автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Модифицированный комплексный метод граничных элементов для расчета квазистатических электрического и магнитного поля

Г -

< ■ и

1 7 Г ■ ! и ; .■'

0 Д На правах рукописи

КЛИМЕНКО Владимир Владимирович

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ

05.09.05 - Теоретическая электротехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новочеркасск - 1998 г.

Работа выполнена на кафедре "Прикладная математика" Новочеркасского государственного технического университета.

Научные руководители:

- доктор технических наук, профессор Бахвалов Ю.А.

- кандидат технических наук, доцент Ткачев А.Н.

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор Сипливый Б.Н.

- кандидат технических наук, доцент Птах Г.К.

Ведущее предприятие

- ОАО "ВЭлНИИ".

Защита диссертации состоится 14 мая 1998г. в 10 часов в 107 ауд. Главного корпуса на заседании диссертационного совета Д.063.30.01 в Новочеркасском государственном техническом университете по адресу 346400, Новочеркасск, ГСП-1, ул. Просвещения, 132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новочеркасского государственного технического университета.

Автореферат разослан " $ " ¿¿?уе<с> 1998г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.063.30.01 кандидат технических наук, доцент

Золотарев Н.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В реальных электротехнических устройствах электрические и магнитные поля обычно являются трехмерными, однако, часто их анализ с достаточной для практики точностью удается выполнить путем решения задачи в двухмерной постановке, при допущении о плоскопараллельном характере распределения поля.

Расчет электрического и магнитного полей в областях со сложной геометрией с помощью аналитических методов является трудоемким или вообще невозможным. Поэтому в практике электромагнитных расчетов наиболее часто используются численные методы, в развитии которых достигнут значительный прогресс. Однако в настоящее время по-прежнему остается актуальной проблема разработки новых универсальных и более точных методов анализа плоскопараллельных электрических и магнитных полей. Последнее объясняется тем, что расчет таких полей приходится выполнять при анализе широкого круга электротехнических устройств. К задачам такого типа сводятся: расчет магнитного поля большинства электрических машин, магнитогидродинамических систем; анализ электрического поля емкостных электрических машин и преобразователей, протяженных проводников и многие другие задачи магнито- и электростатики.

При решении подобных задач наилучшие результаты дают гибридные методы -метод конечных элементов (МКЭ)-метод граничных элементов (МГЭ), метод конечных разностей (МКР)-МГЭ и МКЭ-метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). В результате их применения при анализе поля в кусочно-однородных областях часто удается реализовать основные преимущества каждого метода. В частности, для расчета поля в линейной ограниченной или неограниченной области предпочтительней использовать МГИУ или МГЭ, а в среде с нелинейными характеристиками - МКР или МКЭ.

Однако, кроме достоинств, связанных с уменьшением размерности, гибридные методы имеют и недостатки. Так, в области определения поля МКЭ и МГЭ для нахождения интегральных характеристик: собственных и взаимных индуктивностей контуров, собственных и взаимных емкостей заряженных тел, сил, моментов требуется выполнять дополнительные вычисления, связанные с численным дифференцированием, что предъявляет более высокие требования к точности нахождения узловых значений искомых функций. Основным приемом повышения точности в этом случае является увеличение узловых точек и, как следствие, увеличение числа неизвестных и размерности задачи.

Диссертационная работа посвящена исследованию и решению наиболее общих задач расчета плоскопараллельных квазистатических, медленно изменяющихся во времени, электрических и магнитных полей электротехнических устройств различного назначения на основе модифицированного комплексного метода граничных элементов (КМГЭ), свободного от указанного выше недостатка.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного численного метода, предназначенного для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в многосвязных ограниченных или неограниченных кусочно-

однородных областях с учетом нелинейной поляризации диэлектриков и насыщения ферромагнитных тел.

Основными задачами диссертационной работы являются:

1. Разработка метода расчета плоскопараллельного магнитного поля в односнязных ограниченных областях с линейными характеристиками па базе КМГЭ, позволяющего наиболее точно описать характер его распределения при любом возможном способе формулировки граничных условий.

2. Модификация КМГЭ для расчета плоскопараллелыюго магнитного поля в многосвязной ограниченной или неограниченной областях с линейными характеристиками в результате использования интегральной формулы Коши для многосвязных областей.

3. Разработка модификации КМГЭ, предусматривающей дискретизацию односвязных частей расчетной области, заполненных ферромагнитными средами с нелинейными свойствами и позволяющей находить пространственно-временное распределение плоскопараллельного квазистатического магнитного поля электротехнических устройств с учетом нелинейности характеристик их магнитных систем.

