автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.07, диссертация на тему:Анализ и математическое моделирование оптических систем, преобразующих световые пучки

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ОПТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

ЧЖУ ВОН ДОН

УДК 535.317

АНАЛИЗ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ПРЕОБРАЗУЮЩИХ СВЕТОВЫЕ ПУЧКИ

Специальность 05.11.07 - Оптические и оптико-электронные приборы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на кафедре прикладной и компьютерной оптики Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (технического университета)

Научный руководитель—доктор технических наук, профессор

С. А. РОДИОНОВ

Официальные оппоненты—доктор технических наук, профессор

И. В. ПЕЙСАХСОН доктор технических наук, профессор Э.С.ПУТИЛИН

Ведущее предприятие—АО ЛОМО

Защита диссертации состоится "16" июня 1998 г. в 15 ч. 20 мин. на заседани специализированного совета Д 053.26.01 "Оптические и ошико-электрошш приборы" при Санкт-Петербургском государственном институте точной мех; ники и оптики (технический университет) по адресу: (197101, Санкт-Петербур ул. Саблинская, д. 14).

Автореферат разослан УЗ " мая 1998 г.

Отзывы и замечания по автореферату направлять в адрес института: 197101 Санкт-Петербург, ул. Саблинская, д. 14, секретарю специализирован!« го совета Д 053.26.021.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 053.26.021

кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ктуальность работы. Классическая техническая оптика, как известно, по-гроена на рассмотрении преобразования оптическими системами пучков, ис-здящих из точечных источников, то есть исходно гомоцентрических: Появле-яе лазеров привело к введению в 60-х годах революционного понятия гауссо-.ix пучков, которые распространяются по другим законам, чем гомоценгриче-ане. Эти необычные свойства гауссовых пучков, следующие непосредственно 5 уравнений теории поля, часто приписывались их дифракционному характеру юпространения при условии их полной когерентности. В последние годы появилось множество работ, в которых рассматриваются ке не полностью когерентные пучки более общего вида на основе теории частотой когерентности и применения функции распределения Вигнера. Можно азать, что формируется новое направление - оптика световых пучков. Поэто-у, большое внимание многих авторов привлекают частично-когерентные пуч-I в форме, так называемых, пучков гауссовой шелловской модели, которые леют яркость и степень когерентности, описываемые гауссовыми функциями. Однако, общая теория световых пучков и их преобразования оптическими [схемами, основанная на лучевых, геометрических моделях, обычно исполь-емых при проектировании оптических систем, отсутствует, что затрудняет югресс в области разработки оптимальных оптических систем, работающих со ;етовыми пучками общего вида. С другой стороны, бурное развитие лазеров и с использование в сочетании с оптическими системами для передачи инфор-щии, обработки материалов и т.п. делает задачу построения соответствующих эделей пучков и методов анализа оптических систем чрезвычайно актуальной. ель работы. Целью данной диссертации, является разработка геометриче-лх моделей световых гауссовых пучков и их преобразования оптическими ¡схемами, позволяющих более просто описать частично когерентные пучки с гсто геометрических позиций и с помощью физически ясных параметров, а кже проектировать оптические системы, преобразующие такие пучки с уче- -1М влияния аберрации.. дачи исследования.

□работка моделей световых гауссовых частично когерентных пучков общего [да с позиций геометрической оптики.

^следование преобразования таких пучков оптическими системами в паракси-ьной области и в окрестности оси пучка.

¿явление параметров пучка, имеющих ясный физический смысл, вработка универсального эйконала, который дает полную информацию о юобразовании световых пучков реальными оптическими системами с учетом ¡ерраций.

¡следование влияния различных типов аберраций оптической системы на ^образование частично когерентного гауссового пучка.

Методы исследования.

1. Методы лучевой геометрической оптики для построения модели светово1 пучка и его распространения через оптическую систему.

I. Матричная оптика для исследования преобразования пучков идеальными опл ческими системами.

3. Метода теории эйконалов, методы расчета хода действительных лучей, аппарг полиномов Цернике и аппроксимации функций по методу наименьших квадр; тов для построения и исследования универсального эйконала.

t. Аналитические и численные методы теории аберраций для исследования вли ния аберраций оптической системы на распространение световых пучков. Научная новизна диссертации.

