автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Алгогитмизация расчета конструкций методом сил

На правах рукописи

РГ5 ОД 3 О м!) 2303

Бугаева Татьяна Николаевна

УДК 624.072.33

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ СИЛ

Специальность 05.23.17-Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт - Петербург 2000

Работа выполнена на кафедре строительной механики и теории упругости Сашсг-Пстербургского Государственного Технического Университета.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

В.В. ЛАЛИН Научный консультант - Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор

Л .А. РОЗИН

Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор В.И. Сливкер - кандидат технических наук, доцент Г.В. Ширяев

Ведущая организация - АО "Ленгидропроект"

Защита состоится "30" мая 2000 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 063.38.08 в Санкт - Петербургском Государственном Техническом Университете по адресу: 195251, Санкт - Петербург, Политехническая ул. 29, ПГК, ауд. 411.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПбГТУ.

Автореферат разослан 2000 г.

Ученый секретарь диссертаодшшого

■1

совета: доцент, к.т.н. ( Рукавишников В. А.

а

инг.он.о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Большинство существующих программных комплексов для расчета стержневых систем используют метод перемещений. Простота алгоритмизации и программирования метода перемещений связана со следующими свойствами: выбор и нумерация узлов в стержневой системе полностью определяют блочную структуру матрицы разрешающей системы уравнений, т.е. после нумерации узлов можно однозначно указать расположение нулевых и ненулевых блоков в этой матрице. К достоинствам метода перемещений относятся следующие свойства разрешающей системы уравнений: 1) слабая заполненность, 2) ленточный характер ( при "разумйой" нумерации узлов), 3) как правило, хорошая обусловленность.

Трудоемкость алгоритмизации метода сил связана с тем, что выбор и нумерация узлов и элементов в стержневой системе не определяют однозначно структуру матрицы разрешающей системы уравнений метода сил. Известные способы алгоритмизации метода сил основаны на построении общего решения однородных уравнений равновесия узлов путем того или иного численного способа анализа матрицы узловых уравнений равновесия. При этом структура разрешающей системы уравнений зависит от выбранного способа анализа и обеспечить ее положительные свойства становится затруднительно. Все это, а также необходимость выполнения операций на ЭВМ для построения общего решения однородных уравнений равновесия, делает существующие алгоритмы метода сил значительно менее эффективными по сравнению со стандартным алгоритмом метода перемещений для расчета произвольных статически неопределимых стержневых систем. Задача построения эффективного алгоритма метода сил для произвольных статически неопределимых стержневых систем сравнимого по сложности с алгоритмом метода перемещений и обладающего перечисленными выше положительными свойствами последнего, продолжает оставаться актуальной.

Цель и задачи диссертации. Основной целью работы являлась разработка и развитие эффективного способа построения общего решения однородных уравнений равновесия произвольных статически неопределимых стержневых систем, общая идея которого предложена В.В. Лалиным. Создание

на основе этого способа алгоритма метода сил, сравнимого по сложности с алгоритмом метода перемещений и позволяющего получать разрешающую систему уравнений со следующими, как и в методе перемещений, положительными свойствами: 1) слабая заполненность, 2) ленточный характер, 3) как правило, хорошая обусловленность.

Следующими целями работы являлись разработка на основе предложенного алгоритма программы для расчета статически неопределимых стержневых систем; сравнение обусловленности матриц податливости (в методе сил) и жесткости (в методе перемещений); решение с помощью данного метода задач, имеющих практическое применение.

Научная новизна работы. В настоящей работе на примере плоских и плоско-пространственных (т.е. изгибаемых из своей плоскости) стержневых систем обосновывается следующее утверждение: существует естественный алгоритм формирования матрицы разрешающей системы уравнений метода сил, аналогичный по сложности алгоритму метода перемещений. Предлагаемый алгоритм обладает следующим важным свойством: нумерация контуров стержневой системы полностью определяет структуру матрицы разрешающих уравнений метода сил. Это свойство доказывает, что программирование такого алгоритма не сложнее программирования метода перемещений, и позволяет эффективно применять метод сил при расчете стержневых систем на ЭВМ.

