автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод последовательного изменения кривизны в теориипологих оболочек ступенчато-переменной толщины приконечных прогибах

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

.и од

- 1 ДЬК 1993 на правах рукописи

Юлин Владимир Александрович

Метод последовательного изменения кривизны в теории пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах

Специальность 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург -1998

Работа выполнена в Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор" В.В. Карпов

Научный консультант: кандидат технических наук Игнатьев О.В. Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

О.Д. Таванайко,

доктор технических наук, профессор В.Г. Темнов

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

Защита состоится "16" декабря 1998 года в 13:00 ч. на заседании диссертационного совета К063.31.06 в Санкт-Петербургском государственном архитектурно - строительном университете по адресу: 198005 г. Санкт-Петербург, ул. 2-ая Красноармейская, 4, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Санкт-Петербургского архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан " 6 " ноября 1998 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Горнаев А.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ , Актуальность работы. Тонкостенные ребристые оболочки являются с(^ставной частью многих конструкций, сооружений и аппаратов в различных областях техники. Расчеты на прочность и устойчивость таких конструкций должны вестись одновременно и с оптимизационными расчетами. Если учитывать нелинейные факторы, то такие расчеты проводить чрезвычайно сложно. Жесткость конструкции можно повысить не только за счет жесткости ребер, но и за счет увеличения кривизны оболочки. Поэтому разработка метода, позволяющего находить напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки при изменении ее кривизны и на основе этого метода и метода последовательных нагружений находить рациональную кривизну конструкции, является азауальной задачей.

Цель работы состоит в разработке метода последовательного изменения кривизны (МПИК), являющегося разновидностью метода продолжения решения по параметру и позволяющего находить НДС конструкции при изменении ее кривизны, и создании методики выбора рациональной кривизны оболочки на основе разработанного МПИК и метода последовательных нагружений (МЛН).

Научная новизна работы заключается в следующем :

• получены уравнения МПИК для уравнений равновесия пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах как в перемещениях, так и в смешанной форме;

• разработаны модификации МПИК более высокого порядка точности и проведено обоснование точности и сходимости метода;

• получены уравнения МПИК при "размазывании" жесткост-ных характеристик как в перемещениях, так и в смешанной форме;

• получены уравнения МПИК в перемещениях при учете поперечных сдвигов;'

• разработаны алгоритмы решения полученных уравнений МПИК и составлен комплекс программ расчета НДС и устойчивости оболочек ступенчато-переменной толщины; •

• разработана схема метода покоординатного спуска на основе МПИК и МЛН, позволяющая подбирать рациональную кривизну оболочек при автоматизированном проектировании лёгких и высокопрочных конструкций;

• проведены исследования некоторых конкретных оболочечных конструкций.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений МПИК, а также использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов. Сравнение в результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах при изменении их кривизны на основе МПИК может найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах на прочность, устойчивость и оптимизацию деталей машин, аппаратов, конструкций и сооружений.

Все полученные в работе результаты численного эксперимента приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Работа получила внедрение в Саратовском Институте Проблем Точной механики и процессов управления РАН.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 53-й и 54-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (1996, 1997 г.г.). Полностью работа докладывалась на научном семийаре кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством д. ф.-м. н., профессора Л. Ю. Коссовича (сентябрь 1998 г.), на научном семинаре кафедры строительной механики Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д. т. н., профессора В А. Игнатьева (сентябрь 1998 г.), на научном семинаре кафедры вычислительной математики Санкт-Петербургского архитектурно-строительного университета под руководством д. ф.-м. наук, профессора Б. Г. Вагера (октябрь 1998 г.)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в трех научных статьях.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 90 наименований и четырёх приложений. Работа изложена на 164 страницах машинописного текста, иллюстрирована 20 рисунками. В приложе-ния вынесены коэффициенты полученных в работе уравнений и программы расчета на ЭВМ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулирована цель, указана научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на защиту, отражено краткое содержание диссертации.

