Моделирование эволюции межфазных границ при термомиграции жидкой зоны в кристалле методом точечных источников

Лозовский, Владимир Сергеевич

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование эволюции межфазных границ при термомиграции жидкой зоны в кристалле методом точечных источников

кандидата технических наук: Лозовский, Владимир Сергеевич
город: Новочеркасск
год: 2012
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Моделирование эволюции межфазных границ при термомиграции жидкой зоны в кристалле методом точечных источников»

Автореферат диссертации по теме "Моделирование эволюции межфазных границ при термомиграции жидкой зоны в кристалле методом точечных источников"

На правах рукописи

Лозовский Владимир Сергеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ ПРИ ТЕРМОМИГРАЦИИ ЖИДКОЙ ЗОНЫ В КРИСТАЛЛЕ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 ЯНВ 2013

Новочеркасск 2012

005048765

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный

технический университет (Новочеркасский политехнический институт)»

Научный руководитель доктор технических наук, доцент,

Князев Сергей Юрьевич

Официальные оппоненты: Герасименко Юрий Яковлевич,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», декан нефтегазопромышленного факультета

Ткачев Александр Николаевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)»,

заведующий кафедрой «Прикладная математика»

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

Механики и прикладной математики федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Защита диссертации состоится 15 февраля 2013 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.304.02 в ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской обл., ул. Просвещения 132, (главный корпус, ауд. 107)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института) по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской обл., ул. Просвещения 132. www.npi-tu.ru

Автореферат разослан «9» января 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук, профессор ^_ А.Н. Иванченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Стабильность технологического процесса является одним из основных критериев возможности его эффективного применения в производстве. Широкий круг прикладных задач связан с нахождением условий стабильного роста и растворения кристаллов, используемых в производстве полупроводниковых микро-, нано- и оптоэлектронных приборов. В некоторых процессах полупроводниковой микрометаллургии представлены кристаллизация и растворение одновременно. К таким процессам относится исследуемая в настоящей диссертации термомиграция или зонная перекристаллизация градиентом температуры (ЗТТГТ). Метод ЗПГТ позволяет формировать на поверхности и в объеме кристалла структуры различного назначения в условиях, близких к равновесным, и при малом кристаллизационном переохлаждении в жидкой фазе. Эти достоинства метода могут использоваться на практике лишь при условии стабильности границ жидкой зоны в процессе ЗПГТ. В настоящее время условия стабильности при ЗПГТ исследованы недостаточно. Поэтому исследование условий стабильности процесса термомиграции является актуальной задачей. Сложность таких исследований обусловлена тем, что рассматриваемая задача относится к классу задач с подвижными границами (задача Стефана). В случае ЗПГТ, границ с подвижными стенками две - растворяющаяся и кристаллизующаяся. Более того, в процессе ЗПГТ эти границы вовлечены в общие массо- и теплопотоки. Перечисленные сложности — одна из причин того, что задача стабильности жидкой зоны при ЗПГТ не нашла пока достаточно корректного решения. Очевидно, что указанное решение не может быть получено аналитически и требует применения численных методов.

Предварительные исследования показали, что применение метода конечных разностей (МКР) для численного решения рассматриваемой задачи не обеспечивает необходимой точности даже в двухмерном варианте. Это обусловлено погрешностью, возникающей в нерегулярных узлах сетки и наличием изменяющихся во времени границ. Между тем для исследования стабильности процесса термомиграции необходимо использовать трехмерную модель, которая отражает эволюцию реальной формы зоны.

Для поставленной задачи оказался предпочтительным метод точечных источников (МТИ). Он относится к бессеточным методам. Применение МТИ для численного моделирования ЗПГТ приводит к сокращению вычислительных ресурсов и к существенному повышению точности приближенного решения. Однако использование МТИ не столь широко как конечно-разностных методов. Его достоинства и недостатки и области предпочтительного применения еще в полной мере не выявлены. Поэтому метод нуждается в дальнейшем развитии. Следовательно, разработка на основе МТИ двухмерных и трехмерных компьютерных моделей для задачи с подвижными границами, описывающей процессы морфологической эволюции межфазных границ при ЗПГТ, также является актуальной задачей. Это развитие метода оказалось полезным и в других случаях, в частности, для решения задачи диффузии в квазиодномерных нанообъектах, что также актуально.

Диссертационная работа выполнялась по научному направлению ЮРГТУ (НИИ) «Кристаллы и структуры для опто- и наноэлекгроники» и ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы» (2010-2011 г.) в рамках госбюджетных НИР «Теоретическое и экспериментальное исследование термомиграции как метода эпитаксии и наноструктурирования полупроводников и металлов», «Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей формирования и модификации квазиодномерных наноструктур на основе углерода и полупроводниковых материалов в ультратонких кристаллизационных ячейках», фундаментальной НИР «Теория и экспериментальные исследования диффузии в нанообъектах» (грант РФФИ).

Целью работы является построение компьютерной модели термомиграции плоских жидких зон в кристалле, позволяющей рассчитывать условия морфологической стабильности межфазных границ зоны для усовершенствования технологических режимов получения полупроводниковых приборных структур методом термомиграции.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- построить математическую модель процесса миграции плоской жидкой зоны в поле температурного градиента, адекватную поставленной цели, учитывающую взаимосвязанные процессы теплообмена и массопереноса в жидкой фазе и влияние различных факторов на кинетику ЗПГТ;

- разработать на основе МТИ двух- и трехмерную компьютерные модели термомиграции жидкой плоской зоны в кристалле, корректно описывающие характер эволюции растворяющейся и кристаллизующейся границ зоны;

- разработать на основе МТИ алгоритм и исследовать эффективность этого метода для решения уравнения Лапласа и уравнения диффузии;

- создать пакет прикладных программ и исследовать с его помощью стабильность межфазных границ и зоны в целом при ее термомиграции в кристалле в широком диапазоне изменений физических параметров процесса;

- подтвердить адекватность разработанной математической модели реальному процессу термомиграции сравнением численных результатов с результатами аналитических решений в предельных случаях, а также с экспериментальными данными;

- сформулировать практические рекомендации по оптимизации условий, обеспечивающих стабильное движение плоских жидких зон при ЗПГТ;

- продемонстрировать эффективность разработанных алгоритмов применения МТИ к численному решению диффузионных задач (на примере диффузии в квазиодномерный нанообъект).

Научная новизна работы

1. Создана новая математическая модель миграции плоской жидкой зоны, учитывающая взаимодействие ее межфазных границ и влияние различных факторов, определяющих кинетику ЗПГТ, отличающаяся от известных использованием стационарных уравнений.