4. Обоснование применения КМГЭ для расчета плоскопараллельных электростатических полей электротехнических устройств в кусочно-однородных средах, заполненных диэлектриками с постоянными диэлектрическими проницаемостями, при различных способах задания граничных условий на поверхности проводящих тел.

5. Исследование особенностей применения КМГЭ для расчета илоскопараллельных электростатических полей в многосвязных областях с учетом нелинейности характеристик диэлектрических тел.

6. Иллюстрация применения КМГЭ для нахождения распределения плоскопараллельиых электрических и магнитных полей путем расчета полей конкретных электротехнических устройств. Сравнение найденных характеристик исследуемых устройств с экспериментальными данными. Оценка достоверности полученных результатов.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории функций комплексного переменного, линейной алгебры, теории аналитических функций и методы вычислительной математики.

Научную новизну представляет разработанный на базе КМГЭ универсальный метод расчета плоскопараллельных квазистатических электрического и магнитного полей в многосвязных ограниченных или неограниченных кусочно-однородных областях, заполненных диэлектриками или ферромагнетиками с линейными и нелинейными характеристиками.

Обоснованность и достоверность результатов диссертационной работы следует из корректности принятых допущений и постановок задач, строгости формальных преобразований и подтверждается сравнением найденных численных решений задач расчета электрических и магнитных полей электротехнических устройств с экспериментальными данными, полученными другими исследователями.

Практическая значимость диссертационной работы определяется универсальностью и эффективностью предложенного в ней метода расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей, а также примерами его применения для расчета конкретных устройств. Разработанный на основе предложенного модифицированного КМГЭ комплекс программ для расчета магнитного поля асинхронных электрических машин внедрен во Всероссийском научно-исследовательском проектно-конструкторском и технологическом институте электровозостроения (ОЛО "ВЭлНИИ") и используется на стадии проектирования тяговых двигателей электровозов при исследовании распределения поля в их элементах, определении основных параметров и характеристик.

Апробация работы. По основным результатам работы сделаны доклады на международной конференции "Состояние и перспективы развития локомотивостроения" (г. Новочеркасск 1994 г.), на научных сессиях профессорско-преподавательского состава НГТУ 1993-1997 г.г.

Публикации. По результатам работы опубликовано 6 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы и приложения. Ее содержание изложено на 185 страницах и проиллюстрировано 43 рисунками и 1 таблицей.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрены достоинства и недостатки применяемых методов расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей. Обоснована актуальность темы исследования. Дано краткое изложение основных разделов диссертации.

В первом разделе диссертационной работы в наиболее общей постановке сформулирована задача расчета плоскопараллельного магнитного поля в односвязной ограниченной области, заполненной средой с постоянной магнитной проницаемостью. Рассмотрены особенности применения КМГЭ для решения сформулированной задачи.

Проиллюстрирована возможность расчета параметров схемы замещения электрической машины КМГЭ на примере асинхронного тягового двигателя НБ-607. Анализ магнитного поля машины выполнен в области воздушного зазора на двойном полюсном делении с учетом двухсторонней зубчатости в предположении, что магнитные системы ротора и статора не насыщены. В результате расчета найдены: коэффициент удельной магнитной проницаемости зазора на один зубец статора, коэффицие!ггы удельных магнитных проводимостей пазового рассеяния статора и рассеяния между головками зубцов статора; коэффициент рассеяния полюсов и индуктивность контура обмотки статора.

В наиболее общей постановке рассмотрена задача расчета плоскопараллельного магнитного поля в многосвязной ограниченной или неограниченной области О (рис.1) границей Г которой являются кусочно-гладкие контуры Гк, к = к0,5 (в случае ограниченной области к0 = 0 и Г0 - внешняя граница, для неограниченной области

к0=1). Магнитное поле, создаваемое токами, распределенными с известной плотностью 5 = 6(х,у)ё2, в области О, заполненной однородной средой с постоянной магнитной проницаемостью ц=сопз1, удовлетворяет системе уравнений

Максвелла. Предполагается, что на участках границы , 1 = 1,як , каждого контура

__я*

Гк, к = к0,з, таких, что Гк = ^', заданы касательная составляющая

¡=1

напряженности магнитного поля Нт или нормальная составляющая индукции Вп: Н^оо =н?|ь,к, ; 1 = 1.Рк ; к = к0,5 ; (1)

в„|ц., =в°п|Ц1,; 1=рк ; к = к^. (2)

Дополнительно предполагаются известными магнитные потоки через участки границы к = к0,в, 1 = 1,рк —1:

|Вп^ = фО(к); к = к^; ¡ = 1,Рк-1 , (3)

где Ф?(к)- магнитные потоки через соответствующие участки границы т.,<к 1. Для неограниченной области поле предполагается регулярным в бесконечности.

