автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Явление буферности и хаос в нелинейных волновых уравнениях

На правах рукописи

Глызин Дмитрий Сергеевич

ЯВЛЕНИЕ БУФЕРНОСТИ И ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЯХ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2006

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Колесов Андрей Юрьевич

Официальные оппоненты;

доктор физико-математических наук, профессор Майоров Вячеслав Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Старков Сергей Олегович

Ведущая организация; Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

Защита состоится «* 2006 г. в ^ часов на заседании

диссертационного совета К 212.002.04 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу; 150000, г. Ярославль, ул. Советская,

Д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова по адресу: г. Ярославль, ул. По-луижипа роща, д. 1.

Автореферат разослан «. 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы Актуальность работы

Краевые задачи гиперболического типа описывают большой класс физических моделей, связанных с проблемами распространения волн различной природы. При этом в нелинейной постановке такие задачи решаются, как правило, численно, аналитические же результаты в этой области появляются достаточно редко.

Одним из наиболее содержательных примеров привлечения к моделированию физических явлений нелинейных волновых уравнений является математическая модель RCLG автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Эта задача была поставлена и частично решена A.A. Вит-том1. Она состоит из линейных уравнений в частных производных гиперболического типа, а нелинейность содержится в краевых условиях. При решении проблемы Витт использовал метод медленно меняющихся фаз и амплитуд и на этом пути получил асимптотические формулы для периодических решений изучаемой задачи. Вид асимптотических формул позволил, кроме того, заключить, что при подходящем выборе параметров данная краевая задача может обладать произвольным наперед заданным числом циклов. Такое явление приобрело название буферности, и под ним в настоящий момент понимают сосуществование в фазовом пространстве динамической системы сколь угодно большого числа однотипных аттракторов (циклов, торов И Т.д.) Следует отметить, что результаты, полученные Виттом, были в значительной степени эвристическими, поскольку отсутствовал необходимый математический аппарат для их обоснования.

В целом, нелинейные краевые задачи гиперболического типа довольно долго изучались лишь в квазилинейной постановке. Такой подход подробно изложен и обоснован, например, в книге Ю.А. Митропольского и Б.И. Мо-сеенкова2. Бифуркационные задачи для уравнений гиперболического типа начали изучаться лишь в конце прошлого века в работах Ю.С. Колесова, А.Ю. Колесова и С.А. Кащенко.

Основная трудность, с которой приходится сталкиваться в этой ситуации, состоит в том, что при критических значениях параметров счетное число точек спектра оператора линеаризованной задачи лежат на мнимой оси. Тем самым реализуется так называемое бесконечномерное вырождение. Одной из характерных задач, обладающих таким свойством, является телеграфное уравнение:

д?и ди 2<йи / Зи\

+ u = + (1)

1Витт АЛ. Распределенные автоколебательные системы // Жури, технич. физики. - 1931 - Т.4. V 1.

- С. 144 - 157.

aJtfitmpcrnaAt>CKtiü Ю.А., А/дегеенпхг В. ff. Асимптотические решения уравнений в частиьа производных.

- Киек Вита школа, 1976,

с краевыми условиями Дирихле или Неймана на границах отрезка изменения пространственной переменной х. Здесь - скалярная функция, опреде-

ленная при ( > £о, 0 < а: < 1. е — положительный малый параметр, а > О, /{и, г) — скалярная функция из Све, порядка малости в нуле выше первого.

Как известно, цепочки и решетки связанных генераторов с сосредоточенными параметрами являются полезными физически содержательными моделями, позволяющими выяснить ряд закономерностей развития пространственно-временного хаоса в сплошных средах3. При этом, как правило, в качестве отдельно взятого звена цепочки парциальной системы) рассматривается генератор, описывающийся системой обыкновенных дифференциальных уравнений с единственным устойчивым циклом. Однако в случае волновых уравнений для того, чтобы добиться требуемого эффекта, вовсе не обязательно брать цепочку из большого числа звеньев, как это обычно делается в случав сосредоточенных осцилляторов. Достаточно ограничиться некоторым минимально допустимым их количеством. В связи с этим представляет интерес цепочка, составленная из трех однонаправленпо связанных уравнений (1) вида

Э2щ дщ чдгщ ,, „ л ■

+ ^ + = + 1,2,3, «о = «|, {2)

с краевыми условиями Дирихле или Неймана. Здесь величина га характеризует слабую связь между генераторами.

Цель работы

Основной целью данной диссертационной работы является изучение динамических свойств нелинейных краевых задач (1) в различных постановках и с различными нелииейностями/(ы,г>), а также систем (2) связанных в кольцо осцилляторов такого типа. Особое внимание уделяется условиям возникновения явления буферное™ в этих задачах.

Методы исследования

Методом решения бифуркационных задач с бесконечномерным вырождением является метод квазинормальных форм, впервые предложенный в работе Ю.С. Колесова4 для уравнений параболического типа с малой диффузией, а затем обоснованный и распространенный на уравнения гиперболического типа и на сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с запаздыванием (С. А. Кащенко5, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов6}. Следует отметить,

3ЛП. С. Сложные колебания в простых системах, — М.: Наука, 1000.

4Калгсов Ю.С. Метол квазилинейных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. ыатем. жури. — 1087. — Т. 39. № 1. — С. 23 - 3-4

ЗКащетш С. А* Применение метеда норма.; юани и к изучению динамики днфференцн&льио-рмностных уравнений с малым множителем при производной Диф. уравнения, — 1989. - Т.25, № 2. - С. 2С2 - 270.

* Кол<°л <н) Л. Ю-, Розов Н X. Инвариантные тори нелинейных волновых уравнений -- М., 2004.

что, в отличие от метода нормальных форм, этот метод не позволяет автоматически распространять свойства решений квази нормальной формы на решения исходной задачи. Для обоснования такого соответствия необходимо оценивать невязку асимптотического приближения решения, полученного на основе грубых устойчивых режимов нормализованной системы.

Научная новизна работы

В диссертационной работе предложено решение нескольких бифуркационных задач для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Найдены условия возникновения в этих задачах явления буферности.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказано существование и устойчивость двухмодового цикла телеграфного уравнения с малым параметром при квадратичной нелинейности при наличии внутреннего резонанса 1:2.

