автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики

Учреждение Российской академии наук Институт системного анализа РАН

003452402

На правах рукописи

Магницкий Юрий Николаевич

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СОЦИОДИНАМИКИ

специальность 05 13.01 — системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2008

1 з ^ % 2СС9

003452402

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте системного анализа РАН в лаборатории «Хаотической динамики»

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцет

Сидоров Сергей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Белолипецкий Александр Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент Сидоренко Владимир Николаевич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт

проблем управления им В. А. Трапезникова РАН

Защита диссертации состоится 01 декабря 2008г. в 11-00 на заседании диссертационного извета Д-002 086 02 при Учреждении Российской академии наук Институте системного анализа РАН по адресу. 117312, г.Москва, пр-т 60-летия Октября, 9

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Учреждения Российской академии наук Института системного анализа РАН (г Москва, пр-т 60-летия Октября, 0)

Отзывы на автореферат, заверенные печатью, просим направлять по адресу 117312, г Москва, ир-г 60-летия Октября, 9, диссертационный совет Д-002 086 02.

Автореферат разослан 28 октября 2008г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

Пропой А И

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В естественных науках, главным образом в физике, математические модели, записанные на языке дифференциальных уравнений или динамических систем, давно служат надежным инструментом исследования. За небольшим исключением, все современные физические теории - электродинамика, квантовая механика, теория упругости, гидромеханика и многие другие — опираются именно на этот язык. Многовековое успешное применение дифференциальных уравнений в естественных науках стало основой их плодотворного использования и в экономию - математическом моделировании. На первом этапе использовались, в основном, методы линейной экономической динамики при изучении устойчивости моделей равновесного рынка. Однако, довольно быстро стало ясно, что линейное динамическое моделирование, хорошо объясняющее постепенное затухание любого вызванного извне отклонения от неизменного равновесия, является совершенно недостаточным для описания более сложных циклических и кризисных социально - экономических процессов. В связи с этим в экономико - математическом моделировании появились новые направления, такие как синергетичсская экономика и социодинами-ка, использующие более адекватный аппарат нелинейных динамических систем.

Социодинамика является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современной экономико-математической науки, связанным с разработкой математического инструментария для исследования и анализа пространственно-временной эволюции систем, элементами которых являются люди Она исходит из предположения, что состояние исследуемой динамической системы в каждый момент времени можно задать с помощью конечного или бесконечного набора числовых значений некоторых параметров. Множество всех возможных (допустимых) состояний образует фазовое пространство системы. А изменение состояния динамической системы в последующие моменты времени вычисляется, исходя из некоторого эволюционного дифференциального уравнения с нелинейной функцией фазовых переменных и времени в правой части. В случае конечного набора фазовых переменных (параметров состояния) система является сосредоточенной нелинейной динамической системой или нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а в случае их бесконечного набора - распределенной нелинейной динамической системой или нелинейной системой уравнений с частными производными.

Нелинейные динамических системы могут иметь периодические любого периода и квазипериодические (многочастотные) решения. Кроме того, являясь детерминированными, такие системы при отсутствии всяких случайных воздействий могут вести себя неупорядоченно, непредсказуемо, хаотически, что является одним из главных и парадоксальных проявлений нелинейности. Поэтому естественно предположить, что именно нелинейные динамические системы являются наиболее подходящими для описания не только различных циклических социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений, но также и для описании различных кризисных ситуаций и сценариев перехода к социально - экономическому и общественно - политическому хаосу. Из всего вышесказанного следует, что разработка математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики, включая методы анализа стационарных, периодических и хаотических решений, является актуальной проблемой.

Целью диссертационной работы являлось проведение аналитического и численного исследования двух классов нелинейных систем уравнений социодинамики: логистической системы уравнений, т.е. автономной нелинейной трехмерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с правыми частями логистического типа, описывающей широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений, и распределенной системы саморазвивающейся рыночной экономики, являющейся нелинейной системой дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа. В соответствии с целыо исследования были определены задачи:

- анализа устойчивости стационарных и периодических решений рассматриваемых нелинейных систем;

- исследования возможных сценариев развития в рассматриваемых системах сложной нерегулярной и хаотической динамики;

- разработки методов прогнозирования данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий рассматриваемых систем, лежащих в областях их хаотических аттракторов

Используемые методы. Теоретическую основу диссертационного исследования составили: качественная теория и теория бифуркаций систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, теория динамического и пространственно-временного хаоса в сосредоточенных и распределенных нелинейных динамических системах, теория уравнений с частными производными, теория интегральных преобразований, метод наимень-

ших квадратов, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна диссертации состоит б разработке оригинальных математических методов анализа сложных нелинейных систем социоди-намики, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями с частными производными:

- доказаны теоремы об условиях устойчивости стационарных и периодических решений нелинейных трехмерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида;

- найдены условия и впервые численно исследованы сценарии перехода к динамическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социо-динамики;

- исследована зависимость макроперсменных нелинейной системы уравнений саморазвивающейся рыночной экономики от ее структурных параметров;

- найдены условия, доказана теорема существования и получен аналитический вид бегущих по технологическому пространству волн в диффузионной нелинейной системе уравнений саморазвивающейся рыночной экономики;

- предложены два новых метода анализа и прогноза временных рядов, являющихся компонентами сложных непериодических решений нелинейных систем социодинамики, лежащих в областях их хаотических аттракторов

По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, на защиту выносится:

1) разработка математических методов анализа и доказательство теорем об устойчивости стационарных и периодических решений логистических систем социодинамики, описываемых трехмерными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида;

2) разработка методов анализа хаотической динамики в нелинейных о д у. с логистическими правыми частями и численное исследование сценариев перехода к общественно-политическому и социально-экономическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социодинамики: эволюционирующего рынка ценных бумаг, макроэкономического развития и формирования общественного мнения;

3) разработка метода и численное исследование поведения решений си-

стемы макроэкономических показателей в модели саморазвивающейся рыночной экономики при изменении ее структурных экономических параметров;

4) доказательство теоремы существования и получение аналитических решений в виде бегущих волн по технологическому пространству в диффузионной нелинейной системе уравнений саморазвивающейся рыночной экономики;

5) доказательство теоремы о разложении хаотического временного ряда на колебательные негармонические компоненты и разработка метода его прогноза,

6) разработка метода аппроксимации и прогнозирования хаотического временного ряда решением нелинейной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Практическая значимость работы состоит в использовании ее результатов для анализа возможных сценариев развития сложных общественно - политических и социально - экономических систем при изменении различных параметров этих систем, включая возникновение кризисных ситуаций, для прогнозирования таких ситуаций и нахождения путей выхода из них. Разработанные методы и предложенные в работе алгоритмы могут быть использованы также для прогнозирования курсов валют, курсовой стоимости акций различных компаний и ценовых индексов на различные виды товаров.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на международных научных конференциях «Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь,2006), «Системный анализ и информационные технологии» (САИТ-2007, Обнинск), «Синергетика в естественных науках» (Тверь,2007), «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (ММЗЕВ-2007, Москва), «Нелинейный динамический анализ» (Санкт-Петерб.,2007), на семинарах Учреждения Российской академии наук Института системного анализа РАН и факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 74 наименований, содержит 95 страниц текста и 15 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследования, показана практическая значимость полученных результатов.

