автореферат диссертации по транспорту, 05.22.14, диссертация на тему:Динамика развития предотказового состояния объектов эксплуатации воздушного транспорта и разработка рекомендаций по продлению сроков их работоспособности

УДК 396.96.

На правах рукописи

НЕДЕЛЬСКИЙ МИХАИЛ НИКОЛАЕВИЧ

ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ ПРЕДОТКАЗОВОГО СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА И РАЗРАБОТКА РЕКОМЕНДАЦИЙ ПО ПРОДЛЕНИЮ СРОКОВ ИХ РАБОТОСПОСОБНОСТИ

05.22.14 - Эксплуатация воздушного транспорта

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2009г.

003481310

Работа выполнена на кафедре «Технической эксплуатации радиоэлектронных систем воздушного транспорта» Московского государственного технического университета гражданской авиации (Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования)

Научный руководитель Заслуженный деятель науки и техники РФ,

профессор, доктор физико-математических наук

Козлов А.И.

Официальные оппоненты профессор, доктор технических наук

Зубков Б.В.

доцент, кандидат технических наук

КопцевАЛ.

Ведущая организация Гос НИИ гражданской авиации

Защита диссертации состоится «__»_ 2009г. на заседании

диссертационного совета Д 223.011.01 при Московском государственном техническом университете гражданской авиации по адресу ГСП-3, Москва, 125993, А-493, Кронштадтский бульвар 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУГА.

Автореферат разослан «_»_2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 223.011.01 профессор, доктор технических наук г-—Кузнецов С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Значительная часть проблем и задач, стоящих перед гражданской авиацией России, так или иначе, связаны с тем, что большинство из находящихся сегодня на эксплуатации воздушных судов давно выработало установленный им при изготовлении свой срок летной эксплуатации и находятся в состоянии «продленного ресурса», что дает все основания в очень многих случаях говорить о предотказовом в широком смысле этого слова состоянии эксплуатируемой техники. Сказанное в равной мере относится и к бортовому, и к наземному оборудованию, обеспечивающему полет воздушных судов и его сопровождение. Естественный износ и деградация практически всех систем, узлов и элементов авиационной техники, вызванный их старением, породили ряд принципиально новых теоретических и практических задач, связанных с динамикой предотказового состояния и ее влиянием на работоспособность этих систем, т.е. в конечном счете, на безопасность полетов воздушных судов. С перечисленным кругом задач приходится сталкиваться не только в технике, но и в далеких от нее областях таких, как медицина, биология и т.д. Совершенно очевидно, что сложность проблемы не дает надежды в обозримом будущем даже предположить возможность разработки некой единой общей универсальной теории поведения эксплуатируемых, в широком смысле этого слова, технических систем и особенно тех из них, которые находятся в предотказовом состоянии. Именно поэтому еще очень долгое время решение рассматриваемой проблемы будет связано с разработкой новых частных методов и подходов, направленных на получение конкретных рекомендаций, пригодных для применения на конкретной технике в конкретных условиях. Сказанное определяет актуальность настоящей работы, целью которой является разработка статистических методов анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта, определения статистических закономерностей этого процесса и разработка рекомендаций по продлению сроков их работоспособности.

Поставленная цель достигается путем решения следующих основных задач-.

1.Разработки методов анализа предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Разработки вероятаостно-статистических и

квазидетерминированных моделей для анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации

3.Определения основных статистических закономерностей развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации

4.Анализа динамики предотказового состояния совокупности и отдельных элементов объектов эксплуатации

5.Оценки предотказового состояния элементов объектов эксплуатации

б.Разработка принципов расчета характеристик элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта на этапе их разработки.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1.Определены статистические закономерности развития предотказового состояния объектов эксплуатации.

2.Разработаны вероятностно-статистические модели развития предотказового состояния, представленного в виде набора дискретных переходов с уровня на уровень

3.Показана возможность использования квазидетерминированных моделей для описания предотказового состояния объектов эксплуатации.

4.0пределена зависимость вероятности нахождения элементов объектов эксплуатации в работоспособном состоянии от времени при различном характере развития их предотказового состояния.

5.Определены статистические характеристики времени работоспособности элементов объектов эксплуатации при различном характере развития их предотказового состояния.

Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты позволяют:

1 .Проводить статистическое описание развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Вырабатывать рекомендации по определению эксплуатационных характеристик элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта на этапе разработки.

3.Погнозировать развитие предотказового состояния отдельных элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

б.Оценивать вероятность нахождения элементов объектов эксплуатации в работоспособном состоянии во времени при различных характерах протекания процесса эксплуатации.

7.0ценивать время работоспособности элементов объектов эксплуатации.

На защиту выносятся методы анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта и вытекающего из этого анализа рекомендации по продлению их ресурса.

Внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в Московском конструкторском бюро "Компас", а также в учебный процесс Московского государственного технического университета гражданской авиации, что подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на Международных научно-технических конференциях "Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники, общества" (Москва, 2006, 2008г.), а также на межкафедральных научных семинарах в Московском Государственном техническом университете гражданской авиации (2007-2009г.г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 работы (все в изданиях, определенных ВАК РФ для публикации материалов диссертаций).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первый раздел работы посвящен общему анализу развития предотказового состояния объектов эксплуатации воздушного транспорта и разработке на его основе соответствующих математических моделей этого процесса.

В начале раздела приводится краткий обзор влияния состояния основных объектов эксплуатации воздушного транспорта и их узловых элементов на обеспечение безопасности полетов воздушных судов и приводятся некоторые статистические данные, связывающие между собой количество отказов (на примере отдельных элементов и устройств эксплуатируемого оборудования) и отношения времени наступления отказа от момента «продления ресурса» к установленному времени наработке на отказ.

Поскольку параметры объектов эксплуатации воздушного транспорта, их устройств и элементов, находящихся в предотказовом состоянии случайно изменяются во времени, они должны рассматриваться как некоторые случайные процессы (функции). При построении соответствующих моделей таких процессов необходимо чтобы, с одной стороны, они достаточно полно отражали основные особенности и свойства реальных процессов, а с другой, - допускали сравнительно простое выявление закономерностей, выполнение преобразований и толкование полученных результатов.