2. Исследована система трех нелинейных телеграфных уравнений с малой однонаправленной связью, получены условия существования и устойчивости циклов системы; в рамках задачи продемонстрировано явление буферности.

3. Показано наличие буферности в системе трех одно направленно связанных нелинейных волновых уравнений без квадратичной нелинейности.

4. Создан программный комплекс численного анализа динамических систем ТгасегЗ.

5. Обоснован метод динамической перенормировки определения старшего ляпуиовского показателя для отображений.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа носит теоретический характер. Ее основные результаты могут быть иснользованы для анализа систем нелинейных волновых уравнений. Представленный в последней части работы программный продукт (ТгасегЗ) может найти и находит применение в качестве иллюстративного материала в учебном процессе и в качестве исследовательского инструмента при численном анализе инвариантных числовых характеристик динамических систем. Программный пакет ТгасегЗ доступен на сайтеЬ^р:/Лпго.tracer3.narod.ru.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих научных кон ферен циях:

1. XXVII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, 2005;

2. XXVIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, 2006 (В рамках общеуниверситетской конференции молодых ученых «Ломоносов-2006*.);

3. VIII Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения* (МФЛ-2006), Крым, Алушта, 2006.

Кроме того, результаты диссертации были изложены на ряде заседаний семинара кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова «Нелинейная динамика и синергетика», а также обсуждались в семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г, Демидова.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 8 работ: 5 статей и 3 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, и диссертацию включены результаты, полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 52 наименования. Диссертация содержит 13 рисунков и одно приложение. Общий объем диссертации составляет 96 страниц.

Со введении обосновывается актуальность проведенного исследования, приводятся его цели и задачи. Кроме того, в нем содержится обзор литературы, связанной с тематикой диссертации, а также приводится структура работы.

Первая глава посвящена проблеме бифуркаций периодических решений нелинейного телеграфного уравнения с нулевыми граничными условиями Дирихле в критическом случае а = а^ = у/3/((2к + I)2 — 4п2).

1. Постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу:

Краткое содержание работы

«и + и = а?итх + (ци - и2)и,,

= 0,

б

где /г — малый параметр, фазовым пространством для (г£(£, х), ат)) счи-° ° °

таем х где \<У2 — соболевские пространства функций с нулевыми граничными условиями из (3).

Линеаризуем уравнение из (3) при д = 0. Полученная задача допускает решения видаи(£, лг)= е £1п(пх), с частотами = уЧ+а^п2, п= 1,2,... Допустим, что для некоторого к >п имеет место резонанс

= Ш2к+1, (4)

то есть а = апк = т/3/((2к + 1)г - 4пг).

Требуется найти при данном условии приближение цикла задачи (3), би-фурцирующего из нулевого решения на модах эш «а; и вт(2£ + 1)х. 2. Алгоритмическая часть. Произведем в задаче (3) подстановку

и = (¿щ^р, т, х) + г, ас) + ..., г = /Л, (5)

где щ задается выражением

Приравнивая коэффициенты при /Д получим задачу на щ-дРи2 о д2и2 , ,, ди\ . . „

-йт + ^-^а?-"-2Ш + ^-^-ЗГ' = = & (в)

Искать решение щ будем в виде, аналогичном виду неоднородности в уравнении (6):

«2 = + (7)

«=1

Подставив (7) в (б), мы получим шесть краевых задач:

(1 - в2ш1)В,(т, х) - а^В» „(г, х) = ъ(т, аг),

ЯДт, 0) = ВДт, тг) = О, 1 < з < 6. К }

При 5 — 1,2 задачи всегда вырождены: у соответствующих им однородных существуют нетривиальные решения зшгсх и зт(2& + 1)х соответственно. Условия их разрешимости

I 71(т,я:)зтт1х <£к = 0, I 7з(т, х)$т(2£ + 1)х ¿х = 0 Уо 7о

дают систему уравнений на ^(т) и го(т):

+ Аг251 + г^г/А + Зг^/16 = 0, г'2 + 21*221/4 + г|г2/8 + \z\Jb = 0,

где А = 4п21(ж{1 + 2fc}(l + 2к + 2п)(1 + 2к- 2п)).

Задачи при s = 5,6 заведомо разрешимы, случаи s = 3,4 отличаются от указанных выше присутствием в правой части квадратичных слагаемых, и в случае вырожденности условие разрешимости для них не может быть выпол-неио, поэтому необходимо исключить ситуацию, когда числа у/(9шп — 1 и 1/(16oj„ — 1 )/а*к являются целыми. Можно записать эти условия так:

3w„ т¿wri 4wnT¿wr. (10)

У системы (9) существует устойчивое постоянное решение:

zi = -рУ^,

где. vo £ [0,2?r], р\ = 13/(5 \/3), р\ = 2А(9 - %/б1)/5.

Теперь, считая, что все условия разрешимости выполнены, мы можем легко найти решения краевых задач (8). Отметим, что иг является ограниченной функцией; ее явный вид в дальнейшем не понадобится.

Таким образом, для исходной задачи (3), обладающей резонансом (4), при условии (10) мы получили первое приближение цикла. Поскольку параметр <Ро отвечает за сдвиг но циклу, в дальнейшем будем считать его равным нулю.

3. Линейный анализ устойчивости. Линеаризуем на решении (5) задачу (3):

htl + h - a2n khrt - ¡i2{ai{t, x)h + a2(t, x)ht), ftj^ = Л[Я=5Г = 0,

Расчет характеристических показателей, отвечающих за устойчивость цикла, Зудем производить стандартным образом. Вначале найдем характерист и четкие показатели для мод, частоты которых находятся в резонансном соотношении (4). Сделаем замену

h= (V¡j + ¿i2Vj}exp(/t2i?i}.

