автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Аналитические и полуаналитические методы решения многоточечных задач расчета конструкций

Введение.

Глава 1. Обзор постановок и методов решения краевых задач расчета конструкций.

1.1. Основные этапы развития численных методов расчета конструкций.

1.2. Постановка краевых задач расчета конструкций.

1.3. Методы дискретизации краевых задач расчета конструкций.

1.4. Численное решение.

1.5. Полуаналитические методы расчета конструкций.

1.6. Выводы и результаты по первой главе.

Глава 2. Методика получения аналитических решений многоточечных краевых задач строительной механики.

2.1. Аналитическое решение многоточечной краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения произвольного порядка.

2.1.1. Введение.

2.1.2. Понятие о многоточечной краевой задаче.

2.1.3. Традиционная постановка многоточечной краевой задачи.

2.1.4. Постановка задачи с использованием обобщенных функций.

2.1.5. Общее решение поставленной задачи.

2.1.6. Построение фундаментальной функции для обыкновенного линейного дифференциального уравнения произвольного порядка с постоянными коэффициентами.

2.1.6.1. Фундаментальная функция и ее основные свойства.

2.1.6.2. Построение фундаментальной функции.

2.1.6.3. Алгоритмы дифференцирования и интегрирования фундаментальной функции.

2.1.6.4. Нахождение постоянных коэффициентов в выражении для фундаментальной функции с использованием метода базисных вариаций.

2.1.6.5. Переход от комплексных постоянных коэффициентов в выражениях для фундаментальной функции, ее производных и первообразных произвольного порядка, к действительным.

2.1.7. Нахождение постоянных коэффициентов в выражениях для функции-решения многоточечной краевой задачи и ее производных. Метод базисных вариаций для формирования разрешающей СЛАУ.

2.1.8. Описание программы ВРОЫЭЕ и пример расчета.

2.2. Аналитическое решение многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.2.1. Введение.

2.2.2. Традиционная постановка задачи.

2.2.3. Постановка задачи с использованием обобщенных функций.

2.2.4. Приведение к жордановой форме.

2.2.5. Построение фундаментальных функций подсистем уравнений.

2.2.6. Общее решение исходной задачи.

2.2.7. Вариант представления жордановой формы.

2.2.8. Алгоритмы дифференцирования и интегрирования фундаментальной матрицы-функции.

2.2.9. Нахождение постоянных коэффициентов в выражениях для вектор-функции, решения заданной многоточечной краевой задачи. Метод базисных вариаций для формирования разрешающей СЛАУ.

2.2.10. Описание программы ВРБОЫЭЕ и пример расчета.

2.3. Выводы и результаты по второй главе.

Глава 3. Некоторые специальные вопросы практической реализации методики решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.1. Введение.

3.2. Правые и левые собственные векторы.

3.3. Представление в виде суммы матрицы собственных и корневых векторов.

3.4. Матрицы проектирования.

3.5. Биортогональность левых и правых собственных векторов.

3.6. Представление в виде суммы матрицы коэффициентов.

3.7. Построение фундаментальной матрицы-функции системы уравнений.

3.8. Общее решение исходной задачи.

3.9. Нахождение постоянных коэффициентов в выражениях для вектор-функции, решения заданной многоточечной краевой задачи. Метод базисных вариаций для формирования разрешающей СЛАУ. . 71 3.10. Практический алгоритм решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.11. Применение возмущенной матрицы коэффициентов.

3.12. Описание программ ВР801ЛЭЕ2 и ВРЭОЫЖЗ.

3.13. Выводы и результаты по третьей главе.

Глава 4. Общие вопросы полуаналитического подхода к решению краевых задач расчета конструкций.

4.1. Введение.

4.2. Постановки краевых задач расчета конструкций.

4.3. Характеристическая функция области, способ ее задания, производные и свойства.

4.4. Постановка двумерной задачи теории упругости.

4.4.1. Традиционная постановка задачи.

4.4.2. Операторная постановка задачи с использованием обобщенных функций.

4.4.3. Вариационная постановка задачи. Функционал Лагранжа.

4.5. Постановка трехмерной задачи теории упругости.

4.5.1. Традиционная постановка задачи.

4.5.2. Операторная постановка задачи с использованием обобщенных функций.

4.5.3. Вариационная постановка задачи. Функционал Лагранжа.

4.6. Постановка краевой задачи для уравнения Пуассона оператора Лапласа).

4.6.1. Традиционная постановка задачи.

4.6.2. Операторная постановка задачи с использованием обобщенных функций.

4.6.3. Вариационная постановка задачи.

