автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы моделирования и исследования устойчивости движений неавтономных динамических систем

Введение.

Глава 1. Об устойчивости неавтономных систем по нелинейному приближению.

§ 1. Математическая модель системы первого приближения и ее основные свойства.

§ 2. Построение неавтономных функций Ляпунова для нелинейных моделей динамических систем

§ 3. Уточнение условий асимптотической устойчивости.

§ 4. Исследование систем, находящихся под воздействием возмущений с нулевыми средними значениями.

§ 5. Достаточные условия диссипативности нелинейных моделей неавтономных систем.

§ 6. Критерии устойчивости по обобщенно-однородному первому приближению.

Глава 2. Исследование устойчивости неавтономных систем в критических случаях.

§ 7. Об одной модели системы нелинейного приближения

§ 8. Асимптотическая устойчивость решений нелинейных систем по отношению к части переменных

§ 9. Достаточные условия устойчивости движений нелинейных систем, находящихся под воздействием неограниченных возмущений.

§ 10. Критерии устойчивости по нелинейному неавтономному приближению.

§ 11. Исследование устойчивости решений некоторого класса моделей нелинейных нестационарных систем

§ 12. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению.

Глава 3. Исследование устойчивости положения равновесия неавтономных моделей механических систем.

§ 13. Устойчивость равновесия нестационарных систем в критических случаях

§ 14. Асимптотическая устойчивость равновесия моделей механических систем по отношению к части переменных.

§ 15. Управление вращательным движением твердого тела при неавтономных возмущениях

§ 16. Устойчивость векторного уравнения Льенара, находящегося под воздействием нестационарных возмущений

§ 17. Устойчивость положения равновесия колебательных систем с переменными параметрами

Глава 4. Моделирование вынужденных стационарных колебаний нелинейных систем.

§ 18. Некоторые условия существования и устойчивости вынужденных стационарных колебаний

§ 19. Системы с возмущениями, обладающими слабой вариацией

§ 20. Рекуррентные возмущения с медленно меняющимися частотами

§ 21. Системы со слабо сходящимися к нулю возмущениями.

§ 22. Исследование влияния неограниченных возмущений на устойчивость систем дифференциальных уравнений

Настоящая диссертация посвящена развитию методов исследования устойчивости и асимптотического поведения решений систем нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений.

Начиная с XVII века, при изучении различных явлений, связанных с динамикой течения процессов, используются математические модели, описываемые нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями [46, 86, 111, 126, 131]. Нелинейные системы являются основным математическим аппаратом исследования движений механических, физических, технических систем [51, 52, 71, 91, 92, 121, 124]. В дальнейшем модели такого рода получили широкое применение в химии, экономике, биологии, медицине и многих других областях [47, 49, 60, 101, 106, 116, 132, 160].

Анализ указанных математических моделей вызывает необходимость изучения общих свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями. Эта необходимость привела к созданию теории дифференциальных уравнений.

Наиболее важное место в общей теории дифференциальных уравнений занимает качественная теория, основателем которой является А. Пуанкаре [111]. К основным вопросам качественного исследования относятся вопросы существования, единственности и продолжимости решений, условия существования стационарных режимов рассматриваемых систем, методы аналитического представления этих стационарных режимов, а также условия их устойчивости.

При изучении математических моделей, динамика которых описывается нелинейными системами, проблема устойчивости имеет принципиальное и прикладное значение, так как при функционировании технических объектов, технологических процессов и других реальных систем на практике осуществляются лишь устойчивые в том или ином смысле режимы работы.

Основы теории устойчивости были заложены в конце XIX века гениальным русским ученым A.M. Ляпуновым. Ляпунов разработал два метода исследования устойчивости. Это так называемые первый и второй (прямой) методы Ляпунова [94].

Первый метод характеризуется тем, что при решении задачи устойчивости в том или ином виде используются решения дифференциальных уравнений возмущенного движения, а также их оценки. Эти решения обычно приходится искать в виде рядов, по свойствам которых делается вывод об устойчивости или неустойчивости.

Второй метод не требует интегрирования уравнений возмущенного движения. Его идея состоит в том, что задача устойчивости сводится к отысканию некоторых вспомогательных функций, обладающих специальными свойствами. Эти функции называют функциями Ляпунова.