2. Создан алгоритм численного решения дифференциальных уравнений, входящих в разработанную математическую модель процесса термомиграции (с использованием МТИ), положенный в основу пакета прикладных программ, позволяющих исследовать морфологическую стабильность зоны при ЗПГТ (свидетельство гос. регистрации программы для ЭВМ № 2010614286).

3. Впервые рассчитаны с учетом взаимодействия межфазных границ зависимости скорости морфологической эволюции растворяющейся и кристаллизующейся границ жидкой зоны от всех технологически значимых факторов проведения ЗПГТ.

4. Обнаружен эффект индуцированного возмущения - возникновение и эволюция возмущения на одной межфазной границе порождает возмущение на второй границе (даже при условии, если вторая граница, в отсутствии воздействия первой, стабильна). Масштаб этого эффекта возрастает с уменьшением толщины жидкой зоны. Предшествующие теории этот эффект не прогнозируют из-за их недостаточной корректности.

5. Выявлены два характерных этапа эволюции возмущения межфазной границы. На первом этапе любое произвольно заданное начальное возмущение трансформируется к виду, адекватному концентрационно-температурным условиям проведения ЗПГТ. На втором этапе непосредственно проявляется сам исследуемый процесс эволюции рассматриваемого возмущения. В предшествующих теориях эти этапы не выявляются из-за их недостаточной корректности.

6. Созданы математическая модель и комплекс специализированных программ (свидетельство гос. регистрации программы для ЭВМ №2010614316) для исследования диффузии в квазиодномерных нанообъектах на основе совместного использования метода МТИ и МКР. Выявлены характерные особенности взаимосвязи быстрой поверхностной и медленной объемной диффузии в квазиодномерном нанообъекте. Рассчитана диффузия атомов вольфрама в углеродный нановискер; вычислены поверхностный и объемный коэффициенты диффузии указанных атомов.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Математическая модель миграции плоской жидкой зоны в поле температурного градиента на основе стационарных уравнений, учитывающая процессы теплообмена и массопереноса в используемой сэндвич-композиции, а также - взаимодействие межфазных границ.

2. Алгоритм численного решения дифференциальных уравнений, входящих в математическую модель процесса термомиграции (с использованием МТИ), положенный в основу пакета прикладных программ, позволяющих исследовать морфологическую стабильность зоны при ЗПГТ.

3. Результаты исследования стабильности плоской зоны при термомиграции, полученные с помощью двух- и трехмерной компьютерных моделей. Зависимости скорости морфологической эволюции растворяющейся и кристаллизующейся границ жидкой зоны от параметров, влияющих на процесс ЗПГТ.

4. Эффект индуцированного возмущения - возникновение возмущения на одной межфазной границе порождает возмущение на противоположной границе даже при условии, если противоположная граница в отсутствии первой стабильна.

5. Два характерных этапа эволюции возмущения межфазной границы, обнаруженные при исследовании стабильности плоских зон. На первом (более коротком) произвольно заданное начальное возмущение «адаптируется» (за счёт процессов самоорганизации) к виду, адекватному условиям проведения ЗПГТ. На втором этапе происходит изменение возмущения (за счёт исследуемого процесса эволюции морфологической неустойчивости границы).

6. Практические рекомендации по оптимизации условий проведения 3111 Т с использованием плоских зон. Эти рекомендации основаны на полученных в работе зависимостях морфологической устойчивости межфазных границ от различных технологически значимых параметров ЗПГТ.

7. Математическая модель и пакет программ для исследования диффузии в квазиодномерных нанообъектах на основе совместного использования метода МТИ и МКР. Характерные особенности взаимосвязи быстрой поверхностной и медленной объемной диффузии в квазиодномерном нанообъекте. Описание диффузии атомов вольфрама в углеродный нановискер; результаты вычисления коэффициентов поверхностной и объемной диффузии указанных атомов.

5

Методы исследования. Моделирование ЗПГТ основывалось на общепризнанных фундаментальных теоретических представлениях этого процесса и методах математической физики. Для исследования стабильности межфазных границ плоских зон при термомиграции в кристалле использовалось численное моделирование рассматриваемых процессов на основе МТИ. Для проверки корректности численных решений (поставленной задачи) использовалось сравнение с результатами аналитических решений (в предельных случаях), а также сравнение с результатами натурных экспериментов.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- их взаимной согласованностью и согласованностью с аналогичными литературными данными;

- их соответствием общенаучным представлениям в рассматриваемой области;

- их совпадением с результатами аналитических решений в предельных случаях;

- их соответствием результатам экспериментальных исследований.

Практическая значимость работы обусловлена универсальностью разработанного на основе МТИ пакета программ, позволяющего исследовать морфологическую устойчивость жидких зон при ЗПГТ в широком диапазоне изменений технологически значимых параметров процесса термомиграции, и, следовательно, минимизировать время отработки режимов ЗПГТ, а также оптимизировать процесс диффузионной модификации углеродных наноострий для атомно-силовой микроскопии (АСМ). Разработанные численные модели решения уравнения Лапласа и уравнения диффузии, могут быть легко использованы для решения сходных задач с подвижными границами.

На предложенный пакет программ получены 2 свидетельства гос. регистрации программы для ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы обсуждались и получили положительные отзывы на следующих конференциях и семинарах: XII, XIII национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2006, НКРК-2008, Москва, ИК РАН); VII международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (ВНЦ РАН, Волгодонск, 2009 г.); VI Международная научно-практическая конференция «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (ЮРГТУ (НПИ), Новочеркасск, 2006); IV Российской конференции с международным участием «Кремний-2007» (МИСиС, Москва, 2007); 55 и 56-я научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, научных работников, аспирантов и студентов (ЮРГТУ (НПИ), Новочеркасск, 2006, 2007); VI, VII, VIII Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2009, 2010, 2011); Двустороннее научно-образовательное сотрудничество вузов России и Китая: IV Российско-китайская конференция (МИСиС, Москва, 2010); IV Всероссийская студенческая научно-техническая конференция «Прикладная информатика и математическое моделирование» (МГУП, Москва, 2010 г.).

Результаты работы внедрены в технологию производства тиристоров с использованием процесса ЗПГТ в ООО «Элемент-преобразователь», г. Запорожье, Украина. Результаты работы и разработанные пакеты программ использовались при выполнении следующих НИР: «Теория и экспериментальные исследования диффузии в нанообъектах» (грант РФФИ, № 08-08-00886-а), «Разработка теоретических основ методов формирования эпитаксиальных структур и наноструктурированных систем в процессе термомиграции жидкофазных и вакуумных микроразмерных ростовых зон

6

в кристаллах» (тем. план ЮРГТУ (НГШ), г/б 13.08), «Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей формирования и модификации квазиодномерных наноструктур на основе углерода и полупроводниковых материалов в ультратонких кристаллизационных ячейках» (тем. план ЮРГТУ (НГШ), г/б 12.10), «Теоретическое и экспериментальное исследование термомиграции как метода эпитаксии и нано-структурированния полупроводников и металлов» (тем. план ЮРГТУ (НПИ), г/б 01.11), «Разработка научных основ метода получения нанослоев и структур ZnO в ультратонких ростовых ячейках» (гос. контракт № 02.513.11.3349). Алгоритмы, комплекс программ, разработанные в диссертации, а также, развиваемый численный метод (метод точечных источников), используются в учебном процессе на физико-математическом факультете и факультете автоматики и управления ФГБОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ) в курсах «Математическое моделирование процесса изготовления полупроводниковых структур», «Методы математического моделирования», «Численные методы в решении физических задач», нефтегазопромышленном факультете ФГБОУ ВПО ДГТУ в курсах «Дополнительные главы по математике», «Уравнения математической физики», «Численные методы».

