автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.12, диссертация на тему:Метод исследования устойчивости в целом стабилизированных преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией

На правах рукописи

/ _______

с У

00461

КОБЗЕВ Геннадий Анатольевич

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ СТАБИЛИЗИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ С ШИРОТНО-ИМНУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Специальность 05.09.12 - силовая электроника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 ^ ЛЕИ 2С?Т0

Томск-2010

004617902

Работа выполнена в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Михальченко Геннадий Яковлевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Казанцев Юрий Михайлович (ОАО НПЦ «Полюс», г. Томск)

кандидат технических наук, доцент Огородников Дмитрий Николаевич (Национальный исследовательский Томский политехнический университет)

Ведущая организация:

Новосибирский государственный технический университет

Защита диссертации состоится «29» декабря 2010 г. в 900 ч на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д.212.268.03 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники».

)

Автореферат разослан ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. техн. наук, доцент ^" У Мещеряков Р.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Преобразователи с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), анализу и проектированию которых посвящена данная работа, широко применяются для питания как стационарной, так и переносной аппаратуры. Современного человека окружают десятки таких устройств, и нет сомнения в том, что их число будет постоянно расти. Но рост числа стабилизированных преобразователей создает и проблемы. Поскольку ШИМ-преобразователи относятся к классу импульсных нелинейных динамических систем, часть проблем построения и эксплуатации стабилизированных преобразователей связана с их нелинейной динамикой -функционированием в субгармонических и хаотических режимах. Если переход на субгармонический или хаотический режим и не приведет к немедленному отказу, то, вероятно, создаст акустический дискомфорт, повышенный уровень пульсаций выходного напряжения, повышенные токовые нагрузки на полупроводниковые приборы и конденсаторы, что повлечет снижение срока службы устройства. Причинами таких режимов работы часто являются бифуркации вследствие вариации внешних параметров (температуры, входного питающего напряжения и параметров нагрузок). Бифуркации могут происходить как по мягкому, так и по жесткому сценарию. Жесткий сценарий связан с неединственностью существования основного и нежелательного стационарных движений, поэтому нежелательные режимы на стадии проектирования и испытания опытного образца преобразователя выявляются далеко не всегда. Другая особенность заключается в «аномальности» динамических систем с ШИМ, когда наилучшие в определенном смысле характеристики преобразования могут оказаться вблизи границ устойчивости. В этом случае часто приходится идти на компромисс между качеством и параметрическими запасами по устойчивости.

Имеющиеся на рынке программы, входящие в системы автоматизированного проектирования (Multisim, PSPICE, SwitchCad, ASIMEC и другие), позволяют лишь решать задачу Коши. Если периодический режим обнаруживается с помощью решения задачи Коши, то он автоматически оказывается устойчивым в малом, но при этом выводов по устойчивости в целом сделать не представляется возможным.

Основы теории исследования устойчивости были заложены А.М.Ляпуновым, а метод исследования устойчивости в целом называется вторым (или прямым) методом Ляпунова. За 30 лет развития методов исследования устойчивости в целом сформировалось несколько основных направлений.

Так, А.И. Лурье и В.Н. Постников предложили находить функции Ляпунова в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности. Этот подход, развивавшийся в работах Е.И. Берковича, Г.А. Белова, позволяет получать критерии «абсолютной устойчивости» при соблюдении определенных ограничений на свойства нелинейного элемента. Однако недостаточная точность результатов, получаемых при использовании данного метода,

ограничивает его практическое применение в проектировании преобразователей.

Другая группа методов, развивавшихся М.А. Айзерманом, В.М. Поповым и другими, базируется на частотных способах исследования устойчивости. Однако практическое применение частотного анализа систем регулирования с ШИМ ограничено ключевой природой их функционирования, т.е. минимальным временем реакции системы, которое не может быть меньше периода квантования ШИМ.

Альтернативой «критериальному» подходу может стать «вычислительный», когда целью является нахождение баланса между доступной вычислительной производительностью, сложностью аналитических преобразований и точностью расчета, который и развивается в данной работе. Решения проблемы устойчивости в целом в форме готовых пакетов программ, эффективно выполняющих строгий анализ устойчивости в целом при минимизации вычислительных затрат для ШИМ-преобразователей, на настоящий момент не известны.

Наряду с созданием таких решений актуален также переход от автоматизированного к автоматическому проектированию, для чего необходим анализ качества динамики в условиях вариации параметров. Другим важным направлением является создание самонастраивающихся, или адаптивных, систем стабилизации, способных автоматически управлять внутренними параметрами при фиксированной структуре силовой части и блока управления.

Целью диссертационного исследования является разработка эффективных с точки зрения вычислительных затрат методов анализа устойчивости в целом стабилизированных преобразователей с широтно-импульсной модуляцией для исключения их функционирования в хаотических или субгармонических режимах и для решения задач по их автоматизированному проектированию.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

- проанализировать математические модели стабилизированных преобразователей с ШИМ, применяемые для анализа устойчивости в целом;

- проанализировать существующие методы анализа устойчивости в целом и получить количественные оценки, характеризующие их качество;

- предложить и обосновать вычислительный метод анализа устойчивости в целом стабилизаторов с ШИМ на основе трансформаций множеств начальных условий отображением Пуанкаре;

- провести численные эксперименты и эксперименты на лабораторном макете преобразователя.

Методы исследования. Исследования проводились методами математического моделирования. Математические модели были представлены в виде отображений Пуанкаре. Методы анализа устойчивости базировались на втором методе Ляпунова. Численные расчеты выполнялись на ЭВМ. Достоверность результатов подтверждена путем сравнения с опубликованными

результатами других авторов и физическим моделированием с использованием лабораторного макета преобразователя.

Научная новизна работы:

-получены точные картины трансформаций замкнутого ограниченного множества начальных условий отображением Пуанкаре для стабилизированных преобразователей понижающего типа с ШИМ;

- показано экспоненциальное нарастание сложности геометрической границы таких множеств с ростом номера шага отображения Пуанкаре, которое вызвано нелинейной динамикой стабилизаторов;

- предложено в качестве функции Ляпунова рассматривать норму, характеризующую геометрический размер трансформирующихся множеств начальных условий для исследования устойчивости в целом;

- показано, что замедляющаяся скорость убывания размера сжимающегося множества начальных условий позволяет сделать заключение о возможности выхода на нежелательные динамические режимы при изменениях внешних параметров;

- установлено, что в пространстве начальных условий стабилизаторов с ШИМ второго рода имеется как минимум четыре области - две области насыщения, линия разрыва и область регулирования, без учета влияния которых невозможно достоверно проанализировать устойчивость в целом.

Практическая ценность:

- предложенные алгоритмы и методы оценки и анализа устойчивости в целом позволяют сократить время и затраты на проектирование стабилизированных преобразователей;

- новые методы исследования устойчивости позволяют исключить функционирование проектируемых стабилизаторов в субгармонических и хаотических режимах, что в свою очередь повышает качество и надежность таких преобразователей;

- предложенные методы позволяют определить нарушение устойчивости как по мягкому, так и по жесткому сценарию;

- программное обеспечение, созданное в ходе выполнения диссертационной работы, может быть встроено в пакеты автоматизированного проектирования на определенных этапах проектного пути для анализа устойчивости в целом и оценки максимальной продолжительности переходных процессов.

