автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод точечных источников поля для компьютерного моделирования физических полей в задачах с подвижными границами

КНЯЗЕВ Сергей Юрьевич

МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

- 6 ОНТ 2011

Новочеркасск — 2011

4855432

Работа выполнена на кафедрах «Прикладная математика» и «Общая и прикладная физика» ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)»

Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Бахвалов Юрий Алексеевич

Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Булычев Юрий Гурьевич

доктор технических наук, профессор Сипливый Борис Николаевич

доктор физ.-мат. наук, профессор Фетисов Валерий Георгиевич

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Защита состоится 21 октября 2011 года в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.304.02 при ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» в 107 ауд.главного корпуса по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской области, ул. Просвещения, 132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской области, ул. Просвещения, 132.

Автореферат разослан «_» _2011 года

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационного совета, /7

кандидат технических наук, профессор /Мч-ьС-^р АЛ. Иванченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Применение сеточных методов для моделирования физических полей в областях со сложной геометрической конфигурацией границ вызывает определенные трудности. Эти трудности значительно возрастают при решении задач в областях, границы которых со временем изменяют свое положение или форму. Между тем такого рода задачи имеют важное прикладное значение. Например, моделирование роста кристаллов и кристаллических слоев приводит к задаче Стефана в областях со сложной, изменяющейся во времени конфигурацией. Численное решение этой задачи позволяет оптимизировать процесс выращивания кристаллических структур, например, для нужд микро и наноэлектроники.

Задачи моделирования физических полей в областях с подвижными границами не ограничиваются ростовыми процессами. Подвижность границ необходимо учитывать при моделировании электрических и магнитных полей в электромеханических устройствах. Формально к задачам с подвижными границами относятся многие задачи проектирования технических устройств. При разработке этих устройств геометрические параметры расчетной области (геометрические размеры) должны иметь значения, обеспечивающие оптимальные для данного устройства характеристики. Поиск оптимального решения должен выполняться путем расчета физических полей при различных формах границы или при ее перемещении, движении. Следовательно, задачи оптимизации технических характеристик разрабатываемых устройств в ряде случаев также можно рассматривать как задачи с движущимися или изменяющимися границами. Поэтому решение задач моделирования физических полей в областях с подвижными границами является актуальным.

В общем случае при нахождении физических полей в областях с подвижными границами необходимо учитывать возможность изменения дифференциальных уравнений, с помощью которых описываются моделируемые поля. Это резко усложняет решаемую задачу. Однако часто, например, при достаточно медленном движении границ, вид уравнений, описывающих поле, сохраняется. В дальнейшем это условие предполагается выполненным.

Моделирование ростовых процессов является практически значимой задачей, которая относится к задачам с подвижными границами. Типичным примером ростового процесса является термомиграция. Она представляет собой миграцию макровключений (обычно жидкофазных) в твердом теле, обусловленную полем градиента температуры. В технологии изготовления полупроводниковых приборов и материалов электронной техники моделирование процесса термомиграции позволяет решать широкий круг задач. Распространены и находят практическое применение одномерные модели термомиграции, которые удовлетворительно описывают некоторые конкретные процессы и позволяют получить важные результаты, подтверждаемые экспериментально. Значительно более сложными являются двумерные модели, более адекватно отражающие исследуемый процесс. При их применении обычно используется метод конечных разностей (МКР). Однако детальные исследования показали ограниченные возможности этого метода. Необходимость совместного решения уравнений теплопроводности и диффузии при учете граничных условий на движущейся, постоянно изменяющей свое положение и форму межфазной границе, составляет основную сложность задачи. Это приводит к росту погрешности конеч- п но- разностных двумерных моделей термомиграции, что снижает достоверность ре- !

зультатов, полученных при их использовании. Еще большие трудности возникают при построении трехмерных моделей термомиграции. Это требует разработки эффективных численных методов для построения более адекватных компьютерных моделей термомиграции. К таким методам можно отнести метод точечных источников поля (МТИ), который является одним из перспективных, но, к настоящему времени, слабо разработанным методом моделирования физических полей. Применение этого метода позволит значительно повысить точность компьютерных моделей и перейти к построению эффективных трехмерных моделей термомиграции, с помощью которых возможно исследование закономерностей процесса в наиболее полном виде.

Метод точечных источников поля является перспективным инструментом численного решения граничных задач для уравнения Лапласа и других уравнений математической физики. Идея метода состоит в представлении приближенного решения задачи в виде суперпозиции полей точечных источников поля, зарядов, расположенных за пределами области решения на некотором удалении от ее границы. Основные положения МТИ были представлены в работах В.Д. Купрадзе и МА. Алексидзе в 1964 г., но эти работы не нашли последующего развития и практического применения. В настоящее время интерес к методу, особенно в зарубежной научной литературе, значительно возрос. Получен рад новых результатов. Можно привести множество примеров практической реализации метода при решении научно- исследовательских и прикладных задач. Тем не менее, до настоящего времени область применения метода не соответствует его перспективным возможностям. Это объясняется отсутствием систематического, всестороннего исследования возможностей метода. Полученные теоретические и прикладные результаты носят разрозненный характер. Значительная часть работ ограничивается исследованием свойств МТИ при решении стандартных задач, например граничной задачи для круговой области. Весьма скромные результаты получены для МТИ при решении трехмерных граничных задач. Представленные в литературных источниках конкретные научно- технические задачи, решаемые с помощью МТИ, не отличаются полнотой и законченностью. Это относится и к публикациям, в которых рассматриваются проблемы теоретического обоснования метода. Все это ограничивает использование МТИ для широкого круга пользователей и подтверждает актуальность работы по обоснованию и практической реализации метода для решения конкретных прикладных задач, при моделировании физических полей, в том числе в задачах с подвижными границами.

Работа выполнена в соответствии с: приоритетными направлениями развития науки, технологий и техники РФ «Информационно-телекоммутационные технологии и электроника» (утверждено Указом Президента РФ от 30.03.02 г.); научными направлениями ЮРГТУ (НПИ) «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» и «Кристаллы и структуры для твердотельной электроники» и выполнялась в рамках госбюджетных НИР вуза: «Развитие методов математической физики и вычислительной математики для решения комплексных проблем электродинамики», «Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей формирования и модификации квазиодномерных наноструктур на основе углерода и полупроводниковых материалов в ультратонких кристаллизационных ячейках» и «Разработка моделей процессов массо- и теплопереноса в микроразмерных ростовых ячейках» (коды ГРНТИ 27.35.33; 29.19.00; 47.09.29; 29.03.77;

29.19.15), а также в рамках грантов РФФИ «Разработка теории и физических основ методов кристаллизации нанослоев и гетероструктур на основе 7пО из молекулярных потоков в ультратонких ростовых ячейках» № 07-08-05056-6, «Теория и экспериментальные исследования диффузии в нанообъектах» № 08-08-00886.

Цель работы заключается в повышении эффективности компьютерных моделей физических полей в областях с подвижными границами, применяемых для оптимизации процессов изготовления кристаллических структур для нужд микро- и наноэлектроники и электромеханических устройств, достигаемое путем использования метода точечных источников поля (МТИ).

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

• теоретические и экспериментальные исследования устойчивости и сходимости МТИ при моделировании потенциальных полей, оценка погрешности метода;

• исследование потенциальных возможностей МТИ при моделировании физических полей в неоднородных и нелинейных средах;

• исследование возможности совместного использования МТИ и сеточных методов, например, метода конечных разностей при численном решении граничных задач математической физики;

• разработка одномерных моделей термомиграции, позволяющих исследовать влияние разнообразных факторов на кинетику процесса и на его устойчивость;

• разработка теоретических основ для построения двумерных и трехмерных моделей термомиграции, включающих в себя алгоритм учета изменения формы мигрирующего включения.;

• разработка комплекса вычислительных программ на базе МТИ для моделирования потенциальных полей и использование этого комплекса для решения конкретных задач инженерной практики: моделирования термомиграции, электрических и магнитных полей в технических устройствах.

Методы исследования. Методом исследования физических полей в расчетных областях с подвижными границами, в том числе полей, описывающих термомиграцию и электромагнитные поля, является численное моделирование рассматриваемых процессов с использованием МТИ. Анализ корректности разрабатываемых моделей производится путем получения теоретических оценок условий единственности, устойчивости и сходимости решений и сопоставления этих оценок с результатами численных и физических экспериментов.

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованием полученных с помощью численных моделей результатов с априорными оценками, с данными других исследователей, а также с данными, полученными экспериментально (расхождение по скорости термомиграции не превышает 5%). Выводы, полученные с помощью разработанных моделей, находятся в логическом соответствии с известной физической интерпретацией полученных данных. Полученные результаты обсуждались на конференциях различного уровня и получили положительные оценки.

Научная новизна представленных в диссертации результатов состоит в следующем:

• предложены теоретические оценки погрешности МТИ численного решения краевых задач для уравнения Лапласа, которые отличаются от известных большей

точностью, возможностью их применения для областей со сложной конфигурацией, а также для оценки погрешности решения трехмерных задач;

• предложен вариант реализации МТИ, отличающийся от известных использованием при моделировании искомого поля точечных зарядов двойного слоя, диполей, или совместным использованием диполей и зарядов простого слоя;

• разработаны модели, различающиеся типами зарядов, моделирующих поле и способами их определения, которые расширяют возможности использования МТИ при численном решении нестационарных задач, при моделировании физических полей в неоднородных и нелинейных средах;

• предложены компьютерные модели, которые отличается от известных комбинированным использованием МТИ и сеточного метода;

• построены математические модели термомиграции, которые, в отличие от известных, включают в себя алгоритм учета изменения формы мигрирующего двумерного или трехмерного включения и могут быть использованы при исследовании кинетики и устойчивости процесса;

• построена физико-математическая модель диффузионной модификации нано-сенсоров, отличительной чертой которой является учет двух механизмов массоперено-са (поверхностного и объемного) в условиях продолжающегося роста вискеров;

• создан и зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ комплекс на базе МТИ для моделирования потенциальных физических полей при решении конкретных задач инженерной практики, который отличается тем, что позволяет моделировать термомиграцию, электрические и магнитные поля в технических устройствах, диффузионную модификацию наносенсоров.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы состоит в обосновании устойчивости и сходимости МТИ при решении широкого круга краевых задач для уравнения Лапласа и других уравнений эллиптического типа, в первую очередь - при решении задач в областях с подвижными границами. Эти качества делают МТИ перспективным методом численного моделирования полей различной физической природы, позволяя ему в раде случаев составлять конкуренцию таким признанным численным методам, как метод конечных разностей, метод граничных элементов, что также свидетельствует о практической значимости работы.

На основе полученных математических моделей и алгоритмов разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования термомиграции линейных и плоских зон, для расчета двумерных и трехмерных потенциальных полей с помощью метода точечных источников поля. Комплекс программ и другие результаты диссертации могут найти применение, например, в технологии производства полупроводниковых структур для микро и наноэлектроники, при проектировании технических устройств, работа которых определяется потенциальными полями (тепловыми, электрическими, магнитными и т.д.), в вузах, при обучении по специальностям, учебные планы которых предполагают изучение численных методов моделирования потенциальных полей, а также при чтении лекций и выполнении курсовых и дипломных работ.

Теоретические и программные разработки диссертации нашли практическое применение в проектно- конструкторской деятельности и научно-исследовательской работе ЮРГТУ, ВЭлНИИ, НВКВУС, НПЦ «Нанотех», ООО «Элемент- Преобразователь», в учебном процессе ЮРГТУ, что подтверждается документально.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Предложены теоретические оценки погрешности МТИ численного решения краевых задач для уравнения Лапласа для двумерных и трехмерных областей со сложной конфигурацией, позволяющие прогнозировать точность разрабатываемых компьютерных моделей.

2. Предложен вариант реализации МТИ, основанный на использовании точечных зарядов двойного слоя, диполей, или на совместном использовании диполей и зарядов простого слоя, что позволяет получать более устойчивые и более точные численные решения краевых задач в областях с подвижными границами.

3. Разработаны модели с использованием МТИ, различающиеся типами зарядов, моделирующих поле и способами их определения, которые могут использоваться при численном решении стационарных и нестационарных задач, при моделировании физических полей в неоднородных и нелинейных средах.

4. Предложено и апробировано комбинированное использование МТИ и сеточного метода, что позволяет повысить эффективность компьютерных моделей физических полей.

5. Разработаны компьютерные модели термомиграции дискретных и плоских зон с использованием МТИ, позволяющие исследовать кинетику процесса и его устойчивость при различных режимах и механизмах кристаллизации и растворения.