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 21 работа. Из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 3 свидетельства о гос. регистрации программ для ЭВМ, 6 публикаций в сборниках трудов международных и Всероссийских конференций.

Личный вклад автора

В диссертационной работе лично автором выполнено следующее.

1. Построена численная трехмерная модель термомиграции плоской жидкой зоны в кристалле на основе метода точечных источников.

2. Построена двухмерная численная модель процесса термомиграции плоской жидкой зоны в кристалле на основе метода интегрированных источников.

3. Разработаны алгоритмы и программы для всех расчётов, выполненных в диссертации.

4. Разработана методика проведения вычислительного эксперимента, с помощью предложенной численной модели на основе МТИ.

5. Исследовано влияние параметров ЗПГТ на морфологическую устойчивость процесса термомиграции жидких включений плоской формы. Дана физическая интерпретация полученных зависимостей.

6. Исследована морфологическая устойчивость процесса термомиграции плоских зон для случаев нелинейной зависимости скорости кристаллизации (растворения) межфазных границ от пересыщения (недосыщения) на этих границах.

7. Разработана численная модель диффузии в квазиодномерных нанообъектах, описана и интерпретирована диффузия атомов вольфрама из подложки в углеродный нановискер, произведено сравнение с экспериментом и получена оценка объёмного и поверхностного коэффициентов диффузии. Экспериментальные исследования диффузии в углеродных нановискерах для АСМ проведены В.А. Ирхой.

Совместно с руководителем работы поставлена цель диссертационного исследования и сформулированы его задачи.

Объем п структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов, списка литературы и 5 приложений. Общий объем работы 185 страниц, в тексте содержится 47 рисунков и 8 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулирована цель и задачи исследования, показана научная новизна работы, кратко описываются ее результаты, их практическая значимость и достоверность.

В главе 1 «Обзор литературы и постановка задач исследования» рассмотрены работы, посвященные теоретическому исследованию процесса термомиграции, проанализированы физические процессы, происходящие при термомиграции жидких плоских зон в кристалле.. Основное внимание уделено факторам, которые имеют принципиальный характер при использовании термомиграции в технологии производства полупроводниковых структур.

Проанализированы подходы к исследованию нестабильности межфазных границ при термомиграции жидких зон в кристалле. Из анализа следует, что все теоретические работы в этой области можно разбить на две группы: не учитывающие взаимодействие межфазных границ (ранние работы) и учитывающие это взаимодействие. Результатом ранних работ являются легко интерпретируемые выражения, которые допускают качественное сравнение с экспериментом. Во втором случае разработаны более строгие теории, однако полученные выражения, описывающие морфологическую устойчивость, невозможно интерпретировать и провести какое-либо сравнение с экспериментом. Это обстоятельство стало толчком к разработке численных подходов к исследованию морфологической стабильности термомиграции.

Кратко рассмотрены численные подходы к моделированию процесса термомиграции, и проведен анализ их использования в этой области. Результат анализа и обзора используемых методов - выбор МТИ в качестве численного метода для построения компьютерной модели термомиграции.

Метод точечных источников является относительно новым численным методом. В обзоре рассмотрены те немногочисленные работы, которые посвящены его теоретическим основам и проблемам его применения при решении граничных задач. Обозначены общепризнанные проблемы (и предложенные способы их решения): расположение и выбор числа зарядов (моделирующих решение), плохая обусловленность получаемой системы уравнений и устойчивость приближенного решения. Рассмотренные исследования носят общий характер, поэтому во второй главе проведен анализ указанных проблем на конкретных примерах, имеющих схожие постановки задач с исследуемыми в диссертации процессами (термомиграция жидких зон в кристаллах и диффузия в квазиодномерных нанообъектах).

На основе проведенного в работе анализа литературных данных обоснованы цель работы и задачи, которые необходимо решить для ее достижения.

В главе 2 «Численное решение уравнений Лапласа и теплопроводности с помощью метода точечных источников» конкретизирована формулировка МТИ для случаев решения уравнения Лапласа и теплопроводности. Основная идея метода заключается в представлении приближенного решения в виде суперпозиции «полей, создаваемых точечными зарядами», природа которых определяется решаемым уравнением. Для граничных задач с уравнением Лапласа (1, а) решение будет иметь вид (1, б); для граничных задач с уравнением теплопроводности (2, а) - вид (2, б):

DAu{xj) = d"{Xj\ xzG,t>t0;

Аы(х) = 0, xeG; dt

aW„W + JWMf)_cW = 0, хеГ; (1' 0) a(x)u(xj) + b(x)^^-c(x) = 0, хсГ, t>t0; (2' ^

Gn an

U(x,t0) = C0 = const, xe G;

N

N М

(1, б) и(х, 0 я С0 + £ X Мн ^•

(2,6)

ы

Здесь С - область решения; Г - ее граница; I - время. В формуле (1, 6) срк - фундаментальное решение уравнение Лапласа, в (2, б) <рк, - фундаментальное решение уравнения теплопроводности, (¡к и с/и - заряды, подлежащие определению. Основное отличие в решении уравнения теплопроводности от решения уравнения Лапласа методом точечных источников, заключается в том, что заряды, моделирующие поле, дискрети-зированы не только в пространстве, но и по времени.

В главе также приведена теория метода интегрированных источников (МИИ). Основное отличие МИИ от МТИ заключается в замене точечных источников протяженными. Например, для задачи (1, а) приближенное решение будет иметь вид:

где ак - протяженные источники поля, тк - закон распределения заряда вдоль них.

