автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Методы дискретного моделирования фрикционных кантактных систем упругих тел и их применение в задачах строительной механики

Введение: общая характеристика работы.

1. Анализ развития и современных возможностей механики фрикционных контактных систем. Направление и цели исследования.

1.1. Начальный этап математического моделирования систем с односторонними связями в строительной механике.

1.2. Основные аналитические подходы и возможности учета контактного трения.

1.3. Достижения в дискретном моделировании контактных систем с трением (по МКЭ и МГЭ).

1.4. О проблеме идентификации классов контактных задач, требующих инкрементальных и неинкрементальных подходов.

1.5. Выводы из обзора литературы: обоснование целей и задач диссертации.

2. Неинкрементальный метод дискретного моделирования фрикционных контактных систем упругих тел в статических состояниях.

2.1. Проблемно-ориентированная постановка задачи.

2.2. Построение метода контактных сил и переносных перемещений для систем с кулоновским трением (неинкрементальный метод).

2.2.1. Алгоритм метода для базисной системы двух гладких тел и его обобщение на систему любого числа тел.

2.2.2. Алгоритм метода для фрикционной системы двух тел, моделируемых в трехмерном напряженном состоянии.

2.2.3. Алгоритм метода для двумерной контактной системы любого конечного числа тел с кулоновским трением.

2.2.4. Алгоритм метода для трехмерных фрикционных систем любого конечного числа упругих тел.

2.2.5. Алгоритм метода для трехмерных контактных систем с заданным направлением сил трения.

2.3. Структура программного обеспечения неинкрементального метода моделирования контактных систем с кулоновским трением.

2.4. Тестирование и анализ предложенного неинкрементального метода

2.4.1. Тестирование на основе аналитического решения задачи Галина о вдавливании штампа в упругую полуплоскость.

2.4.2. Тестирование на основе численного решения Крауча задачи о состояниях упругого блока на упругом основании под действием вертикальных и горизонтальных нагрузок.

3. Построение инкрементального метода дискретного моделирования исследуемых фрикционных систем на базе неинкрементального алгоритма.

3.1. Проблема и постановка задачи.

3.2. Основная идея и алгоритм метода.

3.3. Структура программного обеспечения инкрементального метода.

3.4. Тестирование инкрементального метода на основе аналитической задачи Пановко о влиянии истории нагружения на состояния фрикционной системы.

3.4.1. Постановка и решение эталонной задачи Пановко об одномерной системе с конструкционным трением.

3.4.2. Моделирование и анализ фрикционной системы Пановко инкрементальным методом на базе МКЭ.

3.5. Сравнение результатов исследования фрикционной системы методом фотомеханики и предложенными методами.

3.6. Исследования фрикционной контактной системы строительного фундамента и упругого основания.

3.7. Об уровне влияния характера сетки МКЭ на результаты моделирования.

3.8. Сравнение и обоснование возможностей решений на основе неикрементального и инкрементального методов.

3.8.1. Анализ точности результатов решения задачи Пановко неинкрементальным методом в зависимости от соотношения сил.

3.8.2. Анализ специфики моделирования системы кругового цилиндра и тела с круговым вырезом в условиях внутреннего контакта.

3.8.3. Результаты и анализ моделирования системы фундамента и основания при нелинейной истории нагружения.

3.8.4. Варианты применения и сочетания неинкрементального и инкрементального методов.

4. Исследование статических состояний контактной системы квазидифференциальной колесной пары.

4.1. Специфика конструкции и постановка задачи исследования квазидифференциальной колесной пары.

4.2. Построение конечноэлементной модели и схемы нагружения.

4.3. Результаты моделирования и анализ контактных взаимодействий деталей исследуемой колесной пары.

4.3.1. Система под действием вертикальной силы.

4.3.2. Система под действием вертикальной силы и тягового вращающего момента.

4.3.3. Анализ условий работоспособности колесной пары.

4.4. Зависимость статических состояний и тяговых возможностей системы от ее основных параметров.

4.4.1. Выбор значений основных параметров.

4.4.2. Зависимость состояний стыка «обод-центр» от геометрических параметров и коэффициента трения.

4.4.3. Определение предельных коэффициентов трения в стыке «обод-центр» для различных значений Ни А.

4.4.4. Зависимость максимального вращающего момента и силы тяги от коэффициента трения в стыке «обод-центр».

5. Моделирование фрикционных соединений стальных конструкций на высокопрочных болтах.

5.1. Сущность работы фрикционных соединений на болтах и постановка задачи их математического моделирования.

5.2. Построение двумерной модели и результаты исследования пакета стальных листов в плоском напряженном состоянии.

5.3. Моделирование трехмерных напряженных состояний пакета стальных листов.

5.4. О перспективах применения суперэлементного подхода к моделированию реальных конструкций.

Современные требования и перспективы развития строительных, машиностроительных, аэрокосмических и других сложных механических конструкций делают все более целесообразным применение системного подхода к математическому моделированию объектов, состоящих из совместно работающих деталей. Такой подход является особенно важным - и по сути дела обязательным - в чрезвычайно широком классе контактных систем, т.е. систем контактно взаимодействующих деформируемых твердых тел.

Механика контактных взаимодействий /1-3/, или контактная механика /4/, признается в настоящее время вполне самостоятельной научной дисциплиной, имеющей смежные области с рядом других фундаментальных и прикладных наук механического профиля, в том числе, со строительной механикой. Обогащение теоретического арсенала строительной механики достижениями механики контактных систем представляется объективной необходимостью и одним из естественных направлений развития теории сооружений. На основе этой методологической концепции и построена излагаемая работа.

Актуальность темы данной диссертации определяется реальными практическими потребностями теоретической разработки и промышленного применения принципиально более мощных и эффективных, чем существующие, методов математического моделирования контактных систем упругих тел с учетом трения в стыках. Рассмотрение трения как многозначного и весьма существенного фактора контактных взаимодействий требуется в различных целях: в одном классе систем - для минимизации отрицательного влияния трения, в другом - для возможно более точного определения и оптимизации его положительной функции.

Проблема, порождающая необходимость развития теории контактных систем как фрикционных, имеет взаимосвязанные - технические и научные -корни и заключается в следующем. 7

Среди промышленных систем - строительных объектов, - которые на стадии проектирования должны быть обеспечены достоверной информацией о влиянии трения, типичными являются: фрикционные соединения листовых деталей на высокопрочных болтах, где усилия с одной детали на другую передаются в контактных стыках только за счет трения скольжения; скользящие опорные части пролетных строений мостов, мостовых кранов и аналогичных высоконапряженных конструкций; фрикционные подсистемы деталей в реконструируемых мостах; совместно работающие конструкции колонн, поддерживающих их фундаментных колодцев-стаканов и монтажных клиньев; стоящие на грунтовом основании фундаменты распорных арочных или рамных систем типа пролетных строений, перекрытий сооружений и т.п.

