автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Параметрический синтез нелинейных систем управления методом ортогональных проекций

На правах рукописи

ПОЛЯКОВА Татьяна Геннадьевна

I (АРАМ! ГРИЧЬСКИЙ СИНТЕЗ НЕШШЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ОРШ1 ОПАЛЬНЫХ ЛРОЬКЦИЙ

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технике и технологиях)

АВТОРЕФКРА Г диссертации на соискание ученой степени кандидата технических нате

Санкт-Пе1ербург - 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшею профессионального обраювания «Санкт-Петерб\ргский юс> дарственный \<нивери1ия афокосмического приборостроения» (ТУАГГ)

11аучный руководитель

доктор технических наук профессор Осипов Леонид Андроникович

Официальные оппонент (я доктор технических на\тс,

доцент Дутпин Сергей Евгеньевич кандидат технических паук, старптий научный сотрудник Коровьяков Анатолии Николаевич

Ведущая организация - Конструкторское бюро специальною машшюсгроения, г Санкт-Петербург

Защита состой гея OS _2005 г в 15 часов на заседании

диссертационного совета Д 212 233 02 при Государственном образдватетьном учреждении высшего профессионального oGpasoBamra «Сапкг-Пегербуртскии гос\дарсгвенный университет аэрокосмическот о приборостроения)» по адресу 190000 Сайта-Петербург, у л Ь Морская, 67 ГУАП

С диссертацией можно о jнакопиться в биб.шотеке ГУАП

Автореферат разослан « 2005 i

Ученый секретарь дисссрт ациот d юг о сове т а ^ / ' ' Осипов Л А

lOb^J

ЗАЬООЧЛ

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБО ГЫ

Актуальность рабо1Ы. В настоящее время в различных о фа елях науки и техники широко применяются нелинейные непрерывшле и импульсные системы автоматическою управления (САУ), динамика которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями высокого норядо

Посюянное повышение требований к техническим и -эксплуатационным характеристикам САУ сложными объектах® и технологическими процессами приводил к необходимое 1-й учета нелинейиостей и запаздывания в системах при синтезе законов управления

В -¡сорки нелинейпых САУ достигнуты значительные резу ¡ьтатьг Здесь в первую очередь следует отметить методы фазового прос гранства гармоническою ба ганса, критерии устойчивосш и многие другие методы, и итоженные в ¡рудах А М Ляпунова А А Андронова, Н ¡1 Б01 оиобова. II М Крьпова, ГП Попова, В А Бесекерского, Я 3 Цыпкина В А Якубовича, НН Красовского, Г И Джури Ю'Г Ту и других ученых

Существующие точные методы сишеза нелинейных непрерывных и имп\льсня\ САУ мчаслю досшочно сложны и, имеют ряд особенностей и недостатков, 01 раничивающих их применение доя исследования широкою класса САУ высокою порядка с несколькими нелинейностями по единым методикам

В шешящее время для синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ широко используются численные методы Высокоэффективными оказались чето,(ы сишеза нелинейных непрерывных и импу н>сных систем предложенные И А Орурком и Л А Остовым - метод ортогональных проекции Хорошо «рекомендовал себя, для синтеза линейных непрерывных сис1ем численным метод основанный на использовании харакгерисшк мнямых часто!, предложенный И А Орурком, и развитый в работах АС Коновалова для неншейных систем Однако этот подход, требует линеаризащда нешшейностей а метод ортогональных проекций разработан только дня систем ь конкретншш итами нелинейных элементов и довольно простых процессах на их входах

В связи с згим одной из важнейших проблем является разработка >ффек1 явных и универсальных методов г.шпезя нглинрй^"-^ ГАУ высоких

порядком и создания на их основе алгоритмического и программно! о обеспечения

Цель диссертационной работы заключаемся и разработке \ниверса.п,ны\ численных методов, имеющих общую методологическую основ), синтеза нелинейных САУ высоких порядков' непрерывных, импульсных, а шкже систем с запаздыванием

Для достижения поставленной цели в диссертации решались следующие основные задачи

- разработка алгоритма, основанною на методе ортогональных проекций для параметрического синтеза непрерывныч систем, содержащих нелинейные элементы различим о вида,

- распространение метода ортогональных проекций для синтеза непрерывныч систем с различными видами не шлейных элементов, содержащих звенья чист oí о запаздывания,

- разрабо1ка апоригма синтеза импу 1ьсных систем управления, содержащих различные типы нелинейных тлемешов, основанного на методе ортогональных проекций,

- разработка алгоритмов синтеза нелинейных непрерьшныч и импульсных САУ с испочьзованием характеристик мнимых частот

Me[o;u,i исследования. Для решения поставленных задач в pa6oie использованы теория систем авю.матического управления, прямые меюды решения вариационных задач, теория обобщенных функций, высшая алгебра и меюды нетинейного программирования

Научная новизна В диссертации новым, что внесено в решение проблемы рафабогки методов, имеющих общую методологическую основу, синтеза нелинейных САУ высоких порядков, непрерывных, импульсных, а 1<шкс систем с запаздыванием является следующее

- предложен алгоритм основанный на методе ортогональных проекции, ,угя параметрического синтоа непрерывныч САУ по заданным покашешм качества коюрыи шнжняет синтемровать непрерывные сиыемы с нобыми не шпейностями, характеристики которых допускают кусочно-линеиную аппроксимацию, при различных процессах на их входах,

- развит метод ортогональных проекций да я параметрического cmneia нешпейных сжием с запаздыванием с любыми нелинейными элементами,

о

характерииики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию, при широком спектре процессов па ич входах,

- ра?работан алюригм синтеза импульсных систем методом орюгональных 1фоекций. который дает возможность синтезирован, параметры импульсных систем с нелинейностями проивольною вида, допускающими кусочно-линейную аппроксимацию, с различными входными сигналами,

- предложен алгоритм параметрического синтеза нелинейных непрерывных систем с применением характеристик мнимых частот и \с товных передаточных функций нелинейных члементов, позволяющий более полно учитывать нелинейные свойава системы, по срагшению с подходом, иепшыуюншм характерис шки мнимых частот и линеаризацию нелинейностей,

- предложен чис генный метод парамстрического синтеза нелинейных имп\льсных систем, основанный на использовании характеристик мтшмых час ют в сочетании с условными передаточными функциями нелинейных ¡веньев

Праюическая цеииост ь и реализация в промышленности.

Предложенные в работе численные методы параметрического сингсю нелинейных непрерывных и импульсных СЛУ, а также системе запаздыванием, являю 1ся теоретической основой разработанных ашоритмов и программ сшпеза САУ Разработанные стандартные программы позволяют сократить время и повысить уровень проектирования Они мгаут быть исполыопаны в ра этичных отраслях промыш тенности при создании алгоритмического обеспечения для автоматического проектирования сложных нелинейных САУ 1 !олученные результаты разработанные алгоритмы и irpoi раммы испо шзуются в учебном процессе на кафедре '"Управления и информатики в технических системах" Санкт-Пепербуртского Государственного университета а-зрокосмическет о приборостроения (СПбГУАП)

Положения диссертационной работы, выносимые на защигу:

- алюршм, ошовашгый па методе opToi опальных проекций д1я параметрического синтеза непрерывных САУ с произвольным видом нелинейных члементов, характеристики которых допускают к\ сочно-линейную аппроксимацию по заданным показателям качсст ва

- развитее молода параметрического синтеза непрерывных САУ (метода ортогональных проекций) с различными видами нелинейных цементов, содержащих 1вет>я вдетого запаздывания, по заданным показателям качества

- разработка алгоритма параметрическою сил те ¡а импульсных СЛУ с произвольным видом нелинейных итементов, характеристики которых допускают кусочно-тщтейиую аппроксимацию, по за,(анным показателям качества основанного на методе ортот оналытых проекций

- алгоритмы, испотьзугатцие характеристики мнимых частот для параметрическою синтеза непрерывных и импучьсныч систем с различными нелипейностями по задатпплм пока »ателям качества

