автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Нестационарное деформирование слоистых оболочечных элементов авиационных конструкций сложной геометрии, предварительно нагруженных статической нагрузкой

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

ррд КА^НрИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А.Н.ТУПОЛЕВА

На правах рукописи

ГРОЗМАНИ ЮРИЙ БОРИСОВИЧ

УДК 539.3:534.1

'НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ, ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАГРУЖЕННЫХ СТАТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ

(специальность 05.07.03 - прочность летательных аппаратов)

*

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

КАЗАНЬ 1993

Работа выполнена на кафедре "Сопротивление материалов" Казанского Государственного Технического Университета им. А.Н.Туполева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Паймушин

Научный консультант: кандидат технических наук, старший

научный сотрудник Ю.Я.Петрушенко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Иванов

кандидат технических наук, старший научный сотрудник В.Г.Гайнутдинов

Ведущая организация - ШЗ "Скорость" ( г. Москва )

Защита состоится 02. 94_. в /0 ч., на

заседании специализированного совета К 063.43.04 Казанского Государственного Технического Университета имени А.Н.Туполева по адресу: 4201П, г. Казань, ул. К.Маркса, д.10, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан 6 " 1994 Г.

Ученый секретарь

специализированного совета, ^

кандидат технических наук,

доцент „ /17 /С.А.Михайлов/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современные летательные аппараты (ЛА) характеризуются наличием в их конструкции большого количества элементов, которые при прочностном анализе можно отнести к классу пластин и оболочек ( несущие и управляющие поверхности, обтекатели, силовые и термоизолирующие экраны, створки люков, панели топлиеных баков, различные элементы остекления и двигателей и др. ). В процессе эксплуатации тонкостенные элементы авиационных конструкций, как правило, подвергаются совместному воздействии статических и динамических нагрузок. Однако в настоящее время при их проектировании динамическое поведение конструкции оценивается исходя из принципа независимости статического и динамического нэгружений, что может привести в ряде случаев к существенным ошибкам в определении окончательного напряженно-деформированного состояния (НДС). Учет статического НДС, оказывающего, например, значительное влияние на характер вынужденных колебаний, услокняет решение задач механики пластин и оболочек. Поэтому достигнутые в этой области результаты достаточно скромны и главным образом относятся к задачам о собственных колебаниях пластин и оболочек стандартных очертаний, для описания которых привлекаются системы криволинейных координат частных видов. В то же время при производстве ЛА широко используются такие тонкостенные элементы, выполненные как из однородных, так и неоднородных материалов со слоистой структурой по толщине, которые по форме срединной поверхности ( или поверхности приведения ) и опорного контура относятся к классу оболочек сложной геометрии.

В связи с этим задачи разработки методов исследования нестационарного деформирования таких оболочек с учетом их предварительного статического нагружения являются актуальными а выдвинуты современными запросами практики.

Целью данной работы является : - построение в рамках соотношений уточненной нелинейной теории гипа Тимошенко линеаризованных уравнений движения многослойных анизотропных оболочек переменной толщины и сложной геометрии с учетом предварительного статического напрякенно-

деформированного состояния;

- на основе полученных соотношений, интегрально-проекционного метода по пространственным координатам и неявной разностной схемы по времени разработка метода, приводящего к симметричной структуре алгебраического аналога уравнений движения, и пакета прикладных программ (ППП) для исследования параметров динамического поведения слоистых анизотропных оболочек сложной геометрии с учетом их предварительного статического нагружения;

- применение разработанных методик и ППП к исследованию нестационарного деформирования ряда оболочечных элементов как канонического очертания, так и сложной геометрии, и изучение влияния статического НДС.

На защиту выносятся: I) линеаризованные уравнения движения предварительно статически нагруженных анизотропных оболочек сложной геометрии со слоями переменной толщины, выведенные в рамках теории типа Тимошенко в предположении о малости деформаций и конечности перемещений;

2-) применение в интегрально-проекционной схеме решения 'уравнений равновесия и движения метода конечных сумм, базирующегося на интегрирующих матрицах, построенных на основе интерполяционного многочлена Лагранжа, в сочетании со специальной процедурой удовлетворения произвольных граничных условий, приводящей к симметричному виду алгебраического аналога системы;

3) алгоритм численного решения задачи определения динамической реакции предварительно нагруженных оболочек сложной геометрии и реализующее его программное обеспечение, доведенное до практического использования;

4) результаты • исследования динамической реакции осесимметричных конструкций и откидной части фонаря самолета, имеющей сложную форму срединной поверхности, с учетом предварительного напряженно-деформированного состояния.

Научная новизна работы состоит в построении уточненных линеаризованных уравнений движения предварительно нагруженных анизотропных оболочек сложной геометрии со слоями переменной толщины на базе уточненной теории типа Тимошенко. Применение в методе конечных сумм интегрирующих матриц, построенных на

основе интерполяционного многочлена Лагранжа (МКС ПЛ) в узлах полиномов Лезкандра на участках интегрирования, и специальной процедуры формирования системы уравнений для произвольных граничных условий, что приводит к симметричному алгебраическому аналогу системы разрешающих уравнений. Причем в зависимости от конкретного вида граничных условий в ряде случаев удается существенно понизить порядок матрицы системы. При таком подходе интегрально-проекционный метод, сохраняя присущую ему более высокую точность, не уступает методам конечных элементов (МКЭ) и конечных разностей (МКР) в смысле экономии рессурсов ЭВМ, алгоритмпчности и быстродействия. На основе полученных уравнений и предложенного алгоритма разработан численный метод определения динамической реакции оболочек сложной геометрии с учетом статического НДС. В указанной выше уточненной постановке получено решение ряда новых задач определения динамического поведения одномерных конструкций и оболочки сложной геометрии, моделирующей элемент остекления фонаря самолета.

Практическая ценность диссертации заключается в разработке и реализации на ПЭВМ эффективного метода расчета параметров нестационарного поведения слоистых анизотропных оболочек слокной геометрии с учетом предварительного НДС. С помощью этого- метода проведен численный эксперимент по исследованию влияния начального нагружения и деформирования на динамическое поведение осеснммвтричных конструкций и оболочки со сложным очертанием контура и сложной формой поверхности приведения. Оценивается влияние предварительного НДС на характер и развитие процесса нестационарного деформирования.

Достоверность основных научных результатов следует из использования апробированных гипотез и математической строгости решения задач, анализа физической достоверности результатов расчетов, полученных по разработанным методикам, а также хорошим согласованием полученных результатов с численными-- и аналитическими решениями ряда частных задач, построенных другими авторами.

Публикация и апробация работы. Основное содержание исследований по теме диссертации опубликовано в работах /1-4/. По её результатам сделаны доклады на IV Всесоюзной научной конференции "Современные проблемы строительной механики и

прочности. летательных аппаратов" ( г.Харьков, 1991г. ), на научно-технической конференции КАИ по итогам работы за 1Э89-1991Г. ( г.Казань, 1992г. ), на XIX Молодежной научно-технической конференции "Гагаринские чтения" ( г.Москва, 1993г. ), на XVI Международной конференции по теории пластин и оболочек ( г.Нижний Новгород, 1993г. ).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 162 страницы машинописного текста, в том числе 6 таблиц, 87 рисунков и библиографического списка, включающего 134 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и важность рассматриваемых в диссертации вопросов, дан анализ современного состояния проблемы, сформулированы основные научные положения, выносимые на защиту, излагается краткое содержание работы по главам.

Отмечено, что в настоящее время при исследовании динамического деформирования наибольшее распространение получили теории, базирующиеся на кинематических гипотезах Тимошенко, Кирхгофа-Лява, а также безмоментная ( мембранная ) теория. Эти теории значительно отличаются как по математической сложности, так и по степени точности, с которой описывается реальное движение. Обстоятельные исследования по определению пределов применимости приближенных теорий при сравнении точности решений по той или иной модели с решением, полученным из уравнений теории упругости, проведены У.К.Нигулом. Подобные же исследования приводятся в работе L.Weingarten и H.Reismarm. Эти и другие авторы сходятся во мнении, что кинематическая модель Тимошенко более полно отражает реальную картину динамического процесса. Подчеркнем также, что модель типа Тимошенко, учитывающая деформацию поперечного сдвига, позволяет с достаточной точностью описать деформирование оболочек из композитных материалов, характеризующихся ярко выраженной анизотропией механических свойств и пониженной сдвиговой жесткостью, и приводит к системе уравнений гиперболического типа, решение которой является волновым.

Также отмечено, что к настоящему времени выполнено мало работ, посвященных учбту предварительного статического НДС при определении параметров нестационарного движения. Этой проблеме посвятили свои исследования А.Е.Богданович, Ю.С.Воробьев,

A.В.Колодяжный, В.И.Севрюков, Е.Г.Янютин, Н.М.Маштаков, М.В.Лазаренко, В.И.Тараканов, С.Н.Еешенков, В.А.Толок,

B.Г.Богомолов, В.П.Козловская, MikamI Ichizou, Tada Masakazu, Locke James, S.Chonan, K.Shirakawa, Golas Jersy, Nowak Henryk и другие. Наиболее полные результаты в этой области получены для оболочек канонических форм, для описания которых достаточным является использование систем координат частного вида. Такие оболочки, вообще говоря, не могут служить расчетной схемой многих оболочечных элементов конструкций ЛА, отличительной особенностью которых является сложность как очертаний опорного контура, так и базовой поверхности.

В связи с этим разработка методов исследования динамического НДС предварительно нагруженных статическими усилями слоистых анизотропных оболочек сложной геометрии со слоями переменной толщины представляется важной актуальной научной задачей.

В первой главе диссертации с применением аппарата тензорного анализа в предположении о малости деформаций и конечности перемещений оболочки в процессе предварительного ее статического деформирования и малости перемещений и деформаций в процессе ее последующего динамического деформирования выведены вариационные уравнения движения предварительно нагруженных многослойных оболочек со слоями переменной толщины.

В § I.I дана постановка задачи, сформулированы основные гипотезы и допущения, в рамках которых выводятся комплексы основных соотношений механики деформирования исследуемых объектов.

Рассматривается тонкая слоистая оболочка, пакет которой собран из N слоев переменной толщины ( п е CI,N1 ).

Исходное недеформированное пространство V, занимаемое оболочкой, отнесено к лагранкевой системе криволинейных координат a1, a2, z = z(n)+ h(n), нормально связанной с поверхностью приведения ©, в качестве которой может быть принята срединная поверхность & одного из слоев.