L Разработаны адекватные модели светового частично когерентного гауссово! пучка и его распространения через оптические системы, основанные на конце! циях геометрической оптики.

!. Дана физическая интерпретация параметров геометрической модели частичнс когерентного пучка и способ получения такого пучка из протяженного некоп рентного источника.

I. Разработан универсальный эйконал, содержащий полную информацию об абе] рациях оптических систем, преобразующих пучки лучей.

L Разработан численный аппарат и проведены исследования влияния аберраци различных типов на преобразование профиля светового частично когерентно! пучка.

Основные результаты, выносимые па защиту.

. Геометрические лучевые модели частично когерентных световых пучков общ< го вида, описывающие круговые и астигматические пучки.

:. Геометрическая интерпретация параметров световых пучков: матрицы локаш ной расходимости и несимметричной матрицы кривизны.

. Геометрические модели преобразования световых пучков произвольными опта ческими системами в окрестности оси пучка.

. Новый универсальный эйконал, описывающий аберрационные свойства охшгк ской системы, преобразующих пучки лучей между произвольными опорным плоскостями

. Результаты 'численного исследования влияния аберраций различных типов, частности, сферической аберрации, положительной комы и отрицательной кс мы на профиль световых лучков в реальной оптической системе. Практическая ценность работы.

Разработаны математические модели пучков и методы анализа оптических сис тем, позволяющие более эффективно проектировать системы, работающие с световыми пучками общего вида, в частности:

. Показано, что частично-когерентный гауссов световой пучок описывается тг кими же параметрами и распространяется через оптическую систему по тем ж законам, что и обычный когерентный гауссов пучок с учетом масштабног множителя, зависящего от инварианта Лагранжа пучка.

Универсальный эйконал позволяет исследовать свойства оптической системы между любыми опорными плоскостями в отличие от применявшихся до сих пор эйконалов.

Результаты исследования влияния аберраций оптической системы на профиль световых пучков позволяют оценить допустимые величины остаточных аберраций и построить наиболее эффективный процесс проектирования оптической системы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях "17th Congress of the International Commission for Optics" (г. Деджон в Корее, август 1996г.) и "Прикладная Оптика-96" (г. С.-Петербург, сентябрь ^бг.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка 96 наименований и один приложений, содержит 92 страниц основного текста, 17 рисунков и 25 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение.

Современная прикладная оптика, в основном, имеет дело с оптическими системами, строящими изображение, или говоря другими словами, преобразующими гомоцентрические пучки лучей, исходящие из различных точек пространства предметов. Используемый при этом аппарат не вполне применим для анализа и проектирования оптических систем, работающих со световыми пучками. Известны также модели лазерных полностью когерентных пучков в приближении, так называемых, гауссовых пучков, для распространения которых применяется широко известное правило ABCD Когельника. Для частично-когерентных пучков в последнее время получили распространение, так называемые, шелловские модели, трактующие распространение гауссовых функций взаимной интенсивности. Такие модели, однако, не имеют наглядного геометрического представления и не вполне удобны для использования в аппарате проектирования оптических систем, в значительной часта основанного на понятиях геометрической оптики. Исходя из сказанного, в диссертации разрабатываются модели частично-когерентных световых пучков различного вида, основанные на чисто геометрических лучевых концепциях. Для этого световой пучок представляется как совокупность лучей, плотность распределения которых в пространстве как в линейных, так и в угловых координатах (направляющих косинусах) описывается гауссовым профилем и каждый луч распространяется согласно законам геометрической оптики.

В главе 1 дается обзор литературы по частично-когерентным пучкам в виде шелловских моделей и формулируется постановка задачи данной работы. В главе 2 рассматривается лучевая геометрическая модель для гауссового пучка с осевой симметрией, а также распространение такого пучка через произвольную центрированную оптическую систему в параксиальном приближении, и дается

геометрическая интерпретация параметров пучка. Вводится понятие комплекс ного параметра кривизны ц и инварианта Лагранжа / пучка и доказывается, чт он следует правилу АВСВ Котельника, как и классический когерентный гауссо пучок. В главе 3 введенные ранее модели и понятая расширяются на более об хций случай астигматического гауссова пучка. Вводится понятие несимметрич ной, в общем случае, матрицы фронта пучка и проводится анализ ее геометри ческой интерпретации методом точечной диаграммы. В главе 4 представлен ! проанализирован новый универсальный эйконал для аналитического описани влияния аберрации оптической системы на распространение световых, пучков лучевом представлении. В главе 5 с использованием этого эйконала исследуете влияние различных типов аберраций, в частности, сферической аберрации ! комы в реальных оптических системахла профиль преобразуемого пучка. Первая глава.