4.7. Выбор аппроксимирующей сетки.

4.8. Выводы и результаты по четвертой главе.

Глава 5. Полуаналитический конечноэлементный метод расчета конструкций (метод прямых для МКЭ).

5.1. Введение.

5.2. Решение двумерной задачи теории упругости полуаналитическим конечноэлементным методом.

5.2.1. Схема дискретизации конструкции.

5.2.2. Замена переменных и переход к локальной системе координат.

5.2.3. Аппроксимация функций.

5.2.4. Формирование поэлементного вектора узловых нагрузок.

5.2.5. Определение матрицы жесткости конечно-континуального элемента.

5.2.6. Поэлементные дифференциальные соотношения.

5.2.7. Формирование глобальных матриц.

5.2.8. Формирование глобального вектора узловых нагрузок.

5.2.9. Учет граничных условий.

5.2.10. Формирование разрешающей системы.

5.2.11. Описание программного комплекса SAFEM2D и пример расчета.

5.3. Решение трехмерной задачи теории упругости полуаналитическим конечноэлементным методом.

5.3.1. Схема дискретизации конструкции.

5.3.2. Замена переменных и переход к локальной системе координат.

5.3.3. Аппроксимация функций.

5.3.4. Формирование поэлементного вектора узловых нагрузок.

5.3.5. Определение матрицы жесткости конечно-континуального элемента.

5.3.6. Поэлементные дифференциальные соотношения.

5.3.7. Формирование глобальных матриц.

5.3.8. Формирование глобального вектора узловых нагрузок.

5.3.9. Учет граничных условий.

5.3.10. Формирование разрешающей системы.

5.3.11. Описание программного комплекса SAFEM3D.

5.3.12. Исследование напряженно-деформированного состояния рельса.

5.3.12.1. Введение.

5.3.12.2. Исходные данные.

5.3.12.3. Расчетная схема.

5.3.12.4. Расчетная модель.

5.3.12.5. Конечноэлементная расчетная схема.

5.3.12.6. Результаты расчета по программному комплексу ЗАБЕМЗО.

5.4. Выводы и результаты по пятой главе.

Глава 6. Полуаналитический вариационно-разностный метод расчета конструкций (метод прямых для ВРМ).

6.1. Введение.

6.2. Решение двумерной задачи теории упругости полуаналитическим вариационно-разностным методом.

6.2.1. Схема дискретизации конструкции.

6.2.2. Сеточные функции и операции над ними.

6.2.3. Замена переменных и переход к локальной системе координат.

6.2.4. Восполнение сеточных функций.

6.2.5. Аппроксимация операторов.

6.2.6. Учет граничных условий.

6.2.7. Формирование разрешающей системы.

6.2.8. Описание программного комплекса 8АУОМ2Б и пример расчета.

6.3. Решение трехмерной задачи теории упругости полуаналитическим вариационно-разностным методом.

6.3.1. Схема дискретизации конструкции.

6.3.2. Сеточные функции и операции над ними.

6.3.3. Замена переменных и переход к локальной системе координат.

6.3.4. Восполнение сеточных функций.

6.3.5. Аппроксимация операторов.

6.3.6. Учет граничных условий.

6.3.7. Формирование разрешающей системы.

6.3.8. Описание программного комплекса БАУБЫЗО и пример расчета.

6.4. Выводы и результаты по шестой главе.

Важным и ответственным аспектом исследовательских и проектных работ в строительстве является численное исследование физического состояния строительных объектов. В силу достаточной математической сложности решения соответствующих задач, применение ЭВМ является необходимым условием успешного проведения расчетов и снижения сроков проектирования и исследования. Применение средств автоматизации проектирования позволяет уменьшить затраты труда проектировщиков и конструкторов, снизить материалоемкость самих конструкций, способствует повышению эффективности и надежности проектируемых конструкций.

Развитие и совершенствование методов расчета конструкций остается актуальной задачей, поскольку в этом существует постоянная практическая необходимость. Характерной особенностью последнего времени в строительстве является все больший объем работ, связанных с реконструкцией и переделкой старых зданий. В этой связи существует опасность, что непроверенные расчетом конструктивные изменения приведут к аварийной ситуации. Существуют и прочие особенности, например, резкое увеличение строительства домов по индивидуальным проектам с использованием нестандартных строительных материалов и конструктивных решений.

Другим фактором, стимулирующим развитие численных методов, является развитие математических средств и совершенствование математических моделей.

