автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Определяющие соотношения в нелинейных задачах теории упругости и строительной механики

РГБ ОД .

2 Ц ДПР 15503

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

• ' На правах рукописи ЕР10В Виталий Ильич

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

05.23-. 1? -строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук.

Саратов 1995

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов Вологодского политехнического института

Официальные оппонентьг.-академик С.-Петербургской академии наук по проблемам прочности, профессор, доктор физико - математических наук К.Ф'. ЧЕРНЫХ (СтПетербургский государственный университет,г.С.-Петербург). -академик Мекдународной академии наук высшей школы,профессор,доктор технических наук И.Г. ОВЧИННИКОВ ( Саратовский государственный технический университет г.Саратов К -профессор,доктор физико-математических наук И.М. ДУНАЕВ ( Кубанский государственный технологический университет г.Краснодар).

Ведущая, организация - Московский государственный строительный университет.

Зашита состоится *' в в ауд

на заседании диссертационного совета Д 063.58.03 Саратовского государственного технического университета

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного технического университета

Автореферат разослан

Отзывы просим направлять по адресу: 410054, г.Саратов, ул.Политехническая, 77 , Саратовский государственный технический университет

Ученый секретарь специализированного совета, профессор, доктор технических наук .

В.К.Иноземцев

ф

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Постоянное стремление к экономичности инженерных объектов требует создания новых конструкций из новых материалов,имеющих,как правило, нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями.

Определяющие (физические) соотношения введены в линейную теории упругости Коши в начале,а в нелинейную - Сен-Венаном в середине XIX века.В России первые работы,посвященные определяющим соотношениям нелинейной теории упругости.выполнены Ризом и Зво-линским в первой половине XX века.Развитию определяющих соотношений посвящены работы В.Фойгта,Г.Генки,А.А.Ильюшина,А.И.Лурье, В.В.Новожилова,И.И.Гольденблатта,А.Грина,Ю.Н.Работнова, Л.А.То-локонникова,К.Ф.Черных и других авторов.

Разработка в законченном виде общей нелинейной теории упругости принадлежит В.В. Новожилову .который дал классификацию задач нелинейной теории упругости, определившую пути развития нелинейной теории упругости в России на чвсю вторую половину XX века. Важное место в этой теории занимает функция, являющаяся удельной работой деформации (потенциал напряжений), введенная в теорию упругости Грином,и инварианты напряженно-деформированного состояния. Наблюдаемые для целого ряда материалов (резины, полимеры, металлы, их сплавы, бетон и др.) существенные отклонения от закона Гука весьма различны, поэтому имеется несколько разных формулировок для определяющих соотношений.

Заметный вклад в развитие этого направление внесли К.Ф.Черных и его ученики, Л.А.Толоконников и его ученики,A.A.Вакулен-ко, И.Н.Дунаев и многие другие. Другое направление в нелинейной теории упругости связано с записью определяющих соотношений на основе теории пластичности без учета разгрузки. Это направление основано Г.Генки, развито в работах A.A. Ильюшина, его учеников и последователей, широко используется при решении задач в нашей стране и развивается за рубежом.

В шестидесятых-восьмидесятых годах интенсивно развивалась нелинейная теория упругости усилиями кафедры МИСИ им.В.В. Куйбышева,руководимой И.С.Цурковым, где заметную работу проводит

П.А. Лукаш. Наиболее интересные его работы, его учеников и последователей посвящены расчету пластин, оболочек из нелинейно-упругого материала и физическим соотношениям теории упругости. Сложными вопросами трижды нелинейных систем (физически. геометрически и конструктивно) успешно занимается его ученица Божкова Л.Б.

К этому направлению примыкают работы В.В. Петрова и его учеников,в настоящее время сформировавших свою научную школу.

Большой вклад внесли в решение прикладных задач нелинейной механики В.В. Болотин, В.В. Васильев, Э.И.Григолюк, А.Н.Гузь, И.Ф.Образцов, Б.Е.Победря, Г.Н.Савин, И.Г.Терегулов.И.А.Цурпал и представители других школ механики деформируемых тел.

Южно-Иральская школа нелинейной механики основана Д.А.Гох-фельдом и В.И. Соломиным. В работах Д.А. Гохфельда и его учеников рассматриваются вопросы пластичности и несущей способности конструкций при повторном нагружении. В работах В.И. Соломина и учеников много внимания уделяется вопросам расчета конструкций на упругом основании, в том числе и на нелинейно-упругом . Вопросы расчета оснований по нелинейной модели занимают заметное место в механике грунтов.

После работ Н.М. Герсеванова, обосновавшего возможность использования аппарата теории упругости в механике грунтов, решения задач теории упругости были широко использованы для разработки методов расчета осадок сооружений. Попытки учета физической нелинейности при деформациях грунта делались, как правило, путем замены упругих постоянных в модели линейно деформируемой среды некоторыми функциями в соответствии с идеями нелинейной теории упругости. Функции эти принимались в зависимости от инвариантов тензора напряжений и результатов опыта для конкретного грунта. Для песчаных грунтов подробно разработана одна из моделей нелинейно-деформируемой среды, основы которой заложены в работах А.И. Боткина, развиты Г.М. Ломизе, А.С. Строгановым, М.В. Малышевым, А.Л. Крыжановс-ким, В.И. Соломиным. B.C. Копейкиным и др.

Несмотря на дискуссионность вопроса о целесообразности введения в проектирование нелинейных моделей , вопросы расчета оснований с учетом нелинейных факторов по-прежнему привлекают к себе внимание исследователей .

Работы упомянутых автчров лишь частично отракавт состояние нелинейной механики в России, поскольку выбор этих работ явился результатом целенаправленного поиска новых определяющих соотношений нелинейной механики за последние 50 лет.

Этот поиск показал, что в нелинейных задачах теории упругости и строительной механики физические основы имеют много вариантов. В одних из задач используются соотношения П.Й.Лу-каша, в других - соотношения Генки-Каудерера,а в третьих - одна из модификаций соотношений теории пластичности при активной деформациии простом нагруаении. Наконец,определяющие соотношения принимаются по потенциалу в широком классе задач.

Многообразие трактовок физических основ нелинейной теории упругости свидетельствует о необходимости анализа существующих определяющих соотношений, выявление их общих основ и различий с целью создания более совершенной модели, которую можно было бы взять за основу при решении многих задач нелинейной теории упругости. Столь сложную задачу нельзя решить без детального изучения эволюции теории упругости на всех исторических этапах. Достаточно подробно и полно это изложено в работах С.П. Тимошенко, а также в известной обзорной работе В.В.Новожилова, Л.А.Толоконникова и К.Ф.Черных.

Число конкретных определяющих соотношений увеличивается с появлением новых материалов и новых задач,диктуемых тенденцией и темпами технического прогресса, однако такое увеличение свидетельствует и об актуальности вопроса об определяющих соотношениях,поскольку их обилие свидетельствует либо о слабости существующих концепций, либо о наличии внутри них нереализованных возможностей, вскрытие которых усйяит нелинейную теорию механики деформируемых тел и позволит создать более совершенные методы расчета нелинейных задач строительной механики.