Прямой метод Ляпунова является основным методом исследования устойчивости движений нелинейных систем. Он получил глубокое развитие в трудах Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, К.П. Персидского, Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского, В.И. Зубова, В.В. Румян «» цева, С. Лефшеца, В. Хана, Т. Иошизавы и многих других ученых [48, 75, 79, 84, 88, 96, 99, 107, 110, 115, 116, 126, 146, 150, 162].

Значение второго метода Ляпунова не ограничивается проблемой установления факта устойчивости или неустойчивости. С помощью функций Ляпунова можно оценить отклонение переходного процесса от программного движения [1, 48, 75, 126], учесть влияние постоянно действующих возмущений [84, 96], получить условия существования стационарных колебаний динамических систем [65, 71,

110, 112, 155, 162], найти область притяжения установившегося движения [48, 75].

Одним из основных путей решения задачи устойчивости для нелинейных систем является следующий: вместо данной системы уравнений строят упрощенную, приближенную систему, для которой устанавливают соответственно устойчивость, асимптотическую устойчивость или неустойчивость. Затем показывают, что соответствующее свойство сохраняется при переходе к первоначальной системе. При этом важно уметь строить функцию Ляпунова (или хотя бы доказывать существование этой функции) для вспомогательной системы.

Ляпунов определил условия, при выполнении которых одни линейные члены уравнений решают вопрос устойчивости нулевого решения [94]. Им также был рассмотрен ряд важных частных случаев, когда этот вопрос может быть решен только исследованием членов высших порядков (так называемые сомнительные, или критические случаи). Ляпунов предложил общий метод изучения сомнительных случаев, состоящий в разделении системы уравнений на две группы и выяснении поведения решений в зависимости от свойств этих групп уравнений. В дальнейшем задача о критических случаях стала предметом многочисленных исследований. Большой вклад в ее решение внесли Г.В. Каменков, И.Г. Малкин, В.Г. Веретенников, Л. Сальвадори [58, 79, 96, 157].

Для получения условий устойчивости в сомнительных случаях довольно часто приходится рассматривать системы уравнений, у которых разложение правых частей в ряды по степеням искомых функций вообще не содержит линейных членов относительно последних. Теоремы об устойчивости по нелинейному приближению были доказаны в работах И.Г. Малкина, H.H. Красовского и В.И. Зубова [75, 85, 95]. При этом в качестве первого приближения рассматривались автономные системы с однородными правыми частями. Для таких систем Н.Н. Красовским, В.И. Зубовым, А.Я. Каневским и Л.Э. Рейзинем определены условия существования однородных функций Ляпунова, с помощью которых были установлены критерии устойчивости по нелинейному приближению, получены оценки решений возмущенных уравнений, а также найдены условия дисси-пативности нелинейных систем [75, 80, 85].

Было доказано, что асимптотическая устойчивость и неустойчивость нулевого решения сохраняются, если порядок возмущений выше порядка правых частей изучаемых систем.

Проблема исследования устойчивости существенно усложняется, если уравнения первого приближения являются неавтономными. Ляпунов предложил способ изучения сомнительных случаев для систем с периодическими правыми частями [94]. Дальнейшему развитию этого способа посвящены многие работы [58, 79, 85, 87, 96, 117, 127].

Таким образом, в настоящее время существует хорошо разработанный аппарат анализа устойчивости нелинейных систем. Тем не менее, в целом теория устойчивости еще далека от своего завершения. Известные результаты имеют принципиальный характер. Они применимы для широкого класса уравнений. Однако во многих задачах поиски конструктивных подходов к решению проблемы устойчивости остаются актуальными. Требуется уточнение известных критериев для конкретных типов систем, а также разработка новых методов исследования устойчивости.

При изучении различных реальных процессов, математические модели которых описываются нелинейными неавтономными дифференциальными уравнениями, наряду с проблемой устойчивости движения, важной проблемой является проблема существования вынужденных стационарных колебаний.

Условия существования вынужденных колебаний хорошо исследованы в случае, когда правые части рассматриваемых уравнений являются периодическими или почти периодическими функциями времени. Пуанкаре и Ляпуновым были заложены основы локальной теории периодических решений [94, 111]. Эта теория получила глубокое развитие в трудах A.A. Андронова, Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского и многих других авторов и нашла широкое применение в механике, электротехнике, радиотехнике [46, 51, 52, 113, 121, 124, 125].