Простейшая модель в виде стационарного эргодического процесса оказывается приемлемой в достаточно ограниченных случаях, например при описании характера изменения частоты гетеродина, температуры аппаратуры, ускорения вибраций, наблюдаемых на воздушных судах и т.п. Чаще всего процессы изменения во времени параметров системы, находящейся в предотказовом состоянии, являются сугубо нестационарными. Такие процессы можно представить в виде

некоторой случайной сглаженной кривой Хтоп({), на которую наложены

быстрые флуктуационные изменения Х^), т.е. = Хтоп (?) + X^ (г).

Проведенный в работе анализ реальных процессов изменения значений параметров объектов эксплуатации воздушного транспорта, находящихся в предотказовом состоянии, показал, что во многих случаях роль флуктуаций невелика. Случайность протекания процесса определяется не наличием флуктуаций, а тем, что сглаженные реализации, не имеющие

флуктуаций, протекают случайно и у каждого экземпляра их протекание различно. Узловым моментом является соотношение между интервалом корреляции и временем наблюдения /дг. Если т^ «/дг, то

независимые отклонения быстротечны и имеют характер флуктуаций. Если соизмеримо с Гдг, то отклонения от среднего, наблюдаемые в какой-то момент времени, в основном или достаточно часто сохраняют свой характер на значительной части интервала /дг и их проявления не похожи на флуктуации. Если отклонения оказываются еще более медленными, т.е. > /дг, то их проявления перестают восприниматься как флуктуации и приобретают такой характер, когда реализации монотонны и случайность процесса проявляется в случайности протекания сглаженной или монотонной составляющей в смысле случайного характера ее отклонения от среднего, но сохраняющегося в основном в течение всего времени наблюдения.

Монотонный характер реализаций и относительно незначительный уровень флуктуаций позволил в принципе изменить методику описания и исследования изменения параметров объектов, находящихся в предотказовом состоянии, перейдя к использованию квазидетерминированных моделей.

Монотонный характер реализаций дал возможность использовать гипотезу проф. Пестрякова В.Б. о том, что каждая из 7-ой реализации может быть с достаточной для практики точностью представлена в виде единой для каждой из /-ой реализации некоторой функцией лг^(/)= содержащей случайные коэффициенты

и представляющей собой квазидетерминированную модель процессов динамики развития предотказового состояния объектов эксплуатации воздушного транспорта. Ее использование дало возможность всю совокупность возможных протеканий процесса развития предотказового состояния за длительное время выразить в виде некоторой квазидетерминированной функции. При этом отпала надобность в вероятностном описании совокупности значений в множестве точек в моменты /[,/2—. которое теперь может проводиться на основе плотности распределения вероятностей конечного числа коэффициентов ,а2,...,ат). В работе показывается, что для описания развития предотказового состояния целесообразно использовать следующие квазидетерминированные модели:

-линейную х(/) = а0 -щг в случае простого накопления необратимых изменений (линейный износ);

-квадратичную х(г)= ао -а^-^2 в слу4^ когда, помимо простого накопления необратимых изменений, имеются ускоряющие (замедляющие) факторы;

-логарифмическую в случае, когда имеет место

факт перехода из более напряженного режима работы в менее напряженный;

-экспоненциальную х(?) = д0-й1(1-е~О2') в случае, когда оборудование (его элементы) переходят из неравновесного состояния, возникшего при изготовлении, в равновесное.

В работе, опираясь на линейную квазидетерминированную модель, получено выражение для плотности распределения вероятностей ТУ^^^р] времени достижения параметром своего граничного

значения и разницей между начальным значением параметра х и его предельным значением х^, т.е. Ах^г

-А

Ах

асч'кг

аа1^2тг

параметра а\ линейной модели к его среднеквадратичному значению.

, где V =—- - отношение м.о.

Введя нормированное время

.Ах

т.

выражение для

«1

плотности распределения нормированного времени отказа объекта, будет иметь вид:

■) (

ехр

1

■1

&

Полученное выражение дает

возможность представить вероятность надежности работы на интервале

времени от нуля до Г в виде р(в„,х„)= 1 - Г

"а,

1

-1

V

, где .р(х) -

интеграл Гаусса. Соответственно находятся числовые характеристики для 6„ и х~г, которые имеют вид т} (б^,х-) = 1 + , £>(б ~,х~) = .

V V

а. "а\

Интенсивность отказов при дрейфе параметров определяется как:

-Jlittfgr

exp-

l£L|_I

2 e

gr

/h-F

"01

—l

Изложенные результаты рассматривались применительно к постепенным отказам, т.е. к случайным параметрам, для которых достаточно просто получить количественные характеристики и осуществлять контроль.

Для внезапных отказов функции теряют смысл, т.к.

предполагается, что параметр, скрытый, и его контроль затруднен. Результаты деградации проявляются в том, что при достижении граничного значения происходит разрушение элемента (пробой, обрыв, замыкание и т.п.), которое явно проявляется в неработоспособности элемента, а поэтому представляют интерес такое понятия, как время безотказности (износового отказа) /¡2 и его вероятностное описание:

Для внезапных отказов функцию распределения удобно нормировать

относительно т.е. 0(z

IF(8„) =

;D(e„) = Ai тогда

exp

Интенсивность внезапных отказов, будет равна:

\2~

1

/2*е^(уеХР] 2 D(Qi2)

1

—-1

>/1-F

-1

Как видно, для внезапных отказов X(9,z) является функцией времени.

Пользуясь полученными результатами, в работе обосновывается выбор интервала времени замены элементов (устройств) и время между профилактическими регулировками при заданной вероятности времени безотказной работы.

В работе проводится сопоставление полученных результатов с широко используемой процедурой вычисления вероятности внезапного отказа с использованием X - характеристик, где чаще всего предполагается Х = const. В этом случае с учетом введенной выше нормировки будет

Как видно, в предположении, что Х = const, теряет смысл замена элементов и подрегулировки при профилактических работах. Поскольку

постепенные отказы играют заметную роль при эксплуатации систем и устройств воздушного транспорта, поэтому использование методики, основанной на предложении, что Х = const, при описании, расчетах и исследованиях эксплуатационных свойств аппаратуры является достаточно ограниченным.