Глава 1. Математический анализ логистических систем социодинамики

Первая глава посвящена анализу устойчивости стационарных и периодических решений логистических систем социодинамики общего вида и исследованию возможных сценариев развития в таких системах нерегулярной хаотической динамики. Для доказательства ряда теорем об устойчивости стационарных и простых периодических решений логистических систем использован аппарат теории устойчивости Ляпунова и теории бифуркации рождения цикла Андронова-Хопфа. Установлено, что логистические системы обладают также и хаотической динамикой и что переход к хаосу в таких системах происходит в соответствии с универсальным сценарием Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический и затем гомоклиническии каскады бифуркаций устойчивых предельных циклов. Численно обнаружены и проинтерпретированы ФШМ-сценарии перехода к социально- экономическому и общественно - политическому хаосу в конкретных логистических моделях социодинамики: макроэкономического развития, эволюционирующего рынка ценных бумаг и формирования общественного мнения

Рассматривается система трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с правыми частями логистического типа

х = [о(у, ф - х]х, у = \Ь(х, ф - у]у, г = [с(ж, у)в - ф. (1)

Предполагается, что макропеременные х, у, г могут взаимодействовать друг с другом, причем сам характер взаимодействия (поддержание или подавление) может изменяться в зависимости от величины макропеременных следующим образом:

а(у, г) = а! - ух) + а2 агс^(.г - гх),

Ъ(х, г) — ¿1 ах^(а: - ху) + Ь2 агс^(.г - гу), (2)

с(х, у) - С\ аг^(х - хг) + с2 ахс^(у - уг),

где ху, х2, ух, уг, гх, гу - точки переключения функций влияния а(у, г), Ъ(х, г), с(х, у), при пересечении которых происходит изменение характера взаимодействия макропеременных (с подавления на усиление и наоборот).

К нелинейным системам вида (1),(2) приводят многочисленные модели социодинамики, среди которых можно назвать модель эволюционирующего рынка ценных бумаг, модель макроэкономического развития, модель формирования общественного мнения и многие другие модели. Впервые логистические системы вида (1) в двумерном случае были рассмотрены В. Вайдлихом и обобщены Д.И. Трубецковым на случай трех макропеременных, функции влияния в виде (2) предложено рассматривать автором настоящей работы Однако, пи аналитический анализ регулярной динамики решений таких систем, ни, тем более, анализ их нерегулярной и хаотической динамики до последнего времени проведен не был.

Регулярная и хаотическая динамика в логистических системах обыкновенных дифференциальных уравнений

В диссертационной работе показано, что система (1) может иметь восемь особых точек (стационарных состояний): 0о(0,0,0), С>1(ж*, 0,0), 0г(0, ?/*, 0), 03(0,0,г*), 04(®*, у'.О), 06{х',0,г*), О6{0,у*,г*), 07{х\у*,г*), где ж* > 0, у* > 0, г" > 0 по смыслу рассматриваемых моделей Нулевую особую точку система (1) имеет всегда, а условия существования остальных особых точек представлены в работе в зависимости от вида функций влияния в (2).

Результаты проведенного полного исследования устойчивости всех особых точек системы (1),(2) сформулированы в работе в виде нескольких лемм.

Лемма 1. Нулевая особая точка Оо системы (1) асимптотически устойчива, если а(0,0) < 0, 6(0,0) < 0 и с(0,0) < 0. Если хотя бы одна из этих величин положительна, то нулевая особая точка неустойчива по Ляпунову.

Лемма 2. Особые точки 0\, О2, Оз системы (1) асимптотически устойчивы, если соответственно Ь(х*,0) < 0 и с(х*,0) < 0; а(у*,0) < 0 и с(0,у*) < 0; а(0,;г*) < 0 и Ь(0,г*) < 0. Если хотя бы одна из этих величин положительна, то соответствующая особая точка системы (1) неустойчива по Ляпунову.

Лемма 3. Особые точки О4, О5, Об системы (1) асимптотически устойчивы, если соответственно с(х*,у*) < 0 и ау(у*,0)у* < а(у*, 0), г.г(ж*,0)х* < 6(ж*,0); Ъ{х*,г*) < 0 и аг{0,г*)г* < а(0,г*), сх(х*,0)х* <

с(х*,0); а{у*,г*) < О и 6,(0,г*)х* < 6(0,г*), ф,у*)у* < < с(0,у*). Если хотя бы одна из величин с(х*,у*), Ь(х*,г*), а(у*,г*) положительна, то соответствующая особая точка системы (1) неустойчива по Ляпунову.

Лемма 4. Особая точка О7 системы (1) асимптотически устойчива, если выполнены условия ау(у*, г*)у* < а(у*,г*)/2 иаг{у*,г*)г* < а(у*,г*)/2; Ьх(х*,г*)х* <Ь(х*,г*)/2иЬ,(х*,г*)г* < Ь(х*,2*)/2;сх(х*,у*)хг <с(х*,у*)/2 ису(х*,у*)у* < с{х*,у*)/2.

Если при определенном наборе значений параметров системы уравнений (1),(2) все существующие в ней особые точки неустойчивы, т.е. являются неустойчивыми узлами, седло-узлами или седло-фокусами, то, как известно, динамика системы может быть сколь угодно сложной регулярной или нерегулярной (хаотической). Однако, наличие в нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений особых точек не является необходимым условием существования в ней нерегулярной динамики. Необходимым условием является наличие исходного сингулярного цикла, которым может (но не обязан) быть цикл, родившийся из особой точки в результате мягкой бифуркации Андронова-Хопфа. Именно такой цикл является, как правило, отправной точкой сценария Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ-сценария) перехода к хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений через субгармонический и затем гомокли-нический каскады бифуркаций устойчивых предельных циклов. Поэтому несомненный интерес представляет доказанная в диссертационной работе теорема об условиях рождения цикла в системе (1),(2) в результате бифуркации Андронова—Хопфа и его качественных характеристиках.

Теорема 1. Пусть функции влияния в системе уравнений (1), (2) заданы и в некотором интервале изменения значений параметра в система (1) имеет особую точку О7, в которой выполнены следующие условия ау(у*,г*)у* < а(у*, г*) и ал(у*,г*)г* < а(у*,г*); Ьх(х*,г*)х* < Ь{х*,г') и Ь,{х*,гг)г* < Ь(х*, г*); сх(х*,у*)х* < с(х*,у*) и су{х*,у*)у* < с{х*,у*). Тогда значение параметра в*, при котором в системе происходит мягкое рождение предельного цикла из особой точки О7 в результате бифуркации Андронова-Хопфа, удовлетворяет системе трех алгебраических уравнений относительно переменных ж*, у*, в:

а(у*, с[х*, = х*; Ь(х*,с(х*, у*)ф = у*;

¿1{х*,у*,з)(12{х*,у*,з) = (13(х*,у*,з),

где £¿1, ¿2, ¿з - коэффициенты характеристического полинома \3+\2(х*+у* + г*)+\(х*у*(1—в2ОуЬх)+х*г*(1 — 82агсх)+г*у*(1—з2СуЬг)) +

+ х*у*г*(1 - б2(аг/Ь1 + а2сх + СуЬ2 + ахСуЪ2з + аусхЬгз)) = О

при г* — с(х*, у*)з. При этом амплитуда рождающегося периодического решения равна 0(л/(« — в*)), а его период - (27т/(1 + — в*)).

Замечание. В доказанной теореме в качестве бифуркационного параметра может выступать не только параметр 5, но также и другие параметры, задающие вид функций влияния в (2).

В работе рассмотрены три примера использования предложенных математических методов для анализа конкретных логистических систем вида (1),(2), обладающих регулярной и хаотической динамикой. В качестве первого примера рассмотрена модель эволюционирующего рынка ценных бумаг. В этой модели макроперемепными являются, г - количество ценных бумаг (например, акций), х - спрос на акции (количество акций, которое желает приобрести население в данный момент времени) и у - предложение акций Установленный характер взаимосвязей между макропеременными приводит к модели вида (1), в которой

а(у, г) = - - у») - аг^(,г - г»),

Ь(х,г) = — аг^(:г — х*) + аг^(.г - г*), (3)

с(х,у) = агс^(ж - хг) - аг^(у - ?/»).

При некоторых фиксированных значениях макроперемеппых системы рассмотрены качественные изменения ее фазового портрета при увеличении значений параметра я, который можно рассматривать как меру активности населения на рынке ценных бумаг. Численными расчетами показано, что увеличение значений параметра в приводит к ФШМ-каскаду его дальнейших бифуркаций через рождение цикла из особой точки О7, т.е к спекулятивному ажиотажу на фондовом рынке и, возможно, его полному краху(см. рис.1).

В качестве второго примера рассмотрена предложенная автором модель макроэкономического развития. В ней происходит взаимодействие трех групп населения, имеющих различные социально-экономические интересы: трудящихся, предпринимателей (бизнес) и государства (власть). Их влияние (вес) характеризуется соответственно переменными х, у и г. Вид взаимосвязей между макропеременными может быть различным, что

4

Рис. 1: Исходный цикл (а), цикл удвоенного периода (б), цикл учетверенного периода (в) и аттрактор Фейгенбаума (г) в системе (1).(3).