Многосвязная область О задачи расчета плоскопараллельного квазистатического магнитного поля

Рис. 1

Доказана единственность решения сформулированной задачи для случая ограниченной и неограниченной области £2.

Искомое поле Н , являющееся решением рассматриваемых задач, ищется в виде Н = Н5 + Н0, где Н6 - напряженность магнитного поля, создаваемого токами, распределенными в области □ с плотностью 5 при отсутствии ферромагнитных тел; Н0 - дополнительное поле, учитывающее их влияние. Потенциальное и

соленоидальное в области С2 поле Н0 описывается скалярными потенциалами и(х,у) и У(х,у)

Н0=£тас1и; Н0=го1(уе2); (4)

= ^ ; = (5)

дх ду ' ду дх

Из условий (5) Коши-Римана следует, что потенциалы и, V являются гармоническими сопряженными функциями. Поэтому их можно рассматривать как действительную и мнимую части аналитической в области О функции

<й(г)=и(2)+й'(2), г=х+1у. (6)

Доказано, что аналитическая функция (6) в многосвязной области О является однозначной и определяется с точностью до комплексной константы. Для обеспечения единственности в неограниченной области значение функции <й(г) на бесконечности полагается равным нулю. В ограниченной области значения действительной и мнимой части функции сд(г) задаются в произвольных точках границы Г.

Аналитическая однозначная функция с>(2.) в многосвязной, в общем случае не ограниченной, области О удовлетворяет интегральной формуле Коши:

(7)

2т р 1-х

Для определения комплексного потенциала (6) применяется КМГЭ. На границе Г расчетной области П, лежащей в комплексной плоскости г, вводится система узлов

I?Г '}"_)' Где 11 к" число узлов на контуре Г к. Комплексный потенциал ш(г) на границе

Г аппроксимируется кусочно-линейной функцией. В результате получается система уравнений относительно узловых значений комплексного потенциала:

,(0

1 з

7<к) Г) г

(8)

+<> —1п 2га

¿г

■7.{П

' — i г — 1}п ^

где со-к) =со(2*к)); при к -I, слагаемые, соответствующие случаям ¡-г и }=т-1, аннулируются, и по определению г^, = г\1>.

После введения векторов неизвестных и =(и],и2,-.,ип)т, V = (у,,у2....,уп)т, образованных узловыми значениями функций и(х,у), у(х,у), и разделения действительной и мнимой части, система (8) приводится к виду:

ОХ = 0 , (9)

где х = (й, V)1; Б - матрица порядка 2п.

Узловые значения искомых потенциалов и, V удовлетворяют соотношениям, следующим из условий (1)-(3). С учетом представления Н =Н8+Н0 и кусочно-линейной аппроксимации решения, они записываются в виде:

Ах = <1, (Ю)

где: А - матрица размера шх2п ; ш- число граничных условий; й- столбец правых частей, получаемый из равенств (1)-(3).

Узловые значения могут не удовлетворять системе уравнений (9)

точно, так как данная система получена из формулы Коши с погрешностью, связанной с кусочно-линейной аппроксимацией потенциалов и, V на границе Г. Уравнения системы (10) соответствуют заданным граничным условиям (1)-(3) и должны выполняться точно. Для решения объединенной системы (9), (10) разработана следующая численная процедура. Общее решение системы (10) ищется в виде:

Х=РХ+Хо (Н)

где Б = (Г,,^,..., ?2п-т) -матрица размера (2п-т)х(2п), состоящая из базисных решений 1" к , к = 1,2п-т, однородной системы, соответствующей системе (10); Хо -любое частное решение системы (10); X = (Х1,Х2>—Лгп-т)1 ■ неизвестные коэффициенты. Подстановка решения (11) в матричное равенство (9) приводит к переопределенной системе

ВРХ = -Бх0, (12)

число уравнений в которой 2п больше числа неизвестных 2п-ш. Приближенное решение системы (12), обеспечивающее минимальную норму невязки находится методом наименьших квадратов (МНК).