Об исключительной актуальности рассматриваемой темы свидетельствуют аналитические обзоры, составленные творческими коллективами ученых по заказу Российской академии архитектуры и строительных наук (РЙЙСН), которые представлены ведущими учеными России по теории сооружений Александровым A.B..Карпенко Н.И. и Шапошниковым H.H. .

- б -

Цель работы состоит в следующем:

1. Выявление основных закономерностей эволюции линейной и нелинейной теории упругости путем исторического анализа.

2. Формулировка наиболее общих соотношений между напряжениями и деформациями для нелинейно-упругого материала при малых и умеренно-больших деформациях в условиях простого нагружения.

3. Создание базы для вычислительной нелинейной механики на основе концептуально новых определяющих соотношений.

Научная новизна.

В нелинейную теорию упругости вводятся биинварианты напряженно-деформированного состояния,позволяющие записать определяющие соотношения мевд напряжениями и деформациями.в общем виде,которые концептуально отличаются тем,что осуществляется пряная связь между тензорами напряжений и деформаций без выделения шаровых тензоров и девиаторов.

Для плоского и объёмного напряженного состояний предложена теория сигма- и эпсилон-поверхностей,позволяющих находить обобщенные коэффициенты поперечной деформации, входящие в определяющие соотношения.

Рассмотрены вопросы расчета нелинейно-упругого полупространства и нелинейно-упругой полуплоскости при поликонической и поликлиновидной расчетных схемах.

Формулируются биинвариантные определяющие соотношения термоупругости и рассматриваются осесимметричные температурные задачи.

Достоверность полученных результатов определяется достоверностью исходных классических положений теории упругости,строгостью формально-логических операций, выполненных в работе, включая переход к линейным задачам,а также сопоставление с другими теориями и использованием экспериментальных данных других авторов.

Практическая и теоретическая ценность.

1. Разработанные методики и полученные результаты могут

найти применение в научно-исследовательских,проектных и конструкторских организациях при расчете пластин и оболочек из нелинейно-упругого материала, при расчете оснований и фундаментов.

2. Теоретические результаты диссертации открывают возможности развития физически нелинейной теории упругости и строительной механики как части вычислительной механики при простом нагружении на базе биинвариантных определяющих соотношений, применяемых в том случае, когда для материала можно получить сигма- и эпсилон-поверхности.

Апробация работы.

Основные результаты исследований доложены и обсуждены на следующих конференциях и семинарах:

1. на научно-технической конференции Московского инженерно-строительного института в 1982 г.

2. на Всероссийском семинаре " Механика и технология полимерных и композиционных материалов и конструкций " в 1992 г.( Санкт-Петербург - Вологда).

3. на научном семинаре кафедры "Сопротивление материалов и строительная механика" Краснодарского политехническо го института в 1993 г.

4. на научном семинаре кафедры " Строительная механика " Челябинского государственного технического университета в 1993 г.

5. на научном семинаре "Механика деформируемого твердого тела " Тульского государственного' технического университета в 1994.

6. на Всероссийской научно-технической конференции " Прочность и живучесть конструкций " в 1993 г. С Вологда ).

7. на научном семинаре "МЕХАНИКА" при Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете в 1994 г.

8. на научном семинаре кафедр "Сопротивление материалов"

и "Строительная механика" Саратовского государственного технического университета в 1994 г.

В окончательном виде работа докладывалась:

1. на международной научно-технической конференции в г.Новгороде в 1994 г.

2. на юбилейной научно-технической конференции Вологодского политехнического института в 1995 г.

3. на научном семинаре кафедры "Сопротивление материалов и строительная механика" Кубанского государственного технологического университета в 1995 г.

4. на объединенном научном семинаре кафедр "Строительная механика" и "Сопротивление материалов" Саратовского государственного технического университета в 1995 г.

Практическая реализация и публикации. Результаты работы могут найти непосредственное применение в практике проектных организаций и конструкторских бюро,занимающихся расчетом и конструированием оболочек,пластинок,а также в расчетах оснований зданий и сооружений.

По теме диссертации опубликовано 20 статей и 2 монографии объемом 14.7 печатных листа. Результаты работы представлены в 12 докладах и в 2 отчетах по НИР Вологодского политехнического института.

Методика расчета толщины листа трёхслойной оболочки использована СКБ "Молмаш'Ч Вологда) при расчете новых модификаций ёмкостей для транспортировки жидкости с экономическим эффектом 10 млн. рублей в ценах 1986 г. ( акт о внедрении помещен в приложении ).

Материалы глав I и У1 диссертации используются автором в учебном процессе для студентов специальности 29.03 (Промышленное и гражданское строительство) в разделе "Расчет балок из материалов, не подчиняющихся закону Гука" курса "Сопротивление материалов'ЧЧасть II).

Объём работы.

Диссертация состоит из введения, исторического обзора и постановки задачи, шести глав, основных выводов, заключения,списка литературы и приложений.

Объём работы- 276 страниц, машинописного текста,в том числе: 24 рисунка и 5 таблиц .список использованной литературы из 214 наименований (21 страница), приложения на 22 страницах.

На защиту выносятся:

1. Эффективная методика использования биинвариантов напряженно-деформированного состояния при записи определявших физических соотношений нелинейной теории упругости.

2. Теория сигма-,эпсилон-поверхностей.

3. Новые концептуальные положения,связанные с отказом от выделения шарового тензора и переходом от базовых соотношений в главных осях к произвольным осям.

4. Методика расчета полуплоскости и полупространства с использованием биинвариантов по поликлиновидной и поликонической расчетным схемам.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Работа состоит из двух частей. Первая часть (главы 1-Ш посвящена определяющим соотношениям нелинейной теории упругости при простом нагружении. Вторая часть (главы ) содержит алгоритмы основных задач нелинейной теории упругости и строительной механики, в которых использованы определяющие соотношения, предполагаемые в данной работе.

В первой главе предпринята попытка установить основную закономерность эволюции определяющих соотношений теории упругости с целью определения приоритетного направления в поиске решения поставленной задачи.В первом разделе первой главы рассматриваются вопросы развития теории упругости в XIX веке. Исторический анализ показывает, что ключевым вопросом в становлении физических соотношений линейной теории упругости является вопрос о становлении упругого потенциала и коэффициента поперечной деформации С.Д.Пуассона. Методологическая роль коэффициента поперечной деформации в теории упругости стала исключительно

важной. Последовавшие затем работы Ф.Неймана и его ученика Г.Кирхгоффа, тщательно выполнившего опыты по определении коэффициентов Пуассона для стали и латуни ( 1859 г.),разрешили спор между различными школами линейной теории упругости и привели все исходные уравнения к виду, сохраняющемуся до сих пор, одновременно давая дорогу идеям Д.Грина. Вывод соотношений между напряжениями и деформациями из энергетических соображений стал общепринятым, однако спор между рариконстантной и мультиконс-тантной теориями продолжался и окончательно был разрешен на рубеже XIX и XX веков после опытов В. Фойгта на тонких призмах, вырезанных из монокристалла в разных направлениях.Зти опыты позволили Фойгту заложить основы пятиконстантной теории упругости с использованием потенциала, позднее также введенного йурнаганом.

С появлением новых материалов и новых задач вопрос о коэффициенте Пуассона возникает вновь в связи с развитием нелинейной механики деформируемых тел. Значительное внимание коэффициенту поперечной деформации уделено в работах К.Ф.Черных и Е.К.Лебедевой, где вводится характеристика поперечного сжатия при одноосном растяжении, обобщающая коэффициент Пуассона на случай умеренно больших деформаций.

