автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Нелинейное деформирование и устойчивость оболочек сложных канонических форм

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ГОЦ/ЛЯК Евгений Александрович

УДК 539.3

НЕЛИНЕЙНОЕ даОРМИРОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНЫХ КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ

05.23.17 - отроителъяая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой оте) доктора технических на?к

Киев - 1989

$ 4 V 7Д?Д 5.00...: О ^ |

;•' £ ;;.К.;*••«ВДО*• -Ч

Работа вшголнена в Киевском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительном институте.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор КАНТОР Б.Я.

доктор физико-математических наук, профессор .,

'шшшшн в.и.

доктор технических наук,

профессор

АШРО Й.Я.

Ведущее предприятие: Казанский ордена Лонина и орден

Трудового Красного Знамени госуда ственшй университет им.В.И.Ульян ва-Ленкна

Завита соотоится "_"_1990 г. в' 10 часс

на заседании специализированного совета Д 016.49.01 Инотитутг шхакики АН УССР (252057, г.Ккев-57, ул.Нестерова, 3).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт« механики АН УССР.

Автореферат разослан "_"_ 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

И.Ю.БАБИЧ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность .темы. В строительных конструкциях, объектах машиностроения, приборах и аппаратах оболочки выполняют, как правило, ответственную роль несущих элементов. Но технологическим соображениям, с целью улучшения прочностных характеристик либо в интересах архитектурной выразительности оболочкам придают сложную пространственную форму, что существенно затрудняет использование б задачах исоледованик их напряженно-деформированного" состояния имеющегося опыта, относящегося к оболочкам простого очертания. Прочностные характеристики таких, конструкций обычно оценивают путем расчета отдельно взятых фрагментов либо используют существенно упрощенные расчетные схемы. В задачах устойчивости оболочек введение в рассмотрение таких факторов, как отклонение реальной конструкции от идеализированной, нзсс-Боршенство формы, ослабление отверстиями может существенно изменить значение критической нагрузки в сопоставлении о величинами, прогнозируемыми на основании данных расчетов по упрощенным моделям. Кроме того, усложнение формы оболочки, в разной степени как и наличие несовершенств, повышает .вклад нелинейных комюкект в уравнения деформирования. Задачи устойчивости з такой постановке могут быть решены только но основе численных методов в сочетании о их эффективной программной реализацией. В настоящее зремя широкое распространение получили методики и программы,ориентированные на расчет устойчивости отдельных классов оболочек. Создание методов расчета и вычислительных комплексов, нацояешшх иг пелинейный анализ процессов деформирования и явления потери устойчивости оболочек произвольной конфигурации, в том числе составных и несовершенной форда, является актуальной задачей строительной механики. В этом убевдвет, в частности, опыт конструирования, создания и эксплуатации таких сложных инженерных ко-' нструкций, как спиральных камор гидротурбин, вакуумных камер термоядерных установок, кузовов цельнометаллических вагонов, резервуаров высокого давления, криволинейных участков трубопроводов, большепролетных покрытий промышленных'зданий и специальных сооружений.

Целью работы является разработка эффективных численных методов и программного обеспечения для исследования"процессов нелинейного деформирования и устойчивости оболочек сложных форм при статическом и динамическом нзгру ¡кении, решение на оонсвз

разработанных средств новых модальных и прикладных задач строительной механики тонкостенных пространственных конструкций, выявление общи" закономерностей, отличающих поведение оболочек с/окнсЯ формы в особых точках траектории яагружекая, анализ на базе результатов обширных численных экспериментов достоинств и ограничений на область применения предложенных в работе алгоритмов.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

- предложена эффективная схема разностной дискретизации уравнений теории оболочек, записанных в криволинейных системах-координат (метод криволинейных соток), применение которой ведет к существенному повышению точности решений геометрически нелинейных задач о напряженно-деформированном состоянии и устойчивости оболочек;

- предложен критериальный подход к'анализу поведения меха- ' нической системы в окрестности особой точки и способ разделения бифуркационных эетвай траектории нагревания, основанный на вычислении низших собственных значений и собственных векторов касательной матрицы кесткости;

- развит аффективный алгоритм двухэтапного пошгаения размерности нелинейных задач устойчивости равновесных состояний оболочек общего вида при статическом и динамическом нэгруяинии;

- разработан алгоритм вычисления коэффициентов устойчивости оболочек произвольной конфигурации для использования в асимптотической теории Койтера с целью определения зависимости критической нагрузки от несовершенств фермы;

- исследованы процессы нелинейного деформирования разнообразных по форме оболочечных элементов и ооставных тонкоотешшх конструкций, выявлены особенности явлений потерн устойчивости и определены зависимости критических нагрузок от геометрических размеров и параметров несовершенств.

Достоверность результатов обеспечивается применением общих уравнений теории оболочек, свободных от упрощающей гипотезы пологости, исключением ошибки конечноразностной дискретизации функц,Ш жестких смещений, учетом квадратичной невязки при построек»! базис 1 проектирования нелинейных конзчноразностных уравнений. 3 пользу доотоворности результатов тидетельотвует согласованность результатов решения ряда тестоь^х задач с тео-регичзотагзЕ я экспериментальными данными литературных источпи-

ков, а также стабильная сходимость решений ири увеличении степени дискретизации.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке и реализации на ЭВМ эффективного численного метода исследования процессов нелинейного деформирования и явлений потери устойчивости тонкостенных оболочечных элементов сложной конфигурации, в том числе имеющих несовершенства формы, с учетом влияния ребер жесткости, отверстий и изломов поверхности при действии статических и динамических нагрузок.

Исследования, результаты'которых представлены в диссертационной работе, выполнены в соответствии с планом научно-ясоле-довательских работ Киевского инженерно-строительного института на 1981-1989 г.г. по тематике, определенной заданием Ш,81Р1Л.СЗ "Разработать и ввести в эксплуатацию систему для расчета пространственных конструкций на прочность" Республиканской целевой комплексной научно-технической программы "Материалоемкость",темами 1.10.3.3 "Разработать теорию, методы и системное обеспечение численного анализа на ЭВМ напряженно-деформированного состояния, устойчивости и несущей способности инженерных конструкций при статических и динамических воздействиях, в том числе, имеющих статистическую природу свойств материалов и воздействий" и 1.Ю.3.2 "Исследование процессов деформирования пространственных конструкций на основе теории и методов численного анализа" Координационного плана АН УССР по проблема "Механика деформируемого твердого тела", а также хозяйственными договорами В 150-ГХ65-81 (г.р. № 81087744),В 150-ГХ20-82 (г.р. № 8106917о), В 150-ГХ23-84 (г.р. № 01840020142), 5-86 (г.р. % 018.60018118).

Разработанная в диссертации методика решения задач нелинейного деформирования и устойчивости сложных оболочечных элементов конструкций, реализованная в.вычислительных комплексах "МЕКГИС" и "РЕДБАЗ", внедрена в инженерную практику предприятий и организаций. Экономический эффект от внедрения разработок диссертации составил 451 тыс.руб. Комплексы программ сданн в Республиканский фовд алгоритмов и программ.

Апробация работы. Результаты работы обоужда/шсь на следующих научных съездах и конференциях: XI и ХП Всесоюзные конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977; Ереван, 1980), 1У и У Всесоюзные конференции по статике и динамике пространственных конструкций (Киев, 1978, 1985), Симпозиум по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980), Всесоюзный симпозиум

по устойчивости в механике деформируемого твердого тела (Калинки, 1980), Всесоюзная конференция по нелпн Лным задачам теории пластин и оболочек (Саратов, 1981), П Всесоюзная конференция "Сипа иные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981), У Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981), И Республиканская конференция "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогреоое" (Каков, 1902), П Всосоюзная конференция "Совершенствование методов расчета зданий и сооружений на динамичзокпе воздействия" (Тбилиси, 1982), I Республиканская конференция "Повышение надежности и долговечности машин и соорукбний" (Киев, 1932), Всесоюзная . конференция "Численная реализация физико-механических задач прочности" (Горький, 1983), Всесоюзная конференция "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Москва, 1983), Воесоюзная конференция "Проблемы оптимизации и надежности в строительной механике" (Вильнюс, 1983), П Всесоюзная научная конференция "Проблеш механики подземных сооружений" (Тула, 1983), Всесоюзная конференция по тонкостенным и пространственны», покрытиям зданий (Таллин, 1986), П Всесоюзный симпозиум по устойчивости в механике деформируемого .те'ла (Калинин, 1986), У1 Национальный конгресс по теоретической и прикладкой механике (Варна, 1989), научно-технические конференции Киевского иккенерко-строителъного института (1980-1982, 1984, 1985, 1983 г.г.).

