автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Задачи выбора оптимального коммерческого цикла в управлении проектами

На правах рукописи

ЗАДАЧИ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО КОММЕРЧЕСКОГО ЦИКЛА В УПРАВЛЕНИ ПРОЕКТАМИ

Специальность 05.13.10 - управление в социальных и

экономических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж - 2007

003071374

003071374

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Баркалов Сергей Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Щепкин Андрей Васильевич

кандидат технических наук Храбсков Андрей Сергеевич

Ведущая организация- Тульский государственный университет

Защита диссертации состоится 25 мая 2007 г в 14С0 часов на заседании диссертационного совета К 212 033 01 при Воронежском государственном архитектурно-строительном университете по адресу

394006, г Воронеж, ул 20-летия Октября, 84, ауд 3220

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

Автореферат разослан « 24» апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

V Чертов В А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Рассматривая деятельность предприятия как последовательность реализуемых проектов, приходим к понятию проектно-ориентированного управления, то есть управленческою подхода, при котором многие заказы и задачи производственной деятельности организации, рассматриваются как отдельные проекты, к которым применяются принципы и методы управления проектами

Управление проектом - это искусство руководства в координации людских, финансовых, информационных и материальных ресурсов на протяжении жизненного цикла проекта путем применения современных методов и техники управления для достижения определенных в проекте результатов по составу и объему работ, стоимости, времени, качеству и удовлетворению участников проекта

Успешное завершение проекта определяется как достижение целей проекта при соблюдении установленных ограничений на продолжительность и сроки завершения проекта, стоимость и бюджет проекта, качество выполненных работ и спецификации требований к результатам При этом конечные результаты должны быть одобрены и приняты заказчиком Ключевыми параметрами, влияющими на результаты проекта, являются продолжительность, стоимость и качество выполняемых работ По крайней мере, два из них продолжительность и стоимость, очень тесно зависят от количества используемых ресурсов при выполнении проекта используя большее количество ресурсов можно сократить продолжительность, но увеличить стоимость проекта и наоборот

Не менее важной задачей является планирование коммерческого цикла, поскольку именно от продвижения товара от предприятия к потребителю (транспортировка, складирование, продажа) зависит конечный финансовый результат, то есть получение прибыли Коммерческий цикл представляет собой последовательность различных операций При планировании коммерческого цикла, как правило, учитываются такие факторы, как затраты на транспортировку, хранение и продажу, продолжительность цикла от производства до продажи, включая реализацию товара, полученного по бартеру, доход от реализации товара и различного рода риски Все эти факторы взаимосвязаны Так, увеличивая затраты, можно уменьшить продолжительность цикла и риски, повысить спрос (за счет рекламы) и т д

Таким образом, аюуалыюсть темы диссертационной работы определяется тем, что одной из основных задач управления проектами является задача составления расписания работ с тесной увязкой необходимых для их выполнения ресурсов Для этой цели приходится решать задачи календарного планирования и связанные с ними задачи распределения ограниченных ресурсов

Основные исследования, получившие отражение в диссертации, выполнялись по планам научно-исследовательских работ

— федеральная комплексная программа «Исследование и разработки по приоритетным направлениям науки и техники гражданского назначения»,

— грант РФФИ «Гуманитарные науки» «Разработка оптимизационных моделей управления распределением инвестиций на предприятии по видам деятельности» № Г00-3 3-306,

— госбюджетная научно — исследовательская работа «Разработка и совершенствование моделей и механизмов внутрифирменного управления»

Цель и постановка задач исследования Целью диссертационного исследования является разработка моделей оптимизации коммерческого цикла

Достижение цели работы потребовало решения следующих основных задач

1 Проанализировать основные задачи теории управления проектами

2 Разработать модель решения задачи об определении оптимального варианта выполнения проекта, на основе введения комплексного критерия, характеризующего затраты и продолжительность выполнения

3 Построить модификацию метода динамического программирования, путем последовательно рассматриваемых вершин сети решается задача определения среди всех путей, соединяющих вход с рассматриваемой вершиной пути с минимальными затратами при условии, что его продолжительность не превышает величины заданного значения, что дает возможность определить варианты выполнения проекта при заданной продолжительности

4 Получить модель определения вариантов выполнения проекта минимизирующую сумму затрат и потерь на основе решения задач при различных значениях директивной продолжительности

5 Разработать модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае

6 Построить модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров

Методы исследования. В работе использованы методы моделирования организационных систем управления, системного анализа, математического программирования и теории графов

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1 Разработана модель решения задачи об определении оптимального варианта коммерческого цикла проекта, отличающаяся тем, что путем введения комплексного критерия, характеризующего затраты и продолжительность выполнения проекта выведены условия при получения оптимальных решений, что позволяет выбрать наиболее рациональные способы выполне-

ния проекта с минимальными затратами и потерями в виде штрафов за отклонение продолжительности проекта от заданной величины

2 Построена модификация метода динамического программирования, отличающаяся тем, что для последовательно рассматриваемых вершин сети решается задача определения среди всех путей, соединяющих вход с рассматриваемой вершиной пути с минимальными затратами при условии, что его продолжительность не превышает величины заданного значения, что дает возможность определить варианты выполнения проекта при заданной продолжительности

3 Получена модель определения вариантов коммерческого цикла проекта, отличающаяся тем, что на первом этапе решаем задачу при различных значениях директивной продолжительности, получая зависимость минимальных затрат от продолжительности, а затем, на втором этапе решим задачу минимизации функции одного переменного, это позволяет определить критический путь в технологическом графе минимизирующий сумму затрат и потерь (упущенной выгоды)

4 Разработана модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае, отличающаяся пошаговым агрегированием множеств последовательно и параллельно выполняемых операций множества с заменой их одной дугой, что дает возможность получит зависимость затрат от продолжительности для всей рассматриваемой сети, что сводит исходную задачу к задаче оптимизации функции одной переменной

5 Построена модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров, отличающаяся процедурой правильной нумерации вершин графа без контуров и дающей возможность применить разработанные выше модели для задач выбора маршрутов

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации, включенные в диссертационное исследование, обоснованы математическими доказательствами Они подтверждены расчетами на примерах, производственными экспериментами и многократной проверкой при внедрении в практику управления

Практическая значимость и результаты внедрения На основании выполненных автором исследований созданы модели, позволяющие осуществлять проектирование оптимального коммерческого цикла предприятия

Использование разработанных в диссертации моделей и механизмов позволяет многократно применять разработки, тиражировать их и осуществлять их массовое внедрение с существенным сокращением продолжительности трудозатрат и средств

Созданные модели оптимизации коммерческого цикла используются в практике работы ЗАО «Семилукский комбинат строительных материалов» и ЗАО ПКФ «Воронежский керамический завод»

Модели, алгоритмы и механизмы включены в состав учебного курса «Управление проектами», читаемого в Воронежском государственном архи-гек гурно - строительном университете

На защиту выносятся следующие положения

1 Модель определения оптимального варианта коммерческого цикла проекта минимизирующая затраты и потери в виде штрафов за отклонение продолжительности проекта от заданной величины

2 Модификация метода динамического программирования

3 Модель определения вариантов коммерческого цикла проекта, которая сводится к серии задач при фиксированных значениях директивной продолжительности с последующим решением задачи минимизации функции одного переменного

4 Модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае

5 Модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров

Апробация работы

Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на следующих конференциях международная конференция «Современные сложные системы управления» (Воронеж, 2005 г), научно-практическая конференция «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол, 2006 i ), 60 — 63 научно-технические конференции по проблемам архитектуры и строительных наук (Воронеж, ВГАСУ, 2004-2007 гг)

Публикации По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ в том числе 1 работа опубликована в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для докторских диссертаций

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, состоит в следующем в работе [2] автору принадлежит модель определения оптимальною варианта коммерческого цикла проекта минимизирующая затраты и потери в виде штрафов, в работе [4] автору принадлежит модель определения вариантов коммерческого цикла проекта, которая сводится к серии задач при фиксированных значениях директивной продолжительности, в работе [6] автору принадлежит модификация метода динамического программирования, в работе [1] автору принадлежит модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае, в работах [3], [5] автору принадлежит модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений Она содержит 118 страниц основного текста, 50 рисунков, 32 таблицы и приложения Библиография включает 131 наименование

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность, описывается цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость

В первой главе отмечается, что одной из важнейших задач теории управления проектами является планирование коммерческого цикла, поскольку именно от продвижения товара от предприятия к потребителю (транспортировка, складирование, продажа) зависит конечный финансовый результат, то есть получение прибыли Коммерческий цикл представляет собой последовательность различных операций При планировании коммерческого цикла, как правило, учитываются такие факторы, как затраты на транспортировку, хранение и продажу, продолжительность цикла от производства до продажи, включая реализацию товара, полученного по бартеру, доход от реализации товара и различного рода риски Все эти факторы взаимосвязаны Так, увеличивая затраты, можно уменьшить продолжительность цикла и риски, повысить спрос (за счет рекламы) и т д

