автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Неконформные конечные элементы в нелинейных и динамических задачах строительной механики

. -"O J lJJ

КИГВСЬКИЙ 1НЖЕНЕРН0-БУД1ВЕЛЬНИИ 1НСТИТУТ

На правах рукопису 6ВЗЕР0В 1саак Данилович

; чэ.з

НЕКОНФОРМН1 К1НЦЕВ1 ЕЛЕМЕНТИ У НЕЛ1Н1ЙНИХ I ДИНАМ1ЧНИХ ЗАДАЧАХ БУД1ВЕЛЬНОГ МЕХАНПСИ

СПЕЦ1АЛЬШСТЬ: 05.23.17 — БУДШЕЛЬНА Л\ЕХАН1КА

Автореферат дисертацп на здобуття паукового ступеня доктора техмЫних наук

KHÏB 1993

Робота виконана в Науково-дослл.дном> 1нститут1 автоматизованих систем планування i керування у буд1вництв1. (НД1АСБ), m.Kkib

0ф1цл.йн1 опоненти:

IlpoBiflHa установа

доктор ф13ико-мателатичних наук, професор JliTBiHOB В.Г. доктор техн1чних наук, професор Сахаров О.С. доктор техн1чких наук, ст.н.с. Перельмутер A.B. 1нститут проблем MiUHOCTi АкадемИ наук Укра!ни, m.Khib.

Захист дисертацИ вл.д5удетьсн " " ft(ßf 1993 р.

о 13 годин! на зас1данн! спец1ал1зовано1 вченса. ради Д068.05.0: КИ1ВСБКОГО д.нженерно-буд1вельного iHL-титуту за адресою: 252037, м.1Си1в, Повл.трофлотський проспект, 31.

3 дисертац1сю можна озкайомитися у б1бл1отец± Ки1вського 1нженерно-буд1впльного о.нституту.

Автореферат розз.сланий " (j " К 0 / / /Y t^ 1S93 р.

Бчений секретар спец1ал1зовано1 вчено! ради, кандидат технхчних наук,

старший науковий cniBpoöiTHHK /^¿j' KoöieB В.

3АГАЛЪНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Розвиток пронислового i ц!в1льного буд!вництва, розробка новях конструкций висувають бхльш висок! вимоги до нетод1в розра-сунку споруд i конструкц!й. Широке використання обчислювально! :ехн1ки у проектуванн! i розрахунках буд!вельних конструкц!й )бумовлюе подальший розвиток чиселъних метод1в.

Один з найб1льш ун1версальних нетод1в розрахунку складних сучасних конструкций - це нетод к!нцевих елементов (МКЕ). Bin е теоретичною основою сучаснйх обчислювальних комплексе розрахунку буд1вельних конструкцд.й на ЕОМ. Розробка та досл!дження нових ефективних схем МКЕ для нел1н1йних та динам1чних задач е важливою пауковою проблемою як в • теоретичнону, так i в прикладному вд.дно-meHHi.

Дисертац1я присвячена розвитку теоретичного апарату, що обгрунтовуе використання неконформних кл.нцевих елемент1в при розв'язанн1 нелл.нз.йних та динам1чних задач буд1вельно1 механ!ки,а також його реал1зацл.1 при розробц1 та дослз.дженн1 алгоритмов розрахунку.

Актуальн1сть теми обуновлена простотою реал1зацл.1 неконформних елемент1в i,B той же час, в1дсутн1стю 1х теоретичного обгрун-тування.

Тема дисертацИ в1дповз.дае плану науково-техн1чних po6iT в1ддл.лення систем автоматизованного проектування НД1АСБ.

Метою дисертацИ е розвиток Teopi'i неконформних к:.ндевмх елемент1в для розв'язання нел1н1йних та динамхчних задач будх-вельно! механ1ки i впровадження розроблених методХв в хнженерну практику.

Наунова новизна полягае в постанови! Й розв'язанн1 таких

задач:

- обгрунтувати використання неконформних елемент!в при роз-

(

в'язанн! статичних задач нел!н1йно1 теорИ пружност1 та геонет-рично нел1н!йних задач в докритичн1й стад11;

- встановити можлив1сть застосування неконформних елвнент1в у л1н1йних динам1чних задачах;

- обгрунтувати використання неконформних елемент1в у задачах теор±1 повзучостл.;

- довести можливхсть застосування неконформних елемент!в

в динам1чнд.й задач1 пружно-в'язко-пластичност1 ;

/

- обгрунтувати використання неконформних елемент1в при роз-в'язанн1 динам1чно! задач1 в геометрично нел1нл.йнл.й постанови;

- розробити для нестац1онарних задач безумовно стл.йк1 р1зни-цев! схеми дискрет1зац11 у час1, одержати оц!нки 1х похибки у сполученн1 з неконформним МКЕ. .

Достов1рн1стъ одержаних результат1в п1дтверджуеться IX тео-ретичнии обгрунтуванням, а також розрахунками модельних задач, щс мають точний розв'язок.

Практичне значения роботи полягае в розробц1 та впроваджу-ванн1 ефективних алгоритм1в розв'зання нелхн1йних та динам1чних задач.

Впровадження результатов роботи. Запропонован1 ацгоритми реализован! в розроблених НД1АСБ обчислювальних комплексах та за-стосовуються у розрахунках буд1вельних-конструкц1й.

Апробац1я. 0сновн1 результати дисертацлЛ допов1далися на 1У-1Х школах-сем1нарах "Метод к1нцевих елемент1в у буд1вельна.й

механл.ц:1", сем:1нарах з механгки у Ленл-нградськоку пол1техн1чному 1нститут1,1нститут1 нехан1ки АН Украгни (к.Ки1в) ,1Си1вському д.нже-нерно-буд1зелъному л.нститут1..

Публл.кац:1.1. 3 теми дисертацИ опубл1ковано 18 наукових праць.