определяется конкретным общественным устройством. Например, характер взаимодействия между макропеременными, присущий России конца прошлого века, приводит к модели макроэкономического развития вида (1), (3) и, соответственно, при некоторых условиях к социально - экономическому хаосу, что было характерно для России конца двадцатого столетия.

Но в логистической модели макроэкономического развития возможен и другой сценарий перехода к хаотическому режиму поведения. Зафиксируем значение параметра я. при котором система (1), (3) имеет устойчивое периодическое решение, и будем уменьшать значения параметра г, - точки переключения функций влияния власти на бизнес и народ. Это означает, что даже слабое государство оказывает поддержку исключительно бизнесу и безразлично к нуждам народа. При этом система (1), (3) через динамический хаос, соответствующий каскаду бифуркаций ФШМ-сценария (рис. 2), переходит в устойчивый стационарный режим с особой точкой 0г(0, У*, 0).

Рис. 2: Проекции исходного цикла (а), цикла удвоенного периода (б), субгармонического аттрактора (в), цикла периода три (г) и одного из гомоклинических циклов (д) в системе (1),(3).

Следовательно, такое поведение власти ведет через социально - экономический хаос к ее же собственному уничтожению и к вымиранию народа. Интересно отметить, что если отношение государства к народу и народа к

предпринимателям кооперативно, что характерно для современной России начала XXI века, то в такой логистической системе уравнений хаотическая динамика отсутствует. Но наиболее благоприятная ситуация в модели макроэкономического развития складывается в случае, если все макропеременные всегда кооперативно настроены по отношению друг к другу. В этом случае в системе (1) существует единственная устойчивая особая точка С>7(х*,у*,2*) с достаточно большими значениями макропеременных, что обеспечивает хороший устойчивый уровень экономического развития.

В качестве третьего примера в диссертационной работе рассмотрена модель формирования общественного мнения, в которой существуют две партии, имеющие различные позиции по каким-либо вопросам. Пусть тг-влиятелыгость или "вес" каждой партии, а у - "вес" группы людей, не поддерживающих ни ту, ни другую позицию. В этом случае модель формирования общественного мнения может быть записана в виде (1) с функциями влияния

а(у, г) = - - у*) + а2 - г,),

Ь(х, г) = - - ж*) — агс!^(г - г»), (4)

с{х, у) = - г») - ат^(у - г/,),

где коэффициент < — 1 отражает степень активности па.ртии х в вербовке своих сторонников при уменьшении численности конкурирующей партии г. В работе численно показано, что при уменьшении значений параметра аг система (1),(4) обладает полным каскадом бифуркаций ФШМ-сценария перехода к хаотическому режиму поведения - общественно - политическому хаосу, создаваемому чрезмерной активностью конкурирующих партий (рис.3).

й

г

I X (в) г (г) X (д)

Рис. 3: Проекции цикла удвоенного периода (а), цикла учетверенного периода (б), аттрактора. Фейгенбаума (в), цикла периода пять (г) и одного из гомоклинических сингулярных аттракторов (д) в системе (1), (4),

Глава 2. Регулярная, волновая и хаотическая динамика в распределенной модели саморазвивающейся рыночной экономики

В ряде работ Н.А.Магницкого и С.В.Сидорова предложена распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики, имеющая вид:

9У(Ьс1 = + х(1 _ (1 _ 5)у + (5)

д1 ' дс2

дг{г,с) 5í

= а(у — с1х).

где

и9 ав а ^ + (7?- 1)(1 + т)

(1 + 0 + ч)(1 + 7)' /V

В (5),(6) с)- нормированная плотность капитала (суммарная стоимость производительного, товарного и денежного капитала), задействованного предпринимателями в момент £ в производстве некоторого продукта по технологии с, с)- нормированная плотность суммарного платежеспособного спроса предпринимателей, трудящихся и государства на произведенный по технологии с продукт. с)- нормированная плотность распределения нормы прибыли в момент I в пространстве технологий, й\ и ¿2 ~ коэффициенты диффузии капитала и спроса в пространстве технологий; а,Ь,с1 -коэффициенты, характеризующие строение капитала и структуру рынка, 5 - доля прибыли, идущая на государственное потребление (налоги, акцизы, пошлины и тд.), сг - доля прибыли, идущая на личное потребление предпринимателей.

Два первых уравнения с частными производными описывают изменение и интенсивность движения (диффузию) капитала и платежеспособного спроса в пространстве технологий под воздействием изменения нормы прибыли, которое описывается третьим обыкновенным дифференциальным уравнением В одномерном случае используется единственный универсальный ресурс - деньги.

Полученная система обладает многими замечательными свойствами. Одним из них является наличие в ней последовательности бифуркаций рождения устойчивых периодических однородных пространственных решений

произвольного периода, формирующих однородный по пространству, но хаотический во времени аттрактор. Причем переход к хаосу осуществляется опять же универсальным сценарием Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов. Среди устойчивых решений системы (5) найдены также пространственно неоднородные периодические решения и двумерные устойчивые торы.

Качественный анализ зависимости макропоказателей от структуры рыночной экономики

И з системы уравнений (5) легко выводится система уравнений, описывающая изменение макроэкономических показателей - суммарного капитала, суммарного платежеспособного спроса и средней нормы прибыли:

x(t) = bx((î — a)z — ôy),

y(t) = x(l-(l-S)y+<rz), (7)

z(t) — a(y — dx).

В работах H.A Магницкого и С.В.Сидорова проведено качественное исследование зависимости поведения решений системы макроэкономических показателей (7) от величин значений двух параметров а и S, характеризующих степень участия бизнеса и государства в экономическом развитии. В настоящей диссертационной работе исследовано поведение решений системы макроэкономических показателей (7) при изменении таких структурных экономических параметров как ал а, /3 и 7, характеризующих платежеспособный спрос (зарплату) трудящихся, подвижность капитала, инертность населения по отношению к покупке потребительских товаров и органическое строение капитала, т.е. отношение долей постоянного и переменного капитала в его производительной части. При этом параметры в и т] , определяющие производительное и товарное строение капитала, считаются фиксированными.

В работе численно показано, что при уменьшении значений параметра oj наблюдается каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периодов цикла, изображенного на рис. 4а и завершающегося аттрактором Фейгенбаума (рис. 4г). При дальнейшем уменьшении значений параметра ш происходит разрушение экономической системы путем уменьшения до нуля капитала

и платежеспособного спроса населения. Результаты рассмотренного сценария свидетельствуют о том, что значительное уменьшение платежеспособного спроса трудящихся, состоящего в сокращении объема их заработной платы, неминуемо ведет к хаосу в экономике и в конечном итоге к ее разрушению.

Рис 4. Проекции на плоскость "капихал(Х) - платежеспособный спрос(К)"простого предельного цикла при и = 7 = 1, цикла удвоенного периода при и = 0 7, цпкла учетверенного периода при и — 0 35 и аттрактора Фейгенбаума при и = 0 22

Параметр А = а//3 определяется параметрами а и (3, характеризующими подвижность капитала и инертность населения по отношению к покупке потребительских товаров Результаты численного анализа сценария, связанного с изменением значений параметра А показали, что малая подвижность капитала, а также большая инертность населения в покупке новых и модных потребительских товаров могут привести при некотором их соотношении к хаосу в экономике. Выйти из кризисного состояния рыночная экономика может путем увеличения подвижности капитала либо путем увеличения спроса населения на потребительские товары.

Увеличение значений параметра 7, характеризующего органическое строение капитала, соответствует уменьшению доли трудящихся, занятых в производстве товаров и услуг. При этом наблюдается усложнение решений системы рыночных макропоказателей (7) через каскад бифуркаций Фей-генбаума удвоения периодов цикла, изображенного на рис.4а при 7=1 вплоть до образования аттрактора Фейгенбаума, затем через субгармонический каскад бифуркаций Шарковского образования устойчивых циклов любого периода вплоть до цикла периода 3 и различных аттракторов Шарковского (рис.5). При дальнейшем увеличении значений параметра 7 происходит разрушение циклического поведения в экономической системе и ее

распад путем обнуления капитала и платежеспособного спроса населения.