Рассмотрим задачу выбора оптимального коммерческого цикла с учетом факторов продолжительности цикла, затрат и дохода Возможные варианты коммерческого цикла можно представить в виде сети Вход сети соответствует началу процесс (запуск продукции в производство, переговоры по поводу закупок и заключение договора, и т д , в зависимости то того, с какой операции начинается планирование коммерческого цикла) Выход сети соответствует окончанию процесса (реализация товара и получение денег на расчетный счет) Каждая вершина соответствует некоторой операции В этом случае последовательности операций, составляющих коммерческий цикл, соответствует путь сети, соединяющий вход с выходом Каждой вершине 1 сети поставим в соответствие два числа - затраты на проведение соответствующей операции (стоимость операции) б, и ее продолжительность т„ связанные зависимостью 5/Гр) Продолжительность цикла определяемая путем, обозначенным ц, равна Т(р)= Л г,, а стоимость всех его операций X5- Ожидаемый доход от реализации продукции в момент Т будем оценивать с помощью показателя упущенной выгоды Г(Т)

Задача оптимизации коммерческого цикла Определить цикл ц и продолжительность всех его операций так, чтобы сумма затрат и упущенной выгоды была минимальной

Заметим, что в отличие от задачи оптимизации производственного цикла, в данном случае необходимо выбрать путь в сети (конкретный коммерческий цикл), а затем оптимизировать его по критерию

(О

»ея )

Фактически мы имеем дело с двойной оптимизацией - выбрать оптимальный путь и выбрать оптимальные продолжительности операций этого пуги Рассмотрим сначала вторую задачу оптимизации - выбрать оптимальные про-

должительности операции коммерческого цикла ц, состоящего из п операций

Пусть я/г^ - выпуклые дифференцируемые убывающие функции т,, а Р(Т) - выпуклая дифференцируемая возрастающая функция Т Тогда условия оптимальности имеют вид

¿г, ~ йт'

Из этих условий можно выразить т, = ¿¡,(Т) и определить Т из уравнения

¿¿СГ>т

Во второй главе отмечается, что содержательные постановки задач управлением проектами можно свести к следующим формальным постановкам Будем считать, что задана сеть из п вершин, дуги которой соответствуют операциям (либо это транспортные операции по перевозке грузов, либо это работы, входящие в программу освоения новой продукции, и т д)

Каждый путь сети, соединяющий вход с выходом, определяет либо маршрут транспортировки, либо программу развития региона, реформированием предприятием, освоение нового продукта и т д Для каждой дуги определим два положительных числах-,, - продолжительность соответствующей работы - затраты на ц выполненные Кроме того задана функция потерь (упущенной выгоды) Р(Т), зависящая от продолжительности всего проекта (то есть длинны соответствующего пути)

Задача 1 определить путь ц, минимизирующий сумму затрат и потерь

(1)

Во многих ситуациях в качестве функции потерь рассматривается функция штрафов за отклонение продолжительности проекта от заданной величины То, то есть

«г/тч /аСГ-ГД еслиТ<Г„

Й(Т (2) [/?(Г - Г„) если

Практически интересен частный случай сети, когда сеть имеет вид, представленный на (рис 1)

Рисунок 1 - Граф, описывающий возможные способы выполнения проекта Такая сеть описывает ситуацию, когда проект состоит из нескольких последовательных этапов (на рис 1 таких этапов 3), причем каждый этап может выполняться различными способами, отличающимися затратами и продолжительностью

Обозначим хв= 1, если 1-ый этап выполняется J-ым способом, хв=0, в противном случае (1= 1,п , ,т , где п - число этапов, т- число способов выполнения каждого этапа) В данном случае г,, определяет продолжительность 1-го этапа при его выполнении _)-ым способом, а - соответствующие затраты

Очевидно, что

= 1,1 = 1 ,п (3)

1

так как каждый этап выполняется одним и только одним способом Заметим, что затраты на проект

= (4)

а его продолжительность

т (х) = 2>Л

ш

Задача 2. Определить х = ], минимизирующие

5(х)+Г(Т(х)) (5)

при ограничении (3)

Наконец, рассмотрим еще одну постановку задачи, когда задано ограничение на срок реализации проекта

Задача 3. определить путь ц, минимизирующий затраты

яы= (6)

при ограничении

Т(м)= £г„<Г„ (7)

Ниже рассматриваются методы решения поставленных задач Обозначим {ц ())=Зц+?т,ргде Л - некоторый параметр, £(Х) - длину кратчайшего пути при длинах дуг (ч (Л) (у) €17 (II- множество дуг сети) Утверждение 1. £(9)-возрастающая функция Я

Доказательство очевидно следует из того, что (ч().) возрастающая функция Я

Обозначим ]ц(Л) - кратчайший путь при длинах дуг (ч (Л)

т(л)= IX

(у)Ер(Х}

Утверждение 2. Т(Л) - невозрастающая функция Я, Б (Л)- неубывающая функция Л

Доказательство ПустьЯ2>Я/, имеем

5 (),,)+ к, Т (Л,) < + Я, Та^) Л2 Т(Л^ < 5 (Л,) + Л2 Т 00

Из этих неравенств следует

Л, рул,) - Т(\ Щ',) - ЯМ > л2 [г(Л,) - П

так как ),<Х2 то < !().,) Далее, 5(Х2)-8(\)<,Х1[Т(Х1)-Т(Х1)'\<^, следовательно, Я (Л]) < Л' (/.?) Утверждение доказано

Рассмотрим шесть возможных случаев

1 Пуст ър> а и Г (а) > Т(р) > Тп

Докажем, что в этом случаец(Р)~ оптимальное решение

Возьмем метод путь ц, такой, что Т (р) < Т„

Имеем

Ж/О + а(Т(и)-Т„) >$00 +р(Т(ц)-Т„) >Б(р) + р(Т(р) -Т„) Первое неравенство справедливо в силу того, что Т(р)-То<0 и р>а, а второе в силу того, что цф) оптимальное решение при ).=р

2 Пустьр> а и Т0> Т(а)>Т(р)

Докажем, чго в этом случае ц(а) - оптимальное решение Возьмем любой ц путь, такой что Т(ц)>Т„ Имеем

8(ц)+р(Т(м)-Т„)>8(/0+а(Т(ц)-То)>5(а)+а(Т(а)-Т„) Первое неравенство справедливо в силу того, что Т(ц)>Т0 и р>а, а второе в силу того, что ц(а)— оптимальное решение при Х—а

3 Пусть р<а и Т(р)>Т(а)>Т0

Докажем, что в этом случае ¡и(Р) - оптимальное решение Возьмем любой путь /и, такой, что Т(/1)<Т0 Имеем

Первое неравенство имеет место в силу того, что ц(а) - оптимальное решение при Х=а, второе - в силу того, что а>р и Т(а)>Т„, а третье - в силу того, что ц(Р) - оптимальное решение при Х=р

4 Пусть р<а и Т^>Т(Р)>Т(а)

Докажем, что в этом случае //^-оптимальное решение Возьмем любой путь ц, такой, что Т(/г)>То Имеем

Первое неравенство имеет место в силу того, что ц(р) оптимальное решение при Х—р, второе - в силу того, что р<а и Т(Р)<Т0, а третье — в силу того, что ц(а) - оптимальное решение при )=а

5 Пусть р<л и Т((1)>Тп>Т(а).

Докажем, что в этом случае оптимальное решение ц(а), если Я(а)+а(Т(а)-Т„)<£(Р)+Р(Т(р)-Т0) и оптимальное решение /1(р), если

Б(Р) +Р(Т(Р)-Т„)<5(а)+а(Т(а)- Т„). Действительно, среди всех путей ц, таких, что Т(ц)<Т„ путь ц(а)- является оптимальным, а среди всех путей ц таких, что Т(и)>Т0 путь р(р) является оптимальным Следовательно, оптимальным является лучший из этих двух путей ц(а) и ц(р)

6 Пусть р>а и Т(р)<Т0, Т(а)>Т„

В этом случае задача не имеет простого решения, как в предыдущих случаях и приходится решать две задачи

Задача а Минимизировать 8(^)+а(Т(/г)-Т0) при ограничении Т(ц)<Т0

Задача б. Минимизировать Я(ц)+[1(Т(ц)-Тп, при ограничении Т(ц)>Т0 Лучшее из решений задач а и б будет оптимальным решением исходной задачи

Пример 1 Рассмотрим сеть приведенную на рис 2 Затраты и продолжительности г,у указаны у дуг (первое число - затраты, а второе - продолжительности)

Рисунок 2 - Сеть к примеру 1 I Пусть «=10,/?=5

Определим ц(а) Соответствующая сеть с длинами дуг Llj=s,j+ar,j приведена на рис 3 , путь ft(a) выделен /г(а)-(0,3,5,7) 190] [180]

Рисунок 3 - Преобразованная сеть Имеем Т(а)=13 $(а)=120,Ь(а)=250.