Предполагается, что для области А € © с контуром Г, окаймляющим оболочку, в соответствии с методом общей фиктивной деформации В.Н.Паймушина построена специальная параметризация.

Для построения уравнений движения предварительно нагруженных оболочек процесс их деформирования представляется в виде двух последовательных этапов. На первом эТапе происходит статическое деформирование оболочки под действием стационарных нагрузок, а на втором - ее динамическое деформирование относительно равновесного состояния первого этапа. В результате вектор полного перемещения некоторой точки п-го слоя оболочки можно представить в виде суммы

* о

иа(п)(а1,г^} = иг(п)(а{,г) + иг(п)(а1,г,г), (I)

в которой иг(тг-'- вектор перемещений, соответствующий переходу оболочки под действием стационарной нагрузки от исходного

недеформированного состояния V к деформированному V"; вектор перемещений, являющийся функцией от времени и определяющий положение точки М в произвольный момент времени при динамическом деформировании оболочки из состояния V" в состояние V*.

В § 1.2 строятся кинематические соотношения для тонкой слоистой оболочки в предположении о малости деформаций и конечности перемещений.

В соответствии с уточненной моделью типа Тимошенко, справедливой для всего пакета слоеЕ, векторы перемещений точки М гс-го слоя на первом и втором этапах деформирования определяются равенствами

е

иг(п)= Ь + (г(п)+ П(п))1; Ь(п)= V + П(п))т,

-аГп < г(п) $ а,

„ (п) (п)'

в которых 7~ вектор поворота волокна, нормального к недеформированной поверхности приведения при переходе оболочки от состояния V к состоянию V", а 7- вектор поворота этого Еолокна при переходе оболочки от состояния V0 к

о

окончательному состоянию V*; у, у- векторы перемещений точек поверхности приведения, соответствующие их переходу от состояния V к V" и от V0 к V*;

п

81 б(г1 - б - функция превышения

срединной поверхности &(п) п-го слоя над базовой, л - номер слоя, срединная поверхность которого принята в качестве поверхности приведения. Для слоев с номерами п < при вычислении функции превышения /г1""-1 необходимо в знаке суммы £ выполнить взаимную перестановку пределов суммирования п ® п . Отметюл, что векторы поворотов 7 и перемещений и, соответствующие второму этапу деформирования, являются функциями времени.

Далее традиционным образом строятся кинематические соотношения для обоих этапов деформирования, которые в окончательном виде содержат в себе следующие группы слагаемых:

линейных для статического состояния ( ••• с -л о а«» А о );

линейных для динамического деформирования < Кк' а* 13 );

линейных "параметрических" слагаемых ( I45 );

нелинейных слагаемых для первого этапа к к1 ^ О с "13 );

нелинейных для дополнительного нестационарного состояния

с-* с?*

В 5 1.3 приводятся физические соотношения для слоистых анизотропных оболочек. Описан подход к вычислению компонент тензора упругости в неканонической области при переходе от системы координат, связанной с главными направлениями упругости к координации, установленной в результате решения задачи параметризации оболочки сложной геометрии.

В § 1.4 с использованием вариационного принципа Гамильтона-Остроградского построены линеаризованные

вариационные уравнения движения предварительно нагруженных слоистых оболочек. Для описания процесса диссипации механической энергии при нестационарном деформировании используется представление диссипативной функции в виде положительно определенной квадратичной формы скоростей деформаций.

Вторая глава посвящена разработке численного метода и алгоритма решения сформулированной задачи определения параметров динамического деформирования слоистых оболочек сложной геометрии с учетом предварительного статического НДС.

В § 2.1 для решения полученных уравнений движения предлагается использовать метод, в рамках которого по пространственным • координатам применяется интегрально-проекционный метод, а по временной - неявная разностная схема типа Крэнка-Николсона.

Задаваясь линейными базисными и проекционными функциями по координате а2 ( так называемые "функции-крышки" ), в § 2.2 исходные вариационные уравнения движения преобразуются к новому виду. Отмечается, что при' численной реализации алгоритма предусмотрено использование и квадратичных базисных

функций. Затем, используя метод конечных сумм по координате а1, полученные уравнения приводятся.к матричному виду

мШЫ'НйЬИЫФ}- «>

где [М], [V), [С] - матрицы массовых, вязкостных и упругих

коеффициентов; |д|, -Бек'Г0Р искомых неизвестных

его первая и вторая производные по времени; {У} - вектор нагрузки.

Решение системы уравнений по временной координате осуществляется неявным разностным методом, в соответствии с которым выражение (3) модифицируется в

2СМ] [V] "»/--^-И г -лЗ 4[МЗ +---+ [С

1г т

т:2

Чг^-И Г 41М1 г ^

\Ы =2 й + -¿тЩ

[V]

2 СМ] [V]

../+' г уЗ г

(4) векторы

где 1 - шаг по времени; |д| , ,

неизвестных системы на ], временных шагах

соответственно.

В § 2.3 приводится процедура построения интегрирующих матриц на базе интерполяционного многочлена Лагранжа. Указывается, что впервые такая процедура была предложена А.Ф.Смирновым, но не нашла широкого применения, поскольку такой способ формирования интегрирующих матриц при выборе сетки с постоянным шагом не имеет никаких преимуществ перед интегрирующими матрицами М.Б.Вахитова и их различными модификациями.

В случае выбора в качестве расчетных точек на участках интегрирования узлов полинома Лежандра, как показал Р.З.Даутов, удается получить аналитические выражения для элементов интегрирующих матриц и доказать ряд присущих им полезных свойств, облегчающих их формирование и приводящих к симметричному алгебраическому аналогу системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Поскольку в настоящее время в литературе не существует достаточно полного изложения этого подхода, в § 2.3 в необходимом объеме приводится Процедура формирования интегрирующих матриц на базе полинома Лагранжа и показываются их свойства. Укажем наиболее важное из них, благодаря которому происходит симметризация алгебраического аналога

В Лг = ^ Б. (5)

Здесь Л, - интегрирующие матрицы первого и второго рода соответственно; В = (1 ,(3 ) - диагональная

матрица, элементами которой являются веса квадратуры Гаусса; (...)т - означает операцию транспонирования.

При использовании интегрально-проекционного метода для решения двумерных задач механики оболочек система линейных алгебраических уравнений, получаемая из исходных вариационных уравнений движения, является так же симметричной. Доказательству этого положения посвящен § 2.4.

Подход, используемый в методе конечных суш на базе интегрирующих матриц М.Б.Вахитова для удовлетворения произвольных граничных условий на контуре оболочки, в МКС ПЛ неприменим, поскольку он разрушает симметричную структуру алгебраического аналога. В связи с этим в § 2.5 излагается специальная процедура удовлетворения произвольных граничных условий, разработанная Ю.Я.Петрушенко, позволяющая сохранить свойство симметрии. Отмечено, что такой подход в некоторых случаях существенно понижает порядок системы разрешающих уравнений.

Специальная процедура удовлетворения произвольных статических и кинематических условий на контуре оболочки, применяемая в МКС ПЛ, сохраняя симметричность оператора задачи, в ряде случаев нарушает свойство положительной определенности матрицы -системы. В § 2.6 для решения системы линейных алгебраических уравнений рассматривается

ассимметричный вариант алгоритма разложения матрицы системы на нижнюю и верхнюю треугольные матрицы. Затем го неявной схеме ищется решение задачи. Отмечено, что окаймление в - блочно-трехдиагональной матрице, к которой приводятся вариационные уравнения движения после применения интегрально- проекционного метода, имеет заранее определенную слабо заполненную структуру. Вид окаймления однозначно определяется вектором с размерностью, равной количеству точек расчетной сетки в направлении а'. Поэтому все преобразования с окаймлением, необходимость в которых возникает в ассимметричном варианте алгоритма разложения, по количеству арифметических операций эквивалентны произведению строки и столбца соответствующих размерностей.

В третьей главе исследуется влияние предварительного статического нагрукения на характер динамического деформирования однослойных изотропных оболочек вращения при осесимметричном нагрукении.

В 5 3.1 проведено упрощение всех комплексов основных соотношений, полученных ранее для анизотропных слоистых оболочек -сложной геометрии. Рассматриваются однослойные изотропные оболочки вращения с переменной толщиной по меридиану, которые подвергаются воздействию осесимметричных нагрузок на обоих этапах деформирования. Решение вариационного уравнения по пространственной меридианальной координате осуществляется МКС ПЛ, а по временной неявным разностным методом типа Крэнка-Николсона. Данная частная задача была реализована в виде отдельного пакета программ.

В § 3.2 приведены результаты численного эксперимента для двух модельных объектов.

Объект I. Стержневая модель выбранная в качестве расчетной схемы консольной лопатки ротора. Считается, что деформирование происходит в плоскости, перпендикулярной плоскости вращения стержня. Переходный процесс выхода на рабочие обороты не изучался. Предполагалось, что лопатка нагружена продольной "статической" инерционной нагрузкой, изменяющейся вдоль а' по закону qm= 0,6 + qQа1 Ша ( qQ= 60, 120, 180 ), что соответствует рабочим режимам 8000, 12000, 14500 об/мин. Динамическая нагрузка - поперечная распределенная интенсивностью Ядт= 0,05 МПа внезапно

приложенная по всей длине в момент времени г0= 0 и постоянная

[13 19 -» — Ь,— Ь с 24 24 -1

интенсивностью 0,15 МПа. Расчет проводился для стержня

длиной Ь= 0,2 м, толщиной 25= 0,01 м, с модулем упругости Е= 2,М05 МПа, коеффициентом Пуассона у= 0,3 и плотностью материала р= 7,8*10,? кг/м3.

Для всех шести вариантов нагружения результаты расчета приведены в качестве графиков для прогиба на свободной кромке и напряжений а11 на верхней лицевой поверхности в заделке. Сплошной линией на графиках показано решение задачи с учетом предварительного статического напряженно деформированного состояния, а точечной - решение в соответствии с принципом независимости действия сил. Даются значения относительной погрешности по прогибу б и напряжению б , к которым приводит неучет статического НДС.

На (рис.1), (рис.2) показаны прогибы и напряжения для варианта, соответствующего 12000 об/мин и динамической нагрузке Ядш= 0,15 МПа' приложенной на участке Г 13 19 ,

Г — ь, — ь |.

