автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задачи оптимального управления финансовыми ресурсами

На правах рукописи

МИТЮШИН НИКОЛАЙ ЮРЬЕВИЧ

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ФИНАНСОВЫМИ РЕСУРСАМИ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственный университет) и Вычислительном центре им. ААДородницына РАН

Научный руководитель: доктор педагогических наук, доцент

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация: Центральный Экономико-Математический Институт РАН

Защита диссертации состоится 17 марта 2005 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.002.017.03 при Вычислительном Центре им. ААДородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вапилова, д. 42 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. ААДородницына РАН

Автореферат разослан и февраля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Шомполов И.Г.

Абрамов А.П. Мартынов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума.

В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения ряда принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Сложность математического аппарата не позволяет- надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств.

В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения типа неравенств.

Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или другими словами множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает, появление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Цель работы. Рассмотреть известные подходы к решению задач оптимального управления общего вида. В рамках схемы Дубовицкого-Милютина сформулировать и качественно и численно решить задачу оптимального управления финансовыми ресурсами на базе известных моделей. Провести качественный и количественный анализ различных постановок задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Методы исследования. В работе используется математический аппарат теории оптимального управления, схема Дубовицкого-Милютина, аппарат численных методов решения задач оптимального управления, качественные и численные методы теории дифференциальных уравнений а. также задачи нелинейного (линейного) программирования.

Научная новизна. Разработана методика качественного и численного анализа заданного класса задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе известных моделей кредитно-депозитной политики банка.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность. Результаты работы использовались в научных исследованиях и учебном процессе МФТИ, и в рамках гранта РФФИ (№ проекта 03-01-00678). Также результаты работы могут использоваться для планирования оптимального использования финансовых ресурсов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в МФТИ, ИСА РАН, ИЛУ РАН, ЦЭМИ РАН, ИММ РАН, ВЦ РАН, а также на научных конференциях в МФТИ.

Личный вклад. В совместных работах [1], [3] автору принадлежат результаты в равных долях.

Структура и объем работ. Диссертация состоит из введения, шести глав и билиографического списка, содержит рисунков. Общий объем работы составляет страниц. Библиографический список включает 95 наименований.

Содержание работы

Во введении дается обзор принципа максимума сформулированного ПонтрягинымЛ.С. и его школой. Наиболее глубокие серьезные исследования были проведены в работах А.А.Милютина и А.Я.Дубовицкого для задач с фазовыми и смешанными ограничениями. По существу проблема получения необходимых условий первого порядка для указанных задач в этих работах полностью решена.

Опыт численного решения задачи Коши для ОДУ привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. Выделение жестких систем уравнений в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системы ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. и др.).

Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории очень часто используют дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (НП) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП) Задачам ЛП посвящено огромное количество исследований. Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Хачияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новый алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан А.С. Немировским, Н.З. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г. Хачиян доказал полиномиальную сложность ЛП.

В 1984 году Н.К. Кармаркар предложил полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкурентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Маккормика (метод внутренней точки). Ю.Г.Евтушенко и В.Г.Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи НП. Отметим, что метод Кармаркара следует из работ Ю.Г.Евтушенко как частный случай.

Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛП следует из работ Ю.Г.Евтушенко и В.Г.Жадана как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискретизации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, Ф.П. Васильев) и др. В работах Мангасарьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП.

Поиску нормальных решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко Ю.Г. А.Е. Умнов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы. (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.

В первой главе приводится постановка задачи Понтрягина. Найти минимум 1(р) при наличии следующих ограничений:

(1.1) (1.1)

Здесь R- произвольное множество пространства и\ х - фазовый вектор; и - вектор управления. Правая часть f{x,u,t) непрерывно дифференцируема по переменным х и / и непрерывна по управлению, К(р) - гладкая функция от р; функционал J(p) - выпуклый по р. Рассмотрение поставленной задачи (1.1) в классе игольчатых вариаций приводит к известному принципу максимума Понтрягина Л.С. Минимум ищется в классе всех ограниченных измеримых по Лебегу функций u(t),ta,tl . При этом x(t) будет абсолютно интегрируемой функцией.

Необходимо заметить, что принцип максимума Понтрягина Л.С. был доказан для задачи с интегральным функционалом и фиксированными начальными и краевыми условиями.