Определим /г(Р) Соответствующем сеть приведем на рис 4 Имеем //(/?) =(0,3,6,7), Т((1)=22, Я(Р)=50, Цр)= 160. Рассмотрим три случая

1 Пусть Тв = 24, поскольку Т„ > Т(р) >Т(а), то ц(а)= (0,3,5,7) - оптимальное решение Имеем Г=3(а)+ я(Т-7у =120+10(13-24)=10

п

[85] (90) [135]

2 Пусть Т„ = 10 Поскольку Т„ < Т (а) <Т(Р), то /((/Г) =(0,3,6,7) _ оптимальное решение Имеем Р=8(Р)+Р(Т(Р)-Т„)=\1й

3 Пусть 7"»= 16, поскольку Т(а)<Т0<Т(Р), то необходимо сравнить два решения

3 1 /¿=//(«>=(0,3,5,7) Имеем Г, ,Ца)-а Г»=250-10*16=90

3 2;<=//(Д)=(03,6,7) Имеем Р2=ЦР)-РТ(г 160-5*16=80

Так как ц((!) - оптимальное решение и (90;80)=80

II Пусть «=5, /?=10 Пути ц(а) и ц(Р) были определены выше

/<(«)=(0,3,6,7), Т(а)=22, Б(а)=5й, Ца)=\№, //(Д) =(0,3,5,7), Т(рМЗ, Б(Р)=120, ¿(ДИ250 Рассмотрим три случая

1 Пусть Г„ = 24

Поскольку Т„>Т(а)>Т(Р), то ц(а)=(0£,6,1)- оптимальное решение Имеем F^(a^+яf7^fa)-Г,í^=50-2*5=40

2 Пусть = 10 Поскольку Т„ <Т(р)<Т(а), то - оптимальное решение Имеем Г=3(р)+р[Т(Р)-Т„/=Па+10*3=150

3 Пусть Т„ = 16 Поскольку Т(р)<Т„<Т(а), то для определения оптимального решения необходимо решить две задачи

Задача а Определить путь ц, минимизирующий Ца)='^1Ц1(Ь) при ог-

ш

раничении Т(р)<Т0

Задача б. Определить путь ц минимизирующий Цр),при ограничении

Т(м)>То

Рассмотрим задачу а Для этого заметим, что путей для которых Т(/л)>\(з всего два

Это путь //,=(0,2,6,7) и путь //2 =(0,3,6,7,) Чтобы их исключить, достаточно удалить вершину 6 В полученной подграфе определим путь с минимальными затратами ЛУ//) (см рис 5) [85]

Рисунок 5 - Путь с минимальными затратами S(fi) Имеем //=(0,3,5,7), F,=L(a)-aT„=nS-5* 16=105. Рассмотрим задачу б

Поскольку всего два пути имеют Г(//)>16, то сравнив их (см рис 3) получаем оптимальный путь //=(0,3,6,7), L(/l)=270, F2=L(p)-/}T„=270-l0*l6=n0 Из двух решений выбираем лучшее

Окончательно получаем оптимальный путь //=(0,3,5,7) с величиной критерия F= 105

В данном случае обе задачи удалось решить сравнительно легко В общем случае для решения этих задач необходимо разрабатывать специальные методы, которые будут рассмотрены ниже

Решение задачи 1 с критерием (1),представим в виде двух этапов На первом этапе решаем задачу 3 при различных значениях Т0 = Т В результате получаем зависимость минимальных затрат S(T),ot продолжительности Т На втором этапе решим задачу минимизации функции одного переменного

Ф(Т) =S(T) +F(T) (8)

Утверждение 3 5(7)-невозрастающая, кусочнопостоянная, непрерывная слева функция Т Доказательство

Поскольку с ростом Т множество нитей, удовлетворяющих ограничению (1 7) увеличивается (не уменьшается), то S(T)- невозрастающая функция Г Поскольку число путей конечно, то S(T) - кусочнопостоянием функции Т Наконец, поскольку S(T)- невозрастающая функция, то в точках разрыва значение функции равно минимальному значению, откуда следует непрерывность слева

Задачу можно решать простым перебором отрезков постоянства функции $('Г), решал задачу минимизации функции Г(Т) на каждом участке постоянства

Рассмотрим несколько частных случаев

1 Пусть Г(Т)- убывающая (невозрастающая функция Т) В этом случае оптимальный путь - это нить минимальной продолжительности Тпшх

2. Пусть Е(Т) - возрастающая функция Т, число участков постоянства функции Я(Т) равно g обозначим 7} - левый конец у-го участка постоянства, (Т{ = 0) Оптимальная величина Т определяется из условия минимума

Таким образом, для решения задачи при критерии (1) необходимо решить задачу 3

Для решения задачи три рассмотрим модификацию метода динамического программирования Суть ее состоит в последовательном рассмотрении вершин сети (предполагается, что сеть не имеет контуров и имеет правильную нумерацию вершины, что есть для любой дуги (1,]) имеет место 1<]) Для каждой вершины решается следующая задача среди всех путей, соединяющих вход с вершиной I определить путь с минимальными затратами Б,(Т), при условии, что его продолжительность не превышает величины Т предварительно определим минимальную продолжительность путей из входа в вершину 1 Обозначим ее А,

Описание алгоритма

1-шаг. Рассматриваем вершину 2 Полагаем =$12,т,2<Т, то есть А2=т, 2.

к-шаг. Пусть определены зависимости 8,(Т) для всех 1<к Рассматриваем вершину (К+1) Обозначим ()к+|(Т) множество вершин 1, таких что А,+г^+1<Т и существует дуга (1,к+1)

Определяем

Бы(Т)=тт /Л',(Т-т,М!) +5,1+;/ для всех Т>Ак+1 (9)

Выражение (9) определяет принцип оптимальности Беллмана для описанной модификации метода динамического программирования

Утверждение 4. Величина Я (7) равна минимальным затратам при условии Т(ц)<Т Доказательство непосредственно следует из принципа оптимальности (9)

Оценим вычислительную сложность предложенного алгоритма Обозначим Д/ - число возможных значений 7} для функции Б,(Т,) в вершине 1, ш 1 - число дуг, заходящих в вершину I В соответствии с выражением (9) для вычисления 8,(Т,) необходимо сделать т. операций сравнения для каждого Т,, то есть тЛ. операций

Суммируем по всем вершинам, получаем число операций №=£х„ т А,

Для оценки числа возможных значений Д, определим длину кратчайшего пути из входа в вершину I и длину кратчайшего пути из вершины / в выход Обозначим эти длины А/ и В< соответственно Очевидно, что возможные значения Г. принадлежат отрезку [А>; Т-В,]

До сих пор мы рассматривали сети без контуров Такие сети описывают варианты реализации проектов освоения новой продукции, развития отраслей и т д Однако, если речь идет о задачах выбора маршрутов, то здесь, как правило в сети возможных маршрутов имеются контуры

Для применения вышеописанных алгоритмов перейдем от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров

В основе алгоритма лежит процедура правильной нумерации вершин графа без контуров Дадим описание этой процедуры

1 шаг Исключаем вершину 0 и все исходящие из нее дуги

2 шаг В полученной сети ищем вершину без заходящих дуг и исключаем ее вместе с исходящими дугами Эта вершина получает номер 1

Далее процедура повторяется, то есть мы снова находим вершину без заходящих дуг, присваиваем ей очередной номер, исключаем и т д

Очевидно, что если в сети имеются контуры, то на каком-либо шаге процедуры мы не найдем ни одной вершины без заходящих дуг В этом случае находим все вершины из множества оставшихся, в которые заходят дуги, исходящие из уже исключенных вершин Рассматриваем каждую из этих вершин Пусть, например, это вершина у Тогда исключаем все дуги, заходящие в вершину ), и продолжаем процедуру правильной нумерации для оставшейся сети и т д

В третьей главе отмечается, что в современных условиях, когда большинство предприятий испытывает острую нехватку оборотных средств, весьма актуальным становится целесообразное и экономически обоснованное расходование дефицитных ресурсов Это предполагает применение прогрессивных технологий финансового менеджмента в основе которого лежит идея бюджетирования Согласно этому в основе текущего планирования деятельности предприятия лежит план продаж На основе этого документа происходит формирование производственного плана, который, учитывая длительность производственного цикла, часто разбивается на две части план выпуска, то есть документ, в котором указывается, какие изделия поступят на склад готовой продукции в планируемом периоде и план запуска, определяющего, какие изделия будут запущены в производство в данный временной период План запуска - выпуска служит базой для формирования потребности в материалах, полуфабрикатах и комплектующих изделиях (ПКИ) на планируемый период Имея данные о потребности в материалах и ПКИ, остатки материальных ресурсов на складах предприятия, осуществляется формирование плана закупок на планируемый период