В некоторых технических системах трение служит условием функционирования и средством регулирования движения, что, например, лежит в основе принципиально новой конструкции составной квазидифференциальной колесной пары рельсового транспорта1.

Распространение среди объектов строительства и - тем более - в разнообразных машиностроительных конструкциях фрикционных контактных систем происходит без серьезного теоретического обеспечения, и это определяет научную актуальность обсуждаемой проблемы.

Становление и развитие механики контактных взаимодействий инициализировал своей пионерской работой Г.Герц /5/ и продолжили Н.И.Мусхелишвили /6/, Л.А.Галин /7/, И.Я.Штаерман /8/, В.И.Моссаковский /9/, И.И.Ворович /10/, Р.В.Гольдштейн /11/, В.М.Александров /12/ и многие другие лидеры российских и зарубежных научных школ. Чисто аналитические методы, применяемые основоположниками формируемой теории, стали фундаментом постановок и решений ряда классических задач, но лишь о

1 Составная колесная пара как контактная система, работающая в зависимости от трения, рассматривается далее в разд. 4. 8 контакте, как правило, гладких и реже шероховатых тел простейших или абстрактных форм.

По существу, среди такого рода задач сложились два основных типа: задачи о «герцевском» контактировании тел по относительно малым пятнам контакта с приближенным учетом формы поверхности только в локальной зоне взаимодействия на основе предположения, что конфигурация тел за пределами зоны контакта на размеры этой зоны и распределение контактных давлений не влияет; задачи о взаимодействии жестких штампов (с различными формами поверхностей) при их вдавливании в полубесконечные деформируемые основания.

Нагрузка, рассматриваемая в этих задачах, принимается весьма условной по характеру распределения.

В литературе начали появляться также задачи третьего типа: аналитические исследования контактных взаимодействий упругих оболочек с подкрепляющими ребрами /13/.

Однако, в основе постановок задач всех трех типов лежат континуальные модели контактирующих тел и чисто аналитические математические методы (ряды, конформные отображения и т.п.), что резко ограничивает возможности решения задач для тел более или менее реальных конфигураций и нагружений. Обобщающая оценка достижений и возможностей аналитических методов в механике контактных взаимодействий содержится в монографии /1/.

Начальный этап перехода к методам численного анализа произошел на базе вариационных постановок контактных задач, которые предложили А.Синьорини /14/, А.С.Кравчук /15,16/, Л.А.Розин /17/ и их последователи.

Современный период развития контактной механики, как и строительной механики, механики в целом, физики, техники и всех областей человеческой деятельности, наступил в результате стремительного перехода (с 1960-ых годов) на компьютерные технологии, позволившие строить и широко использовать дискретные модели и специальные, ориентированные на компьютеры, численные методы. Наиболее универсальным, развитым и эффективным среди них является метод конечных элементов (МКЭ), в теоретическую 9 разработку которого решающий вклад внесли Дж.Аргирис /18, 19/, А.Ф. Смирнов /20, 21/, О.Зенкевич /22, 23/, Р.Галлагер /24/, Г.Стренг, Дж.Фикс /25/, К. Бате, Е. Вилсон /26/, A.B. Александров /27/, H.H. Шапошников /28/ и др. В последние десятилетия как конкурентоспособный с МКЭ следует рассматривать метод граничных элементов (МГЭ). Авторами основополагающих работ по МГЭ являются К. Бреббиа /29/, П. Бенерджи, Р. Баттерфилд /30/, Ж. Теллес /31/, С. Крауч /32/ и др.

Первые попытки решать контактные задачи с применением МКЭ /33/ показали, что сам по себе математический метод дискретизации континуальных сред, каковым и является МКЭ, не достаточен для построения алгоритмов итерационных поисков зон контактирования. Необходимость целенаправленных теоретических исследований, проблемно ориентированных на специфику дискретного моделирования контактных систем, привела к серьезным новаторским работам по созданию таких алгоритмов.

Весьма обширная библиография по применению МКЭ в контактных задачах приведена в работе 13/. Конечноэлементная дискретизация существенно продвинула численный анализ контактного взаимодействия тел, однако проблема моделирования контактных систем этим снята не была.

Принципиальным и общим ограничением возможностей подавляющего большинства методов контактной механики - как аналитических, так и численных (на базе дискретных моделей) - является то, что их алгоритмы построены для описания взаимодействия лишь двух тел. В тех же работах, где в контакте рассматриваются несколько тел, аппроксимируемых по МКЭ, наиболее распространенным является метод контактного слоя /34-36/, основанный на введении в стыках взаимодействующих тел искусственных слоев специальных конечных элементов, моделирующих ту или иную зависимость между контактными деформациями и напряжениями. Контактные элементы объединяют конечноэлементные ансамбли деталей системы в единую структуру, имеющую наибольшую - для данного варианта разбиения - суммарную размерность. Как правило, такая размерность, особенно в трехмерных задачах, порождает проблему, названную Р. Беллманом «проклятием

10 размерности» /37/. По такому принципу объединения решения поликонтактных задач (для систем трех и более тел) становятся практически нереальными даже на мощных компьютерах еще и из-за отсутствия в литературе эффективного алгоритма итерационного поиска зон контактов в системе большого числа тел.

Альтернативным принципу объединения является «принцип разъединения» контактирующих тел, на базе которого построен ряд методов.

Метод шагового погружения /38-40/ и родственный ему метод пооче-редности основаны на том, что применяется поэтапное приложение нагрузки возрастающими долями с малыми приращениями и соответствующее кусочно-линейное описание нелинейного процесса контактного деформирования с итерационной коррекцией совместности граничных условий контактирования на каждом шаге нагружения. Такого рода шаговая процедура, именуемая инкрементальной, в большинстве случаев не только не смягчает проблемы размерности, но и обостряет ее, делая непреодолимой в классе трехмерных контактных систем тел произвольных конфигураций.

Предпосылки решения проблемы появились в работах, где в рамках принципа разъединения была реализована известная из строительной механики идея метода сил в сочетании с процедурой квадратичного программирования. Впервые эту идею построения дискретной модели контактирующих тел - без прямой связи с МКЭ - предложили Т. Конри, А. Сейрег /41/, после чего она - уже на базе МКЭ - была развита в работах А. Франкавилла, О. Зенкевича /42/ и Э. Хога с соавторами /43,44/.

