей главе. Следовательно справедливо полученное там общее решение (5.4) в виде

< =öx(t; Р»\ а;), в; ^„(t; ря". Л'х). и; =йх(г; РГ> а;). (¡)

Здесь нижний крестик означает, что отмеченная им величина рассматривается на микроуровне (т. е. является функцией от гх~ радиуса-вектора микроскопического элементарного объема dVx)\ интегральное преобразование имеет вид

x®{t)=x{t)-l'tlrjxd,cjt-4)xwx. (2)

Для перехода на макроуровень надо усреднить (I) по представительному макрообъему dV. Результат усреднения достаточно очевиден:

Ст8. Ра*, А'), в- =£(i; Р®', Д*), u-=Ü({; Р®' , Д'). . (3)

В (2) нижним пределом интеграла становится величина tr, поскольку материал укладывается макропорциями. Решение (3) относится, вообще говоря, к неоднородному телу, в разных частях которого материал уложен в разное время и, соответственно, различаясь по возрасту, различается по пористости.

Пусть тедо представляет собой макрообразец, находящийся с момента Т пед постоянной осевой нагрузкой Р, вызывающей напряжение ст. Деформация яо.'пучестл образца, деленная на <т, есть макроскопическая мера ползучести C(i,t). Согласно (3)

C(t,t)=a' ,|^i[e,Pe*(9)]de=o-1j'[CT®-(0j/£(e)]d8=j'(Ex/B(6)]ö0Cx(8-T)d9. (4)

22 . Если £(0)=£■(«))=£', С(<,т)=с({—г) (условно-старый материал), то

ЛхСх({-г)=Яс({-<с). (5)

Это позволяет исключить михрохарактеристики. материала, посае чего окончательно

' а0.(г,() - ¡1 Ед,с[1 - х) а ¿г, т)Л=^(Л',)+а9[г, х, Р *• (т), Д-(т)]Л, (6)

г0(г,т,Р*- (т),Д-(т)]Л, (7)

■ р*(т)-Р(т)-/ттр0вс(х-е)Р(О)сге, (8)

С(г,<>т)=^[Е/Я(г>е)]двс(9-:^в, Сх(гД,г)=|^1(г,6)[Б/Е(г,0)1Э3с(О-т)й0. (9) Таким образом, задача теории ползучести для рассматриваемой неоднородной по возрасту стареющей наращиваемой среды сведена к задаче теории упругости для неоднородной среды с постоянной границей (здесь время выступает в .роли параметра) и простым дополнительным операциям по времени. Задаваемыми деформационными характеристиками материала.являются Е(г,(), У|(г,<), с(£—т). Ядро уравнения (6) - разностное, хотя рассматривается стареющая среда. Меры ползучести (9) демонстрируют свойства Материала, но в процедуре решения краевой задачи не участвуют.

В конечном итоге (после того, как общее решение задачи построено) можно отвлечься от принятой модели среды и считать, что результаты (6)-(8) относятся к неоднородной среде с мерами ползучести (9).

Для фиксированного температурно-влажностного состояния среды (обычное допущение) ¿¡(<), с({-т) можно задать как явные функции времени, например: Е{()=£(соК1-е-А«). М = у,(0)-[V,(0)- V,(со)]• [! -е~Р'], —()=с0(оо)[1 -е-^'-')]+с,(«)[1 -е-да--")]+С2(®){1 -е-<да"0], а»р.

При этом

—с0(°о)| ]_е_рт +К,ен Т 2 е -V

т) = (0)-[V,(0) — V,(ао)]с({-т)/С({,т); к, =сДоо)/с0{оо).

(10) (И)

(12)

(13)

На рис. 6.1, 6.2 приведены графики функций СЦ,х)/с(с6), у2(£,т) при таких исходных данных: к, =к2 = 1,5; а=5 суг.-|(Александровский); р=0,1 сут.~'(Шенк); у1(0)=0,5 (свежеприготовленный бетон); У|(ео)в0,2 (старый бетон), Видно, что теория хорошо

ф>)

Рис. 6.1

т=1сут.

т=2 1=7. т=14 1=28

vI(í,x)

Рпс.б.2

0.15

10 15 20 25 за 3$ 40 45 50 Т(сутаи)

О 1020304050 <—Т (сутки)

описывает влияние возраста бетона на сзго ползучесть при раннем (в пределах первого иескц&Хсго нагруженни. Согласие с опытом достигается главным образом несложным подбором параметров К(, К2 (проанализировано большое количество опытных данных). Весьма важно то, что мера ползучести (12) служит лишь показателем реологических свойств • материала, расчетный аппараг теории содержит в себе гораздо более ттростую функцию С(;--т) (11) - мер,/ пат>учесги условно-старого Ретоиа.

.23

Пример I. Давно существующая статически определимая балка высотой Л( наращивается слоем свежего бетона толщиной hj" (рис. 6.3). Требуется определить усилия jV;((), M/(t) (i —1,2) в каждой части сечения, вызванные весом нового бетона. Элементарно получаемое вспомогательное упругое решение задачи (для монолитной неоднородной балки, нагружаемой внешним моментом М) имеет вид

~Mfi) = Af/m(f), iVi(f)=Ai//!ln(i)> Щ) = -Йх{1)\

fi(i)=m(i)[l + F(f)] /6(1 + X); F{t) = E2(t)/Ev где M - известный полный изгибающий момент в сечении. Чтобы по-, лучить решение задачи ползучести надо, во-первых, заменить реальную нагрузку преобразованной, что, очевидно, эквивалентно преобразованию изгибающего момента Ы. Согласно (8),(6) M*'(t)=-A1Ec'(t), E~ES =Ег{ю). Интегрированием общего решения (6) по каждой области сечения в отдельности осуществляется переход от напряжений к усилия«,/ (fr в каждой области - фиксированная величина). Это дает, в частности,

j,0Eldc{t-?ydt}Ml{%)dx=Mi{Q)+ЦЩх.М*' (t)}dx. В начальный момент времени вся нагрузка воспринимается исходной балкой, поэтому М](0) = М и с учетом вышеприведенных соотношений

М,0) - Цщдсу - т)/<тг ]М, (r)dr=Ai[l - |'Я[г • (т )/т (т )]dTJ.

Из-за наличия в правой части функции w(t) это интегральное уравнение требует численного решения. Го обстоятельство, что ядро уравнения - разностное, позволяет мгновенно получить асимптотическое решение в квадратурах:

М, (со)[1 + Ес(оз)] = М{1 - |™£[с• (x)/m (т)]с?т>. Пример 2 - задача о релаксации напряжений. Согласно общему решению (6)

o(i)-j[^Edxc(t-т)сг(т)с?х =c(i0), сг(со) = a{cQ)/[1 + Ес(да)]. (14)

Результат (14) показывает: процесс релаксации в рассматриваемой среде полностью определяется свойствами условно-старого материала, тогда как ползучесть сильнейшим образом зависит от всего хода старения. Возможность такого явления уже обсуждалась в гл. 2. На первый взгляд, (14) противоречит опытным данным А.В.Яшнна: увеличение vg от 2 до 29 суток привело к двукратному уменьшению отношения ст(«>)/сг(?0). Однако в этих опытах, повндимому, заметно проявилась нелинейность. Учет температурного фактора. Твердение бетона в массивных конструкция* сопровождается значительным саморазогревом материала. Это влияет »а ход твердения и реологические свойства бетона. Учет второго обстоятельства^ составляет открытую проблему. Надо заметить, что в упомянуть« конструкциях бетон подвергается действию еобственнго веса и вынужденных деформаций с нулевого возраста.

Если предположить, что на стадии интенсивного твердения бетона допустимо ограничиться учетом влияния температуры только на скорость гидратации цемента, то описание термоползучести материала можно получить с помощью вышеизложенной теории, объединив ее с тон или иной теорией кинетики твердения бетона (И.Д.Запо-рожца или Г.Д.Виишевецкого). Это сделано в [6.23.

„ 24

Проделана значительная вычислительная работа по анализу С(/,т)/с(оо) влияния постоянны* температур н переменных температур-;

ных режимов на ползучесть бетона молодого возраста в та-610« ком описании (Л.М.Каган-Розенцвейг). Качественное согяа-

4сие теории с опытом несомненно: при очень раннем нагру-

¡¡¡»о жении бетона более высокой температуре отвечает меньшая 2ползучесть вследствие интенсификации старения (рис. 6.4); с

0увеличением возраста нагружаемого бетона этот эффект ис-

чезает. Именно такая картина наблюдалась в опытах . . ' П.И.Васильева и Б.А.Гвврилина (при еще более позднем на-т> ал " гружении термоахтивация течения перекрывает термоахти-Рис. 6.4 вацию стлвения. что находится уже вне обтасти примени-

мости рассматриваемого варианта теории). Несложным подбором параметров можно добиться и необходимых количественных показателей, пока рассматривается достаточно раннее (в пределах первых двух недель) нвгружение. Рассмотренные конкретные примеры определения температурных напряжений (В.П.Ященко) показали что не считаться в такого рода задачах с пространственной неоднородностью свойств материала, обусловленной неоднородностью температурного поля, нельзя. Учет длительного старения материала [6.3]. Как известно, уменьшение ползучести бетона наблюдается гораздо дольше, чем увеличение его модуля упругости. Результаты (4),(9) сами подсказывают естественный способ учета этого обстоятельства:

с({,х)=^ях/г(0)1аесх(0,^е( сх((,т)=/{уде .

С модельной точки зрения, (15) означает наделение скелета пористой среды свойством реологического старения. Целесообразно различать молодой, средний и старый в01-раст материала (И.Е.Прокопович): •

ЩЦ, ш Сх{1,т); Е{со), СХМ; £(Ч у,(Ч Сх(;-т). (16)

Согласно (55),(16) для бетона, достигшего среднего или старого возраста, справедливы - следующие полезные соотношения соответственно:

£(со}СМ=ЯхСх(г,т); £НС{г-г)=£хСхр-г). (17)

Чтобы меры ползучести (15) приобрели определенность, необходимо так или иначе задать функции Е((), У|{(), Сх({,т). Для обычных условий можно принять (10) и

С*(И=СХЮ(Н-Ве-^^-'^-е-г/С-')]; Ь<р, у0=а»р, у,.(1>0)=РЛ, 2^=1. (18) При этом интегралы (15) берутся в легко осуществляемым подбором параметров функции (18) получается требуемый вид семейства кривых ползучести С(^т) [6.4].