Коэффициент поперечной деформации всегда, начиная с 1829 года, привлекал к себе пристальное внимание исследователей в силу своей исключительной роли не только при решении конкретных задач, но и в методологии механики твердых тел. Дальнейший интерес к нему является естественным, закономерным и неизбежным.

Все упомянутые экспериментальные исследования коэффициента поперечной деформации относятся к случав простого растяжения и их распространение на плоские и пространственные задачи возможно лишь в частных случаях. В общем случае коэффициенты поперечной деформации не исследованы ни экспериментально, ни теоретически.

Между тем, исследование коэффициентов поперечной деформации позволяет записать более строгие определяющие соотношения нелинейной теории упругости и создать потенциальные возможности для более строгих решений задач теории упругости.

Исторический и методологический анализы, проделанные в первой главе, показали, что несмотря на наличие многих вариантов определяющих соотношений теории упругости,ведущим направлением является энергетическое, предполагавшее оперирование с потенциалом, из которого следует, как показал Б.В. Новожилов, при соответствующих допущениях соотношения Генки, такае играющие заметную роль в нелинейной теории упругости.

Определяющим вопросом в эволюции физических основ линейной и нелинейной теории упругости является вопрос о коэффициенте поперечной деформации Пуассона.

Дальнейшее развитие физических основ нелинейной теории упругости требует введения обобщенных коэффициентов поперечной деформации для плоского и объемного напряженных состояний, являющихся функциями соответственно двух или трех неизвестных, которые позволяют дать более строгие физические соотношения нелинейной теории упругости и более строгие алгоритмы решения прикладных задач.

Теория коэффициентов поперечной деформации приведена во второй главе.В первом ее разделе, посвященном инвариантам напряаенно-деформированного состояния, вводятся деформационные инварианты тензора напряжений.

Простейшими инвариантами напряженно-деформированного состояния в точке тела являются главные напряжения и главные деформации. По поводу главных деформаций В.В. Новожилов писал: "Три независимых инварианта <£, , <5± , <£3 хороши в том отношении, что имеют простой физический смысл (особенно при малой деформации). Математически они, однако, неудобны, так как выражение их через компоненты деформации связано с необходимостью решения кубического уравнения".

С появлением ЭВМ отмеченные В.В. Новожиловым трудности устранены и имеет смысл возвратиться к простейшим инвариантам тензора напряжений и тензора деформаций,к их линейным комбинациям и простейшим известным функциям от них.

Наряду с собственными значениями тензора имеются и другие инварианты. В качестве независимых инвариантов можно выбрать след тензора, модуль тензора и фазу тензора. Общепризнанным является наличие большого числа независимых инвариантов формоиз-

менения, в том числе результирующий сдвиг / и направляющих угол ¿С формоизменения, интенсивность формоизменения Э и фаза формоизменения и другие, однако, несмотря на важ-

ность вопроса о выборе инвариантов, наиболее сложным и ответственным является этап установления связи между соответствующими инвариантами сопоставляемых тензоров. Много внимания удачному выбору инвариантов уделял В.Б. Новожилов и уделяет К.Ф.Черных. Проблема их определения, как правило, сложна и поиск инвариантов, легко определяемых экспериментально, вполне оправдан на сегодняшний день.Такими инвариантами, на наш взгляд, являются простейшие функции от главных напряжений, определяемые экспериментально при растяжении. Если, например, инвариант б", найден, то всегда найдется соответствующая деформация ¿f(б',), которая может в равной мере характеризовать не только найденный инвариант, но и опосредованни-тензор напряжений. Такую деформацию будем называть деформационным инвариантом тензора напряжений (ДИТН). Простейшим примером ДИТН является деформация, которая принимается по диаграмме напряжений в зависимости от простого инварианта б^ тензора напряжений. Полное взаимное соответствие между ДИТН и позволяет пользоваться их Езаимной заменой в случае необходимости. Упомянутая деформация в наших работах называлась первичной деформацией или основной , однако, эти определения не давали нужного акцента. Выбранное здесь название ДИТН,пп-видимому, наиболее полно отражает существо этой деформации, являющейся тем необходимым звеном, которое позволяет связать тензоры напряжений и деформаций, поскольку эта величина одновременно является как функцией главных напряжений, так и функцией главных деформаций.

Последнее обстоятельство - присутствие ДИТН и в тензоре деформаций - позволяет ввести более широкий термин для первичной деформации - биинвариант, глубоко отражающий ее математическую сущность.

Для линейно-упругого материала известные зависимости <5, = у*

содержат биинварианты ¿1 , являющиеся деформациями,

поровдаемыми главными напряжениями по соответствующим направлениям. Эти деформации связаны с соответствующими главными напряжениями законом Гуна при растяжении

В матричной форме выражения (1) имеют вид:

«Г"- А

(2)

(3)

где: 6 - вектор полных (главных) деформаций; вектор основных деформаций; А - квадратная матрица, содержащая коэффициенты Пуассона

/

-л

-а

- м

У

-л

У*

(4)

/

Обратная зависимость между основными (или первичными) деформациями и главными может быть записана через обратную мат-

Г. а-Г

Следовательно, основные (первичные) деформации еГ," , , являются линейными комбинациями простейших инвариантов ¿^ , ¿г , и потому сами являются комбинированными инвариантами тензора деформаций или опосредованными инвариантами тензора напряжений. Из выражений (1)-(5) следуют все классические формы записи обобщенного закона Гука.

Для решения задач на ЭВМ допустима любая аппроксимация диаграммы напряжений, принимаемая для данного материала. Однако, такой подход лишен универсальности и не может ликвидировать недостатки, порождаемые самой аппроксимацией. Наиболее приемлемым является способ представления диаграммы напряжений в виде двух одномерных массивов б и <5\ являющихся координатами

С?)

(8)

множества точек (20-40), на которые разбивается диаграмма напряжений с одинаковым шагом по оси .По аналогии с (1) при плоском напряженном состоянии для нелинейно-упругого материала будем искать деформации как некоторую комбинацию двух известных функций от напряжений (биинвариантов)

¿7 = = ¿^о,)-^^(б)

Из выражений ( 6 ) и ( 7 ) имеем:

Для большинства материалов функцииу^ могут быть определены экспериментально. По результатам достаточного числа экспериментов построим поверхностиу^ иу^ в осях <5^, <^.3ти поверхности, прообразом которых является коэффициент Пуассона, будем называть поверхностями Пуассона. Они могут быть использованы для нахождения обобщенных^коэффициентов Пуассона , у^ по заданным напряжениям , . Если же необходимо найти напряжения по заданным деформациям, то эти поверхности не могут быть использованы. Вместо них следует ввести другие, В дальнейшем поверхностиу^,^ у1^^ Сбудем называть сигма-поверхностями Пуассона, а поверхностиу^^ ? используемые для определения напряжений по деформациям,назовем эпсилон-поверхностями Пуассона. Последние строятся по сигма-поверхности заменой осей и &2 на и 62 . Для определения напряжений находим у^ и по эпсилон-поверхности, а затем из (6),(7) определяем биинварианты.