Весьма полная (к концу 1980-ых годов) классификация и анализ возможностей указанных выше и других методов дискретной механики контактных систем содержится в капитальном исследовании /45/, где отражены основные преимущества метода сил: простота и ясность основной идеи; возможность разъединения и раздельного рассмотрения тел на этапах подготовки итерационной процедуры поиска контактных сил; строгость дискретного удовлетворения требования о взаимном непроникании контактирующих тел; инвариантность структуры алгоритмов в двумерных и

11 трехмерных задачах; принципиальная возможность распространения подхода к задаче о контакте двух тел на контактные системы любого конечного числа тел.

Однако, по уровню теоретического обеспечения и практических возможностей метод сил к концу 1980-ых годов (до появления работ /46-48/) далеко не полностью мог снять проблему моделирования больших контактных систем. Подход, используемый в алгоритмах /41 - 44/, основан на постановке и решении контактных задач как задач квадратичного программирования. Вообще говоря, сильной стороной этой постановки является ее ориентация не только на моделирование контактирующих тел заданной формы, но и на оптимальное проектирование контуров поверхностей контактов с целью минимизации контактных напряжений.

Вместе с тем, теория и возможности реализации такого подхода имеют два принципиально важных недостатка. Привязанность алгоритмов к процедуре квадратичного программирования сопряжена - при моделировании сложных, особенно трехмерных, контактных систем многих тел - с таким объемом вычислительной работы, что решение серьезных инженерных задач становится неоправданно дорогостоящим или, при отсутствии суперкомпьютеров, вообще недостижимым. Кроме того, в работах /41-44/ имеется теоретический пробел, который заключается в отсутствии какой-либо обоснованной методики вычисления и, по сути дела, в неопределенности значений коэффициентов влияния контактирующих тел, обладающих кинематическими степенями свободы.

Проблема построения рационального - по уровню требуемой размерности дискретных моделей - алгоритма при полном и корректном отражении кинематической свободы тел, находящихся в контакте, оставалась трудноразрешимой и как бы не принимаемой во внимание даже в таких фундаментальных работах, как монография /33/.

Радикальное решение проблемы предложили Э.Р.Гольник, И.Г. Рад-ченко /46 - 48/ для контактных систем любого конечного числа упругих гладких статически нагруженных тел произвольных конфигураций.

12

Теория, положенная в основу этого решения, обеспечивает: доказательство корректности метода сил и обоснование соответствующей методики определения коэффициентов влияния тел применительно к системам трехмерных контактирующих деталей, обладающих в общем случае всеми возможными в пространстве кинематическими степенями свободы; универсальность постановки задачи и алгоритма ее решения, охватывающего все реально возможные варианты систем контактно взаимодействующих упругих деталей, встречающихся в современных строительных конструкциях, в тяжелых технологических машинах и в родственных объектах; минимизацию объема вычислительных работ за счет экономичного построения алгоритма.

В настоящее время метод контактных сил и переносных перемещений, развитый в работах /46,47/ на базе классического метода сил, но без процедуры квадратичного программирования, является теоретическим ядром проблемно-ориентированного программного комплекса МАКС (Моделирование и анализ контактных систем) /45/. Комплекс получил сертификат Госстандарта России и, как показывает опыт его успешного промышленного применения /49,50/, существенно превосходит по быстродействию и реальным возможностям решения поликонтактных задач другие современные программные системы, в том числе, NASTRAN, COSMOS, NISA, Pro/ENGINEER с модулем Pro/MECHANICA и т.п.

Разработка, внедрение и представление комплекса МАКС на международном рынке промышленной информатики позволяет считать, что проблема эффективного математического моделирования больших статически нагруженных контактных систем в целом успешно решена на теоретическом и практическом уровнях в классе гладких упругих тел. В этот весьма широкий класс входят детали машин и конструкций, в которых контактное трение минимизируется и становится пренебрежимо малым с помощью специальных смазочных материалов /51/.

В то же время, существующие возможности моделирования и анализа фрикционных контактных систем являются весьма ограниченными из-за

13 проявления и нарастания - с ростом числа взаимодействующих тел - теоретических и вычислительных трудностей, связанных с учетом трения. Преодоление этих проблемных трудностей требует выполнения целенаправленных наукоемких исследований, программных разработок и практических решений, чему и посвящена данная работа.

Цели настоящей диссертации предусматривают: создание эффективных методов дискретного моделирования статических состояний широкого класса фрикционных контактных систем любого конечного числа упругих тел произвольных конфигураций с разработкой на его основе теоретического и программного обеспечения, необходимого при проектировании строительных, машиностроительных и других высоконапряженных твердотельных конструкций; исследование и анализ специфики напряженно-деформированных состояний конкретных фрикционных контактных систем и соединений, характерных для современных строительных и иных технических объектов с выработкой рекомендаций по учету влияния трения на их работоспособность.

В соответствии с изложенными целями в диссертации ставятся следующие основные задачи: построение - на основе обобщения метода контактных сил и переносных перемещений - неинкрементального метода моделирования по МКЭ фрикционных контактных систем рассматриваемого класса с учетом трения скольжения в стыках по законам Кулона и возможностью выявления зон макропроскальзывания и сцепления взаимодействующих тел; построение инкрементального метода моделирования по МКЭ фрикционных контактных систем на основе поэтапного применения предложенного неинкрементального метода для исследования влияния истории нагру-жения на статические состояния конструкций; разработка программного обеспечения алгоритмов неинкрементального и инкрементального методов учета кулоновского трения в контактных системах рассматриваемого класса и их включение в расширенную версию программного комплекса МАКС;

14 поиск и идентификация классов фрикционных контактных систем по признакам достаточности неинкрементального метода для их достоверного -точного или удовлетворительно приближенного в пределах принятых дискретных моделей - описания в статических состояниях; моделирование и анализ распределения нормальных и касательных (от трения) контактных сил с выявлением зон проскальзывания и сцепления по подошве простейшего бетонного фундамента, взаимодействующего с упругим грунтовым горизонтальным основанием при воздействии заданных сил и моментов; исследование статических состояний и влияния коэффициентов трения скольжения в стыках плоской контактной системы упругих деталей квазидифференциальной колесной пары, состоящей из нагруженного вертикальной силой и тяговым моментом цилиндрического «центра» и кольцевого «обода», контактирующего с «центром» (при малых начальных зазорах) и с рельсом, лежащим на упругом основании; исследование контактных взаимодействий, деформаций, напряжений и несущих способностей фрикционных соединений стальных листовых деталей на высокопрочных болтах, моделируемых в плоском и трехмерном напряженных состояниях теории упругости.