Формулируется также задача Блисса-Больца: требуется найти min J(p)

при наличии следующих ограничений:

где - гладкие функции по совокупности своих аргументов;

- некоторое открытое множество пространства ;

запись 0\G означает, что G является областью определения Ф\ ограничения - независимые; независимость ограничений означает, что в каждой точке для которых эти ограничения выполнены, градиенты

линейно независимы; - множество активных

индексов. Активным индексом точки X,U,t U€V(x,t) называется число j, для которого выполнено соотношение jr,U,i) = 0; на поверхности g = 0 ранг размерность Ф - любая; минимум ищется в классе кусочно-непрерывных функций u{t).

Приводится также постановка канонической задачи Дубовицкого-Милютина: найти min J(p), если выполнены следующие ограничения X = f(x,u,t), К(р) = О,<р(р)<0,р = (*(/,),*(/, ),/„,/,) g{x,u,t) = Q,g = {gi,gv...,gr}, Ofau,0<0, ШМ, (1.3)

где К - произвольное множество пространства ЕК', Ц - любое натуральное число, / = {/,...,/,}, д:6.£",/6[/„,/,].

Предположения, при выполнении которых производится вариационное исследование задачи А: функции f(x,u,t),K(p),g(x,U,t) и их частные производные по x,u,t непрерывны по всем своим аргументам в некоторой окрестности поверхности для всех точек

поверхности g = 0 . Функции J,<p,0 - локально выпуклые по x,Ultp,l , размерность вектор-функции <р={<р^) - любая. Траектория X(){t),Uii{i),ttj,ti , исследуемая на экстремум, - измеримая и ограниченная. Непосредственно усматривается, что каноническая задача объединяет Понтрягинскую и Блиссовские постановки.

Ответ формулируется в виде интегрального принципа, максимума По в регулярном случае. Также указывается класс задач оптимального управления, сводящихся к канонической задаче Дубовицкого-Милютина. Кроме того, приводится каноническая задача Дубовицкого-Милютина с непрерывной зависимостью от времени при фиксированном правом конце по t.

Во второй главе проведен анализ существующих в России моделей банка. В них рассматриваются особенности имитационного моделирования банковских процессов, приводятся различные модели оценки банковских рисков и анализируются методы оценки финансового положения банка.

В третьей главе рассмотрены вопросы выбора критерия в задачах оптимального управления кредитно-депозитной политикой банка. Анализируются экономическая и психологическая теория ценности.

В четвертой главе рассмотрена модель оптимального функционирования банка, предложенная в работе Романюка Д.В. (рассмотривается работа банка на достаточно большом интервале времени [0,Т] ). В этой модели рассматривается «типичный» банк.

Банк считается типичным, если:

1. при проведении кредитно-депозитной деятельности он не зависит от кого-либо, кроме своих владельцев;

2. юридический статус и множество доступных для проведения операций банка не меняются на рассматриваемом периоде;

3. своими действиями банк не оказывает существенного влияния на финансовый рынок.

Пусть банк получает доходы в виде оплаты своих услуг за проведение расчетов гарантийных операций, брокерское обслуживание (или другие независящие от портфеля активов доходы) - О® и доходы от приобретенных на свободные средства ценных бумаг составляющих в совокупности портфель банковских активов.

Доходы от приобретенных ценных бумаг складываются из процентов по бумагам - и выплаты вложенных средств при погашении или продаже

ценных бумаг - (в случае акции в = +со\/д = 0, где.

ф) - процентная ставка по приобретенным ценным бумагам

Б^) - объем приобретенных ценных бумаг по номиналу

- текущий рыночный курс ценных бумаг приобретенных банком среднее время до погашения ценных бумаг приобретенных банком

В банк поступают, также заемные средства от размещения им своих ценных бумаг со скоростью - ^ Мы будем считать, что ценные бумаги эмитированные банком первоначально размещаются а погашаются по номиналу, а процентный доход по ним определяется исходя из ситуации на финансовом рынке в момент эмиссии.

Полученные доходы банк в первую очередь направляет на оплату расходов по привлечению средств, которые состоят из выплат процентов по размещенным ценным бумагам - r(t)D(t) и выплат основных сумм заемных

средств - ^'У^, где:

r(t) - процентная ставка по размещенным ценным бумагам £>(0 - объем размещенных ценных бумаг по номиналу j]{t) > 0 - среднее время до погашения ценных бумаг эмитированных банком. Кроме того, банк несет расходы независящие от объема его пассивов -/>(0С(0,где:

р(1) - индекс потребительских цен,

C(i) - на оплату аренды помещений, на оплату телекоммуникационных расходов, а также других расходов, не зависящих от объема привлеченных средств (пассивов).