По биинвариантам сГ/ , ¿~г находим соответствующие напряжения с помощью одномерных массивов <£ , описывающих диаграмму напряжений.

Все поверхности Пуассона вводятся в ЭВМ в виде квадратных матриц, элементы которых, расположенные выше главной диагонали,-

равны нулю. Для линейно-упругого материала' сигма-поверхности Пуассона являются плоскостями, параллельными соответствующим координатным плоскостям, отсекающими от третьей оси отрезок, численно равный коэффициенту Пуассона _/■£<> .

Для пространственного случая связь между главными деформациями ¿к и деформационными инвариантами тензора напряжений имеет вид:

¿, - ¿1 (¿г

^ = -ft3f /¿7 (12)

¿s, £%-fS^SV.

Функции J43z , подлежат экспериментальному определе-

нию для материалов, позволяющих создавать регулируемое пространственное напряженное состояние. К числу таких материалов относятся некоторые грунты,в которых с помощью стабилометра можно создать объемное напряженное состояние при любых соотношениях между главными напряжениями, замеряя при этом главные деформации .Зная главные напряжения,с помощью диаграммы, характеризующей данный материал, находим биинварианты 6' , £° . ¿з . а затем вычисляем функции •

Фиксируя одно из главных напряжений (например, или любое другое), построим три сигма-поверхности Пуассона для функций >• йеняя б^ .строим еще три сигма-поверхности Пуассона. Продолжая такие испытания, получим семейство сигма-поверхностей для объемной задачи. Семейство эпсилон-поверхностей получим из сигма-поверхностей заменой осей ¿V . на оси <?, . £г с соответствующим искажением координатной сетки.При недостаточном числе экспериментальных данных имеет смысл аппроксимировать сигма-поверхности аналитическими выражениями.

Плодотворное использование собственных значений тензоров в качестве инвариантов возможно по следующим причинам!

1. Существует некоторая величина,являющаяся сложным инвари-

антом и тензора напряжений, и тензора деформаций-биинва-риант напряженно-деформированного состояния.

2. Физический смысл биинварианта- это деформация,определяемая в зависимости от главных напряжений по диаграмме растяжения-сжатия (деформационный инвариант тензора нап-рякений-ДИТН), что позволяет простой пить их экспериментального определения.

3. Биинварианты позволяют построить поверхности, с помощью которых определяются обобщенные коэффициенты поперечной деформации, используемые для вычисления главных деформаций в зависимости от ДИТН и наоборот.

В третьей главе предлагаются биинвариантные определяющие соотношения нелинейной теории упругости.

Деформационные инварианты тензора напряжений можно легко найти с помощью тензора напряжений и диаграммы растявения-сна-тия. Отыскание этих же инвариантов с помощью тензора деформаций несколько сложнее, поскольку требует наличия функций поперечной деформации и построение обратной матрицы. Приравнивая биинварианты, найденные для соответствующих тензоров, получаем зависимости между главными напряжениями и главными деформациями, предполагая изотропию материала и коаксиальность рассматриваемых тензоров, один из которых задан, а другой требуется найти. Коаксиальность тензоров позволяет осуществлять переход от главных направлений к исходным произвольным и Формировать Физические соотношения для нелинейно-упругого материала в самом общем виде как в прямой, так и в обратной форме.

Для пространственного напряженного состояния имеем:

<Р, - Ъ/Е, (6-2/Еа + £3/Е5),

4 - 6*/Е2 (63/Еь + 6</Е<),

-Л + б^/Ег)- (14)

где: - секущий модуль диаграммы напряжений, определяемый

по соответствующему главному напряжению (его введение в (14) имеет чисто методический характер, поскольку ЭВМ осуществляет прямой поиск ДИТН по

главному напряжении и наоборот); у1?,-* - Функция, учитывающая влияние главных напряжений и б* на линейную деформацию по направлению оставшегося главного напряжения.

Если главные напряжения заданы или вычислены, то по ним определяем ДИТН ¿7 , ¿1, , <£з , функции поперечной деформации У^за » У*з/ • У^'г с П0м°щью сигма-поверхностей Пуассона, а затем главные деформации по (14).

Зависимости (14) в обратной форме:

б, -- <4^/ + ^^л-

62 = Е2 е, + + С15)

Коэффициенты являются элементами обратной матрицы получаемой из матрицы .связывающей в (12) полные деформации и биинварианты:

А,-

32

/ " / /

"Л

/

(16)

Зависимости (14 ), ( 15 ) являются базовыми и справедливы только для главных направлений.

Если,например,тензор деформаций задан для произвольных осей, то компоненты тензора напряжений находим следующим образом: определяем первый,второй и третий инварианты тензора деформаций, главные деформации , <?2 > <£з и направляющие косинусы ,М, П . С помощью эпсилон-поверхности Пуассона находим значения коэффициентов уЧ£к , элементы обратной матрицы А *, биинварианты, а затем определяем главные напряжения.

Зная главные напряжения .переходим от главных площадок к исходным, предполагая, что ориентация исходных площадок в главных осях определяется направляющий косинусами £0 , /и» , /7» , легко вычисляемыми по 6 , т , Я :

бхх = Е, + * +

- 18 -

+ Ег + ¿гг <г * Ъ***) +

6жу =

4 <Г, + Д^ ^ ^ <£з) /П*2 *

+ £з /04; 6 ^ ^ ^ * ^ Пч ^ ,

Аналогично вычисляем компоненты тензора деформаций по заданному тензору напрявений.

(18)

¿хх = [£/£, у** (6г/Ег </Ез)] & +

Для главных направлений зависимости (17) примут форму (15),а для линейно-упругого материала выражения (17) могут быть преобразованы к зависимостям между напряжениями и деформациями в форме Ляме.

При плоском напряженном состоянии для главных направлений имеем: .

Законы (19) являются опорными для установления зависимости между напряжениями и деформациями при произвольной ориентации координатных осей:

¿V --[Ь^Ж + <5 /2 -- в,(20)

где: 2) - диаметр круга Мора.

Эти соотношения в обратной форме имеют вид:

6 - + ¿¿Ее .

(21)

1

Из выражений (20),(21) получается закон Гуна для плоского

напряженного состояния.

При наличии исчерпывающей экспериментальной информации, получаемой в результате испытаний тонкостенных трубок на действие внутреннего давления и растягивающей силы,и в других аналогичных экспериментах возможен прямой поиск главных напряжений по главным деформациям и наоборот. В результате эксперимента получаем поверхность для <5/ в зависимости от б^ и и

аналогичную поверхность для 62 . Поменяв ролями функции с аргументами, получим поверхности для и

Эти поверхности вводятся в ЭВМ в виде четырёх квадратных матриц. Первые две матрицы содержат главные деформации в зависимости от напряжений и используются для нахождения по & и о2 (первая матрица) и <2 по б> и (вторая матрица). Третья и четвертая матрицы соответствуют обратным процедурам. При поиске ¿1 .например,в соответствующей матрице главные напряжения & и б^ трактуются как координаты искомой величины. Роль этих четырех матриц в нелинейной теории упругости соответствует роли диаграмм растяжения и сдвига в линейной теории.