На захист виносено:

- умови зб1Жност1 та оц1нки похибки неконформних елемент1в у ф1зично та геометрично чел1но.йпих статичних задачах;

- дослз-джения та теоретичне обгрунтування застосування неконформного МКЕ у лл.н1йних динам1чних задачах;

- алгоритм» розв'язання задач нел1н1йно! повзучост1 1 пруж-но-в'язко-пластичност1 з використанняк неконформних канцевих еле-мент1в;

- алгоритми розв'язання геометрично нелл.нз.йних динам1чних задач з використанням неконформного ИКЕ;

- доведения можливост! статичного та динамичного розрахунку оболонок плоскими к1нцевими "элементами;

- методи побудови матриць жорсткостз та вектор1в правих час-тин для геометрично нсл1и1йно1 задач1 у статичному та динам1чному випадках;

- розробка, теоретичне та чисельне дослл.дження безумовно ст1йк>«х сЛнченноразницевих схем дискрстизац^Л у час1 для неста-цл.онарних задач;

- застосування теоретично обгрунтованих схем МКЕ у чисельних дослл.дженнях буд1вельних конструкций.

Дисертац1я. загальним обсягок 214 стор., м1стить 10 таблиць 'та 4 6 рс.сунк!в, складаетъся з вступу, 6 глав, висновк1в, додат-

К1В та списка лЛтератури з 141 назви. '

ЗМ1СТ РОБОТИ

У вступх дано огляд стану досл1джуваних проблем, сформу-льован1 мета 1 задач! роботи.

Швидкий розвиток та широке застосування МКЕ обумовлен1 великим 1нтересом до нього !нженер!в-практик1в, використовуючих цей метод, програмхстав, реал1зуючих МКЕ на ЭОМ, та математик1в, що займаються його теоретичним обгрунтуванням.

До найбо-лып значних праць з реал1зацЛ1 МКЕ належать прац1

A. Ф. См!рнова, А.В.Александрова, Б . Я. Лащеннл.кова, М.М.Шапошникова,

B.А.Постнова, О.С.Городецького, Дж.Аргир1са, 0.3енкев1ча, 1.Аль-тенбаха, У.Ф1шера, О.С.Сахарова, В.М.Кислоокого, Д.Сегерлгнда.

0сновн1 теоретичн! положения МКЕ для лхнхйних стацл.онарних задач розроблено у статтях Р.Куранта, Л.О.Розл.на, Т.Пайана, П.Тонга та хнших; де встановлено, що конформний МКЕ е окремим ви-падком метода Рхтца при спец!альному виборЛ базису. Теор1я методу Р1тца, викладена, наприклад, у монограф!1* С.Г.М1хл1на, дае достатн! умови зб1жност1 МКЕ для лЛнЛйних стац1онарних задач. Це € л1н1йна незалежнЛсть, конформность та повнота в енергетичному простор! систеии базисних функцЛй.

Математичному обгрунтуванню МКЕ для л!н!йних стац!онарних задач присвячено численну л!тературу.До найб!льш значних належат1 статт! та монограф!! С.Г.М!хл!на, Ж.-П.Обена, Г.Стренга,Дж.Ф!кса, Ж.Деклу, Дж.Сеа, Е.М1тчелла, Р.Уейта, С.Г.Дьяконова, Ф.С'ярле, П.Рав'яра, Дж.Одена, Т.Редд!, Г.1.Марчука, В.I.Агошкова, Л.А.Оганесяна, Л.А.Руховця, в яких встановлен! умови зб!жност! та оц!нк] похибки конформного МКЕ. Досл!дженням неконформного МКЕ у л!н1й-

них стац1онарних задачах присвячен1 працх Г.Стренга, Дж.Штше, Т.М1йош1, Б. де Вебеке, П.Ласко, П.Лесена, Р.Темама, Д.Арнольда, I.Бабушка., Ф.Брезз!, В . С .Карп1ловського, а також автора.

Значно менш досл1джено МКЕ в задачах, як1 не е л1н1йними статичними. Конформний МКЕ для л1н1йиих стац1онарних задач з мо-нотонними операторами (задач! нел1н!й!Ю1 пружност!) вивчено у працях X.Гаевського, К.Грегера, К.3ахар!аса, Р.Варги, Ф.С'ярле. Питания теор!! та реал!зац!1 МКЕ в л!н!йних нестац!онарних задачах (л!н1йна динам1ка) вивчаються у працях Г.1.Марчука, В.1.АГОШ-кова, Е.М!тчелла, Р.Уейта, А.Н.Синиц!на, 0.Л.Ладиженсько!, Р.Кла-фа, М.М.Шапошникова, А.В.Александрова та !шиих, де досл!джуеться конформний випадок.

Таким чином, питания теоретичного обгрунтування та реал!за-ци неконформного МКЕ в нел1и1йних та динам!чних задачах до цього часу залишалися вхдкритими. 1х розв'язанню присвячена ця праця.

Дослд.дження МКЕ приводить також 1 до такого кола питань. За-стосування МКЕ до нел1н!йних та нестац!онарних задач зводить IX до систем нел!н1Йних алгебра!чних р!внянь у нел!н!йному стац1о-нарному випадку або до систем звичайних диференц!йних р1внянь (л!н1йних чи нелл.н1йних) у нестац!онарному випадку.

- Методи розп'язання систем нел!н1йних р1внянь та Л1н!йних систем диференц!йних р1внянь вивчено досить повно. Досить указати статт1 та монографлЛ Л.В.Канторовича:, Дж.Ортеги, В .Рейнболдта, Д.Ф.Давиденко, М.О.Краснос1льсъкого з нел1н!йних р1внянь та прац1 О.А.Самарського, С.К.Годунова, В.С.Рябенького з р!зницевих схем для л!нл.йних нестац!онарних задач.