Для МТИ отсутствует строгое обоснование расположения зарядов и способах построения системы уравнений, гарантирующие наилучшую точность приближенного решения и его устойчивость. Поэтому в работе решены несколько тестовых задач, имеющих схожую математическую постановку с теми, что решаются в диссертации; найдены зависимости точности приближенного решения от варьирования различных параметров (расположение зарядов, их число, шаг возникновения зарядов для уравнения теплопроводности). При решении тестовых задач с помощью МТИ использовался подход, когда число зарядов равно количеству точек коллокации, а расположение зарядов задано априори. Как показал анализ полученных зависимостей, при таком подходе нет четкого критерия расположения зарядов и их числа для получения наиболее точного решения. Поэтому для обеспечения приемлемой точности предложен итерационный алгоритм выбора числа зарядов и их расположения. Несмотря на эти недостатки, МТИ дает точность решения на несколько порядков выше, чем конечно разностные методы при решении указанных уравнений. Также МТИ наиболее прост в применении для построения численных моделей.

В главе 3 «Модель термомнграции плоских зон» разработаны физико-математическая и численная модели процесса термомиграции плоских жидких зон в кристалле, учитывающие взаимовлияние межфазных границ и позволяющие количественно исследовать их стабильность.

На основе проведенного анализа литературных данных в физическую модель включены следующие явления и факторы:

- распределение фактической и равновесной температуры в композиции «кристалл-зона-кристалл»;

- распределение концентрации (фактической и равновесной) ростового вещества в расплаве зоны;

- вытекающие из указанных распределений величины переохлаждения (перегрева) и пересыщения (недосыщения) на межфазных границах;

- характер зависимости скорости межфазных процессов от этих величин;

- изменение равновесных концентраций вблизи искривленной межфазной границы (эффект Гиббса-Томсона);

- наличие конвективного движения в жидкой фазе.

Влияние последнего фактора на скорость роста (растворения) кристалла исследовано отдельно, с помощью одномерной модели термомиграции с учетом конвективного движения расплава. В основу модели входит уравнение диффузии с учетом конвективного движения расплава (3) с граничным условием (4):

ВС _52С дС О дС

— = £>—^—и«-;-; (3)

Ы дх

дх'

1-С дх

= и

к.Р'

(4)

где ив - составляющая конвективной скорости вдоль движения жидкой зоны; ик р -скорость кристаллизации (к) и растворения (/;); С - концентрация атомов кристалла в расплаве; В - коэффициент диффузии атомов кристалла в расплаве.

С помощью разработанной числен-

1,50 1,25 1,00 >0,75 3 0,50 0,25

________________ 2... А 3.^.4

1

1 / / _____^Д/С, ы-Л--

1

0

6

VI

8

10 11

о.}

Рис. 1. Зависимости средней скорости термомиграции плоской зоны раствора-расплава от ее толщины при различной вязкости вещества зоны; ип - скорость диффузионного режима; /0 5 — половина толщины зоны, соответствующей диффузионному режиму процесса

дС( г, 0

а/

дТ3( г,О 51

дТ,(г,Г) 8(

О дС

1-С дп

Чг-Чг

= £>АС(г,г), геЬ, 1>0; = йг5ДГ5(г,0, г €5, / > 0;

= ^А7^(г,0, г е Ь, ¿>0; = 0П{С°-С\,г> 0;

г >0;

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

ной модели произведены расчеты зависимости скорости движения жидкой зоны от ее толщины для различных значений кинематической вязкости (рис. 1). Описанный ход зависимости средней скорости миграции от толщины зоны и её критические значения, качественно согласуются с результатами эксперимента. Учитывая простоту рассматриваемой модели, такое согласие с экспериментом следует считать приемлемым. Из результатов исследования следует, что для зон толщиной меньше 200 мкм конвекцией при термомиграции жидкой зоны в кристалле можно пренебречь.

Математическая модель, учитывающая все перечисленные факторы, кроме конвекции, имеет вид: дТ

СС— + РТ дп

= £,

I > 0;

дп

г°

97^ дп

¡>0:

Г(/) = Г0+}и(г)Л;

о

_ 1 ¿,5 ^ ^ равн

ас ¿г

А Т =

(10) (П) (12)

Г

~ 68 х'

Тзл(г,0) = То(г), С(г,0) = Со(г);

Г(0) = Г0(0),

где С - концентрация атомов растворенного вещества в расплаве Ь, О - коэффициент диффузии атомов в расплаве; '/]., 1) - температура в кристалле (5) и расплаве (/,); а8,аь - коэффициент температуропроводности кристалла (5) и расплава (/,); V - скорость межфазных границ, зависящая от разницы фактической (С) и равновесной (С

10

концентрации; а, р, е - величины, значения которых определяются конкретными особенностями процесса; к1, к5 - коэффициенты теплопроводности в кристалле и расплаве; (1С/с1Т - наклон линии ликвидус; А7*раИ1 - отклонение температуры от равновесной, соответствующей плоской границе, зависит от свободной поверхностной энергии у, изменения энтропии фазового перехода АЧ и кривизны границы %; Г - межфазные границы, изменяющиеся со временем.

Построенную модель можно упростить. Во-первых, для исследования стабильности термомиграции плоских зон не существенно, как обеспечивается градиент температуры в сэндвич-композиции. Поэтому температурные условия (10) на внешней границе Г° можно заменить априори заданным градиентом температуры С.

Во-вторых, для типичных значений параметров термомиграции, используемых в полупроводниковой технологии, можно перейти от уравнений диффузии (5) и теплопроводности (6), (7) к последовательности уравнений Лапласа в определенные моменты времени. Рассмотрим три характеристических времени задачи: 1и=Ии - время, за

которое может существенно измениться форма зоны, = /2 / £> - время диффузионной релаксации, <г =/2 /аь - время тепловой релаксации. Для указанных значений (/, аД и) справедливо: /и »1С »1Т (например, для композиции кремний - алюминий порядок значений указанных величин в соотношении следующий: 1п ~ 103 с, 1С я Ю-1 с, 1Т я КГ5с). Тогда можно выбрать интервалы времени г, за которые не будет существенного изменения формы зоны, одновременно можно считать, что концентрационное и температурное поле стационарны. Переход к решению последовательности уравнений Лапласа (с учетом изменения на каждом шаге межфазной границы, в соответствии с полученным распределением концентрации и температуры в сэндвич-композиции) является первым шагом к численной модели.

В-третьих, можно упростить вычислительные выражения, если перейти к величинам отклонения концентрации и температуры от их невозмущенных значений. Этот переход также повысит точность приближенного решения на 2 - 3 порядка.

На рис. 2 показано схематическое изображение участка плоской зоны, в котором локализовано возмущение, толщиной /, движущейся в направлении заданного градиента температуры в. В численной модели межфазпые границы моделируются узлами. Возмущение задано отклонением узлов (узла) от плоскости невозмущенной части межфазных границ.

вблизи смоделированного возмущения

Рис. 2. Схематическое изображение межфазных границ с локальным возмущением на границе растворения. Черные точки - узлы, моделирующие границы зоны

-Н/2

Рис. 3. Схематическое изображение зарядов, моделирующих концентрационное и температурное поле в расплаве (пустые кружки) и температурное поле в кристалле (серые кружки)

На рис. 3 изображено сечение жидкой зоны плоскостью, перпендикулярной к хОу и проходящей через возмущение. На этом рисунке схематически изображено расположение точек, моделирующих участок границ шириной Н, в котором локализовано возмущение и расположение зарядов, моделирующих концентрационное поле в расплаве.