Процесс формирования плана закупок представляет собой достаточно сложную задачу, так как с одной стороны рост запасов на предприятии при сохранении объема производства не является признаком рационального использования имеющихся в распоряжении предприятия средств, а с другой учитывая неритмичность работы производства, невозможность мгновенного пополнения запасов, кратность поставок, когда поставщик осуществляет отпуск материалов кратно какой — либо транспортной единицы, вынуждают предприятия создавать и содержать материальные запасы

Существование запасов не только приводит к замораживанию на неопределенный срок столь дефицитных оборотных средств, но еще и увеличивает налогооблагаемую базу предприятия возрастает налог на имущество Тогда возникает закономерный вопрос в чем же выгода предприятия при создании запасов, кроме уже отмечавшихся функций страхового профиля Оказывается, что единственная позитивная сторона в создании запасов для предприятия может заключаться в использовании оптовой скидки, представляемой поставщиком при покупке более крупной партии материалов Отсюда возникает задача оптимизации, заключающаяся в выборе рационального объема закупок, позволяющего минимизировать затраты предприятия Учитывая, что периодичность составления плана закупок помесячная, то необходимо рассматривать задачу определения объема закупаемой партии в динамике, охватывающей несколько плановых периодов

Рассмотрим производственную деятельность предприятия в течение нескольких временных периодов, но так как период планирования обычно составляет месяц, то будем рассматривать деятельность предприятия за 6 месяцев Предположим, что предприятие закупает у поставщиков материалы в количестве необходимом для обеспечения бесперебойной деятельности предприятия Поставщик представляет скидки в зависимости от объема закупаемой партии, то есть цена на материалы может быть розничной, мелкооптовой, оптовой и крупнооптовой Аналитически это может быть задано в виде следующего соотношения

с,х, если 0 < х < х^

с,х, если хт <х <4^ С = < 2 4,1 (10)

с,х, если х^ < х < хкр1

с.х, если х >х

- кр.

Вполне очевидно, что предприятию будет выгодно закупать больший объем материалов только в том случае, когда будет выполняться соотношение С] > с2 > с3 > с4 то есть чем больше закупаемый объем, тем больше скидка Но возникает проблема дополнительных затрат, связанных с хранением дополнительных запасов в течение некоторого промежутка времени

Задача при детерминированной потребности в материалах решается с помощью теории графов Но, к сожалению, деятельность производственной фирмы характеризуется достаточно высокой степенью неопределенности И чем длительнее период планирования, тем выше степень неопределенности

Допустим, что потребность предприятия в материалах в 1 — ый плановый период составляет Дь в начале каждого планового периода, принимается решение о закупке материалов на планируемый период В общем случае А, различны для каждого планового периода Предполагается, что потребность А1 представляет собой случайную величину

В начале каждого планового периода определяется размер закупаемой партии с учетом представляемых скидок и последующих затрат на хранение Так в начале первого периода возможно принятие решения о закупке партии

материалов в размере, обеспечивающим удовлетворение потребности на все последующие плановые периоды четыре, три, два и, наконец, на удовлетворение потребности только данного планового периода Но хранение сверхнормативных запасов требует определенных затрат, размер которых определяется временем хранения Например, если принято решение в начапе первого периода о закупке материалов в размере удовлетворяющим потребности за все временные периоды, то затраты на хранение будут составлять

Zi^-A[(t2-T1)M(A2) + (T3 -Т, )М(А3) + (Т4-T1)M(A4)+(Ts-Т,)М(А5)], (11) где А - постоянный параметр, определяющий нормативы затрат на единицу хранения запасов в течении одного временного периода

Из соотношения (11) можно заключить, что количество материала равное М(А2) хранится до момента использования в течение т2 -ть М(А3)- т3 -%i и т д Затраты на хранение количества материалов, необходимых в данном плановом период — отсутствуют

Возможные действия предприятия, направленные на минимизацию затрат на приобретение материалов, заключаются в том, чтобы воспользоваться оптовой скидкой, поэтому в данных условиях возможна закупка либо того количества материалов, которое необходимо для данного планового периода либо количества, позволяющего получить оптовую скидку В данном случае необходимо определить, что же будет меньше затраты на хранение или же получаемые оптовые скидки Для решения этой задачи возможно использовать метод динамического программирования

В этом случае переменной состояния системы является уровень запасов на начало отрезка планового периода п, обозначенный через i„ При этом остаток материала на конец планового периода п будет определяться соотношением /„ = t„ + х„ - Ап Здесь хп количество материала, закупленного в п - ом плановом периоде

С учетом введенных обозначений, рекуррентное соотношение динамического программирования с учетом стохастического спроса принимает вид

/.<?>= min {с W+ Р„ <?„ + *„ - А„У+ 2 />„/„-, <?„ + *„ - A,)J (12)

Процесс принятия решения рассматривается как многошаговый Как обычно, процесс решения начинаем с последнего временного периода Для удобства решения будем считать, что п=1 соответствует последнему временному периоду, и =2 - предпоследнему и т д

Задача решается в два прохода на первом происходит процедура условной оптимизации, то есть составляются таблицы возможных значений целевой функции при различных значениях параметра состояния, в качестве которого выступает остаток материала на начало планового периода для всех возможных объемов закупок

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1 В результате анализа существующих моделей управления проектами было установлено, что основные задачи, относящиеся к оптимизации коммерческого типа можно свести к формальным постановкам теории графов

2 На основе введения комплексного критерия, характеризующего затраты и продолжительность выполнения проекта, разработана модель решения задачи об определении оптимального варианта коммерческого цикла проекта, в которой на основе соотношений параметров модели получены оптимальные решения задачи выбора наиболее рациональных способов выполнения проекта с минимальными затратами и потерями в виде штрафов за отклонение продолжительности проекта от заданной величины

3 Построена модификация метода динамического программирования, на основе решения серии задач определения для каждой вершины пути с минимальными затратами

4 Получена модель определения вариантов коммерческого цикла проекта, сводящуюся к задаче определения критического пути в технологическом графе минимизирующем сумму затрат и потерь (упущенной выгоды) путем нахождения зависимости минимальных затрат от продолжительности

5 Разработана модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае, это дает возможность получит зависимость затрат от продолжительности для всей рассматриваемой сети, что сводит исходную задачу к задаче оптимизации функции одной переменной

6 На основе процедурой правильной нумерации вершин графа без контуров, построена модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров, дающей возможность применить разработанные выше модели для задач выбора маршрутов

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для докторских диссертаций

1 Баркалов С А , Власенко В А , Косенков К В Модель активной системы с сообщением информации при нескольких неизвестных параметрах Вестник ВГТУ, Том 2, № 12, Воронеж, 2006 - С 29-33 (лично автором выполнено 3 с)

Статьи, материалы конференций

2 Власенко В А , Сапико М И Оптимизация календарного графика на основе паросочетания графа перемещения ресурсов Современные сложные

системы управления Сб науч тр междунар конф Т 2/Воронеж гос арх -строит ун-т - Воронеж, 2005 -с 279-281 (лично автором выполнено 2 с)

3 Власенко В А , Косенков К В , Курочка П H Использование метода максимумов по периодам для максимизации прибылей предприятий Материалы научно-практической конф Образование, наука, производство и управление 23-24 ноября 2006г Том 4 - с 408 - 414 (лично автором выполнено 3 с)

4 Баркалов С А , Курочка П H , Сиренько С В , Власенко В А Формирование оптимального графика поставки материалов при стохастическом спросе Информ -аналитический журнал «Инновационный вестник регион» 2006/5-с 15—19 (личноавтором выполнено 2 с)

5 Буркова И В , Власенко В А , Мясищев Р Ю Оптимизация систем управления на основе задачи о максимальной циркуляции Междунар Науч Конф «Сложные системы управления и менеджмент качества», Старый Ос-кол, 2007 г т 2 - с 8-11 (лично автором выполнено 2 с)

6

Подписано в печать 20 04 07 Формат 60x84 1/16 Уч - изд л 1,0 Уел -печ 1,1 л Бумага писчая Тираж 100 экз Заказ № 224

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Воронежского государственного архитектурно-строительного университета 394006, Воронеж, ул 20-летия Октября, 84

Введение.