Здесь Vi, V2 и D - соответственно вектор-строки и матрица размерности 4:

Ц = (expfiwníjsinna:, ехр(—iu/nt) sin rtx, exp(2w¿i„í) sin(2& + l)x, exp(—2iwní) sin(2fc + 1)г), Vi = (i>i(t,x), 6i(t,x), b2(t,x), b2(t,x)), . / ¿1,1 4.1Д \

£J _ (¿1,2 G¡1,1 ¿1,4 ¿1.3 | ¿3,1 ¿3,2 ¿3,3 ¿3,4 ] ^ ¿3,2 ¿3,1 ¿3,1 ¿3,3 /

Подставим эти выражения в уравнение (11). и приравняем в первой и третьей компонентах вектора коэффициенты при fi2; в результате получим задачи на 4ц и 62, Как обычно, решения ищем в виде, который имеют их правые части:

Mí.®)- X expiaiMí,г) = «4>(«W)BÍ2,(aO.

-3<s<3 -2<s<6

»TÍO 3JÍ0

в результате чего получим 16 краевых задач вида:

(1 - AftBi'H*) - alkBW(x) = -3 < в < 5, в ф О,

-2 < s < 6, S 0.

Из условий разрешимости этих задач при s — —2, —1,1,2 можно найти значения всех элементов первого и третьего столбцов матрицы D, которыми она однозначно определяется. Среди собственных чисел этой матрицы одно равно нулю, и три - - отрицательны.

Отметим, что в силу условий (10) остальные задачи (12) также разрешимы. Задачи на и В^ отличаются от задачи на слагаемое £5, входящее в из, лишь коэффициентом при неоднородности. ТЬ же справедливо и для задач Bq \ B¡2) и jPe-

Ha прочих модах (sinmx, тга ф п, то ф 2к + 1) расчет показателей будем производить в одкочастотном виде, для чего сделаем в (11) следую1цую замену:

h = (sinmx + ¿&7т((,х)) exp((iwm + fi2vm)t).

Приравняв коэффициенты при ц2, получим задачу на от\

<тт«(*,ат) + 2ium<Tmt(ttx) + (1 - u?n)(Tm(t,x) - a^k0mxx(t,x) = = smmx(ai(í,i) + íwmaj(í,x) - 2iumvm), 0) =<Tm(í,^) =0.

4

Представляя <гт в виде от = В™(х) exp(s¿wnt), разбиваем задачу на

8= -4

девять, условия их разрешимости при s = 0 дадут для vm выражение: ит = —(pi + />г)/2, m фп, m ф 2к + 1, а для остальных s превратятся в условия нерезонансности следующего вида:

cjm ± ф шр, —4 < s < 4, s ф 0. (13)

Итак, все полученные характеристические показатели отрицательны, кроме одного нулевого. Проделанные выкладки позволяют сформулировать следующее утверждение.

Теорема I, Пусть выполнены условия (4), (10), (13). Тогда существует до > 0, такое что при всех 0 < д < До крае в ал задача (3) имеет экспоненциально орбипшлъпо устойчивый цикл с асимптотикой (5).

Во второй главе построена асимптотика периодического решения системы трех нелинейных телеграфных уравнений и показано существование и устойчивость решений системы с данной асимптотикой. Также продемонстрирована реализация в рамках задачи явления буферности.

Постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу, представляющую собой систему трех осцилляторов с малой связью и краевыми условиями Неймана:

63щ ди; пдРщ Зш

+Ы + + = а ~дФ + {Ьи*~•

= = 0

дх 1г=0 дх 1г=я-

где з = 1,2,3. «о = "з, а > 0, 0 < £ <?: 1. Фазовым пространством для

л | о о о

х), —считаем Ш|(0, тг) х ЛУ^О, я-), где (0,тг) — соболевские пространства функций с нулевыми граничными условиями из (14).

Линеаризуем в нуле уравнение из (14) при £ = 0. Полученная задача допускает решения вида и(1, л:) = ««(п-с), с частотами = \Л + а2п2, п = 1,2,...

В первую очередь построим приближение цикла задачи (14), бифурци-рующего из нулевого решения на модах (1,0,0)тсоэ(ш;), (0,1,0)гсоб(гсж), (0,0,1)г соз(пх) для некоторого фиксированного п, а затем покажем его существование и устойчивость.

(14)

Алгоритмическая часть. Выполним в (14) подстановку

= е^Рщ^ТуХ) + +е3/2и^, т,х)+

+£2иц(г, т, х) + о(е2), г = (15)

= (гДг)е""' + %(т)е~гы"() соз(пх),

и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях е. При е1^2 получаем верное равенство, при £ имеем систему из трех несвязанных уравнений:

^ + - а21£г - г](т)е

дщ.21 _ Эщ.21 _ 0

Эх 11=0 дх 1г=1г

.-Siu.it

) соз2(пх),

Решение будем искать в виде, какой имеет правая часть уравнения (16): «Ы*. = Ау{х)г]{т)е2^ + Ъ{хЩт)<Г*>+*.

Задача на вырождена, если для некоторого натурального т > 2п вы-

полнено 2(д»в = или. что то же самое: а = \/3/{тг — 4п2). В случае невырожденности решение единственно, в противном случае решения также существуют.

Наследующем шаге проявляется влияние связи осцилляторов. Приравняв коэффициенты при Е3'2, получим:

#4,3 , . ¿Чд ,

-дат ■+ - « -ар- = "«У-и - ~дгШ - ~&Г+

. - диз,1\ 2 дщ, 1

_ дщ, 3 Ох и=о дх

= 0.

Правая часть представляет собой линейную комбинацию первой и третьей гармоник по поэтому решение ищем в виде

= В(т, + С (г, х)е3™»1 + В(т, х}е~™«* + С(т,

Полученная таким образом задача на В всегда вырождена, соответствующее условие разрешимости дает систему дифференциальных уравнений следующего вида:

2' 3

¿з = —£ + г'-Ч)-1 - (д + Ю)*^, ] = 1,2,3, ц, = г3, (17)

где Л = а/(2и„), О. = Ь2ып(4ш* + 5)/(24(ш® — 1)). Можно найти решение уравнения (17) в виде автомодельного цикла:

Х}{т) = (18)

которое существует при А > 1/у/З, и устойчивость которого гарантируется неравенством:

9^5 9 3 (15Л-2л/3)\/3-1вУ5А+баЛа

" 2 + 2{^3-ЗА) + 4А + 8(\/ЗА— I)А

Задача на С разрешима всегда. Наконец, задача на щ имеет вид:

-ф + «« - *2~щг = -г " -Й-" «ч-« +

, ди; I , 1 „ 6щ 1 о Эщ 2

+ Ьи^ + - -

I _

(19)

1х=0 дх )*=!Г ^

Разрешимость этой задачи гарантируется условием

а2 ф 1/(2п)2. (20)

Таким образом, считая выполненным условие (20) и подставив в (15) выражения для и* з, учитывая (18), мы можем построить приближенное (с точностью до е3'2 по невязке) периодическое решение задачи (14).