Заряды, моделирующие температурное поле в расплаве, располагаются аналогично концентрационным зарядам. Заряды, моделирующие температурное поле в кристалле, располагаются в расплаве. Расстояние между зарядами и точками, моделирующими межфазные границы - кч.

трехмерной численной модели трудозатраты

Для построения двухмерной и практически одинаковы при использовании предложенного во второй главе алгоритма применения МТИ. Отличие в математических выражениях, описывающих численную модель, состоит только в виде фундаментального решения, его производных и выражений для вычисления кривизны поверхности. Подставляя в граничные условия (8), (9), (11) выражение (1, б) получаем системы уравнений (13) относительно неизвестных зарядов ц^ моделирующих концентрационное поле в расплаве, и (14) относительно , с]^, моделирующих температурное поле в кристалле и расплаве:

I

ч,

р ас 1-с„„ ат

асу

■ с -УО,

-с0)-

Р с/С

1-е,, ат

Ос 5т(аг„);

/•1

=0,

ы

<р{г1 ,г.) - 2>>(г,, г, )=(С;~С,)Г.

(13)

(14)

В этих системах индекс 7 = 1,7^; г , г( - точки коллокации и расположение зарядов,

соответственно. Все величины, кроме зарядов, определены из начальных условий, либо из решения на предыдущем временном шаге. Решая системы, находим неизвестные заряды. Затем, используя зависимость скорости кристаллизации (растворения) от пересыщения (недосыщения) на межфазных границах и формулу (12), определяем новое положение межфазных границ.

В рассмотренной численной модели предполагалось, что скорости межфазных границ линейно зависят от пересыщения на этих границах. Рассмотрен отдельно случай, когда эта зависимость нелинейная.

На примере двухмерной модели, показан также вариант применения МИИ, основы которого изложены во второй главе. В качестве интегрированных источников выбраны линейно заряженные отрезки. Сравнение результатов, полученных с помощью МТИ и МИИ, показало, что результаты совпадают с точностью выше 10"'. Следовательно, использование МИИ в данном случае не оправданно.

В главе 4 «Исследование устойчивости межфазных границ плоских зон в процессе термомиграцнн» изложены разработанная методика и результаты численного исследования морфологической устойчивости межфазных границ. Установлено, что в общем случае для процесса эволюции произвольного начального возмущения имеют место два характерных этапа. На первом (относительно быстром) произвольно заданное начальное возмущение трансформируется к виду, адекватному условиям проведения ЗПГТ. На графике зависимости амплитуды возмущения А от пути Б, пройденного зоной, первый этап характеризуется резким спадом, переходящим на втором этапе к более медленной зависимости А(Б). Кривая остается спадающей, если возмущение затухает (кривая 2 на рис. 4, а), или, пройдя через характерный минимум, преобразуется в возрастающий участок (кривые 1 и 3). Указанный минимум соответствует переходу от первого этапа эволюции ко второму. Из кривых, представленных на рис. 4, а, видно, что первый этап - переход первичного возмущения в квазиравновесное состояние, соответствующее условиям проведения ЗПГТ - происходит достаточно быстро (зона успевает на этом этапе сместиться на 0.1 своей толщины). Описанный выше эффект показывает, что введение в работах некоторых авторов специальной формы начального возмущения физически не оправдано и может служить лишь средством облегчения решения задачи в аналитическом виде. При использовании численного решения на основе МТИ может использоваться любая произвольная форма начального возмущения.

В ходе исследований был обнаружен также эффект индуцированного возмущения, возникающего на исходно стабильной границе кристаллизации, в результате воздействия на нее нестабильности противоположной границы.

Этот эффект иллюстрируется кривыми рис. 4, б. При этом возмущение, представленное кривой 1 рис. 4, б, индуцируется возмущением, представленным кривой 1 рис. 4, а, для одной и той же жидкой зоны. Еще для двух зон эффект индуцирования представлен соответственно кривыми 2 и 3 на рис. 4, а и 4, б. В предшествующих работах эффект индуцирования не был обнаружен, так как взаимосвязь процессов на противоположных границах практически не рассматривалась.

13

а)

б)

Рис. 4. Характерные зависимости амплитуды начального возмущения А (график а) и амплитуды индуцированного возмущения /}„„/ (график б) от пройденного пути 5, для различных параметров ЗПГТ (/ = 40 мкм, £> = 2-10~5см /с, (7 = 10 К/см, ): 1 -кь1кЕ = 1, // Iцк = 1; 2 - к1 /к5 - 0.33,

//Р/А = 2; 3 - кь1к8 =0.5, =0.5;

На рис. 5, а показана типичная начальная форма межфазных границ, на одной из которых задано возмущение произвольной формы. На рис. 5, б - форма межфазных границ, после прохождения зоной ее толщины. Видно, что местоположение индуцированного возмущения на исходно плоской границе соответствует положению индуцирующего его возмущения. Эти возмущения подобны, амплитуда индуцированного возмущения значительно меньше (см. рис. 5)

В ходе расчетов получены зависимости амплитуды А от пути пройденного зоной, аналогичные изображенным на рис. 4, полученным при различных параметрах процесса ЗПГТ.

Из анализа полученных зависимостей следует, что морфологическая стабильность плоской жидкой зоны в процессе термомиграции увеличивается:

- с увеличением толщины жидкой зоны;

- с уменьшением градиента температуры.

- с увеличением кинетического коэффициента растворения по отношению к кинетическому коэффициенту кристаллизации, в случае, когда возмущение возникает на границе кристаллизации;

- с увеличением отношения кинетических коэффициентов кристаллизации и растворения, в случае, когда возмущение возникает на границе растворения;

- с увеличением коэффициента теплопроводности твердой фазы по отношению к коэффициенту теплопроводности жидкой фазы;

- с увеличением коэффициента у/АЯ (увеличение свободной поверхностной энергии у на границе кристалл-расплав и/или уменьшение изменения энтропии фазового перехода АЛ");

В тех случаях, когда возможно провести сравнение экспериментальных данных с полученными результатами, нами установлено качественное соответствие между ними. Руководствуясь установленными в вычислительном эксперименте закономерностями, возможно управлять морфологической устойчивостью фазовых границ зоны при термомиграции.

В главе 5 «Численное исследование процесса диффузии в квазиодномерных нанообъектах» дана методика применения МТИ к решению дифференциальных уравнений и использована для моделирования диффузии в квазиодномерном нанообъекте. Рассмотрены теоретические подходы исследования поверхностной диффузии. Выбрана и видоизменена для случая Ш-нанообъекта модель Фишера для описания диффузии.