1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ

1.1. Основные понятия управления проектами

1.2. Задачи календарного планирования в управлении проектами

1.3. Задачи распределения ресурсов проекта

1.4. Сетевые модели и методы решения задач распределения ресурсов

1.5. Оптимизация коммерческого цикла

1.6. Выводы и постановка задач исследования

2. ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСТРИМЕНТАЛЬНЫХ ПУТЕЙ

2.1.Постановки задач

2.2.Методы решения задачи минимизации затрат и штрафов

2.3. Методы решения задачи минимизации затрат и потерь

2.4. Методы решения задачи минимизации затрат при ограничение на срок реализации проекта

2.5. Агрегируемые сети

2.6. Преобразование произвольной сети в агрегируемую

2.7. Метод дихотомического программирования

2.8. Сети с контурами

3. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ СТРОИТЕЛЬНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

3.1. Производственная программа ЗАО «Воронеж -дом»

3.2. Определение оптимальной очередности включения объектов в поток

3.3. Определение оптимальной очередности включения объектов в поток при минимальных дополнительных затратах

3.4. Формирование оптимального плана закупок при стохастическом спросе

Актуальность темы. Рассматривая деятельность предприятия как последовательность реализуемых проектов, приходим к понятию проектно-ориентированного управления, то есть управленческого подхода, при котором многие заказы и задачи производственной деятельности организации, рассматриваются как отдельные проекты, к которым применяются принципы и методы управления проектами.

Управление проектом - это искусство руководства в координации людских, финансовых, информационных и материальных ресурсов на протяжении жизненного цикла проекта путем применения современных методов и техники управления для достижения определенных в проекте результатов по составу и объему работ, стоимости, времени, качеству и удовлетворению участников проекта.

Успешное завершение проекта определяется как достижение целей проекта при соблюдении установленных ограничений на: продолжительность и сроки завершения проекта; стоимость и бюджет проекта; качество выполненных работ и спецификации требований к результатам. При этом конечные результаты должны быть одобрены и приняты заказчиком. Ключевыми параметрами, влияющими на результаты проекта, являются продолжительность, стоимость и качество выполняемых работ. По крайней мере, два из них: продолжительность и стоимость, очень тесно зависят от количества используемых ресурсов при выполнении проекта: используя большее количество ресурсов можно сократить продолжительность, но увеличить стоимость проекта и наоборот.

Не менее важной задачей является планирование коммерческого цикла, поскольку именно от продвижения товара от предприятия к потребителю (транспортировка, складирование, продажа) зависит конечный финансовый результат, то есть получение прибыли. Коммерческий цикл представляет собой последовательность различных операций. При планировании коммерческого цикла, как правило, учитываются такие факторы, как затраты на транспортировку, хранение и продажу, продолжительность цикла от производства до продажи, включая реализацию товара, полученного по бартеру, доход от реализации товара и различного рода риски. Все эти факторы взаимосвязаны. Так, увеличивая затраты, можно уменьшить продолжительность цикла и риски, повысить спрос (за счет рекламы) и т.д.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется тем, что одной из основных задач управления проектами является задача составления расписания работ с тесной увязкой необходимых для их выполнения ресурсов. Для этой цели приходится решать задачи календарного планирования и связанные с ними задачи распределения ограниченных ресурсов.

Основные исследования, получившие отражение в диссертации, выполнялись по планам научно-исследовательских работ:

- федеральная комплексная программа «Исследование и разработки по приоритетным направлениям науки и техники гражданского назначения»;

- грант РФФИ «Гуманитарные науки»: «Разработка оптимизационных моделей управления распределением инвестиций на предприятии по видам деятельности» № Г00-3.3-306;

- госбюджетная научно - исследовательская работа «Разработка и совершенствование моделей и механизмов внутрифирменного управления».

Цель и постановка задач исследования. Целью диссертационного исследования является разработка моделей оптимизации коммерческого цикла.

Достижение цели работы потребовало решения следующих основных задач:

1. Проанализировать основные задачи теории управления проектами.

2. Разработать модель решения задачи об определении оптимального варианта выполнения проекта, на основе введения комплексного критерия, характеризующего затраты и продолжительность выполнения.

3. Построить модификацию метода динамического программирования, путем последовательно рассматриваемых вершин сети решается задача определения среди всех путей, соединяющих вход с рассматриваемой вершиной пути с минимальными затратами при условии, что его продолжительность не превышает величины заданного значения, что дает возможность определить варианты выполнения проекта при заданной продолжительности.

4. Получить модель определения вариантов выполнения проекта минимизирующую сумму затрат и потерь на основе решения задач при различных значениях директивной продолжительности.

5. Разработать модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае.

6. Построить модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров.

Методы исследования. В работе использованы методы моделирования организационных систем управления, системного анализа, математического программирования и теории графов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Разработана модель решения задачи об определении оптимального варианта коммерческого цикла проекта, отличающаяся тем, что путем введения комплексного критерия, характеризующего затраты и продолжительность выполнения проекта выведены условия при получения оптимальных решений, что позволяет выбрать наиболее рациональные способы выполнения проекта с минимальными затратами и потерями в виде штрафов за отклонение продолжительности проекта от заданной величины.

2. Построена модификация метода динамического программирования, отличающаяся тем, что для последовательно рассматриваемых вершин сети решается задача определения среди всех путей, соединяющих вход с рассматриваемой вершиной пути с минимальными затратами при условии, что его продолжительность не превышает величины заданного значения, что дает возможность определить варианты выполнения проекта при заданной продолжительности.

3. Получена модель определения вариантов коммерческого цикла проекта, отличающаяся тем, что на первом этапе решаем задачу при различных значениях директивной продолжительности, получая зависимость минимальных затрат от продолжительности, а затем, на втором этапе решим задачу минимизации функции одного переменного, это позволяет определить критический путь в технологическом графе минимизирующий сумму затрат и потерь (упущенной выгоды).

4. Разработана модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае, отличающаяся пошаговым агрегированием множеств последовательно и параллельно выполняемых операций множества с заменой их одной дугой, что дает возможность получит зависимость затрат от продолжительности для всей рассматриваемой сети, что сводит исходную задачу к задаче оптимизации функции одной переменной.

5. Построена модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров, отличающаяся процедурой правильной нумерации вершин графа без контуров и дающей возможность применить разработанные выше модели для задач выбора маршрутов.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации, включенные в диссертационное исследование, обоснованы математическими доказательствами. Они подтверждены расчетами на примерах, производственными экспериментами и многократной проверкой при внедрении в практику управления.

Практическая значимость и результаты внедрения. На основании выполненных автором исследований созданы модели, позволяющие осуществлять проектирование оптимального коммерческого цикла предприятия.

Использование разработанных в диссертации моделей и механизмов позволяет многократно применять разработки, тиражировать их и осуществлять их массовое внедрение с существенным сокращением продолжительности трудозатрат и средств.

Созданные модели оптимизации коммерческого цикла используются в практике работы ЗАО «Семилукский сельский комбинат строительных материалов» и ЗАО ПКФ «Воронежский керамический завод».

Модели, алгоритмы и механизмы включены в состав учебного курса «Управление проектами», читаемого в Воронежском государственном архитектурно - строительном университете.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Модель определения оптимального варианта коммерческого цикла проекта минимизирующая затраты и потери в виде штрафов за отклонение продолжительности проекта от заданной величины.

2. Модификация метода динамического программирования.

3. Модель определения вариантов коммерческого цикла проекта, которая сводится к серии задач при фиксированных значениях директивной продолжительности с последующим решением задачи минимизации функции одного переменного.

4. Модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае.

5. Модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров.

Апробация работы.

Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на следующих конференциях: международная конференция «Современные сложные системы управления» (Воронеж, 2005 г.); научно-практическая конференция «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол, 2006 г.); 60 - 63 научно-технические конференции по проблемам архитектуры и строительных наук (Воронеж, ВГАСУ, 2004-2007 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ в том числе 1 работа опубликована в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для докторских диссертаций.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, состоит в следующем: в работе [2] автору принадлежит модель определения оптимального варианта коммерческого цикла проекта минимизирующая затраты и потери в виде штрафов; в работе [4] автору принадлежит модель определения вариантов коммерческого цикла проекта, которая сводится к серии задач при фиксированных значениях директивной продолжительности; в работе [6] автору принадлежит модификация метода динамического программирования; в работе [1] автору принадлежит модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае; в работах [3], [5] автору принадлежит модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Она содержит 118 страниц основного текста, 50 рисунков, 32 таблицы и приложения. Библиография включает 131 наименование.

Результаты работы обоих алгоритмов приведены на рис. 2.4.4 (число внизу слева в каждой вершине равно А/, а внизу справа - равно В/.

Рис. .2.4.4. Результаты работы обоих алгоритмов

Пусть Т=23. Вычисляем:

Т2€ [4; 10], Тз € [2; 10], Ъ € [1; 4], Т5 € [10; 16], Тб € [5; 13], Ту €[10; 11], Те € [15; 23].