Диссертационная работа в целом обсувдалась на сещнаре по проблемам устойчивости конструкций ЦНИИСКа им.Кучеренко под руководством проф. Р.Р.Матевосяка (1985 г.), на .семинаре Института механики АН УССР по научному направлению "Строительная механика обояочечных систем" под руководством члена-корреспондента АН УССР проф. Я.М.Григоренко (1986 г.), на семинаре "Механика деформируемого твердого тела" Московского автомеханического института под руководством члека-корреспондента АН СССР Э.И.Гри-гогавка (1988 г.), на семинаре "Механика деформируемых систем и общая не хатка" Института механики АН УССР под руководством академика АН УССР А.Н.Гузк (1988 г.).

. Публикации. По теме диссертации опубликовано более 60 научных работ. Основное содержанке работа изложено в 25 публикациях.

Структура и объем работа. Диссертация состоит пэ введения, пяти глав, заключения и списка литературы и содержит 227 страниц маакноглскогс текста, 57 страниц рисунков, 13 страниц таблиц.

Список литературы включает 298 наименований.

Диссертационная работа выполнена в проблемной НИЛ тонкостенных пространственных конструкций Киевского инженерно-строительного института.

Автор выражает признательность научному консультанту профессору В.И.Гуляеву за внимание и содержательные советы, выока-занные им в процеоое выполнения работн.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор работ по рассматриваемой проблеме, изложены основные научные положения, которые выносятся на защиту и дана краткая характеристика работы.

Основы нелинейной теории деформирования и устойчивости оболочек заложены в трудах Н.А.Алумяэ, В.В.Болотина, А.С.Вольмира, И.И.Воровича, К.З.Галимова, Э.И.Григолюка, А.Н.Гузя, Л.Г.Докнел-ла, Ч.Карманз,-В.Д.Клюшникова, В.Т.Койтера, Х.М.Мугатари, В.В.Новожилова, П.Ф.Папковича, А.В.Погорелова, С.П.Тимошенко, К.Ф.Черных.

Анализ публикаций по теме диссертационной работы показывает, что существуют два направления в развитии методов расчета оболочек. Одно из них состоит в расчленении всей совокупности оболочечиых конструкций на определенные классы, характеризуемые видом поверхности, к детальной проработке алгоритмов, пригодных для решения того или иного класса оболочек. Другое направление связано с разработкой универсальных алгоритмов и программного обеспечения для расчета оболочек произвольной конфигурации. Метода расчета, ориентированные на определенные классы оболочек, развито в работах многих советских и зарубежных^ ученых. Уотой-чивости пологих оболочек вращения посвящены работы Н.В.Волвшви-' ли, Б.Я.Кантора, В.Й.Феодосьева, Л.С.Срубщака, Хуана; пологих неооооимштрпчдых оболочек - работы Л.В.Андреева, Н.И.Ободаи п А.Г.Лебедева, Арчера и Сюэ, М.С.Корнпшина, В.А.Крысько, В.В.Петрова, И.Н.Слезинтерэ. Неоднородные к составное оболочки вращения рассмотрели в книгах Я.М.Гркгоренко и H.H.Крюкова, Я.М.Гря-горенко л А.П.Цухюедэ, А.В.Кармтшина, В.А.Лясксвца, ^.И.Мячекко-ва а А.Н.Фролова, В.И.Мячбнксва и И.В.Григорьева, в статьях Д. Бушнелла, Г.Д.Гакэтла, Ю.Н.Нозичкова; оболочки с отверстиями -в монографиях А.Н.Гузя, И.С.Чернышенко, В.Н.Чехова и др., Я.Ф. Каюка, И.Н.Преображенского и В.В.Грищака, в статьях В.И.Московского, Н.И.Ободаи и А.Д.Фридмана, Б.О.Элмрота и А.М.Холмса. Ус-

тойчивость ребристых оболочек рассмотрена в работах Н.П.Абов-ского, В.М.Чернышева и A.C.Павлова, И.Я.Аыи^, В.А.Заруцкого и П.С.Полякова, Г.д.Гавриленхо, Б.И.Клпманова к С.А.Ъшшева, A.M. Маг вича, О.И.Терчбувасо, Хатчинсона и Акэзего. Оболочкам более сложных форл ассвящонк работы В.Г.Выборнова, В.М.Попова п A.B. Сачэнкоче, С.П.Гавели i: Т.Г.Рыгловой, В.И.Гуляева, В.А.Банеиова и др., М.С.Коркишкнэ, Н.П.Гытухова и Ы.А.Файзулиной, И.С.Мухи, Я.Г.Совулы и Г.А.Шинкаренко, И.Ф.Образцоза и Г.Г.Онанова, В.Н. . Пойыушина, В.Г.Ремча и С.Н.Кривошэпко, А.С.Сахарова, В.Н.Кисло-окого, В.В.Киричевокого к др., Б.О.Элмрота, Ф.А.Броугена и М.Б. Карлоу. Экспериментальные исследования по устойчивости тонких оболочек приводятся в работах О.Г.КоноплеЕа, А.В.СаченкоЕа и др.

Отсутствие систематических исследований по нелинейному деформировании и устойчивости сложных оболочек в двумерной постановке, составных оболочек вращения и оболочек с несовершенствами формы, а также практическая необходимость расчета реальных оболочечных конструкций, з том числе имеющих подкрепления и вырезы, потребовала разработки единых подходов к численному решению задач статики a динамики разнообразных по форме оболочек, выделенных в диссертации в класс канонических, т.е. таких, для которых, во-первых, имеется возможность в явной форме записать уравнения срединной поверхности, а,во-вторых,контуры которых на карте, образованной криволинейными координатами, расположены на координатных линиях.

В первом разделе изложена методика решэния геометрически нелинейных уравнений теории тонких оболочек. Разрешающие соотношения сформулированы в векторном виде в общей криволинейной системе координат по аналогия с линейными соотношениями, предложенными е тамге К.Ф.Черныхк. При этом в уравнениях равновесия учитываются повороты локального базиса

(ос = 2; LJ= К 2,3), в выражениях мембранных деформаций - произведения углов люворо-

* Чвших У-.Ф. лилейная теория оболочек. - Л.: Кзд. Ленинград, ун-та, ¿„-GS, - 395 с.

et =о

(I)

тов

4« "г

(2)

Компоненты тензоров внутренних тангенциальных усилий и моментов выражаются через мембранные и изгибные деформации зависимостями, следующими из закона состояния линейной теории упругости при условии равенотва нулю нормальных к срединной поверхности напряжений, т.е.

ГЦЕк/О - ] &гы,

и^-- ¡Е ¡г//2 О-})*)

Перерезывающие силы определены выражениями

(3)

J<3 /

~ а

дШП дх*

Л ~Г23 1

д(тЮ

дх*

■е,

(4)

Зависимости компонент тензсра.изгибных деформаций от вектора углов поворотов принята с учетом упрощения, связанного с пренебрежением влиянием мембранных деформаций на изменение кривизны оболочки,

дО „ дО

/

0 (С/

2 [Ы дх«

■ е1 * с

(5)

где . С„ = Сгг - 0, Сг1 = ^й.

В определении вектора углов поворота малой окрестности оболочки пренебрегаем ее поворотом вокруг нормали:

0 = (б>

где

да

(7)

дх* 5

Для алгебргг- щи дифференциальных соотношений теории обо

лочек предложена модифицированная схема метода конечных разностей (метод криволинейных сеток), существеа..ым отличием которой от традиционной конечноразноотной аппроксимации является измене- та очередности выполнения операций проектирования векторных соотношений и операции ковечкоразностной дискретизации, что приводит, как показано в работе, к значительному повышению точности решения задач теории оболочек.

Причиной неудовлетворительной сходимости традиционного метода конечных разностей является существенное влияние жестких смещений элементов оболочки на погрешность котечноразноотной ап-проксимзциЕ козэркантнчх производных от компонент вектор-функции перемещений. Таг., если вектор-функцию !Х , коварлантные производив компонент которой нас интересуют, в окрестности узла сетки (¿,/3 представить в виде суммы переменной функции Ц. , зависящей от координат сС к $ , п постоянной и , равной вектору смещения в этом узле, т.е.