Апробация работы. Отдельные -этапы работы докладыва тись и обсуждались на II Международном симпозиуме "Интеллектуальные системы" (Сагаст-11етербур1, 1-4 июля 1996 т ) Были сделаны доклады на научной сессии аспирантов посвященной Всемирному Дтпо авиации и космонавтики (Санкт-Петербург 1998. 1999г ), а гак же на 4-й школе-семинаре БИКАМП'ОЗ (Санкт -Петербург 2003)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 научных работ Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав заключения, списка использованной литературы (136 наименований) и двух приложений Основной текст работы содержит 141 страницу основною текста. 24 рисунка и 25 сфаницприложений, в том числе 2 рисунка

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цели и сформ\ тированы решаемые п работе задачи Перечислены новые научные резмьтаты полученные в работе, показаны ее практическая ценность и апробация Приведены основные положения, выносимые на защиту

В разделе 1 диссертационной работы приведен анализ современно! о состояния проблемы синтеза нелинейных САУ

Эффективными точными методами синтеза нелинейных систем являются метода фазового пространства, основы которою заложены академиком А А Андроновым и методы синтеза в пространстве состояний Однако возникают стожности при использовании этих методов для синтеза нелинейных САУ высоких порядков Отмечается, что сложность и трудоемкость точных методов привела к распространению в инженерной практике приближенных методов Ьоттылинство прибтижетгных методов синтеза нстинейпых САУ основываются на раз'шчных способах тинеаризации Анализируются работы НМ Крылова,

Н Н Боголюбова. Л С Го шдфарба, Е П Попова, В А Бесекерског о, М М Симкиш ЯЗ Цыпкина ЮЛ Бычкова, ДХ Имаева. и друшхученых

На основании нроведешюго обзора делается вывод об акгуальности разработки зффективных и универсальных алгоритмов синтеза непрерывных и импульсных САУ (в том числе с запаздыванием) высокого порядаа с несколькими нелинейными элементами

Одним из хорошо алгоритмизируемых методов расчета нелинейных систем является метод ортогональных проекций, предложенный И А Орурком и JIА Осиновым и развитый в работах JIГ Петухова, А Д Жукова, В Ф ТПишлакова и других Основу данного подхода сосшвляет обращение прямых вариационных методов анализа на решение задачи синтеза Эффективным также, при синтезе линейных непрерывных систем является численный метод, основанный на исно шзованшт характеристик мнимых частот, предложенный И А Орурком, и развитый в работах А С Коновалова для линеаризованных систем

На основании обзора и анализа методов расчета систем управления сформу шрованы задачи диссертационной работы, состоящие в разработке универсального метода синтеза параметров нелинейных непрерывных и импульсных САУ, а также систем с запаздыванием, на основе метода ортогональных проекций и на основе применения характеристик мнимых час ют

В разделе 2 рассматривается развитие метода opiатональных проекций для синтеза непрерьшшлх нелинейных САУ В основу метода положено обращение прямого вариационно! о метода анализа - метода ортогональных проекций (обобщенно! о метода 1 алеркина) - на решение зада™ синтеза Развитие метода сосюи! в разработке алгоритма, позволяющего сишезировать непрерывные системы с любыми нелинейпостями, характеристики которых допускают ку сочно- шлейную аппроксимацию, при широком спектре процессов на их входах

Использование метода ортогональных проекций позволяет получйтъ унифицированный подход к решению зада™ синтеза нелинейных непрерывных САУ высокого порядка различной структуры и при сигналах на входе общею вида

В первом подразделе рассматривается общая схема решения задачи параметрического синтеза непрерывных нелинейных САУ произвольно

высокою порядка по заданным показателям качества переходного процесса методом орто1 оналъпых проекций

Задача сишеи решается в следующей постановке Предаю пиастся, что известна структура системы и часть ее параметров, а остальные параметры 0^=1.2, ш), относящиеся к одному или нескольким звеньям системы подлежат определению из условия приближенного обеспечения чадашгых пoкaзaтeJIeй качества переходного процесса (быстродейс геия - Тп°. перерегулирования - Г)п,° и колебаге 1ьности - ц°) При этом безусловно должна обеспечиваться устойчивость и грубость системы по варьируемым параметрам

Уравнение /ршамики САУ. содержащей один нелинейный элемент, характеристика которою допускает кусочно-лшейн\то аппроксимацию, при = Н1(Ч) имеет вид

д(стк р)х+Н(ак,р)у =8(ак.рЬ0)- у = Р(х,рх). П)

П 11 V

где д(ак,р) = ]Га/ак)р\ Я(стк р) = £Ь/ак)р->, !5(ак,р) = £еу(стк)ру

1 О _)~0 у-0

Выбирается система из т непрерывно дифференцируемых, линейно-независимых координатных функций в виде ряда вещественных экспонент е (я = йп)

В соошстсгвии с требуемыми показателями качества задается желаемый переходный процесс х°(1:) В работе рассмотрен вопрос связанный с выбором системы координатных функций и с построением же!аемою программного движения Целесообразно аппроксимировать переходный процесс нелинейной САУ в виде решения дифференциального уравнения высокого порядка а

х°(1) =

Ь=1

1(1) = х (1)1(1) (2)

Желаемый процесс (2) подставляется в уравнение движения системы (1) и образуется невязка

уГс*к 1) = (Хггк Л)х0({) + К(ак,О)р[х°а),в(х0(1)|-8(ак,О)Н1(1), (3)

I де В - оператор обобщенного дифференцирования

Нешнейная функция \(1)=Г[х(1}| представляйся в виде обобщенной функции

1=1

¡де 1, - момент переключения нелинейностей, Р,(Д) и - аналитические выражения нелинейной функции до и после моментов переключения, т)- число переключений нелинейной функции, зависящее от характеристики нелинейного злемеша Р(х) и переходного процесса х(1).

В рабо!е показано, чш любой кусочно-линейный элемент па интервалах между моментами переключения I, може! бьпъ описан уравнением прямой, не проходящей через начало координат в виде

^хОЙ-алМ+Ь,. 1 !>2, л И, (5)

где а, - коэффициенты, зависящие а вида и параметров нелинейности С учетом выражения (5) обобщенная функция (4) будет иметь вид

1=1

] ели предположить, чю система с ситезированными параметрами заведомо абсолютно \стойчива, то параметры <Т], определяются ш условия ортогональности невязки (3) координатным функциям

|ч/(сткд)е Рч'Л=0, к.Ч = Гш (7)

о

что приво,щт к следующей сисшме алгебраических уравнений

2ЖК,, +ЕьД(тк)\<1)-ХеУЮс:ч, =0. (8)

1=0 )-0 у=0

где

Вси=|°4[х0#Рч^ = ВчрГ1. (9)

о

о

Интараш (9) вычисляются в соответствии с правилами действий над обобщенными функциями

Гак как задача синтеза решается при ограничениях на искомые параметры ак и устойчивость системы, а так же учитывая, что искомые параметры метут входить в уравнение (3) не линейно, го строгая ортогональность невязки координатным функциям выполняться не будет Поэтому задача синтеза параметров САУ методом орто!опальных проекций в вычислительном плане сво,рггся к задаче нелинейно! о про! раммирования с целевой функцией

оптимум которой определяется при ограничениях отмеченных выше, путем использования метода случайного поиска минимума целевой функции

Для обеспечения требований абсолютной устойчивости нелинейных САУ используется частотный кри>ерий устойчивости В М Попова в алгебраической форме

В рабо!е получены аналитические выражения (рекуррентные соотношения) ,ия вычистения интегралов А^, В^ (9), справедшвые для любых нелинейных функций как однозначных так и неоднозначных, допускающих кусочно-линейную аппроксимацию, при широком спектре процессов на их входах Тго позволяет значительно упростить процесс вычислений при решении задачи параметрического синтеза и свести все вычисления к выполнению тишь простых ма1емашческих операций, единообразных для нелинейных динамических систем высоких порядков различных классов

В данном подрадете рассматриваемся особенности применения метода ортогональных проекций для синтеза непрерывных систем с г нелинейными пометами Особенность применения метода орюгональных проекций в данном случае заключается в необходимости минимизации т невязок из условия обеспечения задаштых показателей качества системы