Во многих работах, рассматривающих закономерности внезапных отказов при наличии деградации и постепенных отказов при дрейфе параметров для W(tiz) или Wlt^yX^j, рекомендуется использование

нормального закона. В работе показано, что закон распределения времени до отказа или времени достижения границы, полученный из анализа процессов деградации, существенно отличается от нормального, особенно при больших дисперсиях, а поэтому нормальный закон может рассматриваться лишь как первое приближение.

Следующий круг задач касался анализа динамики развития предотказового состояния объектов эксплуатации воздушного транспорта. В работе предлагается общий подход к расчету характеристик объектов эксплуатации воздушного транспорта и его элементов на этапе разработки. Этот подход опирается на возможности, связанные с использованием квазидетерминированных моделей. Считаются известными функциональные зависимости, устанавливающие связь между первичными Xj и выходным параметром у, (они могли быть получены аналитически или из опыта), т.е. известно преобразование y = f(xi,...xi,...xic). Такие зависимости или расчетные формулы широко используются при выполнении обычных расчетов. Бели xi рассматривать как случайные величины или случайные функции -» Зс, (/), то прямой расчет оказывается невозможным, так как известны не сами значения xt или х,(/), а лишь их функции распределения W(xi,...xh...xit) или W(xb...xh...xk,t), Кроме того, при случайных дг,- параметр у также оказывается случайным, а поэтому необходимо искать не его конкретное значение, а его вероятностные характеристики W(у), т1 (у) и D{y) или JV(y,t\ m{(y,t) и D{y,i). В работе предлагается для расчета искомых характеристик объектов эксплуатации использовать одну из квазидетерминированных моделей, в частности, линейную, считая xi(/)=x/0(l + al/i) и предполагая, что числовые характеристики случайной величины аХ1- - pr(aj; ), Ш|(ал ) и D{axj) известны. Показывается, что с достаточной для инженерных расчетов точностью выходной параметр также может описываться при помощи линейной квазидетерминированной модели >■(?) = + ay), а

искомые числовые характеристики выходного параметра определяются

при помощи соотношений Тдг,0/П1(а„)—к и

Уом Л,1 ,0

1 к (\ ^ 0\а.у)= — ^ х^О(аХ1 * ——I д.,0 .Поскольку ау получается в результате

Уо /=1 V"*/ ' )

суммирования, можно ожидать, что имеет тенденцию к

нормализации. Знание найденных числовых характеристик ти](ау) и

Е>(ау) полностью определяет квазидетерминированную модель, что дает

возможность на сновании полученных в первом разделе настоящей работы результатов выполнить расчет всех вероятностных характеристик объектов эксплуатации воздушного транспорта для процесса у^), и принять решение о приемлемости результатов или о необходимости доработки схемы, конструкции и используемых элементов, не проводя затрат на разработку чертежей, изготовление и испытание устройств.

Оценка развития предотказового состояния напрямую связана с оценкой значения процесса через время 1рг, полученной по результатам его изменение за время от нуля до т.е. по совокупности значений параметра Ошибка прогноза Ъхрг характеризуется его дисперсией о\рхрг^рг). Как известно, процедура получения минимального значения этой величины сопряжена с большими, зачастую непреодолимыми, математическими трудностями, что делает использование классических методов оптимальных оценок весьма проблематичным. В работе показывается, что использование для этой цели квазидетерминированных. моделей, хотя и не дает оптимальных оценок, тем не менее, в силу относительной простоты их использования приводит к достаточной для инженерной практики точности. Процедуры прогнозирования, основанные на квазидетерминированных моделях, как об этом уже говорилось выше, исходят из того, что задача сводится к оценке поведения всего 2-3 коэффициентов. Анализ развития безотказового состояния на основе квазидетерминированных функций сводится в основе своей к поиску удачных квазидетерминированных моделей и разработке методов возможно более точной оценки коэффициентов за ограниченное время наблюдений. Для уменьшения влияния флуктуаций и случайных ошибок измерений следует перейти к измерению во многих точках , 12.....При увеличении количества

измерений усложняются расчеты. В то же время, из-за того, что имеет место сильная корреляция во флуктуационных отклонениях, то отсчеты, взятые через малые интервалы времени, могут не содержать новой информации, а поэтому не будут улучшать точность оценки. Обычно отклонения за счет флуктуации больше, чем случайная составляющая ошибок измерений. В работе показывается, что измерения целесообразно проводить через интервал, равный интервалу корреляции флуктуаций Д/А = при этом общее число замеров будет ¡ф=В. Для того,

чтобы использовать при оценке все Я измерений, можно воспользоваться разными методами, например, методом наименьших квадратов или вычислением средней оценки. В работе на примере линейной модели с одним случайным коэффициентом а( анализируется влияния числа В на дисперсию ее оценки и показывается, что дисперсия усредненной оценки

Я

при постоянной дисперсии флуктуаций будет равна 0(а1Я )^1/п2, где

В{а\н)~ Дисперсия оценки в последней точке наблюдения ? = Увеличение интервала наблюдения ¡ц т.е. увеличение числа В, увеличивает точность, но приводит к большей продолжительности измерений и потому может оказаться нежелательным. В работе показывается, что на точность прогнозирования влияет не только точность определения коэффициентов в квазидетерминированной модели, но и соотношение между /д- и 1рг. Чем больше их отношение, тем больше

будет ошибка прогнозирования.

Для выявления основной закономерности взаимосвязи между

и эффективностью прогнозирования, которая характеризуется соотношением между дисперсией при отсутствии прогнозирования и дисперсией прогнозируемого значения 0[^>хрг,1рг), в работе используется

линейная модель и показывается, что

о{Ъхрг,1рг)~ /'//^г/'//У, а эффективность прогнозирования

определяется в{х,1рг)!о{Ьхрг,1рг)= (о(х,(рг)/о{Ьхк^))(?я/)(?я/^. Если в качестве примера взять 0[5хрг,1рг)=1000;

!т.щ = 10 и Гя/^ = 0,1, то получается, что прогноз позволяет в 10 раз улучшать точность оценки (среднеквадратическое отклонение) значение параметра на / = 1рг.