■и=и +и\ (8)

то ковэриантную производную

можно представить такие в виде суммы

= ъи;+ ^и;. (ю)

Поскольку^ковариактныа производные компонент постоянной составляющей й." равны нулю, значения ковараантных производных компонент полной функции Ы. равны значениям производных переменной составляющей Ц." . При переходе от аналитического выражения производной (3) к ее конечноразностному аналогу получим приближенное (отличное от нуля) значение ковариантяой производной от компонент постоянной составляющей вектор-функции и

При неизменяемости вектор-функции и ее компоненты на криволя-

нейных сетках являются переменками функциями, в силу чего правая чаоть выражения (II) имеет погрешность, пропорциональную модулю вектора и* . В случае незначительного деформирования оболочки в окрестности рассматриваемого узла сетки пр!_ относительно больших смешениях ее как жесткого целого погрешность аппроксимации производной постоянной составляющей ¿¿"в виде (II) может стать соизмеримой с вычисляемым значением ковариантной производной вектор-функции Ц." . Это обстоятельство является причиной неудовлетворительной точности традиционной схемы метода конечных разностей на криволинейных сетках. Так, например, ошибка определения критического усилия ожатия в бесконечной цилиндрической оболочке (кольце) при действии "мертвой" равнорас-пределенной нагрузки, порожденная жесткими смещениями, имеет вид

<КР

ТКР №5Г*n'R'

* = —т— А* > (12)

'КР

где П. - количество волн в форме потери устойчивости; R , h-радиус и толщина оболочки; Ш - число рпзностных делений окружности. Необходимо отметить, что эта часть ошибки пропорциональна квадрату отношения радиуса к толщине оболочки, т.е. с уменьшением ее толщины ошибка растет по квадратичному закону. И хотя со сгущением сетки она убывает пропорционально четвертой степени величины разностного деления, однако, так как начальное значение ее велико, достижение заданного критерия точнооти в задачах такого класса затруднено. Предложенная в диссертации схема конечноразностной аппроксимации (метод криволинейных сеток) полностью исключает эту ошибку. Для дискретизации дифференциальных соотношений теории оболочек методом криволинейных сеток использовано аналитическое выражение ковариантной производной в векторном представлении

дй

разностный аналог которой имзет вид

(ЧЦак/ —г {U-ut-i ~ /• • (Т4)

» < fin-,j 2йХ' s <-лу/

Значение конечиоразростной производной (14) от постоянной соо-

тавляющвй-вектор-функции и" точно равно нулю. Исключение погрешности аппроксимации ковэриэнтных производных функций жестких смещений элементов оболочки приводит к существенному улучшению чиг теншх решений метода криволинейных сеток по сравнению с ре-иениями традиционного метода конечных разностей. В качестве иллюстрации достигаемого эффекта в таблице сопоставлены значения относительных критических усилий сжатия в кольце, подсчитанных по методу щжволинейных сеток (числа над чертой) и по традицио-онной схеме метода конечных разностей (числа под чертой). Рзоче-ты проведены дм гармоник Я = 2 и /1=4 при разбиении кольца на 12,24,36 и 48 конечноразностпых делений. Как видно из таблицы, ошибка метода криволинейных сеток, в отличие от результатов, полученных по традиционной схеме метода конечных разностей, не зависит от отношения радиуса к толщине в убывает с. уменьшением конечнор'азкоотного деления по закону, близкому к квадратичному.

Таблица

Критические усилия сжатия, кольца = —- ■ *

Я « т

/г 12 24 I 36 43

2 0,9224 ; 0..9802 0.99Ц 0,9950

100 1629 102,5 21,06 7,344

4 0,6918 0,9145 : 0,9612 0,9780

1041 65,99 ; 13,83 5,061

2 0,9224 0,9802 ; . 0,9911 0,9950

200 6499 407 „I 81 „22 26,38

4 0,6918 0,9145 ; 0*9612 0,9780

4160 260,9 | 52,35- 17,25

Аналогичное поведение ошибки аппроксимации наблюдается при использовании традиционных схем метода конечных разностей только

на прямолинейных сетках. На этом примере и ка- примере вычисления собственных частот защемленной цилиндрической' панели при девяти вариантах коиечкоразностного разбиения показана правомерность применения экстраполяционной формулы Ричардсона с целью уточнения решения, полученного по методу криволинейных сеток. Для демонстрации эффективности метода рассмотрены тестовые задачи, в

которых отрицательное влияние жестких омещений на сходимооть результатов являетоя определяющим. Показано, что сходимость метода криволинейных сеток не уступает сходимоош многих охем метода конечных элементов.

Важной особенностью конечноразноотных соотношений, полученных о помощью охемы (14), является также отсутствие в них коэффициентов второй квадратичной формы поверхности и символов Кри-отоффеяя, что значительно упрощает их программирование, особенно при решении геометрически нелинейных задач теории оболочек.

Разнооткый аналог уравнений равновесия (I), отнеоенный к узлу (1,]) , имеет вид

№т«*о.щ>){ёа ♦ ♦

*[Щт»+й.щЧ(ёа*&*ё3)]1и^я * <15)

.3).

Алгебрвизацая дифференциальных соотношений (2), (4), (5), (7) выполняется такае посредством представления в разностях по схема (14) производных соответствующих вектор-функций и последующего проектирования их на векторы локального базиса. Граничные условия свободного края формулируется о учетом того обстоятельства, что в узлах, выходящих за контуры оболочки, отсутствие материала исключает действие внутренних уоилий. Так, для свободного края, расположенного вдоль линии , справедливы оо-отноаэния:

-{[Ц&Г'ььщЧё^З'ё

(5, * 3),

Программная реализация условий свободного края осуществляется посредством исключения из разностного равнения (15) той' его части, которая по условкям (16) равна нулю, что приводит к ис люченио неизвестных в законтурных узлах сетки. Различные варианты шарнирного опирания и защемления реализуются посредством замены одного п;ш нескольких соотношений (16) на одно или несколько соответствующих соотношений вида

(и,)^ у -О а - <, 2, 3),

* [(<№)Ц 4 - 4 }\.г<>-

По аналогии записываются граничные условия для остальных контурных линий. Подстановка алгебраизованних соотношений (2)-(7) . и граничных условий типа (16),(17) в уравнения равеновесия (15) дает замкнутую систему нелинейных конечноразноотных уравнений в перемещениях, описывающих нелинейное деформирование оболочек произвольного очертания средишой поверхности.

Исследование свойств нелинейно деформируемой конструкции наиболее полно можно выполнить посредством построения полей ке-сткостей в пространстве ее состояний. Пусть реакция механической системы описывается нелинейным оператором

Й=Р(Х). (18)

Приращение реакции определяется о помощью матрицы Якоби

с1й=Р(Х)с(.Х. (19)

Линеаризованный оператор Р' характеризует жесткость и устойчивость конструкции в точке X пространства состояний. Тогда числа уг/£ , найденные из решения задачи на собственные значения

(Г'-/И £) аХ =0, (20)

зависят от состояния конструкция и определяют ее г.есткостные параметры в нормальных координатах. Многообразия, характеризующиеся нулевыми значениями , разделяют пространство состояний на устойчивое и неустойчивые области. Определение полей жестко-стей в многомерных пространствах яз представляется возможным и на практике приходится ограничиваться построенгом однопараметри-чзской траектории нагруЕания с анализом ограниченного количества

собственных чисел ^ , нулевые значения которых характеризуют особые точки траектории. Траектория нагрукения строится с помощью дискретного метода продолжения по параметру с коррекцией решения на каждом шаге продолжения

4*0 = Х<*> - Мо*)] ■ (21)

Формула (21) позволяет, исходя из какого-либо известного состояния (обычно - исходного ненагруженного), последовательным увеличением параметра Л находить соответствующие ему приближенные решения уравнения

Р(Х) = Лб. (22)

Задача на собственные значения (20) решается с помощью метода редукции базиса, в основу которого положена процедура понижения порядка конечномерной задачи. Искомый собственный вектор представляется- в виде разложения

+ . (23) где 2 - система линейно независимых векторов, которые могут быть определены посредством решения статических задач

(24)

В качестве Р1 назначаются сосредоточенные или распределенные по некоторым участкам внешние силы. Ограничиваясь числом П «/V членов разложения (23), то есть принимая

(25)

подставив это выражение в уравнение (20) и умножив слева на 7. , получаем задачу на собственные значения

(26)

г—' «/ ^ ¿чу ^

где r=Z г 2. , £ = 2 Е2 , порядок которой оказывается существенно ниже порядка исходной.

Собственный вектор содержит коэффициенты разложения некоторого приближенного собственного вектора исходной задачи. Учитывая то обстоятельство, что решение системы (24) можно выполнить одновременно с продвижением по параметру заданной нагрузки на очередном шаге алгоритма (21), а также используя равенство

Тр'г^^Рг (27)

на этапе редуцирования матрицы жесткости, могшо сделать вывод, чтг определение собственных значений и векторов незначительно замедляет процесс решения нелинейной задачи.