Исходной моделью для любых световых пучков является классическая мо дель полностью когерентного гауссового лазерного пучка.

Пусть Е(И) ехр(-1аЖ) представляет монохроматическое скалярное волново поле в произвольной точке, т.е. Я~(х, у, £) и при этом комплексная амплитуд поля Е(К) выражается следующим образом:

£(Д) = е(>,г)ехр(/уЬ), (1

где г = (х, у) и к= со!с, с - скорость света в вакууме. Используя параболически приближение, выражаем функцию взаимной интенсивности в следующей фор ме.

ехр1~

ШУ

СХр<! - (

2Я(г)

(2

где »с2 (г) = <

1 +

> (3)

11(2) = 2

1 + 1^

• (4)

Если пучок является совокупностью монохроматических полей, которые представляют собой частично когерентное волновое поле, функция взаимно! когерентности второго порядка описывается следующим образом:

ПЪ.Ъг)

Щг, ,г2;г) =< е'(г,, £) е(г2 ,£)>,

(±\2 ТгТгиг^.' -У2-(ь-Ф2

2яг)

2г

(5;

с!2г;с12г'. (6

Далее, выразим функцию взаимной интенсивности Щп,Г2,0) в следующе{ форме:

яхп, г2 ;0)=[/(г, ,0)/(г2,0)Г - г2,0), (Г

где 1(г,0) - интенсивность, а #<У,0) - комплексная степень пространственной ко герентносги, зависящая только от разности г'=г1-г2,. Источники этого типа бьш

шедены Шеллом в его исследовании антенн и затем были названы источниками нелловской модели и широко обсуждались в многочисленной литературе.

Рассмотрим источники шелловской модели, которые имеют гауссов профиль штенсивности и гауссову степень когерентности, т.е. источники, которые име-от функцию взаимной интенсивности в виде (7) со следующими соотношениями:

/(/•,0) = А ехр-{ - 2

(8)

г(г',0) = ехр -

2 Ц

(9)

чде А, »о и /с - положительные константы. Поля, генерируемые этими источниками в параксиальном приближении (6) называются гауссовыми пучками шел-ювс'кой модели.

Из формул (6) - (9) получаем выражение для функции взаимной интенсивности гауссового пучка шелловской модели в любом поперечном сечении:

✓ N2

Щг,Аг;г) = Л

«р<-1

. АгД/О

"«-'ад}-

(10)

~де г=(г] +г2)/2, Аг=г]-г2, ос=1с/п>0 - степень частичной когерентности и

м'(г) = и>,

1 +

Аг

ч^о К;

,(11) Я(г) = 2

\2

I

Сравнивая вьфажения (2) и (10) легко заметить, что значения и'(г) и оп-эеделенные в (11) и (12), являются соответствующими параметрами распространения, которые описывают эволюцию гауссового пучка шелловской модели з свободном пространстве.

Хотя приведенные выше выражения достаточно полно описывают частично-шгерентные световые пучки, их применение для проектирования оптических систем затруднительно, поскольку они не очевидно связаны с геометрическим содом лучей. Далее мы рассмотрим модели пучков, целиком основанные на концепциях геометрической оптики. Вторая глава.

С позиций геометрической оптики описание светового пучка можно представить в виде функции Ь распределения плотности лучей в лучевом пакете от тинейных и угловых координат в пространстве: где г7=(ду) и зт=(Х,У)-

1роекции радиус-вектора точки пространства и оптического вектора направле-зия распространения на плоскость (х\у), перпендикулярную оси пучка, Т - индекс трансформирования.