На основе предложенного алгоритма разработана программа для расчета статически неопределимых плоских стержневых систем.

Предложен способ сведения произвольной нагрузки, действующей на стержневую систему к начальным деформациям.

Проведено исследование обусловленности матриц податливости в методе сил и матриц жесткости в методе перемещений для статически неопределимых стержневых систем. Выявлена возможность изменять число обусловленности матрицы податливости, что является одним из преимуществ предложенного алгоритма метода сил по сравнению с методом перемещений.

Практическая ценность. Полученные результаты позволяют эффективно применять метод сил при компьютерных расчетах сложных статически неопределимых стержневых систем.

На основе разработанного метода и составленной про1раммы решена практическая задача по определению напряженно-деформированного состояния садовой стержневой решетки в г. Санкт-Петербурге. На основе полученных результатов были даны рекомендации по рациональному закреплению решетки и сведения об имеющихся наиболее напряженных участках решетки. Результаты расчетов использованы научно-производственным объединением РАНД для обоснования инженерных мероприятий по реставрации решетки и восстановлению первоначального положения колони.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на 2-й международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлических конструкций и методы их решения" в СПбГТУ, Санкт-Петербург, ноябрь 1997 г. На 3-й международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения" в СПбГТУ, Саша-Петербург, октябрь 1999г. и на семинарах кафедры строительной механики и теории упругости СПбГТУ, Санкт-Петербург.

Публикации. По теме диссертации опубликовано десять печатных работ [1-10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка из 64 наименований. Общий объем 151 страница, включая 107 рисунков и 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации.

Основные уравнения статики стержневых систем могут быть записаны в следующем виде:

Лг<т=Р, (1)

(3)

где Р-столбец заданной узловой нагрузки, и- столбец перемещений узлов, а -

столбец обобщенных усилий, е-столбец обобщенных перемещений (деформаций), е° -столбец заданных начальных деформаций, Л-квазидиагональная матрица, состоящая из матриц податливости стержней, еу-столбец деформаций, связанных с усилиями, А-заданная матрица, (-)т-операция транспонирования матрицы.

Уравнения (1)- это уравне1шя равновесия узлов, (2)-уравнения связи деформации-перемещения, (3)-физические уравнения.

Решение уравнений (1) для статически неопределимых систем может быть записано в виде

сг= 5ГФ + <хс , (4)

где <тс - любое частное решение уравнений (1), Ф-столбец новых неизвестных ("лишние" неизвестные по терминологии классической строительной механики).

Основная трудность получения представления (4) заключается в построении матрицы Вт, или , другими словами, в построении общего решения однородных уравнений равновесия.

Для построения матрицы Ят предлагались различные процедуры, смысл которых в том или ином способе анализа матрицы уравнений равновесия Ат с целью нахождения в ней невырожденного блока или полной системы линейно-независимых столбцов. Л. А. Розиным предложен прямой анализ столбцов матрицы А7 с одновременной оптимизацией выбора линейнонезависимых из них. В. Г. Бусыгиным предложен поиск базисных столбцов матрицы тех уравнений равновесия узлов системы элементов, которые составлены по направлениям неизвестных перемещений. Сведение задачи к полной проблеме собстаенных значений для матрицы ЛтА рассмотрено в трудах Дж. Робинсона, Г. В. Хаггенмахера, Р. Контини. В работах М. Е. Гибшман дан специальный алгоритм анализа матрицы смежности графа конструкции. Для стержневых систем частного вида разработаны и более простые алгоритмы, например, для рамных систем без шарниров анализ столбцов матрицы А т сведен к логическим операциям над матрицей инциденций графа конструкции. Данные алгоритмы освещены в работах А. П. Филина, М. А. Шварца, О. Д. Тананайко и др. При наличии шарниров предлагалось переходить к смешанному методу, вводя в качестве дополнительных неизвестных углы поворота во вспомогательных

защемлениях. Переход к смешанному методу, как способ избежать трудностей автоматического выбора основной системы метода сил, рассматривался в работах Р. А. Резникова.