I- 24 24 -1

. Выбор значений интенсивности распределенной динамической нагрузки осуществлялся следующим образом. Если подобные нагрузки приложить статически, они приведут к напряженному состоянию, равному 10% от допускаемого, в качестве которого был принят предел пропорциональности Со]= 600 МПа. В этом случае можно говорить об определенной "эквивалентности" динамического нагружения по всей длине и по участку. Отметил, что данные значения лежат в пределах реального эксплуатационного нагружения. В результате численного эксперимента установлено, что локализация поперечной распределенной динамической нагрузки не оказывает существенного влияния на погрешность, возникающую от неучета статического НДС ( в первом варианте <5^= 150%, 6а= 12%; во втором 147%, 14% для расчетного случая 14500 об/мин ). Учет предварительного напряженного состояния в данной задаче приводит, как и ожидалось, к упрочнению конструкции.

Объект 2. Бесконечно широкая цилиндрическая панель, шарнирно-неподвижно опертая по нижней поверхности на левом и правом торцах с геометрическими размерами: длина дуги

срединной поверхности Б= I м, толщина 26= 4«10 3 м, кривизна

принималась равной к= 1,7; -0,8; 0,4; что соответствует - Б;

I I ' 5

— Б; — Б ( где й - максимальная высота превышения срединной 10 20

поверхности над плоскостью, проходящей через опоры ). Физические характеристики материала оболочки аналогичны объекту I. Статическая нагрузка - поперечная распределенная по всей длине, приложенная к верхней лицевой поверхности, с интенсивностью дсп= 0,034; 0,068 ; 0,102 МПа ( при й= 1,7 ), qcm= 0,0164; 0,0328; 0,0492 МПа ( при й= 0,8 ), 0,0082;

0,0164; 0,0246 МПа ( при й= 0,4 ), что соответствует 20%, 4055, 60% от критической для' каждого варианта. За критическую принималась нагрузка, при которой происходит выровдение матрицы системы. Динамическая нагрузка - поперечная

распределенная на участке £ - Б, - Б ^ внезапно приложенная к

той же поверхности в начальный момент времени и постоянная в дальнейшем 0,0216; 0,0188; 0,0094 МПа, что соответствует

10% от критической для каждого варианта.

Графики прогиба и физической компоненты напряжения ом на

верхней лицевой поверхности даются для точки а?= - Б. Как и в

предыдущей задаче сплошной линией показано решение по предлагаемой методике, а точечной - по принципу суперпозиции. Вариант нагружения дт= 0,0328 МПа, ддин= 0,0188 МПа отображен на (рис.3), (рис.4), а дт= 0,0492 МПа, Ядш= 0,0188 МПа на (рис.5), (рис.6).

При анализе результатов численного эксперимента сделан вывод о том, что с увеличением кривизны оболочки влияние предварительного статического нагружения на ее динамическое поведение возрастает.

В четвертой главе освещаются вопросы, связанные со всесторонней проверкой .работоспособности предложенного алгоритма и программы для решения двумерных задач механики оболочек, с установлением достоверности получаемых-результатов и исследованием сходимости применяемых численных методов.

В § 4.2 на примере статической задачи ,для изотропной однослойной квадратной пластины с различными условиями закрепления по контуру изучалась скорость сходимости и точность решения, полученного на основе интегрально-

проекционного метода при применении интегрирующих матриц, построенных на базе интерполяционного многочлена Лагранжа. Установлено, что такие интегрирующие матрицы приводят к более высокой скорости сходимости по сравнению с широко используемыми для решения задач механики авиационных конструкций интегрирующими матрицами М.Б.Вахитова.

В § 4.3 рассматривается ортотропная цилиндрическая оболочка, шарнирно опертая по краям. Для такой конструкции ищется приближенное аналитическое решение, которое затем сравнивается с численным решением, полученным по предлагаемой методике. Установлено, что разработанная методика обладает хорошей точностью и высокой скоростью сходимости. Указывается на то, что при применении МКС ГШ максимальная погрешность в определении усилий наблюдается в граничных точках, в которых решение не ищется, а вычисляется экстраполяцией найденных функций. Приводятся рекомендации по способу экстраполяции, который снижает относительную погрешность ошибки. Отмечается, что использование глобальной аппроксимации по всей длине оболочки без выделения участков в зоне моментного краевого эффекта не приводит к смещению этой моментной зоны.

С целью проверки правильности работы программы при исследовании слоистых оСолочечных конструкций был применен подход, когда однослойная ортотропная оболочка рассматривалась как трехслойная со слоями переменной толщины и одинаковыми жесткостными характеристиками. Получено хорошее совпадение результатов для различных линейных законов изменения толщины слоев вдоль образующей с аналитическим решением.

В § 4.4 определялась динамическая реакция сферической оболочки, жестко защемленной по контуру, на внезапно приложенное внутреннее давление. Такая задача была решена в работе И.Ф.Образцова, Л.М.Савельева,' Х.С.Хазанова методом конечных элементов. Приведенные значения прогибов и напряжений указывают на хорошее совпадение результатов.

В пятой главе диссертации всесторонне исследовалось динамическое поведение элемента остекления фонаря самолета при нагружении его избыточным давлением и взаимодействии его с фронтом ударной волны.

В § 5.1 приводятся геометрические и физические характеристики рассматриваемой конструкции. Указывается, что

одним из широко распространенных элементов фонаря или остекления самолета является незамкнутая оболочка сложной геометрии, вырезанная из оболочки вращения некоторой плоскостью, параллельной плоскости ОХг и отстоящей от последней на расстоянии Ь (рис.7). Торцевые сечения ее находятся в некоторых случаях в плоскостях х= 0, Ь, а в общем случае очерчивают на срединной поверхности кривые линии, не совпадающие с линиями параллелей поверхности вращения. Поверхность вращения задана уравнением

И(х)= Нн- 0,15х - ОДх2, Н^ 0,55 м, 0,3 м, Ь= I м. Параметризация для такого класса элементов остекления и фонарей построена В.Н.Паймушиным.

В § 5.2 описана серия расчетов, проведенная с целью определения параметров пространственной расчетной сетки, на которой сходится решение. Численные эксперименты проводились при нагружении оболочки статическим избыточным внутренним давлением д = 0,1 МПа. Метод конечных сумм применялся по координате а, а по окружной координате а2 использовался проекционный метод. По сходимости решения была установлена минимально необходимая сетка Г1*М, где II - число узлов по а'еСО.Ы при глобальной аппроксимации -искомых функций по всему участку, М= 23 - число точек по а2. Ввиду симметрии конструкции и нагрукения расчет проводился только для одной половины фонаря. Результаты расчета в виде изолиний прогиба для ^=Л.2=20° приведены на (рис.8).

Эти результаты оказались в некоторой степени неожиданными. Естественно было бы ожидать, что максимальные перемещения и усилия будут сосредоточены в зоне минимальных кривизн оболочки, однако этого не наблюдается для прогибов. Для выяснения причины данного явления были проведены расчеты при различных значениях углов среза. Установлено, что при Хг=а.2=0° пик максимального прогиба раздваивается и находится в точках ( а'=0,14;а2=а,16 ) и ( а'=0,14;а2=0,84 ), где а'= а'/Ь, а2= а2/%. Его значение т = 0,23«10~2 м. При

1 тах ' г

Л.(=Л.2=Ю также имеется два пика максимального прогиба, однако оба они располагаются в сечении, относительно которого конструкция симметрична. Первая точка ш(0,16;0,5)= 0,225*10~2 м, вторая ш(0,4;0,5)= а,226*Ю"2 м. Таким образом, постепенное смещение максимального прогиба к центральной точке объясняется

воздействием косых срезов, а конструкция при этом ослабляется, поскольку наблюдается рост значений прогиба. Для всех трех вариантов расчета область максимальных усилий остается в зоне минимальных кривизн.

В § 5.3 исследуется динамическое поведение элемента остекления предварительно статически нагруженного внутренним избыточным давлением ЯстГ 0,07 ПРИ возд0йствии на него фронта ударной волны, график для которого приведен на (рис.7). Первоначально была проведена серия расчетов для определения шага интегрирования по времени, в качестве которого окончательно был принят шаг т= ЫСГ-3 с. Численный эксперимент проводился для двух вариантов. Первый - когда динамическое деформирование определялось из принципа независимости статического и динамического нагружений, а второй - когда параметры динамического поведения вычислялись с учетом предварительного статического нагружения. Расчетная сетка по пространственным координатам Ы*М = 11*23, интервал времени, для которого были проведены исследования, г <= [0;0,321 с.

В результате проведения численных экспериментов установлено, что предварительное статическое НДС существенно изменяет картину динамического деформирования рассматриваемой конструкции: возрастает частота колебаний; увеличивается максимальное значение прогиба на 5,2% и уменьшается минимальное на 2,8%; изменяются значения напряжений;' наконец, качественно изменяется процесс нестационарного деформирования. На (рис.9) приведены максимальные по всей области прогибы в каждый момент времени, на (рис.10) аналогичный график для максимальной интенсивности напряжений на верхней лицевой поверхности оболочки.

В § 5.4 проведены параметрические исследования по выяснению влияния коеффициентов вязкости на динамическое поведение предварительно статически нагруженной конструкции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

I. Исходя из нелинейных соотношений уточненной теории оболочек типа Тимошенко, записанных в тензорной форме при малых -деформациях и произвольных перемещениях, построены линеаризованные уравнения движения многослойных оболочек

сложной геометрии, имеющих переменную толщину слоев, анизотропию свойств материала и подверженных предварительному воздействию статических сил.

2. На основе применения интегрально-проекционного метода по пространственным координатам и неявного разностного по временной координате разработан универсальный численный метод и соответствующее программное обеспечение, позволяющие определять НДС упругих оболочек рассматриваемого класса при малых перемещениях и исследовать его влияние на характеристики нестационарного деформирования. Используемый численный метод основан на применении метода конечных сумм с интегрирующими матрицами на базе интерполяционного многочлена Лагранжа, определяемого в узлах полинома Лежандра. Такой подход при выполнении специальной процедуры удовлетворения произвольных граничных условий приводит к алгебраическому аналогу вариационных уравнений движения в виде симметричной матрицы с окаймлением. В зависимости от конкретного вида граничных условий в ряде случаев удается существенно понизить размерность матрицы системы. Решение системы уравнений осуществляется по одной из модификаций метода Холецкого.