В работе показывается, что методика прогнозирования, основанная на использовании квазидетерминированных моделей, значительно проще, чем основанная на методах статистических оценок и решений, однако она не оптимальна, а ее эффективность ниже. Тем не менее, чем меньше сказываются флуктуации, тем эффективность методов, основанных на квазидетерминированных моделях, ближе к оптимальной.

Исследования, проведенные во втором разделе были направлены на выявление и анализ общих статистических закономерностей собственно динамики развития предотказового состояния объектов эксплуатации воздушного транспорта (ОЭ), состояние которых последовательно переходит или имеет тенденцию на движение по циклу исправное-работоспособное-неработоспособное, для чего в качестве первого шага были разработаны некоторые достаточно общие принципы моделирования таких процессов.

В общем случае состояние ОЭ описывается набором конечного числа параметров (их совокупность образует вектор

9(<71>'72---<7л,)> что соответствует некоторой точке в Л^-мерном пространстве). Динамику предотказового состояния в этом пространстве можно отобразить некоторой монотонной кривой /(</') = 0, а предельное значение вектора при котором ОЭ переходит в неработоспособное состояние, - кривой = 0.

Для произвольного момента времени / значения д] представляют собой случайные величины, описываемые некоторыми ПРВ -знания которых дает возможность производить оценки состояния вектора ¿7 и принимать соответствующие управленческие решения. Из общих свойств следует отметить лишь то, что она представляет собой

одностороннюю функцию, т.е. < 0)= 0.

Для определения эволюции ПРВ во времени, т.е. динамику

развития предотказового состояния, проведем следующие рассуждения (поскольку все последующие выкладки относятся к какому-то /-ому параметру, далее вместо qj пишется <7 ).

Пусть в некоторый момент (0 значение д=до- Через достаточно малый промежуток времени А/ новое значение д будет = д0 + 5д0, где 5(70 > 0. При этом, само значение 5д0 является случайной величиной.

Естественно, что вероятность того, что новое значение д = д\ попадет в интервал [<7о><7о+^<7о]> будет больше соответствующей

вероятности для интервала [д0 + 6д0, д0 + 25д0 ] и т.д., т.е.

^ЙР (91)890 -^(32)^0» 4X0 с очевидностью влечет за собой неравенство: о^Ж^^Я^)—, которое вследствие <91 <92-> приводит к выводу о монотонности функции IV (д) с максимумом в точке д = О. В работе в качестве использовались экспоненциальное

распределение, односторонне Гауссовское распределение, Р-распределение и линейная функция.

В работе показывается, что, если в момент времени ¡к ПРВ величины РаВ1[а ^(Чк)' то в связи с развитием предотказового

состояния ПРВ величины ц ~ в момент времени + 5/ будет

определяться выражением: {^ЫИ^кУ?* •

о

Как видно, функция ^(94+1)9*). представляющая собой условную плотность распределения вероятности величины д = при условии, что на предыдущем шаге ее значение было д = ^, играет роль как бы функции перехода за время из одного состояния системы (к-ае состояние) в другое (А+1-ое состояние). Именно эта функция определяет динамику развития предотказового состояния.

В работе проводится анализ полученных закономерностей на примере, хотя простых, но достаточно физически обоснованных частных случаях, опираясь на которые удается проанализировать процесс развития предотказового состояния используя в качестве функций перехода экспоненциальную, Гауссовскую, Фишера - Снедекера и линейную плотности распределения вероятностей.

В общем случае можно выделить две ситуации: либо система предоставлена сама себе и в ней естественным образом развивается предотказовое состояние (свободная система), либо периодически производится контроль состояния, и как следствие принимаются какие-то управленческие решения (восстанавливаемая система) и объект "улучшает" свои характеристики.

В работе проводится детальный анализ развития предотказового состояния объекта эксплуатации, опирающийся на динамику изменения каждой из рассматриваемых функций перехода. Сводные сведения для свободных систем приведены в Таблице 1, а некоторые иллюстрации представлены на рисунках. Обращает на себя внимание, что для всех рассматриваемых случаев характерны примерно те же закономерности.

Это приводит к предположительному выводу об общности таких закономерностей вне зависимости от характера развития предопсазового состояния на микроуровне. Несколько иной характер процесса имеет место при линейной функции перехода, которая с течением времени претерпевает трансформацию от линейной функции через логарифмическую к 5-функции

Дальнейший анализ связан с рассмотрением восстанавливаемых систем, для которых удается получить рекуррентное соотношение для ПРВ значений параметра <7 на А>ом уровне вне зависимости от конкретного вида соответствующих плотностей распределения вероятностей по известной ПРВ на нулевом уровне - Щ)^), т.е. на уровне восстановления системы Полученные соотношения иллюстрировались на примере экспоненциальной и линейной моделей. В обоих случаях удается получить зависимость плотности распределения вероятностей исследуемого параметра от времени с момента проведения управляющего воздействия. Это, в свою очередь, дает возможность получить явные выражения для математического ожидания и дисперсии этого параметра (ввиду громоздкости полученных выражений их явный вид в автореферате не приводится). Иллюстрация полученных соотношений представлена на рисунках.

Для окончательной оценки состояния какого-то объекта эксплуатации воздушного транспорта или его элементов помимо определенных выше числовых характеристик необходимо знать вероятности нахождения значений параметров, характеризующих элементы (систему) в заданных пределах. С этой целью в работе находятся функции распределения этих значений для всех ранее рассмотренных функций перехода. Для экспоненциальной модели искомые вероятности выражаются через обобщенные гипергеометрические функции, а для линейной - через интегральную логарифмическую функцию.