6. Компьютерные модели потенциальных полей в технических устройствах различного назначения, построенные с помощью разработанного комплекса программ для ЭВМ при использовании МТИ.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на: V и VI международных семинарах «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (г. Воронеж, 2007, 2008, 2009 гг.); IX, XII, ХШ национальных конференциях по росту кристаллов (НКРК- 2000, 2006, 2008, Москва, ИК РАН); VI и VII международных конференциях «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (ВНЦ РАН); IV, V и VI международной науч.- пракг. конференциях «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2005- 2008); IV, V и VI международных науч.-практ. конференциях «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 20052008); Совещании по росту кристаллов, пленок и дефектам структуры «Кремний-2002» (Новосибирск, 2002); Российской конференции по материаловедению и физико-химическим основам технологий получения легированных кристаллов кремния «Кремний- 2000» (Москва, 2000)»; 15, 21 международных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 2002; Саратов, 2008); конференции «Нанотехнологии- производству- 2006» (Фрязино, 2006),.); XII Всесоюз. науч. конф. по микроэлектронике, г. Тбилиси, 1987; II Всесоюз. науч. конф. по моделированию роста кристаллов, Рига, 1987; VIII Всесоюзной конференции по росту кристаллов, Харьков, 1992; II, III, IV и V конференции «Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники» (Дивноморское, 1995,1996,1997, 1998); 2-м Рос. симпозиуме «Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур» (Обнинск, 1997); «Конференции по электронным материалам» (Новосибирск, 1992); VII Всесоюз. конф. по росту кристаллов (Москва 1988); VII Всесоюз. конф. по процессам роста и синтеза п/п кристаллов и пленок

(Новосибирск, 1986); конференции Е- MRS 1995 Spring Meeting (Strasbourg, 1995); конференции 44th Scientific Colloquium (Ilmenau, 1999), а также на ряде научных семинаров и конференций,проводимых в ЮРГТУ(НПИ), Новочеркасску 1990-2009 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 95 работ, среди которых одна монография (в соавторстве), 32 статьи в ведущих научных журналах из списка ВАК, 6 авторских свидетельств и патентов, 4 свидетельства о гос. регистрации программы для ЭВМ. В автореферате приведен список основных публикаций из 76 наименований.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 315 наименований и приложения. Общий объем работы составляет 355 страниц, в тексте содержится 99 рисунков, 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности и практической значимости проводимых в представленной работе исследований, формулируется цель работы, основные результаты, выносимые на защиту, и описывается структура диссертации.

В первой глава «Обзор литературы и постановка задачи исследования» приводятся материалы, представленные в научных публикациях, которые характеризуют состояние решаемых в диссертации проблем. Отмечается актуальность решения проблемы моделирования физических полей в областях с подвижными границами. Показано, что типичным примером таких задач являются задачи моделирования ростовых процессов, например термомиграции. Дается краткая характеристика термомиграции, ее основных режимов, приводятся основные положения классической теории термомиграции. Характеризуются численные методы, используемые при моделировании термомиграции, описываются их преимущества и недостатки. Отмечается, что многие проблемы, возникающие при построении компьютерных моделей термомиграции, решаются при использовании метода точечных источников поля. Приводится краткое описание численного метода, для которого в диссертации всесторонне аргументировано вводится и используется название «метод точечных источников поля» (МТИ), которое состоит в следующем.

Пусть в области S2 «-мерного евклидова пространства, определено однородное дифференциальное уравнение в частных производных

LU(M)=0, Meil, (1)

где L- линейный дифференциальный оператор эллиптического типа, а на поверхности dQ, ограничивающей область Q, заданы условия

eu(M)=f(M), МедП , (2)

где I- линейный оператор. Фундаментальное решение уравнения (1) g(M,P) рассматривается как потенциал поля в точке М, созданного единичным точечным зарядом, находящимся в точке Р. Разместим вокруг области £2 в точках Pt, расположенных на вспомогательной поверхности (контуре) dS, не имеющей общих точек с 3i2, N точечных зарядов и приближенно представим потенциал искомого поля в точке М области £2 в виде суммы:

UN(M)= (3)

<=l

где - потенциал поля, созданного в точке Мзарядом д,, находящимся в

точке Р/. В результате задача нахождения приближенного решения сводится

к определению точечных зарядов <7,, моделирующих искомое поле. Для определения этих зарядов на границе д£1 размещается N точек коллокации М;, в которых

требуется выполнение граничных условий (2). Это приводит к системе N линейных алгебраических уравнений:

. (4)

<=1

В результате решения системы (4), которую в дальнейшем будем называть системой МТИ, приближенное решение краевой задачи (1)- (2) вычисляется с помощью формулы (3).

В первой главе также сделан краткий обзор научных публикаций по МТИ, среди которых преобладают публикации зарубежных авторов. Рассмотрены как публикации, в которых производится теоретическое обоснование МТИ, так и публикации, описывающие применение метода для решения конкретных прикладных задач. На основании сделанного анализа сформулированы задачи исследования и определены пути решения этих задач.

Во второй главе «Теоретическое обоснование метода точечных источников поля для уравнения Лапласа» дается обоснование МТИ, исследуются основные вычислительные свойства данного метода применительно к решению краевых задач для уравнения Лапласа. Рассматриваются условия корректности МТИ. Доказывается линейная независимость базисных функций системы МТИ. В качестве базисных функций можно использовать не только фундаментальные решения 81(М)=§(М,Р1), но и функции вида l^/xl{r)=дg(r,Ri)lдx и у/у1{с)=д^,Щ)1ду, с

помощью которых определяется потенциал диполей, точечных зарядов двойного слоя (г и К,- координаты точек м и Р„ соответственно). Линейной независимостью обладают также функции, определяющие поля непересекающихся протяженных заряженных источников. Такие источники поля называют интегрированными.

При обосновании МТИ предполагается возможность расширения области решения задачи (1)- (2) до области V, ограниченной вспомогательной поверхностью (контуром) дБ. Обычно, при численном решении задачи с помощью МТИ, такое допущение принимается без достаточного обоснования, хотя такое расширение не всегда возможно. В диссертации показывается, что для получения приближенного численного решения краевой задачи требование возможности расширения области решения до области v не является обязательным.

Пусть граница ОН определяется непрерывной однозначной функцией го=го(\|0. Здесь у- полярная координата точки на границе д£1 относительно некоторой точки О внутри области П. Разместим на контуре дБ заряд с угловой плотностью /(у) таким образом, чтобы создаваемое им поле в области О. совпадало с искомым полем. Предположим, что контур ОБ задается непрерывной однозначной функцией Я=Я(у). Тогда необходимо выполнение уравнения

2л

{к^ыго (<р\ = и(<р) ,

о

где и(<р)- заданное распределение потенциала на граничном контуре дО..

Показано, что в этом случае погрешность МТИ может бьггь представлена в

виде

EN~ET+eu, (5)

где Ет —2ж шах |алг/2|, ocNn- коэффициент ряда Фурье для функции

0¿<p<2n

QO

т(у/) = t(if/)g(r0 {(р\ R(i¡/))=а0 + Yfek жкку/ + рк sin ку/\,

*=1

Sy =N max \SUN(<pílл, SUN((p)- остаток, возникающий после исключения из

ряда Фурье для функции U(<p) первых N слагаемых.

Анализ погрешности (5) показывает, что приближенное решение задачи МТИ можно получить даже в том случае, если точное продолжение искомого поля вплоть до границы dS является невозможным. Для этого необходимо, чтобы потенциал U(p) не имел особенностей на границе díl.

В общем случае число зарядов, моделирующих искомое поле, может быть не равным числу узлов на поверхности 6Q: Nk>N. В этом случае для нахождения зарядов можно использовать метод наименьших квадратов и вместо системы (4) решать систему уравнений

I ío,¡q¡Eg{MГР^{МгРк)= 5cOjf{Mj}lg{lvf j,Pk). (6)

y=l/=l 7=1

Различные варианты метода наименьших квадратов можно рассматривать как частный случай системы (6). Если все линейные функционалы (o¡ тождественно равны единице, то будет получен обычный вариант метода наименьших квадратов без весовых коэффициентов. Удачный выбор функционалов a>j обеспечивает наилучше качество численного решения, его наименьшую погрешность. Однако нахождение таких оптимальных функционалов является непростой задачей. Поэтому выбор конкретного варианта МТИ определяется физическим содержанием задачи, ее математическими особенностями, удобством в практическом использовании и т.п. Поэтому в диссертации в первую очередь исследовался основной вариант МТИ, приводящий к решению системы линейных уравнений вида (4). Это наиболее естественный, физически оправданный, чаще используемый в практических приложениях вариант МТИ. Выбор такого варианта оправдан также тем, что в ряде случаев, как показывают теоретические оценки и вычислительная практика, он позволяет получить решение с меньшей погрешностью и при меньшем использовании ресурсов компьютера, чем при использовании других вариантов МТИ.

Общеизвестным фактом является плохая обусловленность матрицы системы МТИ. Это свойство может приводить не только к снижению точности численного решения, но и к нарушению его устойчивости. В диссертационной работе показано, что грубая оценка возмущения решения стандартной задачи МТИ SuN, возникающего при небольшом изменении, возмущении исходных данных, равном Su, задается соотношением

Здесь с- число обусловленности системы МТИ; а- величина, не зависящая от числа зарядов. Анализ оценки (7) показывает, что даже при значительной величине числа обусловленности, например порядка С~1019 , возмущение 6им может оставаться достаточно малым, обеспечивая необходимую точность решения. При этом число зарядов, моделирующих поле, может достигать больших значений, 1000 и более.

В работе выполнено исследование корректности МТИ, включая проверку существования, единственности и устойчивости решения. Доказательство существования решения задачи МТИ сводится к доказательству неравенства нулю детерминанта матрицы системы МТИ (4). В определенных, достаточно редких случаях при решении внутренней задачи Дирихле детерминант системы МТИ может обращаться в нуль. В диссертации показано, что в этом случае достаточно произвести сколь угодно малое изменение положения хотя бы одного из узлов коллокации или зарядов, чтобы для нового, измененного положения узлов и зарядов детерминант матрицы оказался неравным нулю и, следовательно, система МТИ имела единственное решение.

В ряде случаев решаемая с помощью МТИ задача может иметь множество решений. В этом случае для обеспечения единственности решения необходимо располагать дополнительными условиями. Например, при численном решении внутренней задачи Неймана для обеспечения единственности решения кроме условий 1и{М^=/{М}) необходимо располагать, по крайней мере, одним дополнительным условием. Дополнительные условия, исключающие неоднозначность решения, необходимо задавать также при решении внешней задачи, при решении краевой задачи с открытыми границами, при решении некоторых внутренних задач с граничными условиями третьего рода и т.д. Таким образом, учитывая результат анализа устойчивости МТИ можно утверждать, что при не слишком большом числе зарядов (не превышающем нескольких тысяч) задача МТИ является корректной или может быть сведена к корректной путем незначительного изменения координат узлов и (или) зарядов, а также путем учета дополнительных условий, исключающих неединственность решения.

Численный метод оказывается практически значимым только в случае, если необходимая степень точности решения достигается достаточно быстро. Поэтому первостепенное значение имеет исследование сходимости МТИ. В работе исследована сходимость решения стандартной задачи МТИ. Выполнена оценка погрешности МТИ при решении задачи Дирихле для двумерного уравнения Лапласа в круговой области радиусом г0. Заряды, моделирующие поле, располагались на вспомогательной окружности радиусом К. Так как любое потенциальное поле можно представить в виде суперпозиции полей точечных источников, то при исследовании погрешности стандартной задачи МТИ важнейшее значение имеет задача нахождения поля, созданного одним точечным зарядом. Зная погрешность для поля точечного заряда, можно оценить погрешность при моделировании практически любого физического поля, созданного реальными заряженными телами.

В результате оценки величин Ег и еи в (5), найдена оценка погрешности стандартной задачи МТИ. Если поле создается удаленным на расстоянии р от области ¡3 зарядом Q и р>Я, то

en<

2Q

(p-f0)

f)

2

R*

p(R-'o)

(8)

Напротив, если поле создается зарядом, расположенным вблизи границы области Г2, и р<Д то

Е„<

2 Q

г-п>)1/>)

2

(9)

" л- Ц/>-г0) (R Из формул (8), (9) следует, что с ростом числа зарядов N погрешность МТИ убывает по экспоненциальному закону. Такое быстрое убывание погрешности является одним из основных достоинств МТИ. Этим рассматриваемый метод выгодно отличается от ряда численных методов решения уравнения Лапласа. Численные эксперименты подтверждают справедливость оценок (8), (9). Это следует из рис. 1, который иллюстрирует зависимости относительной погрешности численного решения от числа зарядов N при р=3г0 и Д=1,5г0, полученные

10-1 р. -. -Формула w различными способами.

На рис. 1 жирной сплошной линией представлена зависимость относи-1-А---^к--^г!- тельной погрешности МТИ от

числа зарядов, найденная путем численного эксперимента. Сплошной тонкой линией отображена зависимость, рассчитанная с помощью формулы (8) (при использовании знака равенства между правой и левой частями в (8)). Пунктирной линией на рис. 1 изображена зависимость погрешности МТИ от числа зарядов, рассчитанная с помощью формулы из публикаций других авторов, дающая наилучшее соответствие с экспериментальными данными.

Из рис. 1 следует экспоненциальное убывание погрешности МТИ с ростом числа зарядов. Видно также, что при числе зарядов N~75 достигается предельная для вычислений на компьютере (при использовании чисел типа double) точность вычислений. Следует также обратить внимание, что рассчитанные по правым частям формулы (8) погрешности значительно лучше согласуются с их действительными значениями, чем результаты, полученные из литературных источников. Это свидетельствует об эффективности используемого здесь подхода при анализе погрешности МТИ.