Третьим фактором являются современные особенности развития вычислительной техники. Для компьютерной индустрии характерны чрезвычайно высокие темпы развития и, соответственно, очень быстрое обновление выпускаемой продукции. Наблюдается резкое увеличение парка персональных ЭВМ, обладающих относительно большой мощностью (на базе процессоров Intel Pentium Ill/Coppermine, AMD Athlon/Thunderbird и т.д.) и имеющих богатый сервис. Все это приводит к некоторому отличию программного обеспечения от

ЭВМ предыдущих поколений и открывает новые ранее недоступные возможности, в частности практической реализации в области математического моделирования.

Наряду с совершенствованием математических моделей, возникает и необходимость расчета по этим моделям. Зачастую многие из них, существуя достаточно давно, остаются не реализованными в полной мере до сих пор. Причин этому несколько. В частности, для многих сложных моделей отсутствуют реальные данные, в отличие от простых они не имеют проверенных характеристик. В тоже время и традиционные математические модели в настоящее время могут быть реализованы в большем объеме. Появляются возможности расширения аналитических подходов. Предлагаемая в настоящей диссертации методика расчета по различным оценкам стала практически реализуемой только сейчас.

С одной стороны, основная масса возникающих задач может быть решена с помощью стандартных конечно-элементных комплексов промышленного типа (Abaqus, Adina, Nastran, Ansys, Cosmos и т.д.). Эти программные комплексы достаточно удобны в обращении и имеют развитую сервисную часть в виде пост- и пре- процессоров. С другой стороны, очевидно, что для качественного анализа результатов расчета наиболее предпочтительным во всех отношениях является аналитическое решение. Именно оно позволяет улавливать явления типа краевого эффекта, при которых часть составляющих решения являются быстроизменяющимися функциями, скорость изменения которых не может быть адекватно учтена в рамках стандартного метода конечных элементов. Это обусловлено весьма быстрым убыванием данных функций в пределах конечного элемента заданных размеров. Аналитика же позволяет рассмотреть вид любого всплеска. Кроме того, она дает возможность лучше представить общую картину напряженно-деформированного состояния конструкции и более качественно проанализировать влияние отдельных факторов на ее работу.

Учитывая вышеизложенное, актуальной задачей является разработка и исследование так называемых полуаналитических методов расчета конструкций, сочетающих в себе автоматизированность численных методов и качественную наглядность аналитических решений. Одни из таких полуаналитических методов могут быть реализованы на базе соединения метода стандартной области, операторного подхода, предложенных А.Б. Золотовым и развитых его учениками М.Л. Мозгалевой, А.В. Ларионовым с такими известными методами, как метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностый (ВРМ). Эти соображения и определяют цели и задачи настоящей диссертационной работы.

Разработанные подходы могут, в частности, применятся в задачах расчета конструкций, конструктивных элементов, зданий, сооружений на различные виды воздействий, если имеется постоянство их физико-геометрических характеристик по некоторым координатным направлениям. Здесь следует выделить задачи расчета балок, длинных фундаментов, тонкостенных стержней, балок-стенок, плит, оболочек, высотных и протяженных зданий, трубопроводов, арочных плотин постоянного сечения, рельсов и т. д. Особенно важной для народного хозяйства является проблема расчета рельса, на производство которого идет 10% сталепроката страны. Рельс рассматривается находящимся в условиях трехмерного напряженно-деформированного состояния с учетом поперечных трещин в рамках механики разрушения. В общем случае по выделенным направлениям все перечисленные конструкции имеют различные связи, дефекты и т.д. Таким образом, в качестве расчетной модели принимается многоточечная краевая задача. С математической точки зрения, под многоточечной краевой понимается задача с «внутренними» граничными условиями, представляющую из себя, таким образом, совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на интервалах, имеющих общие границы.

12

6.4. Выводы и результаты по шестой главе.

В параграфах 6.2 и 6.3 настоящей диссертации излагается вариационно-разностный полуаналитический подход к решению соответственно двумерных и трехмерных задач теории упругости. Излагаются вопросы выбора схемы дискретизации, рассматриваются сеточные функции, операции над ними, их восполнение, переход к локальной системе координат, указываются формулы для аппроксимации операторов нулевого, первого и второго порядков, описывается алгоритм формирования разрешающей системы с учетом заданных граничных условий. Приводятся сведения о разработанном программном обеспечении, реализующем предлагаемую методику.