Реализация результатов работы. Результаты работы в виде методов, алгоритмов и программного обеспечения для анализа устойчивости используются в производственной деятельности ООО «Магнит М» в процессе проектирования источников питания при выборе параметров модуляции, синтезе звеньев цепей обратной связи; ООО «Томск Софт» при создании программного обеспечения, предназначенного для анализа систем электронной техники, а также в учебном процессе Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) при подготовке магистрантов по направлению 210100 «Электроника и микроэлектроника» по дисциплине «Системы автоматизированного проектирования электронных схем».

Основные положения, выносимые на защиту:

- из-за наличия в пространстве состояний четырех областей с существенно отличающейся динамикой строго проанализировать устойчивость в целом преобразователей с ШИМ возможно, лишь применяя численно-аналитические и алгоритмические методы;

- для анализа устойчивости в целом стабилизированных преобразователей с широтно-импульсной модуляцией достаточно рассмотреть последовательность преобразований замкнутого ограниченного множества начальных условий математической моделью стабилизатора в форме отображения Пуанкаре: если такая последовательность сжимается в точку с ростом шага отображения, то преобразователь устойчив в целом;

- скорость убывания размера трансформирующегося множества начальных условий может использоваться для оценки продолжительности наиболее длительного переходного процесса в стабилизированных преобразователях с широтно-импульсной модуляцией;

- упрощение границ трансформирующегося множества начальных условий выпуклым многоугольником позволяет ускорить анализ устойчивости в целом при минимальной потере точности.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры «Промышленная электроника» ТУСУРа (Томск, 9 ноября 2010 г.); на всероссийских научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (Томск, 4-7 мая 2010 г.; 5-8 мая 2008 г.; 18-20 мая 2004 г.); ежегодной научно-практической конференции «Итоги научно-исследовательских работ и курсового проектирования студентов 1-4 курсов кафедры ПрЭ» (Томск, ТУСУР, 26-27 февраля 2009 г.); на VI международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии» (Томск, ТПУ, 2000 г.); на региональной научно-технической конференции «Радиотехнические и информационные системы и устройства» (Томск, ТУСУР, 1999 г.); на 9-м межотраслевом совещании «Проблемы и перспективы развития Томского нефтехимического комбината» (Томск, ТНХК, 1995 г.).

Публикации. Результаты выполненных исследований отражены в восьми печатных работах, в том числе двух статьях в периодических изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 73 наименования, и двух приложений. Диссертация содержит 112 страниц машинописного текста, иллюстрированного 49 рисунками.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность нахождения адекватных методов исследования устойчивости в целом стабилизированных преобразователей, сформулирована цель диссертационной работы, научная новизна и

практическая ценность, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматриваются математические модели наиболее распространенных стабилизированных преобразователей - понижающего, повышающего, инвертирующего, а также других типов. Модель понижающего преобразователя в общем случае состоит из уравнений силовой части (СЧ), выходного фильтра (Ф), уравнений схемы управления (СУ) и уравнений широтно-импульсного модулятора (ШИМ), что иллюстрирует рисунок 1, где также обозначена нагрузка (Н), источник входного напряжения (£о)> иу -напряжение уставки.

ШИМ СУ

Рисунок 1 - Общая структура стабилизатора с ШИМ

Использование различных типов силовых частей, широтно-импульсных модуляторов и схем управления приводит к большому количеству различных вариантов моделей преобразователей.

Для анализа устойчивости в целом предлагается выполнять переход от систем дифференциальных уравнений к моделям в форме отображения Пуанкаре:

Хм = Р(Хк,г(Хк)), к= 0,1,2,...,

где Х=Х(Г) - одностолбцовая матрица - вектор переменных состояния, изменяющийся в зависимости от времени г, F - вектор-функция, которая получается путем численно-аналитического решения систем дифференциальных уравнений, описывающих процессы в силовой части и схеме управления, на интервалах с фиксированным состоянием ключей; г -коэффициент заполнения.

Отображение Пуанкаре позволяет по известным входным значениям в начале тактового интервала Хк = Х(Г = кТ(1) получить вектор переменных

состояния в конце тактового интервала Хм = = {к + \)Тд^. При этом решения рассматриваются лишь в дискретные моменты времени ^ где Тд - период квантования ШИМ.

Коэффициент заполнения г в случае широтно-импульсного модулятора второго рода либо определяется как корень уравнения

£ЦХ,г) = а(иу-СХ(Хк,д)-иорг = 0, (1)

либо находится в одном из насыщенных состояний:

г = 1 при

что соответствует случаю, когда импульс ШИМ не возникает, например из-за высокого напряжения на выходе стабилизатора, возникшего вследствие перерегулирования, либо

г = 0 при ^.,0)<0.

Последний режим возникает при низком значении выходного напряжения, часто во время пуска, когда ток дросселя еще мал. В формуле (1) приняты следующие обозначения величин схемы управления и ШИМ-модулятора: иор - амплитуда напряжения пилы; 1/у - напряжение уставки, а -

коэффициент передачи пропорционального корректирующего звена; С -коэффициент преобразования вектора состояния датчиками напряжений и токов.

Быстрые переходные процессы в цепях схемы управления и ключах учитываются в уравнениях путем введения задержек прохождения сигналов в схеме управления, широтно-импульсном модуляторе и ключах. Важно, что такой способ учета задержек не увеличивает размерность моделей в форме отображения Пуанкаре.

Математические модели стабилизированных преобразователей, представленные в виде отображения Пуанкаре, достаточно полно отражают динамические характеристики таких преобразователей для анализа их устойчивости в целом. Размерность рассматриваемых в работе примеров равна двум.

Во второй главе рассматриваются методы анализа устойчивости нелинейных систем. В начале главы коротко излагаются теоретические основы анализа устойчивости, у истоков которых находятся работы Ляпунова и Пуанкаре. Метод анализа устойчивости в целом называется вторым или прямым методом Ляпунова. Его суть заключается в нахождении скалярной функции, называемой функцией Ляпунова, такой, что

»ЧХс,г)э0, У(Х,0|^Хс>0, ^<0, (2)

где Хс - стационарное состояние, устойчивость которого анализируется.

С учетом последнего неравенства (2) и перехода к дискретному времени к в отображении Пуанкаре условия (2) будут выглядеть следующим образом:

У(Хс)=0, У(Хк+1)<У(Хк)| ,к =0,1,2,3... (3)

Далее в работе показано, что методики, основанные на идеях Лурье и Постникова, создаваемые с целью поиска функций Ляпунова для непрерывных моделей в виде (2), недостаточно точны для практического использования при проектировании стабилизаторов напряжения. В рассмотренных примерах поиска параметрической границы потери устойчивости в целом такие методы дают условия устойчивости с запасом более чем в 10 раз.