Выше отмечено, что при определенном расположении узлов коллокации и зарядов, моделирующих искомое поле, матрица системы МТИ может оказаться выро-

1 1 Эк сперимент

\ \ • - -Лит« мтура

\ \ N » >

V \

25

125

150

50 75 100 Количество здрздое

Рис. 1. Зависимость погрешности МТИ от числа зарядов при Л=1,5го

жденной. Это наблюдается, например, при четном числе узлов и равномерном чередовании зарядов и узлов коллокации с разностью фаз = ~ . Однако, в действительности, вследствие накопления ошибок округления при решении системы МТИ полного вырождения системы не наблюдается. Резко возрастает число обусловленности системы. Тем не менее, как свидетельствует вычислительная практика, в ряде случаев это не мешает получить решение системы МТИ, хотя и при значительно большей погрешности, чем при - у/. Однако уже незначительное

смещение зарядов или узлов (поворот на несколько миллисекунд относительно центра области £1) приводит к резкому уменьшению числа обусловленности системы МТИ и, как следствие, к резкому уменьшению погрешности МТИ (на 3- 4 порядка).

При решении задач Неймана или задач с граничными условиями 3-го рода, возможны, как отмечалось выше, проблемы, обусловленные неоднозначностью решения. Для преодоления этих проблем (если они возникают) необходимо задание одного (для задач Неймана) или двух (для граничных условий 3-го рода) дополнительных условий. Численное решение задач Неймана, полученные с помощью МТИ, имеют погрешности, совпадающие по порядку величины с погрешностями задач Дирихле. Если граничное условие 3-го рода имеет вид

и(м)+ Ь_/(м), МеО, ¿»0, то погрешность смешанной задачи при зна-дп

чениях параметра Ь, отличающихся от единицы не более, чем на 1- 2 порядка, оценивается неравеством

где ер- погрешность задачи Дирихле (8) и (9).

Показано, что при решении стандартной задачи МТИ применение метода наименьших квадратов не приводит к снижению погрешности решения. Более того, применение метода наименьших квадратов может приводить к значительному увеличению числа обусловленности матрицы системы МТИ и росту погрешности результата численного решения.

В диссертации рассмотрен более общий случай двумерных и трехмерных краевых задач для областей, конфигурация которых отличается от круговых. Пусть дсо есть часть граничного контура дй. Длина участка дсо, равная /, в т раз меньше длины Ь контура дО. Это значит, что при равномерном расположении узлов коллокации на контуре 8£2 с шагом А число узлов на участке дсо будет равно п=Шт. Длина / участка дсо должна быть соизмерима с расстоянием Н, на котором заряды, моделирующие поле, отстоят от границы дсо. Точное решение краевой задачи на участке дсо, равное и решение задачи Дирихле £/©> полученное с помощью МТИ, могут быть описаны одним и тем же полиномом Лагранжа Р„© (здесь координата, определяющая положение точки на участке дсо). Предположим, что функции и £/(£) имеют непрерывные производные порядка п+1. В этом случае, используя известную формулу для погрешности полинома Лагранжа, найдем, что погрешность МТИ будет удовлетворять соотношению

Здесь постоянные М„+1 и т„+1 равны максимальным значениям абсолютных величин производных порядка п+1 на участке 6а для функций и соответственно. Произведя оценку величин Мп+1 и т„+1, подставим их в (10) и найдем оптимальную длину / участка 8т, обеспечивающую минимальное значение оценки (10). Тогда оценка погрешности МТИ задается неравенством

Е„ < Чо "árexpí- 2^-n) + Q-L

, -expí- 2—n) + Q——expí- 2^-N NH 4 L ) NHq Я L J

(11)

где - максимальный из зарядов, моделирующих поле, Нд - минимальное расстояние от заряда (2, создающего поле, до границы ¿со. Применим формулу (11) к круговой области с радиусом г0 . Тогда Н = Я-г0, где Я-радиус вспомогательной окружности. В результате найдем, что при удаленном расположении заряда Q получается следующая оценка:

Еп<Яо

N

ЯГ0 (/qV

-AbUJ

2 лг( R

(12)

Видно, что наиболее существенное отличие оценок (12) и (8) состоит в том, что показатель степени в формуле (12) равен N/л, а в формуле (8) он равен (без несущественной единицы) N12. Это свидетельствует как о качественном, так и о некотором количественном соответствии оценок (8) и (12).

Согласно формуле (11) экспоненциальная зависимость погрешности МТИ от числа зарядов, моделирующих поле, сохраняется для областей, форма которых отличается от круговой. Этот вывод подтверждается приведенными в диссертации данными численных экспериментов, выполненных для случаев прямоугольных, эллиптических и других областей (в том числе двухсвязных).

Описанный подход был использован для получениия оценки погрешности МТИ при решении трехмерных задач. Для этого на поверхности 8Q выбирался участок ¡ко в виде квадрата со стороной /, площадь которого s=/2 значительно меньше площади поверхности д£2, равной S. При равномерном расположении узлов колло-кации на поверхности 8Q число узлов на участке 8а> будет равно n=m2=sN/S. При использовании двумерных полиномов Лагранжа для погрешности МТИ на участке 8а> получена оценка

f ~ - - \2т+2^

Ем<

4в

qo_N QH

{—1 \2еН )

\2т+2

J_

Нг.

I

2еН,

(13)

За счет выбора оптимального значения параметра /, обеспечивающего минимальное значение погрешности (13), находится более строгая оценка погрешности МТИ. В случае, когда областью решения задачи £2 является шар радиусом г, а вспомогательной поверхностью- сфера радиусом Я, и поле создается точечным зарядом, расположенным за пределами вспомогательной сферы на расстоянии р от ее центра, получим

Из формул (13), (14) видно, что погрешность МТИ при решении трехмерных задач также убывает с ростом числа зарядов по экспоненциальному закону. Однако, в отличие от двумерных задач наблюдается экспоненциальная зависимость от квадратного корня из числа зарядов.

На рис. 2 видно, что экспоненциальная зависимость относительной погрешности МТИ от квадратного корня из числа зарядов подтверждается результатами численных экспериментов.

Далее изложены результаты исследования погрешности МТИ для случаев разрывных граничных условий, а также при наличии угловых точек. Показано, что наличие разрывных граничных условий значительно повышает погрешность численного решения задачи Дирихле. Однако за счет выбора расположения зарядов, моделирующих поле, достигается ситуация, когда погрешность МТИ не намного превышает погрешность решения, полученного с помощью метода граничных элементов (МГЭ). Наличие угловых точек на границе д£1 влияет на погрешность МТИ не столь существенно. Наблюдается быстрое (в соответствии с экспоненциальным законом) убывание погрешности МТИ с ростом числа зарядов. Это обеспечивает возможность получения численного решения с весьма высокой точностью даже при наличии угловых точек.

В работе также показано, что с помощью точечных источников можно с высокой точностью моделировать поле, созданное различными источниками, как точечными, так и протяженными, в том числе зарядами, непрерывно распределенными непосредственно на границе области £?.

Выполнено исследование возможности применения точечных зарядов двойного слоя (диполей) при решении граничных задач для уравнения Лапласа. Получено выражение для погрешности МТИ поля диполя. Показано, что погрешность МТИ, как и в случае поля, созданного точечным источником простого слоя, убывает с ростом числа зарядов по экспоненциальному закону. Далее в диссертации решается стандартная задача МТИ, в которой искомое поле моделируется точечными зарядами двойного слоя и оценивается возникающая при этом погрешность. Показано, что во всех рассмотренных случаях использование зарядов двойного слоя приводит к матрице МТИ с меньшим числом обусловленности, чем при использовании точечных

10

1 е-г

с 01 и

3 5

ю-'

ю-'

• -Теори —Экспе| рименг

30

0 5 10 15 20 25 квадратный корень из числа зародов

Рис. 2. Зависимость погрешности от числа зарядов при радиусе вспомогательной окружности Л=1,4г и р=2г. Трехмерная задача

зарядов простого слоя. Это позволяет утверждать, что если обычный вариант МТИ проявляет неустойчивость, то использование диполей может снять эту проблему.

В работе проведен анализ особенностей решения внешней краевой задачи для уравнения Лапласа, связанных, в основном, с неоднозначностью решения такой задачи. Они проявляются также для задач с открытыми границами. Данная проблема решается путем использования дополнительного условия, накладываемого на потенциал искомого поля. Это дополнительное условие должно соответствовать физической постановке задачи. В ряде случаев это условие сводится к требованию равенства нулю суммы зарядов, моделирующих поле.

В третьей главе «Обобщение метода точечных источников поля» описываются численные модели, значительно расширяющие круг задач, решаемых с помощью МТИ.

МТИ может не обеспечивать необходимую точность численного решения некоторых задач, если, например, заряды, создающие искомое поле, находятся близко к границе дП области решения краевой задачи или расположены непосредственно на границе. В этом случае более эффективным является моделирование искомого поля не точечными, а протяженными источниками, с соответствующим образом распределенном на них зарядом. С учетом того, что протяженные заряженные источники поля называются интегрированными, численный метод приближенного решения краевых задач математической физики, основанный на использовании интегрированных источников, назван методом интегрированных источников поля (МИИ). В главе 3 рассмотрены различные варианты реализации МИИ, отличающиеся типом используемых интегрированных источников. Наиболее универсальный вариант МИИ предполагает использование интегрированных источников в виде небольших отрезков (небольших плоских участков в трехмерных задачах), на которых определенным образом распределен заряд. В простейшем случае заряд может быть распределен равномерно. Исследовался также МИИ при распределении заряда на интегрированных источниках по линейному закону, обеспечивающему непрерывное изменение плотности заряда при переходе от одного интегрированного источника к другому. Показано, что применение МИИ может дать заметное уменьшение погрешности численного решения по сравнению с МТИ только в том случае, если вспомогательный контур, на котором располагаются точечные и интегрированные заряды, моделирующие искомое поле, оказывается близким к границе области £2 . Если же условия задачи позволяют получить численное решение при использовании удаленного вспомогательного контура, то погрешности МИИ и МТИ оказываются практически совпадающими. В таком случае более предпочтительным является использование МТИ, который обладает более высоким быстродействием. Следует отметить, что использование интегрированных источников с линейно изменяющейся плотностью заряда вместо источников с постоянной плотностью заряда, не дает существенного уменьшения погрешности МИИ.

При решении некоторых задач применение МИИ вполне оправдано, особенно в случае задач с осевой симметрией. Здесь в качестве интегрированных элементарных источников удобно использовать равномерно заряженные круговые контуры, центры которых располагаются на оси симметрии решаемой задачи. В диссертации приводятся конкретные примеры решения таких задач.

В качестве иллюстрации возможностей МТИ приведены результаты численного решения двумерного уравнения Лапласа и однородного уравнения Гельмгольца

для двухсвязной эллипсообразной области с круговым отверстием, смещенным относительно центра эллипса. Приводятся также описание различных подходов к получению численного решения неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Пуассона. Выполненные численные расчеты свидетельствуют о том, что в тех случаях, когда требования к точности решения не являются слишком строгими (допустимой является относительная погрешность порядка е~10"5) применение МТИ для получения приближенного решения краевой задачи для уравнения Пуассона является обоснованным.

В работе исследована возможность численного решения краевых задач для нелинейных уравнений эллиптического типа. Если удается построить итерационную схему МТИ, на каждом шаге реализации которой решается линейная задача и процесс нахождения решения сходится, то решение задачи с приемлемой точностью будет найдено за ограниченное число шагов итераций. Приводится пример решения

л

задачи Дирихле для уравнения А и = ки . Решение этого уравнения производилось с помощью итерационной схемы

ьип=ки2п_!. (15)

При этом в уравнении (15) правая часть рассматривается как известная функция координат точки, а само уравнение- как уравнение Пуассона, правая часть которого представляет собой плотность заряда, распределенного в области решения. Таким образом, на каждом итерационном шаге численно решается краевая задача для уравнения Пуассона при известном распределении заряда в области решения. Данная задача решается с помощь МТИ. Так как для уравнения (15) известно точное аналитическое решение, то легко можно найти погрешность численного решения. На рис. 3 приведены графики зависимости максимальной погрешности решения от числа итераций, полученные при решении задачи Дирихле для уравнения ДС/ = Ш2 при нескольких различных значениях коэффициента к. Вычисления производились при числе зарядов, моделирующих поле, равном N=80.

Из рис. 3 видно, что уже после нескольких шагов итерации достигается точность решения, которая при принятом числе зарядов соответствует оценке погрешности МТИ. Как и следовало ожидать, точность решения выше для уравнений, у которых коэффициент к меньше.

Рассмотрены другие подходы к решению нелинейной задачи, например, вариант, при котором на каждом итерационном шаге решается неоднородное уравнение Гельмгольца. Рассмотрены также примеры использования МТИ при моделировании полей в неоднородных и (с помощью преобразования Кирхгофа) в нелинейных средах.