Основные идеи теории ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов В.З. Власовым и А.И. Лурье. В их работах заложены два подхода к исследованию ребристых оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал обшивку и ребра как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные граничные условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов. В дальнейшем большинство авторов следовало одному из этих подходов, т.е. или задача расчета ребристой оболочки рассматривалась как контактная, или оболочка и ребра рассматривались как одно целое и в уравнениях равновесия появлялись члены, характеризующие работу ребер.

Третий подход к исследованию ребристых оболочек заключается в том, что не учитывается дискретность размещения ребер, а вводятся в уравнения равновесия жесткостные коэффициенты, учитывающие увеличение жесткости всей конструкции (метод конструктивной анизотропии).

- В конце 60-х годов П.А. Жилин заметил, что при втором подходе привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил ребристую оболочку рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии.

Аналогичный подход к ребристой оболочке при решении нелинейных задач применил В.В. Карпов. Им разработана теория . оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая дискретность размещения ребер, их ширину, совместную работу ребер припересечении, и наличие в одной конструкции ребер, вырезов и накладок.

За последние 50 лет появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек. Это работы Алумяэ Н.А., Амиро И.Я., Заруцкого В.А., Гавриленко Г.Д., Гребня Е.С., Григо-люка Э.И., Кантора Б.Я., Карпова В.В., Михайлова Б.К., Немировского Ю.В., Преображенского И.Н., Постнова В.А., Корнеева B.C., Рассудова В.М., Милейковского И.Е.Деребушко О.И., Тимашева С.А., и других. Однако, подавляющее число публикаций относится к исследованию ребристых оболочек в линейной постановке. Анализ современного состояния теории пологих ребристых оболочек показал следующее:

Достаточно полно исследованы оболочки в линейной постановке, большей частью цилиндрические.

В геометрически нелинейной постановке проведены исследования также в основном цилиндрических оболочек, и при этом с использованием модели Кирхгофа-Лява. Ребра в этих исследованиях рассматривались, как одномерные упругие элементы, присоединенные к обшивке по линии.

При исследовании конкретных оболочечных конструкций появляется необходимость при заданном, параметре нагрузки находить НДС при увеличении жесткостных характеристик оболочки (наращивание ребер, например) или при уменьшении жесткостных характеристик вследствие коррозии,' например (формирование вырезов) или при изменении кривизны оболочки. В нелинейной

теории пластин и оболочек широкое распространение получил метод продолжения решения по параметру. Основные положения метода продолжения решения по параметру применительно к задачам механики были изложены Э.И. Григолюком и В.И. Шалашилиным вих совместной монографии. Так, в конце 50-х годов, взяв за параметр нагрузку, В.В. Петров получил МПН, имеющий широкое применение. Его учениками получены другие методы. Так, В.В. Кузнецовым за параметр взяты геометрические размеры оболочки и получен метод пристрелки. В.В.Карповъш за параметр взята высота ребер и получен метод последовательного наращивания рёбер (МПНР).

При расчете ребристых оболочек желательно выбирать рациональное подкрепление, например, из условий устойчивости и минимума веса конструкции, а так же рациональную кривизну. Как показал анализ работ, решение задач оптимизации традиционными методами для рассматриваемого класса задач практически невозможно. Для решения задач выбора рациональной кривизны, на наш взгляд, удобно использовать МПИК, в сочетании с МПН.

Таким образом, возникает необходимость в дальнейшей разработке МПИК, разработке методики применения метода к решению широкого класса задач для ребристых оболочек и оболочек, ослабленых вырезами, и проведении исследования оболочек ступенчато-переменной толщины при изменении их кривизны.

В первой главе приведены основные соотношения теории оболочек ступенчато-переменной толщины и разрешающие уравнения для них, необходимые в дальнейшем для вывода уравнений метода последовательного изменения кривизны.

