автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Качественный анализ и оценки решений нелинейных систем в критических случаях

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукопиар

Соколов Сергей Владимирович

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 о ИЮН 2010

Санкт-Петербург — 2010

004603826

Работа выполнена на кафедре управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Александров Александр Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Жабко Алексей Петрович

доктор физико-математических наук, профессор

Щенников Владимир Николаевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет гражданской авиации

Защита состоится "9" июня 2010 в 14 ч. 00 мин. на заседании совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9., Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " о? " НА О_2010.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория управления входит в число важнейших разделов современной науки, поскольку она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со стороны человека. Исследование различных биологических, физических и технических моделей приводит к необходимости рассматривать сложные системы дифференциальных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей.

На любую реальную систему влияет значительное количество внешних факторов. Учет этих факторов приводит к необходимости предусматривать стабилизирующие управления, так как практическое применение имеют только устойчивые режимы функционирования объектов.

Для решения большинства практических задач теории управления необходимо определять условия, при которых гарантирована устойчивость программных движений рассматриваемых систем. При этом, чем точнее определены указанные условия, тем менее жесткими становятся ограничения на стабилизирующие воздействия. На практике снижение подобных требований приводит к уменьшению расхода топлива, экономии материальных и человеческих ресурсов. Важную роль в исследованиях имеет и получение наиболее точных оценок отклонений переходных процессов от установившихся движений. Для решения этой задачи используют различные методы нахождения экстремума функций, например, методы и алгоритмы линейного и нелинейного программирования. К сожалению, большая часть подобных алгоритмов определяет только общий способ решения задачи. Вместе с тем, для практического применения важно разрабатывать алгоритмы, и, в дальнейшем, комплексы программ, приводящие к получению оценок в явном виде. ' '

Одним из основных методов исследования устойчивости нелинейных систем является второй метод Ляпунова, базирующийся на использовании специально построенных функций. Предложенный A.M. Ляпуновым метод был в дальнейшем значительно развит в работах Е.А. Барбашина, В.И. Зу-

бова, H.H. Красовкого, И.Г. Малкина, A.A. Мартынюка, К.П. Персидского и других ученых. Вместе с тем, общие конструктивные способы построения функций Ляпунова отсутствуют, а наиболее полные результаты получены только для линейных стационарных систем. Поэтому любые новые подходы и расширение области применимости метода функций Ляпунова заслуживают внимания.

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется недостаточной изученностью сложных систем дифференциальных уравнений в части определения условий устойчивости и получения оценок решений.

Цели и задачи исследования. Получение новых условий устойчивости нелинейных систем в критических по Ляпунову случаях, нахождение наиболее точных оценок решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории управления, теории устойчивости, различные методы оптимизации, в частности, метод линейного программирования.

Научная новизна. Полученные условия устойчивости и оценки решений являются новыми или уточняют известные результаты.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов исследования подтверждается логической последовательностью рассуждений, математической строгостью приведенных доказательств.

Практическое значение. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при проектировании объектов, описываемых существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. Они могут применяться для анализа системных связей, определения допустимых границ значений параметров систем и условий на возмущения. С помощью разработанных методов можно строить стабилизирующие управления и получать оценки времени переходных процессов.

Положения, выносимые на защиту

1. Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных многосвязных систем со специальными структурами связей.

2. Разработаны алгоритмы нахождения наиболее точных оценок решений широкого класса существенно нелинейных сложных систем. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок.

3. Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений.

4. Получены новые условия диссипативности для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций.

5. Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов.

6. Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на следующих конференциях:

1. 6-й международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2004).

2. 2-й международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2005).

3. Международной конференции «Устойчивости и процессы управления», посвященной 75-летию В.И. Зубова (Санкт-Петербург, 2005).

4. 3-ей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006).

5. 40-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009).

6. 41-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2010).