Поскольку невырожденный блок в матрице Ат, как правило, можно выбрать неединственным образом, то матрица разрешающей системы уравнений метода сил не определяется единственным образом разбиением стержневой системы на элементы. Эта неединственность не позволяет говорить о наличии какого-либо стандартного алгоритма метода сил - алгоритм формирования разрешающей системы уравнений оказывается жестко связанным с выбранным алгоритмом построения матрицы Вт. Необходимость хранить в памяти ЭВМ матрицу А7и проводить операции с ней для построения матрицы Вт и делает подобные алгоритмы метода сил значительно менее эффективными для расчетов на ЭВМ по сравнению с методом перемещейий.'

В.В. Лалиным был предложен метод построения общего решения однородных уравнений равновесия, сущность которого состоит в полном отказе от анализа матрицы Ати заключается в прямом построении уравнений совместности деформаций. В силу сопряженности уравнений (1) и (2), т.е. взаимной транспонированности входящих в них матриц, матрица В уравнений совместности деформаций

#(<?'+е°)=0 (5)

равна транспонированной матрице общего решения однородных уравнений равновесия. Как показано в работах В.В. Лалина матрицу В, в отличии от матрицы В7, можно построить в явном виде для произвольной стержневой системы, исходя из простых алгебраических и геометрических соображений. При этом матрица уравнений равновесия А т нигде не используется.

Разрешающая система уравнений метода сил получается подстановкой в уравнение (5) выражений (2), (4) и имеет следующий вид

ВЛВТФ = -В[е" + Аетс). (6)

По аналогии с методом перемещений матрицу системы (6)

1, = ВЛВТ (7)

можно назвать матрицей податливости конструкции. Определив из уравнения

(б) неизвестные Ф, по формуле (4) можно найти усилия а.

Однако, использованный в работах В.В. Лалина выбор усилий а и деформаций е приводил к сложной структуре матрицы В, а также к необходимости хранения в памяти ЭВМ матриц совместности деформаций для всех статически неопределимых контуров конструкции. К тому же оставался открытым вопрос об эффективном способе построения частного решения ас.

В настоящей работе предложен такой выбор неизвестных а и«, который приводит к простейшей структуре матрицы совместности деформаций В (блоки этой матрицы становятся единичными матрицами) и хранение этой матрицы в памяти ЭВМ становится не нужным. Вместо построения частного решения уравнений равновесия <т, разработан способ сведения произвольной нагрузки на стержневую систему к начальным деформациям.

В результате строится алгоритм метода сил, сравнимый по сложности и по своим свойствам с алгоритмом метода перемещений. В предлагаемом алгоритме выбор и нумерация независимых контуров стержневой системы единственным образом определяют блочную структуру матрицы податливости конструкции Ь.

Далее во введении излагается краткое содержание глав.

В первой главе рассматриваются последовательно стержни, являющиеся элементами плоских и плоскопространственных стержневых систем. Приводятся определения деформаций и обобщенных усилий для отдельного стержня. Три однородных уравнения равновесия стержня связывают шесть узловых усилий. Три независимые усилия можно принять за столбец обобщенных усилий ст.

Выберем произвольную точку А, назовем ее точкой приведения и проведем к ней абсолютно жесткие консоли из узлов стержня (рис.1). Тогда в качестве а можно взя ть усилия, приложенные к концу правой консоли в точке приведения А.

= [Рх Рг М], (8)

где , Р7 -проекции силы Р на оси X и У; М- изгибающий момент.