Изложенный способ описания ползучести стареющего бетона имеет два достоинства. Во-первых, он связан со структурной моделью материала, что позволяет (как было указано в предыдущем параграфе) развивать теорию по пути учета неординарных условий. Во-вторых, меры ползучести (15) обеспечивают (дня тела, в пределах которого материал имеет одинаковый возраст) существование общего решения (3), где

Уравнения (3),(19) - аналог теорем Маслова-Арутюняна, не требующий постоянства коэффициента Пуассона. Упругие характеристики материала Е((), У({£) входят сюда только через решение вспомогательной упругой задачи, функции (7(1,т) и У2(£,т) явным образом не задействованы. Если конструкция неоднородна йо возрасту материала, то они может быть разбита на однородные суперэлсменты (см. пример 3). Пример 3. Три отличающиеся только возрастом колонны перекрываются (через шарниры) жссткнм'тяжелым ригелем. Скорость укорочения /-той колонны

I, Т (сутки) . Рис* б»4

где Nj - усилие в колонне; h - ее высота; А - площадь поперечного сечения; Е({() =

— Ejlt-r-tj), Cxj{t,xj = Cx((-ii,r — li), fj — момент времени в принятой системе отсчета, соответствующий нулевому возрасту колонны. В предположении, что расстояния между соседними колоннами одинаковы, схорости 5" связаны условием совместности §3 ~5j' =2(5, -б|'), а усилия iV,- - условиями равновесия /V, = jV(, N2=P — N|, где Я

- вес ригеля. Все это дает разрешающее уравнение относительно iV|(f}, Заключение. Предложена модель стареющей среды - пористая среда с зарастающими ■ порами. Это позволило получить эффективное описание ползучести бетона на -всем интервале старения (начиная с нулевого возраста), имеющее физическую подоплеку. Оно-построено таким образом, что обеспечена возможность приведения задачи ползучести

к задаче упругости при переменном коэффициента Пуассона (необходимое условие для случая раннего нагруження), причем ядра интегральных преобразований являются упрощенными. В первом приближении учтено влияние температурных условий. Специально приложениям и развитию теории была посвящена кандидатская, диссертация Л.М.Кагана-Розенцвейга (I9S6).

7. ОБЪЕДИНЕННАЯ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ И ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ СТАРЕЮЩЕГО БЕТОНА Постановка задачи. Экспериментально выявленные эффекты, подлежащие учету: старение материала; два вида необратимости - 1-го рода (обусловлена повреждением структуры материала) и 2-го рода (следствие старения); наличие значительной линейной составляющей ползучести (полностью обратимей, сслп нет старения); в целом нелинейный характер деформирования; зависимость нелинейности от вида напряженного* состояния; снижение прочности в процессе ползучести; тесная связь нелинейности с повреждением структуры материала. Цель: построение определяющих уравнений. Нагру-жепне предполагается простым (все компоненты тензора напряжений в рассматриваемой точке изменяются во времени пропорционально), что позволяет характеризовать . исвреждешгость материала скаляром.

Общая часть. Полная механическая деформация бетона распадается на три линейные и одну нелинейную составляющие:

e^Wee^Wte/yW+a^O+P,^)- 0)

Линейные составляющие считаются известными:

AJ)~ve(t)A(t) (2)

(упругая деформация, закон Гуна);

e'^B^ + B^-a^), B...= -j^A'(t)...dT, В^-^АЦх)..^т (3) (необратимая деформация твердения);

a^Cag+CJOf-OuSg). C...=-|JaTC{f,4..cfT) Сх...= -^тСх(г,тМ? (4)

(линейная ползучесть, частичная обратимость):

CM=j^Ex/E(O))0eCx(e,x)dO, C±(t,х) = £ve(0)[Ex/E(e}]dgCJO,x)d& (5) (меры линейной ползучести согласно модели пористого материала с зарастающими норами ; Ех, Сх(0,т) -характеристики скелета);

ve(e)=ve(0)-[ve{0)-vpP9)/E, (б) '

(расшифровка функций, обеспечивающая совместно с (5) хорошее описание линейной ползучести стареющего бетона; Е, V,, Сх без аргументов - предельные значения). Предстоит определить разупрочнение материала и нелинейную ползучесть Р,у. Пусть

П - характеристика поврежденносги материала; П* = П*^' + П*' \ П"1*1 - скорость приращения П в процессе ползучести, П4"1 - скорость залечивания повреждений материала продуктами гидратации цемента. Постулируется, что

■ П^М-ВДО+СБМ]. (8)

где £?„(£), - удельные мощности диссипации энергии формоизменения в а- и Д-процессах, - безразмерный постоянный параметр (характеристика материала). Так как Р-ползучесть необратима, а а-ползучести свойственна частичная обратимость, то

. <з£=°,р;, о;=?1«)2, хсн^мй,." (9)

аб=(2/ЗКС+Сх), ^,т)=(2/3)[С({,т)+С1(г,т)]> . (10) где - интенсивность напряжений; а,*, Р* - интенсивности скоростей деформаций а-и р-ползучести (при простом нагружении интенсивность скоростей равна скорости интенсивности). Формулы, устанавливающие величину Ополучены с помощью реологической модели стареющего бетона из гл. 2.

Характеристика текущей прочности материала /¡(¿), убывающая с ростом П, вводится энергетическим соотношением

г,^)/6Сй=ЦЧ)/6С(Ц-^ГГ*(т)с/т, (И)

Это означает: разрушающим фактором является потенциальная энергия упругого формоизменения; в левой части - ее критическое значение; первый член правой части - критическое значение энергии для неповрежденного материала. Так как удельная энергия упругого формоизменения равна С?(0/6С?((). то условие разрушения имегт вид

. = - 02) Величину- ^ надо заимствовать из известных энергетических теорий хрупкого разрушения. Ниже для определенности используется теория П.П.Баландина (имеющая ясный физический смысл и удовлетворительная по точности). При этом

... (13)

где аь =сг^ /3 - шаровое напряжение; Яр - пределы мгновенной прочности на сжатие и растяжение зрелого материала. Согласно рекомендациям ЕКВ ..

. • ЯрШ^ЕЩ/Е*, (14)

ко могут быть использованы, конечно, и другие соотношения.

Приращению поврежденносги материала отвечает приращение нелинейной ползучее 1н. Опираясь на соображения размерностей и простоты, естественно принять:

р;ггч({>/г,(о, р;==а3пло/п{ои*3/*2)р;м, оэ .

где р0=ри/3 г- шаровая деформация, обусловленная разрыхлением материала; к2. к3 - безразмерные параметры. Из (81. (9), (11), (15) выводятся следующие основные уравнения (аргумент»опущен):

к,;)' об)

. , . р;=к,к&/(ггк1к2о^К=]к3/к2)р*. (17)

Через найденные р^ находятся по известным формулам компоненты Р^:

Таким образом, общий расчетный аппарат теории построен. Постоянные коэффициенты ¿р к2, ку подлежат косвенному определению из опыта. Если предположить, как это часто делают, что в момент разрушения скорость ползучести становится бесконечно большой, то согласно (17)

к,к2 =I (19)

и число параметров сокращается до двух. Учитывая, что на практике приходится иметь дело с весьма приближенной информацией о ползучести, разумно принять (19).

Примечания. 1) Величина П рассматривается как характеристика поврежден-ности материала, но не как критерий разрушения, т. е. (в отличие от традиции теорий длительной прочности) условием разрушения не является достижение величиной П стандартного значения. Все зависит от удельного запаса упругой энергии: чем он выше, тем при меньшей повревденности материала произойдет разрушение. 2) Залечивание повреждений (Пн) учитывается неявно - с помощью функций 1^(1), Е{1) и прочих, описывающих процесс твердения материала. 3) Согласно (13) величины Ц, Г, зависят от шаровой части тензора напряжений (в силу чего могут быть равны нулю), поэтому соотношения (11)|(12) не означают, что разрушение вызывается только девиато-рсм напряжений, оно может быть вызвано одним шаровым напряжением. Коэффициент Пуассона для деформаций нелинейной ползучести. Из (18) и (15)

где Р, - продольная и поперечная деформации в случае одноосного НС; верхний знак относится к сжатию, а нижний-к растяжению. В силу положительности к2, къ и из (20) следуют оценки

Ь<.къ/кг$й,5\ 0¿Vpp¿0,5; 0,5£урс:£2. (21)

Нестареющий материал. Я, Уе, Яр становятся постоянными величинами, а меры линейной ползучести С, - функциями разности / —т, причем Сх = УаС, \'а = . Расчетный аппарат теорий очевидным образом существенно упрощается. Постоянное НС нестареющего материала. Два первых слагаемых в правой части (16) исчезают, после чего (16), (17) интегрируются в замкнутом виде. Окончательно:

г^ч+Щ^р-крс&Що, Ф(П=(С4/Сю)(2-С{/С„), (22)

' (23)

ЛтД (24)

ссу{!)=[(!+у(1)ст^-сг^ = стП+стц+СТзУ=Зо0. (25)

Учтено(19). Разрушение наступает в тот момент времени^,, когда = т.е.

к£СаЩ.)=(Ц/^-1)г. '(26)

Отсюда находится.!,. Все напряжения удобно выразить через общий "параметр нагрузки" р: = где Пу - безразмерные коэффициенты, определяющие соотношения между напряжениями. Тогда (26) можно рассматривать как уравнение, определяющее

величину напряжения р, вызывающего разрушение через заданное время i,. Согласно (25) минимальное напряжение, вызывающее разрушение (прн этом i. —> оо)

fei V

Р<0~ 2л

'ffl

2л,К^ ОД

J

-I

<26)'

(27)

(28) (29)

Постоянное одноосное НС Расчетные формулы (22}-(2б) дают:_

г, = а+ ^-ор-^ЕС^Ф, =

= ОД-ш^ф+4К2ш/(1 -ш)2± 1 ]/2Я2, где Т, — разрушающая величина о; верхний знак относится к сжатию, а нижний - к растяжению: а, - продольные деформации по модулю; С^ - предел длительной прочности. Самостоятельный интерес представляет отношение р/а. Согласно (27), (28) Р,=1+уа о(2-С,/Сш) Р0_М-у„ а Ри=Рр Ъ-о „

а, 1 + ур{Дг-а)+(г,-а)' а0~1+ур ^-а' аот а0 {гот-о)"

Отсюда: при СТ<о^ («7<Гт) отношение Р(/<х( убывает с течением времени ("смягчение нелинейности"- эффект Н.И.Катина); при Осг^ имеет место обратный эффект.

Обработка имеющихся в литературе экспериментальных данных с помощью формул (27)-(29) и с учетом П9).(20) привела к выводу, что можно принять

Щ = к2=1/А,; к3/к2 =0,25; урс =1; vpp =0,2. • (31)

Теоретическую картину ползучести логично рассмотреть на примере "эталонного" бетона (А.Е.Десов, И.Е.Прокопович)., Исходные данные (время - в сутках):

£=3,3104Мпа; ^.=2,5Мпа; йр=1,8Мпа; «1=^/^=0,08; £СШ = 2,1;

С,/Са=1 —0,28ехр(- 0,0018 —0,57ехр(—0,01 Сю,=0,63610-4 Мпа~". Результаты расчета по формулам (30),(29): =0,74/100; К = 1,125; 0^/^=0,805: 0„р/Лр=0,981 Сравнение двух последних величин свидетельствует: при растяжении нелинейность проявляется слабее, чем при сжатии (эффект П.И.Васильева).

Харажт-ки погаучести На рис. 7.1 представлено семейство теоретических характеристик ползучести 0( = £(а( + Р()/сг (случай сжатия). ' _ Эта теоретическая картина качественно и количественно ' согласуется с экспериментальной (ср. с известными кри-

вымя А.В.Яшнна). в Чистый сдвиг, В

касательное

15

tjcyr.f loot» напряжение; прочие 0", CTj = ß^Rp и фор-

Риг. 7.1 мулы (22), (24), (25) принимают вид

= Л^ДуЗ, г=Л/УЗ; (32;

ß, -ftjW-IW« J/2Gfc,r а( sк,2(i)=т(] + va)С,. (33.