Работа поддержана РФФИ в рамках гранта 08-08-92208 ГФЕН_а. Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь работ, одна из которых в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы; она включает 121 лист машинописного текста, одно приложение, 7 рисунков, список цитируемой литературы состоит из 61 наименования.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель исследований, представлены выносимые на защиту научные положения, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Первая глава посвящена исследованию сложных систем дифференциальных уравнений. Первые три параграфа настоящей главы являются вспомогательными, в них введены определения и приведены основные использованные в диссертационной работе подходы к изучению устойчивости нелинейных систем.

Параграф 1.4 посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений вида

Здесь х(4) = (х^),... ,х* (£))*, x¿(í) е М^, — непрерывно диффе-

ренцируемые однородные порядка щ > 1 функции. Система (1) - сложная система, описывающая взаимодействие изолированных подсистем

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

X; = + 11;(<,х), г = 1, . . . , П.

(1)

= г = 1 ,...,п.

(2)

Вектор-функции R¡(i, x) характеризуют связи между подсистемами. Предполагалось, что при t > О, ||х|| < Н (Н - положительная постоянная), Ri(i,x) непрерывны и удовлетворяют неравенствам

Tili j=i

Здесь cij > 0, oif) > 0, i Qij' > О- Тогда система (1) имеет нулевое

решение. Пусть нулевые решения изолированных подсистем асимптотически устойчивы. В.И. Зубов доказал, что существуют непрерывно дифференцируемые положительно-определенные положительно-однородные порядка 7j — + 1 (7i > ßi) функции Vi(xj), такие, что производные dVi/dt\(2) отрицательно определены. Величины 7i можно выбирать произвольным образом, поэтому они используются в качестве параметров.

В работах A.A. Косова, А.Ю. Александрова и A.B. Платонова исследовались условия, при выполнении которых гарантирована устойчивость нулевого решения системы (1). Было доказано, что если положительные постоянные 71,..., 7„, можно выбрать так, чтобы выполнялись неравенства

„. n af)

--- + V—>0, i = 1,... ,п, j=l,...,mi, (3)

Ti U Ъ

то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво, и существуют числа Ö > 0 и Д > 0 такие, что если начальные данные решения x(f) удовлетворяют условиям £q > 0 и ||x(io)|| < <5, т0 справедливы неравенства

||x4(i)|| < A(i - t0 + а = (4)

7?

Здесь р = min,=1 „-- — 1.

Рассмотрим теперь оценки (4). Показатели степеней —p/(7s — fis + 1) зависят от выбора функций Ляпунова через набор параметров 71,..., 7„. При этом, для того, чтобы были справедливы оценки (4), сами эти параметры должны удовлетворять ограничениям (3). Таким образом, возникает задача поиска допустимых величин 71,..., у„, при которых показатели степеней в оценках (4) были бы наименьшими. В диссертации доказано, что справедлива

Теорема 1 Для каждого фиксированного й задача нахождения наиболее точных оценок решений системы (1) эквивалентна решению задачи линейного программирования 2о —► тщ при ограничениях

п (р) (г) ^ Иг - а,у г6 = - 1, г{ < го, ) —гр >-—г{, г = 1 ] = \,...,т{.

Методы решения задач линейного программирования (симплекс-метод, различные численные методы) хорошо известны, но в общем случае не дают явного алгоритма решения поставленной задачи. Особенно сильно этот недостаток проявляется в тех случаях, когда в системе присутствуют параметры.

В §1.5-1.9 исследовано несколько классов сложных систем со специальными структурами связей, для которых удается получить оценки решений в явном виде, то есть в виде функций от параметров системы (1).

Уравнения, в которых каждая предыдущая подсистема влияет на следующую, названы системами со связью циклического типа (рис. 1).

Рис. 1. Граф для системы со связями циклического типа.

Уравнения, в которых все подсистемы влияют на одну подсистему, а эта подсистема влияет на все остальные, названы системами с центральным типом связи (рис. 2).

Во всех рассмотренных случаях предложены конструктивные алгоритмы и получен явный вид оценок решений. Разработаны программы в среде МАТЬАВ, реализующие численное решение поставленных задач.

Рис. 2. Граф для системы со связями центрального типа.