Для кругового гауссового пучка, распространяющегося в направлении г, хиотность распределения лучей в плоскости г=0, совпадающей с перетяжкой тучка, есть гауссова функция от квадратов как линейных, так и угловых координат :

Цг, ¿;0) = ехр< - 2

г

г

VVo

(14

где и>о - радиус пучка в перетяжке, Уо - угловая расходимость пучка, В предела: диаметра пучка 2ч>0 и конуса расходимости, определяемого величиной 2v0 со держится, как следует из свойств гауссовой функции, 86.5 % энергии пучка.

Рассмотрим распространение такого пучка в пространстве. В соответствии I уравнениями геометрической оптики в параксиальном приближении, если ка кой-либо луч имеет в плоскости г=0 координаты г, то в плоскости г^О его ко ординаты будут:

5'= 5, г' = г + й2, (15

где г - приведенное расстояние.

Подставляя (15) в (14) , получим искомое распределение, т.е. лучевую плот ность пучка в плоскости г

-2

(

'Я

+ ^

(16

где 2м> - диаметр пучка в плоскости г, 2\ - локальная расходимость бесконечш - малой площадки пучка в окресгаостя.точки (ду), Я - параметр, который мож но назвать приведенным "радиусом фронта пучка". Для параметров м>, V и / имеем следующие выражения:

1 +

г \2 г

<(17а)

у2 =

1 +

/ \2 2

\2о У

у0\(17Ь) Л =

л2

г, (17с)

гдег0=н>0/г0. (18)

Мы видим, что полученные выражения (17) полностью идентичны соответствующим формулам (3) и (4) для когерентного гауссового пучка с дифракцион ной расходимостью, равной Уо=Мш0, при этом параметр г0 равен го=яи^2/Д, выражение (17) идентично (11) и (12) для гауссового пучка шелловской модели пря У(|=Л/яи'с, где X - длина волны излучения и м>с - параметр для описываемогс гауссового пучка шелловской модели, трудно поддающийся определению. Продолжая аналогию с классическим пучком, введем комплексный параметр кривизны <7 для нашего пучка в соответствии с выражением:

д К**™ Я.

- + 1-

■ = —+1— Я J

(19;

которое в случае пучка с дифракционной расходимостью Уо=Л/яи>о, становится идентичным формуле для когерентного пучка. В предыдущем выражение а J - инвариант Лагранжа пучка, определяемый формулой :

я

^о)

7

J = w,vй=wv = z,v¿ (20)

Как легко убедиться, с помощью выражений (17), значение инварианта постоянно в любом сечении пучка, причем для классического когерентного пучка это значение равно Из (17) и (19) легко получить :

д = г-1г0, (21)

Также можем видеть, что наш гауссов пучок удовлетворяет правилу АВСВ Когельника из уравнений (16), (19) и (21), с использованием попятай матричной оптики, а именно:

= (22) Сд + О v 1

где # и комплексные параметры пучка до и после прохождения через оптическую систему, АВСЭ - элементы "лучевой матрицы" оптической системы и 40-ВС=].

Используя теорему Ван-Циттерта - Цернике, просто связать геометрическую пучевую модель пупса (16) с "гауссовой шелловской моделью", основанной на функции взаимной интенсивности, так, для гауссовых пучков с круговой симметрией ит уравнения плотности луча (16) мы видим, что взаимная интенсивность имеет следующую простую форму

где у3=./я/А - отношение инварианта Лагранжа данного пучка к инварианту полностью когерентного пучка. Легко видеть, что выражение (23) идентично (10) при /Н/а. Следовательно, обратная величина степени глобальной когерентности в шелловских моделях пучков равна отношению инвариантов Лагранжа цапного я полностью когерентного пучков.

Кроме того, из уравнения (17) мы получаем следующее соотношение:

у=м>гА>

где 2иу - диаметр пучка в нормальной к оси пучка плоскости, проходящей через вершину фронта пучка Р. Из уравнения (24) мы видим, что 2у - угол, стягиваемый диаметром пучка 2и>г.

Из уравнения (16) и (24) вытекает геометрическая интерпретация гауссового пучка в плоскости »0 как множества лучей, распределенных на сферическом фронте пучка по гауссовому закону, с угловой расходимостью IV относительно нормалей к фронту (см. рис. 1), таким образом V - может быть названа локальной расходимостью пучка.