Узловые значения потенциалов ик, ук определяются из равенства (11), а значения комплексного потенциала (6) в любой точке £2 по формуле (7). Составляющая Н 0 поля Н в любой точке области РиГ находится с помощью равенств (4), или через производную со'(г).

В качестве примера применения КМГЭ рассмотрена и решена задача расчета магнитного поля одностороннего линейного индукторного двигателя (ОЛИД) в двухсвязной неограниченной области. В результате расчета поля в продольной и поперечной плоскостях, найдено выражение для подъемной силы ОЛИД, зависящее от геометрических размеров двигателя и ампер-витков 1лу обмотки возбуждения индуктора:

р = .101^2аЬ + 0 4Ш Д + 12Ш Д + 0 52П , ^ 8Д а Ь аД

где а - ширина зубца индуктора в поперечной плоскости; Ь - длина путевого элемента в продольной плоскости; А - зазор между индуктором и путевым элементом; с -боковое смещение индуктора относительно путевого элемента в поперечной плоскости.

Результаты расчета силы по найденной формуле совпали с экспериментальными данными, полученными другими авторами, с погрешностью, не превышающей 5%.

Во втором разделе диссертационной работы выполнена модификация КМГЭ с целью обеспечения его применения для решения основных задач электростатики,

которые возникают при исследовании режимов работы электростатических систем и сводятся к анализу плоскопараллельного электрического поля.

Рассматривается задача расчета электростатического поля в многосвязной ограниченной или неограниченной области О, кусочно-гладкие участки границы которой Ьк, к=1,р являются границами проводящих тел (рис.2). В случае, когда область О ограничена, считается, что ее внешней границей служит контур Ь,. Предполагается, что область □ заполнена диэлектриком с проницаемостью с1( в котором имеются однородные диэлектрические вставки с проницаемостью

и границами раздела Ъ,, 1=р+1,з. В области О распределены свободные заряды с заданной плотностью р. Сформулированы три задачи электростатики, отличающиеся заданием условий на границах проводников. Рассмотрен наиболее общий случай, когда на одних проводящих телах задан потенциал ик, к=1,г, на остальных - суммарный заряд ц ^ ]=г+1,р. Особенности, возникающие при решении

других задач в случае задания на границах проводящих тел только потенциалов или суммарных зарядов, исследованы как частный случай.

Многосвязная область О при решении задачи электростатики

У

Рис. 2

В области О \ и Ь, плоскопараллельное квазистатическое электрическое поле ¡=р+1

Е удовлетворяет системе уравнений Максвелла при условии, что е=е(М) - кусочно-постоянная функция точки ЫеО принимающая постоянное значение ei в области (рис.2).

На границах проводящих тел выполняется:

Ет|ь=0; е^Епё1=Чк; (13)

где Ет, Еп - касательная и нормальная составляющие вектора напряженности соответственно. На границах раздела диэлектриков предполагаются непрерывными

касательная составляющая вектора напряженности электрического поля и нормальная составляющая вектора электрического смещения. Считается, что Е (М)—>0 при М—юо. Поле Е , которому соответствует комплексный потенциал \у(г)=и(2)+гу(г):

Е =^гас) и ; Е =-п>1 V ёг; (14)

ищется в виде Е=Ер+Е+Е0, причем каждая составляющая описывается

потенциалами \ур, \у() связанными с соответствующими слагаемыми в

разложении поля равенствами, аналогичными (14), и при этом:

\у = + \у + \у0 (15)

Потенциал Wp задается равенством

В качестве потенциала лу используется комплексная аналитическая вне контуров Ь к проводников функция, для которой соответствующая составляющая Е поля Е удовлетворяет второму условию (13):

^(2) = —1п(г-гь). (16)

2пе, к=1

В результате, подлежащими определению являются функция \\'0(г) и величины зарядов цк, к=1,р. Показано, что составляющая \\'0 потенциала w является

однозначной аналитической функцией и в любой внутренней точке области £2 \ ^Ь |

¡=р+1

представима в виде интеграла типа Коши

= (17)

2711 £

г

где Г(0 = <р(С) + пКС)- неизвестная функция, определенная на ;. Предельные

¡=1

значения интеграла типа Коши (17) на контуре Ь; задаются формулами Сохоцкого, причем вточке Со еЬ интеграл (17) испытывает скачок, равный значению Допредельное значение функции \у0 на контурах Ьк со стороны проводников принимается равным нулю, и в этом случае ) = Б + (С0), Со еЬк, к=1,р. На