Точечными источниками можно моделировать не только стационарные поля, удовлетворяющие эллиптическим уравнениям Гельмгольца и Лапласа, но и нестационарное поле, описываемое уравнением параболического типа, например уравнением диффузии, фундаментальное решение которого имеет вид

и может рассматриваться как поле, созданное в точке г в момент времени I единичным мгновенным источником поля, возникшим в момент времени 1а в точке с

координатой r0 (здесь D- коэффициент диффузии, а величина d в формуле (16) рав-

Проведено исследование численного решения уравнения диффузии в объеме Q при начальном условии: U(r,t)=Co=cont . Для этого на границе dQ размещались узловые точки и был введен шаг по времени т. В точках R, , расположенных на некотором расстоянии от границы дО. и число которых N равно числу узловых точек на дО., размещались мгновенные заряды qtj, которые

последовательно активизировались в моменты времени tj = jt. Заряды qy находились для каждого временного уровня последовательно, начиная с уровня t\, с помощью системы уравнений, соответствующих граничному условию в каждом узле для каждого временного уровня. В диссертации приводятся несколько примеров численного решения уравнения диффузии описанным выше способом. Обнаружено, что устойчивое численное решение наблюдается, если шаги по времени т и координате h находятся в определенных, характерных для данной задачи интервалах. Например, в задаче об остывании цилиндра устойчивость численного решения наблюдалась, если шаг по времени находился в интервале 2-ДО"3 < т/то < 20-Ю"3, а расстояние между зарядами - в интервале 0,005 < h/R < 0,35. Здесь R- радиус цилиндра, т0=Л2/а, а- коэффициент температуропроводности. Изложенное свидетельствует о том, что МТИ может применяться при численном решении уравнения диффузии, хотя и с меньшей эффективностью, чем при решении уравнений эллиптического типа.

В работе показано, что МТИ можно также использовать для численного решения уравнений гиперболического типа, волновых уравнений. Для двумерных волновых уравнений фундаментальное решение записывается в виде

<p(r,rQ,t,t0)= 1 .

VOc-^ + Cy-^-vV'o)2

Фундаментальное решение волновых уравнений имеет сингулярность в точке, движущейся со скоростью v и имеющей координаты г=г0 в момент t=t0. В связи с этим возникает проблема выбора вспомогательной поверхности и такого размещения на ней точечных зарядов, при котором фундаментальные решения определены и не имеют особенностей во всех точках области Q. Показано, что обусловленность матрицы системы (4) при решении волнового уравнения значительно ухудшается,

на размерности задачи).

g ю-

Я 10-

5

I ю-

\ \ —lcl/50 — 1е«10 -

\ V

\ ч ^_

4 6

Число [ттаргций

Рис. 3. Зависимость погрешности решения нелинейного уравнения АС = к11 от числа шагов итерации

вследствие чего появляется заметная погрешность численного решения граничной задачи. Приводятся примеры численного решения с помощью МТИ граничной задачи для двумерного волнового уравнения. При этом относительная погрешность решения не превышала 3-10"4 при числе узлов 192.

Вышеизложенное свидетельствует об эффективности использования МТИ для численного решения достаточно разнообразных задач математической физики. По сравнению с традиционными численными методами при одинаковом времени счета МТИ может обеспечивать большую точность (причем на несколько порядков), чем метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) или МГЭ. И, наоборот, при одинаковой точности МТИ может обеспечивать время счета в десятки и сотни раз меньшее, чем при использовании МКР, МКЭ или МГЭ. В работе приведены данные, свидетельствующие об этом. Тем не менее, в ряде случаев, особенно при решении нелинейных задач, более эффективным является использование сеточных методов, МКР или МКЭ. Совместить преимущества МТИ, с одной стороны, и МКР, МКЭ - с другой позволяют комбинированные численные модели. При совместном использовании МТИ и МКР или МКЭ расчет поля в одной подобласти решения производится с помощью сеточного метода, а в другой- с помощью МТИ. Такое комплексное использование двух численных методов позволяет объединить их лучшие качества: универсальность сеточного метода и простоту реализации, высокое быстродействие в МТИ. Приведенный в диссертации пример расчета свидетельствует о перспективности совместного использования МТИ с сеточными методами.

В четвертой главе «Компьютерное моделирование термомиграции» приводятся результаты исследований термомиграции с помощью компьютерных моделей процесса. Важное практическое значение могут иметь одномерные модели термомиграции. В диссертации описана одномерная модель, с помощью которой удалось исследовать условия стационарности процесса. Описаны и другие одномерные модели, построенные применительно к разнообразным конкретным условиям термомиграции: модель термомиграции в переменном температурном поле; модель, учитывающая наличие конвекции в объеме зоны; модель, учитывающая наличие пороговых эффектов, модель термомиграции пустотных, вакуумных включений и тд. Однако возможности одномерных моделей термомиграции ограничены. Это побудило к созданию более адекватных двумерных и трехмерных моделей процесса.

Моделирование термомиграции сводится к совместному решению уравнения теплопроводности для композиции кристалл-включение и уравнения диффузии для концентрации кремния С в объеме включения, зоны. При построении двумерных, а тем более, трехмерных моделей термомиграции необходимо сначала построить базовую модель и в последующем расширять ее возможности, включая факторы, неучитываемые в базовой модели. Двумерная базовая модель термомиграции описывается следующим образом.

Пусть в кристалле 5 мигрирует жидкое линейное включение (зона) Ь, содержащее раствор-расплав вещества кристалла в основном компоненте включения. На рис. 4 показано схематическое изображение сечения кристалла плоскостью, перпендикулярной оси включения.

Введем систему координат, направив ось 2 вдоль оси зоны, а оси х я у - вдоль соответствующих внешних границ кристалла (см. рис. 4). При этом предполагается, что кристалл имеет прямоугольное сечение в плоскости хОу.

Рис. 4. Двумерная модель среды: Г° - внешняя граница кристалла, Г= Д/) - граница мигрирующего включения в момент времени /, Г» - граница сокращенной области численного решения а, п - нормаль к границе, я(х,() - тепловой поток от нагревателя, осТ* - поток излучения единицей поверхности кристалла, \>- скорость перемещения межфазной границы, йэ- градиент температуры в кристалле

Массоперенос в объеме зоны описывается уравнением диффузии дС

Ы

'д2С

д2С

дх2 ду2

(17)

с граничными условиями:

О дС

1 -Сдп

-г(„■"•(с0-си- (18)

Здесь С (Г) - равновесная концентрация при температуре Т; ип - нормальная составляющая скорости перемещения межфазной границы, которая зависит от величины недосыгцения (пересыщения) расплава АС = С°-С. Зависимость С0(Г) определяется по диаграмме состояния кристалл- вещество зоны, а зависимость скорости и„ от величины недосыгцения (пересыщения) ип=и„(АС) определяется механизмом межфазных процессов. Для нормального механизма эта зависимость имеет вид

А ^Т

ип=МрЛАС— , (19)

гДе Ир- кинетический коэффициент растворения (при АС>0); - кинетический коэффициент кристаллизации (при ДС<0). В диссертации рассматриваются также другие механизмы межфазных процессов (дислокационный и зародышевый), для которых характерна нелинейность зависимости скорости ип от недосыгцения (пересыщения) ДС. Учитывается также зависимость кинетических коэффициентов црк от кристаллографической ориентации межфазной границы.

Для решения задачи диффузии (17) - (19) необходимо знать равновесную концентрацию С° и, следовательно, температуру во всех точках движущейся межфазной границы Г(/). Распределение температуры в объеме композиции «кристалл-

включение» найдем, решая соответствующие уравнения теплопроводности для температуры кристалла и включения 7}:

дт<1 (д2тд2т.

д1

5,1 ) и Ч/

дх2 ду2

(20)

где о3, 0[ — коэффициенты температуропроводности кристалла и раствора-расплава включения соответственно.

Уравнения (20) дополняются условиями на межфазной границе Г(г) и на внешней границе Г°. Условия на внешней границе в общем случае можно записать в виде (асТ/дп+ДГ)го = у\го . Здесь а,Р,у — величины, значения которых определяются конкретными особенностями процесса, например, способом создания заданного температурного режима. На межфазной границе Г(г) должно выполняться условие непрерывности тепловых потоков и условие непрерывности температурного поля:

и"Х' Т* = Т1 (Х'УДг' <21>

где/—теплота кристаллизации.

Необходимо задать начальные распределения температуры и концентрации в системе кристалл-включение (обычно задается равномерное начальное распределение концентрации и температуры). К начальным условиям следует отнести также положение и форму межфазной границы в начальный (нулевой) момент времени. Это условие записывается в виде

Г(0) = Г0. (22)

Соотношения (17) - (22) образуют базовую математическую модель термомиграции, которая при типичных значениях параметров процесса допускает некоторое упрощение.

В условиях термомиграции полупроводниковых материалов между временем установления теплового равновесия в зоне /г « /2 /а, (/- линейный размер включения (зоны)), временем диффузионной релаксации /с ~12/И и временем, за которое может заметно измениться форма движущегося включения »//у, справедливы соотношения:

'и »'с »'г- (23)

Из соотношений (23) следует, что концентрационное поле в объеме мигрирующего жидкого включения, а тем более — температурное поле, можно считать установившимися при данной конфигурации зоны г(г) . А это, в свою очередь, означает, что при моделировании термомиграции на каждом временном уровне температурные поля в объеме композиции кристалл - включение и концентрационное поле в объеме включения удовлетворяют уравнению Лапласа, что упрощает решение поставленной задачи.

Описан алгоритм расчета процесса термомиграции, учитывающий изменение положения и формы межфазных границ при движении включения. Описана двумерная конечно- разностная модель линейных зон. Эта модель обладает рядом недостатков, основным из которых является большое время вычислений и недосга-

точно высокая их точность при компьютерном моделировании процесса. В первую очередь эти проблемы обусловлены необходимостью учета условий (в общем случае нелинейных) на подвижной границе зоны. Использование МТИ при моделировании термомиграции оказалось более эффективным. Компьютерная модель, построенная на основе МТИ, позволила проследить динамику изменения формы сечения линейного включения при его миграции в кристалле с выходом на стационарный режим движения. Следует отметить, что знание установившейся (стационарной) формы зоны необходимо для определения ряда параметров полупроводниковой структуры. Это, например, геометрические размеры активных областей и связанные с ними допустимые значения напряжений, токов и т.д. На рис. 5 приведен алгоритм термомиграции включения раствора- расплава в объеме кристалла.

Было установлено, что если кинетический коэффициент растворения превышает коэффициент кристаллизации, то сечение линейной зоны, первоначально имеющее форму круга, вытягивается в направлении движения. Если кинетический коэффициент растворения меньше коэффициента кристаллизации, то зона, напротив, сплющивается в направлении движения. Пройдя расстояние, равное трем- четырем радиусам, форма первоначально округлого сечения мигрирующего включения стабилизируется.

Возможности модели, построенной на основе МТИ, можно значительно расширить за счет учета дополнительных факторов.

Движение дискретного жидкого включения в объеме кристалла подвержено влиянию анизотропии кристалла, которая проявляется в зависимости скоростей растворения и кристаллизации от кристаллографических направлений. В построенной модели термомиграции влияние анизотропии кристалла на процесс движения жидких включений учитывается наличием зависимости атомно-кинетических коэффициентов растворения и кристаллизации /л от угла <р направления движения точки границы кристалл-включение по отношению к кристаллографическим направлениям. Численные эксперименты показали, что форма сечений линейных зон, мигрирующих в различных кристаллографических направлениях, развивается в соответствии с зависимостями /л{(р). Прежде всего это проявляется в огранке включения.

Другими важными факторами, существенным образом влияющими на кинетику термомиграции являются различного рода поверхностные эффекты на межфазной границе включения, проявляющиеся, например, в зависимости равновесной концентрации от кривизны межфазной границы. С помощью численной модели установле-

Расчм тоавриураиги вол» (цма »«дам» (20). (21)) * рМНВМСАП ьлщиприой ^

1

?чечет поле иацсатршрА скоростей 1 узле» О,

1

Смс&рнт рлошп точек т рас«тотя рюп

Рис. 5. Алгоритм расчета термомиграции включения с использованием МТИ

но, что поверхностные эффекты стабилизируют форму сечения линейной зоны, делая ее более близкой к округлой.

Наиболее важным, принципиальным для модели фактором является механизм межфазных процессов. Разработанная модель использовалась для исследования кинетики термомиграции, как при линейном, так и при нелинейных механизмах межфазных процессов, например при дислокационном и зародышевом механизмах.

Непременным условием практического использования термомиграции является устойчивость процесса. Под устойчивостью здесь понимается такое поведение межфазной границы, при котором возмущение, возникшее на ней, будет уменьшаться по мере ее движения, возвращая первоначальную геометрию невозмущенной зоны. Технологически важным случаем является движение включений плоской формы (плоских зон). Поэтому задача исследования устойчивости термомиграции плоских зон является актуальной. Однако экспериментальное исследование устойчивости термомиграции представляет собой весьма трудоемкую и ресурсоемкую задачу. Применение математического моделирования позволило значительно снизить стоимость и время проведения исследований.