Замечание. Если А,+В>Т, то не существует пути, проходящего через вершину /, продолжительность которого не превышает Т. Такие вершины исключаются из рассмотрения.

Так например, при Т=21 для вершины 7 имеем А7+В?=22>21

Имеем

Аз=7, Дз=9, Д4=4, Д5=7, Дб=9, Д7=2, Д8=19, Ш2=1, тз=1, Ш4=1, Ш5=2, Шб=2, Ш7=2, ni8=3, N=7+9+4+14+18+4+5 7=113.

2.5. Агрегируемые сети

Дадим определение агрегируемой сети [16].

Определение 1. Последовательным множеством дуг называется подмножество дуг сетевого графика такое, что любая вершина, за исключением начальной, имеет степень захода 1, и любая вершина, за исключением конечной, имеет степень исхода 1 (рис. 2.5.1).

Определение 2. Параллельным множеством дуг называется подмножество дуг сети, у которых общая начальная и общая

Рассмотрим алгоритм решения задачи для параллельного множества дуг. Пусть m - число дуг параллельного множества дуг. Для каждой дуги / задана зависимость S,(T), где а,<Т. Примем, что дуги упорядочены по возрастанию а,, то есть ai<U2<.<am.

Пусть ак <Т<ак i. Тогда

S(T)=min S,(T) (2.5.1) i<k

Таким образом, параллельное множество дуг можно заменить одной дугой с зависимостью S(T).

Рассмотрим алгоритм решения задачи для последовательного множества дуг. Для этого обозначим ъ, моменты скачка функции S/(T) для /-й дуги, S// соответствующие затраты. Обозначим далее хч=\, если для /-й дуги выбрана продолжительность т,у, х,,=0 в противном случае.

Рассмотрим следующую задачу: минимизировать

S(xf=ESijXij (2.5.2) и при ограничениях

ЕХ«=1, /=Т,п (2.5.3)

Хту xv<T (2.5.4)

Оптимальное решение этой задачи определит зависимость затрат S(T) от времени. Таким образом, последовательное множество дуг можно заменить одной дугой с зависимостью S(T).

Определение 3. Сеть называется агрегируемой, если путём агрегирования последовательных и (или) параллельных множеств дуг её можно свести к одной дуге.

Для решения задачи (2.5.2) - (2.5.4) применим метод динамического программирования.

Описание метода приведём на примере.

Пример 2.5.1. Последовательное множество дуг состоит из трёх дуг.

Данные о значениях ту и S,у приведены в таблице 5.1. Таблица 2.5.1. Данные к примеру 2.5.1

1 2 3

1 3; 12 5;8 9; 10

2 4;10 7;7 П;7

3 8;6 10;4 12;5

Заметим, что для любого i имеет место следующий факт. Если ту <xik, то Sy > Sjk. Действительно, если ту <tjk и в то же время Sy < Sjk, то дугу с номером К можно исключить, так как всегда существует относительное решение, не содержащие дуги К. Примем, что для любой дуги имеет место

Til < < • -<Tim .

Сначала преобразуем задачу к более простому виду. Для этого определи из равенства (2.5.3) хп = 1 -Xi2-Xi3

Подставляя в (2.5.2) и (2.5.4), получаем задачу минимизации life К (2-5.5) /=2 при ограничениях

I X , < 1 (2.5.6) 2

2.5.7) j t'2 J

Заметим, что Sjj < Sn для всех . поэтому задача минимизации (2.5.5) эквивалентна задаче максимизации i J = 2

Построим координатную плоскость . На горизонтальной оси будем откладывать номера дуг, а на вертикальной - величина продолжительностей i 3

Wj= X 2 (T<j ~ }Xij (2.5.9) q=1 j=2

Берем первую дугу. Возможны три варианта выбора т1ь т]2 или т^ . Если выбрано значение тп,то проводим горизонтальную дугу, если ii2, то проводим дугу в точку с координатами (1; Т|2- 1ц ), если выбрано i|3, то проводим дугу в точку с координатами (1; Ti3- in). Из полученных трёх точек проводим дугу, соответствующую различным вариантам выбора i2i для второй дугу и т.д. Получаем сеть, приведенную на рис. 2.5.2.

Заметим, что каждому пути в сети, соединяющему некоторые решения задачи, и наоборот, любому решению задачи соответствует некоторый путь в сети, соединяющий вход с одной из конечных вершин. Припишем каждой дуге, соответствующей продолжительности (т,,- тм) длину Ly=( Sn < Sjj). В этом случае длина любого пути, соединяющего вход с одной из конечных вершин, будет равна величине критерия (5.9).

Задача свелась к определению путей максимальной длины соединяющих вход с конечными вершинами. Опишем алгоритм определения путей максимальной длины

О шаг, помечаем вход индексом О i-ый шаг. Пусть помечены все вершины (i-l)-ro слоя. Обозначим Qiq множество вершин (i-1) слоя, из которых идут дуги в вершину q i-ro слоя.

Помечаем вершину q i-ro слоя индексом

2.5.8)

Xq=max[^ + lj(l)

1 i riOJessS^-^ ; я / / т ■ JTJ ^^^Ш

УМ1 И / Г31 s 111 у/ [21 ^^^ Г21

L-—1^ Г01 -----е- Г01 -е- у'/ <=-

Рис. 2.5.2.

Индексы вершин последнего слоя равны максимальным длинам путей, соединяющих вход с конечными вершинами. Длины дуг поставлены из соответствующих дуг на рис. 2.5.2. Индексы вершин указаны в квадратных скобках у соответствующих вершин, отметим любопытный парадокс при Т=21 максимальная длина равна W=7, а при большей величине Т=22 максимальная длина пути равна W=6, то есть меньше. Парадокс естественно объясняется тем, что требуется точное равенство. Зависимость W(T) приведена в табл. 2.5.2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современных условиях осуществляется переход к технологиям проектного управления. Основной задачей теории управления проектами является разработка календарного плана, что связано с решением задачи распределения ограниченных ресурсов. Показано, что рассмотренные содержательные постановки задач управлением проектами можно свести к формальным постановкам задач теории графов. При этом были получены следующие результаты:

1. В результате анализа существующих моделей управления проектами было установлено, что основные задачи, относящиеся к оптимизации коммерческого типа можно свести к формальным постановкам теории графов.

2. На основе введения комплексного критерия, характеризующего затраты и продолжительность выполнения проекта, разработана модель решения задачи об определении оптимального варианта коммерческого цикла проекта, в которой на основе соотношений параметров модели получены оптимальные решения задачи выбора наиболее рациональных способов выполнения проекта с минимальными затратами и потерями в виде штрафов за отклонение продолжительности проекта от заданной величины.

3. Построена модификация метода динамического программирования, на основе решения серии задач определения для каждой вершины пути с минимальными затратами.

4. Получена модель определения вариантов коммерческого цикла проекта, сводящуюся к задаче определения критического пути в технологическом графе минимизирующем сумму затрат и потерь (упущенной выгоды) путем нахождения зависимости минимальных затрат от продолжительности.

5. Разработана модель преобразования произвольной сети в агрегируемую в общем случае; это дает возможность получит зависимость затрат от продолжительности для всей рассматриваемой сети, что сводит исходную задачу к задаче оптимизации функции одной переменной.

6. На основе процедурой правильной нумерации вершин графа без контуров, построена модель перехода от сети с контурами к эквивалентной сети без контуров, дающей возможность применить разработанные выше модели для задач выбора маршрутов.

119

1. Авдеев Ю.А. Оперативное планирование в целевых программах. Одесса: Маяк, 1990.- 132 с.

2. Александров Н.И., Комков Н.И. Моделирование организации и управления решением научно-технических проблем. М.: Наука, 1988. 216 с.

3. Алтаев В.Я., Бурков В.Н., Тейман А.И. Теория сетевого планирования и управления // Автоматика и Телемеханика. 1966. № 5.

4. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика, 2000. - 368 е.: ил.

5. Андронникова Н.Г., Баркалов С.А., Бурков В.Н., Котенко A.M. Модели и методы оптимизации региональных программ развития. (Препринт) -М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2001.

6. Андронникова Н.Г., Бурков В.Н., Леонтьев С.В. Комплексное оценивание в задачах регионального развития (Научное издание / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН) М.: 2002.

7. Ануфриев И.К., Бурков В.Н., Вилкова Н.И., Рапацкая С.Т. Модели и механизмы внутрифирменного управления. М.: ИПУ РАН, 1994. 72 с.

8. Арнольд В.И. О функциях трех переменных. ДАН СССР, 1957, №2.

9. Бабкин В.Ф., Баркалов С.А., Буркова И.В. Модели, методы и механизмы повышения эффективности учебного процесса М. 2001 (Препринт / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН).

10. Багриновский К.А. Основы согласования плановых решений. М.: Наука, 1977.-303 с.