границах раздела диэлектриков Ь;, ¡--р+1,з, полагается:

Ф(С0) = 0; Со^,; 1=р+1,5. (18)

Уравнения для мнимой части у(С) функции ('(О получаются из условия непрерывности нормальной составляющей вектора электрического смещения для точек Со , ¡-р+1,з:

--ц/(С0) + 1т {и + (С0 )}= -у(С0) - ур(Со) - (19)

е -с

Для определения искомых функций <р(0, Ч"(С) и величин зарядов qk, к=1,г,

применяется КМГЭ. На каждом контуре Ьк, к=1,э, вводится система узлов

гдепк - число узлов на контуре Ьк. Функция Г(^) на границе Ь аппроксимируется кусочно-линейно. В результате получается система р уравнений относительно узловых значений ^ = ), £ = 1,р , ш = 1,П/:

/

1

{<■'> = т 2т

Х!:---^ГТ^--1пг(Ю_ио+ (20)

г-.., /-(К) -Г

'(О _ ^

■эт+1 Чт

/"СО _Г«)

£ = 1,р, т = 1,пг.

'П J

где при к=£, слагаемые, соответствующие случаям _]=т, аннулируются и по

определению

Из равенства (19) после вычисления предельных значений Р+ (ц0) при -> С^ получена система в-р уравнений относительно узловых значений , ^ = т = 1,п^:

1 Г, п„ г/-О _Г(к,^(к) _Г(|°^(к) г<к>_л<<> _ /*"'

2ТИ [к-1 И -Ц, Ц, -Цт Ч.т-1 Ьч

+ - т Щ « ( ' РШ К 1 К рш л X—

б - е 2ЯЕ, к»1 2ле, к,Г<

? = р+1,5, т = 1,п, ,

где у^0 и -значения мнимых частей соответственно функций fи \ур в узле С,','1.

После введения векторов неизвестных ср = (ф!,ф2,—,ФП_П1| )Т,

у =(ц/1,н'2.—.Ч'п)1- образованных неизвестными узловыми значениями функций ф(^) и \|/(0, и разделения действительной и мнимой части в уравнениях (20) получается система:

В* х' = 0, (22)

где п- общее число узлов на всех контурах Ь,, 1=1,я; па- число узлов на границах

раздела сред; /'= ^ ; И* - вещественная матрица размера 2(п-па)х 2(п-п(1)

" и;

составленная из коэффициентов при неизвестных в уравнениях (20). Уравнения (21)

р

объединяются с равенством ^ Ч к = 0, следующим из закона сохранения

к-1

электрического заряда, и уравнениями, соответствующими первому граничному условию (13), в систему:

А*Х = <1 > (23)

где Х = (ф.Ч'Д)Т. Ч =(ЧиЧ2>—>Чг)Т_ вектор неизвестных зарядов проводников; А-матрица размера (п+па+1)х(2п-п(1+г), состоящая из коэффициентов при неизвестных объединенной системы; с! - вектор правых частей этих уравнений.

Общее число уравнений в системе (22), (23) превышает число неизвестных. Искомые величины (р, мгауг не удовлетворять системе (22) точно, так как она получена в результате вычисления интеграла типа Коши с погрешностью, обусловленной кусочно-линейной аппроксимацией подинтегральной функции £ ) на границе Ь. Уравнения системы (23) соответствуют заданным условиям на поверхности проводников, границе раздела сред и закону сохранения заряда, поэтому должны выполняться точно. Для решения объединенной системы (22), (23) в случае, когда часть уравнений выполняется точно, а остальные с наименьшей нормой невязки, применяется метод наименьших квадратов.

После нахождения узловых значений функций ф, у на границах раздела

диэлектриков предельные значения и,$, Уц и и0, у0 определяются с помощью

5

формул Сохоцкого. Во внутренних точках области О \ У Г., потенциалы и0, у0

¡=р+1

находятся из формулы (17) после разделения действительной и мнимой части. Поле Е определяется с помощью одного из равенств (14) с учетом представления (15).

Для оценки погрешности КМГЭ был выполнен расчет поля в Г-образной области, содержащей угловые точки и заполненной диэлектриками с проницаемостями с,, е2 * с2). Результаты расчета сравнивались с точным решением, найденным методами теории функций комплексного переменного. Установлено, что применение формулы Коши после подстановки в нее приближенных значений потенциала, найденных КМГЭ, обеспечивает уменьшение погрешности за счет сглаживания и при достаточно крупном разбиении границы погрешность расчета КМГЭ близка к погрешности аппроксимации. Интегральные характеристики поля (заряд, сила) выражающиеся через нормальную составляющую напряженности Еп на границе тел, определяются КМГЭ с приемлемой точностью даже при наличии особенности поля в окрестности угловой точки.