Линейный анализ . Линеаризуем на построенном приближении цикла систему уравнений из (14), получим:

++< - ++

Эх 11=0 дх!1=*

Здесь К — (Л1,Л2,Лз)Г, >4.1. В\, В? — диагональные матрицы с периоди-

(0 0 а \ а 0 0 I. У 0 а 0 /

данной задачи вычислим характеристические показатели следующим образом: для расчета показателей, отвечающих генерируемым модам, произведем подстановку

' гоо

К0 =

ш0 й>0 0 0 0 0 \

0 0 0 0 ], го0 = е{(и"'+фт)соз(пх),

0 0 0 0 щ йо /

где VI, 14 и О — матрицы размера 3 на б и 6 на б соответственно, элементы которых подлежат определению. Приравнивая одинаковые степени е, получим набор задач для определения VI и Ц, а из условий разрешимости задач для элементов У2 однозначно определяется матрица О. Среди собственных чисел матрицы В имеется одно нулевое, а все действительные части оставшихся собственных значений отрицательны в области значений параметров А > 1/^5, « < ((А).

Расчет показателей, соответствующих модам соз(тж), т = 1,2,..., тп -ф- п произведем в одночастотном виде: подставим в (11) следующее выражение:

Л = е^-^соя^х)/ + г, х) + £гЦ,т((, т, х)) ехр(гГ>т<),

в котором / — единичная, а От — подлежащие определению мат-

рицы размером 3 на 3. После приравнивания соответствующих степеней £ условия разрешимости соответствующих задач для элементов приводах

к неравенствам вида (а)т±с<>„)2—-ф 0, справедливость которых проверяется непосредственно. Из условий разрешимости задач на 14,„ определяются элементы матриц действительные части собственных значений которых отрицательны при одновременном выполнении двух условий: во-первых.

а во-вторых, для любого т

а > 4^„,) ' ^

Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорома 2. Пусть выполнены условия (19), (20), (21), (22). Тогда существует ео > 0, такое что задача (14) при любом 0 < е < со имеет экспоненциально орбитально устойчивый цикл с асимптотикой (15), (18),

Буферностъ в рамках задачи (14) реализуется следующим образом: по любому натуральному числу по мы можем подобрать,

— во-первых, достаточно большое а — такое, что Уп < по выполняется условие существования автомодельного цикла к ваз и нормальной (}юрмы (17):

А = а/2^„ > 1/ч/3,

и также Уга < по выполняется одно из условий отрицательности собственных чисел матриц Пт (22);

— во-вторых, достаточно малое а позволяет добиться выполнения второго условия отрицательности собственных чисел матриц Т)т (21) для всех п < щ.

— в третьих, учитывая выбранное л, уменьшением параметра Ь мы можем удовлетворить неравенству (19), сделав устойчивым автомодельный цикл при Уп < по;

Таким образом, для любого наперед заданного числа циклов по можно выбрать параметры так, что, применив соответствующее число раз Теорему 2 н, выбрав наименьшее среди всех доставляемых Теоремой 2 значений мы получим, что все циклы задачи (14) для Угс < ГЦ) будут существовать и являться устойчивыми.

В третьей главе изучается буферность в системе трех одноиаправленно связанных осцилляторов без квадратичной нелинейности.

Рассмотрим краевую задачу, представляющую собой систему трех осцилляторов с малой однонаправленной связью и краевыми условиями Дирихле:-

+ u. + = - bu] - и*-^, u^Uo ш = 0, (23)

где j = 1,2,3, «о = «з, 0 < е "С 1, = const > 0. Фазовым пространством

для (uj(í, х), ) считаем W|(0, ж) х Wj(0, тг), где Щ(0, х) - соболевские пространства функций с нулевыми граничными условиями из (23). Исследуем существование и устойчивость периодических решений, бифурцирующих из нулевого состояния равновесия при с > 0, методом квази нормальных форм. Линеаризуем в нуле уравнение из (23) при z = 0. Полученная задача допускает решения вида «j(í,x) = е*""™'sin{ti:r), с частотами и>„ = л/1 + а2п2, п = 1,2,... Выполним в (23) подстановку

uj(t,x) = e1/2Uj,i(í, т,х} + £3/2uJ>2(í, г, х), r = et,

со

Uj.i = £ (2j(T)eiJkt + sinffec).

*=i

Условие разрешимости краевой задачи при с3/2 даст квази нормальную форму

= + ("5 + S) О?1* + JZ.<25>

где j = 1,2,3, « = 1,2----

Как известно, в общем случав автомодельным циклам системы (25) с конечным числом ненулевых компонент, то есть решениям вида г™ = ¿.je"^, п = П1,П2,.. ,ns, соответствуют торы исходной системы (23) с теми же свойствами устойчивости. При 5 = 1 условия, обеспечивающие устойчивость инвариантного цикла задачи (23), можно получить в явном виде.

Теорема 3, Пусть выполнено условие (62с§ — 1 )/пг < аг < 7/(9п2 — 16), где со = const > 0. Тогда существует его > 0, такое что задача (23) при любом 0 < £ < во имеет экспоненциально орбитально устойчивый цикл с асимптотикой (24), где Zj = 0, к ф п.

Отметим, что прн подходящем выборе параметра^, можно путем согласованного уменьшения параметров а и ео добиться устойчивости сколь угодно большого числа циклов задачи (23), то есть в данном случае также реализуется явление буферносги.

В последней части главы 3 рассмотрены динамические свойства системы (25). Аналитическими методами нетрудно показать, что от орбитально экспоненциально устойчивого автомодельного цикла системы (25) при нарушении условия (62со — 1)/п2 < а2 мягко ответвляется орбитально экспоненциально

(24)

устойчивый тор (бифуркация Андронова - Хонфа). Дальнейшее изменение параметров системы (25) приводит к усложнению ее колебательных режимов и возникновению нерегулярных колебаний. Для установления данного факта использовались численные методы, в частности, с помощью созданного автором программного комплекса ТгасегЗ, различными методами вычислялись ляпуновские показатели траекторий системы (25). Появление в спектр показателей положительной величины считается эвристическим признаком возникновения хаоса в динамической системе.