Во второй главе исследуется задача устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нескольких классов нелинейных систем.

В §2.1 сформулирована постановка задачи. Показана связь задачи об устойчивости по первому, в широком смысле, приближению и задачи абсолютной устойчивости, то есть устойчивости при любых допустимых нелинейностях в правой части.

В §2.2 исследована система каскадного вида

¿г =П(Х{) I ^/¿(ж;) + ^ С^+О - - ' ) , ® = 1, - - - , П — 1,

(5)

Здесь функции Г{(х{) определены и непрерывны при \х{\ < Н (Н —

положительная постоянная), > 0 при Х{ ф 0, г = 1,... ,п. Кроме

того, Г{[х,{) ф О, г = 1,... ,п. Показатели степеней а^ — неотрицательные рациональные числа с нечетными знаменателями, > 0> аг и Ъ^ — постоянные коэффициенты; щ < О, г = 1,... ,п, j = 1,...,тп,-. Если какие-то Ьу = 0, то соответствующие величины р = г 4-1,..., п, можно считать сколь угодно большими. При выполнении этих условий у рассматриваемой системы существует нулевое решение. Доказано, что при сделанных предположениях нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.

Далее в §2.2 рассмотрен случай, когда справедливы равенства а;? = сг,р для всех ] = 1,..., тпг. Предполагались, что функции /¿(^г), определены и непрерывны при всех Х{ € К. Найдены условия, при выполнении которых нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво в целом.

Параграф 2.3 посвящен нахождению условий абсолютной устойчивости систем с мультипликативной связью центрального типа

= щМ^) г = 1,... ,п — 1,

Ъ = ап1п{хп) + Ьп^(х1)^(х2) ■ ■ ■ /^'(Хп-О-

Функция Ляпунова выбиралась в виде

^ = Г (7)

¿=1

где уи^ — положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, А; > 0 — постоянные.

Была поставлена задача определения множества значений параметров a¿, а, и для которых числа щ и А; можно выбрать так, чтобы производная функции Ляпунова в силу системы (6) была отрицательно определена.

Теорема 2 При выполнении неравенства

п-1

5>гА>1 (8)

г=1

существуют положительные постоянные при которых производная функции Ляпунова (7) в силу системы (6) отрицательно определена (для любых А; > 0).

Предположим теперь, что неравенство (8) обращается в равенство, т.е. имеет место соотношение

п-1

= (9)

¿=1

Теорема 3 Пусть выполнено равенство (9). Тогда для существования положительных постоянных и А;, при которых производная функции

Ляпунова (7) в силу системы (6) отрицательно определена, необходимо, а если справедливо неравенство

ЪвУ2\.Х-1Ъп>0,

то и достаточно, чтобы имело место соотношение

V а1) \ а2/ V °п-1/

В четвертом параграфе второй главы рассмотрено несколько частных случаев системы (1). В отличие от §1.5-1.9, где условия устойчивости имели вид строгих неравенств на показатели степеней, в §2.4 исследовался пограничный случай, когда неравенства на показатели степеней выполняются как равенства. Для всех рассмотренных случаев решена задача нахождения наиболее точных оценок решений.

Пусть теперь системы, рассмотренные в §2.4, нестационарны. Для использования известных достаточных условий устойчивости приходится производить оценку сверху для изменяющихся со временем коэффициентов, что приводит к огрублению результатов. Более того, для многих асимптотически устойчивых систем достаточные условия выполняться не будут. В §2.5 предложен способ получения новых условий устойчивости, учитывающих характер возмущений. Всего исследовано четыре класса систем: системы с мультипликативными и аддитивными связями центрального и циклического типов.

Например, рассмотрим систему с мультипликативными связями центрального типа

Г ±г = (Ог + а&))э? + {Ьг + Ь(!))э%, » = 1, . . . , П - 1, \ хп = (ап + Оп{г))х£ + (Ьп + Ъп{Ь))х11 ■ ■ ■ а^1.

