автореферат диссертации по строительству, 05.23.01, диссертация на тему:Оптимизация конструктивной формы оболочек отрицательной гауссовой кривизны

Полтавский государственный технический университет

г имени Юрия Кондратюка

. ; О V; .

/ 6 '-ПП

Братущак Татьяна Владимировна

Ф

УДК 624.074.4

ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКТИВНОЙ ФОРМЫ ОБОЛОЧЕК ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ

05.23.01 - Строительные конструкции, здания и сооружения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Полтава -1998 г.

Диссертацией является рукопись

Работа выполнена на кафедре строительных конструкций Сумского государственного аграрного университета.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Фомица Леонид Николаевич, заведующий кафедрой строительных конструкций Сумского государственного аграрного университета.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шимановский Александр Витальевич, профессор кафедры зданий и сооружений аэропортов Киевского института инженеров гражданской авиации Министерства просвещения Украины.

кандидат технических наук, доцент Клименко Евгений Владимирович, доцент кафедры железобетонных и каменных конструкций Полтавского государственного технического

университета имени Юрия Кондратюка.

Ведущая организация: Харьковская государственная академия

железнодорожного транспорта, кафедра строительных конструкций и строительной механики Министерства транспорта Украины.

. ее

Защита состоится "301 1998г. в /3 час. на заседании

специализированного совета Д 25.01.02. в Полтавском государственном техническом университете имени Юрия Кондратюка по адресу: г. Полтава, Первомайский проспект, 24.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Полтавского государственного технического университета имени Юрия Кондратюка по адресу: 314601, г. Полтава, Первомайский проспект, 24.

Автореферат разослан ЛЮЛ_ 1998 г.

Ученый секретарь

Специализированного ученого совета

Семко А. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время проблема повышения эффективности капитального строительства в связи с направлением на его нужды больших материальных ресурсов, становится первоочередной. В свою очередь эффективность капитальных вложений, которые выделяются на реализацию проектов новых зданий и сооружений, в значительной мере зависит от обоснованного применения в них современных прогрессивных конструктивных решений.

С каждым годом в строительстве все большее применение получают пространственные конструкции покрытия типа куполов, сводов, структурных плит, вантово-стержневых и мембранных конструкций и так далее. Однако, новые конструктивные решения, использование новых материалов, углубление знаний о работе конструкции требуют непрерывного совершенствования методов расчета строительных конструкций. С возникновением и развитием такой области прикладной математики как математическое программирование, появилась возможность осуществлять на ЭВМ поиск оптимальной конструкции, т. е. решать задачи оптимизации, которые не всегда поддаются решению классическими методами дифференциального и вариационного исчисления. В последние годы резко увеличился интерес к более рациональным методам оптимального проектирования.

Проблему выбора параметров (геометрических размеров) оболочки отрицательной гауссовой кривизны, другими словами сооружение конструкции, которая бы соединяла в себе все конструктивные требования и была наименее матерналоемкой и дешевой, можно решить математическими методами, которые ранее не применялись для оболочек отрицательной гауссовой кривизны.

Цель работы: Разработка метода отыскания оптимального соотношения геометрических параметров оболочки типа "гипар". Задачи исследований:

1. Разработать методику подбора параметров оболочки отрицательной гауссовой кривизны;

2. Выбрать критерий оптимизации;

3. Составить оптимизационное уравнение и разработать методику его решения;

4. Разработать практические рекомендации для оптимального проектирования.

Научная новизна

1. Предложен новый метод оптимизации соотношения геометрических размеров оболочки типа "гипар", удовлетворяющий критерию минимума собственного веса.

2. Построено оптимизационное уравнение и отработана методика его решения с учетом нелинейности деформирования оболочки.

3. Получено значение оптимального соотношения стрелки подъема покрытия к площади его плана для оболочки "гипар" без опорного контура с учетом изменения ее толщины в целях обеспечения равнопрочности.

4. Предложена новая конструкция оболочек типа "гипар" из линейчатых элементов малой жесткости, соединенных клеящим составом с повышенной жесткостью на сдвиг, обеспечивающим достаточную жесткость конструкции в целом, разработаны предложения для проектирования таких оболочек.