Исходя из сказанного, мы можем описать физическую модель источника, который генерирует гауссов пучок с данными параметрами у>, V и Я в данной опорной плоскости.

Рис; 1. Распространение осевого симметрического гауссового пучка

Для этой цели мы должны поместить гауссов транспарант с функцией пропускания ехр{-2гг/ц^1} в опорную плоскость и поместить второй гауссов транс парант с функцией пропускания ехр{~2г1/му2} на расстоянии К позади опорно! плоскости. Затем мы должны поместить бесконечно протяженный ламбертов ский источник с яркостью Ь0 позади второго транспаранта (см. рис. 1). Третья глава.

В данной главе геометрическая модель пучка расширена на астигматически« пучки, сначала имеющие перетяжку, а затем и не имеющие таковой.

Плотность распределения лучей для астигматического гауссового пучка в перетяжке можно описать следующим выражением:

Цг, .v)! = Ь0 ехр{- 2 [гт\У'2г + з'У^з ]}, (25;

где ДОо2 и У02 - 2x2 действительные симметричные положительно определенные матрицы, характеризующие линейные размеры и угловую расходимость пучка I перетяжке. Легко видеть, что эти матрицы описывают эллипсы с соответствующим набором главных осей, т. е. Щ>=Ф„ А„ Ф„т, Г0=ФУ Л„ Ф/, где Ф*, и Ф„ -ортогональные матрицы поворота осей эллипсов; Л» и Л, - диагональные матрицы размеров полуосей эллипсов; Т - индекс транспонирования.

Рассмотрим распространение такого пучка в свободном пространстве. Подставляя (15) в (25), получим:

Цг, = ¿0 ехр(- 2^ - Рг)т Г2(* - рг)+гтШ~2г\ {26)

где Ж2 = Ж2 + У022\ V2 +1У0-222У, р-1 = + (27)

IV2 и V2 - также симметричные матрицы лилейных размеров пучка в плоскости г и его локальной угловой расходимости р - матрица приведенной кривизна фронта пучка, в общем случае не обязательно симметричная.

Параметры IV, Уи р полностью определяют гауссов пучок общего типа в какой-либо опорной плоскости, при этом в рассматриваемом случае эти параметры, полученные из выражений (26) и (27), соответствуют пучку, имеющему пс-

м П- 'А вл м или 'Г1 вт вт ' 'Л

кс о) л Л { Ст - Ат ) и

ретяжку, тем не менее, те же параметры, например, после распространения пучка через оптическую систему, могут также описывать пучок без перетяжки.

Как известно, соотношения между линейными и угловыми координатами лучей до и после оптической системы в параксиальном приближении выражаются следующим образом.

(А п\(Л ГА (- пт цт уг>\

(28)

где А, В, С и В - квадратные субматрицы второго порядка, и С - 4x4 "лучевая" матрица оптической системы, которая должна удовлетворять условию сим-плектности. т. е. А1?-ВСТ=1, АгС-СгА=0 и ВТ0-0ГВ=0.

Подставляя (28) в (26) можно получить общие выражения для изменения параметров светового гауссового паучка при его распространении через оптическую систему:

Ц/У)=10 ехр{- 2[(У - р'г')т У'-2{*' - р'г^ + г'^У'-1/]}, (29)

где У'~2=(Ат+рВг)ту-2(Ат+ рВт)+ В1У2ВТ, (30а)

¥-2р'^(Аг^рВт)ту-2(ст+рОт)+ВИ-2Вт, (ЗОЪ)

(Ст+рОт)Т У2{ст+ рОт)+ Ш^Д7- р'тУ"2р', (30с)

IV2 и V2 - всегда симметричные матрицы, но матрица р'как и ранее может не быть симметричной.

Подчеркнем, что хотя мы начинаем с гауссового пучка, имеющего перетяжку, уравнения (29) и (30) соответствуют совершенно общему случаю астигматического гауссового пучка, независимо от существования перетяжки.