Предел длительного сопроттелени* проще всего находится из (32): i=—> оо,

.Для эталонного бетона т^ =0,89^.д, следовательно нелинейность при сдвиге выражена слабее, чем при сжатии, но сильнее, чем при растяжении.

Ограниченный вариант теории. Если НС не выходит за пределы длительной прочности, то, как показывают расчеты, разупрочнение невелико и можно в (17) заменить г-на после чего для расчета ползучести не приходится прибегать к помощи (16).

Кратковременное нагружение. Теория позволяет истолковать (что само по себе не ново) и, главное, успешно описать условно-мгновенные нелинейные эффекты как эффекты ползучести. Старением материала за рассматриваемое время (несколько минут) можно пренебречь. Мера линейной ползучести должна правильно описывать начальное развитие а-процесса. Вопрос подробно рассмотрен в канд. днсс. А.А.Котова. Об одной особенносги теории. Эта особенность состоит в следующем: аппарат теории может рассматриваться как алгоритм, преобразующий линейное .описание ползучести в нелинейное. Следовательно для учета температурных, вибрационных и других эффектов остается получить решение вопроса в линейном приближении. Приложения, полученные теорией. М.В.Сергеев (1981, канд. дисс.) исследовал работу бетонной крепи вертикального шахтного ствола, торец которого перемещается с конечной скоростью до больших глубин. Теория использована для описания свойств как бетона, так и грунта. А.В.Рощин (1983) решил задачу о кручении круглого стержня. А.А.Котов (1985, канд. дисс.) применил теорию к расчету ж/б элементов. Заключение. Вышеизложенная теория описывает работу бетона любого возраста, в условиях объемного НС, без ограничения его уровня, при длительных и кратковременных режимах (но в рамках допущения, что между компонентами теизора напряжений сохраняются во времени постоянные отношения). Теория опирается на предпосылки, отражающие современное представление о механизмах деформирования и разрушения бетона. Существенно, что уравнения просты и параметры (которых всего три) определены. Проверка показала, что имеет место согласие теории с опытом. Достаточно общий характер теории обеспечивает возможность ее применения к другим материалам (она уже была использована применительно к грунту). Основные публикации: [7.1]-[7.4].

8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОПОДЗУЧЕСГИ БЕТОНА Введение. Задача построения определяющих уравнений термоползучести бетона заключается в получении таких уравнений связи между деформациями ползучести и напряжениями, с помощью которых можно учитывать сложные (нестационарные) температурные условия, располагая сведениями о поведении материала в простых условиях. Опытные данные с несомненностью свидетельствуют о сильном влиянии температуры на ползучесть бетона и о весьма сложном характере этого влияния. Последнее обстоятельство настолько затрудняет разработку теории термоползучести бетона, что она далеко отстает в развитии от "обычной" теории. Тем не менее, имекнея" уже существенные заделы принципиального характера (П.И.Васильев, Б.А.Гаврилин, А.Б.Малькевич: А.А.Зетин; З.Бажант). Автор настоящего доклада также занимался построением теории термоползучести бетона, причем в нескольких идейно различных вариантах. Ниже излагаются основы теории, опирающейся на специальную реологическую-модель [8.1]. Реологическая модель для описания линейной термоползучести бетона. Предлагаемая реологическая модель показана на рис. 8.1. В момент времени / она состоит нэ (р1 одинаковых "слоев", параллельных плоскости чертежа. Начальное состояние каждого слоя является "естественным" (ненапряженным). Неубывающая функция ф( характеризует процесс необратимого старения материала (оно трактуется как увеличение количества внутренних связей материала). Природа старения может быть разной.

В слое модели связи имеют некоторое фиксированное (общее для всех слоев) распределение по термопрочности, ^ | согласно которому при данной температуре Г (независимо

<р,Ц, |фф от НДС материала, поскольку речь идет о линейной теории)

связи подразделяются на целые и разрушенные. С понижением температуры, соответствующая часть разрушенных Рис. 8.1 Г1 связей восстанавливается в естественном состоянии. Напро-

тив, повышение температуры вызывает дополнительное разрушение связей, сопровождающееся перераспределением внутренних усилий во всей модели. Изменение температуры от Г до Т + С1Т затрагивает вполне определенную группу связей слоя, каждый раз одну и ту же при прохождении через данную температуру Т. Из сказанного вытекает, что деформационные характеристики слоя ц,, \ (коэффициенты жесткости и вязкости) суть мгновенные функции температуры: =ц(Г(), = Х(Г,). При любом температурном режиме суммарная реакция вязких элементов 5, =ф(?.(р;*, где р( - деформация модели (деформация ползучести моделируемого материала). Изменение суммарной реакции Г( переменной совокупности упругих пружин модели в ответ на изменение ее

деформации происходит по закону гиноупругости Г(' . Увеличение числа пру-

жин само.по себе не изменяет г(. За время <11 в окрестности момента ( на стадии повышения температуры претерпевают разрушение упругие связи определенной термо-прочиости.

Эту группу связей составляют те связи рассматриваемой ^ ^ -Т^-йС^Т^ск . тгрмопрочности, что образовались на отрезке времени от С до ( вследствие старения материала (роста функции ), и те ^ связи, что возникли за сИ' в окрестности {' от понижения " температуры (рис. 8.2). С учетом сказанного условие равно-Рис. 8.2 весия модели (после некоторых преобразований) дает иско-

мое реологическое уравнений термоползучести

с; =(ч>ЛР(')" |('(()ф3р^9](Т.>0), (1)

где и (р-концы интервала непрерывности и монотонности функции Т(; при нарушении указанного неравенства третье слагаемое отсутствует. К реологическому уравнению (1) надо добавить два начальных условия

Р(С)=Р(и Да(д=Дг(У+Л4'а)- (2)

Второе из этих условий удобнее расшифровывать в каждом конкретном случае, опираясь на указанные выше свойства модели. Нижний предел V в (1) определяется как ближайшийк£ корень уравнения Т^')=Т(1),

То обстоятельство, что за уравнением (I) стоит определенная модель, позволяет сразу, не прибегая к решению уравнения (одно из преимуществ модельного подхода), указать важнейшие теоретические закономерности тсрмоползучести: I.Повышение температуры порождает дополнительный процесс ползучести, как будто увеличилась нагрузка (явление температурного последействия), поскольку подъему температуры отвечает разрушение части напряженных пружин с передачей их усилий на вязкие элементы. 2.Если Г=С01И1 с момента приготовления материала до момента наблюдения, то при более высокой температуре может наблюдаться меньшая ползучесть (увеличение количества связей за счет образования:новых слоев модели перекрывает их суммарную

- - 31

убыль в слоях). 3)При циклическом изменении температуры температурное последействие на каждом следующем цикле меньше, чем на предыдущем (разрушающиеся связи, одни и те же на всех циклах, за время ог восстановления до разрушения с каждым новым циклом накапливают ссе меньшее усилие вследствие уменьшения скорости ползучести). 4)С понижением температуры часть обратимой деформации ползучести пре-вращаекя в условно-остаточную: "замораживается" восстанавливающимися связями. Эта деформация может быть "разморожена" повышением температуры. 5)Необратимое старение материала под нагрузкой, характеризующееся неубывающей функцией <р(, порождает безусловно остаточную деформацию гюлчучепгн. Температурная активация этого процесса представляет собой так называемое температурное старение.

Закономерности 1-3 термоползучести рассматриваемой модели экспериментально обнаружены к настоящему времени у бетона; свойства 4, 5, предсказываемые моделью, подтверждаются косвенно - согласием с опытом многочисленных, теоретических результатов. Надо подчеркнуть, что широкий охват эффектов достигнут с помощью небольшого числа физически оправданных простых исходных положений. Законченный вариант теории (разработан совместоно с асп. И.А. Куприяновым). Теперь необходимо задать функции ф(. Анализ различных возможностей

позволил выделить следующий вариант, относящийся к бетону зрелого возраста:

ц(Г()=мР(Г4), Щ)=№(Г,), Р(Г() = ехр(-ед-Т)1; _ (3)

ФгТ№)-Ф|Ц. Ф;=О(Фй(Р), ФОГ()=Р-'<Г(ь У = Ц/Х, (4) где. Г — некоторая постоянная стандартная температура (например, 20°С). Функция Ф представляет собой тот предел, к которому стремится функция j в процессе температурного старения материала. С повышением температуры "предел старения" Ф увеличивается. После принятия зависимостей (3),(4) теория вместо двух функций , Х1 и одного функционала ф( содержит 3 числовых параметра (Ц, у, к), подлежащих определению из опыта (при этом только параметр к является специфически температурным). Для достижения хорошего согласия теории с опытом, как выяснилось, необходимо последовательно соединить три рассмотренных модели. Такая трехзвенная модель характеризуется девятью числовыми Параметрами у ¡, к^ (/=1,2,3). Первое звено описывает быстро натекающую ползучесть, второе - ползучесть средней скорости, третье - медленную пол-зучеегь. Параметры должны подбираться по кривым ползучести, отвечающим характерным темпе-=С(Т) ратурным условиям, которые достаточно легко

--~—_ ( реализовать в эксперименте. Такие условия указы-

.4=81 1»б1 ваются самой теорией (рис. 8.3). В первом случае

Рис. 8.3 все температурное старение, инициированное подъ-

емом температуры, протекает под нагрузкой. Во втором случае все старение успевает закончиться до приложения нагрузки. Для этих двух случаев теория дает такие выражения меры ползучести отдельного звена модели:

С/(^т)=цГ'[Ф;г/(Ф|Т-1)]1п{!+(Ф1Т-1)[!-е-тИ'-ЧЙ, (5)

, С«((,т)=мг1[1-е-г^)], г.,=И,/*г .(б)

Опираясь на эти формулы, И.А.Куприянов построил алгоритм вычисления параметров теории. Формулы, аналогичные по сложности (5), получаются и в случае произвольного режима - со ступенчатым изменением температуры и напряжения. По' ним обсчитаны экспериментальные кривые ползучести бетона, принадлежащие А.Б.Маль-кевичу (это наиболее содержательная совокупность опытных данных). Один из результатов такого обсчета приведен на рис. 8.4 (ступенчатое повышение температуры

пературы 20-40-60-80',С при постоянном напряжении 13,6 МПа; надо подчеркнуть, что значения параметров подобраны по другим режимам, упомянутым выше). Всего обработано 11 сложных температурно-силовых режимов, что привело к такому общему выводу: качественное согласие теории и опыта имеет место во всех случаях; в количественном отношении предложенный расчетный аппарат лучше всего описывает термоползучесть зрелого бетона при невысоких уровнях напряжений и монотонном изменении температуры; дальнейшее совершенствование теории должно состоять, прежде всего, в учете нелинейной составляющей ползучести.

Деф. полз.-105

so <0

40

20 Л ТГо

hi tf>о-о

0 4 s 12 16 20 24 28

Рис. 8.4 Сутки

Поток 7 гола иге.

Ч

¿9?