Рассмотрена и решена следующая задача. Пусть плоская зона толщиной / движется в поле градиента температуры в. Совместим начало координат с центром зоны, ориентировав ось у перпендикулярно к поверхности зоны по направлению градиента температуры, а ось х - вдоль поверхности зоны (рис. 6).

Выделим часть зоны длиной Н и расположим на межфазной границе выделенной части зоны N узловых точек, равноотстоящих друг от друга вдоль оси х с шагом с!х. В центральной части участка Н несколько узлов (возможно один) моделируют начальное возмущение плоской межфазной границы с некоторой начальной амплитудой и длиной возмущения. Межфазные границы оставшейся части бесконечно протяженной плоской зоны (за исключением участка Я) обозначим через Ь . Ввиду удаленности участка Ь от возмущенной части межфазной границы его форма продолжает оставаться плоской невозмущенной и двигаться в направлении градиента температуры со скоростью V,, определяемой формулой Тиллера.

Концентрационное поле в плоской невозмущенной зоне определяется согласно теории термомиграции Тиллера по формуле

и0(г)=С0+и0+Осу, (24)

где градиент концентрации в зоне равен

Г 2(м^уЛ^С ^.{оёО

црцр 1)с1Т I ОТ )2

Со- среднее значение концентрации в объеме зоны.

4

4 цн

о . Ятл X

^ -..а.. —и

Рис. 6. Часть границы зоны, с расположенными на ней узловыми точками, и точечные заряды, моделирующие концентрационное поле

Появление возмущения на межфазной границе приводит к искажению концентрационного поля (24). Опишем поле в зоне с возмущенными границами выражением

г/(г)=1/0(г)+и(г),

где к(г) определяет искажение концентрационного поля при появлении на границе возмущения. Его находят с помощью МТИ и с учетом условия на межфазной границе Г(/):

где Г(г)- известное температурное поле в объеме зоны, которое на каждом временном уровне находится с помощью МТИ, путем численного решения уравнения Лапласа с соответствующими условиями на межфазной границе; ¿/77 с/С- наклон линии ликвидуса для системы кристалл-вещество включения.

В работе рассматривается влияние различных параметров, характеризующих систему (толщина зоны, коэффициенты теплопроводности и кинетические коэффициенты растворения и кристаллизации, коэффициент поверхностного натяжения и др.), на динамику роста возмущения на растворяющейся и кристаллизующейся границах зоны при ее термомиграции. Анализируется устойчивость как границы растворения, так и границы кристаллизации. Исследования проводятся для трех режимов термомифации: кинетического, смешанного и диффузионного. Было установлено, что заметное увеличение амплитуды возмущения на границе кристаллизации наблюдается при прохождении зоной пути, значительно большего ее толщины и только в случае, если коэффициент теплопроводности твердой фазы превышает коэффициент теплопроводности расплава. В противоположном случае, типичном для термомиграции в полупроводниковых материалах, когда коэффициент теплопроводности расплава выше, чем кристалла, возмущение на кристаллизующейся границе заметно уменьшается уже на пути зоны, равном ее толщине. В ходе вычислительных экспериментов был обнаружен и исследован эффект взаимного влияния межфазных границ. Этот эффект проявляется в том, что растущее на растворяющейся границе возмущение индуцирует появление и рост возмущения на кристаллизующейся границе зоны. Со временем амплитуда индуцированного возмущения возрастает, что может стать причиной не устойчивости термомиграции.

Результаты проведенных расчетов оказались в полном соответствии с классической теорией устойчивость термомиграции. Представленная в диссертации численная модель позволяет также учесть анизотропию процессов растворения и кристаллизации, исследовать динамику развития возмущения с произвольной начальной формой. Возможность модели можно значительно расширить за счет учета дополнительных факторов.

Наиболее адекватно свойства термомиграции отражают трехмерные компьютерные модели процесса, представленные в работе. В этих моделях достаточно высокая точность (порядка 5% по невязке с граничным условием) достигается при относительно небольшом количестве зарядов (порядка 300). Результаты исследования термомиграции, полученные с помощью трехмерных моделей процесса, в целом согласуются с соответствующими результатами, полученными с помощью двумерных моделей.

В пятой главе «Моделирование потенциальных физических полей методом точечных источников поля при решении конкретных технических задач» приводятся примеры моделирования физических полей при решении конкретных технических задач, в которых используются различные варианты МТИ. Выполнен расчет магнитостатического поля электрической машины с постоянными магнитами (ЭМПМ). При этом магнитные поля, созданные постоянными магнитами, аппроксимируются полями фиктивных магнитных зарядов. Расчет производится для магнитного поля ЭМПМ с числом пар полюсов равным девяти.

В сечении электрической машины выделен сектор, содержащий два постоянных магнита (рис. 7). При этом магнитное поле в каждом из девяти секторов будет таким же, как и в выделенном секторе. Поэтому если, например, заряды, моделирующие поле в некоторой области сектора электродвигателя, располагаются вдоль некоторой окружности, то в точках с полярными координатами а,7 = а, + (/— 1)2я/9

будут располагаться одинаковые по величине заряды (здесь - полярная координата заряда в выделенном первом секторе электродвигателя, ] - номер сектора). В результате число зарядов, подлежащих определению, было уменьшено почти в девять раз, а объем вычислений (при решении системы линейных уравнений методом Гаусса) уменьшен приблизительно в 700 раз.

На рис. 8 приведен график рассчитанного с помощью МТИ распределения индукции магнитного поля В(г)=В(г,а0) при а0 = 10° вдоль радиуса ЭМПМ (кривая 1). На этом же графике приведена аналогичная зависимость, полученная методом конечных элементов (кривая 2). Видно хорошее качественное и количественное совпадение результатов, полученных методами точечных источников и конечных элементов. При этом время вычисления результата с помощью МТИ оказывается значительно меньшим, чем с помощью МКЭ (почти в 100 раз).

На рис. 8 приведен также график распределения магнитной индукции В(г), рассчитанный с учетом зависимости намагниченности М магнитов ЭМПМ от напряженности магнитного поля Я (кривая 3). При решении данной нелинейной задачи использовалась зависимость М(Н) в виде: М- М0( 1 + Н/Нк + а{Н/Нк)2), где параметры Нк, А/0, а определялись состоянием магнитов. При расчете кривой 3 на рис. 8 полагались Нк = 1ДМ0, а= -0,25. Расчет производился с помощью МТИ путем решения нелинейного уравнения Пуассона, правая часть которого в виде -сИуМ рассматривалась как объемная плотность фиктивных зарядов магнитного поля.

- - * 5

V.* V

ЛГ \\\ 4

„:;" л V* «•* *.?» . »--.V* 1 »К

> * .....&

Рис. 7. Сектор, составляющий 1/9 часть сечения ЭМПМ: —•— узловые точки на границах раздела сред; —)— точки на вспомогательных контурах, на которых располагаются точечные заряды; цифрами 1^5 обозначены области сектора

В работе также выполнен расчет трехмерного магнитного поля, образованного постоянным магнитом П- образной формы с симметрично расположенным ферромагнетиком, форма которого совпадает с формой магнита. Между магнитом и ферромагнетиком имеется зазор. Заданной считается намагниченность магнита, магнитная проницаемость ферромагнетика предполагается бесконечно большой. С помощью построенной трехмерной модели статического магнитного поля произведен расчет зависимости силы взаимного притяжения между магнитом и ферромагнетиком от величины зазора. Произведено сравнение результатов, полученных с помощью МТИ, с результатами решения данной задачи при использовании МКЭ. Было установлено, что при одной и той же точности вычислений (0,1 %) в МКЭ потребовалась сетка в 58443 элементов и время счета около 5 мин, в то время как в МТИ использовалось (с учетом симметрии задачи) 408 зарядов и время счета составило 8 с.

Исследована возможность применение МТИ для расчета полей в изоляции пазовых частей обмоток тяговых электродвигателей. Расчет производился в многослойной среде с искривленными границами. Апробация на тестовых задачах численного алгоритма МТИ расчета распределения электрических полей в изоляции пазов реальных тяговых двигателей подтвердила его быстродействие, высокую точность, а также возможность оперативной оценки распределения электрической нагрузки по слоям изоляции в зависимости от диэлектрических свойств используемых материалов.

Выше отмечалось, что применение МТИ оказывается эффективным для решении осесимметричных задач для уравнения Лапласа . В этом случае предпочтительно использовать обобщенный вариант МТИ, т.е. метод интегрированных источников поля (МИИ). В работе выполнен расчет электрического поля между двумя коаксиальными проводниками конечной длины при моделировании процессов, наблюдаемых в электрических фильтрах с коронным разрядом (рис. 9).

Удовлетворительная точность решения (порядка десятой доли процента) достигалась уже при числе узлов, числе интегрированных источников, равном 50; времени счета составило около 2 с. Расчет электрического поля при тех же условиях был произведен также методом конечных элементов с помощью пакета БЕММ. Полученные результаты практически полностью совпадали. Однако при использовании пакета БЕММ для обеспечения требуемой точности вычислений потребовалось использование сетки размером 20000 элементов и время счета около 2 мин.

Рис. 8. Распределение магнитной индукции вдоль радиуса ЭМПМ

Рис. 9. Схематическое изображение электродов фильтра и дискретных интегрированных источников поля: К - узловые точки на внутреннем и внешнем электродах; П , Г2 - поверхности внутреннего и внешнего электродов, соответственно; 5, - дискретные протяженные заряды, моделирующие электрическое поле, для внутреннего и внешнего электродов соответственно

Описан алгоритм расчета распределения концентрации легирующей примеси на поверхности и в объеме наносенсора в процессе его диффузионной модификации. При решении этой задачи использовался МИИ для уравнения диффузии. При этом использовались мгновенные интегрированные источники поля в виде заряженных окружностей, центры которых располагались на оси сенсора и которые последовательно, на мгновение, активизировались в равноотстоящие друг от друга моменты времени. Полученные при этом данные позволили не только прогнозировать результаты диффузионной модификации наносенсоров, но и получить необходимую информацию для определения параметров поверхностной диффузии.

В работе содержится также краткое описание разработанного на основе МТИ комплекса вычислительных программ для моделирования физических полей в областях с подвижными границами. Этот комплекс может применяться для решения задач в инженерной практике.

В заключении сформулированы основные научные результаты диссертации и выводы из проведенных исследований.

В приложениях проводится сравнительный анализ эффективности МТИ и других численных методов (МКЭ, МГЭ), приводятся описания моделей физических полей в неоднородных и нелинейных средах, описывается одномерная математическая модель термомиграции с конвекцией. Приведены также акты использования результатов диссертационных исследований, копии авторских свидетельств, патента и свидетельств о регистрации программ для ЭВМ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Показано, что относительная погрешность численного решения МТИ двумерных задач убывает с увеличением числа зарядов, моделирующих поле, по экспоненциальному закону. При решении трехмерных задач для уравнения Лапласа на-

блюдается экспоненциальная зависимость погрешности МТИ от квадратного корня из числа зарядов, моделирующих поле. Это позволяет достигать весьма низкие для компьютерных вычислений значения относительной погрешности, вплоть до 10"15.

2. Предложен вариант реализации МТИ, допускающий использование точечных зарядов двойного слоя, диполей, или совместное использование диполей и зарядов простого слоя. Оптимальный тип зарядов определяется конкретным характером решаемой задачи. Учитывая, что число обусловленности системы МТИ при использовании диполей обычно значительно меньше, чем при использовании зарядов простого слоя, это, в ряде случаев, дает возможность получать более устойчивое решение и с меньшей погрешностью, чем при использовании обычного варианта МТИ.

3. Проведенные исследования показали возможность применения МТИ для решения широкого круга задач математической физики, как стационарных, так и нестационарных. Показана также возможность моделирования с помощью МТИ физических полей в неоднородных и нелинейных средах. Эти качества, наряду с простотой компьютерной реализации и малым временем счета при низкой погрешности результата, позволяют рассматривать МТИ как один из перспективных численных методов, который, при решении ряда задач, особенно при моделировании физических полей в областях с подвижными границами, способен конкурировать с такими признанными численными методами, как МКР и МКЭ.

4. Предложена и апробирована идея комбинированного использования метода точечных источников поля и сеточных методов, в частности МКР при численном решении граничных задач математической физики. В этом случае расчет поля в одной подобласти решения производится с помощью сеточного метода, а в другой- с помощью МТИ. Такое комплексное использование двух численных методов позволяет объединить их лучшие качества: универсальность сеточного метода, позволяющая использовать его даже при решении нелинейных задач, и простоту реализации, высокое быстродействие МТИ.

5. Произведено исследование кинетики движения плоских зон с помощью одномерных моделей термомиграции, построенных на основе МКР. Показано, что при разработке двумерных, а тем более, трехмерных моделей процесса применение сеточных методов нецелесообразно. Значительно эффективнее являются компьютерные модели термомиграции, построенные на основе МТИ, позволяющие исследовать не только кинетику движения дискретных зон, но и определять условия устойчивости процесса, в том числе при нелинейных механизмах кристаллизации и растворения.