Затем банк уплачивает необходимые налоги. Оставшиеся средства банк использует для вложения в собственную инфраструктуру (внутренние инвестиции) - p(t)C,(t) и для дивидендных выплат - p(t)C2(t).

Количество денег, ценных бумаг приобретенных банком и ценных бумаг размещенных банком изменяются со временем следующим образом:

Будем считать, что покупка/продажа ценных бумаг принадлежащих банку может быть осуществлена достаточно быстро, но не мгновенно

(4.4)

где 2 - расход денег на приобретение ценных бумаг (приход денег от их продажи), а Д > 0 - достаточно малая постоянная времени, характеризующая качество активов банка, в смысле ликвидности. Если банк размещает все свои активы на каком-либо одном сегменте финансового рынка, то для него Д есть величина характеризующая степень развития данного сегмента. В общем случае Л получается как средневзвешенная по объему активов из величин, характеризующих степень развития каждого из' сегментов финансового рынка, на которых размещены активы. Поскольку мы не рассматриваем проблему формирования активов в данной работе, А предполагается заданной величиной.

Размещение банком собственных ценных бумаг, для привлечения заемных средств, также проходит с некоторой ограниченной скоростью, поэтому

где - постоянная времени, характеризующая степень развитости рынка

иных бумаг, эмитируемых банком. Ограничения на управление имеют следующий вид:

где Ъ - расход денег на приобретение ценных бумаг (приход денег от их продажи), а - достаточно малая постоянная времени, характеризующая

качество активов банка, в смысле ликвидности.

Размещение банком собственных ценных бумаг, для привлечения заемных средств, также проходит с некоторой ограниченной скоростью, поэтому

Д

(45)

(4.7)

Д

где Д > 0 - постоянная времени, характеризующая степень развитости рынка иных бумаг, эмитируемых банком. Для сохранения банком ликвидности

необходимо, чтобы: --?5-—-рС>О, МО)>0,5(1)> 0, для всех /е[0,Г].

г Т] 1 1

Проведение необязательных платежей, также ограничено по скорости:

,М

рС\ + кС2 < , 0 <M(t)<M{

(4.8)

Кроме того, на управления С,(/) и С2(/) наложены ограничения: О ^ С,(/) < Сп, 0 < С2(0 ^ С22. (4.9)

Задача А. Требуется определить шахМ(Т) при наличии ограничений (4.1)-(4.9). Кроме задачи А рассматривается второй функционал, связанный с дисконтированной полезностью будущих дивидентных выплат. Он имеет следующий вид:

с>= ]уЛМ(С2(/))</г, (4.10)

где и(С2) - функция полезности дивидендных выплат, которая имеет вид: 1

«(Са)—7

-Q+-

(4.11)

(1 -ß)Mx 1 \-ß'

где ß есть коэффициент, связанный с отвращением к риску по Эрроу-Праггу (/?*1)

Задача В. Определить шаха(/) при наличии ограничений (4.1)-(4.11) и краевом условии М, (Т) = Л/,,.

В той же главе приводится формулировка теоремы существования и единственности (Дикусар В.В.) на базе которой доказана теорема существования и единственности решений предложенных задач А и В,

Найти min,/; J = (F(x,u,t)dt (4.12)

при наличии следующих ограничений:

1. х = а,(x,t)u + bx(x,t), *(0) = х0,*(Г) = *,

2. g(x,u,t) = a1(x,t)ll + Ьl(x,t) = 0 (4.13)

3. О

Будем предполагать, что ие£/(Г)с£2;{/(/) - замкнуто и выпукло для любых t, измеримо по / и содержится в некотором шаре, т.е. | II(Т) |< С0; хеЕ";Г(х,и,1),Ф(х,и,1) - выпуклы по Ц; Г- непрерывна по х, и измерима по I; для правой части дифференциальных уравнений выполнено неравенство Филиппова А.Ф. + х\2 +1) . д,(х,0Л(х,/) -

удовлетворяют условию Липшица по х, ¿^(хДб^х.г) - измеримы по /.

Пусть в сформулированной задаче выполнены указанные предположения. Предположим, что существует хотя бы одна пара (х,й), удовлетворяющая условиям задачи. Тогда существует пара (х0,и0), доставляющая абсолютный минимум в указанной задаче.

В работе сформулированы и доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Решение задачи А существует и единственно.

Теорема 2. Решение задачи В существует и единственно.