Здесь условия на показатели степеней /л;,г = 1 ,...,п, о^-, ] =

1,..., п— 1, и постоянные коэффициенты а*, совпадают с ограничениями из §2.3. Возмущения г = 1,..., п — 1, непрерывны и ограниче-

ны при всех Ь > 0. Рассматриваем пограничный случай т.е. случай, когда выполнено соотношение (9). Кроме того, предполагаем, что для невозмущенной системы справедливы полученные в §2.3 условия существования

постоянных 71..., 7т Аь..., Ап, таких, что производная функции Ляпунова (7) в силу невозмущенной системы отрицательно определена.

Предположим, что существует такое число 0 < /3 < 1, что для возмущений коэффициентов правой части справедливы следующие соотношения

Ит

(—»00

Таким образом, рассматриваются нестационарные возмущения, имеющие нулевые средние значения. Введем обозначения

0< = --—Ц-, г = 1,..., п — 1, б„ = —Ц-. (11)

04 № - 1 Цп - 1

Справедлива

Теорема 4 При выполнении неравенства

Р < (12)

тахг=1,...,п

пулевое решение системы (10) асимптотически устойчиво.

В §2.6 получены условия диссипативности обобщенных вольтерров-ских моделей динамики популяций вида

( 1 ^ а?1» а<п)\

¿г ~ I ^г ' ^ ^г^! 3 ' * ' -^п 3 I э 2 = 1, . . . , 71.

V /

Здесь х^) - численность (или масса) г-той популяции в момент времени Ь, > 0 - коэффициенты естественного прироста популяций, постоянные с; > 0,/Хг > 0, г = 1,..., гг определяют уменьшение роста численности популяций при увеличении их численности, величины аг] > 0, a¿¿ = О определяют взаимное влияние популяций (в данном случае коэффициенты неотрицательны, что характерно для симбиоза или нейтрализма).

Известно, что для того, чтобы функция Ляпунова У(х) = Хл=1 А; >0, 7; > Ци удовлетворяла условиям теоремы о

равномерной диссипативности в ортанте К+ для системы (13) достаточно, чтобы для любого Д > 0 существовали числа 61, ...,6п, удовлетворяющие системе неравенств

- + £• • • вп <0, 1 = 1 (14)

¿=1

такие, что 0г > А.

Однако, данные ограничения в общем случае не дают явного вида условий равномерной диссипативности рассматриваемой системы. Для некоторых классов систем можно получить условия в явном виде, то есть не зависящие от чисел ..., вп.

Рассмотрим систему с мультипликативной связью центрального типа

Х{ = Х{ [Ь{ ^г^-тг') ' 7 = 1, . . . , Т1 1,

Хп — Хп ^Ьп Спх'п (1пХу X2 • * • Хп_^ ^ .

Здесь a¿ > 0, а; > 0,/3; > 0, причем /Зх Ч-----1- /?п_1 > 0. Доказано, что если

справедливо неравенство

п-1 а

— <Мп, ¿=1 ^

то рассматриваемая система диссипативна.

Также получены условия диссипативности для систем с аддитивными связями центрального типа и систем с мультипликативными и аддитивными связями циклического типа.

Параграф 2.7 посвящен применению полученных результатов для построения стабилизирующих управлений для некоторых классов существенно нелинейных систем. Предложены способы построения управлений и приведены условия, при которых эти управления гарантируют асимптотическую или практическую устойчивость рассмотренных систем.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости нелинейных колебательных систем. В §3.1 рассмотрена система связанных нелинейных осцилляторов вида

щ + (щх? + + ЬгХ%' = 0, 1 = 1,...,п. (15)

Здесь Х{ 6 К1, х = (хи... ,хп)*; - положительные постоянные; ^ -рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, 5{ > 1, щ - рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями, щ > 0; функции х), определяющие связь между уравнениями, непрерывны при £ > 0, [|х|| < Н (И - положительная постоянная) и удовлетворяют неравенствам

!/»(*,х)| < с^.!^, г=1 ,...,п,

где Ха = хп, с, > О, А > 0) г = 1,..., п. С формулированы известные условия устойчивости для системы (15) в случае п = 2, = 2щ+1, г = 1,2.