Во втором подразделе на основе общей схемы решения, разрабатывается алюритм параметрического синтеза непрерывных нелинейных САУ, содержащих звенья чистого запаздывания по заданным показателям качества переходною режима на основе метода ортогональных ¡троекций Динамика такой системы описывается уравнением

(Ю)

о, ,р)х(0+ ¿р„(стк,р>с(1 -ти)+ я„(стк+ ¿К,(стк- ТТ) =

(П)

X

= ,рь(0+,ры1 - ьх

где \(1) = Г|\(0]. у(1-хУ) = Р{хС1-ту)] - нелинейные функции, р,х- число полиномов (¿^.К./ , учитывающих влияние запаздывание на координаты системы, - константы, учитывающие влияние чистою шгаздывания

звеньев системы на ее коор,щнаш

Желаемый переходный процесс х°(Ч-х) будет иметь вид

х'^-хЬ^е -С^е—- -х>1(1 -т) (12)

!, 1

Выражение для выходной функции у(Ч) ~ Р |х°(1-тД] в виде обобщенной функции будет иметь вид

р[хп(1-1у)]=(а1х*({-т/)+Ь))(1-х?)+

+ ¿1, (а,х*(1-х,)+Ь,))(1-т ) ( )

Варьируемые параметры оу. удовлетворяющие выше описанным ограничениям и обеспечивающие наибольшее приближение к условию ортогональности невязки координатным функциям определяются из \словия минимизации целевой функции

т Гп0 ^ Пц и0

£ £ ао,(оккч,+£ Еаи(°кК. +£

Я 1 .=(> с ] 1-<> |_о

П4)

М "у Ч I А Г

+£££еоуК)сЧч £е/\(ок)счу

у 1 I (I V-!) /.=1 V- о I

В работе показано что при синтезе непрерывных нелинейных САУ с запаз,гыванием нет необходимости получать рекуррентные соотношетшя для вычис гения ишегралов А^Д и В^1 Дгя их вычисления достаточно \множить соответствующие выражения для интегралов А(|„ Сф и Вч], подученные выше при решении задачи синтеза нелинейных САУ без запаздывания, на множитель е Р<1Т

Гак как предлатаемый метод параметрического синтеза является приближенным ю необходимо иметг, оценку погрепшосги востфоизведсния

заданною (программною) движения В работе оценка погрешности оценивается по среднеквадратическому значению ошибки воспроизведения в синтезируемой системе желаемого процесса При синтезе САУ степень приб.шжения к ючному решению может быть оценена в конце расчета или регламентирована введением дополтоельного ограничения на ее значение при поиске оптимума целевых функций (10) Решаются примеры, иллюстрирующие эффективность и точность разработанных ara оригмов

В разделе 3 на основе общей схемы решения, разрабатывается алюритм параметрического синтеза амплитудно-импульсных нелинейных САУ на основе метода ортогональных проекций Динамика такой системы описывается уравнением

0К p)x(t)+Q*K,P><+it)+R(0k,p)y(t)+R*iak,p)y*(t) = S(ak,p)g(t)+S(ak,p)g*(t)

(15)

I де vit) = F[\il)] v (t) = F[x*(t)| - не шнейные функции,

n U V

1=0 j=0 v--0

полиномы оператора дифферешдировапия р с вещественными постошшыми коэффициентами с зеленей n*,u*, v* соответственно, х (t) - исследуемая координата выходе импульсного элемента g*(t) - внешнее входное воздействие на выходе импульсного элемента соответственно

Для решения задачи синтеза методом oproi опальных проекций в соответствии с заданными показателями качества, как было показано в разделе 2, задается желаемый переходный процесс на выходе импульсного элемента x°*(t)

Л0= I Zfce Jpsb? +Cs2e ^»^t-nT)] (16)

n=iO s-t

0*

Функция F[x (t)] примет вид ь[х°'(ф£ a,|;(cslc JP>T+Cs2e КчР.штЦ g(t_nT)+

n=o [ i-i

+ X t ^S>+Cs2e-(«s^P)')+(b1(1-bl)}s(t-nT)

1-1 n-*,, l S=1 J

Параметры систем!,i обеспечивающие приб жженное выполнение условий описанных выше и удовлетворяющие ограничениям, определяются таем минимизации целевой футпащи с помощью нелинейною программирования

т ['' ] ш [ п п

' = Х Кк Ф Р<Ц = £ 1а,(акК,+Ха;КК, ь

ч=11 о I ч=1 Ь-с 1 о

, (1«) ) -

и и V \ I

З-П J=0 v=0 у=0 )

где

а; ^ }п'{х"*(,)ИЛ- с; в; = (19)

о О о

Получены рекурреншые соотношения для вычистения интегралов А ч, и В С[|. позволяющие значительно упростить процесс вычислений при решении задачи сишеш и ситпезировать нетинейные импульсные системы высоких порядков различных классов с любыми нелинейное 1ями характеристики ко 1 орых допускают к\ сочно-линейную аппроксимацию, и с сигналами общего вида на их входах Д !я проверки усюйчивости в работе использовался критерий устойчивости для импульсных САУ в алгебраической форме, полученный Я 3 Цыпкиныч

В работе рассматриваются особенности применения метода ортоюнальных проекций для сишеш импульсных систем, содержащих экс¡раполятор нулевого порядка Получены выражения для вычисления соо1ветствутощих шпелралов А Ч„В щ

Метод ортоюнальных проекций распространяется на решение зада™ синтеза непрерывных САУ с несколькими нетинейными э юментами Решаются примеры итлюстрирующие эффективность и ючность разработанных а.и оритмов

В разделе 4 рассматривается применение характеристик мнимых часю! для репгения задачи параметрическою синтеза нелинейных непрерывных и импульсных систем

Для решения задачи синтеза параметров непрерывных нелинейных САУ с применением характеристик мнимых частот используются условные переда!очные функции нелинейных звеньев предложенные Душиным СЕ Условная передаточная функция нелинейного звена являющаяся отношением

изображений выходною и входного сигналов справедлива только для конкретного вида входного сигнала нелинейно! о э гемента

Изображения входного и выходного сигналов нелинейного звена в области характеристик мнимых частот будет иметь вид

Х(6) = ХЦ Ь=]х(ф-*А, У^УЦ^^МФ 6,<Н, (20)

о 0

или с учетом выражений (2) и (б)

Х(б)= | £ (С„е + С„2е (21)

0 s-l •л

l(t)+

¿ (ан.-а.Е^е^-АЧ^ -b,) l(t-t,)

(22)

e~5tdt

Для вычисления выражений (21), (22) могут быть использованы выражения, полученные в разделе 2 при определении интегралов Галеркина (9), в которых 5 обозначено как рч Тогда условная передаточная функция нелинейною звена в области характеристик мнимых частот будет иметь вид

X(S) Aqfj

(23)

Передаточная функция разомкнутой системы toi да может быть записана в

виде

W(ô,ak)= W_fi(8.0|()Wyii(5),

(24)

1 де ЭД^б.ст^) = передаIочная функция линейной часш системы в

области характеристик мнимых частот

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид

\У(8,ок)___Я(5,стк)Вч0__г(5,ак)

Ф(5,ак) =

(25)

1 + W(ß,ak ) Q(S,ok)Aq0 + R(S,ak)Bq0 G(ö) где G(8) - изображение внешнею воздействия g(t) при р=5, если g(t) = H1(t), то

ü(S) = — , Z(ô,ctk) - изображение сигнала на выходе системы S

Для синтеза параметров такой системы, из условия приближенного обеспечения заданных пока за тетей качества переходного процесса, задается же темый процесс на выходе системы в виде (2) и ei о изображением 7°(б)

Coi lacuo постановке задачи, варьируемые параметры cr¡, определяются из условия приближения характерисiики 7/8 ак) к характеристике 7°(б) [аким образом чтобт>! разность между соопзетствуюпшми оригиналами /(t,aO -¿(óGi) и - Z°(8) быта в опредетепном смысле наименьшей Реализация этого устовия осущесттзг1яе1ся путем минимизации целевой функции

Варьируемые параметры будут определяться из устовия минимизации це ювой функции

J= ¿Y(ó|z(ó.ük)-z0(6)f , (26)