Введем новые параметры для упрощения уравнений (30а), (ЗОЬ) и (30с), а именно:

а-2={Г-2+рту-2р, (31) Р = У'гр, (32) а =

у-2 ,РТ

Р

а

, (33)

где а~ и У~ - квадратные симметричные матрицы второго порядка и О - 4x4 симметричная матрица.

При распространении пучка через произвольную оптическую систему, характеризующуюся лучевой матрицей С, из (30а), (ЗОЬ) и (30с), мы можем видеть, что матрица О - изменяется следующим образом:

0.' = 0авГ, (34)

где ПиА'- матрицы до и после прохождения через оптическую систему, при этом Бе1аЧОеЮ.

Остановимся на матрице р более подробно. Эта матрица вещественна, но вообще говоря, несимметрична, и может быть факторизована следующим образом:

р=тлд-' =

А О

(35)

где Т - матрица, столбцы которой являются собственными векторами р , Лр -диагональная матрица с собственными значениями р. Чтобы понять геометрический смысл матрицы р, рассмотрим квазигомоцентричный пучок астигматических лучей, соответствующий этой матрице. Из геометрического анализа точечной диаграммы такого пучка, можно видеть, он имеет две фокальных линии аналогично классическому астигматическому пучку, но вообще эти фокальные линии не ортогональны друг другу. Также, расстояние от фронта пучка до этих фокальных линий равно собственным значениям матрицы р (элементам диагональной матрицы Лр), а углы между осью х и этими фокальными линиями определяются следующими выражениями:

в у = агйап

,02 -- агс1ап

,(36)

где Т" =

"4 У

"4 У

Рассмотрим, как образуется такой пучок из классического астигматического пучка. Произведем декомпозицию матрицы р на ортогональную и треугольную матрицу следующим образом:

(Л У О РгХ

Р = Ч\

Ч = Р,+Р„.

(37)

где

Р\ О

О

Рг

д - симметричная матрица, рш = ц

q - несиммет-

ричная матрица, д - ортогональная матрица. Симметричная часть рв представляет волновой фронт классического астигматического пучка, с теми же значениями кривизны р\, и рх - в ортогональных сечениях, что и наш рассматриваемый пучок (35), при этом фокальные линии ортогональны. Несимметричная часть рщ описывает скручивание пучка без изменения радиусов кривизны, после этого фокальные линии становятся не ортогональными друг другу и лучи пучка делаются не ортогональными волновому фронту. Заметим, что такой скрученный пучок не удовлетворяет законам геометрической оптики и, следовательно не может быть образован из гомоцентрического полностью когерентного пучка никакими оптическими преобразованиями. Тем не менее, такой частично когерентный пучок может быть образован из двух неортогональных некогерентных протяженных источников. Четвертая глава.

До сих пор мы рассматривали преобразование пучков оптичесюими системами в параксиальном приближении. Реальные оптические системы, преобразующие световые пучки, имеют аберрации, влияющие на профиль пучка.

Ранее мы рассматривали преобразование лучей оптическими системами в параксиальном приближении в соответствии с формулой (28):

с

(

'о

'А

С

где г=(х,у) и .ч=(Х, У) проекции радиус-вектора точки и оптического лучевого вектора направления на плоскость ху, а г() '=(х0 \у0) и '=(Х0' Уо) - векторы на плоскости х>'(01Г) для идеального луча.

Для реальной системы выражение (38) примет вид: -Л Г л х*\Г„\ ГдгЛ

(А В) (г) +

£ Я Л V

bs'

(39)

где последнее слагаемое формулы. выражает векторы линейных и угловых аберраций. Для определения значений этих аберраций при анализе конкретного пучка необходим расчет большого количества лучей. Для уменьшения вычислительных затрат целесообразно воспользоваться, например, теорий эйконалов, успешно применяемой при проектировании изображающих оптических систем, К сожалению, такие эйконалы не применимы к системам, преобразующим световые пучки, так как они разрабатывались для изображающих систем, поэтому применимы только для сопряженных плоскостей и только для описания одного вида аберраций либо линейных, либо угловых. Введем новый специальный эйконал, выраженный как функция параметров г/и s0'. Рассмотрим сначала следующий эйконал ( рис. 2):

КМ Л ) = рЛ = Щ'о +■ г'А = оо' + гХ, (40)