В диссертации показано, что в моделях стабилизаторов с широтно-импульсными модуляторами 2-го рода (рисунок 2,а) присутствуют разрывы, обусловленные принципами формирования импульса. Причину их появления иллюстрирует рисунок 2,6. Если напряжение с выхода корректирующего звена схемы управления ¿Укз окажется выше пилообразного напряжения £/р в момент начала роста пилы, то коэффициент заполнения будет больше нуля, а если ниже, - равен нулю, поскольку триггер широтно-импульсного модулятора не запустится.

Согласно условиям второго метода Ляпунова (2) анализ устойчивости в целом следует выполнять для всех значений вектора переменных состояния -от плюс до минус бесконечности, однако преобразователи представляют собой диссипативные системы, имеющие ограниченные возможности отбора энергии от источника питания, поэтому для анализа устойчивости в целом предложено рассматривать трансформацию некоторого ограниченного замкнутого множества начальных условий отображением Пуанкаре.

Далее сформулирована теорема о сжимающихся отображениях. Пусть : X —» X задает отображение пространства X, X б , в себя. Пусть О/с - ограниченное множество йк е X, имеющее гранту Гк. Пусть Ок+] получается преобразованием множества Ок отображением иЭш с йк, т.е.

>

а

б

Рисунок 2 - Широтно-импульсный модулятор второго рода (а) и причины появления разрывов траекторий движения в нем (б): кривой иКъа соответствует неопределенность г = 0 или г = 1; кривой иКЗ, ь - г = 0 или г = 0,6

Dk+1 является подмножеством множества D% Тогда для любого целого т>О справедливо Dk+i+m с Dk+m.

То есть при выполнении условия Dk+l с Ок каждое последующее новое множество Dk+2, Dk+i и т.д., получаемое преобразованием Пуанкаре F, будет частью предшествующего. Поэтому все точки границы Гк+]+т будут находиться внутри множества, образованного границей Гк+т, либо принадлежать границе Гк+т. Отображение F может быть как линейным, так и нелинейным и может содержать разрывы.

Эта теорема позволяет перейти от рассмотрения поведения всего множества начальных условий к рассмотрению поведения его границ и получить оценку влияния тех или иных методов упрощения границ на достоверность результата анализа, что активно использовалось в работе.

Далее в диссертационной работе показано, что возможно ввести радиус, характеризующий размер сжимающегося множества начальных условий, и рассматривать изменение такого радиуса в зависимости от шага отображения Пункаре в качестве функции Ляпунова. По поведению этой функции предложено формировать достаточное условие устойчивости в целом.

На основе предложенных идей сформулирован алгоритм анализа устойчивости в целом, приведено описание его этапов и схема. Затем кратко описывается интерфейс экспериментального программного обеспечения, созданного на языке С++ с использованием технологии dot NET. Основное окно созданной программы иллюстрирует рисунок 3.

s Ломсиы Трассировке: Нвсгройш

ш f к, > w f

I900V 800Ц [гоо\- окно пространства состояний ^.................А 1

| ieoob 500 ш If

1 ^■"r'T'Zv > pp^ 11 ■ *> { с; i

1

\ Is

¡1 0 < i 4 J i I 1 j

Steel 3® point», . -i •• ■: •'.; консольное окно ||§ЯВ|

1 строка консол и

Рисунок 3 - Основное окно программного приложения

Третья глава посвящена вычислительным экспериментам. В ней иллюстрируется созданная методика на примере стабилизатора понижающего типа с широтно-импульсным модулятором второго рода. Модель и параметры стабилизатора идентичны приведенным в работе B.C. Баушева и

Ж.Т. Жусубалиева (Электричество. - 1992. - № 8). В этой работе, в частности, строго найдена граница потери устойчивости в целом по параметру а, равная 52,67. Этот факт полностью подтверждается в диссертации при использовании предложенных методов.

В начале главы построена зависимость коэффициента заполнения г от начальных условий (рисунок 4). Область с г = 0 расположена в верхней части рисунка - выше линии ЕР. Область с г = 1 - в нижней левой части этого рисунка. Линии в правой нижней части рисунка с непрерывно изменяющимся I находятся в области регулирования, где изменению начальных условий будет соответствовать изменение коэффициента заполнения. Конфликт, возникающий из-за пересечения полуплоскости с г = 0 и прямых с г е [0,1] или полуплоскости с г = 1, разрешается в пользу г = 0, поскольку при этом триггер ШИМ не запускается. Таким образом, на линии ЕР находится разрыв первого рода.

Далее рассматривается серия трансформаций отображением Пуанкаре начальных условий, ограниченных на рисунке 5 квадратом АВСБ, при коэффициенте передачи пропорционального корректирующего звена в цепи обратной связи а = 26, когда основной режим существует и устойчив в целом.

После преобразования Пуанкаре точкам исходного прямоугольника А,В,С,Б соответствуют точки А', В',С,Г)" полученной заштрихованной фигуры. Преобразование Пуанкаре при г = О является линейным, поэтому прямоугольнику ЕВСБ соответствует четырехугольник Е'+В'С'Е. Преобразованию четырехугольника ЕСТА с г = 1 соответствует четырехугольник Е'~С~1'А'. 1ТУ и СР являются кривыми, поскольку на соответствующих отрезках ГО и ЭР г изменяется. Прямой ЕС, находящейся на границе разрыва г = 0 и г = 1, соответствуют прямые Е'+0'+ (г = 0) и Е'~С~ (г = 1).

Рисунок 5 - Отображение исходного множества Д>, ограниченного точками АВСО, в заштрихованное множество £)>

Вдоль отрезка ОН величина разрыва г убывает от единицы в точке в до нуля в точке Н. Отрезку ОН с г = 0 соответствует отрезок С+Н', а с г, не равным нулю, - кривая Н'О'^. Полученный рисунок имеет характерную форму «штанов». Просвет между «штанинами» возникает именно из-за разрыва, обусловленного работой ШИМ 2-го рода.

Результат следующего преобразования множества /3, в 02 показан на рисунке 6. Видно, что после второй трансформации площадь области Ог уменьшилась, фигура усложнилась, а полость, образованная пространством между «штанинами» Рх (фигуры Ох), отобразилась в полость Р2. Для хранения границы множества ¿>2 требуется большее количество точек в односвязном полигоне.

На рисунке 7 изображен полигон, окружающий множество £>5. Поскольку множество В5 существенно меньше £>3, масштаб рисунка 7 изменен. Этот полигон имеет уже пять полостей. Как видно из рисунка, линия разрыва вН полностью пересекает одну часть полигона, поэтому £>5 - последний полигон, остающийся односвязным в данной последовательности отображений.

Множество £>6. изображенное на рисунке 8, становится неодносвязным.

Полигон, ограничивающий подмножество ) на рисунке 9, находится в непрерывной области, т.е. линия разрыва его уже не пересекает, поэтому все последующие трансформации не приводят к увеличению числа подмножеств.

Множество £>щ и все последующие полностью находятся в области регулирования.

0 2 4 6

Рисунок 6 - Множество D2

Рисунок 7 - Множество £>5

'Uc, В

3,6 5,6

Рисунок 8 - Множество Dб

600tjjc g

D8.2

\

I

t........