Заметим, что в отличие от циклов и торов различной размерности для подобных нерегулярных режимов не существует методов обоснования соответствия между решениями системы (25) и задачи (23), и наличие сложного поведения у исходной задачи (23) остается в рамках гипотез.

В четвертой главе описан программный комплекс ТгасегЗ, его функции и возможности, приведено обоснование метода динамической перенормировки вычисления старшего ляпуновского показателя.

В общем виде рассматриваемые динамические системы со своими линеаризованными системами выглядят так:

xn+1 = f(xn), х0 = w, € Л"', / е С1, (26)

ип+1 » /'(*)!„!„ ■ «д, ио » m, |Н| = 1, (27)

для отображений, и

аг' = 9(яг), ®(0)=w, x<=Rm, деС1, (28)

= 9'MUl(t) ■ «, u(0) = w, \\v\\ = 1, (29)

для систем дифференциальных уравнений.

По определению, показателем Ляпунова траектории (или решения lt (£) ) является значение следующего верхнего предела:

А(«„)= Щ ±НК||. (30)

А(и(0)-(йт |ln|lu(i)ll- (31)

Метод Бенетпша. Непосредственное вычисление показателя по формулам (30), (31) затруднено экспоненциальным изменением решения системы (27) при Атоох ф 0, которое влечет за собой неизбежное переполнение любых числовых типов. Самый известный алгоритм преодоления этой сложности был предложен Бенеттином. Он состоит В перенормировке решения системы (27) через каждые N итераций.

Неудобство алгоритма Бенеттина заключается в том, что в общем случае для разных систем следует' выбирать разное N, причем критерий этого выбора плохо формализуем: требуется, чтобы за jV итераций норма решения ип не изменилась «слишком сильно».

Метод динамической перенормировки. Предложенный в [1] метод динамической перенормировки лишен упомянутого в предыдущем пункте недостатка; применительно к отображениям он заключается в следующем (данный результат изложен в |6]): фиксируем два числа и^ > 1 и «,,«„ € (0,1). Далее, в цикле по тп > 1 будем параллельно вычислять очередные итерации систем (26) и (27) до тех пор, пока ||и»[| не выйдет за пределы отрезка [«„„•„ , иП1а1], а когда это произойдет (обозначим такой номер п за кт), нормируем решение системы (27).

Итак, при каждом т вместе с (26) решается следующая система:

«sä=A*)i..„ -«f1. «.-¡gj.^-í*.-

(32)

Здесь для унификации обозначений ко = 0, и при т = 1 система просто совпадает с (27). Обозначим m(n) количество перенормировок, произведенных до п-Й итерации включительно и отметим, что для дальнейших рассуждений безразлично, будет ли оно конечно или будет неограниченно возрастать с ростом п.

Теорема 4. Справедливо следующее равенство:

m(n)

lim -УМпИч^Ц. (33)

п-м-оо n '

Доказательство. Из формулы (30) получаем асимптотику для нормы решения системы (27) следующего вида:

¡|и„|| ехр {\тах - п + а(п)), а(п) = о(п) при п —»■ оо. (34)

Предположим вначале, что ^тах ф 0- В силу (34) корма решения un либо неограниченно растет, либо стремится к нулю. Отсюда вытекает, что при п —оо также к бесконечности стремятся величины ш(п) и ¿т(„) - наибольший номер итерации, не превосходящий п. при котором произошла перенормировка.

Из линейности системы (27) вытекает представление

этЦп)

Ьч-.и-ПЛ- <35>

i=i

Подставим в (34) п =■ fcm(n) и приравняем (3-1) и (35):

tn(n)

ехр (Л™, • кт(п) + а(кт{п])) = Д

(О I) _

Покажем теперь, что lim n/k,„in) = 1, Это следует из очевидного неравенства < п < fcm(n)+i- Поделим его на fcm(„) и устремим п к бесконечности. Получим:

1< цт _2_< Jim = 1.

я-»оо fcm(ni n-юо Äm(n)

Последнее равенство легко получить, выразив fcm{„) из (36). Наконец, перейдем в (36) к пределу при тг —» оо:

Теперь вернемся к случаю Aтех = 0» при котором возможно конечное количество перенормировок (если оно неограниченно, проведенные выше рассуждения полностью повторяются). Но если m(n) = тпо при всех те > щ, то равенство (33) заведомо сохраняется, так как сумма в нем становится ограниченной. Утверждение доказано.

Вычисления можно производить, отбросив знак предела в (33), либо, в случае заведомо бесконечного количества перенормировок, по асимптотической формуле (36).

В заключении подводятся основные итоги работы, а также намечаются возможные пути продолжения исследования.

В приложении представлены ключевые выдержки из кода программы ТгасегЗ, написанного на языке Object Pascal: процедура run-time компиляции в памяти машинного кода вычисляемых функций, процедура вычисления спектра ляпуновских показателей методом динамической перенормировки. Также в приложение включены вспомогательные процедуры пакета символьных вычислений Matheniatica.

AnMU = lim -VlntluPll- lim T~-— = lim - V ln^'ll.

mx n « " ч " „_„» ¿m(n) »-«о n ^

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в ведущих научных журналах, включенных в перечень ВАК:

¡1] Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора ¡Д. С. Глызин. [и др.] // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 2. — С. 268-273.

Другие публикации:

[2j Глызин, Д. С. Вычисление старшего ляпуновского показателя отображений усовершенствованным методом / Д. С. Глызин // XXVÍ Конференция молодых ученых механ и ко-мате мат и чес кого факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Тезисы докладов. -- М.: МГУ, 2004. С. 37 - 38.

(3J Глызин, Д. С. Метод динамической перенормировки вычисления ляпунов-ских показателей разностных уравнений / Д. С. Глызин // Современные проблемы математики и информатики; Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2005. — Вып. б. — С. 38 - 46.