Методы исследования, применяемые в работе, включают: уравнения трехмерного, плоского напряженного и плоского деформированного состояний статической линейной теории упругости; метод конечных элементов в варианте его построения по принципу виртуальных перемещений Лагранжа; матричный формализм и численные методы линейной алгебры; методы проектирования программных систем с использованием алгоритмических языков Фортран и Си в операционных системах MS-DOS и WINDOWS NT; сравнение результатов предложенного в работе математического моделирования и опубликованных в литературе экспериментальных исследований фрикционных контактных систем методом фотоупругости.

15

Научная новизна диссертации в целом заключается в том, что в ней впервые-. разработано теоретическое и программное обеспечение, позволяющее в приемлемое для принятия инженерных решений время выполнять на современных персональных компьютерах трехмерное дискретное моделирование статических состояний больших и разнообразных по структуре фрикционных контактных систем упругих деталей, что практически не осуществимо другими известными методами контактной механики; поставлены и решены - с обобщающим анализом результатов - новые, ранее не рассмотренные в теоретических исследованиях, задачи механики фрикционных контактных систем, применяемых при моделировании и проектировании промышленных объектов строительства и транспорта.

Указанная научная новизна диссертации определяется совокупностью следующих новых конкретных результатов.

На защиту выносятся: постановка задачи и неинкременталъный метод дискретного моделирования - по МКЭ - статической фрикционной контактной системы двух упругих тел произвольной формы с выявлением зон макропроскальзывания и сцепления в стыках на основе учета сил трения по законам Кулона; исследование и численное доказательство условий корректности применения неинкрементального метода в выявленных и идентифицированных классах фрикционных систем и их статических нагружений; обобщение предложенного неинкрементального метода на класс фрикционных контактных систем любого конечного числа упругих тел, имеющих произвольные конфигурации, статические нагружения, взаимные расположения, начальные (проектные и иные) зазоры, натяги и их сочетания в больших и малых зонах контактов по различным поверхностям с кулонов-ским трением; постановка задачи и инкрементальный метод дискретного моделирования - по МКЭ - статических фрикционных контактных систем любого конечного числа упругих тел произвольной формы с применением произволь

16 ных шагов изменения внешних сил на этапах нагружения и разгружения моделируемых систем; проблемно-ориентированное программное обеспечение модулей учета кулоновского трения в контактных системах рассматриваемого класса и их включение в расширенную версию программного комплекса МАКС; результаты исследования статических плоских деформированных состояний, характерных закономерностей и чувствительности распределения нормальных и касательных контактных сил, зон проскальзывания и сцепления по подошве прямоугольного бетонного фундамента, контактно взаимодействующего с горизонтальным упругим грунтовым основанием и нагруженного силами и моментами, представляющими варианты воздействия на фундамент со стороны шарнирно или монолитно присоединенного арочного пролетного строения моста, рамной или иной распорной конструкции; постановка задачи и результаты исследования квазидифференциальной колесной пары, моделируемой в плоском напряженном состоянии при статическом действии постоянной вертикальной нагрузки и тягового момента, возрастающего от нуля до предельного значения, возможного перед трогани-ем с места: анализ влияния трения на распределение контактных сил и расположение зон проскальзывания и сцепления в стыках «центр - обод» и «обод - рельс»; определение тяговых возможностей колесной пары в момент начала движения; постановка задачи и результаты исследования фрикционного пакетного соединения стальных листовых деталей на высокопрочных болтах как контактной системы, моделируемой в плоском и трехмерном напряженных состояниях: анализ распределения противосдвиговых сил трения по зонам расположения болтов; оценка несущей способности соединения в зависимости от значений коэффициента трения в стыках, от регулируемых усилий и релаксации напряжений в болтах; выводы и рекомендации по промышленному применению, теоретическому развитию и сочетанию предложенных неинкрементального и инкре

17 ментального методов моделирования фрикционных контактных систем в строительной механике.

Достоверность результатов подтверждается: близостью результатов моделирования ряда классических контактных систем с учетом кулоновского трения по неинкрементальному и инкрементальному методам, предложенным в работе, и на основе известных, считающихся точными, аналитических решений; совпадением численных результатов моделирования конкретной фрикционной контактной системы по известному из литературы инкрементальному методу и по предложенному неинкрементальному методу; специальной численной проверкой совпадения результатов, получаемых по схемам полного и различных вариантов пошагового нагружения идентифицированного класса фрикционных контактных систем на базе предложенных неинкрементального и инкрементального методов; близостью опубликованных результатов экспериментальных исследований фрикционной контактной системы методом фотоупругости и результатов, полученных по разработанным автором методам.

Практическая ценность работы определяется тем, что на основе ее теоретических результатов: разработана и внедрена в практику промышленного применения новая версия программного комплекса МАКС, расширенная за счет включения в нее специальных модулей двумерного и трехмерного моделирования больших фрикционных контактных систем рассматриваемого класса; стало практически возможным получение необходимой информации об отрицательном и положительном влиянии контактного трения на стадии проектирования сложных фрикционных систем, применяемых в мостостроении и в других областях строительства, а также в технологическом, транспортном и энергетическом машиностроении; может быть существенно сокращено количество дорогостоящих и сложных по исполнению экспериментальных исследований влияния контактного трения в тяжелонагруженных механических системах путем пере

18 хода к более информативным и экономичным численным экспериментам на базе предложенной в данной работе методики.