6. Разработан комплекс вычислительных программ для моделирования физических полей в областях с подвижными границами. С помощью этого комплекса исследована кинетика термомиграции дискретных зон, определены условия устойчивости процесса, моделируются электрические и магнитные поля в электромеханических устройствах, прогнозируются результаты диффузионной модификации нано-сенсоров. Полученные при этом результаты находятся в удовлетворительном согласии с известными теоретическими данными, с данными независимых исследователей и с данными натурных экспериментов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в ведущих научных журналах из списка ВАК:

1. Лозовский, ВЛ. Применение бикристаллов для исследования кинетики межфазных процессов с помощью зонной перекристаллизации градиентом температуры / В. Н. Лозовский, С. Ю. Князев, В. А. Юрьев // Заводская лаборатория. - 1986. -Вып.6.-С. 52-53.

2. Александров, Л.Н. Управление массопереносом легирующей примеси при зонной сублимационной перекристаллизации кремния / Л. Н. Александров, C.B. Лозовский, С. Ю. Киязев/ЯТисьма в ЖТФ.-1987.- Т. 13.- Вып. 17.- С.1080-1084.

3. Александров, Л.Н. Silicon Zone Sublimation Regrowth = Зонная сублимационная перекристаллизация кремния / Л. Н. Александров, C.B. Лозовский, С.Ю. Князев // Phis. Stat. sol. - 1988. - V. 107. - P. 213.

4. Лозовский, C.B. Перенос легколетучей примеси при перекристаллизации кремния через тонкий вакуумный промежуток / С. В. Лозовский, С. Ю. Князев,

B.И. Квасов // Изв. АН СССР. - 1988. - Т. 24. - № 2. - С. 316-318.

5. Князев, С.Ю. Влияние ориентации источника на кинетику процесса зонной перекристаллизации в поле температурного градиента / С. Ю. Князев, СБ. Ло-зовский//Изв. Вузов. Физика.- 1989.- Т. 32, № З.-С. 113-115.

6. Князев, С.Ю. Колебательные процессы на межфазных границах при зонной перекристаллизации градиентом температуры в стационарном тепловом поле /

C. Ю. Князев, СБ. Лозовский, A.B. Балюк, Л.М. Середин // Изв. вузов. Физика. -1995. - Т. 38, № 5. - С. 68-72.

7. Князев, С.Ю. Особенности кинетики боковой зонной перекристаллизации полупроводниковых кристаллов в поле температурного градиента / С. Ю. Князев, AB. Балюк, Л. М. Середин // Изв. вузов. Физика. - 1996. - Т. 39, №1. - С. 67-71.

8. Получение сильнолегированных эпитаксиальных слоев кремния на основе процессов в микроразмерных кристаллизационных ячейках / В. Н. Лозовский, C.B. Лозовский, С.Ю. Князев С, Д.Ю. Плющев // Изв. вузов. Цветная металлургия. -1997.-№1,-С. 68-72.

9. Лозовский, В.Н. Нестационарная жидкофазная эпитаксия кремния в поле температурного градиента / В. Н. Лозовский, С. Ю. Князев, А. С. Нефедов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 1998. - № 2. - С. 58-63.

10. Лозовский, ВЛ. Применение метода зонной перекристаллизации градиентом температуры для получения высоколегированных слоев кремния / В. Н. Лозовский, С. Ю. Князев, А. С. Нефедов // Изв. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 1998. -№ 1. - С. 111-114.

11. Анализ массопереноса при нанесении и снятии слоев в едином технологическом цикле / В. Н. Лозовский, С.Ю. Князев, СБ. Лозовский, Д.Ю. Плющев //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. -1999. - 4. - С. 73 -76.

12. Атомная кинетическая модель массопереноса при зонной сублима-ционной перекристаллизации / В. Н. Лозовский, С.Ю. Князев, C.B. Лозовский, Д.Ю. Плю-щев//Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2000. -№ 1. - С. 60-63.

13. Князев, С.Ю. Компьютерное моделирование кинетики движения жидкой зоны при термомиграции / С. Ю. Князев, В. Н. Лозовский, А. В. Малибашев // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2002. - Спецвып. - С. 49-52.

14. Князев, С.Ю. Применение метода конечных разностей для анализа кине-

тики миграции линейной зоны при зонной перекристаллизации градиентом температуры / С. Ю. Князев, А. В. Малибашев // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2002. - Спецвып. - С. 67-69.

15. Численное моделирование теплового поля градиентного нагревателя для жидкофазной эпитаксии кремния / С. Ю. Князев, JI.M. Середин, A.B. Балюк, Б.М. Середин//Изв. вузов.Сев.-Кавк. регион. Техн. науки.- 2002.- Спецвып.- С. 80-83.

16. Лозовский В Л. Влияние поверхностной диффузии на кинетику термомиграции дискретного жидкого включения / В. Н. Лозовский, С. Ю. Князев, А. В. Малибашев //Изв. вузов.Сев.-Кавк. регион. Техн. науки.-2004.- Спец. вып. - С. 65-66.

17. Князев, С.Ю. Компьютерное моделирование процессов, определяющих миграцию жидкого включения в поле температурного градиента / С. Ю. Князев, A.B. Малибашев // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2005. - Спец. вып.: Математическое моделирование и компьютерные технологии. - С. 67-70.

18. Князев, С.Ю. Моделирование термомиграции с помощью метода граничных элементов и точечных источников поля / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. - 2006. - № 8. - С. 67-71.

19. Князев, С.Ю. Одномерная модель конвекции при термомиграции / С.Ю. Князев, В. С. Лозовский // Известия вузов. Физика. - 2006. - № 8. - С. 71-74.

20. Князев, С.Ю. Решение задач тепло- и массопереноса с помощью метода тотечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2006. - № 4. - С. 43-47.

21. Бахвалов, Ю.А. Компьютерное моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев // Вестн. В ГУ / Воронеж, гос. ун-т. - 2007. - Т. 3, № 8. - С. 36-38.

22. Бахвалов, Ю А. Расчет двумерных потенциальных полей методом интегрированных фундаментальных решений / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Вестн. ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. - 2007. - Т. 3, № 8. - С. 39-41.

23. Князев С.Ю. Решение граничных задач математической физики методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2007. - № 3. - С. 11-15.

24. Князев, С.Ю. Численное исследование стабильности термомиграции плоских зон / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2007. -№ 1. - С. 14-19.

25. Князев, С JO. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. - 2007. -№ 2. - С. 77-78.

26. Бахвалов, Ю.А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Изв. РАН. Сер. физическая. - 2008. - Т. 72, № 9. - С. 1259-1261.

27. Князев, С.Ю. О погрешности метода точечных источников поля / С.Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. - 2008. - № 3. - С. 69-70.

28. Расчет двумерных электрических полей в изоляции пазовых частей обмоток тяговых электродвигателей методом эквивалентных зарядов / А. В. Киреев, Н.И. Березинец, AJO. Бахвалов, С.Ю. Князев, АЛ. Щербаков II Изв. вузов. Электромеханика. - 2008. - № 5. - С. 3 -7.

29. Применение зарядов двойного слоя в методе точечных источников поля/ А.Ю. Бахвалов, С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, А А. Щербаков // Системы управле-

ния и информационные технологии. -2009.- № 3.1 (37).- С. 108-112.

30. Расчет электрических полей в изоляции тяговых электродвигателей методом эквивалентных зарядов / А. В. Киреев, А.Ю. Бахвалов, С.Ю. Князев, АА. Щербаков // Электротехника. - 2009. - № 3. - С. 35-39.

31. Князев, С.Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. - 2010. - № 1. - С. 3-12.

32. Бахвалов, Ю.А. Исследование устойчивости термомиграции с помощью трехмерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / ЮА. Бахвалов, С.Ю. Князев, B.C. Лозовский // Системы управления и информационные технологии - 2010.- № 1.2 (39) -С. 289-291.

Авторские свидетельства, патент

33. A.c. 1398482 СССР. Способ получения кремниевых структур с диэлектрической изоляцией / Лозовский В.Н., Князев С.Ю., Крыжановский В.П., Юрьев ВА., Овчаренко A JH., Кукоз В.Ф., Хулла В .Д. - № 4071683; заявл. 26.05.86; зарег. 22.01.88.

34. A.c. 1135226 СССР. Способ обработки подложек . Лозовский В.Н., Зур-наджян B.C., Будцо В .И., Зурнаджян Л.Ш., Глушков ЕА., Князев С.Ю. №1135226; заявл. 04.04.83; зарег. 15.09.84.

35. A.c. 1526299 СССР, МКИ С 30 В 19/02, 29/06. Способ получения каналов сложной конфигурации в полупроводниковых пластинах / Лозовский СВ., Князев С.Ю., Кукоз В.Ф., Маноцкая И.И. - № 4357159; заявл. 09.11.87; зарег. 01.08.89.

36. A.c. 1725692 СССР, МКИ И Ol L 21/205. Способ получения эпитаксиаль-ных слоев кремния, легированного галлием / Лозовский СВ., Князев С.Ю., Кукоз В.Ф., Хулла В.Д., Дементьев Ю.С., Кравцов АА. - № 4759240; заявл. 17.11.89; зарег. 08.12.91.

37. А.С.1358486 СССР. Способ зонной перекристаллизации кремния / Лозовский В.Н., Зурнаджян B.C., Гуров Б.М., Князев С.Ю. и др. - № 3972054; заявл. 04.11.85; зарег. 08.08.87.

38. Пат. 2038646 РФ, МПК Р 01 L 21/208. Способ молекулярно-лучевой эпи-таксии / Шенгуров В.Г., Лозовский C.B., Князев С.Ю.ДИабанов В.Н. - № 5017568; заявл. 18.07.91; опубл. 27.06.95, Бюл. 18.

Прочие работы по теме диссертации

39. Князев, С.Ю. Компьютерное моделирование термомиграции : монография /СЮ. Князев, В.Н. Лозовский, A.B. Малибашев; Сев.-Кавк. науч. центр высш. шк.;Юж.-Рос.гос.техн. ун-т(НПИ).-Новочеркасск: Набла,2005.-183 с.

40. Моделирование диффузионной модификации наносенсора / С.Ю. Князев, C.B. Лозовский - Свидетельство о гос. регистр, программы для ЭВМ № 2010614316 .- 2010612463 ; заявл. 06.05.2010 ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 05.07.2010.

41. Моделирование термомиграции линейных зон в изотропном кристалле / С.Ю. Князев. - Свидетельство о гос. регистр, программы для ЭВМ № 2010614285.2010612461 ; заявл. 06.05.2010 ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 01.07.2010.

42. Моделирование процесса термомиграции плоской зоны в кристалле / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, A.A. Слепцов. - Свидетельство о гос. регистр, программы для ЭВМ № 2010614286. 2010612462 ; заявл. 06.05.2010 ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 01.07.2010.

43. Расчет потенциального поля с помощью метода точечных и интегрированных источников поля / С.Ю. Князев, А.А. Щербаков. - Свидетельство о гос. регистр. программы для ЭВМ № 2010614284.- 2010612460 ; заявл. 06.05.2010 ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 01.07.2010.

44. Лозовский, C.B. Рост и легирование эпитаксиальных слоев легколетучими примесями при перекристаллизации кремния через тонкий вакуумный промежуток / С. В. Лозовский, С. Ю. Князев, В. Н. Квасов // VII конференция по процессам роста и синтеза полупроводниковых кристаллов и пленок, г. Новосибирск, 9-13 июня 1986 г. : тез. докл. - Новосибирск, 1986. - Т. 1. - С. 141.

45. Лозовский, C.B. Массоперенос примесей при зонной сублимационной перекристаллизации кремния /C.B. Лозовский, С. Ю. Князев // II Всесоюз. науч. конф. по моделированию роста кристаллов, г. Рига, 3-5 нояб. 1987 г. : тез. докл. - Рига, 1987. - Т. 1. - С. 225.

46. Лозовский, C.B. Управление планарным распределением легирующей примеси в эпитаксиальных слоях, полученных перекристаллизацией кремния через тонкий вакуумный промежуток / C.B. Лозовский, С. Ю. Князев // XII Всесоюз. науч. конф. по микроэлектронике, г. Тбилиси, 26-28 окт. 1987 г. : тез. докл. - Тбилиси, 1987. - Ч. VI.- С.83..

47. Анизотропия скорости кристаллизации и растворения кремния при ЭПГТ / С. Ю. Князев, C.B. Лозовский, В. Крыжановский, В.А. Юрьев // Физика кристаллизации : межвуз. сб. - Калинин : КГУ, 1988. - С. 12-18.

48. Зонная сублимационная перекристаллизация как метод осаждения совершенных эпитаксиальных слоев кремния в неглубоком вакууме / СВ. Лозовский, С.Ю. Князев, А.С. Авилов, 3JC. Ковьев // VII Всесоюз. конф. по росту кристаллов, г. Москва, 14-19 нояб. 1988 г. - М., 1988. - Т. 1. - С. 90-91.