Наиболее полная систематизация существующих шаговых алгоритмов решения нелинейных задач двформирования с позиции ьгэтода продолжения по параметру приведена в книга Э.И.Григалака, В.И. Ыалаишлина, в которой отшчско, что одним из центральных моментов, обеспечавгзвхих успешное предозхезкио решения в окрестности особых точек, является выбор ведущего поракзтра продолжения.Смэ-на параметра продолжения в окрестности предельной точки разработана Д.Ф.Давидэнко, И.й.Воровичем и В.Ф.Здпаловой в рвмквх непрерывного продолжения предложено осуществлять продолжение решения вдоль кривой состояний в пространстве координат, включающих в себя нагрузку. Метод продолжения решения для деформируемых систем в окрестности точки бифуркации равновесия, основанный на методе возмущений о удержанием членов разложения в ряд Тейлора до второй степени, рассмотрен и реализован Теротонсы. Используемый в диссертации подход, основанный на анализе низших собственна* значений и собственных векторов матрицы Якоби, позволяет выявлять особые точки на кривой нагрукення и продолжать решение как после предельной точки,' так И' после точки бифуркации. Предельное значение параметра Л , при котором одно из собственных значений обращается в нуль, является критическим, В этих точках необходимо исследовать возможность ветвления траектории нагруже-ния. При этом, если соответствующий собственный вектор ортогонален вектору решения уравнения (22), то от основной траектории ответвляется бифуркационная ветвь. В такой особой точке реализуется потеря устойчивости 1-го рода. Еоли же собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению, неортогонален вектору решения, то такая особая точка является предельной и в ней реализуется потеря устойчивости П рода. В окрестности особой точки оператор Г' вырождается и поэтому продолжение траектории ко алгоритму (21) становится невозможным. Для преодоления этой трудности в продельной точке предлагается объявить параметр нагрузки дополнительным неизвестным и ведущим параметром назначить компоненту искомого вектора АХ , соответствующую максимальной компоненте собственного вектора. Для построения бифуркационной ветви но виду функции ^¿(Л) уточняется положение бифуркационной

точки на кривой нагружекия и к накопленному вектору решения прибавляется собственный вектор с некоторым сомножителем. Далее, после уточнения суммарного ве'ктора без приращения ведущего параметра, продолжение решения по ответвившейоя траектории осуществляется опиоанным выше способом.

Изложенный подход реализован в рамках вычислительного комплекса "МЕКРИС-2Н /16/ применительно к решении на ЕС ЭВМ задач устойчивости оболочек в геометрически нелинейной постановке.

Достоинством предложенного в работе подхода к исследованию устойчивости оболочек является возможность избежать пропуска бифуркационных точек при построении кривых равновесных ооотояний, что, в свою очередь, позволяет автоматизировать процесс прохождения предельных точек н построения закритических бифуркацаошшх решений.

Во втором "разделе приведены результаты исследования на основе разработанной методики напрякенно-дефорыированного состояния и устойчивости ряда составных трубчатых оболочек: вакуумных камер термоядерных установок, спиральной камеры гидротурбины, соединительного элемента трубопровода, для которых характерно наличие изломов ореданной поверхности. Векторная запись кояечяо-разноотных разрешающих соотношений делает возможным расчет таких оболочек без расчленения на отдельные фрагменты. Для этой цели в узлах основной и вспомогательной оетки необходимо построить базисные векторы ё^ посредством задания их компонент в единой декартовой системе координат. Однако параметризацию каждого из составляющих фрагментов удобно проводить в система декартовых координат Хя УЛ 7.л о таким расположением ее относительно поверхности п -того элемента, которое приводит к наиболее простому и наглядному виду функций

к = у(х:х)> г*«в)

'о есть вектор-функции

С - К«, О- (29)

'ак как криволинейные координаты , хгп , удобные для опи-ания той или иной поверхности, как правило, не совпадают о нон-урнымя линиями фрагмента, то посредством зависимостей

ХЛ -х'п (Я^'Я*), - X* Сос^ (30)

вводится дополнительная система координат , хгя , для которой это требование выполняется. Кроме тог«-, если в качестве криволинейной системы координат выбрать целочисленную разноот-нук сеть ¿л , ]л в соответствии с зависимостями Ха = Х^(/.п) , X* - х1 <■'/„) , то разностные соотношения будут иметь наиболее простой вид, так как цри этом шаг сетюх получается ровным единице. Таким образом, векторы основного локального базиса в точках области изменения целочисленных координат будут вычисляться по формулам /

о'Пь (дИ дх„ дГп дХп \ дх'п

■¿14) :

дсп \дХп дх^ дх* дх4п / дсп

е(лг 'О** дг" дх*) дх*

е ' д]п ~\дх<п дх* Ф дх\ дх*п) д]п

(31)

Для параметризации поверхности составной оболочки назначается глобальная декартовая система координат Х<,УВ2С . Переход от пофрзгментной декартовой системы координат в глобальную осуществляется посредством вращения и переноса радиуса-вектора

, -* ... . , Г-Ап^п + Ъ , (32)

где Ап - матрица вращений; - вектор переноса. Базисные векторы криволинейной системы координат преобразуются по формулам

4 = Ап еГ (33)

В узлах сочленения двух или четырех фрагментов составной оболочки векторы локального базиса получаются усреднением соответствующих вокторов примыкающих поверхностей. Полученные таким образом компоненты локального базиса в узлах основной и вспомогательной сетки позволяют построить разкоотные уравнения для составной оболочки при любом очертании поверхностей образующих ее фрагментов.

В качестве иллюстрации рассмотрен соединительний элемент •трубопровода,составленный, из деух отрезков труб, ориентированных под прямым углом друг к другу, и вставки, которая либо является частью тороидальной оболочки,- либо выполнена из некоторого-числа скошенных цилиндрических оболочек. Показано, что при изгибе криволинейного участка трубопровода максимальные напряжения, лока-

лизованные в близких к нейтральным линиям зонах, могут достигать предела пропорциональности, что приводит к существенно нелинейной зависимости нагрузки от параметра обличения отыкуемых труб. На основании проведенных расчетов, установлено, то постановка ребер в местах примыкания тороидального участка к трубам существенно снижает максимальные напряжения, однако приводит к уменьшения гибкости соединения, что нежелательно с топки зрения использования его в качестве компенсатора температурных деформаций трубопровода.В оболочках с составными сопрягающими элементами максимальные значения внутренних усилий и моментов оказываются значительно большими, чем в оболочке с тороидальным элементом. По мере увеличения числа секций напряженно-деформированное- , состояние составного элемента приближается к напряженно-деформированного состоянию тороидальной вставки.

В практике кгаЕивосзросния используются тороидальные оболочки, до технологическим соображениям изготовленные из некоторого числа скощенных цилиндрических секций (многоугольные тороидальные камеры). Предложенная з литературе методика расчета таких оболочек базируется на предположения о том, что поле напряг?ний оболочки складывается из напряжений ооногного боексментного состояния бесконечной цшшндрической оболочки и напряжений, вызванное йзгибакотш :,:о:.:зпт8'!я краевого эффекта. Проведанные в дио-оартацга расчеты такях оболочек показали, что в сродней части квгдай иа цажпдр-этесках секций имеет .косто напряЕенко-дефор:н-ровапвоэ сосгойниз, близкое а состоят» гладкой тороидальной оболочка. У скошенных тфаез возникаю? зога коицентр-чцпя усилий и моментов, лрячз.м, в поле напряжений рвпавдий вклад вносят тангенциальное усплпя, напряжения от которых па одая-два порядка превышают пзщисешгя от моментов. По мере увеличения число секций значения внутренних уеллчй и моментов в зоне сочленения уменьшаются и стремятся к значения;.!, характерам для тороидальной оболочки. Результаты расчета по предлагаемой методике имеют существенно.? отдачие от данных, полученных на основании упрощенно;] методики расчета. На примере расчета двух тагах оболочек в геометрически нелинейной постановке показано, что предельная нагрузка составной тороидальной оболочка близка по значению критическому давлению кзршгрно опертой цилиндрической оболочки, длина которой равна длине наибольшей образующей цилиндрической секции.

В геометрически нелинейной постановке рассмотрена также то-

роидальная оболочка, составленная из двух цилиндрических, четырех конических фрагментов и двух кольцевых „дзстин. В четырех меридиональных учениях оболочка подкреплена ребрами. Показано, чтг устойчивость такой конструкции определяется устойчивостью скатого внешнего цилиндрического элемента.

К классу составных трубчатых отнооятся кусочно-торсовыэ оболочка спиральных камер гидротурбин. В практике проектирования их ■ ¡шпрЯЕенно-дэформпрованкое состояние оценивают на основании серш расчетов в осос:тшетркчной постановке гладких тороидальных оболочек с варьируемыми параметрами поперечных сечений, которым даются значения, отвечающие очертаниям отдельно взятых секций. В рамках этой упрощенной модели вне поля зрения остается влияние переломов срединной поверхности в местах стыка. Выполненный в работе расчет одной из реальных спиральных оболочек по методике, учитывающей контактное взаимодействие соседних секций, а такке данные расчетов серии куоочно-цилиндрических составных оболочек с профилями, отвечающими сечениям секций исходной оболочки, дают основания для вывода о том, что учет фактора структурированности оболочки вносит значительно больший вклад в прогнозируемый расчетом уровень предельной нагрукенности оболочки' спирально^ камеры, чем учет других особенностей ее расчетной охемн.