11. Баркалов П.С., Буркова И.В., Глаголев А.В., Колпачев В.Н. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами. М.: 2004 (Научное издание / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН), 86 с.

12. Баркалов С.А. Теория и практика календарного планирования в строительстве. Воронеж: ВГАСА, 1999.

13. Баркалов С.А., Бабкин В.Ф. Управление проектами в строительстве // Учебное пособие. Воронеж: ВГАСУ, 2000. - 310 с.

14. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н. и др. Диагностика, оценка и реструктуризация строительного предприятия. Бизнес-планирование. -Воронеж,1. ВГАСА, 2000г.-410с.

15. Баркалов С.А., Бурков В.Н. и др. Прикладные модели в управлении организационными системами. ИПУ РАН, ВГАСУ, ТГУ, Тула. 2002.

16. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М. Методы агрегирования в управлении проектами. М.: ИПУ РАН, 1999. 55 с.

17. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М., Семенов П.И. Минимизация упущенной выгоды в задачах управления проектами М.: 2001.

18. Баркалов С.А., Буркова И.В., В.Н. Колпачев, Потапенко A.M. Модели и методы распределения ресурсов в управлении проектами. Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. М.: 2004г. 87 с.

19. Баркалов С.А., Курочка П. Н. , Мищенко В. Я. Моделирование и автоматизация организационно-технологического проектирования строительного производства. Воронеж, 1997,- 120 с.

20. Баркалов С.А., Богданов Д.А., Перелыгин A.JT. Модель нечеткой сети оперативного управления в мультипроекте. В кн. Управление в социальных и экономических системах. Воронеж, ВГТУ, 2002. с.

21. Баркалов С.А., Курочка П.Н., Сиренько С.В., Власенко В.А. Формирование оптимального графика поставки материалов при стохастическом спросе. Информ.-аналитический журнал «Инновационный вестник регион» 2006/5 с. 15-19.

22. Баркалов С.А., Новиков Д.А., Смирнов И.М., Перелыгин A.JI. Классификация задач управления динамическими активными системами. Известия ТГУ. Серия «Строительство и архитектура», выпуск 5. Тула, 2003. с.43 51.

23. Баркалов С.А., Бакунец О.Н., Колпачев В.Н., Перелыгин A.JI. Применимость задач распределения ресурсов при формирования модели диверсификации предприятия. Известия ТГУ. Серияя «Строительство и архитектура», выпуск 5. Тула, 2003. с. 175 182.

24. Баркалов С.А., Котенко A.M., Колпачев В.Н., Перелыгин A.JL Формирование критериев оценки программ регионального развития. В кн. Проблемы и перспективы формирования региональных экономических стратегий. Пенза, 2003г. с. 29 30.

25. Баркалов С.А., Колпачев В.Н., Перелыгин A.JL, Семенов П.И. Динамическая задача планирования ремонтных работ в автодорожной отрасли. Журнал «Системы управления и информационные технологии». №1. 2004г. с. 53 -59.

26. Баркалов С.А., Олейникова В.В., Перелыгин A.JL, Семенов П.И. Механизм внутренних цен при распределении корпоративного заказа. Вестник ВГТУ Серия «Проблемно-ориентированные системы управления», выпуск 2.3. Воронеж, ВГТУ, 2003. с. 60-63.

27. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н., Образцов Н.Н. Задачи управления материально техническим снабжением в рыночной экономике. М.: ИПУ им. В.А.Трапезникова РАН,2000, 60с.

28. Берж К. Теория графов и ее применения. М.: Иностранная литература, 1962.-319 с.

29. Бир С. Мозг фирмы. М.: Радио и связь, 1993. 416 с.

30. Бобрышев Д.Н., Русинов Ф.М. Управление научно-техническими разработками в машиностроении. М.: Машиностроение, 1976. 236 с.

31. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1968.-408 с.

32. Бурков В.Н. и др. Теория активных систем и совершенствование хозяйственного механизма. М.: Наука, 1984.

33. Бурков В.Н. Распределение ресурсов как задача оптимального быстродействия // Автоматика и Телемеханика. 1966. № 7.

34. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи дихотомической оптимизации. Материалы международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий», Радио и связь, 2003. С. 23-28.

35. Бурков В.Н., Буркова И.В. Метод дихотомического программирования в задачах дискретной оптимизации. Научное издание / Центральный экономико-математический институт (ЦЭМИ) РАН. М., 2003. 43 с.

36. Бурков В.Н., Горгидзе И.А., Ловецкий С.Е. Прикладные задачи теории графов. Тбилиси: Мецниереба, 1974. - 234 с.

37. В.Н. Бурков, И.И. Горгидзе, Д.А. Новиков, Б.С. Юсупов Модели и механизмы распределения затрат и доходов в рыночной экономике. М.: ИПУ РАН, 1996.-68 с.

38. Бурков В.Н., Грацианский Е.В., Еналеев А.К., Умрихина Е.В. Организационные механизмы управления научно-техническими программами. -М.: ИПУ РАН, 1993.

39. Бурков В.Н., Данев Б., Еналеев А.К. и др. Большие системы: моделирование организационных механизмов. М.: Наука, 1989. 245 с.

40. Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Механизмы функционирования социально-экономических систем с сообщением информации // Автоматика и Телемеханика. 1996. № 3. С. 3 25.

41. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. М.: СИНТЕГ, 2001. 124 с.

42. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука, 1981. 384 с.

43. Бурков В.Н., Квон О.Ф., Цитович Л.А. Модели и методы мультипро-ектного управления. М.: ИПУ РАН, 1998. 62 с.

44. Бурков В.Н., Ланда Б.Д., Ловецкий С.Е., Тейман А.И., Чернышов В.Н. Сетевые модели и задачи управления. М.: Издательство "Советское радио", 1967,- 144 с.

45. Бурков В.Н., Ловецкий С.Е. Комбинаторика и развитие техники. М.: Знание, 1968.

46. Бурков В.Н., Ловецкий С.Е. Методы решения экстремальных задач комбинаторного типа (обзор). Автоматика и телемеханика - 1968, № 11.

47. Бурков В.Н., Ловецкий С.Е. Методы решения экстремальных комбинаторных задач (обзор). Техническая кибернетика - 1968, № 4.

48. Бурков В.Н., Ловецкий С.Е. Эвристический подход к решению динамических задач распределения ресурсов. Автоматика и телемеханика - 1966, №5.

49. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами: Научно-практическое издание. Серия "Информатизация России на пороге XXI века". СИНТЕГ-ГЕО, 1997. - 188 с.

50. Буркова И.В., Власенко В.А., Мясищев Р.Ю. Оптимизация систем управления на основе задачи о максимальной циркуляции. Междунар. Науч. Конф. «Сложные системы управления и менеджмент качества», Старый Оскол, 2007 г. т.2 с. 8 - 11.

51. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир, 1972. Т. 1-3.

52. Васильев В.М. Управление строительным производством. Л.: Строииз-дат, 1990.-208 с.

53. Виханский О.С., Наумов А.И. Менеджмент: человек, стратегия, организация, процесс. М.: Изд-во МГУ, 1996. 416 с.

54. Власюк Б.А. Оптимальное расписание обработки деталей на трех последовательных механизмах. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1967, №4.

55. Воронов А.А. Исследование операций и управление. М.: Наука, 1970. -128 с.

56. Воропаев В.И. Модели и методы календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством. М.: Стройиздат, 1974.-232 с.

57. Воропаев В.И. Управление проектами в России. М.: Алане, 1995. -225с.

58. Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. М.: Наука, 1968. 400 с.

59. Голенко Д.И., Тарнопольский Ю.Я. Оптимизациия календарных планов методами направленного поиска. Кибернетика - 1970. № 6.

60. Емеличев В.А. Дискретная оптимизация. Последовательностные схемы решения. I, II. Кибернетика - 1971. № 6; - 1972, № 2.

61. Зуховицкий С.И., Радчик И.А. Математические методы сетевого планирования. М.: Наука, 1965.-296 с.

62. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.-304 с.

63. Ириков В.А. Технологии стратегического планирования и формирования финансово-экономической политики фирмы: Учебное пособие/ МФТИ, М., 1997. 46 с.

64. Ириков В.А., Ириков И.В. Технология финансово-экономического планирования на фирме. Часть 1. Управление финансовыми потоками: Учебное пособие/ Под. ред. В.А. Ирикова/ МФТИ. М., 1997. 88 с.

65. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. М.: Финансы и статистика, 1986. 238 с.

66. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных. ДАН СССР, 1956, 108, №2.

67. Комков Н.И., Левин Б.И., Журдан Б.Е. Организация систем планирования и управления прикладными исследованиями и разработками. М.: Наука, 1986.-233 с.

68. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. -М.: Наука, 1969.