D8.3 .

4 4,5 5

Рисунок 9 - Множество ZJg

>L,A

Отдельные «хвосты», возникшие вследствие трансформации полостей при разрывах с последующими сжатиями и растяжениями, вызванными нелинейностью ШИМ в зоне регулирования, образуют структуры, похожие на «слоеный пирог». Дальнейшие преобразования множества Д начиная с £=10, являются «слабо нелинейными» и приводят к последовательному - теоретически бесконечному — процессу сжатия с вращением в точку.

Рассмотренный случай является сравнительно простым, поскольку если увеличить а до значений, соответствующих, например, хаотической динамике, то количество несвязных областей, сложность полигонов и количество точек, необходимых для их хранения, растет от шага к шагу практически экспоненциально.

С целью упрощения полигонов и ускорения вычислений использован алгоритм поиска выпуклой оболочки множества точек, хранящих границы полигонов сжимающихся областей начальных условий D, известный в зарубежной литературе как алгоритм Hull. Множества, полученные с упрощением полигонов алгоритмом Hull на каждом шаге, иллюстрирует рисунок 10. Из рисунка видно, что все полигоны относительно простые, и необходимо лишь 10-30 точек для их хранения в памяти ЭВМ в сравнении, например, с 6400 точками, необходимыми для хранения полигона D& изображенного на рисунке 9.

800;

500

200

0 2 4 б 8

г

800

500

200

Ус, В

..................... ......"V......м

Рисунок 10 - Множества Dполученные с использованием алгоритма Hull: при а = 26 коэффициент к последовательно изменяется от к = 2 (а)

до к = 7 (е)

Дальнейшие трансформации приводят к тому, что полигоны D¡¡ уменьшаются до малых размеров, сворачиваясь в точку. Преобразования выпуклых полигонов выполняются очень быстро. Алгоритм Hull всегда вносит добавочную погрешность на каждом шаге, поэтому если сходится последовательность с Hull, то без Hull она также будет сходиться, причем с еще меньшим количеством шагов. Таким образом, алгоритм Hull дает достаточные условия сходимости и позволяет оценить границу продолжительности переходного процесса сверху.

Для анализа устойчивости оказывается более удобно наблюдать не сами области йь имеющие порою сложное строение, а их геометрический размер в виде некоторой нормы или радиуса. Для этих целей было введено следующее определение.

Определение. Расстояние от точки Хс, соответствующей основному одноцикловому стационарному режиму, до наиболее удаленной от Хс точки, принадлежащей области Бк, назовем радиусом Я области сходимости на к-м шаге отображения Пуанкаре (рисунок 11).

Рисунок 11 - Радиус Я области сходимости на 8-м шаге (Ь=8) при а = 26

Расстояние в пространстве X может быть измерено как любая норма, например квадратичная. Но поскольку ток и напряжение - величины, имеющие различный физический смысл, полезно выбрать балансирующие коэффициенты к\ и и производить расчет радиуса следующим образом:

Я^(к1-Ы1)2 + (кг-Аис)\

(4)

где = Дис = ис-{/£; Хс =

и?

- стационарное состояние.

В качестве коэффициентов к\, кг для стабилизатора понижающего типа могут, например, выступать обратные значения вектора Х5, то есть

к\ = 1Дд.0, к2=1/Х^,

где Х5 - вектор, хранящий вынужденное решение при подключенном к фильтру источнике питания. Кроме того, для удобства восприятия полученная по формуле (4) норма-радиус умножена на 100 %. Таким образом, пока область

велика, Я имеет значения около 50, и по мере сокращения размеров радиус Я уменьшается вплоть до нуля, если решение устойчиво в целом.

На рисунке 12 приведены зависимости радиуса сходимости от шага преобразования Пункаре. Зависимость на рисунке 12,а получена при а = 52,66 и соответствует еще устойчивому в целом основному стационарному режиму Хс■ Однако радиус сходимости в процессе трансформации при к от 10 до 70 замедляет свое убывание, что дает основания говорить о затягивании переходных процессов и, как следствие, о том, что основной режим уже, возможно, находится вблизи границы потери устойчивости в целом. На рисунке 12,6 видно, что процесс не сходится и, следовательно, устойчивость в целом отсутствует.

R, %

5г ..'-■ ■■'■"" ■■' ■ ■

500m ;

50т; " " ' ,

5wpr-:::ggpiggj -.. Г.: Щ

5oou

50u " '

5Ui

-fp' JJ Ю0

а б

Рисунок 12 - Изменение радиуса сходимости R в зависимости от номера шага к отображения Пуанкаре: а - а = 52,66; б - а = 52,67

R, % 50V

/х ____

500m...............................—.......х......

50т ..... ..................~""

5т ' " "Г '

kjPfS : '

i.....™™W™""™

На рисунке 13,а показано множество О150, полученное при а =52,67, которое похоже на треугольник.

а б

Рисунок 13 - Функционирование стабилизатора при а= 52,67: а - множество £>150, полученное с использованием алгоритма Hull; б - одноцикловый (кривая в центре) и трехцикловый (внешняя кривая) устойчивые периодические режимы в фазовом пространстве

На рисунке 13,6 при этих параметрах показаны траектории установившихся движений в пространстве состояний: внешняя замкнутая кривая соответствует трехцикловому режиму с повышенной амплитудой пульсаций, а внутренняя траектория - одноцикловому режиму. Масштаб рисунка 13,6 значительно увеличен в сравнении с рисунком 13.а. Наблюдаемая неединственность устойчивых состояний также является доказательством отсутствия устойчивости в целом.

Четвертая глава посвящена проверке достоверности предложенной методики исследования устойчивости в целом на физическом макете понижающего преобразователя (рисунок 14). Для реализации ШИМ была использована распространенная микросхема ТЬ494, применяемая в источниках питания персональных компьютеров.

Рисунок 14 - Лабораторный макет преобразователя

Для исследования устойчивости проводились следующие эксперименты.

1. Эксперимент с помехами. Помехи вводились путем закорачивания части нагрузки (1/2Лн) при параметрах £о=12,3 В, а= 41. При этом по окончании действия возмущения устанавливался либо трехцикловый режим, изображенный на рисунке 15,а, либо одноцикловый режим, изображенный на рисунке 15,6.

2. Эксперимент с вариацией питающего напряжения. Питающее напряжение плавно изменяется в диапазоне от 12 до 16 В. При напряжении около 16 В размах колебаний выходного напряжения скачком увеличивается, а частота пульсаций соответствует трехцикловому режиму. Возврат в одноцикловый режим функционирования стабилизатора происходит лишь при снижении напряжения питания до 12 В (эксперимент также записан на видео). При этом четко наблюдается эффект гистерезиса.

Проведенные эксперименты качественно подтвердили результаты моделирования.

Тек.........J"L

»Stop

M Pos: 0.000s SAVE/REC Tek it. • Stop M Pos: -38.00JJS SAVE/BEE

........Tj .........................................................-.......