Рассмотрим пологие оболочки положительной Гауссовой кривизны, прямоугольные в плане, эксцентрично подкрепленные

ортогональной сеткой ребер со стороны вогнутости, направленных параллельно осям координат, и находящиеся под действием поперечной нагрузки интенсивностью я(х,у) (Рис.1).

О

с. У, 4

К

Рис. 1.

Оси ОХ, ОУ направим вдоль линий главных кривизн. Ось OZ направим ортогонально срединной поверхности обшивки, которую принимаем за координатную поверхность, в сторону вогнутости. Высоту ребер Н(х,у), их число и расположение будем задавать с помощью единичных столбчатых функций 6(х - х^ и б(у - у,):

т , —

в а

Н(х,у) = £ Ы 5(х - х,) + ЕЬ'5(у - у,) -II Ь*5(у - у,)5(х - х,).

Здесь 5(х-х,) =

О, х<а,,х>Ь^ 1, а,<х<Ь,, 5(у-у() = 1/2, х = а^х = Ья

О, у <с,,у >а„ I, с, <у<а„ 1/2, У = с„у = с11,

• ; Ю

Г) , Г) г, , г,

а]=х)-у> С1 =У| -у» =У.+у»

Ь',^ - высота и ширина ^го ребра в сечении у=соп$1, т - число ребер

в этом сечении. Ь',г, - высота и ширина ¡-го ребра в сечении х=сопз1,

п -число ребер в этом сечении, Ь" = т1п|Ь',Ь,|.

Высота ребер К1, Ь' должна быть мала по . сравнению с размером оболочки в плане.

Если Ь1, Ь' взять отрицательными, то получим оболочки,

ослабленные вырезами, если Ь'=Ь'=-Ь (Ь - толщина обшивки), то получим оболочки ослабленные отверстиями. Таким образом, конструкцию рассматриваем как оболочку дискретно-переменной толщины.

Для описания НДС конструкции используем теорию гибких пологих оболочек. Считается, что материал оболочки подчиняется закону Гука. Перемещения произвольной точки нормали к срединной поверхности обшивки с координатой г, если не учитывать поперечные сдвиги (модель Кирхгофа-Лява), будут равны:

и«=и-г—, V1 = У-г—, =

дх ду

Если же учитываются поперечные сдвиги (модель Тимошенко),

то:

и* =и+г^, V' = Ч/г =\У.

Здесь и, V, >У - перемещения точек срединной поверхности

обшивки вдоль осей координат ОХ, ОУ, OZ ; ¥у-углы

поворота отрезка нормали у срединной поверхности оболочки в сечениях плоскостями, проходящими через оси ОЪ, ОХ и ОЪ, ОУ

соответственно. Деформации удлинения е„, ег - вдоль осей ОХ и ОУ соответственно и сдвига е^, произвольной точки по толщине оболочки возьмем в виде:

..„«г^дгг*

' дх 1 2\дх

3"

, дУ1 „ „. 1 (ЗwY ж 81]' дУ

е' =--К- » е!у =-+-

" ду ' 2\ду) ду дх

3\У 5W +-

ду ' гУду)'" ду дх дх ду '

Здесь К,, Ку - главные кривизны оболочки. Напряжения,

действующие в произвольной точке оболочки вычисляем по формулам:

а^О.О^ + у^Ьа, =0,(е;+у|Е;),

а„ = О,^ , О, = —, О, = -Ь—.

1-У,У, 1-У.У,

Усилия, поперечные силы и моменты, приведенные к срединной поверхности обшивки, приходящиеся на единицу длины сечения оболочки имеют следующий вид:

Гн 7 Гн N. = / ст^г = ] ст,с!г + 2| ст,с12 • к "7 "7 7

Здесь и далее индекс "О"- относится к оболочке, индекс "11"-

относится к ребрам.

Аналогично

Нху=К°+1^, М, = М1°+М,\ М„=М°+М*. Заменой х о у получим Му.