6UE, °С

I- yiijl УШИЛ1ЯГЦШ.1Л

2. однородная ползучее?» 3- терчакеодкородкая ползучесть

*0°С »,44 28,«

Рис. 8.5

Влияние термореологической неоднородности на НДС конструкций. Неоднородность температурного поля порождает зависимость от координат реологических характеристик материала, что сказывается на НДС тела. Этот эффект проанализирован И.А.Куприяновым в его диссертации. Один из результатов представлен на рис. 8.5. Стержень прямоугольного поперечного сечения (показана половина сечения) в середине высоты имеет постоянный источник тепла. По торцам стержень защемлен. Боковые поверхности теплоизолированы. Приведенные три варианта эпюры напряжений свидетельствуют, что обсуждчемый эффект (не учитываемый в современных расчетах конструкций) может быть весьма значительным.

9. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВИБРОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА Введение. Виброползучспью называется ползучесть под нагрузкой, которая состоит из основной квазистатической части и относительно малого вибрационного пршруза. Наличие такого пригруза существенно изменяет реологические свойства материала. Экспериментальное изучение виброво.пучестн бетона (начавшееся в середине 40-х годов) выявило важнейшие особенности явления: деформация растет ? большей скоростью и до большей окончательной величины; увеличивается необратимость и нелинейность; снижается длительная прочность; существует условная область линейности относительно среднего напряжения цикла; при изгибе балок наблюдается частотная зависимость, а при сжатии призм она отсутствует (что еще не нашло объяснения). По мере накопления опытных данных предпринимались попытки охватить их с помощью обобщающих соотношений, однако этот чисто формальный подход не увенчался успехом - удовлетворительные реологические уравнения получить не удалось (из-за большого числа подлежащих увязке переменных). В такой ситуации необходимо опереться на те или иные теоретические соображения. А.К-Малмейстер (середина 50-х) взглянул на явление с позиций теории двонникования кристаллов. Это вылилось в предложение использовать реологическую нодепь, в которой коэффициент вязкости демпфера уменьшается с приложением к телу вибрационного пригруза, в результате чего процесс ползучести ускоряется (но не "углубляется"}; вопрос о связи коэффициента вязкости с динамическими параметрами нагрузки оставлен без ответа. Феноменологическую теорию коэффициента и меры виброползучестн дня стационарных динамических условий разработал В.М.Бондареико (конец 60-х). Недостаток места дня анализа этой интерес-

ной теории вынуждает ограничиться констатацией: теория отличается сложностью и приводит к неверному выводу о влиянии частоты пульсации нагрузки на деформацию ползучести при осевом сжатии образцов. Другие теоретические построения предшественников автору настояще;о доклада не известны. Ниже излагается новое решение вопроса (не лишенное некоторой связи с начинанием А.К.Малмейстера). Реологическая модель, предложенная в [9.1] для описания пнброползучестн зрелого бетона, изображена на рис. 9.1. Постулируется, что вибрация вызывает хнксотропное повреждение структуры материала, выражающееся в уменьшении числа целых связей. Вследствие этого "нормальные" значения р., X (коэффициентов жесткости и вязкости)

уменьшаются до величин Д, X. С прекращением вибрирования разрушенные связи восстанавливаются. Переходы модели из одного состояния в другое считаются мгновенным».

Этой простой модели присущи важнейшие свойства внброползучестн бетона: при наличии динамического п'ригруза модель деформируется с большей скоростью и в большей степени, так как имеет меньше связей; обратная ползучесть разгруженной модели протекает при полном числе связей, и этим порождается остаточная деформация; повторному нагружению модели той же динамической нагрузкой отвечает уменьшенная деформатнвность (на величину остаточной деформации после первого нагружения).

Модель допускает режимы с переменными динамическими параметрами, но первостепенный интерес представляет рассматриваемый ниже случай стационарной нагрузки

ст^а+Давтв^. < (1)

В данном случае параметры Д, X не зависят от .времени (т.к. постоянны Аст и '<»), а следовательно деформация модели (деформация ползучести) описывается уравнением ■

£р;+Др('=сг,. (2)

Под деформацией виброползучести понимают не динамическую р(, а среднюю за цикл квазистатическую деформацию р(. Усреднение (2) с учетом соотношения р/Х«0)дает . Щ' +ДР(=сг, ^(=(а/|т)[1-ехр(-у;)], у = ДЛ. (3)

Значит, для определения деформации виброползучести р( можно рассматривать модель с динамическими параметрами Д, X, находящуюся под статической нагрузкой о. Та же модель, но с параметрами Ц, X, дает деформацию статической ползучести р{. Законченный вариант теории (разработан совместно с асп. АЛахмаром). Чтобы теория приобрела законченный вид, необходимо связать деформационные характеристики модели Д, X с динамическими параметрами нагрузки Лег, а. Анализ экспериментальных данных позволил ввести упрощение:

ДЛ=ц/Л=соп«=§. (4)

Принято, далее, что критерием уменьшения от вибрации количества внутренних связей материала может служить мощность тепловыделения д в вязком элементе модели:

<7 = Я-1/;Хр(йс?((вф>>у =0,5Д<т2/Х (5)

(скорость деформации получена из (2)). Отдельно взятая связь имеег индивидуальную вибропрочность Г; Р(г)-функция распределения связей по прочности, т.е. относительное число связей,, ьроч.гость которых меньше Л Из теории вязкости заимствована известная гипотеза о пропорциональности вязкости числу целых связей матетуала:

о+Дазт<о4

£=X[1-F(r)]. (6)

Под Г следует понимать энергию, которую необходимо затратить на разрушение связи. При этом энергия, нужная для разрушения всех связей, прочность которых ниже т,

U(r)=NXsF'{s)ds, ' ■ .(7)

где N- общее число связей модели. Разрушенные связи все время стремятся восстановиться, поэтому для поддержания расслабленного состояния материала требуется постоянное подведение энергии. Ее источником является тепловыделение (5), а значит,

ir0sF'(s)ds=A2T^Fy rF'(r)=A^^^, Vi(l-F(r)^AAa, (8)

где А— некоторая константа материала. Результат (8) приводит к выводу: единственным параметром нагрузки, от которого зависит тиксотропиое виброрасслабление материала, является амплитуда напряжения (тогда как частота ю, среднее напряжение о и коэффициент асимметрии р=0т1л/отдх не играют роли). Данный вывод получен как следствие допущения о термической природе виброползучести. Теперь вместо выбора вида функции распределения F(r) и затем получения с помощью уравнения (8) зависимости jF(Aa) можно сразу задаваться последней. По риультатам анализа различных вариантов в сопоставлении вытекающих из них следствий с опытными данными (асп. АЛахмар) остановились на таком решении как наилучшем:

F(Ao)=l-e-K,oio, Х=Х.е-коД», Дгце-Мо. (9)

Параметр кс (единственный новый параметр теории) должен считаться эмпирическим. Так как он отражает процессы, происходящие, скорее всего, в водных прослойках цементного геяя, а состав бетона уже учитывается через А. и Ц , то имеются основания ожидать слабой зависимости его от индивидуальных характеристик бетоиа. Обработка опытных данных подтвердила это предположение и привела к оценке к„£ 0,3 МПа"'.

• С учетом (9) результат (3) принимает вид

р{-аек<Аа}1-Ц1~е'1()-Кр^ - (Ю)

где К- так называемый коэффициент внбррподзучести. Создается впечатление (оно широко распространено), что с помощью коэффициента виброползучести К задачи теории виброползучести сводятся к задачам обычной теории лодаучеста К сожалению, это далеко не так. Дело в том, что коэффициент К зависит от величины Да, которая меняется от точки к точке конструкции. В результате среда, испытывающая вибрацию, оказывается неоднородной по своим реологическим свойствам. Это обстоятельство впервые подмечено в излагаемой теории.

Для выделения необратимой части деформации виброползучести надо осуществить полную разгрузку модели (о = 0, Агу~ 0). С остановкой вибратора разрушенные связи ' восстанавливаются. Снятие нагрузки о эквивалентно приложению нагрузки —С. Эта нагрузка прикладывается к неповрежденной системе, следовательно обратная ползучесть равна прямой статической ползучести (надо вспомнить, что рассматривается нестареющий материал). Таким образом, вся дополнительная, ползучесть модели, обусловленная вибрацией, является необратимой в условиях полной разгрузки. Это незначительно отличается (в сторону завышения необратимости) от того, что наблюдается в . опытах. Если же снять только статическую нагрузку, оставив динамический пригруз, то модель вернется в недеформироваивое состояние (а как обстоит дело в действительности, не известно - соответствующие опыты не проводились).

При повторном нагружении модели восстановившиеся связи снова мгновенно разрушаются. В отличие от первого нагружения теперь существующие пружины имеют предварительное напряжение, за'счет «чего внешня* нагрузка отчасти уже уравНове-

А следовательно, новая деформация будет меньше первоначальной. Предварительная выдержка модели под статической нагрузкой также уменьшает запас виброползучести. Все это согласуется с опытом. Сказанное словами легко облекается с помощью модели

в математическую форму. - - ______

До сих пор рассматривалась деформация ползучести. Чтобы получить полную силовую деформацию нестареющего материала, надо добавить упругую деформацию, подчиняющуюся закону Гука. Уравнение (2) можно переписать, следовательно, в виде

Щ'-а1'/Е)+11(ё1-а/Е)=а1. (II)

Отсюда (с учетом соотношения у — \i/\ — ц/Х«(0) легко выводится результат

Д at = EAzt, (12)

о-шачаюший. что амплитуды напряжений, необходимые для вычисления деформаций виброползучести, можно определять упругим расчетом.

Пример. Конструкция показана па рис. 9.2. Первый этап расчета - определение амплитуд напряжений в колоннах от нагрузки AQsinwi ь предположении идеальной упругости конструкции. Результаты:

ДО| = (0.8АО/А)/[1—(о/ыр)2), ДО2=0,5ДО|, og=£A/3,75iun , где o>q - собственная частота колебаний конструкции; Л1 - масса балки. Теперь известны коэффициенты виброползучести колонн (К| =eKoAni, К2=екод<т2) и можно провести второй этап расчета конструкции на виброползучесть - рассмотреть средне-цикловое развитие деформаций и напряжений. Нагрузкой на этом этапе служит <?, колонны являются взякоупругими с характеристиками Я, Д(, Xt. Для решения задачи Смш инерств л-, имеются уравнение равновесия, уравнение совместности де-*' *' ■'' '.у формаций и два реологических уравнения: • Q+hQtnnotl CT,(f)A-2+a2(t)A-l-O-2=0, e,(t)=2e2(f),

[E,(i)-0||f)/£)-+r[£i(i)-0|it)/£)=yK,0|(i)/n, E [s2(f)-o2(i)/£J- +у1*гМ-а2(1)/Е] = уК7ргЦ)/ц.

А Начальные значения величин даются упругим решением: Рис. 9.1 с|(0) = 0,80/А, ст?(0) = 0,40/А, 6(0)^=0,8Qh/EA.