•Ъ 1-4 ■ * <

< -1.4

-1.3] ;

-0.0.1 -0.02 -0.01 о О.01 0 02 0 03

X, см

б)

Рис. 5. Начальное возмущение заданное одним узлом (а) и его форма, после прохождением зоной расстояния, равного ее толщине (б)

В настоящей работе рассчитано диффузионное насыщение одиночного нановис-кера атомами подложки, на которой он выращен перпендикулярно её поверхности. Вискер имеет форму усеченного конуса с радиусом основания Я0 и радиусом свободного торца , высотой /,. Указанное насыщение реализуется за счёт двух взаимосвязанных потоков: непосредственно в объём вискера через его торец и в объем с поверхности вискера, которая насыщается атомами подложки за счёт их быстрой поверхностной диффузии. Разработана соответствующая рассматриваемому процессу физико-математическая модель, состоящая из уравнений, описывающих диффузию в объеме (14) и по поверхности (15), решения которых взаимосвязаны через граничное условие (16):

дСу

дг

ОС,

= пуАСу;

= О.АС\ + Д

аС5 ¿/(1пД)

О,. РСГ . 5 дп ''

(14)

(15)

д! ' "бг иЬ

Ск(г,= СДг.'Ь = С0, 0 < г < Д., < > 0; (16)

СГг,0|Г=Я(2) = С3(г, 0 < г < Ь, / > 0; С„(г,г,/)|г=ь =Ся(г,ои, 0</-<Л„ />0,; 8Сг(:, I)

&

= 0, 1>0;

г-L

..0=с5(г,ои=о, О<2<Ь, О<г<Л(г). концентрация в объеме и на поверхности; Ог, 1)5 - коэффициенты

0.06

0.04

О

0.02

Здесь: С,,, С5

диффузии атомов подложки в объеме нанообъекта и по его поверхности, соответ ственно; 5 - толщина поверхностного слоя.

С помощью совместного применения МИИ и МКР произведена численная реализация математической модели и проведено исследование диффузии в одномерный углеродный вискер атомов из вольфрамовой подложки. Проведено сопоставление полученных решений и экспериментальных данных (см. рис. 6). Приведенные экспериментальные данные относятся к вискеру длиной 1000 нм, радиусом 160 им, время после начала диффузии - 1800 с; найденный коэффициент диффузии: объемной - 0.7 • 10~15 см2/с, поверхностной - 0.7-Ю'11 см2/с, при толщине поверхностного слоя 1 нм. Из рис. 6 видно, что результаты расчета близки к экспериментальным данным.

В заключении приведены общие результаты проведенных в диссертации исследований стабильности процесса термомиграции жидких зон в кристалле и диффузии в квазиодномерный нанообъект и выводы.

В приложениях приведены: алгоритм расчета кривизны межфазных границ; результаты расчета морфологической устойчивости, полученные с помощью двухмерной компьютерной модели; листинги основных программных модулей и свидетельства о госрегистрации программы для ЭВМ; акты внедрения результатов диссертационного исследования и их использования в учебном процессе.

1000

Рис. 6. Распределение атомов вольфрама С вдоль оси г углеродного вискера. Кривая 1 соответствует численному расчету, кривая 2 - эксперименту

ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проанализированы существующие математические модели миграции плоской жидкой зоны в поле температурного градиента при ЗПГТ и предложена новая модель, учитывающая взаимодействие межфазных границ и влияние различных факторов, определяющих кинетику ЗПГТ, отличающаяся от известных использованием стационарных уравнений, что позволило получить эффективную численную модель рассматриваемой задачи.

2. Создан алгоритм численного решения дифференциальных уравнений, входящих в разработанную математическую модель процесса термомиграции (с использованием МТИ), положенный в основу пакета прикладных программ (свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010614286), позволяющих исследовать морфологическую стабильность зоны при ЗПГТ.

3. В результате выполненного вычислительного эксперимента, с помощью двух-и трехмерной компьютерной модели термомиграции, установлено, что морфологическая устойчивость жидкой зоны при ЗПГТ увеличивается:

- с увеличением толщины зоны (в типичном диапазоне от 10 до 160 мкм);

- с уменьшением коэффициента теплопроводности жидкой фазы по отношению к коэффициенту теплопроводности твердой фазы;

- с уменьшением кинетического коэффициента растворения по отношению к кинетическому коэффициенту кристаллизации (в случае, когда возмущение возникает на границе растворения);

- с уменьшением кинетического коэффициента кристаллизации по отношению к кинетическому коэффициенту растворения (в случае, когда возмущение возникает на границе кристаллизации);

- с увеличением свободной поверхностной энергии у на границе кристалл-расплав и/или с уменьшением энтропии фазового перехода ДО;

- с уменьшением градиента температуры в сэндвич-композиции.

4. В отличие от предшествующих теорий сформулированы практические рекомендации по оптимизации условий проведения ЗПГТ, основанные на результатах диссертационных исследований. Рекомендуется выбирать величину градиента температуры, толщину жидкой зоны и её теплопроводность таким образом, чтобы исключить или замедлить развитие процессов нестабильности на межфазных границах.

5. Обнаружен эффект индуцированного возмущения - возникновение и эволюция возмущения на одной межфазной границе порождает возмущение на второй границе. Из-за эффекта индуцированного возмущения, граница кристаллизации, ранее считавшаяся при ЗПГТ в полупроводниковых системах абсолютно стабильной, теряет этот статус для достаточно тонких жидких зон. Из предшествующих теорий этот эффект не вытекает (из-за их недостаточной корректности).

6. Обнаружены два характерных этапа эволюции возмущения межфазной границы. На первом (более коротком) произвольно заданное начальное возмущение «адаптируется» (за счёт процессов самоорганизации) к виду, адекватному условиям проведения ЗПГТ. На втором этапе происходит изменение возмущения (за счёт исследуемого процесса эволюции морфологической неустойчивости границы). Следовательно, выбор в предыдущих работах начальных возмущений специальной формы физически не мотивирован и может быть оправдан лишь стремлением авторов упростить решение задачи в аналитическом виде.

7. Разработаны математическая модель и пакет соответствующих программ (Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ №2010614316), позволяющих исследовать диффузию в квазиодномерных нанообъектах и проверить эффективность использования МТИ для решения диффузионных задач. Показана эффективность совместного использования МТИ и метода конечных разностей для этой задачи.

8. Выявлены характерные особенности взаимосвязи быстрой поверхностной и медленной объемной диффузии в квазиодномерном нанообъекте. Описана, в согласии с экспериментом, диффузия атомов вольфрама в углеродный нановискер с его торца; вычислены коэффициенты диффузии: объемной - 0.7-Ю-15 см2/с, поверхностной -0.7-10"" см2/с, при толщине поверхностного слоя 1 нм.