В качестве примера применения модифицированного КМГЭ был выполнен расчет емкостного датчика, используемого для измерения толщины непроводящих материалов, либо контроля их качества. Датчик состоит из двух протяженных электродов и расположенной между ними контролируемой диэлектрической ленты. По результатам расчета поля найдено приближенное аналитическое выражение, описывающее зависимость емкости рассматриваемого датчика на единицу длины ленты от ее измеряемой толщины 5, и диэлектрической проницаемости в2:

3 ¡+1 Ф + 3.67х!

С = е0б,£(-1)

1=1 Х1

где

X, =-

Х2 = ь ;

А-5(1-е1/е2)

а Ь Ь

а - ширина электродов, Ь- ширина ленты, Д- расстояние между электродами, е, диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей межэлектродное пространство.

Область края обмотки высоковольтного трансформатора /4

1- обмотка высокого напряжения; 2- проводящее емкостное кольцо; 3- обмотка низкого напряжения; 4- стенка бака; 5- картонная изоляция; 6- масло

Рис.3

Разработанный модифицированный КМГЭ был использован для нахождения распределения электрического поля в окрестности края обмотки высоковольтного трансформатора (рис.3) с целью определения критических зон изоляции. По результатам расчета определены линии равного потенциала в зоне емкостного кольца. От линии твердой изоляции построена наиболее нагруженная силовая линия и определены средние по длине напряженности. Расхождение результатов расчета с экспериментальными данными, полученными другими авторами, не превышает 7%.

В третьем разделе рассматриваются особенности применения модифицированного комплексного метода граничных элементов для расчета плоскопараллельного квазистатического магнитного и электрического поля в кусочно-однородных нелинейных средах.

Сформулирована задача расчета плоскопараллельного квазистатического магнитного поля в многосвязной ограниченной или неограниченной области Q, заполненной средой с магнитной проницаемостью ц0, кусочно-гладкие участки

границы которой Гк, к = k0,s, являются границами шихтованных ферромагнитных тел Qk (рис.1). Магнитные свойства в каждой из областей £\ задаются кривыми

__S

намагничивания B = fk(H), k = l,s. В случае, когда область Q= (Jnk - ограничена,

k-k0

считается, что контур Г0 является ее внешней границей. Плоскопараллельное квазистатическое магнитное поле, создаваемое токами, распределенными в области ii0 с плотностью 5 = 5(M,t)5z, описывается неоднородной линейной системой уравнений Максвелла в области П0 и однородной нелинейной системой в Qk. На контурах Гк считаются непрерывными нормальная составляющая индукции и касательная составляющая напряженности магнитного поля. На отдельных участках

__S

Lj, i = l,q, границы области Г= (Jrk могут выполняться следующие условия:

B"L,=B°»L; <24)

Ht|Li=H?|L ; i = pHq, (25)

где В®, Н° - известные функции. Дополнительно предполагаются известными магнитные потоки через участки границы L ¡, i = р + 2,q:

{ВПМ = Ф°; i = р + 2, q , (26)

l,

где Ф ?- магнитные потоки через соответствующие участки границы L;.

В случае, когда область Q не ограничена, считается, что поле регулярно в бесконечно удаленной точке.

Для решения сформулированной задачи используется КМГЭ. При известном распределении поля B(M,t,), H(M,t,) в момент времени t, ставится задача его определения в момент времени t2 = t, + At, где величина At - мала.

Приращения векторов AB=B(M,t2)-B(M,t1) и АН =II(M,t2)-il(M,t1) в области Q0 ищутся в виде:

А В = АВ0 + АВ6 ; АН = ДН 0 + АН 8 ; где ABg, АН g - приращение индукции и напряженности магнитного поля, создаваемого токами, распределенными в области П с заданной плотностью 5 при отсутствии ферромагнитных тел; ДВ0, ДН0 - приращения, учитывающие влияние магнитных систем. Векторы потенциального и соленоидального поля АВ0, ДН0 и ДВ, ДН задаются с помощью потенциалов u<k)(x,y), v<k)(x,y), k = 0,l, равенствами:

ДН0=ёгааи(0) ; ЛВ() = го! [у(0)^] в П0 ; (27)

ДН=^ас1и(1); ДВ =гоф(|)ё2] в Ок , к = й. (28)

Области Пк, к =1,5, разбиваются на г односвязных частей произвольной конфигурации так, чтобы магнитная индукция В и напряженность Н в точках выделенных областей ¡ = 1,г, изменялись в пределах допустимой погрешности. Для каждой области ^ величина дифференциальной магнитной проницаемости ц принимается постоянной и определяется средним значением индукции <Вр в этой области, |х = ц(<В; >).