Action > Action

«la

PRINT Button

Select Folder

About Save All

OS 2.00V CH2 5,00V

M 50.0J1S 13-Nov-lO15:45

CH1 2.00V CH2 5.00V

M 50.0 MS 13-Nov-W 15:51

CH115,01V <10H2

а б

Рисунок 15 - Снимки с экрана осциллографа: а - выходное напряжение стабилизатора соответствует трехцикловому режиму; б - выходное напряжение стабилизатора соответствует одноцикловому режиму

Приложение А диссертационной работы содержит технические характеристики, фотографические изображения, перечень элементов и принципиальную схему лабораторного макета преобразователя, с использованием которого проводились исследования, описанные в четвертой главе.

В приложении Б диссертационной работы содержатся документы, подтверждающие внедрение ее результатов в промышленности и использование их в учебном процессе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены проблемы определения устойчивости в целом стабилизированных преобразователей с ШИМ-регулированием.

Динамику широкого класса стабилизаторов в области частот, где существенно влияние обратной связи, можно представить одно-, двух- или трехмерными моделями в виде отображения Пуанкаре, что делает устойчивость в целом таких систем доступной для анализа предлагаемыми методами и алгоритмами на основе трансформаций множеств начальных условий в пространстве состояний.

Нарушения динамики стабилизаторов с ШИМ вследствие изменения параметров случаются по двум возможным сценариям - мягкому и жесткому. При этом алгоритмы, предложенные в настоящей диссертационной работе, позволяют обнаружить любой из этих сценариев и, следовательно, избежать субгармонических и хаотических режимов функционирования таких преобразователей еще на этапе проектирования.

Созданное в ходе выполнения диссертационной работы программное приложение позволяет с минимальными вычислительными затратами выполнять анализ устойчивости в целом произвольных моделей размерности один и два.

Развитие предложенной в работе методики открывает путь к автоматическому анализу и выбору параметров систем нелинейного управления такого вида.

Переход к размерности три потребует перевода ядра программы от двумерных полигонов к Зё-фигурам с использованием библиотек, выполняющих булевы операции в 3d и 3<3-визуализацию.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Кобзев Г.А. Алгоритм адаптивного управления стабилизированными преобразователями напряжения с широтно-импульсным регулированием / Ю.Н. Тановицкий., Т.Ф. Халиляев, Г.А. Кобзев // Докл. Томск, гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники,-2010.-№ 1(21).-Ч. 2. - С. 80-85.

2. Кобзев Г.А. О классификации методов управления / Г.А. Кобзев, Д.А. Савин, Ю.Н. Тановицкий // Докл. Томск, гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники.-2008.-№ 1(17).-С. 53-55.

3. Кобзев Г.А. Метод закручивающейся спирали для анализа устойчивости в целом стабилизированных преобразователей с широтно-импульсным регулированием ! Ю.Н. Тановицкий, Г.А. Кобзев // 19-я всерос. науч.-техн. конф. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем» (ДНДС-2010). - Чебоксары : Чувашский гос. ун-т, 2010. -С. 117-119.

4. Кобзев Г.А. Макет стабилизатора понижающего типа для исследования методов адаптивного управления / Т.Ф. Халиляев, Ю.Н. Тановицкий, Д.А. Савин, Г.А. Кобзев // Материалы ежегод. науч.-практ. конф. «Итоги научно-исследовательских работ и курсового проектирования студентов 1-4 курсов кафедры ПрЭ», г. Томск, 26-27 февраля 2009 г. - Томск : Изд-во Томск, гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники, 2009. - С. 118-121.

5. Kobzev G.A. Electro-coagulation and flotation. The removal of iron ions through electrolysis of ferrous water without using additional filters / S.S. Staal, G.A. Kobzev, W. Olthuis // Научная сессия ТУ СУР - 2004 : сб. науч. тр. всерос. науч.-техн. конф. - Томск, 2004. - Ч. 3. - С. 135-139.

6. Kobzev G.A. Switched-Capacitor Systems for Battery Equalization / G.A. Kobzev // The Sixth International Scientific and Practical Conférence of Students, Postgraduates and Young Scientists «Modem Techniques and Technologies» (MTT 2000). - Tomsk: : Tomsk Polytechnic University, 2000. -P. 57-59.

7. Кобзев Г.А. Система уравнивания аккумуляторных батарей с использованием переключаемых конденсаторов ) Г.А. Кобзев // Радиотехнические и информационные системы и устройства : материалы регион, науч.-техн. конф. - Томск, 1999. - Ч. 2. - С. 141-143.

8. Кобзев Г.А. Математические модели стабилизаторов напряжения с широтно-импульсной модуляцией / Г.А. Кобзев, Г.Я. Михальченко // Проблемы и перспективы развития Томского нефтехимического комбината : тез. докл. 9-го межотраслевого совещания. - Томск, 1995.

Тираж 100. Заказ 1133. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел.:(3822) 533018.

Введение

1 Математические модели преобразователей в форме отображения Пуанкаре

1.1 Общая структура модуляционных систем автоматического регулирования напряжения

1.2 Схемы замещения и уравнения силовой части преобразователей

1.3 Схемы управления преобразователей

1.4 Широтно-импульсные модуляторы

1.5 Задержки срабатывания схемы управления и ключей

1.6 Отображение Пуанкаре

2 Методы анализа устойчивости нелинейных систем

2.1 Устойчивость в малом и первый метод Ляпунова

2.2 Методы анализа устойчивости на основе функций Ляпунова в виде суммы квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности

2.3 Анализ устойчивости в целом

2.4 Алгоритм построения последовательности множеств £)к и анализа устойчивости в~целом ' "