В основной и сопряженной системах дифференциальных уравнений имеется в знаменателе правой части малая параметр-функция 6(1), которая может стремиться к нулю при I -> Т. В этом случае возникает малый параметр при производной. В работе предлагается различные методы интегрирования указанных систем на базе явных методов с управляющими параметрами.

В пятой главе сначала рассматривается задача Понтрягина, т.е. задача с ограничениями на управляющие функции. Проводится качественное исследование задач оптимального управления без учета фазовых и смешанных ограничений.

Теорема 3. В задаче Понтрягина для двух постановок задач оптимального управления существует особый режим.

В шестой главе рассмотрена методика получения численного решения двух поставленных задач оптимального управления. В работе предлагается

метод предварительной оценки геометрии оптимальной траектории на основе системы содействию принятия решений «Баланс» [13]

Кроме того, для оценки значений функционала применялась первая теорема о среднем. В первом приближении рассматривалась следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений:

-константы

(6.1)

В этом случае

=а, -6, А(Г + АгТ,

(6.2)

где - константы. В результате получаем следующие формулы для

вычисления интегралов в формуле (6.2).

(6.3)

й{Т) - ДО) = а2 £ гж - 62 £ Д,

а2Л,+£>(0)-ДГ)

(6.4)

где - произвольные постоянные.

Таким образом, задача А редуцируется к следующей задаче линейного программирования:

Задача С. Найти тах М(Т) при условии

(6.5)

М(Т) = С1А1 + СгА2 + С1, Ап<А^<Аа, Аи <Аг<А,

А^^МЕуАц = вир 2, Агх = М№,Аа=зир1У

Аналогичным образом строится первое приближение для задачи Б. Отметим, что интегралы можно оценить отдельно и

не включать в решение задач А и Б при выборе первого приближения.

Полученные оценки решений дают возможность оценить качество решения при помощи системы «Баланс» [13].

Теорема 4. Задача А эквивалентна следующей задаче:

Задача А1. Найти тахМ(Г) при наличии следующих ограничений:

(6.6) (6.7)

Ограничения на управления имеют следующий вид:

г^г&г,, цг^ФЩ, <0; г^и^о.

(6.8)

(6.9)

(6.10)

Все остальные переменные и управление, а также параметры остаются без

изменений.

В этой же главе приведены результаты численных и аналитических расчетов оптимальных траекторий для двух типов критериев (максимальный доход и максимизация функции полезности).

Заключение

1. Приведены постановки двух задач оптимального управления финансовыми ресурсами на базе известных моделей.

2. Доказаны теоремы существования и единственности для поставленных задач.

3. Доказано существование особых режимов.

4. Для оценки оптимальных решений проведена редукция исходных задач к задаче линейного программирования малой размерности.

5. Получено решение поставленных задач в зависимости от параметров с

помощью системы «Баланс».

6. Приведенные примеры расчета показали эффективность разработанной

методики.

Литература по автореферату

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г.. Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961,1969.

2. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Применение методов теории управления в жестких системах для обыкновенных дифференциальных уравнений. М: ВЦ РАН, 2001

3. Романюк Д.В. Модель формирования кредитно-депозитной политики банка, препринт ^Т/97/027: М.: ЦЭМИ РАН. 1997

4. Дикусар В.В. Милютин АА Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука. 1989

5. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решений по параметру и наилучшая параметризация. М.: УРСС, 1999

6. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит. 2000.

7. Ваниер Г.. Хайрэр Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи, М.: Мир, 1999.

8. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994.

9. Васильев Ф.П.. Иваницкий А.Ю. Линейное программирование, М.: Факториал, 1998.

10.Евтушенко ЮГ.. Жадан В.Г. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские численные методы оптимизации. Сообщения по вычислительной математике. М.: ВЦ РАН. 1992.

11.Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линейного программирования, ЖВМ и МФ, 2000. т.40, .№12, с. 1766-1786.

12.Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. М. МФТИ, 2001

13.Умнов А.Е. Система содействия принятию решений «Баланс». М.: МФТИ, 1991

14.Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983

15.Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач. Экономика и мат. методы, XII, N.2,1976

Список публикаций

1. Митюшин Н.Ю., Фигура А. Задачи оптимального управления финансовыми ресурсами. М. ВЦ РАН, 2004,54

2. Митюшин НЛО. Задачи оптимального управления кредитно-депозитной политикой банка. М. ВЦ РАН, 2005,68

3. Митюшин Н.Ю., Шомполов И.Г. Проектирование взаимодействий: новый этап разработки программного обеспечения. МФТИ, 2004,60

Митюшин Николай Юрьевич

Задачи оптимального управления финансовыми ресурсами

Подписано в печать 31.01 05 Формат 60*84 1/16 Печать офсетная Уел печ.л.1,5.Уч.-издл.1,4.Тираж 70экз Заказ Ф374

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем «Физтех-полиграф» 141700,Московска* обл ,г Дожощудньт.Институтскнй пер ,д 9

OSA,-oz fi

s".