9. Результаты работы внедрены в технологию производства тиристоров с использованием процесса ЗПГТ в ООО "Элемент-преобразователь», г. Запорожье, Украина. Результаты работы также используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ) и ФГБОУ ВПО ДГТУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Бахвалов, Ю.А. Исследование устойчивости термомиграции с помощью трехмерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Ю.А. Бахвалов, С.Ю. Князев, B.C. Лозовский // Системы управления и информационные технологии - 2010. - № 1.2 (39). - С. 289-291.

2. Бахвалов, Ю.А. Применение зарядов двойного слоя в методе точечных источников поля / Ю.А. Бахвалов, С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, A.A. Щербаков // Системы управления и информационные технологии - 2009. - № 3.1 (37). - С. 108-112.

3. Лозовский, В.Н. Диффузия в квазиодномерных нано- и микрообъектах. / В.Н. Лозовский, В.А. Ирха, B.C. Лозовский // Письма в ЖТФ. - 2011: - Т. 37, вып. 22. - 7885.

4. Князев, С.Ю. Одномерная модель конвекции при термомиграции / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский // Известия вузов. Физика - 2006. - № 8. - С. 71-74.

Статьи, материалы конференций п свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

5. Князев, С.Ю. Одномерная модель термомиграции при наличии конвективного массопереноса в зоне // С.Ю. Князев, B.C. Лозовский // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: материалы VI Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 27 янв. 2006 г.: в 3 ч. - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ).-2006. -Ч. 1,-С. 31-33.

6. Князев, С.Ю. Прогнозирование морфологической устойчивости межфазных границ при термомиграции плоских зон в кристаллах / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский // Сборник статей и сообщений по материалам 55-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных работников, аспирантов и студентов университета. - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ). - 2006. - С. 153-157.

7. Губанов, A.A. Исследование морфологической устойчивости межфазных границ плоских зон с помощью компьютерной модели термомиграции / A.A. Губанов,

B.C. Лозовский, С.Ю. Князев // Студенческая научная весна - 2006: сб. науч. тр. аспирантов и студентов ЮРГТУ (НПИ) - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ). - 2006. -

C. 296-299.

8. Князев, С.Ю. Исследование стабильности движения плоских зон с помощью компьютерной модели термомиграции / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский // Тез. докл. XII национальной конференции по росту кристаллов (НКРК-2006). - М.: ИК РАН. -2006. - С. 132.

9. Князев, С.Ю. Моделирование термомиграции дискретных зон с помощью метода точечных источников поля / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, Е.Е. Щербакова, A.A. Щербаков//Научно-педагогические школы ЮРГТУ (НПИ): История. Достижения. Вклад в отечественную науку: сб. науч. ст. - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ). - 2007. -Т. 2.-С. 429-436.

10. Князев, С.Ю., Лозовский, B.C. Исследование стабильности линейных и плоских зон с помощью трехмерной компьютерной модели термомиграции / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский //Тез. докл. IV Российской конференции с международным участием «Кремний-2007» - М.: МИСиС. - 2007. - С. 117

11. Князев, С.Ю. Трехмерная компьютерная модель термомиграции, построенная на основе метода интегрированных источников поля / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, Г.А. Демиденко // Тез. докл. XIII национальной конференции по росту кристаллов (НКРК-2008). - М.: Ж РАН, 2008. - С. 116.

12. Князев, С.Ю. Исследование эволюции межфазных границ при термомиграции плоских зон с помощью численной модели на основе метода интегрированных источников поля / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, A.B. Цапколенко // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию: сб. докл. VII Междунар. конф. "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования". - Владикавказ: ВНЦ РАН и PCO-А. - 2009. - С. 69-76.

13. Князев, С.Ю. Применение метода интегрированных источников поля при моделировании процесса термомиграции / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, Е.Е. Щербакова // Вестн. Юж.-Рос. гос. техн. ун-та (Новочерк. политехи, ин-та). Сер. Естеств. науки. - 2010. - № 1. - С. 74-77.

14. Бахвалов, Ю.А. Исследование устойчивости термомиграции с помощью компьютерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Ю.А. Бахвалов, С.Ю. Князев, B.C. Лозовский // Материалы VI Междунар. семинара «Физико-математическое моделирование систем». - Воронеж: ВГТУ. - 2010. -Ч. 3. - С. 1217.

15. Князев, С.Ю. Моделирование диффузии в lD-нанообъекте с помощью метода интегрированных источников поля / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, В.А. Ирха // Материалы VII Междунар. семинара «Физико математическое моделирование систем». -Воронеж, 2010. -С. 213-218.

16. Ирха В.А. Объемная и поверхностная диффузия в углеродных нановиске-рах / В.А. Ирха, С.Ю. Князев, В.Н. Лозовский, B.C. Лозовский, Б.М. Середин // Материалы IV Российско-китайской конференции «Двухстороннее научно-образовательное сотрудничество вузов России и Китая». - М: МИСиС. - 2010. - С. 279-287.

17. Бахвалов, Ю.А. Применение метода точечных источников поля к решению краевых задач в неоднородных и нелинейных средах / Ю.А. Бахвалов, С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, К.З. Ле // Материалы VIII Междунар. семинара «Физико-математическое моделирование систем». - Воронеж: ВГТУ. - 2012. - Ч. 3. - С. 129134.

18. Князев, С.Ю. Сравнительный анализ эффективности метода точечных источников поля и метода граничных элементов / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, Е.Е. Щербакова // Материалы VIII Междунар. семинара «Физико-математическое моделирование систем». - Воронеж: ВГТУ. - 2012. - Ч. 3. - С. 135-139.

19. Князев, С.Ю. Моделирование термомиграции плоских зон с учетом конвективного массопереноса / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, Е.Е. Щербакова. - Свидетельство о гос. регистр, программы для ЭВМ № 2011616520; заявл 2011614724. 28.06.2011 ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 19.08.2011.

20. Князев, С.Ю. Моделирование процесса термомиграции плоской зоны в кристалле / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский, A.A. Слепцов. - Свидетельство о гос. регистр, программы для ЭВМ № 2010614286; заявл 2010612462. 06.05.2010 ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 01.07.2010.

21. Князев, С.Ю. Моделирование диффузионной модификации наносенсора / С.Ю. Князев, B.C. Лозовский - Свидетельство о гос. регистр, программы для ЭВМ №2010614316; заявл 2010612463. 06.05.2010 ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 05.07.2010.

Личный вклад автора в опубликованных в соавторстве работах: [1, 48,10,11, 13-18] - разработка математической модели, [3-10, 14-16] - построение численной модели, [1-8,10,12-18] - проведение численного эксперимента, [3, 4, 6-8, 10, 12, 14] - анализе данных численного эксперимента, [17] - разработка теоретических основ применения МТИ для решения краевых задач в кусочно-однородных средах, [19-21] разработке алгоритмов и программ.