При i—>со реологические уравнения из дифференциальных превращаются в алгебраические, асимптотическое решение задачи имеет вид

с,И=л,си, ЗМ^ЦП-ЩН!,

где С(сс) = (Г1 - предельное значение статической меры ползучести; С,(<и; - предельные значения мер виброползучести бетона колонн. При отсутствии вибрации

. . ; : . С|(») = «Т|{0), о2(®) = о2(0), 5(оо)=5(0)[1+ЯС(оо)|. . Таким образом, вследствие вибрации конструкция становится реологически неоднородной, из-за чего происходит перераспределение усилий между колоннами. "Зависимость от частоты пульсации иагрузки проникла в решение задачи через силы инерции. То же самое имеет место в случае изгиба балок. При испытании образцов на осевое сжатие силы инерции ничтожны и поэтому частотная зависимость пропадает. Следовательно, то. что считалось противоречивостью экспериментальных данных, на самом деле имеет простое объяснение.

Пусть Q = S00kH: AQ=100kH; o = 2itv=27t-50c""'; £=3 104МПа; £С(«)=1; к0=0,4МПа"':

Л=0.04м(сечение колонны); А=2м (высота колонны); т=4м-0,2м-0,4м-2,5т/м3 =0.8т (масса бруса). Топм ..

оо = 2-Ю5с~*; (o.-<j„)2 =0.5; До, ММ Па; Дог = 2МПа; А', =е-'.б-4,91 Кг*<Рн=12Х

Е, А

иД

ГчЛ

О|(0)=10МПа; сг2(0)=5МПа; 8(0)=2/Змм; о1(оо)=0,855о)(0); 02{со)=1,575а2(О); 6(ю)=5,098(0). Если бы действовала одна статическая нагрузка й> то напряжения в колоннах все время сохраняли свои начальные значения, а перемещение достигло предельной величины 2(1 (0). Надо обратить внимание на еще одно обстоятельство: характеристика амплитуды цикла р=ат|п/0тах вследствие перераспределения усилий оказывается функцией времени (в рассмотренном примере р1(0)=р>2(0)=0,43; р1(оо)=0»36; р2(оо)=0,73). То, что в предлагаемой теории виброползучести единственным аргументом коэффициента виброползучести является амплитуда напряжения До, обеспечивает возможность решать сложные задачи, поскольку величина Дет может определяться упругим расчетом.

Обработка с помощью изложенной теории результатов испытания бетонных призм на сжатие (А.А.Гвоздев, Ю.Н.Кардовский, И.К.Белобров) и железобетонных балок на изгиб (К.К.Шкербелис) дала положительные результаты (канд. дис. А.Лахмара), выявив при этом необходимость учета нелинейного влияния среднего напряжения. Этот учет легко осуществляется привлечением теории гл. 7, коль скоро линейное приближение уже известно. Одновременно решается вопрос о длительной прочности при виброползучести. Учет старения бетона составит следующий шаг построения теории.

10. ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ И УСАДКИ БЕТОНА: РОЛЬ ПЛЕНОЧНОЙ ВОДЫ Введение. Наблюдения явления ползучести бетона в разнообразных условиях, подкрепленные изучением тонкой структуры материала (с помощью электронного микроскопа, методами ЯМР, ДТА, порометрии и др.), не оставляют сомнений в том, что ползучесть и усадка бетона имеют преимущественно влажностную природу. Физическая механика бетона призвана вскрыть, следовательно, вяожноспмые механизмы явления и построить определяющие уравнения, описывающие их действие. В этом направлении известными авторами (Фрейсине, Пауэре, Брунауэр, Бажант,Фельдман, Гвоздев, Виш-невецкий, Шейкии, Цнлосани, Ахвердов, Красильников и др.) проделана большая работа. Результаты можно разбить на две группы. Одну из них составляют чисто словесные трактовки данных наблюдений и описательные .модели. Другая сверх того содержит математические выражения высказываний. Однако достаточно полной и законченной количественной теории, сопоставимой с феноменологическими, еще не существует. Настоящая работа имеет целью предложить вариант такой .теории, относящийся к бетону старого возраста. Предварительные исследований были выполнены при участии аспирантов Г.В.Чекель (Лобановой), Л.М.Кагана-Розенцвейга, Г.И.Яблйковой. Основные публикации: {11.1]-[11.6]. В законченном виде предлагаемая теория объединяет и существенно обобщает предварительные разработки. Капиллярная вода может присутствовать в порах бетона: это не имеет значения для излагаемой теории, просто роль капиллярных сил пока остается неучтенной.

Идейные предпосылки теории. Таковыми служат следующие допущения:

1. (Точка зрения Пауэрса и многих других авторов.) Главным продуктом гидратации портландцемента, в наибольшей степени определяющим свойства цементного камня, является тоберморитовый гель - квазиизотропная совокупность очень мелких твердых частиц пластинчатой формы, разделенных прослойками воды толщиной в несколько молекулярных слоев. Часть этой воды (далее - "мобильная" вода) может перемещаться (в частности, испаряться из тела).

2. (Гипотеза Пауэрса, Браунъярда, Бернала.) Основной причиной усадки (набухания) бетона является изменение содержания воды геля .

3. (Гипотеза автора - развитие гипотезы Пауэрса.) Под действием девиатора напряжений вода из прослоек одной ориентации перетекает в прослойки другой ориентации, чем порождается "девиаторная диффузионная" ползучесть бетона. Путь диффузии в .

данном случае минимален (прослойки всевозможных ориентации соседствуют), поэтому ползучесть указанного механизма должна иметь наименьшую длительность.

4. (Гипотеза автора - развитие гипотезы Пауэрса.) Шаровой тензор напряжений вызывает отдачу вода в поры бетона (либо поглощение ее из пор) всеми водными прослойками геля. Таков механизм "шаровой диффузионной" ползучести бетона, В этом случае, очевидно, длина пути диффузии заметно больше, чем в предыдущем, так что процесс шаровой диффузионной ползучести имеет бо'льшую длительность.

5. (Гипотеза автора.) Есть еще один механизм ползучести бетона - вязкий сдвиг твердых лластннок по разделяющим ид водным прослойкам ("сдвиговая" ползучесть). В равновесном состоянии водные прослойки имеют достаточно правильную структуру. При отсутствии равновесия структура прослоек нарушена и их вязкость понижена (тем значительнее, чем больше неравновесность состояния прослоек). Наиболее сильным нарушителем структуры прослоек является влагообмен с внешней средой, сопровождающийся усадкой (набуханием). Ясно, что процесс сдвиговой "усадочной" пйлэучести бетона имеет наибольшую длительность (зависящую от размеров тела).

б. (Гипотеза автора.) Тоберморитовый гель в бетоне составляет единое связное целое, в которое "втоплены" все остальные составляющие бетона (существование "кристаллического сростка" как каркаса, служащего вместилищем геяя, отрицается). Поэтому однородное изменение влагосодержания геля (подобно однородному изменению температуры бетона) не встречает внутреннего сопротивления.

Сформулированные положения, по-своему учитывающие современные сведения о микроструктуре цементного камня, свойствах тонких пленок воды, природе вязкости, составляют основу, на которой ниже строится математическая теория. Расчетная модель теля. Тело рассматривается как набор жестких зерен, связанных плоскими водными прослойками-контактами (рис. 10.1). Отдельный контакт с прилегающими зернами составляет микроэлемент тела и является частью макроэлемента. Макроэлемент тела мал по сравнению с телом, но включает в себя достаточно много микроэлементов. Надо заметить, что "жесткие зерна" моделируют твердую фазу всего бетона, а не только геля (поэтому Н » Л ). С другой стороны, водными контактами представлена лишь небольшая часть воды геля г та, которая служит активным агентом усадки и ползучести бетона (об этом можно судить по экспериментально установленному Факту (Вишневецкий): объемная усадка растворного образца я 3% от объема испарившейся воды). Еще одной составной частью используемой модели является пленочная вода пор (причем - вся таковая вода). Выражение деформаций макроэлемента через деформации микроэлементов.

Макроэлемент отнесен к декартовой прямоугольной системе осей х,у,г, с каждым микроэлементом связана система осей ¡^^ (рис. 10.2). Ориентация микроэлементов в пространстве характеризуется единичным вектором п, нормальным к плоскости прослойки. Все ориентации П предполагаются равновероятными (в этом смысле .среда является квазнизотропной). Контакты, векторы П которых попадают в элементарный телесный угол сЮ = 5т6сГОс?ф, рассматриваются как контакты одной ориентации. Следовательно относительное число равноориентмровакных контактов выражается отношением Ы^/Ы » (¡П/4х=5т 0<19й(р /4я.

Пусть известно, деформированное состояние микроэлемента в системе осей Тогда оно известно и в системе осей Х,у,г (тензорное преобразование):

Н

О

Рис. юл

]А

Рас. 10.2

38 . ' '

«,¡1=5,11,^; суммирование по а, р здесь н далее), (I) где косинусы углов между осями к и v. Усреднение (1) при фиксированных г',/ по всем углам 9,Ф,С0 приводит к формуле

£(/ = /1/4^^)^ /ГГ^Л^С п О^^Ф^О - Г .(2)

Предполагается, что таким образом получены компоненты тензора деформаций макроэлемента. Формула (2) имеет чисто геометрическое содержание. Она сводит задачу определения Б^- к задаче отыскания £*р.

Формула (2) представляет собой обобщение известной формулы Батдорфа и Будян-ского, предложенной для описания пластической деформации металлов (теория скольжения). Обобщение состоит в том, что геометрические плоскости скольжения заменены прослойками, имеющими толщину. Соответственно деформации £|;- выражаются теперь

не через две деформации , Б^, а через все шесть деформаций £*р. Наделение

контактов толщиной принципиально необходимо для описания таких явлений как ползучесть и усадка бетона.

Химические потенциалы термодинамических фаз макроэлемента. Для вычис яения деформаций микроэлементов требуется проанализировать изменения вяажност кого состояния фаз макроэлемента - водных прослоек-контактов и пленочной водь пор. Вторую фазу естественно рассматривать как однородную. Первая фаза являете) существенно неоднородной, поскольку контакты разной ориентации находятся в раз ных напряженных состояниях. Для решения задачи надо знать химические потенциаль хонтахтов Ц|(0,(р) и пленочной воды пор Их можно иайтп путем интегрировани: уравнения Гиббсэ-Дюгема (изотермический случай)

ф=Ус<р, , (3

где V - объем моля вещества пленки;'р- давление в ней, складывающееся из внешне: части и части, обусловленной молекулярным взаимодействием Пленки с "подложкой' Переменностью молярного объема воды прослоек, в рассматриваемом вопросе, оче видно, можно пренебречь. Тогда интегрирование (3) дает для первой фазы

ц,=Ф? + ИД'р4.Д"р). Здесь Д'р=— а^ - изменение давления в прослойке, вызванное приложением внешне нагрузки; Д"р - следствие изменения толщины прослойки к из-за диффузии влаги. Эч неизвестную функцию удобно представить в виде

Д''р=(1/у)ЙТ1п/(Л/Л0)=(1/^)ЙГ1п/(1+ДЛ/Л0}»!1Д')йГ1п(1+а1-|Д^/Л0), где Я - универсальная газовая постоянная; Т- абсолютная температура; а | - постоя! ный параметр. По характеру строящейся теории следует отождествить микронапряж ние ст^ с макронапряжением Таким образом,

р1(0,Ф,О=р?-Уоп(9,ф,{)+КПп[1+аГ'ДЙ1(0,ф,()/Л1о1 (

(начальное состояине бетона предполагается равновесным, поэтому И?,Л® не завис от углов 9, ¡р). Вторая фаза (пленочная вода пор) слабо подвержена влиянию нагруз! (следовательно, не зависит от 9, р), а в остальном аналогична первой , поэтому