Заключение Основные результаты и выводы

1. Разработана специальная методика получения аналитических решений многоточечных задач расчета конструкций на основе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, позволяющая преодолеть практически все трудности, связанные с явлениями типа краевого эффекта (эффекта малого параметра) и наличием в решении экспоненциальных составляющих с положительными аргументами. Приведены традиционная постановка многоточечной краевой задачи и постановка с использованием обобщенных функций. Общее решение задачи ищется в виде свертки фундаментальной функции уравнения с правой частью последнего. Использование данного представления и аппарата обобщенных функций позволяет преодолеть трудности, связанные с реализацией аналитического решения. Известные свойства фундаментальной функции обеспечивают корректную, с вычислительной точки зрения, постановку задачи и избавляют от тяжеловесных математических и программистских приемов при решении. Фундаментальную функцию в настоящей диссертации предлагается определить однозначно, выбирая ее в некотором специальном виде удобном для решения задач расчета конструкций, реализуемом на ЭВМ. Дополнительное требование состоит в исключении из фундаментальной функции составляющих экспоненциального роста. Полученное выражение всегда соответствует оптимальной обусловленности системы разрешающих уравнений при решении многоточечных краевых задач расчета конструкций. Разработаны удобные алгоритмы дифференцирования и интегрирования фундаментальной функции на основе явных и рекуррентных формул вычисления постоянных коэффициентов в соответствующих выражениях. Предложены два способа нахождения постоянных коэффициентов в выражениях для функции-решения задачи и ее производных - явный матричный способ и метод базисных вариаций. Разработано реализующее методику программное обеспечение, представлен показательный пример расчета.

2. Разработана специальная методика получения аналитических решений многоточечных задач расчета конструкций на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющая преодолеть трудности, связанные с явлением типа краевого эффекта (жесткие системы) и с возможным различием знаков собственных значений матрицы коэффициентов. Приведены традиционная постановка многоточечной краевой задачи и постановка с использованием обобщенных функций. С помощью жорданового разложения матрицы коэффициентов осуществляется переход от исходной системы дифференциальных уравнений к совокупности подсистем меньших порядков. Общее решение задачи ищется в виде свертки фундаментальных матриц-функций указанных подсистем с соответствующими правыми частями последних. Использование данного представления и аппарата обобщенных функций позволяет преодолеть трудности, связанные с реализацией аналитического решения. Известные свойства фундаментальных матриц-функций обеспечивают корректную, с вычислительной точки зрения, постановку задачи и избавляют от тяжеловесных математических и программистских приемов при решении. Фундаментальные матрицы-функции в настоящей диссертации предлагается определить однозначно, выбирая их в некотором специальном виде удобном для решения задач расчета конструкций, реализуемом на ЭВМ. Дополнительное требование состоит в исключении из фундаментальных матриц-функций составляющих экспоненциального роста. Полученные выражения всегда соответствуют оптимальной обусловленности системы разрешающих уравнений при решении многоточечных краевых задач расчета конструкций. Предложен полезный для практики решения задач строительной механики вариант представления жордановой формы. Разработаны удобные алгоритмы дифференцирования и интегрирования фундаментальных матриц-функций с учетом специфики строительных задач. Предложены два способа нахождения постоянных коэффициентов в выражениях для вектор-функции решения задачи - явный матричный способ и метод базисных вариаций. Разработано реализующее методику программное обеспечение, представлен показательный пример расчета.

3. Рассмотрены некоторые специальные вопросы практической реализации методики решения многоточечных задач расчета конструкций на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложен альтернативный подход, не предполагающий определения корневых векторов матрицы коэффициентов для построения ее жорданового разложения. Это особенно существенно, в силу отсутствия соответствующих методов и стандартного программного обеспечения. Указанная методика предполагает отыскание правых и левых собственных векторов матрицы коэффициентов, последующую их сортировку и биортогонализацию и определение необходимых матриц проектирования, возможно возмущение матрицы коэффициентов системы. Изложены некоторые важные алгоритмы и приемы, приведены сведения о разработанном программном обеспечении.

4. Приведены постановки двумерной и трехмерной задач теории упругости, краевой задачи для уравнения Пуассона (оператора Лапласа) применительно к предлагаемым полуаналитическим методам расчета конструкций. Представлены традиционные, вариационные и операторные постановки с использованием аппарата обобщенных функций. Введено понятие характеристической функции области, рассматриваются способы ее задания, основные свойства и производные, в частности, дельта-функция границы. Для постановки и решения краевой задачи исходная область окаймляется расширенной, которая может иметь произвольную форму, в том числе простейшую. Аппроксимация стандартной области состоит в задании сетки, топологически эквивалентной прямоугольной таким образом, чтобы она как можно лучше соответствовала очертаниям поперечного сечения конструкции. Выбор такого класса сеток с одной стороны дает возможность аппроксимировать большое количество разнообразных конструкций, а с другой - позволяет использовать простую регулярную нумерацию узлов, приводящую к удобным математическим формулам, эффективным вычислительным схемам и алгоритмам, а также существенно упрощающую сбор исходной информации и вывод результатов. Переход к прямоугольной сетке с единичным шагом осуществляется локальной элементной заменой координат.