В третьем разделе применительно к задачам устойчивости составных оболочек вращения метод криволинейных сеток применяется в сочетании о методом Бубнова. Для дискретизации дифференциальных соотношений, записанных в координатах -Зг', X* , где х' от-считавается в окружном направления, .а Xя ~ вдоль образующий, производные по координате ДГг заменяются разностными аналогами по изложенной выше схеме, а по координате, X' разыскиваемые переменные аппроксимируются тригонометрическими базисными функциями $1п(пх'), сов(ПХ') (П= 0,1,,..,Пк). Известная вычислительная трудность вывода разностных уравнений в полярной точка, где вырондаются некоторые из коэффициентов, преодолевается посредством размещения полярной точки ыевду двумя соседними разностными узлаш е исключения из уравнений равновесия в этой точке внутренних усилий ввиду равенства дули величины площадки их действии,.

Решение полученных нелинейных алгебраических уравнений выполнено на основе алгоритма (21) о учетом разделения линеаризованного оператора на блоки, соответствующие определенным гармоникам, Для определения критической нагрузки на каждом шаге про-

цеооа нагружения (21) разыскиваетоя осесишетричная компонента решения (/2 = 0) и одновременно анализируется поведение якобиа- . на система линеаризованных уравнений, соответствующих ненулевой гармонике. Смела знака якобиана характеризует точку ветвления траектории нагружения. Достигнутый на этом шаге'уровень нагрузки являетоя 1фЯтичеоким, отвечающим потере устойчивости по П.-ой гзрмснике. Поскольку оболочка может иметь несколько неосеспммэт-ричннх форм потери устойчивости, предполагается, что в действительности реализуется та из форм, которая отвечает наименьшей критической нагрузке. Для определения этой формы на каждом шаге алгоритма (21) анализируется знакопостоянство определителей систем линеаризованных уравнений при П , изменявшемся в заранее установленном диап°зоне.

По изложенной выше методике изучена устойчивость тороидальных оболочек эллиптического сечения при действии наружного давления. Установлено, что при увеличении коэффициента эллиптичности сечения к , характеризующего вытянутость сечения вдоль оси вращенця, критическая нагрузка растет, несмотря на увеличение, габарита оболочки. При этом форма потери устойчивости сохраняет осевую симметрию до определенного значения к = кр _ . После достижения коэффициентом эллиптично,'. значения кр потеря устойчивости происходит по пеооестлиетричной форме,' причем о дальнейшим ростом к критическая нагрузкз падает. Показано, что только путем изменения параметра к удается повысить критическую нагрузку тороидальной оболочки более чем в два раза по сравнению с оболочкой кругового сечения.

На примере расчета тороцаяиццрического бака показона, что общая устойчивость такой составной оболочки определяется устойчивостью либо внешней цилиндрической, либо тороидальных частей.

Рассмотрены также глубокогофровые сильфоны, применяемые з электрофизических установках в качестве омических вставок. Показано, что действующие на такие оболочки радиальные яондеромотор-ные силы приводят к потере устоЯчпвоотз по осесимметричной форме. При этом критическая нагрузка не зависит от числа Гсфрсв, . однако существенно зависит от их глубины.

Исследована устойчивость цилиндрических резервуаров с торо-сферическамз и тороконаческиш днидаш при дяйотвии заутреннего . давления. В отличие от случая нагружения оболочки внешним давлением, для которого характерна потеря устойчивости одним из наименее жестких элементов, как правило, цилиндром, в рэзервуа-

ре, нагруженном внутренним давлением, потеря устойчивости происходит в наиболее жесткой тороидальной части. Под действием внутреннего давления сферическая или коническая часть днища в целом перемещается вдоль оси вращения, а тороидальная часть в результате сжатия кольцевнш и растяжения ; продольными ■ внутренними усндаяш деформируется вовнутрь и в момент потери устойчивости на торе образуется большое количество мелких вытянутых вдоль образувдаТ вмятин. Учет геометрической нелинейности приводит к значительному снижению кольцевых сжимающих усилий и,-тем самым, к увеличению расчетного значения критичеокой нагрузка. При фиксированном значении угла конусности днища исследова-. но влияние радиуса тороидальной части на напряженно-деформированное состояние и устойчивость сосуда. Анализ результатов показал, что по мере увеличения радиуса тороидальной части, величина окимавщих кольцевых напряжений падает и зона сжатия -сужается. После определенного значения радиуса тора напряжения на всей оболочке становятся расгягиваадиАИ, что обеспечивает её устойчивость. При этом с увеличением радиуса гора критическая нагрузка тороконических днищ растет быстрее, чем критическая нагрузка то-росферичеиких днищ. Это обстоятельство объясняется тем, что прл увеличении радиуса тора сжимающие напряжения в торосфорпческих днищах оказываются несколько выше, чем г. тороконических. Суще-ствешюе влияние на повышение критического давления таких оболочек оказывает утолщелке сопрягающей тороидальной вставки. Например, увеличение толщины тора в 1,2 раза по сравнению с тсл^шой цилиндрической и сфзрической частей ведет -к снижении снимающего истцового напряжения в тороидальной части на 34$ к повышению . критической нагрузки на 70-80$.

Изложенные результаты исследований устойчивости оболочек вращения, естественно, могли бы быть получены с применением дзэу-гих методов дискретизации. Этому способствует понижение мерности задачи, достигнутое, в результате разделения переменных. Однако существенная особенность применения метода криволинейны:!: сеток в задачах о напрязх-ло-деформг.рованном состоянии и устойчивости оболочек вращения в сопоставлении с методами, в которых не учитывается проблема жестких смещений, состоит в следующем: если в рамках традиционного подхода при расчете гибких конструкций, какими являются, например, глубокогофровые сильфонк, с увеличением протяженности конструкции для достижения приемлемой точке сти решения приходится вводить измельчение сетки по мэре удалз-

кия от oohii закрепления, то при использовании метода криволинейных сеток необходимость в такой мере отпадает, что положительно сказывается на экономии ресурсов 3BiM в связи оо снижением суммарного числа дискретных неизвестных.

В четвертом разделе изложена методика решения нелинейных задач устойчивости оболочек о учетом несовершенств формы. Описанный вше алгоритм расчета оболочек сложной конфигурации позволяет несовершенства ввести непосредственно в геометрические параметры конструкции. Решение нелинейной задачи в такой постановке хотя и позволяет наиболее точно отразить падение критической нагрузки, вызванное несовершенством произвольного вида, однако является очень трудоемким шагом в серии шоговзризнтных расчетов, проводимых с целью определения степени чувствительности оболочки к несовершенствам. В связи с этим предложен эффективный алгоритм двухэтепного понижения размерности нелинейной задачи - метод редукции базиса, включающий в себя дискретизацию дифференциальных соотношений ипроектирование нелинейного алгебраического оператора на усеченную систему автоматически построенных базисных векторов. Эффективность метода редукции базиса в большой степени зависит от выбора аппроксимирующих (базисных) лекторов и способа свертки нелинейного оператора. Так, при решении слабо нелинейных задач устойчивости оболочек в работах Бео-ое листа и Наги в качестве базисных векторов приняты бифуркационные формы линеаризованной задачи устойчивости. Такие векторы хорошо удовлетворяют граничным условиям и однородным уравнениямед-г-тако с их использованием нельзя построить нелинейное решение в докрятической области. В противоположность этому, в работах Нурэ предлагается экстраполировать решение нелинейной задачи по нелинейному решению задачи в окрестности известного состояния ^некоторому числу его частных производных. Подученный таким образом базис хорошо удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным ус-' ловиям, однако он не содержит информации о бифуркационной форме равновесия. Кроме того, э процессе решения редуцированной задачи таким способом возникает необходимость уточнения безисинх векторов посредством их пересчета на «скове полной дискретной модели, что является существенным недостатком метода. .

В диссертации для решения нелинейных задач устойчивости оболочек предложено з- качество базионнх векторов прияимэть -линейное решение задачи от заданной внешней нагрузки и некоторую совокупность низках бифуркационных форм линейной задачи устойчи-

воотк, дополненных квадратичными поправками, которые вычисляются при условии равенства кулю нормальных перемещений. Компоненты такого базиса, построенные на основе конечноразностной модели и удовлетворяющие уравнениям равновесия и граничным условиям, позволяют получить о достаточной степенью точичсти решение не только з предкритическом состоянии, ко и на закритическом участке траектории нагрукенагя, без дополнительного переопределения базиса-. Проецирование нелинейного оператора осуществляется по охеме Папковича. Метод Бубнова-Папковича предполагает приближенное задание в качестве координатных функций изгибных форы деформирования и точное удовлетворение уравнений совместности дефор-. маций. Такой подход ранее был возможен для расчета пластин и пологих оболочек, в разрешающих уравнениях которых силовую функцию о прогибами связывав только нелинейные члены. .Это достигалось путем отбрасывания в выражениях изгибных деформаций членов, содержащих тангенциальные перемещения. Схема Пэпковича без введения в разрешающие соотношения упрощающих допущений обобщена в диссертации'на случай расчета неиологих оболочек. В связи о не тривиальностью данного предложения подробно остановимся на алгоритме свертки оператора. ' , Соотношения геоыетричеоки нелинейной теории оболочек, учитывающей начальные несовершенства, представим в виде:

" д[€ ТаЧ<?у + + й * &)] г- Р* Л X К -- дх*—-+ +

/-у8]

- уравнения равновесия;

/Ч* (35)

- тангенциальные усилия и деформации;

V3 д№смМ"Аё*) „ д№СмМ«»ё*) .