2.5 Особенности программной реализации алгоритма анализа устойчивости в целом

3 Численные эксперименты. Анализ стабилизатора понижающего типа

3.1 Зависимость коэффициента заполнения г от начальных условий

3.2 Трансформация областей начальных условий

3.3 Радиус области сходимости

3.4 Упрощение границ множеств начальных условий

4 Эксперименты на физической модели преобразователя

Актуальность работы. Преобразователи с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), анализу и проектированию которых посвящена данная работа, широко применяются для питания как стационарной, так и переносной аппаратуры. Если 20 лет назад только в бытовой аппаратуре, которой пользовалась семья, было три-четыре стабилизатора (телевизор и домашний компьютер), то есть в среднем один стабилизатор на человека, то сейчас бытовая электроника, начиная, от сотовых телефонов, плееров, приводов, автоэлектроники, индукционных плит и до энергосберегающей лампочки используют принципы, широтно-импульсного преобразования и стабилизации: Современного человека окружают уже десятки таких устройств, и нет сомнения в том, что их число будет расти. Промышленность предлагает широкий выбор микросхем, в которых реализуются почти все основные узлы за исключением времязадающих цепей, катушек индуктивности и фильтрующих конденсаторов. Но рост числа стабилизированных преобразователей создает и проблемы. Так, по данным сервисных центров, выход из* строям источников питания является самой распространенной причиной отказов бытовой аппаратуры. Поскольку ШИМ* преобразователи относятся-к классу импульсных нелинейных динамических систем, часть проблем построения и эксплуатации стабилизированных преобразователей связаны с их нелинейной динамикой — функционированием в субгармонических и хаотических режимах [1, 2, 3]. Если переход на субгармонический или хаотический режим и не приведет к немедленному отказу, то, вероятно, создаст акустический дискомфорт, повышенный уровень пульсаций выходного напряжения, повышенные токовые нагрузки на полупроводниковые приборы и конденсаторы, что повлечет снижение срока службы устройства. Причинами таких режимов работы наряду с дефектами компонентов и режимами функционирования в условиях перегрузок, случающихся в процессе эксплуатации, могут стать бифуркации вследствие вариации внешних параметров (температуры, входного питающего напряжения и параметров нагрузок) [45]. Такие-бифуркации могут происходить как по мягкому, так и по жесткому сценариям. Жесткий сценарий связан с неединственностью существования? основного и нежелательного стационарных движений, поэтому нежелательные режимы, на стадии проектирования и испытания опытного образца преобразователя выявляются далеко не всегда: Другая особенность заключается в «аномальности» динамических систем с ШИМ, когда лучшие, в определенном смысле, характеристики преобразования могут оказаться вблизи границ-устойчивости [3, 52]. В* этом случае часто приходится идти на компромисс между качеством* и параметрическими запасами по устойчивости [59].

Имеющиеся на рынке программы, входящие в САПР системы, позволяют лишь решать задачу Коши (Multisim, PSPICE, SwitchCad, ASIMEC и другие). Если периодический режим обнаруживается с помощью решения1 задачи Коши, то он автоматически оказывается устойчивым в малом, но при этом выводов по устойчивости в целом сделать не возможно.

Основы теории исследования устойчивости были заложены A.M. Ляпуновым, а метод исследования устойчивости в целом называется второй (или прямой) метод Ляпунова. Суть метода заключается в нахождении функций, определенных на пространстве состояний динамической системы, называемых функциями Ляпунова [4]. Применительно к ключевым стабилизированным преобразователям развитие метода Ляпунова пошло двумя основными путями. Идеи, на которых основана первая группа методов, опубликованы в работах А.И. Лурье и В:Н. Постникова применимы для систем с одной безынерционной нелинейностью. Они предложили находить функции Ляпунова в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности [5]. Такой подход позволяет получать критерии "абсолютной устойчивости" при соблюдении определенных ограничений на свойства нелинейного элемента. Известны работы [6] и [7], в которых в качестве безынерционной нелинейности' использовался "фиктивный диод" и были получены критерии абсолютной устойчивости для5 понижающего преобразователя с ШИМ: Этот подход детально анализируется в главе два, где ему посвящен отдельный раздел. Другая, группа подходов базируется на частотных методах исследования устойчивости. Необходимый' критерий абсолютной устойчивости был предложен М.А. Айзерманом, а достаточное условие абсолютной устойчивости - В.М. Поповым [5]. Однако практическое применение частотного анализа систем регулирования с ШИМ ограничено их ключевой природой' функционирования, т.е. минимальным временем реакции системы, которое по понятным причинам не может быть меньше периода квантования ШИМ - Тд, поэтому частотные методы, применяемые как для анализа, так и для синтеза в частотной' области /а~1 где /а -частота, на которой выполняется анализ, являются сомнительными, или, во всяком случае, требуют строгих альтернативных методов проверки. По-этой же причине частотные характеристики импульсных систем, регулирования при условии /с~1/7? часто получают приставку "псевдо", то есть называются-«псевдочастотными» [8].

За 30 лет, прошедших с момента оформления направлений, было написано большое количество работ, во- многом развивающих «критериальный» подход в одном из обозначенных направлений или в, их комбинации (например, [9]). Типичный «критериальный» метод анализа формулируется примерно следующим образом: «Динамическая система устойчива в целом, если определенный функционал (функция Ляпунова), зависящая от модели, ее параметров и параметров метода будет, меньше нуля-при частоте, изменяющейся в диапазоне от нуля до плюс бесконечности» [7,9]. При этом часто не ясно, как проверить такой функционал вычислительными методами, насколько сложна и затратна окажется такая проверка.

Среди профессиональных средств проектирования, эксплуатирующих наработки последних десятилетий, одним из наиболее известных решений является Control System Toolbox пакета MathLab [34], который в основном использует линеаризованные модели и частотные методы, малопригодные для строго анализа замкнутых систем с широтно-импульсным' регулированием.

Альтернативой «критериальному» подходу может стать v «вычислительный», целью которого является нахождение баланса между доступной вычислительной- производительностью, сложностью аналитических преобразований и точностью-расчета, который и* развивается в данной работе.

Решения проблемы устойчивости в целом в форме готовых пакетов» программ, эффективно выполняющих строгий анализ устойчивости в целом, при минимизации- вычислительных затрат для ШИМ преобразователей не известны.

Наряду с созданием таких решений актуальным также является^ переход от автоматизированного к автоматическому проектированию, для* чего необходим анализ качества динамики в условиях вариации параметров. Другим важным направлением является создание самонастраивающихся или адаптивных систем стабилизации - способных автоматически управлять внутренними параметрами при' фиксированной структуре силовой части и блока управления.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является разработка эффективных, с точки зрения вычислительных затрат, методов^ анализа устойчивости в целом стабилизированных преобразователей' с широтно-импульсной модуляцией для исключения их функционирования в хаотических или субгармонических режимах и решения задач по их автоматизированному проектированию.

Методы исследования. Исследования проводились методами математического моделирования и физического моделирования' с использованием, лабораторного макета преобразователя. Математические модели были-представлены в виде отображений Пуанкаре. Методы анализа устойчивости базировались на втором методе Ляпунова. Численные расчеты? выполнялись на ЭВМ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получены точные картины' трансформаций,замкнутого ограниченного множества начальных условий отображением Пуанкаре для стабилизированных преобразователей понижающего типа с ШИМ;

- показано экспоненциальное нарастание сложности геометрической» границы таких множеств с ростом номера- шага отображения Пуанкаре, которое вызвано.нелинейной динамикой*стабилизаторов;

- предложено в качестве функции Ляпунова рассматривать норму, характеризующую геометрический! размер трансформирующихся множеств, начальных условий для исследования устойчивости в целом;

- показано, что - замедляющаяся скорость убывания размера сжимающегося множества начальных условий позволят сделать заключение о возможности выхода на нежелательные динамические режимы при-изменениях внешних параметров;

-установлено, что в пространстве начальных условий имеется как минимум четыре1 области - две области насыщения, линия разрыва и область, регулирования - без» учета влияния которых невозможно достоверно проанализировать устойчивость в целом.

Практическая? ценность полученных результатов заключается; в; следующем:

-Предложенные алгоритмы и методы оценки и анализа устойчивости в целом- позволяют сократить - время и . затраты на . проектирование стабилизированных преобразователей.

- Новые методы исследования устойчивости: позволяют исключить функционирование проектируемых: стабилизаторов в субгармонических и хаотических режимах, что, в свою очередь, повышает качество и*надежность/ таких преобразователей:

- Предложенные методы ' позволяют определить. нарушение устойчивости как по мягкому, так и по жесткому сценарию.