3. Проведенные расчеты показывают, что кроме экономии рессурсов ЭВМ и сокращения- времени счета программы, МКС ПЛ имеет более высокую скорость сходимости и точность, чем метод конечных сумм, традиционно используемый в настоящее время.

4. На основе созданного программного обеспечения проведены исследования влияния предварительного статического нагрукения на параметры динамического процесса. На примере стержневой модели лопатки ротора исследовано влияние числа оборотов лопатки на динамическое деформирование, вызванное нестационарной нагрузкой. Для цилиндрической панели установлено, что с увеличением кривизны возрастает влияние предварительного статического НДС на динамическое поведение оболочки. Показано влияние предварительного избыточного давления на характер динамического процесса, возникающего от взаимодействия фронта ударной волны с откидной частью фонаря самолета.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Комплекс программных средств для исследования троцессов нестационарного деформирования слоистых оболочечных элементов авиационных конструкций / Вахитов Р.Х., ?розмани Ю.Б., Инородцев H.A., Лебедев A.A., Петрушенко Ю.Я., Гинчурин р.ф. // Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" 18-21 сентября 1991г., Харьков, ХАИ, [991.- С.164.

2. Петрушенко Ю.Я., Грозмани Ю.Б. Нестационарное деформирование предварительно статически нагруженных тонкостенных элементов конструкций ( осесимметричная задача )/ Казанский авиационный институт. - Казань. 1992. - 37с. - Деп. в ВИНИТИ 11.06.92, № 1926 - В92.

3. Грозмани Ю.Б. Исследование динамической реакции оболочечных элементов конструкций, предварительно нагруженных статической нагрузкой // Тезисы' докладов XIX Всероссийской молодежной научно-технической конференции "Гагаринские чтения", Ч.З, 5-9 апреля 1993г., Москва, 1993,- С.68-69.

4. Петрушенко Ю.Я., Грозмани Ю.Б. Вариационный метод исследования нестационарных процессов деформирования слоистых оболочек, предварительно нагруженных^ статической нагрузкой // Труды XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин 21-23 сентября 1993г., Нижний Новгород, ННГУ, 1993. -С.96-102.

Рис. 1. Рис. 2.

0.0

-2.0

-4.0

-6.0

УМ О3 (и)

§ Mí ж Ш

j |у 1 : í ! Г1 U i ; м ; я 1 ! |V V ■■ i 1 ' 1 i Vil- I SÍ i I • '! \ M

III 1 V \l lili

о

-50 -100 -150

(7верх.(МПа)

t(c)

200

i m дл • lí: л k АЛЛ / Ч V1 1 А/ V

y| i i ! |\ : •(! 1 l ! M : 1 l 1 ! y I i i i*' ! -i i ni ; i !

IM i \ 'i il -1 H

y V1 11 ^ t(c)

О.ООО 0.035 0.070 0.105 0.140 0.000 0.035 0.070 0.105 0.140

Рис. 3. Рис. 4.

W« 103 (м)

г11

CTверх.(МПа)

0.000 0.035 0.070 0.105 0.140 0.000 0.035 0.070 0.105 0.140

Рис. 5. Рис. б.

Рис. 7. WOO2 (м)

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО СТАТИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ

ГЕОМЕТРИИ.

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Кинематические соотношения.

§ 1.3. Соотношения упругости слоистых анизотропных оболочек сложной геометрии.

§ 1.4. Вариационные уравнения движения предварительно нагруженных слоистых оболочек сложной геометрии.

Глава 2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО СТАТИЧЕСКИ

НАГРУЖЕННОЙ 0Б0Л0ЧЕЧН0Й КОНСТРУКЦИИ.

§ 2Л. Вводные замечания.

§ 2.2. Алгоритм решения задачи определения динамической „.реакции слоистой оболочки с учетом предварительного статического нагружения.1.

§ 2.3. Построение интегрирующих матриц на базе интерполяционного многочлена Лагранжа.

§ 2.4. Доказательство симметрии матрицы системы.

§ 2.5. Специальная процедура удовлетворения произвольных граничных условий в методе конечных сумм, базирующемся на полиномах Лагранжа.

§ 2.6. Алгоритм численного решения.

Глава 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО СТАТИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА.

§ 3.1. Основные соотношения.

§ 3.2. Решение модельных задач.

Глава 4. АПРОБАЦИЯ АЛГОРИТМА И МЕТОДА.

§ 4.1. Вводные замечания.

§ 4.2. Статически нагруженная изотропная однослойная пластина.

§ 4.3. Цилиндрическая оболочка шарнирно опертая по краям.

§ 4.4. Сферическая оболочка, жестко защемленная по контуру.

Глава 5. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТА ОСТЕКЛЕНИЯ

ФОНАРЯ САМОЛЕТА.

§ 5.1. Описание конструкции.

§ 5.2. Выбор параметров пространственной расчетной сетки.

§ 5.3. Исследование динамического поведения элемента остекления фонаря самолета, предварительно статически нагруженного внутренним давлением.

§ 5.4. Параметрические исследования по выяснению влияния коэффициентов вязкости на динамическое поведение предварительно статически нагруженной конструкции.

Современные летательные аппараты (ЛА) характеризуются наличием в их конструкции большого количества элементов, которые при прочностном анализе можно отнести к классу пластин и оболочек. Причем высокие требования, предъявляемые к ЛА ( минимизация веса, аэродинамические качества, прочность и надежность, теплозвукоизоляция, радиопрозрачность и др. ), приводят к тому, что зачастую эти элементы имеют геометрическую форму неканонического очертания, их напряженно деформированное -состояние (ЦЦС), во время эксплуатации изделия, близко к предельному, а при изготовлении элементов все чаще применяются композитные материалы. Перечисленные характеристики дают основание классифицировать оболочечные конструкции, используемые при создании ЛА, как сложные структуры, проектный анализ которых даже при использовании вычислительной техники остается трудоемкой и нетривиальной задачей. Развитие численных методов расчета сложных структур позволило разработать расчетные модели, описывающие реальные условия эксплуатации и режимы работы ЛА. В результате появилась возможность сокращения объемов дорогостоящей экспериментальной отработки конструкции на стадии проектирования. Однако, тенденция к снижению степени риска постоянно заставляет уделять внимание совершенствованию методов расчета, более глубокой детализации расчетных схем, максимально полному учету специфики работы изделий в нормальных и экстремальных режимах. Как, например, отмечается академиком Г.П.Свищевым /119/, "чтобы решить проблему повышения надежности машин, нужно совершенствовать методы конструирования и расчетов.

Тонкостенные слоистые оболочечные элементы сложной геометрии, выполненные из традиционных и композитных материалов, широко используются при создании ЛА в качестве несущих и управляющих поверхностей, различных обтекателей, силовых и теплоизолирующих экранов, створок люков, панелей топливных баков, различных элементов остекления, двигателей и многих других агрегатов. В процессе эксплуатации они, как правило, подвергаются совместному воздействию статических и динамических нагрузок. Корректный учет влияния статических нагрузок на общее окончательное НДС конструкции и ее элементов возможен только при геометрически нелинейной формулировке задачи о нестационарном деформировании объекта исследований. Однако в настоящее время при их проектировании динамическое поведение конструкции оценивается исходя из принципа независимости статического и динамического нагружений. При этом не учитывается влияние предварительных статических нагрузок на картину динамического деформирования. Такой подход может привести в ряде случаев к существенным ошибкам в определении общего НДС конструкции. По мнению генерального конструктора, академика Г.В.Новожилова /85/ ".следует иметь в виду, что только 10% - ная погрешность в определении напряжений приводит почти к двойной погрешности в ресурсе". Поэтому задача определения динамической реакции предварительно статически напряженных и деформированных слоистых оболочек произвольной геометрии является актуальной, тем более, что бурное развитие механики пластин и оболочек, вычислительной техники и численных методов, подготовило все предпосылки для успешного разрешения этой проблемы.

Теории пластин и оболочек, насчитывающей более чем вековой период своего развития, посвящены десятки тысяч публикаций. Теории оболочек исторически предшествовала теория пластин. При этом использовались два основных метода вывода разрешающих уравнений. Первый из них был предложен Коши и Пуассоном, а второй Кирхгофом. Предложенный в конце прошлого века метод Кирхгофа, вносивший в теорию пластин полную физическую ясность, сразу завоевал общее признание и сохраняет его по настоящее время.

Большой вклад в развитие линейной теории оболочек, преобразование и упрощение ее уравнений внесли советские ученые

A.И.Лурье /70/, В.З.Власов /22/, А.Л.Гольденвейзер /31/,

B.В.Новожилов /84/. Основные принципы, заложенные этими учеными в линейную теорию, послужили базой для построения уточненных теорий, теорий анизотропных оболочек и нелинейных теорий оболочек.

Классическая теория изотропных оболочек получила дальнейшее развитие в исследованиях С.А.Амбарцумяна по теории анизотропных оболочек, результаты которых подробно изложены в /3-5/. В монографии /4/ кроме уравнений линейной теории, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, приведены и уравнения различных уточненных теорий.

Наряду с линейными вариантами теории оболочек успешно развивается геометрически нелинейная теория. Интерес к ней обусловлен спецификой тонкостенных конструкций, в которых под действием нагрузок могут иметь место перемещения и деформации, не укладывающиеся в рамки линейных теорий, а так же тем, что корректный учет предварительного статического нагружения при решении задач динамики оболочек возможен только в такой постановке. В.В.Новожиловым дан общий подход к проблеме дефоршфования гибких тел /83/, послуживший толчком к интенсивному развитию геометрически нелинейных теорий оболочек. Детальная теоретическая разработка геометрически нелинейной теории началась с исследований Х.М.Муштари, который в своих работах построил общую нелинейную теорию, справедливую при произвольных изгибах срединной поверхности, провел качественное исследование напряженно деформированных состояний оболочки при малых деформациях и прозвольных перемещениях, построил строгую классификацию задач нелинейной теории оболочек. Геометрически нелинейная теория оболочек изложена в монографиях Х.М.Муштари и К.З.Галимова /77/, А.С.Вольмира /24/, К.З.Галимова /29/. Подробный обзор развития исследований по теории оболочек в нашей стране имеется в работах Н.А.Кильчевского /53/ и В.В.Новожилова /82/.