5. Разработан полуаналитический конечноэлементный метод расчета конструкций (метод прямых в МКЭ). Рассмотрены двумерные и трехмерные задачи теории упругости. Введено понятие конечно-континуального элемента. Изложены вопросы выбора схемы дискретизации, перехода к локальной элементной системе координат, аппроксимации функций, формирования локальных и глобальных матриц жесткостей и векторов узловых нагрузок, представлены поэлементные дифференциальные соотношения для конечно-континуальных элементов, указан алгоритм формирования разрешающей системы с учетом заданных граничных условий. Приведены сведения о разработанном программном обеспечении, реализующем предлагаемую методику. Рассмотрена реальная задача исследования напряженно-деформированного состояния рельса.

6. Разработан полуаналитический вариационно-разностный метод расчета конструкций (метод прямых для ВРМ). Рассмотрены двумерные и трехмерные задачи теории упругости. Изложены вопросы выбора схемы дискретизации и перехода к локальной элементной системе координат. Введены понятия сеточных функций и определены операции над ними. Указаны способы восполнения сеточных функций и формулы аппроксимации операторов. Приведен алгоритм формирования раз решающей системы уравнений с учетом заданных граничных условий. Разработано реализующее методику программное обеспечение, представлен показательный пример расчета.

7. На основе разработанных методик и подготовленных программных комплексов проведены исследования напряженно-деформированных состояний реальных конструкций, в частности, рельса с учетом взаимодействия с верхней частью пути и подвижным составом, балок-стенок, брусьев, балочных систем и оболочек.

8. Полученные результаты позволяют оценить влияние краевого эффекта на напряженно-деформированные состояния строительных конструкций,

150

1. Акимов П.А., Золотов А.Б., Мозгалева М.Л., Мсхалая Ж.И. Расчет балки-стенки полуаналитическим вариационно-разностным методом (метод прямых для ВРМ). // «Вопросы прикладной математики и вычислительной механики». М.: МГСУ, 2000, с.5-14.

2. Акимов П.А., Золотов А.Б., Мсхалая Ж.И. Алгоритм регуляризаций обобщенных функций для решения интегральных уравнений с неинтегри-руемым ядром. Сдано на депонирование в ВИНИТИ. Москва. МГСУ. 2000 г.

3. Акимов П.А., Золотов А.Б., Мсхалая Ж.И. Расчет балок на упругом полупространстве и полуплоскости методом регуляризации обобщенных функций. Сдано на депонирование в ВИНИТИ. Москва. МГСУ. 2000 г.

4. Акимов П.А., Сидоров В.Н., Ширинский В.И., Пржебельский В.В. Расчет балки-стенки полуаналитическим методом конечных элементов (метод прямых для МКЭ). // «Вопросы прикладной математики и вычислительной механики». -М.: МГСУ, 2000, с. 15-25.

5. Александров A.B., Лащенников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983.-488 с.

6. Ю.Александров A.B., Лащенников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А.

7. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

8. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Стройиздат, 1968. - 240 с.

9. Астраханцев Г.П. Конечноразностный метод решения третьей краевой задачи для эллиптических и параболических уравнений в произвольной области. // ЖВМ и МФ, 1971, т.11, №1, с.105-120.

10. Астраханцев Г.П. Метод фиктивных областей для эллиптических уравнений второго порядка с естественными граничными условиями. // ЖВМ и МФ, 1978, т. 18, №1, с.118-125.

11. Астаханцев Г.П., Руховец Г.А. Метод Р.П. Федоренко для вариационно-разностных схем с экстраполяцией. // Сб. Вариационно-разностные методы вматематической физике. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1981, с.20-26.

12. Бартеньев О.В. Графика OpenGL: программирование на Фортране. М.: Диалог-МИФИ, 2000. -368 с.

13. Бартеньев О.В. Современный Фортран. -М.: Диалог-МИФИ, 1998. -397с.

14. Бартеньев О.В. Фортран для студентов. -М.: Диалог-МИФИ, 1999- 400с.

15. Бартеньев О.В. Visual Fortran: новые возможности. М.: Диалог-МИФИ, 1999.-304 с.

16. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 442 с.

17. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор. // ЖВМ и МФ, 1966, т.6, №5, с.861-883.

18. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975. - 632 с.

19. Белецки Я. Алгоритмические языки. ФОРТРАН-77. М.: «Высшая школа». 1991.