Во втором параграфе решена задача определения условий на параметры /?!,..., Рп, при которых связанная система сохраняет устойчивость.

Теорема 5 При выполнении неравенства

нулевое решение системы (15) асимптотически устойчиво.

Кроме того, в §3.2 рассмотрена управляемая система связанных нелинейных осцилляторов вида (15), для которой предложен способ построения управления в виде обратной связи. Определены условия, при которых управление является стабилизирующим.

В §3.3 предложен алгоритм выбора параметров функции Ляпунова для получения наиболее точных оценок решений для системы (15).

В заключении приведен перечень выносимых на защиту результатов.

В приложении представлен текст программ, численно реализующих методы из главы 1.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

Рецензируемые журналы, входящие в Перечень ВАК РФ

1. Соколов С. В. Условия устойчивости и оценки решений некоторого класса сложных систем // Вестник СПбУ. Серия 10. 2009. Вып. 3. С. 130-137.

Прочие публикации по теме диссертации

2. Александров А. Ю., Соколов С. В. О построении функций Ляпунова для некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолж-ского математического общества. 2004. Т. 6, № 1. С. 69-74.

¿=1

3. Александров А. Ю., Соколов С. В. Устойчивость и оценки решений некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжского математического общества. 2005. Т. 7, № 1. С. 113-123.

4. Соколов С. В. Оценки решений некоторых классов нелинейных систем // Труды международной конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 75-летию со дня рождения В. И. Зубова. Санкт-Петербург, 30 июня - 01 июля 2005. СПб.: СПбГУ, 2005. С. 462-471.

5. Соколов С. В. Условия устойчивости одной нелинейной системы с постоянно действующими возмущениями // Труды 3-ей Всерос. на-учн. конф. «Мат. моделирование и краевые задачи». Самара, 2006. Часть 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. С. 205208.

6. Соколов С. В. Об асимптотической устойчивости в целом одного класса нелинейных систем // Математическое и информационное моделирование: Сборник научных трудов. Вып. 9. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 2007. С. 163-169.

7. Соколов С. В. Анализ устойчивости некоторых классов нелинейных систем с постоянно действующими возмущениями // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009. С. 61-67

Подписано к печати 15.04.10. Формат 60 *84 1/16 . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4755. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СП6ГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

Введение

1. Устойчивость сложных систем

1.1 Однородные и обобщенно-однородные функции

1.2 Системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями.

1.3 Устойчивость сложных систем по нелинейному приближению

1.4 Оценки решений сложных систем

1.5 Системы с мультипликативными связями центрального типа

1.6 Системы с мультипликативными связями циклического типа

1.7 Системы с аддитивными связями центрального типа

1.8 Системы с аддитивными связями циклического типа

1.9 Системы каскадного типа.

2. Устойчивость по первому, в широком смысле, приближению

2.1 Постановка задачи.

2.2 Анализ устойчивости каскадных систем.

2.3 Условия абсолютной устойчивости систем со специальной структурой связей.

2.4 Оценки решений.

2.5 Устойчивость нелинейных систем с нестационарными возмущениями

2.6 Условия диссипативности некоторых моделей динамики популяций.

2.7 Построение стабилизирующих управлений для нелинейных систем.

3. Устойчивость нелинейных колебательных систем

3.1 Системы нелинейных осцилляторов.

3.2 Условия асимптотической устойчивости положения равновесия

3.3 Оценки решений.

Актуальность темы.

Теория управления входит в число важнейших разделов современной науки, поскольку она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со стороны человека [12, 32, 39, 59]. При решении прикладных задач большое значение имеют как построение управления, так и анализ замкнутой управлением системы. Важно, что на любую реальную систему влияет значительное количество внешних факторов. Учет этих факторов приводит к необходимости предусматривать стабилизирующие управления, так как практическое применение имеют только устойчивые режимы функционирования объектов.