В работе Locke J. /131/ теоретически исследуются прямоугольные антисимметричные слоистые пластины, состоящие из чередующихся слоев, пересекающихся под различными углами. Определяется нелинейная реакция пластин при больших прогибах на совместную комбинацию статической, тепловой и акустической нагрузок. Решение базируется на теории Кирхгофа-Лява, нелинейных соотношениях Кармана между смещениями и деформациями и уравнениях движения записанных для функций напряжений и прогиба. При этом учитывается влияние предварительных прогиба, напряжений и акустического воздействия. Подход Бубнова-Галеркина используется для преобразования нелинейной системы уравнений в частных производных в обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение. На примере прямоугольной пластины показано, что предварительное статическое нагружение может оказывать существенное влияние на общее НДС конструкции.

Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява, широко используется при расчетах динамического деформирования оболочек, но она не позволяет изучать коротковолновые переходные процессы, поскольку ее уравнения являются параболическими и их решение не является волновым. Однако, при некоторых ограничениях на длину волны X поперечного изгиба оболочки ( \/1г » I, где к - толщина ), как показано Н.А.Киль-чевским /53/, Г.И.Петрашенем /106, 107/ и Л.И.Слепяном /121/, можно воспользоваться уравнениями этой теории при изучении колебательных процессов в тонкостенных оболочечных элементах конструкций, формы которых удовлетворяют данному ограничению. В этом случае для описания волновых процессов в срединной поверхности необходимо лишь учесть силы инерции, соответствующие перемещениям в том или ином направлении.

В работе БЫгакатиа К. /133/ анализируется динамическая реакция предварительно напряженной тонкой круговой цилиндрической оболочки конечной длины на местную нагрузку в виде сосредоточенной силы, перемещающейся с постоянной скоростью вдоль образующей. Исходным пунктом анализа является составление уравнений движения оболочки, в которых основными переменными являются перемещения точек срединной поверхности в. окружном и меридианальном направлении и прогиб указанной оболочки с включением начальных напряжений, а также членов, учитывающих инерцию элементов оболочки в радиальном направлении. Далее уравнения движения преобразуются к одному уравнению относительно радиального смещения для получения аналитических решений в явной форме двойных рядов Фурье для задач свободных и вынужденных колебаний тонкой цилиндрической оболочки. Отмечается большое влияние начальных напряжений на динамические перемещения и напряжения указанной оболочки.

В.Г.Богомолов /14/ приводит вывод динамических уравнений теории тонких оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява, для случая, когда рассматриваемая оболочка предварительно статически нагружена.

Модель Кирхгофа-Лява не учитывает деформации поперечного сдвига и поэтому не позволяет с достаточной точностью описать деформирование оболочек из композитных материалов, характеризующихся ярко выраженной анизотропией механических свойств и пониженной сдвиговой жесткостью. Для анизотропных оболочек область применимости модели, базирующейся на гипотезах Кирхгофа-Лява, как показали А.Н.Гузь /41/ и коллектив авторов под руководством Я.М.Григоренко /75/, существенно зависит от геометрии оболочки и параметров материала. Поэтому при описании деформирования анизотропных оболочек, а также при исследовании волновых процессов в изотропных оболочках широкое распространение получили различные модели типа Тимошенко, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения и приводящие к системе уравнений гиперболического типа. Нелинейная теория оболочек, основанная на модели типа Тимошенко, получила развитие в работах Л.Я.Айнола /I/, А.Е.Богдановича /13/, К.З.Галимова /29/, В.Н.Паймушина /95-97, 102/, В.Е.Спиро /124/ и ряда других авторов.

В работах М.А.Ильгамова, В.А.Иванова и Б.В.Гулина /48-51/ рассматриваются вопросы устойчивости и динамических процессов в системе, состоящей из тонкостенной оболочки и содержащегося в ней сплошного упругого заполнителя. В качестве кинематической модели привлекаются модели как Кирхгофа-Лява так и Тимошенко. Исследуются собственные и вынужденные колебания системы, нестационарные процессы. Применяются аналитические и численные методы решения задач.

Сйопап Б. /127/ определял динамическую реакцию аксиально-напряженной ортотропной цилиндрической оболочки, подвергающейся воздействию импульса давления на внутренние стенки. Решение задачи достигалось на базе теории толстых оболочек при сохранении в дифференциальных уравнениях движения членов, учитывающих влияние деформации поперечного сдвига, инерцию вращения и вращательного движений. Смещения точек оболочки представлялись в рядах Фурье с разделением переменных координат и времени. По дочитывался динамический коэффициент ( отношение максимального динамического кольцевого напряжения к статическому кольцевому напряжению ) для различных значений осевой сжимающей силы. Отмечено, что увеличение статического предварительного нагружения приводит к росту динамического коэффициента.

При определении параметров неустановившегося движения оболочек в настоящее время наибольшее распространение получили теории, базирующиеся на кинематических гипотезах Тимошенко, Кирхгофа-Лява и безмоментная или мембранная теории. Эти теории значительно отличаются по своей математической сложности и степени точности, с которой они описывают реальное движение. Точность решений по той или иной модели корректно проверяется только сравнением с решением, полученным из уравнений теории упругости. Обстоятельные исследования по определению пределов применимости приближенных теорий и методов интегрирования уравнений проведены У.К.Нигулом /81/. Он рассматривал переходные динамические процессы деформирования осесимметричных оболочек и пластин в рамках линейной теории упругости. Автор показал, что в динамических задачах более предпочтительным является использование модели типа Тимошенко, а область применимости более простых теорий оценивается исходя из довольно жестких ограничений на геометрические размеры оболочки, граничные условия и характер нестационарной нагрузки.

Точность решений, полученных по классической и безмо-ментной теориям и по теории типа Тимошенко, сравнивалась с решением для уравнений теории упругости при определении динамической реакции цилиндрической оболочки конечной длины авторами Weingarten L. и Reismann Н. В своей работе /134/ они делают вывод о том, что модель Тимошенко точнее двух других описывает реальное движение. Несколько раньше аналогичный вывод сделали Reismann Н. и Pawlik Р. /132/ при численном исследовании по этим трем теориям динамической реакции цилиндрических оболочек.

Нельзя не отметить результаты, полученные А.В.Колодяжным и В.И.Севрюковым /56/. Они численно определяли параметры динамического поведения усеченных конических оболочек, свободно опертых по торцам, используя при этом подходы перечисленных теорий. Деформированное состояние оболочек исследовалось при нагружении внутренней поверхности равномерно распределенным давлением, а в качестве нестационарной нагрузки принималась сферическая ударная волна. Решение системы уравнений во всех трех подходах находилось с помощью явной трехслойной схемы, получаемой при замене производных первого и второго порядков по координате и времени их разностным представлением. Граничные условия, соответствующие уравнениям движения, аппроксимируются с помощью левых и правых разностей второго порядка точности. Авторами установлено, что для конических оболочек каждая из трех теорий характеризуется различной последовательностью собственных частот. Низшие частоты близки друг к другу. Высшие частотные спектры значительно отличаются для рассматриваемых моделей. Эти выводы хорошо согласуются с результатами Reismann Н. и Pawlik Р. /132/ для цилиндрических оболочек. Далее, Колодяжным A.B. и Севрюковым В.И. отмечается, что выбор более простой модели может привести в некоторых случаях к существенным погрешностям в оценке параметров динамического деформированного состояния оболочечных конструкций.

В последние десятилетия в конструкции IA широко используются наряду с композитными материалами и слоистые оболочечные элементы. Слоистые элементы конструкций, составленные из слоев с различными физико-механическими характеристиками, могут обладать уникальным набором свойств, таких как высокая удельная прочность и жесткость, звуко- и теплоизоляционные свойства, выносливость и т.д. Этим обусловлено особенно широкое их применение в такой передовой отрасли, как авиастроение, что потребовало развития эффективных методов их расчета. В связи с этим в последнее время особое значение для теории оболочек имела проблема построения уточненных вариантов теорий неоднородных оболочек, позволяющих учесть такие особенности слоистых композитных конструкций, как анизотропия, низкая сдвиговая жесткость. В этой области на сегодня достигнуты значительные успехи как в нашей стране, так и за рубежом, и исследования, посвященные разработке различных вариантов теории слоистых анизотропных оболочек и методов их расчета, достаточно полно освещались в обстоятельных обзорах /33, 45/, в которых отмечается существенный вклад С.А.Амбарцумяна, В.В.Болотина,

Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, Х.М.Муштари, Ю.Н.Новичкова, П.П.Чулкова и многих других авторов. Не останавливаясь на анализе всех известных вариантов теорий слоистых оболочек, следует указать, что в основу большинства из известных методик прочностного анализа слоистых оболочек и составленных из них конструкций, хорошо зарекомендовавших себя на практике, положены соотношения простейших вариантов теорий, базирующихся на моделях Кирхгофа-Лява и типа Тимошенко.

Следует отметить, что в задачах определения динамического поведения слоистых оболочек наиболее часто используются непрерывно-структурные теории неоднородных оболочек, где те или иные гипотезы привлекаются для всего пакета и поэтому порядок соответствующих систем уравнений не зависит от числа слоев. Очевидно, что для решения задач, связанных с определением интегральных характеристик оболочек, составленных из слоев с близкими физико-механическими свойствами, непрерывно-структурные теории, обеспечивая достаточную для практики точность, требуют меньших затрат по сравнению с дискретно-структурными теориями. Укажем также, что с точки зрения после дующей численной реализации возможность доведения до количественных результатов решений линейных и нелинейных динамических задач, основанных на системах уравнений, порядок которых зависит от числа слоев, все еще представляется проблематичной.

Так, в /55/ в рамках непрерывно-структурной теории рассматривается комбинированное нагружение оболочечных конструкций осе симметричными статическими и динамическими нагрузками. Оболочечная конструкция состоит из многослойных ортотропных оболочек вращения переменной толщины. Уравнения движения записываются с учетом инерции вращения. Численное интегрирование осуществляется по модифицированному методу сквозного счета Годунова с кусочно-линейным представлением величин внутри ячеек на каждом временном слое.

Задача исследования динамического поведения оболочечной конструкции, имеющей форму срединной поверхности или опорного контура неканонического очертания, является достаточно сложной и получение аналитического решения в этом случае представляется проблематичным. Поэтому в настоящее время при решении таких задач нашли широкое применение следующие численные методы: методы конечных элементов (МКЭ) и конечных разностей (МКР), метод Бубнова-Галеркина и другие вариационные методы.