Внедрение результатов диссертации осуществлено: в мостовом отделе Дорожного проектно-изыскательского и научно-исследовательского института «ВоронежГипродорНИИ» в процессе экспертного исследования контактных взаимодействий и напряженно-деформированных состояний подсистем деталей проектируемых и эксплуатируемых мостовых конструкций; в отделе САПР Головного конструкторского бюро Воронежского закрытого акционерного общества по выпуску тяжелых механических прессов «Тяжмехпресс» на стадии исследований эффективности и работоспособности конструктивных вариантов фрикционных соединений тяжелонагруженных деталей кривошипных прессов; в научном и учебном центре компьютерной механики машин и конструкций «КоММаК» при Воронежском государственном техническом университете (ВГТУ) в процессе выполнения курсовых и дипломных проектов студентов, обучающихся по индивидуальным планам; в теоретических исследованиях по одному из основных научных направлений ВГТУ «Компьютерная механика и автоматизированные системы объектов машиностроения, аэрокосмической техники и строительства». Апробация работы проведена: на научных конференциях Воронежского государственного технического университета в 1996 - 1999 годах; на III Международном конгрессе «Конструкторско-технологическая информатика» (Москва, 1996); на II Республиканской электронной научной конференции (Воронеж,

1997); на научном семинаре «Численные методы строительной механики» Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) (Москва, 1997);

19 на научной конференции школы «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 1998); на XVI Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и граничных элементов» (Санкт-Петербург, 1998); на научной конференции «Математическое моделирование систем» (Воронеж, 1998); на научном семинаре кафедры строительной механики Воронежской государственной архитектурно-строительной академии (Воронеж, 1999).

Публикации: основные результаты исследований по диссертации отражены в 10 опубликованных работах.

Авторские работы приведены в конце общего списка литературы в хронологическом порядке и обозначены номерами, отмеченными буквой А.

Структура и объем диссертации: введение, 5 разделов, заключение, список литературы (115 наименований) и 3 приложения; материалы диссертации (без приложений) включают 169 страниц текста, 52 рисунка, 7 таблиц.

20

10. Результаты работы в целом представляют собой основу дальнейшего развития теоретического и программного обеспечения эффективного дискретного моделирования фрикционных контактных систем, применяемых в строительных, а также в машиностроительных и родственных конструкциях.

158

Данное заключение содержит обобщение полученных результатов и вытекающие из них основные выводы.

1. На основании анализа современной литературы по механике контактных взаимодействий деталей тяжелонагруженных упругих систем, характерных для строительных конструкций, а также родственных объектов машиностроения, установлено, что: в подавляющем большинстве опубликованных работ рассматриваются контакты двух (но не более) тел, моделируемых, как правило, в двумерных - плоских и осесимметричных - напряженных состояниях; известные алгоритмы не полны, т. к. не учитывают всех возможных кинематических степеней свободы тел; распространенные вариационные подходы опираются на метод квадратичного программирования, приводящий в трехмерных задачах к непреодолимо большим объемам вычислений; по сути дела вся информация о специфике поведения фрикционных систем (зависимость от истории нагружения, необратимость процесса и т.п.) получена в классе задач о несогласованных контактах на базе герцевской концепции; почти не разработаны критерии идентификации фрикционных систем по условиям их достоверного моделирования на основе инкрементального и (или) неинкрементального методов, что препятствует разработке алгоритмов, минимизирующих общий объем вычислений при достаточном уровне точности.

С целью расширения теоретических и практических возможностей контактной механики путем устранения указанных выше пробелов в диссертации идентифицирован и исследован весьма широкий класс априорно устойчивых фрикционных контактных систем любого конечного числа линей

155 но-упругих тел, имеющих произвольные конфигурации и статические нагру-жения в условиях кулоновского трения в стыках согласованных и несогласованных контактов при наличии начальных зазоров и (или) натягов.

2. Для эффективного дискретного (на основе МКЭ) моделирования фрикционных систем рассматриваемого класса - в условиях независимости или несущественной зависимости их состояний от истории нагружения -разработан неинкременталъный метод, построенный путем обобщения и развития известного метода контактных сил и переносных перемещений, ориентированного на аналогичные по структуре системы гладких тел.

3. Для обеспечения высокоточного и экономичного (по объему вычислений) моделирования рассматриваемых фрикционных контактных систем -в условиях влияния на их состояния истории нагружения - выполнено построение инкрементального метода, основанного на МКЭ и последовательном поэтапном применении неинкрементального алгоритма с произвольным шагом инкрементального нагружения.

4. Для реализации предложенных неинкрементального и инкрементального методов моделирования рассматриваемого класса фрикционных систем разработана новая расширенная версия программного комплекса МАКС, содержащая соответствующие модули учета кулоновского трения в контактных стыках с выявлением в них зон проскальзывания и сцепления взаимодействующих тел.

5. На основе применения и сравнения результатов предложенных неинкрементального и инкрементального методов в диссертации выявлен новый, помимо известного из работ Д.Спенса, класс фрикционных контактных систем упругих тел, для достоверного моделирования которых достаточен неинкрементальный метод. Этот класс образуют системы, в которых контактные стыки не имеют начальных зазоров и все нагрузки - силы и моменты - возрастают линейно и пропорционально по классической для статики схеме «истории нагружения» - от нулевых до конечных заданных величин.

6. С целью практического обобщения численных результатов, полученных автором и известных из литературы, в диссертации предложена эври

156 стическая классификация рассмотренных задач по трем следующим методологическим возможностям их решений: задачи, для теоретически точных решений которых - в рамках принятых дискретных моделей и истории нагружения - достаточен и эффективен неинкрементальный метод; задачи, для точного решения которых - с учетом истории нагружения -необходим и достаточен инкрементальный метод; задачи, для приближенного решения которых достаточно применение неинкрементального метода или его сочетание с инкрементальным.

В работе показано, что эти классы задач отражают единую методику моделирования рассматриваемых систем на основе инкрементального метода с различными, адекватно выбираемыми шагами инкрементации. Предложенный неинкрементальный метод интерпретируется как инкрементальный с одним шагом полного нагружения.

7. Применение неинкрементального метода с подтверждающей проверкой результатов инкрементальным методом позволило исследовать статические состояния подсистемы прямоугольного бетонного фундамента, нагруженного статическими линейно возрастающими силами и моментами и контактирующего с горизонтальным упругим грунтовым основанием. Установлены характерные закономерности распределения по подошве фундамента нормальных и касательных контактных сил, зон проскальзывания и сцепления, в результате чего проанализированы варианты воздействия на фундамент со стороны шарнирно или монолитно присоединенного арочного пролетного строения моста, рамной или иной распорной конструкции.

8. На основе неинкрементального метода - с оценкой степени точности получаемых приближенных результатов - выполнены исследования контактной системы деталей квазидифференциальной колесной пары, моделируемой при взаимодействии с рельсом на грунтовом основании на основе двумерной постановки задачи. Проанализированы варианты статических состояний фрикционной системы колесной пары при действии на ее ось (центр) постоянной вертикальной нагрузки и тягового момента, возрастающего от нуля до

157 максимального возможного значения. Выявлены предельные коэффициенты трения, обеспечивающие работоспособность исследуемой колесной пары, и определены ее тяговые возможности.