Столбец усилий <т-это три величины, через которые можно выразить узловые усилия, чтобы автоматически выполнялись однородные уравнения

равновесия стержня при любом а. Т.е. а является общим решением однородных уравнений равновесия стержня.

Под деформациями будем понимать такие линейные комбинации узловых перемещений, которые, во-первых, энергетически соответствуют обобщенным усилиям, т.е. произведение деформаций на усилия <т равняется работе узловых сил на узловых перемещениях; во-вторых, тождественно равны нулю при любом жестком смещении стержня. Физический смысл деформаций следующий: деформации е-это перемещения по направлению выбранных а. В нашем случае

ет = [ех е? в], (9)

где е„- взаимные перемещения концов консолей в направлении оси X, ет- взаимные перемещения концов консолей в направлении оси У, О- взаимный угол поворота концов консолей .

Введение понятия деформаций позволяет получить неособенные матрицы податливости даже для стержней, незакрепленных от перемещений как жесткого целого.

Рассматриваются два способа построения матрицы податливости произвольного, плоского стержня: на основе выражения для энергии деформации стержня; и путем непосредственного вычисления коэффициентов податливости с помощью интеграла Максвелла-Мора. Узлы стержня могут быть как жесткими, так и шарнирными. Полученные матрицы податливости являются неособенными для любых стержней. Приводятся результаты для частных случаев: прямолинейный стержень, дуга окружности, полуокружность. Устанавливается связь между матрицами податливости для стержней с двумя жесткими узлами, одним шарнирным и двумя шарнирными узлами.

Выводятся правила последовательного и параллельного соединения стержней с различными типами узлов ( жестких и шарнирных): при последовательном соединении стержней их матрицы податливости складываются, а при параллельном соединении - складываются их матрицы жесткости.

Указанное простое правило дои последовательного соединения стержней получается за счет возможности использовать произвольное положение точки приведения: матрицы податливости для последовательно соединенных стержней можно складывать только, если для всех стержней использовать одну и ту же точку приведения.

Во второй главе на основании правил, полученных для последовательного и параллельного соединения стержней, получены уравнения совместности деформаций для отдельных контуров плоских стержневых систем. Эти уравнения имеют следующий смысл: алгебраическая сумма деформаций в замкнутом контуре равна нулю. Рассмотрены статически неопределимые контуры с различным числом шарниров. В реальной стержневой системе, содержащей множество контуров, матрица совместности деформаций стержневой системы состоит из блочных строк, каждая из которых содержит матрицу совместности соответствующего контура.

Смысл проводимых построений заключается в том, что необходимая для метода сил матрица общего решения однородных уравнений равновесия получается простым транспонированием матрицы совместности деформаций.

Доказывается, что матрица податливости стержневой системы в

10

предложенном алгоритме имеет следующую структуру:

1)Диагональные блоки состоят из матриц податливости контуров. Матрица податливости контура равна сумме матриц податливости стержней, входящих в него.

2) Недиагональные блоки состоят из матриц податливости стержней, общих у двух соседних кошуров.

3)Если два контура не имеют общих стержней, соответствующий блок матрицы податливости является нулевым.

Следовательно, структура матрицы податливости зависит только от нумерации контуров. Как только занумерованы контуры, можно однозначно указать расположение нулевых и ненулевых блоков в матрице податливости системы. Учитывая , что недиагональные блоки отличны от нуля только для контуров, имеющих общие стержни, то для больших систем матрица податливости будет слабо заполненной и при "разумной" нумерации контуров носить ленточный характер. Т.к. деформации обращаются в нуль при жестком смещении, то матрица податливости будет положительно определенной, даже для системы не закрепленной от смещения как жесткого целого.

Основное достоинство предлагаемого метода заключается в следующем. Имея матрицы податливости отдельных стержней Л и номера кошуров, сразу можно составить матрицу податливости системы. Матрица совместности деформаций в не нужна . Этим достигается полная аналогия с методом перемещений, в котором можно составить матрицу жесткости системы сразу, имея матрицы жесткости стержней и номера узлов.