дх* ■ = дх«

г.* Об)

д0 . дО_

" до:р

- перерезывающие силы, нзгибные моменты и деформации, углы поворота. Здесь ос , у, о) = 1,2; С, /' = 1,2,3; £>„ - вектор начального угла поворота; 11в - вектор начального перемещения. Введя обозначения

<(дй я дй л

оС / '

р' --

(37)

чмеем

(38)

Заменив по .аналогии о (38) зыражение для внутренних усилий

г» = * 77 - ту (39)

п подставив (39) в (34), преобразуем уравнения равновесия к сле-

дующему виду

М Г ёА ¿М7 7 е3 д Ш тг &

--— + ---------—

дх"

дх*

дхы

дх" + дх*

дШ ёл + О0хёл) дт Т*& + О*ё^)

(40)

дх"

дх"

+ + Мгу'ёу] -е1 =0.

После подстановки в уравнения равновесия остальных соотношений и дискрет;; за пул; на основе методе криволинейных сеток с учетом граничных условий получим систему нелинейных алгебраических уравнений

А-и+в-и+с-(и+ц,)-(и+и,)-с-ц-ц. +в-и-(и*и-.) +

(41)

где А~{(2^} , В - - мембранная и изгибнэя линейные матриг

ды кесткости; - массив коэффициентов билинейных форм,

порожденных нелинейными членами мембранных деформаций; 0иЫ } Г={ - массивы коэффициентов, отражающих произведение со-

ответственно линейной и нелинейной частей усилий на угол пово- ■ .рота локального базиса поверхности; Ц-- вектор перемещений узлов дискретной модели; Ц0 =(и°}~ вектор начальных перемещений; операция (•) обозначает свертку тензоров по правилам А-1/- ¿¡^¿/у, . С-и-У=С^кЩик и т.д.

Искомый вектор и представим в : 1Де суммы двух векторов

+ 1 , . (42)

е вектор начальных перемещений зададим равным 1)0 = У„ . При этом вектор 7. , нв вызывающий поворотов локального базиса 'поверхности оболочки, найдем из уравнения

А-2 + С-(У*-У*НУ+Уа)-С-Уе-% = 0, (43)

где 2 = иV* А = {АЦ}> --- ^ при <■ Л = 1.2,

(0 )

Аз]=Аи = 0, А33=Е> С = {С1>к}, Сик=С"к при I С"к=0 . Разрешив уравнение (43) относительно 2. , т.е.

2^-А''[С-(У*У0)-[У^Уа)-ё-У.-Уа], (44)

подставим (44) в уравнение (41)', в результате чего получим

А-{ У-А'Чс^У+Ю^+УЛ-СХ-У.и + Ь'У+С^У+УЛ-^+У.)-

-СУ.-У. +1)-{У- АЧ[С-(У<- %)-5-У0-У']}-(У+ У») + (45)

+ Г-(У* У,)(У+ У.)-(У* У.)-Р-МХ (V* У*) +Я- (V

Выполним понижение порядка системы (45) посредством проектирования оператора на координатные векторы, в качестве которых применим решение линейной задачи

С А + 6 . (46)

и низшие собственные лекторы линеаризованной задачи устойчивости

(А+Ь)У+//аП-Уа-У = 0. (47)

Для этого вектор решения системы (45) представил в виде разложения по этим координатным векторам, т.е.

У-оС. (48)

Аналогично определим вектор начальных перемещений

X = $ -а. . <49)

Проектируя систему уравнений (45) на координатные векторы и вводя обозначения

А~\/Т(А +В)-У, С=УТ (С-А А~' С)-0- V,

В=\ггП-У-У, ^УТ(Г-ВА'4С)-У-У-У> (50)

получим систему нелинейных уравнений пониженного порядка А-сС + С *-<£в) СсС - С -ее, -<х.в ->-Ъ ос-(сС +сса)

+ Р (сС +<Х0)-(оС-юС,)-(сС - Г-сС„-с/:, ■(& *ос„) +■

; к-(сс + оС.) +0.-0.

Далее задаваясь оС„ и решая систему уравнений (51) относительно сС , посредством подстановок (48), (49) в (44) и в (42) получим искомый вектор перемещений яёсовершенной оболочки.

Изложенный алгоритм реализован в комплексе программ "РЕД--БАЗ" /17/. С его помощью выполнено исследование сходимости метода, при этом в качестве эталонных приняты решения полных кояеч-норвзностных задач. Показано, что основной вклад в общее решение' редуцированной задачи дает вектор перемещений, вызванных нагрузкой, и низшая форма потери устойчивости. Для самых простых оболочек этих двух базисных векторов бывает достаточно для описания полного процесса нелинейного деформирования. Однако деформировали е оболочек более сложной конфигурации характеризуется существенной трансформацией срединной поверхности, вследствие чего исследование их закритичес-кого поведения требует учета последующих аппроксимирующих векторов. Рассмотрена цилиндрическая шэрниряс опертая панель при действии внешнего давления. Исследована сход?-

ыость решения по числу рагпоотных делений и по количеству базисных векторов. В качестве пооледнкх при свертке нелинейного оператора используется решение от нагрузки и пять низших линейных форм потери устойчивости. С целью исследования влияния вклада в общее решение каждого из базисных векторов, задача решалась хфи различных их комбинациях. Сравнение с ресением, полученным по полной конечнорззностной модели, позволяет оделать вывод,что . основной вклад в нелинейное решение редуцированной задачи устойчивости дают векторы решения от нагрузки и первые три формы потери устойчивости, полученные в линейной постановке. Остальные векторы лишь неоколько уточняют результат. Уточненное значение верхней критической нагрузки отличается от.эталонного на 0,8$. Аналогичные результаты подучены для цилиндрической панели с отверстием прямоугольной формы, конической панели, сферической панели о круглым и квадратным очертаниями наружного контура и центрального отзеротия.

Разработанный алгоритм понижения размерности оператора положительно зарекомендовал себя в такш. о ложных задачах, как исследование чувствительности оболочек к несовершенствам и к предварительному напряжению,а также в задачах устойчивости оболочек при динамическом нагрукении.

Важную роль в развитии теории устойчивости несовераанных оболочек сыграл аонштотичеокий метод Койтера, с иомощью которого удается оценить чувствительность конструкции к пеооверЕэнст-вам по значению первого ненулевого коэффициента степенной зависимости критической нагрузки от амплитуды -бифуркационной формы

л = яНРо + а& ее'*...). (52)

При этом предполагается, что влияние несовершенств, имеющих,как правило, олучайный характер и сепарировашшх по бифуркационным фордам, определяется в значительной степени одной компонентой, совпадающей по гиду о низшей формой потери устойчивости.

Большинство ра'бот, посвященных учету несовершенств, выполнено в предя олога штл линейного докритического поведения решения. Дальнейший прогресс з области расчета устойчивости оболочек о учетом несовершенств требует'развития подхода, достаточно гибкого для того, чтобы в случае нелинейно деформируемой оболочки детально учитывать ее геометрию при произвольном нагрукении. В качестве такового е работе предлагается использовать синтез иаглвд редукции базиса и метода Койтера. Для оболочек, теряющих устой-

чивость путем прощелкивания, т.е. имеющих яэ криво}! нагружеяия предельную точку предлагается интерпретировать качанные прогибы как известную компоненту искомого решения задачи и использовать непосредственно систему уравнений (51). Такой подход позволяет учесть достаточно широкий спектр несовершенств, представленных суперпозицией базисных векторов. Эффективность его состоит в том, что редуцированный один раз оператор может быть использован для построения кривых нагружения оболочки с различными комбинациями векторов, характеризующих форму несовершенства.

В пятом разделе рассмотрены нелинейные задачи деформирования оболочек при динамическом нагрумении. При анализе переходных процессов во временных интервалах, достаточно длительных, чтобы уловить возможное прощелхивание оболочки, эффект понижения размерности задачи особенно ощутим.-Так, если в задачах статической неустойчивости применение метода редукции базиса приводит к десятикратному снижению стоимости расчета по сравнению о расчетом полной конечноразностяой модели, то в задачах динамической неустойчивости экономия машинного времени оценивается двумя-тремя порядками.