Рис. 5: Проекции на плоскость "капитал(.Х') - платежеспособный спрос(У)"предельного цикла периода 2 при 7 = 1 01, периода 4 при 7 = 1 04, периода 8 при 7 = 1.042, аттратора Шарковского при 7 = 1 068 и цикла периода 3 при 7 = 1.071.

Уменьшение значений параметра 7 ведет к уменьшению размеров и периода простого устойчивого цикла вплоть до его стягивания в устойчивую особую точку и исчезновения в результате бифуркации Андронова - Хопфа. При дальнейшем уменьшении значений параметра 7 в системе (7) наблюдается единственное устойчивое стационарное состояние.

Результаты данного сценария свидетельствуют о том, что уменьшение доли занятого в производстве товаров и услуг населения неминуемо ведет к хаосу в экономике и в конечном итоге к ее разрушению. Напротив, увеличение доли занятого в производстве товаров и услуг населения ведет к стабилизации рыночной экономики и к уменьшению периодичности колебаний ее рыночных макропоказателей.

Волновые решения распределенной экономической системы.

Кроме перечисленных выше, еще одним замечательным свойством системы диффузионных уравнений (5), описывающих распределенную модель саморазвивающейся рыночной экономики, является наличие в ней волновых решений, связанными с переливом капитала и нормы прибыли по пространству технологий. Этот факт впервые был численно обнаружен А.В Дерновым, который также дал достаточно грубое приближенное обоснование возможности существования таких волновых решений в рассматриваемой системе.

В настоящей диссертационной работе получены аналитические условия, при которых распределенная система уравнений рыночной экономики (5)

обладает волновыми решениями, осуществлена постановка некоторых задач распространения воли капитала и нормы прибыли в пространстве технологий и найден аналитический вид решений поставленных задач.

Теорема 2. Пусть у — const — у* = (а - (3)/(—аа — /3(1 — 5)) и v — ad(d\ — ¿2^(1 — > 0. Тогда распределение нормы прибыли по

технологическому пространству удовлетворяет волновому уравнению

dh(t,c) _ 2dh(t,c)

где ш2 = v. Распределение капитала x(t,c) при этом однозначно выражается через распределение нормы прибыли z(t,c) по формуле

z(i,c) = 0/-(l/a)^iM)/d. (9)

В диссертации доказано, что условия теоремы являются корректными, т.е. у* > 0 и ^ > 0 в предположении малости коэффициента диффузии платежеспособного спроса ¿2 но сравнению с коэффициентом диффузии капитала d\

Волновое уравнение (8) совместно с формулой (9) описывают процесс распространения волн нормы прибыли и капитала по пространству технологий. В зависимости от вида начального распределения нормы прибыли и капитала, а также от принятой структуры пространства технологий, которое в одномерном случае может рассматриваться либо как полупрямая 0 < с < оо, либо как отрезок 0 < с < I, возможны различные постановки задач о распространении волн в распределенной экономической среде. Рассмотрены две из таких постановок.

Задача 1. Найти решение уравнения (8) на полупрямой 0 < с < оо, с начальными и граничным условиями

z(0,c)=z0(c) = u(c), ^M=a(y*-dx0(c)) = v(c), =

Поставленная задача решена методом отражения волн от свободного конца с использованием формулы Даламбера для неограниченного интервала. При этом решение задачи для распределения нормы прибыли получено в виде

z(t, с) = -iy-i-+ — J ^ v(s)ds, t < с/и,

г{Ь,с) = -±--- + 7Г V {з)ёв + ¿>с/а>.

* ¿и Jо Уо

Решение задачи для распределения капитала находится по формуле (9)-

= [у -{1/о)(—--^—---'-у^к---)]/«г,* < с/ы,

x(t,c) = [г/ -(1/о)(-i--S-Ч—^-L—Л-~)]/d,t > с/и.

Найденное решение описывает процесс распространения волн капитала и нормы прибыли на полупрямой пространства технологий, что, в частности, дает возможность моделировать процессы перелива капитала и распределения прибыли между различными технологиями при начальном локальном инвестировании капитала в одну какую-либо технологию или группу технологий, а также при создании локальных условий для получения большей нормы прибыли при производстве продукции по какой-либо одной технологии или группе технологий. В первом случае задается нулевая функция и (с) и локально положительная функция и(с), во втором случае - нулевая функция и (с) и локально положительная функция и (с).

Задача 2. Найти решение волнового уравнения (8) на отрезке 0 < с < I с начальными и краевыми условиями

2(0, с) = г0 (с) = „(с), = = „(с), = = 0.

Решение поставленной задачи найдено методом разделения переменных и получено в виде

00 | z(t,c) = У^(ипeos(imwt/I) Н--—sin(imcjt/l))cos(irnc/l),

(í, с) = [у* — (1 /а) ^2(vncos(Trnu)t/l)---j~^sin(Trntjt/l))cos(7rnc/l)}/d,

n=o

где

2 fl 2 fl un = - u(s)cos(Trns/l)ds, vn = -r v(s)cos(ims/l)ds. I Jo l Jo

Глава 3. Прогнозирование временных рядов методами хаотической динамики

Скалярным временным рядом называется массив из тг чисел хи г = 1,2, представляющих собой значения некоторой динамической переменной х(£) : х, = х{и) с постоянным шагом по времени. Подобные временные ряды являются основным результатом как натурных, так и вычислительных экспериментов. Основными побудительными мотивами для развития методов обработки временных рядов являются задачи анализа цифровой звуковой и видеоинформации, задачи прогнозирования в метеорологии (прогноз погоды), в геофизике (прогноз солнечной активности, землетрясений и др.) и в области финансового анализа (прогноз цен акций, товаров, курсов валют).

В течение длительного времени к анализу и прогнозированию временных рядов подходили с позиций математической статистики. Использовался соответствующий математический аппарат, включающий понятия последовательностей случайных величин, случайных процессов, статистических моделей, стохастических дифференциальных уравнений. При этом сначала методами регрессионного анализа решалась задача идентификации, т.е. делалась попытка ответить на вопрос, каковы параметры системы, породившей данный временной ряд. Считалось, что эти параметры могут помочь идентифицировать (распознать) систему, отличить ее от других При этом оставалось совершенно непонятным, имеют ли полученные регрессионные уравнения какое-либо отношение к действительным уравнениям динамики системы или нет. Следующая задача состояла в том, чтобы по данным наблюдений предсказать будущие значения измеряемых характеристик или, более широко, будущее состояние анализируемого объекта.

Статистика предложила первые подходы к решению задач идентификации и прогноза, однако ее методы, дававшие зачастую неплохие результаты, всегда выглядели несколько мистически. С начала 80-х годов после опубликования знаменитой работы Ф.Такенса широкое распространение получили алгоритмы анализа временных рядов методами нелинейной динамики. В диссертационной работе предложены два строгих математических алгоритма представления и прогнозирования произвольных хаотических временных рядов: конечной суммой их различных колебательных компонент - собственных функций нелинейной среды и посредством их аппроксимаций решениями нелинейных хаотических систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.

Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды.

Будем считать, что дискретные значения исходного временного ряда представляют собой значения некоторой координаты х{1) решения многомерной непрерывной хаотической динамической системы, принадлежащего ее нерегулярному аттрактору и заданного в дискретные моменты времени. Так как любой нерегулярный аттрактор нелинейной дисси-пативной системы дифференциальных уравнений содержит в любой своей окрестности бесконечное число неустойчивых периодических траекторий, то естественно ожидать, что переменная х{Ь) является результатом сложной нелинейной комбинации различных гармонических колебаний со своими амплитудами и частотами на разных интервалах времени. Следовательно, на всем рассматриваемом интервале времени переменная х(Ь) может быть представлена в виде суммы квазипериодических колебательных компонент, имеющих свои усредненные квазичастоты и квазиамплитуды. Совокупность таких квазигармонических колебательных компонент назовем собственными функциями нелинейной колебательной среды временного ряда, те. теми функциями, по которым может быть разложено решение ь{1) хаотической динамической системы. Предложенный в диссертационной работе метод дает возможность последовательно выделить из исходного хаотического временного ряда нелинейные квазигармонические колебательные компоненты в порядке возрастания их квазичастот и, тем самым, представить исходный ряд с любой степенью точности в виде конечной суммы собственных функций его нелинейной колебательной среды.