В развернутом виде Их, Ыху, М*, Мху, для изотропного материала обшивки имеют вид:

Eh —

f a2w d2w

r + v,--

{dx2 2 дуг

N =Í-ÍL_ + GuF " Ul + Ц) )

" ,J эхэу

.. EhJ f 5JW S'W'l ■ _ - -f aJW S'w'l

m, ---— ——+u—h+g.sce, -t-v.ej-g.j —r+v,—r

^-ц'ДЭх1 p ву1) 1 * íy ч Эх 2 ду2)

Eh1 5JW T52W

M1V ----+G..S eIV -2G..J-,

,y 12(1 + ц) ЭхЭу 11 iy - ЭхЭу

Здесь:

или

h Ь Ъ

_ °»н Y+н ' y+h

F = 'jdz, S= fzdz, J= fz'dz,

к h Ь

2 11

m , —

o m „—

F = 2 FJ 5(x - Xj) + z F'5(y - y,) - z S Va5(x - Xj)5(y - y,).

J-l ' i-I Mj-I

Аналогично можно записать S и J.

Уравнения равновесия оболочки для модели Кирхгофа-Лява будут иметь вид:

5N» , dN*> =0, Эх - Эу

9NV 5N„ —L+—^ = 0, ду Эх

(2)

92W ЭгМ. Э2му

ЭхЭу Эх ду

+2-— + q =0

ЭхЭу

Если в эти уравнения подставить выражения усилий и моментов (1), выраженные через перемещения, получим уравнения равновесия оболочки ступенчато-переменной толщины в перемещениях.

Если ввести функцию напряжений в срединной поверхности

оболочки по правилу:

чт , а:Ф хт , Э2Ф чт . дгФ ...

= = —, (3)

то первые два уравнения системы (2) удовлетворяются тождественно ( Р* = Ру = 0). Используя уравнения неразрывности деформаций

а'е. 8\ дге [д^У

_d^Jd'w] a'wa'w a'w к 3'W

ду1 дк1 дхду ldx3yj дх.1 дуг ' ду1 ' дх1

и оставшееся третье уравнение системы (2), получим систему уравнений в смешанной форме.

Методика решения полученных уравнений состоит в последовательном применении метода последовательных нагружений, метода Бубнова-Галеркина и метода Гаусса.

Для оболочек, часто подкрепленных ребрами, можно "размазать" их жесткостные характеристики, приняв

— т FJr. n F'r, » n F'r.r.

F = F, = Е—i+li-i-SZ—LL. на '-i b. i-i j-i ab

Аналогично записывается

S = S„ J = J,.

Тогда можно получить уравнения конструктивной анизотропии как в перемещениях, так и в смешанной форме. Такие уравнения были получены О.В. Игнатьевым и В.В. Карповым.

В работе так же получены уравнения равновесия в перемещениях с учётом поперечных сдвигов.

В этой же главе представлены результаты исследования НДС и устойчивости ребристых оболочек различной кривизны. Рассматривались квадратные в плане оболочки со стороной а=60Ь, шарнирно-неподвижно закрепленные по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки д. .Оболочки со стороны вогнутости подкреплены регулярным набором из 2-х или 4-х ребер высотой 311 и шириной 2Ь. Параметр кривизны оболочки а1 Ь1

К=КЧ=КП ( -, Кп=-, и Яг • радиусы кривизны

ЬЯ, -

оболочки вдоль осей Ох и Оу соответственно ) принимает значения 16; 20; 32, т.е И] = 225Ь, Я? = 180Ь, К.? = 112,5Ь.

- - а'а

На Рис.2 представлены графики - нагрузка Р (Р = —-М -

Еп

— — \У

прогиб W (W =—) в центре оболочки (Рис. 2.а)) и эпюры Ь

а'ст - Ь

напряжений ст, (ап = у ) при Р=200, 2=-—, 4=0.1 вдоль оси Ог| Еп 2

х У

(4 = -', • П= ) (Рис. 2.6)). Номер кривой соответствует значению К, а Ь

индекс - числу подкрепляющих оболочку ребер. Пунктирные кривые будут пояснены ниже.