Менш повно дослл.джено питания ст!йкост! та зб!жност1 р!зни-

цеаих схем для нел1н1йну!х нестац1онарних задач. У конографл.1 Р.Темана вивчен! схеми для нел1н1йних нестацхонарних р1внянь ■ Нав'е-Стокса, що описують рух в'язко! рЛдини. У праиях К.М.Янен-ко, Б.Л.Рождественського, О.А.Самарського пропонуються р1зницев1 схеми для задач газоьо1 динамл.ки. У монографа! А-Ф.См1рнова, А.В.Александрова, В. Я. Лаценн1кова, М.М.Шапо'вн1кова запропонован1 р1зницев1 схеми для ряду нел1н1йних динак1чних задач.

Тому у дисертацИ дослхджен1 р!зницев:. схеми у сполученн1 з неконформним ККЕ для niн1йних нестацл.онарних задач, запропа'нован1 та досл1джен1 р!зницев1 схеми дискрэтхзацИ у 4aci для нел1нл.йних (як ф1зично, так i геометрично) нестацл_онарних задач.

У першл.й глава.' наведено основнл. резулътати з обгрунтувавня 36i»HOCTi МКЕ для л1нл.йних задач у конформному та неконформному випадках. Наведено BapiauuKni формулываняя niHiKHiix задач теорИ пружност! у вигляд1

a (u, v) = (f, v) , u, v с V, (1)

де a(u,v),(f,v) - можлив1 роботи янутр1шн1х i зовн!шн1х ckj:, a (u, v) = (Be (и) , е (v) ) , В - матриця пружност1, е(и) - деф:>рмацл.1, и - вектор шуканих перемд.щень, v - вектор можливих перенл.щенъ. Множина можливих перем1щень V складаеться зо Bcix вектор1в v, що задовольняють головН1 (к1немагичн1) граничнх умови, для яклх енергетична норма Hull = /а (и, и) - величина ск1нченна. Наведен! формули a(u,v) та (f-, v) й опис множини можливих перен±щенъ для тривим1рно1 задач!, оболонки, пластини та стержня.

Р1вняння методу к1нцевих елементгв випливають з (1) I мают.ь, вигляд a(u ,vj = (f, v ) , u.veV,

n h h h h h

де Vh - кножкна иожлйвих переницень вигляду uh~£ иЛ' що задо~

вольнкють у граничних вузлах головнх граничил унови, д - коорди-натн! функцлЛ, як! вл.дпов1дають призначеним степеням свободи та вЛдрЛзняються вл.д нуля лише на зЛрках елементЛв. Умови збЛжностЛ МКЕ для лл.н1.йних задач такЛ:

1. Мають Micue píbhoctí L д =5

к k 1 к,1

2. На кожному кЛнцевоку елементЛ справджуються тотожностЛ

У (L х')д = х1, lil=Ü=m + т-1, 0< т í m . i. > k ' о ' о

k

3. БазиснЛ функцоЛ Дк конформнЛ, тобто Дкб якщо функц11 д^

неконформнл., д^е! V, то гснуе конформний базис Л^е V, що задоволь-

няе 1.,2. при J=mo»xi—1, 0 í т s т та píbhoctí

а (к -Л )=0, |i.| — ш +г -1, 0< т í m , г1' k к'' 02' 2 о'

де ar(u,v) - можлива робота внутрЛшнЛх'сил на канцевому елементЛ П .

г

Якщо виконуються ui умови, мають Micue оцЛнки похибки МКЕ з e'Heprii та перемЛщень

llu-u II з Khs, llu-u II =s Khp ,

h O' h 0 O '

f T, д б V f 2x, д б V

=( т д" г V P" 1«,

4 k 1 2' 1

Д £ V ^ 1 "С +Т , Ц *. V (2 )

к 1 2 к ,

для функцИ Рьи=£(Ьки)д^е V мае мЛсце нерЛвнЛсть к

Пи-Р иII 5 Ю1Т . И о

3 (2) одержан! оцЛнки похибки ряда конформних та неконформ-них елементЛв, що широко застосовуються..

Встановлено аналогЛчнЛ (2) оцл.нки похибки у випадках, коли вирази для можливих робЛт замхнюютъся наближеними а (и ),

И 11

,V ) , як! задовольняють нерЛвностх

'a'W-WV 3 KVV "Vh" "^'V-^'Vh1 3 KW<

/

/

ио дозволяе обгрунтувати можлив1сть розрахунку кривол1н:1йних стержнхв та оболонок прямол1н1йними та плоскими елементами.

Одержано оц!нки похибки конформного та неконформного МКЕ у задачах на власн! значения (обчислення критичних сил, власних частот)

IA -A l + llu -u II s Khs, i i , h I i , h О'

де A , А точн! та одержан! МКЕ власн1 значения, h~ власн1

функцИ, що 1м BiflnoBiдають.

У другз.й главх дослхджено застосування МКЕ для ф1зично та геометрично нелл.н!йних статичних задач. У ф1зично нел1н1йному випадку використовуються сп1ввл.дношення нел1нд.йно1 Teopi'i пруж-HOCTi. В геометрично нел1н1йному випадку для пластин та оболонок с, _ J (U)=c° (U)+l/2 D (u,u), D1. J <u'v)=1/2<a1 (u)aj (v)+aj (uja^v).), _ J (u)=i/2(Sui/3xj+ SUj/aXj) + Kliju3, ' а1 (u)=au3/axi- K(ilu1( яг, J= -i/2(flo£1/axj+ aa^sx^. Можлива робота BHyTpiuiHix сил мае вигляд a(u, v) = (BQ (c° (u)+i/2 Dtu.uD.cfvJ+DCu.vJJ + fDjjrluJ.artv)),

3

Bq=5B, В =6 /12 В, 5 - товщина оболонки. Можлива робота зовн1шн1Х сил, Bapiauinne формулюваннл задач! та р1вняння МКЕ мають такий самий вигляд, як i у лл.нл.йному випадку. Статична геометрично нел1нл_йна задача розв' язуеться в докритичнл.й стадИ. Це означае, що друга BapiaqiH потенц1альн01 eH?prii a' (u, v,w) = (Boc° (v) ,с° (w) ) + , z(w) ) +(Вое° (v) D(u,w)) +

+ (BQD(u, v) ,е° (w) ) + (BoD(u, v) ,D(u,w) ) + (Dqc (u) ,D(v,w) ) (4)

додатно визначена, тобто мае Micue HepiBHicTb

a' (u, v,w) г Kllvll2 . (5)

Р1вняння методу крок!в у сполученн! з МКЕ для статичних не-л1н1йних задач мають вигляд

a' (u ,и -ц ,v )=(f,v ) (Э -8 ), ...