Рассмотрим произвольный временной ряд, представленный непрерывной функцией х{р) на отрезке [О, Т\. Сначала приведем его методом наименьших квадратов к колебательному ряду Х{Ь) — х^) — а — Ы, имеющему нулевое среднее значение.

Теорема 3. Непрерывная на отрезке [0,Т] функция Х{1) с нулевым среднш1 значением, может быть представлена с любой точностью в виде конечной суммы ее квазипериодических колебательных компонент • собственных функций нелинейной среды

п п п

т = £ **(*) = £Л*»(*) = Е ььакхк^), к=1 к=1 к=1

где Хкф — — г^), Xц^) = Х{Ь). Величина ак в интегральном

преобразовании

о

примененном к функции Xk-i(t), определяется из условия наибольшего значения аргумента из всех локальных максимумов функции д(а) вида

Т

g(a) = J(LaX(t))2dt, о

построенной по функции Xk-i (£)■ При этом квазичастота компоненты

Xkyk(t) определяется по формуле ик =-, а ее модуль - по формуле

<*к

т

J Xk-i{t)LakXk^{t) dt Xk = —f-•

i(LatXk^(t))4t о

Результатом разложения исходного временного ряда x(t) на непериодические колебательные компоненты является его представление на отрезке [О, Т] с произвольной точностью в виде

c{t)Ka + bt + J2xkyk{t), t<T.

k=1

Тогда прогноз его значений вне отрезка [О, Т] строится как сумма гармонических колебаний с частотами щ и амплитудами Хк

п

х (t) = a + bt + ^Xk sin(wjfct -f ipk), t>T, k=1

гладко состыкованными с квазипериодическими компонентами Xkyk(t) в краевой точке Т посредством фаз <рк.

На рис 6 представлено разложение на компоненты (170 точек) с точностью до двух процентов, а также прогноз (до 200 точки) курса акций одной из реальных компаний, торгующихся на Нью-Йоркской фондовой бирже NYSE. На рис. 7 представлено разложение на компоненты (170 то-

—) Кош.

—Прогноз

ж

ЗОЕ

ЭЯ

Эй

в

Рис. 6: Результат разложения на компоненты и прогноз одного из реальных индексов курсовой стоимости акций.

: \ ^ л / ; ' 1 Л

5 А «Л 1 ЛЛ' V /У * ! Ц|\ л г ^ \ /Л /Ч/

: ч/у V 1 "\ ли \ / и/ ^ /А/

1 V-' 1

1 ■ ' Ч гп

3 50 100 150 21

Рис. 7-. Результат разложения на компоненты и прогноз одного из реальных месячных ценовых хлопковых индексов.

чек) с точностью до двух процентов, а также прогноз (до 200 точки) одного из реальных месячных ценовых хлопковых индексов.

Аппроксимация временного ряда решением хаотической динамической системы.

Второй метод прогнозирования хаотического временного ряда, рассмотренный в диссертационной работе, связан с его аппроксимацией координатой некоторого вектор-решения специальной хаотической системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.

Пусть исходный временной ряд x(t, ß) задан своими значениями x(tk, р) в точках i,t, к = 1,..., и, и зависит от вектора параметров fi — (ßi,..., рр). Введем фазовое пространство переменных в виде

t t t

x3(t) — Jx(t,ß)ds, X2(t) = Jx3(s)ds, x\(t) = Jx2(s)ds,

0 0 0

и аппроксимируем функцию x(t, /1) правой частью f(xi(t),x2(t),x3(t)) нелинейной динамической системы

Х\ — Х2, ¿2 — ^3] Х3 = f(xhx2,x3), (10)

где

3 3 3

f(x 1, ж2, Яз) = /"3 + H3]Xj + №]кХ]Хк.

,=1 ,=1 к=1

Теорема 4. Оптимальный выбор коэффициентов полинома в правой части системъi (10) может быть осуществлен простым решением системы линейных алгебраических уравнений

A[i = Ь,

где элементы матрицы А и компоненты вектора b

Едх${1ь, fj) dx3{tk,p) А , . dx3(tk,fi)

---дЦГ]

не зависят от параметров и выражаются лишь через переменные хг, г = 1,2,3.

Прогноз значений временного ряда x{t, р) при t > tn строится как производная компоненты х3(t) вектор-решения (xi(t),X2(t),x3(t))T хаотической нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (10).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе проведено аналитическое и численное исследование двух классов нелинейных систем уравнений социодинамики, описывающих широкий круг социально - экономических и общественно -политических процессов и явлений. Проанализирована устойчивость стационарных и периодических решений рассматриваемых нелинейных систем, исследованы возможные сценарии развития в этих системах сложной хаотической динамики, разработаны новые методы прогнозирования данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий рассматриваемых систем, лежащих в областях их хаотических аттракторов В ходе проведенных исследований получены следующие основные результаты

1 Разработаны математические методы анализа и доказаны теоремы об устойчивости стационарных и периодических решений логистических систем социодинамики общего вида.

2. Разработаны математические методы анализа хаотической динамики в нелинейных логистических системах.

3. Проведено численное исследование сценариев перехода к общественно-политическому и социально-экономическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социодинамики: эволюционирующего рынка ценных бумаг, макроэкономического развития и формирования общественного мнения.

4. Разработаны математические методы и проведено численное исследование поведения решений системы макроэкономических показателей в модели саморазвивающейся рыночной экономики при изменении ее структурных экономических параметров.

5. Найдены условия, доказана теорема существования и получены аналитические решения в виде бегущих волн капитала и нормы прибыли по технологическому пространству в двух начально-краевых задачах для диффузионной нелинейной системы уравнений саморазвивающейся рыночной экономики.

6. Доказана теорема о разложении хаотического временного ряда данных наблюдений на колебательные негармонические компоненты и разработан метод прогнозирования такого ряда.

7. Доказана теорема об аппроксимации и предложен метод прогнозирования хаотического временного ряда данных наблюдений решением нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Магницкий Ю.Н. Регулярная и хаотическая динамика в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений типа Вайдлиха -Трубецкова. -Дифференциальные уравнения, 2007, т.43, 12, с.1618-1625.

2. Магницкий Ю Н. О волновых решениях распределенной экономической системы. -Автоматика и телемеханика, 2008, 11, с 149-153.

3 Магницкий Ю.Н. Собственные функции нелинейной колебательной среды и их применение для прогнозирования хаотических временных рядов. -Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 6., под ред. С В.Емельянова и С К Коровина - М • Физматлит, 2006, с. 239-246.

4. Магницкий Ю.Н. Аппроксимация временных рядов хаотическими динамическими системами - Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Вып. 10. - М.: Комкнига, 2006, с. 98-103.

5. Магницкий Ю.Н. Исследование зависимости макроэкономических показателей от структуры рыночной экономики,- Труды Института системного анализа РАН. Проблемы вычислений в распределенной средс. Т. 14. - М.: Комкнига, 2005, с. 198-205.

6. Магницкий Ю.Н. О сценарии перехода к хаосу в одной нелинейной модели Вайдлиха - Трубецкова - Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Т.29, вып.11. - М.: ЛКИ, 2007, с.42-46

7. Магницкий Ю.Н Циклы и хаос в нелинейной модели рыночной экономики. - Труды Межд. конф. «Идеи синергетики в естественных науках» -Тверь: Твер. гос ун-т., 2006, с.280-284.

8 Магницкий Ю.Н Хаотическая динамика в моделях Вайдлиха-Трубецкова - Труды Межд. конф «Синергетика в естественных науках». - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2007, с.96-99.

9. Магницкий Ю.Н Модель макроэкономического развития типа Вайдлиха-Трубецкова.- Труды Межд. конф. «Системный анализ и информационные технологии» (САИТ-2007). - М.: ЛКИ, 2007, т.1, с.253-254.