В то же время, следует отметить, что указанные асимптотические методы можно использовать только для колебательных систем с малой нелинейностью. Изучение же колебаний в существенно нелинейных системах является с математической точки зрения весьма трудной проблемой. Один из способов ее решения — применение второго метода Ляпунова. Важные результаты в этом направлении tj получены Т. Иошизавой, Б.П. Демидовичем, В.А. Плиссом, В.И. Зубовым, Ж. Мавхиным и рядом других ученых. С помощью функций Ляпунова для широкого класса нелинейных систем были определены условия диссипативности, доказано существование и исследована устойчивость периодических и почти периодических решений, а также получены критерии конвергентности [65, 71, 110, 112, 116, 129, 155, 162].

Однако периодические и почти периодические движения являются частными случаями стационарных режимов. Начиная с работ Пуанкаре, в качестве наиболее общей модели стационарных колебаний рассматривают устойчивые по Пуассону движения [111]. В монографии [130] приведена подробная классификация устойчивых по Пуассону функций. Как показал Г. Биркгоф [50], среди этих классов функций важнейшую роль при изучении стационарных режимов динамических систем играют рекуррентные колебания. В.И. Зубов предложил математический аппарат для аналитического представления эргодических классов рекуррентных и устойчивых по Пуассону функций [68].

Асимптотическое поведение решений нелинейных моделей динамических систем, находящихся под воздействием рекуррентных и устойчивых по Пуассону возмущений, исследовалось в работе [72]. Выло показано, что в таких системах возникают новые типы стационарных режимов — асимптотические колебания, т.е. решения изучаемых уравнений при возрастании времени стремятся к предельным функциям, не являющимся интегральными кривыми рассматриваемых систем.

Задача исследования предельных режимов такого рода была поставлена В.В. Немыцким [102]. Ее решению посвящены работы В.И. Зубова, В.М. Миллионщикова, Ж.П. Jla Салля, Р.Дж. Раза, Дж. Селла, 3. Арстейна, A.A. Шестакова, в которых были введены понятия предельного решения [100], асимптотического положения покоя и асимптотически рекуррентного движения [72], эвентуально устойчивого движения [89], а также развит метод предельных функций и предельных уравнений [128, 143, 159].

Результаты, полученные в данных работах, показывают, что вынужденные колебания в механических, электрических, радиотехнических и других нелинейных системах, возникающие под действием устойчивых по Пуассону возмущений, имеют довольно сложный характер. Изучены только определенные модели рекуррентных и устойчивых по Пуассону возмущений. В общем случае проблема требует дальнейшего исследования.

Сформулируем цели предлагаемой диссертации:

1) разработка новых методов исследования устойчивости движений нелинейных нестационарных динамических систем;

2) получение новых критериев устойчивости неавтономных систем в критических случаях;

3) изучение вынужденных стационарных колебаний, возникающих в системах дифференциальных уравнений под воздействием устойчивых по Пуассону возмущений, разработка методов аналитического представления этих колебаний и определение условий их устойчивости.

Решение указанных задач опирается на классические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории колебаний. Основным аппаратом исследования является прямой метод Ляпунова.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 162 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных в диссертации исследований, являются следующие.

1. Разработаны новые способы и алгоритмы построения функций Ляпунова для широкого класса нелинейных неавтономных систем.

2. Уточнены известные критерии устойчивости по однородному и обобщенно-однородному первому приближению. Определены типы нестационарных возмущений, для которых асимптотическая устойчивость и неустойчивость нулевого решения сохраняются и в случае, когда их порядок не превосходит порядка правых частей невозмущенных уравнений.

3. В развитие метода оценок предложен новый подход к проблеме анализа устойчивости решений нелинейных систем, основанный на использовании функций Ляпунова, являющихся неограниченными функциями времени. С помощью данного подхода разработаны конструктивные алгоритмы оценки отклонений переходных процессов от программных движений, а также приближенного построения области асимптотической устойчивости для нестационарных уравнений.

4. Получен ряд новых условий устойчивости неавтономных систем в критических случаях. Установлены соотношения между показателями однородности функций, входящих в правые части изучаемых уравнений, при выполнении которых в качестве математической модели исследуемого объекта или процесса можно рассматривать усредненную систему.

5. Получено обобщение теоремы Ляпунова — Малкина об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных на случай существенно нелинейной системы первого приближения.

6. Доказаны теоремы об устойчивости по нелинейному неавтономному приближению. Установлена зависимость между скоростью убывания решений уравнений первого приближения и порядком возмущений, не нарушающих асимптотическую устойчивость нулевого решения.