Таблица 1

Основные статистические закономерности при развитии предотказового состояния

Функция перехода Развитие предотказового состояния (эволюция ПРВ) ч

Экспоненциальное распределение %=сою( 1 Ж 1 а, АА ж * ХкГ (к) X кХ \2 к)}

Экспоненциальное распределение Л - случайная величина 1 т=-е х 1 я г ■ 2% п (п+1)Ъ? {п-\У Ги + П2 к(к + п%'

у= ^ " Я.(* + 1) » 1 п ) И-1

Гауссовское распределение К , \ж а 4 Ч! •н

Линейное распределение т _ 2(<1\ г'\ ~ т > % Чо 2 3 1 18 1 (2^ 2к ~Ы

з -2 -1 -

О -

О 0,5 1 1,5 Э

Рис. 1. Плотность распределения вероятностей времени наступления постепенного отказа

ДМ

0,75 0,5 0,25

0 0,5 1 1,5

Рис.2. Вероятность наступления постепенного отказа

Третий раздел работы посвящен исследованию динамики предотказового состояния в свободных и восстанавливаемых объектах эксплуатации воздушного транспорта применительно к совокупности элементов объекта эксплуатации (многопараметрический случай).

В общем случае прекращение функционирования системы наступает не только тогда, когда один из описывающих ее параметров х превышает допустимое значение дг0, но и в тех случаях, когда некоторый функционал

Уа1=//\ \ \

/С-10 "Чл-3

/л

у/

f(x), определяемый совокупностью всех параметров X = (xi,x2,.....*дг)

достигает некоторого предельного значения. При этом здесь возможны три случая: полной независимости параметров, (система будет работоспособна до тех пор, пока какой-либо из параметров не превысит своего предельного значения); работоспособность обеспечивается до тех пор, пока значения параметров находятся внутри некоторой области; ситуация аналогична предыдущей, однако для нее допускаются случаи, когда внутри области значения некоторых параметров превосходят свои предельные значения (такая ситуация представляется маловероятной).

Целью дальнейших исследований являлось нахождение вероятности того, что при развитии предотказового состояния объект эксплуатации в момент времени t (после к-ото шага) находится в работоспособном состоянии.

Не теряя общности рассуждений, рассмотрение проводится на примере двупараметрических систем (х и у). В качестве пограничной функции F(x,y) выбираются зависимости двух видов: линейная

(ху0 + х0у-Х0у0 = 0) и квадратичная (^ = у0(1-х/л:0)2), а в качестве функций перехода используются экспоненциальный закон, закон Гаусса и линейный закон. Для всех комбинаций проводился расчет соответствующих плотностей и функций распределения вероятностей, а также рассчитывались вероятности нахождения объекта эксплуатации в работоспособном состоянии как функция номера шага развития предотказового состояния. Некоторые результаты расчета и иллюстрации приведены в Таблице 2.

Центральное место в задачах технической эксплуатации играет временной прогноз, касающийся состояния эксплуатируемого объекта. В этой связи возникает задача оценки вероятности, при которой за заданное время развитие предотказового состояния еще не достигнет критических ситуаций, при которых объект окажется не работоспособным. Таким образом, требуется определить вероятность того, что за заданное время /0 значение параметра х достигнет или превысит некоторое предельное значение х0 (в задачах технической эксплуатации такие задачи связаны с определением времени наработки на отказ). В постановке время t, при которой измеряемый параметр х достигает значения д:0 (х = х0), естественно является случайной величиной, а поэтому в качестве базовой величины необходимо найти соответствующую плотность распределения вероятности этого времени f - w{t\x = xq), т.е. апостериорную плотность распределения вероятностей. В работе проводится расчет этой плотности

распределения для ситуаций, моделируемых рассматриваемыми функциями перехода для линейного и квадратичного ограничений, что позволило получить плотности распределения вероятностей достижения рассматриваемыми параметрами своих предельных значений и получить выражения для среднего времени наработки на отказ и соответствующих дисперсий этих величин (ввиду громоздкости поученных соотношений, их явный вид не приводится).

Таблица 2

ДИНАМИКА ПРЕДОТКАЗОВОГО СОСТОЯНИЯ В СВОБОДНЫХ И ВОССТАНАВЛИВАМЫХ ОБЪЕКТАХ ЭКСПЛУАТАЦИИ ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА {многопараметрический случай).

Вероятности нахождения объекта эксплуатации в работоспособном состоянии

_Линейное ограничение__[_Квадратичное ограничение_

Экспоненциальная функция перехода

1 — ¡хк~\ шг г ( V 1 мт /• > 21

к, У о 1 хоЛ е~хс1х V хо) е~хдх

Гауссовская функция перехода

IV2 ЛФ

хо)

(¡X

к

2к2

1—

*0

Фс

Линейная функция перехода

к 1

/ММ-Г1 *у?(-1п*гГИ~Г

¿0 (Л-т-1)

с!х

V (к-т-1)

т=0

сЬс

Зависимость вероятности нахождения объекта эксплуатации в работоспособном состоянии при линейном и квадратичном ограничении от «номера шага» развития предотказового состояния

тяМ)

О 2,5 5 7,5 чМ

Эволюция ПРВ как результат развита; предотказового состояния (случай экспоненциальной функции перехода, Х=соп51)

Эволюция ПРВ как результат развита! предотказового состояния (случай экспоненциальной функции перехода, А.*соп5()

Эволюция ПРВ как результат развита.

предотказового состояния (случай линейяой функции перехода)

Эволюция ПРВ как результат

развития предотказового состояния восстанавливаемых систем, спустя время к=\ после восстановления

ггп/л

Эволюция ПРВ как результат

развития предотказового состояния восстанавливаемых систем, спустя время к=2 после восстановления

г,/л

Эволюция ПРВ как результат

развития предотказового состояния восстанавливаемых систем, спустя время к=3 после восстановления

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью настоящей работы являлась разработка статистических методов анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта и определения статистических закономерностей этого процесса.