69. Кузин Б., Юрьев В., Шахдиноров Г. Методы и модели управления фирмой. СПб: Питер, 2001. - 432 е.: ил. - (Серия "Учебники для вузов").

70. Курочка П.Н. Моделирование задач организационно технологического проектирования. Воронеж, ВГАСУ, 2004. 204 с.

71. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972-576 с.

72. Либерзон В.И. Основы управления проектами. М.: Нефтяник, 1997. -150с.

73. Лотоцкий В.А. Идентификация структур и параметров систем управления // Измерения. Контроль. Автоматизация. 1991. № 3-4. С.30-38.

74. Мильнер Б.З., Евенко Л.И., Раппопорт B.C. Системный подход к организации управления. М.: Экономика, 1983. 224 с.

75. Мир управления проектами / Под. ред. X. Решке, и X. Шелле. М.: Алане, 1993.-304 с.

76. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. I, II. Кибернетика - 1965. № 1; 2.

77. Михалевич B.C., Ермольев Ю.М., Шкурба В.В., Шор Н.З. Сложные системы и решение экстремальных задач. Кибернетика - 1967. № 5.

78. Михалевич B.C., Кукса А.И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов. -М.: Наука, 1983.

79. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1974. 526 с.

80. Новиков Д.А. Механизмы стимулирования в моделях активных систем с нечеткой неопределенностью. М.: ИПУ РАН, 1997. 101 с.

81. Новиков Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. М.: Фонд "Проблемы управления", 1999. 150с.

82. Новиков Д.А. Обобщенные решения задач стимулирования в активных системах. М.: ИПУ РАН, 1998. 68 с.

83. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.: СИН-ТЕГ, 1999.- 105 с.

84. Ногин В.Д., Протодьяконов И.О., Евлампиев И.И. Основы теории оптимизации. М.: Высшая школа, 1986. 384 с.

85. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. 206 с.

86. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1989. 367 с.

87. Поспелов Г.С., Ириков В.А. Программно-целевое планирование и управление. М.: Советское радио, 1976. 344 с.

88. Поспелов Г.С., Ириков В.А., Курилов А.Е. Процедуры и алгоритмы формирования комплексных программ. М.: Наука, 1985. -424 с.

89. Прикладные модели в организации и управлении организационными системами: / С.А.Баркалов, В.Н.Бурков, Н.А.Шульженко; Воронеж, гос. арх.-строит. ун-т. Тула, 2002. - 31 Ос.

90. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. СПб: Питер, 2001.- 384 е.: ил.

91. Санталайнен Т. Управление по результатам. М.: Прогресс, 1988.-320с.

92. Симионова Н.Е. Управление реформированием строительных организаций. М.: Синтег, 1998. 224 с.

93. Танаев B.C., Шкурба В.В. Введение в теорию расписаний. М.: Наука, 1975.

94. Теория расписаний и вычислительные машины. Под ред. Э.Г. Коффма-на.-М.: Наука, 1984.

95. Уандыков Б.К. Задача оптимизации обменных операций. Юбилейная научная конференция МФТИ., 1997.

96. Уздемир А.П. Динамические целочисленные задачи оптимизации в экономике. М.: Физматлит, 1995.

97. Управление проектами / Общая редакция В.Д. Шапиро. С.-Пб.: «ДваТрИ», 1996.-610 с.

98. Управление проектами в строительстве: Лабораторный практикум/ С.А. Баркалов, В.Ф. Бабкин; Воронеж, гос. арх.-строит. ун-т. Воронеж, 2000. 303 с.

99. Фатхутдинов Р.А. Производственный менеджмент: Учебник, 2-е изд., -М.: ЗАО "Бизнес-школа "Интел-Синтез", 2000. 464 с.

100. Форд JT., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. 276 с.

101. Шелобаев С.И. Математические модели и методы в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001. -367 с.

102. Эткинд Ю.Л. Организация и управление строительством. Свердловск: УГУ, 1991.-312 с.

103. Янг С. Системное управление организацией. М.: Советское радио, 1982. -456 с.

104. Abba W.F. Beyond communicating with earned value: managing integrated cost, schedule and technical performance / PM1 Symposium. New Orleans,1995. P. 2-6.

105. Azariadis C. Implicit contracts and underemployment equilibria // Journal of Political Economy. 1975. N 6. P. 1183 1202.

106. Baily M. Wages and employment under uncertain demand // Review of Economic Studies. 1974. Vol. 41. N 125. P. 37 50.

107. Burkov V.N. Problems of optimal distribution of resources // Control and Cybernetics. 1972. Vol. 1. N. 1/2.

108. Christensen D.S. An analysis of costs overruns on defense acquisition contracts // International Journal of Project Management. 1993. Vol. 24. N 3. P. 43 48.

109. Coleman J.H. Using cumulative event curves on automotive programs / PMI Symposium. Pittsburgh, 1992. P. 101 107.

110. Cooper K.G. The rework cycle: why projects are mismanaged // PM Network. 1993. N2. P. 5-7.

111. Devaux S.A. When the DIPP dips // International Journal of Project Management. 1992. Vol. 22. N 3. P. 45. 49.

112. Fleming Q.W., Hoppelman J.M. Earned value Project Management. PMI,1996.- 141 p.

113. Gilyutin I. Using Project Management in a nonlinear environment // International Journal of Project Management. 1993. Vol. 24. N 4. P. 20 26.

114. Grossman S., Hart O. An analysis of the principal-agent problem // Econometrics 1983. Vol. 51. N 1. P. 7 45.

115. Groves Т., Radner R. The allocation of resources in a team // Journal of Economic Theory. 1972. Vol. 4. N 2. P. 415 441.

116. Hart O.D., Holmstrom В. Theory of contracts // Advances in economic theory. 5th world congress. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. P. 71 -155.

117. Myerson R.B. Game theory: analysis of conflict. London: Harvard Univ. Press, 1991.- 568 p.

118. Singh A. A taxonomy of practical Project cost forecasting techniques / PMI Symposium. Chicago, 1997. P. 198-204.

119. Tabtabai H.M. Modeling knowledge and experience to predict Project performance / PMI Symposium. Boston, 1996. P. 1-4.

120. Taylor F.W. The principles of scientific Management / Vroom V.H. Industrial social psychology / The Handbook of Social Psychology. Vol. 5. N.Y.: Addison-Wesley, 1969. P. 200 208.

121. Thambhain H.J. Best practices for controlling technology-based projects according to plan / PMI Symposium. New Orleans, 1995. P. 550 559.

122. Wilkens T.T. An effective model for applying earned value to any Project / PMI Symposium. Vancouver, 1994. P. 170- 177.1. Первы проф12 » апреля2007 г.1. АКТ

123. Настоящим подтверждаем, что результаты кандидатской диссертации Власенко В. А.:

124. Модель определения вариантов выполнения работ минимизирующая сумму затрат и потерь.

125. Модель определения вариантов выполнения работ минимизирующая сумму затрат и штрафов за отклонение продолжительности проекта от директивной величины.

126. Декан факультета экономики и управления,профессор1. В.В. Гасилов15 марта 2007 г.1. АКТ15 марта 2007 г.г. Воронеж

127. О результатах внедрения законченной научно-исследовательской работы по разработке методических рекомендаций по совершенствованию процесса планирования производственной деятельности.

128. Модель определения вариантов выполнения работ минимизирующая сумму затрат и штрафов за отклонение продолжительности проекта от директивной величины.

129. Модель определения вариантов выполнения работ минимизирующая сумму затрат при условии задания ограничения на срок реализации проекта.

130. Модель определения вариантов выполнения работ при параллельном их выполнении.

131. Результаты работ получили поддержку и одобрение на заседаниях технического совета.

132. Директор по административнымвопросам1. Акционерное

133. Ро<Шйская Федерация Закрытое акционерное общество396901 г. Семилуки Воронежской области пер. Заводской д. 3тел./факс: 2-26-55 сбыт: 2-24-061. XJf/У » PV 20071. АКТ

134. О результатах внедрения законченной научно-исследовательской работы по разработке методических рекомендаций по управлению производством

135. В период с 1 февраля 2007 г. по 12 апреля 2006 г. в ЗАО «Семилукский комбинат строительных материалов» проводилась научно-исследовательская работа по совершенствованию процесса управления производством.

136. Результатом работы явилась разработка ряда методических материалов по созданию и практическому использованию моделей выбора вариантов производства работ.1. В их числе:

137. Модель определения вариантов выполнения работ минимизирующая сумму затрат и потерь.

138. Модель определения вариантов выполнения работ минимизирующая сумму затрат и штрафов за отклонение продолжительности проекта от директивной величины.

139. Модель определения вариантов выполнения работ минимизирующая сумму затрат при условии задания ограничения на срок реализации проекта.

140. Результаты работ получили поддержку и одобрение на заседаниях технического совета.1. В.Н. Вороновский