где точка Рi удовлетворяет выражению P\Qo' = 00\ отсюда Р\Р = 1/2 rs+1/2 r0V, Qo'~ точка пересечения идеального выходного луча с перпендикуляром, опущенным из точки о ' Из выражения (40) можно получить:

8V

а' - 0 . ОГ,

(41)

Рассмотренные выражения справедливы только для идеальной системы. Разность между идеальными выходными лучами и реальными будем считать аберрацией. При существовании аберрации полагаем, что точка Ро' переходит в точку Р", где Р"- точка пересечения реального выходного луча и сферы с центром в точке пересечения идеального и реального выходных лучей, радиусом, равным расстоянию, от точки их пересечения до точки Ро' Однако, в том случае, когда реальный и идеальный лучи не пересекаются, но параллельно проходят через оптическую систему, можно найти точку Р"- кратчайшее расстояние от Ро'до реального луча. Заменим в (41) Р/наР", тогда ^'переходит в х':

8г'

-» s =

evv^'M)

dri

где V{r, s, r0', s0) =/V>" Из выражения (42), получаем разность между 5 и s0 ' :

я'= Л5г;

д(1\Р"~ Р^) д(РР" - РРо)

дК

дг'

(43)

где Р - точка пересечения входного луча с плоскостью оп, а Р'~ точка пересечения реального выходного луча с плоскостью ОП'.

—£г \ \ у Ро'

о О'

оп ОН'

Рис. 2. Ход лучей в оптической системе (сплошная линия - реальный ход лучей, пунктирная - идеальный).

Введем следующий эйконал:

К = А0О = РгК - (2'Л = 00'- гХ, (44)

где точка Рг удовлетворяет выражению РгРо'- 00', отсюда РгР - -1/2 гя+1/2 Го 'го' Из выражения (44):

. ЖЖХ)

а®:

(45)

При наличии аберраций <2о'переходит в подобно описанному выше переходу Ро'вР", тогда га'переходит в г':

дЕ'МЛ)

'о ---—- -> Г £-

(46)

где Е{г'х'г0'аоа 2'получаем из <2о', подобно переходу Р0'вР' Разность между г' и г о 'можно выразить следующим образом:

г' - г' = Дг' = - д(РЯ'~Ш

дз'

З5'л

"О

где Рй '-?£<, -РР "-РР0 '■ Определим новый универсальный эйконал в следующем виде :

Ь(г\#■„',^) = РР'-РР; = РР'~ РР{ -Р"Р'.

г = гп--

дь

дг'

(47)

(48)

(49)

Из выражения (49) видно, что мы можем получить как линейные, так и угловые координаты луча г'и я'из одного универсального эйконала Ь.

Эйконал Ь можно выразить также в виде: и'2Лг'(У+ .$;,) 1

¿0 ',Г'Х,Г;)=РР'-

п'2

~^{АтВтз'02 +2ВтСтгХ +С2ОгГр2) + оо'. (50)

Таким образом, мы имеем универсальный эйконал, частные производные которого по линейным и угловым координатам выходящего идеального луча равны соответствующим поперечным аберрациям. Приведенные в диссертации результаты численных исследований эйконала применительно к оптическим системам различных типов и классов показали высокую точность выражений (49), достаточную для практического применения эйконала для анализа оптических систем, преобразующих световые пучки. Пятая глава.

Описанный в предыдущей главе эйконал позволяет легко оценить влияние аберраций реальных систем на проходящие световые пучки.

Рассмотрим гауссов пучок, входящий в оптическую систему, который характеризуется радиусом пучка V/ и расходимостью пучка V в опорной плоскости ОП следующим образом:

Г |7г.у

¿(/•„^) = ехр -2 + ^ . (51)

. I ^-1]

Из правило АВСЮ Когельника параксиальные параметры пучка м>' и V' в ОП' выражаются следующим образом:

2

\Сд+

у =-

J

■И'-

(52)

где q - комплексный параметр кривизны и /=ич'=ги''у' - инвариант Лагранжа пучка.