Задачи устойчивости оболочек при действии, динамических нагрузок можно разделить на два класса. К первому классу относятся задачи прощелкивания оболочек, для которых потеря устойчивости в- статической постановке характеризуется переходом через предельную точку на кривой нагружения. Наибольшее число исследований, . выполненных в этом направлении посвящено полой® сферическим оболочкам при действии мгновенно приложенного внешнего давления. Ко второму классу относятся задачи, отражающие бурное нарастание прогиба, возникающее только при возмущении формы оболочки. Такой процесс деформирования при статическом яагружепии связан с возникновением бифуркационных решений. Возмущения могут задаваться либо в виде начальных несовершенств формы- оболочки, либо в виде начальных условий задачи Коши, В такой иомансвке, как правило, ограничиваются нагрузкой, линейно возрастающей во временя.

Нэ основании обзора литературы; и*?1 этой проблеме сделан вывод о том, что существующие алгоритма! позволяют исследовать динамическую устойчивость только простых оболочек. Применение этих алгоритмов к решению задач устойчивости более сложных оболочек либо вообще не представляется возможным, либо чрезвычайно затруднено из-за значительных затрат машинного времени для решения больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Лре-

дложеняая в диссертации процедура понижения размерности в динамических задачах данного класса аналогична описанной выше, с той лишь разницей, что вместо форм потери устойчивости в качестве базисных векторов принимаются формы колебаний линейной модели. На основе реализации такого подхода с помощью комплекса программ "РЕДБАЗ" решен ряд звдач динамической устойчивости различных оболочек, таких как квадратная в плане сферическая па. нель, сферическая панель с отверстием, коническая панель, тороидальная замкнутая оболочка, оболочка типа фонаря самолета. Исследованы также динамические характеристики кузова прицепного вагона электропоезда и предварительно напряженных оболочек, используемых в качестве покрытий зданий. Б качестве последних рассмотрены оболочки, образованные минимальными .поверхностями, Ис-' пользование в строительстве этого класса оболочек представляет интерео ввиду следующих положительных качеств. Оболочки-, очерченные по минимальным поверхностям,обладают архитектурной выразительностью, они допускают равномерное предварительное натяжение, обеспечивающее дополнительную жесткость, и имеют наименьшую площадь.при заданном опорном контуре. С целью параметризации такого вида поверхностей разработан алгоритм построения точечного каркаса посредством численного решения по методу продолжения по параметру нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, определяющего локальное свойство равенства кула срэд-. ней кривизны поверхности

а^беф (ос, А «4. 2). (53)

За начальную форму принимается проекция искомой поверхности на плоскость КО У . Область, ограниченная контурными линиями плана оболочки, параметризуется в криволинейных координатах х' ,х\ с которыми связывается конечноразностная сетка, в два раза более густая, нежели сетка на которой базируется решение прочностной задачи. Функции координат X , У в аналитическом виде задаются отнооительно X', Xх , функция Z определяется из дифференциального уравнения (53) с помощью метода конечных разностей. Далее, вводя параметр прирапения в качестве сомножителя в граничные условия и пользуясь плоской формой поверхности в качеотве начальной, на основе метода продолжения (21) строим семейство приближенных минимальных поверхностей. Алгоритм численного построения точечного каркаса мигамальных поверхностей реализован в рамках комплекса "РЕДБАЗ". Для проверки его эффективности-и достоверно-

стк результатов вычислений рассмотрены задачи построения минимальных поверхностей прямоугольном, квадратном, трапециевидном и круглом в плане контурах. Полученные значения координат точечных каркасов рассматриваемых поверхностей сопоставлена с аналитическими и численными результатеми, приведенными в литературе .

Собственные колебания предварительно напряженных оболочек определяются на основе линеаризованных в окрестности заданного напрятанного состояния уравнений

(д№Тлзё6 л . ( дх* V-1 *

(сс= /, 2; = (54)

где - компоненты усилий, определяющих предварительное напряжение; у// - параметр напряжения. В результате подстановки выражений усилий через перемещения ъ уравнения (54) и последующей дискретизации приходим к алгебраической задаче на собственные значения

[(А * В) +//Д -ООг М]-и =0, (55)

где да-В-ив - свертка матрицы коэффициентов силикейной формы с вектором-перемещений, вызванных предварительгам натяжением; - матрица масс, "ослз свертки матриц по правилам, аязлогичным формулам (50), получим редуцированную задачу на собственные значения

(А +//Д, =0, (56)

Собственный вектор () содержит коэффициенты разложения приближенного вектора исходной конечноразностной задачи (55) • Применение метода редукции базиса позволило значительно понизить раз-, мерность задачи на собственные значения, требующей многократной коррекции.матрицы жесткости. На основе разработанной методики и комплекса программ построены каркаса оболочек мшглмэльнкх поверхностей с различной конфигурацией контуров, проекции которых ка план тлеют форму окружности или квадрата. Исследованы зависимости частот колебаний оболочек от натяжения контура, Задачи о колебаниях формулировались для двух видов граничных условий. В первом случав была задана скользящая заделка-края и к кожуру оболочки прикладывалось равномерное погонное усилие ~/и Тс2

действующее по нормали к контуру. Во втором случае на полностью защемленном краг задавались перемещения контура, полученные из решения предыдущей задачи. Поля напряжений и перемещений в обеих постановках получались одинаковыми, однако различия в краевых условиях отразились на динамических характеристиках оболочек.

В заключении диссертации сформулированы общие выводы относительно научных и прикладных аспектов полученных в работе результатов и состоящих в следующем:

1. Разработаны методы, алгоритма и программное обеспечение . численноТо исследования на ЭБМ нелинейного деформирования и устойчивости оболочечных конструкций при статическом и динамичес-. ком нагружении.

2. Предложена эффективная схема конечноразностной аппроксимации (метод криволинейных сеток), позволившая существенно расширить класс исследуемых оболочек и значительно улучшить сходимость решений в задача:: нелинейного деформирования и устойчи-. бооти оболочек сложной канонической формы, в том числе составных.

Показано, что метод криволинейных сеток в задачах, чувствительных к ошибке аппроксимации жестких смещений, по скорости сходимости не уступает традиционному методу конечных разностей третьего порядка точности, а также методу конечных элешктоз с изопараметричэским представлением формы перемещений, либо повышенной степени аппроксимации, а ошибка конечноразностных решений, подученных по методу криволинейных сеток, в отличие от решений- в рамках традагвдонного конечкоразностного алгоритма, подчиняется квадратичной зависимости. Последнее обстоятельство позволяет для уточнения результатов расчета использовать экстраполяцпон-ную формулу Ричардсона.

3. Для анализа процесса деформирования оболочек в окрестности особых точек и разделения бифуркационных ветвей предложен подход, основанный на вычислении низших собственных значений и собственных векторов касательной матрицы жесткости и позволяющий проследить за эволюцлей кесткоота и устойчивости нелинейной дискретной модели оболочич по мере ее нагружения.

4. Проведено численное исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости ряда составных трубчатых оболочек, применяемых в энергетическом машиностроении. Показана недопустимость -оценки их НДС по результатам, полученным для оболе -чек упрощенной конфигурация, не имеющих изломов срединной поверхности. Вместе с тем установлено, что оценка НДС и устойчивости

таких оболочек может производиться на сыново расчета их отдели.- • них фрагментов, либо соизмеримых с ниш по габариту регулярных составных оболочек с учетом условий симметрии разрешающих функций.

5. Для анализа устойчивости составных оболочек вращения метод криволинейных сеток использован в сочетании с методом Бубнова. Исключение ошибки дискретизации жестких смещений в этом случае позволило успешно решать задача устойчивости таких оболочек, как тороидальные и тороцилиндрические камерн, сильфочные вставки, формы потери устойчивости которых характеризуются значительными перемещениями отдельных элементов без существенных деформаций.

На примере устойчивости резервуара с торооферячесним днищем показано, что, в ппотивоположнооть внепне нагруженным оболочкам, при внутреннем давлении учет геометрической нелинейности приводит к повышению критического значения нагрузки. Наиболее рациональным способом повышения несущей способности такого резервуара является утолщение тороидального пояса, сопрягающего стенку с днищем. Показано также, что тороидальная оболочка эллиптического сечения более устойчива, чем аналогичная оболочка кругового сечения (критические нагрузки могут отличаться более чем в два раза). На примере задача устойчивости глубокогофровых еильфоноз при действии радиальной "центростремительной" нагрузки показано, что их ферма потери устойчивости осесимметрична с преимущественным деформированием пластинчатых эяементоз, а значение критической нагрузки практически не зависит от количества гофров.