10. Magnitsky Y.N. Principles of chaotic dynamics in nonlinear Weidlich -Tru-betskov models.- Труды Межд. конф. «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007). - М : РУДН, 2007, с.166-170.

11 Магницкий Ю.Н Хаос и структуры в нелинейных социально - экономических моделях Вайдлиха - Трубецкова - Труды Межд. конф «Нелинейный динамический анализ - 2007. - СПб.: Санкт-Петерб. Ун-т, 2007, с.377.

Подписано в печать 25.10.2008 г.

Печать трафаретная

Заказ № 978 Тираж: 80 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

1 Математический анализ логистических систем социодина-мики

1.1 Логистические модели социодинамики.

1.2 Теория Фейгснбаума-Шарковского-Магницкого динамического хаоса в нелинейных ОДУ.

1.3 Регулярная и хаотическая динамика в логистических системах ОДУ

2 Регулярная, волновая и хаотическая динамика в распределенной модели саморазвивающейся рыночной экономики

2.1 Вывод уравнений распределенной саморазвивающейся рыночной экономики.

2.2 Качественный анализ зависимости макропоказателей от структуры рыночной экономики

2.3 Волновые решения распределенной экономической системы

3 Прогнозирование временных рядов методами хаотической динамики

3.1 Постановка задач прогнозирования экономических индексов и показателей.

3.2 Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды

3.3 Аппроксимация временного ряда решением хаотической динамической системы.

В естественных науках, главным образом в физике, математические модели, записанные на языке дифференциальных уравнений или динамических систем, давно служат надежным инструментом исследования. За небольшим исключением, все современные физические теории - электродинамика, квантовая механика, теория упругости, гидромеханика и многие другие — опираются именно на этот язык. Многовековое успешное применение дифференциальных уравнений в естественных науках стало основой их плодотворного использования и в экономико - математическом моделировании. На первом этапе использовались, в основном, методы линейной экономической динамики при изучении устойчивости моделей равновесного рынка. Однако, довольно быстро стало ясно, что линейное динамическое моделирование, хорошо объясняющее постепенное затухание любого вызванного извне отклонения от неизменного равновесия, является совершенно недостаточным для описания более сложных циклических и кризисных социально - экономических процессов. В связи с этим в экономико -математическом моделировании появились новые направления, такие как синергетическая экономика [1-3] и социодинамика [4-6], использующие более адекватный аппарат нелинейных динамических систем.

Социодинамика является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современной экономико-математической науки, связанным с разработкой математического инструментария для исследования и анализа пространственно-временной эволюции систем, элементами которых являются люди. Она исходит из предположения, что состояние исследуемой динамической системы в каждый момент времени можно задать с помощью конечного или бесконечного набора числовых значений некоторых параметров х = (а?!, Х2, ■•■)• Множество всех возможных (допустимых) состояний х = {ж} образует фазовое пространство системы. А изменение состояния динамической системы в последующие моменты времени вычисляется, исходя из некоторого эволюционного дифференциального уравне

ПИЯ х = ф(ь,х), (1) с нелинейной функцией Ф(£,ж) фазовых переменных и времени в правой части. В случае конечного набора фазовых переменных (параметров состояния) система является сосредоточенной нелинейной динамической системой или нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а в случае их бесконечного набора - распределенной нелинейной динамической системой или нелинейной системой уравнений с частными производными.

В отличие от линейных систем, нелинейные динамические системы вида (1) могут иметь периодические любого периода и квазипериодические (многочастотные) решения, хорошо подходящие для описания различных циклических социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений [1-6]. Кроме того, являясь детерминированными, такие системы при отсутствии всяких случайных воздействий могут вести себя неупорядоченно, непредсказуемо, хаотически, что является одним из главных и парадоксальных проявлений нелинейности. Поэтому естественно предположить, что именно нелинейные динамические системы являются наиболее подходящими для описания не только различных циклических социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений, но также и для описании различных кризисных ситуаций и сценариев перехода к социально - экономическому и общественно - политическому хаосу. Из всего вышесказанного следует, что разработка математических методов анализа сложных нелинейных систем социодипамики, включая методы анализа стационарных, периодических и хаотических решений, является актуальной проблемой.

Исследование динамического хаоса привело к полному пересмотру взглядов ученых на моделирование явлений природы и общества и на наши возможности давать прогноз развития этих явлений. Присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства нелинейных динамических систем, описывающих достаточно сложные физические, химические, биологические, экономические и социальные процессы и явления. Впервые "необычное"поведение нелинейной динамической системы было открыто в связи с задачей прогноза погоды крупнейшим американским метеорологом-теоретиком Э. Н. Лоренцем [7]. Появившиеся в середине 50-х годов первые численные схемы гидродинамического краткосрочного (несколько суток) прогноза погоды оказались малоэффективными, что заставило многих исследователей обратиться к статистическим методам прогноза, основанным на представлении о линейной регрессии. В немалой степени это направление стимулировалось появившимися примерно в то же время работами Н. Випера [8], посвященными предсказанию стационарных случайных процессов. Казалось, что использование большого числа предикторов может заменить гидродинамические схемы прогноза, несмотря на существенную нелинейность атмосферных явлений. Лоренц скептически отнесся к идее статистического прогноза и решил проверить ее путем численного эксперимента на какой-либо динамической модели. В результате непростых поисков, связанных с желанием получить апериодические движения, Лоренц остановился на двухуровневой модели атмосферы, которая методом Галер-кина с удержанием только наиболее крупномасштабных мод была сведена к достаточно простой трехмерной автономной нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для найденной таким образом системы действительно удалось показать полную несостоятельность статистического прогноза в рамках линейной модели. Однако попутно было сделано куда более значительное открытие. Исследуя одно из численных решений системы, Лоренц обнаружил притягивающее множество (аттрактор) - подмножество фазового пространства, на котором фазовые траектории сочетают в себе глобальную устойчивость (остаются со временем в ограниченном объеме) с их локальной неустойчивостью (чувствительной зависимостью от начальных данных) на аттракторе.

До последнего времени совершенно естественным представлялся единый геометрический подход к изучению нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных [9-23]. Согласно геометрической точке зрения, динамической системой называется однопараметрическая непрерывная или дискретная группа (полугруппа) (р'(х) преобразований метрического фазового пространства М в себя. Непрерывные группы также часто называют потоками, а дискретные - отображениями или каскадами [19]. Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла [11]. Было показано, что устойчивым предельным множеством (аттрактором) дискретной динамической системы может быть вовсе не гладкое многообразие целой размерности, какими являются, например, устойчивый предельный цикл или тор, а всюду дырявое, самоподобное фрактальное множество дробной размерности. Кроме того, было показано, что поведение траекторий динамической системы на таком странном в терминологии Д. Рюэля и Ф. Такенса [15] аттракторе является довольно сложным, сочетая в себе глобальную устойчивость с локальной неустойчивостью отдельных близких траекторий, экспоненциально разбегающихся со временем, что характеризуется наличием на аттракторе как отрицательного, так и положительного показателей Ляпунова.

Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств некоторого отображения - отображения Пуанкаре, то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца столкнулось со значительными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей [24-32]. Более того, задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века [33].

В последние годы авторами работ [34-40] было показано на многочисленных примерах нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. Была предложена новая универсальная теория динамического и пространственно-временного хаоса во всех типах нелинейных дифференциальных уравнений, названная впоследствии теорией Фейген-баума—Шарковского—Магницкого. Авторами работ [34-40] было теоретически доказано и подтверждено многочисленными примерами, что во всех типах нелинейных дифференциальных уравнений существует один универсальный сценарий перехода к хаотическому режиму поведения, начинающийся каскадом бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода устойчивых предельных циклов или двумерных торов [41,42] и продолжающийся субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского рождения устойчивых циклов или двумерных торов любого периода [43,44] и затем гомоклиниче-ским каскадом бифуркаций Магницкого рождения устойчивых циклов или двумерных торов, сходящихся к гомоклиническим контурам особых решений [35,36]. За последние несколько лет этот подход был успешно применен не только для объяснения сценария перехода к хаосу в системе Лоренца через двойной гомоклинический каскад бифуркаций, но также и для анализа хаотической динамики многих других классических нелинейных систем дифференциальных уравнений, не поддававшихся решению другими методами в течение многих десятилетий, таких, например, как системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ресслера [45], Чуа [46], Дюф-финга—Холмса[13], Рикитаки [47], система уравнений с частными производными Курамото-Цузуки [48], уравнение с запаздывающим аргументом Мэкки-Гласса [49] и многие другие.