Практическое значение полученных результатов

1. Полученные автором рекомендации оптимизации покрытий использованы при проектировании пространственного покрытия спортивного зала в г. Витебске.

2. Подтверждена возможность конструирования оболочек из прямолинейных элементов, которые имеют повышенную деформативность, склеенных составом с повышенной жесткостью.

3. Разработаны практические рекомендации для оптимального проектирования оболочек типа "гипар" из разных материалов, что обеспечивают минимальную материалоемкость.

Личный вклад соискателя: Все идеи и разработки, изложенные в диссертации, принадлежат соискателю.

Апробация результатов диссертации: Основные положения диссертации обсуждались на международных конференциях: "Ресурсосберегающие технологии строительных материалов" в г. Белгороде (1996г.), "Проблемы теории и практики строительства" в г. Львове (1997г.), "Инженерные проблемы современного бетона и железобетона" в г. Минск (1997г.) и на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов, студентов СГАУ (1996-1998г).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 6 статьях в сборниках научных трудов и 1 тезисе докладов.

Структура диссертации: Диссертация состоит из введения, четырех разделов, общих выводов, списка использованных источников, состоящего из 123 наименований и дополнений. Работа изложена на 166 страницах, из них 136 страниц основного текста, 5 таблиц, 25 рисунков.

Основное содержание работы.

Введение содержит обоснование необходимости проведения исследований по данной теме, актуальности, научной новизны и практической ценности работы.

В первой главе проведен анализ ранее проведенных исследований по вопросу оптимизации пространственных покрытий, общие сведения об оболочках

отрицательной гауссовой кривизны. Для подбора оптимального решения задач оптимизации можно выделить такие критерии:

1. Минимизация стоимости материалов.

2. Минимизация стоимости сооружения, включая монтаж и эксплуатацию.

3. Архитектурно-эстетический критерий.

4. Минимизация массы покрытия.

Рассмотренные методы оптимизации формально разбиваются на такие группы:

- аналитические методы, которые используют классические приемы дифференциального и вариационного исчислений. При использовании аналитических методов задача оптимизации формулируется четко с соблюдением математических правил и законов, что часто приводит к сложным математическим выкладкам и делает решения их многопараметрических нелинейных задач непригодными;

- экспериментальные методы, позволяющие на основании опытных данных получать результаты, не создавая математическую модель;

- графические методы, основанные на построении графиков функций, подлежащих исследованию на экстремум. Переменных может быть несколько. Экстремум получают непосредственно путем анализа графика. Графический метод намного проще аналитического, но дает большую погрешность, так как точно построить график исследуемой функции не всегда удается.

Из общего числа методов, применяемых для решения задач оптимизации, выделяют следующие, наиболее часто применяемые: метод фотоупругости, метод скаляризации моделей, несколько стохастических методов решения задач оптимизации, а также методы весовой оптимизации и методы оценки экономической эффективности оптимальных решений.

При решении конкретных задач авторы стремятся уменьшить число параметров оптимизации с целью избежания математических трудностей, оставляя лишь основные параметры, имеющие наибольшее влияние на критериальную функцию. В настоящей диссертации не ставится задача совершенствования аппарата оптимизации. Наоборот, накопленный опыт решения проблем оптимизации и прямого проектирования используется для решения конкретной задачи и достижения конкретной цели: нахождения оптимальных соотношений геометрических параметров оболочки отрицательной гауссовой кривизны в форме гиперболического параболоида. При этом решаются следующие задачи:

1. Определяется зависимость площади поверхности от соотношения параметров, определяющих крутизну оболочки.

2. Формулируется критериальная функция.

3. Методом математического моделирования оценивается влияние параметров оптимизации на величину и характер распределения усилий в оболочке.

4. Разрабатывается оптимизационное уравнение и предлагаются пути его решения.

5. Отыскиваются оптимальные значения параметров для случая оболочки постоянной толщины.

6. Уточняется значение этих параметров с учетом изменения толщины из условия равнопрочности отдельных зон поля оболочки.

7. Оценивается влияние функций нелинейности на решение •оптимизационной задачи.

8. Разрабатывается конструктивное решение оболочки для промышленного освоения. Даются практические рекомендации.

