автореферат диссертации по электронике, 05.27.06, диссертация на тему:Моделирование технологически значимых процессов, определяющих термомиграцию жидких включений в полупроводниковых кристаллах

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Характеристики ЗГТГТ и ее главные составляющие.

1.2. Физические факторы, определяющие технологические режимы ЗПГТ.

1.3. Особенности ЗПГТ при использовании дискретных зон расплава.

1.4. Компьютерные модели роста кристаллов.

1.4.1. Классическая и обобщенная постановки задачи Стефана.

1.4.2. Моделирование процессов роста кристаллов.

1.4.3. Модели общеростового характера.

1.4.4. Модели процесса ЗПГТ.

1.5. Постановка задачи исследования.

1.6. Выводы.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПЕРЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ ДИСКРЕТНОЙ ЖИДКОЙ ЗОНОЙ, МИГРИРУЮЩЕЙ В ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ГРАДИЕНТА.

2.1. Основные предпосылки построения физико-математической модели процесса ЗПГТ.

2.2. Физико-математическая модель процесса ЗПГТ.

2.3. Переход к новым переменным.

2.4. Учет механизмов роста.

2.5. Учет кривизны локальных участков границы фаз.

2.6. Учет анизотропии кристалла.

2.7. Влияние поверхностной диффузии.

2.8. Возможности разработанной физико-математической модели ЗПГТ.

2.9. Выводы.

ГЛАВА 3. ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ ЗПГТ.

3.1. Обоснование метода решения.

3.2. Общая схема моделирования процесса ЗПГТ.

3.3. Разностная аппроксимация производных.

3.4. Построение узлов конечно-разностной сетки.

3.5. Построение конечно - разностной схемы задачи теплопроводности.

3.5.1. Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности.

3.5.2. Разностная аппроксимация граничных условий внешней границы кристалла.

3.5.3. Построение разностного шаблона тепловой задачи на границе кристалл-включение.

3.6. Построение конечно - разностной схемы для концентрационной задачи.

3.7. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

3.8. Применение конечно-разностной схемы для расчета теплового поля.

3.9. Применение конечно-разностной схемы для расчета концентрационного поля.

3.10. Программная реализация физико-математической модели ЗПГТ.

3.11. Выводы.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗПГТ С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА. т

4.1. Тестирование и оценка погрешности решения задачи.

4.2. Исследование зависимости скорости движения линейной зоны от ее диаметра.

4.3. Исследование характера деформации сечения линейной зоны от соотношения коэффициентов теплопроводности.

4.4. Эволюция формы жидкого включения при доминирующей роли процессов растворения или кристаллизации.

4.5. Исследование влияния анизотропии процессов растворения и кристаллизации на форму включения.

4.6. Влияние поверхностной диффузии на скорость движения линейной зоны.

4.7. Изучение влияния кривизны межфазной границы на процесс установления равновесной формы жидкого включения.

4.8. Исследование взаимного влияния линейных зон при их термомиграции в кристалле.

4.9. Выводы.

ГЛАВА 5. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ.

5.1. Применение разработанной модели для оптимизации процесса ЗПГТ при формировании полупроводниковых структур.

5.2. Возможности модели ЗПГТ для физико-химических исследований.

5.3. Оптимизация технологического оборудования.

5.4. Применение физико-математической модели в учебном процессе.

5.5. Пути дальнейшего развития модели ЗПГТ.

5.6. Выводы.

В технологии изготовления полупроводниковых приборов и материалов электронной техники широкий круг задач решается методом зонной перекристаллизации градиентом температуры (ЗПГТ) - одним из вариантов жидкофаз-ной эпитаксии. ЗПГТ заключается в последовательной перекристаллизации частей твердого тела жидкой зоной расплава, движущейся под действием градиента температуры [1-3].

Важными особенностями метода ЗПГТ по сравнению с другими методами жидкофазной эпитаксии являются: глубокая очистка и легирование перекристаллизованных областей; малая величина концентрационного переохлаждения в зоне; квазистационарные условия роста; практическая изо-термичность; возможность получения в одном технологическом процессе многослойных электрически гетерогенных структур. Все это обуславливает методу ЗПГТ конкурентоспособность в современной электронной промышленности [1-4].

Другое важное применение ЗПГТ связано с изучением физико-химических процессов, протекающих при кристаллизации простых полупроводников и соединений из многих компонентов [1, 3, 5]. Межфазные границы жидкого включения, используемого при ЗПГТ, весьма чувствительны к условиям роста: скорость миграции и форма включения изменяются под воздействием температуры, градиента температуры, состава расплава, анизотропии кристалла и других факторов. Характер этих изменений позволяет исследовать процессы роста кристаллов, установить их особенности, определить способы регулирования и контроля качества формируемых эпитакси-альных слоев. С помощью ЗПГТ можно также изучать атомно-кинетические процессы, явления диффузии, тепловые свойства растворов - расплавов, определять коэффициенты распределения в двойных и более сложных

Этот метод в литературе получил также и другие названия: метод движущегося растворителя, метод зонной плавки с градиентом температуры, кристаллизация из тонкой зоны расплава, термомиграция жидкого включения. системах, формировать гетероструктуры и материалы с изменяющейся шириной запрещенной зоны [3].

Несмотря на широкую известность и достаточную изученность ЗПГТ, разработка новых полупроводниковых приборов и материалов для электронной техники, поиски более производительных способов применения и повышения эффективности технологических процессов требуют все новых и более тонких экспериментальных исследований, причем в короткое время и с меньшими затратами. Поэтому исследование зонной перекристаллизации градиентом температуры и сегодня является актуальной задачей.

В связи со сложностью обеспечения ЗПГТ необходимой материальной базой и аппаратно-методическим оформлением для качественного проведения экспериментов и их длительностью зачастую довольно трудно добиться воспроизводимых результатов а, следовательно, увеличивается значимость более подходящих и менее дорогостоящих научных методов, связанных с заменой реального физического процесса его теоретической моделью. Опыт ведущих в микроэлектронике фирм [6] показывает, что реальные (натурные) эксперименты в настоящее время конкурируют с численными, для осуществления которых необходимы адекватные математические модели.

Применение теоретической модели подразумевает использование математических уравнений, однозначно описывающих состояние системы в любой промежуток времени с учетом принятых упрощений, и их последующую замену на основе численных методов алгоритмом, преобразуемым в итоге в программу, с помощью которой и производятся все основные вычисления на ЭВМ. Средства вычислительной техники значительно облегчают процесс обработки результатов, а также способствуют сокращению времени проведения экспериментов и делают возможным изучение таких физических явлений или эффектов, практическое исследование которых затруднено или невозможно в реальном эксперименте по объективным причинам.

Важность численного моделирования связана еще и с тем, что рассматриваемые процессы, как правило, описываются многими параметрами.

Реальный эксперимент не всегда позволяет установить влияние только одного параметра или их комбинации. Численный эксперимент является как раз таким инструментом, который позволяет изучать влияние отдельных параметров, познавая сложные явления и процессы и устанавливая влияние каждого или совокупности факторов на рассматриваемый процесс.