1 h,m' h , т * 1 h,m' h' 1 ' h ' 1 ni » 1 m ' ' (6)

ltl=0, 1 , . . . , M-l, 0=6 <0 <...<в =1, U =0.

' 0 1 К ' h , 0

При застосуванн! 11KE в геометрично нел1н1Йних задачах можли-ва pi3na апроксимацхя перемещения из(апроксимац1я частинами) . Еа-з и с Hi функц!1 прямокутного та трикутного елемент1в мають вигляд

д61_5=(тл,о,о), "6,.4=«0'т.'°>' ".¡„-«о.о.д,).

"..-a-«0'0'"..!»' "б.-!-«0'0'".^»'

де - базисн! функцлЛ плоско! задач1, Ui,fJ-l 1/fJl 2 - згинн1 базисы! функцлЛ, що задовольняють умови зб!жност1 МКЕ 1-3 при s=l,

\

О ^ i ^ n , n0 ~ KinbKiCTb вузл1в елементу.

Позначимо Рд =д , Рд =д , Рд =(0,0,г ),

61-5 61-5 61-4 61-4 61-3 1

^61-2 = ^6 1-1°°'

D.,J,h(Ub'Vh)=-D1,JiPu„'PVh>' (f'Vh»h=(f'Pvh)- <7> Шдставляючи залежност! (7) у (4), (6), одержуемо вираз для

a^(uh,vh,wh) та р1вняння методу крок1в у сполученнх з ргзною ап-$

роксимац1бю МКЕ та зам1ною криволл.н1йних елемент1в плоскими.

Для a'(u , v ,w ), (f,v ) мають Micue аналог1чн1 (3) HepiBHOCTi. h h h h h

При виконанн1 (5) справедлива oqiHKa методу крокхв у сполученн1 з р13ною апроксимац1ею МКЕ для статичних нел1нл.йних задач llu—u II s K;h +0), - 9=min (0 .-0 ).

h , М О m m + 1 m

В останньому роздглх глави одержано формули матриць жорст-KOCTi стержньового та трикутного елемент1в для геометрично нел1-н1йних задач у фтзично л1н1йному та нел1нд.йному випадках.

У трет1й глав1 досл1джено застосування МКЕ в л1н1йних дина-мхчнит; задачах. Позначивши можливу роботу 1нерц1йних сил b(u,v),

записуемо зазначену задачу у вигляд1

Ь(и",у)+а(и,у) = (Г,у), и,уеУ (8)

и(0)=и°, и'(0)=и*. (9)

Вирази для можливих роб1т внутр1шн1х 1 зовнл.шн1х сил та про-

ст!р можливих перем1щень V мають такий самий вигляд, як 1 в статичному випадку.

Р1вняння методу кл.нцевих елемент1в одержуемо з (8),(9):

Ь(и».уь)+а(иь,7ь) = (£,у11), - иь,УьвУ ' (10)

иь(0)=Рьи°, (11)

де - множина можливих перем1щень вигляду (Ъ).

к

Якщо виконуються умови зб1жности 1-3, справджуетъся оц1нка похиб-ки МКЕ для динам1чно1 задач1

|и'-и'|+11и-и II а КЬ„, 1и1=/ Ь(и, и) . (12)

п п О

Ця оц!нна зберл.гаетъся при застосуванн1 наближених виразхв

а (и , V ),' (^у ) , Ь (и , V )=Ь(Ри , Ру ), що задовольняють нер1в-Ь И И ь ь ь ь ь ьь

ноет! вигляду (3).

Систему звичайних диференцл.йних р1внянь' (10), (11) пропону-еться розв'язувати скл.нченнор13ницевим методом. Позначимо Ъ =6т, в - крок у часл., и =и(1: ), 6 и=@_1(и -и ),

т г * . ш |П т т + 1 т

а и=1/2(и- +и ) , |3 и=(2е)_1(и -и ) ,

т * 1(1 т- 1 т * ' 1 т ♦ 1 т - 1 ' '

Г и=е"2(и -2и +и ).

т т ♦ 1 т т — 1

Р1зницева схема другого порядку мае вигляд

Ь(Г и .V )+а(а и V ) = (£ .V ) . (13)

тЬЬ т п п тп

и =Р и0, и =и -0Р и1. (14)

Ь , О Ь ' Ь - 1 Ь , О Ь 4

Для не! доведено ¿.снування единого розв'язку, нер1внл.сть

СТ1ЙКОСТ1

1(3 и | + 11и II г К (15)

т Ь , т

1 П

та оц!нка похибки у сполученнЛ з МКЕ

|и'-/3 и | + 11и -и II з К(Ь +0 ) . (16)

ш т И гп И , ш О

РЛвняння (13) записуються у виглядЛ системи вЛдносно а и

(2Э"2Ь+а)(а и .V )=(£ )+20~2Ь(и .V). (17)

тьп тп п,тп

У випадку врахування в'язкостх рЛвняння динаиЛчно! задач! мають вигляд

Ь (и", V) +а (и, V) +а 1 (и' , V) = (:£, V) , и,у е V

при початкових умовах (9),де а (и',у) - можл^ива робота сил тертя. РЛзницева схема другого порядку у сполученнЛ з МКЕ мае вигляд

Ъ(у и .V )+а(а и ,у )+а (р и .V )=(£ .VI (18)

т Ь Ь 1 т Ъ' 11 ' 1ш Ь ш Ь

при початкових умовах (14). Для не! мае мл.сце Лснування единого розв'язку, нер1внз.сть стл.йкост1 (15) 1 оцЛнка похибки (16). РЛв-няння (18) записуються у виглядЛ