Во второй главе дано построение критериальных уравнений для оптимизации оболочки в форме гипара, рассматривается геометрия одиночного гипара, усилия, возникающие в нем, выбирается критерий оптимизации и параметры оптимизации., решается критериальное уравнение.

Уравнение поверхности гипара примет вид:

/

г = —ху, ао

где/- высота стрелы подъема, а, Ь - размеры в плане. Площадь поверхности записывается в виде:

(о) V а Ь а о

В результате интегрирования при//аЬ = с получаем:

а + р

Я = 4-

/ 1

1++Ьг+а2+сЬ1 1

2 а\с

+ Ьг | • 1п

+ Ьг+-

с*а ■ I I.

+--1п| Ь +

2

- + Ь2

са .

+-1п

2

с а. ( 1 с'а с4 г са\( г П

--1п -у + а +---агс1еа^с--1п| а + -Г- Н

4 ^с У 2 2 5 12 V сг)

2 2

3 3 \

Г са с а

Н--сисШа^с +---

20 20 12

3 с

(1)

(2)

Как видно, Б представляет собой довольно сложную функцию от параметра "с".

Нагрузки на пространственные покрытия в общем виде представляются в декартовой системе координат в виде функции трех компонентов: Х,У,2, каждая из которых является функцией координат покрытия и выражается в виде нагрузки на единицу площади. Если горизонтальная нагрузка отсутствует, т.е. Х=0, К=0, то на покрытие действует только вертикальная нагрузка Z, которая может быть распределена по поверхности оболочки равномерно или неравномерно. Наиболее распространены два вида вертикальных нагрузок: нагрузка от собственного веса оболочки и снеговая нагрузка. Распределения этих нагрузок на плане оболочки в зависимости от координат имеет существенное различие: если снег выпал равномерно, то снеговая нагрузка равномерно распределена по горизонтальной проекции поверхности оболочки. Тогда Z=qcn, Х=0, 1-0, если толщина оболочки по всей поверхности постоянна, то собственный вес g оказывается равномерно распределенным по поверхности оболочки, в этом случае по проекции на горизонтальную плоскость он оказывается распределенным не равномерно.

В этом случае 7. = g + р 2 + ц 2 , где р, <7 - параметры Монжа. _ дг _ 8г

дх ' ду

При безмоментном напряженном состоянии в оболочке под действием нагрузок возникают усилия, действующие в серединной поверхности

оболочки N,„^,N,0,= Иух. Имеется в виду, что это погонные усилия, выраженные в единицах силы, приходящейся на единицу длины сечения оболочки, равномерно распределенные в сечении по толщине. Величина этих усилий зависит от координат рассматриваемого сечения. Система уравнений равновесия внутренних сил и нагрузки имеет вид:

дх ду

+ —>- + У--ду

О,

дх

кхых+куиу+= Рх + чг-г.

при вертикальной нагрузке Х=У=0 имеем: дх ду

дх ду

где у — к ^ — ■ ■ . ! t — Ку — г~ I $ — к уу — • * ¿Зс2 г скг ** дх ду

Решение системы (3) дает значение усилий для нагрузки от собственного веса: 2 - g^]l + р2 + д2 ,

Я , х + М/с2 + х2 + у2 Ых=-у 1п-у. , (4)

2 а + ф/с2 +а2 + у2

р , у + М/с2 +х2 + у2 N = —*1п * Г , (5)

' 2 Ь + с2 + х2 + Ь2

Мху=-^/с2+х2+У2, (6)

где с =//аЬ

Главные усилия определяются по известной формуле ] ТУ, + ЛГ„ - N

И*.

± лК \ "У + К . (7)

При вертикальной нагрузке Z-qcu из системы (3) имеем: ^х,у=£о/2с=§оаЬ/2Г=соп51. При свободном опирании края оболочки на контур краевые условия имеют вид: при х=а 1^х=0, при у=Ь Ыу=0,

тогда из уравнения (3) получаем N„=0, Му=0, и согласно (7), главные усилия :

И™ 1 N + N I N - N г Г

Из формул (4),(5),(6) и (7) замечаем, что все усилия в оболочке зависят от параметра "с". По значениям главных усилий подбираем толщину оболочки:

5 = ^.