СОЕ Р О Н I

Рис. 2

А

-

1 кон.

В «Г

в!

2 кон.

4 кон.

N

3 кон.

Б

6 кон.

О

7 кон.

Рис.3

В начале расчета статически неопределимой стержневой системы необходимо выбрать в ней статически неопределимые, независимые контуры. Число уравнений совместности для всех таких котуров должно быть равно степени статической неопределимости системы. Контуры называются независимыми, если они отличаются хотя бы одним стержнем.

На рис.2 приведен пример 18 раз статически неопределимой стержневой системы. Один из вариантов разбиения данной системы на контуры изображен на рис.3. Для 2-х контуров (№ 5, № 6) составляются по 3 уравнения совместности деформаций, для 4-х контуров №№ (2,7,9,10) - по 2, для 4-х №№ (1,3,4,8) - по 1 уравнению. Общее количество уравнений совместности деформаций равно степени статической неопределимости системы. Структура матрицы податливости системы будет следующей:

, где X - ненулевой блок; незаполненные блоки- нулевые.

Чтобы избежать сложной процедуры построения частного решения уравнений равновесия предложен способ сведения произвольной нагрузки, действующей на стержневую систему, к начальным деформациям. Приводится алгоритм расчета систем на температурные воздействия и неточность изготовлегога. В результате расчет статически неопределимой стержневой системы на любые внешние воздействия сводится к решению двух задач: к расчету отдельных статически определимых контуров на заданную нагрузку и. к расчету всей системы на начальные деформации.

Предложенный способ иллюстрируется на примерах расчета плоских и плоско-пространственных стержневых систем.

В третьей главе приводится блок-схема программы для расчета статически неопределимых плоских стержневых систем как с шарнирами, так и без шарниров, разработанная на основе предложенного алгоритма . С помощью данной программы можно рассчитывать системы на следующие виды воздействий: силовая и моментная нагрузка произвольного вида, температурные воздействия, осадка опор, неточность изготовления конструкции. Программа разработана для IBM PC на языке программирования Турбо Паскаль.

Программа вычисляет матрицы податливости стержней А, формирует матрицу податливости конструкции L, находит неизвестные Ф и по ним определяет усилия сг. При этом физический смысл неизвестных Ф может оставаться неизвестным расчетчику. Затем по известным о программа вычисляет усилия на концах каждого стерши, зная которые можно легко

X

Y У

х ~х

X

~х "х

X

~х

X X

X

'х ~х

X

"х

"х)х \~х~

X

"х

L

построить эпюры внутренних усилий.

Программа также позволяет определять число обусловленности матрицы системы разрешающих уравнений, т.е. матрицы податливости системы.

В качестве исходных данных задаются: информация о контурах и о стержнях, а также начальные деформации в каждом контуре.

Проводится исследование обусловленности матриц податливости в методе сил и матриц жесткости в методе перемещений для статически неопределимых стержневых систем.

Из приведенных в работе примеров можно сделать следующие выводы:

а) Число обусловленности матрицы податливости системы можно менять, выбирая различные положения точки приведения А (если система имеет хотя бы один бесшарнирный контур).

б) Если система не имеет бесшарнирных жестких контуров, матрица податливости и число обусловленности эт ой матрицы не зависит от положения точки приведения А.

в) Рекомендуется располагать точку приведения А в центре жесткой части системы, тогда число обусловленности матрицы податливости будет близко к минимальному.

Одним из преимуществ предложенного алгоритма метода сил по сравнению с методом перемещений является возможность менять число обусловленности матрицы разрешающей системы уравнений путем перемещения точки приведения в различные положения. Тем самым можно уменьшать число обусловленности матрицы податливости в методе сил. В методе перемещений после выбора нумерации узлов число обусловленности матрицы разрешающей системы уравнений фиксировано. В результате сравнения обусловленности матриц податливости (в методе сил) и жесткости (в методе перемещений) установлено, что для некоторых систем число обусловленности матриц податливости предложенного метода можно сделать на несколько порядков меньше числа обусловленности матрицы жесткости.