Следовательно, разработка математической модели ЗПГТ позволит расширить возможности применения этого метода перекристаллизации как в производстве полупроводниковых приборов, так и в физических исследованиях межфазных процессов. Поэтому тема диссертационной работы является актуальной с научной и практической точки зрения.

Целью работы является построение и проверка эффективности математической модели ЗПГТ, учитывающей влияние большинства физических процессов, определяющих закономерности и технологически важные особенности миграции жидких включений в твердых кристаллических телах в поле температурного градиента. В качестве твердого тела выбран монокристаллический кремний - базовый материал современной полупроводниковой технологии.

Для реализации поставленной цели решались следующие задачи:

- разработка математической модели ЗПГТ, позволяющей адекватно описывать кинетику термомиграции жидких включений в полупроводниковом кристалле и характер эволюции межфазных границ, определяющих форму включения;

- выбор метода и разработка алгоритма численного решения уравнений физико-математической модели и адаптация алгоритма для анализа технологических особенностей процесса ЗПГТ дискретными зонами расплава;

- создание пакета прикладных программ для проведения численных исследований технологически важных физических процессов, сопровождающих рост кристаллических слоев при ЗПГТ в широком диапазоне задаваемых параметров;

- проверка адекватности предложенной модели реальному процессу ЗПГТ сравнением характеристик, найденных в численном и реальном экспериментах;

- анализ возможностей физико-математической модели для изучения физических явлений и технологически важных особенностей миграции жидких включений в полупроводниковых кристаллах при ЗПГТ;

- определение областей практического использования предложенной модели ЗПГТ.

Научная новизна

1. Впервые построена физико-математическая модель миграции жидкого дискретного включения в поле температурного градиента, описывающая процессы теплообмена и массопереноса в сплошной среде (микрозоне и ее окрестностях), а также влияние большинства физических явлений, определяющих закономерности и технологически важные особенности миграции жидких включений в твердых кристаллических телах в поле температурного градиента.

2. Предложен метод и разработан алгоритм численного решения дифференциальных уравнений, входящих в физико-математическую модель процесса ЗПГТ, учитывающий специфику движущихся межфазных границ, связанную с атомно-кинетическими процессами в жидкой зоне и на ее границах.

3. Разработан универсальный пакет прикладных программ, реализующий физико-математическую модель процесса ЗПГТ, позволяющий проводить компьютерные эксперименты и анализировать процессы миграции жидких включений в поле температурного градиента, являющиеся основой технологии формирования полупроводниковых структур.

4. Показана адекватность разработанной физико-математической модели реальному процессу ЗПГТ путем сравнения результатов численных и натурных экспериментов.

5. Показаны возможности использования разработанной физико-математической модели ЗПГТ для проведения численных экспериментов в изучении процессов перекристаллизации, протекающих в различных технологических условиях формирования полупроводниковых структур.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Процесс зонной перекристаллизации градиентом температуры линейными зонами расплава адекватно описывается предложенной нелинейной физико-математической моделью, определяющей основные закономерности и технологически важные особенности ЗПГТ на основе теплообмена и массопереноса в сплошной среде.

2. Численное решение дифференциальных уравнений, составляющих основу физико-математической модели, целесообразно проводить методом конечных разностей на неравномерной сетке размером не менее 25x25 узлов, позволяющим определять положение межфазной границы в кристалле в заданный момент времени и изучать ее эволюцию в процессе миграции жидкого включения.

3. Предложенные конечно-разностные операторы обеспечивают детальный анализ физических процессов, происходящих в системе кристалл - включение и на движущихся межфазных границах в различных технологических условиях.

4. Разработанный пакет прикладных программ является инструментом для прогнозирования результатов технологических процессов при формировании полупроводниковых структур методом ЗПГТ.

5. Численные эксперименты по изучению кинетики и эволюции формы линейного включения подтверждены реальными экспериментами и аналитическими соотношениями, описывающими процесс миграции жидких дискретных включений в поле температурного градиента.

Методы исследований. Для решения поставленной задачи использовались методы математической физики, теории аналитических функций, методы вычислительной математики и линейной алгебры, а также традиционные методы проведения процесса ЗПГТ с использованием дискретных жидких зон, методы экспериментальных и теоретических исследований процесса ЗПГТ.

Обоснованность и достоверность результатов диссертационной работы следует из корректности принятых допущений при постановке задачи, строгости формальных преобразований, соответствия современному уровню решения подобных задач и согласованности результатов численных расчетов скорости термомиграции жидких включений, а также эволюции формы зоны с экспериментальными данными, полученными другими исследователями.

Практическая значимость диссертационной работы определяется универсальностью и эффективностью разработанного пакета прикладных программ, являющегося инструментом численных экспериментов, позволяющего в сжатые сроки находить технологические режимы получения полупроводниковых структур без затрат дорогостоящих материалов и оборудования.

Разработанный пакет прикладных программ введен в учебный процесс специальностей 200200 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы» и 200100 «Микроэлектроника и твердотельная электроника», используется студентами для выполнения курсовых и дипломных работ, аспирантами при выполнении научных исследований.

Проведенные исследования выполнены в Южно-Российском государственном техническом университете (Новочеркасском политехническом институте) по основному научному направлению кафедры физики «Кристаллы и структуры для твердотельной электроники». Они являются частью фундаментальных исследований «Теоретическое и экспериментальное моделирование процессов массопереноса полупроводниковых и металлических веществ из однородных и мультикристаллических источников в условиях микроразмерных кристаллизационных ячеек», а также единой кафедральной темы 1.99 «Физические основы микрометаллургических процессов формирования перспективных гетероструктур для твердотельной электроники».

Личный вклад автора в получении научных результатов, изложенных в диссертационной работе. Задача диссертационных исследований была поставлена совместно с научным руководителем, принимавшим участие в обсуждении полученных результатов. Реализация поставленной задачи, разработка пакета прикладных программ, проведение численных экспериментов выполнены автором самостоятельно.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы доложены и обсуждены на:

- совещании по росту кристаллов, пленок и дефектам структуры кремния «Кремний - 2002» (г. Новосибирск, 2002);

- XV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Тамбов, 2002);

- Международной научно-практической конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (г. Новочеркасск, 2002);

- Международной научно-практической конференции «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (г. Новочеркасск, 2000);

- III Международной научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах» (г. Новочеркасск, 2003);

- ежегодных научных совещаниях, конференциях, сессиях профессорско-преподавательского состава ЮРГТУ (НПИ) (1999 - 2003г.г.).

Публикации и вклад автора

По результатам работы опубликовано 16 печатных работ, в которых полностью изложены наиболее важные положения диссертации [5, 40, 131,

132, 134 - 136, 152, 153, 166 - 168, 170, 171, 173, 178]. Основные результаты работы, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов, списка литературы из 178 наименований, приложения. Ее содержание изложено на 202 страницах, проиллюстрировано 51 рисунком и 15 таблицами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Проведенные компьютерные исследования показали состоятельность разработанной физико-математической модели процесса ЗПГТ, поскольку, во-первых, скорости, рассчитанные с помощью аналитического соотношения (4.1) и подтвержденные натурными экспериментами, совпали с полученными при моделировании; во-вторых, подтвердилось, что форма включения при нормальном механизме кристаллизации не зависит от соотношения коэффициентов теплопроводностей кристалла и расплава.