í>-«O

где у(8) - весовой множитель, которым выделяется наиболее существенная часть характеристик, пределы б0 и 8Г определяют область значений api \мен1а ó, сутцественную для вычис гения функционала J С учетом выражения (25) функционал (26) примет вид

, 50 1 r(8>ak)bq0 WJ

(27)

Таким образом, в вычистите гытом плане решение задачи параметрического синтеза с испо 1Ьзовапием характеристик мнимых частот своди 1ся к решению задачи нелинейного программирования с целевой функцией (27) и ограничениями па гр\бос!ь системы и техническую реализуемость синтезируемых параметров а иткже устойчивость синтезируемой систеугы

В данном раздете предлагаема алгоритм параметрическою синтеза импульсных нетинейпых САУ с использованием функции действительной переменной Здесь для описания нелинейного -элемента испотьзуется ,искре тная условная пере,(а 1 очная функция, нредставляюгцая собой отношение дискретных преобра зотзаний входною и выходного сигналов в области характеристик мнимых час ют

= ^ = (28) Х'(8) Ач0*

г те Ачг В - выражений для интегралов 1 алеркина вычисленные при стггезе импу тьсной системы методом ортогональных проекций

Линейная часть системы будут описываться дискретной передаточной функцией, которая в области характеристик мнимых частот примет вид

шлиак)=о^л(§,<хк)}=-$^ (29)

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы будет описываться выражением

Ш^^Лб.о^унЧз), (30)

Дискретная передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид

Ф*(б ) - _ __ г*(8,ак) (3,

'' к; 1 + ОФ(8,ак)АчП* + Я*(8,а|£)вч0* 0*(б) '

1 де О (8) -дискретное изображение решетчатой функции внешнею во'.действия

Ь 8 б -

изображение сигнала на выходе системы

Таким образом, варьируемые параме1ры сгк будут определяться при ограничениях на значения варьируемых зтараметров, грубость и устойчивость езшз'езированнозз системьз из условия минимизации целевой функции

¿к(5'стк)-2°*(5)]2, или (32)

8=80

->2

о(1> при р-5, если = Н1(0, то 0*(5)1 . 7 (8,стк>- дискретное

17 8 6—1

Ь 8„

(33)

Получены условшле ззередаточпые фузпездзи ззелинейного звезза в области характеристик мнимых частот, которые справедливзл для любых нелинейных элементов, допускающих кусочно-ззиззейную азпзроксимацию и входзззлх сшналов общего вида для непрерывных и дискретных сисзе.м Решены примеры, демоне фируюзцие эффекгивноезь и точное и> разработашп>гх алгоритмов Алгоритмы сишеза нелшзейззых ззепрерывньгх и имтгулз>сзгых систем с примеззением харакгериешк мнимых частот и условных передаточных фуззкций нелзшейных элементов позволяет более полно учитывал, пелинезшые своззства системы по сравззеззию с подходом, использутозцим характеристики мззимз.зх частот и 1Ш1еари затдаю ззелинейностей

В заключении перечислены основнтле рез\тыатз,г, полненные 3! диссертазшозпгой работе

В приложениях приведены выводы рекуррентных соотношений для вычисления интегралов Галеркина В^. АЧД Н^1, A*q„ B'q, А" ч„ В Представ юны блок-схемы апоритмов гтарамегрическо1 о синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты работы можно сформулирован» следующим образом

1 Разработан алгоритм парамегрическо1 о синтеза непрерывных нелинейных САУ высокого порядка с произвольным видом нелинейных элементов, хараетерисгики которых дотекают кусочно-линейную аппроксимацию при широком спектре входных сигналов по заданным показателям качества переходного режима, при безусловном обеспечении устойчивости и грубосги системы по варьируемым параметрам

2 Разработанный алгоритм синтеза распространен на непрерывные системы высокого норяда, с произвольным видом кусочно-линейных элементов и ра пичныуш входными сигнатами, содержащие звенья чистого запаздывания

3 Метод орiогоналыгых проекций, метод параметрического сишеза но заданным показателям качества переходного режиута развит на иутнульсиые нелинейные система высокого порядка с произвольным видом нелинейных элементов, допускающих кусочно-линейную аппроксимацию и входными сигналами общего вида

4 Получены в общем виде аналитические выражения для вычисления шпегратов Aq, Вф Ач\ Вчт, A q, В q А ч, В q Полученные соотношения справедливы для систем n-т о порядка с любыми нелинейными функциями допускающими кусочно-линейную аппроксимацию (как однозначными, так и неопознанными) при процессах на их входах, описываемых дифференциатьными уравнениями высокою порядка Использование Э1их рекуррентных выражений позволяет свести все вычисления в ходе решения, задач но пунктам 1-3 к выполнению простых алтебраических операций единообрашых для нелинейных САУ различной сложности и структуры с любыми нелинейностями

5 Разработан алгоритм синтеза непрерывных нелинейных САУ с использованием условных передаточных фунюдаи, основанный на применении характеристик мнимых частот

6 Предложен и разработан алгоритм синтеза импульсных не,шнейных САУ без тинеари ¡агии нелинейною элемента, основанный на применении характеристик мнимых час ют

7 Предложенные ал] оритмы в пунктах 5 и 6 предоолагают использование условных передаточных функций 13 работе получены в общем виде непрерывные и дискретные условтгые передатощше функции нелинейных звеньев, которые справедливы для входных сигналов общего вида и любых нелинейных элементов допускающих кусочно-линейную аппроксимацию Гакой подход позволяет наиболее полно учитывать нелинейные свойства синтезируемых непрерывных и импульсных систем

8 'Эффективное гь методов динамического расчет непрерывных и импульсных САУ разработанных в диссертационной работе и достоверность теоретических ретьтатов подтверждается решением контрольных примеров с проверкой полученных результатов цифровым моделированием Использование рафабоганных методов, алгоритмов и программ при проектировании непрерывных и импульсных систем, в том числе со звеньями запаздывания, позволяет сократить время, затрачиваемое, на их динамический расчет и повысить качество разрабатываемых систем

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО TEMI' ДИССРРТАЦИИ

1 Осипов Л А , Полякова 1 Г Численный метод синтеза нелинейных систем \правления // Ишеллсктуальные системы / Труда Второго между нар симподаума Под ред К А Пулкова СС -Петербург, 1-4 июля 1996 г ) В двух томах Т 1 - М Изд-во РУДН-ПАИМС, 1996 -е 181-182

2 Осипов J1А, Полякова Т Г Численный метод синтеза непрерывных нелинейных САУ / ГААП СПб 1997 Ден В ВИНИТИ 15 07 97, №2408-В97 -23с

3 Осипов Л А, Полякова ТГ Численный метод синтеза непрерывных нелинейных САУ с запаздыванием / ГААП СПб 1997 Деп В ВИНИТИ 15 07 97. №2409-В97 - 25 с

4 Осипов Л А, Полякова ТГ Синтез импульсных систем управления по динамическим показате 1ям качества / ГААП СПб 1997 Деп В ВИНИТИ 27 11 97, № 3462-В97 - 24 с

^ Полякова Г Г Осипов Л Л Синтез нелинейных систем управления в обчасш характеристик мнимых частот /1 ЛАП СПБ 1998 Деп п ВИНИТИ 30 03 98. №890 - В98 - 10с

6 По (Якова ТГ Чистенные методы синтеза нечипеиных систем автоматическою утравтепия // 1ез докл сессия аспиранюв и соискателей ГААП СПб. 1998

7 Осипов ЛА, Полякова 1Г Сишез нелинейных импульсных систем управтеття в обпасщ характеристик мнимых час тот/ГУ АП СПб 1999 Деп В ВИ1ГИТП 30 03 99. № 891-В99 -12 с

8 Осипов Л А Полякова! Г Сишез нелинейных систем управления прямым вариаииотптым меюдом // Аэрокосмические приборные технологии / Напионачытый симпоз с междуиар участием (Москва - Санкт-Петербург, 28-31 мая 1999 г) 1999 с 27-28

9 По 1якова Т1 Синтез нелилейных систем управления с использованием преобразования функнии действительной переменной // 1ез докл сессия аспирантов и соискате тей ГУ АН СПб, 1999

10 Осипов Л А По ¡якова Т I Синтез нелинейных систем управления меюдом ортогональны4 проекций Информационно-управляющие системы. 2002-№1 -с 8-10

11 Осипов Л А Полякова ТГ Синтез нелинейных импульсных систем у прав тения с АИМ меюдом ортогональных проекций Информационно-управляющие системы для подвижных объектов Семинары А8К1 аЬ 2001/ Подред НЪ Сергеева - СПб Политехника. 2002, с 172-179

12 Полякова 1 Г Синтез нелинейных систем автоматическою управления численными методами Тезисы 4-я шкота-семинар БЖАМП'ОЗ (СГ16 23-27 июня 2003) 2003 с 115-119

Формат 60x84 1/16 Бу мат а офсетная Печать офсетная Тираж 100 зкз Заказ Х» 5

От дет оперативной полит рафия СПбГУАП

190000. Санкт-Петербург, ул Ь Морская. 67

Vi « Л /„ 1

.5*1

PH Б Русский фонд

2006-4 7389

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ САУ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ. II

1.1. Методы синтеза нелинейных САУ.