9. На основе инкрементального метода - и сравнения его результатов с вариантом применения неинкрементального метода - проведено моделирование фрикционного пакетного соединения стальных листовых деталей на высокопрочных болтах как контактной системы, рассмотренной в плоском и трехмерном напряженных состояниях. Установлен характер распределения антисдвиговых сил трения по зонам расположения болтов. Показана возможность оценки несущей способности соединения в зависимости от значений коэффициента трения скольжения в стыках, от регулируемых усилий и релаксации напряжений в болтах.

1. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. -510 с.

2. Kalker J.J. A survey of the mechanics of contact between solid bodies // Z. angew. Math, und Mech. 1977. - 57, № 5. - P. T3 - T17.

3. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / А.Н. Подгорный, П.П. Гонтаровский, Б.Н. Киркач и др.- Киев: Наук, думка, 1989.-232 с.

4. Contact Mechanics (Contact Mechanics International Symposium, 1994,Carry-le-Rouet, France) / edited by M.Raous, M.Jean and J.J.Moreau. -New York and London: Plenum Press, 1995. p. 470.

5. Hertz H. Uber die Beruhrung fester elastischer Korper (in the contact of elastic solids)//J. reine und angewandte Math. 1982. № 92,- S. 156 - 171.

6. Мусхелишвили H. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

7. Галин J1.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. -М.: Наука, 1980.-304 с.

8. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1949.-272 с.

9. Моссаковский В.П., Гундарович B.C., Макеев Е.М. Контактные задачи теории оболочек и стержней. М.: Машиностроение, 1978. - 248 с.

10. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. - 456 с.

11. Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Вариационные методы решения и исследования пространственных контактных и смешанных задач с трением // Механика деформируемого тела. М.: Наука, 1986. - С. 52 - 73.

12. Алесандров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. -М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

13. Контактная прочность пространственных конструкций. Сб. статей. Отв. ред. В.И.Моссаковский. Киев: Наукова думка, 1976. - 200 с.159

14. Signorini A. Questioni di elastostatica linearizzata e semilinearizzata // Rend. Mat. 1959. -№> 18. - P. 381 -402.

15. Кравчук A.C., Васильев B.A. Вариационный метод в контактной задаче теории упругости // Упругость и неупругость. 1978. - Вып. 5. - С. 23 - 31.

16. Кравчук A.C. Вариационный метод исследования контактного взаимодействия и его реализация на ЭВМ // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1984. Вып. 25. - С. 33 - 50.

17. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. - 224 с.

18. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем: Сб.статей Дж.Аргироса, С.Келси и др. / Под ред. А.П.Филина. -Л.: Судпромгиз, 1961. 876 с.

19. Аргирис Дж.Г. Вычислительные машины и механика // Теоретическая и прикладная механика: Труды XIV Международного конгресса IUTAM. -М.: Мир, 1979.-С. 15-100.

20. Расчет сооружений с применением вычислительных машин / А.Ф. Смирнов, A.B. Александров, H.H. Шапошников, Б.Я. Лащеников. М.: Стройиздат, 1964. - 380 с.

21. Строительная механика. Стержневые системы / А.Ф.Смирнов, A.B. Александров, Б.Я. Лащеников, H.H. Шапошников. М.: Стройиздат, 1981.-512 с.

22. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

23. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

24. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

25. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-351 с.

26. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.160

27. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников М.: Строй-издат, 1983.-488 с.

28. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость /Н.Н. Шапошников, Н.Д. Тарабасов, В.Б. Петров, В.И. Мяченков. М.: Машиностроение, 1981. - 333 с.

29. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. - 248 с.

30. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

31. Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. - 524 с.

32. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

33. Иосилевич Г.Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин . М.: Машиностроение, 1981. - 224 с.

34. Goodman R.E., Taylor R.J., Brekket Т.A. A model for the mechanics of Joiteel Rock // Proc. ASCE. 1968. - № 94. - P. 637 - 659.

35. Herrman L.R. Finite element analysis of contact problems // Int. Eng. Mech. Div. Proc. ASCE. 1978. - V. 104, № 5. - P. 1043 - 1057.

36. Блох M.B., Оробинский А.В. О модификации метода конечных элементов для решения двумерных упругих и пластических контактных задач // Пробл. прочности. 1983. - № 5. - С. 21 - 27.

37. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974. - 207 с.

38. Chan S.K., Tuba J.S. A finite element method for contact problems of solid bodies // Int. J. Mech. SCI. 1971. -№ 13. - P. 615 - 625.

39. Murakamis., Ymada Y. Effects of hydrostatic pressure and material anisotropy on the transient creep of thick-walled tubes // Int. J. Mech. Sci. -1974.-V. 16, №3,- P. 145 -208.161

40. Gartner R. Resolution de problemes de contact elastique aves frottement en atilisant des variales nodales appopices // J. Mech. Appl. 1977. - V. 1, № 3.- P. 247-265.

41. Конри Т., Сейрег А. Метод математического программирования в применении к проектированию находящихся в контакте упругих тел // Прикладная механика. 1971. - № 2. - С. 96 - 102.

42. Francavilla A., Zienkiewicz О.С. A note on numerical computation of elastic contact problems // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - V. 9. - P. 913 - 924.

43. Chand R., Haug E.J., Rim K. Analysis of Unbounded Contact Problems by Means of Quadratic Programming // J. Optimization Theory and Applications.- 1976. V. 20 (2). - P. 171 - 190.

44. Haug E.J., Chand R., Pan K.C. Multibody Elastic Contact Analysis by Quadratic Programming // J. Optimization Theory and Application. 1977. -V. 21 (2).- P. 189- 198.

45. Гольник Э.Р. Методы дискретной механики контактных систем и их применение в проектировании прессов: Дис. . докт. техн. наук. -Воронеж, 1995. 377 с.

46. Гольник Э.Р., Радченко И.Г. Дискретное моделирование упругих тел, контактно взаимодействующих при произвольных статических нагрузках, зазорах и натягах // Изв. вуз. Машиностроение. 1987. - № 12.- С. 11-19.

47. Гольник Э.Р., Радченко И.Г. Обобщение смешанного метода контактных сил и переносных перемещений на класс систем произвольного числа упругих деталей // Изв. вуз. Машиностроение. 1988. - № 10. - С. 17 - 22.

48. System Methods of Computer Mechanics and their Using in Computer Aided Design of Heavy Technological Machines / E.Gol'nik, I. Radchenko, V. Balagansky, R. Birbraer // 10th Int. Conf. on CAD/CAM. MICAD-91. -Paris: Hermes, 1991. - P. 367 - 387.