Владимир Сергеевич Лозовский

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ ПРИ ТЕРМОМИГРАЦИИ ЖИДКОЙ ЗОНЫ В КРИСТАЛЛЕ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Автореферат диссертации

Подписано в печать 14.12.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №75-11/12 Издательство «НОК». 346430. Новочеркасск, ул. Дворцовая, 1. Отпечатано в ООО НПП «НОК» 346430. Новочеркасск, ул. Просвещения, 155 А. nok.company@gmail.com

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Лозовский, Владимир Сергеевич

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Метод зонной перекристаллизации градиентом температуры.

1.2. Процессы нестабильности межфазных границ при ЗПГТ.

1.3. Численные методы, используемые при моделировании ЗПГТ.

1.4. Метод точечных источников.

1.5. Постановка задач исследования.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА

И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА

ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ.

2.1. Метод точечных источников для решения уравнения Лапласа.

2.2 Метод точечных источников для решения уравнения теплопроводности

2.3. Теоретические основы метода интегрированных источников

2.4. Примеры использования МТИ при численном решении уравнения Лапласа.

2.5. Примеры использования МТИ при численном решении уравнения теплопроводности.

2.6. Алгоритм применения МТИ к решению краевых задач с уравнением Лапласа и теплопроводности.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ ТЕРМОМИГРАЦИИ ПЛОСКИХ ЗОН.

3.1. Физическая модель термомиграции.

3.2. Исследование влияния конвекции на скорость движения зоны.

3.3. Математическая модель термомиграции плоской зоны.

3.4. Преимущества использования МТИ при моделировании процесса термомиграции.

3.5. Двухмерная численная модель процесса термомиграции плоской зоны.

3.6. Трехмерная численная модель процесса термомиграции плоской зоны.

3.7. Учет нелинейности механизма кристаллизации.

3.8. Применение метода интегрированных источников при моделировании термомиграции.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ ПЛОСКИХ ЗОН В ПРОЦЕССЕ ТЕРМОМИГРАЦИИ.

4.1. Методика проведения вычислительного эксперимента.

4.2. Влияние толщины зоны на устойчивость межфазных границ

4.3. Влияние кинетики на устойчивость межфазных границ

4.4. Влияние эффекта Гиббса-Томсона и величины градиента температуры на устойчивость межфазных границ.

4.5. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.

Выводы по главе 4.

ГЛАВА 5. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИФФУЗИИ В КВАЗИОДНОМЕРНЫХ НАНООБЪЕКТАХ.

5.1. Обзор подходов исследования поверхностной диффузии

5.2. Физико-математическая модель диффузии в квазиодномерном нанообъекте

5.3. Численная модель диффузии в квазиодномерном нанообъекте.

5.4. Аналитические решения в предельных случаях.

5.5. Проверка адекватности численной модели

5.6. Определение коэффициента поверхностной диффузии.

Выводы по главе 5.

Введение 2012 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Лозовский, Владимир Сергеевич

Актуальность темы диссертации. Стабильность технологического процесса является одним из основных критериев возможности его эффективного применения в производстве. Широкий круг прикладных задач связан с нахождением условий стабильного роста и растворения кристаллов, используемых в производстве полупроводниковых микро-, нано- и оптоэлектронных приборов. В некоторых процессах полупроводниковой микрометаллургии представлены кристаллизация и растворение одновременно. К таким процессам относится исследуемая в настоящей диссертации термомиграция или зонная перекристаллизация градиентом температуры (ЗПГТ) [1-12]. Метод ЗПГТ позволяет формировать на поверхности и в объеме кристалла структуры различного назначения в условиях, близких к равновесным, и при малом кристаллизационном переохлаждении в жидкой фазе [13-23]. Эти достоинства метода могут использоваться на практике лишь при условии стабильности границ жидкой зоны в процессе ЗПГТ [24-33]. В настоящее время условия стабильности при ЗПГТ исследованы недостаточно. Поэтому исследование условий стабильности процесса термомиграции является актуальной задачей. Сложность таких исследований обусловлена тем, что рассматриваемая задача относится к классу задач с подвижными границами (задача Стефана). В случае ЗПГТ, границ с подвижными стенками две - растворяющаяся и кристаллизующаяся. Более того, в процессе ЗПГТ эти границы вовлечены в общие массо- и теплопотоки. Перечисленные сложности - одна из причин того, что задача стабильности жидкой зоны при ЗПГТ не нашла пока достаточно корректного решения. Очевидно, что указанное решение не может быть получено аналитически и требует применения численных методов.

Предварительные исследования показали, что применение метода конечных разностей (МКР) для численного решения рассматриваемой задачи [34-38] не обеспечивает необходимой точности даже в двухмерном варианте. Это обусловлено погрешностью, возникающей в нерегулярных узлах сетки и наличием изменяющихся во времени границ. Для исследования стабильности процесса термомиграции необходимо использовать трехмерную модель, которая отражает эволюцию реальной формы зоны.

Для поставленной задачи оказался предпочтительным метод точечных источников (МТИ) [39-43]. Он относится к бессеточным методам. Применение МТИ для численного моделирования ЗПГТ приводит к сокращению вычислительных ресурсов и к существенному повышению точности приближенного решения. Однако использование МТИ не столь широко как конечно-разностных методов. Его достоинства, недостатки и области предпочтительного применения еще в полной мере не выявлены. Поэтому метод нуждается в дальнейшем развитии. Следовательно, разработка на основе МТИ двухмерных и трехмерных компьютерных моделей для задачи с подвижными границами, описывающая процессы морфологической эволюции межфазных границ при ЗПГТ также является актуальной задачей. Это развитие метода оказалось полезным и в других случаях, в частности, для решения задачи диффузии в квазиодномерных нанообъектах, что также актуально.

Диссертационная работа выполнялась по научному направлению ЮРГТУ (НПИ) «Кристаллы и структуры для опто- и наноэлектроники» и ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы» (2010-2011 г.) в рамках госбюджетных НИР «Теоретическое и экспериментальное исследование термомиграции как метода эпитаксии и наноструктурирования полупроводников и металлов», «Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей формирования и модификации квазиодномерных наноструктур на основе углерода и полупроводниковых материалов в ультратонких кристаллизационных ячейках», фундаментальной ПИР «Теория и экспериментальные исследования диффузии в нанообъектах» (грант РФФИ).

Целью работы является построение компьютерной модели термомиграции плоских жидких зон в кристалле, позволяющей рассчитывать условия морфологической стабильности межфазных границ зоны и оптимизировать технологические режимы получения полупроводниковых приборных структур методом термомиграции.