[4] Глызин, Д. С. Метод динамической перенормировки вычисления старшего ляпуновского показателя отображений / Д. С. Глызин // Труды XXVI Конференции молодых ученых меха ни ко-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Т.1. — М.: МГУ, 2004. — С. 60 - 63.

[5] Глызин, Д. С. Пространственно-неоднородные циклы одной краевой задачи в критическом случае / Д. С. Глызин // Современные проблемы математики и информатн-ки: Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2005. — Вып. 7. — С. 131 - 134.

[6] Глызин, Д. С. Пространственно неодко1>одные циклы одной краевой задачи в критическом случае / Д. С. Глызин // Труды XXVII Конференции молодых ученых механ и ко-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. — М.: МГУ, 2005. — С. 34.

[7] Глызин, Д. С. Существование и устойчивость двухмодовых резонансных циклов нелинейного телеграфного уравнения / Д. С. Глызин fj Современные проблемы математики и информати-ки: Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2006. — Вып. 8. — С. 73 - 82.

[8¡ Глызин, Д. С. Периодические решения системы трех связанных нелинейных телеграфных уравнений i Д. С. Глызин // VIII Крымская Международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложениям: Тез. докл.; Алушта, 10-17 сентября 2006 г. / Таврический национальный ун-т. - Симферополь: ДиАйПи. 2006. — С. 49.

Отпечатано на ризографе

Ярославский государственный университет 150000, Ярославль, ул. Советская, 14.

Введение

1. Двухмодовые циклы нелинейного телеграфного уравнения в случае резонанса 1:

1.1. Постановка задачи.

1.2. Алгоритмическая часть.

1.3. Линейный анализ устойчивости.

1.4. Обоснование алгоритмической части.

2. Периодические решения и буферность в системе трех связанных нелинейных телеграфных уравнений

2.1. Постановка задачи.

2.2. Алгоритмическая часть.

2.3. Анализ квазинормальной формы.

2.4. Линейный анализ.

2.5. Основной результат.

2.6. Численный анализ квазинормальной формы.

3. Буферность в системе трех однонаправленно связанных телеграфных уравнений

3.1. Постановка задачи.

3.2. Построение асимптотики цикла системы связанных телеграфных уравнений.

3.3. Анализ устойчивости цикла. Основной результат.

3.4. Динамические свойства системы амплитудно-фазовых уравнений.

4. Программный комплекс ТгасегЗ 58 4.1. Компилятор формул.

4.1.1. Особенности работы с анализатором формул

4.2. ТгасегЗ, общая информация

4.2.1. Построение фазовых портретов.

4.2.2. Вычисление ляпуновских показателей

4.2.3. Метод Бенеттина

4.2.4. Метод динамической перенормировки

4.2.5. Метод динамической перенормировки для дифференциальных уравнений.

4.2.6. Эффективность и надежность метода динамической перенормировки

4.2.7. Зависимость старшего ляпуновского показателя от параметра

4.3. Работа с программой.

4.4. Подробное описание интерфейса.

Краевые задачи гиперболического типа описывают большой класс физических моделей, связанных с проблемами распространения волн различной природы. При этом, в нелинейной постановке такие задачи решаются, как правило, численно, аналитические же результаты в этой области появляются достаточно редко.

Одним из наиболее содержательных примеров привлечения к моделированию физических явлений нелинейных волновых уравнений является математическая модель RCLG автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Эта задача была поставлена и частично решена A.A. Виттом в работе [1], она состоит из линейных уравнений в частных производных гиперболического типа, а нелинейность содержится в краевых условиях. При решении проблемы Витт использовал метод медленно меняющихся фаз и амплитуд и на этом пути получил асимптотические формулы для периодических решений изучаемой задачи. Вид асимптотических формул позволил, кроме того, заключить, что при подходящем выборе параметров данная краевая задача может обладать произвольным наперед заданным числом циклов. Такое явление приобрело название буферности, и под ним в настоящий момент понимают одновременное существование в фазовом пространстве динамической системы сколь угодно большого числа однотипных аттракторов (циклов, торов и т.д.) Следует отметить, что результаты, полученные Виттом, были в значительной степени эвристическими, поскольку отсутствовал необходимый математический аппарат для их обоснования.

В целом, нелинейные краевые задачи гиперболического типа довольно долго изучались лишь в квазилинейной постановке. Такой подход подробно изложен и обоснован, например, в книге Ю.А. Митропольского и Б.И. Мосеенкова [2]. Бифуркационные задачи для уравнений гиперболического типа начали изучаться лишь в конце прошлого века в работах Ю.С. Колесова, А.Ю. Колесова и С.А. Кащенко [3-11].

Основная трудность, с которой приходится сталкиваться в этой ситуации, состоит в том, что при критических значениях параметров счетное число точек спектра оператора линеаризованной задачи лежат на мнимой оси. Тем самым реализуется так называемое бесконечномерное вырождение. Одной из характерных задач, обладающих таким свойством, является телеграфное уравнение: с краевыми условиями Дирихле или Неймана на границах отрезка [0,1] изменения про

0.1) странственной переменной х. Здесь u{t,x) - скалярная функция, определенная при t > t0, О < х < 1, £ - положительный малый параметр, а > 0, f(u,v) — скалярная функция из С00, порядка малости в нуле выше первого.