Замыкает рассматриваемую термодинамическую систему еще одна фаза - водяной п атмосферы (пор или внешней, в зависимости от обстоятельств). Не химический пот< циал в традиционном приближении идеального газа

- _______ Д(() = (1х+ЛПп#), (6)

где Д* - потенциал насыщенного пара, ц/ - относительная влажность воздуха. Равновесная усадка открытого образца. Необходимым условием термодинамического равновесия япляется равенство химических потенциалов всех взаимодействующих фаз (вообще говоря, удельных, химических потенциалов, но могут использоваться и вышеприведенные мольные, если фазовые переходы веществ не сопровождаются изменением их молекулярных весов). Пусть незагруженный открытый "образец" находится в равновесии со средой относительной влажности ц/ф. Тогда

ц°=гц° = Д* + ЯЛп1|/0. (7)

Пусть, далее, относительная влажность среды приняла новое значение Для нового окончательного равновесного состояния равенство химических потенциалов (4), (5), (6) с учетом (7) и однородности первой фазы при отсутствии нагрузки дает

А21,=сг1/г10(^/н/0 — 1), —1) • (8)

Если новая среда является абсолютно сухой (1|/=0), то ДЛ| = —а)Л®, Д^2 = ^^¿Ь^- Таким образом, параметры {¡¡, а, показывают, какая часть объема фазы может быть удалена понижением давления пара до нуля. Если условиться иметь дело только с такой "мобильной" водой бетона, то а1 = а2 =1 (во всем дальнейшем это предполагается). При влагоотдаче с момента окончания влажного хранения образцов

ДЛ,=Л,х(ч/-1)1 ДЛ2=Л2*(ф-1); Л1 = Л,х«с, (9)

где крестиком отмечено указанное особое начальное состояние (Ч/х=1). Величины являются характеристиками материала. Теперь (8) приводится к виду

Дй,=Л,х(ч;-Ч/0), ДЛ^^-Ч/о)- ' (К»

Величина (10) представляет собой абсолютное изменение толщины Н микроэлемента, относительная микродеформация

е;(О,Ф)ЭЕ-5(0,ф) = Д/.1(О,(р)/Я=(Л1:</Щч;-Ч'о). С')

Преобразование (2) дает макроскопическую деформацию линейной усадки:

= = щЩ. \гУ\тах^т = {1/Щ*/Н). (12)

Последний результат отвечает случаю = V = 0. Зависимость (12) усадки от влажности среды согласуется о опытными данными многих исследователей в их известной обработке И.И.Улицким и может служить источником информации о теоретическом структурном параметре 11*/Н. Судя по опытам обычной длительности (несколько

месяцев), ~ 50-10~5, если же судить по уникальным опытам Дэвиса (30 лет), то Е^я

200-Ю"5. Поскольку теоретический результат (12) относится к "истинно равновесному" состоянию материала, предпочтение следует отдать результату Дэвиса, т.е. принять оценку (для обычного тяжелого бетона)

Л,*/Н=3 Е ^ и 600• 10-5. (13)

Девиаторная диффузионная ползучесть (см. п.З предпосылок). В начальном равновесном (по предположению) состоянии макроэлемента водные контакты всех ориентация имеют одинаковый потенциал ц® (отвечающий относительному давлению пара Уо). С приложением к макроэлементу девпатора напряжений (предполагается постоянным) первая фаза становится неоднородной по в,ф:

ц1(О,Ф,^=ц|' + ЛГ1п(1 + ДЛ1(О,фД)//г1о)-у[0л(е,ф)-а]. (14)

_ : 40

где О - среднее напряжение. Вода из контактов одной ориентации перемещается в иначе ориентированные контакты. Процесс прекратится, когда потенциалы всех контактов сравняются. Т.к. имеются ненапряженные контакты, то новое равновесное значение |i|= рР и In[l + A/î|(б,Ф,¡/Л,0]=(V / i? Г)[ал(0, ф) - 5], где f, - длительность процесса. Поскольку у/ДГ«18см3*моль~1/8)314Дж-моль~1-300Кя10~2МПа~|-достаточио малая величина, можно принять 1пяДЛ/Йр (данное упрощение применяется всюду в дальнейшем). Таким образом,

Ahl(0,V,i,)/ii1o=(v/l?r)[an(G>(p)-5). (15)

Скорость процесса в произвольный момент времени t пропорциональна "расстоянию" от текущего до окончательного равновесного состояния:

Д Л,- {0, = 9,-1 {ЛЛ, (0, ф, i, )/лр - ATïj (9,tp, i )/Л,°], (16)

где - параметр с размерностью времени. (16) можно получить иначе с помощью линейной термодинамики необратимых процессов. Согласно (16), (15) и (9)

ер(е,<р,0= VHf {Q,9,t)+4o(hï/H){v/RT)[o„m-ô)). (17)

Преобразование (2) даег

E,J(i)=-9r,el7(0+9r,4'o№1x/HKv/iîr)[<an(9,(p))r(l/3)ÏÏS,J], (18) =4<№/Hp/RT)l(cn{Q, <р)),у - (1/3)55,^(1 (19)

Растяжение-сжатие. crn(0,9)=crcos20, (^„(в.ф))^ = а/5, (^„(в.ф))^ = а/15, О —а/3. Окончательные деформация (f » Э|):

е = Еюс = (4/45)40{hf/H){v/RT)a, ех э£уу = -0,5е, vs-ex/£=0,5. (20) Чистый сдеиг. ап(0,ф)=2оху51п0соз0созф, <сгп(Э,ф)>^ ={2/15)0^, а=0. Окончательная деформация сдвига

у=2еху=(4Л5)^0 [^/Щу/НТ)^. • (21)

Зная меру ползучести и коэффициент Пуассона (постоянный) из (19),(20), переход к переменному напряженному состоянию можно осуществить путем суперпозиции:

. Eiy(i)=-j0,[l,5aiy(T)-0,5aaa(T)Sl}]5IC(f-T)dTl (22)

C(f- (4/45)ч/0(^/Н)(у/ДГ)[1 ]. (23)

Полученные результаты в равной степени относятся и к изолированному и к открытому телу (в последнем случае к той же ползучести добавляется усадка). Шаровая диффузионная ползучесть (см. п.4 предпосылок). Шаровой тензор напряжений одинаково влияет на все контакты, так что

MtW+ЛГДЛ, (fj/лр - VÔF. (24)

Поскольку удельные (на единицу объема тела) влагосодержания фаз находятся в отношении 1/{«1/2, г-пменением потенциала второй фазы за счет^лагообмена с первой можно пренебречь: (ijO ~ =й?> Следовательно в новом равновесном состоянии лщу/>°=(у/лт e^bW/HKv/RTfc (25)

где Ij - Длительность процесса. В произвольный момент времени

(26)

Деформация (26) отвечает коэффициент Пуассона V±= -1. В случае растяжения-сжатия ^чШ^Ш^ту/ПЛа, (27)

--------------41

что на 25% больше продольной девиаторной диффузионной ползучести (20). Свободное развитие усадки во времени. Речь идет о нестесненной усадке (пример: влагообмен образца со средой через торцы), которая не сопровождается воэпикнове— ннем напряжений. Согласно линейной термодинамике необратимых процессов кинетическое уравнение изотермической усадкп можно представить в виде

Ajy(t) n,(f)-n2(f) 1 Ah,(<) А h2{t) 1 Ah,(t) Щ ftp ~ Г ~V Aj> .hg 1_34l hf ~ ^ '

Так как U| <<(/2, то U2 допустимо отождествить с полным удельным влагосодержани-ем бетона U, которое определяется феноменологической теорией влагопроводности.

(29)

и через (2) получается уравнение дня изотропной деформации усадки макроэлемента

(i)=ЭJ - (1/3)5^-С7(0 / CT«], ' (30)

которое должно решаться параллельно с решением краевой задачи влагопроводности. Чтобы получить отсюда (12), надо от U вернуться к U2 и затем привлечь (10),(9). Линейная сдвиговая ползучесть (см. п.5 предпосылок). Пусть бетон находится в состоянии интенсивного влагообмена с внешней средой. При этом текучесть Аг1 водных контактов является повышенной. Постулируется, что ■ -

Х-1 == Л^1 -f- Ä {/Л(°. л (31)

Аргументы в пользу (31): Отношение |a/!j"«|AA,*J/h|® характеризует число сверхравновесных вакансий в слое контакта (если контакт состоит из л слоев, каждый из которых содержит N молекул, то для исчезновения одного слоя необходимо наличие во всем пакете N вакансий, а в слое их должно быть NM). Наличие вакансии активизирует соседние с нею молекулы воды. В (31) число активированных молекул в окрестности вакансии учитывается множителем т. Множитель v/RT с размерностью МПа"' представляет собой "податливость" активированной молекулы при действии на микроэлемент единичного касательного напряжения. Текучесть обусловлена равновесными вакансиями.

Двум слагаемым в (31) соответствуют два процесса ползучести разной длительности. Длительность второго совпадает с длительностью усадки, а длительность первого такая же при наличии усадки и явно значительно меньшая при отсутствии внешнего влагообмена. Далее сначала рассматривается второй процесс. Абсолютный сдвиг контакта и всего микроэлемента одинаковы, относительный сдвиг последнего меньше, переходный коэффициент равен h^/H и Л* /Н. Таким образом,'

(б. Ф.<», f)-Щк? /H)(v/R Т )(jAh,* (0, cp,co); ß=n,C (32)

Макродеформации получаются отсюда по формуле (2):

^(f)=m(h,VHKv/^rKlAh1{i|/h1o)Zp<aip(0l<pIco));;; ß=n,C (33)

Здесь Ahj- изменение толщины контакта в условиях свободной усадки, поэтому

Мц' (fj/h,3 = -Sj'lAh^hp + A Ü(f)/U°. -(34)

Из (33) с учетом (10) и (9) , .

■ Eiys^H=ffllh,VH)(v'/Är)jl-V/4ro|2(,<CTy,(0,<p1a))>f;.; (ИтЛ (35) где \у0 - влажность среды, в равновесии с которой тело находилось до приложения нагрузки; \|/ - "рабочая.;' влажность среды. Результат (35) позволяет придать формуле (33) следующий окончательный (приближенный) вид; ' ■ ■ f

Бу(<)=И1{Л1х/Я)КйГ)|1-ч»/ч/о|1~е-^Э4}2р<О№{0)ф1ш}>о.; (5=11.С (36) Этот результат подсказывает решение вопроса о влиянии Действительно, в (36) множитель ¡1~Ч'/Ч,о| характеризует число сверхравиовесных вакансии. Аналогичной характеристикой числа равновесных вакансий служит Ц10. Следовательно процесс ползучести, отвечающий первому слагаемому в (31), описывается функцией

е^)=т'(^/Н){у/ЯТ)ц>^-е-^Щ^&уМЬр Р=П-С (37)

Здесь ЯГ совпадает с т при наличии влагообмена тела с внешней средой и имеет свое (несколько меньшее, очевидно) значение в противном случае.