Соотношения между напряжениями и деформациями при умеренно-больших деформациях при условии неизменной ориентации главных площадок можно брать в соответствии с ( 6 ) и ( 7 ), подразумевая в них истинные напряжения и истинные деформации. Прм этом вместо условной диаграммы напряжений вводится истинная в виде двух одномерных массивов. Пересчет условной диаграммы в истинную осуществляется в соответствии с выражениями;

¿Г'г £ (ехр(2ЛС*)), (22)

где: & , £ - напряжения и деформации для условной диаграммы напряжений:

¿Г* (Г - то же для истинной диаграммы напряжений:. А - коэффициент Пуассона, зависящий от напряжений.

Для истинных деформаций при двухосном растяжении имеем:

€<*= £,0*-у** ¿Iм;

Для истинных напряжений пользуемся соотношениями:

(24)

При наличии достаточного числа экспериментальных данных возможны прямые феноменологические зависимости между главными истинными деформациями и главными истинными напряжениями.

Для температурной задачи общие уравнения содержат обычные три стороны задачи и уравнение теплопроводности. Для несвязанной задачи последнее дифференциальное уравнение является независимым и решается в соответствии с существующими рекомендациями в литературе по теплотехнике. Далее будем считать:

1) температурное поле по всему объему рассматриваемого объекта нам известно:

2) осуществляется однократное температурное воздействие без дальнейшей разгрузки.

Тепловая деформация сГ по лвбому направлению имеет вид:

£( т) = и ту

(25)

гдъ'.сС~о{.(Т)- коэффициент линейного расширения;

Т - температура. При наличии тепловых напряжений (ограниченная деформация или неравномерный нагрев) полная деформация имеет две составляющие: нелинейно-упругую и тепловую.

При объемном напряженном состоянии имеем выражения для полных линейных деформаций по главным осям:

- ¿7(¿°2 +Г3) ^ Т (26)

Условием ( 26 ) можно пользоваться.если мы имеем достаточное число "мгновенных" диаграмм напряжений, охватывающих весь интервал действующих температур, и располагаем соответствующими коэффициентами поперечной деформации/1:к для каждой температуры.

Силовая деформация по каждой оси состоит из трех составляющих, одна из которых является первичной, а две другие -пуассо-новскими. Если вектор полных деформаций найден , то вектор первичных деформаций (биинвариантов) выразится через него и через вектор температурных деформаций.

Определяющие соотношения аналогичны (14), (15), (17), (18):

¿V - /Ег 61/£5 + и Т ;

6 = /" >}, (£Ы Т)+ 4 Т) + 4 (¿ж -и Т);

Таким образом,определяющие соотношения для нелинейно-упругого материала при простом нагружении и коаксиальности тензора напряжений и тензора деформаций для произвольных направлений записываются через базовый закон, который устанавливает связь между главными напряжениями и главными деформациями.Процедура отыскания компонент тензора напряжений по компонентам тензора деформаций предполагает отыскание главных деформаций,главных направле-

иий обобщенных коэффициентов поперечной деформации по эпсилон-поверхности,после чего определяются биинварианты и главные напряжения. На заключительном этапе осуществляется переход от главных направлений к исходным при известных значениях направляющих косинусов и главных напряжений. Аналогичен поиск тензора деформаций по тензору напряжений.При достаточном числе экспериментальных данных нет необходимости в посреднической миссии обобщенных коэффициентов поперечной деформации между напряжениями и деформациями, поскольку базовый закон может быть введен в ЭВМ с достаточной точностью непосредственно из эксперимента.

В четвертой главе рассматриваются экспериментальные основы биинвариантннх соотношений между напряжениями и деформациями. Основная цель этой главы состоит в том.чтобы показать техническую осуществляемость экспериментов.в результате которых получаются зависимости между главными напряжениями и главными деформациями.

За последние 50 лет накоплено много экспериментальных исследований над тонкостенными трубками.Известны опыты Лоде,Тейлора и Квинни.Дэвиса и других зарубежных и отечественных исследователей. Их иная целенаправленность и отсутствие всей необходимой информации не позволяет использовать полученные результаты для построения сигма-поверхности Пуассона. Однако в работах А.М.Шукова.А.Я.Гольдмана имеется достаточно информации для определения в ряде случаев обобщенных коэффициентов Пуассона, позволяющих сравнивать различные концепции и делать предварительные выводы.

Построение сигма-поверхности Пуассона возможно при наличии экспериментальных зависимостей между главными напряжениями и главными деформациями при постоянном отношении между напряжениями. Непременным условием также является наличие диаграммы простого растяжения. Все это имеется в необходимом объеме в упомянутых работах. Разумеется, процессы деформирования в этих опытах имеют разную природу. Однако, предлагаемые определяющие соотношения могут адекватно описать явление во всех случаях, когда нет разгрузки и сохраняется простое нагружение.

В настоящее время интересующие нас базовые экспериментальные зависимости получаются для резинотехнических изделий на уста-

Рис. 2. r»Di:ci3'iocTi/ ксггг гсгкшии пгпгпяпхля'т: б^ гл2пп:!п' де*оркагл:я:а: иг;: с дсфогкгтпск 1С с -

Пгс. 3. "oDi'Ciîi-'oCTb. ксгсг ГЛ2ЕШЛШ irnrrx"::™^ г ^ ггаЕглг':: дг?ор:-;ггпшкк £„ яри скогэгт? д^сптоппг !" г .

0.0 i

00 2

003

m

OOS

Рис. Я. ЕОЗФФИЦПСКТЫ ПОЯСРС'ЛГОп ДСФОРКЗЩШ рt , JUt для Фторопласта при = il в осях jj-t .

ß

m

m

s»

" T'A Л * ЛТгттт. ''Уу-'г^ч г» Л т* Л. pi тт »»лУг ттл Л r-s"*"xt TVT i J AJ п гтгт

J » Í..L-. - 'i "i ii1»*!. i* ii ¿- _ ii.¿.s»V.¿ / -Л г _¿*W¿' f* 4 > y1-1 g .'-.'.--.'i

^ХОГОПЛа-^З Tjvy -¿2 ^ ОС"*? JU-

новках типа "крест", для бетона - на специальных установках, создающих плоское напряженное состояние, для грунтов - в стаби-лометрах.

Для проверки соотношений6),(7) воспользуемся экспериментальными данными Й.Я.Гольдмана для фторопласта при соотношении между главными напряжениями, равном 1,2 (Рис.1, Рис.'2, Рис.3).

Принимаем экспериментально найденные соответствующие тензоры напряжений и деформаций с помощью экспериментальных кривых (Рис.2, Рис.3), затем по тензору напряжений ищем тензор деформаций , определяя предварительно объёмный модуль упругости, среднее напряжение, интенсивность напряжений и интенсивность деформаций. После этого ищем тензор деформаций по (6),(7), определяя с помощью диаграммы напряжений и компонент тензора напряжений биинварианты <57 , и коэффициенты , с помощью сигма-поверхности Пуассона .Если компоненты исходного тензора напряжений строго соответствуют координатной сетке сигма-поверхности Пуассона, то получим тензор деформации, совпадающий с экспериментальным. В противном случае обобщенный коэффициент Пуассона принимается по интерполяции и отклонения от эксперимента имеют место. Результаты вычислений изображены на Рис.4,Рис 5. и приведены в таблице 1.