7. Проведен анализ устойчивости положений равновесия широкого класса нелинейных моделей механических систем.

8. Предложены новые модели рекуррентных и устойчивых по Пуассону колебаний. Исследованы предельные режимы, возникающие в динамических системах под воздействием возмущений такого рода. Найдены условия устойчивости указанных предельных режимов и разработаны алгоритмы их аналитического представления.

Таким образом, в диссертации разработаны методы исследования устойчивости и асимптотического поведения движений сложных и существенно нелинейных моделей, возникающих в различных прикладных задачах. Полученные результаты могут применяться на ранней стадии проектирования управляемых систем, подвергающихся внешним нестационарным возмущениям, для обоснования выбора областей изменения параметров системы, при которых сохраняется устойчивость программных движений. Это позволяет автоматизировать процесс моделирования систем и повышает их надежность.

1. Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. М.: Физматлит, 1994. 544 с.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 140 с.

3. Александров А.Ю. Исследование поведения ограниченных решений систем линейных дифференциальных уравнений с рекуррентными возмущениями. Депон. в ВИНИТИ. № 4734-В88. Де-пон. 16.06.88. "Вестник ЛГУ. Сер. 1". 12 с.

4. Александров А.Ю. К вопросу о существовании асимптотических рекуррентных решений дифференциальных уравнений // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1988. Вып. 4 (№ 22). С. 92-93.

5. Александров А.Ю. О существовании рекуррентных решений одного класса дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 5. С. 902-903.

6. Александров А.Ю. Условия существования вынужденных асимптотических колебаний в системах дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения в частных производных. Межвуз. сб. научн. трудов. Л.: ЛГПИ, 1989. С. 37-40.

7. Александров А.Ю. К вопросу о существовании рекуррентных колебаний динамических систем. Тезисы докл. научной школы-семинара "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов". Киев, 28-30 мая 1991 г. С. 2.

8. Александров А.Ю., Дорофеев Б.В. О существовании устойчивых по Пуассону решений дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГТУ, 1994. С. 8-12.

9. Александров АЛО. О существовании асимптотически рекуррентных движений динамических систем // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 4. С. 720-722.

10. Александров А.Ю. К вопросу об устойчивости решений систем нестационарных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями. Депон. в ВИНИТИ. № 2239-В94. Депон. 22.09.94. "Вестник СПбУ. Сер. 1". 7 с.

11. Александров А.Ю., Старостепко Б.В. Достаточные условия неустойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений // Труды Алтайского гос. техн. ун-та им. И.И. Пол-зунова. 1994. Вып. 3. С. 259-263.

12. Александров А.Ю. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями. Тезисы докл. конф. " Моделирование и исследование устойчивости систем". Киев, 15-19 мая 1995 г. Исследование систем. С. 3.

13. Александров А.Ю., Дорофеев Б.В. К устойчивости нелинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГТУ, 1995. С. 5-10.

14. Александров А.Ю., Прасолов С.А. Об устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 3. С. 8-14.

15. Александров А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений систем нестационарных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Докл. РАН. 1996. Т. 349. № 3. С. 295-296.

16. Александров А.Ю. Об устойчивости равновесия нестационарных систем // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60. № 2. С. 205-209.

17. Александров А.Ю. Об устойчивости уравнения Льенара с нестационарными возмущениями // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 5. С. 702-703.

18. Александров А.Ю. Некоторые классы асимптотически рекуррентных колебаний динамических систем // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 17. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1996. С. 5-11.

19. Александров А.Ю. О вибрационной стабилизации нелинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГУ, 1996. С. 3-7.

20. Александров А.Ю. К вопросу об устойчивости решений неавтономных систем в критических случаях. Тезисы докл. Второй межд. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 10-12 сентября 1996 г. С. 36.

21. Александров А.Ю. Об асимптотической устойчивости по нелинейному приближению. Тезисы докл. межд. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем". Киев, 19-23 мая 1997 г. Исследование систем. С. 7.

22. Александров АЛО. Об условиях конвергентности одного класса нелинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГУ, 1997. С. 43-48.

23. Александров АЛО. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38. № 6. С. 1203-1210.

24. Александров А.Ю. Об одном методе построения функций Ляпунова для нелинейных неавтономных систем // Изв. вузов. Математика. 1998. № 1. С. 3-10.