Модель достаточно точно описывает изменение формы и геометрических размеров включений, позволяя в пределах нескольких часов полностью исследовать технологические особенности процесса миграции линейной зоны и выявить траекторию ее движения и стабильную форму.

Разработанная физико-математическая модель позволяет без использования дорогостоящего вакуумного термического оборудования и материалов, без дополнительных временных затрат прогнозировать результаты технологически важных составляющих процесса ЗПГТ.

При изучении влияния атомно-кинетических коэффициентов, определяющих скорость межфазных процессов, подтверждено, что если атомно-кинетический коэффициент растворения больше чем кристаллизации, то зона вытягивается в направлении миграции и, наоборот, зона сжимается при обратном соотношении между этими коэффициентами. Форма включения стабилизируется при прохождении зоной расстояния в пределах 2-3 ее толщин, что согласуется с результатами реальных экспериментов [42,43].

Учет влияния анизотропии атомно-кинетических коэффициентов привел к тому, что в процессе миграции жидкая зона огранялась соответственно диаграммам Вульфа, при этом влияние кристаллографических ориен-таций существенно проявляется в кинетическом и незначительно в диффузионном режиме, что также соответствует данным практических экспериментов [37, 39].

На основании вышеизложенного, по диссертационной работе можно сделать следующие выводы

1. К настоящему времени имеются модели термомиграции плоских жидких зон, ориентированные на изучение узкого круга задач, сводящихся, в основном, к анализу устойчивости межфазной границы к внешним воздействиям, или описанию процессов только растворения или кристаллизации. Модель ЗПГТ, учитывающая основные технологически важные особенности и закономерности миграции жидких дискретных включений в полупроводниковых кристаллах, отсутствует.

2. Впервые создана строгая физико-математическая модель процесса ЗПГТ, который описывается нелинейными уравнениями теплопроводности и диффузии с учетом баланса потоков излучения и поглощения тепла в композиции кристалл-включение и функциональной зависимости скорости межфазных процессов от степени переохлаждения, обуславливающей миграцию жидкого включения. Модель легко адаптируется к различным механизмам роста (нормальный, дислокационный, зародышевый), режимам ЗПГТ (кинетический, смешанный, диффузионный) и ко всем стадиям движения жидкого включения (погружение в кристалл, движение в объеме кристалла и выход на поверхность) и учитывает технологически важные физические явления и закономерности процесса ЗПГТ.

3. Разработан алгоритм численного решения уравнений физико-математической модели ЗПГТ на неравномерной сетке методом конечных разностей, позволяющим детально анализировать миграцию жидкого включения, учитывать линейные и нелинейные механизмы роста перекристаллизованных слоев при ЗПГТ, а также описывать большинство технологически важных аспектов термомиграции жидких включений. Показаны принципиальные особенности построения конечно-разностных операторов, обеспечивающих расчет теплового и концентрационного полей во всей исследуемой области кристалл-включение.

4. Предложен конечно - разностный оператор, позволяющий повысить точность расчетов в наиболее критичных, с точки зрения погрешности, узлах границы кристалл-включение для теплового и концентрационного полей. Использование релаксационных схем итерационных методов решения СЛАУ и найденная величина асимптотически устойчивых шагов по времени позволяют проводить компьютерный эксперимент в реальном масштабе времени и применять разработанную модель ЗПГТ для анализа миграции зон как в установившихся, так и нестационарных тепловых условиях.

5. На основе объектно-ориентированного программирования создан пакет прикладных программ, позволяющий проводить компьютерные эксперименты с визуализацией влияния технологически важных факторов на термомиграцию жидких включений и служащий инструментом для технологов при выработке рекомендаций по оптимизации условий проведения ЗПГТ.

6. Адекватность разработанной модели реальным процессам ЗПГТ подтверждена сравнением зависимостей скорости миграции дискретных зон от их толщины, полученных в численных экспериментах и аналогичных аналитических зависимостей, а также согласованностью рассчитанных и

166 экспериментально установленных форм жидких включений в изотропных и анизотропных кристаллах при различных соотношениях теплопроводностей кристалла и расплава и интенсивностей атомно-кине-тических процессов на межфазной границе.

7. На основе численных экспериментов с дискретными зонами подтверждено, что анизотропия кристалла и поверхностные эффекты проявляются в кинетическом режиме ЗПГТ, Гиббсо-Томсоновский эффект приводит к ослаблению огранки и стабилизации формы сечения зон; стационарная форма поперечного сечения зоны достигается после прохождения ею в кристалле расстояния, равного 2-3 толщинам расплава.

8. Показаны возможности применения разработанной физико-математической модели для оптимизации технологических процессов ЗПГТ, термического оборудования и расширения спектра физико-химических исследований на основе ЗПГТ.

В заключении выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору Лозовскому В.И. за помощь в работе, доценту Князеву С.Ю. за консультации по вопросам диссертационной работы, а также искреннюю признательность сотрудникам кафедры физики за проявленный интерес к работе.

- Включение,

- Узлы метода конечных разностей,

- СЛАУ общего вида,

- СЛАУ разреженная.

Ниже приведено описание основных процедур и функций, применяемых для реализации физико-математической модели ЗПГТ, а в Приложении 1 -листинги заголовков этих классов.

Класс «Сетка модели среды» (8е1каМЮ1) осуществляет формирование узлов регулярной сетки, хранит информацию о значениях теплового поля в узлах принадлежащих кристаллу. Основные процедуры и функции этого класса приведены в табл. 3.6.

Название процедуры или функции Краткое описание

ReadConflgTextFile, WriteConfigTextFile Процедуры чтения и записи начальной информации, по которой формируются узлы сетки

Lambda Функция, возвращающая значение удельной теплопроводности в узлах модели среды. Возможно задание различных значений этого параметра в точках кристалла, а также изменение значений во времени

Ro Функция, возвращающая значение плотности вещества в узлах модели среды. Возможно задание различных значений этого параметра в точках кристалла

Potok Функция, задающая внешний тепловой поток на единицу площади и возможное его изменение во времени

FormS etka Формирование узлов регулярной неравномерной сетки по подобластям (см. пункт 3.4) с учетом информации о полупроводниковом кристалле

DetectTypeUzel Определяет типы узлов регулярной сетки, отделяя внутренние узлы кристалла от граничных, расположенных на внешней границе кристалла

GetNBligniyUzelXY Возвращает координаты ближайшего узла регулярной сетки к заданной точке кристалла. Применяется при расчетах теплового и концентрационного полей вне узлов сетки

NachZnach В зависимости от проводимого численного эксперимента, определяет начальное распределение теплового или концентрационного поля

DisplayPole Строит карту изолиний теплового или концентрационного поля

Sort Выполняет сортировку узлов сетки по возрастанию координат

ToUzly2D Выполняет расчет параметров, однозначно определяющих узел модели и передает эту информацию в класс \Jz\y2D для последующего решения

Класс «Включение» (Те1оМКЛ) содержит всю информацию о движущемся жидком включении. В нем хранится информация о траектории движения зоны, значения температуры и концентрации для двух последовательных положений включения. Основные процедуры и функции класса «Включение» (ТеЬМКЛ) приведены в табл. 3.7.