Как известно, цепочки и решетки связанных генераторов с сосредоточенными параметрами являются полезными физически содержательными моделями, позволяющими выяснить ряд закономерностей развития пространственно-временного хаоса в сплошных средах [12-14]. При этом, как правило, в качестве отдельно взятого звена цепочки (парциальной системы) рассматривается генератор, описывающийся системой обыкновенных дифференциальных уравнений с единственным устойчивым циклом. Например, в работах [12-14] бралась одна и та же парциальная система й — и - d\u\2u, d = 1 + гс0, с0 G К, (0.2) где и — комплекснозначная функция, но рассматривались различные отвечающие ей цепочки. А именно, в [12,13] изучалась цепочка однонаправленно связанных генераторов (0.2), т.е. система вида j + a(uj — Uj-i) = Uj - d\uj\2uj, j = 1,2,., a G €, (0.3) а в [14] — аналогичная цепочка диффузионно связанных генераторов йj = a(uj+1 — 2Uj + Uj-1) + Uj - d\uj\2uj, j = 1,2,., a G C, (0.4) где щ = i = Щ, Rea > 0. Было установлено, что в обоих случаях при достаточно большом числе звеньев в соответствующей системе может наблюдаться хаотическое поведение, обусловленное коллективным взаимодействием парциальных осцилляторов. Предположим теперь, что в цепочках (0,3), (0.4) или в какой-либо аналогичной цепочке каждое звено заменено генератором с распределенными параметрами вида (0.1), в итоге получаем систему, имеющую (при определенных дополнительных условиях) достаточно большое число сосуществующих аттракторов различной природы. Как будет показано ниже при рассмотрении конкретных примеров, для того, чтобы добиться требуемого эффекта, вовсе не обязательно брать цепочку из большого числа звеньев, как это обычно делается в случае сосредоточенных осцилляторов, или, как это было сделано в статье [15], в которой рассматривались цепочки диффузионно связанных обобщенных кубических уравнений Шредингера или нелинейных телеграфных уравнений. Достаточно ограничиться некоторым минимально допустимым их количеством. В работе [16] рассматривается система трех однонаправленно слабо связанных осцилляторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В данной работе в качестве парциальных осцилляторов были выбраны нелинейные уравнения гиперболического типа. Таким образом, исследовались системы из трех одно-направленно связанных волновых уравнений вида d2Uj дщ 2d2Uj . du*, . 1 л „ + Щ + еащ-1 = о + ^ )' Э = 2'3' щ = с краевыми условиями Дирихле или Неймана.

Цель работы. Основной целью данной диссертационной работы является изучение динамических свойств нелинейных краевых задач (0.1) в различных постановках и с различными нелинейностями f(u,v), а также систем (0.5) связанных в кольцо осцилляторов такого типа, Особое внимание уделяется условиям возникновения явления буферности в этих задачах.

Методы исследования. Методом решения бифуркационных задач с бесконечномерным вырождением является метод квазинормальных форм, впервые предложенный в работе Ю.С. Колесова [3] для уравнений параболического типа с малой диффузией, а затем обоснованный и распространенный на уравнения гиперболического типа и на сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с запаздыванием (A.B. Васильева [4], С. А. Кащенко [5-8], А.Ю. Колесов [9-11], А.Ю. Колесов и Н.Х. Розов [17-19]). Однако, этот метод не позволяет автоматически распространять свойства решений квазинормальной формы на решения исходной задачи и как следствие говорить о их соответствии друг другу. Для обоснования такого соответствия необходимо оценивать невязку асимптотического приближения решения, полученного на основе грубых устойчивых режимов нормализованной системы (см., например, работы [17-19], где соответствующий анализ проделывается).

Научная новизна работы. В диссертационной работе предложено решение нескольких бифуркационных задач для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Найдены условия возникновения в этих задачах явления буферности. На защиту выносятся следующие положения:

1) Доказано существование и устойчивость двухмодового цикла телеграфного уравнения с малым параметром при квадратичной нелинейности при наличии внутреннего резонанса 1:2.

2) Исследована система трех нелинейных телеграфных уравнений с малой однонаправленной связью, получены условия существования и устойчивости циклов системы; в рамках задачи продемонстрировано явление буферности.

3) Показано наличие буферности в системе трех однонаправленно связанных осцилляторов без квадратичной нелинейности.

4) Создан программный комплекс численного анализа динамических систем ТгасегЗ.

5) Обоснован метод динамической перенормировки определения старшего ляпуновско-го показателя для отображений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Ее основные результаты могут быть использованы для анализа систем нелинейных волновых уравнений. Представленный в последней части работы программный продукт (ТгасегЗ) может найти и находит применение в качестве иллюстративного материала в учебном процессе и в качестве исследовательского инструмента при численном анализе инвариантных числовых характеристик динамических систем.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1) XXVII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, 2005;

2) XXVIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, 2006 (В рамках общеуниверситетской конференции молодых ученых «Ломоносов-2006».);

3) VIII Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» (МФЛ-2006), Крым, Алушта, 2006.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на ряде семинаров кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 8 работ [20-27]: 5 статей и 3 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Краткое содержание работы. Структурно диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 52 наименования. Диссертация содержит 13 рисунков и одно приложение, в котором приводится принципиальная часть разработанных автором вычислительных процедур, входящих в программный комплекс ТгасегЗ.

Заключение

В работе изучены некоторые общие свойства уединенных (глава 1) и связанных в кольцо (главы 2,3) осцилляторов, описываемых нелинейными уравнениями гиперболического типа.

Для нелинейного телеграфного уравнения с граничным условием Дирихле был рассмотрен критический случай резонанса 1:2, возникающего между пространственными модами краевой задачи. С привлечением метода квазинормальных форм, удалось доказать существование и устойчивость цикла, бифурцирующего на этих резонансных модах.

При объединении в систему нескольких нелинейных телеграфных уравнений естественно было ожидать существенного усложнения динамики. Была рассмотрена система из трех уравнений с нелинейностью общего вида и краевыми условиями Неймана, а также несколько более простая задача с кубической нелинейностью и условиями Дирихле. Для обеих задач удалось строго обосновать возникновение явления буферности. При этом сосуществующими аттракторами в этих задачах могут быть как циклы, так и торы.

Наконец, с помощью специализированного программного комплекса Tracer, описанного в главе 4, численно проанализированы квазинормальные формы, построенные во второй и третьей главах, и высказаны предположения о возможной хаотичности исходных краевых задач.

1. Витт, A.A. Распределенные автоколебательные системы / A.A. Витт // Журн. технич. физики. - 1934. - Т.4, № 1. - С. 144 - 157.

2. Митрополъский, Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных / Ю.А. Митрополъский, Б.И. Мосеенков. — Киев: Вища школа, 1976.

3. Колесов, Ю.С. Метод квазилинейных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией /Ю.С. Колесов // Укр. матем. журн. — 1987. Т. 39, № 1. - С. 28- 34.

4. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией / А.Б. Васильева и др. // Математический сборник. — 1986. — 130(172), №4(8). С. 488 499.

5. Кащенко, С. А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной /С. А. Кащенко // Диф. уравнения. 1989. - Т.25, № 2. - С. 262 - 270.