Для достижения поставленной цели в работе в работе были решены следующие задачи:

1 .Разработаны методы анализа предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Разработаны вероятностно-статистические и

квазидетерминированные моделей для анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации

3.Определены основные статистические закономерности развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации

4.Проведен анализ динамики предотеазового состояния совокупности и отдельных элементов объектов эксплуатации

5.Разработаны методы оценки предотказового состояния элементов объектов эксплуатации

6.Разработаны принципы расчета характеристик элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта на этапе их разработки.

В ходе выполнения работы были получены следующие новые научные результаты

I.Определены статистические закономерности развития предотказового состояния объектов эксплуатации.

2.Разработаны вероятностно-статистические модели развития предотказового состояния, представленного в виде набора дискретных переходов с уровня на уровень

3.Показана возможность использования квазидетерминированных моделей для описания предотказового состояния объектов эксплуатации.

4.0пределена зависимость вероятности нахождения элементов объектов эксплуатации в работоспособном состоянии от времени при различном характере развития их предотказового состояния.

5.Определены статистические характеристики времени работоспособности элементов объектов эксплуатации при различном характере развития их предотказового состояния.

Полученные результаты дают возможность:

1 .Проводить статистическое описание развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Вырабатывать рекомендации по определению эксплуатационных характеристик элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта на этапе разработки.

3.Погнозировать развитие предотказового состояния отдельных элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

4.0ценивать вероятность нахождения элементов объектов эксплуатации в работоспособном состоянии во времени при различных характерах протекания процесса эксплуатации.

5.0ценивать время работоспособности элементов объектов эксплуатации.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора в журналах, включенных в Перечень изданий ВАК для публикаций материалов диссертаций:

¡.Неделъский М.Н. Временные характеристики динамики развития предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта. Научный Вестник МГТУГА, N° 145, 2008

2.Козлов А.И., Неделъский М.Н. Статистическая модель определения вероятности работоспособного состояния авиационной системы с учетом процесса деградации ее элементов. Научный Вестник МГТУГА, №147, 2008

3.Недельский М.Н. Применение квазидетерминированных моделей для оценки степени деградации эксплуатируемых авиационных систем. Научный Вестник МГТУГА, №149, 2009

4.Неделъский М.Н. Прогнозирование процессов деградации элементов авиационных систем. Научный Вестник МГТУГА, № 149, 2009

Соискатель Недельский М.Н.

Печать офсетная 1,16 усл. печ.л.

Подписано в печать 05.10.09 г. Формат 60x84/16

1,25 уч.-изд. л. Тираж 80 экз.

Заказ №879/^)^

Московский государственный технический университет ГА 125993 Москва, Кронштадтский бульвар, д. 20 Редакционно-издательский отдел 125493 Москва, ул. Пулковская, д.ба

© Московский государственный технический университет ГА, 2009

Введение.

1.Статистические закономерности развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

1.1 .Постановка задачи.

1.2.Разработка квазидетерминированных моделей для анализа динамики развития предотказового состояния объектов эксплуатации воздушного транспорта.

1.3.Динамка развития предотказовой ситуации до момента нарушения работоспособности.

1.4.Выводы к разделу

2.Динамика предотказового состояния отдельных элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.1.Динамика предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта (общие соотношения).

2.2.Особенности динамики предотказового состояния свободных элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.3.Особенности динамики предотказового состояния восстанавливаемых элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.4.0ценка состояния объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.5.Выводы к разделу 2.

3.Динамика предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

3.1.Динамика предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта (общие соотношения).

3.2.Динамика предотказового состояния совокупности элементов объекта эксплуатации воздушного транспорта при постепенных отказах.

3.3.Динамика предотказового состояния совокупности элементов объекта эксплуатации воздушного транспорта при внезапных отказах

3.4.Временные характеристики динамики развития предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

3.5 .Выводы к разделу 3.

Значительная часть проблем и задач, стоящих перед гражданской авиацией России, так или иначе, связаны с тем, что большинство из находящихся сегодня на эксплуатации воздушных судов давно выработало установленный им при изготовлении свой срок летной эксплуатации и находятся в состоянии «продленного ресурса», что дает все основания в очень многих случаях говорить о предотказовом в широком смысле этого слова состоянии эксплуатируемой техники. Сказанное в равной мере относится и к бортовому, и к наземному оборудованию, обеспечивающему полет воздушных судов и его сопровождение. Естественный износ и деградация практически всех систем, узлов и элементов авиационной техники, вызванный их старением, породили ряд принципиально новых теоретических и практических задач, связанных с динамикой предотказового состояния и ее влиянием на работоспособность этих систем, т.е. в конечном счете, на безопасность полетов воздушных судов. С перечисленным кругом задач приходится сталкиваться не только в технике, но и в далеких от нее областях таких, как медицина, биология и т.д. Совершенно очевидно, что сложность проблемы не дает надежды в обозримом будущем даже предположить возможность разработки некой единой общей универсальной теории поведения эксплуатируемых, в широком смысле этого слова, технических систем и особенно тех из них, которые находятся в предотказовом состоянии. Именно поэтому еще очень долгое время решение рассматриваемой проблемы будет связано с разработкой новых частных методов и подходов, направленных на получение конкретных рекомендаций, пригодных для применения на конкретной технике в конкретных условиях. Сказанное определяет актуальность настоящей работы, целью которой является разработка статистических методов анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта, определения статистических закономерностей этого процесса и разработка рекомендаций по продлению сроков их работоспособности.

Поставленная цель достигается путем решения следующих основных задач:

1.Разработки методов анализа предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Разработки вероятностно-статистических и квазидетерминированных моделей для анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации.

3.Определения основных статистических закономерностей развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации.

4.Анализа динамики предотказового состояния совокупности и отдельных элементов объектов эксплуатации.

5.Оценки предотказового состояния элементов объектов эксплуатации.

6.Разработка принципов расчета характеристик элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта на этапе их разработки.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1.Определены статистические закономерности развития предотказового состояния объектов эксплуатации.

2.Разработаны вероятностно-статистические модели развития предотказового состояния, представленного в виде набора дискретных переходов с уровня на уровень.

3.Показана возможность использования квазидетерминированных моделей для описания предотказового состояния объектов эксплуатации.