ИфЕзгЗО!

1184

» С* О» » .

/ L a g \

Ш*

/

Введение.

1. Необходимые условия экстремума.

1.1 Теория принципа максимума и схема Дубовицкого-Милютина.

1.2 Задача Понтрягина.

1.3 Задача Блисса-Больца.

1.4 Необходимые условия оптимальности.

1.5 Канонические задачи Дубовицкого-Милютина.

1.6 Структура смешанных ограничений.

1.7 Интегральный принцип максимума в регулярном случае.

1.8 О и - стационарности.

1.9 Интегральный принцип максимума /70.

1.10 Класс задач оптимального управления, сводящихся к задаче (1.9).

2 Анализ существующих математических моделей банка.

2.1 Вводные замечания.

2.2 Особенности имитационного моделирования банковских процессов.

2.3 Модель оценки банковских рисков.

2.4 Анализ методов оценки финансового положения банка.

3 Вопросы выбора критерия в задачах оптимального управления банковскими операциями.

3.1 Природа экономической ценности.

3.2 Максимальная ожидаемая прибыль как критерий.

3.3 Психологическая теория ценности.

4. Модель функционирования банка.

4.1 Теорема существования и единственности.

4.2 Сингулярные уравнения.

5. Задача Понтрягина и схема Дубовицкого-Милютина (качественные методы).

5.1 Особые режимы.

5.2 Применение методов теории управления в жестких системах.

5.3 Теорема о среднем.

5.4 Редукция смешанных ограничений к ограничениям на управление.

6. Модель банка.

6.1 Вычисление.

6.2 Результаты вычислений.

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума.

В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения ряда принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств.

В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения типа неравенств. Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или другими словами множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает, появление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Как известно, принцип максимума (ПМ) для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован JI.C. Понтрягиньм и доказан В.Г. Болтянским уже более 40 лет назад. С тех пор появилось огромное количество работ, посвященное ПМ в различных задачах оптимального управления. Наиболее глубокие и серьезные исследования были проведены в работах А.А. Милютина и А .Я. Дубовицкого. В этих работах теория ПМ была продвинута на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу проблема получения необходимых условий первого порядка, для указанных задач в этих работах полностью решена.

Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным слоем.

Выделение жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производная становится существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы, однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов.

Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системы ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. и др.).

Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории очень часто используют дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (НП) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП) Задачам ЛП посвящено огромное количество исследований Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Хачияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новый алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан А.С. Немировским, Н.З. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г. Хачиян доказал полиномиальную сложность ЛП.

В 1984 году Н.К. Кармаркар предложил полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкурентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Маккормика (метод внутренней точки). Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи НП.

Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛП следует из работ Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадана как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискредитации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, Ф.П. Васильев) и др. В работах Мангасарьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП.

Поиску нормальных решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко Ю.Г. А.Е. Умнов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы. (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.

Отметим, что при решении ряда задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается, т.е. становится тривиальным. Последнее означает, что для исследования задачи необходимо применять высшие порядки. Многие авторы рассматривали этот вопрос в плане расширения границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах (Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А., Третьяков А.А., Измайлов А.Р., Арутюнов А.В. и др.). Их результаты в основном связаны с теоремами существования принципа максимума для вырожденного случая. Следует указать работы Дикусара В.В., который применил методы регуляризации структуры ограничений, что позволило распространить принцип максимума П0 на невырожденные задачи.

Заключение

1. Приведены постановки двух задач оптимального управления финансовыми ресурсами на базе известных моделей.

2. Доказаны теоремы существования и единственности для поставленных задач.

3. Доказано существование особых режимов.

4. Для оценки оптимальных решений проведена редукция исходных задач к задаче линейного программирования малой размерности.

5. Получено решение поставленных задач в зависимости от параметров с помощью системы «Баланс».

6. Приведенные примеры расчета показали эффективность разработанной методики.

1. Шалашилин В.И. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наи-1 лучшая параметризация, М.: УРСС. 1999.

2. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем, М.: Наука, 1979.

3. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит. 2000.

4. Ваниер Г. Хайрэр Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жестокие и дифференциально-алгебраические задачи, М.: Мир, 1999.

5. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994.

6. Васильев Ф.П. Иваницкий А.Ю. Линейное программирование, М.: Факториал, 1998.

7. Евтушенко Ю.Г. Жадан В.Г. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские чи^сленные методы оптимизации. Сообщения по вычислительной математике. М.: ВЦ РАН. 1992.

8. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линей-чного программирования, ЖВМ и МФ, 2000. т.40, .№12, с. 1766- 1786.

9. Хачиян Л.Г. Сложность задач линейного программирования. Новое в жизни, науке, технике. Серия математика,, кибернетика. 10. М.: Знания, 1987.

10. Умное А.Е. Проблемы математического моделирования в условиях неполной информации, Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 1994.

11. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задачах с фазовыми ограничениями, // Известия АН СССР, тех. киб. 1984, №4. с. 60 68.

12. Дубовицкий А .Я. Дубовицкий В.А. Принцип максимума в регулярных задачах опти-'мального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на границе фазо^вого ограничения, // AT, 1987, №12, с.25 33.

13. Дмитрук А.В. К обоснованию метода скользящих режимов для задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Функц. Анализ и его приложения, 1976. т.Ю, №3. с.29 44.

14. Дубовицкий А .Я., Милютин А. А. Теория принципа максимума // Сб. Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981, с.138-177.

15. Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления, Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 2001.

16. А.А Гончар, Рахманов Е.А. Равновесное распределение и степень рациональной аппроксимации аяалитических функций, Мат. Сборник т. 134 (176), 1987, выпуск 3. с. 305 347.

17. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

18. Калиткин Н.Н, Численные методы. М.: Наука, 1978.

19. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач, сборник научных трудов. Численный анализ: теория, приложения, программы, М.: МГУ. 1999.

20. Романюк Д. В. Модель формирования кредитно-дспозитной политики банка, Препринт WP/97/027: М. ЦЭМИ РАН. 1997.

21. Кузнецова С.Б. Моделирование дискретно-непрерывных производственных объектов. Известия ВУЗов. Черная металлургия 7 (1980), с.51 -62.

22. Шкадов Л.М., Бухамова Р. С. Илларионов В.Ф., Плохих В.П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностро|ение. 1972.

23. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г. Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961, 1969.

24. Болтянский В.Г. Принцип максимума в теории оптимальных процессов //ДАН СССР. 1958, т. 119. №6, с. 1070 1073.

25. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 19G9.

26. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах // Известия АН СССР. сер. мат., 1960. т. 24. №3. с. 315 356.

27. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные скользящие режимы // ДАН СССР 1962 т. 143 с. 1243-1245.

28. Гомкрклидзе Р.В. Скользящие режимы в теории оптимального управления//Труды МИАН. 1985. т. 169.

29. Гамкре.лидзе Р.В. Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах // Известия АН СССР, сер мат. 1969. т. 33. №4. с.781 -839.

30. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягини в теории оптимальных процессов. // AT 1959, № 11, 12.

31. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задали па экстремум при наличии ограничений // ДАН СССР, 1963), №4, с. 759 762, ЖВМ и МФ. 1965. т. 5. №3. с. 395

32. Дубовицкий А.Я. Милютин А.А. Необходимые условия слабого экстремума в зада-'чах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенства. /'/ ЖВМ и МФ. 1968. т. 8, №4. с. 725 779.

33. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Трансляция уравнении Эйлера. // ЖВМ и МФ. 1969, т. 9. №6, с. 1263

34. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Принцип максимума для задач оптимального упра-вления со смешанными ограничениями типа:равенства и неравенства в классе варипаций, малых по абсолютной величине//ДАН СССР, 1969. т. 189. №6. с. 1567 1571.

35. Дубовицкий А .Я., Милютин А, А. Необходимые условия слабого экстремума, в общей задаче оптимального управления. М.: Наука, 1971.

36. Егоров Ю.В. Милютин А.А. О достаточных условиях сильного экстремума в классе кривых с ограниченной производной // ДАН СССР. 1964. т. 159. №5. с. 971

37. Halkin Н. Nonlinear nonconvex programming in an infinite dimensional space // Mathematical theory of control. New York. Acad. Press. 1967. p. LO 25.