Целью диссертационной работы являлось проведение аналитического и численного исследования двух классов нелинейных систем уравнений соци-одинамики: логистической системы уравнений, т.е. автономной нелинейной трехмерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с .правыми частями логистического типа, описывающей широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений, и распределенной системы саморазвивающейся рыночной экономики, предложенной в [50,51] и являющейся нелинейной системой дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа. В соответствии с целью исследования были определены задачи:

- анализа устойчивости стационарных и периодических решений рассматриваемых нелинейных систем;

- исследования возможных сценариев развития в рассматриваемых системах сложной нерегулярной и хаотической динамики;

- разработки методов прогнозирования данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий рассматриваемых систем, лежащих в областях их хаотических аттракторов.

Теоретическую основу диссертационного исследования составили: качественная теория и теория бифуркаций систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, теория динамического и пространственно-временного хаоса в сосредоточенных и распределенных нелинейных динамических системах, теория уравнений с частными производными, теория интегральных преобразований, метод наименьших квадратов, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в разработке оригинальных математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями логистического типа и уравнениями с частными производными:

- доказаны теоремы об условиях устойчивости стационарных и периодических решений нелинейных трехмерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида;

- найдены условия и впервые численно исследованы сценарии перехода к динамическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социодинамики: макроэкономического развития, эволюционирующего рынка ценных бумаг и формирования общественного мнения;

- исследована зависимость макропеременных нелинейной системы уравнений саморазвивающейся рыночной экономики от ее структурных параметров;

- найдены условия, доказана теорема существования и получен аналитический вид бегущих по технологическому пространству воли в диффузионной нелинейной системе уравнений саморазвивающейся рыночной экономики;

- предложены два новых метода математического анализа и прогноза временных рядов данных наблюдений, являющихся компонентами сложных непериодических решений нелинейных систем социодинамики, лежащих в областях их хаотических аттракторов: метод представления временного ряда в виде конечной суммы его различных колебательных компонент и метод аппроксимации временного ряда координатой вектор-решения нелинейной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений;

- доказаны теоремы о сходимости предложенного представления временного ряда и об оптимальности выбора коэффициентов его аппроксимации нелинейной хаотической системой.

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в новизне полученных в ней результатов, доказанных теорем и предложенных математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики, не поддававшихся исследованию ранее другими методами. Практическая значимость диссертационной работы состоит в использовании ее результатов для анализа возможных сценариев развития сложных общественно - политических и социально - экономических систем при изменении различных параметров этих систем, включая возникновение кризис-пых ситуаций, для прогнозирования таких ситуаций и нахождения путей выхода из них. Разработанные методы и предложенные в работе алгоритмы могут быть использованы также для прогнозирования обменных курсов валют, курсовой стоимости акций различных компаний и ценовых индексов на различные виды товаров.

Результаты работы докладывались на международных научных конференциях:

- «Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь,2006);

- «Системный анализ и информационные технологии» (САИТ-2007, Обнинск);

- «Синергетика в естественных науках» (Тверь,2007);

- «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007, Москва);

- «Нелинейный динамический анализ» (Санкт-Петерб.,2007); и на семинарах Учреждения Российской академии наук Института системного анализа РАН и факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 74 наименований, содержит 95 страниц текста и 15 рисунков. Результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах [52-62].

Заключение

В диссертационной работе проведено аналитическое и численное исследование двух классов нелинейных систем уравнений социодинамики, описывающих широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений. Проанализирована устойчивость стационарных и периодических решений рассматриваемых нелинейных систем, исследованы возможные сценарии развития в этих системах сложной нерегулярной и хаотической динамики, разработаны новые методы прогнозирования данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий рассматриваемых систем, лежащих в областях их хаотических аттракторов. В ходе проведенных исследований получены следующие основные результаты.

1. Разработаны математические методы анализа и доказаны теоремы об устойчивости стационарных и периодических решений логистических систем социодинамики, описываемых трехмерными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида.

2. Разработаны математические методы анализа хаотической динамики в нелинейных логистических системах социодинамики.

3. Проведено численное исследование сценариев перехода к общественно-политическому и социально-экономическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социодинамики: эволюционирующего рынка ценных бумаг, макроэкономического развития и формирования общественного мнения.

4. Разработаны математические методы и проведено численное исследование поведения решений системы макроэкономических показателей в модели саморазвивающейся рыночной экономики при изменении ее структурных экономических параметров.

5. Найдены условия, доказана теорема существования и получены аналитические решения в виде бегущих волн капитала и нормы прибыли по технологическому пространству в двух начально-краевых задачах для диффузионной нелинейной системы уравнений саморазвивающейся рыночной экономики.

6. Доказана теорема о разложении хаотического временного ряда данных наблюдений на колебательные негармонические компоненты и разработан метод прогнозирования такого ряда.

7. Доказана теорема об аппроксимации и предложен метод прогнозирования хаотического временного ряда данных наблюдений решением нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Полученные результаты и доказанные теоремы позволили провести полный анализ устойчивости стационарных состояний и периодических решений в трехмерных нелинейных автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений логистического типа общего вида, описывающих широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений. Разработанные математические методы позволили также установить, что логистические системы обыкновенных дифференциальных уравнений обладают хаотической динамикой и что переход к хаосу в таких системах происходит в соответствии с универсальным сценарием Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический и затем гомоклинический каскады бифуркаций устойчивых предельных циклов. Разработанные в диссертации численные методы анализа логистических систем обыкновенных дифференциальных уравнений позволили обнаружить и проинтерпретировать ФШМ-сцснарии перехода к социально -экономическому и общественно - политическому хаосу в трех конкретных социодинамических моделях: макроэкономического развития, эволюционирующего рынка ценных бумаг и формирования общественного мнения.

Использованные в диссертации математические методы анализа решений сложных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений дали возможность исследовать поведение решений системы макроэкономических показателей саморазвивающейся рыночной экономики при изменении структурных экономических параметров, характеризующих платежеспособный спрос трудящихся, подвижность капитала, инертность населения по отношению к покупке потребительских товаров и органическое строение капитала. В диссертационной работе численно показано, что значительное уменьшение платежеспособного спроса трудящихся, состоящего в сокращении объема их заработной платы, малая подвижность капитала, большая инертность населения в покупке новых и модных потребительских товаров, а также уменьшение доли занятого в производстве товаров и услуг населения неминуемо ведут к хаосу в экономике и в конечном итоге к ее разрушению, причем переход к хаосу во всех случаях осуществляется в соответствии с единым универсальным ФШМ - сценарием через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов. Кроме того, найденные аналитические условия и доказанная теорема существования волновых решений в распределенной системе диффузионных уравнений саморазвивающейся рыночной экономики позволили поставить и аналитически решить задачу о распространении локальных возмущений капитала и нормы прибыли по всему технологическому пространству.

Полученные в диссертационной работе результаты позволили предложить два строгих математических метода прогнозирования временных рядов данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий нелинейных динамических систем и лежащих в областях их хаотических аттракторов. Первый метод состоит в представлении временного ряда данных наблюдений в виде конечной суммы его различных колебательных компонент - собственных функций нелинейной среды, имеющих свои средние квазиамплитуды и квазичастоты, с последующим построением прогноза в виде суммы прогнозов каждой компоненты. Такой метод является более предпочтительным и естественным по сравнению с методами гармонического и регрессионного анализа. Доказаны теоремы о сходимости такого разложения и рассмотрен ряд модельных примеров. Второй метод представляет собой аппроксимацию временного ряда данных наблюдений координатой вектор-решения нелинейной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений на заданном интервале времени с последующим построением прогноза в виде этой же координаты решения построенной системы вне заданного интервала времени. Доказаны теоремы об оптимальности выбора аппроксимирующей нелинейной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений в классе трехмерных систем с не более чем квадратичными по переменным правыми частями. Рассмотрен модельный пример такой аппроксимации.