Если рассматриваемая оптическая' система не имеет аберраций, распределение яркости пучка в ОП' выражается следующим образом:

Цг',л;) = еХр|-2

(53)

Распределение энергии легко получено интегрированием уравнения (53) по угловым координатам л'., В реальной оптической системе распределение энергии отличается от (53) из-за аберраций. В этом случае распределение яркости выходящего пучка дается следующим выражением:

Цт-',5')=ехр|-2

/ ^ л

(54)

где г-г^/) и может быть получены обратным ходом луча или через

универсальный эйконал.

2

Г

Распределение энергии в ОП' может быть получено суммированием энергии лучей, проходящих через какую-либо точку /-/опорной плоскости ОП'следующим образом:

"

-2

V/

(55)

Проблема состоит в том, что число лучей является огромным и требуется много вычислений для того, чтобы получить профиль пучка. Чтобы решить эту проблему, возможно использовать эйконал, который описан в главе 4. В диссертации приведены результаты исследования влияния основных типов аберраций, а именно, сферической аберрации и комы на энергетический профиль пучка. Некоторые из результатов приведены на рис.5.

Рис. 3.: Профиль пучка после оптической системы при наличии аберраций.(а) сферическая аберрации третьего порядка ^о—О.ОвЗО (7=0.0015) ,(Ь) положительная кома Жз1=-0.0991 (.7=0.0015) и (с) отрицательная кома Й^О.ОЗЗО (7=0.00525). Заключение.

На основе чисто геометрических лучевых концепций разработаны модели световых пучков, адекватно описывающие распространение частичных когерентных симметричных и несимметричных гауссовых пучков в свободном пространстве и через произвольную оптическую систему в параксиальной и реальной области.

Для симметрического гауссового пучка показано, что такие пучки описаны теми же самыми параметрами, что и классические когерентные гауссовы с учетом масштабного множителя, связанного с инвариантом Лагранжа пучка и удовлетворяют правилу "АВСО" Когельника.

Даны геометрические интерпретации параметров модели (радиус пучка, локальная расходимость пучка и радиус кривизны), показана физическая модель

частично-когерентного пучка с заданными значениями параметров, показана связь геометрических моделей с шелловскими.

Для астигматического гауссового пучка общего вида получено обобщенное выражение для его распространения в виде матричного обобщенного правила ABCD.

Для основных типов пучков введено понятие инварианта Лагранжа и показана связь его с параметрами пучка.

Дана геометрическая интерпретация несимметричной матрицы кривизны астигматического гауссового пучка в виде разложения этой матрицы на две составляющие - соответствующие классическому астигматическому пучку и операции скручивания такого пучка.

Введен новый универсальный эйконал, представленный уравнением (50), позволяющий получить угловые и линейные аберрации в любой опорной плоскости.

С использованием этого эйконала исследовано влияние основных типов аберраций, в частности, сферической аберрации и комы на профиль световых гауссовых пучков.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

. Won Don Joo, Мее Suk Jung, S. A. Rodionov, "The general concept of Gaussian beams," in 17th Congress of the International Commission for optics: Optics for Science and New Technology, Proc. SPIE 2778, pp. 67-68 (1996).

. Родионов С.А., Вон Дон Чжу, Ми Сук Чжун, "Оптика световых пучков", материалы Международной конференции Прикладная Оптика - 96, 17-20 сентября 1996г. Санкт-Петербург.

. Ми Сук Чжун, Вон Дон Чжу, Родионов C.Ä., "Оптимизация оптических систем лазерных сканеров", материалы Международной конференции Прикладная Оптика - 96,17-20 сентября 1996г. Санкт-Петербург.

. Родионов С.А., Вон Дон Чжу, Ми Сук Чжун, Оптика негомоцентрических световых пучков // Оптический журнал. - 1997. - Vol. 64, Na 8. - С. 28-31.

. Ми Сук Чжун, Вон Дон Чжу, Родионов С.А. Оптимизация оптических систем лазерных сканеров // Оптический журнал. - 1997. - Vol. 64, No 8. - С. 32-36.

. Вон Дон Чжу, Ми Сук Чжун, Родионов С .А., Лучевая модель астигматического гауссового пучка // Оптический журнал (в печати).

. Ми Сук Чжун, Вон Дон Чжу, Родионов С. А., Определение размера пятна в лазерных сканирующих системах с бинарной регистрацией изображения // Оптический журнал (в печати).