Показано, чпго потенциалы ци(к) ,у(к), к = 0,1, в областях П0 и 8; являются действительными и мнимыми частями комплексных потенциалов: м(к,(г) = р(г)и(к,(7.) + ;у0с,(2), к = 0,1, г=х+1у, для которых справедлива интегральная формула Коши. Из этой формулы получена система уравнений относительно узловых значений потенциалов (27), (28), которые данной системе могут удовлетворять приближенно из-за погрешности кусочно-линейной аппроксимации. Одновременно должны выполняться точно уравнения системы, получаемой из граничных условий (24)-(26). Решение объединенной системы уравнений находится методом наименьших квадратов.

Потенциалы во внутренних точках областей ¡ = 1,г,ив П0 определяются по их граничным значениям из интегральной формулы Коши. Приращения АВ0, ДН0 и ДВ, ДН и сами векторы В(МД2), Н(МД2) находятся из формул (27), (28). Для нахождения распределения поля в следующий момент времени I = 12 + А1 выполняется линеаризация материальных уравнений В = ^ (Н ), к = 1, б , по решению, найденному на предыдущем шаге. Показано, что средние значения индукции <В,> в каждой области разбиения 1 = 1,г, можно определить как средние значения модуля индукции В на ее границе.

В качестве показателей, характеризующих неоднородность распределения

индукции внутри элемента Б;, используются переменные Ди = тшВ-<В;> ,

г,

С их помощью, при заданной погрешности линеаризации

Ди =

шах В- <В;>

у,

материального уравнения в окрестности точки <В;>, выполняется оценка допустимого изменения индукции в пределах области 8|. Если в области отклонения Ли, Д21 превышают допустимые, то производится ее дополнительное разбиение и расчет повторяется.

Возможность применения КМГЭ для расчета магнитного поля электротехнических устройств с целью нахождения их параметров подтверждена примерами решения конкретных задач. Рассмотрена и решена задача расчета магнитного поля и подъемной силы ОЛИД-42с в условиях насыщения магнитных систем. По результатам расчета поля в поперечной и продольной плоскости

определены средние индукции в элементах О ЛИД: в ярме индуктора В^Ьу); путевом элементе в2(1\у) и стержне индуктора в3(1\у), в зависимости от ампер-витков обмотки возбуждения Гл\ Найдено приближенное выражение для подъемной силы ОЛИД Р=Ь"(К\'). Получены следующие соотношения:

в, (IV) = ц0 ^<1 + а ко> )+А к(ч ))

2Д а Ь

1 = 1,3

ь

8Д'

где к{2)(ЬО, к'1',

учитывающие неравномерность распределения поля в поперечной и продольной плоскостях. Достоверность результатов расчета магнитной индукции и силы КМГЭ подтверждена совпадением с экспериментальными данными, полученными сотрудниками НГТУ и ВЭлНИИ с погрешностью, не превышающей 10%.

Возможность расчета магнитных характеристик электрической машины со сложной геометрией насыщенных магнитных систем ротора и статора КМГЭ проиллюстрирована примером расчета поля асинхронного тягового двигателя НБ-607 в режиме холостого хода. По результатам расчета найдено значение магнитного потока двигателя и его распределение по зубцам магнитных систем. Распределение поля в зазоре и магнитных системах двигателя в условиях их насыщения иллюстрирует рис.4.

Полюсное деление двигателя НБ-607

а

Д2)

к - - найденные функции и коэффициенты,

Рис.4

Обоснована возможность применения КМГЭ для решения рассмотренных во втором разделе задач электростатики с учетом нелинейности материальных уравнений диэлектрических тел при различных способах задания граничных условий на поверхности проводников.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Модифицированный комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) обеспечивает возможность выполнения расчета плоскопараллельного магнитного поля в однородных ограниченных и неограниченных областях с линейными характеристиками при различных вариантах задания условий на их границе.