1.2. Постановка задачи исследования.

1.3. Основные результаты раздела.

2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ.

2.1. Синтез непрерывных САУ.

2.1.1. Постановка задачи синтеза и общая схема ее решения.

2.1.2. Построение желаемого процесса и выбор координатных функций.

2.1.3. Кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейных элементов.

2.1.4. Синтез параметров непрерывных кусочно-линейных САУ.

2.1.5. Синтез САУ с несколькими нелинейными элементами при нескольких внешних воздействиях.

2.2. Синтез непрерывных САУ с запаздыванием.

2.2.1. Общая схема решения задачи синтеза.

2.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейных элементов.

2.2.3. Синтез параметров непрерывных кусочно-линейных САУ с запаздыванием.

2.2.4. Синтез САУ с запаздыванием с несколькими нелинейными элементами.

2.3. Оценка погрешности воспроизведения в системе заданного движения.

2.4. Примеры синтеза нелинейных непрерывных САУ методом ортогональных проекций.

2.5 Основные результаты раздела.

3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ИМПУЛЬСНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ МЕТОДОМ ОРТОГО! 1АЛЫ1ЫХ ПРОЕКЦИЙ.

3.1. Постановка задачи синтеза и общая схема ее решения.

3.2. Кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейных элементов.

3.3. Синтез параметров импульсных САУ с одним нелинейным элементом

3.4. Синтез параметров импульсных САУ с экстраполятором нулевого порядка.

3.5. Синтез параметров импульсных САУ с несколькими нелинейными элементами.

3.6. Примеры синтеза нелинейных импульсных САУ.

3.7. Основные результаты раздела.

4. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ХАРАКТЕРИСТИК МНИМЫХ ЧАСТОТ.

4.1. Синтез нелинейных непрерывных САУ.

4.1.1. Постановка задачи и общая схема ее решения.

4.1.2. Получение условных передаточных функций.

4.1.3. Синтез параметров непрерывных САУ с использованием функции действительной переменной.

4.2. Синтез нелинейных импульсных САУ.

4.2.1. Постановка задачи и общая схема ее решения.

4.2.2. Получение условных передаточных функций.

4.2.3. Синтез параметров импульсных САУ с использованием функции действительной переменной.

4.3. Примеры синтеза нелинейных САУ с использованием характеристик мнимых частот.

4.4. Основные результаты раздела.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

Актуальность работы. В настоящее время в различных отраслях науки и техники широко применяются нелинейные непрерывные и импульсные системы автоматического управления (САУ), динамика которых описывается нелинейными уравнениями высокого порядка.

В теории нелинейных САУ достигнуты значительные результаты. Здесь в первую очередь следует отметить методы фазового пространства, гармонического баланса, критерии устойчивости и многие другие методы, изложенные в трудах

A.M. Ляпунова, A.A. Андронова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, Е.П. Попова,

B.А. Бесекерского, Я.З. Цыпкина, В.А. Якубовича, H.H. Красовского, Е.И. Джури, Ю.Т. Ту и других ученых.

Существующие точные методы синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ зачастую достаточно сложны и, имеют ряд особенностей и недостатков, ограничивающих их применение для исследования широкого класса САУ (непрерывных и импульсных, а также систем с запаздыванием) высокого порядка с несколькими нелинейностями по единым методикам.

Развитие науки и техники требует создания все более сложных систем, при этом широко используются системы автоматизированного проектирования для анализа и синтеза непрерывных и импульсных систем автоматического управления. При наличии универсальных алгоритмов и уменьшаются сроки решения задач, поставленных перед проектировщиком и повышается качество проектирования. В связи с этим одной из важнейших проблем является разработка эффективных и универсальных методов синтеза нелинейных САУ высоких порядков и создания на их основе алгоритмического и программного обеспечения.

В настоящее время для синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ широко используются численные методы. Высокоэффективными оказались методы синтеза нелинейных непрерывных и импульсных систем предложенные

И.А. Орурком и JI.A. Осиповым - метод ортогональных проекций. Хорошо зарекомендовал себя, при синтезе линейных непрерывных систем численный метод, основанный на использовании характеристик мнимых частот, предложенный И.А. Орурком, и развитый в работах A.C. Коновалова для нелинейных систем. Однако этот метод, для синтеза нелинейных систем требует линеаризации нелинейностей, а метод ортогональных проекций разработан только для систем с конкретными типами нелинейных элементов и довольно простых процессах на их входах.

Цель диссертационной работы заключается в разработке универсальных численных методов, имеющих общую методологическую основу, синтеза нелинейных САУ высоких порядков: непрерывных, импульсных, а также систем с запаздыванием.

Для достижения поставленной цели в диссертации решались следующие основные задачи:

- разработка алгоритма, основанного на методе ортогональных проекций для параметрического синтеза непрерывных систем, содержащих нелинейные элементы различного вида; распространение метода ортогональных проекций для синтеза непрерывных систем с различными видами нелинейных элементов, содержащих звенья чистого запаздывания; разработка алгоритма синтеза импульсных систем управления, содержащих различные типы нелинейных элементов, основанного на методе ортогональных проекций;

- разработка алгоритма синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ с использованием характеристик мнимых частот.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы теория систем автоматического управления, прямые методы решения вариационных задач, теория обобщенных функций, высшая алгебра и методы нелинейного программирования. Теоретические результаты, полученные в работе, подтверждаются иллюстративными примерами.

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработан алгоритм, основанный на методе ортогональных проекций для параметрического синтеза непрерывных нелинейных САУ по заданным показателям качества.

2. Развит метод синтеза параметров (метод ортогональных проекций) непрерывных нелинейных САУ, содержащих звенья чистого запаздывания, по заданным показателям качества.

3. Разработан алгоритм параметрического синтеза нелинейных импульсных САУ по заданным показателям качества, основанный на методе ортогональных проекций.

4. Разработаны алгоритмы, использующие характеристики мнимых частот для синтеза параметров непрерывных и импульсных нелинейных систем но заданным показателям качества.

Степень новизны научных результатов.

1. Предложенный алгоритм, основанный на методе ортогональных проекций, для синтеза непрерывных САУ по заданным показателям качества, отличается от известных тем, что он позволяет синтезировать непрерывные системы с любыми нелинейностями, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию, при различных процессах на их входах.

2. Развитие метода ортогональных проекций для синтеза нелинейных систем с запаздыванием состоит в возможности синтезировать параметры непрерывных систем с запаздыванием с любыми нелинейными элементами, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию, при широком спектре процессов на их входах.

3. Разработанный алгоритм синтеза импульсных систем методом ортогональных проекций дает возможность синтезировать параметры импульсных систем с нелинейностями произвольного вида, допускающими кусочно-линейную аппроксимацию, с различными сигналами на их входах.

Новизна научных результатов (ii.ii 1-3) обусловлена тем, что в отличие от известных ранее подходов здесь нет необходимости вычислять интегралы Галеркина в замкнутом виде для каждого типа нелинейности. В данном случае интегралы Галеркина вычисляются один раз и из общего аналитического выражения могут быть получены выражения для конкретных нелинейностей (как однозначных, так и неоднозначных), причем для различных процессов на их входах,

4. Предложенный алгоритм параметрического синтеза нелинейных непрерывных систем с применением характеристик мнимых частот и условных передаточных функций нелинейных элементов позволяет более полно учитывать нелинейные свойства системы, по сравнению с подходом, использующим характеристики мнимых частот и линеаризацию нелинейностей.