6. Разработана методика и кош леке программ для решения нелинейных задач устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций о учетом несовершенств формы при статическом и динамическом яэг-рукэнии. Предложен двухзтапный алгоритм понижения размерности нелинейной краевой задачи теории оболочек, включающий дискретизацию дифференциальных соотношений и проектирование нелинейного алгебраического оператора на усеченную систему базисных векторов. Использование в качестве базисных векторов линейного решения от заданной нагрузки и низших бифуркационных форм иля ферм колебаний дало возможность на одан-два порядка понизить число.степеней свободы дискретной модели без ущерба для точности практической оценки критической нагрузки. Установлено, что пополнение аппрэк-зимиругощего базиса векторами, полученными из решения линейной задачи от квадратичных невязок,•значительно улучшав* сходимость яетеца при решении существенно нелинейных' гацзч. Путем прогеде-

ния многочисленных сопоставлений результатов решения редуцированных задач с решениями исходных конечноразностных систем уравнений продемонстрирована удовлетворитеяьная точность определения траекторий нагружания и особых точек, характеризующих критические состояния исследуемых оболочек. Существенное понижение размерности дискретизов8каого оператора позволило эффективно решить такие сложные задачи теории оболочек, как исследование их чувствительности к несовершенствам и к предварительному напряжению, а также задачи устойчивости оболочек при динамическом ■ нах'ружении. ■

7. Ка оонове метода редукции базиса разработан алгоритм определения коэффициентов устойчивости, используемых в асимптотической теории Койтера для построения зависимости критической ' нагруз юг от параметра несовершенства. Синтез метода редукции и теории Койтера позволил исследовать влияние несовершенств оболочек сложных форм, а также оболочек, предкритическое состояние. • которых описывается нелинейными соотношениями. Сопоставление результатов вычислений по асимптотической теории, о одной стороны, и посредством учета несовершенств в качестве возмущения решения - с другой - приводит к выводу, что для некоторых оболочек теория Койтера дает правильную зависимость критической нагрузки .тешь в узком диапазоне изменения параметра несовершенства.

8. Предложена методика численного исследования устойчивости неустановившихся режимов движения оболочек сложной Форш. -Ils основе метода редукции базиса осуществлено значительное понижение размерности исходной задачи о колебаниях с сохранением специфики деформирования оболочек. Удачное редуцирование- по пространственным координатам нелинейного оператора позволяет производить многократные решения задачи Коше для существенно усеченной модели при варьировании параметра нагрузки.

9. Предложенный в работе алгоритм редукции использован для решения задач о собственных колебаниях оболочек с учетом предварительного напряжения- В такой постановке решены задачи о колебаниях оболочек минимальных поверхностей, для которых проблема параметризации решена путем построения методом сеток поузло-вого каркаса поверхности. Рассмотрена также собственные колебания кузова вагона электропоезда как цельнометаллической томко-отепнон конструкции с отверстиями и многочисленными подкреплениями. Установлено, что низшая частота такой конструкции может совпадать с частотой колебания вагона ка рессорах как жесткого

тола и практически не зависит от напряжений, вызванных реальной нагрузкой.

В целом совокупность научных и прикладных результатов исследований, отраженных в работе, состоит в разработке новых эффективных численных алгоритмов решения задач строительной механики - метода криволинейных сеток и метода редукции базиса, позволивших существенно расширить круг практически важных оболо-чечных конструкций, для которых получают достоверные решончя задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости при статическом и Динамическом нагружештк.

Список публикаций

1. Гоцуляк Е.А., Пемсинг К. Об учете жестких смещений при решении задач теории оболочек методом конечна* элементов // Численные методы решения задач строительной механики. - Киев: изд. Киев. ини.-строит, ин-т, IS78. - С.93-98.

2. Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н., Жадрасинов Н.Т. Сходимость метода криволинейных сеток в задачах теории оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1981. - Вып.39. -С.80-84.

3. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. - Львов: Выща школа, 1Э82. -255 с.

4. Григоренко Я.М., Гуляев В.И., Гоцуляк Е.А. Численное исследование устойчивости оболочек вращения под действием внутреннего давления // Надежность и долговечность машин и сооружений. - 1982. - Вып.2. - С.15-23.

5. Баженов В.А., Гоцуляк S.A., Гуляев В.И., Дехтярюя Е.С. Построение и исследование кривых яагрукенкл механических систем .// Вычислительная и прикладная математика. - 1932. - В 46. - С.84-96.

6. Гоцуляк S.A., Яадрасинов Н.Т. Исследование сходимости метода криволинейных сеток в задачах нелинейной устойчивости оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. -1983. - Вып.42. - С.48-51.

7. Гуляев В.й., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А.. Дехтярюк Е.С., Лизунов П.П. Устойчивость периодических процессов в нелинейных чеханических системах. - Львов: Выла школа,4 1983. - 267 с,

8. Гоцуляк Е.А., Жадрасянов Н.Т. Расчет составных оболочек вращения мотодом криволияейпых сеток // Строительная механика пластин и оболочек. - Караганда: изд. Карзгаад. политех, ян-та,

1S83. - С.24-35.

9. Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость многоугольной тороидальной каюры // Сопротивление матеркелов и теория сооружений. - 1984. - Вып.45. - С.9-12.

10. Гоцуляк Я.А., 1адрасинов К.Т. Устс)йчивость торосфери-ческих и тороконкческих днюц резервуаров под внутренним давле-

. нкем // Прикладная механика. - 1985. - Т. 21, й 3. - С.40-45.

11. Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н., Заблоцкий C.B. Применение ■ метода редукции базиса к решению задач устойчивости оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и • евтокатпзация решения задач упругости и пластичности. - Горький: изд. Горьк. ун-та, 1985. - С.51-58.

I?.. Гоцуляк Е.А., Заблоцкий C.B. Примэнение метода редукции базиса к решению нелинейных задач теории оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1985. - Вып.46. - С.37-43.

13. Гоцуляк Е.А. Выбор базиса з методе редукции при решении нелинейных задач устойчивости оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений, - 1985, - Вып.47. - C.I6-2I.

14. Гайдайчук В.В., Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И., Савченко Т.А. Устойчивость тороидальных оболочек эллиптического -сечения // Надежность и долговечность машин и сооружений. - I9SS. - Вып. S. - С.40-45. '

15. Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И., Ермишев В.Н. Упругое равновесие составной оболочки спиральной камеры гидротурбины // Прикладные цробломы прочности и пластичности. Алгоритмизация и программное обеспечение задач прочности. - Горький: изд. Горьк. ун-та, 1986. - С.104.115.

16. Гоцуляк Е.А,, Ермишев В.Н., Оглобля А.И., Мельниченко Г.И. Комплекс программ по расчету напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочек сложной формы. - Киев. инк.-отроит, ин-г, 1986., - 410 с. (УкрРФАП, Л П6310).

17. Гоцуляк Е.А., Заблоцкий C.B., Кондаков Г.С., Дехтярюк Е.С., Ворисенко В.Г. Комплекс программ для расчета устойчивости и колебаний оболочек сложной формы. - Киев. инж.-отроит. ин-т- , 1986. - 418 с. (У1ф?#АП № II6344),

18. Баженов Б.А., Гуляев В.И., Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н., Мельниченко Г.И., Ох^лобля А.И. Расчет на устойчивость оболочек сложной формы (Методические указания но использованию комплекса программ "Ш2КРЖ-2") - Киев: изд. Киев, иня.-строит. ин-та,1987

- 134 с.

19. Тоцуляк В.А., Кирччук A.A. Метод редукции бэзиоа в задачах о динамичеоком прощелкизашга упругих оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация автоматизация исследований. - Горький: изд. Горьк. ун-та, 1987. -

С.119-125.

20. Гайдзйчук В.В., Гоцуляк Е.А., Гуляеэ В.И., Савченко Т.А. Устойчивость составной оболочки вращения под действием внешнего давления // Прикладная механика. - 1987. - Т. 23, № 7.

- С.26-30.

21. Гоцуляк S.A., Кошевой А.П. Собственные колебания растянутых оболочек, образованных минимальными поверхностями / Киев, ина.-строит, ин-т. - Киев, 1987. - 40 с. Деп. в УкрНЙЖГЯ К.12. 87, й З165-Ук87.

22. Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н., Мельниченко Г.И. Несущая способность криволинейного участка трубопровода зз пределом упругости // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1987.

- Вып. 51. - С. 68-71.-

23. Гоцуляк Е.А., Киричук A.A. Об устойчивости переходных процесоов в оболочках сложной формы // Прикладная механика. -1988, - Т. 24, & 6. - С.48-55.

24. Баженов В.А., Гуляев В.И., Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н., Мельниченко Г.И., Оглобля А.И. Расчет з испытания на прочность. Метод и программа расчета на ЭВМ устойчивости оболочек сложной форма. Рекомендации Р 50-54-59.88. - М.: изд. ВНИЙШШ Госстандарта СССР, I9B8. - 142 о.

25. Гоцуляк Е.А., Заблоцкий C.B., Кондаков Г.С.-, Дехтярюк Б.С., Бсрисекко В.Г. Расчет на устойчивость и колебания оболочек сложной формы. Методические указания к использованию комплекса программ "РЕДЕАЗ" - Киев: изд. Киев. инж.-строит, ип-то. 1988. - 128 с.