Нелинейная сдвиговая ползучесть. Структура водных контактов нарушается не только в процессе усадочной влагоотдачи, но и за счет движения влаги, вызванного нагрузкой. Действию шарового тензора напряжений отвечает одинаковое относительное изменение толщины всех контактов Д1(,(0/Л|° ~(4г/КТ)а(1-е~'/э2), следовательно, согласно (36), возникает сдвиговая деформация

= яг(/',х/ЯЖЛГ)2|а|(!-е-'/82)2:р<^р(е,Ф,ю))у; р=п£ (38)

Под девиатором напряжений различно ориентированные контакты изменяют свою толщину различно; ДЛ, ¡0,<р,*) //¡,°=(у/Я Г)|0„ (0, <р) - о](1 - ). Соответственно

Суммарная деформация ползучести при растяжении-сжатии.

г А,

1-^Ч(1-е-'/34)), • (40)

УО)

"■6 V

2ш>0+2т1-^ (4!)

Здесь &2> ®з ~ характеристики материала; - условное время релаксации, являющееся характеристикой тела, а не материала (оно характеризует длительность процесса усадки). Из шести составляющих деформации (40) третья (линейная диффузионная ползучесть) имеет коэффициент Пуассона У=-1, а для всех остальных У=0,5. Объединенный коэффициент Пуассона У{ изменяется во времени. Нелинейность в (40), (41) достаточно мала (порядка 5%),. поэтому далее она игнорируется (надо заметить, что рассматривается нелинейность нового вида, не связанная с трещпнообразованнсм). Меры линейной ползучести имеют вид

+{5/3)*|/0(1-еч/®1)+2тч»0(1-е-</®э)+2т|1 -ч//у0|1 -е_</9<)1 (42)

Учет влияния пористости материала. Пористость бетона, являющаяся одним из важнейших его параметров, еще не учтена, поскольку формула (2) молчаливо опирается на допущение о сплошности материала: всякая деформация микроэлемента преобразуется во внешнюю деформацию макроэлемента, тогда как при наличии пористости это, вообще говоря, не так. .

Под руководством автора аспиратами Л.М.Каганом-Розенцвейгом н Г.И.Яблоковой методами механики композитов было проведено специальное исследование влияния пористости бетона на его упругие и некоторые другие свойства. За основу была при-

нята модель норового пространства, предложенная руководителем: поры имеют вытянутую форму с медленно меняющимся по длине поперечным сечением; характерные поперечные сечения пор - эллиптические с полуосями а,Ь(а«>Ь); отношение Ь/а = ^ одинаково у пор всех размеров; распределение пор в теле хаотичное, что обеспечивает квазиоднородность и квазинзотропность тела. Параметрами модели являются общая пористость П и характеристика сплюснутости пор Ъ, (придавая параметру разные значения, можно получать поры с поперечным сечением от круглого до щелевого). Основная цель исследования состояла как раз в выяснении, какая форма сечения пор характерна для бетона. Оказалось, что щелевая (в противном случае влияние пористости иа свойства бетона слабее наблюдаемого на опыте). Ниже за недостатком места привлекаются только более компактные результаты Яблоковой. Считая поры сильно вытянутыми эллипсоидами и используя хорошо зарекомендовавший себя метод эффективного поля С.К.Канауна - В.МЛевина, она получила формулы • .

где Е - модуль Юнга, К- объемный модуль, V - коэффициент Пуассона; звездочкой отмечены характеристики матрицы. Коэффициент V связан с Е и К известным соотношением У=0,5(1—Е/Ш). Формулы (43) позволяют внести коррективы в построенную выше теорию. Установленные результаты следует считать относящимися к иепорнс-тому материалу. - матрице. Для учета влияния пористости надо умножить продольные деформации на Е,/Е, объемные - на К,/К из (43) и заменить коэффициенты У,( (сдвиговые деформации подлежат умножению на у)/(1 + V,))-. После таких

преобразований с использованием У,| = = У.4 =0,5; У»2=—$ меры ползучести (42) приобретают новые значения

С, =С7-/(ЗД (1=1,3,4); С2 = С?; Г(П,5)=1+11 + 0,бй+1/^)]а/(1-Г2); (44) Сх,. = -у,.С;(! = 1,2,3); v, = у3 = у4 = 0,5[1 -0,5/"'+ -П)]; у2=~1, (45)

-'^гчп. п т _ ^/=4,- ,„. ^ М/Г'т (щ

На свободную усадку пористость не влияет (полная аналогия с температурными деформациями при однородном поле температуры), поэтому оценка структурного параметра /г*/// остается прежней.

На рис. 10.3, приведены теоретические кривые ползучес-

С(1)»'МПа''

0.3

^........

п 1

ф-0,5 v(l)

X

и-1

!, сут. Рие.

301

^гут-• Рис. 10.4

301

та(Л,х/Я=610-3; у/ЛГ= =10-2мПа-'; 9{=2,В2=50,ЭУ= =30,94=200сут.;т=3,я1' = I; 4=0,1 ;П=0,2).Выявленная зависимость от у очень хорошо согласуется, с опытными

данными в обработке И.И.Улицкого. Рис. 10.4 содержит соответствующие графики коэффициента Пуассона. Здесь также имеется достаточное согласие с опытом. Заключение. Таким образом, четко выделены четыре составляющие линейной ползучести бетона, каждая своей длительности и со своим постоянным коэффициентом Пуассона - девиаторная диффузионная, шаровая диффузионная, сдвиговая, обусловленная наличием равновесных молекулярных вакансий в водных контактах геля, и сдвиговая, связанная со сверхравновесными вакансиями, возникающими в "усадочных" условиях. Кроме того, обнаружены две нелинейные составляющие (правда, относительно

малые). Теория позволяет понять важнейшие влажностью эффекты ползучести бетона, известные из опыта. Эффект Карапетяна (снятие гидроизоляции с образца, находящегося под нагрузкой, проявляется, как приложение дополнительной нагрузки): разъизо-ляция образца включает (вместе с усадкой) второй сдвиговой механизм ползучести. Эффект Александровского (образец, до загружения некоторое время высыхавший через торцы, а затем изолированный и сразу нагруженный, оказался более "ползучим", чем образец, полностью закрытый с самого начала): в первом случае в образце к моменту нзтружения влажностное поле неоднородно по длине; после закрытия торцов происходит макроскопический влагоперенос, который опять-таки обеспечивает действие второго сдвигового механизма ползучести; если бы время высыхания образца в опыте было значительно большим, то эффект оказался бы противоположным вследствие уменьшения общго запаса влаги, что в теории равносильно уменьшению у о- Уменьшение со временем суммарного коэффициента Пуассона объясняется существованием шаровой диффузионой ползучести со своим коэффициентом Пуассона -1. Недостаток места не позволяет обсудить другие эффекты. Следует заметить, что построенная теория относится к произвольному напряженному состоянию и явным образом учитывает пористость материала. Установлено, что порам необходимо приписать щелевую форму. При этом их влияние оказывается весьма значительным (в случае, к которому относится рис. 10.3, коэффициент влияния пористости /(£2;£)=/{0,2;0,1)=2,76). Иная форма пор не позволяет добиться согласия с опытом по мгновенным и длительным показателям.

11. ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСАДКИ БЕТОНА: РОЛЬ КАПИЛЛЯРНОЙ ВОДЫ Теория усадки Фрейсине. Бетон является пористым материалом, причем значительный объем его пор приходится на долю капилляров. Обычно капилляры бетона частично заполнены смачивающей их стеики водой. В этом случае "скелег" бетона (т. е. бетон за вычетом капиллярной воды) испытывает стягивающее действие капиллярных сил (отрицательного капиллярного давления, равномерно распределенного по всей смоченной поверхности пор, и касательных сил, распределенных по границам менисков, которыми можно пренебречь). Учет их вклада в механические свойства бетона составляет одну из задач физической механики бетона.

Первый шаг на пути решения этой задачи сделал Фреисине. В 1936 г. он предложил не вполне законченную теорию равновесной капиллярной усадки и еще менее завершенную теорию равновесной капиллярной ползучести бетона, рассматриваемого как капиллярно-пористое тело с идеально упругим скелетом. Фрейсине ставит знак равенства между 1) действием на скелет влажного бетонного тела внутреннего капиллярного давления д и 2) действием на "сухое" тело (с сухими капиллярами) внешнего давления а=<7Ш, где ш-относительная смоченная площадь сечения влажного тела. Он подменяет первый случай вторым и определяет объемную относительную деформацию усадки по закону Гука с привлечением для выражения Ц формулы Кельвина:

0, = С/К0=дш/Я0=(т/КдеГЛ^пО/у), ©,№)=[«М/Я"0]13001п{1/у), (I)

где Кд - объемный модуль упругости сухого пористого тела (модуль скелета, "истинный" модуль бетона по Фрейсине); Я -универсальная газовая постоянная; Г -абсолютная температура; V - молярный объем воды; Ц>- относительная влажность воздуха; вторая'формула (1), которая обычно и фигурирует в литературе как формула Фрейсине, отвечает температуре 15°С и модулю упругости, выраженному в кГ/см2; предполагается полная смачиваемость стенок капилляров водой; влиянием касательных капиллярных сил пренебрегаете». Область применимости формулы Кельвина точно не установлена, ио иммотся основания считать, что она определяется условием

Г /mjn » 15.. .20 ангстрем (минимальный радиус сечения цилнндрнческого капилляра или минимальное расстояние между стенками щелевого капилляра). Для определенности можно принят;, Гю,я =15,6 ангстрем, чему соответствует (при температуре 20° С) V)/mf =0,5 (полное осушенпе капилляров). Упомянутая незавершенность теории (1) выражается в неопределенности модуля Кп. Фрейсине определял его через длительный модуль ¡1 опытах на ползучесть при одноосном сжатии (полагая, что вся ползучесть имеет капиллярную природу) и обнаружил, что он в 2...4 раза меньше мгновенного модуля. Сегодня ясно, что это ошибка, поскольку ползучесть бетона имеет несколько составляющих. Надо заметить еще, что формула (!) описывает усадку, вызванную изменением относительной влажности среды от i до ч/. Если начальная влажность рали Ч'р. то в (1) должна фигурировать величина lu(tj/0/ij/).

Говор.i о теории Фрейсине, надо различать в ней идею (усадка и ползучесть бетона, а также других пористых материалов, суть спснтме проявления действии внутренних капиллярных спя) и реализацию.этой идеи в виде расчетом* формул. В течение ^скольких десятилетий после опубликования работы Фрейсине объектом обсуждения была только идея. Отталкиваясь от опытов на макро- и микроуровне, З.Н.Цилосани, А.Е.Шейкип, К.Г.Крашлыткоп и ряд других ученых дали глубокий анализ идеи Фрейсине. Что же касается расчетного аппарата (т. е. ие физнко-химии, а механики), то до работ автора с аспирантами (1974 и позже) новых предложений не было. Более того, отсутствовали даже прямые расчеты по формуле (I). Ниже излагаются (в уточненном и обобщенном виде) те результаты исследований, представленных, в-частности, публикациями [П.1НП.5], которые относятся к усадке. Эти исследования охватывают и вопрос о ползучести, но о данной части желательна доработка, вследствие чего результаты не включены в настоящий доклад.