Существенное несовпадение эксперимента с результатами по соотношениям типа Генки вполне естественно, поскольку выражения эти не ориентированы на фторопласт, а несовпадение с зависимостями Й.Я.Гольдмана объясняется тем.что последние не охватывают этот интервал деформаций.

На Рис.4, Рис.5 горизонтальными штриховыми линиями показаны значения коэффициента Пуассона ß* для изотропного линейно-упругого материала.При деформациях меньие 0.005 ytf, , ßt ,и отличаются незначительно.

Техника современного эксперимента такова, что определение функций, входящих в биинвариантные соотношения,не вызывает затруднений для практически важных случаев и позволяет рекомендовать эти соотношения в физически нелинейных задачах теории упругости и строительной механики.Основной сферой приложения этих соотношений являются материалы,для которых объёмная деформация не является линейно-упругой,а также новые материалы,для которых еще не разработано программное обеспечение. Другой важной сферой их приложения может быть теория нелинейной термоупругости.

Таблица 1

Сопоставление результатов эксперимента и теории для фторопласта при скорости деформации 102С.~' (экспериментальные данные и сопоставляемые теоретические взяты по работе А. Я. Гольдмана, напряжения приведены в кгс/см2).

Исходные экспериментальные тензоры 125 0 0.02 0 0 104.2 0 0.01

Поиск тензора деформаций по тензору напряжений'.

Деформации Расхождение с опытом, 7.

0.0100 0.0073 50 27

по( 6)-(7) 0.0198 0.0099 1 1

Поиск тензора напряжений по тензору деформаций.

Напряжения Расхождение с опытом, 7.

146 120 17 15

по( 6X7) 125 104 0 0.2

В пятой главе рассматриваются задачи расчета полупространства и полуплоскости с использованием биинвариантов, а также исследуются вопросы расчета при поликонической расчетной схеме основания.

Несмотря на достаточно подробное решение задач, используемых в механике грунтов для расчета оснований, специалисты по механике грунтов отмечают значительное несоответствие теоретических данных и натурных наблюдений:" Деформации упругого полупространства при действии местной нагрузки возникают не только непосредственно под нагрузкой С по ее подошве ), но распространяются в стороны на значительные от нее расстояния, образуя " упругую лунку ". Опыты , однако, показывают, что в реальных грунтовых условиях "упругая лунка" под нагрузкой имеет значительно меньшее распространение, чем по решению теории упругого полупространства. Последнее, по-видимому, следует объяснить тем, что в работу грунта под нагрузкой включится практически далеко не весь массив грунта (полупространство), а лишь ограниченная его область."

Зти и другие замечания привели к возникновению и развитию многих гипотез упругого основания, связывающих между собой действующую нагрузку и осадку основания. Содержание гипотез определяется свойствами грунта, на который ориентирована конкретная гипотеза, уровнем развития механики деформируемых тел и характером математического аппарата, который существует в данное время. (Модели К. Вигхарда, М.М. Филоненко-Бородича, П.Л Пастернака,В.З.Власова-Н.Н.Леонтьева,Л.Н.Репникова и др.). Развитие вычислительной техники коренным образом меняет подход к формированию тех или иных гипотез,позволяя обращаться к другим гипотезам,базирующимся на увеличении математических операций и изменении логических построений, учитывающих нелинейные модели материалов в сложных расчетных схемах, когда, например, объемная деформация зависит нелинейно от среднего напряжения.

Для ряда грунтов соображения о размерах "упругой лунки" и о работе некоторой части грунта, а не всего объема дают возможность рекомендовать вместо полупространства, загруженного сосредоточенной силой, рассмотреть конус, телесный угол которого определяется свойствами грунта. Для песчаных грунтов и сыпучих сред преимущества этой модели очевидны, поскольку "упругая лунка" под нагрузкой имеет незначительное распространение. Для пространственной задачи теории упругости это основание гласно

назвать поликоническим,а для плоской задачи - поликлиновидным. Решение задачи Фламана для напряжений: вг -~ Р С.О* 0; - ОI бгё>=0. (27)

В зависимости от принимаем биинвариант по диаграмме напряжений и коэффициент Пуассона /I для одноосного сжатия. Вычисляем главные деформации по осям 6 и Z

= (28) В выражении (28) знаки определяются знаком напряжения б"? . Вертикальные перемещения определяем методом послойного суммирования, подробно разработанного в механике грунтов.

Аналогично определяем перемещения по вертикали для клина, предполагая, что клин является частью полуплоскости, материал которой при в >_ро не работает.

Существуют материалы, для которых вышеприведенное предположение вполне оправдывается. На наш взгляд, к таким задачам можно отнести задачи расчета на песчаных основаниях. В зависимости от свойств грунта его активная часть будет клином, угол которого 2/0является характеристикой грунта. Для линейной задачи рассмотрим пример, когдаД,=45°;=0,25 : У =5м; Н =10м; По методу послойного суммирования и по формуле Фламана получим соответственно: ^^„рд.

Перемещение по Фламану значительно больше,поскольку приходится - в данном примере учитывать значительный объем материала, фактически не работающий,в то время,как клиновидная расчетная схема учитывает часть материала.Возможно другое соотношение между перемещениями,если точку брать на линии действия силы.что % соответствии натурным наблюдениям.

Другой метод определения перемещения в задаче Фламана и в задаче Мичелла предполагает отказ от базовой линии и введение базовой точки В . находящейся под точкой приложения силы на некотором расстоянии У- И •

Из рассматриваемой точки С радиусом ОС проводим дугу окружности до пересечения с осью У в точке • Пере-

мещение в точке А найдем как укорочение отрезка АВ . Дугу А С разбиваем на равные отрезки 4 5". Для каждого отрезка найдем относительную деформацию по оси д .затем - его абсолютную деформацию А в .которая определит перемещение верхней точки рассматриваемого отрезка по отношению к нижней по вертикали. Суммируя вертикальные составляющие перемещений для всех отрезков, найдем искомое перемещение.

Изложенный метод определения перемещений, предполагающий два участка интегрирования (по дуге и по прямой), можно назвать "деревом" перемещений, поскольку интегрирование первоначально идет по "стволу" ВА, а затем по "ветви" АС. По сравнению с методом послойного суммирования такой подход позволяет давать более обоснованные сравнения перемещений различных точек. Самое же большое преимущество состоит в том, что мы пользуемся исключительно базовым законом и нет необходимости прибегать к процедурам поворота соответствующих координатных осей. Во всех случаях из рассмотрения выбрасывается некоторая зона в окрестности точки приложения силы.

При совместном действии сосредоточенных сил на полуплоскость предполагаем, что зона сильной физической нелинейности локализована в окрестности каждой силы.Если за пределами этих зон физическая нелинейность незначительна и зоны не пересекаются, то задачу об определении перемещений можно решить отдельно от каждой силы, а затем сложить результаты.

Рассматривая задачу о действии сосредоточенной силы на нелинейно-упругое полупространство, за основу примем линейное решение для напряжений Буссинеска,область применимости которого нами исследована (решение Буссинеска при любом коэффициенте Пуассона //„ справедливо по линии действия силы и на поверхности полупространства, а в остальных точках - только при _/%<> =0.5 ), а нелинейные факторы учтем при определении перемещений. Методика определения перемещений близка к "дереву"перемещений.

Первое приближение задачи для напряжений принимаем при начальном значении коэффициента поперечной деформации,а в последующих - используется усредненное значение коэффициента по предыдущему приближению.