(20~ 2Ь+в"1 а1-(-а) (а )=

=(г V )+20-2Ь(и )-0_1а (и .-V). (19)

я тп п,шп 1 п , т - 1 п

Для матерЛалу з тривалою пам'яттю залежнЛсть мЛж напруженнями Л деформацЛями мае вигляд

I

а" (1:) =Ве (1) +/В (, э) с (э) сГБ . о 2

Позначивши а2(э,и,V)=(В2(^г)с(и),с(V)), записуемо дина-М1чну задачу

I

Ь (и", V) +а (и, V) +.Га (1:, Э, и (Б) , V) Йэ = (Г/V) , и,у е V

о

при початкових умовах (9). РЛзницеву схему другого порядку записуемо як систему вл-дносно а и

т II

(20"гЬ+а)(а и V )=(£ .V )+20~2Ь(и ,у.)-

т Г1 п тп п.тп

т- 1

-0/2 £ [а (Ъ ,1: ,и ,V )+а (Ъ ^ -,и , V )]. (20)

' 1 2* т ' к' к , Ь И' 2 го' к * 1 ' к ♦ 1 , Ь ' Ь ' ' 1 '

к = О

Для не! зберл_гаеться д.снування единого розв'язку, нерЛвнЛсть

ст!Йкост1 (15) Л оцЛнка похибки (16).

Р1вняння (17) , (19) , (20) можутъ розв'язуватися розкпадон за власними функц1ями (формами коливань) <р задач1 (10) и^Е^ ^)<Р1-В цьому випадку одержуемо системи р1внянъ в1дносно а с / з (17) -систему, що розпадаеться, з (19) 1 (20) - системи, що не розпа-даються.

В останньому роздл.л1 глаби наведено формули матриць мае стержньового, прямокутного 1 трикутного елемент1в.

У четвертой глав! дослл.джуетъся застосування МКЕ у ф1зично нел1н1йних нестац1онарних задачах. Для задач1 нел1нл.йно1 повзу-чост1 залежно.стъ м1ж напруженнями 1 деформац1ями мае вигляд .

. I

ет=ро(1,о-т ^ЛИ^З)?, (Б,*^) )+рг(з,<г(8) ) , (21)

о

де Ц1:, Б) - ядро повзучост1, q!t) - деформац11 усадки, функц1.1 рí^t,a) враховують нел1н1йну роботу матер±алу, причому (р (t,cг )-р (О" ),сг -ст ) г КII а -сг II2,

|го' ' Г Г01 ' 2" I г' 1 2 '

3

де (о-,т)=£ 1а т с1П, ИсгИ2= (сг,ст) . £2 1 ' J 1,1

Нел1нд.йнл.стъ залежност1 (21) не дозволяе виразити в.явному виглядх о-(Ъ) чepeз'c(t). Тому, позначивши

С(Ь,<т)=дРо(Ь,а)/да, I (Ъ, з.с) =Ь (1, Б) р (з.ст)+р' (э, с) , с(1,Б,сг) =

=31 (<:, Б,ст) /дЬ, д (Ъ,о-)=ЭРо /дЬ-1{ t, Ъ,(Г),

формулюемо задачу у вигляд1 системи в1дносно иеУ,сг:

I (22)

С((:,ст)а" + д(1;,о-)-.Гс(1:/з,а-)(Зз - е(и')=Ч'.

о

Доведено л.снування единого розв'язку задач1 (22). Р1зницева схема другого порядку у сполученн1 з МКЕ мае" вигляд О а Бу ) = ((3 £,ч )

ш п п га п -

ш- 1

-Мш^-Ч'ь..' <23>

Для не! доведено Юнування единого розв'язку, HepiBHiCTb ctíü-koctí

lier ll+Uu II ï К

h , m h , m

та оцл.нка похибки

IIa- -a- ll + Uu -u II S к (h +02) .

m h , m m h , m О

Для динам1чно! задачг пружно-в'язко-пластичност1 використо-вуеться залежнгсть

с'=/3~ 1сг' +д (сг) , (24)

де нел1н!Йна функц1я g (сг) залежить вхд прийнято! умови пружност1 та задовольняе нер1внл.сть

(g(ffj)-g(cr2) ,cri~cr2) ï 0. HeniHiñHicTb g (сг) не дозволяе виразити у явному виглядх <т через е,тому задача формулюеться у вигляд1 системи вгдносно u6V,cr b(u", v) + (cr,Dv) = (f, v) В" 'а' +д (с) -Du'=0 и (0) =u0, и' (0)=u1, о-(0)=о-°. Р1зницева схема другого порядку у сполученШ з МКЕ мае ви-

гляд

Ь(У u v ) + (a <г Dv ) = (f ,v )

m h h гг. h h mh

B" '(3 a +g(cr ) —Df3 u =0

mhmmh '(25)

u =P u , u =u -SP u1, СГ =P <X° ,

h, O h 0 h , - 1 h, О h h,О h

V-.=£Vo-0P,,B<Dul-^o>>-Для не! доведено хенупання единого розв'язку, HepiBHiCTb

ctíkoctí

1(3 u Mlu II + Нет II < К

m h h , m h , m

i ouiima похибки

¡u -/3 u l + llu -u l! + ücr -cr II 2 K(h +02) ■

m m h m h , m m h , в» 0

При розв'язанн1 системи (25) знаходиио з другого р1вняння ос <г 1 поставляемо у перше. Одержуемо систему в1дносно ос и

ю п п Ь

(2в"гЬ+а) (а и ,у) = (£ , V, ) +20" 2Ь (и, .V)-

ш п шп п , го Ь

"'""ь „ ,+Юиь „ +0Вд (О" ),Оу ). (26)

П , К1 - 1 П , В-1 П , ГП п

Матриця системи (26) не залежить в1д ш, зм:1нк>ються тл.льки прав1 частини. Р1вняння (26) можуть розв'язуватися розкладом за формами коливань в1дпово.дно1 лл.н:1йно-пружно1 задач!. При цьому одержуемо систему р1внянь, що розпадаетъся, прав1 частини яко! обчислюються за результатами попереднього крону.