38. Neustadt L.W. An abstract variations theory with application to a broad class of optimal problems. II Applications // SIAM J. on Control, 1967, v, 5. №1. p. 90 137.

39. Neustadt L.W. Makowaky K. Maximum principle for problems with mixed constraints // SIAM on Control and Optimization. 1974, v. 12, №2. p. 184 228.

40. Милютин А.А. Общие схемы получения необходимых условии экстремума и задачи оптимального управления // УМН. 1970. т. 25. ,№5. с. 110

41. Иоффе А.Д. Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука,. 1974.

42. Якубович В. А. К абстрактной теории оптимального управления. I. И. III. IV // СМЖ. 1977. т. 18. №3. 1978. т. 19. №2. 1979. т. 20, .№4. 1979. т. 20

43. Матвеев А.С. О необходимых условиях экстремума в задачах оптимального упра-ъления с фазовыми ограничениями // Дифф. уравнения. 1987. т. 23. №4. с. 629

44. Virsan С. Necessary conditions for optimal control problems with equality type mixed constraints // Revue Roumaine de Math. Pures et Appi. 1971. v. 16. №1.

45. Yonidd К. Hewitt E. Finitely additive measures // Transactions of Amor. Math, Soc. 1952. v. 72. p. 46 66.

46. Дмитрук А.В. К обоснованию метода скользящих режимов для задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Функц. анализ и его приложения. 1976. №3, с. 39 44.

47. Милютин А.А. Принцип максимума для регулярных систем // В кн.: Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. глава, 5 (с. 132 157).

48. Гуриев С.М. Поспелов И.Г. Модель общего равновесия экономики переходного пери-ода. М. журнал «Математическое моделирование», т. 6. № 2. стр. 3-21. 1994.

49. Dak Spencer., Haldanc G. Andrew. A Simple Model of Money, Credit and Aggregate Demand. Bank of England. Working paper scries # 7. April. 1993.

50. Егоров С. В нормальной деятельности банковской системы заинтересована вся экономика России. М. Финансовые известия. №37 (271). 1996.

51. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Модели и методы анализа, финансовых инструментов кредитной политики балка и динамики его развития в условиях переходного периода, препринт WP/97/019. М. ЦЭМИ РАН, 1997.

52. Екушов А. Денежные потоки в коммерческом банке. М., журнал «Банковские технологии» № 1, 1996

53. Ивлев К., Чеботарев В. Моделирование кредитно-депозитных операций коммерческого банка. М. журнал «Банковские технологии», .№ 1, 1997.

54. Клейнен Дж., Статистические методы в имитационном моделировании. М. Стати^стика, 1978.

55. Коган И.В. Моделирование процессов управления рыночными структурами в услови-да переходного периода (на примерекоммерческих банков). Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата, экономических наук. М. ЦЭМИ РАН. 1994.

56. Кокорев В., Ремизов А. Модернизация кредитной системы России в условиях кризиса ликвидности: можно ли удешевить деньги без роста инфляции. М. журнал «Вопросы экономики». .№ 8. 1996.

57. Ли Э.Б. Маркус JI. Основы теории оптимального управления. М., Наука,, 1972.

58. Лисициан Н. Оборотные средства, процесс обращения стоимости капитала, неплате^жи. М., журнал «Вопросы экономики». №9. 1997.

59. Lhabitant F. Enhancing Portfolio Performance Using Options Strategic: Why Beating the Market is Easy. Working paper # 9703 Institute of Banking and Financial Management,. University of Lausanne, 1997.

60. Макконклл K.P. Брю С.Л. Экономикс. Tl. Т2. М. Республика. 1992.

61. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах., под ред. Самарского АА. Моисеева Н.Н., Петрова А.А. М. Наука. 1986.

62. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М. Энсргоатомиздат. 1996.

63. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М. Наука. 1976,

64. Поспелов И.Г. Модель поведения производителей в условиях рынка и льготного кредитования. М., журнал «Математическое моделирование», т. 7. № 10. стр. 19 31.1995.

65. Романюк Д. В. Модель формирования кредитно-депозитной политики банка, препринт WP/97/027: М., ЦЭМИ РАН. 1997.

66. Романюк Д.В. Моделирование управления финансовыми потоками в банке. М. бюллетень «Денежный рынок». № 213 .1997.

67. Роуз Питер С. Банковский менеджмент. М. «Дело», 1997.

68. Сепчагов В. Стратегия государственной денежно-кредитной и бюджетно-налоговой политики России. М. журнал «Вопросы экономики», .№ 6. 1997.