Название процедуры или функции Краткое описание

ReadConfigTextFile WriteConfigTextFile Процедуры чтения и записи начальной информации, по которой формируются узлы границы кристалл-включение

Likvidus Функция расчета кривой ликвидуса в процентной шкале. Для точности интерполяции использовалась аппроксимация кубическими сплайнами

LambdaPlavlenieKristal Функция, возвращающая значение удельной теплопроводности в узлах растворения и кристаллизации модели среды. Возможно задание различных значений этого параметра в точках кристалла, а также изменение значений во времени

Ro Функция, возвращающая значение плотности вещества в узлах модели среды, соответствующих кристаллу. Возможно задание различных значений этого параметра в точках кристалла

DetectUzlyRastvorCristall Разделяет узлы границы кристалл-включение на узлы растворения и кристаллизации в зависимости от соотношений концентрации на границе

FormTeloKrug FormTeloEllips FormTeloPramoug FormTeloKlin Формирует начальное сечение в форме круга, эллипса, прямоугольника или клина соответственно, определяя начальное положение включения и углы нормали в точках границы кристалл-включение

DetectXYPeres Определяет нерегулярные узлы модели, соответствующие узлам границы кристалла-включения

UgolUzly Определяет величину угла между тремя последовательными узлами контура

SortGranUzly Сортировка узлов границы кристалл-включение в направлении обхода контура по часовой стрелке

RaschetUgolNormalX Находит угол между нормалью в точке контура и осью X. Используется при формировании конечно-разностного оператора для узлов границы кристалл-включение

TestTelo Тестирует контур тела на правильность рассчитанных параметров

Ploshady, DlinaContur Рассчитывает площадь поперечного сечения включения и длину контура соответственно

RaschetCentrMassy Расчет центра массы включения. Применяется для анализа траектории движения как отдельного включения, так и их ансамбля

RaschetSplineContur Расчет коэффициентов кубического сплайна, аппроксимирующего контур поперечного сечения включения

Продолжение табл. 3.7

В1зр1ауРгосе8зМоуе Процедура подробно изображает процесс смещения узлов контура включения. Применяется при компьютерном моделировании стадий погружения включения и выхода его из кристалла

В1зр1ау11а81:уогетеСп81аШ2ас1а Рисует контур с учетом границ растворения и кристаллизации

КазсЬ^КасНизСгтгпу Расчет радиуса кривизны узлов границы кристалл-включение

Роуег1то81:пауаВ1£р1ша Реализация учета влияния поверхностной диффузии на изменение концентрации в узлах включения

Сопсепйжиа Выполняет расчет концентраций во внутренних узлах включения и на его границе. Включает в себя все ниже перечисленные процедуры и функции

Рогт1ЫуСопсМехВуит2агос1 Рогт1ЫуСопсМехУт1В1з1ос1 Рогт1ЫуСопсЫогта11Мех Формирование узлов концентрационной задачи и параметров в них для реализации различных механизмов роста

Наэс]^ Собственно расчет распределения концентрационного поля внутри включения

Казс11е1:с1Сс1п Выполняет расчет скачка концентрации в узлах границы кристалл-включение

Вуитегпуе2агоёузЬ SmeshannuyRegim Расчет концентрационного поля во включении при реализации на межфазной границе механизма двумерных зародышей

8сЬл§1ЫуЫогта1Мех 8сЬл£Ш1уУт1В1з1осас Э dvigUzlyDvumernZarodysh Смещение узлов контура включения при нормальном, дислокационном и зародышевом механизме роста соответственно

Класс «Узлы МКР» является реализацией метода конечных разностей для решения задач распределения теплового и концентрационного полей для двумерных объектов. В нем по уже сформированным узлам модели и рассчитанным в них параметрам выполняется формирование строк СЛАУ и ее последующее решение. Реализованы два вида распределений поля -стационарного (на основе уравнения Лапласа) и нестационарного (на основе дифференциального уравнения теплопроводности или массопереноса).

Основные процедуры и функции класса «Узлы МКР» (Ш 1у2Б) приведены в табл. 3.8.

Название процедуры или функции Краткое описание

AddUzelSetka, AddUzelTelo Добавляет узлы для последующих расчетов принадлежащие сетке модели (кристаллу) или включению (телу) соответственно

Sort Сортировка узлов по возрастанию аргументов

TestUzly Проверяет полноту информации по узлам модели для последующего формирования строк СЛАУ

FormRebra Формирование ребер регулярных шаблонов, определяющих порядок соединения узлов на каждом временном слое конечно-разностной схемы в соответствии с табл. 3.4

TestRebra Тестирование сформированных ребер с учетом табл. 3.4

RealizLaplas Реализует построение СЛАУ для узлов конечно-разностной схемы на базе уравнения Лапласа

MatrixARLaplas MatrixARl MatrixAR2 MatrixAR3 MatrixAR4 MatrixA R Rebra Формирование строк системы вида АХ=В, реализующих конечно-разностные операторы для узлов типа V, 1,2, 3, 4, X, У, Л¥ соответственно

RealizTeplo Реализует построение СЛАУ для узлов конечно-разностной схемы на базе уравнения теплопроводности

RealizTeploUstanovlenie Последовательное решение задачи распределения теплового или концентрационного поля до установления значений

ReshSLAU Решение СЛАУ для получения значений поля в узлах. Реализует точные и итерационные методы расчета

GetSolutionToPoleNew Передает найденное решение класса Узлы (Новое поле) в из1апоу1ешеРо1е№-\у - для формирования следующего расчета при поиске установившегося поля

Ustanovlenie PoleNew Последовательный расчет поля до его установления

Кроме вышеперечисленных классов применялись также дополнительные (вспомогательные) классы, которые не связаны с непосредственной реализацией разработанной физико-математической модели, однако ускоряют процесс решения или относятся к стандартным вычислительным процедурам, например, классы «СЛАУ общего вида», «Разреженная СЛАУ», «Кубический сплайн», «Полярная система координат», «Отрезок плоскости», «Класс изолиний поля». Описания заголовков этих классов приведено в Приложении 1.

Использование вышеописанных классов позволило разработать программно-методический комплекс, реализующий проведение компьютерных экспериментов по разработанной физико-математической модели процесса

ЗПГТ.

1. Лозовский В.Н. Зонная плавка с градиентом температуры.- М.: Металлургия, 1972.- 240 с.

2. Пфанн В. Зонная плавка: Пер. с англ. М.: Мир, 1970. 366с.

3. Лозовский В.Н., Лунин Л.С., Попов В.П. Зонная перекристаллизация градиентом температуры полупроводниковых материалов. М.: Металлургия, 1987. 232 с.

4. Долгинов Л.Н., Нашельский А.Я. Зонная плавка с градиентом температуры и ее применение в технологии полупроводниковых приборов. М.: Цветметинформация, 1966. 36 с.