На рис.4 изображены несколько примеров стержневых систем, для которых проводилось сравнение обусловленности матриц податливости и жесткости. Результаты сравнения приведены в таблице 1.

а) б) в)

Рис.4 Таблица 1

Система Рис. 4а Рис, 46 Рис. 4в

«V А 105 1,2-103 4-Ю4

где д~, - число обусловленности матрицы жесткости системы, дс- число обусловленности матрицы податливости системы.

В четвертой главе на основе разработанного метода и составленной программы приведены результаты решения практической задачи по определению напряженно-деформированного состояния садовой стержневой решетки в г. Санкт-Петербурге. Приведены расчетные схемы решетки и разбиения данной решетки на контуры. Исследуется напряженное состояние решетки при различных видах связи решетки с колоннами. Произведен подбор рационального закрепления решетки. Рассмотрены три схемы. В первой схеме нижний пояс решетки опирается на три фундаментных блока. Опирание решетки на блоки учтено постановкой дополнительных опорных связей в узлах нижнего пояса решетки. Во второй схеме нижний пояс решетки не опирается на фундаментные блоки. В третьей схеме часть решетки опирается на один фундаментный блок вблизи правой колонны. Расчет производится на вертикальную осадку фундамента правой колонны на 0.195м и повороты всех закреплений на угол гр- 0,029рад. Угол <р- максимальный угол поворота,

который допускает свинцовая чеканка в защемлениях решетки. Фундаментные блоки, на которые опирается решетка смещены относительно друг друга, что учтено смещением дополнительных опор.

Все заданные смещения приведены к начальным деформациям. В результате работы программы были получены внутренние усилия в стержнях. Приведены эгаоры изгибающих моментов на наиболее напряженных участках решетки. Вычисленные напряжения в стержнях с наибольшими внутренними усилиями не превышают допускаемых напряжений.

На основе полученных результатов были даны рекомендации по рациональному закреплению решетки и сведения об имеющихся наиболее напряженных участках решетки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты проделанной работы можно сформулировать следующим образом:

1) Разработан эффективный способ построения общего решения однородных уравнений равновесия произвольных статически неопределимых стержневых систем. Способ основан на прямом построении матрицы совместности деформаций стержневых систем. Матрица общего решения получается транспонированием матрицы совместности деформаций.

2) На основе разработанного способа для плоских и плоскопространственных стержневых систем построен алгоритм метода сил. сравнимый по сложности с алгоритмом метода перемещений и позволяющий получать разрешающую систему уравнений со следующими, как и в методе перемещений, положительными свойствами: 1) Слабая заполненность. 2) Ленточный характер. 3) Как правило, хорошая обусловленность. Предлагаемый алгоритм не опирается на наличие какой-либо регулярной структуры стержневой системы; не зависит от наличия или отсутствия в ней шарниров; и, самое главное, обладает следующим свойством: нумерация контуров стержневой системы

полностью определяет структуру матрицы разрешающих уравнений метода сил. Это свойство доказывает, что программирование такого алгоритма не сложнее программирования метода перемещений, и позволяет упростить применение метода сил при расчете стержневых систем на ЭВМ.

3) Предложен способ сведения произвольной нагрузки, действующей на стержневую систему, к начальным деформациям. В результате расчет статически неопределимой стержневой системы сводится к решению двух задач: к расчету отдельных статически определимых контуров на заданную нагрузку и к расчету всей статически неопределимой системы на начальные деформации.