6. Кащенко, С. А. О нормализации в окрестности цикла систем параболических уравнений с малой диффузией ¡С. А. Кащенко // Укр. матем. журн. — 1991. — Т. 43, № 9. С. 1155 -1161.

7. Кащенко, С. А. Построение нормализованных систем для исследования динамики гибридных и гиперболических уравнений ¡С. А. Кащенко // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 4. С. 564 - 576.

8. Кащенко, С. А. Уравнения Гинзбурга-Ландау — нормальная форма для дифференциал ьно-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием /С. А. Кащенко // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1998. — Т.38, № 3. — С. 457 465.

9. Колесов, А.Ю. Бифуркация автоколебаний сингулярно возмущенного волнового уравнения /А.Ю. Колесов, Ю.С. Колесов // ДАН СССР. 1990. - Т. 315, № 2. С. 281 -284.

10. Колесов, А.Ю. Устойчивость автоколебаний телеграфного уравнения, бифурцирую-щих из состояния равновесия /А.Ю. Колесов // Матем. заметки. — 1992, — Т. 51. — Вып. 2. С. 59 - 65.

11. Колесов, А.Ю. Параметрические колебания решений телеграфного уравнения с умеренно малой диффузией /А.Ю. Колесов // Сиб. мат. журн. — 1992. — Т. 33, N2 6. — С. 79 86.

12. Апищенко, B.C. Сложные колебания в простых системах /B.C. Анищенко. — М.: Наука, 1990.

13. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Старобипец И.М. // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 12. С. 561-564.

14. Нелинейные волны: Структуры и бифуркации / Под ред. A.B. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. — М: Наука, 1987.

15. Глызин, С. Д. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 1. С. 41 - 49.

16. Глызин, С. Д. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных генераторов / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 10. — С. 1809 1821.

17. Колесов, А.Ю. Явление буферности в RCLG-автогенераторе: теоретический анализ и результаты эксперимента / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Тр. МИАН. — 233. М.:Наука, 2001. С. 153 207.

18. Колесов, А.Ю. Двухчастотные автоволновые процессы в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // ТМФ. 2003. - Т. 134, № 3. - С. 353-373.

19. Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А. Ю. Колесов, Н.Х. Розов. М., 2004.

20. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора /Д. С. Глызин. и др. // Дифференциальные уравнения. 2005. - Т. 41, № 2. - С. 268-273.

21. Глызии, Д. С. Вычисление старшего ляпуновского показателя отображений усовершенствованным методом / Д. С. Глызин // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Тезисы докладов. М.: МГУ, 2004. С. 37 - 38.

22. Глызин, Д. С. Пространственно неоднородные циклы одной краевой задачи в критическом случае / Д. С. Глызин // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. — М.: МГУ, 2005.- С. 34.

23. Д. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.29. http://tracer3.narod.ru

24. Ахо, А. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. Т.1 / А. Ахо, Дою. Ульман. — М.: Наука, 1978.

25. Лебедев, В.Н. Введение в системы программирования / В.Н. Лебедев. — М.: Статистика, 1975.

26. Самарский, А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. — М.: Наука, 1989.

27. Dormand, J. R. A family of embedded Runge-Kutta formulae / J. R. Dormand and B. J. Brince // J. Сотр. Appl. Math. 1980. - Vol. 6. - P. 19 - 26.

28. Бахвалов, H.C. Численные методы : учеб. пособие для физ.-мат. специальностей вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков; под общ. ред. Н.И. Тихонова.- 2-е изд. — М.: Физматлит, 2002.

29. Кузнецов, С. П. Динамический хаос (курс лекций) / С. П. Кузнецов. — М.: Физ.-мат. лит., 2001.

30. Малинецкий, Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики. Изд. 2-е, исправл. и доп. / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. — М.: Едиториал УРСС, 2002.

31. Benettin, G. Kolmogorov entropy and numerical experiments / G. Benettin, L. Galgani, J.-M. Strelcyn // Phys. Rev. 1976. - V. A14. - P. 2338 - 2345.

32. Демидович, В. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидо-вич. — М.: Наука, 1967.

33. Оселедец, В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем / В.И. Оселедец. Тр. Моск. мат. об-ва. — 1968. Т. 19 - С. 179 - 210.

34. Milnor, J. On the concept of attractor: Correction and remarks //. Milnor // Commun. Math. Phys. 1985. V.99, № 2. - P. 177 - 196.

35. Devaney, R. An introduction to chaotic dynamical systems / R. Devaney. — Addison-Wesley: Reading, MA, 1989.

36. On the Devaney's definition of chaos / J. Banks and others. // Amer. Math. Monthly.- 1992. V.99, № 4. - P. 332 - 334.

37. Афраймович, B.C. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца / B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шилъников // Труды Московского мат. общества. — 1982. Т. 44. — С. 150 212.

38. Плыкин, Р.В. Странные аттракторы / Р.В. Плыкин, Е.А. Сатаев, С.В. Шлячков // Динамические системы с гиперболическим поведением. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. М.:ВИНИТИ, 1991. - Т.66. - Гл. 2. - С. 100 - 148.

39. Robinson, С. Homoclinic bifurcation to a transitive attractor of Lorenz type // Nonlinearity.- 1989. V.2, № 4. P. 495 - 518.

40. Синай, Я.Г. Стохастичность динамических систем / Я.Г. Синай. // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. - С. 192 - 212.

41. Бланк, М.Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике / М.Л. Бланк. — М.: МЦНМО, 2001.

42. Wolf, A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J.B. Swift, H.L. Swinney, J.A. Vastano. Physica D. 1985. - V. 16. - C. 285 - 317.

43. Глызин, С. Д. Динамические свойства простейших конечноразностных аппроксимаций краевой задачи «реакция-диффузия» / С. Д. Глызин // Дифференциальные уравнения. 1997. - Т.ЗЗ, № 6. - С. 805 - 811.

44. Рубаник, В.Н. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В. Н. Рубаник.- М.: Наука, 1969.

45. Колесов, Ю. С. Проблема адекватности экологических уравнений / Ю. С. Колесов.- Ярославль, 1985. Деп. в ВИНИТИ 1985, №1901-85.