5. Малибашев A.B., Малибашев В.А. Определение коэффициента диффузии примеси в расплаве и коэффициента распределения ее в кристалле. //Изв. вуз. Сев.- Кавк. регион, техн. науки.- 2002. Спецвыпуск.- С. 77 79.

6. Энгель В.Л., Диркс Х.К., Майнерцхаген Б. Моделирование полупроводниковых приборов //ТИИЭР, 1983. Т.71, №1, С. 14 - 42.

7. Гегузин Я.Е., Кривоглаз М.А. Движение макроскопических включений в твердых телах. М.: Металлургия, 1971. 344 с.

8. Малибашева Л.Я., Попов В.П. Механика погружения дискретных зон в кристалл под действием градиента температуры //Прикладная механика. Т. 319, Новочеркасск, 1974. С. 90 - 93.

9. Лозовский В.Н., Попов В.П., Даровский Н.И. Стартовая нестабильность линейных и точечных зон при зонной плавке с градиентом температуры. //Кристаллизация и свойства кристаллов. Новочеркасск. - 1970. - Т. 208. - С. 39-42.

10. O.Aaron D.B., Thomas R.E. and Wiley J.D. Calculation of temperature profiles in gradient heated and cooled silicon wafers. // J Appl. Phys. 1983, V.54. - № 6.-P 3632-3635.

11. Abassi M., Johansson Т., Normann R.A. J. Appl. Phys: 1992. V 72, N 5, P. 1846- 1851.

12. Майстренко В.Г., Палий Н.Д. О влиянии нестационарных условий на кинетику и стабильность движения жидких включений в кристалле. //Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. Новочеркасск: НПИ, 1985. - С. 78-83.

13. Tiller W.A. Migration of a Liquid Zone through a Solid. //J. Appl. Phys.-1963. V. 34, № 9. - P. 2757 - 2762.

14. Hurlee D.T. I., Mullin I.B., Pike E.P. //J. Vater, sei. 1967. - V.2, № 1, - P. 46-62.

15. Вопросы физики полупроводников. Зонная плавка с градиентом температуры. Труды Новочерк. политехи, ин -т им. С. Орджоникидзе, Новочеркасск, 1967. Т. 170. - 90 с.

16. Физика конденсированных сред: Материалы Ш научной сессии Сев.-Кавк. совета по координации и планированию научно исследовательских работ по техническим и естественным наукам. - Ростов н/Д, 1969. - 138 с.

17. Кристаллизация и свойства кристаллов: Труды Новочерк. политехи, ин -т им. С. Орджоникидзе, Новочеркасск. 1970. - Т. 208 - С. 3 - 39.

18. Константинова Г.С. Об экспериментальной проверке теории зонной плавки с градиентом температуры. //Кристаллизация и свойства кристаллов: /Новочерк. полигехн. ин-т. Новочеркасск. - 1971.-Т. 239. - С. 3 - 13.

19. Зурнаджян B.C. Кинетика кристаллизации кремния из движущегося растворителя при использовании тонких алюминиевых зон. //Кристаллизация и свойства кристаллов: /Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск.- 1971. - Т. 239. - С. 23 - 28.

20. Константинова Г.С. О кинетике ЗПГТ в системе кремний алюминий. //Кристаллизация и свойства кристаллов: /Новочерк. политехи, ин-т. -Новочеркасск.- 1971. -Т. 239. - С. 155 - 159.

21. Лозовский В.Н., Константинова Г.С. Теория зонной перекристаллизации градиентом температуры в двухкомпонентных системах. //Кристаллизация и свойства кристаллов: /Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск.- 1972. - Т. 239. - С. 35 - 49.

22. Wernick J.H. Determination of diffusion liquid metals by means of Temperature Gradient - Zone melting. //J Chem. Phys. - 1956. - V 25, N1. -P. 47 - 49.

23. Лозовский B.H., Попов В.П. О стабильности фронта роста при кристаллизации методом движущегося растворителя. //Кристаллография. -1970.- 15, № 1, С.- 149- 155.

24. Проблемы роста кристаллов. Избранные доклады на международном симпозиуме: Пер. с англ. /Под ред. Н.Н. Шефталя и Е.И. Гиваргизова. М.: Мир, 1968. 392 с.

25. Anthony T.R., Cline Е.Н. Thermal Migration of Liquid Droplets through solids. //J. Appl. Phys. - 1971. - V. 42, №9. - P. 3380 - 3387.

26. Wernick J.H. Effects of Crystal Orientation Temperature and molten zone Thickness in Temperature-Gradient-Zone melting. //J Metals 1957. -V.9, №10.-P. 1169- 1173.

27. Попов В.П., Лозовский В.Н. О нестабильности линейных зон при зонной плавке с градиентом температуры. //Вопросы физики полупроводников: /Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск. - 1967. - Т. 170. - С. 59 - 63.

28. Cline E.H., Anthony T.R., The Thermomigration of Liquid Droplets through grown boundaries in Solids. //Acta Metal. 1975. - V. 19 .- P. 491 - 495.

29. Cline E.H., Anthony T.R. Thermomigration of aluminum- rich Liquid Droplets in Solids. //Appl. Phys. 1972. - V. 43, № 11. - P.3380 - 3387.

30. Cline E.H., Anthony T.R. Thermomigration of aluminum- rich Liquid wires through Silicon. //Appl. Phys. 1976. - V. 47, № 6. - P.2332 - 2338.

31. Лозовский B.H., Попов В.П. О стабильности процесса зоной плавки с градиентом температуры. //Кристаллография. 1972. Т. 17, вып. 6. - С. 1232 - 1237.

32. Попов В.П., Малибашева Л.Я. Влияние температурных условий на форму жидкого включения в анизотропном кристалле. //Изв. Сев.- Кавк. науч. центра высш. шк., естест. науки. 1975. - № 2, С. 40 - 42.

33. Лозовский В.Н., Попов В.П., Малибашева Л.Я. О траектории термомиграции жидких включений в анизотропном кристалле. //Кристаллография. 1975. - Т. 20, вып. 5. - С. 991 - 994.

34. Гегузин Я.Е., Дзюба A.C., Кружанов B.C. Исследование поведения включений в поле температурного градиента. //Кристаллография. 1975. -Т. 20, вып. 2.-С. 383 -391.

35. Sigmund Н., Giselbrecht W. Anisotropie der Auflosung vor Silizum Kristall durch Aluminium Schmelze. //Z. Angef. Phys. - 1966. -V. 22. - P. 2 - 7.

36. Lozovskii V.N., Ovcharenko A.N., Popov V.P. Liquid-Solid Interface Stability. //Prog. Crustal Growth Charact. 1986. - V. 13. - P. - 145.

37. Lozovskii V.N., Popov V.P. Temperature Gradient Zone Melting //Prog Crustal Growth Charact. 1983. - V.6. - P. - 1.

38. Малибашев A.B. О возможности создания управляемого резистора методом ЗПГТ. //Межвуз. сб. науч. тр. Юж. Рос. гос. техн. ун-т (НПИ).