Как видно из Рис.2 жесткость оболочки существенно повышается не. только за счет увеличения жесткости подкрепляющих • оболочку ребер, но и за счет увеличения кривизны. Таким образом кривизна может выступать как параметр оптимизации наравне с площадью подкреплений.

Представленные в этой главе результаты расчетов оболочек так же будут использованы в дальнейшем для доказательства сходимости МПИК и обоснования точности результатов, полученных этим методом.

Рис. 2.

• .* • 16

О' '»'

Во второй главе выводятся уравнения метода последовательного изменения кривизны.

Если разрешающие уравнения для оболочек ступенчато-переменной толщины, приведенные в первой главе, записать кратко Р(иГК;Ч> = 0, (5)

где и=(и, V, - вектор перемещений, если рассматриваются

уравнения в перемещениях или и= , если рассматриваются

уравнения в смешанной форме, К - параметр кривизны, я • параметр поперечной нагрузки, то дифференцируя (5) по параметру К, получим

р;(и,к,ч)^ + ^(и,к,<1)=о. (6)

Считаем, что известно и(Ко)=и<>.

Если применять для решения уравнения (6), при заданном начальном условии, метод Эйлера, то получим расчетную схему

иы = и1+ди,, КЫ=К4 + ЛК1> где ДК, задается, а ди, находится из линейного относительно ДЦ уравнения

Р^ирК.^ди, + ^(ирК.^ДК, =0. (7)

Это и есть метод последовательного изменения кривизны.

МПИК имеет первый порядок точности. Для решения' начальной задачи для уравнения (6) можно применить метод Рунге-Кутта второго или четвертого порядка точности, и получим модификацию МПИК более высокого порядка точности. Уравнения МПИК (уравнения (7)) в развернутом виде для модели Кирхгофа-Лява в перемещениях имеют вид (индекс 1 опущен):

ос,

3\У 3\у 3\У Зиг Г 3\У 3\у 3\У 3\У"

___о___1_ о i___1___

34 3$ +а,к Зп бц +а,01 34 3г1 + Зп З^J

эw —

+ Да,-+ Да,„\У = 0,

7 ^ I»

Зп

ЗУУЗуу ' 34 34

-+а.

ЭWЭw 3\у 3\у | д ЭW д — л

--+аш--+--+Дал ~г—+Даш « =0,

Эг| Зг| ч 34 8г\ дц 34/ Эг)

(8)

_3

54

Зп

+12Ьл„(у, w) + 61^ (\у, w) + бь'л-, (w, \у) + V ¡,кш + Ьл. (w) +

1М.131 , т л,л . ^^ ^ у"17

Зп Зп

Зп Зп 34 34 34 34 " + +

+а,.

Зуу 3;\УЧ I 34 343п + 34

+ а„

ЗЧУ 3\у 3^ 3\У 1^342 3п + 342 ап;

+ а,.

154 Зп'

3\у 32\У) [3\У 3\у ЗW

+--- +а,,,--+--

34 дп1) л 34 Зп 34 Зп,

Э\У ' Зп

Зп

3\У[.А ЭW . .

--6Да_-+ Да.„ +

34 I, "34 "*1

Да._ А 32ХУ д 32йП —— + Да,. —г- + Да„ —— 12 " 342 Зп )

Э2W

зи ЗУ

+12Да„ — +12Да„ — + Да.и + Даш , а 34 12 Зп ,м 342 131 Зп2

= 0.

Коэффициенты Да, отличаются от соответствующих коэффициентов а, тем, что в них вместо Кп стоит Д К^, Д Кп. В уравнениях (8) принято Д11, = (и,у,\у)т.

Ввиду громоздкости'уравнений (7), в развернутом виде в смешанной форме и в случае "размазывания" жесткостных характеристик ребер эти уравнения здесь не приводятся, но в диссертации получены уравнения МПИК в перемещениях и смешанной форме для- '•модели • Кирхгофа-Лява, и в случае "размазывания" жесткостных характеристик ребер, также в перемещениях и в смешанной форме. Кроме того получены уравнения МПИК в перемещениях с учетом поперечных сдвигов. В этой же главе обсуждаются вопросы сходимости МПИК.