49. Гольник Э.Р., Жилин P.А., Радченко И.Г. и др. Новые возможности системного математического моделирования при проектировании кри162вошипных горячештамповочных прессов // Кузнечно-штамповочное производство. М.: Машиностроение, 1998. - № 3. - С. 24 - 28.

50. Гольник Э.Р., Бирбраер P.A., Радченко И.Г. Построение САПР тяжелых механических прессов на основе системного моделирования // Информационные технологии. М.: Машиностроение, 1998. - № 5. - С. 8-13.

51. Справочник по триботехнике: В 3 т. Т. 2: Смазочные материалы, техника смазки, опоры скольжения и качения / Под общ. ред. М. Хебды, A.B. Чи-чинадзе. М.: Машиностроение, 1990. - 416 с.

52. Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями. М.: Стройиздат, 1975. - 144 с.

53. Бернштейн М.С. Расчет конструкций с односторонними связями. М.: Стройиздат, 1947. - 92 с.

54. Гордеев В.Н., Перельмутер A.B. Расчет упругих систем с односторонними связями, как задача квадратичного программирования // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1967. -вып. XV.-С. 208-212.

55. Перельмутер A.B. Использование метода квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1972. - вып. XIX. - С. 138 - 147.

56. Кузнецов Э.Н. Статико-кинематический анализ систем, содержащих односторонние связи // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1972. - вып. XIX. - С. 148 - 155.

57. Синицын А.П. Балка на упругом основании с односторонними связями // Вестник Военно-инженерной Академии им. В.В.Куйбышева. М.: ВИА, 1952. - № 63. - С. 25 - 29.

58. Штаерман И.Я. К теории Герца местных деформаций при сжатии упругих тел. Докл. АН СССР, 1939, т. 25, № 5, с. 360 - 362.

59. Cattaneo С. Sur contatto di due corpi elastici: distibuzione loccale degli sforzi. Rend, dell'Academia nazionale dei Lincei, 1938, 27, Ser. 6, p. 342, 434, 474.163

60. Mindlin R.D. Compliance of elastic bodies in contact. Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1949, 16, p. 259.

61. Ollerton E., Haines D. J. Contact stress distributions on elliptical contact surfaces subjected to radial and tangential forces // Proc. Inst. Mech. Engrs., 1963, 177, p. 95.

62. Моссаковский В.И. Сжатие упругих тел в условиях сцепления. ПММ, 1963, т. 27, вып. 3, с. 418 - 427.

63. Англо-русский словарь математических терминов / Под ред. П.С.Александрова. М.: Мир, 1994. - 416 с.

64. Deresiewicz Н. Oblique contact of non-spherical bodies. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1957,24, p. 623.

65. Mindlin R.D., Deresiewicz H. Elastic spheres in contact under varying oblique forces. Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1953, 20, p. 327.

66. Johnson K.L. Energy dissipation at spherical surfaces in contact transmitting oscillating forces. J. Mech. Engng. Sci., 1961, 3, p. 362.

67. Mindlin R.D., Mason W.P., Osmer J.F., Deresiewicz H. Effects of an oscillating tangential force on the contact surfaces of elastic spheres. Proc. 1st US National Congress of Applied Mechanics. - New York: ASME, 1952, p. 203.164

68. Johnson K.L., O'Connor J.J., Woodward A.C. The mechanics of fretting. -Proc. Inst. Mech. Engrs., Appl. Mech. Convention, Newcastle, 1964, 178, Part 3J, p. 7.

69. Галин JI.А. Смешанные задачи теории упругости с силами трения для полуплоскости. Докл. АН СССР, 1953, т. 39, № 3, С. 88-93.

70. Галин Л.А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления. -ПММ, 1945, т. IX, Вып. 5, С. 413 424.

71. Моссаковский В.И., Петров В.В. О влиянии трения на микроскольжение. Докл. АН СССР, 1976, т. 231, № 3, С. 603 - 606.

72. Fichera G. Problemi elastostatici con vincoli unilaterale: il problema di Signorini con ambique condizioni al contorno. Mem. Accad. Naz. Lincei, Series 8, 1964, 7, p. 91.

73. Duvaut G., Lions J.-L. Les inequations en mecanique et en physigue. Paris: Dunod, 1972. Имеется перевод: Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980, 383 е.

74. Соси М., Pratt Е., Raous М. Analysis of incremental formulation for frictional contact problems // Contact Mechanics. New York: Plenum Press, 1995.-P. 13-20.

75. Alart P., Lebon F., Quittau F., Rey K. Frictional contact problem in elastatics: revisiling the unigueness condition // Contact Mechanics. New York: Plenum Press, 1995. - P. 63 - 70.

76. Doudoumis L, Mitsopoulou E., Charalambakis N. The influence of the friction coefficients of the solution of the unilateral contact problem // Contact Mechanics. New York: Plenum Press, 1995. - P. 79 - 86.

77. Kalker I.I. Rolling with slip and spin in the presence of dry friction. Wear, 9.- 1966.-P. 20-38.

78. Fredriksson B. Finite element solution of surface nonlinearities in structural mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics problems // Computers and Structures. Pergamon Press, 1976. - Vol. 6. - P. 281 - 290.165

79. Okamoto N., Nakazava M. Finite element incremental contact analysis with various factional conditions // International Journal for Numerical Methodes in Engineering. 1979. - V. 14. - P. 337 - 357.

80. Вовкушевский A.B. Шойхет Б.А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов. М.: Энергия, 1981. - 136 с.

81. Рыжов Э.В., Сакало В.И., Подлеснов Ю.П. Решение плоских контактных задач с учетом трения релаксационным методом конечных элементов // Механика и физика контактного взаимодействия. 1979. - С. 3 - 14.

82. Дувидзон И.А., Уманский С.Э. К вопросу о решении контактных задач теории упругости и пластичности // Проблемы прочности. Киев, 1982. - № 1.-С. 50-54.

83. Fredriksson В., Rejdholm G., Sjoblom P. Variational inegualities in structural mechanice with emphasis on contact problems // Finite elements in nonlinear mechanics. 1978. - № 2. - P. 863 - 864.

84. Michalowski R., Mros Z. Associated and nonassociated studing rules in contact friction problems // Arch. mech. stosow. 1976. - № 3. - P. 259 - 276.

85. Кузьменко В.И. О контактном взаимодействии систем тел в условиях ползучести материала // Прикладная механика. 1986. - т. 22, № 10. -С. 81-86.