4,Определена зависимость вероятности нахождения элементов объектов эксплуатации в работоспособном состоянии от времени при различном характере развития их предотказового состояния.

5.Определены статистические характеристики времени работоспособности элементов объектов эксплуатации при различном характере развития их предотказового состояния.

Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты позволяют:

1.Проводить статистическое описание развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Вырабатывать рекомендации по определению эксплуатационных характеристик элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта на этапе разработки.

3.Прогнозировать развитие предотказового состояния отдельных элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

4.Оценивать вероятность нахождения элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта в работоспособном состоянии во времени при различных характерах протекания процесса эксплуатации.

5.Оценивать время работоспособности элементов объектов эксплуатации.

На защиту выносятся методы анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта и вытекающего из этого анализа рекомендации по продлению их ресурса.

Внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в Московском конструкторском. бюро "Компас", а также в учебный процесс Московского государственного технического университета гражданской авиации, что подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на Международных научно-технических конференциях "Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники, общества" (Москва, 2008г.), а также на межкафедральных научных семинарах в Московском Государственном техническом университете гражданской авиации (2007-2009г.г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ, из которых 4 опубликованы в изданиях, определенных ВАК РФ для публикации материалов диссертаций.

3.5. Выводы к разделу 3.

В результате исследований, проведенных в разделе 3, получены следующие основные результаты:

1 .Получены общие соотношения, характеризующие динамику развития предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Получены общие соотношения, характеризующие динамику развития предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта при постепенных отказах.

3.Получены общие соотношения, характеризующие динамику развития предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта при внезапных отказах.

4.Определены временные характеристики динамики развития предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

5.0пределены зависимости вероятности нахождения совокупности элементов объектов эксплуатации в работоспособном состоянии от текущего времени при различных процессах развития предотказового состояния. б.Определены статистические характеристики времени достижения параметрами элементов объектов эксплуатации своих предельных значений, при которых наступает их отказ при различных процессах развития предотказового состояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью настоящей работы являлась разработка статистических методов анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта и определения статистических закономерностей этого процесса.

Для достижения поставленной цели в работе в работе были решены следующие задачи:

1 .Разработаны методы анализа предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Разработаны вероятностно-статистические и квазидетерминированные моделей для анализа динамики развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации.

3.Определены основные статистические закономерности развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации.

4.Проведен анализ динамики предотказового состояния совокупности и отдельных элементов объектов эксплуатации.

5.Разработаны методы оценки предотказового состояния элементов объектов эксплуатации.

6.Разработаны принципы расчета характеристик элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта на этапе их разработки.

В ходе выполнения работы были получены следующие новые научные результаты

1.Определены статистические закономерности развития предотказового состояния объектов эксплуатации.

2.Разработаны вероятностно-статистические модели развития предотказового состояния, представленного в виде набора дискретных переходов с уровня на уровень.

3.Показана возможность использования квазидетерминированных моделей для описания предотказового состояния объектов эксплуатации.

4.0пределена зависимость вероятности нахождения элементов объектов эксплуатации в работоспособном состоянии от времени при различном характере развития их предотказового состояния.

5.Определены статистические характеристики времени работоспособности элементов объектов эксплуатации при различном характере развития их предотказового состояния. Полученные результаты дают возможность:

1 .Проводить статистическое описание развития предотказового состояния элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

2.Вырабатывать рекомендации по определению эксплуатационных характеристик элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта на этапе разработки.

3.Погнозировать развитие предотказового состояния отдельных элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта.

4. Оценивать вероятность нахождения элементов объектов эксплуатации в работоспособном состоянии во времени при различных характерах протекания процесса эксплуатации.

5.Оценивать время работоспособности элементов объектов эксплуатации.

1. Агаджанов П. А., Воробьев В.Г. и др. Автоматизация самолетовождения и управления воздушным движением. — М.: Транспорт, 1980.-357 с.

2. Бендат Дк., Пирсон А. Применение корреляционного и спектрального анализа: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 312 с.

3. Блауберг М.В, Юдин Э.Г. Становление и сущность системного подхода. М., Наука, 1993.

4. Болынов Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983.

5. Боровков А. А. Математическая статистика: Оценка параметров; Проверка гипотез. М.: Наука, 1999. - 472 с.

6. Быкадров А.К. Основы эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры. М.Высшая школа, 1987.

7. Волков Л.И. Управление эксплуатацией летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1987.

8. Воробьев В.Г., Зыль В.П., Кузнецов С.В. Основы теории технической эксплуатации пилотажно-навигационного оборудования. М.: Транспорт, 1999.

9. Воробьев В.Г., Константинов В.Д. Техническое обслуживание и ремонт авиационных электросистем и пилотажно-навигационных комплексов. М.: Университетская книга, 2007. 472 с.

10. Воробьев В.Г., Кузнецов С.В. Автоматическое управление полетом самолетов. М.: Транспорт, 1995. -448 с.

11. Воробьев В.Г., Кузнецов С.В. Автоматическое управление полетом самолетов. М.: Транспорт, 1995. -448 с.

12. Высоцкий В.З., Логвин А.И. К вопросу о нормах лётной годности радиосвязного оборудования. Научный вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, поддержание лётной годности. №103, 2006г.

13. Гаскаров Д.В., Голинкевич Т.А., Мозгалевский А.В. Прогнозирование технического состояния и надежности РЭА. М., Сов. радио, 1994.

14. Гик Дж. Прикладная общая теория систем М., Мир, 2004г.

15. Горбашко Е.А. Обеспечение конкурентноспособности промышленной продукции. -СПб.: Изд. СПб, УЭФ, 2004.

16. ГОСТ 11.006-78. (СТ СЭВ 1190-78) Прикладная статистика: Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. -М.: Изд-во стандартов, 1978.

17. Гуляев А.И. Временные ряды в динамических базах данных.М.: Радио и связь, 1999. 128 с.

18. Давыдов П.С., Иванов П.А. Эксплуатация авиационного РЭО М.: Транспорт, 1990.