В третьей главе разработана методика решения уравнений МПИК (8) и проведено исследование с помощью*МПИК конкретных оболочечных конструкций при изменении их кривизны.

Для решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных (8) предлагается использовать метод Бубнова-Галеркина. В соответствии с этим методом примем:

u, = Su'(I)Xl(I)Yl(I), v, = Zv'(l)X2(I)Y2(I), w, = 2w'(I)X2(I)Y2(l), (9)

i-i i-i i-i

Здесь числа u(I), v(I), w(I) являются искомыми, a X1(I)-X3(I), Y1(I)-Y3(I) - известные координатные функции, зависящие от условий закрепления краев оболочки. Тогда накопленные значения перемещений будут иметь вид:

ü, = ZU1'(I)XI(I)Y1(I), V, = z V1'(I)X2(I)Y2(I),

i-i i-i

- N

W, = ZW1'(I)X3(I)Y3(I), (10)

i-i

причем Ul'(I) = Zuk(I), Vl'(I) = Zvk(I), Wl'(I) = Zwk(I), k.l k-i k-l

(k и i это индексы, а не степени).

Для определения u(I), v(I), w(I) имеем в соответствии с методом Бубнова-Галеркина систему линейных алгебраических уравнений .(индекс i опущен):

|[u(l)Cl(I, J) + v(I)C2(I,J) + w(I)(c3(I, J) + I W1(K)C4(K,I, J))j =

= £W1(I)C18(I,J), ■-i

l|"u(I)C5(I,J) + v(I)C6(I,J) + w(I)fc7(I, J) + I W!(K)C8(K, I, J)Y| = i..L v. к-« 'J (л)

= IW1(I)C19(I,J),

i-i

z[u(l)(c9(I,J)+ SW1(K)C10(K,I,J)) + v(l)(cil(I,J) + SW1(K)C12(K,I,J)) + +w(I)fci 3(1, J) + I(U1(K)C14(K,I,J) + V1(K)C15(K,I,J) +

V • K-l

+W1(K)(C16(K,I, J) + ZW1(L)C0(L)))]J = S[U1(I)C20(I, J) + V1(I)C21(I, J) + +W1(I)(C22(I, J) + SW1(K)C23(K,I, J))]. J =1,2,... N.

Такие же системы алгебраических уравнений получены для других видов уравнений МПИК.

Система (11) решается методом Гаусса. По разработанной методике составлена программа расчета на ЭВМ, написанная на языке PL-1 для ЕС-ЭВМ.

Чтобы начать процесс решения задачи по МПИК, необходимо знать начальное значение, т.е. Ulo, Vio, Wlo при заданном параметре нагрузки q, заданном значении жесткостных характеристик ребер и кривизны.

Найти эти начальные значения можно, используя метод последовательных нагружений (МПН).

Если исходную 'систему нелинейных дифференциальных уравнений (5) продифференцировать по q

сЦ

и для решения полученйои. начальной задачи использовать метод Эйлера:

где Дд, задается, а ди, находится из линейного относительно Д11, уравнения

р1;(и1,к,Ч()ди|+р,'(и1,к,Ч1)дЧ1=о,. . (12)

то получим МПН.

Сравнивая (7) и (12) видим, что у них первые слагаемые совпадают. Если для решения линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных (12) использовать метод Бубнова-Галеркина в виде (9), то получим систему линейных алгебраических уравнений относительно VI, у которой левые части совпадают.с системой (11), а вместо правых частей только у третьего уравнения будет член С17(1)НР (НР - шаг по нагрузке я на этапе нагружения).