С.Н.Бешенков и В.А.Толок /12/, рассматривая колебания пластины сложной формы, подкрепленной произвольно ориентированными ребрами жесткости, при нестационарном возбуждении ищут решение задачи МКЭ. Динамическое НДС определялось ими для двух вариантов: с учетом и без учета деформации срединной плоскости. Авторы указывают на возникающую во втором случае погрешность в определении прогибов и напряжений.

В работе /130/ исследовалось динамическое поведение упругих цилиндрических панелей со свободно опертыми прямоли-• нейными краями и стеснением деформаций на криволинейных сторонах при действии начальных статических и периодических нагрузок в плоскости. Определялась переходная ( при нестационарных колебаниях ) квазилинейная динамическая реакция, приводится анализ динамической неустойчивости указанных объектов. Применялся метод конечных разностей. Основные дифференциальные уравнения задачи были решены с использованием метода Рунге-Кутта. Полученное решение сравнивалось с результатами применения компьютерной программы разработанной на базе МКЭ. Определено влияние начальной статической нагрузки, начальной погиби и краевого стеснения на окончательное НДС.

В монографии А.Е.Богдановича /13/ для определения параметров динамического поведения шестислойной углепла-стиковой оболочки, нагруженной статическим осевым сжатием, статическим внешним либо внутренним давлением и аналогичными нестационарными нагрузками, используется метод Бубнова-Галеркина. Наиболее сильный эффект от учета предварительного нагружения обнаружен при совместном действии статического и динамического внешнего давления. Результаты расчетов показывают также, что предварительное статическое нагружение изменяет координаты тех точек на поверхности оболочки, в которых достигаются максимумы прогиба и напряжений.

Необходимо отметить, что в задачах определения НДС от нестационарного нагружения применение методов Бубнова-Галеркина или Ритца, базирующихся на использовании глобальных базисных функций, обладает существенным недостатком. Поскольку решения, получаемые по этим методам, очень сильно зависят от конкретного вида функций, аппроксимирующих перемещения, и необходимость того или иного количества членов разложения до сих пор не получила строгого обоснования.

При численном решении динамических задач одним из главных является вопрос о выборе численной схемы интегрирования по времени. В настоящее время получили распространение методы преобразования Лапласса и Фурье, метод разложения по собственным формам и методы прямого численного интегрирования уравнений движения.

Так в работах М.В.Лазаренко и В.И.Тараканова /65, 66/ рассматривается реализация методов преобразования Лапласса и Фурье в задаче о действии локальной импульсной нагрузки на предварительно напряженную сферическую оболочку и предварительно наддутую бесконечную цилиндрическую оболочку. Все параметры напряженно-деформированного состояния получены в квадратурах. Нагрузка полагается кусочно-линейной функцией по времени и координатам и равномерно распределенной по прямоугольной площадке с треугольным законом изменения по времени.

В /129/ дан анализ динамической реакции цилиндрических оболочек. Задача решена на основании уравнений теории первого приближения тонких упругих оболочек. Ипользован МКЭ, при численной реализации был принят конечный элемент с 12 степенями свободы. Уравнения движения были интегрированы с применением метода модальной суперпозиции на базе заранее определенных частот и форм собственных колебаний. Проведен анализ для цилиндрической оболочки с учетом различных граничных условий при предварительной нагрузке осевыми усилиями, подвергнутой воздействию несимметричной динамической нагрузки. Отмечается влияние предварительного статического продольного усилия.

Расчет собственных колебаний требует в случав систем большого размера значительных затрат машинного времени. Поэтому решение динамических задач методом разложения по собственным формам целесообразно выполнять в том случае, когда для получения приемлемой точности результатов достаточно ограничиться учетом лишь нескольких основных тонов колебаний. Однако при расчете сложных оболочечных конструкций требуется учитывать большое число тонов собственных колебаний, и метод разложения по собственным формам становится неэффективным. В этих случаях более экономичным оказывается прямое интегрирование уравнений движения с помощью той или иной численной процедуры. Наиболее широко применяются методы интегрирования шагового типа.

Коллектив авторов Ю.С.Воробьев, А.В.Колодяжный, В.И.Севрюков, Е.Г.Янютин в своей монографии /120/, которая является обобщением их исследований за последние годы, используют явную трехслойную схему интегрирования по времени. В качестве одного из примеров приводится исследование процесса упругопластического деформирования пологой цилиндрической оболочки бесконечной длины под действием локальной импульсной нагрузки при наличии предварительного напряженного состояния, вызванного внутренним статическим давлением. Отмечается, что наибольшее влияние внутреннее давление оказывает в зоне приложения нагрузки и практически не изменяет границ области повышенных значений интенсивности деформаций вокруг площадки нагружения, лишь немного ее расширяя.

Явные схемы интегрирования по времени являются условно устойчивыми, и хотя они в отличие от неявных схем проще в реализации, при решении довольно широкого круга задач может, оказаться, что для обеспечения численной устойчивости разностной схемы по времени потребуется проводить расчет при недопустимо малом шаге. В этом случае предпочтительным является использование безусловно устойчивой неявной разностной схемы.

Среди различных причин, обуславливающих демпфирование колебаний механической системы, особый интерес представляет естественное поглощение энергии колебаний внутри самой колебательной системы. Как известно, при циклическом деформировании реальных конструкций обнаруживается несовпадение зависимостей мезду усилием и деформацией при нагрузке и разгрузке. Наблюдаемое явление механического гистерезиса объясняется тем, что необратимо поглощенная энергия затрачивается на преодоление внутреннего неупругого сопротивления материала и на трение в сочленениях деформируемых элементов.

Очевидно, что решение различных задач о вынужденных колебаниях реальных тел требует отчетливых представлений об их демпфирующих свойствах. Однако регламентировать заранее вибропоглащающую способность той или иной конструкции зачастую весьма сложно. Это является следствием большого разнообразия и взаимосвязанности параметров, обуславливающих рассеяние энергии, и требует систематического и комплексного изучения демпфирующей способности материалов и соединений деформируемых элементов конструкций с учетом конструктивно-технологических и эксплуатационных факторов.

Различные аспекты этой проблемы и обзор многочисленных исследований, посвященных этому вопросу, можно найти в обстоятельных работах М.А.Криштала и С.А.Головина /64/, Г.С.Писаренко /115/, В.С.Постникова /116/, Е.С.Сорокина /123/ и В.В.Матвеева /73/. В этих работах отмечается, что несмотря на большую историю изучения рассеяния энергии в материале, до настоящего времени нет еще единого мнения по ряду важных вопросов, имеющих научное и прикладное значение, например о влиянии вида напряженного состояния, статического нагружения, наложения деформирования другой частоты, вида деформации, формы и размеров деформируемых элементов. Анализ имеющихся исследований свидетельствует о наличии не только количественного, но и качественного расхоздения полученных результатов и сделанных разными авторами выводов, а имеющиеся результаты экспериментального исследования весьма разрозненны и вследствие различия в методиках и степени их корректности не всегда сопоставимы, а зачастую и противоречивы.

Однако на практике для широкого круга инженерных конструкций при определении параметров динамического поведения большое распространение получила методика учета несовершенной упругости материала деформируемых тел, в которой предполагается, что неупругие сопротивления материала пропорциональны первой степени скорости деформирования. Такой подход используют в своих работах Р.Б.Рикардс /117/, Ю.П.Жигалко /47/, Н.Ф.Ершов и А.Н.Попов /46/, Л.М.Савельев и Х.С.Хазанов /86/ и целый ряд других авторов.

Из приведенного краткого обзора работ по определению динамического поведения оболочек с учетом их предварительного статического НДС видно, что количество этих работ невелико и наиболее полные результаты получены для оболочек сравнительно простых форм, для описания которых достаточным является использование систем координат частного вида. Такие оболочки, вообще говоря, не могут служить расчетной схемой многих оболочечных элементов конструкции ЛА, отличительной особенностью которых является сложность как очертаний опорного контура, так и базовой поверхности. Эти оболочечные элементы, в соответствии с /60/, принадлежат к классу оболочек сложной геометрии.

Для решения задач механики пластин и оболочек со сложной формой базовой поверхности и неканоническим контуром эффективным является метод, предложенный В.Н.Паймушиным /30, 59-63, 90-94/. В соответствии с этим методом отыскание решения краевых задач механики оболочек рассматриваемого класса происходит в два этапа. На первом этапе строится параметризация области й, занимаемой оболочкой на базовой поверхности <3, которая заключается в фиктивном деформировании некоторой поверхности отсчета и выбираемой на ней канонической области П0. Процесс фиктивного деформирования осуществляется таким образом, чтобы семейство координатных линий, построенных на на границе области С] совпадало с контурными линиями оболочки. На втором этапе в метрике а£]г, построенной на формулируются основные уравнения, описывающие механику деформирования исследуемых оболочек.

Использование данного подхода позволило решить целый ряд практически важных задач статики, термоупругости и колебаний оболочек сложной геометрии, которые являются расчетными схемами реальных конструкций, таких как лопасти гребных винтов, элементы остеклений летательных аппаратов, различные панели и т.п. Основные результаты этих исследований представлены в работах В.Н.Паймушина и его учеников /6, 7, 32, 57, 58, 67, 68, 87-89, 98-101, 103-105, 112, ИЗ/.

В заключении обзора, не претендующего на исчерпывающую полноту, можно сделать вывод, что несмотря на разработанность многих вопросов механики оболочек сложной геометрии, исследования динамического поведения таких оболочек с учетом их предварительного статического НДС весьма малочисленны, а численные результаты относятся только к оболочкам стандартных канонических форм с каноническим очертанием контура. В связи с этим разработка методов исследования динамического НДС предварительно нагруженных оболочек сложной геометрии представляется важной актуальной научной задачей.

Целью данной работы является :

- построение в рамках соотношений уточненной нелинейной теории типа Тимошенко линеаризованных уравнений движения многослойных анизотропных оболочек переменной толщины и сложной геометрии с учетом предварительного статического напряженно-деформированного состояния;

- на основе полученных соотношений, интегрально-проекционного метода по пространственным координатам и неявной разностной схемы по времени разработка метода, приводящего к симметричной структуре алгебраического аналога уравнений движения, и пакета прикладных программ (ППП) для исследования параметров динамического поведения слоистых анизотропных оболочек сложной геометрии с учетом их предварительного статического нагружения;

- применение разработанных методик и ППП к исследованию нестационарного деформирования ряда оболочечных элементов как канонического очертания, так и сложной геометрии, и изучение влияния статического НДС.