19. Данилин Н.С. Неразрушающий контроль качества продукции радиоэлектроники. М., 1986.

20. Доденко Н.С., Соболев В.В. Долговечность элементов радиоэлектронной аппаратуры. Л., Энергия, 1990.

21. Емельянов А.С. Эконометрия и прогнозирование М., Экономика, 1990г.

22. Зубков Б.В. Теоретические основы безопасности полетов. М.: МГТУ ГА, 1987г.

23. Зубков Б.В., Аникин Н.В. Авиационное техническое обеспечение безопасности полетов.-М.:Воздушный транспорт, 1994.

24. Зубков Б.В., Минаев Б.Р. Основы безопасности полетов.-М. :Транспорт, 1994.

25. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды.-М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976. 736 с.

26. Кендэл М. Временные ряды,- М.: Финансы и статистика, 1981.-199 с.

27. Кильдишев Г.С., Аболенцев Ю.И. Многомерные группировки. М.: Статистика, 1978.-160 с.

28. Козлов А.И. К построению статистических моделей стареющих сложных систем и их элементов. "Наука и техника гражданской авиации на современном этапе", Москва, 1994г

29. Козлов А.И. О влиянии внешних возмущений и радиопомех на ошибки оценивания навигационных параметров. Научный Вестник МГТУГА, №131, 2007.

30. Козлов А.И., Недельский М.Н. Статистическая модель определения вероятности работоспособного состояния авиационной системы с учетом процесса деградации ее элементов. Научный Вестник МГТУГА, №147 , 2009.

31. Котюков В.И. Многофакторные кусочно-линейные модели.-М.: Финансы и статистика, 1999.-216 с.

32. Логвин А.И. К разработке математической модели отклонения реальных параметров, характеризующих сложные системы от прогнозируемых. Научный вестник МГТУГА, № 112, сер. Радиофизика и радиотехника, 2007.

33. Логвин А.И. Эффективность процесса восстановления радиоэлектронного оборудования. Научный вестник МГТУГА, № 112, сер. Радиофизика и радиотехника, 2007.

34. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М., Наука, 2000.

35. Михайлов А.В., Савин С.К. Точность радиоэлектронных устройств. М., Машиностроение. 1991.

36. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа М., Наука, 1990г.

37. Надежность технических систем/Под ред. И.А.Ушакова. М.: Радио и связь, 1990.

38. Недельский М.Н. Временные характеристики динамики развития предотказового состояния совокупности элементов объектов эксплуатации воздушного транспорта. Научный Вестник МГТУГА, № 149, 2008.

39. Недельский М.Н. Применение квазидетерминированных моделей для оценки степени деградации эксплуатируемых авиационных систем. Научный Вестник МГТУГА, № 145, 2008.

40. Недельский М.Н. Прогнозирование процессов деградации элементов авиационных систем. Научный Вестник МГТУГА, №149 , 2009.

41. Новиков B.C. Техническая эксплуатация РЭО. М.: Транспорт, 1987.

42. Основы эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры/Под ред. В.Ю. Лавриенко -М.: Высшая школа, 1998.

43. Отнес Р., Энексон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 428 с.

44. Перроте А.И., Старчак М.А. Вопросы надежности радиоэлектронной аппаратуры. М., Сов. радио, 1976.

45. Пестряков В.Б. Вероятностно-статистические методы в задачах анализа и синтеза электронной аппаратуры. Москва, 1979г.

46. Пестряков В.Б. Конструирование радиоэлектронной аппаратуры. М., Сов. радио, 1990.

47. Пестряков В.Б. Современные проблемы радиотехники и электросвязи, задачи вероятностных и системных методов в исследованиях и оценке качества аппаратуры. М., 1983.

48. Пугачев B.C. Теория вероятностей: М.: Наука, 1979. 496 с.

49. Сакач Р.В., Зубков Б.В. Безопасность полетов. — М.: Транспорт, 1989. -239 с.

50. Сакач Р.В., Зубков Б.В., Давиденко В.В. и др. Безопасность полетов. М.: Транспорт, 1990.

51. Силин А.И., Заковряшин А.И. Автоматическое прогнозирование состояния аппаратуры управления и наблюдения, М., Энергия, 1990.

52. Смирнов Н.Н. Основы теории технической эксплуатации JIA. М.: МГТУГА,, 2001.

53. Смирнов Н.Н., Ицкович А.А. Обслуживание и ремонт авиационной техники по состоянию. -М.: Транспорт, 1987.

54. Смирнов Н.Н., Чинючин Ю.М. Техническая эксплуатация летательных аппаратов. М.: Трансрпорт, 1990.

55. Смирнов Н.Н., Чинючин Ю.М. Техническая эксплуатация самолетов за рубежом. М.: МГТУГА, 1992.

56. Смирнов Н.Н., Чинючин Ю.М. Эксплуатационная технологичность JIA. М.: Трансрпорт, 1994.

57. Смит Дж. М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей.: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1980, - 217 с.

58. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М. Абрамовича и И.Стиган. Перевод с английского. — М.: Наука, 1979г.

59. Статистические методы обработки эмпирических данных. Рекомендации. М.: Издательство Стандартов, 1998. - 232 с.

60. Степанов С.В. Профилактические работы и сроки их проведения. М. Сов. радио, 1991.

61. Техническая эксплуатация летательных аппаратов /Под ред. Н.Н. Смирнова М.: Транспорт, 1990.

62. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов. -М.: Наука, 1987г.

63. Фомин А.В, Борисов В.Ф. Допуски в РЭА. М., Сов. радио, 1990.

64. Фомин Я.Д. Теория выброса в случайных процессов. М.: Связь, 1990

65. Чинючин Ю.М. Технологические процессы технического обслуживания летательных аппаратов. М.: Университетская книга, 2008.

66. Чуев Ю.В., Михайлов Ю.Б. Прогнозирование количественных характеристик процессов М., Сов. радио, 1989.

67. Эксплуатация радиотехнических комплексов/Под ред.А.И. Александрова —М.: Сов. Радио, 1990.

68. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968г.216 с.408 с.