В п'ят1й глав1 досл!джено застосування МКЕ у геометрично не-л1н1йних динaмiчниx задачах. У ф1зичному л1н1йному випадку для пластин 1 оболонок виходимо з вар1ацп.йного р1вняння

Ь(и", у) + (Во (е° (и)+1/20 (и, и) ) ,е (у)+й(и,у) ) + (В1ХГ(и) ,*(у) ) = {£, V) . Позначивши Ы=Во (е° (и)+1/гО (и, и) ), диференцюемо цю р1внл.стъ по Ъ 1 одержуемо видозм1нену постановку задач!

Ь

(u",v) + (N,c°(v)+D(u,v)) + (BiJr(u),3;(v)) = (f,v), u, veV,

B~1N'-c°(ir)-D(u,u')=0, ' (27)

и (0) =и°, и' (0) =и1, N(0)=№=Bo(c0(u0)+i/2D(u°,u0) ) . Для задач1 (27) доведена HepiBHicTb lu'l + Hull + |и"| + Ни'II + II N II + II N'11 — К, з яко! випливае 1снування розв'язку. Доведено, що розв'язок задача (27) единий.

Дал1 використовуеться МКЕ з pi3H0i0 апроксимац1ею (7) пере-

мз.щення u i зам1ною кривол1н1йних елемент1в оболонки плоскими, з ^

Схема другого порядку у час! в сполученнi з МКЕ мае вигляд

Uh'vJ + <a N,c°(v )+D (u , v ) )+B V(0£ u ) ,X<v.) ) = (f„, vh) h,

n m n h m h hh,mn 1 mn. n m n n

B^I|3mNh~c°(i3 uh>~DJuh uh>=0'

0 m n m h h h , m m h

u =P u°, u =u -0P u1, N =P N°. (28)

h, O h ' h , - 1 h,O h ' h,0 h ' v '

Nh,-i=Nh,o"ePhB(c°("1)+D(u°/u1)).

Для схеми (28) доведено !снування единого розв'язку, HepiB-ictb ctíükoctí

1(3 u | + llu II + II N II s к (29)

mh h , m h , ra - —

а оцЛнка похибки

|u'-(3 u 1+ llu -u II + II N -N II s К(h +02). (30)

mmfi mh,m m h , m O

При розв'язанн1 системи (28) знаходимо 3 другого рЛвняння ¡^N та подставляемо у перше. Одержуемо систему водносно amuh :0"2Ь (oí u ,v ) + (В (c°(oí u )+D (u ,o¡ u )),e°(v )+D (u v )) +

hmnh 0 m n hn>mmn n n h , m n

+(B x{a u.),Z(v,))=(f ,v )+20"zb (u ,v )+ (31)

1 mh h mh hn,mh

+(B (c°(u )+D (u ,u ))-N ,e°(v )+D (u -,v )).

v O* 1 h, i-l h1 h , m ¡i , m - 1 h,m-l' v h' hv h,m' h''

Система (31) bíдрЛзняеться в1д аналогочних рЛвнянь у статич-юму випадку, крЛм присутностЛ онерц!йних додаткЛв, тим, що до-затки, в яко входять сили N, перенесен! в праву частину. Це i за-зезпечуе ст1йк1сть схеми у динамЛчному випадку. Доведения HepiB-^ctí ctíhkoctí (29) та оцонки похибки (30) íctotho використовуе ¡.снування Лнерц!йного додатку b(u,v). В статичному випадку, тобто при b(u,v)=0, HepiBHocTi (29), (30) не виконано, та при значениях стискуючкх сил больших критичних схема (28) або (31) стае обчи-слювально нестойкою.

Застосування до рхвняння (31) розкладу за формами коливань водповодноо лонойноо задач! приводить до системи рЛвнянь, що не розпадаеться, niBi та прав! частини яко! обчислюються за результатами попереднього кроку.

AHanori4Hi досл!дження проведено також при одночасному вра-хуванн! у flHHaMi4Hiñ задач! геометрично! i ф!зично'о HeniHiñHocTi.

Задача формулюеться у виглядх системи в!дносно ueV,cr b(u",v) + (ff,c° (v)+D(u, v)-x3x(v) ) = (f, v), B" 'cr'+g (<r) -c° (u' )-D(u,u' )+хз* (u' )=0, u(0)=u°, u' (0)=4*, er(0) =cr0, де хзе [-5/2,6/2], 6 - товщина оболонки.

Доведено 1снування единого розв'язку 4iei задач:..

Схема другого порядку у сполученн! з МКЕ мае вигляд bh<r„Uh'Vh> + <0: °"h'c°'Vh'+Dh <uh M.v 1-х r(vh)) = (f,vh) .

hmhn m h h n h , m n 3 h n h

B~X°'h + 9(0'h uh>-Dh<uh „-'3„uj+x^(i3„uh)1=0' <32

mh h , m tnh n h t m in h 3 m h

u =P u°, u =u -SP u1, er =cr (0), er =cr -0er'(0) . h,0 h ' h-1 b,0 h ' h,0 hl '' h,-l h,0 hl '

Для Hei доведено }.снування единого розв'язку, HepiBHicTb CTiKOCTi (29) та оценка похибки (30).При розв'язаннх системи (32) виражаемо з другого ргвняння а^сг^ та поставляемо у перше. Одер-жуемо аналогхчну (32) систему в1дносно а и^.

Шоста глава присвячена чисельним досл1дженням розроблених алгоритм1в. Запропонован! методи розв'язання нел1н1йних i дина-М1чних задач реал1зовано у розроблених НД1АСБ обчислювапьних комплексах ЛИРА, МИРАЖ, НЕУД, ФЕНИКС, призначених для статичного i динамичного розрахунку конструкцл.й. Наведено результати розра-хунку модельних задач, що мають точний розв'язок. Розрахунки проводились 3i згущенням сi-тки в два та в чотири рази.