69. Синки Джозеф Ф., мл. Управление финансами в коммерческих банках. Cata.Uaxy М., 1994.

70. Santomero A.M. Modeling the Banking Firm: A survey. Journal of Money. Credit, and Banking. # 16. 1984.

71. Helpman E. Optimal Spending and Money Holding in the Presence of Liquidity Constraints. Economctrica. Vol. 49. No 6, 1981.

72. Manger R. A Life-Cycle Consumption Model with Liquidity Constraints: Theory and Empirical Results. Econometrica. Vol. 55. No 3. 1987.

73. Эрлих А. Прогнозы цен: технический анализ или история повторяется. М. журнал «Банковские технологии», ,№ 2, 1996.

74. Дикусар В.В. Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе макаинмума. М.: Наука. 1989.

75. Моисеев Н.Н. Математические задали системного анализа. М.: Наука,, 1981. Федореико Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления М Наука 1978.

76. Кузнецова С.Б. Моделирование дискретно-непрерывных производственных объектов. Известия вузов. Черная металлургия, 7 (1980), 51-62.

77. Кузнецова С.Б. Имитационная модель термического отделения цеха холодной про-тсатки. Известии вузов. Черная металлургия, 9 (1980). 4756.

78. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М. 1997.

79. Антонов А.В., Поманский А.Б. Рационирование кредитов и алгоритм эффективности распределения заемных средств. М., Экономика и математические методы, т. 30, вып. 1, 1994.

80. Багриновский К.А., Егорова Н.Е., Имитационные системы в планировании экономических объектов. М., Наука, 1980.

81. Багриновский К.А., Егорова Н.Е., Радченко В.В., Имитационные модели в народнохозяйственном планировании. М., Экономика, 1980. Банковское дело (Справочное пособие) под ред. Бабичевой Ю.А. - My,1. Экономика, 1993.

82. Банковское дело, под ред. Лаврушина О.И. М., Банковский ичбиржевой научно-консультационный центр, 1992.

83. Барлтроп Крис Дж., МакНотон Диана. Банки на развивающихся рынках, том 2, Интерпретирование финансовой отчетности. М., «Финансы и статистика», 1994.

84. Биссада И., Дермин Ж., Управление активами и пассивами в банках /Пособие пользователя. Материалы семинара/. М., издательство Сбербанка РФ, 1996.

85. Бородин А.В., К вопросу прогнозирования динамики суммарных остатков по некоторым группам банковских счетов. Йошкар-Ола, 1996.

86. Baltensperger, Ernst, Alternative Approaches to the Theory of the Banking Firm. Journal of Monetary Economics, January, 1980.

87. Bernanke B. S., On the Predictive Power of Interest Rate's and Interest Rate Spreads. New England Economic Review, Nov/Dec, 1990.

88. Bernanke B. S., Blinder A. S., Credit, Money, and Aggregate Demand.

89. American Economic Review, Papers and Proceedings, 1988.

90. Веденов Д.В., Гуриев С.М., Поспелов И.Г., О некоторых свойствах логарифмической функции полезности. М., журнал «Экономика и Математические методы», том 32, № 2,1996.

91. Голиченко О.Г., О моделировании воздействия роста денежной массы на инфляцию и динамику уровня производства. М., журнал «Экономика и Математические методы», том 32, № 3, 1996.

92. Гуриев С.М., Математическая модель стимулирования экономического роста посредством восстановления сбережений. М., журнал «Математическое моделирование», т. 8, № 4, стр. 21-46, 1996.

93. Гуриев С.М., Поспелов И.Г., Модель общего равновесия экономикипереходного периода. М., журнал «Математическое моделирование»,т. 6, №2, стр. 3-21, 1994. g£ Митюшищ и. ю., ШигурО- ft. Задали онТималбного упрсиёмки* финамсо#&(лш рг£урсаиъи. Ш РАН,

94. С&с&щвциЗ по nf>uxj\agHou M^cuetjuijtuce,%oo4,54ctpg^ Мииюгцин 3ajjoZtJL оиТилиибною

95. Я Кр&ЯШНо-дьно^ьинои hJOJiu.ru*оьГ5<ш<a. A.fbli РДИ) СооШОмме пх> криклфио* иалеиатььке., Ьооч, бЪ&р 38 JltMfOWuui И.Ю.,Ш(Н4Л1аяоВ^<и.п ПроехТусба

96. SlOJUJuuOQ^U^UU': м£бш pa^paFoiKu.