Впервые предложен численный метод параметрического синтеза нелинейных импульсных систем, основанный на использовании характеристик мнимых частот в сочетании с условными передаточными функциями нелинейных звеньев.

Степень обоснованности и достоверности научных результатов.

Достоверность научных положений, полученных результатов и выводов подтверждается следующим:

- корректным использованием положений теории автоматического управления, прямых методов решения вариационных задач, теории обобщенных функций, высшей алгебры, рядов Фурье, методов математического программирования; вычислительными экспериментами для оценки выигрышей от использования разработанных методов и алгоритмов;

- успешным внедрением в ряде проектов.

Практическая ценность. Предложенные в работе численные методы параметрического синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ, а также систем с запаздыванием, являются теоретической основой разработанных алгоритмов и программ синтеза САУ. Разработанные стандартные программы позволяют сократить время и повысить уровень проектирования. Они могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании алгоритмического обеспечения для автоматического проектирования сложных нелинейных САУ. Полученные результаты, разработанные алгоритмы и программы используются в учебном процессе на кафедре "Управления и информатики в технических системах" Санкт-Петербургского Государственного университета аэрокосмического приборостроения (СПбГУАП).

Результаты диссертационной работы внедрены в Холдинговую компанию "Ленинец" г. Санкт-Петербург при разработке систем управления РЛС и приборных следящих систем.

Положения диссертационной работы, выносимые на защиту:

1. Алгоритм, основанный на методе ортогональных проекций для параметрического синтеза непрерывных САУ с произвольным видом нелинейных элементов, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию, по заданным показателям качества.

2. Развитие метода параметрического синтеза непрерывных САУ (метода ортогональных проекций) с различными видами нелинейных элементов, содержащих звенья чистого запаздывания, по заданным показателям качества.

3. Разработка алгоритма параметрического синтеза импульсных САУ с произвольным видом нелинейных элементов, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию, по заданным показателям качества, основанного на методе ортогональных проекций.

4. Алгоритмы, использующие характеристики мнимых частот для а < параметрического синтеза непрерывных и импульсных систем с различными нелинейностями но заданным показателям качества.

Апробация работы. Отдельные этапы работы докладывались и обсуждались на П Международном симпозиуме "Интеллектуальные системы" (С-Петербург, 1-4 июля 1996 г.) Были сделаны доклады на научной сессии аспирантов посвященной Всемирному Дню авиации и космонавтики (С-Петербург 1998,1999г.), а так же на 4-й школе-семинаре БИКАМП'ОЗ (С-Петербург 2003).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 12 научных работах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

По диссертационной работе можно сделать следующие выводы:

1. Разработан алгоритм параметрического синтеза непрерывных нелинейных САУ высокого порядка с произвольным видом нелинейных элементов, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию при широком спектре входных сигналов по заданным показателям качества переходного режима, при безусловном обеспечении устойчивости и грубости системы по варьируемым параметрам. В основу предлагаемого метода положено обращение прямого вариационного метода анализа - метода ортогональных проекций (обобщенного метода Галеркина) - на решение задачи синтеза. В вычислительном плане задача синтеза сводится к решению обратной задачи динамики методом нелинейного программирования.

2. Разработанный алгоритм синтеза распространен на непрерывные системы высокого порядка, с произвольным видом кусочно-линейных элементов и различными входными сигналами, содержащие звенья чистого запаздывания. Параметры регулятора, приближенно обеспечивающие заданные показатели качества переходного режима работы САУ определяются нелинейным программированием.

3. Метод ортогональных проекций, метод параметрического синтеза по заданным показателям качества переходного режима развит на импульсные нелинейные системы высокого порядка с произвольным видом нелинейных элементов, допускающих кусочно-линейную аппроксимацию и входными сигналами общего вида. Синтезируемые параметры определяются, исходя из условия приближенного обеспечения требуемых показателей качества переходного режима, при безусловном обеспечении устойчивости и грубости САУ.

4. Получены в общем виде аналитические выражения для вычисления интегралов целевых функций ii.ii. 1,2,3. Полученные соотношения справедливы для систем n-го порядка с любыми нелинейными функциями, допускающими кусочно-линейную аппроксимацию (как однозначными, так и неоднозначными), при процессах на их входах, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка. Использование этих рекуррентных выражений позволяет свести все вычисления в ходе решения задач по пунктам 1-3 к выполнению простых алгебраических операций единообразных для нелинейных САУ различной сложности и структуры с любыми иелинейностями.

Полная апгебраизация решения задач синтеза непрерывных и импульсных систем обеспечивает сокращение затрат времени по сравнению с решением аналогичных задач методом нелинейного программирования с использованием результатов прямого интегрирования системы дифференциальных уравнений.

5. Разработан алгоритм синтеза непрерывных нелинейных САУ без линеаризации нелинейного элемента, основанный на применении характеристик мнимых частот.

6. Предложен и разработан алгоритм синтеза импульсных нелинейных САУ без линеаризации нелинейного элемента, основанный на применении характеристик мнимых частот.

7. Получены в общем виде непрерывные и дискретные условные передаточные функции нелинейных звеньев, которые справедливы для входных сигналов общего вида и любых нелинейных элементов, допускающих кусочно-линейную аппроксимацию. Такой подход позволяет наиболее полно учитывать нелинейные свойства синтезируемых непрерывных и импульсных систем. Для получения непрерывных и дискретных условных передаточных функций использованы выражениями для вычисления интегралов Галеркина Aqo, Bqo, A*qo, B*q0, полученные при синтезе нелинейных непрерывных и импульсных САУ методом ортогональных проекций.

Разработанный метод может быть использован при синтезе нелинейной САУ для получения опорного решения (стартового вектора), так как метод ортогональных проекций является более точным, по сравнению с методом характеристик мнимых частот.

8. Эффективность методов динамического расчета непрерывных и импульсных САУ разработанных в диссертационной работе и достоверность теоретических результатов подтверждается решением контрольных примеров с проверкой полученных результатов цифровым моделированием. Использование разработанных методов, алгоритмов и программ при проектировании непрерывных и импульсных систем, в том числе со звеньями запаздывания, позволяет сократить время, затрачиваемое, на их динамический расчет и повысить качество разрабатываемых систем.

1. Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления / Под ред. С.М. Фёдорова. М.: Машиностроение, 1970. -416 с.

2. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Е.П. Попова и Ю.И. Топчеева. М/. Машиностроение, 1970. - 567с.

3. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы. -М.: Наука, 1972.-472с.

4. Нелинейная оптимизация систем автоматического управления / Под ред. В.М. Пономарёва. М.: Машиностроение, 1970. - 307 с.

5. Нелинейные корректирующие устройства в системах автоматического управления / Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1971.- 466 с.

6. Нелинейные нестационарные системы / Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1986. - 334 с.

7. Осипов Л.А. Синтез нелинейных систем автоматического управления обращением прямых вариационных меиодв. Дисс., д. т. н.: 05.13.01. -Защищена 18.06.95. Утв. 24.11.95/ СПб ГААП, 1995. 285 с.

8. Справочник но теории автоматического управления / Под ред. A.A. Красовского. М.: Наука, 1987. - 712 с.

9. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Б.Г. Доступова. М.: Машиностроение, 1970. - 407 с.

10. Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. P.A. Нелепина. М.: Машиностроение, 1971. - 323 с.

11. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. P.A. Нелегшна. М.: Наука, 1975. - 448 с.

12. Нелепин P.A. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. М.: Судостроение, 1967. - 447 с.

13. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и t управления : Учеб. пособие. 2-е изд., стер. - М.: Наука, 1988. - 256 с.

14. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.-915 с.

15. НеймаркЮ.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1972.-472 с.

16. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М.: Энергия, 1974. - 336с.