Таким образом, в большинстве практических задач теории управления важно определять условия, при которых гарантирована устойчивость рассматриваемых систем. При этом, чем точнее определены эти условия, тем менее жесткими становятся ограничения на стабилизирующие воздействия. На практике снижение подобных требований ведет к уменьшению расхода топлива, экономии материальных и человеческих ресурсов. Важную роль в исследованиях имеет pi получение наиболее точных оценок отклонений переходных процессов от установившихся движений. Для решения этой задачи используют различные методы нахождения экстремума функций, например, методы линейного и нелинейного программирования. Вместе с тем, для практического применения важно разрабатывать алгоритмы, и, в дальнейшем, комплексы программ, приводящие к получению оценок в явном виде.

Развитие методов исследования различных биологических, физических и технических моделей приводит к необходимости рассматривать сложные системы дифференциальных уравнений [9, 10, 16, 33]. В число основных характеристик таких систем входят высокая размерность, существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей.

Одним из основных методов исследования устойчивости нелинейных систем является так называемый второй метод Ляпунова, основанный на использовании специально построенных функций. Применение этого метода не ограничивается доказательством устойчивости или неустойчивости рассматриваемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова позволяет решить целый ряд прикладных задач: исследовать область притяжения [9], найти оценки решений [9, 16], установить наличие предельных циклов [14, 58], построить управление и оценить его качество. Функции Ляпунова находят свое применение и в теории оптимального управления [14, 38, 47].

Предложенный A.M. Ляпуновым общий метод был в дальнейшем значительно развит в работах Е.А. Барбашина, В.И. Зубова, Н.Н. Кра-совкого, И.Г. Малкина, А.А. Мартынюка, К.П. Персидского и других ученых [9, 17, 23, 27, 28, 33]. A.M. Ляпунов установил условия, при выполнении которых вопрос об устойчивости или неустойчивости определяется линейными членами уравнений. Те случаи, когда рассмотрение только линейных членов не дает необходимого результата, называются критическими. При исследовании критических случаев часто приходится рассматривать системы, вообще не содержащие линейных членов [38, 46]. Таким образом, возникает задача об устойчивости по нелинейному приближению.

Как известно, общие конструктивные методы построения функций Ляпунова отсутствуют, а наиболее полные результаты получены только для линейных стационарных систем. Поэтому любые новые подходы и расширение области применимости метода функций Ляпунова заслуживают внимания. Так как при анализе сложных систем часто применяется метод декомпозиции, то есть разбиения системы на не влияющие друг на друга блоки [48, 50, 51], особый интерес представляет исследование систем пелршейного приближения со связямр! между блоками, имеющими специальный вид.

Актуальность темы диссертации определяется недостаточной изученностью критическргс случаев сложных систем дР1фференциальных уравнений в части определения условий устойчивостР1 pi получения оценок решенрш, необходимостью разработки новых методов и способов анализа срютемных связей.

Цели и задачи исследования. Получение новых условий устойчивости нелинейных систем в критических по Ляпунову случаях, нахождение наиболее точных оценок решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории управления, теории устойчивости, различные методы оптимизации, в частности, метод линейного программирования.

Научная новизна. Полученные условия устойчивости и оценки решений являются новыми pi ли уточняют известные результаты.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов исследования подтверждается логической последовательностью рассуждений, математической строгостью приведенных доказательств.

Практическое значение. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при проектировании объектов, описываемых существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. Они могут применяться для анализа системных связей, определения допустимых границ значений параметров систем и условий на возмущения. С помощью разработанных методов можно строить стабилизирующие управления и получать оценки времени переходных процессов.

Положения, выносимые на защиту

1. Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных многосвязных систем со специальными структурами связей.

2. Разработаны алгоритмы нахождения наиболее точных оценок решений широкого класса существенно нелинейных сложных систем. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок.

3. Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений.

4. Получены новые условия диссипативности для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций.

5. Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов.

6. Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем.

Апробация работы. Основные положения научной работы докладывались на следующих конференциях:

1. 6-й международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2004).

2. 2-й международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2005).