К

Для оболочки в форме гипара кривизна характеризуется отношением

с= где /-высота стрелы подъема, а, Ь - размеры в плане. Этот параметр входит в уравнение для определения площади поверхности и в выражение для расхода материала, который в свою очередь зависит от площади поверхности и величины действующих усилий.

Из этого следует, что функция Р=<р(с, И,) зависит от усилий, действующих в оболочке, а также от параметра "с".

Для равных нагрузок расход материалов зависит от параметра, характеризующего геометрию оболочки, поэтому целесообразно принять его за параметр оптимизации с=//аЬ.

Минимизируя объем материала оболочки по параметру "с", находим оптимальное решение, при котором размеры и усилия будут такими, что расход материала будет минимальным.

Объем материала для элементарной площади поверхности определяется по N

формуле сIV = ¿/5—где 11м-расчетное сопротивление материала.

Для всей поверхности оптимизационное уравнение запишется в виде:

Проинтегрировав это выражение дважды (по х и у), и, исследовав на эктремум по "с", можем найти такие параметры, при которых расход материала будет минимальным. В аналитическом виде, используя математические методы, осуществление этой операции весьма затруднено. Решить эту задачу можно, используя метод конечных элементов по специально составленной для этого компьютерной программе.

Результаты решения показывают, что минимум функции находится в зоне от 2/250 до 3/250.

На рис.1, показан' результат оптимизации функции V от "с".

Задача оптимизации решалась с учетом физической нелинейности материала оболочки. Для этого после определения усилий в конечных элементах определялся модуль деформации, как функция напряжений по формуле:

/

Е

где а = -— , 5 - толщина оболочки.

8

По новым значениям модуля корректировалась жесткость конечных элементов. Расчет повторялся. Итерационный процесс сходился на 4 - й ступени итерации.

Рис.1.Зависимость функции V от "с".

В третьей главе описываются экспериментальные исследования моделей оболочек, особенности моделирования оболочек.

Для расчета модели оболочки использовалась типовая программа "Мираж", разработанная Киевским научно-исследовательским институтом автоматизированных систем в строительстве (НИИАСС).

Для проведения эксперимента использовались две модели.

Первая модель изготавливалась из полипропиленовых трубочек, которые вдоль линейных образующих и параллельно друг другу закреплялись к контуру жестко эпоксидным компаундом.

Трубки располагались в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Плоскости соединялись между собой также эпоксидным компаундом.

Оболочка имела размеры в плане О.бм-ширина, О.бм-длина,. высота стрелы подъема 0.44м. Толщина оболочки 0.01-0.009м. Расчетное сопротивление данного материала определялось экспериментальным путем с помощью испытания 3-х образцов размером 15x15x1 см в лабораторных условиях с помощью разрывной машины.

Модель оболочки имела две опоры в виде рассеченного по вертикальной оси цилиндра. Одна из них закреплялась на экспериментальном стенде жестко. Вторая имела возможность перемещения вдоль диагонали плана. Опоры

выполнялись из жесткого компаунда, а в качестве заполнителя использовался гравий. Между опорами помещалась стальная затяжка диаметром 8мм.

Вторая модель оболочки изготавливалась из алюминиевых стержней диаметром 4 мм. Размеры оболочки аналогичны первой. Но, в качестве соединительного материала использовался сургуч. Алюминиевые стержни закреплялись параллельно друг другу, пока не образовывался квадрат необходимого размера. Полученный слой заливался расплавленным сургучом. В направлении, перпендикулярном первому слою, образовывался второй слой аналогично первому, стержни между собой скреплялись также расплавленным сургучом, что и давало возможность соединить между собой слои оболочки. Результаты физического и математического моделирования сравнивались.

На основании экспериментов получены такие результаты:

— при нагружении модели оболочки, состоящей из пластиковых трубок, склеенных эпоксидным компаундом, наблюдались повышенные прогибы в верхних точках поднятых крыльев при стабильном поведении центральной части оболочки.

— оболочка, образованная из алюминиевых стержней, при увеличении нагрузки имела одинаковые прогибы и в точках крыльев и в центральной части.

— потеря устойчивости оболочек не наблюдалась. Конструкции, несмотря на большие прогибы, обладают большой несущей способностью.