На защиту выносятся:

1) линеаризованные уравнения движения предварительно статически нагруженных анизотропных оболочек сложной геометрии со слоями переменной толщины, выведенные в рамках теории типа Тимошенко в предположении о малости деформаций и конечности перемещений;

2) применение в интегрально-проекционной схеме решения уравнений равновесия и движения метода конечных сумм, базирующегося на интегрирующих матрицах, построенных на основе интерполяционного многочлена Лагранжа, в сочетании со специальной процедурой удовлетворения произвольных граничных условий, приводящей к симметричному виду алгебраического аналога системы;

3) алгоритм численного решения задачи определения динамической реакции предварительно нагруженных оболочек сложной геометрии и реализующее его программное обеспечение, доведенное до практиче ского использования;

4) результаты исследования динамической реакции осесимметричных конструкций и откидной части фонаря самолета, имеющей сложную форму срединной поверхности, с учетом предварительного напряженно-деформированного состояния.

Научная новизна работы состоит в построении уточненных линеаризованных уравнений движения предварительно нагруженных анизотропных оболочек сложной геометрии со слоями переменной толщины на базе уточненной теории типа Тимошенко. Применение в методе конечных сумм интегрирующих матриц, построенных на основе интерполяционного многочлена Лагранжа (МКС ПЛ) в узлах полиномов Лежандра на участках интегрирования, и специальной процедуры формирования системы уравнений для произвольных граничных условий, что приводит к симметричному алгебраическому аналогу системы разрешающих уравнений. Причем в зависимости от конкретного вида граничных условий в ряде, случаев удается существенно понизить порядок матрицы системы. При таком подходе интегрально-проекционный метод, сохраняя присущую ему более высокую точность, не уступает методам конечных элементов (МКЭ) и конечных разностей (МКР)'в смысле экономии ресурсов ЭВМ, алгоритмичности и быстродействия. На основе полученных уравнений и предложенного алгоритма разработан численный метод определения динамической реакции оболочек сложной геометрии с учетом статического НДС. В указанной вше уточненной постановке получено решение ряда новых задач определения динамического поведения одномерных конструкций и оболочки сложной геометрии, моделирующей элемент остекления-фонаря самолета.

Практическая ценность диссертации заключается в разработке и реализации на ПЭВМ эффективного метода расчета параметров нестационарного поведения слоистых анизотропных оболочек сложной геометрии с учетом предварительного НДС. С помощью этого метода проведен численный эксперимент по исследованию влияния начального нагружения и деформирования на динамическое поведение осесимметричных конструкций и оболочки со сложным очертанием контура и сложной формой поверхности приведения. Оценивается влияние предварительного НДС на характер и развитие процесса нестационарного деформирования.

Диссертация является обобщением работ автора /40, 57, ПО, III/ и состоит из введения, пяти глав и заключения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исходя из нелинейных соотношений уточненной теории оболочек типа Тимошенко, записанных в тензорной форме при малых деформациях и произвольных перемещениях, построены линеаризованные уравнения движения многослойных оболочек сложной геометрии, имеющих переменную толщину слоев, анизотропию свойств материала и подверженных предварительному воздействию статических сил.

2. На основе применения интегрально-проекционного метода по пространственным координатам и неявного разностного по временной координате разработан универсальный численный метод и соответствующее программное обеспечение, позволяющие определять НДС упругих оболочек рассматриваемого класса при малых перемещениях и исследовать его влияние на характеристики нестационарного деформирования. Используемый численный метод основан на применении метода конечных сумм с интегрирующими матрицами на базе интерполяционного многочлена Лагранжа, определяемого в узлах полинома Лежандра. Такой подход при выполнении специальной процедуры удовлетворения произвольных граничных условий приводит к алгебраическому аналогу вариационных уравнений движения в виде симметричной матрицы с окаймлением. В зависимости от конкретного вида граничных условий в ряде случаев удается существенно понизить размерность матрицы системы. Решение системы уравнений осуществляется по одной из модификаций метода Холецкого.

3. Проведенные расчеты показывают, что кроме экономии рессурсов ЭВМ и сокращения времени счета программы, МКС Ш1 имеет более высокую скорость сходимости и точность, чем метод конечных сумм, традиционно используемый в настоящее время.

4. На основе созданного программного обеспечения проведены исследования влияния предварительного статического нагружения на параметры динамического процесса. На примере стержневой модели лопатки ротора исследовано влияние числа оборотов лопатки на динамическое деформирование, вызванное нестационарной нагрузкой. Для цилиндрической панели установлено, что с увеличением кривизны возрастает влияние предварительного статического НДС на динамическое поведение оболочки. .Показано влияние предварительного избыточного давления на характер динамического процесса, возникающего от взаимодействия фронта ударной волны с откидной частью фонаря самолета.

1. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН ЭССР. Сер. физ. - мат. и техн. наук. 1965. Т.14, * 3. - С.337-344.

2. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.

3. Амбарцумян С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек // Изв. АН Армянской ССР. Серия физ.-мат. наук. 1964. - Т. 17, Jé 3. - С.30-53.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.: Наука, 1974. 448 с.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987. - 268 с.

6. Андреев C.B., Паймушин В.Н. К теории среднего изгиба тонких трехслойных оболочек со слоями переменной толщины и сложной геометрии // Изв. АН АзССР. Сер. физ. техн. и мат. наук, 1980. » 2. - C.I3I-I36.

7. Баженов В.Г., Игоничева Е.В. Нелинейные процессы ударного выпучивания упругих элементов конструкций в виде ортотропных оболочек вращения. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородск. ун-та, 1991. - 132 с.

8. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и методконечных элементов: Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1982. -448 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 600 с.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1973. -632 с.

11. Бешенков С.Н., Толок В.А. О влиянии деформации срединной плоскости на нестационарное напряженно деформированное состояние пластины с ребрами жесткости .// Проблемы прочности. 1986. - Л 4. - С.103-106.

12. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. Рига: Зинатне, 1987. -295 с.

13. Богомолов В.Г. Уравнения динамики тонких оболочек с учетом начального напряженного состояния // Деформир. и разруш. элементов конструкций летат. аппаратов. М., 1989. -С.12-17.

14. Варвак П.М. Расчет "прямоугольных консольных пластинок методом конечных разностей // Труды ВВИА, Вып. 918, 1962.

15. Васильев В.В., Морозов Е.В. Прикладная теория, пространственно-армированных композитных оболочек // Механика композитных материалов. 1988. - * 3. - С.511-518.

16. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. вузов. Авиационная техника, 1966, £ 3. -С.50-61.

17. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Тат. кн.изд-во, 1975. 212 с.

18. ВахитоЕ М.Б., Фирсов В.А. Численные методы решения одномерных задач строительной механики летательных аппаратов: Учебное пособие. Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1985. - 66 с.

19. Векуа И.Н. Теория тонких и пологих оболочек переменной толщины. Новосибирск, 1963. - 28 с.

20. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины // Труды Тбилисского математического ин-та. 1965. -30. - 103 с.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М., Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

22. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.: Наука, 1984. 320 с.

23. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. - 432 с.

24. Гайнутдинов В.Г., Коган Ю.А., Слободчиков В.Г. Программный комплекс расчета критических параметров устойчивости панелей из композиционных материалов крыла самолета Су-26 // Техника воздушного флота, *2 (488). М.: ЦАГИ, 1990. - С.76-77.

25. Гайнутдинов В.Г. Метод "минимального множителя" в. расчетах устойчивости, предельных циклов колебаний и предельных состояний нелинейно-деформируемых конструкций // Изв. вузов. Авиационная техника, 1992, Л 4. С.3-7.

26. Гайнутдинов В.Г. О динамическом расчете несущих поверхностей малой относительной толщины при конечных перемещениях // Мзв. вузов. Авиационная техника, 1989, * 3. -С.19-23.

27. Галимов К.З. К построению нелинейной теории тонкихоболочек сложной формы с учетом поперечных сдвигов и обжатия // Исследования по теории пластин и оболочек: в 2 -ч. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. Вып. 17, 4.1. - С.70-109.

28. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. - 325 с.

29. Галимов К.3., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. - 164 с.

30. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. -М.: ГИТТЛ, 1953. 544 с.

31. Гоцуляк Е.А., Паймушин В.Н., Пемсинг К. Расчет фрагмента оболочки вращения с неканоническим очертанием контура // Тр. семинара. Статика и динамика оболочек: Сб. статей. Казань: Казанск. физ. - техн. ин-т КФ АН СССР, 1979. - Вып.12. - С.69-79.

32. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная механика. 1972. -8, * 6. - С.5-17.

33. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Осесимметричная деформация анизотропных слоистых оболочек вращения сложной формы // Механика композитных материалов. 1981. - * 4. -С.637-645.

34. Григолюк Э.И., Мальцев В.П., Меченков В.И., Фролов А.Н. Об одном методе решения задач устойчивости и колебаний оболочек вращения // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. 1971. - * 3. - С.9-19.

35. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Колебания предварительно напряженных оболочечных конструкций // Прикладная механика. 1986. - Т. 22. - № 2. -С.24-29.

36. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Об учете неоднородности деформаций поперечного сдвига по толщине в слоистых оболочках // Прикладная механика. 1977. Т. 13. -* 10. - С.36-42.

37. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова Думка, 1973. - 228 с.

38. Григоренко Я.М., Кокошин С.С К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента // Прикладная механика. 1979. - Т. 15. - J6 6. - С.3-10.

39. Гузь А.Н. О точности гипотезы Кирхгофа-Лява при определении критических сил в теории упругой устойчивости // Доклады АН СССР. 1968. Т.179, № 3. С.552-554.

40. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.Я. Устойчивость нелинейных механических систем. Львов: Вища школа, 1982. -225 с.

41. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем: Учеб. пособие для студ. втузов. М.: Высш. школа, 1989. - 383 с.

42. ДжорджА., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. -390 с.

43. Дудченко A.A., Лурье С.Л., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники.

44. Сер. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1983. - Т.15. - С.3-68.

45. Ершов Н.Ф., Попов А.Н. Прочность судовых конструкций при локальных динамических нагрузкениях. JI.: Судостроение, 1989. - 197 с.