25. Александров А.Ю. Об асимптотической устойчивости равновесия неавтономных систем // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62. № 1. С. 35-40.

26. Александров А.Ю. Об устойчивости решений нелинейных систем с неограниченными возмущениями // Мат. заметки. 1998. Т. 63. № 1. С. 3 8.

27. Александров А.Ю. О влиянии неограниченных возмущений на устойчивость систем дифференциальных уравнений // Дифферент уравнения. 1998. Т. 34. № 2. С. 279-281.

28. Александров А.Ю. Некоторые условия устойчивости решений нелинейных неавтономных систем // Вестник С.-Петербург, унта. Серия 1. 1998. Вып. 2 (№ 8). С. 3-6.

29. Александров А.Ю. Об устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 3. С. 27-31.

30. Александров А.Ю. Исследование рекуррентных колебаний динамических систем // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 8. С. 1011-1017.

31. Александров А.Ю. Об одном методе исследования устойчивости нестационарных систем в критических случаях // Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конф. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1998. С. 15 20.

32. Александров А.Ю. Об асимптотической устойчивости неавтономных динамических систем. Тезисы докл. межд. конференции "Динамические системы: Устойчивость, управление, оптимизация (Б88С0'98)". 28 сентября 4 октября 1998 г. Минск, Беларусь. Т. 1. С. 17-19.

33. Александров А.Ю. Исследование устойчивости решений нелинейных колебательных систем с переменными параметрами // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научи. трудов. Тула: ТулГУ, 1998. С. 5-11.

34. Александров А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных неавтономных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. № 2. С. 5-9.

35. Александров А.Ю. О стабилизации вращательного движения твердого тела при неавтономных возмущениях // Вестник С.Петербург. ун-та. Серия 1. 1999. Вып. 3 (№ 15). С. 53-57.

36. Александров А.Ю. Об устойчивости векторного уравнения Льенара с нестационарными возмущениями // Сибирский мат. журнал. 1999. Т. 40. № 5. С. 977-986.

37. Александров А.Ю. Об устойчивости решений нестационарных систем в критических случаях. "Еругинские чтения-VI": Тезисы докл. межд. мат. конф. Часть 1. Гомель, 20-21 мая 1999 г. -Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 1999. С. 86-87.

38. Александров А.Ю. Некоторые условия устойчивости решений нестационарных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конф. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. С. 17-21.

39. Александров А.Ю. Об устойчивости равновесия колебательных систем с переменными коэффициентами // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГУ, 1999. С. 6-13.

40. Аминов A.B., Сиразетдинов Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48. № 3. С. 339-347.

41. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48. № 5. С. 707-713.

42. Андреев A.C. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60. № 3. С. 388-396.

43. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

44. Артамонов А.Г., Володин В.М., Авдеев В.Г. Математическое моделирование и оптимизация плазмохимических процессов. М.: Химия, 1989. 224 с.

45. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

46. Беллман Р. Математические методы в медицине. М.: Мир, 1987. 200 с.

47. Биркгоф Г.Д. Динамические системы. М.; Л.: Гостехиздат, 1941. 320 с.

48. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

49. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.

50. Бодунов H.A., Котченко Ф.Ф. О зависимости устойчивости линейных периодических систем от периода // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 2. С. 338-341.

51. Бор Г. Почти периодические функции. М.; JL: Гостехиздат, 1934. 130 с.

52. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

53. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981. 412 с.

54. Вейссенберг А.Н. Критерий знакоопределенности форм высшего порядка // Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38. № 3. С. 571-574.

55. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320 с.

56. Виноград Р.Э. Об одном критерии неустойчивости в смысле A.M. Ляпунова решений линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1952. Т. 84. № 2. С. 201-204.

57. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

58. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

59. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 288 с.

60. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

61. Груйич JI.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 308 с.

62. Лемидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

63. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975. 799 с.

64. Егоров И.Г. Об устойчивости в целом нулевого решения автономной системы двух дифференциальных уравнений // Дифферент уравнения. 1994. Т. 30. № 6. С. 955-963.

65. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 344 с.

66. Зубов В.И. Аналитическое представление движений, устойчивых по Пуассону // Докл. РАН. 1992. Т. 322. № 1. С. 28-32.

67. Зубов В.И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346. № 3. С. 295-296.

68. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 632 с.

69. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.

70. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

71. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

72. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высш. шк., 1973. 272 с.