3. Международной конференции «Устойчивости и процессы управления», посвященной 75-летию В.И. Зубова (Санкт-Петербург, 2005).

4. 3-ей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006).

5. 40-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009).

6. 41-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2010).

Работа поддержана РФФИ в рамках гранта 08-08-92208 ГФЕНа. Публикации. По материалам диссертации опубликованы семь работ [6, 7, 41, 42, 43, 44, 45], одна из которых в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов [45].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений; она содержит 121 лист машинописного текста, список цитируемой литературы состоит из 61 наименования.

Заключение

Настоящая диссертационная работа посвящена получению новых условий устойчивости нелинейных систем в критических по Ляпунову случаях, анализу системных связей и нахождению наиболее точных оценок решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений. В качестве основного математического аппарата использовались методы теории устойчивости, теории графов, теории управления, различные методы оптимизации, в частности, теория линейного программирования.

Подводя итог проделанной работы, перечислим результаты, выносимые на защиту:

1. Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных многосвязных систем со специальными структурами связей.

2. Разработаны алгоритмы нахождения наиболее точных оценок решений широкого класса существенно нелинейных сложных систем. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок.

3. Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений.

4. Получены новые условия диссипативности для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций.

5. Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов.

6. Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем.

1. Александров А. Ю. Об устойчивости сложных систем в критических случаях // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 9. — С. 3-13. 23

2. Александров А. Ю. О существовании функций Ляпунова для одного класса нелинейных систем // Труды 13-ой межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3. — Самара: 2003.-С. 7-9. 53, 54

3. Александров А. Ю. Об устойчивости решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений j j Вестник СПбУ. Серия 1. Вып. 3. 2004. - С. 3-10. 53, 55, 64

4. Александров А. Ю., Платонов А. В. Устойчивость движений сложных систем. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. - 79 с. 15, 16

5. Александров А. Ю., Платонов А. В. Об устойчивости и диссипативности некоторых классов сложных систем j j Автоматика и телемеханика. 2009. - № 8. - С. 3-18. 46, 47, 53, 76

6. Александров А. Ю., Соколов С. В. О построении функций Ляпунова для некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжского математического общества. — Т. 6. — 2004. — С. 69-74. 9, 53, 61, 62

7. Александров А. Ю., Соколов С. В. Устойчивость и оценки решений некоторых классов нелинейных систем / / Труды Средневолжского математического общества. — Т. 7. — 2005. — С. 113-123. 9, 67

8. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости.— М.: Наука, 1967. 223 с. 46, 86, 87

9. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970.— 240 с. 5, 10, 14, 44

10. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979. 335 с. 5, 10

11. Гавурин М. К., Малоземов В. Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. — Л.: Издательство ЛГУ, 1984. — 176 с. 27

12. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. — Киев: Наукова думка, 1984. — 308 с. 4, 10, 86

13. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применения,— М.: Прогресс, 1966, — 600 с. 27

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.-472 с. 5

15. Зорин В. А. Математический анализ. — М.: Наука, 1981.— Т. 1.— 544 с. 58

16. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. — Д.: Судпромгиз, 1959. — 324 с. 5, 10, 13, 14, 19, 21, 44, 45, 57, 70, 94

17. Зубов В. И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение.— М.: Высшая школа, 1973, — 271 с. 5, 12, 14, 17, 18, 95

18. Зубов В. И. Лекции по теории управления,— М.: Наука, 1975.— 496 с. 82

19. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению j j Докл. РАН. — 1996. — Т. 346, № 3. — С. 295296. 44, 45

20. Калитин Б. С. О принципе сведения для асимптотически треугольных дифференциальных систем / / Прикладная математика и механика. 2007. - Т. 71. - С. 351-360. 48

21. Каменков Г. В. Избранные труды. — М.: Наука, 1971. — Т. 1. — 260 с. 14

22. Косое А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1432-1434. 22, 23

23. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 212 с. 5, 18, 44

24. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Иностранная литература, 1967. — 169 с. 45, 82

25. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1951. — 216 с. 45

26. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с. 14, 44

27. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.; Л.: Гостехиздат, 1952.-432 с. 5, 14, 18, 44, 57

28. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. — Киев: Наукова думка, 19752. — 352 с. 5

29. Мартынюк А. А., Оболенский А. Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского // Дифференциальные уравнения. — 1980.- Т. 16, № 8,- С. 1392-1407. 47

30. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. — Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. — 1987. 10, 86

31. Овсянников Д. А. К вопросу об устойчивости в целом одного класса нелинейных систем управления // Дифференциальные уравнения. — 1972. Т. 8, № 2. - С. 377-379. 48, 49

32. Островский Г. М., Волин Ю. М. Моделирование сложных химико-технологических схем. — М.: Химия, 1975. — 311 с. 4, 10, 86

33. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1969. — № 12. — С. 5-11. 5, 10, 44

34. Платонов А. В. Об устойчивости многосвязных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды 32-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнов. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2001.- С. 89-91. 11, 25

35. Платонов А. В. Об устойчивости нелинейных сложных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 4. — С. 41-46. 23

36. Пых Ю. А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. — М.: Наука, 1983. — 184 с. 75

37. Пятницкий Е. С. Избранные труды,— М.: Физматлит, 2004.— Т. 1.-382 с. 82

38. Рейссиг Р., Сансоне Р., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1974. — 320 с. 5, 6, 86

39. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980.- 300 с. 4, 10, 86

40. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Математическое моделирование биологических сообществ. — М.: Наука, 1978. — 352 с. 76

41. Соколов С. В. Об асимптотической устойчивости в целом одного класса нелинейных систем // Математическое и информационное моделирование: Сборник научных трудов. Вып. 9. Тюмень: Издательство «Вектор Бук». — 2007. — С. 163-169. 9

42. Соколов С. В. Условия устойчивости и оценки решений некоторого класса сложных систем j j Вестник СПбГУ, Сер. 10, Вып.З. — 2009. — С. 130-137. 9

43. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. — М.: Иностранная литература, 1953. — 256 с. 6, 86

44. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1965. — 208 с. 5

45. Шилъяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994. - 576 с. 6, 10

46. Bailey F. N. The application of Lyapunov's second method to interconnected systems // Journ. Soc. Industr. and Appl. Math. Ser. A, Control. 1965. - Vol. 3, no. 3. - Pp. 443-462. 6, 10

47. Bellman R. Vector Lyapunov functions / / SI AM J. Contr. Ser. A. — 1962. no. 1. — Pp. 32-34. 6, 10 ,

48. Chaillet A., Angeli D. Integral input to state stable systems in cascade // Systems & Control Letters. 2008. - Vol. 57. - Pp. 519-527. 48

49. Chaillet A., Loria A. Nesessary ans sufficient conditions for uniform semiglobal practical asymptotic stability: Application to cascaded systems // Automatica. 2006. - Vol. 42. - Pp. 1899-1906. 48

50. Corless M., Leitmann G. Continious state feedback guaranteeing uniform ultimate boundeness for uncertain dynamic systems // IEEE Transactions on Automatic Control — 1981. — no. 26. — Pp. 1139-1144. 82, 83, 85

51. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Ann. math. — 1944. — Vol. 45, no. 4. — Pp. 723-737. 19

52. Panteley E., Loria A. Growth rate conditions for uniform asymptotic stability of cascaded time-varying systems // Automatica.— 2001.— Vol. 37. Pp. 453-460. 48

53. Rantzer A. A dual to Lyapunov's stability theorem j j Systems & Control Letters. 2001. - Vol. 42. - Pp. 161-168. 48

54. Salvadori L. On the stability of equilibrium in critical cases // Mechan-ica. 1967. - Vol. 2, no. 2. - Pp. 82-94. 5

55. Siljak D. D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. — New York: North Holland, 1978. 416 pp. 4, 10, 86

56. Su W., Fu M. Robust stabilisation of nonlinear cascaded systems j j Automatica. 2006. - Vol. 42. — Pp. 645-651. 48

57. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method. — Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. 233 pp. 20