— результаты испытаний показывают, что первая и вторая оболочки имеют различный характер разрушения: "пластиковая" разрушалась от изгиба у опоры, у "алюминиевой" разрушение проходило от межслойного сдвига.

— обе модели разрушались при нагрузках, удовлетворительно совпадающих с расчетными, полученными с учетом физической нелинейности материала.

— экспериментально подтверждено повышение прочности оболочки при оптимальном соотношении стрелы ее подъема к площади основания.

В четвертой главе рассматриваются рекомендации по внедрению конструкций типа "гипар". Приведены примеры проектирования оболочек в форме "гипара" с оптимизированными соотношениями геометрических параметров.

Показана целесообразность их использования при проектировании спортивного зала в городе Витебске. Приводятся технико-экономические показатели, которые свидетельствуют об экономической эффективности покрытия.

ВЫВОДЫ

1. В работе на основе аналитического обзора методов оптимизации пространственных систем, в том числе покрытий зданий и сооружений, выбрана

методика оптимизации геометрической формы пространственного покрытия в форме гипара.

2. Исследована зависимость площади поверхности оболочки от параметров, определяющих ее крутизну.

3. Определена критериальная функция и построено оптимизационное уравнение, решение которого определило оптимальное значение геометрических параметров оболочки. (0,008<с<0,012).

4. Оптимизация проведена с учетом изменения толщины оболочки в зависимости от величины усилий, а также с учетом физической нелинейности материала.

5. Проведенные экспериментальные исследования подтвердили данные теоретических исследований о выборе оптимальных параметров геометрии оболочки в виде гипара.

6. Результаты испытаний физических моделей оболочки удовлетворительно совпали с теоретическими расчетами моделей, выполненных с использованием математического моделирования и метода конечных элементов.

7. Экспериментально подтверждена возможность конструирования оболочек из прямолинейных элементов, имеющих повышенную деформативность, но склеенных составом с повышенной жесткостью при работе на сдвиг.

8. Даны рекомендации относительно практического применения результатов исследования на реальных объектах.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Братущак Т. В. Оболонки типу "Ппар" та оптшмзащя i'x конструктивно!' форми // Науково-методичний журнал "BicnnK Сумського сшьськогосподарського шституту" -Суми: № 1, 1997, - с. 68 - 73.

2. Братущак Т. В., Братущак М. П. Сучасш методи оптим1зацн конструкцШ оболонок // Науково-методичний журнал "Вкник Сумського сшьськогосподарського шституту" -Суми: № 1, 1997, - с. 74 - 78.

3. Братущак Т. В., Циганенко JI. А. Методи оптим1зацн конструкцш оболонок. II 3(ирник наукових статей "Проблеми Teopii i практики залЬобетону". - Полтава: Полтавський державний техшчний университет ¡м. Ю. Кондратюка., 1997. - с. 62 - 64.

4. Фомиця JI. М., Братущак Т. В. Оттнзащя контруктивноТ форми оболонок типу "ППАР" // 36ipniiK наукових статей "Проблеми Teopii i практики буд1вництва". -Льв1в: "Льв1вська полггехшка". 1997. Т. 4. - с. 130 - 133.

5. Фомиця JI. М., Братущак М. П., Братущак Т. В. До питания визначення деформацпших характеристик ннзькомодульних будтельних конструкцш. //

Зб1*рник наукових статей "Проблеми теорп практики буд1'вництва". - Льв1в: "Льв1вська полггехшка". 1997. Т. 1. - с. 186 - 190.

6. Фомица Л. Н., Братущак Т. В. Критерии оптимизации конструктивной формы оболочек типа "Гипар" // Ресурсо- и энергосберегающие технологии строительных материалов, изделий и конструкций. Тезисы докладов. -Белгород: ^Белгородская государственная технологическая академия строительных материалов. 1995. - с. 86 - 87.

7. Цыганенко Л. А., Братущак Т. В. Характеристики оболочки и их влияние на внутренние усилия // Конструкции зданий и сооружений, методы расчета. Материалы конференции. - Минск: Институт БелНИИС. 1997. - Т. 1. - Ч. 2. - с. 217-220.