20. Белый М.В., Булгаков В.Е., Золотое А.Б. Полуитерационный многосеточный метод и его программная реализация для решения пространственных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1987, т.27, №6, с.875-888.

21. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

22. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высшая школа, 1990.

23. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М., Мир, 1987. - 524 с.

24. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М., Мир, 1984.

25. Белый М.В., Булгаков В.Е., Золотое А.Б. Полуитерационный многосеточный метод и его программная реализация для решения пространственных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1987, т.27, №6, с.875-888.

26. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. -М.: Машиностроение, 1988. 256 с.

27. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Издательство иностр. лит., 1963.

28. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Издательство АСВ, 1995.-572 с.

29. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.-542 с.

30. Венцель Э.С. Решение некоторых линейных краевых задач теории упругости со сложным оператором с помощью простых краевых задач. // Докл. АН УССР, Сер.А, №8,1980, с.35-38.

31. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999. - 528 с.

32. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. - 320 с.

33. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Москва. «Наука». 1967 г.-436 с.

34. Власов В.З. Избранные труды. М.: Издательство АН СССР, т.1, 1962.

35. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. - 491 с.

36. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984. 428 с.

37. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

38. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск 1.-М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 470 с.

39. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

40. Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели и их применение в строительной механике. Сб. ВИОС №2, Госстройиздат, 1934.

41. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). -М., Наука, 1977.-440 с.

42. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. -548 с.

43. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1984.

44. Городецкий A.C. Численная реализация метода конечных элементов. // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1973, вып. XX, с.31-42.

45. Городецкий A.C., Заврицкий В.И., Лантух-Лященко А.И., Рассказов

46. А.О. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений. М.: Транспорт, 1981. - 141 с.

47. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука. Физматлит, - 272 с.

48. Дарков A.B., Клейн Г.К., Кузнецов В.И. и др.; под ред. Даркова A.B. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1986. - 600 с.

49. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1986.

50. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 95 с.

51. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. -Киев: Наукова думка, 1964.

52. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Ассимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. -М.: Наука, 1989.

53. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. М.: Издательство МГУ, 1971.

54. Желнин Г.Г., Лысюк B.C. Методика оценки воздействия подвижного состава на путь по условиям обеспечения его надежности.-М.: Типография1. ГУЛ ВНИИЖТ, 2000. 44 с.

55. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике.-М.: Мир, 1975.-542 с.

56. Зенкевич О.С., Морган Н. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

57. Зенкевич О.С., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. - 238 с.

58. Золотов А.Б. К расчету трехмерных конструкций на ЭВМ. // Строительная механика и расчет сооружений, 1969, №6, с.22-27.

59. Золотов А.Б. Постановка и алгоритмы численного решения краевых задач строительной механики методом стандартной области. // Автореф. дис. на соиск. учен. степ. докт. техн. наук. -М.: 1989.

60. Золотов А.Б. Формулировка задачи Неймана для уравнения Пуассона и второй краевой задачи пространственной теории упругости в терминах обобщенных функций. Численные методы и алгоритмы. // Труды ЦНИИСК, вып.9, М., 1970.

61. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников А.М. Численные методы решениязадач строительной механики. Минск. Вышэйп школа, 1990. - 348 с.

62. Кальдерон А. Краевые задачи для эллиптических уравнений. Советско-американский симпозиум по уравнениям с частными производными в Новосибирске. // Издательство АН СССР М.: 1963, с.303-304.

63. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1971.-576 с.

64. Капорин И.Е., Николаев Е.С. Метод фиктивных неизвестных для решения разностных уравнений эллиптического типа в областях сложной формы. // Докл. АН СССР, т.251, №3, с.544-548.

65. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Мир, 1981.-436 с.

66. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

67. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978.

68. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. М.: Стройиздат, 1969.-431 с.

69. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Издательство МГУ, 1994. 189 с.

70. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1987.

71. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задачам равновесия, колебания и устойчивости плит и мембран. // Прикл. Математика и механика, 1940, т.4, №5-6, с.61-72.

72. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.

73. Кудряшов И.А., Кушнер Н.Х., Петрова Л.В., Силов H.A. Программирование, отладка и решение задач на ЭВМ единой серии. Язык ФОРТРАН. JL: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1988.

74. Купрадзе В.Д., ГегелиаТ.Г., Валейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М., Наука, 1976. - 664 с. 91 .Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1978. - 280 с.

75. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 524 с.

76. Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Диссертация на соискание уч. степени доктора техн. наук. М., 1971. - 265 с.