39. Кристаллизация и свойства кристаллов. Новочеркасск. «Набла». 1999. -С. 7-9.

40. Лозовский В.Н., Попов В.П., Малибашева Л.Я. О нестабильности кольцевых зон при зонной плавке с градиентом температуры. //Физика конденсированных сред: /Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск. -1975. - Т. 328.-С. 37-44.

41. Ефремова Н.П. Перераспределение примесей при ЗПГТ локальными зонами. //Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. науч. тр. /Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск: НГТУ. - 1993. - С. 11-18.

42. Константинова Г.С. Влияние легирующей примеси в твердой фазе на процесс растворения в условиях ЗПГТ. //Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. /Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск: НПИ, 1987.-С. 23 -30.

43. Лозовский В.Н., Попов В.П., Малибашева Л.Я. Форма жидких включений, движущихся в твердых телах. //ФТТ. 1975. - Т. 17, вып. 7. - С. 1903 - 1906.

44. Лозовский В.Н, Зурнаджян B.C. Эффект вынужденной конвекции при зонной перекристаллизации градиентом температуры. //Кристалллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. /Новочерк. политехи, ин-т. -Новочеркасск: НПИ, 1978. Вып. 5. - С. 110 - 114.

45. Бубенников А.Н. Моделирование интегральных микротехнологий, приборов и схем. М.: Высшая школа, 1989. - 320 с.

46. МОП СБИС. Моделирование элементов и технологических процессов / Под ред. Антонетти П.и др. - М.: Радио и связь, 1988. - 496 с.

47. Law М.Е., Dutton R.W. Verification on Analitic Point Defect Models Using SUPREM IV // IEEE Trans Comp. - 1988. - V.7, №2. - P. 181 - 190.

48. Петросянц K.O., Гуров А.И., Мишин A.A. и др. Программное обеспечение для моделирования элементов БИС. //Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1988. - Т. 29, № 6. - С. 16 - 34.

49. Абрамов И.И., Харитонов В.В. Численное моделирование элементов интегральных схем. Минск: Высш. шк., 1990. - 224 с.

50. Абрамов И.И., Новик Е.Г. Двумерная численная модель одноэлектрон-ного транзистора. //Микроэлектроника. 2000. - Т. 29, № 3. - С. 197 -201.

51. Сироткин B.C., Пресс Ф.К. Управление технологическими процессами производства полупроводниковых приборов. М.: Энергия. 1979. - 183 с.

52. Замалин Е.Ю., Богндарь О.Б. Некоторые задачи моделирования технологических процессов изготовления приборов микроэлектроники. //Микроэлектроника. 1995. - Т. 24, № 4. с. 309 - 314.

53. Коздоба JI.A. Методы решения задач затвердевания. //Физика и химия обработки материалов. 1973. - № 2. - С. 41 - 59.

54. Авдонин Н.А.Математическое описание процессов кристаллизации. -Рига: Зинатне, 1980. 180 с.

55. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана //Журн. вычислит, математики и ма-темат. физики. 1955. - Т. 5, № 5, - С. 816 - 827.

56. Будак Б.М., Москал Б.М. О классическом решении 1 -й краевой задачи Стефана для многомерного уравнения теплопроводности в координатном параллелепипеде. //Труды вычислительного центра МГУ. Москва, 1971. -С. 87-114.

57. Будак Б.М., Москал Б.М. О решении задачи Стефана для квазилинейного параболического уравнения с квазилинейными граничными условиями //Труды вычислительного центра МГУ. Москва, 1971. - С. 235-284.

58. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1975.- 256 с.

59. Бакирова О.И. О некоторых методах решения задач Стефана//Дифферент уравнения 1983. - Т. 19, №3. - С. 491 - 500.

60. Данцев A.B. О линейной задаче Стефана. Случай чередующихся фаз. //ДАН СССР. 1950. - Т. 75, № 5. - С. 631 - 634.

61. Данцев A.B. О двумерной задаче Стефана. //ДАН СССР. 1955. - Т. 101, № 3. - С. 441 -444.

62. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. /Пер с англ. М.: Наука, 1964. - 487 с.

63. Dounglas I. A uniqueness theorem for solution of a Stefan problem. //Proc. Amer. Math. Soc. 1957. - V 8, № 2. P. 407 - 408.

64. Evans G., Isaakson E., Macdonald I .Stefan -like problems. //Quart. Appl. Math. 1950. - V. 8, № 33. - P. 97 - 116.

65. Будак Б.М., Гольдман H.A., Егорова A.B., Успенский А.Б. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае. //Вычисл. методы и программирование. 1967. - Вып. 8. - С. - 103 - 120.

66. Будак Б.М., Гольдман H.A., Успенский А.Б. Разностные схемы с выпрямлением фронта для решения многофронтовых задач типа Стефана. //Вычисл. методы и программирование. 1967. - Вып. 6. - С. 206 - 216.

67. Будак Б.М., Соловьев Ф.П., Успенский А.Б. Разностные методы со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана. //Журн. вычисл. математики и математ. физики. 1965. - Т. 5,№ 5. - С. 828 - 840.

68. Васильев Ф.П. О методе конечных разностей для решения однофазной задачи Стефана. //Журн. вычисл. математики и математ. физики. 1963. -Т. 5, №5.-С. 218 -225.

69. Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения двухфазной задачи Стефана. //Журн. вычисл. математики и математ. физики. 1963. -Т. 3, № 5. - С. 874 - 886.

70. Dounglas I. A., Gallie Т. On the numerical integration of a parabolic differential equation subject to a moving boundary condition. //Duke Math. J. 1966. - V. 22, № 4. - P. 557 - 571.

71. Журавлева B.A., Китаев E.M. Теплофизика формирования непрерывного слитка. М.: Металлургия, 1974. - 240 с.

72. Конаков П.К., Веревочкин Г.Е., Горяинов JI.A. и др. Тепло и массо-обмен при получении монокристаллов. - М.: Металлургия, 1971. - 420 с.

73. Галкин В.А., Забудько М.А. Аналитические и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений для моделирования кристаллизации. //Математическое моделирование. -2001.-Т. 13, № 12. С. 46-54.

74. Марченко М.П., Фрязинов И.В. Комплекс программ Карма 1 решения нестационарных задач выращивания монокристаллов в ампулах. //Журн. вычислит, математики и математ. физики. 1997. - Т. 37, №8. - С. 988 -998.

75. Ревизников Д.Л., Русаков В.В. Теплообмен и кинетика кристаллизации частиц расплава при интенсивном охлаждении. //Математическое моделирование. 1999. - Т. 11, № 2 - С. 55 - 64.

76. Мелихов И.В., Горбачевский А.Я., Чурбанов А.Г. Сопряженный тепло -массоперенос при срастании кристаллов. //Математическое моделирование. 2000. - Т. 12, № 5. - С. 87 - 93.

77. Kariotis R., Lagally M.G. Rate equation modeling of epitaxial growth //Surf.Sci. 1989. - V.216, № 3. p. 557 - 587.

78. Жданов Г.С., Каузова Т.А. Совместный анализ кинетики роста остров-ковой пленки методами прямого наблюдения и моделирования на ЭВМ //Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986. - Т. 50, № 8. - С. 1569 - 1572.