17. Кунцевич В.М. Анализ нелинейных и экстремальных импульсных систем на разностной фазовой плоскости // Автоматика и телемеханика. 1961.№5

18. Эйзелтайн Дж.А. Исследование нелинейных импульсных систем при помощи фазовой плоскости // Тр.1 Конгресса ИФАК. 1965. т.2 - с. 85-108.

19. Нелеиин P.A. Об исследовании нелинейных автоматических систем методом сечений пространства параметров // Изв. АНСССР. Техническая кибернетика. 1964. №6.

20. Нелепин P.A. Об исследовании нелинейных автоматических систем высокого порядка точными аналитическими методами // Докл. АНСССР. 1965. Т. 161. №4.

21. Геращенко Е.И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975. - 296 с.

22. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. -М.: Наука, 1976. 575с.

23. Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. -М.: Наука, 1987. 319с.

24. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 с.

25. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1969. - 384 с.

26. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1971. - 396 с.

27. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Ил, 1960. -400 с.

28. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 458 с.

29. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. - 119 с.

30. Божко А.Е. Синтез оптимального управления колебательными системами. -Киев : Наук, думка, 1990. 162 с.

31. ЗГЯфраков М.Ф. Применение метода отображения движений в задачах синтеза управления нелинейными системами / Под ред. JI. А. Майбороды. М.: М-во обороны СССР, 1986. - 156 с.

32. Крылов Н.М, Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев. АНУССР, 1937.-364с.

33. Боголюбов Н.Н. Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. « М.: Физматгиз, 1958. 408с.

34. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. M.-JI.: Гостехиздат, 1952. 272с.

35. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. - 892с.

36. Гольдфарб JT.C. Метод исследования нелинейных систем, основанный на принципе гармонического баланса // Основы автоматического регулирования. Теория. М.: Машгиз, 1954. с.887-923.

37. Попов Е.П. Динамика систем автоматического регулирования. -М.: Гостехиздат, 1954. 199с.

38. Попов Е.П., Папьтов И.П. Приближённые методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960. - 729 с.

39. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. -М.: Наука, 1988.-256 с.

40. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -М.: Наука, 1972.-768 с.

41. Kuo В.С. The z-transform describing function for non-linear sampled data control systems. Proc. ofthe I.R.E. 1960. p.941.

42. Попов Е.П. Одно обобщение асимптотического метода H.H. Боголюбова в теории нелинейных колебаний // Докл. АНСССР. 1954. т. 3. №2.

43. Попов Е.П. Уточнение первого приближения при исследовании автоколебаний нелинейных колебаний // Докл. АНСССР. 1954. т. 98. №3. с.345-348.

44. Топчеев Ю.И. Обобщенный метод гармонической линеаризации // Современные методы проектирования систем автоматического управления. -М.: Машиностроение,1967. с.388-444.

45. Вавилов A.A. Частотные методы расчета нелинейных систем. JL: Энергия, 1970. - 323 с.

46. Вавилов A.A. Чувствительность периодического режима гармонически линеаризованного уравнения нелинейной системы к высшим гармоникам и малым параметрам // Изв. ЛЭТИ. 1967. Вып.65. с.8-12.

47. Хлыпало Е.И. Нелинейные системы автоматического регулирования. J1.: Энергия, 1967. -451 с.

48. Хлыпало Е.И. Повышение показателей качества процесса уравнения с помощью нелинейных корректирующих устройств // Нелинейные корректирующие устройства в системах автоматического управления. -М: Машиностроение, 1971. с.99-133.

49. Хлыпало Е.И. Метод гармонической линеаризации // Методы исследования нелинейных систем управления. -М.: Наука, 1975. с.228-258.

50. Хлыпало Е.И. Расчёт и проектирование нелинейных корректирующих устройств в автоматических системах. JI.: Энергоатомиздат, 1987. - 128 с.

51. Папьтов И.П. Качество процессов и синтез корректирующих устройств в нелинейных автоматических системах. М.: Паука, 1975. -367 с.

52. Земсков В.А. Об одном аналитическом подходе к исследованию автоматических систем с помощью логарифмических частотных характеристик//Автоматика и телемеханика. 1970.'№8. с. 166-168.

53. Макарьев Б.М. Использование логарифмических частотных характеристик при расчете систем с нелинейным уравнением // Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления. М.: Машиностроение. 1970. с. 240-258.

54. Зельченко В.Я., Шаров С.Н. Расчёт и проектирование автоматических систем с нелинейными динамическими звеньями. Л.: Машиностроение, 1986. - 174с.

55. Соколова Н.В., Шароватов В.Т. Синтез нелинейных корректирующих устройств. Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 111 с.

56. Симкин М.М. метод гармонического баланса в нелинейных импульсных системах // автоматика и телемеханика. 1961. №1.

57. Симкин М.М. Распространение метода Гольдфарба на нелинейные импульсные и цифровые системы //Метод Гольдфарба в теории регулирования. М.: Гостехиздат, 1962. - 224с.

58. Цыпкин Я.З. Элементы теории цифровых автоматических систем // Тр. I Конгресса ИФАК. 1961. т.2. с.63-85.

59. Цыпкин Я.З. Метод Гольдфарба и его применение для синтеза периодических режимов в нелинейных импульсных автоматических системах. // Метод Гольдфарба в теории регулирования. М.: Гостехиздат, 1962. - 224с.

60. Косякин А.А. Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. -М.: Наука, 1983. 336с.

61. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 575с.

62. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. - 575с.

63. Тэлер Д., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления. -М.-Л.: Энергия, 1964. -488с.

64. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. - 400с.

65. Станкевич В.И. Синтез параметров некоторых нелинейных динамических систем по заданным монотонным переходным процессам. // Изв. вузов. Электромеханика, 1968. №8. с. 882-886.

66. Станкевич В.И. К синтезу параметров нелинейных систем // Изв. АНСССР. Техническая кибернетика. 1969. №2. с. 204-206.

67. Коновалов A.C. Орурк И.А. Метод обобщенной линеаризации нелинейностей и его применение к синтезу нелинейных систем // Изв. вузов. Электромеханика, 1974. №5. с. 505-513.

68. Лихциндер М.Я., Гарбер Л.Г., Арсланов P.A. Синтез приборной следящей системы с учетом пяти нелинейностей по экспоненциально-частотным характеристикам на основе обобщенной линеаризации // Изв. вузов. Приборостроение, 1978. №4. с. 35-43.

69. Душин С.Е. Синтез структурно-сложных систем управления с полиномиальными нелинейностями. Дисс., д. техн. наук: 05.13.01. Защищена 5.10.98.

70. Аналитические самонастраивающиеся системы автоматического управления / Под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1965. -355с.

71. Автоматическое управление и вычислительная техника. Частотные методы / Под ред. В.В. Солодовникова, вып.8. М.: Машиностроение, 1968. -343с.

72. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. -335с.

73. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчёта и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986. -440с.

74. Солодовников В.В., Сливаковский А.М. Основы теории и методы спектральной обработки информации. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. 272с.

75. Вавилов A.A. Структурный и параметрический синтез сложных систем. Л.: Изд-во Л ЭТИ, 1979.-94 с.

76. Вавилов A.A., Имаев Д.Х. Машинные методы расчёта систем управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.-232 с.

77. Джури Е.И., Цыпкин Я.З. Теория дискретных автоматических систем (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1970. №6. с.57-81.

78. Ту Ю.Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. -704с.

79. Федоров С.М. Об учете квантования по уровню при синтезе цифровых автоматических систем // Изв. АНСССР. ОТН. Техническая кибернетика. 1963. №1.

80. Бесекерский В.А., Федоров С.М. Синтез следящих систем методом логарифмических характеристик // Изв. АНСССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1961. №¡3.

81. Федоров С.М. Литвинов А.П. Автоматические системы с цифровыми управляющими машинами. М. Л.: Энергия, 1965. -224с.

82. Федоров С.М. Альтшулер В.Н. Алгортмы синтеза систем автоматического управления частотными методами // Изв. АНСССР. ОТН. Техническая кибернетика. 1973. №6. с.167-177.

83. Бычков Ю.А. Численный расчёт нелинейных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1984. - 96 с.

84. Бычков Ю.А., Васильев Ю.В. Расчёт периодических режимов в нелинейных системах управления: Машинно-ориентированные методы. Л.: Энергоатомиздат, 1988. - 112 с.