73. Зубов C.B. Зубов Н.В. Математические методы стабилизации динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1996. 288 с.

74. Игнатьев А.О. Об устойчивости положения равновесия колебательных систем с переменными коэффициентами // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46. № 1, С. 167-168.

75. Изобов H.A. Об асимптотической устойчивости и абсолютной интегрируемости на полуоси решений дифференциальной системы с возмущениями высшего порядка // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 3. С. 417-421.

76. Каменков Г.В. Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971. 260 с.

77. Каневский А.Я., Рейзинь Л.Э. Построение однородных функций Ляпунова-Красовского // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 2. С. 251-260.

78. Корчак А.Е. Построение обобщенно-однородных функций Ляпунова-Красовского // Латвийский математический ежегодник. Рига: Зинатне, 1980. Вып. 24. С. 105-112.

79. Косов A.A. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 10. С. 1432-1434.

80. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.

81. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

82. Красовский H.H. Об устойчивости по первому приближению // Прикл. математика и механика. 1955. Т. 19. № 5. С. 516-530.

83. Лагранж Ж. Аналитическая механика. В 2-х т. М.; Л.: ОНТИ, 1938. Т. 1. 348 е.; 1950. Т. 2. 440 с.

84. Ладис H.H. Асимптотика решений квазиоднородных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 12. С. 2257-2260.

85. Jla Салль Дж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

86. Ла Салль Дж.П., Раз Р.Дж. Новое понятие устойчивости // Труды 2-го конгресса ИФАК. Т. 1. С. 69-75. М., 1965.

87. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 205 с.

88. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967. 351 с.

89. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

90. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения//Матем. сборник. 1893. Т. XVII. Вып. 2. С. 253-333.

91. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

92. Малкин И.Г. Теорема об устойчивости по цервому приближению // Докл. АН СССР. 1951. Т. 76. № 6. С. 783-784.

93. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиз-дат, 1952. 432 с.

94. Мартынюк A.A. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1975. 352 с.

95. Матросова Н.И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. С. 195-203.

96. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. A.A. Воронова и В.М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

97. Миллионщиков В.М. Рекуррентные и почти периодические предельные траектории неавтономных систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 161. № 1. С. 43-44.

98. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488 с.

99. Немыцкий В.В. Динамические системы на предельном интегральном многообразии // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. № 3. С. 555-558.

100. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; JL: Гостехиздат, 1947. 448 с.

101. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных // Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука, 1986. С. 169-179.

102. Озиранер A.C. Об устойчивости движения в критических случаях // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39. № 3. С. 415— 421.

103. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации сложных химико-технологических схем. М.: Химия, 1970.

104. Персидский К.П. Избранные труды. Т. 1. Алма-Ата: Изд-во Наука КазССР, 1976. 272 с.

105. Персидский С.К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1969. № 12. С. 5-11.

106. Персидский С.К. К исследованию устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34. № 2. С. 219-226.

107. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964. 368 с.

108. Пуанкаре А. Избранные труды. В 3-х т. М.: Наука, 1971. Т. 1. 772 е.; 1972. Т. 2. 1000 е.; 1974. Т. 3. 772 с.

109. Рейссиг Р., Сансоне Р., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974. 320 с.

110. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 288 с.

111. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ. Сер. мат., механ., физ., астрон., хим. 1957. № 4. С. 9-16.

112. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.

113. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

114. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.

115. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука, 1987. 304 с.

116. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 200 с.

117. Старжинский В.М. Достаточные условия устойчивости одной механической системы с одной степенью свободы // Прикл. математика и механика. 1952. Т. 16. № 3. С. 369-374.

118. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953. 256 с.

119. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сборник. 1952. Т. 31. № 3. С. 575-586.

120. Филатов О.П. К теории асимптотической устойчивости // Дифферент уравнения. 1996. Т. 32. № 7. С. 1002-1003.

121. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. 432 с.

122. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. 230 с.

123. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 208 с.

124. Шестаков А.А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородной системы // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 8. С. 1427-1436.

125. Шестаков А.А. Прямой метод Ляпунова как метод локализации функциями Ляпунова предельных множеств неавтономных динамических процессов // Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука, 1986. С. 14-48.

126. Щенников В.Н. Исследование почти-периодического режима одной нелинейной регулируемой системы // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2182-2183.

127. Щербаков Б.А. Топологическая динамика и устойчивость по Пуассону решений дифференциальных уравнений. Кишинев: Изд-во АН МССР, 1972. 232 с.

128. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.; Л.: ОНТИ, 1938. 500 с.

129. Эрроусмит Д.К., Плейс К.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. 243 с.

130. Aleksandrov A.Yu., Kolabutin V.M. On the recurrent solutions of some polynomial differential equations. Abstracts of invited lectures and short communications delivered at the Second Intern. Colloq. on Diff. Eq. Plovdiv, Bulgaria, 1991. P. 16.

131. Aleksandrov A.Yu. On the forced stationary oscillations of dynamical systems. Proceedings of the third Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'96)". St. Petersburg, Russia. July 1-5, 1996. St. Petersburg, 1997. P. 12-16.

132. Aleksandrov A.Yu. On the stability by nonlinear nonautonomous approximation. Abstracts of the Intern. Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L.S. Pontryagin. Differential Equations. Moskow, Russia. August 31 September 6, 1998. P. 9-10.

133. Aleksandrov A.Yu. On the partial stability of solutions of nonautonomous systems. Proceedings of the fourth Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'97)". Dubna, Russia. October 1317, 1997. Dubna: JINR, 1998. P. 132-135.

134. Aleksandrov A.Yu. On the eventual stability of nonautonomous systems. Abstracts of the fifth Intern. Workshop "Beam Dynamics and

135. Optimization (BDO'98)". St. Petersburg, Russia. June 29 July 3, 1998. P. 9.

136. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equations //J. Differential Equations. 1977. V. 23. № 2. P. 216-223.

137. Bailey F.N. The application of Lyapunov's second method to interconnected systems // Journ. Soc. Industr. and Appl. Math. Ser. A, Control. 1965. V. 3. № 3. P. 443-462.

138. Barbanti L. Lienard equation and control // Lecture Notes in Mathematics. 1980. V. 799. № 6. P. 1-22.

139. Chin P.S.M. A general method to derive Lyapunov functions for nonlinear systems // Int. J. Control. 1986. V. 44. № 22. P. 381-393.

140. Coleman C. Growth and decay estimates near non-elementary points //•Canad. J. Math. 1970. V. 22. № 6. P. 1156 1167.

141. Corduneanu C. Some problems concerning partial stability // Symp. math. V. 6. Meccanica non-lineare e stabilita. 23-26 Febbrario, 1970. L.-N.Y.: Acad. Press, 1971. P. 141-154.

142. Gasull A., Llibre J., Sotomayor J. Global asymptotic stability of differential equations in the plane //J. Diff. Eq. 1991. V. 91. P. 327-335.

143. Hahn W. Stability of motion. Berlin: Springer, 1967. 448 p.

144. Hatvani L. On location of positive limit sets of solutions of nonau-tonomous system // Colloquia mathematica societatis Janos Bolyai. Differential Equations: Qualitative theory. Szeged, 1984. P. 413-428.

145. Hatvani L. On partial asymptotic stability by the method of limiting equation // Ann. Mat. Pura Appl. 1985. V. 99. P. 65-82.

146. Kahane C.S. On the stability of solutions of linear differential systems with slowly varying coefficients // Czechoslovak Math. J. 1992. V. 42. (117). № 4. P. 715-726.

147. Peiffer K., Rouche N. Liapunov's second methods applied to a partial stability // J. de mecanique. 1969. V. 8. № 2. P. 323-334.

148. Rouche N., Mawhin J. Ordinary differential equations: stability and periodic solutions. Boston etc.: Pitman, 1980. 260 p.

149. Sabatini M. A geometric condition for a plane critical point to be globally asymptotically stable. Proceedings of the Intern. Conference on differential equations, "Equadiff'91". Barcelona, 1991. Singapore: World Scientific, 1993. V. 2. P. 861-863.

150. Salvadori L. On the stability of equilibrium in critical cases // Mecca-nica. 1967. V. 2. № 2. P. 82-94.

151. Sebakhy O.A. Eventual stability of an adaptive control system // IEEE Trans Automat. Control. AC-20. 1975. № 10. P. 717-718.

152. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics // Trans. Math. Soc. 1967. V. 127. P. 241-262.

153. Siljak D.D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. New York: North Holland, 1978. 416 p.

154. Uteshev A.Yu, Shulyak S.G. Hermite's method of separation of solutions of systems of algebraic equations and its applications // Linear Algebra and its Applications. 1992. V. 177. P. 49-88.

155. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.