79. Salik J/ Coputer simulation of thin film nucleation and growth. //J.Appl. Phys.-1985. V.57. № 11.-P. 5017-5023.

80. Natori A., Fukuda M., Yasunada H. Monte-Carlo simulation of heterogeneous thin film growth. //J. Cryst. Growth. 1990. - V. 99,№ 1. - P. 112- 115.

81. Математическое моделирование в физике. //Материалы VIII Всесоюзного рабочего совещания по методам Монте Карло. - Уфа. - 1982. - 80 с.

82. Kardar М., Parisi G., Zhang Y.C. Dynamic scaling of grooving interfaces. //Phys. Rev. left. 1986. - V. 56, № 6. - P. 4407 - 4417.

83. Бартон В., Кабрере Б., Франк Ф. Рост кристаллов и равновесная структура их поверхности. М.: Наука, 1959. - С. 11 - 109.

84. Кидяров Б.И. Кинетика образования кристаллов из жидкой фазы. Новосибирск, 1979.- 130 с.

85. Александров JI.H., Логинов Р.В. Гайдук Е. А. Моделирование роста автоэпитаксиальных пленок германия на ЭЦВМ. //Изв. АН СССР. Неорган, материалы. 1978. - Т. 14. - С. 981 - 984.

86. Осипов А.В. Кинетика массовой кристаллизации расплава на начальной стадии. //ФТТ. 1994. - Т. 36. № 5, С. 27-35.

87. Ладыженская О.А., Солоников В.В., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. -М.: Наука, 1976.

88. Филлипов А.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями. //Математический сборник. 1960. - Т. 51, № 4. -С. 101 - 128.

89. Галкин В.А. Методы решения задач физической кинетики. Обнинск: ИАТЭ, 1995. - 171 с.

90. Galkin V.A. Global correctness of Cauchy problem for nonlinear conservation laws systems and one example for the gas dynamics //International series of numerical mathematics. 1999. - V. 129. - P. 361-367.

91. Бородин М.А. Двухфазная контактная задача Стефана. //Укр. мат. журн. 1995. Т. 47, №2. - С. 158 - 167.

92. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. -552 с.

93. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М: Наука, 1989. -608 с.

94. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Изд - во Моск. ун -та, 1991. - 156 с.

95. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках. //Математическое моделирование. - 1997. - Т. 9, № 4. - С. 85 - 114.

96. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Наука, 1987. - 248 с.

97. Егоров A.A., Жадаева Н.Г. Схемы расщепления полной аппроксимации в методах декомпозиции области //Математическое моделирование .2000. -Т.12,№2.-С. 35-44.

98. Галенко П.К., Кривилев М.Д. Изотермический рост кристаллов в переохлажденных бинарных сплавах. //Математическое моделирование. -2000.-Т. 12, № 11.-С. 17-37.

99. Галенко П.К., Кривилев М.Д. Конечно разностная схема для моделирования кристаллического структурообразования в переохлажденных бинарных сплавах. //Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12, № 12.-С. 11-23.

100. Галенко П.К. Эффект диффузионной релаксации при высокоскоростной кристаллизации бинарного сплава. //Кристаллография. 1993. - Т. 38, №6.-С. 238-243.

101. Вабищевич ПН., Горбачевский А.Я., Мелихов И.В. Моделирование роста кристаллов в пористой среде из бинарных растворов //Математическое моделирование. 1991. - Т. 3, № 4. - С. 31- 37.

102. Бондаренко Ю.А., Шагалиева А.Р., Янилкин Ю.В. Метод расчета теплопроводности с учетом теплообмена между веществами внутри смешанных ячеек. //Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, № 7. - С. 15-26.

103. Mackensie J.A., Robertson M.L. The numerical solution one dimensional phase problems using an adaptive moving mesh method. //J Comput Phys. 2000. V. 161, № 2. - P. 537 - 557.

104. Бреславский П., Мажукин В.И. Алгоритм численного решения гидродинамического варианта задачи Стефана при помощи динамически адаптирующих сеток. //Математическое моделирование. 1991. - Т.З, № 10. - С. 104-115.

105. Pauk V.J. Heat balance integral method in solidification problems involving Small spatial perturbations. //J. Tech. Phys. - 2000. - V. 41, №1, P. 65 - 74.

106. Марченко М.П., Сенченков A.C., Фрязинов И.В. Математическое моделирование процесса роста кристаллов из раствора расплава методом движущегося растворителя. //Математическое моделирование. -1992. - Т.4, № 5. - С. 67-79.

107. Зайденстиккер Р. Устойчивость поверхности раздела фаз при зонной плавке с градиентом температуры. //Проблемы роста кристаллов /Пер. с англ. под ред. Шефталя Н.Н.и Гиваргизова Е.Н. М.: Мир. - 1968. - С. 197-205.

108. Seidensticker R.G., Kinetic Effects in Temperature Gradient - Zone melting. //J. Electrochem. Soc. - 1966. - V. 113, № 2. - P. 152.

109. Mullins W.W., Sekerka R.E. Stability of a Planar Interface during Binary Alloy. //J. Appl. Phys. 1976. - V. 46, № 1. - P. 264 - 269.

110. Sekerka R.E. Stability function for explicit evaluation of the Mullins -Sekerka interface criterion. //J. Appl. Phys. 1976. - V. 46, № 1. - P. 264 -269.

111. Delves R.T. The Theory of the stability of the Solid Liquid Interface under constitutional super cooling II. //Phys. Stat. Solid. - 1966. - V. 19, № 1. - P. 119 -130.

112. Delves R.T. The Theory of the stability during Temperature Gradient Zone melting. //Phys. Stat. Solid. 1967. - V. - 120, № 2. - P. 693 - 704.

113. Лозовский B.H., Попов В.П. Влияние стабильности движения плоской зоны на пробивное напряжение р п - перехода. //Кристаллизация и свойства кристаллов: /Новочерк. политехи, ин-т. - Новочеркасск, 1970. - Т. 208.-С. 3-30.

114. Труфманов А.П. Структурная динамика многокомпонентных твердых растворов соединении А3 В5 и А4В6, формируемых в поле температурного градиента. Дис. канд. техн. наук. Новочеркасск, 2001. 180 с.

115. Овчаренко А.Н. Нелинейные явления в процессе эволюции межфазных границ при ЗПГТ. Дис. канд. техн. наук. Новочеркахк, 1988. 176 с.

116. Кулинич Н.В., Овчаренко А.Н. Физическая и математическая модель метода ЗПГТ с учетом гидродинамических эффектов. //Новочерк. гос. техн. ун -т. Новочеркасск, 1998. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.08.98, 32513 В-98.

117. Кулинич. Н.В. Эволюция межфазных границ в процессе зонной перекристаллизации в поле температурного градиента с учетом гидродинамических эффектов. Дис. канд. техн. наук. Новочеркасск, 2001. 126 с.