77. Леонтьев H.H., Соболев Д.Н., Амосов A.A. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Издательство АСВ, 1996. - 541 с.

78. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. -M.-JI.: ОГИЗ, 1947. 459 с.

79. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Гостехиздат, 1950.

80. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1947.

81. Ливсли. Матричные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1980.-224 с.

82. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.-М.: Мир, 1971.-371 с.

83. Лужин О.В. Расчет плиты при сложном очертании края. // Сб. «Исследования по теории сооружений», вып. XII. М.: Госстройиздат, 1963.

84. Ляв А. Математическая теория упругости. M.-JI.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР. Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1935.

85. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Издательство ленинградского университета, 1987. - 224 с.

86. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М.: Наука, 1980.-536с.

87. Меткалф М., Рид Дж. Описание языка программирования ФОРТРАН-90. -М.: Мир, 1995.-302 с.

88. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

89. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. - 575 с.

90. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

91. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962.

92. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. М.-Л.: Гос. Из-дат. технико-теоретической литературы, 1950. - 428 с.

93. Мозгалева МЛ., Золотое А.Б., Акимов П.А., МсхалаяЖЛ. Метод прямых для решения пространственной задачи теории упругости вариационно-разностным методом (ВРМ). // «Вопросы прикладной математики и вычислительной механики».-М.: МГСУ, 2000г, с.108-115.

94. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов. М.: Наука, 1980.-256 с.

95. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

96. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951.

97. Оганесян Л.А. Метод Федоренко-Бахвалова для двумерного эллиптического уравнения в случае условий Дирихле. // Изв. АН Арм. ССР. Сер. Ма-тем. 1983, т. 18, №2, с.97-115.

98. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений Ереван: Издательство АН Армянской ССР, 1979.

99. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

100. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. 376 с.

101. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. -М.: Наука, 1981.

102. Пастушихин В.Н. Колебания пластинок и оболочек из нелинейных почти упругих материалов. Диссертация на соискание уч. степени доктора техн. наук. М., 1967.-322 с.

103. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Издательство МГУ, 1995. 366 с.

104. Полак JI.C. Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике. М.: Физматгиз, 1960.

105. Попов Е.П. Теория и расчет гибких и упругих стержней. М.: Наука, 1986 -296 с.

106. Постнов В.А., Дмитриев С.А. и др. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. -J1.: Судостроение, 1979.

107. Постнов В.А., Харчурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JI.: Судостроение, 1974.

108. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 774 с.

109. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Мир, 1985.-590 с.

110. Рихтмайер М., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.

111. Ржаницын А.Р. Представление сплошного изотропного тела в виде шар-нирно-стержневой системы. // Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности. М., Госстройиздат, 1977, с. 84-96.

112. Ржаницын А.Р. Строительная механика.-М.: Высшая школа, 1982.-400 с.

113. Рихтмайер М., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.

114. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. JL: Издательство ЛГУ, 1978. - 224 с.

115. Розин JI.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения.

116. СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998. 532 с.

117. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.- М.: Стройиздат, 1977. 129 с.

118. Рябенький B.C. Граничные уравнения с проекторами. // УМН, т.4, вып. 2 (242), 1985. с.121-149.

119. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. -552 с.

120. Самарский А.А, Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. -М.: Наука, 1976.

121. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные метолы М.: Наука, 1989.-432 с.

122. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М., Наука, 1978. 592 с.

123. Самохин А.Б., Самохина A.C. ФОРТРАН и вычислительные методы для пользователя IBM PC. М.: Русина, 1994. - 120 с.

124. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960.

125. Сахаров A.C., Кислоцкий В.Н., Киричевский В.В. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1993.

126. Сборник научных программ на Фортране. Руководство для программиста. Вып. 2. Матричная и линейная алгебра. / Пер. с англ. С .Я. Виленкина.- М.: Статистика. 1974. - 224 с.

127. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

128. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993.

129. Снитко Н.К. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1972. - 488 с.

130. Соболев СЛ. Уравнения математической физики. -М.: Гостехиздат, 1954.

131. Справочник проектировщика промышленных жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. Под. Ред. A.A. Уман-ского. Книга 2. М.: Стройиздат, 1973. - 415с.

132. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980 - 454 с.

133. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1980.

134. СьярлеФ. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980.

135. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967.

136. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Тома 1, 2. Элементарная теория и задачи. М.: Физматгиз, 1960 - 379 е.; М.: Наука, 1965. - 480 с.

137. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

138. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. -М.: Мир, 1975.-576 с.

139. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань.: Издательство Казанского университета. 1986. -292 с.

140. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 564 с.