-Программное обеспечение, созданное: в ходе выполнения диссертационной: работы, может быть встроено в пакеты автоматизированного проектирования? на определенных этапах; проектного пути для анализа устойчивости-: в целом; и оценки максимальной; продолжительности переходных1 процессов^

Основные положения, выносимые на защиту: а) из-за наличия в пространстве*. состояний четырех областей с. существенно отличающейся динамикой^ строго проанализировать, устойчивость в целом преобразователей с ШИМ возможно лишь применяя численно-аналитические и алгоритмические методы;, б) для анализа» устойчивости в целом стабилизированных; преобразователей с широтно-импульсной модуляцией достаточно рассмотреть последовательность преобразований замкнутого ограниченного множества--начальных условий: математической моделью стабилизатора? в; форме отображения Пуанкаре, если-; такая последовательность, сжимается^ в точку с ростом шага отображения, то преобразователь устойчив в целом; в) скорость убывания размера трансформирующегося множества начальных условий может использоваться для оценки продолжительности наиболее длительного переходного процесса в стабилизированных преобразователях с широтно-импульсной модуляцией; г) упрощение границ трансформирующегося множества начальных условий выпуклым.многоугольником'ускоряет анализ,устойчивости в целом при минимальной потере точности.

Реализация результатов работы. Результаты работы в виде методов,, алгоритмов-, и программного обеспечения для5 анализа устойчивости используются; в производственной деятельности предприятия ООО «Магнит М» в процессе проектирования источников питания= при выборе параметров-модуляции, синтезе звеньев цепей обратной связи; ООО «Томск Софт» при-создании программного обеспечения, предназначенного для анализа систем электронной техники, а также в учебном, процессе Томского* государственного университета систем управлениями радиоэлектроники при подготовке магистрантов по направлению 210100 «Электроника и микроэлектроника» по дисциплине «Системы автоматизированного проектирования электронных схем».

Апробация« работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры Промышленная'электроника ТУ СУР (Томск, 09 ноября 2010г.); на всероссийских научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (Томск, 4-7 мая 2010г.; 5-8-мая 2008г. и 18-20 мая 2004г.); Ежегодной научно-практической конференции «Итоги научно- исследовательских работ и курсового проектирования студентов 1-4 курсов кафедры ПрЭ» (Томск, ТУСУР, 26-27 февраля- 2009г.); на Шестой международной . научно-практической г конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технологии» (Томск, ТПУ, 2000г.); на региональной научно-технической конференции «Радиотехнические и информационные системы и устройства» (Томск, ТУ СУР, 1999г.); на 9-ом межотраслевом совещании «Проблемы и перспективы развития Томского нефтехимического комбината» (Томск, ТНХК, 1995г.).

Публикации. Результаты выполненных исследований отражены в восьми печатных работах, в том числе двух статьях в периодических изданиях из перечня ВАК [13, 40].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 73 наименования, и двух приложений. Диссертация содержит 112 страниц машинописного текста, 49 рисунков.

Выводы. Проведенные эксперименты качественно подтвердили; результаты моделирования:. Однако, были случаи, особенно при значительно : увеличенном* значении« емкости конденсатора выходного фильтра; когда сложные субгармонические или хаотическиедвижениянамакетеобнаружить не удалось,: хотя: математическая модель, допускала возможность их. существования: Физические: эксперименты позволили сформулировать» нижеследующие примечания.

Примечание 1. Для того, чтобы неединственность устойчивых движений; оказалась обнаруживаемой в эксперименте с помехами; необходимо, чтобы она обладала «достаточно большой» величиной области; притяжения, поэтому обнаружить такие движения на фоне сетевых помех не всегда представляется возможньш.

Примечание 2. Сложные т-цикловые периодические режимы, как известно,, обладают повышенной чувствительностью к вариациямпараметров,5 и имеют узкие параметрические области существования. Поэтому обнаружить такие движения путем воздействия на объект случайных помех также не всегда представляется возможным. .

Примечание 3: Если? математическая модель совместно с алгоритмом анализа устойчивости в целом уже не гарантирует устойчивой, работа; но в тоже: время; с помощью; физического эксперимента не удается обнаружить аномальные режимы, то от использования стабилизатора- с. таким набором параметров все равно следует, отказаться. Поскольку в этом случае существует значительная; вероятность возникновения^ субгармонических- или хаотических режимов; в результате малых вариаций внешних параметров или синхронизации динамики стабилизатора с: окружающими; системами; находящимися? на стороне потребителя энергии- или связанными со стабилизатором по входному питающему напряжению.

5 Заключение

В работе рассмотрены проблемы определения устойчивости в целом стабилизированных преобразователей с ШИМ регулированием. Показано, что динамику широкого класса стабилизаторов в области частот, где существенно влияние обратной связи, можно представить одно- двух- или трехмерными моделями в виде отображения Пуанкаре, что делает их динамику доступной для анализа предлагаемыми алгоритмами на основе трансформаций множеств начальных условий в пространстве состояний.

Нарушения динамики вследствие изменения параметров случаются по двум возможным сценариям мягкому и жесткому. При этом алгоритмы, предложенные в настоящей диссертационной работе, позволяют обнаружить любой из этих сценариев.

Созданное в рамках выполнения диссертационной работы программное приложение позволяет с минимальными вычислительными затратами выполнять анализ устойчивости в целом произвольных моделей размерности один и два.

Развитие предложенной в работе методики открывает путь к автоматическому анализу и выбору параметров нелинейных систем управления такого вида.

Переход к размерности три потребует перевода ядра программы от двумерных полигонов к 3(1 фигурам с использованием библиотек, выполняющих булевы операции в 3с1 и 3с1 визуализацию.

1. Баушев B.C. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием /

2. B.C. Баушев., Ж.Т. Жусубалиев // Электричество; 19921 №8.

3. Баушев B.C. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием / B.C. Баушев, Ж.Т. Жусубалиев, С.Г. Михальченко // Электричество, 1996. № 3. - С. 47-53.

4. Зубов В.И» Теория уравнений управляемого движения / В.И. Зубов — Изд-во Ленинградского ун-та, 1980.— 286 с.

5. Душин С.Е. Теория автоматического управления: учебное пособие /

6. C.Е. Душин, Н.С. Зотов, Д:Х. Имаев. Москва : Высшая школа, 2003. - 767 с.

7. Беркович Е.И. Устойчивость в целом замкнутой системы регулирования с широтно-импульсным преобразователем / Е.И. Беркович // Электричество, 1985. — № 7.

8. Белов Г. А. Д инамика импульсных преобразователей / Г. А. Белов. -Чебоксары : Чуваш, ун-та, 2001. 528 с.

9. Тонкаль В.Е. Вентильные преобразователи переменной структуры /

10. B.Е. Тонкаль, B.C. Руденко, В.М. Жуйков. — Киев: Наукова Думка, 1989. — 336с.

11. Зорич В.А. Математический анализ, часть I. / В.А. Зорич // М.: Физматлит, 1984. 544 с.