118. Гершанов В.Ю., Гармашов С.И. О кинетике процесса зонной перекристаллизации градиентом температуры в нестационарных условиях. //Кристаллография. 1992. - Т.37, вып 2, с. 34 - 42.

119. Гершанов В.Ю., Гармашов С.И., Носулева И.Ю. Миграция жидких включений в твердом теле под воздействием ассиметричных колебаний температуры. //Кристаллография. 2000. - Т. 45, № 2. - С. 357 - 363.

120. Гершанов В.Ю., Гармашов С.И., Белецкая A.B., Миняев А.Р. Эффект переключения потоков компонентов жидкой фазы ассиметричными колебаниями температуры. //Кристаллография. 2000. - Т. 45, № 3. - С. 568 -572.

121. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: Учеб. М.: Физ.- мат. литерат., 2000.- 400 с.

122. Болтакс Б.И. Диффузия в полупроводниках. М.: Гос. изд -во физ. мат лит., 1961.-462 с.

123. Князев С.Ю., Лозовский В.Н., Малибашев A.B. Компьютерное моделирование кинетики движения жидкой зоны при термомиграции. //Изв. Вуз. Сев. -Кавк. региона. Техн. науки. 2002. - Спецвыпуск. - С. 49— 52.

124. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. - 832 с.

125. Корил С., Паркер Р. Кинетические явления на поверхности раздела и устойчивость формы сферического кристалла, растущего из расплава. //Проблемы роста кристаллов. /Пер с англ. Под ред. H.H. Шефталя, Е.И. Гиваргизова. М.: Мир, 1968. - С. 146 - 156.

126. Маллинз В., Секерка Р. Морфологическая устойчивость частицы, растущей за счет диффузии и теплоотвода. //Проблемы роста кристаллов. /Пер. с англ. Под ред. Н.Н. Шефталя, Е.И. Гиваргизова. М.: Мир, 1968. -С. 146- 156.

127. Cline Н.Е., Anthony T.R. No equilibrium morphology of liquid inclusions, migration in solid in solids. //Journal of Apll. Phys. 1977. V. 48, № 12. - P. 5096-5104.

128. Медведев С.A. Введение в технологию полупроводниковых материалов. М.: Высш. шк., 1970. - С. 242 - 279.

129. Уиттекер Э. Кристаллография. М.: Мир, 1983. - 268 с.

130. Попов Г.М., Шафрановский И.И. Кристаллография. М.: Высш. шк., 1972.-352 с.

131. Выращивание кристаллов из растворов. /Т.Г. Петров, Е.Б. Трейвус, Ю.О. Пунин, А.П. Касаткин. Л.: Недра, 1983. - 200 с.

132. Рост и легирование полупроводниковых кристаллов и пленок. Ч. I. -Новосибирск: Изд во Наука, 1977. - 328 с.

133. Вульф Ю.В. Избранные работы по кристаллофизике и кристаллографии. М. - Л, 1952. - 342 с.

134. Забелина Я.Б., Фрезинов. И.В. Сеточный метод решения задач Стефана для бинарной системы. //Дифф. ур ния. 1995. - Т. 23, № 7. - С. - 1188 — 1197.

135. Крылов А.Л. О разностных аппроксимациях дифференциальных операторов математической физики. //ДАН СССР. 1968. - Т. 178, № 3. - С. 535 -538.

136. Самарский A.A. Численные методы решения многомерных задач математической физики. //ЖВМ и МФ. 1980. - Т. 29, № 6. - С. 1416 - 1464.

137. Агронат В.М. Аналитическое исследование теплообмена и трения в пограничном слое. Томск, 1991. - 170 с.

138. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 2001. - 550 с.

139. Князев С.Ю., Малибашев A.B. Применение метода конечных разностей для анализа кинетики миграции линейной зоны при зонной перекристаллизации градиентом температуры. //Изв. вузов Сев. Кавк. регион. Техн. науки. - 2002. - Спецвыпуск. - С. 67 - 69.

140. Князев С.Ю., Малибашев A.B. Численное моделирование миграции линейной зоны в кристалле в поле температурного градиента. //Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. науч. тр. /Юж. Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: Набла, 2003. С. 61 - 64.

141. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 735 с.

142. Демидович Б.Г., Мадонн И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1963. - 400 с.

143. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

144. Турчак JI.H. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. - 320 с.

145. Бахвалов Н.С. Жирнов Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 660 с.

146. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. -512 с.

147. Краскевич В.Е. Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы в инженерных исследованиях. Киев: Вища шк., 1986. - 236 с.

148. Зенкевич, Ольгерд, Морган, Кент. Конечные элементы и аппроксимация. /Пер. с англ. Б.И. Квасова. Под ред. Н.С. Бахвалова. М.: Мир, 1986.-318 с.

149. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 616 с.

150. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. -М.: Наука, 1989. 432 с.

151. Норри Д. Введение в метод конечных разностей. М.: Мир, 1981. 304 с.

152. Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. /Пер с англ. С.Ю. Славянова. Под ред. С.П. Меркурьева. М.: Высш. шк., 1990. -255 с.

153. Лозовский В.Н., Князев С.Ю., Малибашев A.B. Кинетика миграции линейных зон в кристалле кремния при ЗПГТ. Конф. «Кремний 2002», Новосибирск, 2002. С. 32.

154. Князев С.Ю., Малибашев A.B., Маминов П.В. Изменение формы линейной зоны при ЗПГТ. //Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. науч. тр. /Юж. Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: Набла, 2003. С. 73 -75.

155. Cline Н.Е., Anthony T.R. Interface stability in temperature Gradient Zone Melting. //Acta Metall. 1973. - V. 21. - P. 547 - 557.

156. Малибашев A.B. Влияние анизотропии кристалла на форму жидкого включения, движущегося в поле температурного градиента. //Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. науч. тр. /Юж. Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: Набла, 2003. С. 38 - 43.

157. Князев С.Ю., Малибашев A.B. Роль поверхностной диффузии при ЗПГТ дискретными зонами расплава. //Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. науч. тр. /Юж. Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: Набла,2003. С. 125- 127.

158. Anthony T.R., Cline Н.Е. Random walk of liquid droplets migrating in silicon. //J Appl. Phys. 1976. - V. 47, № 6. - 2316 - 2324.

159. Малибашев A.B. Исследование взаимного влияния линейных зон при их термомиграции в кристалле. //Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. науч. тр. /Юж. Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: Набла, 2003. С. 128-131.

160. Лозовский В.Н., Даровский Н.И., Балкж A.B. Многопозиционный способ вертикальной жидкофазной эпитаксии. //Электронная техника. Сер. 7. Технология и организация производства. 1983. - Вып. 3. - С. - 13-14.

161. Майстренко В.Г., Палий H.Д. О влиянии нестационарных тепловых условий на кинетику и стабильность движения жидких включений в кристалле. //Кристаллизация и свойства кристаллов. Новочеркасск: НПИ,- 1985.-С. 78-82.

162. Буддо В.И., Малибашев В.А., Попов В.П. Нагревательное устройство с однородным полем температурного градиента. //Физика конденсирован ных сред: Тр./Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск. - 1975. - Т. 328. С. 21 -27.