Мета uix чисельних експериментхв - пл.дтвердження одержаних у попереднхх главах теоретичних результат!в для оцл.нок похибки неконформного МКЕ при розв'язанн1 нел1нгйних i динам1чних задач.

Цилхндрична Biflbiio оперта у торцях оболонка пхд piBHOMipHHM тиском розраховувалась з застосуванням плоских прямокутних i три-кутних елементов. IIa рис. 6.1 наведено граф1ки зм1нення вхдносних

ais as i a2í L

Рис. 6.4.

похибок нормального перемл.щеннк та згинаючого моменту в точках серединного осьового перер!зу. Безперервнх л1нИ в1дпов1дають прямокутним, штрихов! - трикутним елементам.

,Обчислювались власн1 частоти кругло! затиснуто! та квадрат но! шарш.рно оперто! по контуру плит. Граф!ки зм!нення в!дносни похибок для перших трьох частот наведено на рис. 6.2, 6.3.

Кругла затиснута по контуру плита розраховувалась на три т пи динам!чних навантажень, що зм1нюються у час1 за синусо!дою:

1) !мпульс у центр! плити в початковий момент;

2) р1вном1рно розпод1лене навантаження;

3) зосереджена сила у центр! плити.

На рис. 6.4 наведено граф1ки зм!нення вгдносних похибок згинаюч момент1в на контур! в точках !х екстремумхв. Номер на граф1ку в!дпов!дае номеру навантаження.

При проведенн! чисельних експеримент!в у геометрично нел1-н!йному випадку для-квадратно! пластини був заданий точний роз-в'язок, по якому визначались деформац!!, зусилля ! зовн!шн! навантаження у статичному та динам!чному випадках. Так! ж побудои проводились для задач повзучост1 та пружно-в'язко-пластичност!. Граф1ки зм!нення в!дносних похибок по зусиллям в центр! плити у геометрично нел!н!йному випадку подано на рис.6.5 для статично! задач!, на рис. 6.6 - для динам1чно!.

Для досл!дження точностх запропонованих р!зницевих схем ро глядалась система р!внянь МКЕ геометрично нел!н!йно! динам!чно! задач! для консольного стержня. Задавався точний розв'язок, по якому визначалися прав! частини. Розрахунок проводився по р!зни цевим схемам першого та другого порядку точност! з кроком у час

Рис. б.б.

Рис. 6.7.

0.02, 0.01, 0.005. Наксимальн1 во.дносн1 похибки одержано 0.8%, 0.4%, 0.2% i 0.4%, 0.1%, 0.025% для першо! та друго! схем вхдпо-

ВЛ.ДНО .

Проведено чисельн! досл1дження семиповерхово! буд1вл! реакторного в1дд1лення АЕС. Конструкц1я, виконана з бетону класу 30, розраховувалась в «iHiüHiü постанови! на власну вагу, технолог1ч-не навантаження, а також на сейсм1чну д1х> у 8 бал1в. На рис. 6.7 наведено план останнього поверху та значения максимальних nepeMi-гцень характерних точок вд.д сейсмхчно! flii у напрямку oci X.

Розраховувалось Шатрове покриття д1аметром 200м - оболонка обертання вл.д'емно1 гауссово! кривизни з 30BHiuiHiM та внутр1шн1м опорними кхльцями, пхдкр1плена системою рад1ально-к1льцевих ребер. Конструкц1я розраховувалась на р1вном1рно розпод!лене навантаження, piBHOMipHO розпод1лене по кожн1й з половин покриття та на сейсм1чну дхю у 8 бал1в. Розрахункову схему та 1золл.н11 проги-HiB при. HepiBHOMipHOMy статичному навантаженн! зображено на рис. 6.8. Розрахунок на сейсмо.ку проводився у л1н!йн1й та геомет-рично нел1н1йн1й постановках. На рис. 6.9, 6.10 наведено граф1ки зм1нення у 4aci прогин1в та меридхональних зусиль в характерних точках. Штрихов! лгнИ в1дпоВ1дають л1н1йному розрахунку, безпе-pepBHi - нел1н!Йному.

Були проведен! розрахунки герметично! оболонки реактора АЕС. Бона мае форму ц1л1ндру, перекритого куполом у вигляд! п1всфери. Розрахунки проводились на власну вагу та технолог!чне навантаження, внутр!шн!й тиск та сейсмхчну д1ю у 8 бал1в у ф!зично нел1н!й-Hifi постанови!. На рис. 6.11 наведен! розрахункова схема, епюра перем1щень точок осьового перер1зу' при розрахунках на власну ва-

01 о

-Q i -с,ч -Об -ü^ 10

Рис. 6.8.

С . о. !0,

1Г9 "ЗВД

гу, а таксж ьпрра максимальних псремощень Bi-д. ееисмЛчно'о дл.о.

Розрахсвувалась залЛзобетонна конструкЩа-кос;ту на ^Ъласну вагу i монтажне назантаження у фозично нЬлЛнЛйЯдй постановцд.. Розрахункову схему наведено на рис.'6.12. На.рис. 6'. 13 наведено ■озолон1о h о ме нт i в у мосц! ïx концентрации.,, йа фрагмент! А.

- ~ - . . ■ В И, С II О В К.И ■ . •

Як результат провецених дослЛджень "розроб^ено теоретичний апарат, щс обгрунтоаус застосуванпл н.еконформних кЛнцэвих елемен-т i в при розв'язанн1 нелЛн1кних i нестацд.онарйих-задач- буд!вельно'о . механл.ки, та зд1йснено впрозадуення ро^роблейих методов в -окже-нерну практику. ' '

1. Доведено теореми'/■ щ'о .дозволяють дослЛджувати -.-б1жн1сть i. одэржувати оц1нки похибки .нрконформного ЫСЕ для HeJiiHoi'Hux i нсстацЛонарних задач бучЛвельноК- механЛкк.