12. Колмогоров А.Н. Элементы теории множеств / А.Н.Колмогоров, C.B. Фомин // Элементы теории функций и функционального анализа : 3-е изд. -М.: Наука, 1972.-256 с.

13. Нелинейная динамика полупроводниковых преобразователей* / А.В. Кобзев, Г.Я. Михальченко, А.И Андриянов, С.Г. Михальченко. — Томск: Томск, гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2007. 224 с.

14. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л:С. Понтрягин. М: Наука, 1974.

15. Гелиг А.Х.;. Устойчивость» нелинейных систем с неединственным состоянием: равновесия / А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович. М.: Наука, 1978. -400 с:

16. Гелиг А.Х. Об устойчивости в целом систем с импульсным воздействием / А.Х. Гелиг, А.Н. Чурилов // Дифференциальные уравнения, 1997,-№6;-С. 748-753.

17. Беркович Е.И. Устойчивость замкнутой системы, автоматического? регулирования однофазного инвертора с самовозбуждением / Е.И. Беркович //Электричество^ 1990:-№2. ,

18. Зубов В.И.; Теория уравнений управляемого движения / В .И. Зубов.- Изд-во Ленинградского университета, 1980. 286с.

19. Барбашин Е.А. Функция Ляпунова / Е.А. Барбашин. М.: Наука,1970.

20. Гелиг А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей / А.Х. Гелиг. Л.: Изд. ЛГУ, 1982:

21. Шипилло В.П. Устойчивость замкнутой системы с широтно-импульсным преобразователем! / В.П. Шипилло, И.И: Чикотилло // Электричество, 1978. — № 1.

22. Кобзев Г. А. О классификации методов управления / Г.А. Кобзев, Д.А. Савин, Ю.Н. Тановицкий // Доклады Томского государственного университета систем управления и .радиоэлектроники, 2008. №1(17). — С. 53-55.

23. К* расчету локальной устойчивости периодических режимов в импульсных системах автоматического регулирования / B.C. Баушев, Ж.Т. Жусубалиев, Ю.В. Колоколов, И.В. Терехин. — Автоматика и-телемеханика, 1992. — № 6.

24. Мидлбрук Р.Д. Малосигнальное моделирование ключевых усилителей мощности с широтно-импульсным регулированием / Р.Д. Мидлбрук // ТИИЭР. Энергетическая электроника : Под ред. В.А. Лобунцова, 1988, т. 76. - № 4.

25. Н'.Н.С. Iu and С.К. Tse: Bifurcation Behavior in Parallel-Connected Buck Converters // IEEE Transactions Circuits Syst. I, vol. 48, Feb. 2001. -pp. 233-240.

26. Очкова В.Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров : русская версия / В.Ф: Очкова. СПб.: BHV, 2009: - 512 с.

27. Глебов А.Л. Актуальные проблемы моделирования в системах автоматизации схемотехнического проектирования : Под ред. А. Л. Стемпковского / А.Л. Глебов, М.М. Гурарий, М.М. Жаров: Москва : Наука,2003.-430 с.

28. Андронов A.A. Грубые системы / A.A. Андронов, JI.C. Понтрягин. -Москва,: ДАН СССР, 1937. 247 с.

29. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И.1 Стюарт. — Москва: Мир, 1980. 610 с.

30. Обрусник В.П. Теория и практика оптимального расчета магнитных элементов / В.П. Обрусник. Томск : ТУ СУР, 2009. - 42 с.

31. Обрусник В.П. Оптимальная геометрия магнитных элементов электронных устройств / В.П: Обрусник. Томск : ТУ СУР, 2009. - 52 с.

32. Баушев B.C. Нормальные структуры устройств преобразования электрической» энергии и, автоматизации проектирования. Проблемы преобразования электроэнергии / B.C. Баушев, A.B. Кобзев, Г.Я. Михальченко Москва: МЭТ, 1993. - 38 с.

33. Холодниок М., Методы анализа нелинейных математических моделей / М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. М. : Мир, 1991. — 368 с.

34. Колоколов Ю.В. Синтез« регуляторов импульсных преобразователей энергии с применением теории бифуркаций / Ю.В. Колоколов, П.С. Устинов, А.П. Шолоник // Электричество, 2008. Т. 11. - С. 49-56.

35. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н.Т. Кузовков. -М.: Машиностроение, 1976.

36. Селяев А.Н. Электромагнитная совместимость устройств промышленной электроники : Учебное посбие / А.Н. Селяев Томск : ТУ СУР, 2007. - 245 с.

37. Баушев B.C. Нормализация структуры стабилизатора напряжения с ШИМ / B.C. Баушев., Ä.B. Кобзев, Ю.Н. Тановицкий // Техшчна електродинампса: Тематичний випуск : Пробеми сучасшл електротехшки, 2000.-Т. 8.-С. 59-64.

38. Сазонов В.В. Курс теории автоматического управления : учеб. Пособие /В.В. Сазонов. Москва : Наука, 1986. - 616 с.

39. Первозванский A.A. Чувствительность грубость и эффективность адаптации / A.A. Первозванский // Техническая кибернетика, 1992. — Т. 6. — С. 30-41.

40. Бутенин Н.В., Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, H.A. Фуфаев Москва : Букинист, 1976. - 384 с.

41. Арнольд В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. — Москва : Наука, 1990.-312 с.

42. Гласс JI. От часов к хаосу : Ритмы жизни1: Пер. с англ. / JI. Глас, М. Мэки. Москва : Мир, 1991.-248 с.

43. Бессонов JI.A. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учебник : 7е изд. перераб: и дополненное / Л.А. Бессонов. Москва : Высшая школа, 1978. - 528 с.

44. Чуа Л.О. Машинный анализ электронных схем : Алгоритмы и вычисл. Методы / Л.О. Чуа, Пен-Мин Лин. Москва : Радио и связь, 1990. - 272 с.

45. Калабеков Б.А. Методы автоматизированного расчета электронных схем в технике связи / Б.А. Калабеков, В.Ю. Лапидус, В.М. Малафеев. — Москва: Радио и связь, 1990. — 272 с.

46. Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств : Учебное пособие / A.A. Головков, О.В. Алексеев, Г.Г. Чавка и др. — Москва : Высшаяшкола, 2000. 479 с.

47. Сигорский В.П. Алгоритмы анализа электронных схем : Изд. 2-е, перераб. и дополнен. / В.П. Сигорский, А.И. Петренко. — Москва : Сов. радио, 1976. 608 с.

48. Бахвалов Н.С. Численные методы : 8-е изд. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.Г. Кобельков Москва : Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 624 с.

49. Гладышев С.П. Динамика дискретно управляемых полупроводниковых преобразователей / С.П. Гладышев, В.Б. Павлов. — Киев : Наукова думка, 1983.-224 с.

50. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, X. Джонсон. -М. : Мир, 1989.

51. Лоскутов А.Ю. Основы теории сложных систем / А.Ю. Лоскутов, A.C. Михайлов. Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2007. — 620 с.