141. Уорд Т., Бромхед Э. Фортран и искусство программирования персональных ЭВМ. М.: Радио и связь, 1993. - 352 с.

142. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Гос. издательство физ.-мат. литературы, 1960. - 656 с.

143. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994. - 528 с.

144. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений. // Успехи мат. наук, 1973, т.28, вып.2, с.121-182.

145. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса. // ЖВМ и МФ, 1964, т.4, №3, с.559-564.

146. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

147. ФОРТРАН 90 Международный стандарт. М.: Финансы и статистика, 1998.-416 с.

148. Хечумов P.A., Кепплер Х.,Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Издательство АСВ, 1994. - 353 с.

149. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 655 с.

150. Цейтлин А.И. Некоторые методы расчета конструкций, лежащих на упругом основании. //Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д.т.н. (022). М.: 1968.

151. Цейтлин А.И., Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. М.: Стройиздат, 1984. - 334 с.

152. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. Методы граничных элементов в строительной механике. Ереван: Луйс, 1987. - 199 с.

153. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.-288 с.

154. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д. и др. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. М.: Машиностроение, 1981.

155. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.

156. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.-327 с.

157. Шмельтер Я., Дацко М., Доброгинский С., Вегорек М. Метод конечных элементов в статике сооружений. М.: Стройиздат, 1986. - 220 с.

158. Щербинин А.В. Диалог на языке Фортран-77. М.: Машиностроение, 1993.-141 с.

159. Cheung Y.K. The Finite Strip Method in the Analysis of Elastic Plates with Two Opposite Simply Supported Ends. //Proc. Inst. Civ. Eng., 40,1968. p. 1-7.

160. Cheung Y.K. Finite Strip Method of Analysis of Elastic Slabs. // Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, EM6,1968. p.1365-1378.

161. Cheung Y.K. Folded plate structures by the Finite Strip Method. // Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, ST, 1969. p.2963-2979.

162. Cheung Y.K. The Analysis of Cylindrical Orthotropic Curved Bridge Decks. // Publ. Int. Ass. Struct. Eng., 29-11, 1969. p.41-52.

163. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and variations. // Bull. Amer. Math. Col., vol.49, №1,1943, p.1-23.

164. Fried I. Finite Element Analysis of Problems Formulated by an Integral Equations; Application to Potential Flow, Inst, fur Static undDynamik, Luftund

165. Raumfahrtsanstalt, Stuttgart, 1968.

166. Grafton P.E., Strome D.R. Analysis of Axi-Symmetric Shells by the Direct Stiffness Method. // JAIAA, 1, 1963. p.2342-2347.

167. Hackbush W. Multi-grid Methods and Applications. Berlin; N.Y.: SpringerVerlag, 1985.

168. Hackbush W., Trottenberg V. Multi-grid Methods, Proceedings, Koln-Porz, Nov. 1981. // Lect. Notes Math. 1982. - V.960.

169. Hrennikoff A. Solution of Problems of Elasticity by the Frame Work Method. // J. Appl. Mech., 1941.

170. Massonnet C.E. Numerical Use of Integral Procedures. // Ch. 10 in: Stress Analysis, Zienkiewics O.C., Hollister G.S., eds., Wiley, 1965.

171. Morley L.S.D. A Finite Element Application of Modified Rayleigh Ritz Method. // Int. J. Num. Meth. In Eng., 2,1970. p.85-98.

172. Peaceman D., Rachford H. The Numerical Solution of Parabolic and Elliptic Differential equations. // J. Soc. Ind. Appl. Math. 1955, v.3, №1. p.28-41.

173. Seeley R.T. Singular Integrals and Boundary Value Problems. // Amer. J. Math., v.88, №4,1966, p.781-890.

174. Stricklin J.A., De Andrade J.C. Linear and Non Linear Analysis of Shells of Revolution with Asymmerical Stiffness Properties. // Proc. 2nd Conf. Matrix Methods Struct Mech., Air Force Inst. Of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.

175. Wilson E.L. Structural Analysis of Axi-Symmetric Solids. // JAIAA, 3, 1065. p.2269-2274.

176. Zienkiewicz O.C., Cheung Y.K. Stresses in Shafts. // The Engineer, 24 Nov., 1967.

177. Zienkiewicz O.C., Gerstner R.W. The Method of Interface Stress Adjustment and Its Uses in Some Plane Elasticity Problems. // Int. J. Mech. Sei., 2, 1961. P. 267-276.

178. Zienkiewicz O.C., Gerstner R.W. Stress Analysis and Special Problems of Prestressed Dams // Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 87, POI, 1961. p.7-43.165