49. Выращивание и свойства эпитаксиальных слоев кремния, легированного галлием и индием в широком диапазоне концентраций / В.Н. Лозовский, С.Ю. Князев, АЛ. Кравцов, Н.И. Лобода/ЛПП Всесоюзная конференция по росту кристаллов: расшир. тез. докл.,г. Харьков, 2-8 февр.1992 г.-Харьков, 1992.-Т. II, ч. II.- С. 284-285.

50. Механизм переноса примесей и легирование эпитаксиальных слоев при зонной сублимационной перекристаллизации кремния / C.B. Лозовский, С. Ю. Князев, В Д. Хулла, Н.И. Лобода // Физика кристаллизации : сб. науч. тр. / Твер. гос. унт. - Тверь, 1992. - С. 39-44.

51. Лозовский, В.Н. Эпитаксия примесного кремния на основе процессов перекристаллизации градиентом температуры с использованием жидких и вакуумных зон / В.Н. Лозовский, С. Ю. Князев, С. В. Лозовский // Конференция по электронным материалам : тез. докл. г. Новосибирск, 9-15 авг. 1992 г. - Новосибирск, 1992. -С. 101-102.

52. Князев, С.Ю. Особенности кинетики зонной перекристаллизации с переменным градиентом температуры / С. Ю. Князев, А. В. Балюк, Л. М. Середин // Кристаллизация и свойства кристаллов : межвуз. сб. науч. тр. / Новочерк. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск : НГТУ, 1993. - С. 79-83.

53. Лозовский, СВ. О массопереносе в плоскости вакуумного капилляра при зонной сублимационной перекристаллизации / С. В. Лозовский, С. Ю. Князев, Д.Ю. Плющев // Вакуумная наука и техника : тез. докл. науч.-техн. конф. с участием зарубежных специалистов, Гурзуф, окт. 1995г. - Гурзуф, 1995. - С. 47.

54. Князев, С.Ю. О применении атомарно-кинетической и диффузионной моделей для исследования массопереноса при зонной сублимационной перекристаллизации / С. Ю. Князев, С. В. Лозовский, Д. Ю. Плющев // Кристаллизация и свойства кристаллов: межвуз. сб. науч. тр. - Новочеркасск : НГТУ; Изд-во "Набла", 19%. -С. 90-93.

55. Князев, С.Ю. Условие стационарности при зонной перекристаллизации градиентом температуры / С. Ю. Князев, А. С. Нефедов, А. В. Юрьев // Кристаллизация и свойства кристаллов: межвуз. сб. науч. тр. - Новочеркасск : НГТУ; Изд-во "Набла", 1996.-С. 11-14.

56. Князев, С.Ю. Численное моделирование кинетики миграции жидкой зоны методом зонной перекристаллизации градиентом температуры в переменном тепловом поле / С. Ю. Князев, В. С. Зурнаджян, А. С. Нефедов // Кристаллизация и свойства кристаллов : межвуз. сб. науч. тр. - Новочеркасск : НГТУ; Изд-во "Набла", 1996. - С. 94-99.

57. Князев, С.Ю. Численное моделирование массопереноса при зонной сублимационной перекристаллизации / С. Ю. Князев, С. В. Лозовский, Д. Ю. Плющев // Кристаллизация и свойства кристаллов : межвуз. сб. науч. тр. / Новочерк. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск : НГТУ; Изд-во "Набла", 1996. - С. 7-10.

58. Зонная сублимационная перекристализация как средство определения параметров твердотельных материалов и исследования поверхностных явлений / C.B. Лозовский, С.Ю. Князев, Д.Ю. Плющев, В. Д. Хулла// Методы и стредства измерений физических величин : тез. докл. 2-й всерос. науч.-техн. конф., г. Н. Новгород, 18-19 июня 1997 г. - Н. Новгород, 1997. - С. 29.

59. Моделирование массопереноса при зонной сублимационной перекристаллизации из составного источника / В.Н. Лозовский, С. Ю. Князев, C.B. Лозовский, Д.Ю. Плющев // Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур : тез. докл. 2-го Рос. симпозиума, г. Обнинск 22-24 сент. 1997 г. -Обнинск, 1997. - С. 56.

60. Microtechnologi of Layer-on-Layer and Growing Layers = Микротехнология послойного нанесения и снятия слоев / Л. С. Лунин, В.Н. Лозовский, С.Ю. Князев, C.B. Лозовский, Д.Ю. Плющев // 44-th Scientiflk Colloquium Technical Universiti of Ilmenau, sept. 20-22. - Ilmenau (Germany), 1999. - V. 2. - P. 371-375.

61. Князев, С.Ю. Влияние осциляций температуры на закономерности роста слоев кремния из жидкой фазы методом термомиграции / С. Ю. Князев, В. Н. Лозовский, А. С. Нефедов // НКРК 2000 : IX нац. конф. по росту кристаллов, г. Москва, 16-20 окт. 2000 г. : тез. докл. - М. : ИК РАН, 2000. - С. 220.

62. Кинетика зонной перекристаллизации градиентом температуры кремния плоскими и линейными зонами при прямом нагреве полупроводниковой композиции электрическим током / В. Н. Лозовский, С.Ю. Князев, A.C. Нефедов, Е.Г. Страданченко // Кремний-2000 : тез. докл. II Рос. конф. по материаловедению и физико-химическим основам технологий получения легированных кристаллов кремния, г. Москва, 9-11 февр. 2000 г. - М. : МИСиС, 2000. - С. 150.

63. Лозовский, В.Н. Кинетика миграции линейных зон в кристалле кремния при ЗПГТ / В. Н. Лозовский, С. Ю. Князев, А. В. Малибашев // Кремний-2002 : тез. докл. Совещания по росту кристаллов, пленок и дефектам структуры кремния, г. Новосибирск, 9-12 июля 2002 г. - Новосибирск, 2002. - С. 32.

64. Князев, С.Ю. Построение математической модели термомиграции жидкого включения / С. Ю. Князев, А. В. Малибашев // Математические методы в технике и технологиях : ММТТ-15 : сб. тр. XV Междунар. науч. конф. / Тамбовский гос. техн. ун-т. - Тамбов : Изд-во ТГТУ, 2002. - С. 134-137.

65. Князев, С.Ю. Исследование стабильности движения плоских зон с помощью компьютерной модели термомиграции / С. Ю. Князев, В. С. Лозовский // XII национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2006) : тез. докл., Москва. 23-27 окт. 2006 г. / Ин-т кристаллографии РАН. - Москва: ИК РАН, 2006. - С. 132.

66. Князев, С.Ю. Исследование эволюции формы дискретных зон с помощью компьютерной модели термомиграции / С. Ю. Князев, А. В. Малибашев // XII национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2006): тез. докл., Москва. 2327 окт. 2006 гУИн-т кристаллографии РАН. - М.: ИК РАН, 2006. - С. 499.

67. Князев, С.Ю. Получение сверхтонких эпитаксиальных слоев при термомиграции капель раствора-расплава по поверхности кристалла / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Нанотехнологии - производству-2006: тез. докл. конф.,г. Фрязино, 2930 нояб.2006 гУЗАО "Концерн Наноиндустрия". - М.: "Янус-К", 2006.-С. 132.

68. Бахвалов, Ю.А. Компьютерное моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах : материалы V Междунар. семинара, Воронеж, 26-27 мая 2007 г. / ГОУ ВПО "Воронеж, гос. техн. ун-т". - Воронеж, 2007. - С. 169-174.

69. Бахвалов, Ю А. Расчет двумерных потенциальных полей методом интегрированных фундаментальных решений / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах : материалы V Междунар. семинара, г. Воронеж, 26 -27 мая 2007 г. / ГОУ ВПО "Воронеж, гос. техн. ун-т". - Воронеж, 2007. -С. 175-180 (0.38 пл., из них лично автора - 0.2).

70. Бахвалов, Ю.А. Моделирование плоскомеридианных потенциальных полей методом интегрированных фундаментальных решений / Ю. А. Бахвалов, С.Ю. Князев // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию : [сб. докл. VI Междунар. конф. "Порядковый анализ и смежные вопросы мат. моделирования", Владикавказ, 29 июня - 4 июля 2008 г. / Юж. мат. ин-т ВНЦ РАН]. - Владикавказ : ВНЦ РАН, 2008. - С. 48-52.

71. Князев, С.Ю. Моделирование потенциальных полей методом интегрированных источников поля / С. Ю. Князев // Математические методы в технике и технологиях : ММТТ-21: сб. тр. XXI Междунар. науч. конф., 27-30 мая 2008 г.: в 10 т. / Саратов, гос. техн. у-т.-Саратов : СГТУ, 2008. - Т. 1, секц. 1. - С. 184-186.

72. Князев, С.Ю. Применение метода мгновенных точечных источников поля при численном решении граничных задач для уравнения теплопроводности / С.Ю. Князев, А. А. Щербаков // Физико-математическое моделирование систем : материалы V Междунар. семинара (г. Воронеж, 28-29 ноября 2008 г.) / Воронеж, гос. техн. ун-т. - Воронеж, 2008. - Ч. 2. - С. 47-54..

73. Князев, С.Ю. Трехмерная компьютерная модель термомиграции, построенная на основе метода интегрированных источников поля / С. Ю. Князев, В. С. Лозовский, Г. А. Демиденко//ХШ национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2008): тез .докл., Москва, 17-21 нояб. 2008 г./Ин-т общей физики РАН; Национальный комитет российских кристаллографов.-М.:ИК РАН,2008.-С. 116.

74. Князев, С.Ю. Численное решение уравнений параболического типа с помощью метода интегрированных источников поля / С. Ю. Князев // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию : [сб. докл. VI Междунар. конф. "Порядковый анализ и смежные вопросы мат. моделирования", Владикавказ, 29 июня - 4 июля 2008 г. / Юж. мат. ин-т ВНЦ РАН]. - Владикавказ : ВНЦ РАН, 2008. - С. 119-123 (0.25 пл.).

75. Князев, С.Ю. Исследование эволюции межфазных границ при термомиграции плоских зон с помощью численной модели на основе метода интегрированных источников поля / С. Ю. Князев, В. С. Лозовский, А. В. Цапколенко // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию : [сб. докл. VII Междунар. конф. "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования", Волгодонск, 24-29 авг. 2009 г.] / Юж. мат. ин-т ВНЦ РАН и РСО-А ; Юж. федер. ун-т ; Юж.-Рос. гос. ун-т экономики и сервиса. - Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2009. - С. 69-76.

76. Бахвалов, Ю.А. Исследование устойчивости термомиграции с помощью компьютерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, В. С. Лозовский // Физико-математическое моделирование систем : материалы VI Междунар. семинара, г. Воронеж, 27-28 нояб. 2009 г. /Воронежск. гос. техн. ун-т. - Воронеж: ВГТУ, 2010. - Ч. 3. - С. 12-17.

Личный вклад автора в опубликованных в соавторстве работах: [1, 6, 33,

37, 47] постановка задач исследований, проведение натурных экспериментов; [2- 5, 7, 9- 17,24, 28,30, 32,40- 46,48, 50- 67, 69- 71, 73, 75- 76] разработка моделей и алгоритмов реализации; [8, 34- 36, 38, 49] проведение натурных экспериментов; [1823,25- 27,29,31,39,68,72,74] теоретическое обоснование, развитие МТИ.

Князев Сергей Юрьевич

МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ Д ЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Автореферат

Подписано в печать 15.07.2011. Формат 60 х 84 У^. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,0. Уч-изд. л. 2,0. Тираж 130 экз. Заказ 48-3153.

Отпечатано в ИД «Политехник» 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)»

На правах рукописи

05201150459

Князев Сергей Юрьевич

МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант

д-р техн. наук, проф Бахвалов Ю.А.

Новочеркасск — 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление 2

Список сокращений 6

Введение 7

Глава1. Обзор литературы и постановка задачи исследования 16

1.1. Особенности расчета полей в областях с подвижными границами 16

1.2. Моделирование термомиграции как пример задачи с подвижными границами 20

1.3. Численные методы, используемые при моделировании термомиграции; метод точечных источников поля 24

1.4. Краткое описание метода точечных источников поля 26

1.5. О названии численного метода 32

1.6. Анализ известных свойств и прикладных возможностей МТИ 36

1.6.1. Общая формулировка МТИ 36

1.6.2. Теоретические исследования МТИ 37

1.6.3. Связь МТИ с другими численными методами

и их совместное использование 44

1.6.4. Решаемые с помощью МТИ задачи 46

1.6.5. Применение МТИ при решении прикладных задач 48

1.7. Постановка задачи исследования 50 Основные результаты и выводы по главе 1' 54

Глава 2. Теоретическое обоснование метода точечных источников поля

для уравнения Лапласа 56

2.1. Линейная независимость базисных функций системы МТИ 57

2.2. Расширение области решения краевой задачи и возможность применения МТИ 59

2.3. Сходимость метода точечных источников поля 64

2.4. Различные способы нахождения зарядов поля 68

2.5. Обусловленность матрицы МТИ 71

2.6. Устойчивость МТИ 76

2.7. Корректность задачи МТИ 82

2.8. Погрешность стандартной задачи МТИ 88

2.8.1. Погрешность стандартной задачи МТИ при нахождении поля точечного заряда 89

2.8.2. Результаты численных экспериментов 100

2.8.3. Решение задач с помощью МТИ и рядов Фурье 106

2.8.4. Погрешность МТИ при решении смешанной краевой

задачи 112

2.8.5. Погрешность МТИ при использовании метода наименьших квадратов 119

2.9. Погрешность МТИ. Общий случай 122

2.9.1. Двумерная задача. Граница с произвольной конфигурацией 123

2.9.2. Погрешность решения трехмерной задачи МТИ 133

2.9.3. Погрешность МТИ при разрывных граничных условиях 137

2.9.4. Погрешность МТИ при наличии угловых точек 141

2.10. Распределение зарядов на вспомогательной окружности 145 2.11. Погрешность МТИ при моделировании поля протяженных источников 153 2.12 Определение погрешности МТИ при моделировании поля, определяемого компонентами ряда Фурье для гармонической функции 156

2.13. Моделирование поля диполей 160 2.14. Моделирование потенциального поля точечными зарядами

двойного слоя 163

2.15. Решение внешней краевой задачи для круговой области 167

Основные результаты и выводы по главе 2 172

Глава 3. Обобщение метода точечных источников поля 176

З.Г. Метод интегрированных источников поля 176 3.2. Применение метода интегрированных источников поля при решении задач с осевой симметрией 186

3.3. Применение МТИ при решении краевых задач для уравнений эллиптического типа 189

3.4. Решение нелинейных уравнений эллиптического типа с

помощью МТИ 194

3.5. Применение МТИ при решении краевых задач для

уравнений параболического типа 197

3.6. Применение МТИ при решении краевых задач для волновых уравнений 203

3.7. Совместное использование МТИ и сеточных методов 206

3.8. Сравнительный анализ эффективности МТИ и других

численных методов 209

Основные результаты и выводы по главе 3 214

Глава 4. Компьютерное моделирование термомиграции 216

4.1. Математические модели термомиграции 216

4.1.1. Одномерные модели термомиграции 216

4.1.2. Построение двумерной базовой модели

термомиграции 220

4.1.3. Общая схема моделирования процесса

термомиграции 228

4.1.4. Упрощенная формулировка задачи термомиграции жидкого включения в полупроводниковом кристалле 229

4.2. Конечно-разностная модель термомиграции 231

4.3. Применение метода граничных элементов 234

4.4. Компьютерная модель термомиграции на основе метода точечных источников поля 236

4.4.1.Моделирование стационарной термомиграции линейных

зон с помощью метода точечных источников поля 236

4.4.2. Проблема адекватности модели термомиграции 239

4.4.3. Результаты моделирования термомиграции линейных зон при нормальном механизме межфазных процессов 245

4.4.4. Результаты моделирования термомиграции линейных зон

при нелинейных механизмах межфазных процессов 258

4.5. Исследование стабильности термомиграции плоских зон с помощью компьютерной модели, построенной на основе МТИ 262

4.6. Трехмерные модели термомиграции 275 Основные результаты и выводы по главе 4 278

Глава 5. Моделирование физических полей с помощью МТИ при

решении конкретных технических задач 281

5.1. Расчет магнитостатических полей электрических машин с постоянными магнитами 281

5.2. Расчет магнитостатического поля электрической машины

с постоянными магнитами с учетом зависимости намагниченности от напряженности магнитного поля 286

5.3. Пример построения трехмерной модели поля постоянного

магнита 288

5.4. Расчет двумерных электрических полей в изоляции пазовых частей обмоток тяговых электродвигателей 291

5.5. Расчет электрического поля в объеме фильтра с коронным разрядом 297

5.6. Моделирование диффузионной модификации наносенсоров 300

5.7. Используемое и разработанное программное обеспечение 304 Основные результаты и выводы по главе 5 307

Заключение 309

Литература 311

Приложения 335

Приложение 1. Моделирование физических полей в

неоднородных и нелинейных средах 335

Приложение 2. Одномерная модель термомиграции

с конвекцией 342

Приложение 3. Акты об использовании материалов диссертации 347

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ACM - атомно- силовой микроскоп;

ГИУ - граничное интегральное уравнение;

ЗГТГТ — зонная перекристаллизация градиентом температуры

ЗСП - зонная сублимационная перекристаллизация

КПД - коэффициент полезного действия;

МГЭ - метод граничных элементов

МИИ - метод интегрированных источников поля

МКР — метод конечных разностей;

МКЭ — метод конечных элементов;

МНК - метод наименьших квадратов;

МТИ — метод точечных источников поля;

МФР — метод фундаментальных решений;

МЭЗ — метод эквивалентных зарядов;

СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений

ЭМ - электромагнит;

ЭММ - электромагнитные механизмы;

ЭМПМ - электрическая машина с постоянными магнитами; ЭС - эпитаксиальный слой.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследований. Применение сеточных методов для моделирования физических полей в областях со сложной геометрической конфигурацией границ вызывает определенные трудности. Эти трудности значительно возрастают при решении задач в областях, границы которых со временем изменяют свое положение или форму [231, 232, 234, 264]. Между тем такого рода задачи имеют важное прикладное значение. Например, моделирование роста кристаллов и кристаллических слоев приводит к задаче Стефана в областях со сложной, изменяющейся во времени конфигурацией [176, 206, 211, 270, 288]. Численное решение этой задачи позволяет оптимизировать процесс выращивания кристаллических структур, например, для нужд микро и наноэлектроники.

Задачи моделирования физических полей в областях с подвижными границами не ограничиваются ростовыми процессами. Подвижность, границ необходимо учитывать при моделировании электрических и магнитных полей в электромеханических устройствах. Формально к задачам с подвижными границами относятся многие задачи проектирования технических устройств. При разработке этих устройств геометрические параметры расчетной области (геометрические размеры) должны иметь значения, обеспечивающие оптимальные для данного устройства характеристики. Поиск оптимального решения должен выполняться путем расчета физических полей при различных формах границы или при ее перемещении, движении. Следовательно, задачи оптимизации технических характеристик разрабатываемых устройств в ряде случаев также можно рассматривать как задачи с движущимися или изменяющимися границами. Поэтому решение задач моделирования физических полей в областях с подвижными границами является актуальным.

В общем случае при нахождении физических полей в областях с подвижными границами необходимо учитывать возможность изменения дифференциальных уравнений, с помощью которых описываются моделируемые поля. Это резко усложняет решаемую задачу. Однако часто, например, при достаточно медленном движении границ, вид уравнений,

описывающих поле, сохраняется. В дальнейшем это условие предполагается выполненным.

Моделирование ростовых процессов является практически значимой задачей, которая относится к задачам с подвижными границами. Типичным примером ростового процесса является термомиграция [206, 261, 262, 291]. Она представляет собой миграцию макровключений (обычно жидкофазных) в твердом теле, обусловленную полем градиента: температуры: В технологии-изготовления полупроводниковых приборов и материалов электронной техники моделирование процесса термомиграции позволяет решать широкий;круг задач [231, 232]. Распространены и находят практическое: применение одномерные модели термомиграции, которые удовлетворительно описывают некоторые конкретные процессы и позволяют получить важные результаты, подтверждаемые экспериментально-{177, 232, .236; 237, 251, 265]. Значительно более сложными являются двумерные модели, более адекватно отражающие исследуемый процесс. При их применении обычно . используется метод конечных разностей (МКР) [231, 232, 241, 264]. Однако детальные исследования показали ограниченные возможности этого метода. Необходимость совместного решения уравнений теплопроводности и диффузии при учете граничных условий на движущейся; постоянно изменяющею свое положение и форму межфазной границе, составляет основную^ сложность задачи. Это приводит к росту погрешности конечно-разностных двумерных моделей термомиграции, что снижает достоверность результатов, полученных при их использовании. Еще большие трудности возникают при построении трехмерных моделей термомиграции. Это требует разработки эффективных численных методов для построения более адекватных компьютерных: моделей термомйграции. К таким методам: можно отнести метод точечных, источников, поля- (МТИ), который является одним; из перспективных, по, к настоящему времени, слабо разработанным методом моделирования, физических полей [41, 179, 232]. Применение этого метода позволит значительно повысить точность компьютерных моделей и перейти к построению эффективных трехмерных

моделей термомиграции, с помощью которых возможно исследование закономерностей процесса в наиболее полном виде.

Метод точечных источников поля является перспективным инструментом численного решения граничных задач для уравнения Лапласа и других уравнений математической физики. Идея метода состоит в представлении приближенного решения задачи в виде суперпозиции полей точечных источников поля, зарядов; расположенных за пределами\ области решения на некотором! удалении: от ее границы. Основные положения МТИ были представлены в работах В'.Д; Купрадзе и М.А. Алексидзе в 1964 г. [179, 255, 256], но эти работы не нашли последующего развития и практического применения. В настоящее время интерес к методу, особенно в зарубежной научной литературе, значительно возрос. Получен ряд новых результатов. Можно привести множество примеров? практической реализации метода при решении; научно- исследовательских и прикладных задач [41, 289]. Тем не менее, до/настоящего времени область применения метода не соответствует его перспективным возможностям. Это объясняется отсутствием:систематического, всестороннего исследования возможностей метода. Полученные /теоретические и прикладные результаты, носят разрозненный характер. Значительная часть работ ограничивается исследованием свойств < МТИ при- решении стандартных задач, например граничной? задачи для круговой/ области. Весьма скромные результаты получены для МТИ при решении трехмерных граничных задач. Представленные в; литературных источниках конкретные научно- технические задачи, решаемые с помощью МТИ, не отличаются; полнотой и законченностью. Это относится и к публикациям, в которых рассматриваются проблемы теоретического обоснования метода. Все это ограничивает использование МТИ для- широкого круга пользователей и подтверждает актуальность, работы по обоснованию и практической: реализации метода для решения конкретных прикладных задач, при моделировании физических полей, в том числе в задачах с подвижными границами.

Работа выполнена в соответствии с: приоритетными направлениями развития науки, технологий и техники РФ «Информационно-

телекоммутационные технологии и электроника» (утверждено Указом Президента РФ от 30.03.02 г.); научными направлениями ЮРГТУ (НПИ) «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» и «Кристаллы и структуры для твердотельной электроники» и выполнялась в рамках госбюджетных НИР вуза: «Развитие методов математической физики и вычислительной математики для решения комплексных проблем электродинамики», «Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей формирования и модификации квазиодномерных наноструктур на основе углерода и полупроводниковых материалов в ультратонких кристаллизационных ячейках» и «Разработка моделей процессов массо- и теплопереноса в микроразмерных ростовых ячейках» (коды ГРНТИ 27.35.33; 29.19.00; 47.09.29; 29.03.77; 29.19.15), а также в рамках грантов РФФИ «Разработка теории и физических основ методов кристаллизации нанослоев и гетероструктур на основе ZnO из молекулярных потоков в ультратонких ростовых ячейках» № 07-08-05056-6, «Теория и экспериментальные исследования диффузии в нанообъектах» № 08-08-00886.

Цель работы заключается в повышении эффективности компьютерных моделей физических полей в областях с подвижными границами, применяемых для оптимизации процессов изготовления кристаллических структур для нужд микро- и наноэлектроники и электромеханических устройств, достигаемое путем использования метода точечных источников поля (МТИ).

Для, достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

• теоретические и экспериментальные исследования устойчивости и сходимости МТИ при моделировании потенциальных полей, оценка погрешности метода;

• исследование потенциальных возможностей МТИ при моделировании физических полей в неоднородных и нелинейных средах;

• исследование возможности совместного использования МТИ и сеточных методов, например, метода конечных разностей при численном решении граничных задач математической физики;

• разработка одномерных моделей термомиграции, позволяющих исследовать влияние разнообразных факторов на кинетику процесса и на его устойчивость;

• разработка теоретических основ для построения двумерных и трехмерных моделей термомиграции, включающих в себя алгоритм учета изменения формы мигрирующего включения.;

• разработка комплекса вычислительных программ на базе МТИ для моделирования потенциальных полей и использование этого комплекса для решения конкретных задач инженерной практики: моделирования термомиграции, электрических и магнитных полей в технических устройствах.

Методы исследования. Методом исследования физических полей в расчетных областях с подвижными границами, в том числе полей, описывающих термомиграцию и электромагнитные поля, является численное моделирование рассматриваемых процессов с использованием МТИ. Анализ корректности разрабатываемых моделей производится путем получения теоретических оценок условий единственности, устойчивости и сходимости решений и сопоставления этих оценок с результатами численных и физических экспериментов.

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованием полученных с помощью численных моделей результатов с априорными оценками, с данными других исследователей, а также с данными, полученными экспериментально (расхождение по скорости термомиграции не превышает 5%). Выводы, полученные с помощью разработанных моделей, находятся в логическом соответствии с известной физической интерпретацией полученных данных. Полученные результаты обсуждались на конференциях различного уровня и получили положительные оценки.

Научная новизна представленных в диссертации результатов состоит в следующем:

• предложены теоретические оценки погрешности МТИ численного решения краевых задач для уравнения Лапласа, которые отличаются от известных большей точностью, возможностью их применения для областей со сложной конфигур