85. Бычков Ю.А. Расчёт систем управления на основе кусочно- степенных моделей. Анализ, синтез, оптимизация. Л.: Энергоатомиздат, 1991, - 131 с.

86. Ту Ю.Т. современная теория управления. М.: Машиностроение, 1971.- 472с.

87. Стрейц В. Методы пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985. -294с.

88. Куо Б.С. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986.-447с.

89. Барковский В.В., Захаров В.Н., Шаталов А.С. Методы синтеза систем управления. М.: Машиностроение, 1969. -327с.

90. Понырко С.А., Попов О.С., Ястребов В.В. Адаптивные системы для исследования океана. СПб.: Судостроение, 1993. -224с.

91. Методы синтеза систем управления: матрично-структурные преобразования и алгоритмы управляющих ЦВМ / Под ред. A.C. Шаталова. М.: Машиностроение, 1981. - 277с.

92. Голубев К.Н. Григорьев В.В., Дроздов В.Н. Алгоритмы определения вынужденных движений в линейных многомерных системах // Автоматика и телемеханика. 1981. №10

93. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, A.B. Ушаков. Л.: Машиностроение, 1983. - 245с.

94. Орурк И.А. Характеристики мнимых частот и их приенение к синтезу линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1962. №7.

95. Орурк И.А. Новые методы синтеза линейных и некоторых нелинейных динамических систем. М.-Л.: Наука, 1965. 207с.

96. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления Г.А. Дидук, A.C. Коновалов, И.А. Орурк, Л.А. Осипов. М.: Наука, 1984. - 344 с.

97. Алгоритмы динамического синтеза нелинейных автоматических систем / Под ред. A.A. Воронова. СПб.: Энергоатомиздат. Санкт-Петербургское отд-ние, 1992. 334с.

98. Орурк И.А., Осипов Л.А. Синтез параметров нелинейных САУ методом ортогональных проекций // Автоматика и телемеханика. 1978. №8. с. 5-15.

99. Орурк И. А., Осипов Л. А., Петухов Л. Г. Параметрическая оптимизация нелинейных САУ методом ортогональных проекций // Автоматика и телемеханика. 1981. №11. - С. 38 - 48.

100. Осипов Л. А., Петухов Л. Г. Параметрический синтез нелинейных САУ методом Галеркина // Приборные автоматические системы: Межвуз. сб. науч. тр. Л.: ЛИАП, 1978. - С. 11 - 15.

101. Осипов Л. А., Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных САУ с запаздыванием методом ортогональных проекций // Ленингр. ин-т авиац. приборостр. Л., 1987 ,27 е., библиогр. 2 назв., деп. в ВИНИТИ 24.03.87., № 2105-В87.

102. Осипов Л. А., Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных дискретных САУ методом ортогональных проекций // Ленингр. ин-т авиац. приборостр. Л., 1988, 12 е., библиогр. 7 назв., деп. в ВИНИТИ 28.03.88., № 2384-В88.

103. Методика синтеза на ЭВМ линейных импульсных САУ с запаздыванием: Методические указания по курсовому и дипломному проектированию /Грибков В.Н., Орурк И.А., Осипов Л.А., Шишлаков В.Ф. Л.: ЛИАП, 1990. -21с.

104. Жуков А.Д. Параметрическая оптимизация нелинейных САУ при случайных воздействиях методом ортогональных проекций. Дисс., каид. техн. наук : 05.13.07. Защищена 28.06.85. Утв. 30.10.85. - Л., 1985. -150 е.: Ил. -Библиогр.: С. 132- 144.

105. Грибков В.Н. Синтез нелинейных систем автоматического управления методом ортогонального разложения невязки: Дис. канд техн. наук: Защищена 27.04.93/СПбГААП, 1993.

106. Шишлаков В.Ф. Синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции: Монография / СПбГУАП., 1999. 268с.

107. Шишлаков В. Ф. Синтез систем автоматического управления методом ортогональных проекций. Дисс., канд. техн. наук: 05.13.01. Защищена 12.12.88. Утв. 12.04.89.-Л., 1988.-235 е.: Ил. - Библиогр.: С. 184 - 202.

108. Никитин A.B. Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления со степенными нелинейными характеристиками. Дисс., канд. техн. наук: 05.13.01. Защищена 24.06.03./СПбГУАП 2003.

109. Сушков Ю.А. Об одном способе организации случайного поиска // Исследование операций и статическое моделирование: Межвуз. сб. научи, тр. /ЛГУ. Л., 1972, вып№1.

110. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966. 432с.

111. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970.510с.

112. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -Л.: Физматгиз, 1962. 708с.

113. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1953. 459с.

114. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближения функций, дифференциальные и интегральные уравнения. -М.: Наука, 1967. 368с.

115. Осипов Л.А., Полякова Т.Г. Численный метод синтеза непрерывных нелинейных САУ / ГААП. СПб. 1997. Деп. В ВИНИТИ 15.07.97, №2408-В97. -23 с.

116. Осипов Л.А., Полякова Т.Г. Численный метод синтеза непрерывных нелинейных САУ с запаздыванием / ГААП. СПб. 1997. Деп. В ВИНИТИ 15.07.97, №>2409-В97. 25 с.

117. Осипов Л.А., Полякова Т.Г. Синтез импульсных систем управления по динамическим показателям качества / ГААП. СПб. 1997. Деп. В ВИНИТИ 27.11.97, № 3462-В97. 24 с.

118. Полякова Т.Г. Осипов Л.А. Синтез нелинейных систем управления в области характеристик мнимых частот / ГААП СПБ. 1998. Деп. в ВИНИТИ 30.03.98, №890 В98. - 10с.

119. Полякова Т.Г. Численные методы синтеза нелинейных систем автоматического управления // Тез. докл. сессия аспирантов и соискателей ГААП, СПб, 1998

120. Осипов Л.А., Полякова Т.Г. Синтез нелинейных импульсных систем управления в области характеристик мнимых частот/ ГУАП. СПб. 1999. Деп. В ВИНИТИ 30.03.99, № 891-В99. 12 с.

121. Осипов Jl.А., Полякова Т.Г. Синтез нелинейных систем управления прямым вариационным методом // Аэрокосмические приборные технологии / Национальный симпоз. с междунар. участием. (Москва Санкт-Петербург, 2831 мая 1999 г.).1999. с.27-28.

122. Полякова Т.Г. Синтез нелинейных систем управления с использованием преобразования функции действительной переменной. / Тез. докл. сессия аспирантов и соискателей ГУАП. СПб. 1999.

123. Осипов J1.A., Полякова Т.Г. Синтез нелинейных систем управления методом ортогональных проекций. Информационно-управляющие системы, 2002.-№1.-с. 8-10.

124. Полякова Т.Г. Синтез нелинейных систем автоматического управления численными методами. Тезисы. 4-я школа-семинар БИКАМП'ОЗ (СПб 23-27 июня 2003), 2003, с .396-398

125. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., исправленное. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

126. Граднггейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов, и произведений. -М.: Физматгиз, 1963. 1100с.

127. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. -М.: Физматгиз, 1958. 439с.

128. Розенфельд A.C., Яхинсон Б.И. Переходные процессы и обобщенные функции. -М.: Наука, 1966. 440с.

129. Джури Е.И., Ли Б.У. Абсолютная устойчивость систем со многими нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. №6. - с. 945-965.

130. Джури Е.И., Ли Б.У. Теория устойчивости автоматических систем со многими нелинейностями // В кн.: Дискретные самонастраивающиеся и обучающиеся системы. -М.: Наука, 1971. 444с.

131. Нетушил A.B., Белова Д.А., Кузин P.E. О применении перебора в задачах исследования устойчивости // Известия вузов. Электромеханика. 1976. №2. с.183-188.

132. Цыпкин Я.З. Об устойчивости в целом нелинейных импульсных автоматических систем // Доклад АН СССР. 1962. т.145. №1.

133. Кузин JI.T. Расчет и проектирование дискретных систем управления. -М.: Машиностроение, 1962. 687 с.

134. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. -М.: Гостехиздат, 1948. 482 с.