2. Запрпионозано метсд апроксимац!о чатинами, обгрунтовано Гюго застосувакчя до геометркччэ. нелЛнЛйних. задач у слолученнЛ э методом крокЛв. Доведено можливЛсть розрахунку оболонок плоскими елемеНтами.

3. Запропсновано ефективнЛ ск'онченнорозницев£ с}.еми дйскрсэ-т1зацоо у часо для фозично та гэометрично нел1нл.йних динанЛчних задач. ДослЛджено ïx застосування у'сп.злученн1 з розклддом за формами власпчх коливань ь"1дпсв1дьо1 лонд.йноо задач1.

4. Установлено безумоЕну. стЛйкЛсть запропонованих р1знкцэч;:х схем, одержало оцонки Ь'х похибки у сполучоши з некокЪормним MICE.

5. Одержано формули элементов матриць жсрсткосто. та векторов праких частин для геонетричко нелхнойноо задачЛ у статичному i

динамл.чному випадках.

6. Р1зницев1 схеми для динам1чно! геометрично нел!н!йно! задач! дозволяють проводити розрахунок ! в закритичн!й стад!!.

7. Проведено розрахунки ряду нел!нхйних та динам!чних задач, що кають точний розв'язок, з посл!довник згущенням с!тки. Результат« чисельних експериментхв пхдтверджують теоретичн! висновки про коректн!сть використання неконформних елементхв.

8. Неконформн1 елементи широко застосовуються у статичних та динам1чних розрахунках складних конструкц!й. - В дисертац1!

наведено результати чисельних досл1джень буд1вл! реакторного в!дд1лення, герметично! оболонки реактора, шатрового покриття та хнших. Щ результати узгоджуються з якхсним уявленням про роботу конструкций 1 досить близьк! до експериментальних даних, що е. п!дтвердженням теоретичних висновкхв та ефективност! розроблених метод1в.

9. Запропонован! алгоритми реал!зовано у розроблених НД1АСБ обчислювальних комплексах ЛИРА, МИРАЖ, НЕУД, ФЕНИКС, як1 впровад-жено б!льш н!ж у п'ятистах П1дприемствах Укра!ни та !нших кра!н.

Основний зм1ст дисертац!! опубликований у таких працях:

1.Свзеров 1.Д. Оценки погрешности несовместных конечных элементов плиты. - Киев, 1979, 9с. - Деп. УкрНИИНТИ, N 1467. 1979.

/

2.евзеров 1.Д. Построение аппроксимирующих функций МКЭ на неравномерной сетка // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К.: Буд1вельник, 1980. - С. 73-76.

3.Евзеров 1.Д. Сходимость МКЭ в случае не принадлежащих энергетическому пространству базисных функций // Вычисления с разреженными матрицами. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1981. -

С. 54-61.

4.6взеров 1.Д. Оценки погрешности по перемещениям при использовании несовместных конечных элементов. - Численные методы механики сплошной среды. - 1983, 14, N 5. - с. 24-31.

5.6взеров 1.Д. Оценки погрешности полудискретных несовместных аппроксимаций при решении нестационарных задач. - Киев, 1983, 9с. - Деп. УкрНИИНТИ, N 2395К-Д83.

б.бвзеров 1.Д. Неконформные конечные элементы в задаче на собственные значения // Численные методы механики сплошной среды.

- 1984, 15, N 5. - С — 8 4-90.

7.6взеров 1.Д., Здоренко B.C. Сходимость прямолинейных конечных элементов при расчете криволинейных стержней // Сопротивление материалов и теория сооружений. - К.: Буд1вельник. - 1984.

- С. 24-28.

8.6взеров I. Д., Здоренко B.C. Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки // Строительная механика и расчет сооружений. - 1984, N 1. С. 35-40.

Э.бвзеров Т.Д., Городецький О.С.,Карп1ловський B.C. Исследование методов решения систем уравнений нелинейной теории упругости. - Киев, 1981, 49 е. - Деп. УкрНИИНТИ, N 219-3. 1981.

Ю.Евзеров 1.Д., Городецький О.С., Здоренко B.C. та iHini. Вы-числительный-комплекс для расчета геометрически нелинейных систем "Феникс-1". - Киев, 1983. - Деп. УкрНИИНТИ, N 83-051. 1983.

И.бвзеров I. Д. , Городецький О.С., Здоренко B.C., В1нниць-кий М.Ю. Исследование работы стержневых конструкций во времени на основе дискретной модели железобетона // Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций. Материалы VI

тематической конференции. - Ленинград: ЛДНТП, 1983. - С. 33-38.•

12.Евзеров 1.Д., ВЛиницький М;Ю.; Здоренко В.С Определение напряженно-деформированного состояния железобетонных конструкций ро времени // Пространственные конструции в Красноярском крае. -Красноярск: -КПИ,- 1983. - С. 151-11'7.

13.Свзеров Х.Д. Неконформные конечные элеконты для нелинейных уравнений с монотонными операторами // численные методы механики сплошной среды. - 1985, 16, N 5. г С. 49-56.

14-еьзеров Д. Аппроксимация по частям в методе конечных элементов // Моделирование.в механике. - 1988, 2(19), N 5. -С. 77-83.

• 15.£взерсв 1.Д. Приближения схема для задачи о нелинейных колебаниях тонких пластин // Моделирование в механике. - 1989, 3(20), N 2. - С. 54-ЬЗ. -

16.6взеров 1.Д. Неконформные конечные элементы для гиперболического уравнения с длительной памятью // Дифференциальные уравнения. - 1990, 26, N7.-0. 1272-1274.

17.6взеров I. Л. Метод конечных элементов при расчете на длительное действие нагрузки // Сопротивление материалов теория сооружений. - К.: Буд1волыщк. С. 98-1СЗ.

18.Еззеров 1.Д. Приближенная схема динамического расчета гибких пластин с учетом физической'нелинейноеги // Системы автоматизированного проектирования объектов строительства (САПР-ОС). - К.: Буд1вельник, 1991. - С. 28-35.