1. Заиг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. - М.: Мир, 1999, 335с.

2. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск.: Удмурт, уни-вер., 2000, 200с.

3. Хакен Г. Синергетика М.: Мир, 1985, 423 с.

4. Weidlich W. Stability and cyclicity in social systems.- Behavioral Science, 1988, 33, p.241.

5. Weidlich W. Physics and social science the approach of synergetics. -Phys. Rep.,1991,v.204, 1, p.1-169.6| Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры.- М.: УРСС, 2004, 240с.

6. Lorenz Е. N. Deterministic Nonperiodic Flow J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130-1418j Wiener N., Mazani P. The prediction theory of multivariate stochastic process Acta Math., 1957, vol. 98, p. 111-150

7. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978, 304 с.

8. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Илъяшенко Ю. С., Шильников JI. П. Теория бифуркаций. Кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1986, т. 5, с. 5-218.

9. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы Успехи мат. наук, 1970, т. 25, № 1, с. 113-185

10. Hirsch М. and Smale S. Differential equations, dynamical systems and linear algebra. Academic Press, N.-Y., 1974, 358 p.

11. Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. N.-Y.:Springer, 1983, 453 p.

12. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем.- М. : Мир, 1986, 302 с.

13. Рюэль Д. Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы.- М. : Мир, 1981, с. 117-151

14. Eckman J. P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors -Rev. Mod. Phys., 1985, 57, N3, p. 617-656

15. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М. : Мир, 1988, 240 с.

16. Bepoice П., Помо ИВидаль К. Порядок в хаосе. М. : Меркурий Пресс, 2000, 366 с.

17. Малинецкий Р. Р., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М. : УРСС, 2002, 360 с.

18. Кузнецов С. П. Динамический хаос. М. : Физматлит, 2001, 296 с.

19. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.- Саратов, 1999, 368 с.

20. Неймарк Ю. П., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания.- М. : Наука, 1987, 424 с.

21. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М. : Наука, 1990, 272 с.

22. Гукепхеймср Дою. Странный, странный аттрактор. Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Гл. 12- М. : Мир, 1980, с. 284-293

23. Guckenheimer J. and Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 59-72

24. Williams R. F. The structure of the Lorenz attractors Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 321-347

25. Yorke J. A. and Yorke E. D. Metastable chaos : the transition to sustained chaotic oscillations in a model of Lorenz J. Stat. Phys., 1979, 21, p. 263267

26. Sparrow С. The Lorenz equations : Bifurcations, chaos and strange attractors. Springer Verlag, N. - Y. 1982

27. Rychlik M. Lorenz attractors through a Shilnikov-type bufurcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems, 1989, 10, p. 793-821

28. Шилъников JI.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавление II. М. : Мир, 1980, с. 317-335

29. Shilnikov A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V.Normal forms and Lorenz attractors Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3, № 5, p. 1123-1139

30. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem Found. Comput. Math., 2002, 2, p. 53-117

31. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. Кн. : Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск : ИКИ, 2002, с. 280-303

32. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца- Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 11, с. 1494 1506

33. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2 : под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина - М. : Физматлит, 2002, с. 179-194

34. Магницкий Н. А. О природе хаотических аттракторов нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений- Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М. : Физматлит, 2004, с.37-58.

35. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики.- М. : УРСС, 2004, 112 с.

36. Magnitskii N. A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics.-Singapore: World Scientific, 2006, 363P.

37. Фсйгснбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем. -УФН, 1983, т.141, в.2, с. 343-374.

38. Шарковский А.И. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. Украинский математический журнал, 1964, т.26 № 1, с. 61-71.

39. Шарковский А. Н., Майстпрепко 10. А., Романепко Ю. Е. Разностные уравнения и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1986, 280 с.

40. Rossler О.Е. An equation for continuous chaos. // Phys. Lett. A, 1976, v. 57, N 5, p. 397-398.

41. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family// IEEE Trans. Circuits and Syst. CAS-33, 1986, pt. 1,2, p. 1073-1118.

42. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаки. Странные аттракторы М.: Мир, 1981, с. 164-192.

43. Ахромсева Т.С., Курдюмов С.П., Малииецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос,- М.: Наука, 1992, 541 с.

44. Mackey М., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems. -Science, 1977, v.197, p.287-289.

45. Магницкий Н.А. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики. Труды ВНИИСИ АН СССР, 1991, с. 16-21.

46. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики. Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина.- М.: Физматлит, 2002, с. 243-26

47. Магницкий Ю.Н Регулярная и хаотическая динамика в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений типа

48. Вайдлиха-Трубецкова. -Дифференциальные уравнения, 2007, т.43, 12, с.1618-1625.

49. Магницкий Ю.Н О волновых решениях распределенной экономической системы. -Автоматика и телемеханика, 2008, 11, с. 149-153.

50. Магницкий Ю.Н Собственные функции нелинейной колебательной среды и их применение для прогнозирования хаотических временных рядов. Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 6: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина- М.: Физматлит, 2006, с. 239—246.

51. Магницкий Ю.Н Аппроксимация временных рядов хаотическими динамическими системами.- Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Вып. 10. М.: Комкпига, 2006, с. 98103.

52. Магницкий Ю.Н Исследование зависимости макроэкономических показателей от структуры рыночной экономики.- Труды Института системного анализа РАН. Проблемы вычислений в распределенной среде. Т.14. М.: Комкнига, 2005, с. 198-205.

53. Магницкий Ю.Н О сценарии перехода к хаосу в одной нелинейной модели Вайдлиха-Трубецкова.- Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Т.29, вып.11. М.: ЛКИ, 2007.с.42-46.

54. Магницкий Ю.Н Циклы и хаос в нелинейной модели рыночной экономики. Труды Межд. конф. «Идеи синергетики в естественных науках». - Тверь: Твер. гос. ун-т., 2006,с.280-284.

55. Магницкий Ю.Н Хаотическая динамика в моделях Вайдлиха-Трубецкова. Труды Межд. конф. «Синергетика в естественных науках». - Тверь: Твер. гос. ун-т., 2007,с.96-99.

56. Магницкий Ю.Н Модель макроэкономического развития типа Вайдлиха-Трубецкова.- Труды Межд. конф. «Системный анализ и информационные технологии» (САИТ-2007). М.: ЛКИ, 2007,т.1, с.253-254.

57. Марсден Дою., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир,1980, 368с.

58. Хэссард Б., Казаринов П., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир.1985, 280с.

59. Попов В.В. Экономический цикл и норма прибыли в США. М.: Наука,1989, 176с.

60. Дериов А.В., Магницкий Н.А. О переходе к хаосу в одной неклассической системе уравнений реакция-диффузия. Дифференциальные уравнения. 2005. т. 41, No.12. С.1675-1679.

61. Дернов А.В. Диффузия капитала и спроса в модели саморазвивающейся рыночной экономики. Нелинейная динамика и управление. Вып.2. М.: Физматлит, 2002. С.233-242.

62. Дернов А.В. Использование принципа подчинения Хакена для анализа волновых процессов в нелинейной системе с диффузией. Нелинейная динамика и управление. Вып.5. М.: Физматлит, 2006. С. 125-128.

63. Тихонов А.П., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

64. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence Commun.- Lect. Notes in Math. Berlin: Springer. 1981, 898, p. 336-381.

65. Takens F. Estimation of dimension and order of time series. Nonlinear dynamical systems and chaos, 19, 1996.

66. Магницкий H. А., Сидоров С. В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах. Дифференциальные уравнения, 1998, т.34, № И. с. 1501-1509.

67. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Локализация и стабилизация неустойчивых решений хаотических динамических систем. В сб. Нелинейная динамика и управление. Под ред. С.В.Емельянова и С.К.Коровина, Вып.1, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, с.217-246.

68. Сидоров С. В. Аппроксимация кривых решением дифференциальных уравнений в искусственном фазовом пространстве. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности: Сборник научных трудов. Вып.1,- М.:РЗИТЛП, 2004, с. 168 - 176.