МПИК является шаговым методом, поэтому его точность зависит, от шага изменения кривизны ДК,. На Рис. 3 представлены результаты расчета тех же оболочек, что и в первой главе (квадратных в плане со стороной 60Ь, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру, находящихся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки и подкрепленных регулярным набором из 2-х или 4-х ребер высотой ЗЬ и шириной 2Ь) графики кривизна- прогиб в центре оболочки и эпюры напряжений ап

__Ь

при Р = 200, ъ = К = 20, £ = 0,1 вдоль оси Ог|. Номер кривой

соответствует числу подкрепляющих оболочку ребер. Индекс 1 -означает, что рас.четы проведены МПИК шагом

АК = ДК? = ЛКЧ = 1, начиная с К= 16 до К=20, индекс 2 - что

расчеты проведены с шагом АК = 0,5. Кривые без индекса получены МПН для оболочки с параметром кривизны К=20.

Рис. 3.

"у'

Как видно из Рис. 3 расхождение в прогибах в центре оболочки для результатов, полученных с шагом ДК = 1 и ДК =0,5 составляет около 3% как для оболочки, подкрепленной двумя рёбрами, так и для оболочки, подкрепленной четырьмя ребрами.

Расхождение в наибольших напряжениях составляет около 4% для оболочки, подкрепленной двумя ребрами и 1% для оболочки, подкрепленной четырьмя ребрами.

Таким образом, с достаточной степенью точности расчеты в МПИК можно проводить с шагом ДК ^ ДК4 = ДКЧ = 1.

Для анализа точности и достоверности результатов, полученных МПИК проводилось сравнение результатов для рассматриваемых выше оболочек с параметром кривизны К=К4=КЧ=20, полученных МПН начиная с ненагруженного состояния до нагрузки Р = 400 (сплошные кривые на Рис. 2.а) и Рис. 4), и результатов, полученных МПН начиная с Р = 200 до Р = 400, когда

при Р = 200 НДС оболочки находилось МПИК при изменении К от 16 до 20 (пунктирные кривые на Рис. 2.а) и Рис. 4). На Рис. 2.а) были приведены графики нагрузка - прогиб в центре оболочки, и на Рис.4

эпюры напряжений ап при Р = 400, г = -у, £ = 0,1 вдоль оси От].

Номер кривой на этих рисунках соответствовал значению параметра К, а индекс - числу подкрепляющих оболочку ребер.

Как видно из этих рисунков точность МПИК высокая. Кроме того эти рисунки подтверждают достоверность результатов, получаемых МПИК. МПИК может быть применен для расчетов НДС оболочки только в докритической области.

Рис. 4.

В четвёртой главе рассматривается применение МПИК и МПН для выбора из условий устойчивости рациональной кривизны для оболочек ступенчато-переменной толщины. Такая комбинация методов ПИК и ПН представляет собой специальный вариант метода покоординатного спуска (координаты - нагрузка я и кривизна К). Разработан алгоритм расчёта НДС при конкретном применении

МПИК и МПН, реализованный в виде программ для ЭВМ. В качестве примера выбора рациональной кривизны рассматривались оболочки подкрепленные различным числом ребер определенной ширины и различной высоты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Разработан метод, позволяющий находить НДС оболочек ступенчато-переменной толщины при изменении их кривизны, который получил название метода последовательного изменения кривизны (МПИК).

2. Получены уравнения МПИК для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в перемещениях и в смешанной форме.

3. Получены уравнения МПИК при "размазывании" жесткостных" характеристик ребер как в смешанной форме, так и в перемещениях.

4. Получены уравнения МПИК в перемещениях с учетом поперечных сдвигов.

5. Разработаны модификации МПИК более высокого порядка точности и проведено обоснование точности и сходимости метода.

6. Составлен программный комплекс для ЭВМ расчетов НДС оболочек ступенчато-переменной толщины при изменении их кривизны и проведен анализ НДС оболочек при изменении их кривизны.

7. Разработана схема метода покоординатного спуска на основе МПН и МПИК, удобная для выбора рациональной кривизны оболочек при автоматизированном проектировании лёгких, но высокопрочных конструкций, и показана ее программная реализация.

Основное содержание диссертации изложено в работах: