автореферат диссертации по электронике, 05.27.06, диссертация на тему:Эволюция межфазных границ в процессе зонной перекристаллизации в поле температурного градиента с учетом гидродинамических эффектов

Р 1 На правах рукописи

КУЛИНИЧ Наталья Владимировна

УДК 621.315.592

ЭВОЛЮЦИЯ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ В ПРОЦЕССЕ ЗОННОЙ ПЕРЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ В ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ГРАДИЕНТА С УЧЕТОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ

Специальность 05.27.06 -«Технология полупроводников и материалов электронной техники»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученной степени кандидата технических паук

Новочеркасск 1998

Работа выполнена на кафедре физики Новочеркасского государственного технического университета.

Научный руководитель: академик МАН ВШ, заслуженный деятель

науки и техники РФ, доктор физико-математических наук, профессор Лунин Л.С.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мясников Э.Н. (Pl 11 У) кандидат технических паук, доцент Благин A.B. (Волгодонский институт НГТУ)

Ведущее предприятие: НИИ физики Ростовского

государственного университета

Защита диссертации состоится « /О » декабря 1998г. в « /£? » часов на заседании диссертационного совета К 063.30.10 в Новочеркасском государственном техническом университете по адресу: 346400, г. Новочеркасск Ростовской обл., ул. Просвещения, 132, НГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новочеркасского государственного технического университета

Автореферат разослан: «_» ноября 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

Горшков С.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В технологических процессах получения полупроводников и современных материалов электронной техники широкий круг задач решается методом зонной перекристаллизации в поле температурного градиента (ЗПГТ), в основе которого лежит последовательная перекристаллизация слоев твердой фазы жидким включением, перемещающимся под действием градиента температуры [1].

Совокупность положительных свойств технологии ЗПГТ и возрастающие сложности их реализации при получении сложных полупроводниковых структур с заданными параметрами требуют перехода от эмпирических методов исследования к применению математических моделей на основе разработанных теоретических положений. В процессах реального кристаллообразования различными методами движущегося растворителя и электрожидкостной эпитаксии важное теоретическое и практическое значение имеют закономерности, описывающие эволюцию и морфологическую устойчивость межфазных границ. При этом существенно возрастает роль конвективных гидродинамических течений, что особенно важно в тех вариантах ЗПГТ, когда ростовая среда ограничена двумя межфазными границами кристаллизации и растворения, которые могут взаимодействовать при возникновении возмущающих факторов любого происхождения.

Таким образом, исследование эволюции межфазных границ с учетом гидродинамических эффектов является актуальной задачей прикладного и теоретического характера, связанной с моделированием процессов роста кристаллов в физике твердого тела и в технологии материалов полупроводниковой электроники.

Работа выполнена в соответствии с планом работ по научному направлению НГТУ «Кристаллы и структуры для твердотельной электроники».

Цель и задачи исследований

Построение физико-математической модели процесса ЗПГТ с учетом гидродинамических эффектов для теоретического исследования устойчивости роста межфазных границ кристаллизации и растворения полупроводниковых материалов.

Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Сформулировать начально-краевую задачу процесса ЗПГТ на основании созданной модели.

2. Разработать линейное приближение и получить аналитическую зависимость формы межфазных границ при наличии возмущающих факторов на фронте перекристаллизации.

3. Реализовать теоретические результаты в численном эксперименте для расчета параметров стабильности формы межфазных границ.

4. Выявить и обосновать границы области возможного применения модели и интерпретировать полученные результаты в рамках известных экспериментальных данных.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Нелинейная физико-математическая модель эволюции межфазных границ в процессе ЗПГТ и линейное приближение с учетом гидродинамический эффектов.

2. Морфологическая устойчивость плоских границ кристаллизации и растворения зависит от гидродинамических течений, возникающих за счет механизмов «архимедовой» (быстрая стадия) и вынужденной (медленная стадия) конвенций.

3. Области квазиустойчивоста роста плоской зоны ограничиваются нейтральной бифуркационной кривой, определяемой характером конвекции и параметрами системы.

4. Амплитуда возмущений при эволюции межфазных границ плоского фронта кристаллизации и растворения может иметь апериодическую и

колебательную компоненты. В зависимости от величины градиента температуры и концентрационного градиента возможно либо затухание колебательного спектра, либо развитие неустойчивости в системе.

5. Характер конвекции определятся соотношением между теоретически установленным значением критического числа Рэлея, его значением в конкретных условиях процесса и величиной одного из параметров модели, зависящего от геометрии системы и режима ЗПГТ.

Научная новизна:

- сформулирована начально-краевая задача, описывающая эволюцию межфазпых границ в процессах ЗПГТ с учетом гидродинамики и конвективного тепломассопереноса в расплаве, теплопереноса и деформации в кристаллах, эффекта Гиббса-Томсона на межфазных границах.

- предложен алгоритм и получены аналитические решения в виде асимптотических рядов по степеням малых параметров, характеризующих систему, когда эффекты, связанные с упругой деформацией, проявляются слабо.

- теоретически установлены условия процесса ЗПГТ, в которых определяющую роль играют либо вынужденная, либо только естественная конвекция. Найдены области квазиустойчивости роста плоских межфазных границ. Введен критерий квазиустойчивости при вынужденной конвекции в зависимости от параметров перекристаллизации.

- установлено наличие и рассчитано положение нейтральной бифуркационной кривой, каждая точка которой соответствует экспериментальному значению нарушения морфологической устойчивости.

- обнаружены колебательные эффекты, связанные с амплитудой возмущений при эволюции межфазных границ плоского фронта кристаллизации и растворения. Рассчитано положение колебательных областей и их влияние на развитие возмущений в зависимости от концентрационного и температурного градиентов.

Практическая ценность

Предложены и реализованы основные принципы построения физико-математической модели технологии получения полупроводниковых материалов методом ЗПГТ с учетом гидродинамики и эффектов, связанных с несовершенством кристаллов.

Разработаны алгоритмы решения начально-краевой задачи в линейном приближении с учетом быстрой и медленной стадий конвективных гидродинамических течений, ориентированных на использование современных ПЭВМ типа ШМ.

Установлены основные особенности механизма нарушений морфологической устойчивости межфазных границ ЗПГТ и получены расчетные формулы для областей квазиустойчивого роста плоских межфазных границ в зависимости от параметров перекристаллизации.

Разработаны практические рекомендации по оптимизации условий проведения ЗПГТ при начальных рельефах межфазных границ без нарушения устойчивости зоны раствора-расплава.

Методики расчета теоретических значений критического числа Рэлея и положения нейтрштьной бифуркационной кривой, соответствующие границам морфологической устойчивости, введены в учебный процесс для выполнения курсовых работ и индивидуальных заданий по моделированию по дисциплине «Физика твердого тела» специальности 2002 «Микроэлектроника».

Апробация работы

Основные материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях НГТУ в 1995-1998 гг., на международной конференции «Математические методы в химии и химической технологии» г.Тверь в 1995г., на 10-м Российском симпозиуме по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел в г.Черноголовке в 1997 г., на 2-м Всероссийском симпозиуме «Математические методы и компьютерные технологии» в г. Кисловодске в

1998 г., на 17-й Российской конференции по электрошюй микроскопии в г.Черноголовке в 1998 г.

Публикации

По результатам диссертации опубликованы 11 печатных работ.

Объем и структура работы

Диссертация изложена на 126 страницах машинописного текста., иллюстрирована рисунками и таблицами, состоит из введения, пяти глав, заключительных выводов и списка используемой литературы из 117 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы, отражена цель и выделены основные задачи исследования, а также возможные направления их решений.

В первой главе приведен аналитический обзор теоретических и экспериментальных исследований по формированию жидких зон раствора-расплава методом ЗПГТ, морфологической устойчивости межфазных границ при получении полупроводниковых кристаллов из жидкой фазы, выделены современные проблемы математического моделирования изучаемых явлений.

Отмечено, что первоначально стационарная форма межфазных границ в процессе их эволюции при ЗПГТ может стать нестабильной, что в результате допускает фрагментацию жидкой зоны. Размеры образовавшихся областей сравнимы с толщиной самой зоны [2]. Устойчивость процесса перекристаллизации зависит от различных эффектов, которые обусловлены как особенностями формирования жидкой зоны, так и ее перемещением в кристалле. В этом случае в жидкости могут возникнуть конвективные движения, связанные с естественным гравитационным и вынужденным внеш-

ним воздействиями. Известные теоретические описания морфологической устойчивости межфазных границ при ЗПГТ и используемые нелинейные модели не рассматривают отмеченных гидродинамических течений в растворе-расплаве, что не позволяет провести удовлетворительный анализ в сравнении с результатами экспериментов.

На основании проведенной анализа были сформулированы цели и задачи исследования.

Во второй главе формулируется физико-математическая модель процесса ЗПГТ с учетом гидродинамических эффектов, ставится начально-краевая задача с плоскими межфазными границами, обсуждаются принципы построения приближенного асимптотического решения, рассматриваются возможности применения линейной теории.

Схема композиции типа Si-Ga, Si-Al, и т.п. состоит из 3-х областей: кристалла-подложки, кристалла-источника и расположешюй между ними плоской зоны раствора-расплава. Движение жидкой зоны происходит вдоль вектора градиента температуры. Распределение температур в твердой фазе удовлетворяет нестационарному уравнению теплопроводности, а поле температур и концентраций растворенного компонента в жидкой фазе описываются нестационарными уравнениями соответственно конвективной теплопроводности и диффузии.

В модели учитывается зависимость плотности раствора-расплава от температуры и концентрации компонентов в ней, приводящая к наличию конвективных движений. Выделяется два вида конвекции: естественная - за счет наличия сил гравитации и Архимеда, и вынужденная, в которой перемещение вещества происходит под влиянием внешнего воздействия. Движение в жидкости описывается уравнением Навье-Стокса.

Краевые условия на границах композиции основаны на балансе потоков излучения и тепла. Тензор напряжений считается постоянным вдоль всей внешней поверхности. На границах кристаллизации и растворения выполняются условия непрерывности нормальных составляющих потока вещества и теплового потока, непрерывность температуры, а также хими-

ческого и механического равновесий. Кроме того, задаются начальные условия для температуры, концентраций и положения границ областей композиции. Алгоритм решения задачи изображен на рис. 1.

Рис. 1.

Для решения уравнения Навье-Стокса использованы упрощающие предположения Обербека-Буссинеска: жидкость считается однородной, не-

сжимаемой, а разности плотности учитываются только в тех членах, которые отражают причины движения. В результате формулируется задача Стефана, часть краевых условий которой задаются на границах, а их положение и форма неизвестны и должны быть найдены в процессе решения. Приближенное аналитическое решение ищется в виде асимптотических рядов по степени одного малого параметра £.

Система уравнений, определяющих форму межфазных границ, решается методом двух временных масштабов т = , т Для каждого вре-

£ £

мени используются процедуры сращивания асимптотических решений. При этом рассматривается линейное приближение, когда размеры эволюции возмущений много меньше толщины жидкой зоны. Выделяются решения для «быстрой» архимедовой подсистемы и «медленной» ростовой подсистемы, описывающей вынужденную конвекцию. В силу несоизмеримости временных масштабов эти подсистемы в линейном приближении не взаимодействуют.

Третья глава посвящена исследованию морфологической устойчивости границ плоской зоны раствора-расплава в условиях вынужденной конвекции. Получены эволюционные уравнения для амплитуд:

7 А = ГиА +Г12Д, к

=Г2Л +Г22

Коэффициенты у^ представляют собой определители соответствующих порядков с элементами, выраженными через параметры исходной задачи: «параметра» Рэлея - К, отношения ширины жидкой зоны к ее капиллярной длине - д отношения температуропроводностей твердой и жидкой фаз - х, отношения концентрационного коэффициента изменения плотности раствора-расплава к температурному коэффициенту изменения плотности -волнового числа к.

Решения эволюционных уравнений Л - Лаес~~, В = Вае" и характер эволюции межфазных границ в линейном приближении определяется диспер-

сионной зависимостью а(к). В технологических процессах ЗПГТ важно получить условия, при которых зоны движутся стабильно, т.е. условия устойчивости стационарных состояний фронта перекристаллизации и растворения. Если существует хотя бы одш1 показатель а, действительная часть которого больше нуля, то решение неустойчиво, т.к. возникает неограниченный со временем рост амплитуды возмущений, что приводит к фасетиро-ванию границы раздела фаз и к разрыву зоны.

Проведенные исследования показали, что в зависимости от спектра матрицы Уу существуют разные режимы, соответствующие различной геометрии дисперсионной кривой. Если спектр действителен, то получаются две ветви в плоскости (а, А). При наличии комплексного спектра в системе возникают колебательные режимы, появляющиеся за счет вынужденной конвекции. Поверхность -у2г)2 = 0 в области параметров (К,д,к)

делит пространство на части, соответствующие апериодическому и колебательному характерам движения. Совокупность эффектов, связанных с температурным и концентрационным градиентом и гидродинамическими течениями в зависимости от параметров системы приводят- к развитию или исчезновению колебательной части спектра.

Для нахождения интервалов изменения параметров, в которых существуют устойчивые режимы, в плоскости (Я,д) выделялись области с постоянной формой дисперсионной кривой и ее расположением относительно волновой оси. Установлено, что во всех случаях пространство разбивается на несколько областей и ограничивается критической кривой, соответствующей режиму естественной конвекции, для которого эволюционное уравнение становится неприменимым. Численные исследования динамики поведения дисперсионной кривой позволяют заключить, что, согласно формальному математическому определению, абсолютно устойчивых зон плоского фронта кристаллизации и растворения существовать не может.

Однако, с физической точки зрения следует выделить те области изменения параметров, в которых развитие неустойчивости происходит медленно, так что на временах г - 0(1) амплитуда возмущений практически не

возрастает. Их можно назвать областями квазиустойчивости и определить из условия а = 0(е) согласно вводимому критерию а = а -е < 0.

Если зафиксировать значения параметров х = ОД у = 0,2, исходя из известных экспериментальных оценок для полупроводниковых материалов [3], то приведенный расчет позволяет получить в плоскости (R, ç) совокун-

Г1 - делит пространство на периодическую и апериодическую области системы, Гг - кривая нейтральной устойчивости для монотонных мод, Г3 -кривая нейтральной устойчивости для периодических мод, Д0 - о - критическая кривая, ограничивающая применимость данной модели. Это позволяет выделить области квазиустойчивости (7, II) и либо монотонной, либо колебательной неустойчивости (III, Л7).

Для каждой из них получены зависимости а (к). Прямая, проведенная из точки пересечения кривых Г2 и Г3 параллельно оси Я делит область IV на части: ниже ее ведущую роль в глобальной неустойчивости системы играет колебательная мода, а выше - монотонная.

В областях I а II (рис. 3, 4) вид дисперсионной кривой определяется ветвями, лежащими б отрицательной полуплоскости и, согласно методу нормальных мод, система морфологически квазиустойчива, т.е. движение

зоны в направлении градиента температуры происходит без особого изменения формы поверхности. Это играет важную роль при использовании метода ЗПГТ в полупроводниковой технологии.

Рис. 3. Рис. 4.

Характерный вид дисперсионных кривых областей III и IV области показан на рис.5. Существуют две ветви и именно они влияют на появление неустойчивости в системе. В малой окрестности нуля существует колебательная мода, которая во всей области квазиустойчива, а при больших К абсолютно устойчива.

Рис. 5

Расчеты, проведенные для некоторых неполупроводниковых материалов (2=1,5>1), показывают, что иногда колебательные зоны в системе могут вообще отсутствовать.

В четвертой главе анализируются процессы в подсистеме с естественной конвекцией, а также рассматривается совместная эволюция «быстрой» и «медленной» подсистем, позволяющая определить границы применимости данной модели.

«Архимедова» подсистема характеризуется временным масштабом

г Однако, чтобы общая задача получения приближенных решешш

е

приводила к равномерным по времени асимтотическим рядам, необходимо учитывать, как уже отмечалось, по крайней мере еще одно «медленное»

время соответствующее динамике ростовой подсистемы. Анализ

Ё

показывает, что в выбранном приближении промежуточные масштабы можно опустить.

Поле концентрации в рассматриваемом случае рассчитывается на основании уравнения, найденного при постановке задачи, (глава 2). Его решение приводит к характеристическому уравнению для «архимедовой» подсистемы.

Д = а„ст2До((т) = 0, где А0 (сг) =

ап а1. а22 а1 а„ а„ а,

а,.

к '

коэффициенты ац выражаются по формулам, полученным с учетом граничных условий, через исходные параметры задачи. Двукратно вырожденный кореш, а - 0 характеристического уравнения приводит к наличию в решении слагаемых вида: константа и константа, умноженная на быстрое время. Установлено, что это должно вызывать в дальних порядках асимптотических рядов появление членов, содержащих быстрое время в степенях п>2,

т.е. неравномерность разложения. Полагать их просто равными нулю нельзя, т.к. тогда невозможно удовлетворить всем начальным условиям. Анализ показывает, что отмеченные трудности можно преодолеть с учетом введенного ранее масштаба «медленного» времени. Из граничных условий при а - о и одновременном обращении в нуль указанных членов, получается система эволюционных уравнений, содержащих только медленное время. А эти уравнения как раз и описывают медленную ростовую подсистему, рассмотренную в главе 3.

Таким образом, операция обнуления отмеченных слагаемых обосновывается передачей их функций решениям, связанным с ростовой подсистемой, что сохраняет возможность удовлетворения всем начальным условиям.

Эволюцию системы на «быстрых» временах описывает экспоненциальная мода, полученная с помощью третьего корня характеристического уравнения Д0(ст,А,Л,^/{г) = о.

Анализ коэффициентов, составляющих определитель Л0, показывает, что последнее равенство не зависит от параметра Тогда численный эксперимент позволяет рассчитать зависимости о (к) при заданном и фиксированных значениях И и определить положение кривой, которая касается оси абсцисс в единственной точке а- 0 и является критической для случая быстрой конвекции (рис 6). Проанализировав уравнения, вместо двух независимых переменных 7?, двводится одна - число Рэлея На- — . Таким образом, зависимость, представленная кривой 2 дает полную информацию о критических режимах перехода к естественной конвекции, если под К понимать число Рэлея.

Согласно проделанным расчетам, на кривой 2 и выше (в области существования ненулевых о) экспоненциальная мода, отвечающая за концен-трационно-гидродинамическую конвекцию, начинает взаимодействовать с другими модами, поэтому нельзя разделять времена и предлагаемая модель выходит за границы ее применимости.

Рис.6

Критическое значение числа Рэлея находится и иным способом из зависимости к(К) при решении уравнения До(1,Ла,А) = 0 где а = 0, к=кд. При этом определяется и величина волнового числа к, характеризующего моду, с которой начинается естественная конвекция, когда На >

Пятая глава посвящена прикладным аспектам работы, в ней проводится сравнение экспериментальных данных с теоретическими результатами в моделируемой системе.

В математическом описании поверхности раздела фаз осуществляется переход от обобщенных параметров системы к естественным переменным, а затем строятся графики изменения градиента температуры от толщины жидкой зоны С,г(1.(1). Для этого в теоретической модели ростовой подсистемы, исследованной в третьей главе, пересчишваются зависимости Щф, разделяющие пространство системы с постоянной формой дисперсионной кривой на апериодическую и колебательную области, а также устойчивый колебательный режим от неустойчивого. Связь старых координат (К, с) с новыми От, 10 осуществляется по формулам:

G - aSPif^X 1

T mCfixDvR'

. ° 4 v LZ°T

Расчет производится при различных начальных температурах для реальных технологических процессов получения полупроводниковых материалов с известными экспериментальными параметрами. Области квазиустойчивого роста плоских межфазных границ кристаллизации и растворения в системе Si-Ga представлены на рис.7, при начальной температуре 1100К.

Рис. 7.

Для удобства практического использования предлагаемой модели экспериментальные факты и справочные данные по различным полупроводниковым системам, используемые при вычислении коэффициентов формул (*), систематизированы в сводную таблицу. При этом предполагалось, что в отмечешюм температурном интервале для многих расплавленных металлов:

1) Ввиду отсутствия универсальной зависимости коэффициента диффузии

от температуры на основании В(Т) аппроксимируется формулой

2) Теплоемкость раствора-расплава удовлетворяет правилу аддитивности

Коппа-Неймана: ср - где СР, - удельная теплоемкость компонен-

i

та, составляющего раствор-расплав, - мольная доля компонента в системе.

3) Плотность раствора-расплава находится по аналогичной формуле, но вместо с записывается плотность отдельного взятого вещества, составляющего жидкую зону в чистом виде. В диапазоне температур 800-1300К считается постоянной.

4) Для нахождения теплопроводности расплавов используется закон Виде-мана-Франца: Л - 1,„аТ, где 10 = 2,445 -1 (Г8 Вт*Ом/К2 - число Лоренца, а -электропроводность. Экспериментальные значения теплопроводности, полученные согласно этому закону в [4], используются для расчета теплопроводности расплавов.

5) Коэффициент, характеризующий наклон линии ликвидуса определяется по фазовой диаграмме соответствующей системы.

Модель допускает экспериментальное использование и в других двойных системах, не обязательно полупроводниковых.

Установлено, что в пределах погрешностей используемых методов значение теоретически рассчитанного критического числа Рэлея находится в хорошем согласии с его значением, полученным из экспериментальной зависимости скорости роста эпитаксиальных слоев от ширины жидкой зоны [4]. Значит, методика расчета Иащ,ш может применяться для установления границ появления естественной конвекции в реальных процессах ЗПГТ. Таким образом, проведенные исследования показывают, что изменением технологических параметров можно либо оптимизировать условия устойчивого движения жидкой зоны, лиоо целенаправленно использовать неустойчивость межфазных границ для фрагментации жидкой зоны и возможного формирования заданной внутренней структуры кристалла.

Разработанное математическое и программное обеспечение модели процесса ЗПГТ дает возможность ее сопряжения со стандартными современными пакетами математического моделирования MAPLE-5, MATHCAD, MATLAB-6 и др. Непосредственная машинная обработка экспериментальных данных согласно полученным в работе теоретическим зависимостям локализует задачи оптимизации технологического процесса, сокращает время поиска оптимальных параметров и режимов, что расширяет возможности применения ЗПГТ в технологии выращивания полупроводниковых структур,

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Создана физико-математическая модель процесса ЗПГТ, учитывающая гидродинамические течения в растворе-расплаве и несовершенство кристаллов. Реализовано линейное на амплитуде возмущений приближение, позволяющее установить особенности эволюции фронта перекристаллизации и растворения, получены аналитические зависимости для формы межфазных границ.

2. Изучено влияние естественной и вынужденной конвекции на морфологическую устойчивость плоских межфазных границ. Показано, что гидродинамические эффекты проявляются в разных временных масштабах. Получены эволюционные уравнения для быстрой и медленной стадии процесса.

3. Введено понятие квазиустойчивости системы. На основе анализа формы дисперсионных кривых предложен критерий и определены области квазиустойчивости. Изучено влияние условий процесса на расположение и размеры этих областей.

4. Результаты численного эксперимента показывают, что область квазиустойчивого роста плоской зоны в условиях вынужденной конвекции ограничивается нейтральной бифуркационной кривой в пространстве параметров системы. Разработал алгоритм расчета положения этой кривой.

5. Установлено, что амплитуда возмущений при эволюции межфазных границ плоского фронта кристаллизации и растворения может иметь апериодическую и колебательную компоненты. В зависимости от градиента температуры и концентрационного градиента возможно либо затухание колебательного спектра, либо развитие неустойчивых процессов.

6. Теоретически установлено, что характер конвекции зависит от значения критического числа Рэлея при заданной геометрии системы и режиме ЗПГТ. Результаты, полученные с помощью разработанных методов расчета числа Рэлея соответствуют экспериментальным данным.

7. На основе проведенных теоретических исследований разработаны практические рекомендации по оптимизации условий проведения ЗПГТ, позволяющих целенаправленно выбирать геометрию системы и технологические режимы, при которой плоская форма жидкой зоны остается устойчивой.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Бубликов Е.И., Кулинич Н.В. Условия образования стационарных потоков электролита при электрокристаллизации порошков на движущейся поверхности. // Международная конференция "Математические методы в химии и химической технологии", ММХ 9: Сб. тез., май 1995, -Тверь, 1995. -4.1. -С.56-57.

2. Кулинич Н.В., Ревина C.B. Исследование обобщенной системы Лэнгфорда с косимметрией и без нее. // Рост. гос. ун-т -Ростов н/Д, 1996. -35с.-Ден. В ВИНИТИ 17.01.96, J6198-B-96.

3. Лунин JI.C., Кулинич В.И., Кулинич Н.В. Модель роста фрактальных объектов в процессе электрокристаллизации металлов. // Кристаллизация и свойства кристаллов: Межвуз. сб. науч. тр. -Новочеркасск: Набла, 1996, С.75-80.

4. Кулинич В.И., Бубликов Е.И., Кулинич Н.В. Моделирование фрактальных структур металлов на основе электроннодифракционного анализа.

// 16-тая Российская конференция по электронной микроскопии, ЭМ' 96: Тез. докл., 29нояб.-2дек.,1996. -С.75-80.

5. Кукоз В.Ф., Кулинич В.И., Крыжановский В.П., Кулинич Н.В. Структура перекристаллизованных слоев в системе кремний-германий. // 10-тый Российский симпозиум по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел. РЭМ'97: Тез. докл., июнь 1997г.- Черноголовка, 1997. - С.73.

6. Кулинич В.И., Бубликов Е.И., Овчаренко А.Н., Кулинич Н.В. Моделирование ростовых процессов на основе РЭМ анализа начальных стадий кристаллизации тонких пленок. // 10-тый Российский симпозиум по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел. РЭМ'97: Тез. докл., июнь 1997г.- Черноголовка, 1997. -С.74.

7. Лунин Л.С., Овчаренко А.Н., Кулинич Н.В. Влияние конвекции на устойчивость межфазных грашщ в методе ЗПГТ. /ЛОбилейный. сб науч. тр. проф.-препод. состава науч. техн. конференции НГТУ, 14-18 апр., 1997г. -Новочеркасск: НГТУ, 1997. С.7-8.

8. Никифоров А.Н., Крыжановский В.П. Кулинич Н.В. Определение скорости свободной конвекции в вертикальной трубе с тепловым потоком настенке. //Заводская лаборатория. -1997. №10, С.27-28. С.70-72.

9. Овчаренко А.Н., Кулшгич Н.В., Лунин Л.С. Моделирование метода ЗПГТ с учетом гидродинамических эффектов в растворе-расплаве. // Сб науч. тр., 2-ой Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии", 23-25апр. 1998. -Кисловодск 1998.

10. Лунин Л.С., Овчаренко А.Н., Кулинич Н.В. Эволюция межфазных границ в процессах перекристаллизации в поле температурного градиента. // 17-ая Российская конференция по ЭМ'98. Тез. докл., 15-18 июня 1998г. -Черноголовка 1998. - С.175.

11. Кулинич Н.В., Овчаренко А.Н. Физическая и математическая модель метода ЗПГТ с учетом гидродинамических эффектов. //Повочерк. гос. ун-т. - Новочеркасск, 1998. - 20с. - Деп. в ВИНИТИ 04.08.98, №2513 В-98.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лозовский В.Н., Лунин Л.С., Попов В.П., Зонная перекристаллизация градиентом температуры полупроводниковых материалов. - М.: Металлургия, 1987. - 232 с.

2. Овчаренко А.Н. Нелинейные явления в процессе эволюции межфазных границ при зонной перекристаллизации в поле температурного градиента. Кандидатская диссертация. - Новочеркасск, 1988. - 175 с.

3. Свойства элементов. Справочник. 4.1. Под ред. Самсонова Г.В. -М: Металлургия, 1976. - 600 с.

4. Зурнаджан B.C. Зонная перекристаллизация градиентом температуры в условиях конвективного массопереноса. Кандидатская диссертация. - Новочеркасск. 1985. - 229 с.



; ' : ' О / 3

/

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОЧЕРКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 621.315.592

КУЛИНИЧ Наталья Владимировна ЭВОЛЮЦИЯ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ В ПРОЦЕССЕ ЗОННОЙ ПЕРЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ В ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ГРАДИЕНТА С УЧЕТОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ

ЭФФЕКТОВ

Специальность 05.27.06 -«Технология полупроводников и материалов

электронной техники»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель академик МАН ВШ, заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор физ.-мат. наук, профессор Лунин Л.С.

Новочеркасск 1998

Содержание

стр.

ВВЕДЕНИЕ

4

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

§ 1.1. Особенности ЗПГТ и проблемы устойчиво- 9

сти границ перекристаллизации. § 1.2. Теоретические основы и модели морфологи-

2. ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 26 ПРОЦЕССА ЗПГТ С УЧЕТОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ

3. ИССЛЕДОВАНИЕ МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГРАНИЦ ПЛОСКОЙ ЗОНЫ РАСТВОРА-РАСПЛАВА В "РОСТОВОЙ" ПОДСИСТЕМЕ

§ 3.1. Получение аналитической зависимости для 58 формы межфазных границ в ростовой подсистеме.

§ 3.2. Численное исследование устойчивости меж- 68

фазных границ в ростовой подсистеме. § 3.3. Численный анализ эволюции межфазных 84 границ в ростовой подсистеме с использованием понятия квазиустойчивости.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УС- 91 ТОЙЧИВОСТИ ГРАНИЦ ПЛОСКОЙ ЗОНЫ РАСТВОРА-РАСПЛАВА В "АРХИМЕДОВОЙ" ПОДСИСТЕМЕ

ческой устойчивости границ. § 1.3. Физико-математические модели ЗПГТ.

12

20

стр.

5. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ §5.1. Зависимость стабильности роста межфазных 104 границ от градиента температуры и ширины жидкой зоны раствора-расплава §5.2. Теоретическое и экспериментальное число 112

Рэлея в рамках рассматриваемой задачи §5.3. Практические рекомендации по результатам 114 работы.

ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

116 118

Введение

Важным фактором современного научно-технического прогресса является развитие новых методов синтеза кристаллов с ценными для практики физическими свойствами. Изучение элементарных и макроскопических процессов роста дает возможность совершенствовать способы получения кристаллов, используя различные приемы управления их составом и структурой [1].

Актуальность работы:

В технологических процессах получения полупроводников и современных материалов электронной техники широкий круг задач решается методом зонной перекристаллизации в поле температурного градиента (ЗПГТ), в основе которого лежит последовательная перекристаллизация слоев твердой фазы жидким включением, перемещающимся под действием градиента температуры [2].

Совокупность положительных свойств технологии ЗПГТ и возрастающие сложности их реализации при получении сложных полупроводниковых структур с заданными параметрами требуют перехода от эмпирических методов исследования к применению математических моделей на основе разработанных теоретических положений. В процессах реального кристаллообразования различными методами движущегося растворителя и электрожидкостной эпитаксии важное теоретическое и практическое значение имеют закономерности, описывающие эволюцию и морфологическую устойчивость межфазных границ. При этом существенно возрастает роль конвективных гидродинамических течений, что особенно важно в тех вариантах ЗПГТ, когда ростовая среда ограничена двумя межфазными границами кристаллизации и растворения, которые могут взаимодействовать при возникновении возмущающих факторов любого происхождения.

Таким образом, исследование эволюции межфазных границ с

учетом гидродинамических эффектов является актуальной задачей прикладного и теоретического характера, связанной с моделированием процессов роста кристаллов в физике твердого тела и в технологии материалов полупроводниковой электроники.

Работа выполнена в соответствии с планом работ по научному направлению НГТУ "Кристаллы и структуры для твердотельной электроники".

Цель работы:

Построение физико-математической модели процесса ЗПГТ с учетом гидродинамических эффектов для теоретического исследования устойчивости роста межфазных границ кристаллизации и растворения полупроводниковых материалов.

Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Сформулировать начально-краевую задачу процесса ЗПГТ на основании созданной модели.

2. Разработать линейное приближение и получить аналитическую зависимость формы межфазных границ при наличии возмущающих факторов на фронте перекристаллизации.

3. Реализовать теоретические результаты в численном эксперименте для расчета параметров стабильности формы межфазных границ.

4. Выявить и обосновать границы области возможного применения модели и интерпретировать полученные результаты в рамках известных экспериментальных данных.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Нелинейная физико-математическая модель эволюции межфазных границ в процессе ЗПГТ и линейное приближение с учетом гидродинамических эффектов.

2. Морфологическая устойчивость плоских границ кристаллизации и растворения зависит от гидродинамических течений, возникаю-

щих за счет механизмов "архимедовой" (быстрая стадия) и вынужденной (медленная стадия) конвенций.

3. Области квазиустойчивости роста плоской зоны ограничиваются нейтральной бифуркационной кривой, определяемой характером конвекции и параметрами системы.

4. Амплитуда возмущений при эволюции межфазных границ плоского фронта кристаллизации и растворения может иметь апериодическую и колебательную компоненты. В зависимости от величины градиента температуры и концентрационного градиента возможно либо затухание колебательного спектра, либо развитие неустойчивости в системе.

5. Характер конвекции определяется соотношением между теоретически установленным значением критического числа Рэлея, его значением в конкретных условиях процесса и величиной одного из параметров модели, зависящего от геометрии системы и режима ЗПГТ.

Научная новизна:

- сформулирована начально-краевая задача, описывающая эволюцию межфазных границ в процессах ЗПГТ с учетом гидродинамики и конвективного тепломассопереноса в расплаве, теплопереноса и деформации в кристаллах, эффекта Гиббса-Томсона на межфазных границах.

- предложен алгоритм и получены аналитические решения в виде асимптотических рядов по степеням малых параметров, характеризующих систему, когда эффекты, связанные с упругой деформацией, проявляются слабо.

- теоретически установлены условия процесса ЗПГТ, в которых определяющую роль играют либо вынужденная, либо только естественная конвекция. Найдены области квазиустойчивого роста плоских межфазных границ. Введен критерий квазиустойчивости при вынужденной конвекции в зависимости от параметров перекристаллизации.

- установлено наличие и рассчитано положение нейтральной

бифуркационной кривой, каждая точка которой соответствует экспериментальному значению нарушения морфологической устойчивости.

- обнаружены колебательные эффекты, связанные с амплитудой возмущений при эволюции межфазных границ плоского фронта кристаллизации и растворения. Рассчитано положение колебательных областей и их влияние на развитие возмущений в зависимости от концентрационного и температурного градиентов.

Практическая ценность:

Предложены и реализованы основные принципы построения физико-математической модели технологии получения полупроводниковых материалов методом ЗПГТ с учетом гидродинамики и эффектов, связанных с несовершенством кристаллов.

Разработаны алгоритмы решения начально-краевой задачи в линейном приближении с учетом быстрой и медленной стадий конвективных гидродинамических течений, ориентированных на использование современных ПЭВМ типа IBM.

Установлены основные особенности механизма нарушений морфологической устойчивости межфазных границ ЗПГТ и получены расчетные формулы для областей квазиустойчивого роста плоских межфазных границ в зависимости от параметров перекристаллизации.

Разработаны практические рекомендации по оптимизации условий проведения ЗПГТ при начальных рельефах межфазных границ без нарушения устойчивости зоны раствора-расплава.

Методики расчета теоретических значений критического числа Рэлея и положения нейтральной бифуркационной кривой, соответствующих границам морфологической устойчивости, введены в учебный процесс для выполнения курсовых работ и индивидуальных заданий по моделированию по дисциплине "Физика твердого тела" специальности 2002 "Микроэлектроника".

Апробация работы:

Основные материалы диссертации докладывались и обсужда-

лись на научных конференциях НГТУ в 1995-1998 гг., на международной конференции "Математические методы в химии и химической технологии" г. Тверь в 1995г., на 10-м Российском симпозиуме по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел в г. Черноголовке в 1997 г., на 2-м Всероссийском симпозиуме "Математические методы и компьютерные технологии" в г. Кисловодске в 1998 г., на 17-й Российской конференции по электронной микроскопии в г. Черноголовке в 1998 г.

Публикации:

По результатам диссертации опубликованы 11 печатных работ, в которых автору принадлежат результаты и выводы изложенные в диссертационной работе (ссылки в списке литературы 16, 53, 55, 58, 87, 88, 96-99, 103).

Объем и структура работы

Диссертация изложена на 126 страницах машинописного текста, иллюстрирована рисунками и таблицами, состоит из введения, пяти глав, заключительных выводов и списка используемой литературы из 117 наименований.

В первой главе проводится критический обзор теоретических и экспериментальных данных, касающихся эволюции межфазных границ и их морфологической устойчивости при направленной перекристаллизации. Выбирается объект и метод исследования.

Во второй главе ставится и обосновывается физическая и математическая модель процесса ЗПГТ и проводится теоретический анализ поставленной модели.

В третьей главе изложены результаты линейного анализа эволюции межфазных границ, когда существенное влияние на морфологическую устойчивость изменения формы границ перекристаллизации оказывает вынужденная конвекция в жидком слое раствора-расплава.

В четвертой главе анализируются процессы, связанные с естественной конвекцией в системе, определяются границы применимости

рассматриваемой модели, рассчитывается теоретическое значение критического числа Рэлея.

Пятая глава посвящена прикладным аспектам работы, в ней проводится сравнение экспериментальных данных с теоретическими результатами в моделируемой системе, а также даются практические рекомендации по оптимизации условии проведения процесса ЗПГТ.

Глава 1. Обзор литературы.

§1.1 Особенности ЗПГТ и проблемы устойчивости границ перекристаллизации.

Методы получения кристаллов с заданными свойствами часто основаны на изменении их структуры за счет перераспределения различного рода примесей. Традиционным и эффективным технологическим приемом локального легирования является эпитаксия, когда происходит закономерное, ориентированное нарастание одного кристаллического вещества на другом. [3]. Метод ЗПГТ представляет собой один из вариантов жидкофазной эпитаксии, в котором за счет движения жидкого включения (зоны) под действием стационарного поля температурного градиента твердое тело непрерывно растворяется и кристаллизуется на границах раздела фаз [2]. Кристаллы полупроводников с контролируемо легированными электрически активными примесями выращивают с помощью точечных, линейных или плоских зон. [4-9]. Технология ЗПГТ на плоских зонах применяется при получении р-п переходов большой площади для интегральных схем [10-16] или электронных полупроводниковых приборов [17-21].

Совершенство р-п переходов и, соответственно, их свойства определяются условиями ЗПГТ. Так как в общем случае при формировании и движении зоны вдоль градиента температуры ее геометрия может изменяться, то существует вероятность возникновения конфигурационной нестабильности [21-25].

Развитие нестабильности нарушает стационарность процесса и приводит либо к разрыву жидкой зоны, либо к изменению ее формы без нарушения целостности [2]. Последний случай определяется факторами, которые полностью исключить в условиях реального кристаллообразования не представляется возможным и, как отмечено в [27, 28], может соответствовать переходу в новое стационарное состояние с геометрией, близкой к первоначальной. Фрагментация зоны, вызванная причинами случайного характера за счет температурных, геометрических или структурных неоднородностей на межфазных границах, может быть устранена механической или химической обработкой кристалла, выбором компонентов раствора-расплава и технологических условий процесса [18].

Отдельно следует выделить нестабильности, которые связаны с механизмом ЗПГТ в процессах развития и взаимодействия концентрационных и температурных возмущений на границах зоны, динамической и морфологической неустойчивостью границ раздела фаз кристалл-расплав [2, 4, 29]. Различные аспекты динамической стабильности жидкой зоны интересуют исследователей практически с начала широкого использования в технологии полупроводниковой электроники эффекта термомиграции жидких включений [30, 31]. Рассматривались условия морфологической устойчивости, связанные с ориентацией кристалла-источника по отношению к жидкой фазе [32], отмеча-

лась зависимость стабильности от толщины зоны [30, 34], от величины и направления градиента температуры [35], анализировалось влияние нестационарности тепловых условий [36-38] и т.п. Авторы [36, 38] указывают на возможность выделения в каждом конкретном случае превалирующих причин для определения критических режимов устойчивого проведения реальных процессов ЗПГТ.

Как уже отмечалось, анализ этих процессов затруднен из-за наличия одновременно двух границ раздела фаз - кристаллизации и растворения. Поэтому уместны аналогии с простыми методами выращивания кристаллов из жидкой фазы, в которых потеря морфологической устойчивости границы кристаллизации более наглядна и приводит, например, к образованию ячеистых структур [39-45, 27]. По мере развития степени неустойчивости ячеистая структура может перейти в дендритную с характерным центральным остовом и ветвящимися боковыми отростками [47, 48]. Изменение условий в системе приводит к смене одной дендритной структуры на другую [49].

Дендритная форма роста является нестационарной, но она характерна для разных технологических условий и происходит в установившихся режимах [44], поэтому относительно просто позволяет выявить основные закономерности, связанные с кристаллизацией из растворов. Так при математическом описании особенностей дендритооб-разования, связанных с морфологической неустойчивостью поверхности раздела фаз в различных экспериментах, выделяют ведущую роль естественной и вынужденной конвекции в жидкости [50-52].

В последние годы резко возрос интерес к математическому моделированию неустойчивых форм с помощью объектов, обладающих более низкой степенью организации, чем дендрит, на основе фрак-

тальных представлений [53-57]. Но они касаются в основном диффузионных ограничений и пока не находят широкого применения в спектре сложных проблем кристаллообразования.

Следует отметить, что некоторые авторы, исследуя проблему устойчивости границ кристаллизации, обращают внимание на влияние в основном одного существенного фактора, например, учитывают эффекты электрического поля [60, 61], или анизотропии тепловой проводимости [62]. Такой подход объясняется наличием в системе контролируемого внешнего воздействия, однако он обладает неполнотой, т.к. не учитывает неизбежно возникающие взаимозависимые внутренние взаимодействия. Поэтому необходимо остановиться на основных особенностях существующих теоретических описаний эволюции межфазных границ и их морфологической устойчивости в процессах роста кристаллов из жидкой фазы.

§ 1.2. Теоретические основы и модели морфологической устойчивости границ.

Общая методология математического моделирования тепло-массопереноса в технологических процессах, когда в рассматриваемой системе отдельные стадии описываются известными закономерностями, может включать следующие этапы [63]:

1. Реальный процесс заменяется физической моделью.

2. Все допущения, принимаемые при переходе от реального процесса к его математическому описанию, вводятся при создании физического приближения.

3. На основе физической модели процесса создается его математическая модель.

4. При разработке и использовании моделей теплоперенос