4) На основе предложенного алгоритма разработана программа для расчета статически неопределимых плоских стержневых систем как с шарнирами, так и без шарниров. С помощью данной программы можно рассчитывать системы на следующие виды воздействий: силовая и моментная нагрузка произвольного вида, температурные воздействия, осадка опор, неточность изготовления конструкции. Программа также позволяет определять число обусловленности матрицы податливости системы. Программа разработана для IBM PC на языке программирования Турбо Паскаль.

5) Проведено исследование обусловленности матриц податливости в методе сил и матриц жесткости в методе перемещений для статически неопределимых стержневых систем. Одним из преимуществ предложенного алгоритма метода сил по сравнению с методом перемещений, является возможность влиять на число обусловленности матрицы разрешающей системы уравнений. В методе перемещений после выбора нумерации узлов отсутствует возможность влиять на число обусловленности матрицы разрешающей системы уравнений. В результате сравнения обусловленности матриц податливости (в методе сил) и жесткости (в методе перемещений) установлено, что для некоторых систем число обусловленное™ матриц податливости можно сделать на несколько порядков меньше числа обусловленности матрицы жесткости.

6) На основе разработанного метода и составленной программы решена практическая задача по определению напряженно-деформированного

состояния садовой стержневой решетки в г.Санкт-Петербурге, На основе полученных результатов были даны рекомендации по рациональному закреплению решетки и сведения об имеющихся наиболее напряженных участках решетки. Результаты расчетов использованы для обоснования инженерных мероприятий' по реставрации решетки и восстановлению первоначального положения колонн.

Основные положения диссертации изложены в следующих

публикациях:

1. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Правила последовательного и параллельного соединения стержней. СПб, < СПбГТУ, 1997, 18 е.- Депонировано в ВИНИТИ 02.04.97. № 1057-В97.

2. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Построение матриц совместности деформаций для статически неопределимых стержневых систем. СПб, СПбГТУ, 1997, 20 с. -Депонировано в ВИНИТИ 02.04.97. № 1058-В97.

3. Бугаева Т.Н. Построение матрицы коэффициентов податливости отдельного стержня . СПб, СПбГТУ, 1997, 28 с. - Депонировано в ВИНИТИ 02.04.97, № 1056-В97.

4. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Сведение произвольной нагрузки на стержневую систему к начальным деформациям . СПб, СПбГТУ, 1997, 18 с. -Депонировано в ВИНИТИ 07.05.97. №1528-В97.

5. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Компьютерная реализация расчета конструкций методом сил // Сб. докладов 11-ой международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлических конструкций и методы их решения ", 28-30 ноября 1997г.,С.-Петербург, с. 23-24 .

6. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Алгоритмизация расчета плоскопространственных стержневых систем методом сил на основе уравнений совместности деформаций. СПб, СПбГТУ, 1997, 36 с. - Депонировано в ВИНИТИ 24.12.97. №3738-В97.

7. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Исследование обусловленности матриц податливости и жесткости статически неопределимых стержневых систем.

СПб, СПбГТУ, 1998, 34с.-Депонировано в ВИНИТИ 06.03.98. №660-В97.

8. Бугаева Т.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния решетки Летнего Сада методом сил на основе уравнений совместности деформаций. СПб, СПбГТУ, 1999,29с. Депонировано в ВИНИТИ 30.09.99. №2965 -В99.

9. Бугаева Т.Н. Алгоритмизация расчета стержневых систем на температурные воздействия и неточность изготовления методом сил на основе уравнений совместности деформаций. СПб, СПбГТУ, 1999,27с.-Депонировано в ВИНИТИ 30.09.99, №2966-В99.

10. Бугаева Т.Н., Лалин В.В. Метод сведения произвольной нагрузки на стержневую систем}' к начальным деформациям при компьютерной реализации метода сил // Труды Ш-й Международной конференции " Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения", 19-21 октября 1999г., С.-Петербург, с.б-7.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97.

Подписано в печать -/Д. 04. Л&ОО- Объем в п.л. -7/&Г Тираж -УОО._Заказ № <#ё?<Р._

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства СПбГТУ 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29