Если на полупространство действуют сосредоточенные силы, области заметной физической нелинейности которых ограничим,

то для точек.не попадающих' в область значительной физической нелинейности находим напряжения отдельно от каждой силы в декартовых координатах, затем - деформации по биинвариантным соотношениям, после чего определяем перемещения по методу послойного суммирования (в частных случаях можно пользоваться "деревом" перемещений)

Пусть на полупространство действует распределенная нагрузка в пределах некоторого круга. Предположим, что материал обладает естественным свойством воспринимать нагрузку некоторой областью; граница этой области определяется поверхностью конуса,образующая которого наклонена к оси I под углом , а граница грузовой площади принадлежат конической поверхности. Будем считать, что при все напряжения в массиве отсутствуют.

Тогда поставленная задача будет задачей о действии распределенной нагрузки на усеченный бесконечный конус. Заменяем распределенную нагрузку множеством сосредоточенных сил.

Часть нагрузки, влияющая на напряженное состояние в данной точке, определяется конусом влияния. Под конусом влияния понимается конус, вершиной которого является рассматриваемая точка, а образующая составляет с внешней нормалью к загруженной поверхности угол . Круг, получающийся в результате пересечения конуса влияния и загруженной плоскости, назовем кругом влияния. Пусть его радиус равен р , а расстояние от загруженной плоскости до рассматриваемой точки равно 2 . Тогда можно записать:

При определении напряжений в заданной точке учитывается только та нагрузка, которая попадает в круг влияния этой точки.

Выражения для напряжений, предлагаемые нами, в конусе учитывают условие на поверхности каждого конуса и интегральные уравнения равновесия.

Изложенная методика позволит устранить несоответствия между натурными наблюдениями и теоретическими результатами, изменив расчетные схемы для полуплоскости и полупространства. Для песчаных грунтов можно рекомендовать поликлиновидную или поликоническую расчетные схемы. При определении осадок грунта целесообразно комбинировать традиционный метод послойного суммирования с методом "дерево перемещений".учитывая физическую нелинейность с помощью биинвариантных соотношений.

В шестой главе подготавливаетса основа для вычислительной механики (по терминологии Н.Н.Шапошникова) нелинейных систем. Рассматриваются задачи изгиба балок, стержней, пластинок, оболочек и температурные задачи.Методика,созданная для расчета балок,используется при расчете осесимметричной пластинки. Для качественной оценки нелинейных факторов используется моноэлементный метод.состоящий в том,что задаются перемещения срединной поверхности на основе физически линейного решения с точностью до постоянного мнояителя. После определения деформаций, напряжений и усилий проверяется дифференциальное уравнение равновесия, записанное в усилиях, для некоторого базового элемента.То значение постоянного множителя,при котором это дифференциальное уравнение удовлетворяется, определяет решение задачи.Зтот не метод используется при решении температурных задач.

При расчете балок удобно пользоваться статическим моментом диаграммы напряжений на участке ( 0-6 )

с29)

о

С помощью (29) вычисляем коэффициент изгиба //7 = &/£<£2

который для прямоугольного сечения связан с изгибавшим моментом следующим образом :

Эта методика может быть взята за основу при расчете балки переменного сечения при цилиндрических поперечных сечениях.Выбор цилиндрических поперечных сечений в последнем случае связан с тем, что обычный подход сопротивления материалов приводит к ошибочным выводам из-за того, что исходные допущения для балок переменного сечения (плотин) не могут быть выполнены. Учитывая хорошее совпадение расчетов при цилиндрических сечениях с линейным решением теории упругости, можно рекомендовать эту методику для физически нелинейных задач, когда решение теории упругости будет громоздким.

Выражение (30) может быть использовано при расчете круглой осесимметричной пластинки,для которой геометрическая сторона

задачи и статическая традвдионны.а в физической стороне изгибающие моменты связаны с биинвариантами следующим образом::

Мг - тг

(31)

Mo = Ме/г°)/;£.

Аналогично выглядит физическая сторона задачи для ческого резервуара.Для изгибающего момента имеем:

а для продольной силы получим из (19):

Рассматривается также физически и геометрически нелинейная задача расчета осесимметричной тонкостенной оболочки из изотропного материала,находящейся под действием внутреннего давления в условиях коррозии. Истинная диаграмма напряжений получается путем пересчета условной,вводимой в ЭВМ в виде двух одномерных массивов.

Физическую сторону задачи для плоского напряженного состояния записываем для частного случая, когда ориентация главных площадок в процессе нагружения не изменяется.

Для полой тонкостенной сферы на действие внутреннего давления при умеренно-больших деформациях будем учитывать изменения радиуса сферы и толщины оболочки. Пусть начальные размеры оболочки равны R* и ho , а внутреннее давление равно р . Запишем уравнение Лапласа для деформированного состояния:

6t/£t + 6Ге//?в - p/h , (34)

где: 6t , - истинные напряжения по взаимно перпендикулярным меридиональным направлениям ( 6t - ов ) R.t • ~ Радиусы кривизны по координатным направлениям ( R-t - - R. ) для деформированного состояния.

цилиндри-(32)

h - толщина оболочки в деформированном состоянии.

Алгоритм решения задачи предполагает выбор некоторого би-инварианта <£%, отыскание в массиве напряжений , нахождение ßt по сигма-поверхности Пуассона и сопоставление левой и правой частей последнего уравнения.

Для титанового сплава при R.0 - 500 мм, h0 - Ю мм и р - 16,8 МПа получено: бв- tit - 506 НПа, /? = 551 мм, h - 9,2 мм, ¿е - 0,14 , <fe = 0,10. Предел прочности для данной истинной диаграммы и наибольшие истинные деформации соответственно равны 540 МПа и 0,18 . Аппроксимация сигма-поверхности Пуассона осуществлялась плоскостью.

Для учета изменения толщины оболочки с учетом коррозии воспользуемся дифференциальным уравнением коррозии по Петрову В.В. - Овчинникову И.Г.:

äfydt = ¿¿i о.ß , (35)

где: ¿i - интенсивности напряжений и деформаций;

бпор - пороговый уровень напряжений, ниже которого коррозия происходит без влияния напряжения на скорость коррозионного процесса: Р - коэффициент, учитывающий коррозионный эффект

при напряжении ниже порогового; oL - коэффициент, характеризующий влияние напряженно-деформированного состояния на скорость коррозии; О - толщина разрушенного слоя. Найдем напряжения и толщину оболочки через некоторый промежуток времени t . Разбиваем интервал времени на П малых отрезков At- t/n. В начальный момент производим расчет в соответствии с алгоритмом расчета, не учитывающим коррозию, изложенным выше. На втором этапе для определения толщины разрушенного слоя за промежуток &t принимаем be, St, ¿0,6t по предыдущему расчету, определяем интенсивность деформаций и толщину разрушенного слоя

Д(Ю= U ¿L * SnoP)+J5>]U

Далее учтем изменившуюся толщину оболочки h- ho~ü(fr)

и найдем вновь напряжения б а, . Если эти значения напряжения отличаются от предыдущих значений незначительно С в рамках требуемой точности), то первый шаг завершен. На втором шаге исходными являются напряжения и деформации первого шага, алгоритм расчета изменений не претерпевает.