Аннотации

Братущак Т.В. Оптимизация конструктивной формы оболочек отрицательной гауссовой кривизны. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Специальность 05.23.01- строительные конструкции, здания и сооружения.

Сумский государственный аграрный университет. Сумы, 1998г.

В работе выработана методика оптимизации геометрической формы пространственного покрытия отрицательной гауссовой кривизны. Исследована зависимость площади поверхности оболочки от параметров оптимизации, определяющих ее крутизну.

Определена критериальная функция, по которой построено и решено оптимизационное уравнение. Решение его дало возможность определить оптимальные геометрические параметры.

Экспериментальные данные полностью подтвердили теоретические расчеты о выборе оптимальных параметров оболочки.

Экспериментально подтверждена возможность конструирования оболочек из прямолинейных элементов, имеющих повышенную деформатнвность, но склеенных составом с повышенной жесткостью при работе на сдвиг.

Приведены примеры проектирования оболочек в форме гиперболического параболоида с оптимизированными соотношениями геометрических параметров. Даются расчеты вариантов покрытий с опорным контуром и без него.

Ключевые слова: оболочка, пространственное покрытие, гиперболический параболоид, усилие, оптимизационное уравнение, критерий и параметр оптимизации.

Братущак Т.В. Оттпзащя конструктивно! форми оболонок вщ'емноТ гаусовоУ кривизни.-Рукопис.

Дисерташя на здобуття наукового ступеня кандидата техшчних наук за спещальшстю 05.23.01 - буд1вельш конструкций будшл1 та споруди.

Сумський державний аграрний ушверситет.Суми,1998.

В робот1 розроблена методика оптим1зацн геометричноУ форми просторового покриття в форм! ппербол1чного параболо1да.Досл1джена залежшсть ruiomi noeepxni оболонки вщ параметр1в, як1 визначають iT крутизну.

Визначена критер1альна функщя, на ochobI яко1 побудоване i розв'язане оптим1зацшне р1вняння, проведена оптим1защя параметр1в оболонки.

Експериментальне дослщження noBiiicxio шдтвердили теоретичш розрахунки про Bn6ip оптимапьних параметр1в. ГПдтверджена можливкть конструювання оболонок з прямолшшних елеменпв, як1 мають шдвищену деформатившсть, але склеених матер!алом з шдвшценою жорсткютю при робот1 на зсув.

Наведен! приклади проектування оболонок в форм! rinapa з оптим1зованими сшввщношеннями геометричних параметр1в, даються приклади розрахунюв BapiaHTie покрить з опорним контуром i без нього.

Ключов1 слова: оболонка, просторове покриття, г1пербол!чний параболо'щ, зусилля, оптим1защйне р1вняння, Kpinepirt та параметр оптимшцп.

Bratuschak Т. V. Optimization of the constructive form of environments negative gauss of curvature.- the Manuscript.

Dissertation on getting of a scientific degree of the candidate of technical sciences. A speciality of 05.23.01- building designs, building and structure.

Sumy state agrarian university. Sumy, 1998

In work a technique of optimization of the geometrical form of space cover negative gauss of curvature is produced.

Dependence of the area of a surface of a environment on parameters of optimization, determining it steep is investigated. Function on which is determined criterion is constructed and resolved optimization a equation. The decision it has given a opportunity to define optimum geometrical parameters.

The experimental data have completely confirmed theoretical accounts about choice of optimum parameters of a environment.

Experimental a opportunity of designing of environments from rectilinear elements, possessing increased deformability, but glued by a structure with increased rigidity is confirmed by work on shift.

Examples of designing of environments in the form hyperbolic parabolic with optimized parities of geometrical parameters are indicated. Accounts of variants of covers with a basic contour and without it are given.

Key words: a environment, space cover, hyperbolic parabolic, effort, optimization a equation, criterion and parameter of optimization.

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Оптимизация конструктивной формы оболочек отрицательной гауссовой кривизны

Братущак Татьяна Владимировна

Ответственный за выпуск Братущак М.П. Седых И.Д

Подписано в печать 26.05.1998. Зак. №18

Формат 60x84 1/16. Бумага для ксероксов

Уч. изд. Тираж 100 экз.

Изд. Сумского государственного аграрного университета

Адрес: 244030, Сумы, ул. Петропавловская, 57