46. Жигалко Ю.П. Вынужденные колебания оболочек и пластин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1990. - 104 с.

47. Иванов В.А., Ильгамов М.А. Вынужденные колебания двух замкнутых вязко-упругих сфер // Некоторые вопросы теории пластин и оболочек. Казань: Казанск. физ. - техн. ин-т, 1967. - С.26-32.

48. Иванов В.А. Реакция упругого тела при динамическом взаимодействии с оболочкой // Прочность и устойчивость оболочек: Тр. семинара. Казань: Казанск. физ. - техн. ин-т, 1977. Вып. 9. - С.148-158.

49. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем.- М.: Наука, 1977. 331 с.

50. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Расчет оболочек с упругим заполнителем.- М.: Наука, 1987. 264 с.

51. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных, линейных систем. М.: Наука, 1988. - 160 с.

52. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Наукова думка, 1963. - 353 с.

53. Киричук А.А, Кошелев В.А. Динамический расчет тонкой предварительно напряженной параболической оболочки // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1984.44. С.85-88.

54. Колодяжный A.B., Севрюков В.И. Определение нестационарной реакции-конической оболочки на основе различных теорий // Вопр. механики деформируемого твердого тела. 1985.- Вып.6. С.19-24.

55. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Андреев C.B. К вариационным методам исследования устойчивости тонких оболочек сложной геометрии // Тр. XII Всесоюз. конф. гго теории оболочек и пластин: В 3 т. Ереван: Изд-во Ереванск. ун-та, 1980. T.I.- С.67-72.

56. Корнишин М.С., Паймушин В.H. К вопросу о параметризации срединной поверхности пластин и оболочек со сложной границей // Прочность и устойчивость оболочек. -Казань: Казанск. физ. техн. ин-т КФ АН СССР, Тр. семинара, Вып. 9. - 1977. - С.17-25.

57. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

58. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Фирсов В.А. К решению двумерных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии // Вопросы вычислительной математики и прикладной механики. Ташкент: Изд-во АН УзССР. - 1980. - Вып.60. -С.70-79.

59. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Якупов Н.М. К расчету гибких двухсвязных пластин сложного очертания // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1980. - С.48-52.

60. Криштал М.А., Головин С.А. Внутреннее трение и структура металлов. М.: Металлургия, 1976. - 376 с.

61. Лазаренко М.В. Реакция цилиндрической оболочки на действие локальной динамической нагрузки // Механика деформируемого твердого тела / НИИ прикл. мат. и мех. при Том. гос. ун-те. Томск, 1992. - С.95-100.

62. Лазаренко М.В., Тараканов В.И. Действие локальной импульсной нагрузки на предварительно наддутую сферическую оболочку // Механика деформируемого твердого тела / НИИ прикл. мат. и мех. при Том. гос. ун-те. Томск, 1991. - С.73-82.

63. Лебедев A.A. Собственные колебания предварительно нагруженных статическими усилиями слоистых оболочек сложной геометрии // Автореферат дисс. канд. физ. мат. наук. -Казань. - 1990. - 17 с.

64. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. -М.: Наука, 1977. 416 с.

65. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. 1940. - Т.4. - ВЫП. 2. - С.7-34.

66. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

67. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - 608 с.

68. Матвеев В.В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1985. - 264 с.

69. Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций / Кармишин A.B., Жуков А.И., Колосов В.Г. и др. -М.: Машиностроение, 1990. 288 с.

70. Механика композитных материалов и элементов конструкций: в 3-х т. Т.2 Механика элементов конструкций / Гузь А.Н., Григоренко Я.М., Бабич И.Ю. и др. Киев: Наукова думка, 1983. - 464 с.

71. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 512 с.

72. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 432 с.

73. Муштари Х.М. Об упругом равновесии тонкой оболочки с начальными неправильностями в срединной поверхности // Приклада, математика и механика. 1951. - * 15. - Вып. 6.1. С.743-760.

74. Муштари Х.М. Теория упругого равновесия пластин и оболочек с учетом начальных напряжений // Изв. КФ АН СССР. Сер. физ. мат. и техн. наук. - 1950. - * 2. - С.39-52.

75. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск: Наука, 1986. - 165 с.

76. Нигул. У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям // Приклад, математика и механика. 1969. - 33, № 2. - С.308-322.

77. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1970. Вып. 6-7. С.3-22.

78. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. -Л. М.: Гостехиздат, 1948. - 212 с.

79. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951. - 344 с.

80. Новожилов Г.В. Надежность широкофюзеляжных самолетов // Вестник АН СССР. 1985. - Я 8. - С.85-92.

81. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод, конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.

82. Паймушин В.Н., Андреев C.B. К расчету трехслойных оболочек со слоями переменной толщины и сложной геометрии // Нелинейная теория оболочек и пластин. Тезисы докл.: Сб. статей. Казань, 1980. - С.34-35.

83. Паймушин В.Н., Андреев C.B. К численному исследованию напряженно-деформированного состояния однослойных итрехслойных оболочек сложной геометрии // Прикладная механика. 1983. Т. 19. - # 7. - С.24-30.

84. Паймушин В.Н. Задача параметризации срединной поверхности оболочек со сложным контуром в плане и об одном методе ее решения // Исследования по теории оболочек. -Казань: Казанск. физ. техн. ин-т КФ АН СССР, 1978, Тр. семинара, Вып. 10. - С.66-78.

85. Паймушин В.Н. К задаче параметризации срединной поверхности оболочки сложной геометрии // Прочность и надежность сложных систем. Киев: Наукова думка, 1979. -С.26-33.

86. Паймушин В.Н. К проблеме расчета пластин и оболочек со сложным контуром // Прикладная механика. 1980. Т. 16, Л 4.- С.63-70.

87. Паймушин В.Н. К расчету анизотропных пластин и оболочек со сложным контуром // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. - Вып.19. -С.100-110.

88. Паймушин В.Н. Некоторые задачи статики незамкнутых оболочек сложной формы и об одном методе их численного решения // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1979. - С.67-74.

89. Паймушин В.Н. Нелинейная теория тонких оболочек,пологих относительно поверхности отсчета // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - Л 3. - С.184.

90. Паймушин В.Н. Нелинейная теория тонких оболочек сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1978. Вып. 33. - С.66-70.

91. Паймушин В.Н. Об одной форме основных соотношений теории тонких оболочек сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета // Исследования по теории пластик и оболочек. --Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1980. Вып. 15. -С.70-77.

92. Паймушин В.Н., Петрушенко Ю.Я., Лебедев A.A. Линеаризованные уравнения свободных колебаний предварительно напряженных слоистых оболочек сложной геометрии и вариационные методы их решения. Казань, 1987. - 46с. - Рукоп. деп. в ВИНИТИ £ 2476-В 87.

93. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. Задача определения остаточных технологических напряжений и перемещений в трехслойных элементах из композитных материалов, получаемыхсиловой намоткой // Механика композитных материалов. 1991. -* I. - С.119-126.

94. Паймушин В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета // Прикладная математика и механика. 1978. - Т.42. - Л 4 -С.767-772.

95. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Оболочки из стекла. Расчет напряженно-деформированного состояния. М.: Машиностроение, 1993. - 208 с.

96. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин // Учен. зап. Ленингр. ун-та. Динамические задачи теории упругости. 1951. £ 149. Сер. мат. наук. Вып.24. С.172-249.

97. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследования по упругости и пластичности. Вып.5. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. С.3-33.

98. Петрушенко Ю.Я., Вахитов Р.Х. Модифицированный метод, базирующийся на каркасе приближенного решения / Казанский авиационный институт. Казань. 1990. - 41 с. - Деп. в ВИНИТИ 5.II.90, Л 5648 - В90.

99. Петрушенко Ю.Я. Метод конечных сумм, базирующийся на полиномах Лагранжа, в задачах механики оболочек вращения //

100. Изв. вузов. Авиационная техника, 1993, * 4. С.59-63.

101. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. Киев: Изд-во АН УССР, 1962. - 436 с.116.-Постников B.C. Внутреннее трение в металлах. М.: Металлургия, 1974. - 351 с.

102. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

103. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига: Зинатне, 1974. - 310 с.

104. Свищев Г.П. Актуальная проблема машиностроения // Вестник АН СССР 1985. - J6 8. - С.72-73.

105. Скоростное деформирование элементов конструкций. / Воробьев Ю.С., Колодяжный A.B., Севрюков В.И., Янютин Е.Г. -Киев: Наукова думка, 1989. 192 с.

106. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. - 373 с.

107. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. -М.: Трансжелдориздат, 1958.

108. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, I960. - 131 с.

109. Спиро В.Е. Вариант геометрически нелинейной теории' анизотропных оболочек, учитывающей поперечный сдвиг // Механика полимеров, 1969, * 5. С.863-871.

110. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига / Под ред. Галимова K.S. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1977. -212 с.

111. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. - 635 с.

112. Chonan S. Response of a pre-stressed, orthotropicthick cylindrical shell subjected to a pressure pulse. // J. Sound and Vibr. 1984. - 93, * 1. - P.31-38.

113. Fung Y.C. An Introduction to the Thoery of Aeroelasticity. New York: Mc. Grow Hill Bock Co., 1955.

114. Golas Jerzy, Nowak Henryk, Peer-Kasperska Anna, Sadowski Edward. Analiza dynamicana wstepnie naprezonych powlok cylindrycznych // Zesz. nauk. PGdan. Bud. ladowe. -1987. * 44. - 71-80.

115. IchizouM., Masakazu T. Quasi-linear transient response of elastic cylindrical panels under initial and periodic in-plane loads // Technol. Repts Kansai Univ. 1986. - * 28. - P.181-201.

116. Locke James. Nonlinear random response of angle-ply laminates with static and thermal preloads // AIAA Journal. -1991. 29, * 9. - P.1480-1487.

117. Reismann H., Pawlik P. Plain-strain dynamic response of a cylindrical shell a comparison of three different theories // Ibid. - 1968. - 35, № 4. - P.256-265.

118. Shirakawa K. Dynamic response of a pre-stressed cylindrical shell to a moving load // J. Sound and Vibr. -1983. 90, Jfi 2. - P.263-273.

119. Weingarten L., Reismann H. Forced motion of cylindrical shells a comparison of shell theory with elastic theory // Z. angew. Math, und Mech. - 1974. - 54, J6 3. -P.181-191.