86. Andersson Т., Fredriksson В., Persson B.G.A. The boundary element method applied to 2-dimensional contact problems. // New Developmets in Boundary Element Methods, ed. Brebbia.- Southampton: CML Publishers, 1980,-P. 93-99.

87. Andersson T. The Boundary Element Method applied to 2-dimensional contact problems with friction. Boundary Element Methods, Proc. of 3rd Int.Seminar. Ipwine, California, Springer-Verlag, 1981. P. 239 - 258.

88. Andersson T. Allan-Persson B.G. The Boundary Element Method applied to 2-dimensional contact problems, Chapter 5 in Progress in Boundary Element Methods, Vol. 2, Springer-Verlag, 1983. P. 137 - 157.

89. Takahashi S., Brebbia C.A. A boundary element flexibility approach for solving contact problems with and without friction // Engineering Analysis with Boundary Element. Elsevier Science Publishers Ltd, 1992. - V 9. - P. 3-11.166

90. Man K.W., Aliabadi M.H., Rooke D.P. BEM frictional contact analysis: Modelling considerations // Engineering Analysis with Boundary Elements. -1993.-V.11.-P. 77-85.

91. Сенющенков M.A. Алгоритм учета сухого трения при больших проскальзываниях в контактных задачах метода конечных элементов / Сб. научных трудов. Московский институт инж. железнодорожного транспорта. - 1990. - № 837. - С. 105 - 114.

92. Kakoi Kunihiko. Numerical analysis of 3-dimensional contact problems with friction by special boundary element method / Nihon Kikai gakkai ronbunshu // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1991. - 57, № 544. - C. 3010 - 3015.

93. KonderlaP., Gawlinski M. Contact problem formulated by means of boundary element method // Arch. Civ. Eng. 1994,- 40, №2. - P. 147 - 168.

94. De Saxce G., Feng Z.Q. New inequality and functional for contact with friction: The implicit standard material approach // Mech. Struct, and Mach. -1991.-19,№3.-C. 301 -325.

95. Kowalsky U., Showesig M. Konsistente Formulierung von Kontaktproblemen mit Reibung // Z. angew. Math, und Mech. 1995. - 75, № 2. -C. 493 - 494.

96. Refaat M.H., Meguid S.A. A novel finite contact problems // Int. J. Numer. Meth. Eng. A.- 1996. 39, № 22. - C. 3889 - 3902.

97. Raous Michel, Cangemi Laurent, Cocu Marius Unfrottement pour le contact entre deuxsolides deformables // C.r. Acad. Sci. Ser. 2. Fasc. В C.r. Acad. Sci. Ser. 2. Fasc.l., 1997. - 325, № 9. - C. 503 - 509.

98. Spense D.A. Self similar solutions to adhesive contact problems with incremental loading // Proc. Roy. Soc. A. 1968. - V. 305. - P.55 - 80.

99. Spense D.A. An eigenvalue problem for elastic contact with finite friction // Proc. Camb. Phil. Soc. A.- 1973. V. 73. - P. 249 - 268.

100. Spense D.A. The Herz contact problem with finite friction // Journal of Elasticity. 1975. - V. 5. - P. 297 - 319.167

101. Гольник Э.Р., Радченко И.Г., Лейкин М.А. и др. Программный комплекс МАКС и опыт его применения в САПР тяжелых механических прессов // Кузнечно-штамповочное производство. 1995. - № 3. - С. 19 - 22 .

102. Пановко Я.Г. Механика деформируемого твердого тела: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М.: Наука, 1985. - 288 с.

103. Моделирование контактных напряжений / В.И.Атопов, Ю.П.Сердо-бинцев, О.К.Славин М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

104. Барабакадзе В.Ш., Мураками С. Расчет и проектирование строительных конструкций и сооружений в деформируемых средах. М.: Стройиздат, 1989.-472 с.

105. Винник Л.В. Возможность уменьшения износа колес и рельсов в метрополитене. Тезисы докл. IX Междунар. конф. «Проблемы механики ж.-д. транспорта». ДГТУ (ДИИТ), Днепропетровск, 1996, С. 78 79.

106. Винник Л.В. Колесная пара дифференциального вращения для вагонов метрополитена. Автореферат диссертации. канд.техн.наук. Санкт-Петербург, 1997. -21 с.

107. Голубенко АЛ. Сцепление колеса с рельсом. Киев: OipMa «В1ПОЛ», 1993.-448 с.

108. Мосты и тоннели на железных дорогах / В.О.Осипов, В.Г.Храпов, Б.В.Бобриков и др. М.:Транспорт, 1988. - 367 с.

109. Ш.Вейнблат Б.М. Высокопрочные болты в конструкциях мостов. М.: Транспорт, 1971. - 152 с.

110. Богданов Т.М. Соединения металлических конструкций на высокопрочных болтах. М.: Трансжелдориздат, 1963. - 112 с.

111. Иосилевич Г.Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин . -М.: Машиностроение, 1981. 224 с.

112. Пржеминицкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика. 1963. - № 1. - С.165 - 175.

113. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений /В.А.Пост-нов, С.А.Дмитриев, Б.К.Елтышев и др. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.168

114. Исследования автора по теме диссертации отражены в работах:

115. АЗ. Гольник Э.Р., Гундорова Н.И. Моделирование упругих контактных систем с трением по методике полного нагружения // Современные проблемы информатизации. Тезисы докладов на II Республиканской электронной научной конференции. Воронеж, 1997. - С. 132.

116. А4. Гольник Э.Р., Гундорова Н.И. Неинкрементальное дискретное моделирование контактных систем упругих шероховатых тел с выявлением зон проскальзывания и сцепления // Изв.вуз. Машиностроение. 1997. -№ 12. - С. 3 - 8.

117. А5. Гольник Э.Р., Гундорова Н.И., Павлов Г.Г. О перспективах эффективного применения метода граничных элементов при моделировании объектов прессостроения // Кузнечно-штамповочное производство. 1997. -№ 3. - С. 27-30.

118. А9. Винник Л.В., Гольник Э.Р., Гундорова Н.И. Статика контактной системы деталей колесной пары дифференциального вращения // Изв.вуз. Машиностроение. 1999. - № 2-3. - С. 3 - 11.

119. А10.Гольник Э.Р., Гундорова Н.И. Трехмерное дискретное моделирование контактных систем деталей тяжелых прессов с учетом трения в стыках // Кузнечно-штамповочное производство. 1999. - № 10. - С. 26 - 30.