Примой расчет усадки бетона но формуле Фрейсине впервые проведен в 1974 г. Л.А.Дулиной под руководством автора настоящего доклада. Использованы три дифференциальные кривые пористости бетона, полученные Ш.Н.Плятом н А.С.Кацем по методу капиллярной конденсации, н кривая М.С.Бруссера (метод ртутной порометрии). Модуль отождествлялся с обычным объемным модулем упругости бетона (т. е. несколько завышался). Результат расчета: деформации усадки( которые могут быть получены по формуле (I), на порядок меньше наблюдаемых в экспериментах. Следовательно, либо вклад капиллярных сил в усадку бетона незначителен, либо теория Фрейсине содержит в себе дефект.

Модификация теории Фрейсине. Справедлив последний из указанных альтернативных выводов: действие внутреннего капиллярного давления Ц нельзя подменить действием внешнего давления (¡(О. Так как скелет бетона считается линейно упругим,

то не подлежит сомнению, что

©[fKgco, ' (2)

но коэффициент К необходимо определить. Пусть сплошное (без пор) однородное изотропное гело подвергается внешнему всестороннему равномерному давлению а На всех внутренних площадках такого тела, как известно, возникает только нормальное напряжение, равное <т. Следовательно сплошное тело под внешним давлением с эквивалентно пористому телу под внешним и внутренним давлением О. Объемная деформация сплошного тела равна сг/'К., где К, - объемный модуль упругости сплошного тела (т. е. материала скелета). Чтобы перейти к пористому телу, находящемуся под одним внешним давлением, надо снять нагрузку с поверхности Пор, что можно сделать с помощью формулы (2). Таким образом, g/Kq-c/K, + кстП (Л - полная капиллярна* пористость тела), сткуга находится коэффициент К, после чего формула (2) в совокупности с формуяо, - Кельвина дают вместо (1) результат

to(v)l-mRT, 1 K0

IÎT-TV m=t- .

Для определения отношения модулей m естественно прибегнуть к помощи механик» композитов, что и было сделано в двух специальных исследованиях, проведенных по; руководством автора Л.М.Каганом-Розенцвейгом к Г.И.Яблоковой. Об этих исследо ваниях уже было сказано в предыдущей главе. Согласно (10.43)

. О, rl-2v. 2 1-vî 1 ,, •

Модифицированная формула (3) отличается от исходной множителем Ц=(1 - m)lQ По данным Плята и Каца при В/Ц=0,5 капиллярная пористость гидротехнического бе тона Î2»l/I5. Если принять еще v,=0,2, то Ц=2 при^=1 (капилляры круглого попереч ного сечения), ц=6,5 при 4=0,1 и Ц=1/П=15 при (капилляры щелевой формы) Таким образом, модифицированная теория существенно повышает вклад капиллярны сил в усадку бетона сравнительно с исходной теорией Фрейснне, если капиллярам при писать щелевую форму. Кроме того, предлагаемая теория является уже законченной, л е. не содержит неопределенных величин.

Дальнейшее обобщение теории капиллярной усадки. Изотропно обжимая скеле бетона, капиллярные силы порождают диффузионную ползучесть (см. гл. 10), которая данном случае должна трактоваться как усадка, поскольку протекает в отсутстви внешней нагрузки. Капиллярному давлению q, действующему внутри бетонного зл< мента, эквивалентно, как было показано, внешнее давление н^ элемент kçco'Kq, следе вательно к упругой равновесной составлющей капиллярной усадки 0| добавляется сс гласно (10.26) диффузионная равновесная (£-*«») составляющая капиллярной усадки „ , , h" v . .г. Л,* v___, ', - h" со(ш). 1

Здесь у о и у- первоначальная и новая влажность среды (изменению влажности сред отвечает усадка). Так как hf/H « 6 • I О-3, у/ЛГяКИМПа-', Яоя4-104МПа, то

®2«l,2v|/o0,«©,. (;

Этот новый (приводится здесь впервые) результат еще удваивает вклад капилляриь сил в усадку бетона.

Заключение. Таким образом, .теория Фрейсине освобождена от принципиальис ошибки и обобщена, после чего можно утверждать, что капиллярная теория находит! в согласии с опытными данными об усадке бетона в диапазоне у — I ...0,5.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ДОКЛАДУ

1.1. Критерий прочности, учитывающий влияние градиента напряженного состо ння//Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. т мат. сб. тр Л1ИСИ. 1939. С. 53-57. (Совм. с В. А.Мининым)

1.2. Сингулярный критерий прочности. - Там же. С. 58-63.

1.3. О сингулярном критерии прочноста//Исследования по механике стронтельнь конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. трУЛИСИ. 1990. С. 82-85.

1.4. Явный учет влияния градиента напряженного состояния в линейной механи разрушения/Под ред. Н.С.Соломенко. - СПб: Судостроение. 1992. С. 184-190.

1.5. Градиентный критерий хрупкого разрушеиия//Исследования по механике стро тельных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр7СПбИСИ. 1993. С. 4-16.

1.6. Теория прочности, учитывающая влияние неоднородности напряженного с сгояыияШза. вузов. Строительство и архитектура. 1994, N2. С. 39-44.

2.1. (С общей яииейнои теории ползучести//Изв. ВНИИГ, т. 68. 1961. С. 217-240.

2.2. О содержании уравнения Маслова-Арутюняна//Механнка стержневых систем и сплошных сред/ЛИСИ. Сб. тр. N63. 1970. С. 184-190.

3.!. См. 2.1. - - . .....

3.2. Общее решите задачи линейной кп.тшстатнческой теории ползучести изотропного тела при постоянном коэффициенте Иуассона/Шнженерные конструкции, сопротивление материалов, строительная механика: Доклады XX научи, конф./ ЛИСИ. 1962. С.117-120. , '

4.1. Распространение принципа Вольтерра на случай некоммутирующих оиерато-ров//Мсханнка стержневых систем и сплошных сред/ЛИСИ. Сб. тр. N57. 1968. С. 89-¡00. . .

4.2. Распространение принципа Вольтерра на случай некоммутирующих операто-ров//Прочность и пластичность: Сб. тр. всесогозн. конф./М.: Наука. 1971. С. 244-247.

5.1 О расчете статически неопределимых сборных железобетонных кострукций с учетом ползучестлШсследоВаиия по строительной механике/ЛИИЖТ. Сб. jp. Вып. 190. 1962. С. 249-266.

5.2. Задача о напряженно-деформированном состоянии упруго-ползучей твердеющей системы с увеличивающимся количеством связей//Исследования по строительной меха-нике/ЛИИЖТ. Сб. тр. Вып. 249. 1966. С- 121-146.

5.3. Линейная теория ползучести наращиваемого тела//Исследования по механике стержневых систем и сплошных сред/ЛИСИ. Труды. Вып. 49. 1966. С. 93-119.

5.4. Некоторые общие решения в лииейной теории ползучести наращиваемого теля// Аналитические н численные методы решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ. 1986. С. 18-26.

S.I, К линейной теории ползучести наращиваемого тела//Механика стержневых систем и сплошных сред: Межвуз. темат. сб. тр. Вып. 13/ЛИСИ. 1980. С. 149-157.

6.2 Об учете температурного фактора в задачах линейной теории ползучести о раннем нягруженни бетонаУ/Исслсдования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ. 1986. С. 102-106.

6.3 OG учете старения бетона в задачах линейной теории ползучести// Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ. 1985. С. 99-106. (Совм. с Л.М.Каганом-Розенцвейгом)

6.4. О решении основных граничных задач линейной теории ползучести неоднородно стареющей среды, нагружаемой в молодом возрасте//Вопросы механики строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ. 1984. С. 123-129. (Совм. с Л.М.Каганом-Розенцвейгом)

7.1. Энергетическая теория нелинейной ползучести и длительной прочности нестареющего бетона при сжатии/Шеханика стержневых систем и сплошных сред: Межвуз, темат. сб. тр. Вып. 13/ЛИСИ. 1980. С. 137-148.

7.2. Энергетическая теория нелинейной ползучести и длительной прочности хрупко разрушающихся материалов (1)//Механика стержневых систем и сплошных сред: Межвуз. темат; сб. тр. Вып. 14/ЛИСИ. 1981. С. 11-17.

7.3. Энергетическая теория нелинейной ползучести и длительной прочности хрупко разрушающихся материалов (Н)//Исследования по механике строительных конструкции и материалов: Межвуз. темат. сб. тр7ЛИСИ. 1982. С. 136-141.

7.4. Энергетическая теория нелинейной ползучести и длительной прочности хрупко разрушающихся материалов (Ш)//Исследования по теоретическим основам расчега строительных конструкций: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ. 1983. С. 127-132.

S.1, Реологическая модель для описания линейной термоползучести £>е-тона/Шсследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ. 19S8. С. 83-86.

9.1. Реологическая модель для описания яиброползучестн бето1м//Исследовання по механике строителкчнг конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр /ЛИСИ. 19'Н. С. 18Ы87. (Совм. с.«Ллхмзром) .

10.1. К вопросу о физической природе ползучести бетона//Механика стержневых а стем и сплошных сред/Труды ЛИСИ, N57, 1968. С. 113-120. (Совм. с Г.В.Чекель.)

10.2.0 физической природе ползучести и усадки бетона//Ползучесть и усадка бетой; Материалы совещания/ Киев, 1969. С. 127-134. (Совм. с Г.В.Чекель)

10.3. К построению физической теории ползучести и усадки бетона//Мехатш стержневых систем и сплошных сред/Труды ЛИСИ, N60, 1969. С. 43-55. (Совм. Г.В.Чекель)

10.4. Об одном эффекте ползучести бетона//Механика: Краткое содержание докладе к XXVIII научной конференции ЛИСИ. 1969. С. 36-39. (Совм. с Г.В.Чекель)

¡0.5. К описанию неупругого деформирования дисперсных материалов при сложно напряженном состоянии с учетом природы деформаций//Мсханика стержневых сйсте и сплошных сред/Труды ЛИСИ, N73, 1973. С. 129-142.

10.6, Вариант теории деформаций бетона как капиллярно-пористого тела с линей¡: упругим скелетом//Мехаиика стержневых систем и сплошных сред/Межвуз. темат с( тр. Вып. 12. Л., ЛИСИ, 1979. С. 107-115. (Совм. с Г.И.Яблоковой)

11.1.0 капиллярной усадке бетона//Механика стержневых систем и сплошных сред/ Труды ЛИСИ, N105,1974. С. 161-167. (Совм. с Л.А.Дулиной)

11.2. Исследование вклада капиллярных сил в усадку, ползучесть и упругость б тона//Механиха стержневых систем и сплошных сред. ВыпЛ/Труды ЛИСИ, N113, 197 С. 147-158. (Совм. с Л.А.Дулиной)

11.3. Ктеории капиллярной составляющей усадки бетона. - Там же. С. 159-166.

11.4. К вопросу о вкладе капиллярных сил в усадку бетонам/Механика стержневых с: сгем и сплошных сред. Вып 9: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ, 1976. С. 114-117. (Совм. Л.М.Каганом-Розенцвейгом)

11.5. См. 10.6.

Ротапринт СПбГАСУ. ЗаказЛ&З . Тираж 100. Объем 3 ^сл.псч.д.