После п-го шага будем иметь искомые значения напряжений и деформаций, позволяющие затем сделать заключение о коэффициенте безопасности по одной из гипотез разрушения, характерной для данного материала.

Задача о расчете железобетонной плиты с учетом физической нелинейности рассматривалась в работах Бондаренко В.Н. и Бонда-ренко С.В.,Карпенко Н.И. и др. в предположении неизменности коэффициента Пуассона. Использование биинвариантных соотношений позволяет отказаться от этого допущения и развить существующую теорию.

В заключительной части шестой главы рассматривабтся задачи осесимметричного распределения температурных напряжений и деформаций для тонкого круглого диска и сферы с полостью в центре с использованием моноэлементного метода и решения температурных задач линейной теории упругости. Рассмотренные в шестой главе алгоритмы расчета нелинейно-упругих стержней и стержневых систем являются основой вычислительной механики не только этих систем,но и некоторых задач расчета пластин и оболочек.

Основные научные результаты и выводы по диссертации.

1. Исторический анализ показал,что эволюция определяющих соотношений теории упругости в XIX веке определялась представлениями о коэффициенте поперечной деформации Пуассона.

2. Показано, что существует некоторая величина, являющаяся сложным инвариантом и тензора напряжений и тензора деформаций. названная биинвариантом.

3. Базовый закон, связывающий напряжения и деформации по главным направлениям,предполагает использование экспериментально устанавливаемых функций поперечной деформации.

4. При простом нагружении изотропного материала для произвольных направлений связь между компонентами тензора на-

пряжений и коаксиального ену тензора деформаций определяется базовым законом и основными соотношениями теории напряжений и теории деформаций в окрестности рассматриваемой точки.

5. Опыты по определении необходимых экспериментальных функций поперечной деформации не являются принципиально новыми и поэтому предлагаемые соотношения адекватно отражают зависимость между напряжениями и деформациями в задачах нелинейной теории упругости и строительной механики.

6. Биинвариантные определяющие соотношения являются надежной базой для создания вычислительной механики нелинейных систем.

Перспективы использования выполненных в диссертации исследований.

К настоящему времени проблема об определяющих соотношениях нелинейной теории упругости является весьма актуальной,несмотря на достаточное число интересных предложений, ориентируемых, как правило, на конкретный материал.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в процессе исследования работы инженерных объектов, находящихся в условиях простого нагружения,выполненных из материалов,не подчиняющихся закону Гука, независимо от особенностей диаграммы напряжений для данного материала,в том числе, независимо от того, как объёмная деформация выражается через среднее напряжение.

Сферой применения полученных биинвариантных соотношений предполагаются преимущественно новые материалы,для которых принципиально возможны опыты по определению функций поперечных деформаций, поэтому весьма актуальной является задача о создании банка экспериментальных данных для этих материалов.

К числу задач,которые могут быть решены с использованием биинвариантных соотношений можно отнести такие задачи,как!

а) определение осадок оснований на песчаном грунте при различных расчетных схемах (полуплоскость.полупространство,поликлиновидное основание,поликоническое и др.) с учетом физической нелинейности;

б) расчет пластин и оболочек из нелинейно-упругого материала на внешнюю нагрузку при малых и умеренно больших деформа-

циях;

в) расчет инженерных объектов на температурное воздействие;

г) создание инженерной методики расчета железобетонных плит;

д) технологические задачи и др.

Выполненные в диссертационной работе исследования являются основой для их дальнейшего развития в следующих направлениях:

- формулировка определяющих соотношений при сложном наг-рунении,

- расчет железобетонных плит с учетом нелинейной диаграммы напряжений для бетона.и для арматуры,

- расчет конструкций,лежащих на нелинейно-упругом основании,

- динамические и температурные задачи на базе биинвариантных определяющих соотношений при простом и сложном нагружении.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Ерюз В.И. О коэффициенте безопасности по материалу при изгибе за пределом упругости. - Вологда, 1982.-6с. Деп. во ВНИИИПС N 318?.

2. Ершов В.И. Расчет статически неопределимых рам из нелинейно-упругих материалов.//Межвузовский сборник "Деформирование и разрушение конструкционных элементов и материалов". СЗПИ.ВПИ. Ленинград, 1988.

3. Ершов В.И..Мотыльков В.В. Выбор толщины листа трёхслойной оболочки ёмкостей для транспортировки и хранения жидкости. Деп. в ВИНИТИ, 8909- В88.

4. Ершов В.И. Моноэлементный метод расчета нелинейно-упругой пластинки. // Изв.вузов. Строительство.-1992,-И 5,с.33-36.

5. Ершов В.И. Кручение с изгибом вала из нелинейно-упругого материала. // " Длительное сопротивление конструкционных материалов и вопросы расчета элементов конструкций". Межвузовский сборник. Ленинград-Вологда. 1991, с.54-56.

6. Ершов В.И. Расчет балки переменного сечения и пластинки из нелинейно-упругого материала. // "Длительное сопротивление конструкционных материалов и вопросы расчета элементов конструкций". Межвузовский сборник.Ленинград-Вологда, 1991, с.61-64.

7. Ершов В.И. Решение задачи йичелла для нелинейно-деформируемой полуплоскости. - Деп. в ВИНИТИ 12.03.93..N 605-В93.

8. Ершов В.И. Расчет невесомой полуплоскости с локализованны-

ми зонами физической нелинейности. //Изв.вузов."Строительство" .-1993,-N10, с.27-30.

9. Ершов В.И. Действие распределенной нагрузки на нелинейно-деформируемой полупространство. // Изв.вузов."Строительство". -1994,-Я 1, с.25-29.

10. Ершов В.И., Комиссарова И.И. Использование .базовой точки при определении перемещений в задаче Фламана для нелинейно-упругого материала. //Материалы Всероссийской научно-технической конференции. "Прочность и живучесть конструкций" (дополнительный выпуск). Вологда.1993-с.37.

11. Ершов В.И. Зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для нелинейно-упругого материала в произвольных осях. // Материалы Всероссийской научно-технической конференции. "Прочность и живучесть конструкций" (дополнительный выпуск).Вологда.1993-с.29-34.

12. Ершов В.И. Большие перемещения осесимметричной оболочки из нелинейно-упругого материала. Деп. в ВИНИТИ. N 495 В 94.

13. Ершов В.И. Физические соотношения в задачах нелинейной строительной механики. Часть I. ( Биинвариантные соотношения). Деп. в ВИНИТИ 24 июня 1994 г. N 1185 В 94,135 с.

14. Ершов В.И. Физические соотношения в задачах нелинейной строительной механики. Часть II. ( Алгоритмы решения задач при простом нагружении). Деп. в ВИНИТИ

ЕРИ О В Виталия Ильич ~ .

ОПРЕДЕЛЯВШИЕ СООТНОШЕНИЯ В НЕЖНЕЙННХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Автореферат

Ответственный за выпуск к.ф.-м.н. В.П.Абросимов Корректор О.А.Панина

Подписано в печать 06.04.95

Бум. оберт." Усл. — печ. л. 2,0

Тираж' 100 экз. Заказ 73.

Саратовский государственный технический университет 410016 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Ротапринт СГТУ, 410016 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Формат 60X 84 1-16 Уч. — изд. л. 2 ,0 Бесплатно