2. Разработанный и обоснованный вариант численной реализации КМГЭ, предполагающий использование метода наименьших квадратов, обеспечивает одновременное выполнение граничных условий в пределах погрешности их кусочно-линейной аппроксимации и уравнений поля, следующих из интегральной формулы Коши, с наименьшей невязкой.

3. Модифицированный КМГЭ обеспечивает возможность решения трех основных задач электростатики при различных способах задания условий на границах проводящих тел в кусочно-однородных многосвязных ограниченных и неограниченных областях, заполненных диэлектриками с линейными характеристиками.

4. Разработанная процедура расчета плоскопараллелыюго магнитного поля в кусочно-однородных средах с нелинейными характеристиками ферромагнитных тел, основанная на КМГЭ, позволяет найти распределение поля в областях сложной формы на основе дискретных математических моделей минимальной размерности, так как поле в части пространства, не заполненной сталью, согласно этой процедуре, полностью определяется значениями потенциала и функции потока на ее границе.

5. Обоснована возможность применения разработанного модифицированного КМГЭ для расчета плоскопараллельного электростатического поля в кусочно-однородных средах, для случая, когда характеристики диэлектриков описываются нелинейными материальными уравнениями, при различных способах задания условий на границах проводящих тел.

6. КМГЭ обеспечивает более точную аппроксимацию поля в каждом многоугольнике разбиения расчетной области, характеристики которой описываются нелинейными материальными уравнениями, за счет задания потенциала и функции потока во внутренних точках многоугольников с помощью интегральной формулы Коши, в отличие от МКЭ, при применении которого поле в элементах разбиения предполагается постоянным.

7. КМГЭ является одним из наиболее эффективных методов нахождения интегральных параметров поля (магнитных напряжений, потоков, сил и т.д.) и характеристик электротехнических устройств, так как в результате его применения появляется возможность одновременного нахождения скалярного магнитного

потенциала, функции потока и их производных (поля) во всех точках расчетной области.

8. На примере асинхронного тягового двигателя показано, что КМГЭ позволяет с высокой точностью определять параметры магнитной схемы замещения электрических машин при произвольной конфигурации зубцовых зон.

9. Возможности практического применения КМГЭ для решения задач электростатики проиллюстрированы примерами выполненных расчетов электрического поля и параметров емкостного датчика и поля в окрестности края обмотки высоковольтного силового трансформатора с целью оценки электрической прочности изоляции.

10. Особенности применения КМГЭ для расчета плоскопараллелыюго магнитного поля электротехнических устройств, содержащих магнитные системы с нелинейными характеристиками, проиллюстрированы примерами расчета поля асинхронного тягового двигателя НБ-607 и одностороннего линейного индукторного двигателя, используемого в высокоскоростных транспортных системах с магнитным подвесом.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Ткачев А.Н., Клименко В.В. Расчет магнитного поля тягового двигателя электровоза комплексным методом граничных элементов. /Тез. докл. междунар. конф. "Состояние и перспективы развития локомотивостроения." (Новочеркасск, 7-9 июня, 1994 г.). Новочеркасск, 1994. - С. 134.

2. Ткачев А.Н., Кацупеев Н.И., Клименко В.В. Комбинированный метод анализа магнитного поля тягового двигателя электровоза./Там же. - С. 135.

3. Клименко В.В., Ткачев А.Н. Применение комплексного метода граничных элементов для расчета плоскопараллельного магнитного поля в многосвязных областях // Изв. вузов. Электромеханика. 1995. № 5-6. С. 9-18.

4. Клименко В.В., Ткачев А.Н., Янов В.П. Расчет индуктивности асинхронного тягового двигателя комплексным методом граничных элементов. /Межвуз. сб. науч. тр. "Электромеханические системы и преобразователи", 4.1. - Ростов-н./Д, 1996. С.

5. Клименко В.В., Ткачев А.Н. Решение задач электростатики в многосвязных кусочно-однородных областях комплексным методом граничных элементов. //Изв. вузов. Электромеханика. 1997. №3. С.3-10.

6. Клименко В.В., Ткачев А.Н., Янов В.П. Расчет параметров магнитной схемы замещения асинхронного тягового двигателя. /Сб. науч. тр. "Электровозостроение." Т.38. Новочеркасск: 1997, С.98-105.

59-67.

.04.98 г. Объем 1.0 п.л. Тир. 100 экз. Заказ № 504.

Подписано к печати

Типография НГТУ. 346421 г. Новочеркасск ул. Просвещения, 132.